Simülasyon ile Modelleme. Prof.Dr. Aydın Ulucan

Transkript

1 Simülasyon ile Modelleme Prof.Dr. Aydın Ulucan

2 İş dünyasında cevabı aranan karar problemlerinin çoğunda modeli oluşturan bileşenlerin değerleri kesin olarak belirli değildir. Böyle bir durumda karar verici, kesin olarak belirli olmayan model bileşenlerini istatistiksel dağılımlarla tanımlayarak karar problemini analiz edecektir. Bu tipteki rassal değişkenlerin bulunduğu karar problemlerinin analizinde kullanılanılan önemli bir teknik de simülasyondur. Karar ver, x Rassal Olay, r Kar, f(x,r) Bugün Gelecek Zaman Karar vericinin rassal olaylar hakkında bir yönlendirmesi yoktur: Finansal Riskler: hisse fiyatları, faiz oranları, döviz kurları... Pazar Riskleri: talep, girdi fiyatları, satış fiyatı... Politik Riskler Doğal Riskler...

3 İş dünyasında cevabı aranan karar problemlerinin çoğunda modeli oluşturan bileşenlerin değerleri kesin olarak belirli değildir. Böyle bir durumda karar verici, kesin olarak belirli olmayan model bileşenlerini istatistiksel dağılımlarla tanımlayarak karar problemini analiz edecektir. Bu tipteki rassal değişkenlerin bulunduğu karar problemlerinin analizinde kullanılanılan önemli bir teknik de simülasyondur. Simülasyon, en basit tanımıyla, bir gerçek hayat durumunun bilgisayar destekli modellerle taklit edilmesidir. İçinde bazı girdilerinin belirsizlik içerdiği simülasyon modeli çalıştırıldığında, belirsizlik içeren girdiler uygun oldukları dağılımdan bir değer alır ve model çalıştırılarak sonuçlar elde edilir. Bir deney olarak adlandırabileceğimiz bu işlem, her seferinde modeldeki belirsizlik içeren girdilerin değerleri uygun dağılımlardan çekilerek defalarca tekrarlanır ve kurulan modelin davranışı izlenir. Bu sonuçlar istatistiksel olarak analiz edilerek karar vericinin simülasyon modeli ile karara ulaşması hedeflenmiştir.

4 Bir simülasyon modeli sonucunda karar verici tek bir sonuç yerine bir sonuç dağılımına ulaşır. Bu özellik bir dezavantaj gibi algılansa da, aslında farklı senaryolarda modelin nasıl davranacağını ortaya koymasından dolayı önemli bir avantajdır. Öte yandan matematiksel olarak model kurmanın güç olduğu sistemler kolaylıkla simüle edilerek gözlenebilir. Ayrıca herhangi bir sistem fiziksel olarak oluşturulmadan önce simülasyon modeli oluşturularak sistemin temel karakteristikleri çok daha az maliyetli bir yolla analiz edilebilir. Ancak simülasyon modeli ile optimal sonuca ulaşılacağı garanti edilemez. Fakat deney sayısı arttıkça optimale çok yakın bir sonuçla sistemin analiz edileceği söylenebilir.

5 Monte Carlo Simülasyonu ve Rassal Sayı Üretilmesi Rassal değişkenler, değeri kesin olarak tahmin edilemeyen değişkenlerdir. Rassal değişkenlere örnek verilmek istenirse; gelecekteki maliyetler, faiz oranları, döviz kurları, talep değerleri sayıabilir. Bu şekilde rassa değişkenler içeren modellerle uğraşan karar verici, rassal değişkeni bir dağılımla tanımlamaya çalışıp, ardından bu dağılıma uyan rassal sayılar üretecektir. Üretilen bu rassal sayılar modelde yerine konulup modelin davranışı gözlenecektir. Bu yaklaşım Monte Carlo Simülasyonu olarak adlandırılır.

6 Excel de bulunan =RAND() fonksiyonu 0 ile 1 arasında rassal sayı üreten bir fonksiyondur. Bu fonksiyonla üretilen rassal sayılar çeşitli transformasyonlarla modelde istenilen forma dönüştürülüp kullanılır. =RAND() fonksiyonu her çalıştırıldığında, üretilen sayının 0 ile 1 arasında aldığı değerin farklı bir değer alması ile olasılığı eşittir. Daha açık bir ifade ile üretilen sayının 0.5 ile 0.6 arasında bir değer alma olasılığı %10 dur. Dolayısıyla bu fonksiyon düzgün (uniform) dağılıma uygun sayı üretmektedir.

7 1) Modelde belirsizlik içeren parametreleri belirle. 2) Uygun rassal sayı üret. 3) Modeli n kez çalıştırıp, sonuçları kaydet. 4) Sonuçları istatistiksel olarak analiz et. Yazı Tura: =IF(RAND()<0.5; Yazı ; Tura ) Zar: =INT(6*RAND())+1

8 Örnek Teknokomp bilgisayar şirketi uzakdoğudan ithal ettiği isimsiz bilgisayarların montajını yapıp TKom markasıyla pazarlamaktadır. Şirket yöneticisi şu anda uzakdoğuda büyük bir bilgisayar fuarındadır ve yılbaşına kadar olan önümüzdeki üç aylık dönem için sipariş verecektir. Fuarda sipariş vereceği her bilgisayarı 500 dolardan indirimli olarak alacaktır. Önümüzdeki üç aylık dönem için talebin aşağıdaki olasılık dağılımına uygun gerçekleşmesi beklenmektedir. Talep Olasılık

9 Şirket bilgisayarları 750 dolardan satmaktadır. Şirket yönetiminin bu bilgisayarlardan daha sonra aynı fiyattan sipariş verme şansı yoktur. Yıl sonuna kadar satılmayan bilgisayarlar, yeni çıkacak modeller nedeniyle 350 dolardan elden çıkarılacaktır. Şirket yöneticisinin kaç adet bilgisayar sipariş vermesi gerektiğini belirleyen simülasyon modelini kurunuz. Bu sipariş miktarı için %95 güvece aralığındaki beklenen karı belirleyiniz.

10 Şekil TKom simülasyon modeli

11 Artık karar verici 500 birim sipariş vermesi halinde oluşacak karının yapısı hakkında karar verebilecek düzeyde fikir sahibidir. Karar verici tüm bu süreci arasındaki farklı sipariş miktarları için tekrarlayarak en karlı olduğu sipariş miktarını belirleyebilir. =RAND() fonksiyonu 0-1 arasında rassal sayı üretir. Excel de her yaptığınız işlemden sonra bu fonksiyon otomatik olarak çalışmakta ve yeni sayılar üretmektedir. Dolayısıyla sonuçlar her işlemden sonra değişecektir. Ancak deney sayısı bizim örneğimizde olduğu gibi yüksek tutulursa sayılar değişse bile ortalama beklenen karlarda çok büyük bir değişiklik beklenmez. Modeli geliştirme ve yorumlama esnasında rassal sayıların sürekli yeniden hesaplanmasını önlemek için B20:B1019 aralığında rassal sayılar bir kere hesaplanıp ardından o aralık seçilip kopyalanır ve aynı yere Özel Yapıştır (Paste Special) komutu kullanılıp, sadece Değerler (Values) seçilerek yapıştırılırsa bir daha değişmeyecektir.

12

13 Excel de Sürekli Dağılımlara Uygun Rassal Sayı Üretilmesi Bir önceki kısımda uygulanan örnekteki rassal değişkenin olasılık dağılımı kesikli düzgün bir dağılım olduğu için =RAND() fonksiyonu ile uygun rassal sayılar üretilmişti. Buna ek olarak sürekli olasılık dağılımına sahip rassal değişkenler için de Excel de simülasyon modelleri kurulabilir. Normal dağılıma uygun rassal sayı üreten formül : =NORMINV(RAND(),m,s) ifadesidir. Burada m dağılımın ortalamasını, s da standart sapmasını göstermektedir. Üstel dağılıma uygun rassal sayı üreten formül : =-LN(1-RAND())/m ifadesidir. Benzer şekilde, Beta dağılımına uygun rassal sayılar BETAINV, Ki Kare dağılımına uygun rassal sayılar CHINV, Gamma dağılımına uygun rassal sayılar GAMMAINV, F dağılımına uygun rassal sayılar FINV, Lognormal dağılıma uygun rassal sayılar LOGINV fonksiyonları kullanılarak Excel de üretilebilir.

14 Specialty Steel Products Co. Specialty Steel Products Company siparişe göre makine parçaları üreten bir işletmedir. Siparişler gereken makine saatine çevrilip, saat cinsinden değerlendirilmektedir. Yönetim, torna birimindeki kapasite problemi üzerinde çalışmaktadır. Yeni bir tornanın üretime eklenmesi analiz edilmek istenmektedir.

15 Specialty Steel Products Co. Geçmiş kayıtlara göre torna biriminin haftalık işyükü aşağıdaki tablodaki gibi değişmektedir. Haftalık İşyükü Gereksinimi (saat) Relatif Frekans Toplam 1.00

16 Specialty Steel Products Co. Ortalama haftalık üretim aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır. Haftalık İşyükü Gereksinimi (saat) Relatif Frekans Toplam 1.00 Ortalama haftalık üretim gereksinimi = 200(0.05) + 250(0.06) + 300(0.17) (0.02) = 400 saat

17 Specialty Steel Products Co. Haftalık İşyükü Gereksinimi (saat) Relatif Frekans Toplam 1.00 Ortalama haftalık üretim gereksinimi = 400 saat Normal Kapasite (saat) Relatif Frekans 320 (8 makine) (9 makine) (10 makine) 0.30 Haftalık ortalama kapasite: 320(0.30) + 360(0.40) + 400(0.30) = 360 saat Fazla mesai Maliyeti 25 Max fazla mesai 100 Taşeron maliyeti 35

18 Specialty Steel Products Co. Haftalık İşyükü Gereksinimi (saat) Relatif Frekans Total 1.00 Ortalama haftalık üretim gereksinimi = 400 saat Normal Kapasite (saat) Relatif Frekans 320 (8 makine) (9 makine) (10 makine) 0.30 Haftalık ortalama kapasite = 360 saat Eğer 11 makine ile çalışılırsa, çalışan kapasite aşağıdaki gibi olacaktır. Normal Kapasite (saat) Relatif Frekans 360 (9 makine) (10 makine) (11 makine) 0.30

19 Specialty Steel Products Co. Rassal Sayıların Kullanımı 0-1 arasındaki rassal sayılar relatif frekans tablosuna uygun olarak talep üretmede kullanılacaktır. Event Existing Weekly Random Weekly Random Demand (hr) Probability Numbers Capacity (hr) Probability Numbers

20 Specialty Steel Products Co. 20-hafta simülasyon 10 Makine Çalışan Talep Haftalık Kapasite Haftalık Rassal Üretim Rassal Kapasite Boş Fazla Mesai Taşeron Hafta Sayısı (saat) Sayısı (saat) Saat Saat Saat Total Weekly average Pearson Education

21 Capital Bank An example of queuing system simulation Capital Bank is considering opening the bank on Saturdays morning from 9:00 a.m. Management would like to determine the waiting time on Saturday morning based on the following data: Data: There are 5 teller positions of which only two will be staffed. Ann Doss is the head teller, experienced, and fast. Bill Lee is associate teller less experienced and slower. 21

22 Capital Bank Data: Service time distributions: Ann s Bill s Service Time Probability Service Time Probability 0.5 minutes minute

23 Capital Bank Data: Customer inter-arrival time distribution: Inter-arrival time Probability 1Minutes Service priority rule is first come first served A simulation model is required to analyze the service. 23

24 Capital Bank Solution Calculating expected values: E (inter-arrival time) = 1 (0.65) (0.15) + 2 (0.15) (0.05) = 1.3minutes [75 customers arrive per hour on the average, (60 / 1.3 = 46.15)] E (service time for Ann) = 0.1 (0.05) + 1 (0.10) (0.05) = 2 minutes [Ann can serve 60 / 2 = 30 customers per hour on the average] E (Service time for Bill and Carla) = 1 (0.05) (0.15) (0.05) = 2.5 minutes [Bill and Carla can serve 60 / 2.5 = 24 customers per hour on the average] To reach a steady state the bank needs to employ all the three tellers ( = 54 > 46) 24

25 Capital Bank Simulation Logic If no customer waits in line, an arriving customer seeks service by a free teller in the following order: Ann, Bill. If all the tellers are busy the customer waits in line and takes then the next available teller. The waiting time is the time a customer spends in line, and is calculated by [Time service begins] minus [Arrival Time] 25

26 CAPITAL Simulation Demonstration Bill Ann Mapping Interarrival time minutes Mapping Ann s Service time minutes 26

27 CAPITAL Simulation Demonstration Ann Bill Mapping Interarrival time minutes Mapping Bill s Service time minutes 27

28 CAPITAL Simulation Demonstration 3 Waiting time

29 CAPITAL 1000 Customer Simulation Average Waiting Time in Line = Average Waiting Time in System = Ann Bill Carla Waiting Waiting Random Arrival Random Time Time Customer Number Time Number Start Finish Start Finish Start Finish Line System

30 CAPITAL 1000 Customer Simulation Average Waiting Time in Line = Average Waiting Time in System = Ann Bill Carla Waiting Waiting Random Arrival Random Time Time Customer Number Time Number Start Finish Start Finish Start Finish Line System This simulation estimates two performance measures: Average waiting time in line (W q ) = 1.67 minutes Average inter-arrival Average waiting time in the system W = minutes time =.80 minutes. To determine the other performance measures, we can use Little s formulas: Average number of customers in line L q =(1/.80)(1.67) = customers Average number of customers in the system = (1/.80)(3.993) = 4.99 customers. 30

31 Envanter Kontrol Örneği-Millennium Computer Corporation (MCC) MCC bilgisayar şirketi zaman zaman stoksuz kaldığı dokunmatik ekranlar için stok politikası belirlemek istemektedir. Şu anda stokları 28 e düştüğünde yeniden sipariş vermektedir. Siparişler 50 lik partiler halinde verilebilmektedir. Günlük talep ve siaprişi verilen ürünlerin teslim süreleri aşağıdaki tablolara uygun olarak rassallık içermektedir. Talep: Olasılık: Tedarik Süresi (days): Olasılık: Şirket ortalama servis düzeyini simüle etmek istemektedir. %98 servis düzeyini yakalamak için yeniden sipariş noktası ne olmalıdır?

32

33 Nakit Akışı Dengelemesi Simülasyonu Şirketin her ay 7500 YTL sabit gideri bulunmaktadır. Hammadde ve işgücü giderleri için satışların yüzdesi cinsinden iyimser, olası ve kötümser tahminler yapabilen işletme, üçgensel dağılıma uyan bu tahminlerini aşağıdaki gibi yapmışır. Maliyetler (Satış % si) İyimser Olası Kötümser Hammadde İşgücü Şirket aylık pazarlama giderlerini ise ortalaması satışlarının %5 i ve standart sapması da %1 i olacak şekilde normal dağılım formunda tahmin etmektedir. İşletme önümüzdeki 6 ay boyunca her ay elindeki fazla nakti aylık %1 getiri ile değerlendirebilmekte, kredi ihtiyacı olduğu aylarda da aylık %2 faizle kredi kullanabilmektedir. Güzçelik A.Ş. nin kasasında Ocak 2015 itibarıyla 2000 TL bulunmaktadır. Şirket 6 ayın sonundaki net nakit durumunu ve 6 ay boyunca kullanacağı toplam kredi miktarını belirlemek istemektedir.

34 B C D E F G H 2 GÜZÇELİK A.Ş. NAKİT AKIŞI DENGELEMESİ MODELİ 3 4 Satışlar Ocak Şubat Mart Nisan Mayıs Haziran 5 Ortalaması St.Sapması Satış Senaryoları s1 s2 s3 s4 s5 9 80% 90% 100% 110% 120% Senaryo 0.8 Maliyetler % 12 İyimser Olası Kötümser 13 Sabit Maliyet 7500 Hammadde Başlangıç Nakti 2000 İşgücü Aylık Faiz Getirisi 1% Ortalama St.Sapma 16 Aylık Kredi Faizi 2% Pazarlama Ocak Şubat Mart Nisan Mayıs Haziran 19 Dönem Başı Nakti Aylık Faiz Geliri Satışlar Sabit Maliyet Hammadde M İşgücü M Pazarlama M Kredi Ödemesi Nakit Dengesi Alınan Kredi Miktarı Son Nakit Dengesi Ayın Sonunda Net Nakit Toplam Kullanılan Kredi Miktarı

35 Sounds Alive Company Sounds Alive Company ev sinema sistemleri pazarına girmek istemektedir. Şirket yönetimi 4 yıllık kar simülasyonu yapacaktır. Karı etkileyen faktörlerden belirsiz olanlar aşağıda verilmiştir. 4 yılın sonunda 5milyonTL nin üstünde kar etme olasılığını simüle ediniz. Mean Std Dev Rev. Growth % 9,9% 1,4% (normally distributed) Labor Growth % 3,5% 1,0% (normally distributed) Malzeme SG&A Olasılık Küm. Ol. Büyüme% Olasılık Küm. Ol. Büyüme% 0,10 0 4,0% 0, ,0% 0,15 0,10 5,0% 0,10 0,05 16,0% 0,15 0,25 6,0% 0,20 0,15 17,0% 0,25 0,40 7,0% 0,25 0,35 18,0% 0,25 0,65 8,0% 0,20 0,60 19,0% 0,10 0,90 9,0% 0,20 0,80 20,0% Overhead Olasılık Küm. Ol. Büyüme% Olasılık Küm. Ol. Vergi Oranı 0,20 0 2,0% 0, ,0% 0,35 0,20 3,0% 0,30 0,15 32,0% 0,25 0,55 4,0% 0,30 0,45 34,0% 0,20 0,80 5,0% 0,25 0,75 36,0% Bose'ın pazara girme Ol. 50,0%

36 Sounds Alive Company

37 Sounds Alive Company

38 Problemler 1. Ankara şehirlerarası otobüs terminaline yaz sezonunda gelen otobüslerin gelişlerarası geçen süreleri aşağıdaki tabloda verilmiştir. Gelişlerarası Süre Olasılık 0 dakika dakika dakika dakika 0.20 Otogara gelen otobüsler öncelikle giriş işlemlerini yaptırırlar ve ardından yolcu indirme ya da yolcu alma peronlarına yanaşırlar. Giriş işlemleri ortalaması 6 dakika olan üstel dağılım yapısı göstermektedir. Yaz sezonunda gelen otobüslerin %60 ı yolcu bindirme %40 ı da yolcu indirme peronlarına yanaşmaktadırlar. Otobüsler yolcu bindirme ya da indirme süreçlerini sonlandırdıktan sonra çıkış işlemlerini yaptırırlar. Otogarda yolcu alan ve yolcu indiren otobüsler için iki ayrı çıkış gişesi bulunmaktadır. Otogarda harcanan süreler şu şekildedir: Yolcu Bindirme Yolcu İndirme Çıkış İşlemleri Süre Olasılık Süre Olasılık Süre Olasılık 4 dakika dakika dakika dakika dakika dakika dakika dakika dakika dakika dakika dakika 0.05 Bir günlük bir zaman dilimi için otobüslerin terminalde harcadıkları ortalama süreyi tahmin eden bir simülasyon modeli geliştiriniz. Otobüslerin terminalde harcadıkları ortalama süre %95 güvence aralığında ne kadardır?

39 1. İstanbul metrosunda çeşitli noktalara konulan jetonlu gazoz makinelerinde günlük talep, geçmiş satışlar gözönünde bulundurulduğunda her bir makine için 65 ile 200 kutu arasında aşağıdaki olasılıklar oranında değişmektedir. Talep Olasılık Makine 650 kutu gazoz alabilmektedir. Gazozların maliyeti 0.25 YTL ve satış fiyatı da 0.6 YTL dir. Makineyi doldurmanın ortalama işçilik ve nakliye maliyeti 15 YTL dir. Makine boş olduğu anlarda talebi karşılanmayan bir müşterinin maliyetinin 1 YTL olduğu tahmin edilmektedir. Dolu bir makinanın ortalama olarak kaç günde boşalacağını simüle ediniz. Makinanın bir önceki şıkta belirlenen gün sayısında yeniden doldurulduğunu varsayarsak bir makineden günlük ne kadar kar elde edilir?