Exponential Distribution. diger. Probability Distributions. Sürekli Şans Değişkenleri. 0 diger. SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Exponential Distribution. diger. Probability Distributions. Sürekli Şans Değişkenleri. 0 diger. SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI"

Altan Yakin
8 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Probability Distributions Probability Distributions SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER ve OLASILIK DAĞILIMLARI Dr. Mehmet AKSARAYLI Dokuz Eylül Üniversitesi İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi Ekonometri Bölümü Yöneylem Araştırması Anabilim Dalı Discrete Probability Distributions Binomial Poisson Continuous Probability Distributions Sürekli Uniform Gamma Üstel 2 Sürekli Şans Değişkenleri Sürekli bir aralıktaki tüm değerleri alabilen değişkenlerdir. Bir yolun uzunluğu 25m < < 50m olabilir., D tanım aralığına sahip sürekli bir şans değişkeni olsun. f() in e ait bir olasılıkyoğunluk fonksiyonu (oyf) olabilmesi için; Her için olmalıdır. f ( ). d D = E() =. f ( ). d D V() = E[ ( i E( 2 ) E( ) 3 2 ÜSTEL (EPONENTIAL) DAĞILIM t (zaman) aman ekseninde belirli bir zaman aralığındaki olay sayısı Poisson, iki olay arasında geçen süre ise ÜSTEL dağılış gösterir. Bir(ilk) olayın (r ) meydana gelmesine kadar geçen zamanın olasılığı ile ilgili dağılış üslü dağılıştır.. e f ( ) 0 E( ) 0 diger V ( ) 2 : birim zamandaki olay sayısı P( ) P( ) e. e 0 de 4 Eponential Distribution Shape of the eponential distribution f() = 3.0 (mean =.333).0 (mean.0).5 (mean = 2.0) ÖRNEK A marka televizyonun ömrü yılolarakşans değişkeni ile gösterilsin. in oyf: E ( ) yil. e 0 f ( ) V ( ) diger Televizyonun ömrünün en az yıl olması olasılığı nedir? P( ). e d e. e

Probability Distributions Sürekli Uniform Gamma Üstel 2 Sürekli Şans Değişkenleri Sürekli bir aralıktaki tüm değerleri alabilen değişkenlerdir. Bir yolun uzunluğu 25m < < 50m olabilir.

2 Eample Eample: Customers arrive at the claims counter at the rate of 5 per hour (Poisson distributed). What is the probability that the arrival time between consecutive customers is less than five minutes? Time between arrivals is eponentially distributed with mean time between arrivals of 4 minutes (5 per 0 minutes, on average) / = 4.0, so =.25 P( < 5) - e - e -(.25)(5) =.735 Özellikleri:. Çan-Şekilli ve simetrik 2. Ortalaması, modu ve medyanı eşit 3. Orta yayılımı Şans değişkeni sonsuz aralığa sahip f() Ortalama Mod Medyan ın Önemi. Çoğu rassal süreçleri ve sürekli olayları tanımlar. 2. İstatistiksel yorumlamanın temelidir. 7 8 Sürekli ve kesikli şans değişkenlerinin dağılımları birlikte ele alındığında istatistikte en önemli dağılım dağılımdır. dağılım ilk olarak 733 te Moivre tarafından p başarı olasılığı değişmemek koşulu ile binom dağılımının limit şekli olarak elde edilmiştir. 774 te Laplace hipergeometrik dağılımını limit şekli olarak elde ettikten sonra 9. yüzyılın ilk yıllarında Gauss 'un katkılarıyladanormaldağılım istatistikte yerini almıştır. 9 dağılımın ilk uygulamaları doğada gerçekleşen olaylara karşı başarılı bir biçimde uyum göstermiştir. ın göstermiş olduğu bu uygunluk adının olması sonucunu doğurmuştur. İstatistiksel yorumlamanın temelini oluşturan, bir çok rassal süreçlerin dağılımı olarak karşımıza çıkmaktadır. dağılış kullanımının en önemli nedenlerinden biride bazı varsayımların gerçekleşmesi halinde kesikli ve sürekli bir çok şans değişkeninin dağılımının normal dağılışa yaklaşım göstermesidir. 0 Olasılıkları Elde Etmek; Probability as Area Under the Curve f() Olasılık eğrinin altındaki alan ile belirlenir. P ( a b) The total area under the curve is.0, and the curve is symmetric, so half is above the mean, half is below f() P( ) 0.5 P( ) a b P( ).0 2

Time between arrivals is eponentially distributed with mean time between arrivals of 4 minutes (5 per 0 minutes, on average) / = 4.0, so =.25 P( < 5) - e - e -(.25)(5) =.735 Özellikleri:.

3 f() Empirical Rules What can we say about the distribution of values around the mean? There are some general rules: σ σ σ 8.2% ± σ verilerin yaklaşık 8% içerir σ 3 The Empirical Rule ± 2σ verilerin yaklaşık 95% içerir ± 3σ verilerin yaklaşık 99.7% içerir 2σ 2σ 3σ 3σ 95.44% 99.72% 4 Olasılık Yoğunluk fonksiyonu Parametrelerin Değişikliğinin Etkileri ( & ) 2 ( ) 2 f ( ) e 2 f() = şans değişkeninin frekansı = 3.459; e = = populasyonun standart sapması = Şans değişkeninin değeri (- < < ) = populasyon ortalaması f() A B C C C 5 Olasılık ı Tablolarının Sonsuz Sayısı Olasılık, eğrinin altında kalan alana eşittir! f() d Pc ( d) f ( ) d? c dağılımlar, ortalama ve standart sapma açısından farklılık gösterirler. f() Her dağılım için bir tablo gerekir. c d 7 Bu da sonsuz sayıda tablo anlamına gelir! 8

72% 4 Olasılık Yoğunluk fonksiyonu Parametrelerin Değişikliğinin Etkileri ( & ) 2 ( ) 2 f ( ) e 2 f() = şans değişkeninin frekansı = 3.459; e = 2.

4 Standart Standart z 0 Standartlaştırma Örneği Standart Artık tek tablo yeterli!!! 9 = Olasılığın Elde Edilmesi Standart Olasılık Tablosu (Kısmen).02 Olasılıklar Örnek; P(3.8 5) =? = 5 Standart Örnek P(2.9 7.) =? Standart.4 P( 8) =? 0 Örnek Standart =

255 Olasılığın Elde Edilmesi Standart Olasılık Tablosu (Kısmen).02 Olasılıklar 0.2 0.0478 2 Örnek; P(3.8 5) =? 3.

5 0 = 5 Örnek P(7. 8) =? Standart z Alıştırması General Electric için Kalite Kontrol uzmanı olarak çalışıyorsunuz. Bir ampulün ömrü = 2000 saat, = 200 saat olan dağılım göstermektedir. Bir ampulün A & 2400 saat arası dayanma B. 470 saatten az dayanma olasılığı nedir? 2 Çözüm A) P( ) =? Çözüm B) P( 470) =? Standart Standart = 200 = = = Bilinen Olasılıklar İçin Değerlerinin Bulunması Bilinen Olasılıklar İçin Değerlerinin Bulunması P().27 ise nedir?.27 Standart olasılık Tablosu (Kısmen) Standart = 5? 5(0.3)

Çözüm B) P( 470) =? 2400 2000 20. 200 Standart 470 2000 200 25. Standart = 200 = 200.4772.5000.0040.4 = 2000 2400 2.0 27 470 = 2000-2.

6 lik Varsayımı. Verilerin karakteristiklerini dağılımın özellikleriyle karşılaştırın 2. Olasılık Plot unu değerlendirin Bilgisayarla çizin yada Verileri standartlaştırılmış kantil değerlerine karşı işaretleyin. İçin Olasılık Plot u Düz bir çizgi Olmalı!!! 3 Olasılık Plot ları Sola çarpık Sağa çarpık Dikdörtgensel U-Şekilli

değerlerine karşı işaretleyin. İçin Olasılık Plot u 0-2 - 0 2 Düz bir çizgi Olmalı!

Benzer belgeler

SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ. Üstel Dağılım Normal Dağılım

SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ. Üstel Dağılım Normal Dağılım SÜREKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİ Üstel Dağılım Normal Dağılım 1 Üstel Dağılım Meydana gelen iki olay arasındaki geçen süre veya bir başka ifadeyle ilgilenilen olayın ilk defa ortaya çıkması için geçen sürenin