Düzlemsel Yüklü Tabakalı Kompozit Plakalarda Elasto-Plastik Gerilme Analizi

Transkript

1 Fırat Üniv. Fen ve Müh. Bil. Dergisi Science and Eng. J of Fırat Univ. 2 (1), , 28 2(1), , 28 Düzlemsel Yüklü Tabakalı Kompozit Plakalarda Elasto-Plastik Gerilme Analizi Hamit ADİN 1 ve Bahattin İŞCAN 2 1 Dicle Üniversitesi Şırnak Meslek Yüksek Okulu, 735, Şırnak 2 Dicle Üniversitesi Batman Meslek Yüksek Okulu, 726, Batman hadin@dicle.edu.tr (Geliş/Received: ;Kabul/Acepted: ) Özet: Bu çalışmada, üniform yayılı düzlemsel çekme yüklerine maruz kompozit bir plakada elasto-plastik gerilme analizi üzerinde durulmuştur. Malzeme olarak alüminyum matriks ve çelik fiberden oluşmuş çelik alüminyum kompoziti seçilmiştir. Çalışmada sonlu elemanlar metodu (FEM) kullanılarak sayısal çözüm yapılmıştır. Çözümde dokuz düğümlü izoparametrik elemanlar kullanılmıştır. Üniform yayılı çekme yükleri, ilk akmayı başlatan değerden itibaren kademeli olarak arttırılarak farklı fiber takviye açılarındaki plakalara uygulanıp elasto-plastik gerilme analizi yapılmıştır. Takviye açısının her değeri için üniform yayılı çekme yüklerinin artmasıyla, levha üzerindeki gerilmelerin değeri ve plastik bölgelerin alanı artmıştır. Anahtar Kelimeler: Elasto-Plastik Gerilme, Metal-Matriks Kompozitler, Sonlu Elemanlar Yöntemi Planes Loaded Composite Laminate Plates Elasto-Plastic Stress Analysis Abstract: In this study, the elasto-plastic stress analysis in a composite laminate plate which has planes loaded is made under the uniform tension loads. For material, steel aluminium composite with aluminium matri and steel fiber are selected. In this study, numerical solution is done by using finite element methods (FEM). For solution, nine node isoparametric quadrilateral element is used. The elasto-plastic stress analysis is done by increasing uniform tension loads gradually from the value of the first yield and by applying to various fiber orientation angles. For each orientation angle, the uniform tension loads increased and the area of plastic zones also increased. Keywords: Elasto-Plastic Stresses, Metal-Matri Composites, Finite Element Method.

2 H.Adin ve B.İşcan 1. Giriş Geçmişten günümüze kadar kompozit yapılı malzemeler üzerine birçok çalışma yapılmıştır. Malzemelerin kullanım yerlerine ve özelliklerine bağlı olarak ihtiyaç duyulan mekanik özellikler üzerinde değişiklikler yapılmıştır. Bundan dolayı bu çalışmada kompozit yapılı bir plakada meydana gelen elasto-plastik gerilme analizi üzerinde durulmuştur. Kompozit malzemeler ile ilgili araştırmaların çoğu 2. yüzyılın ikinci yarısından günümüze kadardır. Tabiatta bulunan ilk kompozit malzeme örneği çam ağacıdır. Çam ağacının içi kışın sert ve kırılgan, yazın ise yumuşak ve esnektir. En ilkel kompozit malzeme örneği ise saman takviyeli kerpiçlerdir. Günümüzde en çok kullanılan kompozitler; cam fiber reçine, tungsten molibden takviyeli alüminyum, karbon ve fiber takviyeli plastiklerdir[1,2]. Bilim adamları, kompozit malzemelerin özellikle son otuz yıldaki gelişimlerine dikkat çekmişlerdir. Daniel ve Ishai ye göre; fiber takviyeli kompozit malzemeler ilk olarak 1942 de elektrik malzemelerinde, 197 lerin sonundan başlayarak da havacılık, otomotiv, spor aletleri ve biomedikal sanayide kullanılmaya başlanmıştır. 198 lerde ise seramik ve metal matriksler kullanılmıştır. 199 lı yıllardan itibaren uzay sanayide de yaygın biçimde kullanılmaya başlanmıştır [3]. Kompozit malzemelerin kullanımı günümüzde çok hızlı bir şekilde artmaktadır. Makine elemanının çalışma ortamına göre, mukavemet, yüksek direngenlik, ısıya dayanıklılık, yalıtkanlık, yorulma ömrü gibi istenilen özellikleri sağlaması, kompozit malzemeyi avantajlı kılar. Örneğin, malzeme mukavemetinin önemli olduğu bir durumda metal matriksli kompozitlerin kullanımı, cam fiberden imal edilmiş plastiklere göre daha avantajlıdır. Çelik fiber ve alüminyum matrikslerin plastik deformasyonu, geometrik süreksizlik sonucu oluşan gerilme yığılmalarını azaltıcı yönde rol oynar[11]. Whitney tarafından tabakalı plakaların davranışlarının analizi için sınır değer çözümüne girmeden açılı dizilmiş plaka problemlerinin lineer denklem çözümleri bulunmuştur[1]. Anizotropik plaka ve kabukların elasto-plastik sonlu eleman analizi Owen tarafından araştırılmıştır[9]. Arslan ve Turgut, üzerinde U çentikler açılmış eksenel tekil yüklü düzlem izotropik levhalarda gerilme analizini sonlu elemanlar metodunu kullanarak yapmışlardır[7]. Whitney ve Pagano, dairesel delikli ve sonsuz ortotropik levhada normal gerilme dağılımı için yaklaşık çözüm üzerine çalışmışlardır. Delikli ortotropik levhalarda yaklaşık çözümün kullanılması tasarım ve imalatçılar için çok yararlı olmuştur[12]. Zienkiewicz, Von-Misses ve Coulomb akma kriterlerini kullanarak farklı mühendislik problemlerinde plastik bölgelerin yayılışını incelemiştir[6]. Tsai, takviyeli kompozitler için kompozit numuneler üzerinde üst ve alt sınırlar türetmiş fiber takviyeli kompozitler için cam fiber takviyeli reçine kompozitlerdeki deneysel veriler ile uyumlu olan E 1,E 2,γ 12 ve G 12 bağıntılarını elde etmiştir [5]. Özbay, basit mesnetli simetrik ve antisimetrik kompozit plakaların düzlemsel olarak yüklenmesi ile elasto-plastik gerilme analizini yapmıştır. Çok sayıda iterasyon kullanılarak sonlu elemanlar metodu ile çözüm yapılmıştır[8]. Çalışmamızda metal matriksli düzlem kompozit levhalarda elasto-plastik gerilme analizi yapılmıştır. İlk akmayı başlatan yükleme değerinden başlanarak, levhaya uygulanan üniform yayılı çekme yükleri kademeli olarak arttırılmıştır. Sonuçta elastik, elasto-plastik gerilmeler ve etkileri grafikler yardımıyla gösterilmiştir. 2. Materyal ve Metot Malzemeye bir çekme kuvveti uygulandığında malzemede oluşan gerilmeler elasto-plastik gerilme analizi ile öğrenilir. Bu analiz iki adımlıdır. Birincisi, yük artışı sırasında elastik şekil değiştirme hesaplanır ve başlangıç şekil değiştirmesi olarak kabul edilir. İkincisi ise, plastik deformasyon hesaba katılırken her yük artışında gerilme-şekil değiştirme ilişkilerinin de belirlenmesidir. Yani plastik bölgede plastik gerilme analizi yapılır. Analizler için çekme diyagramından yararlanılır. Artışlı elastisite işleminin hesaplama açısından en ciddi olumsuzluğu şudur; yapının matriks hesaplaması her adımda değişmektedir. 194

3 Düzlemsel Yüklü Tabakalı Kompozit Plakalarda Elasto-Plastik Gerilme Analizi Çözümün iterasyonlu işlemi sonlu elemanlar yöntemiyle yapılmaktadır. Başlangıç gerilme yöntemi Zienkiewicz tarafından artışlı elastisite işlemine alternatif bir yaklaşım olarak geliştirildi. Bunun kullanılmasıyla ideal plastisite artışı gerilmeyi tek olarak belirleyen şekil değiştirmede bir ayarlama işlemi oluşturulur. Bu durumda başlangıç gerilmeleri yapı boyunca elastik olarak dağıtılmış olur. Bu yaklaşım başlangıç işleminin başarılı olmasını sağlar. Bu en hızlı yaklaşımdır. Bu yöntemde elasto-plastik gerilme analizine başlamak için, elasto-plastik bölgelerdeki bir boyutlu çekme örneği kullanılır, daha sonra iki ve üç boyutlu gerilmelere geçilir. Bu çalışmada kullanılan plaka, çelik fiber ile takviyelendirilmiş alüminyum makriksli kompozit malzemedir. Plastik bölgede gerilmeşekil değiştirme ilişkisi Ramber-Osgood tarafından σ = σ + Kε (2.1) p n p ifadesi ile verilmiştir. bu bağıntı bir çok malzemenin gerilme-şekil değiştirme eğrilerini hassas bir şekilde vermek için kullanılır. Bu bağıntıya göre, elastik ve plastik şekil değiştirmeler ayrı ayrı ele alınıp toplanmıştır. Denklem (2.1) deki bağıntı toplam şekil değiştirmeye uygulanırsa; ε = ε + ε = σ / E + ε (2.2) n p p olur. Burada görüldüğü gibi elastik şekil değiştirmeyi gerilme cinsinden ifade etmek için E(Elastisite Modülünden) yararlanılır. Denklem (2.1) ve (2.2) birleştirilirse gerilme ve şekil değiştirme arasında şu bağıntı ortaya çıkar; 1 ε = σ / E + (σ / K) n (2.3) Burada K şekil değiştirme sertleşmesi, n ise şekil değiştirme sertleşmesi üssüdür. Bunlar tek eksenli çekme deneyi sonucu elde edilen çekme eğrisinden alınan değerler yardımıyla hesaplanabilir. n σ = Kε p ifadesinin logaritması alınırsa, logσ = log k + n.logε p ve y = a + b şeklinde bir doğru denklemi ortaya çıkar. Buradan K ve n bulunur. Çalışmada iki boyutlu düzlemsel gerilme hali incelendiği için Tsai-Hill kriterine göre elde edilen gerilme eşdeğer gerilme olur. { ( ) ( ) } τ 12. / S σ = σ σσ + σ. / y + (2.4) 2.1. Sonlu Elemanlar Metodu Sonlu elemanlar metodu makine mühendisliğinin çeşitli problemlerinin çözümü için son derece elverişlidir. Bu metotla elastik sürekli ortamda gerilme ve deformasyon dağılımlarının çözümünü araştırılabilir. Elastik ortamda temas noktalarının gerçek sayısı sonsuz olduğu için en büyük zorluk buradadır. Değişik geometrili şekillere kullanılabilmesi, sınır şartlarının kolaylıkla uygulanması, problemlere cevap verecek kadar esnek olması ve tam çözüme eleman sayısı arttıkça yaklaşabilmesi gibi çeşitli avantajlar nedeniyle çok tercih edilir Sonlu elemanlar modeli ile problem çözümü için aşağıdaki işlemler yapılmalıdır ; 1)Cisim sonlu sayıda elemanlara ayrılır. 2)Her eleman için rijitlik matrisi oluşturulur. 3)Sınır şartları belirlenir. 4) ve y doğrultularında yer değiştirmelerin sıfır olduğu noktalar belirlenir. 5)Hangi düğüm noktalarında kuvvet olduğu belirlenir. 6)Sistemin rijitlik matrisi belirlenir. 7) Yer değiştirme bulunur. 8) Her bir eleman için ayrı ayrı gerilmeler bulunur. 9) Eşlenik gerilmeler hesaplanır. 1) Akma kontrolü yapılır. 11) Yeterli yakınsamanın görüldüğü yerlerde artık gerilmeler elde edilir. Sonlu elemanlar analizi yönteminin en büyük özelliği, her bir elemanın ayrı ayrı formülize edilebilmesidir[13]. 195

4 H.Adin ve B.İşcan 2.2 Sonlu Elemanlar Metodunun Plaka Analizinde Kullanılması Kompozit bir plakanın davranışını analiz etmek için beş adet şekil değiştirme boyutu vardır. Bunlar u,v,w,ψ (,y) ve ψ y (,y) şeklindedir. u(, y,z) = u (, y) + zψ (, y) v(, y,z) = v (, y) + zψ (, y) (2.5) y w(, y,z) = w(, y) Burada u, v ve w orta yüzey üzerindeki yer değiştirmeler ψ, ψ sırasıyla ve y y eksenlerine dik olan dönme açılarıdır. Şekil değiştirme-yer değiştirme bağıntıları kullanıldığında eğilme şekil değiştirmeleri-nin plaka kalınlığı boyunca lineer değiştiği kabul edilir[3]. Ortotropik plaka için; asal malzeme eksenleri malzemenin doğal eksenleri ile çakışır[8]. σ C11 C12 C16 ε σy = C12 C22 C26 εy τ y C16 C26 C 66 γ y (2.6) τy C44 C45 γyz τ = z C45 C 55 γ z Burada C ij rijitlik matrisidir. Şekil değiştirmeler, plakanın kalınlığı boyunca malzeme özelliği nedeniyle sürekliliğini korur ve lineer davranış gösterir (Kirchhoff hipotezi). Fakat gerilmeler, plaka tabakaları farklı olduğundan kalınlık boyunca sürekli değildir. Yani lineer değildir[4]. Rijitlik matrisi minimum potansiyel enerji yardımıyla bulunabilir. Nümerik çözüm sırasında takviye açısına ve simetrik antisimetrik durumuna göre değişik kuvvetler kullanıldı. Bu tür çözümlerde hesaplanan gerilmeler ve gerçek gerilmeler çakışmalıdır. Bu durumu sağlamak için uygulanan kuvvetler ile paket program yardımıyla bulunan kuvvetler karşılaştırılmalıdır. Elasto-plastik gerilmeler ile elastik gerilmeler arasındaki fark artık gerilmeleri verir. Bu çalışmada kullanılan plaka ve yükleme durumu şekil 2.1 de görülmektedir. Plaka 686 ebadında olup düzlemsel çekme kuvvetine(q ) maruz kalmaktadır. Bu plakanın elastik ve elasto-plastik gerilme analizinin yapılması istenmektedir. Dolayısıyla bulunmak istenen gerilmeler; elastik gerilmeler ve elastoplastik gerilmeler Gerilme analizi sonlu elemanlar yöntemiyle yapılmıştır. Bu analizde Fortran paket programı kullanılmıştır. Analizlerde dokuz düğümlü izoparametrik elemanlar seçilmiştir. Sonlu elemanlara ayırmada 36 eleman ve 169 düğüm bulunmaktadır. Plaka, 4 tabakalı alınarak çözüm yapılmıştır. Çalışmamızda 2, 3 ve iterasyonları kullanılmıştır.plakanın ilk akmayı doğuran yük tesbit edilmiştir. Her bir tabakanın takviye açıları ve toplam yükleme miktarları değiştirilerek elastik ve elasto-plastik gerilme elde edilmiştir. Daha sonra Özbay dakine benzer bir şekilde tablolara işlenmiştir[8]. Tablo 2.1. Takviye açılarına bağlı akma yükü (MPa Takviye [3 /-3 ] 2 [45 /-45 ] [6 /-6 ] 2 Açısı Q 2 [9 / ] 2 Simetrik Q Antisim Tablo2.2 den tablo2.25 e kadar tablolar halinde gösterilmiş olan gerilme, tablo 2.1 deki akmayı başlatan yük kullanılarak elde edilmiştir. Yukarıdaki durumlar 2,3 ve 4 iterasyonları için 2.3 Problemin Çözümü 196

5 Düzlemsel Yüklü Tabakalı Kompozit Plakalarda Elasto-Plastik Gerilme Analizi y z Q 6 t t/2 t/2 8 Şekil 2.1 Tabakalı kompozit plaka t= Plakanın kalınlığı ayrı ayrı yapılmıştır. Her bir durum için bulunan gerilme tablolarla ve grafiklerle gösterilmiştir. Tablo 2.2.: Simetrik durumda gerilme Q =26.3 Tablo 2.4.: Simetrik durumda gerilme Q = Tablo 2.3.: Simetrik durumda gerilme Q =26.3 Tablo 2.5.: Antisimetrik durumda gerilme Q =

6 H.Adin ve B.İşcan Tablo 2.6.: Antisimetrik durumda gerilme Q = Tablo 2.7.: Antisimetrik durumda gerilme Q = Tablo 2.8.: Simetrik durumda gerilme Q = Tablo 2.9.: Simetrik durumda gerilme Q = Tablo 2.1.: Simetrik durumda gerilme Q = Tablo 2.11.: Antisimetrk durumda gerilme Q = Tablo 2.12.: Antisimetrk durumda gerilme Q =

7 Düzlemsel Yüklü Tabakalı Kompozit Plakalarda Elasto-Plastik Gerilme Analizi Tablo 2.13.: Antisimetrk durumda gerilme Q = Tablo 2.17.:Antisimetrik durumda gerilme Q = Tablo 2.14.:Simetrik durumda gerilme Q = Tablo 2.15.:Simetrik durumda gerilme Q = Tablo 2.16.:Simetrik durumda gerilme Q = Tablo 2.18.:Antisimetrik durumda gerilme Q = Tablo 2.19.:Antisimetrik durumda gerilme Q =

8 H.Adin ve B.İşcan Tablo 2.2.:Simetrik durumda gerilme Q = Tablo 2.24.:Antisimetrik durumda gerilme Tablo 2.21.:Simetrik durumda gerilme Q = Tablo 2.22.:Simetrik durumda gerilme Q = Tablo 2.23.:Antisimetrik durumda gerilme Q = Q = Tablo 2.25.:Antisimetrik durumda gerilme Q = Sonuçlar Düzlemsel yüklenmiş alüminyum çelik fiber takviyeli plakalarda paket program yardımıyla elasto-plastik gerilme analizi yapılmıştır. Plastik gerilmeler ve elasto-plastik gerilmeler simetrik ve antisimetrik şekilde tabakalı [9 / ] 2,[3 /- 3 ] 2, [45 /-45 ] 2, [6 /-6 ] 2 takviye açısı durumları incelenmiştir. Ayrıca her durum için akma noktaları belirlenmiştir. Yukarıdaki bilgiler ışığında şu sonuçlar elde edilmiştir: 1) Her bir tabaka için akmayı başlatan yük simetrik ve antisimetrik tabakalanmaya göre elde edilmiştir(tablo 2.1). Artan açı ile ilk akmayı başlatan yük azalmıştır. 2

9 Düzlemsel Yüklü Tabakalı Kompozit Plakalarda Elasto-Plastik Gerilme Analizi Yani büyük açının olduğu tabakalarda daha erken akma başlamıştır. Örnek olarak [3 /-3 ] 2 için akma değeri MPa iken bu değer [9 / ] 2 da 26.3 MPa olmuştur. 2) Açılı düzenleme tabakalı plakanın akma noktasını etkiler. [9 / ] 2 haricinde yani [3 /- 3 ] 2, [45 /-45 ] 2 ve [6 /-6 ] 2 takviye açılı durumlardaki tüm tabakalarda akma vardır. [9 / ] 2 durumunda ise 1,2 ve 7,8 tabakalarında akma vardır. Ancak 3,4,5 ve 6 da akma yoktur. 3) Plastik bölgenin genişlemesi, antisimetrik plakanın üst ve alt tabakalarında farklıdır. 4) [9 / ] 2 takviye açılı plakada 9 lik tabakada meydana gelen σ elastik gerilme bileşeni ( tablo 2.2. de Q =26.3 MPa iken 9 deki elastik gerilme 26.4 MPa elde edilmiştir. de ise 3.63 MPa olmuştur.) lik tabakadakinden daha küçüktür. Yükleme tipi ve takviye açısı nedeniyle σ y elastik ve elasto-plastik gerilme bileşenleri σ ten daha küçük bulunmuştur. 5) Her bir tabakaya ait elastik ve elasto-plastik gerilme açı oryantasyonuna bağlı olarak değişmiştir. 6) Kuvvet akma noktasından itibaren arttırıldığı için elastik ve elasto-plastik gerilmeleri beklenildiği gibi artmıştır. 7) τ y gerilmeleri, uygulanan kuvvetler arttıkça [9 / ] 2 takviye açıları dışında azalmıştır. Dolayısıyla yüzeydeki kayma gerilmeleri de azalmıştır. 8) Çalışmamızda kullanılan plakalara düzlemsel kuvvet uygulandığı için, τ yz ve τ z bileşenleri sıfır bulunmuştur. Elasto-Plastik Gerilmeler σ(mpa) θ(derece) 2 iteras. 3 iteras. 4 iteras. Şekil 3.1: Takviye açısına bağlı olarak σ elasto-plastik gerilme bileşeninin değişimi Elasto-Plastik Gerilmeler σy(mpa),7,5,3,1 -, ,3 -, ,7 θ(derece) 2 iteras. 3 iteras. 4 iteras. Şekil 3.2: Takviye açısına bağlı olarak σ y elasto-plastik gerilme bileşeninin değişimi 21

10 H.Adin ve B.İşcan Elasto-Plastik Gerilmeler τy(mpa) θ(derece) 2 iteras 3 iteras 4 iteras Şekil 3.3: Takviye açısına bağlı olarak τ y elasto-plastik gerilme bileşeninin değişimi 22

11 Düzlemsel Yüklü Tabakalı Kompozit Plakalarda Elasto-Plastik Gerilme Analizi 4. Kaynaklar 1. Vinson, Jack R., ve Chou, Tsu-Wei, (1975), Composite Materials and Their Use in Structures, Aplied Science Publishers London. 2. Sayman, O. Aksoy, S.(198), Kompozit Malzemeler, E.Ü. Makine Fakültesi Makina Mühendisliği Bölümü, Bornova/İzmir. 3. Daniel,I,M.,İshai,O.(1994), Engineering Mechanics of Composite Material, by Oford University, Press, İnc. 4. Jones, Robert M. (1975), Mechanics of Composite Materials, Mc Graw-Hill, Kogakusha. 5. Tsai,S. W. (1966), Mechanics of Compostie Material, AIAA Journal, 4, Zievkiewicz, O.C., Valliapan, S. (1969), I. P. King, İnt. Journal for Numerical Methods in Eng. 75-1, 1 7. Arslan, N. and Turgut, A. (1996),The 1996 Asme İnternational Mechanical Engineering Congress and Eposition, Atlanta, Georgia, 92, Özbay, M., (1999), Stress Analysis of Metal Matrı Lamınated Plates Under In Plane Loadıng, Journal of the Intitute of Science and Technology of Gazi University Ankara. 9. Owen,D.R.J. (1983), İntternational Journal for Numerical Methods in Eng., 19, Whitney,J.M.,(1969), The Effect of Transverse Shear Deformation on the Bending of Laminated Plates, J.Composite Materials. 11. Gür, M.,Kaman, M.O., (21) Ortasında Dikdörtgen Delik Bulunan Düzlem Kompozit Levhada Elasto-Plastik Gerilme Analizi F.Ü. Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi 13,2, Whitney, J.M.,and Pagano N.J.,(197), Shear Deformation in Heterogeneous Anisotropik Plates, J.Appl.Mech. 13. Adin, H.,(21), Düzlemsel Yüklü Tabakalı Kompozit Malzemelerde Elasto-plastik Gerilme Analizi, Gazi Üniv. Fen Bil. Enst. Yüksek Lisans Tezi. 23