İSPAT YAPMA VE İSPATTA SOMUT MODELDEN YARARLANMA ÜZERİNE SINIF ÖĞRETMENİ ADAYLARININ GÖRÜŞLERİ

Transkript

1 İSPAT YAPMA VE İSPATTA SOMUT MODELDEN YARARLANMA ÜZERİNE SINIF ÖĞRETMENİ ADAYLARININ GÖRÜŞLERİ Bekir Kürşat DORUK Yasemin KIYMAZ Tuğba HORZUM Ahi Evran Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, İlköğretim Matematik Öğretmenliği Bölümü Okula başlamalarıyla birlikte öğrencilerin matematiksel deneyimleri içerisine ispatı yerleştirme fikri, erken dönemde ispat konusunun önemini arttırmaktadır. Ancak öğrencilerin okulun ilk yıllarda karşılaştıkları sınıf öğretmeni adaylarının ispat yapma ile ilgili düşünceleri yeterince araştırılmamıştır. Buradan hareketle hem formal ispat, hem de görsel ispatlar için somut modelden yararlanmaya yönelik sınıf öğretmeni adaylarının düşüncelerinin araştırılmasının yararlı olacağı düşünülmüştür. Bu amaçla 184 sınıf öğretmeni adayına matematiksel ispat yapmaya yönelik görüş anketi uygulanmış, katılımcılardan 32 kişilik bir alt grupla (a+b) 3 özdeşliğinin geometrik ispatı için somut model geliştirme ve bu modeli kullanma etkinliği düzenlenmiştir. Sonra etkinliğe katılan 11 öğretmen adayı ile yarı yapılandırılmış görüşmeler yapılmıştır. Görüş anketinden elde edilen veriler incelendiğinde öğretmeni adaylarının matematiksel bir sonucun doğruluğuna inanmada, ve matematiksel olguları açıklamada ispatın önemli ve gerekli olduğunu düşündükleri görülmüştür. Ancak adayların büyük bölümü zaten ispatlanmış önermeleri kendilerinin ispatlamaya çalışmasının gereksiz olduğunu, bunu sevmediklerini, sıkıcı bulduklarını ve bu konuda kendilerine güvenmediklerini belirtmiştir. Yapılan görüşmelerde gerek formal ispat görüş anketinden yüksek puan, gerekse düşük puan alan öğretmen adayları ispatların mümkün olduğu sürece somut modellerle desteklenmesi gerektiğini, bunun anlamlı öğrenmeye, kalıcılığa ve matematiği sevmeye katkı sağlayacağını belirtmişlerdir. Özet Anahtar Kelimeler: Sınıf öğretmen adayları, ispat yapma, görsel ispat, somut model 1.GİRİŞ Neden bunu ispatlamak zorundayız? sorusu, öğrenciler tarafından en sık sorulan sorudur (de Villers, 1990). Hâlbuki matematiksel ispat, matematikte her durumun doğruluğunu veya yanlışlığını açıklayan temel bir süreç ve yöntem, ayrıca bir öğrenme aracıdır (Knuth, 2002; Moralı, Uğurel, Türnüklü ve Yeşildere, 2006; Tall & Mejia-Ramos, 2006). Son yıllarda matematik eğitimi alanında farklı yaş grubundaki öğrencilerin ispat yaparken zihinsel süreçleri, bilişsel yönleri ve gelişimlerinin incelenmesiyle birlikte matematikte ispatın yeri ve önemi daha iyi anlaşılmıştır. (Altıparmak & Öziş, 2005; Mejia-Ramos, 2005; Sarı vd., 2007; Selden & Selden, 2009; İskenderoğlu vd, 2011). Ancak araştırmalar matematik öğretmen adayları ve üniversite öğrencilerinin lisans derslerinde karşılaştıkları ispatları yapmada ve anlamada zorluk çektiklerini göstermektedir ( Jones, 2000; Weber, 2001). Eğer öğretmenler öğrencileri için yeni öğrenme ortamı sunar ve onlara değişik ispat yöntemlerini verirlerse, öğrenciler de matematiği ve mantıksal düşünceyi daha iyi anlayıp yaratıcılıklarını artıracaklardır (Altıparmak ve Öziş, 2005). Bu değişik ispat yöntemlerinden birisi olan görsel ispat ile öğretmenlerin sınıf içinde kullandıkları materyallerin, öğrencilerin ispat kapasitelerini arttırmakta etkili olduğu (Stylianides, 2007) söylenebilir. Bununla birlikte bazı araştırma sonuçlarına göre (Francis 1996; Palais 1999) görselleştirmenin kesin ispatlara yol gösterebileceği sonucuna ulaşılmıştır. Ayrıca Hawkins (2007) araştırmasında, ispatta görsel desteğin daha etkili olduğunu ve öğrencilerin daha iyi öğrendiğini ortaya çıkararak; görsel ispatın diğer ispat yöntemleri ile arasında fark olmadığını savunmuştur. Matematikçiler için bir hipotezin neden doğru olduğunun önemli olduğu ve bunun ispatın değerini artıracağı (Knuth 2002) göz önüne alınırsa, ispatın öğrenciler için açıklayıcı bir güce sahip olmasında görsel ispatların etkin bir şekilde kullanımı yararlı olacaktır. Nitekim Arslan (2007) özellikle ilköğretim düzeyinde teorik ispatların değil görsel ispatların önemli olduğunu belirtmiştir. Okula başlamalarıyla birlikte öğrencilerin matematiksel deneyimleri içerisine ispatı yerleştirme fikri erken dönemde ispat konusunun önemini arttırmaktadır. Ancak bu konu üzerine yeterince dikkat çekilememiştir (Stylianides 2007). Son yıllarda ilköğretim matematik öğretmeni adaylarının ispat yapmaya yönelik görüşleri üzerine birçok araştırma yapılmıştır. Ancak daha küçük yaşlardaki öğrencileri eğitecek olan sınıf öğretmeni adaylarının ispat yapma ile ilgili düşünceleri yeterince araştırılmamıştır. Buradan hareketle bu çalışmada sınıf öğretmeni adaylarının hem formal ispat yapmaya yönelik düşünceleri hem de görsel ispat yapmak için somut model geliştirme ve bu modeli kullanarak ispat yapmaya yönelik düşüncelerinin belirlenmesi amaçlanmıştır.

2 2.YÖNTEM 2.1. Araştırmanın Modeli Nicel ve nitel araştırma yöntemlerinin kullanıldığı bu araştırmada öncelikle öğretmen adaylarının tümüne Almeida (2001) nın araştırmasında kullandığı ve Moralı vd. (2006) tarafından Türkçe ye uyarlanan matematiksel ispat yapmaya yönelik görüş anketi uygulanmıştır. Ardından rastgele seçilen bir sınıfta özdeşliğinin geometrik ispatı için somut model geliştirme etkinliği düzenlenmiştir. Etkinlik sırasında öğrencilerin yaptığı çalışmalar kayıt altına alınmıştır. Daha sonra bu etkinliğin düzenlendiği sınıftaki öğrencilerden ispata yönelik görüş anketinden en düşük puanı alan 7, en yüksek puanı alan 4 katılımcı ile yarı yapılandırılmış görüşmeler yapılmıştır Araştırma Grubu Araştırmanın birinci bölümünün katılımcılarını, Ahi Evran Üniversitesi Eğitim Fakültesi, İlköğretim Sınıf Öğretmenliği bölümü 1. sınıfında eğitim gören, 149 u kız, 35 i erkek olmak üzere, 184 öğretmen adayı oluşturmaktadır. Bu 184 aday içerisinden rastgele seçilen bir sınıf ile (32 öğrenci) düzenlenen açılımının ispatı için somut model geliştirme ve bu model yardımıyla ispatlama etkinliğinin ardından, bu gruptan 11 öğretmen adayıyla yarı yapılandırılmış görüşmeler yapılmıştır. Bu adaylardan 7 sinin formal ispat yapmaya yönelik görüşleri olumsuz, 4 ünün de olumlu yöndedir Veri Toplama Aracı Sınıf öğretmeni adaylarının formal ispata ilişkin görüşlerini almak amacıyla, Almeida (2001) nın çalışmasında kullandığı ölçekten yararlanarak Moralı vd. (2006) nın geliştirdikleri ölçek kullanılmıştır. Moralı vd. (2006) nın geliştirdikleri bu ölçeğin güvenirliği olarak belirlenmiş bu çalışma için tekrar hesaplanan güvenirlik ise 0.86 olarak bulunmuştur. Bu ölçek öğrencilerin formal ispatlar ve ispat yapmayla ilgili düşüncelerini belirlemek, ayrıca somut model yardımıyla yapılacak geometrik ispatla ilgili görüşme yapılacak öğrencileri seçmek için kullanılmıştır. Ölçeğin uygulanmasının ardından araştırma grubundan rastgele seçilen 32 kişilik öğrenci grubuyla araştırmacıların rehberliğinde yapılan ispat için model geliştirme etkinliğinde tüm sınıfın video kaydı alınmış ayrıca farklı grupların çalışmaları da ses kayıt cihazlarıyla kaydedilmiştir. Ardından uygulamaya katılan öğrencilerden formal ispata yönelik görüş anketinden aldıkları toplam puana göre en düşük puanı alan 7, en yüksek puanı alan 4 öğrenci ile yarı yapılandırılmış görüşmeler yapılmıştır. Öğrencilerin formal ispat ve somut model yardımıyla yapılan ispata yönelik düşüncelerini karşılaştırabilmek amacıyla görüşme formu hazırlanırken, daha önce görüşleri almak için kullanılan ölçeğin maddelerinden yararlanılmıştır. Hazırlanan form uzman görüşleri doğrultusunda yeniden düzenlenerek son halini almıştır. Görüşmeler uygulamanın bittiği haftadan bir sonraki hafta öğrencilerin uygun oldukları zaman aralıklarında yapılmış ve yaklaşık olarak on beşer dakika sürmüştür Uygulama Süreci Sınıf öğretmenliği bölümü 1. sınıf öğrencilerine Temel Matematik I dersi kapsamında özdeşlikler konusuna başlamadan önce kümeler, sayılar ve denklemler konularıyla ilgili bazı temel ispatlar üzerinde durulmuştur. Bu ispatlar yapılırken formal ispat yöntemlerinden yararlanılmıştır. Cebirsel özdeşliklerin ispatlarına sıra geldiğinde geometrik ispatlardan yararlanılmıştır. Ancak özdeşliğinin ispatı sırasında özdeşliğin geometrik olarak anlamı tartışıldıktan sonra sınıfça yapılan çizim çalışmasında büyük güçlüklerle karşılaşılmış, başarılı bir çizim yapılamamıştır. Bunun üzerine öğrencilerle birlikte bu özdeşliği somut olarak ifade eden bir model geliştirilerek onun aracılığıyla ispatın yapılması kararlaştırılmıştır. Öğrenciler gruplara ayrılarak sonraki derse kullanmak istedikleri malzemelerle birlikte gelmeleri istenmiştir. İlk ders saati öğrencilerin modeli oluşturmak için planlama, hesaplama ve deneme çalışmalarıyla geçmiştir. Sonraki üç ders saati boyunca modellerini tamamlayan öğrenciler, bir ders saati süresince sınıf arkadaşlarına

3 modellerini kullanarak özdeşliği ispatlamaya çalışmışlardır. Uygulamalardan sonra bu gruptaki 11 öğrenci ile yarı yapılandırılmış görüşmeler düzenlenmiştir Verilerin Analizi İspat yapmaya yönelik görüş anketinden elde edilen verilerin çözümlenmesinde SPSS 16.0 paket programı kullanılmıştır. Olumlu veya ispat açısından kabul gören maddeler tamamen katılıyorum 5 puan, kesinlikle katılmıyorum yanıtına 1 verilmek suretiyle puanlama yapılmıştır. Bazı maddeler ters görüş içerdikleri için bu maddeler ters çevrilerek analiz edilmiştir. Görüşmelerden elde edilen verilerin çözümlenmesinde içerik analizi türlerinden tümevarımcı analizden yararlanılmıştır. Bu analizde amaç kodlama yoluyla verilerin altında yatan kavramları ve bu kavramlar arasındaki ilişkileri ortaya çıkarmaktır (Yıldırım ve Şimsek 2005). Tümevarımcı analiz için ilk olarak ses kaydı halindeki veriler yazılı hale getirilmiştir. İkinci aşamada araştırmacı ile nitel araştırma konusunda deneyimli bir başka öğretim üyesi ayrı ayrı yazılı verileri kodlamışlardır. Daha sonra yapılan kodlamalar karşılaştırılmış, uyuşma sağlanmayan bölümlerle ilgili görüş alışverişinde bulunulmuştur. Ardından ortak kodlamalar ışığında temalar oluşturulmuştur. 3. BULGULAR 3.1. Öğretmen Adaylarının Formal Anlamda İspat Yapmaya Yönelik Görüşleri Bu bölümde ispat yapmaya yönelik görüş anketinden alınan toplam puana göre alt ve üst grupta yer alan öğretmen adaylarının ortak olarak katıldıkları ya da katılmadıkları, ayrıca görüş ayrılıklarına sahip oldukları maddelerin yüzde ve frekans tabloları ayrı ayrı verilmiştir. Anketten toplamda 60 ın altında puan alan öğretmen adayları (%33) alt grup, 60 ve üzerinde puan alanlar (% 67) üst grup olarak belirlenmiştir. İspatla ilgili görüş anketinden elde edilen toplam puana göre gerek yüksek puanlı gerekse düşük puanlı öğrencilerin anketteki bazı maddelere genel olarak katıldıkları görülmüştür. Bu maddelerden yola çıkıldığında sınıf öğretmeni adaylarının matematiksel ispatın olguları hem gerçekleyip hem de açıkladığını (1: % 84,2), matematiksel bir sonucun ispatlanmasının doğruluğuna inanmak için gerekli olduğunu (2: %83,7), ispatların bazen pek de açıkça anlaşılmayan stratejiler içerdiğini (7: 80,4), matematiksel ispatların başka matematiksel sonuçlarla ilişkili olduğunu (13: 86,9) ve ispatın teorik matematik için vazgeçilmez olduğunu (4: 77,4) düşündükleri görülmektedir. Ayrıca öğretmen adaylarının büyük bölümü bir ispatın aşamaları üzerinde çalışmanın neden doğru olduğunu anlamaya yardımcı olduğu (11: 64,7), bir teoremin farklı ispatlarını görmenin daha iyi anlamasına yardımcı olduğu (12: 71,2), ispat yapmanın bir anlamda problem çözme olduğu (15: 69,6) konularında da hemfikir oldukları görülmektedir. Tablo1. Öğretmen adaylarının genelinin katıldığı maddelere ilişkin frekans ve yüzde dağılımları Madde No Tamamen Kesinlikle Katılıyorum Kararsızım Katılmıyorum katılıyorum Katılmıyorum f % f % f % f % f % , ,9 6 3,3 3 1,6 4, , ,6 15 8,2 7 3,8 8 4,3 4, , , , , , ,9 12 6,5 4 2,2 4, , , , , , , , , ,5 7 3,8 3, , ,4 16 8,7 5 2,7 3 1,6 4, , , ,4 17 9,2 7 3,8 3,71 Ort. Yine anketten alınan toplam puana göre alt ve üst grupta yer alan öğretmen adaylarının çoğunun katılmadıkları maddelere bakıldığında, öğretmen adaylarının matematikte sadece örnekler yardımıyla

4 doğrulamanın yapılabileceği (5: % 58,1) ve matematiksel ispatı sadece profesyonellerin yapabileceği (16: % 75,5) görüşünde olmadıkları görülmektedir. Ayrıca öğretmen adaylarının yarıdan fazlası matematiksel ispat yapmayı sevmediklerini (9: % 55,4) ve kendi kendilerine ispat yapma becerilerine güvenmediklerini (10: 54,9) belirtmişlerdir. Tablo2. Öğretmen adaylarının genelinin katılmadığı maddelere ilişkin frekans ve yüzde dağılımları Madde No Tamamen Kesinlikle Katılıyorum Kararsızım Katılmıyorum katılıyorum Katılmıyorum f % f % f % f % f % , , , ,1 2, , , , ,1 2, , , , ,4 2, ,6 10 5, , , ,6 2,18 Ort Diğer taraftan görüş anketinin 3,6,8,14,17,18,19 ve 20. maddelerinin ifade ettiği görüşlere göre alt ve üst grupta yer alan öğretmen adaylarının farklı taraflarda bulundukları belirlenmiştir. Bu maddeler incelendiğinde üst grupta yer alan öğretmen adaylarının bir sonucu örneklerle göstermenin neden doğru olduğunu anlamaya yardımcı olmayacağı (madde 3) görüşüne katıldıkları, alt gruptaki öğretmen adaylarının ise bu görüşlere katılmadıkları belirlenmiştir. Öte yandan alt gruptaki öğretmen adaylarının önceden ispatlanmış olan veya doğruluğu açık olan sonuçların ispatlanmasının gereksiz olduğu (madde 6-8), teoremi bilmenin ispattan daha önemli olduğu (madde 17) ve ispatların sıkıcı olduğu (madde 18) görüşünde oldukları görülmüştür. Ayrıca alt ve üst gruptaki öğretmen adayları ispatları anlamada zorlanma (madde 14-19) ve ispatı ancak hoca yapınca anlayabilme (madde20) konularında birbirlerinden ayrılmaktadırlar. Tablo3. Alt ve üst grupların görüşlerinin ayrıldığı maddelere ilişkin frekans ve yüzde dağılımları Tamamen Kesinlikle Madde Katılıyorum Kararsızım Katılmıyorum katılıyorum Katılmıyorum Ort No f % f % f % f % f % , , ,3 17 9,2 3, , ,2 15 8, , ,4 3, , , , , ,9 3, , , ,4 17 9,2 3, , , , ,8 12 6,5 3, , , , , ,9 3, , , , ,4 7 3,8 3, , , , ,1 13 7,1 3, Öğretmen Adaylarının İspat İçin Somut Model Geliştirme ve İspatta Somut Modelden Yararlanmaya Yönelik Görüşleri Bu bölümde öğretmen adaylarıyla yapılan yarı yapılandırılmış görüşmelerden elde edilen bulgulara yer verilecektir. Formal ispat yapmaya yönelik görüş anketinden alınan toplam puana göre alt grupta yer alan öğretmen adayları, D1, D2, D3, D4, D5, D6, D7, üst grupta yer alanlar da Y1, Y2, Y3, Y4 olarak temsil edilmiştir.

5 Geometrik ispat için somut model geliştirme etkinliğini genel olarak değerlendirmeleri istenen sınıf öğretmeni adaylarından gerek formal ispat anketinden düşük puan alanlar gerekse yüksek puan alanlar etkinliğin son derece eğlenceli olduğunu vurgulamışlardır. Bunun nedeni olarak da grup çalışması şeklinde düzenlenmesi, aktif olarak sürece katılmaları ve görsellik gibi unsurlara değinmişlerdir. Öğretmen adayları yine ortak olarak görsel ve somut olmanın anlamayı daha iyi sağladığını ezberi engellediğini ve kalıcılığı artırdığını belirtmişlerdir. Bunun yanında iki öğretmen adayı ileride öğrencileri için bu tür etkinliklerin son derece yararlı olabileceğine dikkat çekerken bir diğeri de bu etkinliğin matematikle yaşam arasındaki ilişkiyi görmeye yardımcı olacağını ifade etmiştir. Etkinliği genel olarak değerlendirirken öğretmen adaylarından bazılarının kullandıkları ifadelere aşağıda yer verilmiştir: Biz bunu formül olarak biliyorduk zaten ama bunu şekil üzerinde göstermekle hem görsel olarak olayın özünü kavramamıza neden oldu hem de daha da eğlenceli hale geldi ders, çünkü grup çalışması olduğu için mesela arkadaşlarımızla böyle sürekli diyalog içindeydik bu arkadaş ilişkilerimizi de geliştirir aslında birlikte bir şeyler yapmak (D6) İlk defa böyle bir uygulama yapıyorum matematik dersinde eğlenceli geçti, güzeldi. En azından bir şeyleri ezber olarak değil kanıtlayarak yaptık hani şimdiye kadar hep formüller ezberlettirildi ama bu somut bir örnek olduğu için daha kafamızda kalıcı olarak kaldı. Bizim de öğrencilere anlatmamız açısından hani yararlı oldu yani. (D3) Şöyle bir şey kendi adıma konuşuyum, üniversite öğrencisi olarak küp dediği zaman insanın direk aklına sadece bir küp gelir, ama biz hani o parçalarla uğraştık tek tek o küpün içinde de aslında birçok şeyin olduğunu öğrendik. Şu an mesela küp dediğimiz zaman hani benim aklıma sadece bir cisim değil de hani onun içindeki dikdörtgen prizmasıydı ya da atıyorum diğer kısımları geliyor, hani bir de sınıf öğretmenliği okuyorsun, bunu küçük bir çocukla, ilköğretim çocuklarına yaptığınızı düşünürseniz onların hayal dünyası yani bizimkinden daha geniş, onların aklında daha farklı şeyler olur, ki hani buda ilerdeki matematik anlayışlarını ya da matematik sevgisini doğal olarak etkiler diye düşünüyorum. (Y4l) Görüşmelerde ikinci olarak öğretmen adaylarından bu ispat etkinliğinin daha önce gördüğü ispatlarla genel bir karşılaştırmasını yapmaları istenmiştir. Öğretmen adayları formal ispatlardan farklı olarak somut model geliştirme ve ispat için bu modeli kullanmanın görsellik, somut yaşantılar ve dokunma aracılığıyla zihinde canlandırma ve anlamlandırmaya, mantığını anlamaya yardımcı olduğunu belirtmişlerdir. Formal ispatla karşılaştıklarında da ezberlemeye yöneldiklerini ifade etmişlerdir. Bunun yanında öğretmen adayları ortak olarak bu tür ispat etkinliklerinin kalıcılığının formal ispatlarla çalışmaktan daha yüksek olduğunu ifade etmişlerdir. Buna gerekçe olarak da kendi çabalarının sonucunu görmüş olmalarını ve süreç içerisinde geçirdikleri somut yaşantıları göstermişlerdir. Öğretmen adaylarının bu düşüncelerini yansıtan bazı ifadelerine aşağıda yer verilmiştir: Dediğim gibi şekil oldumu insan düşünüp bir şey canlanıyor kafasında onun için daha rahat o şekle yerleştiriyor formülü o zaman daha rahat oluyor ama boş sözel ispat oldummu formülleri biz beynimizde şekillendiremiyoruz tek başımıza yani şahsen ben yapamıyorum yani oluyor bazen yaptığım oluyor bazı formülleri ama bazı formüller oluyor ki hiç içinden çıkamıyor insan. (D2) Bir şeyi eee sadece yazı üzerinde görmek var birde olayı hani canlı olarak görmek var mesela olayı yaşadığımız zaman unutmayız o daha çok akılda kalıcıdır o yüzden. Çünkü sayısal olarak ezber

6 yeteneği iyi olanlar hatırlar sadece onu çünkü orda mantığını göremiyoruz ama şekilde görebiliyoruz mantığını (D6) Şimdi yani görsel olarak görmek daha kalıcı oluyor, hani ne biliyim onu kendim yaptığım için bi de o daha kalıcı oldu bende, kendim yaptım ne olduğunu biliyorum, onları birleştirince bir de ortaya çıkan şeyi de gördüm, yani sonucunu alınca insan daha mutlu oluyor. Diğerinde de sonucu alırız ama orda hani nasıl deyim yazarak ispatlamaya çalışıyoruz belli bir şeyleri görmüyoruz yani ha bu böyle ispatlanıyor ama hani şey gibi görsel olmadığı için küp gibi, tamam görsel olamaz da ama (D1) Bir öğretmen adayı ise formal ispatın da nedenleri anlamayı sağladığı için önemli olduğunu ancak formal ispatların herkese hitap edemediğini, somut modelden yararlanılarak yapılan ispat etkinliğinin her seviyeye uygun olduğunu şu ifadelerle dile getirmiştir. Her zaman insanoğlu görsel şeyleri eskiden beri daha çok akılda kalıcı olmuştur, renklerdi dokunmak, hani dokunmak ve görmek hafızada daha kalıcı bir iz bırakıyor hani şekil, her seviyedeki insana hitap edebilir. Mesela o yaptığımız küp bizim üniversite öğrencilerine de hitap edebilir, ilkokul çocuklarına da hitap edebilir. Ama diğer derste yaptığımız ispatlar daha çok daha bir üst seviye demeyim de hani daha matematiksel terim olan bir ispat ama hani onu da nerden geldiğini bilmek o da güzel, düşündürüyor yani hani insanı, düşünmek de güzel bir şey. (Y4) Görüşmelerde öğretmen adaylarına, formal ispatla ilgili ankete paralel olarak zaten önceden bilinen bir gerçeği bu şekilde göstermenin yararlı olabileceğini düşünüp düşünmedikleri sorulmuştur. Bu konuda gerek böyle bir durumda formal ispatın gereksiz olduğunu düşünen ve anketten düşük puan alan öğrenciler, gerekse yüksek puanlı olanlar ortak olarak böyle bir ispat etkinliğinin ispatlanacak sonuç önceden bilinse bile yararlı olacağını düşündükleri görülmüştür. Öğretmen adaylarının en çok vurguladığı yararlar daha iyi anlamayı, anlamlandırmayı, zihinde canlandırmayı, yeniden keşfetmeyi sağlamak ve ezberi engellemek, hatırlamayı kolaylaştırmak olarak belirlenmiştir. Aşağıda öğretmen adaylarından bazılarının bu konudaki düşüncelerine yer verilmiştir. Ezberlemek yerine hani daha akılda kalıcı olur. Yani biz A+Bnin küpü diyorduk a küp artı 3 a kare b diyoduk hani direk öyle ezberliyorduk ama şimdi tamamen anladık, gördük üç tane tabanları a olan yüksekliği b olan küplerin birleşiminden bir tane a küp bir tane b küpten oluşuyor. Hani biliyoruz onu, ilerde çok işimize de yarar öğretmen olunca. Yani somut elimize alıyoruz tutuyoruz onu hani görüyoruz. (Y2) Kesinlikle yararlı çünkü yani biraz pratiğin dışına çıkmak mantıklı bence, matematiği her zaman oldu bitti formül üzerine öğrendik hiç ispat yoluna gidilmedi her zaman bize derslerde hoca tahtaya yazdı biz ezberledik, başka matematik deyince kafamızda hiç ispat yoluna gidilme değil de fazla formül ezberleme geliyordu akla, nerden geldi demiyorduk, yanlış veya doğruluğunu kendi kendimize böyle kıyaslamıyorduk, bir düşünce arayışında değildik. -Bu noktada formüllerin nerden geldiğini göstermek için hangi ispat yolu daha yararlı olur diye sorsam? - Bence yani zaten matematiği yazarak öğrenmek hep var somut geometrik şekillere dökülebildiği sürece formül kesinlikle bu şekilde desteklenmesi gerektiğini düşünüyorum. (Y3) Elbette ki yani şöyle bir şey var, ezber adı üstünde ezberlediğin zaman unutuyorsun, ama onu unutman imkânsız bir şey yani dediğim gibi dokunuyorsun, görüyorsun ve bizzat bunu sen uyguluyorsun tıpkı şey gibi sanki, o kural daha önce bulunmamış da hani onu o gün sen bulmuşsun gibi, hani o yüzden akılda kalıcılığı oluyor. (Y4) Bir öğretmen adayı arkadaşlarından farklı olarak bu tür etkinliklerinin kendi öğretmenlik yaşamları sırasında küçük yaştaki öğrencilere verebileceği katkıyı şu şekilde dile getirmiştir:

7 Birde sınıf öğretmeni olacağız biz daha küçük çocuklarla uğraşacağız hani o yüzden onlara uygulamalı olarak gösterdiğimizde onlar da daha iyi anlar eminim hani şimdi kendimiz böyle daha iyi anlıyorsak eğer, daha eğlenceli oluyor bir de ders. (D5) Görüşmelerde öğretmen adaylarından anlaşılabilirlik yönünden formal ispatları ve ispat için somut model geliştirme ve kullanma etkinliğini karşılaştırmaları istenmiştir. Öğretmen adaylarının tamamı somut modelin kullanıldığı ispat etkinliğinin daha anlaşılır olduğu görüşündedir. Bunun nedenlerini de görsellik ve kendilerinin gösterdiği yoğun çaba olarak açıklamışlardır. Ancak iki öğretmen adayı bu tür bir etkinliğin her türlü ispat için mümkün olmayacağını da görüşlerine ilave etmiştir. Bunun yanında bir öğretmen adayı da ispatların anlaşılabilmesi için formal ispatın da gerekli olduğunu ancak görsel olarak desteklenmesinin daha anlaşılır olmayı sağlayacağını ifade etmiştir. Öğretmen adaylarının bu konudaki düşüncelerini yansıtan ifadelerine aşağıda yer verilmiştir. Sözlü ispatta havada kalıyor biraz, benim adıma söylediğim zaman şekilde bir şekille uğraşılıyor o şekle o yazdığımız ispatın formülünü o şeklin üzerine yerleştirdiğimiz zaman net bir şey ortaya çıkıyor hoca geçiyor tahtaya anlatıyor diyor ki bu böyledir sen bir düşünüyorsun bu neden böyle yani bu nasıl oluyor, insan havada kalan şeyleri de bazen algılayamıyor. En azından ben kendi adıma ben algılayamıyorum bazen ama şekle döktüğümüz zaman ha bu bunun için böyleymiş bu şekilde bu görüntüyü oluşturduğu için böyleymiş. (D2) Aslında görsel olarak daha net.daha önce de söyledim hani böyle yazarak hoca sözel olarak açıkladığında böyle daha çok ezber mantığına gidiyor genelde. Hani sınavda bu sorulacak olsa mantığını anlamaya değil de ispatın nasıl yapıldığını ezberlemeye çalışıyoruz. (D5i) Dediğim gibi şekil daha hoş, eğlenceli akılda kalıcı oluyor ama her şeyi onun gibi yapamayız mesela o şekil gibi, her ispatı böyle yapamayız, o ispatlar da güzel ama bana göre somut ispat daha güzeldir. Çünkü hani eğitim sisteminden ilkokul 1. Sınıftan beri hani şu ana kadar biz hep matematiksel, hani soyut olan soyut olarak düşündük, soyut olarak gördük hep soyut olarak çözdük, hiçbir zaman hani somuta dökmedik ya da döktüğümüz zaman bu şekilde yapmadık hani sürekli ezber alanında oldu.o yüzden hani biz yani benim yaşımdaki öğrenciler bu şekilde gelmiş öğrenciler şimdi bu şekildeki gelen öğrencilere direk böyle somut örneklerle somut ispatlarla yapmak tabii ki de hani daha etkileyici oluyor ve onu tercih ediyor doğal olarak ya da ben onu tercih ediyorum.(y4) Benim için öyle daha kolay göz önünde bulundurabiliyorum. Ben bir şeyi görünce kafamda böyle şekil oluşturabiliyorum ve öyle daha iyi anlıyorum her şeyi. Öbür türlü tahtaya yazıyoruz bu böyledir diyor, niye böyle olduğunu fazla ben kafamda şeyapamıyorum.(d4) Öğretmen adaylarının (a+b) 3 özdeşliğinin geometrik ispatı için model geliştirerek bu model yardımıyla özdeşliği açıklama etkinliğini sevip sevmedikleri, sıkıcı bulup bulmadıkları ve bunun nedenleri konusundaki görüşlerine bakıldığında tamamının olumlu yönde olduğu görülmüştür. Öğretmen adaylarının etkinliği eğlenceli hale getiren başlıca unsurlar olarak; etkinliğin grup çalışması şeklinde olmasını, etkinlikte kendi çabalarının sonucunu görmüş olmalarını, süreçte zihinsel ve fiziksel olarak aktif olmalarını, ilk defa böyle bir etkinlik yapmış olmalarını ve yapılan ispatın ezbere yönelik olmayışını dile getirmişlerdir. Bir öğretmen adayı bu ispatlama etkinliğini anladığını ve bunun için sevdiğini, formal anlamda yapılan ispatları anlamakta zorlandığı için sevmediğini ifade etmiştir. Bunun yanında bir öğretmen adayı ise somut model yardımıyla ispatı öğretmenlik yaşamında kullanabileceği güzel bir etkinlik olarak değerlendirmiştir. Öğretmen adaylarının bu konudaki düşüncelerini yansıtan ifadelerine aşağıda yer verilmiştir. Sıkıcı değildi çünkü sen bir şeyin içindesin faaliyet halindesin tek bir kişiye bağlı değil sen de bir şeyler yapıyorsun onu anlamak için enerji sarf ediyorsun sadece şekilde de kalmıyor düşünüyorsun bunu nasıl koyacağım nasıl bu formülü uygulayacağım bu şekilde iki taraflı çalışmış oluyor hem beyin hem de vücut olarak. Zaman zevkli geçiyor yani monotonluk olmuyor. (D2)

8 Yo hayır. Şimdiye kadar hiç böyle bir şey yapılmamış olması. Hani mesela lise olsun orta okul olsun hiçbir zaman böyle küpleri yapıp da ne biliyim özdeşliklerin ispatında falan genelde üç tane a artı byi yazardık çarpardık öyle karesini alırdık sonra bir tane daha artı b alır çarpardık o şekilde olduğu için, farklı olduğu için. Yani ilk defa olduğu için.(y2) Çok eğlenceli buldum. Bir kere grup çalışması olması çok iyiydi, hani her şeyiyle hem bilgi paylaşımı için hem birlikte yapıyoruz bir şeyleri hep ben bireysel olarak yapsam belki çok etki etmeyecek bende hani çok anlamayacağım ama bir arkadaşımın ordan diğer küçük küpü vermesi benim büyüğü alıp ona tamamlamam işte diğerinin rakamları ayarlayıp dikdörtgenler prizması çıkarması bunları birleştirmemiz falan daha eğlenceliydi daha etkiliydi. Hem hani görsel olarak bunu görmüş olmamız sonra yapan arkadaşların tahtaya çıkması bize anlatması yani hani kendi küplerini anlatması oluşturması falan bunlar da eğlenceli kılan sadece hani masanın başına geçip yapmış olduğumuz bir şey değildi Hani yine kendi alanım için değerlendirirsem yani sınıf öğretmenliği için değerlendirirsem bunu öğrenmiş olmam ilerde hani benim hitap edeceğim yaş aralığına göre çok daha uygun bir yol oldu, çok daha uygun bir yöntem oldu. Yani sevdim gerçekten bunu farklı şekillerde uygulamakta da güzeldi.(y1) Formal anlamda ispat ve somut model kullanarak ispatın inandırıcılık bakımından karşılaştırılmasıyla ilgili görüşler incelendiğinde, öğretmen adaylarının büyük bölümünün somut model aracılığıyla yapılan ispatlama etkinliğini daha inandırıcı buldukları görülmüştür. Öğretmen adayları bunun en önemli nedeninin, somut model kullanılarak yapılan ispatın görsel olarak, somut bir şekilde ve dokunarak kontrol edebilmeyi sağlaması olduğunu ifade etmişlerdir. Bunun yanında bazı öğretmen adayları, hoca tarafından yapılan ispatlarda akılda soruların kalabildiğini, buna ne gerek var sorusu oluşabildiğini, somut modelle göstermenin ispatı çizimle açıklamaktan daha etkili olduğunu belirtmişlerdir. Öğretmen adayların somut model yardımıyla ispatın inandırıcılığıyla ilgili düşüncelerini gösteren bazı örnek ifadelere aşağıda yer verilmiştir. Gözümüzle gördüğümüze daha çabuk inanırız. Çünkü şey biz onu yaşıyoruz yani duyduğumuzun belki yalan olma ihtimali bile vardır hani hoca hatalı bile yazmış olabilir.(d6) Kesinlikle görsellik inandırıcı.çünkü birebir yaptığımız şekilleri ölçerek ve birbirine monte eder gibi yerleştirerek arkadaşlarımıza birebir gösterdik mesela sunumunu yaptık yani görsel olarak da herkes inandı ve inandırıcılığını da kanıtlamış olduk hiçbir şey kalmadı öyle yani pürüz kimse nasıl oldu diyemedi, birebir ölçtük santimlerini falan hep hesapladık.(y3) Yani küplerle yaptık ya aslında orda gördük, elimizle mesela dokunduk, ondan nasıl olduğunu anladık, tahtada falan yaptığımızda onu yazıyoruz hani bazı arkadaşlarımız diyor işte mesela ben bunu anlamadım, şunu anlamadım şeklinde neden böyle falan diye sorular sorabiliyoruz. Yani hoca anlatsa bile o an mesela akılda sorular kalıyor ama görsel olduğu için işte neyin nerden geldiğini direk söyleyebiliyoruz. Mesela niye bunlar böyle iste delik delip Birleştirip ayırarak gösterebiliyoruz. Ama tahtada bunu çizerek göstersek bile çok şey olmaz, etkili olmaz.(d7) İki öğretmen adayı ise formal ispatın ve somut model kullanarak ispatın aynı ölçüde inandırıcı olduğunu aşağıdaki şekilde ifade etmişlerdir. İkisi de inandırıcıdır bence. Sonuçta onda da matematiksel bir işlem yapıyoruz belirli şeyler var hani herkesçe kabullenilmiş o işlemlerin sonucudur, o da inandırıcıdır, onda da şüphe yoktur.(d3) Biri yazılı biri görsel ya, görsel olan bana daha çekici geliyor, yani şey geliyor hani daha kanıtlayıcı geliyor, tamam yazılı olanı da anlıyoruz bir nevi ama görsel olan daha kalıcı oluyor bende. Aslında ikisi de inandırıcı ama görsel daha bir çekici geliyor.(d1) Somut model yardımıyla yapılan ispatın olguları açıklayıcılık yönüyle ilgili öğretmen adaylarının görüşlerine bakıldığında; görsel oluşu, somut deneyimler sağlaması ve neyin nereden geldiğini görmeyi sağlaması nedeniyle öğretmen adaylarının bu ispat etkinliğini formal ispatlardan

9 daha açıklayıcı buldukları görülmektedir. Somut model kullanarak ispatlama etkinliğinin açıklayıcılığı ile ilgili öğrencilerin görüşlerinden bazılarına aşağıda yer verilmiştir. Evet, önce sadece yani ezberleyip geçiyorduk, nerden geldiğini bilmeden, hani binom açılımından biraz biliyorduk ama şeydi böyle tam somut değildi, ama şimdi şey yaptık onları birleştirdik neyin nerden geldiğini daha iyi gördük. Sadece yazıp geçiyorduk önceden. (D7) Böyle daha açıklayıcı, neden mesela burada iki tane küp oluşturduk birimleri farklı olan, üçer tane de yine farklı dikdörtgenler prizması oldu yani hani diğer açılımda işte a küp artı üç a kare b falan şeklinde yazdığımız zaman hani o aradaki diğer dikdörtgenler prizmasının nerden geldiği tam olarak algılanmıyor ya da işte neden bu parçaları birleştirdiğimiz zaman böyle oluşuyor diye hani sadece sayılar olduğu için onu tam birbirine çözemiyorsunuz. Yani hani neden oldu bir küp nasıl bu şekilde parçalara ayrıldı falan diye ama onu biz kendimiz kesip yapıştırdığımız zaman, böyle parçaları birleştirdiğimiz zaman görüyoruz yani hani gerçekten de bu bu parçalardan oluşuyormuş diye. Tamam, matematiksel yolla ispat oluyor ama açıklayıcılık yönünden böyle daha açık bence. (Y1) İspat için somut model geliştirme ve bu model yardımıyla ispatlamayı kendi kendilerine yapabilme yönünden değerlendirmeleri istenilen öğretmen adayları böyle bir etkinliğin formal ispat yapmaya göre daha kolay olduğu görüşündedirler. Formal ispatlardaki adımları kendi kendilerine takip edebilmenin zor olduğunu, daha üst düzey düşünme becerilerinin gerekli olduğunu ifade eden öğretmen adayları, somut model geliştirerek ispatlama etkinliği için yol göstermenin, rehberliğin gerekli olduğunu da belirtmişlerdir. Öğretmen adaylarının bu konudaki düşüncelerini yansıtan ifadelerine aşağıda yer verilmiştir. Evet, bizim düzeyimizdeki herkes yapabilir. Diğer sözel ispatları zannetmiyorum, yani ispat yapmak için başka yani bir şey bilmek gerekiyor ondan sonra devam ettirmek gerekiyor. Tabiî ki burada da küp çizerken hani küpün nasıl oluştuğunu onu da bilmek gerekiyor ama ispatta mesela sözel ispatta daha böyle ayrıntılı şeyler bilmek gerekiyor bence. Biraz daha hani düşünerek şurdan şöyle olmalı buradan böyle olmalı diyerekten. (D3) Bence çok yardım gerektiren bir ispat değildi. Yani dışarıdan çok fazla destek alınacak şekilde yapılacak diye bir kural yoktu bence, nitekim bazı gruptaki arkadaşlar hemen hemen nerdeyse pek şeyapmadı yani kendi başlarına yaptılar çok şey gerektirmiyordu. (Y1) Belli şeyler olsa mesela önümde bir kâğıt olsa onda hani neyin nasıl olduğunu söylese yaparım. Ama mesela tutupta direk şey olsa yapamam herhalde yani bir şeyler geliştirmeye çalışırım ama çok verimli olmaz. (D7) Bir önermeyi bilmenin mi yoksa onu somut model kullanarak ispatlamanın mı daha önemli olduğu sorusuyla ilgili yanıtlar incelendiğinde; öğretmen adaylarından beşinin somut modelle yapılan ispatlama etkinliğinin anlamlı öğrenmeyi sağlayarak ezberi engellediği için daha gerekli ve önemli olduğu görüşünde oldukları görülmüştür. Bu beş öğretmen adayından üçü formal ispatla ilgili görüş anketinden yüksek, ikisi ise düşük puan almışlardır. Öğretmen adaylarının bu konudaki düşünceleriyle ilgili iki örneğe aşağıda yer verilmiştir. Bence matematiğin ımmm ezber olduğunun yıkılması için bu anlayışın bilmenin yanında ispatında olması gerektiğini düşünüyorum. Böyle ispatlamak daha da önemli çünkü insan bildiği şeyleri uygulayabilmeli bu yani uygulama aşaması yoksa mesela bişeyleri muhakkak biliyoruz öğreniyoruz bu aslında ezber gurubuna giriyor ama uygulamak öğrenmek grubuna giriyor bence. (Y3) Bu şekilde ispatlamak daha önemli. Onu aslında siz bu şekilde bilmek mi dediniz ya aslında siz onu bilmiyorsunuz. Onu ezberliyorsunuz. Bilmekle ezberlemek çok farklı bir şey. Şimdi mesela tahtaya yazsaydınız bunun açılımını biz onu bilmeyecektik sadece ezber yapmış ya da en fazla görmüş olacaktık. Ama bu açılımla biz onu öğrenmiş olduk, hani ezberin ötesine geçti yani. (Y4)

10 Öğretmen adaylarından dördü ülkemizin sınav sistemine dikkat çekerek, sınavlar düşünüldüğünde bir önermeyi bilmenin onu somut modeller yardımıyla ispatlamaktan daha önemli olduğunu ancak matematiği anlayarak öğrenmek amaçlandığında ispatları somut modellerle açıklamanın daha önemli olacağını belirtmişlerdir. Tamamı formal ispatla ilgili görüş anketinden düşük puan almış olan bu öğretmen adayları, sınavlara hazırlanmakta olan öğrenciler için bu tür etkinliklerin zaman kaybı olacağı görüşündedir. Öğretmen adaylarının bu konudaki düşüncelerini yansıtan ifadelerine aşağıda yer verilmiştir. Şimdi a+b nin küpünün işte a küp +3 a kare b olduğunu bilmek bizim şu an eğitim durumumuzda daha bi cazip geliyor. Çünkü biz zamanla yarışan insanlar olarak geldik buraya hiç ona gerek yok direk biz ezberledik onu yazdık öyle. Ama bakılırsa bir şeyin neden böyle olduğunu bilmek daha önemlidir. Matematiği öğrenmek açısından bu daha önemli çünkü dediğim gibi beyinde bir şey oluşuyor o somut bir şey oluşuyor, yaptığımız küp beyinde de oluşturuyor kendini (D2) Sadece bir tane öğretmen adayı ise asıl olanın formal ispat olduğunu, ancak onu daha iyi anlayabilmek için somut modellerle desteklemenin yararlı olacağını şu şekilde ifade etmiştir: Önemli değil diyemem önemli tabi de yani sadece bu da yeterli değil görsel olarak bir şeyi ispatlamak da yeterli değil matematiksel yolların da bilinmesi gerekiyor. Hani o da çok sağlam ki bence asıl olan o yani hani bir şeyi matematiksel ispatı vardır açıktır. Onu farklı şekillerde ispat edersin görsel yolla şöyle açık olan dedik ama hani ben işte şey yaparım sadece küplerle çekerim yaparım bu şekilde ispatlarım görsel yol benim için yeterlidir diyemem ben kendi adıma. Çünkü matematik yolların kesinlikle bilinmesi gerekiyor, ama bunun da bir önemi var çünkü bu da elde edilen daha doğrusu bilinen şeyin hani daha açık bir şekilde gösterilmesini sağlıyor. Zihinde netleştiriyor yani. (Y1) 4. SONUÇ, TARTIŞMA VE ÖNERİLER Formal anlamda ispat yapmaya yönelik görüş anketinden elde edilen verilerin analizinde sınıf öğretmeni adaylarının matematiksel bir sonucun doğruluğuna inanmada, matematiksel olguları açıklamada ispatın önemli ve gerekli olduğunu düşündükleri görülmüştür. Öğretmen adayları ispatın matematik için öneminin ve vazgeçilmezliğinin farkındadır. Ancak buna rağmen adayların büyük bölümünün de zaten ispatlanmış önermeleri kendilerinin ispatlamaya çalışmasının gereksiz olduğunu düşündükleri, ispat yapmayı sevmedikleri, sıkıcı buldukları ve bu konuda kendilerine güvenmedikleri belirlenmiştir. Yapılan görüşmelerde öğretmen adaylarının belirttiği gibi, hoca tarafından tahtada yapılan ispatların anlaşılamaması ve öğretmen adaylarının ezbere yönelmesi bu tür olumsuz düşüncelerin oluşmasında etken olabilir. Bu durum Türker, Alkaş, Aylar, Gürel, Akkuş İspir (2010) ilköğretim matematik öğretmeni adaylarıyla yaptıkları çalışmalarında ulaştıkları sonuçlara paralellik göstermektedir. Moralı ve arkadaşlarının (2006) ilköğretim matematik öğretmen adaylarına bu çalışmada kullanılan ölçeği uygulayarak elde ettiği bulgularla çalışmanın bulguları karşılaştırıldığında sınıf öğretmeni adaylarından ispat yapmayla ilgili olumlu görüşe sahip olanların daha fazla oranda, aynı zamanda olumsuz görüşe sahip olanların da daha fazla oranda oldukları görülmüştür. Puan durumu orta düzeyde olan ve kararsızlar olarak kabul edilebilecek sınıf öğretmen adaylarının oranı ise matematik öğretmeni adaylarının yarısı kadardır. Bu durum sınıf öğretmen adaylarının daha az yoğunlukta ve daha kolay ispatlarla karşılaşıyor olmasının ve orta öğretimden gelirken getirdikleri matematik alt yapılarının daha zayıf olmasının bir sonucu olabilir. Yine Moralı ve arkadaşlarının (2006) çalışmalarında ulaştıkları öğretmen adaylarının ispatın teorik matematik için vazgeçilmez olduğu görüşüne rağmen, açıkça doğru sonuçların ispatlanmasının gereksizliğine inanmaları durumu bu çalışmada da görülmüştür. Yapılan görüşmelerin analizinde ise formal anlamda ispat yapmaya yönelik görüş anketinden gerek yüksek puan alan gerekse düşük puan alan öğretmen adaylarının ispatların mümkün olduğu sürece somut modellerle desteklenmesi gerektiği, bunun oldukça eğlenceli olduğu ve anlamlı öğrenmeye, kalıcılığa, matematiği sevmeye katkı sağlayacağı görüşünde oldukları belirlenmiştir. Öğretmen adaylarının bu görüşleri eğitim alanındaki birçok temel teori ile paralellik göstermektedir (Bruner, 1966, 2006; Dienes & Golding, 1971; Piaget, 1971; Skemp, 1987). Ancak yine araştırmalar

11 göstermektedir ki somut materyallerden yararlanmanın teorik olarak öğrenmeyi desteklediği kabul edilmekle beraber, uygulama her zaman teoriyi destekler nitelikte değildir (Fuson ve Briars, 1990; Raphael & Wahlstrom, 1989; Clements, 1999). Araştırmacılar bu durumu ortaya çıkaran önemli bir etkenin öğretmenlerin bu konudaki bilgi, inanç ve deneyimleri olduğunu belirtmektedir. O halde sınıf öğretmeni adaylarının üniversite eğitim yaşamları süresince matematik dersinde somut modellerden yararlanma konusunda gerekli bilgi, inanç ve deneyimi kazanması için çaba sarf edilmelidir. Sınıf öğretmeni adayları somut modelin geliştirilme sürecinin çok fazla zaman alması, fazla el becerisi gerektirmesi gibi sınırlılıklara değinmişlerdir. Ancak bu görüşlerini ifade ederken ülkemizdeki sınav sistemini dikkate aldıklarını da eklemişler, sınavlara hazırlanma sürecinde zamanla yarışıldığına dikkat çekmişlerdir. Öğretmen adaylarının büyük bölümü somut modeller aracılığıyla yapılan ispatlama etkinliğinin formal yollarla yapılanlardan daha inandırıcı ve açıklayıcı olduğu görüşündedir. Formal anlamda ispat yapmaya yönelik olumlu yönde görüşe sahip öğretmen adayları da ispatların mümkün oldukça somut modellerle desteklenmesinin yararlı olacağını ifade etmişlerdir. Bu öğretmen adaylarından bir kısmı matematikte asıl olanın formal anlamda ispatlar olduğunu vurguladıktan sonra, daha anlamlı öğrenmenin, öğrencilere matematiği sevdirmenin sağlanabilmesi için somut modellerden yararlanmanın öneminin de altını çizmişlerdir. Araştırmada elde edilen bulgulardan hareketle sınıf öğretmeni adaylarının üniversite eğitimi süresince karşılaşacakları matematik ve matematik eğitimi derslerinde karşılaşılacak matematiksel ispatları mümkün olduğunca anlamlandırarak öğrenmelerine olanak sağlanmalı, bunun için görselleştirme ve somut modellerden mümkün oldukça yararlanmalıdır. Meslek yaşamlarına atıldıklarında hitap edecekleri yaş aralığı göz önüne alındığında matematikteki önermelerin neden doğru olduğu konusunda öğrencilerini ikna edebilmek için somut modellerden yararlanabilme deneyimlerini artırmak sınıf öğretmeni adayları için son derece önemlidir. Buradan hareketle sınıf öğretmeni adaylarının eğitimleri süresince matematik derslerinde, matematiksel ilişkileri, önermeleri açıklarken somut modellerden yararlanma deneyimlerini yaşamaları önemsenmelidir. Geleneksel yöntemlerle verilecek bir matematik eğitimi onların matematiksel ispatların sıkıcılığı ve gereksizliği yönünde görüş oluşturmalarına neden olabilecek ve sınavlarda yazabilmek için ispatları ezberleme yolunu tercih etmeye yönlendirecektir. Bu şekilde yetişecek öğretmen adaylarının, görevlerini yaparken öğrencilerine matematiksel olguları gerçekleme, temellendirme ve anlamlandırma için gereken öğretim ortamını oluşturmakta zorlanma olasılığı yüksek olacaktır.

12 KAYNAKLAR 1) Almedia, D. (2001). Pupils Proof Potential, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 32(1), ) Altıparmak, K., Öziş, T. (2005). Matematiksel İspat ve Matematiksel Muhakemenin Gelişimi Üzerine Bir İnceleme. Ege Eğitim Dergisi, 6(1), ) Arslan, Ç. (2007). İlköğretim Öğrencilerinde Muhakeme Etme ve İspatlama Düşüncesinin Gelişimi, Yayımlanmamış Doktora Tezi, Uludağ Üniversitesi, Bursa. 4) Bruner, J. S. (1966). Toward a theory of instruction. Cambridge, MA: Belknap Press. 5) Clements, D.H.(1999). Concrete Manipulatives, Concrete Ideas. Contemporary Issues in Early Childhood, Vol. 1, No 1, ) de Villers, M. (1990). The Role and Function of Proof with Sketchpad. Pythagoras, vol.24, p ) Dienes, Z. P. & Golding, E. W. (1971). Approach to modern mathematics. New York: Herder and Herder. 8) Fuson, K. C. & Briars, D. J. (1990). Using a base-ten blocks learning/teaching approach for first and second grade placevalueand multidigit addition and subtraction. Journal for Research in Mathematics Education, 21, ) Hanna, G. (2000). Proof, Explanation and Exploration: An Overview. Educational Studies in Mathematics, 44, ) Hawkins, M. (2007). Teaching Geometric Reasoning: Proof by Pictures, Unpublished Master Thesis, North Carolina State University, Raleigh, North Carolina, USA. 11) İskenderoğlu, T.A., Baki, A., Palancı, M. (2011). Matematiksel Kanıt Yapmaya Yönelik Görüş Ölçeği: Geçerlik ve Güvenirlik Çalışması, Necatibey Eğitim Fakültesi Elektronik Fen ve Matematik Eğitimi Dergisi, 5(1), ) Jones, K. (2000). The Student Experience of Mathematical Proof at University Level, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, vol. 31, no.1, p ) Knuth, E. J. (2002). Teachers Conceptions of Proof in the Context of Secondary School Mathematics, Journal of Mathematics Teacher Education, 5, 1, ) Mejia-Ramos, J. P. (2005). Aspects of Proof In Mathematics Research. Hewitt, D. (Ed.) Proceedings of the British Society for Research into Learning Mathematics, 25(2), ) Moralı, S., Uğurel, I., Türnüklü, S., Yeşildere, S. (2006). Matematik Öğretmen Adaylarının İspat Ypamaya Yönelik Görüşleri. Kastamonu Eğitim Dergisi, 14(1), ) Palais, R.S. (1999). The visualization of mathematics: Toward a mathematical explorator-ium'. Notices ofthe AMS 46(6), ) Piaget, J. (1971). Biology and knowledge. Chicago: The University of Chicago Press. 18) Raphael, D. & Wahlstrom, M. (1989). The influence of instructional aids on mathematics achievement. Journal for Researchin Mathematics Education, 20, ) Sarı, M., Altun, A., Aşkar, P. (2007). Undergraduate Students Mathematical Proof Processes in a Calculus Course: A Case Study. Ankara University Journal of Faculty of Educational Sciences, 40(2), ) Selden, J., & Selden, A. (2009). Understanding The Proof Construction Process. In F.-L Lin, F.-J. Hsieh, G. Hanna, & M. de Villiers (Eds.), Proceedings of the ICMI Study 19 Conference: Proof and

13 Proving in Mathematics Education, Vol. 2. (pp ). Taipei, Taiwan: The Department of Mathematics, National Taiwan Normal University. 21) Skemp, R. R. (1987). The psychology of learning mathematics, Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum. 22) Stylianides, G. J. (2007). Investigating the Guidance Offered to Teachers in Curriculum Materials: The Case of Proof in Mathematics, International Journal of Science and Mathematics Education, 6, ) Tall, D. & Mejia-Ramos, J. P. (2006). The Long-Term Cognitive Development of Different Types of Reasoning and Proof. Conference on Explanation and Proof in Mathematics: Philosophical and Educational Perspectives, Universitat Duisburg-Essen, Kasım 1 4, ) Türker, B., Alkaş, Ç., Aylar, E., Gürel, R., Akkuş İspir, O. (2010). The Views of Elementary Mathematics Education Preservice Teachers on Proving. International Journal of Human and Social Sciences( ) 5:7 25) Weber, K. (2001). Student Difficulty in Constructing Proof: The Need for Strategic Knowledge. Educational Studies in Mathematics, 48, ) Yıldırım, A. ve Şimşek, H. (2005). Sosyal bilimlerde nitel araştırma yöntemleri (göz. geç. 5. bs.). Ankara: Seçkin Yayıncılık.