ĐKĐLĐ ĐŞLEM KAVRAMI ĐLE ĐLGĐLĐ ÖĞRENME GÜÇLÜKLERĐNĐN BELĐRLENMESĐ VE 4MAT YÖNTEMĐNĐN BAŞARIYA ETKĐSĐ Enver TATAR Doktora Tezi Matematik Eğitimi

Transkript

1 ĐKĐLĐ ĐŞLEM KAVRAMI ĐLE ĐLGĐLĐ ÖĞRENME GÜÇLÜKLERĐNĐN BELĐRLENMESĐ VE 4MAT YÖNTEMĐNĐN BAŞARIYA ETKĐSĐ Enver TATAR Doktora Tezi Matematik Eğitimi Anabilim Dalı Prof. Dr. Ramazan DĐKĐCĐ 2006 Her hakkı saklıdır

2 ATATÜRK ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ DOKTORA TEZĐ ĐKĐLĐ ĐŞLEM KAVRAMI ĐLE ĐLGĐLĐ ÖĞRENME GÜÇLÜKLERĐNĐN BELĐRLENMESĐ VE 4MAT YÖNTEMĐNĐN BAŞARIYA ETKĐSĐ Enver TATAR MATEMATĐK EĞĐTĐMĐ ANABĐLĐM DALI ERZURUM 2006 Her hakkı saklıdır

3

4 ÖZET Doktora Tezi ĐKĐLĐ ĐŞLEM KAVRAMI ĐLE ĐLGĐLĐ ÖĞRENME GÜÇLÜKLERĐNĐN BELĐRLENMESĐ VE 4MAT YÖNTEMĐNĐN BAŞARIYA ETKĐSĐ Enver TATAR Atatürk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Eğitimi Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Ramazan DĐKĐCĐ Bu araştırma iki kısımdan oluşmaktadır. Birinci kısımda amaç; ortaöğretim öğrencilerinin ikili işlem ve özellikleri konusundaki öğrenme güçlüklerini belirlemek, ikinci kısımdaki amaç ise ikili işlem ve özellikleri konusunun öğretiminde öğrenme stili ve beyin yarıkürelerinin dikkate alındığı 4MAT öğretim yönteminin etkinliğini belirlemektir. Araştırmanın ilk kısmında durum çalışması deseni kullanılmıştır. Bu kısmın örneklemini Erzurum Ziya Gökalp Lisesi ve Mehmet Akif Ersoy Lisesinde eğitim-öğretim yılında öğrenim gören sırasıyla 79 ve 39 dokuzuncu sınıf öğrencisi olmak üzere toplam 118 öğrenci ve 8 ortaöğretim matematik öğretmeni oluşturmaktadır. Đkinci kısmın örneklemini ise, Erzurum Ziya Gökalp Lisesinin iki farklı şubesindeki 58 dokuzuncu sınıf öğrencisi oluşturmaktadır. Şubelerden biri, 4MAT öğretim yönteminin kullanılacağı deney grubu; diğeri ise geleneksel öğretimin yapılacağı kontrol grubu olarak seçilmiş ve bu seçim rasgele yapılmıştır. Eşitlenmemiş kontrol gruplu deseninin kullanıldığı çalışmanın bu kısmında, eğitim-öğretim yılının birinci döneminde 2 hafta süreyle uygulama yapılmıştır. Araştırmanın verileri; matematik bilgi testi, matematik tutum ölçeği, ikili işlem ve özellikleri bilgi testi olmak üzere başlıca üç ölçek ve mülakatlardan elde edilmiştir. Öğrencilerin ikili işlem ve özellikleri konusundaki öğrenme güçlüklerini belirleme aşamasında elde edilen verileri analiz etmek için yüzde ve frekans kullanılmıştır. Ayrıca yapılan mülakatların verileri betimsel analiz ile değerlendirilmiştir. Araştırmada öne sürülen hipotezin test edilmesinde bağımsız grup t-testi kullanılmıştır. Araştırmanın birinci kısmına ait verilerin analizi sonucunda öğrencilerin çoğunlukla ikili işlemin özelliklerini öğrenmede güçlüklere sahip oldukları tespit edilmiştir. Đkinci kısımdaki verilerin analizi sonucunda ise, ikili işlem konusunun öğretiminde 4MAT öğretim yönteminin geleneksel öğretim yöntemine göre daha etkili olduğu belirlenmiştir. 2006, 129 sayfa Anahtar Kelimeler: Đkili işlem, soyut cebir, öğrenme güçlüğü, öğrenme stili, beyin yarıküreleri, 4MAT öğretim yöntemi i

5 ABSTRACT Ph. D. Thesis DIAGNOSING LEARNING DIFFICULTIES IN BINARY OPERATION AND THE EFFECT OF 4MAT METHOD ON ACHIEVEMENT Enver TATAR Atatürk University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics Education Supervisor: Prof. Dr. Ramazan DĐKĐCĐ The study consists of two stages. The aim of first stage is to diagnose learning difficulties of high school students in binary operation and its properties. The aim of second stage is to determine effectiveness of the 4MAT teaching method which took into consideration learning style and brain hemisphere in teaching binary operation and its properties. Case study design was used in first stage of the study. Sampling of this stage consisted of total 118 grade 9 students who studying in Erzurum Ziya Gökalp High School (N=79) and Mehmet Akif High School (N=39) in educational term and 8 high school mathematics teachers. Sampling of second stage consisted of total 58 grade 9 students who were in two different classes in Ziya Gökalp High School. One of the classes was randomly selected as experimental group in which 4MAT teaching method was used.. This stage of the study, in which nonequational control group design was used, was carried out for two weeks in the first semester education seasons. The data were obtained by three instruments which involved mathematics knowledge test, mathematics attitude test, binary operation and its properties knowledge test and interviews. In order to analyse the obtained data by diagnosing learning difficulties in binary operation and its properties, percentage-frequency was used. The interview data were evaluated by descriptive analysis. In order to test research hypothesis independent group t-test were used. The results showed that the students had learning difficulties in properties of binary operation and that 4MAT teaching method was more effective than traditional teaching method in teaching binary operation. 2006, 129 pages Keywords: Binary operation, abstract algebra, learning difficulty, learning style, brain hemisphere, 4MAT teaching method ii

6 TEŞEKKÜR Bu araştırmaya beni yönlendiren ve çalışmalarım boyunca her türlü desteği sağlayan çok değerli hocam Sayın Prof. Dr. Ramazan DĐKĐCĐ ye en içten şükranlarımı sunarım. Çalışmanın her aşamasında değerli görüş ve katkılarını esirgemeyen Sayın Prof. Dr. Ahmet IŞIK a ve Sayın Doç. Dr. Abdullah MAĞDEN e teşekkürlerimi sunarım. Enver TATAR Ekim 2006 iii

7 ĐÇĐNDEKĐLER ÖZET... i ABSTRACT... ii TEŞEKKÜR...iii KISALTMALAR ve SĐMGELER DĐZĐNĐ... vi ŞEKĐLLER DĐZĐNĐ... vii ÇĐZELGELER DĐZĐNĐ... ix 1. GĐRĐŞ Matematikte Öğrenme Güçlükleri Öğrenme Stili Öğrenme stili modelleri Beyin Yarıküreleri Sağ ve sol yarıkürelerinin özellikleri MAT Sistemi Birinci çeyrek: kavram ile birey arasında bağlantı kurma Đkinci çeyrek: kavramı formüle etme Üçüncü çeyrek: uygulama ve içselleştirme Dördüncü çeyrek: uygulama ve deneyimi bütünleştirme KAYNAK ÖZETLERĐ Matematikte Öğrenme Güçlükleri ile Đlgili Araştırmalar Matematikte Öğrenme Stilleri ile Đlgili Araştırmalar MATERYAL ve YÖNTEM Araştırmanın Amacı Problem ve Hipotez Alt problemler Hipotez Araştırmanın Deseni Araştırmanın Örneklemi Değişkenler Bağımsız değişkenler iv

8 Bağımlı değişkenler Veri Toplama Araçları Matematik bilgi testi Matematik tutum ölçeği Đkili işlem ve özellikleri bilgi testi Mülakatlar Uygulama Verilerin Analizi Araştırmanın Kabulleri ve Sınırlılıkları Araştırmanın kabulleri Araştırmanın sınırlılıkları ARAŞTIRMA BULGULARI Đkili Đşlem ve Özelliklerindeki Öğrenme Güçlükleri ile Đlgili Bulgular Đkili işlemdeki öğrenme güçlükleri Đkili işlemin özelliklerindeki öğrenme güçlükleri Öğretmenlerle yapılan mülakatların betimsel analizi MAT Öğretim Yönteminin Kullanımından Elde Edilen Bulgular TARTIŞMA ve SONUÇ Đkili Đşlem ve Özelliklerindeki Öğrenme Güçlükleri ile Đlgili Tartışma ve Sonuç MAT Öğretim Yönteminin Đkili Đşlem ve Özelliklerinin Öğretimindeki Etkinliği ile Đlgili Tartışma ve Sonuç KAYNAKLAR EKLER EK EK EK EK EK EK ÖZGEÇMĐŞ v

9 KISALTMALAR ve SĐMGELER DĐZĐNĐ Đ.B.T. ÖSS p sd SPSS X Đkili Đşlem ve Özellikleri Bilgi Testi Öğrenci Seçme Sınavı Önem derecesi Standart sapma Statistical Package for the Social Sciences Ortalama vi

10 ŞEKĐLLER DĐZĐNĐ Şekil 1.1. Bireyin bilgiyi algılama ve işleme boyutları...16 Şekil 1.2. Kolb öğrenme stili modeli...17 Şekil 1.3. McCarthy öğrenme stili modeli...20 Şekil MAT sisteminin birinci çeyreği - 1. ve 2. adımlar...28 Şekil MAT sisteminin ikinci çeyreği - üçüncü ve dördüncü adımlar...29 Şekil MAT Sisteminin üçüncü çeyreği beşinci ve altıncı adımlar...31 Şekil MAT Sisteminin dördüncü çeyreği - yedinci ve sekizinci adımlar...32 Şekil MAT sistemi...33 Şekil 4.1. Öğrencilerin soru 1 için verdikleri cevapların yüzdeleri...62 Şekil 4.2. Öğrenci A nın soru 1 için verdiği cevap...62 Şekil 4.3. Bir öğrencinin soru 1 için verdiği cevap...63 Şekil 4.4. Bir öğrencinin soru 1 için verdiği cevap...63 Şekil 4.5. Öğrencilerin soru 2 ve 3 için verdikleri cevapların yüzdeleri...64 Şekil 4.6. Öğrencilerin soru 4 için verdikleri cevapların yüzdeleri...65 Şekil 4.7. Bir öğrencinin soru 4 için verdiği cevap...65 Şekil 4.8. Öğrencilerin soru 5 için verdikleri cevapların yüzdeleri...66 Şekil 4.9. Bir öğrencinin soru 5 için verdiği cevap...67 Şekil Bir öğrencinin soru 5 için verdiği cevap...67 Şekil Öğrencilerin soru 6 ve 7 için verdikleri cevapların yüzdeleri...68 Şekil Öğrenci B nin soru 6 için verdiği cevap...69 Şekil Öğrenci B nin soru 7 için verdiği cevap...69 Şekil Öğrencilerin soru 8-a ve 9 için verdikleri cevapların yüzdeleri...70 Şekil Bir öğrencinin soru 8-a için verdiği cevap...70 Şekil Öğrencilerin soru 8-b için verdikleri cevapların yüzdeleri...71 Şekil Öğrenci C nin soru 8-b için verdiği cevap...71 Şekil Öğrencilerin soru 10 için verdikleri cevapların yüzdeleri...72 Şekil Bir öğrencinin soru 10 için verdiği cevap...72 Şekil Öğrencilerin soru 11, 12 ve 13 için verdikleri cevapların yüzdeleri...73 Şekil Bir öğrencinin soru 13 için verdiği cevap...74 vii

11 Şekil Bir öğrencinin soru 11 için verdiği cevap...75 Şekil Öğrencilerin soru 14 ve 15 için verdikleri cevapların yüzdeleri...75 viii

12 ÇĐZELGELER DĐZĐNĐ Çizelge 1.1. Beynin sağ ve sol yarıkürelerinin özellikleri...24 Çizelge 1.2. Beyin yarıkürelerini etkin hale getirme yolları...25 Çizelge 3.1. Deneysel yöntem...53 Çizelge 3.2. Deneysel çalışma süreci...58 Çizelge 3.3. Öğrencilerin cevap kategorileri ve bu kategorilere karşılık gelen puan değerleri...59 Çizelge 4.1. Matematik bilgi seviyesi...79 Çizelge 4.2. Matematiğe karşı tutumları...79 Çizelge 4.3. Đkili işlem ve özellikleri ön bilgi seviyesi...79 Çizelge 4.4. Đkili işlem ve özellikleri son bilgi seviyesi...80 Çizelge 4.5. Deney ve kontrol gruplarının Đ.B.T. cevap kategorileri oranları...81 ix

13 1 1. GĐRĐŞ Matematik eğitimcileri soyut cebir öğreniminin son derece önemli olduğunu kabul ederler. Yüksek düzeyde matematik eğitimi almış bir kişinin öğrenim hayatında soyut cebir dersinin ayrı bir yeri vardır. Cebirin terminolojisi ve metodolojisi; bilgisayar biliminde, fizikte, kimyada ve veri iletişiminde daha geniş bir şekilde kullanılır. Elbette cebir ileri matematikte tek başına merkezi bir role sahiptir (Hazzan 2003). Belki de üniversite matematik müfredatındaki dersler, matematik bölüm hocaları ve öğrencileri için soyut cebirin ilk dersinden daha büyük bir ilgiye sahip değildir ve olmamıştır. Üniversiteye gelmeden önce matematiği seven, başaran ve bu yüzden üniversite öğreniminde matematik branşını seçen çoğu öğrenci, soyut cebir dersinde büyük zorluklarla karşılaşır. Daha da kötüsü, matematik onların branşları olmasına rağmen, bu öğrencilerin çoğunun soyut cebir dersi yüzünden matematikten hoşlanmamaya başladıkları gerçeğidir (Clark et al. 1997). Soyut cebir öğreticileri; a. Bütün öğrenciler öğreniyor mu? b. Daha anlamlı bir şekilde öğrenebilirler miydi? c. Öğretim metodu öğrencilerde en iyiyi ortaya çıkarabiliyor mu? şeklindeki sorulara en iyi cevabı bulmaya çalışmaktadırlar (Krisnamani and Kimmins 1993). Bununla birlikte; birçok öğretici, vermeye çalıştıkları fikirlerin öğrenciler tarafından anlaşılmasında çekilen zorlukları rapor etmektedir. Bu yüzden eğitimciler, öğrencilerin soyut cebir kavramlarını anlamalarına yardımcı olma yollarını bulmaya ve onların bu kavramları öğrenmeleri için uygun yolları araştırmaya çalışmaktadırlar (Hazzan 2003). Hazzan (1999), soyut cebir öğrenimi üzerine yapılmış olan araştırmaları inceleyerek bunları; a. Soyut cebir öğretim metotları

14 2 b. Soyut cebirde öğrenme, anlama ve kavram gelişimi olmak üzere kabaca iki gruba ayırmıştır. Herhangi bir konuda öğrencilerin karşılaştıkları güçlükleri bilmek, öğrenme üzerine yapılan çalışmalar için önemli bir ilk adımdır. Böyle bir bilginin sonraki çalışmalarla sentezlenmesi ve bağlantı kurulması; gelecek müfredatların düzenlenmesinde ve öğretim modelinin oluşturulmasında önemli bir temel sayılacaktır (Rasmussen 1998) Matematikte Öğrenme Güçlükleri Bu araştırmada incelenecek olan öğrenme güçlükleri, sosyolojik ve psikolojik faktörlerden ziyade bilişsel faktörler açısından ele alınacaktır. Bu bölümde ilk olarak öğrenme nedir? sorusuna cevap aranmaktadır. Öğrenme, insanoğlunun en önemli yeteneklerinden biridir. Đnsan yaşamının ayrılmaz unsurlarındandır. En önemlisi de yaşamın olmazsa olmazlarındandır. Doğumla başlayan ve ölümle son bulan bir sürecin en önemli parçasıdır. Gagne (1983), öğrenmeyi sadece büyüme sürecine atfedilemeyen, insanın eğilimlerinde ve yeterliklerinde belli bir zaman diliminde oluşan değişme; Hergenhahn (1988) ise, vücutta hastalık, yorgunluk ya da ilaç etkisiyle meydana gelen geçici değişmelere atfedilmeyecek, yaşantı sonucunda davranışta ya da potansiyel davranışta meydana gelen nispeten kalıcı izli bir değişme olarak tanımlamıştır (Senemoğlu 2000). Öğrenmeyi farklı şekillerde tanımlayan araştırmacılar da vardır. Gates vd. (l962), öğrenmeyi; bireyin olgunlaşma düzeyine göre, çevresiyle olan etkileşimi sonucunda yeni davranışlar kazanması veya eski davranışlarını değiştirme sureci olarak tanımlamışlar; Harris ve Wilson (1962), öğrenme aracılığıyla insanların hayat şartlarına daha iyi uyum sağlayabilmek için yeni davranış şekilleri kazandıklarını belirtmişlerdir (Akbaba 1995).

15 3 Bir davranışın öğrenme olup olmadığı aşağıdaki sorularla anlaşılabilir: a. Tekrar veya yaşantı yoluyla mı oluşmuştur? b. Davranışta değişiklik meydana gelmiş midir? c. Değişiklik oldukça kalıcı mıdır? Bu sorulardan herhangi birisine hayır cevabı alınıyorsa, o davranış öğrenme değildir (Bacanlı 2004). Elbette matematik eğitiminin amacı, bütün öğrencilerin öğrenmeyi en üst düzeyde gerçekleştirmesidir. Fakat bir kaçının bunu gerçekleştirmesine karşın büyük çoğunluğun matematikte güçlük yaşaması yaşamın bir gerçeği olarak görülür (Tall and Razali 1993). Yaşanan bu güçlüklerin belirlenmesi ve giderilmesi, öğrenme sürecinde öğrenciye yardımcı olunması ve rehberlik edilmesi, çağdaş eğitimin gereklerinden olduğu kadar öğretmenin de görevlerindendir (Ersoy ve Ardahan 2003). Bu nedenle öğretmenler, etkili bir şekilde anlamayı sağlayan öğrenme ortamlarını geliştirmek ve tasarlamak için matematik öğrenmede öğrencilerin yaşamış oldukları güçlüklerin farkında olmalılardır (Yetkin 2003). Öğrencilerin matematikteki öğrenme güçlüklerinin bir an önce tespit edilip giderilmesi gerekir (Duval 2002). Yetkin (2003), matematikte kavramayı geliştirmenin önemli fakat güç bir hedef olduğunu ifade ederek; öğrencilerin matematikteki öğrenme güçlüklerini ve bu güçlüklerin kaynağını bilmenin, onları gidermek için öğretim yöntemi dizayn etmenin, bu hedefe ulaşmada önemli bir adım olduğunu belirtmiştir. Herhangi bir konuda öğrenme güçlüğü yaşayan bir öğrencinin daha sonra gelecek konularda başarıya ulaşması zordur (Dikici ve Đşleyen 2004). Çünkü matematik konuları, diğer derslere göre daha güçlü bir sıralı yapıya sahip olduğundan, herhangi bir kavram onun ön şartı durumundaki diğer kavramlar kazanılmadan tam olarak kavranılamaz (Altun 1998). Çağdaş eğitim anlayışı, öğretmenleri, öğrenmeyi maksimum düzeyde gerçekleştirecek öğretim metot ve modelini seçme ve uygulama zorunluluğu ve sorumluluğu ile karşı

16 4 karşıya bırakmıştır (Yılmaz 2001). Herhangi bir konudaki öğrenme güçlüklerinin tespit edilmiş olması, bu öğretim metot ve modelini seçmede öğreticilere fayda sağlayacaktır. Öğrencilerin öğrenme güçlüklerinin birçok nedeni bulunmaktadır. Örneğin, belli bir düzeyde matematik konularının öğrenilmesinde çocuğun zihinsel gelişimde bulunduğu aşama, bilginin zihinde yapılandırılma biçimi önemli etmenlerdir (Ersoy ve Ardahan 2003). Tall (1993), matematikte öğrenme güçlüklerini araştırmak için uygulanan değişik çalışmaların var olduğunu ve tespit edilen bu güçlüklerden bazılarını genel olarak; a. Temel kavramların yetersiz bir şekilde kavranması b. Sözel problemleri matematiksel olarak formülize etmedeki yetersizlik c. Cebirsel, geometrik ve trigonometrik becerilerdeki eksiklik şeklinde ifade etmiştir. Birçok çalışma göstermiştir ki, değişik okul ve sınıf düzeylerinde öğrencilerin temel cebir kavramlarını (eşitlik çözümü, cebirsel ifadelerin kullanımı, problem çözme, değişken, vb.) anlama ile ilgili güçlükleri, ortak yanlışları ve yanılgıları vardır (Erbaş ve Ersoy 2002). Kieran (1989), cebirdeki öğrenme güçlüğünün önemli bir bölümünün öğrencilerin yapıyı fark etme ve kullanmadaki güçlükleri olduğunu vurgulamıştır. Yapı, yüzey yapısını (yani 3(x+2) ifadesi x değerinin 2 ile toplanması ve daha sonra 3 ile çarpılması anlamına gelmesi) ve sistemik yapıyı (işlemin özelliklerine göre bir ifadenin eşdeğer biçimleri, yani 3(x+2); (x+2)3 veya 3x+6 olarak ifade edilebilir) içerir (Vermeulen et al. 1996). Booth (1989), öğrencilerin cebirdeki güçlüklerinin büyük bir kısmının aritmetiksel ilişkileri anlamadaki eksikliklerinden kaynaklandığını ifade etmektedir (Vermeulen et al. 1996).

17 5 Dede ve Argün (2003), cebirin öğrenilmesindeki güçlüklerin nedenlerini; a. Cebir in yapısı: Cebir in yapısı ise iki boyutta ele alınabilir. Bunlar, cebirin dili ve cebirin içeriğidir. b. Öğrencilerin zihinsel gelişimleri ve hazır bulunuşluk düzeyleri: Öğrencilerin cebirsel kavramları ve yapıları anlayabilmeleri için bazı ön bilgilere sahip olmaları gerekmektedir. Bunlar; eşitlik kavramı, değişken kavramı ve aritmetik işlem bilgisidir. c. Cebir in öğretimindeki eksiklikler şeklinde üç maddede toplanabileceğini ifade etmişlerdir. Yusof ve Rahman (2001a), çalıştıkları üniversitede okuyan öğrenciler üzerinde yapılan araştırmalarda öğrenme güçlüklerinin; a. Bilişsel açı: Temel kavramların yetersiz kavranışı, hesap yapma becerisinin yetersizliği, bilinen olguları etkili bir şekilde düzenlemedeki yetersizlik ve matematiksel dili ve sembolleri tam öğrenmedeki problemler b. Öğrenmenin yönetimi: Öğrencilerin öğrenme stilleri ve akademik sistemi anlama c. Öğrencilerin tutum ve algıları: Matematiğe karşı ve genel olarak hayata karşı tutum ve algıları d. Ortaöğretimden üniversiteye geçiş: Ortaöğretimdeki ders yılı sisteminden üniversitedeki sömestre sitemine geçiş, sınıf yerleşimindeki değişiklikler, sosyal çevrenin değişimi, öğretim metotlarının değişimi ve matematiksel içeriği sunmadaki değişiklikler şeklinde dört temel açıdan değerlendirildiğini ifade etmişlerdir. Yeni bir konuya geçmeden önce, bazı ön-şart davranışların kazanılmaması yeni bilgilerin öğrenilmesini zorlaştırır (Şandır vd. 2002). Ön-şart oluş ilişkilerinin güçlü olduğu kavramlardan biri de ikili işlem kavramıdır. Özellikle soyut cebir dersinde ikili işlemin önemi büyüktür. Lise öğrenimine başlayan bir öğrencinin matematikte ilk olarak karşılaştığı konular arasında yer alan ikili işlem konusu, soyut cebirin temel konuları arasındadır. Bilindiği üzere ikili işlem; matematiğin birçok dalında kullanılmakla sınırlı kalmayıp, fizikte

18 6 kuantum mekaniği ve kristal yapıların teorisinde, kimyada, biyolojide ve diğer birçok bilim dalında uygulama alanı bulan grup teorisinin temel kavramıdır. O halde böylesine önemli olan bir kavramın öğrenciler tarafından nasıl kavranıldığının da araştırılması gerekir. 1.2 Öğrenme Stili Bireysel farklılıklar bir taraftan eğitimcilerin mesleki çalışmalarını motive ederken; diğer taraftan uygulamada gözden kaçan bir kavramdır. Bu yüzden yüzyıllardır eğitimcilerin ilgisini çekmiş, bu konuda araştırmalar ve açıklamalar yapılma ihtiyacı duyulmuştur. Öğrenme stili, bireysel farklılığı ifade eden en önemli kavramlardan biridir (Ekici 2002a). Keefe, öğrenme stili araştırmalarının ilk olarak 1892 de ortaya çıktığını ve araştırmaların çoğunluğunun 1940 dan sonra görüldüğünü belirtmektedir (Lemire 1996). Öğrenme stilinin farklı araştırmacılar tarafından yapılmış birçok tarifi bulunmaktadır. Öğrenme stilleri konusunda uzun çalışmalar yapan Rita Dunn, öğrenme stillerini şu şekilde tanımlamaktadır: Öğrenme stilleri her bir öğrencinin yeni ve zor bilgiyi öğrenmeye hazırlanırken, öğrenirken ve hatırlarken farklı ve kendilerine özgü yollar kullanmasıdır (Boydak 2005). Hem Yaakub (1999) hem de Hein ve Budny (1999) öğrenme stilini, bireyin öğrenme ortamını nasıl algıladığının, bu ortam ile nasıl etkileşimde bulunduğunun ve bu ortama nasıl tepki gösterdiğinin sabit göstergeleri olan bilişsel, duyuşsal ve fizyolojik özellikler olarak tarif etmektedirler. Davis (1993), öğrenme stilini en genel anlamda, bireylerin bilgiyi toplama, düzenleme, düşünme ve yorumlama yöntemlerindeki tercihi (Bilgin ve Durmuş 2003); McCarthy (1987) ise, bireylerin bilgiyi algılama ve işleme yeteneklerini kullanmadaki tercihi

19 7 olarak tanımlamaktadır. Doğanay ve Karip (2006) de öğrenme stilini, öğrencilerin öğrenirken, problem çözerken ve bilgiyi işlerken sahip oldukları farklı yaklaşımlar olarak tarif etmişlerdir. Bir öğrencinin öğrenme stili aşağıdaki beş soruya verilen cevaplarla tanımlanabilir (Felder and Silverman 1988; Felder and Henriques 1995): a. Öğrenciler, hangi tür bilgiyi algılamayı tercih ederler? : Duyusal(harici)- sezgisel(dahili) b. Öğrenciler, hangi duyusal kanal aracılığı ile bilgiyi etkili bir şekilde içselleştirirler? : Görsel-işitsel (diğer duyusal kanallar-dokunma, koklama, tatma- çoğu eğitim çevresinde görme ve işitmeye nazaran önemsizlerdir.) c. Öğrenciler, bilginin hangi düzende verilmesi ile daha rahat kavrarlar? : Tümevarımtümdengelim d. Öğrenciler bilgiyi nasıl işlemeyi tercih ederler? : Aktif-yansıtıcı e. Öğrenciler kavramalarını nasıl gerçekleştiriyorlar? : Analitik-bütünsel(global) Kan grubunu bilmenin yaşam için önemi açıktır. Kan grubu kadar önemli olan öğrenme stilini de bilmek yaşamı oldukça kolaylaştıracaktır. Öğrenme stili, kan grubu gibi doğuştan var olan ve bireyin hayatını derinden etkileyen karakteristik özelliğidir (Boydak 2005). Çağımızın bilgi çağı olması ve öğrenmede kazanılması gereken bilgi, beceri, tutum ve davranışların gün geçtikçe artması, bireyin etkin öğrenmeyi bilmesini zorunlu kılmaktadır. Çağdaş başarı ancak etkin öğrenme ile elde edilebilir. Etkin öğrenme ise, bireyin sahip olduğu öğrenme stili/stilleri doğrultusunda hazırlanmış eğitim programlarının uygulanmasıyla sağlanabilir (Kaya ve Akçin 2002). Eğitim-öğretimin temel amacı bireylerin belirlenen davranışlar yönünde yetişmelerini sağlamak ise, öğrenme yaşantılarının öğrenme stillerine uygun olarak düzenlenmesi, amaçlara daha kolay ulaşılmasını sağlayabilir. Bu durum sağlanamadığı takdirde, sonuçta aynı zekâya sahip öğrencilerden biri başarılı olurken diğeri başarısız olabilir

20 8 (Ekici 2002b; Mutlu ve Aydoğdu 2003). Dwyer (1996) ise, hangi öğrenme ortamında olunursa olunsun, öğrencilerin öğrenme stillerinin dikkate alınarak sürecin tasarlanması gerektiğini vurgulamaktadır (Kılıç ve Karadeniz 2004). Eğer bireylerin stillerinin ne olduğu belirlenirse, bu bireylerin nasıl öğrenebileceği ve onlara nasıl bir öğretim tasarımı uygulanabileceği de daha kolay bir biçimde kestirilebilir. Böylece öğretici öncelikle kendisi sonra da öğrencileri için buna uygun ortamlar oluşturabilir (Babadoğan 2000). Reiff (1992), öğrenme stillerinin bilinmesi öğretmenlerin öğrencilerini daha iyi tanımalarını ve dolayısıyla daha iyi ders programları hazırlamalarını sağlar demektedir (Boydak 2005). Eğitim ortamlarının öğrencilerin öğrenme stillerine uygun olarak düzenlenmesi pek çok yarar sağlayacaktır. Bunlar genel olarak şöyle sıralanabilir (Ekici 2003): a. Öğrencinin ve sistemin başarısı artar (Griggs 1991; Hein and Budny 1999; Peker 2003). b. Öğrenci başarısızlığından kaynaklanan maddi kayıplar azalır. c. Öğrencilerin kendine güveni artar. d. Eğitimde esneklik artar. e. Eğitimin öğrenci düzeyine uygunluğu sağlanır. Given (1996) ise, yapılan araştırmalarda öğrencilere kendi öğrenme stilleri aracılığı ile öğretim yapıldığında, onların; a. Öğretime karşı tutumlarında istatistiksel olarak önemli ilerleme b. Bilişsel çeşitliliğe karşı artan tolerans c. Akademik başarıda istatistiksel olarak önemli artış d. Daha iyi bir şekilde disiplin altına alınma ve daha iyi davranış e. Ev ödevlerini tamamlamada daha büyük bir iç disiplin sergileyeceklerini bildirmiştir.

21 9 Öğrenciler, öğretmenlerinin öğrettiği şekli ile öğrenemezlerse öğrencilerin öğrendiği şekilde anlatılmalıdır. Yani, öğrenciler nasıl öğreniyorlarsa öyle öğretmek gerekir (Marshall 1990). Öğrenme stillerine hitap edecek yaklaşım ve metotlarla öğretim yapıldığında, öğrenciler hemen hemen her konuyu öğrenebilirler. Böylece öğrenciler derslerinden dolayı başarısız olmazlar (Dunn 1990) Öğrenme stili modelleri Her ne kadar öğrenme stillerinin bireyden bireye farklılaştığı ve öğrenmede önemli bir etken olduğu kabul edilse de, öğrenme stillerinin doğası ve belirleme yöntemleri konusunda çok farklı yaklaşımlar söz konusudur. Bunun temel nedeni, bir bireyin öğrenme stilinin bilişsel, duyuşsal ve fizyolojik olmak üzere üç farklı boyutunun olması ve kuramcıların bunlardan birisi üzerinde odaklaşmasıdır (Ekici 2002a). Yüzlerce öğrenme stili yaklaşımı veya modeli vardır ve bunlar aşağıda verilen beş kategorinin bir veya birkaçına girmektedir (Given 1996): a. Kişilik ve duygusal özelliklerle ilgili modeller b. Psikolojik, bilişsel ve bilgi işleme modelleri c. Sosyal modeller d. Fiziksel modeller e. Çevresel ve öğretimsel modeller. Aşağıda literatürde adından sıkça bahsedilen ve 4MAT öğretim yönteminin teoriksel altyapısını oluşturan öğrenme modellerinden bahsedilecektir.

22 Carl Jung a göre öğrenme stilleri Carl Jung, Psikolojik Tipler isimli kitabında insanların bilgiyi algılama ve işleme biçimlerindeki farklılıkları araştırmıştır. Bunları; hissedenler, düşünürler, algısallar ve sezgiseller olmak üzere dört kategoriye ayırmıştır (McCarthy 1987). a. Hissedenler Đnsani değerlere, kişisel dostluklar kurmaya, inanç ve beğenilere bağlı olarak öznel kararlar vermeye eğilimlidirler. Takdir edicidirler, kişisel ve insani koşulları göz önünde bulundururlar (Veznedaroğlu ve Özgür 2005). Böylece akıl ile uyuşmayan fakat duyguları ile uyum içinde algıladıklarını ve kendileri için olanları tasdik ederler (McCarthy 1987). b. Düşünürler Düşünme, bir şeyin anlamını fark etmemizi sağlar (McCarthy 1987). Düşünürler; objektif, mantık ve analize dayanan kararlar verme eğilimi gösterirler. Şüphecidirler, kurallara dayalı karar verirler (Veznedaroğlu ve Özgür 2005). c. Algısallar Bilinçli bir şekilde algılarlar. Fakat hissedenler gibi hissettikleri şeye değer vermezler (McCarthy 1987). Algısallar, gözle ve deneylerden elde edilmiş gerçek, somut, sayılabilir veriler ve olguları tercih ederler, pratiktirler, süreçlere ve detaylara odaklanırlar (Veznedaroğlu ve Özgür 2005).

23 11 d. Sezgiseller Đçebakış ve hayal gücü aracılığıyla anlamlara ve olasılıklara odaklanırlar. Kavramları ve ilişkileri tercih ederler (Veznedaroğlu ve Özgür 2005). Sezgiseller, bir bütün şeklinde gördükleri ve hissettikleri şeyi anlarlar (McCarthy 1987) Anthony Gregorc a göre öğrenme stilleri Gregorc öğrenme stili modeli, bilgiyi alma, işleme, depolama, kodlama ve kodları çözme biçimleri üzerinde yoğunlaşan bilişsel boyut içinde kabul edilen bir modeldir (Ekici 2002a). Gregorc a göre kişinin öğrenmesinde ve öğrenme stilinin oluşmasında algılama yeteneği çok önemlidir. Bu modelde kişiler; algılama yeteneklerine göre somut ve soyut algılayanlar, algıladıkları verileri düzenleme yeteneklerine göre sıralı ve dağınık(sıralı olmayan) düzenleyenler olmak üzere iki boyutta incelenir. Bu boyutların kombinasyonuyla, Gregorc öğrenme stilleri modelinde; somut sıralı, soyut sıralı, somut dağınık ve soyut dağınık olmak üzere toplam dört öğrenme stili vardır (Ekici 2002a; Peker 2003) a. Somut Sıralı Öğrenme Stili Bu öğrenme stiline sahip bireyler, yaparak yaşayarak öğrenmeyi severler. Bilgilerin kendilerine adım adım ve basitten karmaşığa doğru verilmesini isterler. Bu bireylerin beş duyu organları son derece gelişmiştir. Bu bireyler; gerçek yaşantıları içeren faaliyetler yapma, somut materyaller kullanarak projeler yapma ve yönergelerle belirlenmiş alıştırmalar yapma gibi öğretim yaklaşımlarını tercih ederler (Ekici 2003). b. Soyut Sıralı Öğrenme Stili Bu öğrenme stiline sahip bireyler, öncelikle öğrenecekleri ile ilgili olarak zihinlerinde boş bir harita veya resim gibi değerlendirilebilecek bir çerçeve yapı oluştururlar. Daha

24 12 sonra konu hakkında kendilerine düzenli olarak verilen bilgilerden uygun olanları bir düzen içinde alırlar ve zihinlerinde oluşturdukları harita-resim çerçevesinin içine yerleştirerek konunun bütünü hakkında bir sonuca ulaşmaya çalışırlar. Bilgileri bir otoriteden öğrenmeyi tercih ederler. Yeni kavramlar ve fikirler üretmeyi, kavramlarla uğraşmayı severler (Ekici 2002a). Bu bireyler; anlatım yöntemi, tartışmalar yapma ve kavram haritaları kullanma gibi öğretim yaklaşımlarını tercih ederler (Ekici 2003). c. Somut Dağınık Öğrenme Stili Bu öğrenme stiline sahip bireylerin problem çözme konusunda üstün yetenekleri vardır. Gerçek problemlerle ilgilenirler. Bu problemlerle ilgili olarak yeni kavramlar ve bilgiler elde etmeye çalışan araştırmacı bir kişilikleri vardır. Sebepleri araştırmayı severler ve karşılarına çıkan beklenmedik yeni durumlar onların ilgilerini çeker. Problem çözerken bilgilerin sistematik bir düzen içinde verilmesine ihtiyaç duymazlar (Ekici 2002a). Bu bireyler; gerçek materyallerle deneme-yanılma aktiviteleri yapma, kısa anlatımlar yapma ve proje hazırlama gibi öğretim yaklaşımlarını tercih ederler (Ekici 2003). d. Soyut Dağınık Öğrenme Stili Bu öğrenme stiline sahip bireyler, olayları ve kavramları düzensiz, karışık bir şekilde algılarlar. Onlar için öğrenilecek bilgilerde bir düzenin olmasına gerek yoktur. Duygu ve düşünceleri açıkça ifade etmekte başarılıdırlar. Bu bireyler; fikirleri, kavramları ve yapıları tartışma, rol oynama-drama çalışmaları yapma ve soru-cevap tekniğini kullanma gibi öğretim yaklaşımlarını tercih ederler (Ekici 2003) Dunn ve Dunn öğrenme stili modeli Günümüzde üzerinde sıkça durulan bir başka model de, Rita Dunn ve Kenneth Dunn ın ileri sürdüğü öğrenme stilleri modelidir. Bu model, uyarıcılar adı verilen beş temel kategoriden oluşmaktadır. Bu beş temel kategori içinde öğrenmeye etki eden yirmi bir farklı bileşen vardır (Thomson and Mascazine 1997; Acat vd. 2004).

25 13 a. Çevresel Unsurlar Ses, ışık, sıcaklık ve odanın dizaynı gibi öğrenme stilinin çevresel öğeleri bireyi öğrenirken etkiler. Örneğin, bazıları ders çalışmak için sessiz bir ortamı tercih ederlerken; bazıları da radyo veya televizyon gibi bir ses kaynağının olduğu ortamları tercih etmektedirler. Ayrıca çalışma ortamının ışık düzeyi (loş, yumuşak-parlak ışık), sıcaklık düzeyi (sıcak-serin) ve bu ortamdaki eşyaların düzenli-düzensiz olması tercihleri de vardır (Güneş 2004). b. Duygusal Unsurlar Motivasyon, sebat, sorumluluk ve yapılandırma öğrenme stilinin duygusal unsurlarıdır. Yani bunlar; öğrencinin içsel-dışsal motivasyonu, çalışmalarındaki sürekliliksüreksizliği, sorumluluk-sorumsuzluğu (Peker 2003) ve yapılandırılmışyapılandırılmamış planlaması (Thomson and Mascazine 1997) şeklindedir. c. Sosyolojik Unsurlar Öğrenme stilinin sosyolojik unsurları; öğrencilerin çalışırken yalnız başına, bir otorite ile birlikte, bir arkadaşı ile birlikte, küçük bir grupta, büyük bir grupta veya başka değişik durumlarda öğrenmeye karşı nasıl tepkide bulunacaklarını belirler (Güneş 2004). d. Fizyolojik Unsurlar Öğrenme stilinin fizyolojik unsurları; algısal unsurlar (görsellik, işitsellik ve dokunsallık), yeme-içme unsuru (yiyecek-içecek eşliğinde mi yoksa bunlar olmadan mı çalışmak), zaman unsuru (sabahları mı, öğleden önce mi, öğleyin mi veya akşamları mı çalışmak) ve hareketlilik unsuru (oturarak, gezerek) şeklindedir (Başer 2006).

26 14 d. Psikolojik Unsurlar Öğrenme stilinin psikolojik unsurları; bütünsel(global)-analitik (konuyu bir bütün olarak öğrenenler-belli bir sıraya göre parça parça öğrenenler), beyin yarıküreleri(sağsol beyin baskınlığı) ve düşünme biçiminden (sonuç çıkarırken, karar alırken düşünerek-düşünmeden hareket etme) oluşmaktadır (Güneş 2004; Başer 2006) Felder ve Silverman öğrenme stili modeli Richard Felder ve Linda Silverman tarafından 1988 yılında geliştirilen (Felder and Spurlin 2005) bu öğrenme stili modeli başlangıçta algısal-sezgisel, görsel-sözel, tümevarım-tümdengelim, aktif-yansıtıcı ve bütünsel-analitik öğrenenler olmak üzere her biri iki alt boyuta sahip beş boyuttan oluşmaktadır (Felder 1996; Montgomery and Groat 1998). Daha sonra Felder (2002), oluşturdukları bu modelin tümevarımtümdengelim boyutunu, okullardaki öğretim biçimlerinden dolayı etkisinin kalmadığını düşünerek bu modelden çıkarmıştır. a. Algısal-Sezgisel Öğrenenler Bu iki öğrenme stili somut ve soyut kavramlarıyla da nitelendirilebilir (Veznedaroğlu ve Özgür 2005). Algısal öğrenenler somut, pratik, dikkat ve sabır gerektiren işlemleri, laboratuar çalışmalarını, el uğraşılarını ve problem çözmeyi tercih etmelerine karşın; karmaşıklığı, sürprizi ve gerçek yaşamla uyumsuz bilgileri sevmezler. Sezgisel öğrenenler ise kavramsal, teorik bilgileri ve anlamları, yeni kavramları, hızlı çalışmayı, olasılıkları araştırmayı tercih etmelerine karşın; tekrarı, ezberi, matematiksel formülleri ve rutin hesaplamaları sevmezler (Fer 2003).

27 15 b. Görsel-Sözel Öğrenenler Görsel öğrenenler resim, diyagram, şema gibi görsel materyalleri ve görsel sunumları tercih ederler. Sözel öğrenenler ise yazılı ve sözlü açıklamaları tercih etmektedirler (Fer 2003; Felder and Spurlin 2005). Bilginin görsel ve sözel formlarının birlikte sunulduğu durumlarda herkes daha fazla öğrenmektedir (Veznedaroğlu ve Özgür 2005). c. Aktif-Yansıtıcı Öğrenenler Aktif öğrenenler denemeyi, uygulamayı, tartışmayı, başkalarıyla çalışmayı ve aktif olmayı tercih ederler. Derslerde not tutmayı sevmezler (Fer 2003). Yansıtıcı öğrenenler ise bilgiyi, öncelikli olarak hakkında düşünerek alır ve anlarlar. Bilginin ne anlama geldiği, kendisine ne çağrıştırdığı, olası uygulamalarının ne olduğu hakkında düşünmek isterler. Yalnız başına yaptıkları çalışmaları sevmelerine karşın başkalarıyla çalışmayı sevmezler (Veznedaroğlu ve Özgür 2005). d. Bütünsel-Analitik Öğrenenler Bütünsel öğrenenler; sistemsel ve bütünsel düşünmeyi, bütünü kavramayı, büyük adımlarla ilerlemeyi tercih etmelerine karşın ayrıntılarla uğraşmayı sevmemektedirler. Analitik öğrenenler ise doğrusal ve düzenli bilgileri, küçük adımlarla ilerlemeyi tercih etmektedirler (Fer 2003) Kolb öğrenme stili modeli Kolb yaşantısal öğrenme modeli olarak da adlandırılan bu model David Kolb tarafından oluşturulmuştur. Öğrenme stili kavramı son yıllarda özellikle Kolb un yaşantısal öğrenme kuramının bir uzantısı olarak öğrenme terminolojisine girmiştir. Yaşantısal öğrenme kuramı bilimsel dayanaklarını John Dewey, Kurt Lewin ve Jean Piaget nin çalışmalarından almaktadır. Kolb, davranışçı ve bilişsel alan kuramına yeni

28 16 bir alternatif getirmek yerine; öğrenmenin yaşantı, biliş, algı ve davranışın bileşimi olduğunu belirtmektedir. Yaşantısal öğrenme kuramında düşünceler, yaşantı yoluyla tekrar tekrar oluşabilmekte ve sürekli değişim göstermektedirler. Öğrenmede süreç üründen daha önemli bir yere sahiptir ve eğitimin amacı bilgilerin ezberlenmesi değil; bilgi alma sürecinde araştırma yapmak ve yetenek geliştirmektir (Ergür 2000). Kolb a göre öğrenme sürecinin iki önemli boyutu vardır. Bunlardan birincisi, soyut kavramsallaştırmadan somut yaşantıya uzanır. Đkincisi, aktif yaşantıdan yansıtıcı gözleme uzanır. Kolb un yaşantısal öğrenme modelinde, bireyin bilgiyi nasıl algıladığını somut yaşantı ve soyut kavramsallaştırma; nasıl işlediğini de yansıtıcı gözlem ve aktif yaşantı açıklar (Mutlu ve Aydoğdu 2003; Georgiou and Makry 2004). Bireyin bilgiyi algılama ve işleme biçimlerini simgeleyen öğrenme yolları birbirinden farklıdır. Bunlar; somut yaşantı için hissederek, yansıtıcı gözlem için izleyerek, soyut kavramsallaştırma için düşünerek ve aktif yaşantı için yaparak öğrenmedir (Aşkar ve Akkoyunlu 1993). Somut Yaşantı -Hissederek- Aktif Yaşantı -Yaparak- Đ ş l e m e A l g ı l a m a B o y u t u B o y u t u Yansıtıcı Gözlem -Đzleyerek- Soyut Kavramsallaştırma -Düşünerek- Şekil 1.1. Bireyin bilgiyi algılama ve işleme boyutları (McCarthy 1987)

29 17 Kolb un öğrenme modelinde bireylerin öğrenme stilleri bu dört algılama-işleme biçiminin bileşenidir. Bu öğrenme stilleri; yerleştiren, özümseyen, değiştiren ve ayrıştıran olmak üzere dört tanedir. Somut Yaşantı -Hissederek- YERLEŞTĐREN DEĞĐŞTĐREN Aktif Yaşantı -Yaparak- Yansıtıcı Gözlem -Đzleyerek- AYRIŞTIRAN ÖZÜMSEYEN Soyut Kavramsallaştırma -Düşünerek- Şekil 1.2. Kolb öğrenme stili modeli (McCarthy 1987) a. Değiştiren Öğrenme Stili Kolb bilgiyi; somut yaşantı yoluyla algılayıp yansıtıcı gözlem yoluyla işleyenleri değiştirenler diye adlandırmıştır (McCarthy 1987; Fox and Bartholomae 1999). Bu öğrenme stiline sahip bireylerin temel yeteneği, somut durumları birçok açıdan gözden geçirmek ve ilişkileri anlamlı bir şekilde organize etmektir. Ayrıca bu bireyler olaylar karşısında harekete geçmek yerine gözlem yapmayı tercih etmekte, farklı fikirlerin üretildiği durumlar üzerinde yoğunlaşmaktan zevk almaktadırlar. Öğrenme sürecinde sabırlı ve dikkatli olup, tarafsız yargılarda bulunabilirler. Kültürel ilgileri yoğundur ve düşüncelerini biçimlendirirken kendi duygu ve düşüncelerini göz önüne alırlar (Aşkar ve Akkoyunlu 1993; Ergür 2000). Değiştiren öğrenme stiline sahip bireylerin en zayıf

30 18 yönleri; seçenekler arasında seçim yapma konusunda zorlanma, karar vermede güçlük çekme, zaman zaman problem ve fırsatları değerlendirme konusunda yetersiz kalmalarıdır (Kılıç ve Karadeniz 2004). b. Özümseyen Öğrenme Stili Özümseyenler, bilgiyi soyut kavramsallaştırma yoluyla algılayıp yansıtıcı gözlem yoluyla işlerler (Fox and Bartholomae 1999). Özümseyen öğrenme stiline sahip kişiler kapsamlı bilgileri anlama, bunları mantıki bir bütün haline getirerek kavramsal modeller oluşturma konusunda çok başarılı olup, kişilerin duyguları yerine soyut düşünce ve kavramlar üzerinde odaklaşmayı tercih etmektedirler. Öğrenme sürecinde bir kuramın pratik değerinden çok mantıki geçerliliği üzerinde yoğunlaşmaktadırlar (Ergür 2000). Bu bireylerin zayıf yönleri; hayal kurma, pratik uygulamalardaki eksiklik ve sistematik bir yaklaşım izleyememeleridir (Mutlu ve Aydoğdu 2003). c. Ayrıştıran Öğrenme Stili Ayrıştıran öğrenme stilindeki bireyler, bilgiyi soyut kavramsallaştırma yoluyla algılayıp aktif yaşantı yoluyla işlerler (Fox and Bartholomae 1999). Detaylara önem veren bu bireyler, parçalardan bütünü anlamaya çalışırlar. Felder, bu bireylerin yeni bilgi ile ilgili kaynakları daha önceden okumaya çalıştıklarını ve daha sonra uyguladıklarını ayrıca yanlış yaparak doğruyu öğrenmeyi tercih ettiklerini belirmektedir (Kılıç ve Karadeniz 2004). Problem çözme, karar verme, fikirlerin mantıksal analizi ve sistematik planlama yapma bu öğrenme stiline sahip bireylerin belli başlı özellikleridir (Aşkar ve Akkoyunlu 1993). d. Yerleştiren Öğrenme Stili Bu bireyler, bilgiyi somut yaşantı yoluyla algılayıp aktif yaşantı yoluyla işlerler (Fox and Bartholomae 1999). Somut deneyimlere etkin bir şekilde katılarak öğrenirler.

31 19 Uygulamaya ve keşfetmeye dayalı öğrenmeyi tercih ederler (Kılıç ve Karadeniz 2004; Baykul 2005). Planlama yapma, kararları yürütme ve yeni deneyimler içinde yer alma belli başlı özellikleridir. Öğrenme sürecinde yaparak ve hissederek öğrenmeyi tercih ederler (Aşkar ve Akkoyunlu 1993; Bacanlı 2004) McCarthy öğrenme stili modeli McCarthy, öğrenme stili modelini, bir lisede 6 yıl süren deneysel çalışmalarının sonucunda oluşturmuştur. Sınıflandırdığı öğrenme stillerinin diğer araştırmacıların bulguları ile önemli ölçüde benzerlikler vardır (McCarthy 1987). McCharthy öğrenme stili modelinin özellikle Kolb öğrenme stili modeli ile çok benzerlikleri vardır (Peker 2003). McCarthy, bu deneysel çalışmalarının sonucunda, bireyin bilgiyi algılama ve işleme boyutlarının kombinasyonuyla belirlediği öğrenme stillerini; I. tip öğrenenler (imgesel öğrenenler), II. tip öğrenenler (analitik öğrenenler), III. tip öğrenenler (sağduyulu öğrenenler) ve IV. tip öğrenenler (dinamik öğrenenler) olmak üzere dört tipe ayırmıştır (McCarthy 1987, 1990, 1997; Morris and McCarthy 1990).

32 20 Somut Yaşantı -Hissederek- DĐNAMĐK ÖĞRENENLER ĐMGESEL ÖĞRENENLER Aktif Yaşantı -Yaparak- IV III I II Yansıtıcı Gözlem -Đzleyerek- SAĞDUYULU ÖĞRENENLER ANALĐTĐK ÖĞRENENLER Soyut Kavramsallaştırma -Düşünerek- Şekil 1.3. McCarthy öğrenme stili modeli (McCarthy 1990) McCarthy öğrenme stili modelinde bireyin bilgiyi algılama ve işleme boyutları, Kolb öğrenme stili modelindeki gibi, sırasıyla somut yaşantı(hissederek)-soyut kavramsallaştırma (düşünerek) ve aktif yaşantı(yaparak)-yansıtıcı gözlem(izleyerek) şeklindedir. McCarthy (1990), hem algılamanın her iki biçiminin(hissederek-düşünerek) hem de işlemenin her iki biçiminin eşit değere sahip olduğunu ve bu biçimlerin kendine has zayıf ve kuvvetli yanlarının olduğunu ifade etmektedir. Bu modelde bilginin algılanması somuttan soyuta, işlenmesi ise yansımadan uygulamaya doğru saat ibresi yönünde hareket edilmesini gerektirir (Demirkaya vd. 2003; Peker 2003). a. Birinci Tip Öğrenenler (Đmgesel Öğrenenler) Hissederek ve izleyerek öğrenmeyi tercih eden imgesel öğrenenler birinci çeyrekte yer alır. Đmgesel öğrenenler, bilgiyi somut yaşantı yoluyla algılayıp, yansıtıcı gözlem

33 21 yoluyla bu bilgiyi işlerler. Deneyimlerini kendileri ile bütünleştirirler. Fikirleri dinleyerek ve paylaşarak öğrenirler. Kendi deneyimlerine güvenen imgesel düşünürlerdir. Uyum içinde çalışırlar ve kişisel olarak ilgili olmaya ihtiyaç duyarlar. Đnsan ve kültürlerle ilgilidirler. Bazen bir şeyin bütün yönlerini gördüklerinden dolayı karar almada güçlük yaşarlar. Okulu, kendileri için çok ilginç olan bireysel konulardan uzak görürler (McCarthy 1987, 1990). Birinci tip öğrenenlerin güçlü yönleri; yenilikçi, hayal gücüne sahip olmaları ve fikir alışverişinde bulunmalarıdır (Demirkaya vd. 2003; Peker 2003). Seçtikleri meslekler; danışmanlık, öğretmenlik, beşeri bilimler ve sosyal bilimler. Favori soruları niçin? şeklindedir (McCarthy 1987). b. Đkinci Tip Öğrenenler (Analitik Öğrenenler) Đzleyerek ve düşünerek öğrenmeyi tercih eden analitik öğrenenler ikinci çeyrekte yer alır. Analitik öğrenenler, bilgiyi soyut kavramsallaştırma yoluyla algılayıp, yansıtıcı gözlem yoluyla bu bilgiyi işlerler. Gözlemlerini bildikleri ile bütünleştirerek teoriler geliştirirler. Uzmanların ne düşündüğünü bilme ihtiyacı duyarlar. Fikirler aracılığıyla düşünerek öğrenirler. Sistematik düşünmeye önem verirler. Detaylara ihtiyaç duyarlar, dikkatli ve gayretlidirler. Geleneksel sınıf ortamlarından hoşlanırlar ve fikirleri büyüleyici bulurlar. Kesinliği tercih ederler ve sübjektif hükümlerden hoşlanmazlar (McCarthy 1987, 1990). McCarthy, ikinci tip öğrenenlerin güçlü yanlarının kavram ve modeller oluşturmaları olduğunu belirtmiştir. Seçtikleri meslekler; matematik, araştırma ve planlama ve doğa bilimleridir. Favori soruları ne? şeklindedir (McCarthy 1987). c. Üçüncü Tip Öğrenenler (Sağduyulu Öğrenenler) Düşünerek ve yaparak öğrenmeyi tercih eden sağduyulu öğrenenler üçüncü çeyrekte yer alır. Sağduyulu öğrenenler, bilgiyi soyut kavramsallaştırma yoluyla algılayıp, aktif

34 22 yaşantı yoluyla bu bilgiyi işlerler. Teori ve uygulamayı bütünleştirirler. Teorileri test ederek öğrenirler. Problem çözücüdürler. Problemin cevabının veriliyor olmasından hoşlanmazlar çünkü kendileri çözmek isterler. Stratejik düşünmeye değer verirler. Bir şeyin nasıl çalıştığını bilmeye gereksinim duyduklarından dolayı onu kurcalamayı ve denemeyi seven, el becerisine sahip bireylerdir. Gerçek problemlerle uğraşmaya güçlü bir gereksinim duydukları için okulu sinir bozucu olarak görürler (McCarthy 1987, 1990). Üçüncü tip öğrenenlerin güçlü yanları; fikirleri pratiğe dönüştürmeleridir. Seçtikleri meslekler; mühendislik, uygulamalı bilimler ve doktorluktur. Favori soruları bu nasıl çalışır? şeklindedir (McCarthy 1987). d. Dördüncü Tip Öğrenenler (Dinamik Öğrenenler) Yaparak ve hissederek öğrenmeyi tercih eden dinamik öğrenenler ise dördüncü çeyrekte yer alırlar. Dinamik öğrenenler, bilgiyi somut yaşantı yoluyla algılayıp, aktif yaşantı yoluyla bu bilgiyi işlerler. Deneyim ve uygulamayı bütünleştirirler. Deneme yanılma yoluyla öğrenirler. Riske girmeyi severler. Gizli olasılıkları araştırırlar. Bazen aceleci ve çıkarcı gibi görünürler. Dinamik öğrenenler için okul, genellikle sıkıcı ve aşırı monotondur (McCarthy 1987; Scott 1994). Dördüncü tip öğrenenlerin güçlü yönleri; planları yerine getirmeleri ve mücadele etmeleridir (Peker 2003). Seçtikleri meslekler; pazarlama, eğlence, eğitim ve sosyal mesleklerdir. Favori soruları..ise ne olur? şeklindedir (McCarthy 1987) Beyin Yarıküreleri Dıştan bakıldığında bir cevizin iki ayrı parçasını andıran beynin sağ ve sol yarıküresi görünüşleri itibariyle birbirinin aynısı olsalar da yürüttükleri fonksiyonlar açısından farklılıklar göstermektedir (Duyar 1996).

35 23 Sağ ve sol beyin fonksiyonları üzerine yapılan araştırmalar 1950 li yıllarda nörobiyolog Roger W. Sperry ile başlamıştır. Bu araştırmalar, ilk olarak kediler üzerinde, daha sonra epilepsi nöbetleri geçiren kronik hastalar üzerinde gerçekleştirilmiştir (Boydak 2004). Dr. Sperry ve çalışma arkadaşları yaptıkları araştırmalarda aşağıdaki üç önemli bulguyu elde etmişlerdir (McCarthy 1987): a. Beynin her iki yarısı, yani sağ ve sol yarıküreler, bilgiyi farklı şekillerde işlerler. b. Ayrık-beyin (split-brain) hastaları iki farklı insan gibi görünmektedir. Her birinin beyin yarı küreleri kendine özgü bilgiyi işleme yoluna ve farklı düşünme moduna sahiptir. c. Her iki beyin yarıküresi aynı derecede önemlidir Sağ ve sol yarıkürelerinin özellikleri Beyin bir bütün olarak çalıştığı halde, fiilen iki yarım küreye bölünmüştür. Her bir yarım küre birbirinden farklı fonksiyonlara sahiptir ve her bir kişide bunlardan biri baskındır (Maviş 2001). Yapılan araştırmalar etkili bir öğrenme ve kalıcı bir hafıza gücü için, öğrenme esnasında beynin her iki yarıküresinin de öğrenme faaliyetleri içine sokulması gerektiğini göstermektedir. Çünkü her iki yarıküre birbirini tamamlayan fonksiyonlara sahiptir (Duyar 1996). Fakat klasik eğitim sisteminde daha çok sol yarıküre ağırlıklı akademik bilgilere prim verilmekte; sağ tarafın faaliyetleri ise ihmal edilmektedir (Saygın vd. 2000). Beynin sağ ve sol yarıküreleri farklı özelliklere sahiptir. Bu özellikler Çizelge 1.1. de sıralanmıştır (McCarthy 1987; Maviş 2001; Farmer 2004).

36 24 Çizelge 1.1. Beynin sağ ve sol yarıkürelerinin özellikleri Sol Yarıküre Sağ Yarıküre Zihinsel ağırlıklıdır (rasyoneldir). Sezgiseldir. Yazmayı ve konuşmayı tercih eder. Çizmeyi ve kullanmayı tercih eder. Sözlü talimatlara uyar ve sözlü öğretimi tercih eder. Yazılı ya da görsel talimatlara uyar ve görsel öğretimi tercih eder. Kelimelerle, sayılarla düşünür. Yani sol beynin anahtarı; kelimeler ve sayılardır. Görüntülerle düşünür. Yani sağ beynin anahtarı görüntülerdir. Analiz eder. Sentez yapar. Objektiftir. Sübjektiftir. Farklılıklara bakar. Benzerliklere bakar. Kuramsaldır. Deneyseldir. Vücudun sağ tarafını kontrol eder. Vücudun sol tarafını kontrol eder. Gerçekçidir. Duygularla hareket eder. Her şeyi bir anda algılayamaz. Birçok farklı şeyi bir anda algılayabilir. Ayrıntılarla ilgilenir. Örneğin, gül bahçesindeki tek bir güle odaklanır. Bütünseldir. Aynı anda çok şeyi düşünür. Sebep ve sonucu görür. Uygunluğu görür. Eleştireldir. Yapıcıdır. Beyin yarıkürelerini etkin hale getirmenin bir takım yolları vardır. Öğretimde, Çizelge 1.2. deki sağ ve sol yarıküreler için verilen bu metotlara (Boydak 2004) dikkat edilmesi durumunda beynin her iki yarıküresi öğrenme faaliyetlerine katılmış olacaktır.

37 25 Çizelge 1.2. Beyin yarıkürelerini etkin hale getirme yolları Hikaye anlatmak Şema yapmak Poster hazırlamak Resim göstermek Oyun hamurundan, kilden, tahtadan, vb. model inşa etmek Sağ Yarıküre Çizmek Oyun oynamak Jest yapmak Öğrencilerin tepkisini almak Örneklerle izah etmek Benzetim yapmak Konferans vermek Açıklamak, anlatmak Mantığa dayandırmak Tartışmak Sol Yarıküre Savunmak Sonuç çıkarmak Sohbet etmek Eleştirmek MAT Sistemi Bernice McCarthy, 4MAT sistemini öğretmenlere, bireylerin öğrenme yollarındaki farklılıkları üzerine kurulu öğretimlerini organize etmelerinde yardımcı olmak için geliştirmiştir. 4MAT, bireysel öğrenme stilleri ve beyin yarıkürelerinden yararlanılan sekiz adımlık bir öğretim döngüsüdür (McCarthy 1990; Scott 1994). Bir öğretim yöntemi olan 4MAT, eğitim, psikoloji, nöroloji ve yönetim alanlarındaki araştırmalar üzerine kurulmuştur.

38 26 4MAT öğretim yönteminin temel esasları aşağıdaki gibidir (Cox 1997; Morris and McCarthy 1999): 1. a. Đnsan doğal bir döngüde öğrenir. b. Öğrenme döngüsü kişisel ilişki ile başlar; dikkatini yoğunlaştırma, kavramsallaştırma, uygulama ve uyarlama, bütünleşme ile devam eder. c. Bireyler öğrenme döngüsü üzerinde daha rahat çalışmalarına yönelik kişisel tercihlere sahiplerdir. 2. a. Bilgi ve deneyim bireyler tarafından farklı yollarla algılanır. b. Bilgi ve deneyim bireyler tarafından farklı yollarla işlenir. c. Bireyin kendine özgü algılama ve işleme tekniklerinin kombinasyonu onun öğrenme stilini oluşturur. 3. a. Dört temel tanımlanabilir öğrenme stili vardır. b. Bu stillerin hepsi eşit değere sahiptir. c. Öğrenciler kendi öğrenme stili ile rahat etmeleri gerekir. 4. a. Birinci tip öğrenenler, öncelikle kişisel anlamlandırma ile ilgilidirler. Öğretmenlerin bir neden oluşturması gerekir. b. Đkinci tip öğrenenler, öncelikle kavramsal anlamayı sağlayacak olgularla ilgilidirler. Öğretmenlerin onlara anlamalarını derinleştirecek olguları vermeleri gerekir. c. Üçüncü tip öğrenenler, öncelikle olguların nasıl çalıştığı ile ilgilenirler. Öğretmenlerin bu tip öğrenenlere bunun için fırsat vermeleri gerekir. d. Dördüncü tip öğrenenler, esasen kişisel keşfetme ve uyarlamayla ilgilidirler. Öğretmenler bu tip öğrenenlere kavramları, kendi kendilerine ve diğerlerine öğretmeleri için fırsat vermesi gerekir. 5. a. Bütün öğrencilerin başarılı olması ve diğer öğrenme kabiliyetlerinin gelişmesi için öğrenme döngüsünün dört bölgesinde de öğretilmeye gereksinimi vardır. b. Bütün öğrenciler, öğrenme döngüsünün kendilerine ait olan yerlerinde daha çok başarılı olacaklardır. Böylece döngünün her tarafında öğrenciler birbirlerinden bir şeyler öğreneceklerdir. 6. a. 4MAT sistemi öğrenme döngüsü boyunca sırayla hareket eder. b. Bu düzen bir doğal öğrenme sürecidir. 7. a. Dört öğrenme stilindeki öğrencilerin her birine beynin hem sağ hem de sol yarıküre işleme teknikleri ile öğretilmesi gerekir.

39 27 b. Beyninin sağ yarıküresi baskın olan öğrencilerin, sol yarıküresinin de aktif hale gelmesi gerekir. c. Beyninin sol yarıküresi baskın olan öğrencilerin, sağ yarıküresinin de aktif hale gelmesi gerekir. 8. Öğrenmenin dört stilinin de gelişmesi ve bütünleşmesi, beynin hem sağ hem de sol yarıküre işleme kabiliyetlerinin gelişmesi ve bütünleşmesi eğitimin ana hedeflerinden biri olmalıdır. 9. Öğrenciler başkalarının özelliklerine saygı göstererek ve yanlış yapma baskısı olmaksızın alternatif metotları öğrenme kabiliyetlerini daha da ilerleterek kendi güçlerinin farkına varacaklar ve onlardan yararlanmayı öğreneceklerdir. 10. Öğrenciler kim oldukları hakkında ne kadar çok bilgiye sahiplerse diğerlerinden daha bağımsız bir şekilde öğrenirler. 4MAT sisteminde öğretmen ve öğrencinin rolü döngü etrafında ilerledikçe değişir. Sekiz adımdan oluşan bu öğretim yönteminin her bir adımında bu rollerin nasıl değiştiği, ne tür tekniklerin kullanıldığı ve nelere dikkat edilmesi gerektiği aşağıda ifade edilmiştir Birinci çeyrek: Kavram ile birey arasında bağlantı kurma 4MAT siteminin bu çeyreğinde bireyin kendisiyle kavram arasında bağlantı kurulur (Morris and McCarthy 1999). Öğrencilerin tümü çeyreklerin tamamına tabi olurlar, fakat bu çeyreği imgesel öğrenenler daha çok severler(mccarthy 1987). Bu çeyrekte öğretmenler, öğrencilerin önceki deneyimleri ile kavram arasında nasıl bir bağlantı kurulacağını keşfetmeleri için bir yaşantı oluşturması gerekir. Bu çeyrekte cevaplanması gereken soru niçin? ( niçin bunu öğrenmem gerekiyor?, ) dir. Burada benzetim ve tartışma metotları kullanılır (Morris and McCarthy 1999). Birinci çeyrek, beynin sağ ve sol yarıküre tekniklerinin işlendiği birinci ve ikinci adımlardan oluşmaktadır.

40 28 Somut Yaşantı Sağ Yarıküre Teknikleri 1 2 Sol Yarıküre Teknikleri Yansıtıcı Gözlem Şekil MAT sisteminin birinci çeyreği - 1. ve 2. adımlar Birinci Adım: Đlişki Kurma Bu adımda sağ yarıküre teknikleri kullanılır. Öğrencilerin kendi yaşamları ile konu arasında ilişki kurmaları sağlanır. Bu ilişkinin nasıl kurulacağı açıkça belirtilmez (Demirkaya vd. 2003). Birinci adımda öğretmen daha aktiftir ve öğretmenin rolü motive etmektir. Motivasyon birinci adımın amacıdır. Burada öğretmen, öğrencilerine bir yaşantı sunarak döngüye başlar (Morris and McCarthy 1999). Đkinci Adım: Dikkatini Verme Öğrenciler, birinci adımda kendilerine sunulan yaşantıyı burada analiz ederler. Öğretmen daha aktiftir ve öğretmenin rolü tanıklık etmektir. Öğretmenler, öğrencilerin sunulan yaşantıya dikkatlerini vermesini sağlayacaktır (Morris and McCarthy 1999). Olaylar nasıl gelişti?, gerçekten ne yapıldı? gibi sorulara cevap aranacak şekilde öğretmen tarafından organize edilen sınıf tartışması yapılır. Sol yarıkürenin analiz etme becerisi kullanılarak daha iyi kavramak için bir kenara çekilip olaylara dışardan bakılır. Böylece yaşantı sırasında yapılanları, öğrencilerin kendilerini yaşantının dışında tutarak incelemeleri sağlanır (Demirkaya vd. 2003).

41 Đkinci çeyrek: Kavramı formüle etme Öğrencilerin tümü bu döngü boyunca ilerler, fakat ikinci çeyrekten en çok analitik öğrenenler hoşlanır. Öğretmenler bu çeyrekte öğrencilerine uzman bilgisi sağlamalıdır. Burada cevaplanması gereken soru ne? ( öğreneceğim şey nedir?, ) dir. Bu çeyrekte kullanılan metotlar; hayalinde canlandırma ve doğrudan öğretim şeklindedir (Morris and McCarthy 1999). Đkinci çeyrek, beynin sağ ve sol yarıküre tekniklerinin işlendiği üçüncü ve dördüncü adımlardan oluşmaktadır. 4 3 Sağ Yarıküre Teknikleri Yansıtıcı Gözlem Sol Yarıküre Teknikleri Soyut Kavramsallaştırma Şekil MAT sisteminin ikinci çeyreği - üçüncü ve dördüncü adımlar Üçüncü Adım: Hayalinde Canlandırma Uzmanlar tarafından doğruluğu onaylanmış gerçek bilgileri öğrencilere vermeden önce, öğrenciler, hayallerinde canlandırma, anladıkları kavramı zihinlerinde resimlendirme ve onu kendi yaşantılarına aktarma ihtiyacı duyarlar. Bu adımda bunlar gerçekleştirilmektedir. Kavramsal özellikleri elde etmeye yarayan analoji, mecaz ve görsellik gibi sağ yarıküre aktiviteleri, öğrencileri uzmanların ortaya koydukları gerçek bilgilere götürecektir (Demirkaya vd. 2003). Üçüncü adımda öğretmen daha aktiftir. Öğretmenin rolü gözlem ve fikirleri kavramlara dönüştürmektir (Morris and McCarthy 1999).

42 30 Dördüncü Adım: Bilgi Verme Sol yarıküre tekniklerinin kullanıldığı bu adımda öğretmenin rolü öğretmenliktir(bilgi veren) (Morris and McCarthy 1999). Öğrencilerin öğrenmeleri için ihtiyaç duydukları içerik, öğretmen tarafından sunulur. Yani konu alanıyla ilgili uzmanlık bilgileri verilir. Burada öğretmen daha aktiftir. Bu adım öğretmen için anlatma zamanı; öğrenciler için ise, öğretmen tarafından anlatılanları dinleme ve öğrenme zamanıdır. Bu çeyrekte; konular açıklığa kavuşturulur, konuk öğretmenler getirilir, filmler izlenir, web kaynaklarından ve CD ler den v.b. yararlanılır (Demirkaya vd. 2003). Okullarda en çok kullanılan öğretim bu adımdaki öğretimdir. Yani geleneksel bir adımdır (Peker vd. 2003) Üçüncü çeyrek: Uygulama ve içselleştirme Öğrencilerin tümü döngü boyunca ilerlemeye devam eder, fakat üçüncü çeyrekten sağduyulu öğrenenler daha çok hoşlanır. Bu çeyrekte cevaplanması gereken soru nasıl? ( bu iş nasıl yapılır?, bu problem nasıl çözülür?, ) dır. Bu çeyrekte öğretmen, öğrencilerine hem kendi rehberliğinde uygulamalar yapmalı hem de onlara yeni bilgilerini uygulamaları için fırsatlar vermelidir. Yani öğretmen rehberliğinde uygulama yapmak ve keşfetmek gibi metotlar kullanılmalıdır. Üçüncü çeyrek, beynin sağ ve sol yarıküre tekniklerinin işlendiği beşinci ve altıncı adımlardan oluşmaktadır. Burada, soyut kavramsallaştırma boyutuna yakınlığından dolayı, ilk olarak sol yarıküre teknikleri ile başlanacaktır (Morris and McCarthy 1999).

43 31 Aktif Yaşantı 6 Sağ Yarıküre Teknikleri 5 Sol Yarıküre Teknikleri Soyut Kavramsallaştırma Şekil MAT Sisteminin üçüncü çeyreği beşinci ve altıncı adımlar Beşinci Adım: Uygulama Sol yarıküre tekniklerinin kullanıldığı bu adımda tanımlanmış kavramlar üzerine uygulamalar yapılır. Beşinci adımda öğretmenin rolü rehberlik yapmaktır. Bu adımda öğrenciler daha aktiftir ve öğretmenlerinin rehberliğinde uygulama yaparlar. Çalışma yaprakları, alıştırma kitapları, bilgisayar ve laboratuar uygulamaları gibi aktiviteler kullanılır. Bu aktiviteler, ikinci çeyrekte öğretilen kavram ve becerileri pekiştirir. Bu adım da dördüncü adım gibi geleneksel bir adımdır (Morris and McCarthy 1999). Altıncı Adım: Kendini Geliştirme Bu adımda öğrenciler kendilerinden bir şeyler ekleyerek mevcut bilgilerini uygularlar. Bu aşama, yeniliklerin ve buluşların başladığı yerdir. Öğrenciler konu ile ilgili yeterli bilgiyi elde ederek, belli ölçüde değişiklikler yapabilme yeteneği kazanmışlardır. Đşin nasıl yapıldığını görebilmekte; onu, öğrenmelerinin bir parçası yapabilmektedirler. Sağ yarıkürenin olasılıkları, örüntüleri, bütünlüğü ve kesinliği görebilme yeteneği buradaki temel niteliktir (Demirkaya vd. 2003). Bu adımda öğrenciler daha aktiftir. Öğretmen kaynak rolündedir (Morris and McCarthy 1999). Altıncı adımda, sınıfın farklı bölgelerinde öğrenci grupları oluşturularak, bu gruplardan verilen aktivitelerin uygulanması istenebilir.

44 Dördüncü çeyrek: Uygulama ve deneyimi bütünleştirme Bu çeyrekten de en çok dinamik öğrenenler hoşlanır. Bu çeyrekte cevaplanması gereken soru ise ne olur? ( böyle olursa ne olur?, ) dur. Burada değerlendirme yapma ve keşfetme(buluş) gibi metotlar kullanılır. Döngünün bu bölgesinde öğrenciler, kendilerini, öğrenmelerini değerlendirirler ve kendi yaptıklarını düzenlerler. Öğrenciler, burada tamamen birbirlerinden öğrenirler (Morris and McCarthy 1999). Dördüncü çeyrek beynin sağ ve sol yarıküre tekniklerinin işlendiği yedinci ve sekizinci adımlardan oluşmaktadır. Somut Yaşantı Sağ Yarıküre Teknikleri Aktif Yaşantı Sol Yarıküre Teknikleri Şekil MAT Sisteminin dördüncü çeyreği - yedinci ve sekizinci adımlar 7 8 Yedinci Adım: Mükemmelleştirme Öğrencilerden öğrendikleri bilgileri, kendi yaşamları içerisinde değerlendirmeleri istenir. Öğrenciler, sol yarıküre tekniklerinden analiz tekniği ile ele aldıkları konunun kapsamını genişletme ihtiyacı duyarlar. Sol yarı küre adımlarının tekrar tekrar düşünmeyi gerektirdiği unutulmamalıdır. Bu adımda öğretmenin rolü, öğrencilerin yaptıklarını değerlendirmek ve düzeltmektir. Öğrenciler, öğretmene nazaran daha aktiftir. Öğrenciler, çalışmalarını analiz ederek, geliştirerek ve mükemmelleştirerek kendi sınırlarının dışına çıkmayı başarırlar (Demirkaya vd. 2003). Ayrıca grup çalışmaları içerisinde birbirlerinin çalışmalarını da değerlendirirler.

45 33 Sekizinci Adım: Sunma 4MAT sisteminin bu son adımında öğrenciler küçük gruplar halinde veya sınıfın tümü içinde öğrendiklerini paylaşırlar ve kendilerine uyarlarlar. Ayrıca öğrendiklerini günlük yaşamda nerede kullandıklarının farkına varırlar ve bunları sınıf arkadaşlarıyla paylaşırlar. Sağ yarıküre tekniklerinin kullanıldığı bu adımda öğretmenin rolü, değerlendirme ve tebrik etmektir. Sekizinci adımda da öğrenciler daha aktiftir (Morris and McCarthy 1999). 8. Sunma 1. Đlişki Kurma 7. Mükemmelleştirme 6. Kendini Geliştirme 2. Dikkatini Verme 3. Hayalinde Canlandırma 5. Uygulama 4. Bilgi Verme Şekil MAT sistemi

46 34 2. KAYNAK ÖZETLERĐ Kaynak özetleri, matematikte öğrenme güçlükleri ve matematikte öğrenme stilleri ile ilgili araştırmalar olmak üzere iki başlık altında sunulmuştur Matematikte Öğrenme Güçlükleri ile Đlgili Araştırmalar Bu kısımda, matematik kavramlarında karşılaşılan öğrenme güçlükleri ile ilgili olarak yapılan bazı araştırmalar ve bu araştırmalardan elde edilen sonuçlar kısaca özetlenmektedir. Woerner (1980), çalışmasında lise öğrencilerinin kesirleri toplarken yaptıkları hataları tespit edip giderme işleminde bilgisayar teknolojisinin kullanımını araştırmıştır. Çalışma, kesirlerde toplama işleminde yapılan hatalar için bilgisayar tabanlı tespit sistemi geliştirme ve bu sistemin etkinliğini değerlendirmeyi içermektedir. Kesirleri toplama işleminde öğrencilerin karşılaştıkları güçlükleri analiz etmek için BASIC programlama dilinin kullanıldığı bir bilgisayar programı yazılmıştır. Öğrencilerin cevaplarını değerlendiren bu bilgisayar programı, hataları özel kategorilere ayırmıştır. Çalışmanın sonuçları, bilgisayarın tespit amaçlı kullanılabilirliğini desteklemektedir. Ayrıca Woerner bu çalışmada, bilgisayarın lise öğrencilerinin kesirlerde toplama işlemindeki öğrenme güçlüklerini belirleyip bu güçlükleri gidermek için etkili bir şekilde kullanılabileceği sonucuna varmıştır. Harel (1989), öğrencilerin lineer cebirdeki temel kavramlarla ilgili sahip oldukları öğrenme güçlüklerinin nedenleri ve onları gidermek için nasıl bir program dizayn edilmesi gerektiği üzerinde durmuştur. Bu güçlüklerin nedenlerinden birincisinin kavramların soyut yapılar olduğu, ikincisinin uygulama alanlarının öğrenciler için alışılmışın dışında olduğu ve üçüncüsünün de çoğu öğrencinin henüz ispat ve aksiyomatik metotları bilmeyişi olarak ifade etmiştir. Ayrıca Harel, öğrenme güçlüklerini gidermede görselleştirmenin öneminden bahsederek, lineer cebirdeki temel

47 35 kavramların geometriksel olarak gösterilmediği, yani görselleştirme yapılmadığında öğrencilerin bu kavramları öğrenmede güçlükler yaşayacaklarını ifade etmiştir. Yazarlarından ilkinin matematikçi, diğer ikisinin de fizikçi olduğu bu çalışmada Artigue vd. (1990), diferansiyel ile ilgili disiplinler arası bir araştırma yapmışlardır. Bu araştırmanın amacı, matematik ve fizik bölümlerindeki öğrencilerin diferansiyel ile ilgili kavrayışlarını ve öğrenme güçlüklerini araştırmaktır. Öğrencilerin genellikle diferansiyel ve integral işlemlerini, neden gerekli olduğu ve nerelerde kullanıldığı hakkında tam bir düşünceye sahip olmaksızın uyguladıklarını ortaya çıkarmışlardır. Ayrıca diferansiyelin nerelerde gerektiğini belirginleştirmenin önemi üzerinde de durmuşlardır. Tall ve Razali (1993), matematik öğrenmede öğrencilerin güçlüklerini tespit etmek amacıyla yaptıkları çalışmayı, 350 üniversite birinci sınıf öğrencisine uygulamışlardır. Çalışmada dört işlem, çarpanlara ayırma, denklem çözme, mutlak değer, fonksiyon ve logaritma gibi çeşitli konulardan soruların yer aldığı çoktan seçmeli bir tespit testi kullanılmıştır. Bu tespit testinin 40 sorudan oluştuğu ve çalışmanın sonunda her bir sorunun yapılma oranının ayrı ayrı hesaplandığı belirtilmiştir. Tall ve Razali, öğrencilerin kavramları kullanmada ve işlemleri koordine etmede güçlüklere sahip olduklarını bulmuşlardır. Ayrıca, işlemsel olarak öğrenenlerin karşılaştıkları güçlüklerin kavramsal olarak öğrenenlerin karşılaştıkları güçlüklerden daha çok olduğunu ifade etmişlerdir. Üniversite öğrencilerinin matematiksel ispatları yapmayı öğrenmede yaşadıkları güçlükleri incelemek amacıyla yaptığı bu çalışmayı Moore (1994), matematik ve matematik eğitiminde okuyan 16 öğrenciye uygulamıştır. Araştırmanın verileri; öğrenciler ile eğitim oturumları, öğretim elemanı ve öğrenciler ile mülakatlar ve araştırmacının iştirak etmediği sınıf gözlemleri aracılığı ile toplanmıştır. Verilerin tümevarımcı analizi, yani kodlamaya dayalı içerik analizi, öğrencilerin güçlüklerinin; a. Kavramı anlama b. Matematiksel dil ve notasyon

48 36 c. Đspata başlama şeklinde üç ana kaynağı olduğunu ortaya çıkarmıştır. Ayrıca öğrencilerin matematiği ve ispatı algılama şekillerinin, ispat yapmalarını etkilediği de belirtilmiştir. Öğrencilerin kavramı anlamadaki güçlükleri, kavramın tanımı, kavramın zihindeki görüntüsü ve kavramın kullanımını içeren kavram-anlama şeması açısından ele alınmıştır. Güçlüklerin diğer ana kaynakları bu şema ile ilişkili olarak incelenmiştir. Zaslavsky ve Peled (1996) in yaptıkları çalışmanın amacı, ikili işlemin değişme ve birleşme özellikleri ile ilgili matematik öğretmenlerinin ve aday öğretmenlerin karşılaştıkları güçlükleri belirlemek ve bu güçlüklerin olası kaynaklarını ortaya çıkarmaktır. Çalışma, 36 matematik öğretmeni ve soyut cebir dersi almış 67 matematik üçüncü sınıf öğrencisine uygulanmıştır. Bütün katılımcılardan karşıt örnekler (birleşmeli olup da değişmeli olmayan bir ikili işlem, vb.) oluşturmaları istenmiştir. Elde edilen cevaplar; doğruluk, verimlilik (doğruluk ve niteliğe bakılmaksızın oluşturulan örnek sayısı), matematiksel içerik ve öne çıkan güçlükler olmak üzere dört kategoriye göre analiz edilmiştir. Analiz sonucunda her iki grubun da doğru bir örnek üretmedeki başarısızlığı ve sınırlı bir içerik kullanması ile zayıf bir kavrayışa sahip olduğu belirtilmiştir. Değişmeli olup da birleşmeli olmayan bir ikili işlemin olmayacağı yanlış inanışına sahip olanların yüzdesinin yüksek olduğu bulunmuştur. Ayrıca öğretmenlerin, doğruluk ve verimlilik kategorilerinde, aday öğretmenlerden daha iyi olduğu ortaya çıkarılmıştır. Araştırmada sonuç olarak; birleşme ve değişme özelliği ile ilgili güçlükler dört ana kategoride tanımlanmıştır: 1. Birleşme özelliği: Bu kategori üç çeşit güçlüğü içerir. Bunlar; a. Tanımlanan özel işlemlerde birleşme özelliğinin tanımını yanlış kullanmak. Örneğin; a b = a + b işlemi için a + b + c nin a + b + c ye eşit olmadığını göstermek yerine a + b + c nin a + b + c ye eşit olmadığını göstererek birleşme özelliğinin olmadığını ifade etmek, b. Birleşme özelliğini iki ayrı işlemle birlikte tanımlamak. Örneğin; a b = a. b işlemi için ( a. b ). c = a.( b. c ) nin yerine ( a. b) + c nin a.( b + c ) ye eşit olmadığını göstererek birleşmeliliği incelemek,

49 37 c. Birleşme özelliğinin ifadesindeki sırayı gereksiz yere değiştirmek. Örneğin; kümelerde kesişim işlemi için ( A B ) C = A ( B C) nin yerine ( A B ) C = ( B C ) A ifadesi ile birleşme özelliğini tanımlamak. 2. Değişme özelliği: Bu kategori bir çeşit güçlüğü içerir; elemanların sırasını değiştirirken sayının işareti ile işlemin işaretinin karıştırılması. Örneğin; çıkarma işleminin değişme özelliği için 2 3 ün 3 ( 2) ye eşit olmadığını göstermek yerine 2 3 = 3 2 eşitliliğini göstererek değişmeliliği incelemek. 3. Đkili işlem kavramı: Bu kategori bir çeşit güçlüğü içerir; uygun olmayan bir işlem kullanma. Örneğin; a = a 2 1 birli işlemini oluşturduktan sonra a b = ( a + b) 2 1 gibi uygun olmayan bir ifadeyi kullanarak sözde değişme özelliğini kontrol etmesi. 4. Mantıksal çıkarım: Bu kategori de bir çeşit güçlüğü içerir; tanımlanan bir işlemde değişme özelliğini özel bir örnek ile doğrulamak. Örneğin; değişmeli olmayan a b = a b 4 2 işlemi için 2 = 4 eşitliğini göstererek değişmeli olduğunu gösterme. Baker (1996), araştırmasını lise ve üniversite öğrencilerinin matematiksel tümevarım ispat tekniğini öğrenirken karşılaştıkları güçlüklerin ne olduğunu ortaya çıkarmak amacıyla yapmıştır. Đki kısımdan oluşan bu araştırmaya 40 lise ve 13 üniversite öğrencisi dahil edilmiştir. Birinci kısım, matematiksel tümevarımın anlatıldığı yaklaşık iki haftalık bir öğretimden sonra tamamlanmıştır. Öğrencilere, matematiksel seviyeleri ile ilgili sorular, ispat ve matematiksel tümevarım hakkında üç genel soru, bir ispatyazma ve dört ispat-analiz sorusundan oluşan bir test uygulanmıştır. Çalışmanın ikinci kısmında ise, öğrencilerin teste vermiş oldukları yazılı cevapları açıklığa kavuşturmak ve ayrıntılarına girmek amacıyla bireysel mülakatlar yapılmıştır. Yazılı cevaplar ve mülakatlarda elde edilen cevaplar; öğrenci performansı, matematiksel tümevarım hakkındaki bilgi ve bu ispat tekniği ile ilgili güçlükler olmak üzere üç kategoride analiz edilmiştir. Sonuç olarak, çalışmaya katılan lise ve üniversite öğrencilerinin ispat teknikleri ile ilgili hem kavramsal hem de işlemsel olarak önemli güçlüklere sahip oldukları tespit edilmiştir. Bu güçlüklerde öğrencilerin matematik bilgisinin eksikliğinin önemli bir rol oynadığı kanısına varılmıştır. Çoğu öğrencinin matematiksel tümevarımın kavramsal yönünden daha çok işlemsel yönüne odaklandığı belirlenmiştir. Doğrulamada, çoğu öğrenci için örneklerin önemli bir role sahip olduğu bulunmuştur.

50 38 Türkiye de cebir öğretiminin durumunu ve niteliğini kalın çizgilerle belirlemek, öğrencilerin cebir konularını öğrenmede karşılaştıkları birtakım güçlükleri ve kavram yanılgılarını belirlemek amacıyla Ersoy ve Erbaş (1998), sosyo-ekonomik gelişmişlik bakımından birbirinden farklı bölgelerden seçilen ilköğretim okullarının 7. ve 8. sınıfları ile ortaöğretim 9. sınıfta okuyan toplam 246 öğrenci üzerinde bir çalışma yapmıştır. Araştırmada, 7. ve 8. sınıf matematik öğretim programındaki cebir konuları göz önünde bulundurularak hazırlanmış iki farklı cebir testi kullanılmıştır. Öğrencilerden testlerdeki soruları çözerken izledikleri basamakları da ayrılan boş yerlere yazmaları istenmiştir. Çalışmanın sonunda, öğrencilerin, özellikle de ekonomik yönden az gelişmiş yörede oturan öğrencilerin cebir konularını öğrenmede çok sayıda güçlüklerinin olduğu saptanmıştır. Farklı sınıf seviyelerinde bile öğrenci başarıları hemen hemen aynı çıkmıştır. Ayrıca, güçlüklerin belirlenmesi için öğrencilerle bire bir görüşmeler yapılmasının, bunların da kaydedilmesinin tanıya yönelik çalışmalar için etkili olabileceği ileri sürülmüştür. Rasmussen (1998), diferansiyel denklemlerdeki öğrencilerin güçlüklerini ve kavrayışlarını, nitel ve nicel analiz yöntemleri ile incelemiştir. 6 üniversite öğrencisinin katıldığı bu çalışmada öğrencilerin tamamı ile yapılan yarı-yapılandırılmış mülakatlara ek olarak sınavlar ve bilgisayar ödevleri de kullanılmıştır. Öğrencilerden problemleri çözerken sesli düşünmeleri istenmiştir. Bu çalışmada aşağıdaki kategoriler, diferansiyel denklemlerde öğrencilerin güçlüklerini anlama ve sınıflandırmada bir metot olarak kullanmak amacıyla geliştirilmiştir. a. Fonksiyon konusundaki güçlükler b. Uygun olmayan genelleştirme (aşırı genelleştirme) eğilimi c. Standart olmayan veya sezgisel kavramlardan kaynaklanan karışıklık d. Grafikleri yorumlayamama Ortaya çıkan bu teoriksel bakış açısı öğrencilerin güçlüklerini anlamada ve yorumlamada bir yöntem olarak kullanılmıştır. Baki (1998) nin, ortaöğretim öğrencilerinin cebirle ilgili işlem yanılgılarını tespit etmek, öğretmenlerin bu yanılgılar hakkındaki görüş ve düşüncelerini ortaya koymak

51 39 amacıyla yaptığı çalışmasının örneklemi, deneyimli ve deneyimsiz toplam 20 matematik öğretmeni ile bu öğretmenlerin 8. ve 11. sınıf öğrencilerini kapsamaktadır. Bu araştırmada, mesleki kıdemi 5 yıl ve üzerindeki öğretmenler deneyimli diğerleri deneyimsiz olarak kabul edilmiştir. Çalışmanın sonucunda öğrencilerin parantez alma, işaret, sayısal ifadelerle ilgili akıl yürütme, sözel ifadeleri cebirsel ifadelere dönüştürme ve denklem çözme gibi konularda yanılgılara sahip oldukları ortaya çıkarılmıştır. Öğrencilerin bu konularda güçlüklerinin olduğu tespit edilmiştir. Deneyimli öğretmenler öğrencilerin hataları için birden çok neden gösterebildikleri halde, deneyimsiz öğretmenlerin genelde tek bir neden gösterebildiği ifade edilmiştir. Yusof vd. (1999), lise matematik öğretmenleri ile işbirliği içinde yürüttükleri matematiksel öğrenme güçlüklerinin giderilmesi isimli çalışmayı; i. Öğrenme güçlüklerinin incelenmesi ii. Kavram gelişimi iii. Alternatif stratejiler iv. Sınıf içi uygulama şeklinde birkaç safhada gerçekleştirmişlerdir. Yusof vd. lise öğretmenleri ile yaptıkları işbirliği sayesinde bazı öğretmenlerin belli konuların (logaritma, fonksiyonlar, eşitsizlikler, olasılık, matris ve eğri altındaki alan) öğretiminde güçlük yaşadıklarını ortaya çıkarmışlardır. Çalışmada birlikte çalıştıkları lise öğretmenlerine alternatif öğretim (materyal kullanımı, vb) ve problem çözme stratejileri gibi tavsiyelerde bulunduklarını ifade etmişlerdir. Bu durumda öğrencilerin öğrenme güçlüklerinde gözle görülür bir oranda azalma olduğu tespit edilmiştir. Öğretim elemanı olarak girdiği lineer cebir derslerindeki kişisel deneyimlerinden yola çıkarak hazırladığı çalışmanın ilk aşamasında Haddad (1999), lineer cebir öğrenmede öğrencilerin güçlüklerini; lineer cebirin doğası, lineer cebirin öğretimi ve öğrencilerin lineer cebirin nasıl öğrendiği şeklinde üç farklı perspektiften ele almıştır. Öğrencilerin lineer cebirde öğrenme güçlüğü yaşamalarının temel nedenleri, dersin soyut olmasına karşın öğrencilerin yeterince soyut düşünmemeleri, lineer cebirin aksiyomatik bir karakterde olması ve öğrencilerin yetersiz bir matematik temeline sahip olmaları

52 40 şeklinde sıralanmıştır. Đkinci aşamada ise lineer cebirin öğrenimi ve öğretimindeki güçlükleri göz önünde bulundurup buna göre bir matematiksel yazılımı (Cabri) kullanmıştır. Bu yazılım ile lineer cebirin belli konularını sunmada alternatif bir yolu test etmek için bir araştırma projesi uygulamıştır. Elde edilen bulgular farklı açılardan yorumlanmıştır. Yusof ve Rahman (2001b), katlı integral kavramının öğrenilmesinde öğrencilerin karşılaştıkları güçlükleri araştırmak amacıyla yaptıkları çalışmayı, fizik ve kimya bölümlerinin ikinci sınıflarında okuyan 80 öğrenciye uygulamışlardır. Araştırmanın verileri iki ve üç katlı integral ile ilgili, her biri iki şıklı toplam 4 sorudan oluşan açık uçlu teste verilen cevaplardan elde edilmiştir. Yusof ve Rahman, verilerin analizi sonucunda katlı integrallerde karşılaşılan güçlükleri; i. Bölge ve yüzeylerin görselleştirilmesi ii. Grafiklerin yorumu iii. Algoritmik hatalar iv. Cebirsel işlem hataları olmak üzere dört ana kategoride gruplandırmıştır. Mevcut öğretim yaklaşımlarının öğrencilerin kavramları yeterince anlamalarına müsaade etmediği sonucuna varılmıştır. Weber (2001) in, soyut cebirde herhangi bir teoremin ispatının nasıl oluşturulduğunun öğrenilmesindeki güçlükleri ortaya çıkarmak amacıyla yaptığı çalışmasının örneklemi iki gruptan oluşmaktadır. Birinci grup matematik ve bilgisayar bölümünden soyut cebire giriş dersini henüz tamamlamış 4 öğrenciden, ikinci grup ise tamamı cebirsel bir konuda doktora derslerini tamamlamakta olan 4 doktora öğrencisinden oluşmuştur. Araştırmaya katılan her bir öğrenciden 7 tane grup homomorfizması ile ilgili teoremi, düşündüklerini sesli bir şekilde ifade ederek ispatlamaları istenmektedir. Weber, bu ispat denemelerinin her birini; doğru (katılımcı geçerli bir ispat oluşturmuş), bilgiye başvurmadaki başarısızlık (katılımcı gerekli bilgiye sahip fakat ispatı oluşturmada bunu uygulayamıyor), yetersiz bilgi (katılımcı teoremin ispatını oluşturmak için gerekli olan bilgiye sahip değil) ve mantıksal hata (katılımcı geçerli bir ispat yaptığına inanıyor fakat yapılan ispat geçersiz) şeklinde kodlamıştır. Weber çalışmasının sonunda, grup

53 41 homomorfizmasında bir ispatı oluşturan kavrayışa ve bilgiye sahip olmanın ispatın yapılabilmesi için yeterli olmadığını ortaya çıkarmıştır. Özellikle çalışmadaki üniversite öğrencilerinin çoğu kez bir ifadeyi ispatlamak için gerekli olan bilginin farkında oldukları fakat ispat yapmada güçlükler yaşadıkları belirtilmektedir. Erbaş ve Ersoy (2002), çalışmalarını lise öğrencilerinin eşitlik çözmedeki başarı ve buna bağlı olarak karşılaştıkları güçlükler, yapılan hatalar ve olası kavram yanılgılarını tespit etmek amacıyla yapmışlardır. Farklı lise tiplerinin hazırlık ve lise 1. sınıflarında okuyan 217 öğrenci üzerinde sürdürülen çalışmada öğrencilerin başarıları arasında okul tipi, sınıf düzeyi ve bir önceki yıl matematik notuna göre anlamlı farklar bulunurken, cinsiyete göre karşılaştırıldığında anlamlı bir fark bulunmadığı belirtilmiştir. Lise düzeyinde bile öğrencilerin basit eşitliklerin çözümünde bir takım ciddi güçlüklerinin olması nedeniyle bazı iyileştirici ve güçlükleri giderici çalışmaların yapılmasının gerekliliğinden bahsedilmiştir. Bu bağlamda, bir takım araç-gerecin tasarlanması ve geliştirilmesi, etkinliklerin öğretim programları ile tümleştirilmesi (müfredat içine entegre edilmesi); ayrıca, matematik öğretmenlerinin bu konularda hizmet içi eğitim görmeleri önerilmekte ve bu doğrultuda alan yazınındaki bilgiler ve tecrübeli eğitimcilerin deneyimlerinin esas alınmasının öngörüldüğü belirtilmiştir. Öğrencilerin fonksiyon kavramını öğrenmedeki güçlüklerini araştırmak amacıyla yapılan bu çalışmayı Zachariades vd. (2002), matematik bölümü birinci sınıfında okuyan 38 öğrenciye uygulamışlardır. Çalışmada, her bir soruda verilen gösterimlerin bir fonksiyona ait olup olmadığını sorgulayan açık uçlu toplam 20 sorudan oluşan test kullanılmıştır. Bu testin birinci bölümünde 9 tane simgesel biçimde verilen bağıntı, ikinci bölümünde ise 11 tane bağıntı grafiği vardır. Simgesel ve grafiksel biçimdeki sorulardan oluşan bu iki bölümde, öğrencilerin yaşadıkları güçlükler arasında istatistiksel olarak anlamlı bir farkın olduğu belirlenmiştir. Öğrencilerin simgesel olarak verilen ifadelerde, grafiksel gösterimleriyle verilenlerden daha kolay bir şekilde fonksiyonu tanıdıkları tespit edilmiştir.

54 42 Ardahan ve Ersoy (2003) hazırladıkları Đlk ve Ortaokul Öğrencilerinin Sözel Problemlerin Çözümündeki Yanılgılarının Teşhisi, ve Sayıların Öğretiminde Yanılgıların Teşhisi ve Alınması Gereken Tedbirler isimli projelerden elde edilen bulgular; öğrencilerle ve 24 yılı aşkın deneyimi olan sınıf öğretmenleriyle yaptıkları görüşmelerden çıkan sonuçlara göre, kesirler ve ondalık kesirlerin, ilköğretim öğrencilerinin öğrenmekte zorluk çektikleri konular olduğunu ifade etmişlerdir. Bu nedenle, bu iki konuda belirlenen zorlukları ve yanılgıları ortadan kaldırmak amacıyla, araştırmacılar tarafından bu ünitelere ait etkileşimli öğretim materyalleri tasarlanmıştır. Hazırlanan bu materyaller biri devlet (N=23) biride özel (N=28) olmak üzere iki ilköğretim okulunda kullanılarak kesirler ve ondalık kesirler konularının materyal destekli öğretimi yapılmıştır. Öğretimin sonunda, materyallerin öğrencilere etkisini tespit amacıyla, standart materyal değerlendirme kriterlerini ihtiva eden değerlendirme formu uygulanmış, öğrencilerin görüş ve kanaatleri yazılı olarak alınmıştır. Çalışmanın sonunda; öğrencilerin anlamakta zorluk çektiği konuları ve durumların teşhis testleri ile araştırılması ve o öğrenci grubunun hazır oluş durumuna, yerleşik yanılgılarına göre, araç-gereç, etkileşimli öğretim materyalleri, çalışma yaprakları, somut modeller tasarlayıp sınıf ortamında uygulanmasının gerekliliği üzerinde durulmuştur. Dikici ve Đşleyen (2004), bağıntı ve fonksiyon konusundaki öğrenme güçlüğü ile öğrencinin matematiğe yönelik tutumu, matematik benlik duygusu ve kullanılan öğretim metotları arasında bir ilişkinin olup olmadığını araştırmak amacıyla yaptıkları bu çalışmayı 248 lise 1 öğrencisine uygulamışlardır. Verileri toplamak için araştırmacılar tarafından geliştirilen anketler kullanılmış ve bu verilerin analizinde varyans analizi, korelasyon analizi ve aritmetik ortalama kullanılmıştır. Sonuç olarak bağıntı ve fonksiyon konusundaki öğrenme güçlüğü ile öğrencinin matematiğe yönelik tutumu, matematik benlik duygusu ve kullanılan öğretim metotları arasında anlamlı bir ilişki bulunmuştur. Durmuş (2004a), ortaöğretim matematik derslerinde zor olarak algılanan konuları belirlemek ve bu zorlukların arkasında yatan nedenleri ortaya çıkarmak amacıyla yaptığı çalışmayı, ÖSS sonucu Abant Đzzet Baysal Üniversitesi Eğitim Fakültesi, Đlköğretim

55 43 Bölümü Matematik, Fen Bilgisi ve Sınıf Öğretmenliği bölümünü kazanan toplam 481 öğrenciye uygulamıştır. Araştırmacı tarafından, çalışmada kullanılmak üzere ortaöğretim matematik konularını içeren 28 maddelik öğrenme güçlükleri anketi geliştirilmiştir. Bu anketteki her bir konunun ayrı ayrı güçlük indeksleri hesaplanarak karşılaştırılmıştır. Zor olarak algılanan konulardaki zorluk nedenlerini anlamak için bu öğrencilerden 20 si ile görüşme yapılmıştır. Görüşmeler sonunda zorluk sebebi olarak, motivasyon eksikliği ve kavramların soyutluluğu olduğu ortaya çıkmıştır. Đlköğretim matematik derslerinde zor olarak algılanan konuları belirlemek ve bu zorlukların arkasında yatan nedenleri ortaya çıkarmak amacıyla yaptığı çalışmayı Durmuş (2004b), ilköğretim 8. sınıfında okuyan 170 öğrenciye ders yılı sonunda; Anadolu lisesinin Đngilizce hazırlığına devam etmekte olan 126 öğrenciye de ders yılı başında uygulamıştır. Araştırmacı tarafından çalışmada kullanılmak üzere ilköğretim matematik müfredatında bulunan konular gruplandırılarak toplam 31 maddeden oluşan öğrenme güçlükleri anketi geliştirilmiştir. Anket sonuçlarına dayalı olarak zorluk indeksi belirlenmiş ve zorluk indeksi %15 ve üzeri olan konular öğrenciler tarafından zor olarak algılanmıştır varsayımı ile bu konulardaki zorlukların sebeplerini anlamak için rast gele seçilen 20 öğrenciyle görüşmeler yapılmıştır. Durmuş çalışmasında, ilköğretim matematik konularından zor olarak algılanan konuların ilköğretimin son yıllarında yer aldığını ve bunun nedeninin de bu yıllardaki konuların, önceki yıllara göre daha çok soyut içerikli olmasından kaynaklandığını belirtmiştir. Ayrıca ilköğretim matematik müfredatının yoğunluğu yeniden gözden geçirilip, konulara ayrılan sürelerin yeniden düzenlenmesi gerekliliğinden bahsedilmiştir. Öğrencilerde motivasyon eksikliğine sebep olan sınıf geçme sistemi gözden geçirilerek, öğrencilerin motivasyonunu artırıcı şekilde yeniden düzenlenebileceği ifade edilmiştir. Ersoy ve Erbaş (2005), çalışmalarında uluslararası öğrenci başarısını belirlemeye yönelik Kassel projesi çerçevesinde geliştirilen, 2000 yılı başına kadar 15 ülkede uygulanan bir araştırmanın Türkiye de pilot uygulamasını rapor etmektedirler. Kassel projesinin amacının, araştırmaya katılan ülkelerde genelde ilköğretim matematik eğitimi programının tümünde, özelde programın bir parçası olarak cebir öğretiminde

56 44 öğrencilerin akademik başarısına dayalı olarak gelişimini izlemek ve sonuçları karşılaştırmak, başarıya etki eden öğrenme güçlükleri başta olmak üzere ortak yanlışlar ve kavram yanılgılarını, öğrenme etkinliklerinin özelliklerini incelemek olduğu belirtilmiştir. Pilot çalışma olarak tasarlanan bu incelemedeki örneklem, 67 tanesi erkek 32 tanesi kız olmak üzere toplam 99 ilköğretim 8. sınıf öğrencisidir. Çalışmanın sonunda kız ve erkek öğrencilerin başarı puanları arasında belirgin bir fark olmadığı; bireysel bazda ise öğrencilerin başarı düzeyinin çok farklı olduğu belirtilmektedir. Bununla birlikte, öğrencilerin Kassel projesi cebir testindeki işlem ağırlıklı sorularda başarı oranlarının daha yüksek olduğu, eşitlikler (denklemler) ve problemler ile ilgili sorulardaki başarının düşük olduğu, öğrencilerin çok sayıda ve değişik türlerde yanlış yaptıkları ifade edilmiştir. Gözlemlenen bu durumun, öğrencilerin cebir konularını öğrenmede bir takım öğrenme güçlüklerinin olduğunun belirgin işaretleri olup özellikle eşitlik ve değişken kavramlarında birtakım kavram yanılgılarının olabileceğinden; ayrıca, tanıya yönelik uygun ölçme araçları geliştirilerek derinlemesine inceleme yapılması gerekliliğinden bahsedilmiştir. Tatar ve Dikici (2006) çalışmalarını, ikili işlem ve özelliklerini öğrenmede karşılaşılan güçlükleri tespit etmek amacıyla yapmışlardır. Bu amaçla araştırmacılar tarafından hazırlanan 18 açık uçlu sorudan oluşan test, Atatürk Üniversitesi Ağrı Eğitim Fakültesi Sınıf Öğretmenliği Anabilim Dalı 1. sınıfında okuyan 74 öğrenciye uygulanmıştır. Çalışmada ayrıca ikili işlem ve özelliklerini öğrenmedeki güçlükleri detaylı olarak anlayabilmek için 15 öğrenci ile yarı yapılandırılmış mülakatlar yapılmıştır. Sonuç olarak, öğrencilerin kuralı ile verilen işlemlerde tablo ile verilen işlemlere nazaran daha çok güçlüğe sahip oldukları tespit edilmiştir. Bununla birlikte, ikili işlemin özelliklerinden dağılma ve birleşme özellikleri kavramsal düzeyde tam olarak öğrenilmediği ve bu yüzden öğrencilerin bu özelliklerde daha çok güçlüğe sahip olduğu ortaya çıkarılmıştır. Araştırmada öğrencilerin bu iki kavramı hep birbirine karıştırdıkları ifade edilmiştir. Ayrıca kuralı ile verilen bir işlemde; öğrencilerin kuralı yorumlamada güçlüklere sahip olduğu da belirtilmiştir.

57 45 Barnett (2006), çalışmasında öğrencilerin ne anladığını belirlemenin bir yolunun doğruyanlış tipi sorular sormak olduğunu vurgulamıştır. Verilen ifadenin doğru ya da yanlıştır cevabına ilaveten neden doğru ya da yanlış olduğunun da sorgulanması gerektiğini söyleyerek bu sorulardaki amacın öğrencileri yanıltmaktan ziyade kavramların önemli özelliklerine dikkatlerin çekilmesini sağlamak olduğunu belirtmiştir. Her a reel sayısı için 2 a = a ifadesi doğrumu yoksa yanlış mıdır? Neden?, Büküm noktası aynı zamanda bir ekstremum noktadır ifadesi doğrumu yoksa yanlış mıdır? Neden? biçimindeki sorulara verilen yazılı açıklamaların, doğru/yanlış tipi ya da yalnızca cevap seçeneğinin belirtildiği çoktan seçmeli soru tiplerine verilen cevaplara nazaran öğrencilerin yanılgılarını ve öğrenme güçlüklerini belirlemede son derece önemli olduğunu ifade etmiştir. Barnett ayrıca doğru bir cevap için yapılan yetersiz bir açıklamanın yanlış bir cevap için yapılan iyi bir açıklamadan daha az güvenilir olacağını da vurgulamıştır. Tatar vd (2006) çalışmalarını ortaöğretim matematik konularındaki güçlük düzeylerini belirlemek ve bu düzeyler açısından matematik, fen bilgisi ve sınıf öğretmenliği ana bilim dalı öğrencileri arasında bir fark olup olmadığını tespit etmek amacıyla yapmışlardır. Bu amaçla geliştirdikleri ortaöğretim matematik konularını kapsayan 29 maddelik güçlük indeksi anketini 2005-ÖSS sonucunda Atatürk Üniversitesi Ağrı Eğitim Fakültesi, Kazım Karabekir Eğitim Fakültesi ve Gazi Üniversitesi Kastamonu Eğitim Fakültesini kazanan toplam 506 öğrenciye uygulamışlardır. Bu anketteki her bir konunun matematik, fen bilgisi ve sınıf öğretmenliği ana bilim dalı öğrencileri açısından ayrı ayrı güçlük indeksleri hesaplanarak karşılaştırılmıştır. Çalışmada, lise 1 in ilk konusundan lise 3 ün son konusuna doğru ilerledikçe konu zorluk indekslerinin gözle görülür bir şekilde arttığı belirlenmiştir. Bununla birlikte, araştırmaya katılan öğrencilerin önemli bir kısmının lise 1, lise 2 ve lise 3 matematik müfredatındaki yılsonu konularını görmediklerinin saptandığı ifade edilmiştir. Ayrıca araştırmacılar lise 1, lise 2 ve lise 3 matematik müfredatındaki ilk konuların görülme oranı oldukça yüksek olmasına karşın lise 1 matematik müfredatında ilk sırada yer alan mantık konusunun örneklemdeki 212 (%42) öğrenci tarafından görülmediğini tespit etmişlerdir.

58 Matematikte Öğrenme Stilleri ile Đlgili Araştırmalar Bu kısımda matematikte öğrenme stilleri ile ilgili olarak yapılan bazı araştırmalar ve bu araştırmalardan elde edilen sonuçlar kısaca özetlenmektedir. Gawronski (1971), çalışmasında tümevarım ve tümdengelim öğrenme stillerinin varlığı ile bunların matematik başarısına etkisini incelemiştir. Araştırmada örneklem olarak 298 ilköğretim 8. sınıf öğrencisi alınmıştır. Gawronski, çalışmasının sonunda tümevarım ve tümdengelim öğrenme stillerine sahip öğrenciler arasında matematik başarısı açısından anlamlı bir farklılığın olmadığını tespit etmiştir. Thomson ve Mascazine (1997) nin yaptıkları çalışma; çevresel, duygusal, sosyolojik, fiziksel ve psikolojik olmak üzere toplam beş uyarıcı unsuru tanımlayan Dunn modeline odaklanan öğrenme stilleri araştırmaları üzerine yapılmış bir literatür incelemesidir. Çalışmada, başkaları ile nasıl etkileşimde bulunulduğu ve nasıl öğrenildiği düşünülse de düşünülmese de herkesin bir öğrenme stilinin olduğu belirtilmektedir. Thomson ve Mascazine, özellikle matematik ve fen eğitiminde öğrenme stillerinin dikkate alınmasının en büyük yararının; öğrencilere kendi kendine öğrenme sorumluluğunu kazandırması olduğunu belirtmektedirler. Ayrıca, öğretmenlerin de öğretim stratejilerini belirlerken öğrencilerinin stillerini dikkate almaları durumunda öğrenmenin artacağından da bahsedilmiştir. Peker ve Yalın (2002) çalışmalarını matematik öğretmenlerinin, öğrencilerin öğrenme stillerine uygun bir öğretimi hangi düzeyde uyguladıklarını tespit etmek amacıyla gerçekleştirmişlerdir. Bunun için öncelikle 4MAT yöntemindeki her bir öğrenme stiline ait özellikler belirlenmiştir. Bu özelliklerden, öğretmenlerin öğrencilerinin öğrenme stillerine uygun öğretimi hangi düzeyde yaptıklarını tespit etmek amacıyla bir ölçek geliştirildiği belirtilmiştir. Peker ve Yalın, geliştirdikleri bu ölçeği lise 2. sınıfta okuyan 500 öğrenciye uygulamışlardır. Elde edilen verileri SPSS programında analiz ettikten sonra, matematik öğretmenlerinin öğrencilerin öğrenme stillerini pek dikkate almadıkları sonucuna varıldığı belirtilmiştir.

59 47 Sloan vd. (2002) çalışmalarında sınıf öğretmeni adaylarının matematik kaygı seviyeleri ile öğrenme stilleri arasındaki ilişkiyi araştırmışlardır. Sınıf öğretmenliği üçüncü sınıfı bitirmek üzere olan 72 öğretmen adayı üzerinde gerçekleştirilen incelemede, adaylara matematik kaygı seviyesini belirleme ölçeği ile stil belirleme anketi uygulanmıştır. Çalışmanın sonunda, matematik kaygısı ile global öğrenme stili arasında bir ilişkinin var olduğu tespit edilmiştir. Şöyle ki; çalışmada global öğrenme stiline sahip öğretmen adaylarının diğerlerine kıyasla daha yüksek seviyede matematik kaygısına sahip olduğu belirtilmiştir. Fer (2003), çalışmasını matematik, fizik ve kimya öğretmenliği öğrencilerinin öğrenme stilleri ile kolay öğrendikleri öğrenme etkinlikleri arasında bir ilişki olup olmadığını belirlemek amacıyla yapmıştır. 106 kişilik matematik, fizik ve kimya öğretmenliği öğrencilerinden oluşan örneklem ile yapılan bu çalışmanın betimsel bir araştırma olduğu belirtilmiştir. Araştırmanın verilerini toplamak için 44 maddelik Felder ve Silverman öğrenme stili ölçeğine, Fer tarafından birtakım soruların eklenmesiyle oluşturulan bir araç kullanılmıştır. Yapılan bu çalışmanın sonucunda; öğrencilerin öğrenme stilleri ile cinsiyetleri arasında anlamlı bir ilişki olmadığı, buna karşın öğrenme stilleri ile kolay öğrendikleri öğrenme etkinlikleri arasında anlamlı bir ilişki olduğu belirlenmiştir. Peker (2003), yaptığı araştırmada 4MAT öğretim yönteminin diziler konusunun öğretiminde öğrencilerin başarılarına ve matematiğe yönelik tutumlarına etkisini incelemiştir. Ayrıca, bu çalışmada; öğrencilerin öğrenme stilleri ile hem matematik dersindeki başarıları hem de matematik dersine yönelik tutumları arasındaki ilişkinin incelenmesi de amaçlanmıştır. Araştırma, tarama ve deneysel olarak iki boyutta gerçekleştirilmiştir. Araştırmanın tarama boyutu için hazırlanan ölçekler 500 lise 2. sınıf öğrencisine uygulanmıştır. Öğrencilerin öğrenme stillerini belirlemek için Kolb öğrenme stili envanteri kullanılmıştır. Tarama boyutunda; a. Öğrencilerin %54,2 sinin analitik (II. tip) öğrenen, %26,1 inin sağduyulu (III. tip) öğrenen, %13,9 unun imgesel (I. tip) öğrenen ve %5,8 inin de dinamik (IV. tip) öğrenen olduğu,

60 48 b. Öğrencilerin öğrenme stilleri ile matematiğe yönelik tutum puanları arasındaki ilişki incelenmiş, birinci tip öğrenenler ile hem ikinci hem de üçüncü tip öğrenenlerin tutum puanları arasında ikinci ve üçüncü tip öğrenenler lehine anlamlı farklılık bulunduğu, c. Öğrencilerin öğrenme stilleri ile matematik başarı puanları arasındaki ilişki incelenmiş, birinci ve üçüncü tip öğrenenlerin başarı puanları arasında üçüncü tip öğrenenler lehine anlamlı farklılığın olduğu tespit edilmiştir. Peker araştırmasının deneysel boyutunu 75 lise 2. sınıf öğrencisi üzerinde uygulamıştır. Bunun için 38 öğrenci deney grubunda, 37 öğrenci kontrol grubunda yer almıştır. Deney grubuna 4MAT öğretim yöntemine göre hazırlanan planda diziler konusu öğretilmiş, kontrol grubuna ise geleneksel öğretim uygulanmıştır. Uygulamanın sonunda son test ve son tutum ölçeği uygulanmış, sonuçlar t-testi kullanılarak analiz edilmiştir. Grupların son test ve son tutum puanları arasında deney grubunun lehine anlamlı bir farklılık bulunmuştur. Acat vd. (2004) yaptıkları incelemede, eğitim fakültesine devam eden aday öğretmenlerin matematik öğrenmede kullandıkları öğrenme stillerini betimsel yöntem kullanarak belirlemeye çalışmışlardır. Seçilen bir eğitim fakültesinin ilköğretim matematik öğretmenliği, bilgisayar ve öğretim teknolojileri öğretmenliği, sınıf öğretmenliği ve fen bilgisi öğretmenliği programlarına devam eden 3. ve 4. sınıf öğrencilerinin tamamına matematik öğrenmede kullanılan öğrenme stillerini belirleme anketi uygulanmış, uygulama sonunda 379 anket değerlendirilmiştir. Sonuç olarak, öğrencilerin en çok kullandıkları öğrenme stillerinin okudukları bölümlere göre farklılık gösterdiği ifade edilerek; ankette en yüksek ortalamaya sahip maddelerin, öğrencilerin kendi başlarına ve notlarına bağımlı olarak matematik öğrendiğini ifade eden maddeler olduğu, bu durumun temel nedenlerinden birinin geleneksel eğitim anlayışı olabileceği belirtilmiştir. Peker vd. (2004) yaptıkları çalışmada, öğrenme stilleri tartışılmış ve matematik öğretmen adaylarının sahip oldukları stiller belirlenmiştir. Araştırmada genel tarama yöntemi kullanılmıştır. Bunun için Cumhuriyet Üniversitesi Eğitim Fakültesi ndeki 187 matematik öğretmen adayına öğrenme stili envanteri uygulanmıştır. Bu envanterde

61 49 belirtilen normlara göre matematik öğretmen adaylarının öğrenme stilleri belirlenmiş ve SPSS paket programı kullanılarak bu stillerin yüzde ve frekansları hesaplanmıştır. Çalışmanın sonunda öğretmen adaylarının yarıdan fazlasının ikinci tip öğrenen, üçte birine yakınının üçüncü tip öğrenen ve çok az bir kısmının birinci ve dördüncü tip öğrenen olduğu belirlenmiştir. Böylece herhangi bir sınıf ortamında tek bir öğrenme stiline sahip bireyler değil, farklı öğrenme stillerine sahip bireylerin bulunabileceği belirtilmiştir. Özsoy vd. (2004) 10. sınıf öğrencilerinin öğrenme stilleri ile geometrik düşünme düzeylerini belirlemek ve aralarındaki ilişkiyi araştırmak amacıyla yaptıkları çalışmanın örneklemini bir Anadolu lisesinde öğrenim gören 79 onuncu sınıf öğrencisi oluşturmaktadır. Araştırmada öğrencilerin öğrenme stillerini belirlemek için Kolb Öğrenme Stili Envanteri ile geometrik düşünme düzeylerini belirlemek için araştırmacılar tarafından hazırlanmış 25 sorudan oluşan bir geometri testi kullanılmıştır. Elde edilen verilere göre, öğrencilerin genelde ayrıştıran ve özümseyen öğrenme stillerine sahip oldukları ve geometrik düşünme düzeylerinin de analitik dönem ve yaşantıya bağlı çıkarım dönemi olduğu belirtilmiştir. Çalışmada ayrıca, öğrenme stilleri ile geometrik düşünme düzeyleri arasında anlamlı bir ilişkinin bulunmadığı elde edilmiştir. Araştırma bulgularının onuncu sınıf öğrencilerinin geometrik düşünme düzeylerini tahmin etmede öğrenme stillerinin etkili bir değişken olmadığını gösterilmiştir. Gülten ve Gülten (2004) çalışmalarında, lise 2. sınıf öğrencilerinin geometri dersi notları ile öğrenme stilleri arasındaki ilişkiyi araştırmışlardır. Araştırmanın örneklemini, lise 2. sınıfta okuyan 429 öğrenci oluşturmaktadır. Veriler öğrenme tercihleri anketi adıyla, toplam 28 sorudan oluşan beşli likert tipi bir ölçek ile toplanmıştır. Çalışmada elde edilen verilerin analizi sonucunda örneklemdeki öğrencilerin geometri dersi notları ile görsel öğrenme stili arasındaki ilişkinin daha güçlü olduğu ifade edilmiştir. Ayrıca matematiğin günlük yaşamda kullanılan önemli parçalarından biri olan geometrinin öğrenciler için önemi göz önüne alındığında, geometri öğrenme-öğretme sürecinde öğrenme stillerinin dikkate alınmasının büyük yarar sağlayacağı belirtilmiştir.

62 50 Kenward (2005) yaptığı çalışmada, online bir cebir dersinde öğrencilerin öğrenme stilleri veya psikolojik tipleri ile onların cebir başarıları arasındaki ilişkiyi incelemiştir. Örneklemi oluşturan 153 üniversite öğrencisinin her biri, hissetme ve yargıya varma, sezme ve hissetme, hissetme ve algılama, sezme ve düşünme şeklindeki mizaç sınıflandırmasına göre gruplandırılmıştır. Daha sonra öğrencilerin ders final notları ile öğrenme stilleri arasındaki ilişki istatistiki olarak incelenmiştir. Çalışma sonucunda farklı kişilik tiplerine sahip öğrencilerin başarılarında istatistiki olarak önemli farklılıklar tespit edilmiştir. Yenilmez ve Çakır (2005) yaptıkları çalışmayı, ilköğretim ikinci kademe okullarına devam eden öğrencilerin matematik öğrenirken tercih ettikleri öğrenme stillerini belirlemek ve kullandıkları stilin cinsiyet, sınıf düzeyi, matematik karne notu, okul öncesi eğitimi alma durumu ve anne-baba eğitim durumu değişkenleri açısından farklılaşıp farklılaşmadığını belirlemek amacıyla gerçekleştirmişlerdir. Araştırmanın örneklemini, ilköğretim 6, 7 ve 8. sınıflarda okuyan 238 öğrenci oluşturmaktadır. Verilerin toplanması aşamasında, öğrencilerin matematik öğrenme stillerini belirlemek için "Matematik Sınıfta Nasıl Öğrenilir?" ölçeği ve araştırmacılar tarafından hazırlanan demografik bilgi formu kullanılmıştır. Toplanan verilerin analizinde, t-testi ve varyans analizinden yararlanılmıştır. Araştırmanın sonucunda; cinsiyet, sınıf düzeyi ve matematik karne notuna göre matematik öğrenme stillerinin seçiminde farklılıklar olduğu ortaya çıkarken, okul öncesi eğitimi alma durumu ve anne-baba eğitim durumlarına göre matematik öğrenme stillerinin seçiminde farklılık bulunmadığı belirlenmiştir. Gunthorpe (2005), öğrencilerin öğrenme stilleri ile temel matematik başarıları arasındaki ilişkiyi incelemek amacıyla bir araştırma yapmıştır. Araştırmanın örneklemini Teknik Meslek Enstitüsü nde Temel Matematik dersini alan 1252 öğrenci oluşturmuştur. Gunthorpe, araştırmada spesifik olarak öğrenme stili, temel matematik dersinde kullanılan öğretim metodu ile uyumlu olan öğrencilerle uyumlu olmayan öğrencilerin başarıları arasındaki ilişkiyi incelemiştir. Çalışma sonucunda istatistiki olarak önemli bir ilişkiye rastlanmamıştır.

63 51 3. MATERYAL ve YÖNTEM Bu bölümde; araştırmanın amacı, alt problemler, hipotez, araştırmanın deseni, örneklemi, değişkenleri, veri toplama araçları, araştırmanın kabul ve sınırlılıkları, verilerin analizi ve kullanılan istatistiki teknikler incelenmiştir Araştırmanın Amacı Bu araştırma iki kısımdan oluşmaktadır. Birinci kısımda amaç; ortaöğretim öğrencilerinin ikili işlem ve özellikleri konusundaki öğrenme güçlüklerini tespit etmek, ikinci kısımdaki amaç ise ikili işlem ve özellikleri konusunun öğretiminde 4MAT öğretim yönteminin etkinliğini belirlemektir Problem ve Hipotez Alt problemler 1. Đkili işlem konusunda ortaöğretim 9. sınıf öğrencilerinin öğrenme güçlükleri nelerdir? 2. Đkili işlemin özellikleri konusunda ortaöğretim 9. sınıf öğrencilerinin öğrenme güçlükleri nelerdir? 3. Đkili işlem ve özellikleri konusu ile ilgili öğrencilerin başarıları açısından 4MAT öğretim yöntemi ile geleneksel öğretim yöntemi arasında önemli bir farklılık var mıdır?

64 Hipotez Araştırmanın hipotezi aşağıdaki gibidir; H o : Đkili işlem ve özellikleri konusu ile ilgili öğrencilerin başarıları açısından 4MAT öğretim yöntemi ile geleneksel öğretim yöntemi arasında istatistiksel olarak anlamlı bir farklılık yoktur Araştırmanın Deseni Ortaöğretim öğrencilerinin ikili işlem ve özelliklerinde öğrenme güçlüklerini belirlemeyi amaçlayan araştırmanın birinci kısmında, ilgili alt problemlerin derinlemesine incelenebilmesi için durum çalışması deseni araştırma deseni olarak belirlenmiştir (Yıldırım ve Şimşek 2000; Mcmillan and Schumacher 2001). Đkili işlem ve özellikleri konusunun öğretiminde 4MAT öğretim yönteminin etkinliğini belirlemeyi amaçlayan ikinci kısımda ise eğitimdeki deneysel araştırma desenleri içerisinde en fazla kullanılan eşitlenmemiş kontrol gruplu desen esas alınmıştır (Karasar 2000, McMillan and Schumacher 2001, Çepni 2005). Eşitlenmemiş kontrol gruplu desen, ön test-son test kontrol gruplu desene benzerdir. Aralarındaki tek fark, eşitlenmemiş kontrol gruplu desende grupların gelişigüzel seçilmesidir. Grupların yansız atama yoluyla eşitlenmeleri için özel çaba harcanmamaktadır. Ancak, katılanların benzer nitelikte olmalarına olabildiğince özen gösterilmelidir (Karasar 2000). Bu çalışmada da grupların Çizelge 3.1 de belirtilen ön test puanları arasında anlamlı bir farklılığın olmadığı görülerek, benzer nitelikte olduğu belirlenmiştir. Araştırmanın deneysel yöntemi Çizelge 3.1 de özetlenmektedir.

65 53 Çizelge 3.1. Deneysel yöntem Gruplar Ön Testler Uygulama Son Testler Deney grubu T 1, T 2, T 3 4MAT öğretim yöntemi Kontrol grubu T 1, T 2, T 3 Geleneksel öğretim yöntemi T 3 T 3 Burada T 1 matematik bilgi testini, T 2 matematik tutum ölçeğini ve T 3 de ikili işlem ve özellikleri bilgi testini temsil etmektedir Araştırmanın Örneklemi Araştırmanın örnekleminin seçiminde, çalışılması düşünülen evrende doğal olarak oluşmuş veya farklı amaçlarla yapay olarak oluşturulmuş, kendi içinde belirli özellikler açısından benzerlik gösteren değişik grupların olması durumunda kullanılan (Yıldırım ve Şimşek 2000) ve olasılık temelli örnekleme yöntemi içinde yer alan küme örnekleme yöntemi kullanılmıştır. Araştırmanın birinci bölümünün örneklemini, Erzurum Ziya Gökalp Lisesi ve Mehmet Akif Ersoy Lisesinde eğitim-öğretim yılında öğrenim gören sırasıyla 79 ve 39 dokuzuncu sınıf öğrencisi olmak üzere toplam 118 öğrenci ve 8 ortaöğretim matematik öğretmeni oluşturmaktadır. Đkinci bölümün örneklemi ise, Erzurum Ziya Gökalp Lisesinin eğitim-öğretim yılında 9-A (kontrol grubu; N=29) ve 9-B (deney grubu; N=29) şubelerinde öğrenim gören toplam 58 öğrenciden oluşmaktadır Değişkenler Bağımsız değişkenler Uygulamada kullanılan 4MAT öğretim yöntemi ile geleneksel öğretim yöntemi araştırmanın bağımsız değişkenlerini teşkil etmektedir.

66 Bağımlı değişkenler Öğrencilerin ikili işlem ve özellikleri ile ilgili başarıları araştırmanın bağımlı değişkenidir. 3.6 Veri Toplama Araçları Matematik bilgi testi Matematik bilgi testi, Erzurum Ziya Gökalp Lisesinin matematik öğretmenleri zümresi tarafından eğitim-öğretim yılı başlangıcında birinci sınıf öğrencilerinin matematik dersindeki bilgi seviyelerinin hangi düzeyde olduğunu belirlemek amacıyla hazırlanmıştır. Testte ilköğretim matematik konularından sorulmuş 10 açık uçlu soru bulunmaktadır (Ek 1) Matematik tutum ölçeği Bu ölçek (Ek 2), öğrencilerin matematiğe karşı tutumlarını belirlemek amacıyla Aşkar (1986) tarafından geliştirilmiştir. Ölçek; tamamen uygundur, uygundur, kararsızım, uygun değildir ve hiç uygun değildir şeklinde beş seçenek içeren likert tipi 20 maddeden oluşmuştur. Bunlar matematik sevdiğim bir derstir gibi olumlu ifade edilmiş maddeler (4, 6, 7, 13, 14, 16, 17, 18, 19, 20) ile matematikten hoşlanmam gibi olumsuz ifade edilmiş maddelerden (1, 2, 3, 5, 8, 9, 10, 11, 12, 15) oluşmaktadır. Olumlu cümleler için verilen cevaplar tamamen uygundur seçeneğinden başlayarak sırasıyla 4, 3, 2, 1, 0 olarak ve olumsuz cümleler ise yine aynı seçenekten başlayarak 0, 1, 2, 3, 4 şeklinde puanlandırılmıştır. Aşkar, 20 maddenin Cronbach alpha güvenirlik katsayısını 0,96 olarak hesaplamıştır.

67 Đkili işlem ve özellikleri bilgi testi Araştırmanın hem öğrenme güçlüklerini belirleme kısmında hem de deneysel kısmında kullanılmak üzere oluşturulan bu test (Đ.B.T.), ilk beş soru ikili işlem ve kalan on soru da ikili işlemin özellikleri ile ilgili olmak üzere toplam 15 açık uçlu sorudan oluşmaktadır (Ek 3). Đ.B.T. araştırmacı tarafından hem ilgili literatür hem de Milli Eğitim Bakanlığı Talim ve Terbiye Kurulu tarafından kabul edilen lise 1 matematik ders kitaplarından (Gündoğdu 1999; Özkan 1999; Kırbaş 2000; Aydın ve Asma 2004) yararlanılarak ve uzman görüşleri alınarak hazırlanmıştır. Testin güvenirliğini belirlemek için güvenilirlik hesaplama yöntemlerinden tek uygulamaya dayalı yöntemler içerisinde yer alan Cronbach Alpha(α ) kullanılmıştır. α katsayısı özellikle cevapların derecelendirme ölçeğinde elde edildiği durumlarda sıklıkla kullanılmaktadır. α katsayısı, maddelere ait puanların toplam test puanlarıyla tutarlılığının bir ölçüsüdür (Doğanay ve Karip 2006). Böylece, oluşturulan Đ.B.T. daha önce bu konunun anlatıldığı bir öğrenci grubuna uygulanarak Cronbach Alfa güvenirlik katsayısı 0,73 olarak bulunmuştur. Testin geçerliliği için bu alandaki uzman kişilerin (bir öğretim üyesi, iki öğretim görevlisi ve bir öğretmen) görüşleri alınmıştır. Görüşlerine başvurulan uzmanlar, Đ.B.T. nin ikili işlem ve özellikleri konusundaki kazanımları ölçebilecek seviyede olduğunu ifade etmişlerdir.

68 Mülakatlar Öğrencilerle mülakat Araştırmanın birinci kısmında öğrencilerin ikili işlem ve özellikleri konusundaki öğrenme güçlüklerini ayrıntılı olarak belirlemek için 19 öğrenci ile yarı yapılandırılmış mülakat yapılmıştır. Mülakatların başlangıcında, her bir öğrenciye bu uygulamanın amacı açıklanmış ve uygulama süresince, açıkla, nasıl?, niçin? gibi ifadelerle öğrencilerin bilgi testindeki sorulara yönelik bilgileri detaylı bir şekilde alınmıştır. Bu mülakatların süresi, her bir öğrenci için ortalama dakika olup öğrenci cevapları daha sonra analiz edilmek üzere yazılı olarak kaydedilmiştir Öğretmenlerle mülakat Öğrencilerinin ikili işlem ve özelliklerindeki öğrenme güçlüklerinin neler olabileceğini belirlemek amacıyla her biri sırasıyla 11, 9, 8, 8, 7, 6, 4 ve 3 yıllık bir lise öğretmenlik geçmişine sahip 8 matematik öğretmeni ile yapılandırılmış mülakat yapılmıştır. Bu yapılandırılmış mülakatta sorulan sorular Ek 4 de sunulmuştur Uygulama Erzurum Mehmet Akif Ersoy Lisesi ve Erzurum Ziya Gökalp Lisesinin idarecilerine ve matematik öğretmenlerine çalışmanın yapısı hakkında bilgi verildikten sonra araştırmayı ve eğitim-öğretim yıllarında gerçekleştirebilmek amacıyla Đl Milli Eğitim Müdürlüğünden gerekli izin alınmıştır (Ek 5). Araştırmanın, ikili işlem ve özelliklerindeki öğrenme güçlüklerini belirlemeyi amaçlayan birinci kısmı için eğitim-öğretim yılında matematik öğretmenleri tarafından bu konunun öğretimi tamamlandıktan sonra, hazırlanan Đ.B.T. her iki ortaöğretim kurumunun 9. sınıfında öğrenim gören toplam 118 öğrenciye uygulanmıştır.

69 57 Daha sonra ilgili öğrenme güçlüklerini detaylı olarak belirlemek amacıyla bu öğrencilerin 19 u ile yarı yapılandırılmış mülakat yapılmıştır. Ayrıca öğrencilerin ikili işlem ve özelliklerini öğrenirken ne gibi güçlükler yaşadıklarını belirlemek amacıyla her biri öğretmenlik mesleğinde deneyimli sayılabilecek 8 ortaöğretim matematik öğretmeni ile yapılandırılmış mülakat yapılmıştır. Hem yapılandırılmış hem de yarı yapılandırılmış mülakatlar daha sonra analiz edilmek üzere yazılı olarak kaydedilmiştir. 4MAT öğretim yönteminin ikili işlem ve özelliklerinin öğretimi üzerine etkisinin belirlenmesi amaçlanan ikinci kısım ise eğitim-öğretim yılının güz döneminde Erzurum Ziya Gökalp Lisesinde uygulanmıştır. Okulun 9-A ve 9-B sınıflarına uygulanan ikili işlem ve özellikleri bilgi testi, matematik bilgi testi ve matematik tutum ölçeği sonuçları analiz edildikten sonra bu sınıfların ikili işlem ve özellikleriyle ilgili ön bilgileri, matematik bilgi seviyeleri ve matematiğe karşı tutumları arasında anlamlı farklılık olmadığı tespit edilmiştir. Daha sonra 9-A sınıfı kontrol grubu 9-B sınıfı da deney grubu olarak seçilmiştir. Uygulamaya başlamadan önce 4MAT öğretim yönteminin uygulandığı 9-B sınıfının oturma düzeni, bu yöntemin içinde yer alan grupla çalışma aktivitelerine uygun bir şekilde düzenlenmiştir. Araştırmacı tarafından, deney grubuna iki hafta süre ile toplam 7 saat 4MAT öğretim yöntemine dayalı bir öğretim, kontrol grubuna ise aynı süre içinde geleneksel öğretim yapılmıştır. Öğrencilerin bu çalışmaya daha iyi motive olmalarını sağlamak amacıyla her iki grubun matematik öğretmeni ile işbirliği yapılarak değerlendirme sonuçlarının dönem sonu notlarına etki etmesi kararlaştırılmış ve öğrencilere duyurulmuştur. Kontrol grubunda Balcı (2003) tarafından yazılan matematik ders kitabı takip edilirken, deney grubunda ise aynı kitabın ilgili konu içeriğine bağlı olmak üzere 4MAT öğretim yöntemine uygun olarak oluşturulmuş ders planları takip edilmiştir (Ek 6). Bu planları hazırlarken Morris and McCarthy (1990), Terms (1997), White (1998), Gail (1998), Ian (2001), DeMary (2004), Bıyık (2005), Roberts (2005), Warloe (2005) ve Yurdagül (2005) den yararlanılmıştır. Deneysel çalışma süresince öğretimi yapılan konu başlıkları ve süreleri Çizelge 3.2 de belirtilmiştir.

70 58 Çizelge 3.2. Deneysel çalışma süreci Haftalar Saatler Konu Başlıkları 1.saat Đkili işlem 1.Hafta 2.saat 3.saat 4.saat 1.saat Đkili işlem (devam)-kapalılık özelliği Değişme özelliği Birleşme özelliği Dağılma özelliği 2. Hafta 2. saat Đkili işlemin birim elemanı ve bir elemanın tersi 3. saat Đkili işlemin birim elemanı ve bir elemanın tersi Deneysel çalışma tamamlandıktan sonra, 4MAT öğretim yönteminin etkinliğini incelemek amacıyla, deney ve kontrol gruplarına Đ.B.T. uygulanarak araştırmanın ikinci kısmı için gerekli veriler toplanmıştır. Uygulama boyunca her ders saati için araştırmacı tarafından öğrenci devam çizelgesi tutulmuştur. Bir saatten fazla devamsızlığı olan; kontrol grubundan dört, deney grubundan ise beş öğrenci değerlendirme dışı bırakılmıştır Verilerin Analizi Ortaöğretim kurumlarındaki öğrencilerin ikili işlem ve özellikleri konusundaki öğrenme güçlüklerini belirlemeyi amaçlayan birinci kısmında elde edilen verileri analiz etmek için yüzde ve frekans kullanılmıştır. Fakat bilgi testindeki her bir sorunun analizi verilirken belirtilen maddeler birbirinden tamamen bağımsız olmadığından frekansların toplamı da araştırmanın bu kısmındaki örnekleme ile eşit olma zorunluluğu yoktur ve dolayısıyla verilen yüzdelerin toplamı %100 ü geçebilir. Ayrıca öğrenciler ve öğretmenlerle yapılan mülakatların verileri betimsel analiz ile değerlendirilmiştir.

71 59 Đkili işlem ve özellikleri konusunun öğretiminde 4MAT öğretim modelinin etkinliğini belirlemeyi amaçlayan ikinci kısımda, araştırmanın hipotezi 0,05 lik önem seviyesinde test edilmiştir. Hipotezin test edilmesinde bağımsız grup t-testi kullanılmıştır. Bu araştırmada istatistiksel analizler SPSS/PC (Statistical Package for Social Sciences for Personal Computers) paket programı kullanılarak yapılmıştır. Ayrıca araştırmanın yine ikinci kısmında ikili işlem ve özellikleri bilgi testi sorularına verilen cevaplar, doğru, kısmen doğru, yanlış ve cevapsız olarak sınıflandırılmış ve her biri için yüzde hesaplamaları yapılmıştır. Doğru: Soru ile ilgili bilimsel fikirlerin tamamını ihtiva eden cevaplar bu kategoriye dahil edilmiştir. Kısmen Doğru: Soru ile ilgili bilimsel fikirlerin bir kısmını ihtiva eden cevaplar bu kategoriye dahil edilmiştir. Yanlış: Soru ile ilgili tamamen yanlış olan cevaplar bu kategoriye dahil edilmiştir. Cevapsız: Soru ile ilgili boş bırakılan veya sorunun aynen ya da kısmen tekrarlandığı cevaplar bu kategoriye dahil edilmiştir. Teste verilen cevapların kategorilere göre puanlaması Çizelge 3.3 de olduğu gibidir. Çizelge 3.3. Öğrencilerin cevap kategorileri ve bu kategorilere karşılık gelen puan değerleri Cevap Kategorisi Doğru Kısmen Doğru Yanlış Cevapsız Puan Değeri Araştırmanın Kabulleri ve Sınırlılıkları Bu araştırmadaki kabuller ve sınırlılıklar aşağıdaki gibidir;

72 Araştırmanın kabulleri 1. Uygulanan bilgi testi ve yapılan mülakatlar öğrencilerin ikili işlem ve özellikleri konusundaki öğrenme güçlüklerini belirleyebilecek niteliktedir. 2. Araştırmacı, uygulama aşamasında kontrol ve deney gruplarına yansız davranmıştır. 3. Uygulama aşamasında, kontrol ve deney gruplarındaki öğrenciler arasında herhangi bir etkileşim olmamıştır. 4. Öğrenciler veri toplama araçlarındaki sorulara dürüstçe cevap vermişlerdir Araştırmanın sınırlılıkları 1. Araştırmada incelenen öğrenme güçlükleri sosyolojik ve psikolojik faktörlerden ziyade bilişsel boyutlarda incelenecektir. 2. Araştırmanın örneklemi, birinci kısımda Erzurum Mehmet Akif Ersoy ve Ziya Gökalp Liselerinde eğitim-öğretim yılında öğrenim gören 118 öğrenci ve muhtelif liselerde çalışan 8 ortaöğretim matematik öğretmeni, ikinci kısımda ise eğitim-öğretim yılında Erzurum Ziya Gökalp Lisesi 9-A ve 9-B sınıflarında öğrenim gören toplam 58 öğrenci ile sınırlı tutulmuştur. 3. Araştırma lise 1 matematik dersinin ikili işlem ve özellikleri konusu ile sınırlı tutulmuştur. 4. Araştırmanın deneysel kısmında uygulama süresi iki hafta ile sınırlı tutulmuştur.

73 61 4. ARAŞTIRMA BULGULARI Bu bölüm, ikili işlem ve özelliklerindeki öğrenme güçlükleri ile ilgili bulgular ve 4MAT öğretim yönteminin kullanımından elde edilen bulgular olmak üzere iki başlık altında toplanmıştır Đkili Đşlem ve Özelliklerindeki Öğrenme Güçlükleri ile Đlgili Bulgular Bu bölümde, araştırmanın birinci kısmında öğrencilerin Đ.B.T. ndeki sorulara verdikleri cevapların analiz edilmesiyle elde edilen bulgulara yer verilmiştir. Araştırmanın deseninden dolayı gerekli görülen öğrenci cevapları bilgisayar ortamında taranarak hiç değiştirilmeden sunulmuştur. Ayrıca öğrencilerle yapılan mülakatların betimsel analizi de verilmiştir Đkili işlemdeki öğrenme güçlükleri Öğrencilerin herhangi bir kümede tanımlanan bir işlemi şema ve tablo ile gösterip gösteremeyeceklerini belirleyebilmek amacı ile = { 1, 2, 3} A kümesi verilsin. işlemi, A A nın her bir ikilisini, ikilinin ilk terimine gönderen fonksiyon biçiminde tanımlansın. işlemini şema ve tablo ile belirtiniz (Soru 1) sorusu soruldu. Elde edilen cevaplar aşağıdaki gibidir: a. Araştırmaya katılan öğrencilerden yalnızca 3 ü hem şemayı hem de tabloyu doğru bir şekilde oluşturmuştur. b. Öğrencilerden 10 u yalnızca tabloyu doğru oluşturabilmiştir. c. 58 öğrenci şemayı yanlış oluşturmuştur. d. 67 öğrenci ise tabloyu yanlış oluşturmuştur. e. Bu soruyu cevapsız bırakan öğrenci sayısı 29 dur. Bu soruda öğrencilerin yarıdan fazlasının herhangi bir kurala göre verilen işleme uygun şema ve tablo oluşturmada güçlük yaşadıkları gözlenmiştir.

74 62 60 %57 50 % %25 20 %8 10 %3 0 a b c d e Şekil 4.1. Öğrencilerin soru 1 için verdikleri cevapların yüzdeleri Bu soruda tabloyu yanlış oluşturan 67 öğrencinin 35 i Şekil 4.2 deki gibi oluşturmuştur. Bu öğrencilerden biri ile yapılan mülakat aşağıda verilmiştir. Mülakatçı: Birinci soruda tabloyu neye göre yaptın? Öğrenci A: Her satırda ve her sütunda A kümesinin elemanları olacak şekilde yerleştirdim. Mülakatçı: Neden öyle yaptın? Öğrenci A: Çünkü derste çözdüğümüz bütün sorulardaki tablolar bu şekildeydi. Yani bir eleman, herhangi bir sütunda ya da satırda yalnız bir kere yazılmıştı. Şekil 4.2. Öğrenci A nın soru 1 için verdiği cevap Şemayı yanlış yapan öğrencilerden 15 i, işlemin hem tanım hem de değer kümesini A kümesi olarak almıştır. Bu öğrencilerden birinin cevabı Şekil 4.3 de verilmiştir.

75 63 Şekil 4.3. Bir öğrencinin soru 1 için verdiği cevap Ayrıca 4 öğrenci de işlemin tanım ve değer kümelerinin yerlerini karıştırarak şemayı yanlış oluşturmuştur. Bu öğrencilerden birinin cevabı Şekil 4.4 de verilmiştir. Şekil 4.4. Bir öğrencinin soru 1 için verdiği cevap e kategorisindeki 29 öğrenci, hem tabloyu hem de şemayı oluşturamayarak soruyu cevapsız bırakmıştır. 9 öğrenci tabloyu cevapsız bırakıp şemaya yanlış cevap vermiştir. 28 öğrenci de yalnızca şemayı oluşturmuştur. Fakat oluşturulan bu şemaların tamamı yanlıştır. Araştırmaya katılan öğrencilerin herhangi bir kümede kuralı ile verilen bir işlemde istenilen bir işlemin sonucunu bulmadaki performanslarını değerlendirmek için yöneltilen; Tamsayılar kümesi üzerinde x y = x. y + 4.( x + y) şeklinde işlemi

76 64 tanımlanmıştır. Buna göre, 2 5 işleminin sonucu kaçtır? (Soru 2) ve = { 1,0,1, 2} A kümesi ve x y = 3x y 2 şeklinde tanımlanan işlemi veriliyor. Buna göre, ( 1) 2 işleminin sonucunu bulunuz (Soru 3) sorulara verilen cevaplar aşağıdaki gibi gruplandırılmıştır: a. Đkinci soruyu, çalışmaya katılan öğrencilerden 81 i, üçüncü soruyu da 44 ü doğru cevaplandırmıştır. b. Bu sorulara yanlış cevap veren öğrenci sayısı sırasıyla 35 ve 65 tir. c. Đkinci soruda öğrencilerden 16 sı işlem sırasına dikkat etmediğinden, üçüncü soruda ise 36 sı pozitif ve negatif tamsayılarda yaptıkları dört işlem hatalarından dolayı sorulara yanlış cevap vermiştir. d. Bu soruları cevapsız bırakan öğrenci sayıları; sırasıyla 2 ve 9 dur. 70 %68 60 %55 50 %37 40 soru 2 %30 %30 30 soru 3 20 %14 %8 10 %2 0 a b c d Şekil 4.5. Öğrencilerin soru 2 ve 3 için verdikleri cevapların yüzdeleri Đkinci ve üçüncü sorular öğrencilerin fazla güçlük yaşamadıkları sorulardır. Bununla birlikte Şekil 4.5 de görüldüğü gibi çalışmaya katılan öğrenciler üçüncü soruda ikinci soruya kıyasla biraz daha zorlanmışlardır. Bu da üçüncü soruda işlemin sonucunu bulmak için gerekli olan negatif tamsayılarda dört işlem becerisindeki eksiklikten kaynaklanmaktadır. Öğrencilerin herhangi bir kümede tanımlı, kuralı ile verilen farklı iki işlemin iç içe olma durumunda istenilen bir işlemin sonucunu bulmadaki güçlüklerini araştırmak amacıyla yöneltilen; Reel sayılar kümesi üzerinde a b = a + b ve a b = a. b + 2 şeklinde ve

77 65 işlemleri tanımlanıyor. Buna göre, ( 2 3) (4 5) =? (Soru 4) sorusuna verilen cevapların analizi aşağıdaki gibidir: a. Bu soruya doğru cevap veren öğrenci sayısı 61 dir. b. 51 öğrenci bu soruyu yanlış cevaplandırmıştır. c. Bu soruyu yanlış cevaplandıran öğrencilerden 15 i işlem sırasına dikkat etmediğinden ve dört işlem hatalarından dolayı sonuca ulaşamamıştır. d. Yanlış cevap veren öğrencilerden 7 si de ( 2 3) (4 5) işlemindeki 2 ile 3 ve 4 ile 5 i hem hem de işlemlerinde yerlerine yazarak dört farklı sonuç elde etmiştir. e. Araştırmaya katılan öğrencilerden 6 sı bu soruyu cevapsız bırakmıştır %52 %43 %13 %6 %5 a b c d e Şekil 4.6. Öğrencilerin soru 4 için verdikleri cevapların yüzdeleri Şekil 4.7 de, ( 2 3) (4 5) işlemindeki 2 ile 3 ve 4 ile 5 i hem hem de işlemlerinde yerlerine yazıp dört farklı sonuç elde ederek soruyu yanlış cevaplandırmış olan öğrencilerden birinin cevabı verilmiştir. Şekil 4.7. Bir öğrencinin soru 4 için verdiği cevap

78 66 Öğrencilerin işlemdeki simgeler yerine verileri bilinçli yazıp yazmadığını tespit etmek amacıyla sorulan; Pozitif reel sayılar kümesi üzerindeki her a, b elemanı için, 3 b = 2. a + b a. b işlemi tanımlanıyor. Buna göre, 2 1 işleminin sonucu kaçtır? a 4 (Soru 5) sorusuna öğrencilerin verdikleri cevaplar şu şekilde sınıflandırılmıştır: a. Araştırmaya katılan öğrencilerden 15 i bu soruyu doğru cevaplandırmıştır. b. Bu soruya yanlış cevap veren öğrenci sayısı 79 dur. c. Bu 79 öğrencinin 57 si a ya 2, b ye de 1 değerini vererek soruyu yanlış cevaplandırmıştır. d. Yanlış cevap veren öğrencilerden 8 i de soruda verilen eşitliğin sol tarafındaki işlemini toplama ya da çıkarma işlemi gibi düşünerek kesirlerin paydalarını eşitlemiş ve daha sonra a ya 2, b ye de 1 değerini vermiştir. e. Bu soruyu cevapsız bırakan öğrenci sayısı 24 tür %67 %48 %20 %13 %7 a b c d e Şekil 4.8. Öğrencilerin soru 5 için verdikleri cevapların yüzdeleri Şekil 4.9 da a ya 2, b ye de 1 değerini vererek soruyu yanlış cevaplandırmış olan öğrencilerden birinin cevabı verilmiştir.

79 67 Şekil 4.9. Bir öğrencinin soru 5 için verdiği cevap Bu sorunun cevaplarının analizinde belirtilen d kategorisindeki, yani verilen eşitliğin sol tarafındaki işlemini toplama ya da çıkarma işlemi gibi düşünerek kesirlerin paydalarını eşitlemiş ve daha sonra a ya 2, b ye de 1 değerini vererek yanlış cevaplayan öğrencilerden birinin cevabı Şekil 4.10 da verilmiştir. Şekil Bir öğrencinin soru 5 için verdiği cevap Đkili işlemin özelliklerindeki öğrenme güçlükleri Sırasıyla kural ve tablo ile verilen işlemlere göre herhangi bir kümenin kapalılık özelliği ile ilgili güçlükleri araştırmak amacıyla; T = { 1, 3, 5, 7,... } pozitif tek sayılar kümesi ve x ο y = x + y biçiminde tanımlanan ο işlemi veriliyor. T kümesi ο işlemine göre

80 68 kapalımıdır? Açıklayınız (Soru 6) ve A={x,y,z,t,e} kümesi ile işlemi veriliyor. işlemi yandaki tablodaki gösterildiği gibi tanımlanmıştır. Buna göre, A kümesi işlemine göre kapalımıdır? Açıklayınız (Soru 7) soruları soruldu. Bu sorulara verilen cevaplar aşağıdaki gibi sınıflandırıldı: x y z t e x x y z t e y e x y z t z t e x y z t z t e x y e y z t e x a. Çalışmaya katılan öğrencilerden altıncı soruyu 50 si, yedinci soruyu da 55 i doğru cevaplandırmıştır. b. Bu sorulara yanlış cevap veren öğrenci sayıları sırasıyla 50 ve 33 tür. c. Altıncı soruda 22 öğrenci, yedinci soruda ise 5 öğrenci kapalılık ile kapalı olmamayı birbirine karıştırarak sorulara yanlış cevap vermiştir. d. Bu soruları cevapsız bırakan öğrenci sayıları ise sırasıyla 18 ve 30 dur %47 %42 % %28 %19 %16 %25 soru 6 soru 7 10 %4 0 a b c d Şekil Öğrencilerin soru 6 ve 7 için verdikleri cevapların yüzdeleri Altıncı soruda kapalılık ile kapalı olmamayı birbirine karıştırarak yanlış cevap veren 22 öğrencinin 7 si tablo ile verilen işleme göre kapalılığın sorgulandığı yedinci soruya da kapalı değildir cevabını vererek aynı hatayı yapmış; 15 i de bu soruyu cevapsız bırakmıştır. Bu 7 öğrenciden biri ile yapılan mülakat aşağıda verilmiştir. Ayrıca bu öğrencinin her iki soruya da verdiği cevaplar Şekil 4.12 ve Şekil 4.13 de verilmiştir. Mülakatçı: Bu soruyu neden bu şekilde cevaplandırdın? Öğrenci B: Soruda tek sayılar kümesi verilmiş. Ben de iki tane tek sayı aldım ve topladım. Sonuç çift sayı çıktı. Demek ki kapalıdır. Mülakatçı: Nasıl yani? Öğrenci B: Yani bulduğum sonuç T kümesinde olmadığından dolayı kapalıdır

81 69 Mülakatçı: Yedinci soru için ne söylersin? Öğrenci B: Onda da altıncı sorunun tersi bir durum var. Tablonun ortasındakilerin, yani, iç tarafındakilerin hepsi A nın elemanlarıdır. Bu yüzden kapalı değildir. Açıktır. Şekil Öğrenci B nin soru 6 için verdiği cevap Şekil Öğrenci B nin soru 7 için verdiği cevap Yedinci soruyu yanlış cevaplandıran öğrencilerin 6 sı tabloda verilen işlemin birim elemanını bulmaya çalışmıştır. Araştırmaya katılan öğrencilerin verilen bir kümede hem kuralı ile hem de tablo ile tanımlanan işlemlerin değişme özelliği ile ilgili güçlüklerini araştırmak amacıyla yöneltilen; Tamsayılar kümesi üzerinde tanımlanan işlemi, veriliyor. işleminin değişme özelliği var mıdır? Açıklayınız (Soru 8-a) ve A={a,b,c,d}kümesi üzerinde tanımlanan işlemi yandaki tablo ile veriliyor. işleminin değişme özelliği var mıdır? Açıklayınız (Soru 9) sorularına verilen cevapların analizi aşağıdaki gibidir: x y = 2 x + y biçiminde a. Bu soruları doğru cevaplayan öğrenci sayıları sırasıyla 39 ve 49 olmuştur. a b c d a a b c d b b c d a c c d a b d d a b c

82 70 b. 53 öğrenci 8-a sorusuna, 34 öğrenci de 9.soruya yanlış cevap vermiştir. c. Bu soruları cevapsız bırakan öğrenci sayıları ise sırasıyla 26 ve 35 dir %33 %42 %45 %29 %22 %29 soru 8-a soru a b c Şekil Öğrencilerin soru 8-a ve 9 için verdikleri cevapların yüzdeleri 8-a sorusuna yanlış cevap veren 53 öğrencinin 10 u Şekil 4.15 de sunulan öğrenci cevabında olduğu gibi x y ve y x ifadelerinin karşılığını yazmanın değişme özelliğini göstermek için yeterli olacağı şeklinde düşünmüştür. Şekil Bir öğrencinin soru 8-a için verdiği cevap Verilen herhangi bir kümede tanımlı bir işlemin birleşme özelliğinin varlığını bulmadaki performanslarını belirlemek amacıyla öğrencilere; Tamsayılar kümesi üzerinde tanımlanan işlemi, x y = 2 x + y biçiminde veriliyor. işleminin birleşme özelliği var mıdır? Açıklayınız (Soru 8-b) sorusu soruldu. Elde edilen cevapların analizi aşağıdaki gibidir: a. Bu soruya doğru cevap veren öğrenci sayısı 7 dir. b. 41 öğrenci bu soruya yanlış cevap vermiştir.

83 71 c. Bu öğrencilerin 8 i birleşme özelliğinin olması için en az üç elemanın verilmesi gerektiğinden bahsederek; bu işlemde birleşme özelliğinin olmadığını yazmıştır. d. Bu soruyu cevapsız bırakan öğrenci sayısı 70 tir %59 %35 %6 %7 a b c d Şekil Öğrencilerin soru 8-b için verdikleri cevapların yüzdeleri Birleşme özelliğinden bahsetmek için en az üç eleman olması gerekir şeklinde cevap veren öğrencilerden biri ile mülakatçı arasında şöyle bir diyalog geçmiştir: Mülakatçı: Bu soruya neden böyle cevap verdiğini açıklayabilir misin? Öğrenci C: Birleşme özelliğinin olması için en az üç eleman olmak zorundadır. Çünkü tanım da her x, y, z A için deniyor. Mülakatçı: Bu soruda kaç eleman var? Öğrenci C: Sadece x ve y var. Yani iki tane. Mülakatçı: Yani değişken olarak üç eleman olmalıdır mı diyorsun? Öğrenci C: Evet. Soruda x ve y var. z de olsaydı birleşmeye bakabilirdik. z olmadığı için bakmamıza gerek yok. Birleşme özelliği yoktur zaten. Mülakatçı: O halde birleşme özelliğine bakılabilecek bir işlem nasıl olur? Öğrenci C: Burada (8-b sorusunda) x y nin yanında birde z olması gerekirdi. Şekil Öğrenci C nin soru 8-b için verdiği cevap

84 72 Araştırmaya katılan öğrencilerin bir işlemin diğer bir işlem üzerine dağılma özelliğinin varlığını göstermedeki performanslarını belirlemek amacıyla yöneltilen; Reel sayılar kümesinde x y = 5xy ve x y = x işlemleri veriliyor. işleminin işlemi üzerine dağılma özelliğinin olup olmadığını inceleyiniz (soru 10) soruya, öğrencilerin verdikleri cevaplar şu şekilde sınıflandırılmıştır: a. 2 öğrenci bu soruya, yalnızca soldan dağılma özelliğine bakarak, dağılma özelliği vardır cevabını vermiştir. b. 42 öğrenci bu soruya yanlış cevap vermiştir c. Yanlış cevap veren öğrencilerden 5 i dağılma özelliğini x ( y z) = ( x y) z eşitliğinin sağlanması durumu olarak algılamıştır. d. Bu soruyu 74 öğrenci cevapsız bırakmıştır %63 %36 %2 %4 a b c d Şekil Öğrencilerin soru 10 için verdikleri cevapların yüzdeleri Şekil 4.19 da dağılma özelliğini, x ( y z) = ( x y) z eşitliğinin sağlanması durumu olarak algılamış öğrencilerden birinin cevabı verilmiştir. Şekil Bir öğrencinin soru 10 için verdiği cevap

85 73 Mülakat yapılan öğrencilere dağılma özelliğinin tanımı sorulduğunda hiçbir öğrenciden doğru cevap alınamamıştır. Bu öğrencilerden 2 sinin Şekil 4.19 daki öğrencinin cevaplama mantığına benzer şekilde tanım yaptıkları gözlenmiştir. Bu durum Şekil 4.18 deki grafiği doğrular niteliktedir. Araştırmaya katılan öğrencilerin verilen bir kümede hem kuralı ile hem de tablo ile tanımlanan işlemlerde birim elemanın varlığını bulmadaki performanslarını değerlendirmek için yöneltilen; Reel sayılar kümesinde tanımlı işlemi, x y = x + y + xy kuralı ile veriliyor. işleminin birim (özdeş) elemanını araştırınız (Soru 11), A={1, 2, 3, 4} kümesi üzerinde tanımlanan işlemi yandaki tablo ile veriliyor. işleminin birim elemanı kaçtır? Açıklayınız (Soru 12) ve Tamsayılar kümesi üzerinde tanımlı ο işlemi, xο y = x y + 3 kuralı ile veriliyor. ο işleminin birim elemanını araştırınız (Soru 13) sorularına verilen cevaplar aşağıdaki gibi sınıflandırılmıştır: a. Bu soruları doğru yanıtlayan öğrenci sayıları sırasıyla 28, 65 ve 8 dir. b. 50 öğrenci 11. soruya, 27 öğrenci 12. soruya ve 83 öğrenci de 13. soruya yanlış cevap vermiştir. c. Bu soruları cevapsız bırakan öğrenci sayıları ise sırasıyla 40, 26 ve 27 dir %24 %55 %7 %42 % 23 %70 %34 a b c %22 %23 soru 11 Soru 12 soru 13 Şekil Öğrencilerin soru 11, 12 ve 13 için verdikleri cevapların yüzdeleri

86 74 Onbirinci soruda özdeş elemanı bulan öğrencilerden 24 ü sadece sağ özdeş elemana bakmıştır. Şekil 4.21 de bu öğrencilerden birinin yalnızca sağ özdeşe bakmasından dolayı onüçüncü soruya verdiği yanlış cevap görülmektedir. Keza, bu şekilde yanlış cevap verenlerin sayısı 26 dır. Şekil Bir öğrencinin soru 13 için verdiği cevap Özdeş elemanın nasıl bulunacağını bildiği halde, denklem çözmedeki güçlüklerinden dolayı onbir ve onüçüncü soruları sırasıyla 21 ve 19 öğrenci yanlış cevaplandırmıştır. Bu öğrencilerden biri ile yapılan mülakat aşağıdaki gibidir: Mülakatçı: Onbirinci soruda işleminin birim elemanı yoktur demişsin. Bunu açıklayabilir misin? Öğrenci D: Burada (kendi çözümünde) e bir sayı çıkmadığından (e yi x bağlı olarak bulmuş) birim eleman yoktur. Mülakatçı: Nasıl yani? Öğrenci D: Yani e bir sayı olarak bulunamadığından birim eleman yoktur. Çünkü burada e yi, x e bağlı olarak bulduk. Ayrıca denklem çözmede güçlüğü olan öğrencilerden birinin cevabı Şekil 4.22 de verilmiştir.

87 75 Şekil Bir öğrencinin soru 11 için verdiği cevap Araştırmaya katılan öğrencilerin hem kuralı ile hem de tablo ile tanımlanan işlemlerde verilen herhangi bir elemanın tersini bulmadaki performanslarını değerlendirmek için yöneltilen; Reel sayılar kümesinde tanımlı işlemi, x y = x + y + 2xy şeklinde tanımlanıyor. Bu işleme göre, 5 in tersini bulunuz (Soru 14) ve A={a,b,c,d} kümesi üzerinde tanımlanan işlemi yandaki tablo ile veriliyor. işleminin özdeş (birim) elemanını bularak; işlemine göre A kümesinin her elemanının tersini bulunuz (Soru 15) sorularına verilen cevaplar aşağıdaki gibi sınıflandırılmıştır: a. Bu soruları doğru yanıtlayan öğrenci sayıları sırasıyla 10 ve 33 tür. b. 67 öğrenci 14. soruya, 60 öğrenci de 15.soruya yanlış cevap vermiştir. c. Bu soruları cevapsız bırakan öğrenci sayısı sırasıyla 41 ve 25 tir. a b c d a d a b c b a b c d c b c d a d c d a b %57 % %28 %35 %21 soru 14 soru %8 0 a b c Şekil Öğrencilerin soru 14 ve 15 için verdikleri cevapların yüzdeleri

88 76 Ondört ve onbeşinci sorularda sırasıyla 28 ve 34 öğrenci, birim elemanı bulmuş fakat verilen elemanın tersini bulamamıştır. Ayrıca denklem çözmedeki güçlüklerinden dolayı ondördüncü soruda 13 öğrenci birim elemanı bulamamıştır. Özellikle bu soruda öğrenciler bir elemanın tersini bulmak için gerekli olan eşitliği (formülü) bilmelerine rağmen, hem denklem çözmedeki hem de dört işlemdeki yetersizliklerinden dolayı verilen herhangi bir elemanın tersini bulmada güçlük yaşamışlardır Öğretmenlerle yapılan mülakatların betimsel analizi Burada, öğrencilerinin ikili işlem ve özellikleri konusunda sahip oldukları öğrenme güçlüklerinin neler olabileceğini belirlemek amacıyla her biri 11, 9, 8, 8, 7, 6, 4 ve 3 yıllık bir lise öğretmenlik geçmişine sahip 8 matematik öğretmeni ile yapılan yapılandırılmış mülakatların betimsel analizi sonucunda elde edilen bulgular sunulacaktır. Sizce, programda bu konu için ayrılan 4 saatlik süre yeterli midir? sorusunu, mülakat yapılan öğretmenlerin tamamı bu sürenin yeterli olmadığı şeklinde cevaplandırmışlardır. Hatta bu öğretmenlerden üçü bu sürenin en az 6 saat olması gerektiğini ifade etmiştir. Aşağıda 2 öğretmenle yapılan mülakat sunulmuştur. Öğretmen A: 4 saatlik sürede ikili işlemin özelliklerinin tam olarak öğretimi yapılamıyor. Aslında lise 1. sınıf matematik müfredatındaki süre ayarlamasında bazı problemler var. Yani, gereğinden fazla süre ayrılmış konular da var. Özellikle matematiğin temel konularından biri olan denklemlerdeki etkinliğinden dolayı, müfredatta ikili işlem için ayrılmış süreye, sonraki konuların zamanlarından 2 ya da 3 saat daha ilave ediyorum. Öğretmen B: Yetersizdir. Öğrencilerin ilköğretim matematik bilgilerindeki eksiklik bu sürenin yetersiz oluşunun nedenlerinden biri olduğunu düşünüyorum.

89 77 Bu konuyu anlattığınızda ÖSS de çıkan ilgili soru tiplerinden ne ölçüde etkilendiniz? Mesela kapalılık, birleşme, değişme ve dağılma özelliklerinden ÖSS de (doğrudan) soru sorulmaması sizi etkiledi mi? sorusunu, mülakat yapılan 8 öğretmenden 5 i, bahsedilen özelliklerinden ÖSS de doğrudan soru sorulmamasının kendilerini etkilemediğini; diğerleri ise bunun etkisinin olduğunu ifade etmektedir. Bu öğretmenlerden ikisi ile yapılan mülakatlar aşağıda sunulmuştur. Öğretmen C: Bu özelliklerle ilgili ÖSS de soru çıkmamasından dolayı, konuya ayrılan sürenin büyük bölümünde işlemle ilgili ÖSS de çıkan soru tarzları üzerinde duruyorum. Öğretmen D: Etkilenmedim. Fakat öğrencilere işlemin özelliklerini anlatmak zaman alıyor. Çünkü bunları anlamakta çok zorluk çekiyorlar. Kafalarını karıştırmamak amacıyla bu özellikleri derste yüzeysel olarak anlatıyorum. Özelliklerin sadece tanımını yapıyorum. Bu özellikler ile ilgili soru çözmüyorum. Đkili işlem ve özellikleri konusunu anlatırken öğrencilerinizin anlamakta güçlük çektikleri noktalar neler oldu veya ne tür öğrenme güçlükleri olabilir? şeklindeki soruya, mülakat yapılan öğretmenlerin tamamı işlemin etkisiz elemanını ve bir elemanın tersini bulmada öğrencilerinin zorluk yaşadıklarını ifade etmektedir. Aşağıda bu durumu, nedeni ile birlikte açıklayan mülakatlardan biri sunulmuştur. Öğretmen A: Genel anlamda sınıfın çoğunluğu, temel bilgilerdeki (özellikle dört işlem ve denklem çözmedeki) eksiklikten dolayı matematik dersine karşı aşırı ilgisizdirler. Bu da haliyle böyle soyut konuların öğretimini etkilemektedir. Özel olarak ikili işlem konusunda öğrenciler, bu temel bilgilerindeki eksiklikten dolayı hem etkisiz elemanı bulurken hem de bir elemanın tersini bulurken güçlükler yaşamaktadırlar.

90 78 Ayrıca öğretmenlerden biri öğrencilerinin kuralı ile verilen işlemlerde güçlük yaşadıklarını anlatmaktadır. Bu matematik öğretmeni ile yapılan mülakat aşağıda aynen aktarılmıştır. Öğretmen E: Öğrenciler tablo ile verilen işlemlerde hem etkisiz elemanı hem de herhangi bir elemanın tersini bulabiliyorlar. Fakat kuralı ile verilen işlemlerde bu elemanları bulmakta genellikle güçlük yaşıyorlar. Bazen bu tip sorularda neredeyse öğrencilerin tamamı bir elemanın tersini bulamıyor. Öğretmenlerden biri de ikili işlemin tanımını anlatmakta problem yaşadığını belirtmiştir. Bu öğretmenin ifadeleri aşağıda verilmiştir. Öğretmen F: Đşlemin tanımını anlatmakta zorluk çekiyorum. Ne kadar uğraşsam da bu soyut kavramı öğrencilerimin büyük çoğunluğu öğrenmekte güçlük yaşıyor. Eğer işlemin tanımını kavratırsak gerisi biraz daha kolaylaşacaktır diye düşünüyorum MAT Öğretim Yönteminin Kullanımından Elde Edilen Bulgular Üçüncü bölümde deney ve kontrol grupları açısından ifade edilen hipotezin test edilmesinden elde edilen sonuçlar burada sunulmuştur. Araştırmanın ikili işlem ve özellikleri konusunun öğretiminde 4MAT öğretim yönteminin etkinliğini belirlemeyi amaçlayan bu kısmında, uygulamaya başlamadan önce deney ve kontrol grubu öğrencilerine yapılan (Çizelge 3.1 de belirtilen) ön testlerin analiz sonuçları aşağıda verilmiştir. Buna göre bağımsız grup t-testi ile grupların, matematik bilgi testinden aldıkları puanlar analiz edilerek elde edilen sonuçlar Çizelge 4.1 de,

91 79 Çizelge 4.1. Matematik bilgi seviyesi X Sd t p Deney Grubu 30,06 17,42 Kontrol Grubu 30,24 17,61 0,037 0,970 Not: Bu test için maksimum puan: 100 matematiğe karşı tutum puanlarının analizi Çizelge 4.2 de ve Çizelge 4.2. Matematiğe karşı tutumları X Sd t p Deney Grubu 54,41 14,90 Kontrol Grubu 48,62 18,61 1,308 0,196 Not: Bu test için maksimum puan: 100 Đ.B.T. den aldıkları puanların analizi de Çizelge 4.3 de verilmiştir. Çizelge 4.3. Đkili işlem ve özellikleri ön bilgi seviyesi X Sd t p Deney Grubu 1,58 2,13 1,015 0,315 Kontrol Grubu 1,03 2,00 Not: Bu test için maksimum puan: 32 Elde edilen bu verilere göre, deney ve kontrol gruplarındaki öğrencilerin matematik bilgi düzeyleri, matematiğe karşı tutumları ve ikili işlem ve özellikleri konusu ile ilgili bilgi düzeyleri arasında başlangıçta anlamlı bir farklılık yoktur. Bu sonuçlara göre, deney ve kontrol grubu olarak seçilen sınıflardaki öğrencilerin homojen bir örneklem oluşturduğu söylenebilir. Đkili işlem ve özellikleri ön bilgi testinin başarı ortalamalarının bu kadar düşük olmasına neden olarak, öğrencilerin daha önce bu konu hakkında bilgi sahibi olmamaları gösterilebilir.

92 80 Araştırmanın hipotezine ait sonuçlar aşağıda sunulmaktadır: 4MAT öğretim yönteminin kullanıldığı deney grubu öğrencileri ile geleneksel öğretim yönteminin kullanıldığı kontrol grubu öğrencilerinin ikili işlem ve özellikleri konusu ile ilgili başarıları açısından, son test puanları arasında önemli bir farklılığın olup olmadığını belirleyebilmek için kullanılan bağımsız grup t-testi analizi sonuçları Çizelge 4.4 de verilmiştir. Çizelge 4.4. Đkili işlem ve özellikleri son bilgi seviyesi X Sd t p Deney Grubu 13,66 8,84 3,283 0,002 Kontrol Grubu 7,48 4,91 Not: Bu test için maksimum puan: 32 Çizelge 4.4 de görüldüğü gibi, Đ.B.T. açısından deney grubundaki öğrencilerle kontrol grubundaki öğrencilerin son test puanları arasında istatistiksel olarak önemli bir fark bulunmaktadır (t=3,283, p=0,002). 4MAT öğretim yönteminin kullanıldığı deney grubundaki öğrencilerin ikili işlem ve özellikleri ile ilgili başarı ortalaması, geleneksel öğretim yönteminin kullanıldığı kontrol grubundaki öğrencilerin aynı kavramlarla ilgili başarı ortalamasından daha yüksektir ( X =13, 66 ; X =7, 48 ). D K Yapılan deneysel çalışmadan sonra deney ve kontrol gruplarına son test olarak sunulan Đ.B.T. ye, bu grupların verdikleri cevapların Çizelge 3.3 deki kategorilerin oranları, Çizelge 4.5 de verilmiştir.

93 81 Çizelge 4.5. Deney ve kontrol gruplarının Đ.B.T. cevap kategorileri oranları Soru Doğru Kısmen Doğru Yanlış Cevapsız No DG KG DG KG DG KG DG KG 1 0,41 0,00 0,31 0,14 0,28 0,83 0,00 0,03 2 0,52 0,38 0,28 0,38 0,17 0,17 0,03 0,07 3 0,14 0,03 0,55 0,52 0,14 0,17 0,17 0,28 4 0,45 0,24 0,10 0,10 0,28 0,55 0,17 0,11 5 0,03 0,03 0,21 0,07 0,55 0,62 0,21 0,28 6 0,59 0,41 0,03 0,00 0,28 0,28 0,10 0,31 7 0,45 0,31 0,41 0,28 0,14 0,28 0,00 0,13 8-a 0,45 0,27 0,04 0,07 0,34 0,45 0,17 0,21 8-b 0,31 0,07 0,07 0,00 0,38 0,55 0,24 0,38 9 0,55 0,27 0,10 0,28 0,31 0,28 0,04 0, ,07 0,00 0,21 0,00 0,48 0,66 0,24 0, ,07 0,00 0,21 0,07 0,45 0,31 0,28 0, ,69 0,34 0,04 0,21 0,10 0,34 0,17 0, ,10 0,00 0,21 0,07 0,31 0,28 0,38 0, ,07 0,00 0,10 0,04 0,62 0,41 0,21 0, ,48 0,00 0,10 0,52 0,31 0,31 0,11 0,17 Çizelge 4.5 de görüldüğü gibi, deney grubu ile kontrol grubu öğrencilerinin deneysel çalışmadan sonra uygulanan ikili işlem ve özellikleri bilgi testindeki doğru ve kısmen doğru cevapları arasında farklılık vardır. Deney grubundaki öğrencilerin soruların büyük çoğunluğunda doğru ve kısmen doğru cevap oranlarının daha yüksek olduğu görülmektedir. Đkili işlem ve özellikleri bilgi testinde, tablo ile verilen işlem sorularının (7, 9, 12, 15) her iki grupta da doğru ve kısmen doğru cevap oranları toplamı %50 nin üzerindedir. Yine her iki grupta da, ikili işlemin özelliklerinin sorgulandığı tablolu sorulardaki başarı, bu özelliklerin sorgulandığı kuralı ile verilen işlem sorularındaki başarıdan daha yüksek çıkmıştır.

94 82 Hem deney grubunda hem de kontrol grubunda, birleşme özelliği ve dağılma özelliğinin sorgulandığı sorularla (8-a, 10), kuralı ile verilen işlemlerde etkisiz elemanın ve bir elemanın tersinin istendiği sorularda (11, 13, 14) doğru ve kısmen doğru cevap oranı çok düşüktür. Özellikle onuncu soruda, kontrol grubu öğrencileri doğru ve kısmen doğru cevap verememişlerdir. Etkisiz elemanın sorgulandığı onbirinci soruda, her iki grupta da kısmen doğru kategorisindeki öğrenciler, etkisiz eleman kavramını öğrenmiş olmalarına rağmen, denklem çözme ve dört işlem becerilerindeki yetersizliklerinden dolayı doğru cevabı verememişlerdir.

95 83 5. TARTIŞMA ve SONUÇ Bu bölümde araştırmanın her iki kısmının bulgularına yönelik yorum ve tartışmalara yer verilmiştir. Bununla birlikte daha sonra yapılacak ilgili çalışmalara ışık tutabileceği düşünülen bazı öneriler ileri sürülmüştür Đkili Đşlem ve Özelliklerindeki Öğrenme Güçlükleri ile Đlgili Tartışma ve Sonuç Araştırmanın birinci kısmı ortaöğretim kurumlarındaki öğrencilerin ikili işlem ve özelliklerindeki öğrenme güçlüklerini tespit etmek amacıyla yapılmıştır. Bu amaca yönelik geliştirilen testin uygulanmasından sonra elde edilen bulgulara yönelik tartışma ve sonuçlar aşağıda sunulmuştur. Öğrencilerin yarıdan fazlasının herhangi bir kümede kuralı ile tanımlanmış işlemlerde istenilen bir işlemin sonucunu bulmada başarılı olmasına karşın; yine yarıdan fazlasının sözel bir ifadeyle verilen işlemi yorumlayarak tablosunu ve şemasını oluşturmada güçlüklerinin olduğu belirlenmiştir. Burada, bu durumun herhangi bir konuyu öğretirken ilgili şema, tablo ya da grafiklerden yararlanarak kavramsal bilgileri vermek yerine işlemsel bilgilerin ön plana çıkarıldığı bir matematik öğretimi yapılmasından kaynaklandığı sonucuna varılabilir. Bu sonuç Đşleyen ve Işık (2003) tarafından yapılan çalışmanın sonucunu desteklemektedir. Öğrencilerin sözel bir ifadeyi yorumlamada güçlüklerinin olması sonucu da bazı araştırmaları (Tall 1993; Baki 1998; Ersoy ve Erbaş 2005) desteklemektedir. Đşlem sonucunun istendiği sorulardan ikisinde (soru 2, 4) başarı %50 den fazla olmasına rağmen diğer ikisinde (soru 3, 5) ise başarı %50 nin altında gerçekleşmiştir. Bu durumun 3. soruda negatif tamsayılarda dört işlem becerilerindeki eksiklikten kaynaklandığı düşünülebilir. Ayrıca 5. sorudaki başarının %3 gibi oldukça düşük olması, öğrencilerin işlemdeki simgeler yerine verileri bilinçli yazmadığı yani işlem kuralını yorumlamada güçlüklerinin olduğunu ortaya çıkarmaktadır.

96 84 Đkili işlemin özelliklerinde öğrencilerin, kuralı ile verilen işlemlerde tablo ile verilen işlemlere nazaran daha çok öğrenme güçlüklerine sahip oldukları tespit edilmiştir. Yani öğrenciler, kuralı ile verilen bir işlemde kapalılık (soru 6) ve değişme (soru 8-a) özelliğinin, etkisiz elemanının incelenmesinin (soru 11, 13) ve bir elemanın tersinin (soru 14) bulunmasının istendiği sorularda, bu özelliklerin sorgulandığı tablolu sorulara (soru 7, 9, 12, 15) nazaran daha çok güçlüğe sahip olduğu ortaya çıkmıştır. Bu sonuç Tatar ve Dikici (2006) tarafından yapılan çalışmanın sonucunu desteklemektedir. Kapalılık ve değişme özelliklerinin sorgulandığı sorulardaki doğru cevap oranı diğer özelliklerin sorgulandığı sorulardaki doğru cevap oranlarından daha yüksektir. Buna karşın birleşme ve dağılma özelliklerinin sorulduğu sorulardaki (soru 8-b, 10) doğru cevap oranı ise oldukça düşüktür. Üstelik bu soruların cevapsız bırakılma oranı da diğer sorulardan daha yüksektir. Dağılma ve birleşme özellikleri kavramsal düzeyde tam olarak öğrenilmediği ve bu yüzden öğrencilerin bu özelliklerde daha çok güçlüğe sahip olduğu ortaya çıkmaktadır. Bu ise bazı araştırmaları (Zaslavsky and Peled 1996; Tatar ve Dikici 2006) desteklemektedir. Hem öğrenci kâğıtlarında hem de mülakatlarda, birleşme özelliğinin incelenmesi istenen soruda öğrencilerin bir kısmı, birleşme özelliğinin olabilmesi için en az x, y ve z gibi üç değişkenin soruda verilmesi gerektiğini belirtmişlerdir. Bununla birlikte mülakat yapılan öğrencilerin tümü dağılma özelliğinin tarifini tam olarak ifade edememiş olması bu iki özelliğin öğrenilmesinde güçlüklerin olduğunu gözler önüne sermektedir. Đkili işlemde etkisiz elemanın ve herhangi bir elemanın tersinin istendiği, özellikle de kuralı ile verilen işlemlerin olduğu sorulardaki (soru 11, 13, 14) cevapsız ve doğru cevap oranlarının düşük ya da yanlış cevap oranlarının yüksek olması dikkat çekicidir. Öğrenci kâğıtlarından, buradaki temel etkenin öğrencilerin dört işlem ve denklem çözme becerilerindeki eksiklik olduğu belirlenmiştir. Öğrencilerin, bu becerilerindeki eksiklik adı geçen özellikleri öğrenmede güçlüklere sahip olmalarına neden olmuştur. Bu sonuç Baki (1998) nin çalışmasının sonuçlarını desteklemektedir.

97 85 Araştırmada genel olarak yukarıda ifade edilen ikili işlem ve özelliklerindeki öğrenme güçlüklerinin, a. Cebir öğretimindeki eksiklik b. Đkili işlem ve özelliklerinin soyutluluğu (soyut oluşuna karşın öğrencilerin yeterince soyut düşünememeleri) c. Öğrencilerin hazır bulunuşluk düzeylerindeki yetersizlik d. Sözel ifadeleri yorumlayamama e. Kavramları anlamadaki yetersizlik şeklinde beş temel kaynağı olduğu ortaya çıkmaktadır. Elde edilen sonuçlara göre, matematik öğretmenleri ve matematik eğitimi alanında çalışma yapan araştırmacılar için faydalı olacağı düşünülen öneriler aşağıda sunulmaktadır. Đkili işlem ve özelliklerindeki öğrenme güçlükleri üzerine inceleme yapılan bu araştırmanın benzeri matematiğin tüm konularına özellikle de ülkemizde gerçekten sıkıntıların çokça yaşandığı ilk ve ortaöğretim matematiğindeki konuların tümüne ayrı ayrı uygulanabilir. Matematik öğretmenleri konu bazında yapılmış bu tip araştırmaları takip etmeli ve anlatacağı konu ile ilgili öğrencilerinin ne tür güçlüklerle karşılaşabileceklerinden haberdar olmalıdırlar. Matematik konularındaki öğrenme güçlükleri tespit edildikten sonra güçlükleri gidermek için materyaller geliştirilerek bunların etkinliği üzerine çalışmalar yapılabilir. Ayrıca, matematik öğretmenleri yukarıda belirtilen temel hususlara dikkat ederek anlatacakları dersi şekillendirmelidirler. Yani; kavramsal bilgi ile işlemsel bilginin dengelendiği bir matematik öğretimi gerçekleştirmeli, anlatılacak kavramın soyutluluğunu azaltacak materyallerden yararlanılmalı ve öğrencilerin hazır bulunuşluk düzeyine dikkat edilmeli, gerekirse bu düzey anlatılacak konuya adapte edilmelidir.

98 86 Öğretmenler, öğrenmede yoğun olarak güçlük yaşanan ikili işlemin birleşme ve dağılma özelliklerinin öğretimine son derece dikkat etmelidirler. Bu özelliklerin öğrenilmesi ÖSS de bu tür soruların çıkmasına bağlı olmamalıdır. Aksine birleşme ve dağılma özelliklerinin, öğrencilerin matematik temelleri için özellikle matematiğin vazgeçilmezlerinden olan denklem çözmede önemli bir yerinin olduğu unutulmamalıdır MAT Öğretim Yönteminin Đkili Đşlem ve Özelliklerinin Öğretimindeki Etkinliği ile Đlgili Tartışma ve Sonuç Araştırmanın ikinci kısmı ikili işlem ve özellikleri konusunun öğretiminde 4MAT öğretim yönteminin etkinliğini belirlemek amacıyla yapılmıştır. Bu amaca yönelik geliştirilen testlerin uygulanmasından sonra elde edilen bulgulara yönelik tartışma ve sonuçlar aşağıda sunulmuştur. 4MAT öğretim yönteminin kullanıldığı deney grubu ile geleneksel öğretimin yapıldığı kontrol grubundaki öğrencilerin matematik bilgi düzeyleri (t=0,037; p=0,970), matematiğe karşı tutumları (t=1,308; p=0,196) ve ikili işlem ve özellikleri konusu ile ilgili bilgi düzeyleri (t=1,015; p=0,315) arasında başlangıçta anlamlı bir farklılık olmadığı tespit edilmiştir. Böylece, deney ve kontrol gruplarının homojen bir yapıya sahip oldukları görülmüştür. Ön test puanları arasında anlamlı bir fark olmayan deney ve kontrol grubu öğrencilerinin son test puanları arasında deney grubu lehine istatistiksel olarak anlamlı bir farklılığın olması ve deney grubunun ikili işlem ve özelliklerindeki başarı ortalamasının kontrol grubunun başarı ortalamasından yüksek çıkması 4MAT öğretim yönteminin geleneksel öğretime göre başarıya daha pozitif bir katkı sağladığı anlamına gelmektedir. Bu sonuç Peker (2003) in çalışmasının sonucunu desteklemektedir. Sonuç olarak, araştırmanın birinci kısmında yani eğitim-öğretim yılında, ikili işlem ve özellikleri konusunda elde edilen güçlüklerin eğitim-öğretim yılında, 4MAT öğretim yönteminin kullanıldığı deney grubunda azaldığı görülmektedir.

99 87 Bu sonuçlara göre, başta matematik öğretmenleri olmak üzere tüm eğitimciler ve matematik eğitimi alanında çalışma yapan araştırmacılar için faydalı olacağı düşünülen öneriler aşağıda sunulmaktadır. Öğretmenler, öğrencilerinin hangi tür öğrenme stillerine sahip olduklarını bilmelidirler. Bu amaçla eğitim-öğretim yılının başlangıcında tüm sınıflara öğrenme stili envanterleri uygulanmalıdır. Böylece ders sunumları bu stillere dikkat edilerek hazırlanmalıdır. Matematik dersinden başarılı ve başarısız olan öğrencilerin öğrenme stilleriyle bu öğrencilerin matematik derslerinde hangi tür öğretim tekniklerinin kullanıldığı belirlenip karşılaştırma yapılmalıdır. Bu araştırmada ikili işlem ve özellikleri konusu için 4MAT öğretim yöntemine uygun materyaller hazırlanmıştır. Aynı çalışma matematiğin diğer konularına da uygulanıp başarıya etkisi araştırıldıktan sonra öğretmenlerin istifadesine sunulacak 4MAT ile ilgili materyal bankası oluşturulmalıdır. Đlk ve ortaöğretim matematik programlarının öğrencilerin öğrenme stilleri dikkate alınarak nasıl geliştirilebileceği, üniversitelerin eğitim fakülteleri ve MEB den uzmanların katılacağı bir komisyon tarafından ele alınarak gerekli düzenlemeler yapılmalıdır. Matematik konularının öğretimi yapılırken beynin her iki yarıküresini aktif hale getirebilecek teknikler kullanılmalıdır. Matematik öğretmen adaylarının hem öğrenme stilleri hem de beyin yarıkürelerinin dikkate alınacağı matematik öğretimi yapabilmeleri için eğitim fakültelerinde gerekli eğitim sağlanmalıdır. Eğitim fakültelerine bu kavramların öğretileceği uzmanlık dersleri konulmalıdır.

100 88 Ayrıca mevcut matematik öğretmenlerine öğrenme stillerine uygun matematik öğretiminin nasıl yapılacağı hizmet içi eğitim programları düzenlenerek anlatılmalıdır. Eğitim-öğretimin yapıldığı ortamlar ve sınıflardaki öğrenci sayıları öğrenme stilleri ve beyin yarıkürelerinin dikkate alındığı bir matematik öğretimi yapılabilmesi için uygun hale getirilmelidir. Ortaöğretim matematik müfredatındaki, ikili işlem ve özellikleri başta olmak üzere, tüm konuların anlatılması gereken ders saati miktarları tekrar gözden geçilmelidir. ÖSS deki soruların ortaöğretimdeki konuların anlatımını etkileyebileceğinden bu sınavda sorulan sorular bütün müfredatı içermelidir veya bunu mümkün kılacak şekilde üniversiteye giriş sistemi tekrar gözden geçirilmelidir.

101 89 KAYNAKLAR Acat, M. B., Özer, M. N. ve Yenilmez, K., Eğitim fakültesi öğrencilerinin matematik öğrenme biçimleri. Kuram ve Uygulamada Eğitim Yönetimi, 37, Akbaba, S., Psikolojik Danışma ve Sınıf Ortamlarında Öğrenme Psikolojisi. Atatürk Üniversitesi Yayınları, Erzurum. Altun, M., Matematik Öğretimi. Alfa Yayın, 6. baskı, Bursa, s 72. Ardahan, H. ve Ersoy, Y., Đlköğretimde materyal destekli kesir ve ondalık kesirlerin materyal tabanlı öğretimi. ( ). Artigue, M., Menigaux, J. and Viennot, L., Some aspects of students' conceptions and difficulties about differentials. European Journal Physics, 11, Aşkar, P. ve Akkoyunlu, B., Kolb Öğrenme Stili Envanteri. Eğitim ve Bilim, 87, Aşkar, P., Matematik dersine yönelik tutumu ölçen likert-tipi bir ölçeğin geliştirilmesi. Eğitim ve Bilim, 11(62), Aydın, N. ve Asma, N., Lise 1 Matematik Ders Kitabı. Aydın Yayınları, Ankara, Babadoğan. C., Öğretim Stili Odaklı Ders Tasarımı Geliştirme. Milli Eğitim Dergisi, 147, ( ). Bacanlı, H., Gelişim ve Öğrenme. Nobel Yayın Dağıtım, Sekizinci Baskı, Ankara, s. 132,145. Baker, J.D., Students difficulties with proof by mathematical induction, The Annual Meeting of American Educational Research Association, New York. Baki, A., Cebirle ilgili işlem yanılgılarının değerlendirilmesi. III. Ulusal Fen Bilimleri Eğitimi Sempozyumu Bildiriler Kitabı, 46 49, KTÜ, Trabzon. Balcı, M., Lise 1 Matematik Ders Kitabı. Başarı Yayınları, Ankara, Barnett, J.H., True or False? Explain!. University of Southern Colorado, ( ). Başer, M., Öğrenme Stilleri. lleri.pdf ( ). Baykul, Y., Đlköğretimde Matematik Öğretimi (1 5. Sınıflar). Pegem A Yayıncılık, 8. Baskı, 516 s, Ankara. Bıyık, H., Lise 1 Matematik Ders Kitabı. Esen Basın Yayın Dağıtım Limitet Şirketi, 4. Baskı, Ankara, s Bilgin, Đ. ve Durmuş, S., Öğrenme stilleri ile öğrenci başarısı arasındaki ilişki üzerine karşılaştırmalı bir araştırma. Kuram ve Uygulamada Eğitim Bilimleri, 3(2), Boydak, H. A., Beyin Yarım Kürelerinin Gizemi. Beyaz Yayınları, 182 s, Đstanbul. Boydak, H. A., Öğrenme Stilleri. Beyaz Yayınları, Beşinci Baskı, 130 s, Đstanbul. Clark, J. M., Devries, D. J., Hemenway, C., St. John, D., Tolias, G., and Vakil, R., An investigation of students understanding of abstract algebra (binary operations, groups and subgroups) and the use of abstract structures to build

102 90 other structures (through cosets, normality and quotient groups). Journal of Mathematical Behavior, 16(3), Cox, C., Davis, C., Ferrell, G. and Schenk, M., Balancing innovation and tradition to create learning opportunities for all learners, The Sixth Annual International Conference for Community&Technical College Chairs, Deans, and Other Organizational Leaders, Reno, Nevada. Çepni, S., Araştırma ve Proje Çalışmalarına Giriş. Üçyol Kültür Merkezi, ikinci baskı, Trabzon, s. 54, 55. Dede, Y. ve Argün, Z., Cebir, öğrencilere niçin zor gelmektedir. Hacettepe Eğitim Fakültesi Dergisi, 24, DeMary, J. L., Patterns, functions, and algebra for elementary school teachers. ( ). Demirkaya, H., Mutlu, M. ve Uşak, M., MAT öğretim sistem modelinin çevre eğitimine uygulanması. Pamukkale Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi, 2(14), Dikici, R. ve Đşleyen, T., Bağıntı ve fonksiyon konusundaki öğrenme güçlüklerinin bazı değişkenler açısından incelenmesi. Kastamonu Eğitim Dergisi, 12(1), Doğanay, A. and Karip, E., Öğretimde Planlama ve Değerlendirme. Pegem A Yayıncılık, Ankara, s 316. Dunn, R., Rita Dunn answers questions on learning styles. Educational Leadership, 48(2), Durmuş, S., 2004a. Matematikte öğrenme güçlüklerinin saptanması üzerine bir çalışma. Kastamonu Eğitim Dergisi, 12(1), Durmuş, S., 2004b. Đlköğretim matematiğinde öğrenme zorluklarının saptanması ve zorlukların gerisinde yatan nedenler üzerine bir çalışma. VI. Ulusal Fen Bilimleri ve Matematik Eğitimi Kongresi, Marmara Üniversitesi, Đstanbul. Duval, R., The cognitive analysis of problems of comprehension in the learning of mathematics. Mediterranean Journal for Research in Mathematics Education, 1(2), Duyar, M. S., Accelerated Word Memory Power. Mega Hafıza Eğitim Hizmetleri Limitet Şirketi, Ankara, Ekici, G., 2002a. Gregorc öğrenme stili ölçeği. Eğitim ve Bilim, 27(123), Ekici, G., 2002b. Öğrenme stiline dayalı biyoloji öğretiminin analizi. Eğitim ve Bilim, 27(126), Ekici, G., Uzaktan eğitim ortamlarının seçiminde öğrencilerin öğrenme stillerinin önemi. Hacettepe Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi, 24, Erbaş, A. K. ve Ersoy, Y., Dokuzuncu sınıf öğrencilerinin eşitliklerin çözümündeki başarıları ve olası kavram yanılgıları. 5. Ulusal Fen Bilimleri ve Matematik Eğitimi Kongresi Bildiriler Kitabı, s , ODTÜ, Ankara. Ergür, D. O., Hacettepe üniversitesi dört yıllık lisans programlarındaki öğrenci ve öğretim üyelerinin öğrenme stillerinin karşılaştırılması. Eğitim ve Bilim, 25(118), Ersoy, Y. ve Ardahan, H., Đlköğretim okullarında kesirlerin öğretimi-ii: Tanıya yönelik etkinlikler düzenleme. ( ).

103 91 Ersoy, Y. ve Erbaş, K., Đlköğretim okullarında cebir öğretimi: öğrenmede güçlükler ve öğrenci başarıları. Cumhuriyetin 75. yılında Đlköğretim I. Ulusal Sempozyumu, Başkent Öğretmen Evi, Ankara. Ersoy, Y. ve Erbaş, A. K., Kassel projesi cebir testinde bir grup Türk öğrencinin genel başarısı ve öğrenme güçlükleri. Đlköğretim-Online, 4(1), ( ). Farmer, L. S. J., Left brain right brain whole brain. School Library Media Activities Monthly, 21(2), Felder, R. M. and Henriques, E. R., Learning and teaching styles in foreing and second language education. Foreign Language Annals, 28(1), Felder, R. M. and Silverman, L. K., Learning and teaching styles in engineering education. Engr. Education, 78(7), , ( ) Felder, R. M. and Spurlin, J., Applications, reliability and validity of the index of learning styles. Int. J. Engng Ed., 21(1), Felder, R. M., Matters of style. ASEE Prism, 6(4), Felder, R. M., Author s preface for learning and teaching styles in engineering education. Engr. Education pdf ( ) Fer, S Matematik, fizik ve kimya öğretmenliği öğrencilerinin öğrenme biçemlerine göre kolay öğrendikleri öğrenme etkinlikleri. Çağdaş Eğitim, 304, Fox, J. and Bartholomae, S., Student learning styles and educational outcomes: evidence from a family financial management course. Financial Services Review, 8, Gail, D., The commutative property around us. ( ). Gawronski, J. D., An investigation of the effect of selected learning styles on achievement in eighth grade mathematics. ED069514, ( ). Georgiou, D. A. and Makry, D., A learner s style and profile recognition via fuzzy cognitive map. Proceedings of the IEEE International Conference on Advanced Learning Technologies (ICALT 04), Greece. Given, B. K., Learning styles: a synthesized model. Journal of Accelerated Learning and Teaching, 21(1&2), Griggs, S. A., Learning styles counseling. ERIC Clearinghouse on Counseling and Personel Services Ann Arbor MI, ED341890, ( ). Gunthorpe, S. D., Student achievement in basic mathematics at Albuquerque technical vocational institute: its relationship to match or mismatch of learning styles with learning method. Unpublished Doctoral Dissertation, New Mexico State University. Gülten, D. Ç. ve Gülten Đ., Lise 2. sınıf öğrencilerinin geometri dersi notları ile öğrenme stilleri arasındaki ilişki üzerine bir araştırma. Eğitim Araştırmaları, 16, Gündoğdu, M., Matematik Lise 1 Ders Kitabı. Görsel Sanatlar Matbaacılık&Reklamcılık, Đstanbul. s

104 92 Güneş, C., Gazi Üniversitesi hazırlık sınıfı öğrencilerinin öğrenme stilleri. Yayınlanmamış Yüksek Lisans Tezi, Gazi Üniversitesi, Ankara. Haddad, M., Difficulties in the learning and teaching of linear algebra a personal experience. Unpublished Master Dissertation, Concordia University, Montreal, Quebec, Canada. Harel, G., Learning and teaching linear algebra: difficulties and an alternative approach to visualizing concepts and processes. Focus on Learning Problems in Mathematics, 11(2), Hazzan, O., Reducing abstraction level when learning abstract algebra concepts. Educational Studies in Mathematics, 40(1), Hazzan, O., How students attempt to reduce abstraction in the learning of mathematics and in the learning of computer science. Computer Science Education, 13(2), Hein, T. L. and Budny, D. D., Teaching to students learning styles: Approaches that work. 29 th ASEE/IEEE Frontiers in Education Conference, ( ). Ian, D., Distributive property; illustrated. w/52842.html ( ). Đşleyen, T. and Işık, A., Conceptual knowledge in mathematics education. Journal of The Korea Society of Mathematical Education Series: D Research in Mathematical Education, 7 (2), Karasar, N., Bilimsel araştırma yöntemi. Nobel Yayın Dağıtım, 10.Baskı, Ankara, s. 102 Kaya, H. ve Akçin, E., Öğrenme biçemleri/stilleri ve hemşirelik eğitimi. C. Ü. Hemşirelik Yüksek Okulu Dergisi, 6(2), Kenward, D. C., A study of learning styles as indicators of success for online mathematics students in Texas institutions of higher learning. Unpublished Doctoral Dissertation, University of The Incarnate Word. Kılıç, E. ve Karadeniz, Ş., Cinsiyet ve öğrenme stilinin gezinme stratejisi ve başarıya etkisi. Gazi Üniversitesi Gazi Eğitim Fakültesi Dergisi, 24(3), Kırbaş, O., Matematik Lise 1 Ders Kitabı. Bem-Koza Eğitim Basım Yayın Sanayi Ticaret Limitet Şirketi, Ankara, s Krishnamani, V. and Kimmins, D., Using technology as a tool in abstract algebra and calculus: the MTSU experience. Seventh Annual Meeting of the International Conference on Technology in Collegiate Mathematics, ( ). Lemire, D., Using learning styles in education: research and problems. Journal of Accelerated Learning and Teaching, 21(1&2), Marshall, C., The power of the learning styles philosophy. Educational Leadership, 48(2), 62. Maviş, A., Anlayarak Hızlı Okuma ve Öğrenme Teknikleri. Hayat Yayınları, Đstanbul, McCarthy, B., The 4MAT System: Teaching to Learning Styles with Righ/Left Mode Techniques. 220 p, Barrington: Excel, Inc. McCarthy, B., Using the 4MAT System to Bring Learning Styles to Schools. Educational Leadership, 48(2),

105 93 McCarthy, B., A tale of four learners: 4MAT s learning styles. Educational Leadership, 54(6), Mcmillan, J.H., Schumacher, S., Research in Education: A conceptual introduction. Addison Wesley Longman Inc., fifth Edition, United States, p.342, 398. Montgomery, S. M. and Groat, L. N., Student learning styles and their implications for teaching. The Center for Research on Learning and Teaching, 10. Moore, R. C., Making the transition to formal proof. Educational Studies in Mathematics, 27, Morris, S. and McCarthy, B., MAT in Action II: Sample Lesson Plans for Use with the 4MAT System. 204p, Barrington: Excel, Inc. Morris, S. and McCarthy, B MAT in Action. 4th Edition, About Learning, 162 p, Inc. ( ). Mutlu, M. ve Aydoğdu, M., Fen bilgisi eğitiminde Kolb un yaşantısal öğrenme yaklaşımı. Pamukkale Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi, 1(13), Özkan, F., Matematik Lise 1 Ders Kitabı. Bem-Koza Eğitim Basım Yayın Sanayi Ticaret Limitet Şirketi, Ankara sy: Özsoy, N., Yağdıran, E. ve Öztürk, G Onuncu sınıf öğrencilerinin öğrenme stilleri ve geometrik düşünme düzeyleri. Eğitim Araştırmaları, 16, Peker, M. ve Yalın, H. Đ., Matematik öğretmenlerinin öğrencilerin öğrenme stillerine uygun öğretim yapma düzeyleriyle ilgili öğrenci görüşleri. V. Ulusal Fen Bilimleri ve Matematik Eğitimi Kongresi, ODTÜ, Ankara. Peker, M., Öğrenme Stilleri ve 4MAT Yönteminin Öğrencilerin Matematik Tutum ve Başarılarına Etkisi. Yayınlanmamış Doktora Tezi, Gazi Üniversitesi, Eğitim Bilimleri Enstitüsü, Ankara. Peker, M., Mirasyedioğlu, Ş. ve Aydın, B Matematik öğretmenlerinin dikkate alabilecekleri öğrenme stilleri: McCarthy modeli. Milli Eğitim Dergisi, 163, ( ). Peker, M., Mirasyedioğlu, Ş. ve Yalın, H. Đ., Öğrenme stillerine dayalı öğretimde 4MAT öğretim modeli. Pamukkale Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi, 1(13), Rasmussen, C. L., Reform in Differential Equations: A Case Study of Students Understandings and Difficulties. The Annual Meeting of American Educational Research Association, San Diego, CA. Roberts, D., Hints for Remembering the Properties of Real Numbers. ( ). Saygın, O., Maraşlı, A. ve Maraşlı, M., Eğitim-Öğretim ve Günlük Hayatta Hafıza Teknikleriyle Beyin Gücünü Geliştirme. Hayat Yayınları, Đkinci Baskı, Đstanbul, s 32. Scott, H. V., A serious look at the 4MAT model. ebportal/home.portal, ( ). Senemoğlu, N., Gelişim Öğrenme ve Öğretim: Kuramdan Uygulamaya. Gazi Kitabevi, Ankara, s. 94. Sloan, T., Daane C. J. and Giesen J., Mathematics anxiety and learning styles: what is the relationship in elementary preservice teachers?. School Science and Mathematics, 102(2),

106 94 Şandır, H., Ubuz, B. ve Argün, Z Ortaöğretim 9. sınıf öğrencilerinin mutlak değer kavramındaki öğrenme hataları ve kavram yanılgıları. V. Ulusal Fen Bilimleri ve Matematik Egitimi Kongresi Bildiriler Kitabı, , ODTÜ, Ankara Tall, D. O. and Razali, M. R., Diagnosing students difficulties in learning mathematics. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 24(2), Tall, D., 1993, Students difficulties in calculus, Proceedings of Working Group 3 on Students Difficulties in Calculus. ICME-7, Quebec, Canada, Tatar, E. and Dikici, R., Diagnosing students difficulties in learning mathematics: the case of binary operation. Journal of Quality Measurement and Analysis(JQMA), 2(1). (Baskıda) Tatar, E., Okur, M. ve Tuna, A., Ortaöğretim matematiğinde öğrenme güçlüklerinin saptanmasına yönelik bir çalışma. Kastamonu Eğitim Dergisi, (Baskıda). Terms, L., The commutative property, the associative property, the distributive property. Lois Terms s Home Page, ( ). Thomson, B. S. and Mascazine, J. R. 1997, Attending to learning styles in mathematics and science classrooms. ERIC Clearinghouse for Science, Mathematics and Environmental Education, Columbus, OH., ED432440, ( ). Vermeulen, N., Olivier, A. and Human P., Students awareness of the distributive properties. The Twentieth International Conference for the Psychology of Mathematics Education (PME 20), Valencia, Spain. Veznedaroğlu, R. L. ve Özgür, A. O., Öğrenme stilleri: tanımlamalar, modeller ve işlevler. Đlköğretim-Online, 4(2), 1 16, ( ). Warloe, K. A., Algebraic transformations: Lesson 1 of 2. NCTM(National Council of Teachers of Mathematics), ( ). Weber, K., Student difficulty in constructing proofs: the need for strategic knowledge. Educational Studies in Mathematics, 48, White,D., Closure property. ( ). Woerner, K. L. W., Computer based diagnosis and remediation of computational errors with fractions. Unpublished Doctoral Dissertation, The University of Texas, Austin. Yaakub, K. B., The learning styles of VOCTAC students in Negara Brunei Darussalam, ( ). Yenilmez, K. ve Çakır, A., Đlköğretim ikinci kademe öğrencilerinin matematik öğrenme stilleri. Kuram ve Uygulamada Eğitim Yönetimi, 11(44), Yetkin, E., Student Difficulties in Learning Elementary Mathematics. ERIC Clearinghouse for Science, Mathematics and Environmental Education, Columbus, OH., ED482727, ( ). Yıldırım, A., ve Şimşek, H., Sosyal Bilimlerde Nitel Araştırma Yöntemleri. Seçkin Yayınları, 2. Baskı, Ankara, s. 67, 191.

107 95 Yılmaz, A., Đşbirliğine dayalı öğrenme, etkili ancak ihmal edilen yada yanlış kullanılan bir metot. MEB dergisi, 150. Yurdagül, T., Matematik konu anlatımları; Modüler aritmetik ve işlem. ( ). Yusof, Y. M. and Rahman, R. A., 2001a. Matematics education at universıtı teknologi Malaysia (UTM): learning from experience. Journal Teknologi 34(E), Yusof, Y. M. and Rahman, R. A., 2001b. Students' difficulties with multiple integration: a preliminary study. 3rd Southern Hemisphere Symposium, South Africa. Yusof, Y. M., Rahman, R. A., Razali, M. R., Abu, M. S., Bakar, M. N. and Tiong, O. C Overcoming mathematical learning difficulties: a case study of collaborative research. Proceeding 8th Southeast Asian Conference, , Manila, Phillippine Zachariades, T., Christou, C., and Papageorgiou, E., The difficulties and reasoning of undergraduate mathematics students in the identification of functions. Proceedings in the 10th ICME Conference, Crete, Greece. Zaslavsky, O. and Peled, I., Inhibiting factors in generating examples by mathematics teachers and student teachers: the case of binary operation. Journal for Research in Mathematics Education, 27,

108 96 EKLER EK 1. Matematik Bilgi Seviyesi Tespit Testi

109 97 EK 2. Matematik Tutum Ölçeği Sevgili Öğrenciler, Bu ölçek matematik dersiyle ilgili düşüncelerinizi öğrenmek amacıyla size sunulmuştur. Cümlelerde doğru-yanlış cevap yoktur. Her cümle ile ilgili görüş, kişiden kişiye değişebilir. Bu nedenle vereceğiniz cevaplar, kendi görüşünüzü yansıtmalıdır. Her cümle ile ilgili görüş belirtirken önce cümleyi dikkatli bir şekilde okuyunuz, sonra cümlede belirtilen düşüncenin, sizin duygu ve düşüncelerinize ne derece uygun olduğuna karar veriniz. Daha sonra cümlenin karşısındaki size en uygun olan kısmı (X) şeklinde işaretleyiniz. Tamamen Uygundur Uygundur Kararsızım Uygun Değildir Hiç Uygun Değildir 1. Matematik dersi benim için bir angaryadır... ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2. Matematik dersi beni huzursuz eder...( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3. Matematik beni ürkütür......( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4. Matematikten hoşlanırım... ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5. Matematik bütün dersler içinde en korktuğum derstir..( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6. Matematik benim için ilgi çekicidir..( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7. Matematik sevdiğim bir derstir.( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8. Matematik dersine girerken büyük bir sıkıntı duyarım..( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9. Matematik dersi olmasa öğrencilik hayatı daha zevkli olur..( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10. Derslerim içinde en sevimsizi matematiktir..( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11. Matematik dersi sınavından çekinirim..( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12. Matematik dersinde zaman geçmek bilmez..( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 13. Arkadaşlarımla matematik tartışmaktan zevk alırım ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 14. Matematiğe ayrılan ders saatlerinin fazla olmasını dilerim..( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 15. Matematik dersi çalışırken canım sıkılır...( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 16. Yıllarca matematik okusam bıkmam. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

110 Diğer derslere göre matematiğe daha çok severek çalışırım ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 18. Matematik dersinde neşe duyarım ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 19. Matematik dersi eğlenceli bir derstir... ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 20. Çalışma zamanımın çoğunu matematiğe ayırmak islerim ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

111 99 EK 3. Đkili Đşlem ve Özellikleri Bilgi Testi Adı-Soyadı: Sınıfı: 1. = { 1, 2, 3} SORULAR A kümesi verilsin. işlemi, A A nın her bir ikilisini, ikilinin ilk terimine gönderen fonksiyon biçiminde tanımlansın. işlemini şema ve tablo ile belirtiniz. 2. Tamsayılar kümesi üzerinde x y = x. y + 4.( x + y) şeklinde işlemi tanımlanmıştır. Buna göre, 2 5 işleminin sonucu kaçtır? 3. = { 1,0,1, 2} A kümesi ve x 2 y = 3x y şeklinde tanımlanan işlemi veriliyor. Buna göre, ( 1) 2 işleminin sonucunu bulunuz. 4. Reel sayılar kümesi üzerinde a b = a + b ve a b = a. b + 2 şeklinde ve işlemleri tanımlanıyor. Buna göre, ( 2 3) (4 5) =? 3 b 5. Pozitif reel sayılar kümesi üzerindeki her a, b elemanı için, = 2. a + b a. b a 4 işlemi tanımlanıyor. Buna göre, 2 1 işleminin sonucu kaçtır? 6. = { 1, 3, 5, 7,... } T pozitif tek sayılar kümesi ve x ο y = x + y biçiminde tanımlanan ο işlemi veriliyor. T kümesi ο işlemine göre kapalımıdır? Açıklayınız. 7. A={x,y,z,t,e} kümesi ile işlemi veriliyor. işlemi yandaki tablodaki gösterildiği gibi tanımlanmıştır. Buna göre, A kümesi işlemine göre kapalımıdır? Açıklayınız. x y z t e x x y z t e y e x y z t z t e x y z t z t e x y e y z t e x

112 Tamsayılar kümesi üzerinde tanımlanan işlemi, x y = 2 x + y biçiminde veriliyor. işleminin a. Değişme özelliği ve b. Birleşme özelliği var mıdır? Açıklayınız. 9. A={a,b,c,d}kümesi üzerinde tanımlanan işlemi yandaki tablo ile veriliyor. işleminin değişme özelliği var mıdır? Açıklayınız. a b c d a a b c d b b c d a c c d a b d d a b c 10. Reel sayılar kümesinde x y = 5. x. y ve x y = x işlemleri veriliyor. işleminin işlemi üzerine dağılma özelliği olup olmadığını inceleyiniz. 11. Reel sayılar kümesinde tanımlı işlemi, x y = x + y + x. y kuralı ile veriliyor. işleminin birim(özdeş) elemanını araştırınız. 12. A={1, 2, 3, 4} kümesi üzerinde tanımlanan işlemi yandaki tablo ile veriliyor. işleminin birim(özdeş) elemanı kaçtır? Açıklayınız Tamsayılar kümesi üzerinde tanımlı ο işlemi, xο y = x y + 3 kuralı ile veriliyor. ο işleminin birim(özdeş) elemanını araştırınız. 14. Reel sayılar kümesinde tanımlı işlemi, x y = x + y + 2xy şeklinde tanımlanıyor. Bu işleme göre, 5 in tersi bulunuz. 15. A={a,b,c,d}kümesi üzerinde tanımlanan işlemi yandaki tablo ile veriliyor. işleminin özdeş(birim) elemanını bularak; işlemine göre A kümesinin her elemanının tersini bulunuz. a b c d a d a b c b a b c d c b c d a d c d a b

113 101 EK 4. Öğretmenlerle Yapılan Mülakatta Kullanılan Sorular Kaç yıldır matematik öğretmenliği yapıyorsunuz? 1. Sizce, programda bu konu için ayrılan 4 saatlik süre yeterli midir? 2. Bu konuyu anlattığınızda ÖSS de çıkan ilgili soru tiplerinden ne ölçüde etkilendiniz? Mesela kapalılık, birleşme, değişme ve dağılma özelliklerinden ÖSS de (doğrudan) soru sorulmaması sizi etkiledi mi? 3. Đkili işlem ve özellikleri konusunu anlatırken öğrencilerinizin anlamakta güçlük çektikleri noktalar neler oldu veya ne tür öğrenme güçlükleri olabilir?

114 102 EK 5. Erzurum Milli Eğitim Müdürlüğü nden Alınan Đzin Belgesi

115 103 EK 6. Đkili Đşlem ve Özellikleri Konusu ile Đlgili 4Mat Yöntemine Dayalı Ders Planları Ek 6.1 Konu: Đkili işlem Kazanımlar: Đkili işlemi açıklar 1. Adım: Bu adımda öğrencilerin kendi yaşamları ile konu arasında ilişki kurmaları sağlanır. Amaç: Öğrencilerin ikili işlem kavramı ile ilgili ilişki kurabilecekleri bir yaşantı ortaya atmak. Aktivite: Öğretmen önce Türkiye basketbol liginin puanlama kuralını hatırlatır. Yani her bir takımın galibiyette 2, mağlubiyette 1 puan aldığını belirtir. Daha sonra aşağıdaki tabloda, galibiyet ve mağlubiyet sayıları verilen takımların elde ettikleri puanların hesaplanmasını ister. Basketbol takımının adı Galibiyet sayısı Mağlubiyet sayısı Fenerbahçe 5 0 Galatasaray 4 1 Beşiktaş 3 2 Ülker 2 3 Eczacıbaşı 1 4 ĐTÜ 0 5 Elde ettiği puan 2. Adım: Bu adımda önceki adımda oluşturulan yaşantı analiz edilir. Amaç: Öğrencilerin yaşantıyı analiz etmelerine ve yaşantıdaki problemi çözmek için neler yaptıklarını tartışmalarına izin vermek. Aktivite: Öğrencilerin tablodaki basketbol takımlarının elde ettikleri puanları nasıl hesapladıkları, nasıl bir formül buldukları, bu formülün fonksiyon olarak ifade edilip edilemeyeceği, edilirse tanım kümesi, görüntü kümesinin ne olacağı ve şema ile

116 104 gösterimi hakkındaki görüşleri üzerine öğretmen tarafından organize edilen sınıf tartışması yapılır. 3. Adım: Bu adımda düşünceler kavramlaştırılır. Amaç: Öğrencilerin fonksiyon ile ikili işlem arasındaki ilişkiyi görmelerini sağlayarak ikili işlem kavramını zihinlerinde resimleştirmek. Aktivite: Ek de verilen şekiller tepegözde yansıtılır (veya bu Ek in fotokopisi öğrencilere dağıtılır). Ayrıca öğrenciler farklı kurallarla verilen ikili işlemlerin sonuçlarını hesaplarlar. 4. Adım: Bu adımda konu alanı ile ilgili bilgi verilir. Amaç: Đkili işlem kavramını tanımlamak ve bir ikili işlemin şema ve tabloyla nasıl gösterileceğini öğretmek. Aktivite: Öğretmen ikili işlem kavramı ve ikili işlemin şema ve tablo ile gösterilmesi gibi konu alanı ile ilgili uzmanlık bilgilerinin verileceği etkileşimli bir dersi yürütür. 5. Adım: Bu adımda tanımlanmış kavramlar üzerine çalışmalar yapılır. Amaç: Đkili işlem ile ilgili öğretmen rehberliğinde uygulamalar yapmak. Aktivite: Öğrenciler Ek de verilen çalışma yaprağını öğretmenin rehberliğinde tamamlarlar. 6. Adım: Bu adımda öğrenciler kendilerinden bir şeyler ekleyerek mevcut bilgilerini uygularlar. Amaç: Đkili işlem konusunda öğrencilerin öğrendiklerini içselleştirmelerini sağlamak. Aktivite: Ek deki sorular öğrencilere verilir ve çözmeleri istenir. 7. Adım: Bu adımda öğrenciler tarafından yapılan uygulamalar analiz edilir. Amaç: Öğrencilerin ikili işlem kavramı ile ilgili yapılan uygulamaları analiz etmelerini sağlamak Aktivite: Öğrenciler başta 6. adımdaki uygulamalar olmak üzere ikili işlemle ilgili önceki uygulamaları analiz ederler. 8. Adım: Bu adımda öğrenciler öğrendiklerini diğer öğrencilerle paylaşırlar. Amaç: Öğrencilere öğrendiklerini paylaşmaları için imkân sağlamak. Aktivite: Öğrenciler ikili işlem ile ilgili ne öğrendiklerinin, günlük yaşamda nerede kullandıklarının farkına varırlar ve bunları sınıf arkadaşları ile paylaşırlar.

117 105 Ek Aşağıdaki fonksiyon ve ikili işlem fabrikalarını inceleyiniz

118 106 Ek Çalışma Yaprağı Örnek 1. Aşağıdaki örnekleri inceleyiniz. 2 3 = = = = 3 (civciv) ne yapıyor? Buna göre aşağıdaki boşluklara hangi sayılar gelmelidir? 3 3 = 5 1 = 4 2 = 8 = 14 Örnek 2. Tamsayılar kümesinde x Θ y = x + y 2 şeklinde tanımlanan Θ işlemine göre a. 2 Θ 3 =? b. 4 Θ k = 5 ise k kaçtır? Örnek 3. A = { 1, 2,3, 4} kümesi üzerinde tanımlanan işlemi yandaki tablo ile veriliyor. Buna göre ( 4 3) 1 işleminin sonucunu bulunuz

119 107 Örnek 4. B = { 1, 2} kümesi verilsin. işlemi, B = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2) } B dan B ye aşağıda verilen şema ile gösterilmiştir. Buna göre, işlemini tablo ile gösteriniz. B B (1, 1). (1, 2). (2, 1). (2, 2). B Örnek 5. A { a, b} = kümesi verilsin. işlemi, A A nın her bir ikilisini, ikilinin ikinci terimine gönderen fonksiyon biçiminde tanımlansın. işlemini şema ve tablo ile belirtiniz.

120 108 Ek Çalışma Yaprağı Sorular 1. Reel sayılar kümesi üzerinde tanımlı a b = Maksimum{ a, b} a b = Minimum{ a, b} işlemlerine göre, ( 2 5) ( 1 3) işleminin sonucu nedir? 2. Pozitif reel sayılar kümesinde kaça eşittir? 1 x 2 y = x. y + x + y şeklinde tanımlı işlemine = { 1, 2,3, 4} A kümesinde işlemi, a b = a. b nin 5 ile bölümünden kalan olarak tanımlanıyor. Buna göre, işleminin tablosunu oluşturunuz. 4. Tamsayılar işlemi, b = 2. a + 3. b + 1 biçiminde tanımlanıyor. ( 1@3)@5 işleminin sonucunu bulunuz.

121 109 Ek 6.2 Konu: Đkili işlemin kapalılık özelliği Kazanımlar: Đkili işlemin kapalılık özelliğini açıklar. 1. Adım: Bu adımda öğrencilerin kendi yaşamları ile konu arasında ilişki kurmaları sağlanır. Amaç: Öğrencilerin ikili işlemin kapalılık özelliği ile ilgili ilişki kurabilecekleri bir yaşantı ortaya atmak. Aktivite: Öğretmen tahtaya pozitif çift tamsayılar kümesini yazar ve sınıftaki herkesin bu kümeden bir sayıyı akıllarında tutmalarını ister. Daha sonra rasgele iki öğrenci seçer ve tuttukları sayıları tahtaya yazmalarını ister. Bu iki sayının toplamı da yazılır. Aynı işlem birkaç defa tekrarlanır. Burada yapılan toplama işlemlerinin sonuçları arasında bir benzerlik olup olmadığı sorulur. 2. Adım: Bu adımda önceki adımda oluşturulan yaşantı analiz edilir. Amaç: Öğrencilerin yaşantıyı analiz etmelerine ve yaşantıdaki problemi çözmek için neler yaptıklarını tartışmalarına izin vermek. Aktivite: Öğrencilere herhangi bir benzerliğin (yapılan toplama işlemlerinin sonuçları arasında) bulunup bulunmadığı sorulur bir benzerlik varsa bunun, tahtaya yazılı olan kümeden alınacak herhangi iki eleman için de geçerli olup olmadığı üzerine öğretmen tarafından organize edilen sınıf tartışması yapılır. 3. Adım: Bu adımda düşünceler kavramlaştırılır. Amaç: Kapalılık özelliği kavramını öğrencilerin zihinlerinde resimleştirmek. Aktivite: Öğretmen aşağıdaki hikâyeyi sınıfa anlatır. Bir zamanlar sayılar ülkesinde bir kral varmış. Kral bir grup sayıyı işledikleri suçlardan dolayı zindana atmış ve onlara şöyle demiş: Bu zindana kapalılığınız ancak herhangi ikiniz arasında yapılan herhangi bir işlemin sonucunun buradaki sayılardan başka bir sayıya eşit olması durumunda ortadan kalkacak yani bu durumda zindana kapalı olmayacaksınız. Ayrıca öğrenciler farklı kurallarla verilen ikili işlemlerin sonuçlarının verilen kümede olup olmadığını inceler. 4. Adım: Bu adımda konu alanı ile ilgili bilgi verilir.

122 110 Amaç: Đkili işlemin kapalılık özelliğinin olup olmadığına nasıl bakılacağını öğretmek. Aktivite: Öğretmen ikili işlemin kapalılık özelliği ile ilgili uzmanlık bilgilerinin verileceği etkileşimli bir dersi yürütür. 5. Adım: Bu adımda tanımlanmış kavramlar üzerine çalışmalar yapılır. Amaç: Đkili işlemin kapalılık özelliği ile ilgili öğretmen rehberliğinde uygulamalar yapmak. Aktivite: Öğrenciler Ek de verilen çalışma yaprağını öğretmenin rehberliğinde tamamlarlar. 6. Adım: Bu adımda öğrenciler kendilerinden bir şeyler ekleyerek mevcut bilgilerini uygularlar. Amaç: Đkili işlemin kapalılık özelliği konusunda öğrencilerin öğrendiklerini içselleştirmelerini sağlamak. Aktivite: Ek deki sorular öğrencilere verilir ve çözmeleri istenir. 7. Adım: Bu adımda öğrenciler tarafından yapılan uygulamalar analiz edilir. Amaç: Öğrencilerin kapalılık özelliği ile ilgili yapılan uygulamaları analiz etmelerini sağlamak Aktivite: Öğrenciler başta 6. adımdaki uygulamalar olmak üzere kapalılık özelliği ile ilgili önceki uygulamaları analiz ederler. 8. Adım: Bu adımda öğrenciler öğrendiklerini diğer öğrencilerle paylaşırlar. Amaç: Öğrencilere öğrendiklerini paylaşmaları için imkân sağlamak. Aktivite: Öğrenciler ikili işlemin kapalılık özelliği ile ilgili ne öğrendiklerinin, günlük yaşamda nerede kullandıklarının farkına varırlar ve bunları sınıf arkadaşları ile paylaşırlar.

123 111 Ek Çalışma Yaprağı Örnek 1. A = { 1, 2,3, 4} olsun ve işlemi yandaki tablo ile veriliyor. A kümesi işlemine göre kapalımıdır? Açıklayınız? Örnek 2. = { 2,4,6,8,10,... } Ç pozitif çift tamsayılar kümesi ve x y = x y biçiminde tanımlanan işlemi veriliyor. Ç kümesi işlemine göre kapalımıdır? Açıklayınız.

124 112 Ek Çalışma Yaprağı Sorular 1. Karıştırma işlemi renkler kümesinde kapalımıdır? Neden? 2. Karıştırma işlemi sıvılar kümesinde kapalımıdır? Neden? 3. = { 1, 0, 1} A kümesi a b = a. b + a + b biçiminde tanımlanan işlemine göre kapalımıdır? Neden?

125 113 Ek 6.3 Konu: Đkili işlemin değişme özelliği Kazanımlar: Đkili işlemin değişme özelliğini açıklar. 1. Adım: Bu adımda öğrencilerin kendi yaşamları ile konu arasında ilişki kurmaları sağlanır. Amaç: Öğrencilerin ikili işlemin değişme özelliği ile ilgili ilişki kurabilecekleri bir yaşantı ortaya atmak. Aktivite: Öğretmen sınıf listesindeki sıraya göre öğrencileri numaralandırır (1, 2, 3, ). Öğrencileri rasgele ikişerli gruplandırır. Önce gruplardaki kişilerden herhangi bir taraftakine (sağdakilere veya soldakilere) sıra numarasını 2 ile diğerine 3 ile çarpmalarını söyler. Her gruba bu sonuçları toplamalarını ve defterlerine yazmalarını söyler. Daha sonra, öğrencilerden yer değiştirmeleri (sağdakiler sola, soldakiler sağa) istenerek aynı işlemin tekrarlanması istenir. Öğretmen gruptaki öğrencilerden bu defa yukarıdaki uygulamayı sıra numaralarının çarpımına 5 eklemeleri şeklinde gerçekleştirmelerini ister. Öğrencilere bu iki işlemin kurallarının ne olduğunu sorulur ve bu iki kural tahtaya yazılır. 2. Adım: Bu adımda önceki adımda oluşturulan yaşantı analiz edilir. Amaç: Öğrencilerin yaşantıyı analiz etmelerine ve yaşantıdaki problemi çözmek için neler yaptıklarını tartışmalarına izin vermek. Aktivite: Bazı gruplardan elde edilen sonuçlar bu kuralların altına yazılarak, her iki kuralda da elemanların yerlerinin değişmesi sonuçları nasıl etkilediği, sınıftaki bütün ikişerli gruplarda aynı şeylerin olup olmadığı üzerine öğretmen tarafından organize edilen sınıf tartışması yapılır. 3. Adım: Bu adımda düşünceler kavramlaştırılır. Amaç: Değişme özelliği kavramını öğrencilerin zihinlerinde resimleştirmek. Aktivite: Okul müdürünün, kahvesine şeker ve kahve kreması katmayı çok sevdiğini ve kahvesine, bazen önce şeker sonra kahve kreması attığını bazen de önce kahve kreması sonra şeker attığını belirttikten sonra bu iki durumun müdür bey için aynı olup kahvekrema örneğinin değişmeli olduğu söylenir. Ayrıca öğrenciler farklı kurallarla verilen

126 114 ikili işlemlerde elemanların yerlerinin değişmesiyle işlem sonucunun değişip değişmeyeceğini inceler. 4. Adım: Bu adımda konu alanı ile ilgili bilgi verilir. Amaç: Đkili işlemin değişme özelliğinin olup olmadığına nasıl bakılacağını öğretmek. Aktivite: Öğretmen ikili işlemin değişme özelliği ile ilgili uzmanlık bilgilerinin verileceği etkileşimli bir dersi yürütür. 5. Adım: Bu adımda tanımlanmış kavramlar üzerine çalışmalar yapılır. Amaç: Đkili işlemin değişme özelliği ile ilgili öğretmen rehberliğinde uygulamalar yapmak. Aktivite: Öğrenciler Ek de verilen çalışma yaprağını öğretmenin rehberliğinde tamamlarlar. 6. Adım: Bu adımda öğrenciler kendilerinden bir şeyler ekleyerek mevcut bilgilerini uygularlar. Amaç: Đkili işlemin değişme özelliği konusunda öğrencilerin öğrendiklerini içselleştirmelerini sağlamak. Aktivite: Ek deki sorular öğrencilere verilir ve çözmeleri istenir. 7. Adım: Bu adımda öğrenciler tarafından yapılan uygulamalar analiz edilir. Amaç: Öğrencilerin değişme özelliği ile ilgili yapılan uygulamaları analiz etmelerini sağlamak Aktivite: Öğrenciler başta 6. adımdaki uygulamalar olmak üzere değişme özelliği ile ilgili önceki uygulamaları analiz ederler. 8. Adım: Bu adımda öğrenciler öğrendiklerini diğer öğrencilerle paylaşırlar. Amaç: Öğrencilere öğrendiklerini paylaşmaları için imkân sağlamak. Aktivite: Öğrenciler ikili işlemin değişme özelliği ile ilgili ne öğrendiklerinin, günlük yaşamda nerede kullandıklarının farkına varırlar ve bunları sınıf arkadaşları ile paylaşırlar.

127 115 Ek Çalışma Yaprağı Örnek 1. A = { 1, 2,3, 4} olsun ve işlemi yandaki tablo ile veriliyor. işleminin değişme özelliği var mıdır? Açıklayınız? Örnek 2. Reel sayılar kümesinde tanımlı a b = a + 2. b işleminin değişme özelliği var mıdır? Açıklayınız.

128 116 Ek Çalışma Yaprağı Sorular 1. Karıştırma işlemi renkler kümesinde değişmeli midir? 2. Pozitif tamsayılar kümesinde işlemi a b = b a biçiminde tanımlanıyor. işlemi değişmeli midir? 3. = { 1, 2,3, 4} A kümesi üzerinde işlemi a, a b ise a b = 0, a = b ise b, a b ise biçiminde tanımlanıyor. işlemini tablo biçiminde göstererek değişmeli olup olmadığını inceleyiniz. 4. = { 1, 2,3, 4} A kümesi üzerinde işlemi yandaki tablo ile veriliyor. işleminin değişmeli olup olmadığını inceleyiniz ve 4. sorulardaki tabloları inceleyiniz. Sizce değişme özelliğine sahip olan bir işlemin tablosunun özelliği nedir?

129 117 Ek 6.4 Konu: Đkili işlemin birleşme özelliği Kazanımlar: Đkili işlemin birleşme özelliğini açıklar. 1. Adım: Bu adımda öğrencilerin kendi yaşamları ile konu arasında ilişki kurmaları sağlanır. Amaç: Öğrencilerin ikili işlemin birleşme özelliği ile ilgili ilişki kurabilecekleri bir yaşantı ortaya atmak. Aktivite: Öğretmen üç öğrenciyi sınıf tahtasının önüne çağırır.(isimlerinin Fatma, Ayşe ve Zeynep olduğunu bu sıraya göre ayakta duracaklarını düşünelim) Her birine üzerinde farklı sayıların yazılı olduğu birer kart verir. Ayrıca bu üç öğrenciden, sayıları sınıf arkadaşlarının görecekleri şekilde kartları tutmalarını ister. Önce Ayşe den bir elini Fatma nın omzuna atmasını ister. Bu esnada diğer öğrencilerden, Fatma ile Ayşe nin kartlarındaki sayıları toplamalarını ve çıkan sonuca Zeynep in sayısını eklemeleri istenir. Öğretmen daha sonra Ayşe den elini Fatma nın omzundan alıp Zeynep in omzuna atması ister. Yine öğrencilerden, Ayşe ile Zeynep in sayılarını toplamalarını ve Fatma nın sayısı ile çıkan bu sonucu toplamalarını ister. Her iki durumda oluşan en son toplamlar birbirinden farklımıdır? 2. Adım: Bu adımda önceki adımda oluşturulan yaşantı analiz edilir. Amaç: Öğrencilerin yaşantıyı analiz etmelerine ve yaşantıdaki problemi çözmek için neler yaptıklarını tartışmalarına izin vermek. Aktivite: 1. adımda kullanılan işlemin ne olduğu sorulur. Başka işlemler içinde bu aktivitenin uygulanıp uygulanamayacağı sorulur. Her iki durumda da oluşan son toplamların kartlardaki sayıların değişmesi halinde değişip değişmeyeceği üzerine öğretmen tarafından organize edilen sınıf tartışması yapılır. 3. Adım: Bu adımda düşünceler kavramlaştırılır. Amaç: Birleşme özelliği kavramını öğrencilerin zihinlerinde resimleştirmek. Aktivite: Öğretmen aşağıdaki hikâyeyi sınıfa anlatarak bunu birleşme özelliği ile ilişkilendirir. Bu hikâye anlatılırken sınıfın ön tarafına üç öğrenci çağırılır ve hikâyede bu öğrencilerin isimleri kullanılır. Örneğin bu öğrencilerin ismi Mehmet, Ahmet, Tarık olsun ve bu sıra ile sınıfın önünde dizilsinler.

130 118 Dün Mehmet ile Ahmet çok iyi arkadaşlardı fakat her ikisi de Tarık ile konuşmuyordu. Akşamleyin maalesef Mehmet ile Ahmet telefonda konuşurlarken büyük bir kavga yaptılar ve Ahmet Mehmet e artık umurumda değilsin dedi. Daha sonra Tarık ile arkadaş oldu. Bu yüzden bugün Ahmet ile Tarık birbirleri ile arkadaşlar ve onların her ikisi de Mehmet ile konuşmuyorlar. (Kötü bir olay ama böyle şeyler oluyor bazen) Ayrıca öğrenciler farklı kurallarla verilen ikili işlemlerde birleşme özelliğini inceler. 4. Adım: Bu adımda konu alanı ile ilgili bilgi verilir. Amaç: Đkili işlemin birleşme özelliğinin olup olmadığına nasıl bakılacağını öğretmek. Aktivite: Öğretmen ikili işlemin birleşme özelliği ile ilgili uzmanlık bilgilerinin verileceği etkileşimli bir dersi yürütür. 5. Adım: Bu adımda tanımlanmış kavramlar üzerine çalışmalar yapılır. Amaç: Đkili işlemin birleşme özelliği ile ilgili öğretmen rehberliğinde uygulamalar yapmak. Aktivite: Öğrenciler Ek de verilen çalışma yaprağını öğretmenin rehberliğinde tamamlarlar. 6. Adım: Bu adımda öğrenciler kendilerinden bir şeyler ekleyerek mevcut bilgilerini uygularlar. Amaç: Đkili işlemin birleşme özelliği konusunda öğrencilerin öğrendiklerini içselleştirmelerini sağlamak. Aktivite: Ek deki sorular öğrencilere verilir ve çözmeleri istenir. 7. Adım: Bu adımda öğrenciler tarafından yapılan uygulamalar analiz edilir. Amaç: Öğrencilerin birleşme özelliği ile ilgili yapılan uygulamaları analiz etmelerini sağlamak Aktivite: Öğrenciler başta 6. adımdaki uygulamalar olmak üzere birleşme özelliği ile ilgili önceki uygulamaları analiz ederler. 8. Adım: Bu adımda öğrenciler öğrendiklerini diğer öğrencilerle paylaşırlar. Amaç: Öğrencilere öğrendiklerini paylaşmaları için imkân sağlamak. Aktivite: Öğrenciler ikili işlemin birleşme özelliği ile ilgili ne öğrendiklerinin, günlük yaşamda nerede kullandıklarının farkına varırlar ve bunları sınıf arkadaşları ile paylaşırlar.

131 119 Ek Çalışma Yaprağı Örnek 1. Reel sayılar kümesi üzerinde tanımlı x Θ y = 5. x. y işleminin birleşme özelliğinin olup olmadığını inceleyiniz. Örnek 2. Tamsayılar kümesinde ο işlemi, a ο b = a. b + a biçiminde tanımlanıyor. ο işleminin birleşme özelliğinin olup olmadığını inceleyiniz.

132 120 Ek Çalışma Yaprağı Sorular 1. Reel sayılar kümesinde dört (toplama(+), çıkarma(-), çarpma(.), bölme(:)) işlemden hangileri birleşme özelliğine sahiptir? Açıklayınız. 2. A={a,b,c,d}kümesi üzerinde tanımlanan işlemi yandaki tablo ile veriliyor. işleminin birleşme özelliği hakkında ne söylersiniz? a b c d a a b c d b b c d a c c d a b d d a b c

133 121 Ek 6.5 Konu: Bir işlemin diğer bir işlem üzerine dağılma özelliği Kazanımlar: Dağılma özelliğini açıklar. 1. Adım: Bu adımda öğrencilerin kendi yaşamları ile konu arasında ilişki kurmaları sağlanır. Amaç: Öğrencilerin bir işlemin diğer bir işlem üzerine dağılma özelliği ile ilgili ilişki kurabilecekleri bir yaşantı ortaya atmak. Aktivite: Öğretmen herhangi bir öğrenciyi sınıf tahtasının önüne çağırır. Tahtanın sağ ve sol yarılarına =? ve =? işlemlerini yazar ve öğrenciden sırayla bu işlemleri yapmasını ister. 2. Adım: Bu adımda önceki adımda oluşturulan yaşantı analiz edilir. Amaç: Öğrencilerin yaşantıyı analiz etmelerine ve yaşantıdaki problemi çözmek için neler yaptıklarını tartışmalarına izin vermek. Aktivite: Öğrencilere tahtanın sağ ve sol tarafına yazılı işlemler arasında bir ilişkinin olup olmadığı sorulur. Bu örneklere benzer birkaç örnek daha tahta yazarak bulunan bu ilişkiye benzer bir ilişkinin olup olmadığı üzerine öğretmen tarafından organize edilen sınıf tartışması yapılır. 3. Adım: Bu adımda düşünceler kavramlaştırılır. Amaç: Dağılma özelliği kavramını öğrencilerin zihinlerinde resimleştirmek. Aktivite: Öğretmen Ek in fotokopisini öğrencilere dağıtır. Daha sonra aşağıdaki hikâyeyi sınıfa anlatarak bunu dağılma özelliği ile ilişkilendirir. Aynı hat üzerinden Tema ve Özmar süpermarketlerine (okulun bulunduğu semtte aynı hattaki iki süpermarket) meyve suyu fabrikasının arabası ile satılmak üzere meyve suyu dağıtılıyor. Araba ile önce Tema ya meyve suları bırakılıyor daha sonra Özmar süpermarketine bırakılıyor. Burada meyve sularını süpermarketlere bırakma işlemini * ile süpermarketlerin aynı hatta olması işlemini de ile simgelendiği açıklaması yapılır. 4. Adım: Bu adımda konu alanı ile ilgili bilgi verilir. Amaç: Bir işlemin diğer bir işlem üzerine dağılma özelliğinin olup olmadığına nasıl bakılacağını öğretmek.

134 122 Aktivite: Öğretmen dağılma özelliği ile ilgili uzmanlık bilgilerinin verileceği etkileşimli bir dersi yürütür. 5. Adım: Bu adımda tanımlanmış kavramlar üzerine çalışmalar yapılır. Amaç: Dağılma özelliği ile ilgili öğretmen rehberliğinde uygulamalar yapmak. Aktivite: Öğrenciler Ek de verilen çalışma yaprağını öğretmenin rehberliğinde tamamlarlar. 6. Adım: Bu adımda öğrenciler kendilerinden bir şeyler ekleyerek mevcut bilgilerini uygularlar. Amaç: Dağılma özelliği konusunda öğrencilerin öğrendiklerini içselleştirmelerini sağlamak. Aktivite: Ek deki sorular öğrencilere verilir ve çözmeleri istenir. 7. Adım: Bu adımda öğrenciler tarafından yapılan uygulamalar analiz edilir. Amaç: Öğrencilerin dağılma özelliği ile ilgili yapılan uygulamaları analiz etmelerini sağlamak Aktivite: Öğrenciler başta 6. adımdaki uygulamalar olmak üzere dağılma özelliği ile ilgili önceki uygulamaları analiz ederler. 8. Adım: Bu adımda öğrenciler öğrendiklerini diğer öğrencilerle paylaşırlar. Amaç: Öğrencilere öğrendiklerini paylaşmaları için imkân sağlamak. Aktivite: Öğrenciler bir işlemin diğer bir işlem üzerine dağılma özelliği ile ilgili ne öğrendiklerinin, günlük yaşamda nerede kullandıklarının farkına varırlar ve bunları sınıf arkadaşları ile paylaşırlar.

135 123 Ek Aşağıdaki resmi inceleyiniz.