2-Sarmallı Skala Edilmiş Lu-Chen 2003 Kaotik Sistemi ve Elektronik Osilatörü

Transkript

1 Published in th International Symposium on Innovative Technologies in Engineering and Science November (ISITES Alanya/Antalya Turkey) Sarmallı Skala Edilmiş LuChen Kaotik Sistemi ve Elektronik Osilatörü İhsan Pehlivan, Akif Akgül, Ersin Kurt, Aziz Başaran Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü, Teknoloji Fakültesi, SAKARA Üniversitesi, Sakarya, Türkiye Mekatronik Mühendisliği ABD, Fen Bilimleri Enstitüsü, SAKARA Üniversitesi, Sakarya, Türkiye Özet Kaotik sistemler ve sinyaller gürültü benzeri geniş güç spektrumları ve rasgele davranış özellikleri nedeniyle çok farklı teknoloji ve mühendislik uygulamalarında kullanılmaktadır. Bu çalışmada, potansiyel kaotik sinyal üreteç devrelerini çeşitlendirmek amacıyla; sarmallı LuChen sistemi sakala edilerek önce bilgisayar ortamında elektronik osilatör devresi tasarlanmış, daha sonra gerçek elektronik devresi kurulmuştur. Sunulan karşılaştırmalı simülayon ve osilaskop çıktıları başarılı bir tasarımın yapıldığını göstermiştir. Anahtar Kelimeler: Kaos, kaotik sistem, LuChen sistemi, kaotik osilatör, kaotik devre Abstract A concise and factual abstract of words is required. The abstract should state briefly the purpose of the research, the approach used, the principal results and major conclusions. An abstract is often presented separately from the article, so it must be able to stand alone. For this reason, References should be avoided, but if essential, then cite the author(s) and year(s). Also, nonstandard or uncommon abbreviations should be avoided, but if essential they must be defined at their first mention in the abstract itself. Key words: Chaos, chaotic system, LuChen system, chaotic oscillator, chaotic circuit. Giriş Kaotik sistemler, başlangıç şartlarına aşırı duyarlı, periyodik olmayan, gürültü benzeri geniş bant genişliğine sahip sistemlerdir. Bu nedenle rastlantısal sanılan bir çok sistemi kavramada yardımcı olmaktadırlar. Evrende lineer olmayan bir çok yapı bulunmaktadır. Bunların incelenmesinde de kaotik yapıların önemi gün geçtikçe artmaktadır. Kaos bilimi, 9 yılında Edward Lorenz in öncülüğünde gelişmeye başlamıştır[]. Daha sonra Rössler, Chua gibi araştırmacılar ile hızlı ilerlemeler kaydetmiş [] ve günümüzde de halen fizik ve matematik gibi temel alanlarda çok geniş bir şekilde incelenerek gelişmesine devam etmektedir. Kaos bilimi, hava tahmininden sigara dumanının havada yayılışına, nüfus biliminden tek hücreli organizmaların yaşayışına kadar birçok araştırma konusunda kullanılmış ve kullanılmaya devam etmektedir. *Corresponding author: Address: Faculty of Technology, Department of Electrical and Electronics Engineering, Sakarya University, 7, Sakarya TURKE. address: ipehlivan@sakarya.edu.tr, Phone: 99

2 İ. PEHLİVAN et al./ ISITES Alanya/Antalya Turkey Elektronik olarak kaotik bir sistem, ilgili dinamik denklemleri sağlayan devrelerin gerçeklenmesiyle elde edilebilir. Kaos olayı ile ilgili ilk basit elektronik devreyi Chua gerçekleştirmiştir[]. Geliştirilen bu devre, daha sonraları kaos üreteci olarak birçok alanda kullanılmıştır. İlerleyen zamanlarda basit RLC, RC devreleri [ 9], osilatörler [, ], güç devreleri [], sayısal filtreler [7] ve kapasitör devreleri gibi kaotik davranış gösteren birçok elektronik devre uygulaması geliştirilmiştir. Son yıllarda ise birçok alanda kullanılmak üzere farklı yapıda Pratik uygulama potansiyeline sahip elektronik devre gerçeklemeleri yapılmış yeni kaotik sistemler literature sunulmuştur[7]. Bu çalışmada, giriş bölümünün ardından ikinci bölümde elektronik devre gerçeklemesi yapılan kaotik LuChen sisteminin tanıtımı, tanıtılan kaotik sisteme yönelik açıklamalar ve yapılan skala işleminden bahsedilmiştir. Üçüncü bölümde kaotik sistemin elektronik devre tasarım modellemesi analzilerinden bahsedilmiştir. Daha sonra dördüncü bölümde devre modelli elde edilen kaotik sistemin OrCADPSpice simülasyon sonuçları ile gerçek ortam devre uygulamasına ait osiloskop çıkışları sunulmuştur. Son kısımda ise sonuç ve değerlendirmeler verilmiştir.. LuChen Kaotik Sistemi ve Skala İşlemi Jinhu Lü, ve Guanrong Chen tarafından yılında tanıtılan[7] Denklem () deki doğrusal olmayan denklem sistemi, LüChen kaotik sistemi olarak bilinmektedir. x a x d y z y b y d x z z c z d x y () Kaotik sisteme ait tipik parametre ve başlangıç şartı değerleri şu şekildedir; d, d, d, a, b, c., x, y, z Tipik parameter ve başlangıç şartı değerleri kullanılarak Matlab programında elde edilen kompleks sarmallı çekiciler Şekil de görülmektedir.

3 İ. PEHLİVAN et al./ ISITES Alanya/Antalya Turkey Şekil. LüChen sisteminin (a) xy, (b) xz, (c) yz, (d) xyz kaotik çekicileri. LüChen sisteminin dinamik sınırları güç kaynağının sınırlarını aştığı için x, y, z değişkenlerinin skala edilmesi gerekmektedir. Pehlivan ın yaptığı skala işlemine [] benzer olarak sistemin yeni değişkenleri u x /, v y / ve w z / olarak tanımlanmıştır. Bu skala faktörleriyle birlikte LüChen denklemlerinin skala edilmesine ait ara adımlar Denklem () () arasında, en son elde edilen skala edilmiş denklemler ise Denklem () te görülmektedir. x u x u y v y v z w z w () u a u d v w v b v d u w w c w d u v ()

4 İ. PEHLİVAN et al./ ISITES Alanya/Antalya Turkey u a u d v w v a u d u w w a u d u v () x a x d y z y b y d x z z c z d x y (). Devre Tasarımı Tasarlanan skala edilmiş LuChen kaotik sistemin elektronik devresi aşamada analiz edilecektir. Sırasıyla x, y, z denklemlerine ait hesaplama devreleri ve analizleri aşağıda verilmiştir... Hesaplama Devresi ve Analizi R k R k C n IC = R k TL UA V N U W 7 V AD/AD R k TL UB V 7 V Şekil. deki devre analiz edilirse; Şekil. Lü Chen osilatörünün x hesaplama devresi R / j w C / j w C x x y z R R R, buradan

5 İ. PEHLİVAN et al./ ISITES Alanya/Antalya Turkey R x y x z ve R R R C R s C R s olduğundan x x y z elde edilir... Hesaplama Devresi ve Analizi U W 7 V AD/AD R k R k n IC = C TL 9 UC V V Şekil. Lü Chen osilatörünün y hesaplama devresi Şekil. deki devre analiz edilirse; / j w C / j w C y y x z R R ( ) y y x z, C R s C R s Buradan da y y x z elde edilir.

6 İ. PEHLİVAN et al./ ISITES Alanya/Antalya Turkey 7.. Hesaplama Devresi ve Analizi U W 7 V AD/AD R7 7.k R k n IC = C TL UD V V Şekil. Lü Chen osilatörünün z hesaplama devresi Şekil. deki devre analiz edilirse; / j w C / j w C z z x y R R 7 ( ) z z x y, C R s C R s 7 Buradan da z z x y 7 elde edilir. Elde edilen x, y, z ifadeleri birleştirilirse; x x y z y y x z () z z x y 7

7 İ. PEHLİVAN et al./ ISITES Alanya/Antalya Turkey. aman Skalasının Belirlenmesi Kapasitörlerin değerleri devrenin zamanlama skalasını belirlemektedir. Cuomo ile Oppenheim ın çalışmaları neticesinde [9] olarak zamanlama skalasını hesaplamışlardır. Charlesworth [], yaptığı hesaplamalar da problemin çözümünün fiziksel zamanıyla (problem zamanı), analog bilgisayardaki hesaplama zamanının farklı olduğunu göstermiştir. Bu sebeple zamanlama skalasının gerekliliğini göstermiştir. Charlesworth a göre t problem zamanı, hesaplama zamanı (devre) ve zaman skalama faktörü olmak üzere t dir. Burada da devre hesaplamalarında aynı şekilde zaman skalalama faktörü kullanılmıştır. Denklem () teki sistemi, Denklem () daki sistemi ile karşılaştırarak ve zaman skalalaması uygulayarak, a, b ve c parametrelerinin matematiksel karşılıkları elde edilir. a ve d için: x y z x a x d y z dir. a ve d C R C R olur. aman skalalaması uygulanırsa aşağıdaki eşitlikler elde edilir. a ve d C R C R olur. b ve d için: y x z y b y d x z dir. b ve d C R C R olur. c ve d için: z x y z c z d x y 7 dir.

8 İ. PEHLİVAN et al./ ISITES Alanya/Antalya Turkey 9 c ve d C R C R 7 olur. Devre dirençlerinin hesabı için örneğin z denklemini ele alalım. c =. olduğu ve devrede C = nf alındığı düşünülürse buradan R7 = 7.Kolur. R direnci için d = olduğundan ve AD çarpma entegresi girişlerine uygulanan sinyalleri çarpıp sonucu a böldüğü için R = K olarak hesaplanır. Bulunan bu direnç ve kondansatör değerleri ile aynı şekilde diğerleri de hesaplanırsa; R R K, R K, R R R K, R K, R 7. K olarak elde edilir. 7 Devrede C C C nf dır. Tasarlanan devre şeması Şekil. de gösterilmektedir. R k R k C n IC = R k TL UA V N U W 7 V AD/AD R k TL UB V 7 V Vdc V V Vdc U W 7 V AD/AD R k R k n IC = C TL 9 UC V V U W 7 V AD/AD R7 7.k R k n IC = C TL UD V V Şekil. Lü Chen Sistemi'nin tasarlanan elektronik osilatörüne ait devre şeması

9 İ. PEHLİVAN et al./ ISITES Alanya/Antalya Turkey. Lü Chen Osilatörünün Pspice Simulasyonu ve Gerçek Ortam Uygulaması.. OrCADPSpice Simülasyonu Bu bölümde, modellenen LüChen kaotik osilatörüne ait ORCADPSpice simülasyon sonuçları ve gerçek ortam devresine ait osiloskop çıkışları verilmiştir. Şekil de verilen LüChen kaotik sistemine ait elektronik devre öncelikle OrCADPSpice programında simüle edilmiştir. Simülasyon sonucu x, y ve z çıkışlarına ait sinyaller ve xy, xz ve yz için elde edilen faz portre çıktıları sırasıyla Şekil. ve Şekil 7. de görülmektedir..v V.V s ms ms ms ms ms ms 7ms ms 9ms ms V() V() V() Time.V V.V s ms ms ms ms ms ms 7ms ms 9ms ms V() Time.V V.V s ms ms ms ms ms ms 7ms ms 9ms ms V() Time.V V.V s ms ms ms ms ms ms 7ms ms 9ms ms V() Time Şekil. Lü Chen osilatörünün PSpice simülasyonundan elde edilen xyz sinyalleri

10 İ. PEHLİVAN et al./ ISITES Alanya/Antalya Turkey.V.V.V V.V.V.V V() V.V V.V V().V V.V.V.V V() V().V.V.V V.V V().V V.V.V.V V() Şekil 7. Lü Chen osilatörünün PSpice simülasyonundan elde edilen xy, xz, yz kaotik sinyalleri.. Gerçek Ortam Uygulaması Modellenen Lü Chen osilatörüne ait Şekil deki elektronik devrenin, OrCADPSpice programında simüle edilmesinden sonra gerçek ortamdaki elektronik devresi kurulmuştur. Gerçek ortam uygulaması sonucunda osilaskop ekranında elde edilen xy, xz ve yz faz portrelerine ait çıktılar Şekil.. da görülmektedir. Şekil. xy faz portresi: CH() Volts/Div: V, CH() Volts/Div: V

11 İ. PEHLİVAN et al./ ISITES Alanya/Antalya Turkey Şekil 9. xz faz portresi: CH() Volts/Div: V, CH() Volts/Div: V Şekil. yz faz portresi: CH() Volts/Div:.V, CH() Volts/Div: V. Sonuçlar Özellikle fizik, matematik, elektrikelektronik alanlarında çalışan bilim insanları, mühendisler ve araştırmacılar, karmaşık ve farklı dinamik davranışlar içeren yeni kaotik sistemleri araştırırken, bu denklemlerin modellenmesine ve elektronik devrelerinin kurulmasına ihtiyaç duyabilmektedirler. Bazı kaotik sistemlerin elektronik devrelerinin fiziksel olarak gerçeklenmesi nisbeten daha zor ve karmaşık olabilmektedir. Örneğin kaotik sistemlerin elektronik devre simülasyonlarında, çıkış genlik değerleri problem teşkil etmemekte, fakat gerçek devre uygulamalarında durum değişkenlerinin alabileceği değerlerin kullanılan opamp veya benzeri işlemsel elemanın besleme voltaj değerlerini (V, V gibi) aşmaması gerekmektedir. Bu çalışmada, diferansiyel denklemler üzerinde skala işlemi gereken bu tip sistemlere örnek olması açısından, sarmallı LuChen kaotik sistemi skala edilmiş, elektronik devre simülasyonları ve fiziksel devre gerçeklemeleri yapılarak sonuçları karşılaştırılmıştır. sarmallı skala edilmiş LuChen kaotik sistemine ait karşılaştırmalı simülayon ve osilaskop çıktıları, başarılı bir skala işleminin ve elektronik devre tasarımın yapıldığını göstermektedir.

12 İ. PEHLİVAN et al./ ISITES Alanya/Antalya Turkey Kaynaklar [] Lorenz, EN., Deterministic Nonperiodic Flow, J. Atmos. Sci., :, 9. [] Rössler, OE., An equation for continuous chaos, Phys. Lett. A, 7():979, 97. [] Lakshmanan, M. and Murali, K., Chaos in Nonlinear Oscillators, Controlling and Synchronization, World Scientific, 99. [] Chua, LO., Wu, C.W., Huang, A. and hong, G., A Universal Circuit for Studying and Generating ChaosPart I: Routes to Chaos, IEEE Trans. Circuits&SystemsI, :77, 99. [] Cascais, J., Dialo, N.and Costa, AN., Chaos and Reverse Bifurcation in a RCL Circuit, Physics Letters, 9A:, 9. [] Nakagawa, S. and Saito, T., An RC OTA Hysteresis Chaos Generator, IEEE Trans. Circuits&SystemsI, :9, 99. [7] Tamasevicius, A., Namajunas, A. And Cenys, A., Simple D Chaotic Oscillator Electronic Letters, :979,99 [] Ogorzalek, MJ., Order and Chaos in a Third Order RC Ladder Network with Nonlinear Feedback, IEEE Trans. Circuits&Systems, CA:, 99. [9] Matsumoto, T.,Chua, LO. and Tanama, S., Simplest Chaotic Nonautonomous Circuit, Physical Rev. A, :7, 9. [] Kawakami, H., Bifurcation of Periodic Responses in Forced Dynamic Nonlinear Circuits: Computation of Bifurcation Values of the System Parameters, IEEE Trans. Circuits&Systems., CAS:, 9. [] Saito, T., Chaotic Phenomena in a Coupled Oscillators, European Conf. on Circuit Theory and Design, 7,97. [] Hamill, DC. and Jeffries, DJ., Subhormonics and Chaos in a Controlled SwitchMode Power Converters, IEEE Trans. Circuits&Systems, CAS:9, 9. [] Poddar, G., Chakrabarty, K. and Banerjee S., Control of Chaos in the Boost Converter, Electronics Letters, :, 99. [] TSE, CK., Flip Bifurcation and Chaos in ThreeState Boost Switching Regulators, IEEE Trans. Circuits&SystemsI, :, 99. [] Deschamps DD., Some Chaotic Consequences of Quantization in Digital Filters and Digital Systems, ISCAS '9 International Conference on Circuits and Systems,, 99. [] Chua, LO. and Lin, T., Chaos and Fractals from ThirdOrder Digital Filters, Int. J. of Circuit Theory and Appl, :., 99. [7] Chua, LO. and Lin, T., Fractal Pattern of SecondOrder Nonlinear Digital Filters:A Symbolic Analysis, Int. Journl. of Circuit Theory and Appl., :, 99. [] Li C., Pehlivan I., Sprott J.C. and Akgul A, A novel fourwing strange attractor born in bistablity, IEICE Electronics Express, ():,. [9] Akgul A., Moroz I., Pehlivan I. and Sundarapandian V., A new fourscroll chaotic attractor and its engineering applications, International Journal for Light and Electron Optics, 7(): 999,.

13 İ. PEHLİVAN et al./ ISITES Alanya/Antalya Turkey [] Akgul A., Shafqat H. and Pehlivan I., A new threedimensional chaotic system, its dynamical analysis and electronic circuit applications, International Journal for Light and Electron Optics (OPTIK), 7():7 77,. [] Akgul A. and Pehlivan I, A New ThreeDımensional Chaotic System without equilibrium Points, Its Dynamical Analyses And Electronic Cırcuıt Applicatıon, Technical Gazette, (): 9,. [] Sundarapandian V. and Pehlivan I., Analysis, control, synchronization and circuit design of a novel chaotic system, Mathematical and Computer Modelling, (7):9 9,. [] Pehlivan I., Moroz I. and Sundarapandian V., Analysis, synchronization and circuit design of a novel butterfly attractor, Journal of Sound and Vibration, (): 779,. [] I.Pehlivan., Fourscroll stellate new chaotic system, Optoelectronics and Advanced Materials Rapid Communications, (9):,. [] Li C. Pehlivan I. and Sprott J.C., Amplitudephase control of a novel chaotic attractor, Turkish Journal of Electrical Engineering and Computer Sciences, :,. [] Kacar S., Analog Circuit and Microcontroller Based RNG Application of a New Easy Realizable D Chaotic System, Optik International Journal for Light and Electron Optics, [7] Chen G. and Lu J., Dynamical Analysis, Control and Synchronization of the Generalized Lorenz Systems Family, (in Chinese) Science Press, Beijing,. [] Pehlivan I., eni Kaotik Sistemler: Elektronik Devre Gerçeklemeleri, Senkronizasyon ve Güvenli Haberleşme Uygulamaları, Sakarya Üniv. Doktora Tezi, 7. [9] Cuomo KM. and Oppenheım AV., Circuit Implementation of Synchronized Chaos with applications to Communication, Phys. Rev. Lett., 7:, 99. [] Charlesworth AS. and Fletcher JR., Systematic Analogue Computer Programming, nd edition, Unwin Brothers Limited, 97.