ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Transkript

1 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ TABAKALI KOMPOZİT İNCE PLAKLARIN PLAK DÜZLEMİNE DİK YÜKLEME ETKİSİ ALTINDAKİ EĞİLME ANALİZİ İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI ADANA, 7

2 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TABAKALI KOMPOZİT İNCE PLAKLARIN PLAK DÜZLEMİNE DİK YÜKLEME ETKİSİ ALTINDAKİ EĞİLME ANALİZİ YÜKSEK LİSANS TEZİ İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI Bu tez 4//7 Tarihinde Aşağıdaki Jüri üyeleri Tarafından Oybirliği/Oyçokluğu İle Kabul Edilmiştir. İmza:... İmza:... İmza:... Doç.Dr. H. Murat ARSLAN Yrd.Doç.Dr. A.Hamza TANRIKULU Doç.Dr. Galip SEÇKİN DANIŞMAN ÜYE ÜYE Bu tez enstitümüz İnşaat Mühendisliği Anabilim Dalında hazırlanmıştır. Kod No: Prof. Dr. Aziz ERTUNÇ Enstitü Müdürü Bu çalışma Çukurova Üniversitesi Bilimsel Araştırma Projeleri Birimi Tarafından Desteklenmiştir. Proje No:MMF.5.YL.33 Not: Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaklardan yapılan bildirişlerin, çizelge, şekil ve fotoğrafların kaynak gösterilmeden kullanımı, 5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki hükümlere tabidir.

3 ÖZ YÜKSEK LİSANS TEZİ TABAKALI KOMPOZİT İNCE PLAKLARIN PLAK DÜZLEMİNE DİK YÜKLEME ETKİSİ ALTINDAKİ EĞİLME ANALİZİ ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI Danışman: Doç.Dr. H. Murat ARSLAN Yıl: 7, Sayfa:93 Jüri :Doç. Dr. H. Murat ARSLAN Yrd. Doç. Dr. A. Hamza TANRIKULU Yrd. Doç. Dr. Galip SEÇKİN Bu çalışmada, tabakalı plakların düşey yükler altında statik analizleri yapılmıştır. Analizlerde simetrik ve antisimetrik tabakalanma durumlarındaki plağın davranışları incelenmiştir. Plak malzemesi izotrop ve ortotrop olarak kabul edilmiştir. Simetrik tabakalanma durumları için plak eğilime rijitlikleri, plağın farklı tabakalanma durumları için ise farklı tabakalanma açıları, farklı elastisite modülleri ve plağın kenar uzunluklarının birbirine oranına göre plak davranışı incelenmiştir. Analizlerde ince plak kabulleri ile ele edilen diferansiyel denklemler, değişkenlerine ayırma yöntemleriyle çözülmüştür. MATHEMATİCA adlı bilgisayar programı yardımıyla, çözüm için bir bilgisayar programı hazırlanıp, sonuçlar sonlu elemanlar yöntemine dayalı çözüm yapan ANSYS paket programı ile elde edilen sonuçlarla karşılaşılmıştır. Anahtar Kelimeler: Statik analiz, Tabakalı plaklar, İnce plak teorisi, Simetrik ve Antisimetrik tabakalanma, Değişkenlerine ayırma yöntemi. I

4 ABSTRACT MSc THESIS BENDING ANALYSIS OF LAMINATED COMPOSITE THIN PLATES UNDER THE EFFECTS OF THE TRANSVERSE LOADING DEPARTMENT OF CIVIL ENGINEERING INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES UNIVERSTY OF CUKUROVA Supervisor : Doç.Dr. H. Murat ARSLAN Year : 7, Pages :93 Jury :Assoc. Dr. H. Murat ARSLAN Asist. Prof. Dr. A. Hamza TANRIKULU Assoc.Prof. Dr. Galip SEÇKİN In this study, the static analysis of laminated plates under vertical loads, is studied. In the analysis, the behaviour of the plate in the cases of symmetric and antisymetric lamination, is investigated. The material of the plate is considered to be isotropic and orthotropic. For symmetric lamination cases, plate bending stiffnesses, behaviour of the plate with different lamination angles and different plate arrangements are investigated while for antisymmetric lamination cases, the plate behaviour is investigated according to the lamination angles, different elasticity moduli ratios and different aspect ratios of the plate. In the analysis the differential equations which are optained employing thin plate assumptions, are solved by the help of the method of separation of variables. Preparing a computer program for the solution by the help of a computer algebra system called MATHEMATICA, the results are compared with the results which are obtained using the commercial computer program ANSYS which carries out solutions based on the finite element method. Key Words: Static analysis, Laminated Plates, Thin Plate Theory, Symmetric and Antisymmetric Lamination, Separation of Variables Method. II

5 TEŞEKKÜR Çalışmalarım boyunca değerli yardım ve katkılarıyla beni yönlendiren ve yöneten Danışman Hocam Doç.Dr. H.Murat ARSLAN a teşekkür ederim. Ayrıca, bu çalışmanın her adımında zamanını ve yardımlarını esirgemeyen Araştırma Görevlisi Sayın Ali DOĞAN a, sabır ve desteklerinden dolayı sevgili aileme ve arkadaşlarıma en içten teşekkürlerimi sunarım. III

6 İÇİNDEKİLER SAYFA ÖZ... I ABSTRACT... II TEŞEKKÜR... III İÇİNDEKİLER... IV ÇİZELGELER DİZİNİ... VII ŞEKİLLER DİZİNİ... IX SEMBOLLER DİZİNİ... XIV.GİRİŞ....ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR MATERYAL VE METOD Kompozit Malzemeler Kompozit Malzemelerin Kullanımı TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Giriş Tanımlamaların İncelenmesi Gerilme Şekil Değiştirme Malzeme Modülleri Şekil Değiştirme Enerjisi Farklı Tip Malzemeler İçin Hook Kanunları Anizotropik Malzeme Monoklinik Malzeme Ortotropik Malzeme Transversely (Enine) İzotropik Malzeme İzotropik Malzeme Ortotropik Malzemelerde Gerilme ve Deformasyonların Esneklik Matrisi İle Olan İlişkisi Klasik Tabaka Teorisi(CLT) Hook Kanunlarının Üç Boyuttan İki Boyuta İndirgenmesi IV

7 4.7. İki Boyutlu Açılı Tabakalar İçin Hook Kanunları Bir Tabakadaki Deplasman, Gerilme ve Şekil Değiştirme Denklemleri Orta Yüzey Eğilme ve Şekil Değiştirmelerine Bağlı Olarak Oluşan Kuvvetler ve Momentler Bazı Özel Tabakalanma Tipleri Simetrik Tabakalanma İzotropik Simetrik Tabakalanma Özel Ortotropik Simetrik Tabakalanma Genel Ortotropik Simetrik Tabakalanma Antisimetrik Tabakalanma Antisimetrik Çapraz-Katlı Tabakalanma Antisimetrik Açılı-Katlı Tabakalanma TABAKALI KOMPOZİT PLAKLARIN EĞİLME ANALİZİ Giriş Tabakalı Kompozit Plakları İdare Eden Denge Denklemleri Basit Mesnetli Dikdörtgen İnce Tabakalı Plakların Analizi Özel Ortotropik Tabakalanma Simetrik Açılı-Katlı Tabakalanma Antisimetrik Çapraz-Katlı Tabakalanma Antisimetrik Açılı-Katlı Tabakalanma SAYISAL UYGULAMALAR Giriş Sayısal Örnekler Simetrik Tabakalanma... 7 Örnek... 7 Örnek Örnek Örnek Antisimetrik Tabakalanma... 3 Örnek Örnek V

8 7. SONUÇLAR VE ÖNERİLER... 8 KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ EKLER EK. Mathematica Programında Hazırlanmış Bilgisayar Programı VI

9 ÇİZELGELER DİZİNİ SAYFA Çizelge 6.. Plak ortası düşey deplasmanların karşılaştırılması... 7 Çizelge 6.. Plak orta noktasındaki gerilme değerlerinin karşılaştırılması... 7 Çizelge 6.3. Plak orta noktasındaki moment değerlerinin karşılaştırılması... 7 Çizelge 6.4. Plak ortası düşey deplasmanların karşılaştırılması Çizelge 6.5. Plak moment değerleri Çizelge 6.6.a. Her bir tabakanın üst ve alt liflerindeki gerilme değerleri Çizelge 6.6.b. Her bir tabakanın üst ve alt liflerindeki gerilme değerleri Çizelge 6.7. Basit mesnetlenmiş simetrik plak için eğilme rijitlikleri (Durum-) Çizelge 6.8. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için farklı iki yöntemle çökme değerlerinin karşılaştırılması (Durum-) Çizelge 6.9. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için farklı iki yöntemle moment değerlerinin karşılaştırılması (Durum-) Çizelge 6.. Basit mesnetlenmiş simetrik plak için eğilme rijitlikleri (Durum-).. 95 Çizelge 6.. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için farklı iki yöntemle çökme değerlerinin karşılaştırılması (Durum-) Çizelge 6.. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için farklı iki yöntemle çökme değerlerinin karşılaştırılması (Durum-) Çizelge 6.3. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemlerinde farklı durumlar için plak eğilme rijitlikleri... 8 Çizelge 6.4. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemlerinde farklı açı durumları ve farklı tabaka kalınlıkları için plak orta noktasındaki çökme değerleri... 9 Çizelge 6.5.Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemlerinde farklı açı durumları ve farklı tabaka kalınlıkları için iki yöntemle moment değerlerinin karşılaştırılması... Çizelge 6.6. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde tabaka sayısına ve a/b oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri... 3 VII

10 Çizelge 6.7. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde tabaka sayısına ve a/b oranına göre moment değerleri Çizelge 6.8. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde tabaka sayısına ve a/b oranına göre B değerleri Çizelge 6.9. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde tabaka sayısına ve E /E oranına göre B değerleri Çizelge 6..a. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri Çizelge 6..b. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri Çizelge 6..c. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri Çizelge 6..a. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak moment değerleri Çizelge 6..b. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak moment değerleri Çizelge 6..c. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak moment değerleri Çizelge 6..Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değerindeki değişime göre plak orta noktasındaki çökme değerleri Çizelge 6.3.Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değerindeki değişime göre plak moment değerleri VIII

11 Çizelge 6.4. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değerindeki değişime göre B6 değerleri Çizelge 6.5. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değerindeki değişime göre B6 değerleri Çizelge 6.6. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre B6 ve B6 değerleri Çizelge 6.7.a. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri Çizelge 6.7.b. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri... 7 Çizelge 6.7.c. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri... 7 Çizelge 6.8.a. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak moment değerleri... 7 Çizelge 6.8.b. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak moment değerleri... 7 Çizelge 6.8.c. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak moment değerleri IX

12 ÇİZELGELER DİZİNİ SAYFA Çizelge 6.. Plak ortası düşey deplasmanların karşılaştırılması... 7 Çizelge 6.. Plak orta noktasındaki gerilme değerlerinin karşılaştırılması... 7 Çizelge 6.3. Plak orta noktasındaki moment değerlerinin karşılaştırılması... 7 Çizelge 6.4. Plak ortası düşey deplasmanların karşılaştırılması Çizelge 6.5. Plak moment değerleri Çizelge 6.6.a. Her bir tabakanın üst ve alt liflerindeki gerilme değerleri Çizelge 6.6.b. Her bir tabakanın üst ve alt liflerindeki gerilme değerleri Çizelge 6.7. Basit mesnetlenmiş simetrik plak için eğilme rijitlikleri (Durum-) Çizelge 6.8. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için farklı iki yöntemle çökme değerlerinin karşılaştırılması (Durum-) Çizelge 6.9. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için farklı iki yöntemle moment değerlerinin karşılaştırılması (Durum-) Çizelge 6.. Basit mesnetlenmiş simetrik plak için eğilme rijitlikleri (Durum-).. 95 Çizelge 6.. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için farklı iki yöntemle çökme değerlerinin karşılaştırılması (Durum-) Çizelge 6.. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için farklı iki yöntemle çökme değerlerinin karşılaştırılması (Durum-) Çizelge 6.3. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemlerinde farklı durumlar için plak eğilme rijitlikleri... 8 Çizelge 6.4. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemlerinde farklı açı durumları ve farklı tabaka kalınlıkları için plak orta noktasındaki çökme değerleri... 9 Çizelge 6.5.Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemlerinde farklı açı durumları ve farklı tabaka kalınlıkları için iki yöntemle moment değerlerinin karşılaştırılması... Çizelge 6.6. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde tabaka sayısına ve a/b oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri... 3 VII

13 Çizelge 6.7. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde tabaka sayısına ve a/b oranına göre moment değerleri Çizelge 6.8. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde tabaka sayısına ve a/b oranına göre B değerleri Çizelge 6.9. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde tabaka sayısına ve E /E oranına göre B değerleri Çizelge 6..a. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri Çizelge 6..b. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri Çizelge 6..c. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri Çizelge 6..a. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak moment değerleri Çizelge 6..b. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak moment değerleri Çizelge 6..c. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak problemlerinde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak moment değerleri Çizelge 6..Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değerindeki değişime göre plak orta noktasındaki çökme değerleri Çizelge 6.3.Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değerindeki değişime göre plak moment değerleri IX

14 Çizelge 6.4. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değerindeki değişime göre B6 değerleri Çizelge 6.5. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değerindeki değişime göre B6 değerleri Çizelge 6.6. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre B6 ve B6 değerleri Çizelge 6.7.a. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri Çizelge 6.7.b. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri... 7 Çizelge 6.7.c. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri... 7 Çizelge 6.8.a. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak moment değerleri... 7 Çizelge 6.8.b. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak moment değerleri... 7 Çizelge 6.8.c. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak moment değerleri IX

15 ŞEKİLLER DİZİNİ SAYFA Şekil 4.. Tabakalı kompozit elemanda fiber ve matris malzemelerin görünümü... 9 Şekil 4.. Normal doğrultuda yüklenmiş izotropik plağın deformasyonu... Şekil 4.3. Normal doğrultuda yüklenmiş sıfır derece açılı fiberlere sahip tek doğrultulu tabakalı plağın deformasyonu... Şekil 4.4. Normal doğrultuda yüklenmiş açılı fiberlere sahip tek doğrultulu tabakalı plağın deformasyonu... 3 Şekil 4.5. Rasgele bir düzlemde çok küçük bir alandaki gerilmeler... 5 Şekil 4.6. y-z düzleminde çok küçük bir alandaki kuvvetler... 6 Şekil 4.7. Sonsuz küçük kübik elemandaki gerilmeler... 7 Şekil 4.8. Çok küçük bir alanda x-y düzleminde normal ve kayma şekil değiştirmeleri... 8 Şekil 4.9. Üç boyutlu bir elemanda kartezyen koordinat sistemi... 3 Şekil 4.. Temel malzeme koordinat sistemi... 3 Şekil 4.. Fiberlerle güçlendirilmiş küçük bir elemandaki gerilmeler... 3 Şekil 4.. σ gerilmesi altındaki bir elemanın deformasyonu Şekil 4.3. τ kayma gerilmesi etkisindeki bir elemanın deformasyonu Şekil 4.4. Kirchoff hipotezine göre plağın eğilmesi Şekil 4.5. Açılı tabakalarda global ve lokal akslar... 4 Şekil 4.6. x-z düzleminde deformasyon Şekil 4.7. Tabaka kalınlığı boyunca gerilme ve şekil değiştirmeler Şekil 4.8. Bir tabakalı elemandaki katmanların koordinat yerleşimi Şekil 4.9. Üç tabakadan oluşan izotropik simetrik tabakalanma Şekil 4.. Üç tabakalı özel ortotropik simetrik tabakalanma Şekil 4.. Üç tabakalı simetrik açılı-katlı tabakalanma Şekil 4.. İki tabakalı antisimetrik çapraz-katlı tabakalanma Şekil 4.3. İki tabakalı antisimetrik açılı-katlı tabakalanma Şekil 5.. dxdydz boyutundaki kübik elemandaki gerilmeler Şekil 5..a. Plak kuvvetleri Şekil 5..b. Plak momentleri Şekil 5.3. Lateral yük altındaki basit mesnetlenmiş dikdörtgen plak X

16 Şekil 6.. Üniform yüklü kare plak... 7 Şekil 6.. x SE ağıyla çözülen, a/h=5 olan çelik plak problemi için düşey deplasman dağılımı... 7 Şekil 6.3. x SE ağıyla çözülen, a/h=5 olan çelik plak problemi için σ x gerilme dağılımı Şekil 6.4. x SE ağıyla çözülen, a/h=5 olan çelik plak problemi için M x moment dağılımı Şekil 6.5. Örnek deki altı farklı tabakalanma durumu Şekil 6.6. Durum- deki σ x gerilmelerinin tabaka kalınlığına bağlı olarak değişimi Şekil 6.7. Durum- deki σ x gerilmelerinin tabaka kalınlığına bağlı olarak değişimi Şekil 6.8. Durum-3 deki σ x gerilmelerinin tabaka kalınlığına bağlı olarak değişimi... 8 Şekil 6.9. Durum-4 deki σ x gerilmelerinin tabaka kalınlığına bağlı olarak değişimi... 8 Şekil 6.. Durum-5 deki σ x gerilmelerinin tabaka kalınlığına bağlı olarak değişimi... 8 Şekil 6.. Durum-6 deki σ x gerilmelerinin tabaka kalınlığına bağlı olarak değişimi... 8 Şekil 6.. Örnek 3 için plak yerleşimi... 8 Şekil 6.3. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plağın eğilme rijitlikleri (Durum-) Şekil 6.4. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için (a/, b/) noktasında plak çökme değerleri (Durum-) Şekil 6.5. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için M x değerlerinin karşılaştırılması (Durum-) Şekil 6.6. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için M y değerlerinin karşılaştırılması (Durum-) Şekil 6.7. Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta o /9 o /9 o / o derecelik fiber açıları için σ x gerilmeleri XI

17 Şekil 6.8. Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 5 o /9 o /9 o /5 o derecelik fiber açıları için σ x gerilmeleri Şekil 6.9. Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 3 o /9 o /9 o /3 o derecelik fiber açıları için σ x gerilmeleri Şekil 6.. Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 45 o /9 o /9 o /45 o derecelik fiber açıları için σ x gerilmeleri Şekil 6.. Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 6 o /9 o /9 o /6 o derecelik fiber açıları için σ x gerilmeleri... 9 Şekil 6.. Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 75 o /9 o /9 o /75 o derecelik fiber açıları için σ x gerilmeleri... 9 Şekil 6.3. Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 9 o /9 o /9 o /9 o derecelik fiber açıları için σ x gerilmeleri... 9 Şekil 6.4. Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta o /9 o /9 o / o derecelik fiber açıları için σ y gerilmeleri... 9 Şekil 6.5. Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 5 o /9 o /9 o /5 o derecelik fiber açıları için σ y gerilmeleri... 9 Şekil 6.6. Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 3 o /9 o /9 o /3 o derecelik fiber açıları için σ y gerilmeleri... 9 Şekil 6.7. Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 45 o /9 o /9 o /45 o derecelik fiber açıları için σ y gerilmeleri Şekil 6.8. Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 6 o /9 o /9 o /6 o derecelik fiber açıları için σ y gerilmeleri Şekil 6.9. Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 75 o /9 o /9 o /75 o derecelik fiber açıları için σ y gerilmeleri Şekil 6.3. Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 9 o /9 o /9 o /9 o derecelik fiber açıları için σ y gerilmeleri Şekil 6.3. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plağın eğilme rijitlikleri (Durum-) Şekil 6.3. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için (a/,b/)noktasında,çökme değerlerinin karşılaştırılması (Durum-). 96 Şekil Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için M x değerlerinin karşılaştırılması (Durum-) XII

18 Şekil Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için M y değerlerinin karşılaştırılması (Durum-) Şekil Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 9 o / o / o /9 o derecelik fiber açıları için σ x gerilmeleri... Şekil Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 9 o /5 o /5 o /9 o derecelik fiber açıları için σ x gerilmeleri... Şekil Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 9 o /3 o /3 o /9 o derecelik fiber açıları için σ x gerilmeleri... Şekil Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 9 o /45 o /45 o /9 o derecelik fiber açıları için σ x gerilmeleri... Şekil Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 9 o /6 o /6 o /9 o derecelik fiber açıları için σ x gerilmeleri... Şekil 6.4. Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 9 o /75 o /75 o /9 o derecelik fiber açıları için σ x gerilmeleri... Şekil 6.4. Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 9 o /9 o /9 o /9 o derecelik fiber açıları için σ x gerilmeleri... 3 Şekil 6.4. Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 9 o / o / o /9 o derecelik fiber açıları için σ y gerilmeleri... 3 Şekil Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 9 o /5 o /5 o /9 o derecelik fiber açıları için σ y gerilmeleri... 4 Şekil Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 9 o /3 o /3 o /9 o derecelik fiber açıları için σ y gerilmeleri... 4 Şekil Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 9 o /45 o /45 o /9 o derecelik fiber açıları için σ y gerilmeleri... 5 Şekil Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 9 o /6 o /6 o /9 o derecelik fiber açıları için σ y gerilmeleri... 5 Şekil Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 9 o /75 o /75 o /9 o derecelik fiber açıları için σ y gerilmeleri... 6 Şekil 6.48.Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 9 o /9 o /9 o /9 o derecelik fiber açıları için σ y gerilmeleri... 6 Şekil Örnek 4 için tabaka dizilimi... 7 XIII

19 Şekil 6.5. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için çökme değerlerinin karşılaştırılması(tabaka kalınlığı.m )... 3 Şekil 6.5. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için çökme değerlerinin karşılaştırılması(tabaka kalınlığı.4m )... 3 Şekil 6.5. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için çökme değerlerinin karşılaştırılması(tabaka kalınlığı.36m )... 4 Şekil Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için çökme değerlerinin karşılaştırılması(tabaka kalınlığı.48m )... 4 Şekil Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için M x değerlerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı.m )... 5 Şekil Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için M y değerlerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı.m )... 5 Şekil Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için M x değerlerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı.4m )... 6 Şekil Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için M y değerlerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı.4m )... 6 Şekil Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için M x değerlerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı.36m )... 7 Şekil Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için M y değerlerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı.36m )... 7 Şekil 6.6. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için M x değerlerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı.48m )... 8 Şekil 6.6. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için M y değerlerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı.48m )... 8 Şekil 6.6. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σ x gerilmelerinin karşılaştırılması (t. k..m)(ansys)... 9 Şekil Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σ x gerilmelerinin karşılaştırılması (t. k..m )(D.A.Y.)... Şekil Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σ x gerilmelerinin karşılaştırılması (t.k..m )(ANSYS-D.A.Y.)... Şekil Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σ x gerilmelerinin karşılaştırılması (t. k..4m ) (ANSYS)... XIV

20 Şekil Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σ x gerilmelerinin karşılaştırılması (t. k..4m ) (D.A.Y.)... 3 Şekil Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σ x gerilmelerinin karşılaştırılması (t. k..4m ) (ANSYS-D.A.Y.)... 4 Şekil Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σ x gerilmelerinin karşılaştırılması (t. k..36m ) (ANSYS)... 5 Şekil Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σ x gerilmelerinin karşılaştırılması (t. k..36m ) (D.A.Y.)... 6 Şekil 6.7. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σ x gerilmelerinin karşılaştırılması (t. k..36m ) (ANSYS-D.A.Y.)... 7 Şekil 6.7. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σ x gerilmelerinin karşılaştırılması (t. k..48m ) (ANSYS)... 8 Şekil 6.7. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σ x gerilmelerinin karşılaştırılması (t. k..48m )(D.A.Y.)... 9 Şekil Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σ x gerilmelerinin karşılaştırılması (t. k..48m ) (ANSYS-D.A.Y.)... 3 Şekil Örnek 5 deki dört tabakalı plak için tabakalanma şekli... 3 Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve a/b oranına göre B değerleri Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve a/b oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (D.A.Y) Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve a/b oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (ANSYS) Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve a/b oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (ANSYS-D.A.Y) Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve a/b oranına göre Mx değerleri (D.A.Y) Şekil 6.8. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve a/b oranına göre Mx değerleri (ANSYS)... 4 XV

21 Şekil 6.8. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve a/b oranına göre Mx değerleri (ANSYS-D.A.Y). 4 Şekil 6.8. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre B değerleri Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (D.A.Y) Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (ANSYS)... 5 Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (ANSYS-D.A.Y)... 5 Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre Mx değerleri (D.A.Y)... 5 Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre Mx değerleri (ANSYS) Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre Mx değerleri (ANSYS-D.A.Y)54 Şekil Örnek 6 daki dört tabakalı plak için tabakalanma şekli Şekil 6.9. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değişimine göre B6 değerleri Şekil 6.9. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değişimine göre B6 değerleri Şekil 6.9. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değişimine göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (D.A.Y)... 6 Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değişimine göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (ANSYS)... 6 XVI

22 Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değişimine göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (D.A.Y-ANSYS) Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değişimine göre Mx değerleri (D.A.Y) Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değişimine göre Mx değerleri (ANSYS) Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değişimine göre Mx değerleri (D.A.Y-ANSYS)66 Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre B6-B6 değerleri Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (D.A.Y) Şekil 6.. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (ANSYS) Şekil 6.. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (ANSYS-D.A.Y) Şekil 6.. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre Mx değerleri (D.A.Y) Şekil 6.3. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre Mx değerleri (ANSYS) Şekil 6.4. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E/E oranına göre Mx değerleri (ANSYS-D.A.Y)79 XVII

23 SEMBOLLER DİZİNİ δ δ σ x σ y σ z : doğrultusundaki normal deformasyon miktarı. : doğrultusundaki normal deformasyon miktarı. : x doğrultusundaki normal gerilme. : y doğrultusundaki normal gerilme. : z doğrultusundaki normal gerilme. τ yx,τ yz,τ zx : Eleman yüzeylerindeki kayma gerilmeleri. εx εy εz u v z γ xy,γ yz,γ zx E υ G W [C] Cij [S] Sij Qij [T] [R] [ ] Q ij [ ] S ij uc uo : x doğrultusundaki normal şekil değiştirme. : y doğrultusundaki normal şekil değiştirme. : z doğrultusundaki normal şekil değiştirme. : x doğrultusundaki deplasman : y doğrultusundaki deplasman : z doğrultusundaki deplasman : Kayma şekil değiştirmeleri : Elastisite sabiti : Poisson oranı : Kayma modülü : Her birim hacimde depolanan şekil değiştirme enerisi : Rijitlik (stiffness) matris : Rijitlik (stiffness) matrisinin elemanları : Esneklik (compliance) matris : Esneklik (compliance) matrisinin elemanları : İndirgenmiş rijitlik katsayıları : Transformasyon matrisi : Reuter matris : Transformasyona uğramış elemanın indirgenmiş rijitlik matrisi : Transformasyona uğramış elemanın indirgenmiş rijitlik matrisi : C noktasının x doğrultusunda yaptığı deplasman : Orta düzlemin,x doğrultusunda yaptığı deplasman XVII

24 v o w o z c β o ε x o ε y o γ xy : Orta düzlemin, y doğrultusunda yaptığı deplasman : Orta düzlemin, z doğrultusunda yaptığı deplasman : Orta düzlemin C noktasına olan uzaklığı : x doğrultusunda orta düzlemdeki tabaka eğimi : Orta düzlemde x doğrultusundaki normal şekil değiştirme : Orta düzlemde y doğrultusundaki normal şekil değiştirme : Orta düzlemdeki x-y kayma şekil değiştirmesi K x,k y,k xy : Orta düzlemdeki eğrilikler a,b : Plak elemanının x ve y doğrultusundaki boyutları t : Her bir tabakanın kalınlığı h : Tabakalı plağın toplam kalınlığı t : Her bir tabakanın kalınlığı h h h n h n- h k- h k N x,n y N xy M x,m y M xy A ij B ij D ij : Birinci tabakanın üst yüzeyi : Birinci tabakanın alt yüzeyi : n. tabakanın alt yüzeyi : n. tabakanın üst yüzeyi : k. tabakanın üst yüzeyi : k. tabakanın alt yüzeyi : Birim uzunluktaki normal kuvvet : Birim uzunluktaki kesme kuvveti : Birim uzunluktaki eğilme momentleri : Birim uzunluktaki burkulma momentleri : Uzama rijitlik matrisi : Eğilme uzama arasındaki bağlanma rijitlik matrisi : Eğilme rijitlik matrisi F x, F y, Fz : Birim hacimdeki ortalama kütlesel kuvvetler P A mn B mn C mn : Birim yük : x doğrultusundaki deplasman fonksiyonunun katsayısı : y doğrultusundaki deplasman fonksiyonunun katsayısı : z doğrultusundaki deplasman fonksiyonunun katsayısı XVIII

25 .GİRİŞ.GİRİŞ Plaklar, kalınlıkları diğer iki boyutuna oranla, çok küçük olan taşıyıcı elemanlardır. Düşey ve yatay yükleri aktararak taşıyıcı sistem elemanları arasındaki sürekliliği sağlamalarından dolayı, önemli bir taşıyıcı sistem elemanı olarak görülmektedirler. İkametgah tipi yapılar genellikle, dikdörtgen veya düzgün geometriye sahip olmaları ve çoğunlukla düzgün yayılı yük etkisi altında kalmalarından dolayı, bu tip yapılarda plakların analizi daha da kolaylaşmaktadır. Belirtilen özelliklere sahip plakların analizi için, literatürde ve yönetmeliklerde problemlerin çözümü için yeterli olabilecek yaklaşık yöntemler verilmiştir. Kalınlığının açıklığına oranı yaklaşık olarak / den küçük olan plaklara ince plaklar denilmektedir. İnce plaklar Kirchoff hipotezinde belirtildiği gibi, plak kalınlığı boyunca kayma deformasyonları ihmal edilerek çözülebilmektedirler. Plak kalınlığının büyük olduğu kalın plak durumunda, Reissner-Mindlin hipotezi veya yüksek dereceden kayma deformasyonları dağılımı teorileri yardımıyla çözüm yapılabilmektedir. Bunlara ek olarak, literatürde kayma deformasyonlarını dikkate alan çok sayıda teori de bulunmaktadır. Bazı özel durumlarda plakların bazı özelliklerinin iyileştirilmesi istenir. Bu iyileştirmeler ile istenilen özelliklere sahip plakların elde edilmesi sağlanır. Örneğin tabakalı kompozit plaklarda olduğu gibi zayıf ve güçlü malzemelerin belirli ölçülerde biraraya getirilmesi ile veya tabaka açılarının değişimi ile bu iyileştirmeler sağlanabilir. Tabakalı kompozit plaklar çok çeşitli tabaka dizilimlerine sahip olabilmektedirler ve bu tabaka dizilimlerine bağlı olarak farklı tabaka rijitlikleri gösterirler. Bu tabaka rijitliklerinin iyi anlaşılması ile, istenilen amaca en uygun tabakalanma çeşidine ulaşmak mümkün olur. Plakların analizinde analitik karmaşıklıklardan dolayı bazı sınırlandırmalar ve varsayımlar yapılarak yaklaşık yöntemler uygulanabilmektedir. Tabakalandırılmış plak teorisinin temellendirildiği bazı sınırlamalar ve varsayımlar da bulunmaktadır. Sınırlamalar, dayandığı teorinin kullanımı üzerindeki sınırlamalardır ki bunlar giderilebilir veya giderilemez. Örneğin kare plaklar için kullanılan bir teori dairesel

26 .GİRİŞ plaklara uymaz. Varsayımlar ise, belirsizlik türündeki teoriler üzerindeki sınırlamalardır. Örneğin, bir plağın yüzeyine dik olan gerilmelerin genel olarak sıfır olarak kabul edilebilmesi için boyutunun yeterince küçük olduğu varsayılır veya değerinin sıfır olduğu farzedilir. Yinede daha doğru bir teoriye başvurmadıkça, kesin olarak gerilmelerin ne kadar küçük olduğu bilinemez. Özetle sınırlamalar ve varsayımlar arasındaki fark şudur ki, sınırlamalar bilineni varsayımlar bilinmeyenleri içerirler (Jones, 975). Plaklar her zaman geometri ve yükleme açısından elverişli özelliklere sahip olmayabilirler ve bu tip özelliklere sahip plakların analizi için yaklaşık yöntemler yeterli olamayabilir. Bundan dolayı, geniş işlem hacmine sahip olan ancak bilgisayar desteğiyle bu sorunu aşan Sonlu Farklar, Sınır Eleman ve Sonlu Elemanlar Yöntemi gibi bazı sayısal yöntemler kullanılmaktadır. Bu yöntemlerden Sonlu Elemanlar Yöntemi, sistematik olması, her türlü yapıya kolaylıkla uygulanabilmesi ve programlamaya elverişli olmasından dolayı yaygın olarak kullanılmaktadır. Sonlu elemanlar yönteminde, analizi yapılan plağın geometrisine ve istenilen hassasiyetine göre plağa sonlu eleman ağı uygulanmaktadır.

27 .ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR.ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Plak analizi ile ilgili çalışmalar ilk olarak 8 lü yıllarda yapılmıştır. Bu çalışmalar sonucunda Kirchoff Hipotezi ne dayalı klasik plak teorisi geliştirilmiş olup çözüm yöntemlerinin geliştirilmesi Galerkin ile başlamıştır. Kirchoff Hipotezi ince plak üzerine yapılan çalışmalara temel teşkil etmiştir. Bu hipoteze göre plak orta düzleminin şekil değiştirmediği ve herhangi bir noktanın düşey deplasmanının plak kalınlığı yanında çok küçük olduğu kabul edilmektedir. Ayrıca Kirchoff Hipotezi ne göre orta düzleme dik olan normal gerilme σ z, diğer gerilme bileşenleri yanında ihmal edilmekte ve orta düzleme dik düzlemler şekil değiştirmeden sonra yine orta düzleme dik kalmaktadır. Sonraki yıllarda Galerkin (95) ve Timeshenko (94) bu teoriye dayalı olarak plaklar için sayısal ve analitik çözüm yöntemleri geliştirmişlerdir. Ayrıca Ritz Navier ve Levy (98) gibi araştırmacılarda seriler yardımıyla basit kabuller yaparak çözüm yöntemleri geliştirmişlerdir. Daha sonraki çalışmalarda Reissner (975) kayma deformasyonlarını göz önüne alan bir model geliştirmiştir. Reissner birinci mertebe teorisi olarak adlandırılan teoride, kayma deformasyonlarını ilk olarak statik analizle göz önüne almış ve kayma deformasyonlarının plak kesiti boyunca lineer dağıldığını kabul ederek bir basitleştirmede bulunmuştur. Ayrıca Mindlin (95) izotropik ve elastik plakların gerilme dağılımını inceleyen araştırmalar yapmıştır. Reissner-Mindlin Hipotezi olarak bilinen bu teoride kayma deformasyonları lineer olarak kabul edilmektedir. Diğer bir kalın plak teorisi de yüksek dereceli kayma deformasyonu teorisidir. Bu teoride esas olarak kayma deformasyonlarının nonlineer olarak değiştiği kabul edilmektedir. Reddy (984) kayma deformasyonunun parabolik dağılımını göz önüne alarak daha gerçekçi yüksek dereceli bir model kullanılmıştır. Phan (985), Lo (977) gibi araştırmacılar da yüksek dereceli kayma deformasyonunu dikkate alan çeşitli modeller geliştirmişlerdir. Ayrıca Subramanian (993) izotropik plakaların eğilmesi üzerine çalışmalarda bulunmuşlardır. Hassis (998) ise tek bir tabakadan oluşan plaklar için yüksek dereceli bir model önermiştir. 3

28 .ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR Plakların tabakalandırılması son üzerinde sıkça durulan bir konudur. Farklı tipte malzemelerle yüksek mukavemetli, hafif ve bir çok amaca yönelik tabakaların oluşturulması için yapılan bu model üzerinde Suresh ve arkadaşları (979) her bir düğümde beş serbestlik derecesine sahip süperparametrik kuadratik tabakalı plak elemanı üzerinde gerilme-şekil değiştirme ilişkisini araştırmışlardır. Hou ve Jerominidis () ise tabakalar arası kopma dayanımlarını inceleyen bir araştırma yapmışlardır. Ayrıca Reddy (989) tabakalı kompozit plakların sınır şartları, burulma yükleri ve tabakalar arasındaki frekans etkileşimleri konusunda çalışmalarda bulunmuştur. Lucking ve arkadaşları (984) ise kompozit plakların boşluklu olması halini dikkate almış ve bu yönde çalışmalarda bulunmuşlardır. İnce plakların eğilmesi, bükülmesi ve titreşimi konusunda da birçok çalışma yapılmıştır. Bunlardan Jones (999) tabakalı plakları değişkenlerine ayırma yöntemiyle ele almış ve çeşitli tabaka sayılarına, elastisite modülüne ve tabaka açılarına göre tabaka rijitliklerini incelemiştir. Bütün bu çalışmaların çoğu çeşitli sayısal çözüm yöntemleri kullanılarak yapılmıştır. Bunlar sonlu farklar yöntemi, sınır elemanlar yöntemi ve sonlu elemanlar yöntemidir. Sonlu elemanlar yöntemini kullanan çok amaçlı bir paket program olan ANSYS, ince plakları, kalın plakları ve tabakalı plakları çeşitli tipte elemanlar kullanarak çözmektedir. 4

29 3.MATERYAL VE METOD 3.MATERYAL VE METOD 3.. Kompozit Malzemeler Kompozit malzeme, istenen amaç için tek başlarına uygun olmayan farklı iki veya daha fazla malzemenin istenen özellikleri sağlayacak şekilde belirli şartlar ve oranlarda fiziksel olarak bir araya getirilmesiyle elde edilen malzeme grubudur. Üç boyutlu bu bir araya getirmede amaç, bileşenlerin hiçbirinde tek başına mevcut olmayan bir özelliğin elde edilmesidir. Diğer bir deyişle, amaçlanan doğrultuda bileşenlerinden daha üstün özelliklere sahip bir malzeme üretilmesi hedeflenmektedir. Kompozit malzemeye, Çok Bileşenli Malzeme, Çok Fazlı Malzeme, Donatılı Malzeme ve Pekiştirilmiş Malzeme gibi adlar da verilmektedir. (Ersoy,) Kompozit malzemelerde çekirdek olarak kullanılan bir fiber malzeme ve bu malzemenin çevresinde hacimsel olarak çoğunluğu oluşturan bir matris malzeme bulunmaktadır. Bu iki malzeme grubundan fiber malzeme kompozit malzemenin mukavemet ve yük taşıma özelliğini sağlar, matris malzeme ise fiber malzemeleri yük altında bir arada tutar ve yükü lifler arasında homojen olarak dağıtır. Kompozitlerin özgül ağırlıklarının düşük olması, yüksek mukavemet göstermeleri, kolay şekillendirilebilmeleri, daha az deformasyona uğramaları ve daha fazla yük taşıyabilmeleri kullanım alanları için büyük bir avantaj sağlamaktadır. Bunun yanında, kompozit malzemelerin üretiminde şu özelliklerin geliştirilmesi hedeflenir. Mekanik dayanım, korozyona karşı direnç, rijitlik, ağırlık, yüksek sıcaklığa dayanım göstermek, ısı iletkenliği, kırılma tokluğu, ses tutuculuğu ve görünüm. Bu özelliklerin birisi veya birkaçı geliştirilirken, kompozit malzemenin zayıf yönleri iyileştirilir. Bu iyileştirme kompoziti oluşturan matris ve fiber elemanların analizi ile mümkündür Kompozit malzemelerin tanımından da anlaşıldığı üzere, kompozit malzemelerde genellikle şu dört koşul aranmaktadır : ) İnsan yapısı olması, dolayısıyla doğal bir malzeme olmaması. ) Farklı malzemelerin üç boyutlu olarak biraraya getirilmiş olması. 5

30 3.MATERYAL VE METOD 3) Bileşenlerinin hiçbirinin tek başına sahip olmadığı özellikleri taşıması, dolayısıyla bu amaçla üretilmiş olması. 4) Kompozit malzemeleri oluşturan fiber ve matris malzemelerin bir bütün olarak davranması. Kompozitler aşağıdaki şekilde gruplandırılabilir. ) Tanelerle Donatılı Kompozit Malzeme: Kompoziti oluşturan matris malzeme içerisinde milimetrik düzeydeki tanelerin yer almasıyla meydana gelen kompozit türüdür. Bu türe beton örnek olarak gösterilebilir. ) Liflerle Donatılı Kompozit Malzeme: Çekme ve eğilme dayanımları istenen düzeyde olmayan zayıf malzemelerin zayıf olan yönlerinin iyileştirilmesi amacıyla liflerle donatılması ile elde edilen bir kompozit türüdür. 3) Tabakalı Kompozit Malzeme: En az iki adet farklı fazın, tabakalı bir şekilde kompozitin yapısında yer almasıyla meydana gelir. Bu fazlardan birisi kompozite özelliğini kazandıran sürekli faz, diğeri ise tabakaları bir arada tutan bağlayıcı fazdır. 6

31 3.MATERYAL VE METOD 3.. Kompozit Malzemelerin Kullanımı Kompozit malzemenin bilinen en eski ve en geniş kullanılan alanı inşaat sektörüdür. Saman ile liflendirilmiş çamurdan yapılan duvarlar ilk kompozit malzeme örneklerindendir. Bugün taş, kum, kireç, demir ve çimento ile oluşturulan kompozit malzeme evlerimizi oluşturmaktadır. Günümüzde kompozit malzemelerin kullanım alanı çok geniş boyutlara ulaşmıştır. Başlıca kullanım alanları şu şekilde sıralanabilir: Şehircilik : Bu alanda kompozitler toplu konut yapımında, çevre güzelleştirme çalışmalarında (heykel, banklar, elektrik direkleri v.s.) kullanılmaktadır. Ev Aletleri : Masa, sandalye, televizyon kabinleri, saç kurutma makinesi gibi çok kullanılan ev aletlerinde ve dekoratif ev eşyalarında kompozit malzemeler kullanılmaktadır. Elektrik ve Elektronik Sanayi : Kompozitler başta elektriksel izolasyon olmak üzere her tür elektrik ve elektronik malzemenin yapımında kullanılmaktadır. Otomotiv Sanayi : Bu alanda kompozitlerden oluşan başlıca ürünler; otomobil kaportası parçaları, iç donanımı, bazı motor parçaları, tamponlar ve oto lastikleridir. Havacılık Sanayi : Havacılık sanayisinde kompozitler, gün geçtikçe daha geniş bir uygulama alanına sahip olmaktadır. Planör gövdesi, uçak modelleri, uçak gövde ve iç dekorasyonu, helikopter parçaları ve uzay araçlarında başarıyla kullanılmaktadır. İş Makinaları : İş makinaları kapakları ve çalışma kabinleri yapımında da kompozit malzeme kullanılmaktadır. İnşaat Sektörü : Cephe korumaları, tatil evleri, büfeler, otobüs durakları, soğuk hava depoları, inşaat kalıpları birer kompozit malzeme uygulamalarıdır. 7

32 3.MATERYAL VE METOD Bu çalışmada, tabakalı kompozit plakların farklı tabakalaşma şekillerine göre tabaka rijitliklerinde ve tabaka iç kuvvetlerinde meydana gelen değişim incelenmiştir. Bu değişimin bilinmesi, tabakalanma davranışının anlaşılması için gereklidir. Bu öncelikle farklı tipteki malzemeler için tabakalı kompozitlerin rijitlik ve esneklik matrisleri Hooke denklemleri yardımıyla elde edilmiş, daha sonra ortotropik malzemeler için genel denklemler matris formunda yazılmıştır. Tek tabakalı plaklar için oluşturulan rijitlik ve esneklik matrisleri önce açılı tek tabakalı plaklara uygulanmış ve daha sonra çok tabakalı plaklar için geliştirilmiştir. Plaklar için denge denklemleri yazılarak, çeşitli sınırlandırmalar ve varsayımlar (Kirchoff) ile tabakalı plaklar için dördüncü dereceden diferansiyel denge denklemleri elde edilmiştir. Bu çalışmada kullanılan yöntem, değişkenlerine ayırma yöntemidir. Bu yöntemde plak koordinatı x ve y değişkenlerine ayrılmaktadır. Ayrıca yük ve deplasman fonksiyonları da x ve y değişkenlerine bağlı olarak yazılabilmektedir. Plak için düzgün yayılı yükleme tipi seçilmiş ve Navier (84) çözümü ile değişkenlerine ayrılan yük fonksiyonu çözüm için basit bir hale dönüştürülmüştür. Elde edilen diferansiyel denklemler basit mesnetli durum için sınır şartlarına maruz bırakılmış ve sınır şartlarını sağlayan u, v ve w deplasman fonksiyonları değişkenlerine ayırma yöntemiyle elde edilmiştir. Bu deplasman fonksiyonları diferansiyel denklemde yerine konularak çözüme ulaşılmıştır. Bu çalışmada, mühendislik uygulamalarında yaygın olarak kullanılan ANSYS paket programı ile sonlu elemanlar yöntemini kullanıp çeşitli modellerin analizi yapılmaktadır. Ayrıca, tabakalanma teorisi yardımıyla çeşitli sınırlandırmalar ve varsayımlar ile basite indirgenen problemlerin çözümü için denge denklemleri kullanılarak Matematica adlı paket programın yardımıyla, bir bilgisayar programı hazırlanmıştır. Çalışma sonunda, Matematica adlı paket programın yardımıyla hazırlanan bilgisayar programı ve literatürde mevcut olan ANSYS paket programı ile çözülen örneklerin sonuçları tablo ve grafiklerle sunulmuş ve karşılaştırmalar yapılmıştır. 8

33 4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ 4.. Giriş Yapılar genellikle tek tabakalı bloklardan meydana gelir, bundan dolayı, bu tek tabakalı yapıların mekanik analizini anlamak, çok tabakalılardan önce gelir. Tek bir kompozit tabaka bile homojen ve izotrop değildir. Çünkü tabaka, homojenizotrop fiber elemanlarla homojen-izotrop matris elemanların birleşmesiyle meydana gelmesine rağmen, tabaka rijitlikleri, noktanın fiberlerde, matris de veya fiber-matris arasındaki bir bölgede olup olmamasına göre noktadan noktaya çeşitlilik gösterir. Bu durum çok karışık mekanik tabaka modellerinin oluşmasına neden olur. Bu sebeple tabakaların makromekanik analizinde tabakaların homojen olduğu kabul edilerek, ortalama malzeme özellikleri temel alınır. (Şekil. 4.) Fiber malzeme Matris malzeme Şekil 4.. Tabakalı kompozit elemanda fiber ve matris malzemelerin görünümü 9

34 4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ İnce tabakaların homojenleştirilmesiyle bile, tabakaların mekanik davranışı hala izotop homojen malzemelerinkinden farklıdır. Örneğin; eni ve boyu w ve kalınlığı t olan küçük bir parçayı göz önüne alalım. Bu parçayı Durum-A ve Durum-B olarak inceleyelim. w w t t Durum-A w Durum-B w w w Deformasyona uğramamış hal Deformasyona uğramamış hal W+ δ B P W+ δ A P P W+ δ A W+ δ B Deformasyona uğramış hal P Deformasyona uğramış hal Şekil 4.. Normal doğrultuda yüklenmiş izotropik plağın deformasyonu (Kaw, 997)

35 4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Durum-A Kare plağı doğrultusunda normal tekil P yüküne maruz bırakalım. ve doğrultusundaki normal deformasyon miktarları, sırasıyla δ A ve δ A dır. Durum-B Durum-A daki gibi benzer normal P yükünü tatbik edelim, fakat şimdi doğrultusu yönünde olsun. ve doğrultusundaki normal deformasyon miktarları sırasıyla, δ B ve δ B dır. Bu iki durumdan; δ = (4..a) A δb δ A = δ B (4..b) sonucuna ulaşırız. Bununla birlikte şekil 4.3 de, kalınlığı t olan kompozit bir tabakayı göz önüne alalım. Burada da tabaka içerisinde (w, w, t) ölçülerine sahip tek doğrultudaki bir kare plağı inceleyelim. Bu durumda δa δ B (4..a) δa δ B (4..b) Bunun nedeni, tek doğrultulu tabakalarda, fiberlerin doğrultusundaki rijitliklerin daha büyük olmasıdır. Sonuç olarak, tek doğrultulu tabakanın mekanik karakteri, izotropik tabaka için ihtiyaç duyulan parametrelerden daha fazla parametre gerektirir.

36 4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ w t t Durum-A w Durum-B w w w Deformasyona uğramamış hal Deformasyona uğramamış hal W+ δ B P W+ δ A P P W+ δ B W+ δ A Deformasyona uğramış hal P Deformasyona uğramış hal Şekil 4.3. Normal doğrultuda yüklenmiş sıfır derece açılı fiberlere sahip tek doğrultulu tabakalı plağın deformasyonu (Kaw, 997)

37 4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Şekil 4.4 de görüldüğü gibi, plak farklı açılarda fiberlere sahip olabilir. Bu durumda farklı açılar için, farklı deformasyonlar meydana gelecektir. Gerçekte kare plak, normal doğrultuda deformasyonlara sahip olduğu gibi farklı doğrultuda deformasyonlara da sahiptir ve şekli bozulmuştur. Tüm bu sebeplerden dolayı, açılı tabakaların mekanik karakteri çok daha karmaşıktır. w t t Fiberler w w Deformasyona uğramamış hal P P Deformasyona uğramış hal Şekil 4.4. Normal doğrultuda yüklenmiş açılı fiberlere sahip tek doğrultulu plağın deformasyonu (Kaw, 997) 3

38 4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ 4.. Tanımlamaların incelenmesi 4... Gerilme Gerilme, birim alana düşen yükün yoğunluğu olarak tanımlanır. Mekanik yapılar, kütlesel kuvvetler ve yüzey kuvvetleri gibi kütle üzerinde hareket halinde bulunan dış kuvvetleri alırlar. Bu kuvvetler, kütle içinde iç kuvvetlere dönüşür. Kütle içinde bulunan tüm noktalardaki iç kuvvetlerin bilinmesi gerekir. Çünkü bu kuvvetlerin değeri, yapıda kullanılan malzemelerin mukavemetlerinden daha düşük olmak zorundadır. Şekil 4.5 de çeşitli yükler altında dengede bulunan kütle görülmektedir. Bu kütlenin herhangi bir kesitinde, ΔA alanı üzerinde bulunan bir ΔP kuvveti düşünelim bu kuvvet vektörü yüzeye normal, ΔP n ve yüzeye paralel ΔP s elemanlarına sahip olsun. Gerilmenin tanımından; σ n = lim A P A (4.3.a) τ s Pn = lim A A (4.3.b) değerleri elde edilir. Bu elemanın yüzeyine normal doğrultuda etkiyen gerilmeye σ n normal gerilme ve yüzeye paralel olarak etkiyen gerilmeye τ s kayma gerilmesi denir. Aynı noktadan farklı bir kesit alırsak, gerilmeler değişmeden kalır, fakat gerilmenin iki bileşeni değişir. Bununla birlikte gerilmeyi tam olarak tanımlayabilmek için herhangi bir noktada üç boyutlu kartezyen koordinat sistemine ihtiyaç duyulur. Sağ el kuralı ile üç boyutlu x-y-z koordinat sistemi oluşturularak Şekil 4.6 da görülen eleman üzerinde y-z düzlemine paralel bir kesit alınır. Kuvvet vektörü ΔP, ΔA üzerinde bulunmaktadır. Kesitte görüldüğü gibi ΔP x bileşeni yüzeye normal doğrultudadır. Kuvvet vektörü ΔP s ise yüzeye paraleldir. Ayrıca ΔP s, y ve z aksları 4

39 4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ boyunca ΔP y ve ΔP z elemanlarına ayrılırsa, gerilmenin tanımından aşağıdaki ifadeler elde edilir. σ τ τ x xy xz Px = lim A A Py = lim A A Pz = lim A A (4.4.a) (4.4.b) (4.4.c) Rastgele düzlem P P s P n Şekil 4.5. Rasgele bir düzlemde çok küçük bir alandaki gerilmeler (Kaw, 997) Benzer şekilde x-z ve x-y düzlemine paralel kesitler içinde gerilmeler tanımlanabilir. Tüm bu gerilmelerin tanımlanabilmesi için genellikle, sağ el kuralına 5

40 4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ z y x A P z P y P P x Şekil 4.6. y-z düzleminde çok küçük bir alandaki kuvvetler (Kaw, 997) göre oluşturulan koordinat sisteminde sonsuz küçük kübik bir eleman alınır. Bu kübik elemanın herhangi bir yüzündeki gerilmeler bulunarak, bir noktadaki gerilmeler tanımlanır. Şekil 4.7 de görüldüğü gibi eleman üzerindeki herhangi bir noktada dokuz farklı gerilme davranışı bulunmaktadır. Bu gerilmelerin altı tanesi kayma gerilmesidir ve kayma gerilmeleri arasında şu şekilde bir ilişki bulunmaktadır. τ xy = τ yx (4.5.a) τ yz = τ zy (4.5.b) τ zx = τ xz (4.5.c) Yukarıdaki üç ifade sonsuz küçük kübik elemandaki momentlerin dengesinden bulunur. Dolayısıyla geriye altı gerilme kalır. Bunlar kübik yüzeye 6

41 4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ normal doğrultudaki σ xx, σ yy, σ ve kübik yüzeyler boyunca bulunan τ zz xy, τ yz, τzx dir. σ zz τ zy τ zx z τ xz τ xy y τ yx σ xx x σ yy τ yz Şekil 4.7. Sonsuz küçük kübik elemandaki gerilmeler. (Kaw, 997) Normal çekme gerilmesi pozitif ve normal basınç gerilmesi negatiftir. Kayma gerilmesiyle beraber dış normalin yönünün negatif olması veya her ikisinin pozitif olması durumunda kayma gerilmesi pozitif aksi halde kayma gerilmesi negatiftir. 4.. Şekil Değiştirme Dış kuvvetler sebebiyle eleman içerisinde oluşan deformasyonun bilinmesi de bizim için çok önemlidir. Şekil değiştirme açısından deformasyon kütlenin şekil ve boyutunda meydana gelen göreceli değişim olarak tarif edilebilir. Şekil değiştirme genellikle sağ el kuralı ile oluşturulan koordinat sisteminde sonsuz küçük kübik eleman üzerinde tanımlanır.çeşitli yükler altında, sonsuz küçük kübik elemanın kenar uzunluğu değişir, kübün yüzeyinin şeklinde bozulur. Boydaki değişim, kayma şekil değiştirmelerindeki biçim bozulmasına ve normal şekil değiştirmesine tekabül eder. Şekil 4.8 de kübik elemanın ABCD yüzündeki şekil değiştirmeler görülmektedir. Her bir şekil değiştirme ve deplasmanın birbiriyle ilişkisi vardır. Şekildeki AB ve AD kenarları şekil değiştirdikten sonra A`D` ve A B halini alır. 7

42 4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Buradaki deplasmanlar (x,y,z) koordinat sisteminde tanımlanırsa (x,y,z) koordinat sistemindeki bir nokta için; u = u(x,y,z) x doğrultusundaki deplasman v = v(x,y,z) y doğrultusundaki deplasman w = w(x,y,z) z doğrultusundaki deplasman olarak ifade edilir. y D Q x D C C y θ A (x,y) A B θ B P x Şekil 4.8. Çok küçük bir alanda x-y düzleminde normal kayma şekil değiştirmeleri (Kaw, 997) X doğrultusundaki normal şekil değiştirme є xx, AB uzunluğundaki değişimin AB uzunluğuna oranı olarak tanımlanır. ε xx ' ' A B AB = lim A AB (4.6) 8

43 4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ ' ' ' A B = (A P ) + (B P ) A ' ' ' [ x + u(x + x, y) u(x, y) ] + [ v(x + x, y) - v(x, ] ' B ' y) = (4.7.a) AB = x (4.7.b) Denklem (4.7.a) ve (4.7.b) denklem (4.6) da yerine yazılırsa; ε x u(x + x, y) u(x, y) v(x + x, y) v(x, y) = lim + + x x x / ve kısmi türevin tanımını kullanarak ε x u = + x v + x / ε x / u = + x ε x u = (4.8) x u v elde edilir. Çok küçük deplasmanlar için, << ve << dir. x x Benzer şekilde y doğrultusundaki normal şekil değiştirme, ε yy uzunluğundaki değişimin AD uzunluğuna oranı olarak tanımlanır. AD ε yy = lim AD A' D' AD AD (4.9) ( A'Q' ) ( Q' D ' ) A' D' = + 9

44 4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ A' D' [ y + v(x, y + y) v(x, y) ] + [ u(x, y + y) u(x, y ) ] = (4..a) AD = y (4..b) Denklem (4.) denklem (4.9) da yerine yazılırsa; ε y = lim + y v(x, y + y) v(x, y) y u(x, y + y) u(x, y) + y / ve kısmi türevin tanımını kullanarak ε y v = + y u + y / ε y / v = + y ε y v = (4.) y u v elde edilir. Çok küçük deplasmanlar için, << ve << dir. Elemanın y y uzunluğu artarsa, şekil değiştirme pozitif, azalırsa negatiftir. AB ve AD kenarları arasındaki 9 derecelik açının değişimi kayma şekil değiştirmesi γ xy olarak adlandırılır. AB ve AD kenarlarının eğilmesiyle, açısal değişim meydana gelir. Bu kayma şekil değiştirmesi şu şekilde tanımlanır.

45 4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ γ = θ + θ (4.) xy Burada P' B' θ = lim (4.3.a) AB A' P' P' B' = v(x + x, y) v(x, y) (4.3.b) A' P' = u(x + x, y) + x u(x, y) (4.3.c) Q' D' θ = lim (4.4.a) AD A'Q' Q' D' = u(x, y + y) u(x, y) (4.4.b) A' Q' = v(x, y + y) + y v(x, y) (4.4.c) Denklem (4.3) ve (4.4) denklem (4.) de yerine yazılırsa; γ xy lim = x y v(x + x, y) v(x, y) x u(x + x, y) + x u(x, y) x + u(x, y v(x, y + y) u(x, y) y + y) + y v(x, y) y v u γ xy = + (4.5) x y u v Burada da çok küçük deplasmanlar için, << ve << dir. y x

46 4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ AB ve AD kenarları arasındaki açı azaldığı zaman kayma şekil değiştirmesi pozitiftir, aksi takdirde kayma şekil değiştirmesi negatiftir. Normal ve kayma şekil değiştirmelerinin tanımından Şekil4.7 deki sonsuz küçük kübik elemanın şekil ve boy değişimi şu şekilde bulunabilir. v w γ yz = + (4.6.a) z y w u γ zx = + (4.6.b) x z w ε zz = (4.6.c) z 4..3 Malzeme Modülleri Elemanın bir noktasındaki altı adet gerilmenin tümünün tanımlanması için Bölüm 4.. de anlatılan üç denge denklemi yetersiz kalmaktadır. Eleman lineer elastik özellik göstermektedir ve çok küçük deformasyonlara sahiptir. Herhangi bir noktadaki gerilme ve şekil değiştirmeler Hook kanunları olarak adlandırılan altı adet eş zamanlı lineer denklem kuralına bağlıdır. Bir noktada onbeş adet bilinmeyen parametre bulunmaktadır, bunların altısı gerilme, altısı şekil değiştirme ve üçü de deplasmandır. Hook kanunlarındaki altı adet eş zamanlı lineer denklem takımının kombinasyonu, denklem (4.8), (4.), (4.5), (4.6) tarafından verilen altı adet deplasman şekil değiştirme ilişkisi ve üç adet denge denklemi ile onbeş bilinmeyen için onbeş adet denklem elde edilir. Deplasman şekil değiştirme ve denge denklemleri, çözümün tamamlanması için bilinen sınır şartlarına maruz bırakılır. Üç boyutlu gerilme durumunda, lineer izotropik bir malzeme için, Şekil 4.9 da x-y-z ortognal sistemindeki bir noktada, Hook kanunlarıyla elde edilen gerilme- şekil değiştirme ilişkisi matris formunda aşağıdaki gibidir.

47 4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ 3 = xy zx yz z y x τ τ τ σ σ σ E E - E - E - E E - E - E - G G G E xy zx yz z y x ν ν ν ν ν ν γ γ γ ε ε ε (4.7) Şekil 4.9. Üç boyutlu bir elemanda kartezyen koordinat sistemi (Kaw, 997) Denklem (4.7) deki 6x6 boyutundaki matris izotropik malzemenin esneklik (compliance) matrisi [S] olarak adlandırılır. Denklem (4.8) deki 6x6 boyutundaki matris esneklik matrisinin tersidir. Bu matrise ise rijitik (stiffness) matrisi denir. y x z

48 4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ 4 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) = xy zx yz z y x xy zx yz z y x γ γ γ ε ε ε ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν τ τ τ σ σ σ G G G E E E E E E E E E (4.8) Burada υ Poisson oranıdır. Kayma modülü G ise, elastik sabit E ve υ nün bir fonksiyonudur. υ) ( E G + = (4.9) Şekil Değiştirme Enerjisi Enerji, iş yapabilme kapasitesi olarak tanımlanabilir. Çeşitli yükler altında deformasyona uğrayan katı bir elemanda, yüzeysel yükler tarafından yapılan iş, şekil değiştirme enerjisi olarak depolanır. Eleman içerisinde, her birim hacimde depolanan şekil değiştirme enerjisi ( ) zx zx yz yz xy xy z z y y x x τ τ τ σ σ σ W γ γ γ ε ε ε = (4.) olarak tanımlanır.

49 4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ 4.3. Farklı Tip Malzemeler İçin Hooke Kanunları Lineer olarak elastik ve izotropik olmayan genel bir malzeme için gerilmeşekil değiştirme ilişkisi denklem (4.7) ve (4.8) den daha karmaşıktır. Bir kompozit için elastik davrandığı varsayımı genellikle kabul edilebilir, fakat kompozit bir malzemeyi izotrop olarak kabul edemeyiz. Bundan dolayı, bu malzemelerin gerilme ve şekil değiştirme ilişkisi Hook kanununa uyar, fakat gerilme ve şekil değiştirmeye bağlı sabitler sayıca denklem (4.7) ve denklem (4.8) de görüldüğünden daha fazladır. Üç boyutlu bir kütle için, --3 ortognal koordinat sistemindeki en genel gerilme- şekil değiştirme ilişkisi aşağıdaki gibidir. σ σ σ τ τ τ = C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C ε ε ε γ γ γ (4.) Yukarıdaki denklemde 36 adet sabite sahip olan 6x6 boyutundaki [C] matrisi rijitlik (stiffness) matrisi olarak adlandırılır. Deklem (4.) in tersi alınarak, --3 ortognal kartezyen koordinat sisteminde üç boyutlu bir eleman için genel haldeki gerilme-şekil değiştirme ilişkisi aşağıdaki şekilde elde edilir. ε ε ε γ γ γ = S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S σ σ σ τ τ τ (4.) 5

50 4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Malzemenin izotropik olması durumunda yukarıda verilen gerilme-şekil değiştirme ilişkisi denklem (4.7) deki gibidir. Denklem (4.) de verilen esneklik (compliance) matrisinin mühendislik sabitleri, S = E = = S S33 ν S = E = = S3 = S = S3 = S3 S3 S 44 = = S55 = S66 (4.3) G şeklindedir. Ayrıca diger tüm S ij ler sıfırdır. Rijitlik matrisinin [C] simetrik olmasından dolayı denklem (4.) de görülen otuzaltı adet sabit, yirmibir sabite iner. 6 σ = ε i=,...,6 (4.4) i C ij j= j Burada σ ε = (4.5) 4 = τ3;σ5 = τ3;σ6 = τ; 4 = γ3; ε 5 = γ3; ε 6 γ olarak değişken dönüşümü yapılmaktadır. Elemanın her bir birim hacmindeki şekil değiştirme enerjisi denklem (4.) de açıklanmıştı. Yeni notasyona göre denklem (4.) tekrar yazılırsa ; W = 6 σ i i= ε i (4.6) 6

51 4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ halini alır. Denklem (4.4), (4.6) da yerine yazılırsa W = 6 6 C ij i= j= ε ε j i (4.7) olur. Yukarıdaki ifadenin kısmi diferansiyeli alınarak W = C ε ε i j ij (4.8) ve W = C ε ε i j ji (4.9) ifadeleri elde edilir. Denklem (4.8) ve (4.9) dan olur. C ij = C ji (4.3) Sonuçta denklem (4.) deki genel rijitlik matrisinde, yirmibir adet bağımsız elastik sabit bulunmaktadır. Bu sonuca göre, denklem (4.) da görülen esneklik matrisinde de bağımsız elastik sabit olduğu görülür Anizotropik Malzeme Bir noktada yirmibir adet bağımsız elastik sabite sahip olan malzemeye anizotropik malzeme denir. Bu sabitler bir kez özel bir nokta için bulunduğu zaman gerilme-şekil değiştirme ilişkisi o noktada geliştirilebilir. Şurası önemlidir ki eğer malzeme homojen değilse, bu sabitler noktadan noktaya değişiklik gösterebilirler. Malzeme homojen olsa bile (veya öyle oluğu farzedilsin) analitik olarak veya deneysel olarak, bu yirmibir elastik sabiti bulmak gerekir. Birçok doğal ve sentetik 7

52 4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ malzeme, malzeme simetrisine sahiptir, yani elastik nitelikler simetri doğrultularında özdeştir. Bu simetri özelliği 6x6 rijitlik [C] ve 6x6 esneklik [S] matrislerindeki sabitlerin bazılarını ya sıfırlayarak yada birbirleriyle ilşkilendirerek bağımsız elastik sabitlerin sayısını düşürür. Bu durum, elastik simetrinin değişik türleri için Hooke kanunundaki ilişkileri basitleştirir Monoklinik Malzeme Eğer malzemenin, bir tane malzeme simetri düzlemi varsa bu tip malzemelere monoklinik malzeme denir. Simetri düzlemine dik olan doğrultu, temel doğrultu olarak adlandırılır. Bu tip malzemeler 3 adet bağımsız elastik sabite sahiptir. Monoklinik malzemede rijitlik matrisi (4.3) ve esneklik matrisi (4.3) ya indirgenir. C C C3 C6 C C C3 C6 C3 C3 C33 C36 C = (4.3) C44 C45 C 45 C55 C6 C6 C36 C66 S S S3 S6 S S S 3 S 6 S 3 S 3 S 33 S 36 S = (4.3) S 44 S 45 S 45 S 55 S6 S 6 S 36 S Ortotropik Malzeme Eğer malzeme, karşılıklı olarak birbirine dik üç adet malzeme simetri düzlemine sahipse bu tip malzemelere ortotropik malzemeler denir. Bu tip 8

53 4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ malzemeler 9 adet bağımsız elastik sabite sahiptir. Ortotropik malzemeler için rijitlik ve esneklik matrisleri aşagıdaki gibidir. C C C3 C C C3 C3 C3 C33 C = (4.33) C44 C 55 C66 S S S3 S S S33 S3 S3 S33 S = (4.34) S 44 S 55 S Transversely (Enine) İzotropik Malzeme Ortotropik elemanın düzlemlerinin birinde, bir malzeme izotropi düzlemi varsa bu tip malzemelere transversely (enine) izotropik malzemeler denir. Bu tip malzemeler beş adet bağımsız elastik sabite sahip olup rijitlik ve esneklik matrisleri aşağıdaki şekildedir. C C C C C C3 C C3 C C = (4.35) (C C3) C 55 C55 9

54 4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ S S S S S S3 S S3 S S = (4.36) (S S3) S 55 S İzotropik Malzeme Eğer ortotropik bir elemanda bütün yüzeyler özdeşse, bu tip malzemelere izotropik malzemeler denir. İzotropik malzemeler iki adet bağımsız elastik sabite sahiptir. İzotropik malzemeler için rijitlik ve esneklik matrisleri aşağıdaki gibidir. C C C C = C C C C C C (C C ) (C C ) (C C ) (4.37) S S S S = S S S S S S (S S ) (S S ) (S S (4.38) ) 3

55 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ 4.4. Ortotropik Malzemelerde, Gerilme ve Deformasyonların Esneklik Matrisi İle Olan İlişkisi Şekil 4. da --3 ortogonal koordinat sisteminde tanımlı kompozit bir eleman görülmektedir. Bu elemanın fiberlere paralel olan doğrultusuna fiber doğrultusu, fiberlere dik olan ve 3 doğrultularına matris doğrultusu denir. Bu kompozit elemandan, sonsuz küçük kübik bir parça ele alalım. Şekil 4. de sonsuz küçük kübik elemandaki gerilmeler görülmektedir. Kübik eleman, üzerinde bulunan bu gerilmelerden dolayı çeşitli deformasyonlara maruz kalmaktadır. Bu deformasyonları tanımlayabilmek için eleman üzerindeki gerilmeleri ayrı ayrı ele almak gerekmektedir. 3 Matris doğrultusu Matris doğrultusu Tabakalı malzeme Küçük eleman Fiber doğrultusu Şekil 4.. Temel malzeme koordinat sistemi (Hyer, 998) 3

56 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ 3 σ 3 τ 3 τ 3 τ τ 3 τ σ τ 3 σ Şekil 4.. Fiberlerle güçlendirilmiş küçük bir elemandaki gerilmeler (Hyer, 998) Şekil 4..a da görüldüğü gibi sonsuz küçük kübik eleman doğrultusunda σ gerilmesi etkisindedir. Bu durumda denklem (4.) ve (4.34) den ε γ = Sσ = Sσ 3 = ε γ 3 = S3σ 3 = ε γ olduğu görülür. doğrultusundaki deformasyon = σ ε = (4.39) E σ = (4.4) S E = ε Genel olarak Poisson oranı υ ij, i doğrultusunda sadece normal yük uygulandığı zaman, j doğrultusundaki normal şekil değiştirmenin, i doğrultusundaki normal şekil değiştirmeye oranının negatifi olarak tanımlanır. Yani kısaca enine daralmanın boyuna uzamaya oranının negatifidir. 3

57 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ 3 σ σ (a) Genel görünüş σ σ (b) - Düzlemi 3 σ σ (c) -3 Düzlemi 3 (d) -3 Düzlemi Şekil 4.. σ gerilmesi altındaki bir elemanın deformasyonu (Hyer, 998) 33

58 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Poisson oranının tanımından ε S ν = = (4.4) ε S σ ε = νε = ν (4.4) E ε S 3 3 ν 3 = = (4.43) ε S ifadeleri elde edilir. Aynı işlemler ve 3 doğrultuları için de uygulanır. Ayrıca, sonsuz küçük kübik eleman Şekil 4.3 de görüldüğü gibi kayma gerilmelerininde etkisi altındadır. 3 τ π γ (a) Genel görünüş (b) - Düzlemi 3 3 (c) -3 Düzlemi (d) -3 Düzlemi Şekil 4.3. τ kayma gerilmesi etkisindeki bir elemanın deformasyonu (Hyer, 998) 34

59 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Şekil 4.3.a da görüldüğü gibi sonsuz küçük kübik eleman τ kayma gerilmesinin etkisi altındadır. Bu durumda denklem(4.) ve (4.34) den ε = γ = 3 ε = γ = 3 ε 3 = γ = S66τ olduğu görülür. τ γ = (4.44) G τ = (4.45) S G = γ 66 Aynı işlemler diğer yüzeyler için de uygulanır. Burada her malzeme düzleminde bir tane olmak üzere E, E, E 3, elastisite modülleri, her düzlemde iki tane olmak üzere altı adet poisson oranı (υ, υ 3, υ, υ 3, υ 3, υ 3 ) ve her düzlemde üç adet G 3, G 3, G kayma modülü bulunmaktadır. Bunun yanı sıra altı adet poisson oranı Betti-Maxwell teoremine göre birbirinden bağımsız değildir. υ E υ = E (4.46) υ E 3 υ = E 3 3 (4.47) υ E 3 υ = E 3 (4.48) Bu ilişkiler bağımsız mühendislik sabitlerini toplam dokuza indirir. Esneklik ve rijitlik matrislerinde bu sayı aynıdır. 35

60 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ 36 Mühendislik sabitleri açısından esneklik matrisini tekrar yazarsak; [] υ υ υ υ υ υ = G G G E E E E E E E E E S (4.49) elde edilir. Yukarıdaki matris diyagonalin sağına ve soluna göre simetriktir. E S = (4.5.a) E S υ = (4.5.b) E S = (4.5.c) 66 G S = (4.5.d) 3 3 E S υ = (4.5.e)

61 4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ 4.5.Klasik Tabaka Teorisi (CLT) İnce plaklar kalınlığının açıklığına oranı / den küçük olan plaklar olarak tanımlanır. Plak malzemesinin homojen, izotropik(veya burada ortotrop) ve elastik olduğu kabul edilmektedir. Plaklara etkiyen dış yükler, plak yüzeyine dik doğrultuda etkiyen tekil veya yayılı yüklerdir. İnce plaklarda klasik tabaka teorisi olarak bilinen Kirchoff Hipotezi nin temel kabulleri aşağıda verilmektedir. a) Orta düzlemdeki çökme plak kalınlığı yanında çok küçüktür (w<<t) b) Eğilmeden sonrada orta düzlem şekil değiştirmez. c) Başlangıçta orta düzleme dik olan düzlemler eğilmeden sonrada orta düzleme dik kalırlar. m m m m Şekil 4.4. Kirchoff hipotezine göre plağın eğilmesi Buna göre γ xz ve γ yz kayma deformasyonları ihmal edilir.( γ xz =, γ yz= ) d)ε z= dır. e) Orta düzleme dik olan normal gerilme σ z diğer gerilme bileşenleri yanında çok küçüktür ve ihmal edilebilir. 37

62 4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ 4.6. Hook Kanunlarının Üç Boyuttan İki Boyuta İndirgenmesi Kirchoff hipotezi ile ince tabakalar için düşey doğrultudaki deplasmanın sıfır olduğu ve düşey gerilmenin diğer gerilmeler yanında ihmal edilecek kadar küçük olduğu kabul edilir. Bu durumun bir sonucu olarak, 6x6 boyutundaki rijitlik ve esneklik matrisleri 3x3 boyutuna iner. ε ε γ S = S S S σ σ S66 τ (4.5) verir. Denklem (4.5) in tersi, gerilme-şekil değiştirme ilişkisini aşağıdaki şekilde σ σ τ Q = Q Q Q ε ε Q66 γ (4.5) Yukarıdaki denklemde Q ij terimleri indirgenmiş rijitlik katsayıları olarak tanımlanır. İndirgenmiş rijitlik katsayıları ile esneklik kat sayıları arasındaki bağlantı aşağıdaki gibidir. Q S = (4.53.a) SS S Q S = (4.53.b) SS S Q S = (4.53.c) SS S Q 66 = (4.53.d) S 66 38

63 4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Denklem (4.5), denklem (4.53) de yerine yazılırsa, Q E = υυ (4.54.a) Q υ = (4.54.b) υ E υ Q E = (4.54.c) υ υ Q 66 = G (4.54.d) denklemleri elde edilir İki Boyutlu Açılı Tabakalar İçin Hooke Kanunları Tek doğrultulu tabakalarda, enine doğrultudaki düşük mukavemet özellikleri ve düşük rijitlikler sebebiyle, tabakalanma genellikle sadece tek doğrultulu tabakalardan meydana gelmez. Bundan dolayı bazı tabakalar belirli açılarla tabakalanma içerisinde yer alır. Bu durumun bir sonucu olarak açılı tabakalarda gerilme-şekil değiştirme ilişkisinin geliştirilmesi gerekmektedir. Açılı tabakalar için verilen koordinat sistemi Şekil 4.5 de görülmektedir.- koordinat sistemindeki aks, lokal aks veya malzeme aksı olarak adlandırılır. doğrultusu fiberlere paraleldir ve doğrultusu fiberlere diktir. Bazı kaynaklarda doğrultusu longitudinal (boylamasına) doğrultu (L) ve doğrultusu transverse (enlemesine) doğrultu (T) olarak tanımlanır. x-y koordinat sistemi global aks olarak isimlendirilir. İki koordinat sistemi arasında θ açısı bulunmaktadır ve açılı tabakalardaki global ve lokal gerilmeler bu θ tabaka açısına bağlıdır. 39

64 4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ y θ x Şekil 4.5. Açılı tabakalarda global ve lokal akslar (Kaw,997) σ σ τ x y xy = [ T] σ σ τ (4.55) tanımlanır. Burada [T] transformasyon matrisi olarak adlandırılır ve aşağıdaki şekilde c s sc T = s c sc (4.56) sc sc c s [ ] Burada c = cos(θ) (4.57.a) s = sin(θ) (4.57.b) Transformasyon matrisinin tersi, 4

65 4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ 4 [ ] = s c sc sc sc c s sc s c T (4.58) şeklindedir. Denklemden (4.5) de lokal akslardaki gerilme-şekil değiştirme ilişkisi kullanılarak, denklem (4.55) şu şekilde yazılabilir. [ ] [ ] = xy y x γ Q T τ σ σ ε ε (4.59) Global ve lokal şekil değiştirmeler, birbirlerine transformasyon matrisiyle bağlanır. [ ] = T xy y x γ ε ε γ ε ε (4.6) Yukarıdaki denklemi şu şekilde yazabiliriz. [ ][ ][ ] = xy y x R T R γ ε ε γ ε ε (4.6) Burada [R], Reuter matristir ve aşağıdaki şekilde tanımlanır. [ ] = R (4.6)

66 4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Denklem (4.6) (4.59) de yerine koyulursa σ σ τ x y xy = [ T ] [ Q][ R ][ T ][ R ] ε ε γ x y xy (4.63) elde edilir. Denklem (4.63) açık şekilde yazılırsa, σ σ τ x y xy Q = Q Q 6 Q Q Q 6 Q Q Q ε ε γ x y xy (4.64) olur. Burada [ Q ij] transformasyona uğramış elemanın indirgenmiş rijitlik matrisi olarak adlandırılır. [ Q ] matrisinin açık şekli aşağıda görülmektedir. 4 4 Qc + Qs + (Q Q66 )s c Q = + (4.65.a) Q = (Q + Q 4Q )s c + Q (c s ) (4.65.b) Qs + Qc + (Q Q66 )s c Q = + (4.65.c) Q Q = (Q Q Q )c s (Q Q Q )s c (4.65.d) = (Q Q Q )cs (Q Q Q )c s (4.65.e) 4 4 ( Q + Q Q Q ) s c + Q ( s ) Q = + (4.65.f) c Denklem (4.64) ün tersi alınarak, transformasyona uğramış indirgenmiş esneklik matrisi aşağıdaki şekilde elde edilir. 4

67 4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ ε ε γ x y xy S = S S 6 S S S 6 S S S σ σ τ x y xy (4.66) Yukarıdaki [ S ij] matrisinin açık şekli şu şekildedir. 4 4 Sc + Ss + (S S66 )s c S = + (4.67.a) S = (S + S S )s c + S (c s ) (4.67.b) 4 4 Ss + Sc + (S S66 )s c S = + (4.67.c) S = (S S S )c s (S S S )s c (4.67.d) 66 3 S = (S S S )cs (S S S )c s (4.67.e) 66 3 S = (S + S 4S S )s c + S (s c ) (4.67.f) 4 Tek doğrultulu tabakalar için, denklem (4.5) ve (4.5) de görüldüğü gibi normal ve kayma gerilmeleri ile şekil değiştirmeleri arasında bir bağlantı yoktur. Fakat, açılı tabakalarda, denklem (4.64) ile (4.66) da görüldüğü gibi normal ve kayma gerilmeleri ile şekil değiştirmeleri arasında bir bağlantı mevcuttur. Açılı tabakalarda, sadece normal gerilmelerin etkimesi durumunda, kayma şekil değiştirmeleri sıfır değildir ve sadece kayma gerilmeleri etkidiğinde normal şekil değiştirmeleri sıfır değildir. Bu nedenle denklem (4.64) ve (4.66) daki, şekil değiştirme denklemleri ortotropik tabakalar için genel denklemler olarak adlandırılır.(kaw,997) 43

68 4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ 4.8. Bir Tabakadaki Deplasman, Gerilme ve Şekil Değiştirme Denklemleri Bir tabakadaki, herhangi bir noktanın şekil değiştirmesine, Şekil 4.6 da görülen kesitin, deforme olan ve deforme olmayan geometrisine göre karar verilir. Şekil 4.6 daki B noktası orta düzlem üzerindedir ve x doğrultusundaki u o ın B noktasındaki yaptığı deplasmanla, şekli deforme olmamış halden deforme olmuş hale dönüşür. Kirchoff hipotezindeki kabullerden dolayı ABCD şekli tabakanın deformasyonu altında doğrusal olarak kalır. Keyfi olarak seçilen bir C noktasındaki deplasman u c =u o -z c β (4.68) olarak ifade edilir. x,u u o z,w A D y,v z z c A B C D Deforme olmamış hal x D C β B A z c β Deforme olmuş hal w o β Şekil 4.6. x-z düzleminde deformasyon (Jones,999) Kirchoff hipotezinin temelinde, deformasyon altında, ABCD düzlemi orta düzleme dik olarak kalır. Bu nedenle, β, yani x doğrultusunda orta düzlemdeki tabaka eğimi aşağıdaki şekilde ifade edilebilir. 44

69 4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ 45 x w β o = (4.69) Tabaka kalınlığı boyunca herhangi bir z noktasındaki u deplasmanı x w z u u o o = (4.7) olarak yazılır. Benzer şekilde aynı işlemler y doğrultusundaki v deplasmanı için yapılır. y w z v v o o = (4.7) Kirchoff hipotezine göre ε z =γ xz =γ yz = dır.ε x,ε y ve γ xy i ise sıfırdan farklıdır. Şekil değiştirmeler açısından deplasmanlar aşağıdaki şekilde yazılabilir. x u x = ε (4.7.a) y v y = ε (4.7.b) y u x v γ xy + = (4.7.c) Denklem (4.7), ve (4.7), denklem (4.7),(4.73) ve (4.74) de uygulanırsa aşağıdaki ifadeler elde edilir. o o x x w z x u ε = (4.73.a) o o y y w z y v ε = (4.73.b)

70 4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ 46 y x w z x v y u γ o o o xy + = (4.73.c) Birim deformasyonlar matris formunda, (4.74) şeklinde yazılır. Burada orta düzlemdeki şekil değiştirmeler ve eğrilikler + = x v y u y v x u o o o o o o y o x γ xy ε ε (4.75) = y x w y w x w K K K o o xy y x (4.76) olarak yazılabilir Denklem (4.74), denklem (4.64) de yerine konursa, k ıncı tabakadaki gerilmeler, orta düzlemdeki şekil değiştirmeler, tabaka eğilmeleri ve z koordinatı açısından aşağıdaki şekilde belirtilebilir. + = xy y x o xy o y o x xy y x K K K z γ ε ε γ ε ε

71 4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ σ σ τ x y xy k Q = Q Q 6 Q Q Q 6 Q Q Q k ε ε γ o x o y o xy Q + zq Q 6 Q Q Q 6 Q Q Q k K K K x y xy (4.77) Tabaka kalınlığı boyunca, şekil değiştirmeler lineer olmasına rağmen gerilmeler lineer olmak zorunda değildir. Çünkü, transformasyona uğramış indirgenmiş rijitlik matrisi, [ Q ], tabakalanma içerisinde, her bir tabaka için farklı olabilir. Bu durum şekil (4.7) de görülmektedir. Orta düzlem z Tabakalı Şekil değiştirme Gerilme Şekil 4.7. Tabaka kalınlığı boyunca gerilme ve şekil değiştirmeler (Kaw,997) 47

72 4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ 4.9.Orta Yüzey Eğilme ve Şekil Değiştirmelerin Bağlı Olarak Oluşan Kuvvetler ve Momentler Denklem (4.74) deki orta yüzey şekil değiştirmeleri ve eğilmeleri, tabakadaki gerilme ve şekil değiştirmeleri bulmak için gerekli olan bilinmeyenlerdir. Fakat denklem (4.77) bu bilinmeyenlerin ışığında, her bir tabakadaki gerilmeleri verir. Herbir tabakadaki gerilmeler, tabaka kalınlığı sayesinde, kuvvetleri ve momentleri elde etmek için kullanılır. Bu sayede, bir tabakadaki kuvvetler ve momentler bilinirse orta yüzey eğilmeleri ve şekil değiştirmeleri bulunabilir. Şekil (4.8) de gösterilen n adet tabakaya sahip bir plağı göz önüne alalım. Burada her bir tabaka t kalınlığına sahiptir. Tabakalı elamanın kalınlığı ise h dır ve orta yüzey, tabakalının alt veya üst yüzeyinden h/ mesafesindedir. n t k k= h = (4.78) h h 3 h/ h h 3 Orta düzlem h n- h k h k- k- k k+ h/ h n n z Şekil 4.8. Tabakalı bir elemandaki katmanların koordinat yerleşimi 48

73 4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Şekil (4.8) den görüldüğü gibi h h = (. tabakanın üst yüzeyi) h h = + t (. tabakanın alt yüzeyi) h h n = (n.tabakanın alt yüzeyi) h h n = t n (n. tabakanın üst yüzeyi) (4.79) h k h k = + t L (k. tabakanın üst yüzeyi) L= h k h k = + t L (k. tabakanın alt yüzeyi) L= Tabaka kalınlığı boyunca bulunan gerilmelerin integrasyonunun sonucunda tabaka üzerindeki kuvvetler ve momentler elde edilir. h N = σ dz (4.8.a) x x h h N = σ dz (4.8.b) y y h h N = τ dz (4.8.c) xy xy h 49

74 4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ h M = σ zdz (4.8.a) x x h h M = σ zdz (4.8.b) y y h h M = τ zdz (4.8.c) xy xy h Yukarıdaki denklemlerde N x, N y : Birim uzunluktaki normal kuvvetler. N xy : Birim uzunluktaki kesme kuvveti. M x, M y : Birim uzunluktaki eğilme momentleri. M xy : Birim uzunluktaki burulma momentleri. Denklem (4.8) ve (4.8) deki kuvvet ve moment denklemleri matris formunda şu şekilde yazılabilir. N N N x y xy σ h x σ n hk x = σ y dz = σ y h k = hk τ xy τ xy k dz (4.8) x h M M M y xy = σ σ zdz = y y h k = hk τ xy τ xy x n hk σ σ x k zdz (4.83) 5

75 4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ 5 Denklem (4.77) denklem (4.8) ve (4.83) de yerine yazılırsa, orta düzlemdeki eğilme ve şekil değiştirmeler açısından kuvvetler ve momentler aşağıdaki şekilde yazılabilir. k = + = n k h h h h xy y x o xy o y o x k xy y x k k k k zdz K K K dz γ ε ε Q Q Q Q Q Q Q Q Q N N N (4.84) = + = n k h h h h xy y x o xy o y o x k xy y x k k k k dz z K K K zdz γ ε ε Q Q Q Q Q Q Q Q Q M M M (4.85) Bilindiği gibi ( ) = k k h h h k h k dz ( ) = k k h h h k h k zdz ( ) = k hk h h k h k dz z Denklem (4.84) ve (4.85) de bulunan integraller alınarak, kuvvet ve momentler aşağıdaki şekilde yazılabilir. + = xy y x o o y o x xy y x K K K B B B B B B B B B A A A A A A A A A N N N xy γ ε ε (4.86)

76 4.TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ M M M x y xy B = B B 6 B B B 6 B B B ε ε γ o x o y o xy D + D D 6 D D D 6 D D D K K K x y xy (4.87) Burada n ( Qij ) ( h k h k ) k A = (4.88.a) ij k= B ij = (4.88.b) n ( Qij ) ( h h k ) k k k= D ij = (4.88.c) k 3 n 3 3 ( Qij ) ( h h k ) k k = Yukarıdaki ifadelerde [A], uzama rijitlik matrisi, [B] eğilme-uzama arasındaki bağlanma rijitlik matrisi, [D] eğilme rijitlik matrisidir. [B] matrisinin varlığı, eğilme ve uzama arasında bir girişim bulunduğunu göstermektedir, bu yüzden [B] matrisinde yer alan B ij terimleri tabaka üzerinde çekme etkisi yaparak, tabakanın eğilme ve burulmasına neden olur. A 6 ve A 6 terimleri, bir tabakadaki kayma şekil değiştirmesi ile normal gerilme arasında ve normal şekil değiştirme ile kayma gerilmesi arasında varolan bağı gösterir. D 6 ve D 6 ise bir tabakadaki eğilme ile burulma arasındaki bağı göstermektedir. [A], [B] ve [D] matrisleri kompozitlerin çeşitli şartlar altında davranışını anlamamızda bize yardımcı olmaktadırlar. 5

77 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ 4.. Bazı Özel Tabakalanma Tipleri Simetrik veya antisimetrik tabakalanmanın temelinde açı, malzeme ve tabaka kalınlığındaki farklılık yer alır. Buna bağlı olarak [A], [B] ve [D] matrislerinden biri veya birkaçı sıfır olabilir. Bu durum, eğilme momentlerinin, normal ve kesme kuvvetlerinin, eğilme-burulma momentlerinin ve kuvvet çiftlerinin sıfır veya sıfıra çok yakın olması ile sonuçlanabilir. Bu durum, kompozitlerin mekanik analizini basitleştirir Simetrik Tabakalanma Hem malzeme özelliği hem de geometrik özellikleri ile orta düzleme göre simetrik olan tabakalanmaya simetrik tabakalanma denilmektedir.(jones,975) Özellikle ( Q ij ) nın ve tabaka kalınlığının simetrik olması sebebiyle tüm bağlanma k rijitlikleri olan B ij lerin sıfır olduğu görülebilir. Simetrik tabakalarda [B] matrisinin sıfır olmasından dolayı uzama-eğrilik çifti girişimsizdir yani simetrik tabakalarda girişim etkisi yoktur. Bu durum, simetrik tabakaların analizini daha kolay hale getirir. Ayrıca simetrik tabakalar, iyileştirme sürecine müteakip soğutma esnasında, kasılma ve büzülmelere neden olan kaçınılmaz ısı etkisinden dolayı bir bükülme eğilimi göstermezler. Sonuç olarak, özel bir durum nedeniyle antisimetrik tabakaların kullanılması gerekmediği müddetçe, simetrik tabakalar kullanılır İzotropik Simetrik Tabakalanma Çeşitli kalınlıklardaki izotropik tabakalar, hem malzeme özellikleri açısından hemde geometrik açıdan orta düzleme göre simetrik bir şekilde yerleştirilirse, izotropik simetrik tabakalar elde edilir. Tabakalanma uzama-eğrilik arasında bir girişim sergilemez. Simetrik izotropik tabakalanmaya örnek olarak, üç tabakadan oluşan tabakalanma şekli Şekil 4.9 da görülmektedir. 53

78 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ E, ν, t E, ν, t y E, ν, t x Şekil 4.9. Üç tabakadan oluşan izotropik simetrik tabakalanma (Jones, 975) 4... Özel Ortotropik Simetrik Tabakalanma Analitik karmaşıklıklar içermesi sebebiyle denklemlerde bulunan A 6, A 6, D 6 ve D 6 rijitliklerinin olmaması arzu edilir. Tabakalanma, tabaka aksı ile fiber malzeme doğrultusu aynı hizaya gelecek şekilde ortotropik tabakalarla oluşturulabilir. Özel ortotropik tabakalanma, ya özel ortotropik malzemenin tek bir katmanında ya da tabakalı orta yüzey çevresinde simetrik olarak düzenlenmiş özel ortotropik katmanlardan meydana gelmiştir. Tabakaların kalınlıkları, konumu ve malzeme özellikleri, tabakanın orta düzlemine göre simetrikse, uzama ve eğrilik arasında bir girişim mevcut değildir. Üç tabakalı özel ortotropik tabakalanmaya Şekil 4. örnek olarak verilebilir. ( Q 6 ) k ve ( Q 6 ) k nın sıfır olması sebebiyle A 6, A 6, D 6 ve D 6 rijitliklerinin etkisi kaybolur. Ayrıca simetriklikten dolayı B ij ler de sıfırdır. y x Şekil 4.. Üç tabakalı özel ortotropik simetrik tabakalanma 54

79 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ Genel Ortotropik Simetrik Tabakalanma Genel ortotropik simetrik tabakalanma, orta yüzey çevresinde simetrik olarak yerleştirilmiş genel ortotropik katmanlardan meydana gelmiştir. Bu tabakalı eleman, eğilme ve uzama arasında bir ilişki sergilemez, yani B ij ler sıfırdır. Fakat, normal kuvvetler ve kayma şekil değiştirmesi kesme kuvvetleri ve normal şekil değiştirmeler, normal momentler ve burulmalar, burulma momentleri ve eğrilikler arasında bir ilişki bulunduğu için A ij ve D ij ye gereksinim duyulur. Bu simetrik tabakalanmanın özel bir alt sınıfı olan düzenli simetrik açılı-katlı tabakalanmada, her bir tabaka eşit kalınlıktadır ve birbirine bitişik bu ince tabakalar birbirlerine göre zıt işaretlere sahiptir.(şekil 4.) + α - α y x + α Şekil 4.. Üç tabakalı simetrik açılı-katlı tabakalanma 4... Antisimetrik Tabakalanma Orta düzleme göre simetrik olan tabakalarda, uzama-eğrilik arasındaki ilişkiden kaçınılmak istenir. Bunun yanısıra, tabakalı kompozitlerin birçok fiziksel uygulaması, dizayn gereksinimlerini karşılamak için nonsimetrik tabakalanma gerektirir. (Jones,975). Bu durumdan dolayı antisimetrik tabakalanmaya gereksinim duyulur. Eğer tabakalanmadaki, malzemeler ve tabaka kalınlıkları, orta düzlemin aşağısına ve yukarısına göre aynı özelliklere sahip, fakat orta düzlemin aşağısı ve yukarısına göre eşit mesafedeki tabakaların yönlenimi (oryantasyonu), birbirine zıtsa bu tip tabakalanmaya antisimetrik tabakalanma denir. 55

80 4. TABAKALARIN MAKROMEKANİK ANALİZİ 4... Antisimetrik Çapraz-Katlı Tabakalanma Antisimetrik çapraz-katlı bir tabakalanma Şekil 4. de görüldüğü gibi o ve 9 de değişen temel malzeme doğrultusunda uzanan, üst üste konulmuş çift sayıda ortotropik ince tabakalardan meydana gelir. Bu tür tabakalar A 6,A 6,D 6 ve D 6 ya sahip değildir, fakat eğilme ile uzama arasında girişim etkisi mevcuttur. y x Şekil 4.. İki tabakalı antisimetrik çapraz-katlı tabakalanma 4... Antisimetrik Açılı-Katlı Tabakalanma Antisimetrik açılı-katlı bir tabakalanma, orta yüzeyin bir tarafındaki tabakalanmanın koordinat eksenleriyle +α derecesinde açı yönlenimi yapması ve diğer tarafındaki tabakalanmanın koordinat eksenleriyle α derecesinde yönlenim yapmasıyla meydana gelen özdeş eşit kalınlıktaki ince tabakalardan oluşur. (Şekil.4.3) + α y x - α Şekil 4.3. İki tabakalı antisimetrik açılı-katlı tabakalanma 56

81 5.TABAKALI KOMPOZİT PLAKLARIN EĞİLME ANALİZİ 5. TABAKALI KOMPOZİT PLAKLARIN EĞİLME ANALİZİ 5.. Giriş Tabakalandırılmış plaklar, kompozit tabakalıların, en basit ve en yaygın pratik uygulamalarından biridir. Bu tabakalı plaklar eğilme, bükülme ve titreşim durumlarında farklı rijitlik özellikleri gösterirler. Bu etkilerin incelenmesi, fiberlerle takviyeli kompozit malzemelerin davranışının anlaşılmasında bize yardımcı olmaktadır. Bu bölüm, tabakalandırılmış plak teorisi çalışmasını tam olarak içermemektedir, onun yerine tabakalandırılmış plak teorisinin bazı sonuçları incelenmekte ve böylece rijitliklerin fiziksel önemleri değerlendirilmektedir. Ayrıca sadece tabakalandırılmış plakların düşey yükler altında eğilmesi incelenmiştir. Plaklar değişkenlere ayırma yöntemiyle çeşitli sınır şartları altında incelenmiş ve bu sınır şartları, çözüm için gerekli olan diferansiyel denklemlere uygulanmıştır 5.. Tabakalı Kompozit Plakları İdare Eden Denge Denklemleri Boyutları d x, d y ve d Z olan sonsuz küçük kübük bir elemanda, kuvvet ve momentlerin dengesi hesaba katılarak, bir O noktası için denge denklemleri elde edilir. (Şekil.5.) Denge denklemleri yazılırken, her bir tabakanın ortotropik olduğu, plağın kalınlığının uzunluğu ve genişliğine göre çok küçük olduğu, hiçbir kütlesel kuvvetin mevcut olmadığı, deplasmanların (u, v ve w )plak kalınlığı yanında çok küçük olduğu ve Kirchoff Hipotezi nin geçerli olduğu varsayılmıştır. Şekil.5. den yararlanarak x, y, ve z doğrultularında denge denklemleri yazılabilir. 57

82 5.TABAKALI KOMPOZİT PLAKLARIN EĞİLME ANALİZİ zx zx + τ z τ dz z + σ zy σ dz τ zy + τ dz z z z z xz xz + τ yz τ dx τ yz + τ τ τ dy yx xy x x x + σ dz τ yz τ xz y σ dx σ y + σ dy x σ y σ x y y τ zy τ zx x dx xy xy + τ dy yx τ dx τ yx + τ dy x σ z y y Şekil.5.. dxdydz boyutundaki kübik elemandaki gerilmeler x doğrultusunda denge yazılarak σ x σ x + dx σ x x dydz + τ yx τyx + y dy τ yx dxdz + τ zx τ + z zx dz τ zx dxdy + Fx dxdydz = (5.) denklemi elde edilir. Aynı işlemler y ve z doğrultuları için de yapılır.denklemler d x.d y.d z ye bölünerek gerilmeler cinsinden aşağıdaki ifadeler elde edilir. σ τ x yx τzx Fx = x y z (5..a) 58

83 5.TABAKALI KOMPOZİT PLAKLARIN EĞİLME ANALİZİ σ y y τ zy + z τ xy + x + F y = (5..b) σ z z τ yz + y τ xz + x + F z = (5..c) P(x,y) N xy x z N x N yx Q x y N y Q y Şekil 5..a. Plak kuvvetleri z P(x,y) M xy M x x M y M yx Q x y Şekil 5..b. Plak momentleri 59

84 5.TABAKALI KOMPOZİT PLAKLARIN EĞİLME ANALİZİ 6 Daha önceki bölümlerde tabakalı plaklar için yapılan sınırlandırmalar ve varsayımlar ışığında, yukarıdaki denklemler tüm tabakalar için integre edilir ve gerekli denge denklemleri yazılır. Denklem (5..a) nın z-doğrultusundaki integrasyonuyla ( ) = = = = = n k h h n k h h n k h h n k h h k x k k k k k k k k k k k dz F dz dz dz zx yx z τ y τ x x σ F y N x N x xy x = + + (5.3) Denklem (5..b) nin z-dogrultusundaki integrasyonuyla ( ) = = = = = n k h h n k h h n k h h n k h h k y k k k k k k k k k k k dz F dz dz dz xy zy y x τ z τ y σ F x N y N y xy y = + + (5.4) Denklem (5..c) nin z-doğrultusundaki integrasyonuyla ( ) = = = = = n k h h n k h h n k h h n k h h k z k k k k k k k k k k k dz F dz dz dz xz yz z x τ y τ z σ F p y Q x Q z y x = (5.5) İntegrasyonlar momentler cinsinden yazılarak, Şekil 5..a ve Şekil 5..b yardımıyla x ekseni ile y ekseni etrafında denge şartı yazılırsa,

85 5.TABAKALI KOMPOZİT PLAKLARIN EĞİLME ANALİZİ n h σ x τ k k k x yx zdz + zdz + n k= h = = k k h k k k k hk h y n h τ z zx zdz = k M x y M + y yx Q x = (5.6) n h σ τ k k y zy zdz + zdz + y n k= h = = k k h k k k k hk h k z n h τ x xy zdz = k M y y M + x xy Q y = (5.7) denklemleri elde edilir. Denklem (5.6) ve (5.7) denklem (5.5) de yerine yazılırsa, M x x Mxy + x y M + y y + p + F z = (5.8) denklemi elde edilir. Bu ifade plakların momentler cinsinden eğilmesini ifade eden diferansiyel denklemdir. F x, F y ve F z : Birim hacimdeki ortalama kütlesel kuvvetlerdir. Fakat hiçbir kütlesel kuvvetin mevcut olmadığı kabulünden dolayı, bu kuvvetler ihmal edilir. Denklemler aşağıdaki şekilde yazılabilir. N + N (5.9) x,x xy, y = N + N (5.) xy,x y, y = M x,xx + M + M = p (5.) xy,xy y, yy 6

86 5. TABAKALI KOMPOZİT PLAKLARIN EĞİLME ANALİZİ Yukarıdaki denklemler açık şekilde yazılırsa; A u, 3B xx 6 + A w, xxy 6 u, xy u, ν, ( A + A ) ( B + B ) w, B w, = + A yy + A xyy 6 xx 6 + yyy 66 ν, xy + A 6 ν, yy B w, xxx (5.) - 6u, xx + ( A + A66 ) u, xy + A6u, yy A66ν, xx + ( B + B ) w, 3B w, B w, = A 66 xxy 6 xyy yyy A 6 ν, xy + A ν, yy -B 6 w, xxx (5.3) - w, xxxx + 4D6w, xxxy + ( D + D66 ) w, xxyy + 4D Bu, xxx 3B6u, xxy ( B + B66 ) u, xyy B6u, yyy ( B + B ) ν, -3B ν, -B ν, = p( x, y) D 66 xxy 6 xyy yyy 6 w, B xyyy 6 ν, + D xxx w, yyyy (5.4) ifadeleri elde edilir. Elde edilen denklemler yardımıyla, birçok yöntemi kullanarak (sonlu elemanlar, sonlu farklar gibi sayısal yöntemler ve Rayleigh-Ritz, Galerkin gibi değişik enerji metodları) tabakalı kompozit plakların çözümüne ulaşabiliriz. Bu yöntemlere ek olarak, diğer yöntemlere yardımcı bir yöntem olan değişkenlere ayırma yöntemi ile de çözüme ulaşılabilir. 5.3.Basit Mesnetli Dikdörtgen İnce Tabakalı Plakların Analizi Basit mesnetli dikdörtgen ince plaklara Navier(83) çözümü uygulanabilmektedir. Şekil.5.3 de x=, x=a, y= ve y=b kenarları boyunca basit mesnetli lateral yüklü bir plak görülmektedir. Plak üzerindeki lateral yük çift Fourier serisi ile aşağıdaki şekilde ifade edilebilir. mπx nπy p p Sin Sin (5.5) ( x, y) = mn m= n= a b 6

87 5. TABAKALI KOMPOZİT PLAKLARIN EĞİLME ANALİZİ z P(x,y) b x y a Şekil 5.3. Lateral yük altındaki basit mesnetlenmiş dikdörtgen plak (Jones, 975) Denklem (5.7) nin her iki tarafı <y<b sınırları arasında integre edilirse kπx lπy Sin Sin a b ile çarpılıp, <x<a ve b a p ( x, y) kπx lπy Sin Sin dxdy a b y= x= = b a mπx nπy kπx lπy p Sin Sin Sin Sin dxdy (5.6) mn m= n= a b a b Hatırlatma, a b mπx kπx Sin Sin dx = a a a nπy lπy Sin Sin dy = b b b m k m = k n l n = l (5.7) P mn çift Fourier açılım katsayısı için, 63

88 5. TABAKALI KOMPOZİT PLAKLARIN EĞİLME ANALİZİ P mn = 4 ab b a P ( x, y) mπx nπy Sin Sin dxdy y= x= a b (5.8) denklemi elde edilir. Denklemdeki P(x,y) verilirse P mn bulunur. Denklem (5.8) birçok farklı yükleme tipleri için kolaylıkla kullanılabilir. Bu yükleme tiplerinden birisi olan düzgün yayılı yükleme tipi için denklem (5.8) integre edildikten sonra P(x,y) = P = Sabit m n [ ][ ( ) ] 4P 4P Pmn = ( Cos mπ)( Cos nπ) = ( ) π mn π mn P = (m veya n çift sayı ise) mn 6P = (m veya n tek sayı ise) (5.9) π mn P mn denklemleri elde edilir. Yöntem, farklı tabakalanma türleri için sınır şartları yazılarak, her tabakalanma çeşidi için ayrı ayrı ele alınacaktır Özel Ortotropik Tabakalanma Özel ortotropik tabakalanmada, tabaka rijitlikleri sadece A, A, A, A 66, D, D, D ve D 66 yı içerir. Bu yüzden plak denge denklemleri, tek bir diferansiyel denklemle açıklanabilir. ( D + D ) w, + D w, p( x y) D w, xxxx + 66 xxyy yyyy =, (5.) 64

89 5. TABAKALI KOMPOZİT PLAKLARIN EĞİLME ANALİZİ Basit mesnetli plak için sınır koşulları aşağıdaki şekilde yazılabilir. x = yy, a w = M x = D w, xx Dw, = y, b w = M = D w, D w, (5.) = y xx yy = Plak içerisinde oluşan u, v, ve w deplasmanlarından u ve v deplasmanları dördüncü derece diferansiyel denklemde bulunmadığından dolayı çözüm daha da kolaylaşır. Bu durumda sadece w deplasmanı için deplasman fonksiyonu yazmamız yeterlidir. mπx nπy w = C Sin Sin (5.) mn m= n= a b Simetrik Açılı Katlı Tabakalanma Bu tabakalanma çeşidinde, özel ortotropik tabakalanmaya ek olarak D 6 ve D 6 rijitlikleri bulunmaktadır. D w, + D xxxx w, + 4D yyyy 6 = p w, xxxy ( x, y) + ( D + D ) 66 w, xxyy + 4D 6 w, xyyy (5.3) Basit mesnetli plak için sınır koşullarıda şöyle yazılabilir. x = xy, a w = M x = D w, xx Dw, yy D6w, = y, b w = M = D w, D w, D w, (5.4) = y xx yy 6 xy = 65

90 5. TABAKALI KOMPOZİT PLAKLARIN EĞİLME ANALİZİ Antisimetrik Çapraz-Katlı Tabakalanma B Bu tip tabakalanma, A, A, A =A ve A 66 uzama rijitliklerine,, B B = uzama ve eğilme arasındaki bağlanma rijitliklerine ve D, D, D =D ve D 66 eğilme rijitliklerine sahiptir. ( A + ) ν, -B w, A u, xx + A66u, yy + A66 xy xxx = (5.5.a) ( + A ) u + A ν, + A ν, + B w, A xy (5.5.b) 66, 66 xx yy yyy = D ( w w, ) + ( D + D ) w, B ( u, ν, ) p( x y), xxxx yyyy 66 xxyy xxx yyy =, + (5.5.c) Basit mesnetli durum için sınır şartları aşağıdaki şekildedir. x = yy, a w = M x = B u, x Dw, xx Dw, = v = N x = A u, x + A ν, y -Bw, xx = (5.6.a) y y =, b w = M = B ν, y -Dw, xx -Dw, yy = u = N y = A u, x + Aν, y + Bw, yy = (5.6.b) Yukarıdaki sınır şartlarını sağlayan deplasman fonksiyonları aşağıda verilmektedir. u = A mπx nπy Cos Sin mn m= n= a b 66

91 5. TABAKALI KOMPOZİT PLAKLARIN EĞİLME ANALİZİ mπx nπy v = B Sin Cos (5.7) mn m= n= a b w = C mπx nπy Sin Sin mn m= n= a b Antisimetrik Açılı-Katlı Tabakalanma Antisimetrik açılı-katlı tabakalanma, A, A, A ve A 66 uzama rijitliklerine B 6 ve B 6 uzama ve eğilme arasındaki bağlanma rijitliklerine ve D ve D 66 eğilme rijitliklerine sahiptir. Bu yüzden, bu tip tabakalanma,, D, D antisimetrik çapraz-katlı tabakaların yaptığından farklı bir tür uzama-eğrilik ilişkisi sergiler. Diferansiyel denge denklemleri aşağıdaki gibidir. ( A + ) ν, -3B w, -B w, A u, xx + A66u, yy + A66 xy 6 xxy 6 yyy = (5.8.a) ( + A ) u + A ν, + A ν, -B w, -3B w, A xy (5.8.b) 66, 66 xx yy 6 xxx 6 xyy = D w, B 6 xxxx + ( D + D ) w, + D w, B ( 3u, + ν, ) ( u, + 3ν, ) = p( x, y) yyy xyy 66 xxyy yyyy 6 xxy xxx (5.8.c) Basit mesnetlenmiş durumlarda sınır şartları şöyledir. ( u, + ν, ) D w, D w, x =, a w = M x = B y x xx yy 6 = ( u, + ν, ) B w, B w, u (5.9.a) = N xy = A66 y x 6 xx 6 yy = 67

92 5. TABAKALI KOMPOZİT PLAKLARIN EĞİLME ANALİZİ ( u, + ν, ) D w, D w, y =, b w = M y = B y x xx yy 6 = ( u, + ν, ) B w, B w, v (5.9.b) = N xy = A66 y x 6 xx 6 yy = Yukarıdaki sınır şartlarına uyan deplasman fonksiyonları aşağıdaki gibidir. u = A mπx nπy Sin Cos mn m= n= a b mπx nπy v = BmnCos Sin (5.3) a b m= n= w = C mπx nπy Sin Sin mn m= n= a b 68

93 6.SAYISAL UYGULAMALAR 6..Giriş Tabakalı kompozit plakların analizinden sonra, elde edilen denklemlerle Mathematica adlı paket programın yardımıyla bir bilgisayar programı hazırlanmıştır. Program genel ortotropik plakların, düşey yükler altında çökmesini, her bir tabakanın üst ve alt liflerindeki gerilmeleri ve tabakalarda meydana gelen momentleri bulabilmektedir. Sonlu elemanlar yöntemine dayalı olarak çalışan ANSYS adlı analiz programı yardımıyla örnekler tekrar çözülmektedir. ANSYS programı yardımıyla yapılan analizlerde, ince plak teorisi için dört düğümlü lineer eleman, tabakalı plak teorisi için sekiz düğümlü quadratik eleman tipleri kullanılmıştır. Analizlerde plak eleman x SE ağı kullanılarak analiz edilmiştir. Bu çalışmada farklı tabakalanma durumlarına göre altı adet örnek incelenmiştir. Bu örneklerden dördü simetrik tabakalanma ile ilgili olup diğer ikisi antisimetrik tabakalanma ile ilgilidir. İncelenen örnekler, Çukurova Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsünde 4 yılında Araştırma Görevlisi Ali DOĞAN tarafından hazırlanmış olan Fiber Çubuklarla Güçlendirilmiş Tabakalı Plakların Plak Düzlemine Dik Yükleme Etkisindeki Davranışı Y.Lisans Tezi, Ç.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü adlı yüksek lisans tezinde yer alan örneklerin farklı açılardan ve daha geniş kapsamlı olarak incelenmesiyle elde edilmiştir. Simetrik tabakalanma durumunda farklı elastisite modülleri, farklı tabakalanma açısı ve farklı tabakalanma çeşitlerine bağlı olarak çökme değerleri, moment değerleri, gerilmeler ve eğilme rijitliklerinin denklem içerisindeki etkisi bulunmuştur. Antisimetrik plak durumunda ise çökme değerleri, moment değerleri ve uzama eğrilik arasındaki girişim etkisini gösteren bağlanma rijitlikleri bulunmuştur. Bulunan bu değerlerle plağın davranışı incelenmiştir. Hazırlanan programın ve analizlerin doğruluğunu kontrol etmek amacıyla elde edilen sonuçlar, ANSYS programıyla elde edilen sonuçlarla karşılaştırılmıştır. İki programın sonuçları arasında bazı durumlarda hemen hemen aynı değerler elde edilmiş, bazı durumlarda ise beklendiği gibi bazı farklılıklar görülmüştür. Oluşan bu 69

94 farklar her iki yöntemdeki kabullerin ve sınırlandırmaların farklılığından kaynaklanmaktadır. 6..Sayısal Örnekler 6...Simetrik Tabakalanma Örnek : Bu örnekte üniform yayılı yük etkisinde kalan, kenarlarından basit mesnetlenmiş izotropik kare plak göz önüne alınmıştır (Şekil6. ). Plak malzemesi olarak çelik ve aliminyum seçilmiş olup malzeme özellikleri E ç =.x 8 kn / m, Ea =.74x 8 kn / m, ν ç =.6, ν a =.3 tür. Plak bu ilk örnekte tek tabakalı olarak ele alınacaktır. Analizler, plak kenarı a ile plak kalınlığı h arasındaki oran, a/h= ve a/h=5 olarak iki kez yapılacaktır. Problem önce değişkenlerine ayırma yöntemi (D.A.Y) ile elde edilen formülasyonla Matematica programı yardımıyla sonra, ANSYS paket programıyla çözülecektir. Analizlerde x SE ağı kullanılmıştır. x P(x,y) = p o = kn/m y z a h a Şekil 6..Üniform yüklü kare plak 7

95 a/h 5 Malzeme çeşidi Plak ortası deplasman değerleri(w) D.A.Y. ANSYS Fark(%) Tek tabakalı çelik Tek tabakalı aliminyum Tek tabakalı çelik Tek tabakalı aliminyum Çizelge 6..Plak ortası düşey deplasmanların karşılaştırılması (mm) Çizelge 6.. Plak orta noktasındaki gerilme değerlerinin karşılaştırılması (kn/m ) a/h 5 Malzeme Çeşidi Tek tabakalı çelik Tek tabakalı aliminyum Tek tabakalı çelik Tek tabakalı aliminyum Plak elemandaki gerilme değerleri (σ) X doğrultusundaki gerilmeler σ x D.A.Y. σ x ANSYS Fark (%) Y doğrultusundaki gerilmeler σ y D.A.Y. σ y ANSYS Fark (%) Çizelge 6.3. Plak orta noktasındaki moment değerlerinin karşılaştırılması (kn.m) a/h 5 Malzeme Çeşidi Tek tabakalı çelik Tek tabakalı aliminyum M x D.A.Y. Plak elemandaki moment değerleri (M) x-x momentleri M x ANSYS Fark (%) M x D.A.Y. y-y momentleri M x ANSYS Fark (%)

96 Tek tabakalı çelik Tek tabakalı aliminyum Analitik çözüm ile ANSYS çözümü birbirine yakın sonuçlar vermiştir. Düşey deplasman sonuçları arasında yaklaşık olarak % - arasında bir fark mevcuttur. Bu farkın en önemli nedeni iki yöntemde farklı çözüm yollarının kullanılması, farklı sınırlandırmalar ve varsayımların yapılmasıdır. Ayrıca plak kenarının plak kalınlığına oranı da sonucu etkilemektedir. Beklendiği üzere plak inceldikçe sonuçlar birbirine yaklaşmaktadır. Bunun sebebi değişkenlere ayırma yönteminde ince plaklar için geçerli olan bazı kabullerin yapılmış olmasıdır. Doğal olarak plak kalınlaştıkça bu kabullerin geçerliliği gitgide azalacak ve sonuçlar gerçek sonuçlardan uzaklaşacaktır. Çizelge 6. de görüldüğü gibi a/h = 5 iken % mertebesinde olan fark a/h = iken %.9 mertebesine düşmüştür, yani plak inceldikçe ANSYS sonuçları ile analitik çözüm sonuçları birbirine yaklaşmaktadır. Her iki yöntemde de farklı malzemelerin kullanılması, çökme miktarını aşırı bir şekilde etkilemiş gerilme ve moment değerlerine ise çok küçük değişikliklere neden olmuştur. 7

97 Şekil 6.. x SE ağıyla çözülen a/h= 5 olan çelik plak problemi için düşey deplasman dağılımı (ANSYS) Şekil 6.3. x SE ağıyla çözülen a/h= 5 olan çelik plak problemi için σ x gerilme dağılımı (ANSYS) 73

98 Şekil 6.4. x SE ağıyla çözülen a/h= 5 olan çelik plak problemi için M x moment dağılımı (ANSYS) 74

99 Örnek : Bu örnekte q = kn/m değerinde üniform yayılı yük etkisinde kalan, kenarlarından basit mesnetlenmiş tabakalı kare plak göz önüne alınmıştır. Her bir tabaka kendi içinde izotrop olup plak malzemesi olarak çelik ve aliminyum seçilmiştir. Malzeme özellikleri E ç =.x 8 kn/m, E a =.74x 8 kn/m, υ ç =.6, υ a =.3 tür. Plak Durum- de en dıştaki tabakalar çelik aradaki tabaka aliminyum olacak şekilde üç tabaka olarak (Şekil 6.5). Durum- de en dıştaki tabakalar çelik içteki üç tabaka aliminyum olacak şekilde beş tabaka olarak (Şekil 6.5). Durum-3 te en dıştaki tabakalar çelik içteki sekiz tabaka aliminyum olacak şekilde on tabaka olarak (Şekil 6.5). Durum-4 te en dıştaki tabakalar aliminyum içteki üç tabaka çelik olacak şekilde beş tabaka olarak (Şekil 6.5). Durum-5 te en dıştaki ve ortadaki tabakalar alüminyum diğer iki tabaka çelik olacak şekilde beş tabaka olarak (Şekil 6.5) ve son olarak Durum-6 da ilk tabaka çelik sonraki tabakalar alüminyum olacak şekilde on tabaka olarak ele alınmıştır. Analizler plak kenarı a ile plak kalınlığı h arasındaki oran a/h = olacak şekilde yapılmıştır. Her bir tabakanın kalınlığı eşit ve toplam tabaka kalınlığı sabittir. ANSYS paket programıyla yapılan analizlerde SHELL9 adı ile tanımlanan sekiz düğümlü altı serbestlik dereceli elemanlar kullanılmıştır. Çelik Aliminyum h a Durum- Durum- Durum-3 Durum-4 Durum-5 Durum-6 Şekil 6.5.Örnek deki altı farklı tabakalanma durumu 74

100 Çizelge 6.4.Plak ortası düşey deplasmanların karşılaştırılması (mm) Malzeme çeşidi Plak ortası deplasman değerleri(w) D.A.Y. ANSYS Fark(%) 3 tabakalı plak (Durum-) tabakalı plak (Durum-) tabakalı plak (Durum-3) tabakalı plak (Durum-4) tabakalı plak (Durum-5) tabakalı plak (Durum-6) Çizelge 6.5. Plak moment değerleri (kn.m) Plak elemandaki moment değerleri(m) Malzeme çeşidi 3 tabakalı plak (Durum-) 5 tabakalı plak (Durum-) tabakalı plak (Durum-3) 5 tabakalı plak (Durum-4) 5 tabakalı plak (Durum-5) tabakalı plak (Durum-6) x-x momentleri y-y momentleri M x M x Fark M y M y Fark D.A.Y. ANSYS % D.A.Y. ANSYS %

101 Çizelge 6.6.a. Her bir tabakanın üst ve alt liflerindeki gerilme değerleri (kn/m ) Malzeme çeşidi 3 tabakalı plak (Durum-) 5 tabakalı plak (Durum-) tabakalı plak (Durum-3) Tabaka Plak elemandaki gerilme değerleri (σ) kalınlığı X doğrultusundaki Y doğrultusundaki (m) σ x gerilmeler σ x Fark σ y gerilmeler σ y Fark D.A.Y. ANSYS (%) D.A.Y. ANSYS (%) S

102 Çizelge 6.6.b. Her bir tabakanın üst ve alt liflerindeki gerilme değerleri (kn/m ) Malzeme çeşidi 5 tabakalı plak (Durum-4) 5 tabakalı plak (Durum-5) tabakalı plak (Durum-6) Tabaka Plak elemandaki gerilme değerleri (σ) kalınlığı X doğrultusundaki Y doğrultusundaki (m) σ x gerilmeler σ x Fark σ y gerilmeler σ y Fark D.A.Y. ANSYS (%) D.A.Y. ANSYS (%)

103 Bu örnekteki analizlerde tabaka sayısı arttırılmış ve Şekil 6.5 de görüldüğü gibi plak malzemesi olarak çelik ve alüminyum kullanılarak farklı tabakalanma dizilimleri elde edilmiştir. Sonuçlar bu artan tabaka sayısına ve farklı tabakalanma durumlarına göre irdelenmiştir. Tabaka sayısı arttıkça plağın toplam kalınlığı değişmediği halde her bir tabakanın kalınlığı azalmaktadır. Durum- her bir tabakanın en kalın olduğu durumdur. Durum- den Durum- ye geçirilirken her bir tabakanın kalınlığı % 4 oranında azaldığı halde, çökme miktarı % civarında artmaktadır. Durum- den Durum-3 e geçirilirken her bir tabakanın kalınlığı yaklaşık % 7 oranında azaldığı halde, çökme miktarı % 3 civarında artmaktadır. Durum-, Durum-5 ve Durum- 6 da güçlü tabaka olan çelik eşit miktarda kullanıldığı halde en iyi sonuç çeliğin en dışta olduğu Durum- de görülmektedir. Bu sonuçlar göstermektedir ki, güçlü tabakaların orta düzleme göre en dış kenarda tutulması şartıyla, tabaka sayısının arttırılıp tabaka kalınlığının inceltilmesi ile daha ekonomik tabakalanma çeşitleri elde edilebilir (örneğin; sandiviç tipi tabakalanma). Ancak güçlü tabakaların orta düzleme yakın tutulması bizi tam aksi bir sonuca götürür. Şöyle ki, Durum-, Durum-4 ve Durum-5 te plak 5 tabakaya ayrılmıştır. Durum-4 de Durum- ye göre güçlü eleman olan çelik daha fazla kullanılmasına rağmen yaklaşık olarak iki kat daha fazla çökme meydana gelmiştir.(çizelge 6.4). Durum- ve Durum-5 te çelik eleman eşit kullanılmasına rağmen Durum-5 te çökme miktarı % 43 civarında artmaktadır. Şekil 6.6 da görüldüğü gibi ANSYS ve D.A.Y. sonuçları birbiriyle örtüşmüştür. Gerilme değerleri arasında yaklaşık % - arasında bir fark mevcuttur. Şekillerde de görüldüğü gibi tabaka sayısı artıkça plaktaki maksimum gerilme değerinde de bir artış meydana gelmektedir. Örneğin Şekil 6.6 da görülen Durum- deki maksimum gerilme değeri ile Şekil 6.8. de görülen Durum-3 deki maksimum gerilme değeri arasında yaklaşık % 5 oranında bir fark bulunmaktadır. Durum---3 ve 6 da dıştaki rijit tabakalarda gerilme değerinde artış meydana gelmiştir. Şekil 6.9, Şekil 6. da görülen Durum-4 ve Durum-5 te daha rijit kısmın iç tabakalarda bulunmasından dolayı maksimum gerilme iç tabakalarda oluşmuştur. Tüm durumlarda tabakalanmanın orta düzleminde σ x gerilmeleri sıfırdır. 78

104 Durum-,6 Tabaka kalınlığı (m), , -,6 Gerilme ( 3 kn /m ) D.A.Y. ANSYS Şekil 6.6. Durum- deki σ x gerilmelerinin tabaka kalınlığına bağlı olarak değişimi,6 Durum-,36 Tabaka kalınlığı (m), , 4 -,36 D.A.Y. ANSYS -,6 Gerilme ( 3 kn /m ) Şekil 6.7. Durum- deki σ x gerilmelerinin tabaka kalınlığına bağlı olarak değişim 79

105 Durum-3,6,48,36 Tabaka kalınlığı (m),4, , 4 6 -,4 -,36 D.A.Y. -,48 ANSYS -,6 Gerilme ( 3 kn /m ) Şekil 6.8. Durum-3 deki σ x gerilmelerinin tabaka kalınlığına bağlı olarak değişimi Durum-4,6,36 Tabaka kalınlığı (m), , 4 -,36 D.A.Y. ANSYS -,6 Gerilme ( 3 kn /m ) Şekil 6.9. Durum-4 teki σ x gerilmelerinin tabaka kalınlığına bağlı olarak değişimi 8

106 ,6 Durum-5 Tabaka kalınlığı (m),36, , 4 -,36 D.A.Y. -,6 ANSYS Gerilme ( 3 kn /m ) Şekil 6.. Durum-5 teki σ x gerilmelerinin tabaka kalınlığına bağlı olarak değişimi,6 Durum-6 Tabaka kalınlığı (m),48,36,4, , 4 6 -,4 -,36 D.A.Y. -,48 ANSYS -,6 Gerilme ( 3 kn /m ) Şekil 6.. Durum 6-daki σ x gerilmelerinin tabaka kalınlığına bağlı olarak değişimi 8

107 Örnek 3: Örnekte, dört tabakalı, dört kenarından basit mesnetlenmiş q üniform yayılı yüküne maruz, tabakalı kare plak göz önüne alınmıştır. Analizler plak kenarı a ile plak kalınlığı h arasındaki oran a/h = olacak şekilde yapılmıştır. Her bir tabaka ortotrop olup plak malzemesi olarak Graphite /epoxy seçilmiştir. Malzeme özellikleri E =8 GPa., E =.3 GPa., G =7.7 GPa. ve υ =.8 dir. Bu örnek iki durum için ayrı ayrı ele alınacaktır. Durum- de en dıştaki tabakalarda açı değişimi yapılacak, Durum- de ise en içteki tabakalarda açı değişimi yapılacak ve açı değişimi sebebiyle tabaka eğilme rijitliklerinde meydana gelen değişime dikkat edilerek simetrik plaklar için D 6 ve D 6 rijitliklerinin etkisi incelenecektir. Değerler (a/b, b/) noktası için elde edilmiştir. Ayrıca belli açı aralıklarında plaktaki her tabakanın üst ve alt liflerindeki gerilme değerleri de incelenmiştir. θ θ θ θ Durum- θ / 9 / 9 / θ Durum- 9 / θ / θ / 9 Şekil.6.. Örnek 3 için plak yerleşimi 8

108 Çizelge 6.7.Basit mesnetlenmiş simetrik plak için eğilme rijitlikleri (Durum-) Açı Plak eğilme rijitlikleri D D D D 6 D 6 D ,3 Plak Eğilme Rijitlikleri,5, Değerler,5,, Açı (derece) D D D D 6 D 6 D 66 Şekil 6.3. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plağın eğilme rijitlikleri (Durum-) 83

109 Çizelge 6.8. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için farklı iki yöntemle çökme değerlerinin karşılaştırılması (Durum-) Açı Plak orta noktasındaki çökme değerleri ( wx -9 m ) ANSYS D.A.Y. Fark(%) Çökme (wx -9 m) ANSYS D.A.Y Açı (derece) Şekil6.4. Basit mesnetlenmiş tabakalı plak problemi için (a/, b/) noktasında plak çökme değerleri (Durum-) 84

110 Çizelge 6.9.Basit mesnetlenmiş tabakalı plak problemi için farklı iki yöntemle moment değerlerinin karşılaştırılması (Durum-) Açı M x M x Plak moment değerleri (M) Fark M y M y Fark ANSYS D.A.Y. % ANSYS D.A.Y. %

111 Simetrik açılı-katlı tabakalanmada özel-ortotropik tabakalanmada bulunan A, A, A, A 66, D, D, D ve D 66 rijitliklerine ek olarak D 6 ve D 6 rijitlikleri de bulunmaktadır. Ancak deplasman fonksiyonu simetrik açılı-katlı tabakalanmada tabaka rijitliklerini doğru bir şekilde ifade edememekte ve plak ortasına doğru gidildikçe D 6 ve D 6 rijitliklerinin plak eğilmesine olan katkısı giderek azalmaktadır. Plak ortasında ise D 6 ve D 6 rijitliklerinin plak eğilmesine katkısı sıfır olmaktadır. Özel ortotropik tabakalanmada ise deplasman fonksiyonu plak eğilmesini doğru bir şekilde ifade edebilmektedir. Çizelge 6.8 çökme değerleri ile Çizelge 6.9 moment değerleri özel ortotropik durum olan o /9 o /9 o / o durumunda iki ayrı yöntem için yaklaşık olarak aynı sonuçları vermiştir. Ancak Durum- de açı değişimi yapılan tabakalar en dışta olduğundan D 6 ve D 6 rijitliklerinin plak eğilmesine olan katkısı giderek artmaktadır. Şekil 6.4, Şekil 6.5 ve Şekil 6.6 da görüldüğü gibi açı değeri yükseldiğinde, yani tabakalanma simetrik açılı katlı tabakalanmaya dönüştüğünde D 6 ve D 6 eğilme rijitliklerinin ifade edilememesiyle sonuçlar beklendiği gibi kötüleşmektedir. Açı değişimi o den 9 o ye yaklaştıkça en dıştaki tabakaların fiber dizilimi giderek içteki tabakaların dizilimiyle aynı yönlenime sahip olmaktadır. Ve bu yüzden M x değerleri azalmakta, M y değerleri artmaktadır. Aynı durum gerilmeler içinde geçerlidir. Şekil 6.7. de görülen σ x gerilme değerleri ile Şekil 6.4 te görülen σ y gerilme değerlerinin, özel ortotropik olan o /9 o /9 o / o durumunda ANSYS ve D.A.Y. sonuçları birbirleriyle örtüşmektedir. Şekillerde de görüldüğü gibi 45 o ye kadar açı değeri arttıkça sonuçlar birbirinden uzaklaşmaktadır, 45 o den 9 o ye doğru olan açı artışında da tam tersine sonuçlar giderek birbirine yaklaşmaktadır. Bunun sebebi yukarıda da belirtildiği gibi açının artmasıyla fiber aksları ile içteki tabaka aksları aynı hizaya gelmekte ve böylece sonuçlar iyileşmektedir. Şekil 6.3. ve Şekil 6.3. de görüldüğü üzere 9 o /9 o /9 o /9 o durumunda sonuçlar hemen hemen aynı çıkmıştır. Ayrıca açının artmasıyla plaktaki maksimum gerilme değeri azalmıştır. Tüm durumlarda tabakalanmanın orta düzleminde σ x ve σ y gerilmeleri sıfırdır. Tabakalanma açısının derece olduğu durumda gerilme en büyük değerini, 9 derece olduğu durumlarda en küçük değerini almıştır. 86

112 Moment (Gpa.m) ANSYS D.A.Y Açı (Derece) Şekil.6.5.Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için M x değerlerinin karşılaştırılması (Durum-) Moment (Gpa.m) Açı (Derece) ANSYS D.A.Y. Şekil.6.6.Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için M y değerlerinin karşılaştırılması (Durum-) 87

113 ,6 Tabaka kalınlığı (m), ,3 ANSYS -,6 Gerilme ( 3 kn/m ) D.A.Y. Şekil 6.7. Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta o /9 o /9 o / o derecelik fiber açıları için σ x gerilmeleri,6 Tabaka kalınlığı (m), ,3 ANSYS DAY -,6 Gerilme ( 3 kn/m ) Şekil 6.8. Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 5 o /9 o /9 o /5 o derecelik fiber açıları için σ x gerilmeleri 88

114 ,6 Tabaka kalınlığı (m), ,3 ANSYS -,6 Gerilme ( 3 kn/m ) DAY Şekil 6.9. Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 3 o /9 o /9 o /3 o derecelik fiber açıları için σ x gerilmeleri,6,3 Tabaka kalınlığı (m) ,3 ANSYS -,6 Gerilme ( 3 kn/m ) D.A.Y. Şekil 6.. Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 45 o /9 o /9 o /45 o derecelik fiber açıları için σ x gerilmeleri 89

115 ,6 Tabaka kalınlığı (m), ,3 ANSYS -,6 Gerilme ( 3 kn/m ) DAY Şekil 6.. Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 6 o /9 o /9 o /6 o derecelik fiber açıları için σ x gerilmeleri,6 Tabaka kalınlığı (m), ,3 ANSYS DAY -,6 Gerilme ( 3 kn/m ) Şekil 6.. Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 75 o /9 o /9 o /75 o derecelik fiber açıları için σ x gerilmeleri 9

116 ,6,3 Tabaka kalınlığı (m) ,3 ANSYS -,6 Gerilme ( 3 kn/m ) D.A.Y. Şekil 6.3. Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 9 o /9 o /9 o /9 o derecelik fiber açıları için σ x gerilmeleri,6 Tabaka kalınlığı (m), ,3 -,6 Gerilme ( 3 kn/m ) ANSYS D.A.Y. Şekil 6.4. Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta o /9 o /9 o / o derecelik fiber açıları için σ y gerilmeleri 9

117 ,6 Tabaka kalınlığı (m), ,3 ANSYS -,6 Gerilme ( 3 kn/m ) DAY Şekil 6.5. Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 5 o /9 o /9 o /5 o derecelik fiber açıları için σ y gerilmeleri,6 Tabaka kalınlığı (m), ,3 ANSYS -,6 Gerilme ( 3 kn/m ) DAY Şekil 6.6. Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 3 o /9 o /9 o /3 o derecelik fiber açıları için σ y gerilmeleri 9

118 ,6 Tabaka kalınlığı (m), ,3 ANSYS -,6 Gerilme ( 3 kn/m ) D.A.Y. Şekil 6.7. Durum-deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 45 o /9 o /9 o /45 o derecelik fiber açıları için σ y gerilmeleri,6,3 Tabaka kalınlığı (m) ,3 ANSYS -,6 Gerilme ( 3 kn/m ) D.A.Y. Şekil 6.8. Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 6 o /9 o /9 o /6 o derecelik fiber açıları için σ y gerilmeleri 93

119 ,6 Tabaka kalınlığı (m), ,3 ANSYS D.A.Y. -,6 Gerilme ( 3 kn/m ) Şekil 6.9. Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 75 o /9 o /9 o /75 o derecelik fiber açıları için σ y gerilmeleri,6,3 Tabaka kalınlığı (m) ,3 ANSYS -,6 D.A.Y. Gerilme ( 3 kn/m ) Şekil 6.3. Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 9 o /9 o /9 o /9 o derecelik fiber açıları için σ y gerilmeleri 94

120 Çizelge 6..Basit mesnetlenmiş simetrik plak için eğilme rijitlikleri (Durum-) Açı Plak eğilme rijitlikleri D D D D 6 D 6 D Plak Eğilme Rijitlikleri,3,5, Değerler,5,, Açı (derece) D D D D6 D6 D66 Şekil 6.3.Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plağın eğilme rijitlikleri(durum-) 95

121 Çizelge 6.. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için farklı iki yöntemle çökme değerlerinin karşılaştırılması (Durum-) Açı Plak orta noktasındaki çökme değerleri ( wx -9 m ) ANSYS D.A.Y. Fark(%) Çökme (wx -9 m) ANSYS D.A.Y Açı (derece) Şekil 6.3. Basit mesnetlenmiş tabakalı plak problemi için (a/, b/) noktasında plak çökme değerleri (Durum-) 96

122 Çizelge 6..Basit mesnetlenmiş tabakalı plak problemi için farklı iki yöntemle moment değerlerinin karşılaştırılması (Durum-) Açı M x M x Plak moment değerleri(m) Fark M y M y Fark ANSYS D.A.Y. % ANSYS D.A.Y. %

123 Durum- de ise açı değişimi yapan tabakalar orta düzleme yakın olduğundan Çizelge 6. ve Şekil 6.3 de görüldüğü gibi D 6 ve D 6 eğilme rijitlikleri diğer eğilme rijitliklerine göre çok küçük çıkmıştır. Bundan dolayı Durum- Durum- e göre daha iyi sonuçlar vermektedir. Bu sonuçlar Çizelge 6. ve Şekil 6.3 deki çökme değerlerinde, Çizelge 6., Şekil 6.33 ve Şekil.6.34 deki moment değerlerinde ve Şekil 6.35 ten ve Şekil 6.48 e kadar gösterilen gerilme değerlerinde açık bir şekilde görülmektedir. Ayrıca Çizelge 6. deki moment değerleri özel ortotropik durum olan 9 o / o / o /9 o durumunda iki ayrı yöntem için yaklaşık olarak aynı sonuçları vermiştir. Durum- de de yine Durum- deki gibi açı değişimi o den 9 o ye yaklaştıkça en içteki tabakaların fiber dizilimi giderek dıştaki tabakaların dizilimiyle aynı yönleneme sahip olmaktadır. Ve bu yüzden M x değerleri azalmakta, My momenti ise açı değişimi o den 45 o ye gittikçe azalmakta, 45 o den 9 o ye doğru gittikçe de artmaktadır. Bu iki durum için yorum yapacak olursak, Değişkenlerine ayırma yönteminde simetrik açılı plaklar için açı değişimi orta düzleme göre uzaktaki tabakalarda yapılırsa, sonuçlarda sapma miktarı artmaktadır. Yani deplasman fonksiyonu plağın elastik eğrisini temsil edememektedir. Ayrıca her iki yöntemde de tabakalanma açısının 45 o olduğu durumda düşey deplasman en küçük değerini almaktadır. 98

124 4 3 ANSYS D.A.Y. Moment (Gpa.m) Açı (Derece) Şekil6.33. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için M x değerlerinin karşılaştırılması (Durum-) 8 7 Moment (Gpa.m) ANSYS D.A.Y Açı (Derece) Şekil6.34. Basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plak problemi için M y değerlerinin karşılaştırılması (Durum-) 99

125 ,6 Tabaka kalınlığı (m), ,3 ANSYS DAY -,6 Gerilme ( 3 kn/m ) Şekil Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 9 o / o / o /9 o derecelik fiber açıları için σ x gerilmeleri,6 Tabaka kalınlığı (m), ,3 ANSYS DAY -,6 Gerilme ( 3 kn/m ) Şekil Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 9 o /5 o /5 o /9 o derecelik fiber açıları için σ x gerilmeleri

126 ,6 Tabaka kalınlığı (m), ,3 ANSYS DAY -,6 Gerilme ( 3 kn/m ) Şekil Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 9 o /3 o /3 o /9 o derecelik fiber açıları için σ x gerilmeleri,6,3 Tabaka kalınlığı (m) ,3 ANSYS DAY -,6 Gerilme ( 3 kn/m ) Şekil Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 9 o /45 o /45 o /9 o derecelik fiber açıları için σ x gerilmeleri

127 ,6 Tabaka kalınlığı (m), ,3 ANSYS -,6 DAY Gerilme ( 3 kn/m ) Şekil Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 9 o /6 o /6 o /9 o derecelik fiber açıları için σ x gerilmeleri,6 Tabaka kalınlığı (m), ,3 ANSYS DAY -,6 Gerilme ( 3 kn/m ) Şekil 6.4. Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 9 o /75 o /75 o /9 o derecelik fiber açıları için σ x gerilmeleri

128 ,6 Tabaka kalınlığı (m), ,3 ANSYS -,6 DAY Gerilme ( 3 kn/m ) Şekil 6.4. Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 9 o /9 o /9 o /9 o derecelik fiber açıları için σ x gerilmeleri,6,3 Tabaka kalınlığı (m) ,3 ANSYS -,6 DAY Gerilme ( 3 kn/m ) Şekil 6.4. Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 9 o / o / o /9 o derecelik fiber açıları için σ y gerilmeleri 3

129 ,6 Tabaka kalınlığı (m), ,3 ANSYS DAY -,6 Gerilme ( 3 kn/m ) Şekil Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 9 o /5 o /5 o /9 o derecelik fiber açıları için σ y gerilmeleri,6 Tabaka kalınlığı (m), ,3 ANSYS DAY -,6 Gerilme ( 3 kn/m ) Şekil Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 9 o /3 o /3 o /9 o derecelik fiber açıları için σ y gerilmeleri 4

130 ,6 Tabaka kalınlığı (m), ,3 ANSYS -,6 DAY Gerilme ( 3 kn/m ) Şekil Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 9 o /45 o /45 o /9 o derecelik fiber açıları için σ y gerilmeleri,6,3 Tabaka kalınlığı (m) ,3 ANSYS -,6 Gerilme ( 3 kn/m ) DAY Şekil Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 9 o /6 o /6 o /9 o derecelik fiber açıları için σ y gerilmeleri 5

131 ,6 Tabaka kalınlığı (m), ,3 ANSYS -,6 Gerilme ( 3 kn/m ),6 DAY Şekil Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 9 o /75 o /75 o /9 o derecelik fiber açıları için σ y gerilmeleri,6,3 Tabaka kalınlığı (m) ,3 ANSYS -,6 Gerilme ( 3 kn/m ) DAY Şekil Durum- deki basit mesnetlenmiş tabakalı simetrik plakta 9 o /9 o /9 o /9 o derecelik fiber açıları için σ y gerilmeleri 6

132 Örnek 4: Örnekte altı tabakalı dört kenarından basit mesnetlenmiş q üniform yayılı yüküne maruz plak göz önüne alınmıştır. Analizlerde plak kenarı a ile, plak kalınlığı h arasındaki oran değişmektedir. Her bir tabaka ortotrop olup plak malzemesi olarak Graphite/epoxy seçilmiştir. Malzeme özellikleri E =8 GPa, E =.3 GPa,G =7.7 GPa ve υ =.8 dir. Bu örnekte plak farklı tabaka kalınlıklarında incelenecektir. Uygulanan her tabaka kalınlığı için plak yedi farklı açı durumu ile ele alınacak ve değerler (a/, b/) noktası için elde edilecektir. Ayrıca tüm durumlar için her tabakada oluşan gerilmelerin değişimi de incelenmiştir. Yedi farklı durum şöyledir: Birinci durum (9/////9) İkinci durum (9/5/-5/-5/5/9) Üçüncü durum (9/3/-3/-3/3/9) Dördüncü durum (9/45/-45/-45/45/9) Beşinci durum (9/6/-6/-6/6/9) Altıncı durum (9/75/-75/-75/75/9) Yedinci durum (9/9/9/9/9/9) 9 α α -α -α -α -α α α 9 Şekil Örnek 4 için tabaka dizilimi 7

133 Çizelge 6.3. Basit mesnetlenmiş simetrik plak probleminde farklı durumlar için plak eğilme rijitlikleri Tabaka Tipi Plak Kalınlığı (m) Plak Eğilme Rijitlikleri ( -5 ) D D D D 6 D 6 D 66 Durum Durum Durum Durum Durum Durum Durum

134 Çizelge 6.4. Basit mesnetlenmiş simetrik plak probleminde farklı açı durumları ve farklı tabaka kalınlıkları için plak orta noktasındaki çökme değerleri Tabakalanma Durumu Durum- (9//)s Durum- (9/5/-5)s Durum-3 (9/3/-3)s Durum-4 (9/45/-45)s Durum-5 (9/6/-6)s Durum-6 (9/75/-75)s Durum-7 (9/9/9)s a(m) b(m) Plak Kalınlığı (m) Plak Orta Noktasındaki Çökme Değerleri (wx -9 m) D.A.Y. ANSYS Fark %

135 Çizelge 6.5.Basit mesnetlenmiş simetrik plak probleminde farklı açı durumları ve farklı tabaka kalınlıkları için moment değerleri Tabaka Tipi Plak Kalınlığı (m) ANSYS M x Plak Moment Değerleri(GPa.m) D.A.Y. M x Fark % ANSYS M y D.A.Y. M y Fark % Durum- Durum- Durum-3 Durum-4 Durum-5 Durum-6 Durum

136 Analizlerde plağın tabaka kalınlığı arttırılırken aynı anda açı değişimi de yapılarak farklı tabaka kalınlıklarına ve farklı açılara göre sonuçlar irdelenmiştir. Tabaka kalınlığının arttırılmasıyla plak, kalın plak sınıflandırmasına doğru yaklaşmakta ve ince plaklar için kullanılan kabullerin geçerliliği gitgide azaldığından sonuçlar gerçek değerlerden uzaklaşmaktadır. Şekil 6.5, Şekil 6.5, Şekil 6.5, Şekil 6.53 ve Çizelge 6.4 de iki farklı yöntemle farklı tabaka kalınlıklarında, plak orta noktasındaki çökme değerleri karşılaştırılmış ve plak kalınlığının artmasıyla D.A.Y. sonuçlarının ANSYS sonuçlarından uzaklaştığı görülmüştür. Tabaka kalınlığının artması, plak eğilme rijitliklerinin değerini değiştirmekte fakat eğilme rijitliklerinin birbirlerine olan oranını etkilememektedir. Örneğin tabaka kalınlığı artsa bile D rijitliğinin D rijitliğine olan oranı değişmemektedir. Açı değişimi ise, plak eğilme rijitliklerinin hem değerini değiştirmekte hem de eğilme rijitliklerinin birbirine olan oranını etkilemektedir. Açı o den 45 o ye doğru yaklaştıkça, D 6 ve D 6 eğilme rijitliklerinin değeri artmakta, 45 o den 9 o ye doğru yaklaştıkça, D 6 ved 6 eğilme rijitliklerinin değeri azalmaktadır. Ancak simetrik açılı-katlı tabakalanma için kullanılan deplasman fonksiyonu D 6 ve D 6 rijitliklerinin etkisini denklem içinde tam olarak ifade edemediği için, açı değerinin büyüdüğü yani D 6 ve D 6 rijitliklerinin etkisinin arttığı durumlarda, çökme değerleri gerçek değerlerden uzaklaşmaktadır (Çizelge 6.3, Çizelge 6.4). Bu durum deplasman fonksiyonunun değiştirilmesiyle veya özel bir dönüşüm yapılmasıyla aşılabilir. Ancak sınır şartlarını sağlayan ve elastik eğriyi tam olarak ifade eden bir deplasman fonksiyonu elde etmek oldukça zordur. Elde edilen çökme değerleri içerisinde en büyük fark %9.6, en küçük fark %.47 olarak elde edilmiştir. Ayrıca en büyük sapma, tabaka kalınlığının.48 m olduğu ve tabaka açısının 45 o olduğu anda elde edilmiştir. Maksimum çökme o de ve minimum çökme 45 o de meydana gelmiştir. Şekil 6.54 ten 6.6 e kadar ve Çizelge 6.5 te de iki farklı yöntemle elde edilen moment değerleri karşılaştırılmıştır. Şekil 6.54,55,56,57 deki grafiklerde M x moment değerleri gösterilmiştir. Buradan açının artmasıyla M x moment değerlerinin azaldığı ve diğer tabaka kalınlıklarında da aynı durumun ortaya çıktığı

137 görülmektedir. Şekil 6.58, 59, 6, 6 de gösterilen M y grafiklerinde ise moment değerleri o den 45 o dereceye kadar azalmakta, 45 o den 9 o ye doğru da artmaktadır. Bu da bize plağın açı değişimiyle giderek simetrik açılı-katlı tabakalanmaya dönüştüğünü ve açı değerinin büyüdüğü yani D 6 ve D 6 rijitliklerinin etkisinin arttığı durumlarda sonuçların giderek gerçek değerlerden uzaklaştığını bir kez daha göstermiştir. Ayrıca tabaka kalınlığının artmasıyla M x, M y moment değerleride artmaktadır. Şekil 6.6 te tabaka kalınlığının. m olduğu durumda ANSYS programı ile elde edilen gerilme grafiği görülmektedir. Bu grafikten anlaşılacağı gibi açı değeri arttıkça gerilme değerleri azalmaktadır. Aynı durum Şekil 6.34 teki D.A.Y. ile elde edilen sonuçlar içinde geçerlidir. Ayrıca Şekil 6.6 ve 6.63 teki değerler Şekil 6.64 te tek bir grafikte gösterilmiştir. Buradan da açı değişimi o den 45 o ye yaklaştıkça iki yöntemle bulunan gerilmelerin arasındaki farkın bir miktar arttığı görülmektedir. Aynı işlemler tabaka kalınlıkları arttırılarak tekrarlanmış ve bu grafikler Şekil 6.65 ten Şekil 6.73 e kadar gösterilmiştir. Burada dikkat edilmesi gereken önemli husus tabaka kalınlığı arttıkça gerilme değerlerinin azaldığıdır. Şöyle ki en büyük gerilme tabaka kalınlığının en ince olduğu. m kalınlığında 483 ( 3 kn/m ) değerinde iken tabakanın en kalın yani.48 m olduğu durumda 37 ( 3 kn/m ) değerine düşmüştür. Bunun sebebi bizim kabullerimizin ince plaklar için geçerli kabuller olması ve tabaka kalınlığı arttıkça plağın giderek kalın plak durumuna yaklaşmasıdır. Ayrıca bütün farklı tabaka kalınlıklarında açı değeri arttıkça gerilme değerlerinin azaldığı gözlemlenmiştir.

138 Çökme ( -9 m) ANSYS D.A.Y Açı (derece) Şekil.6.5. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için çökme değerlerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı. m) 4 Çökme ( -9 m) ANSYS D.A.Y Açı (derece) Şekil.6.5. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için çökme değerlerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı.4 m) 3

139 Çökme ( -9 m) ANSYS D.A.Y Açı (derece) Şekil.6.5. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için çökme değerlerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı.36 m) Çökme ( -9 m) ANSYS D.A.Y Açı (derece) Şekil Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için çökme değerlerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı.48 m) 4

140 Moment (GPa.m) ANSYS D.A.Y Açı (Derece) Şekil Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için M x değerlerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı. m) 7 6 ANSYS D.A.Y. Moment (GPa.m) Açı (Derece) Şekil Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için M x değerlerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı.4 m) 5

141 7 6 ANSYS D.A.Y. Moment (GPa.m) Açı (Derece) Şekil Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için M x değerlerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı.36 m) 7 Moment (GPa.m) ANSYS D.A.Y Açı (Derece) Şekil Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için M x değerlerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı.48 m) 6

142 Moment (GPa.m) ANSYS D.A.Y Açı (Derece) Şekil Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için M y değerlerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı. m) 8 Moment (GPa.m) ANSYS D.A.Y Açı (Derece) Şekil Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için M y değerlerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı.4 m) 7

143 Moment (GPa.m) ANSYS D.A.Y Açı (Derece) Şekil.6.6. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için M y değerlerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı.36 m) Moment (GPa.m) ANSYS D.A.Y Açı (Derece) Şekil.6.6. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için M y değerlerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı.48 m) 8

144 ,6,4, Tabaka kalınlığı(m) , -,4 -,6 Gerilme ( 3 kn/m ) DURUM- DURUM- DURUM-3 DURUM-4 DURUM-5 DURUM-6 DURUM-7 Şekil.6.6. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σ x gerilmelerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı. m) (ANSYS) 9

145 ,6,4, T a b a ka ka lın lığ ı (m ) , -,4 -,6 Gerilme ( 3 kn/m ) DURUM- DURUM- DURUM-3 DURUM-4 DURUM-5 DURUM-6 DURUM-7 Şekil Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σ x gerilmelerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı. m) (D.A.Y.)

146 ,6,4, T a ba ka ka lın lığı(m ) " -, -,4 -,6 Gerilme ( 3 kn/m ) DURUM-(ANSYS) DURUM-(D.A.Y.) DURUM-3(ANSYS DURUM-3(D.A.Y.) DURUM-4(ANSYS) DURUM-4(D.A.Y.) DURUM-5(ANSYS) DURUM-5(D.A.Y.) DURUM-7(ANSYS) DURUM-7(D.A.Y.) Şekil Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σ x gerilmelerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı. m) (ANSYS-D.A.Y.)

147 ,6,4, Tabaka kalınlığı(m ) , -,4 -,6 Gerilme ( 3 kn/m ) DURUM- DURUM- DURUM-3 DURUM-4 DURUM-5 DURUM-6 DURUM-7 Şekil Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σ x gerilmelerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı.4 m)(ansys)

148 ,6,4, Tabaka kalınlığı(m) , -,4 -,6 Gerilme ( 3 kn/m ) DURUM- DURUM- DURUM-3 DURUM-4 DURUM-5 DURUM-6 DURUM-7 Şekil Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σ x gerilmelerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı.4 m) (D.A.Y.) 3

149 ,6,4, Tabaka kalınlığı(m ) , -,4 -,6 Gerilme ( 3 kn/m ) DURUM-(ANSYS) DURUM-3(D.A.Y.) DURUM-(D.A.Y.) DURUM-4(ANSYS) DURUM-3(ANSYS DURUM-4(D.A.Y.) DURUM-5(ANSYS) DURUM-7(D.A.Y.) DURUM-5(D.A.Y.) DURUM-7(ANSYS) Şekil Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σ x gerilmelerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı.4 m) (ANSYS-D.A.Y.) 4

150 ,6,4, Tabaka kalınlığı(m ) , -,4 -,6 Gerilme ( 3 kn/m ) DURUM- DURUM- DURUM-3 DURUM-4 DURUM-5 DURUM-6 DURUM-7 Şekil Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σ x gerilmelerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı.36 m) (ANSYS) 5

151 ,6,4, T abak a k alınlığı(m ) , -,4 -,6 Gerilme ( 3 kn/m ) DURUM- DURUM- DURUM-3 DURUM-4 DURUM-5 DURUM-6 DURUM-7 Şekil Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σ x gerilmelerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı.36 m)(d.a.y.) 6

152 ,6,4, Tabaka kalınlığı(m) , -,4 -,6 Gerilme ( 3 kn/m ) DURUM-(ANSYS) DURUM-(D.A.Y.) DURUM-3(ANSYS DURUM-3(D.A.Y.) DURUM-4(ANSYS) DURUM-4(D.A.Y.) DURUM-5(ANSYS) DURUM-5(D.A.Y.) DURUM-7(ANSYS) DURUM-7(D.A.Y.) Şekil.6.7. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σ x gerilmelerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı.36 m)(ansys-d.a.y.) 7

153 ,6,4, Tabaka kalınlığı(m ) , -,4 -,6 Gerilme ( 3 kn/m ) DURUM- DURUM- DURUM-3 DURUM-4 DURUM-5 DURUM-6 DURUM-7 Şekil.6.7. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σ x gerilmelerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı.48 m) (ANSYS) 8

154 ,6,4, Tabaka kalınlığı (m ) , -,4 -,6 Gerilme ( 3 kn/m ) DURUM- DURUM- DURUM-3 DURUM-4 DURUM-5 DURUM-6 DURUM-7 Şekil.6.7. Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σ x gerilmelerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı.48 m) (D.A.Y.) 9

155 ,6,4, T a b a ka kalın lığ ı(m ) , -,4 -,6 Gerilme ( 3 kn/m ) DURUM-(ANSYS) DURUM-3(D.A.Y.) DURUM-(D.A.Y.) DURUM-4(ANSYS) DURUM-3(ANSYS DURUM-4(D.A.Y.) DURUM-5(ANSYS) DURUM-7(D.A.Y.) DURUM-5(D.A.Y.) DURUM-7(ANSYS) Şekil Basit mesnetlenmiş simetrik plak problemi için σ x gerilmelerinin karşılaştırılması (tabaka kalınlığı.48 m) (ANSYS-D.A.Y.) 3

156 6... Antisimetrik Tabakalanma Örnek 5: Örnekte, dört kenarından basit mesnetlenmiş q üniform yayılı yüküne maruz, antisimetrik çapraz-katlı tabakalanmış plak göz önüne alınmıştır. Analizlerde, iki, dört, altı, sekiz ve on tabakalı plaklar incelenmiştir. Hesaplamalar iki farklı durum için yapılmıştır. Durum- de tabakalanma için a/b değerlerindeki değişime göre çökme değerleri ve moment değerleri, Durum- de her tabakalanma için E /E oranına göre çökme değerleri ve moment değerleri incelenmiştir. Ayrıca her iki durumdaki uzama eğilme arasındaki girişim etkisi de incelenmiştir. Örnekteki her bir tabaka ortotrop olup, plak malzemesi olarak Durum- için Graphite/epoxy seçilmiştir. Graphite/epoxy için malzeme özellikleri E =8GPa., E =.3 GPa., G =7.7 GPa. ve ν =.8 dir. Durum- için ise farklı E /E oranları kullanılmıştır, G /E =.5 ve ν =.5 olarak seçilmiştir. Örnekte toplam plak kalınlığı değişmemektedir. Değerler (a/, b/) noktası için elde edilecek ve aşağıdaki şekilde normalize edilecektir. Durum- için normalizasyon Boyutsuz deplasman = Durum- için normalizasyon Boyutsuz deplasman = we p we p 3 t 4 b 3 t 4 a Şekil 6.74.Örnek 5 deki dört tabakalı plak için tabakalanma şekli 3

157 Çizelge 6.6. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve a/b oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri Tabaka Sayısı İki Tabaka Tabaka Plak Orta Noktasındaki Çökme a(m) b(m) a/b Kalınlığı Değerleri (w x -9 m) (m) D.A.Y. ANSYS Fark % On Tabaka Sekiz Tabaka Altı Tabaka Dört Tabaka

158 Çizelge 6.7. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve a/b oranına göre plak moment değerleri Tabaka Sayısı a/b Tabaka Kalınlığı (m) D.A.Y M x Plak Moment Değerleri (GPa.m) ANSYS M x Fark % D.A.Y M y ANSYS M y Fark % On Tabaka Sekiz Tabaka Altı Tabaka Dört Tabaka İki Tabaka

159 Çizelge 6.8. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz katlı plak probleminde tabaka sayısına ve a/b oranına göre B değerleri a(m) b(m) a/b B DEĞERLERİ Tabaka 4 Tabaka 6 Tabaka 8 Tabaka Tabaka ,9,8,7 B Değerleri,6,5,4,3,,,5,5,5 3 3,5 4 a/b İki Tabaka Dört Tabaka Altı Tabaka Sekiz Tabaka On Tabaka Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz katlı plak probleminde tabaka sayısına ve a/b oranına göre B değerlerinin karşılaştırılması 34

160 Daha önceki bölümlerde ifade edildiği gibi, antisimetrik çapraz-katlı tabakalanmada uzama rijitlikleri ile eğilme rijitliklerinin yanı sıra B, B = -B uzama ve eğilme arasındaki bağlanma rijitlikleri de bulunmaktadır. Bu tür tabakalarda bulunan B ve B rijitlikleri plak eğilmesi durumunda meydana gelen deformasyonların girişim etkisi altında olduğunu göstermektedir. Bu girişim etkisi ile plak düzlemine dik kuvvetlerin etkisi altındaki simetrik olmayan tabakalanma durumunda, plak düzleminde deplasmanlar meydana gelmektedir. Örnekte, antisimetrik çapraz-katlı tabakalanmış dikdörtgen plak, iki farklı durum için analiz edilmiştir. İlk olarak plak,4,6,8 ve tabakaya ayrılmış ve a/b oranına göre incelenmiştir. Çizelge 6.8 teki B rijitlikleri Şekil 6.75 te grafikle gösterilmiştir. Buradan görüldüğü üzere a/b oranı arttıkça her bir tabadaki B değerleri değişmemekte, ancak tabaka sayısı arttıkça B değerleri azalmaktadır. Bunun sonucu olarak tabakalanma sonsuza doğru yaklaştıkça B değerlerinin denklem içerisindeki etkileri azalmakta ve böylece ANSYS ve D.A.Y. sonuçları birbirine yaklaşmaktadır. Çizelge 6.6 ya bakıldığında iki tabakalı plak ile diğerleri arasındaki çökme değerinde yaklaşık %5 lik bir fark mevcuttur. Tabakalanma sonsuza doğru yaklaştıkça tabakalar arasındaki bu fark a/b oranına bağlı olmaksızın azalmaktadır. Ayrıca yine iki tabakalı plak için D.A.Y. ile ANSYS sonuçları arasında % 4 lık bir fark mevcuttur. Ancak tabaka sayısı arttıkça bu fark giderek yok olmaktadır. Bulunan çökme değerlerinin D.A.Y. sonuçları Şekil 6.76 da, ANSYS sonuçları Şekil 6.77 de ve ANSYS-D.A.Y. sonuçları bir arada Şekil 6.78 de gösterilmiştir. Çizelge 6.7 de de her iki yöntemle elde edilen moment değerleri verilmiştir. Elde edilen moment değerlerinin D.A.Y. ve ANSYS sonuçları Şekil 6.79 ve Şekil 6.8 deki grafiklerde ayrı ayrı gösterilmiştir. Bu grafiklerden görüldüğü gibi moment değerleri tüm tabakalanma durumlarında a/b oranının artmasıyla azalmaktadır. Ve her iki yöntemle bulunan değerlerin bir arada gösterildiği Şekil 6.8 de tabaka sayısı arttıkça ANSYS-D.A.Y. sonuçlarının birbirine yaklaştığı görülmektedir. Aynı durum M x ve M y momentleri için geçerlidir. 35

161 Boyutsuz Deplasman 5 5 5,5,5,5 3 3,5 4 a/b İki tabaka Dört tabaka Altı tabaka Sekiz tabaka On tabaka Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve a/b oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (D.A.Y.) 36

162 5 5 Boyutsuz Deplasman 5,5,5,5 3 3,5 4 a/b İki tabaka Dört tabaka Altı tabaka Sekiz tabaka On tabaka Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve a/b oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (ANSYS) 37

163 Boyutsuz Deplasman 5 5 5,5,5,5 3 3,5 4 a/b İki Tabaka (D.A.Y.) Dört Tabaka (D.A.Y.) Altı Tabaka (D.A.Y.) İki Tabaka (ANSYS) Dört Tabaka (ANSYS) Altı Tabaka (ANSYS) Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve a/b oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (ANSYS-D.A.Y.) 38

164 , 8, 6, Moment (GPa.m) 4,,,,,5,,5,,5 3, 3,5 4, a/b İki Tabaka Dört Tabaka Altı Tabaka Sekiz Tabaka On Tabaka Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve a/b oranına göre M x değerleri (D.A.Y.) 39

165 , 8, 6, Moment (GPa.m) 4,,,,,5,,5,,5 3, 3,5 4, a/b İki Tabaka Dört Tabaka Altı Tabaka Sekiz Tabaka On Tabaka Şekil 6.8. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve a/b oranına göre M x değerleri (ANSYS) 4

166 , 8, 6, Moment (GPa.m) 4,,,,,5,,5,,5 3, 3,5 4, a/b İki Tabaka(ANSYS) Dört Tabaka(ANSYS) Altı Tabaka(ANSYS) İki Tabaka(D.A.Y.) Dört Tabaka(D.A.Y.) Altı Tabaka(D.A.Y.) Şekil 6.8. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve a/b oranına göre M x değerleri (ANSYS-D.A.Y.) 4

167 İkinci olarak plak, E /E oranına bağlı olarak incelenmiştir. Tabakalı kompozit malzemelerde uzama ve eğilme arasındaki girişim etkisi ile oluşan plak üzerindeki deplasmanlar, ortotropik modül olarak tarif edilen E /E oranına bağlıdır. Bunun sonucu olarak Çizelge 6.9 ve Şekil 6.8 de görüldüğü gibi E /E oranı yükseldikçe uzama-eğrilik arasındaki girişim etkisi, yani B değerleri artmaktadır. Ayrıca buradan tabaka sayısının artmasıyla B değerlerinin azaldığı da açıkça görülmektedir. Örnekte G /E oranı ve ν sabit olarak seçilmiştir. E /E oranı ise küçük oranlarda arttırılarak karşılaştırmalar yapılmıştır. E /E = iken Şekil ve Şekil 6.84 de görüldüğü gibi beklenen bir şekilde girişim etkisi çok az oluşmakta, E /E oranı yükseldikçe uzama-eğrilik arasındaki girişim etkisi de artmaktadır. Çizelge 6..a,b ve c de çeşitli E /E oranlarına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri verilmektedir. Burada iki tabakalı durumda iki yöntem birbirinden oldukça farklı sonuçlar vermekte tabaka sayısı arttıkça bu fark giderek yok olmaktadır. Aynı durum Çizelge 6..a,b,c de verilen moment değerleri içinde geçerlidir. Yani tabaka sayısının artmasıyla ANSYS-D.A.Y. sonuçları arasındaki fark giderek azalmaktadır. Ayrıca Şekil 6.86 ve Şekil 6.87 de her iki yöntemin ayrı ayrı gösterildiği grafiklerde E /E oranının artmasıyla moment değerlerinin arttığı görülmektedir. Şekil 6.8 ve Şekil 6.88 de ANSYS ve D.A.Y ile elde edilen sonuçlar bir arada gösterilmiştir. Altı tabaka ve üzeri tabakalanmalarda, iki yöntem yaklaşık aynı sonuçları verdikleri için bu gösterim altı tabakaya kadar verilmiştir. 4

168 Çizelge 6.9. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E /E oranına göre B değerleri a(m) b(m) E /E B DEĞERLERİ Tabaka 4 Tabaka 6 Tabaka 8 Tabaka Tabaka B Değerleri E /E İki tabaka Dört tabaka Altı tabaka Sekiz tabaka On tabaka Şekil 6.8. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E /E oranına göre B değerlerinin karşılaştırılması 43

169 Çizelge 6..a. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E /E oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri Tabaka Sayısı İki Tabaka Tabaka Plak orta noktasındaki çökme değerleri a(m) b(m) E /E Kalınlığı (w x -9 m) (m) D.A.Y. ANSYS Fark % Dört Tabaka

170 Çizelge 6..b. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E /E oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri Tabaka Sayısı Altı Tabaka Tabaka Plak orta noktasındaki çökme değerleri a(m) b(m) E /E Kalınlığı (w x -9 m) (m) D.A.Y. ANSYS Fark % Sekiz Tabaka

171 Çizelge 6..c. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E /E oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri Tabaka Sayısı On Tabaka Tabaka Plak orta noktasındaki çökme değerleri a(m) b(m) E /E Kalınlığı (w x -9 m) (m) D.A.Y. ANSYS Fark % Çizelge 6..a. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E /E oranına göre plak moment değerleri Tabaka Sayısı İki Tabaka E /E Tabaka Kalınlığı (m) D.A.Y M x ANSYS M x Plak moment değerleri Fark D.A.Y % M y ANSYS M y Fark %

172 Çizelge 6..b. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E /E oranına göre plak moment değerleri Tabaka Sayısı E /E Tabaka Kalınlığı (m) D.A.Y M x Plak moment değerleri (GPa.m) ANSYS M x Fark % D.A.Y M y ANSYS M y Fark % Dört Tabaka Altı Tabaka

173 Çizelge 6..c. Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E /E oranına göre plak moment değerleri Tabaka Sayısı E /E Tabaka Kalınlığı (m) D.A.Y M x Plak moment değerleri (GPa.m) ANSYS M x Fark % D.A.Y M y ANSYS M y Fark % Sekiz Tabaka On Tabaka

174 4 3,5 3,5 Boyutsuz Deplasman,5, E /E İki Tabaka Dört Tabaka Altı Tabaka Sekiz Tabaka On Tabaka Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E /E oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (D.A.Y.) 49

175 4 3,5 3,5 Boyutsuz Deplasman,5, E /E İkiTabaka Dört Tabaka Altı Tabaka Sekiz Tabaka On Tabaka Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E /E oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (ANSYS) 5

176 4 3,5 3,5 Boyutsuz Deplasman,5, E /E İki Tabaka (D.A.Y.) Dört Tabaka (D.A.Y.) Altı Tabaka (D.A.Y.) İki Tabaka (ANSYS) Dört Tabaka (ANSYS) Altı Tabaka (ANSYS) Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E /E oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (ANSYS-D.A.Y.) 5

177 ,,5, 9,5 9, Moment (GPa.m) 8,5 8, 7,5 7, 6,5 6, E /E İki Tabaka Dört Tabaka Altı Tabaka Sekiz Tabaka On Tabaka Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E /E oranına göre M x değerleri(d.a.y.) 5

178 ,,5, 9,5 9, Moment (GPa.m) 8,5 8, 7,5 7, 6,5 6, E /E İki Tabaka Dört Tabaka Altı Tabaka Sekiz Tabaka On Tabaka Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E /E oranına göre M x değerleri(ansys) 53

179 ,,5, 9,5 9, Moment (GPa.m) 8,5 8, 7,5 7, 6,5 6, E /E İk Tabaka(D.A.Y.) Dört Tabaka(D.A.Y.) Altı Tabaka(D.A.Y.) İki Tabaka(ANSYS) Dört Tabaka (ANSYS) Altı tabaka (ANSYS) Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik çapraz-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E /E oranına göre M x değerleri(ansys-d.a.y.) 54

180 Örnek 6: Örnekte, dört kenarından basit mesnetlenmiş q üniform yayılı yüküne maruz, antisimetrik açılı-katlı tabakalı plak göz önüne alınmıştır. Analizlerde plak iki,dört,altı,sekiz ve on tabakaya ayrılarak incelenmiştir. Hesaplamalar iki farklı durum için yapılmıştır. Durum- de her tabakalanma için θ açı değerlerindeki değişime göre çökme değerleri ve moment değerleri, Durum- de her tabakalanma için E /E oranına göre çökme değerleri ve moment değerleri incelenmiştir. Ayrıca uzama eğrilik arasındaki girişim etkisi dikkate alınarak B 6, B 6 bağlanma rijitliklerinin sonuçlara olan etkisi incelenmiştir. Örnekteki her iki tabaka ortotrop olup, plak malzemesi olarak Durum- için Graphite/epoxy seçilmiştir. Graphite/epoxy için malzeme özellikleri E =8 GPa., E =.3 GPa., G =7.7 GPa. ve ν =.8 dir. Durum- için ise farklı E /E oranları kullanılmış ve θ=45 o, G /E =.5, ν =.5 olarak seçilmiştir. Örnekte toplam plak kalınlığı değişmemektedir. Değerler (a/, b/) noktası için elde edilerek aşağıdaki şekilde normalize edilmiştir. we t Durum- için normalizasyon Boyutsuz deplasman = 4 p a 3 3 Durum- için normalizasyon we t Boyutsuz deplasman= 4 p a 3 θ θ θ θ +θ -θ +θ -θ Şekil 6.89.Örnek 6 daki dört tabakalı plak için tabakalanma şekli 55

181 Çizelge 6.. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değerindeki değişime göre plak orta noktasındaki çökme değerleri Tabaka Sayısı İki Tabaka Tabaka Plak orta noktasındaki çökme değerleri a(m) b(m) θ Kalınlığı (w x -9 m) (m) D.A.Y. ANSYS Fark % On Tabaka Sekiz Tabaka Altı Tabaka Dört Tabaka

182 Çizelge 6.3. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değerindeki değişime göre plak moment değerleri Tabaka Sayısı θ Tabaka Kalınlığı (m) D.A.Y M x Plak moment değerleri(gpa.m) ANSYS M x Fark % D.A.Y M y ANSYS M y Fark % On Tabaka Sekiz Tabaka Altı Tabaka Dört Tabaka İki Tabaka

183 Çizelge 6.4. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değerindeki değişime göre B 6 değerleri a(m) b(m) θ B 6 DEĞERLERİ Tabaka 4 Tabaka 6 Tabaka 8 Tabaka Tabaka ,5,4 B6 Değerleri,3,,, Açı (Derece) iki Tabaka Dört Tabaka Altı Tabaka Sekiz Tabaka On Tabaka Şekil.6.9. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değerindeki değişime göre B 6 değerleri 58

184 Çizelge 6.5. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değerindeki değişime göre B 6 değerleri a(m) b(m) θ B 6 DEĞERLERİ Tabaka 4 Tabaka 6 Tabaka 8 Tabaka Tabaka ,5,4 B6 Değerleri,3,,, Açı (Derece) iki Tabaka Dört Tabaka Altı Tabaka Sekiz Tabaka On Tabaka Şekil 6.9. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değerindeki değişime göre B6 değerleri 59

185 Örnekte, antisimetrik açılı-katlı tabakalanmış dikdörtgen plak, iki farklı durum için analiz edilmiştir. İlk olarak Şekil 6.9 ve Şekil 6.93 de görüldüğü gibi plak,4,6,8 ve tabakaya ayrılmış, her tabakalanma için θ açı değerinin değişimine göre incelenmiştir. Şekiller incelendiğinde tabakalanma sonsuza doğru yaklaştıkça uzama eğrilik arasındaki girişim etkisinin azaldığı görülmektedir. Bu girişim etkisinin azaldığını uzama-eğrilik arasındaki bağlanma rijitlikleri diye adlandırılan Çizelge 6.4 ve Çizelge 6.5 te verilen B 6 ve B 6 değerlerinden açıkça görmekteyiz. Buradan anlaşılacağı gibi tabaka sayısının artmasıyla bu değerler azalmakta ve dolayısıyla denklem içerisindeki etkisi azalmaktadır. Bunun sonucu olarakta sonuçlar birbirine giderek yaklaşmaktadır. Ayrıca B 6 ve B 6 değerleri açının artmasıyla artmaktadır. Bu da bize sonuçların giderek kötüleşmesi gerektiğini gösterir ki Çizelge 6. ye bakıldığında iki tabakalı plak durumunda açı değeri yükseldikçe D.A.Y ile ANSYS değerleri birbirinden uzaklaşmaktadır, tabaka sayısı arttıkça bu fark azalmaktadır. Şekil 6.94 te çökme değerlerinin, Şekil 6.97 de moment değerlerinin ANSYS ve D.A.Y ile elde edilen sonuçları bir arada gösterilmiştir. Altı tabaka ve üzeri tabakalanmalarda, iki yöntem yaklaşık aynı sonuçları verdikleri için bu gösterim altı tabakaya kadar verilmiştir. 6

186 4 Boyutsuz Deplasman Açı (Derece) iki Tabaka Dört Tabaka Altı Tabaka Sekiz Tabaka On Tabaka Şekil 6.9. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değerindeki değişime göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (D.A.Y.) 6

187 8 Boyutsuz Deplasm an Açı (Derece) iki tabaka Dört tabaka Altı tabaka Sekiz tabaka On tabaka Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değerindeki değişime göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (ANSYS) 6

188 4 Boyutsuz Deplasman Açı (Derece) İki Tabaka (D.A.Y.) Dört Tabaka (D.A.Y.) Altı Tabaka (D.A.Y.) İki Tabaka (ANSYS) Dört Tabaka (ANSYS) Altı tabaka (ANSYS) Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değerindeki değişime göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (ANSYS-D.A.Y.) 63

189 8 6 4 Moment (GPa.m) Açı (Derece) 3 45 iki Tabaka Dört Tabaka Altı Tabaka Sekiz Tabaka On Tabaka Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değerindeki değişime göre M x değerleri (D.A.Y.) 64

190 8 6 4 Moment (GPa.m) Açı (Derece) 3 45 iki Tabaka Dört Tabaka Altı Tabaka Sekiz Tabaka On Tabaka Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değerindeki değişime göre M x değerleri (ANSYS) 65

191 8 6 4 Moment (GPa.m) Açı (Derece) iki Tabaka (D.A.Y.) Dört Tabaka (D.A.Y.) Altı Tabaka (D.A.Y.) İki Tabaka (ANSYS) Dört Tabaka (ANSYS) Altı Tabaka(ANSYS) Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve açı değerindeki değişime göre M x değerleri (ANSYS-D.A.Y.) 66

192 İkinci olarak plak, E /E oranına bağlı olarak incelenmiştir. Tabakalı kompozit malzemelerde uzama ve eğilme arasındaki girişim etkisi ile oluşan plak üzerindeki deplasmanlar, ortotropik modül olarak tarif edilen E /E oranına bağlıdır. Bu örnekte de G /E oranı ve ν sabit olarak seçilmiştir, E /E oranı ise küçük oranlarda arttırılarak karşılaştırmalar yapılmıştır. E /E = iken Şekil 6.99 ve Şekil 6. de görüldüğü gibi beklenen bir şekilde girişim etkisi çok az oluşmakta, E /E oranı yükseldikçe uzama-eğrilik arasındaki girişim etkisi de artmaktadır. Girişim etkisinin yani B 6 ve B 6 değerlerinin E /E oranı ile doğru orantılı olarak arttığını Çizelge 6.6 da görmekteyiz. Çizelge 6.7.a,b ve c de çeşitli E /E oranlarına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri iki farklı yöntemle verilmektedir. Burada da iki tabakalı durum için iki yöntem birbirinden oldukça farklı sonuçlar vermekte tabaka sayısı arttıkça bu fark giderek yok olmaktadır. Aynı durum moment değerleri içinde geçerlidir. Açının artmasıyla moment değerleri birbirinden uzaklaşmakta fakat tabaka sayısının artmasıyla bu fark giderek azalmaktadır. Şekil 6. de çökme değerlerinin, Şekil 6.4 te moment değerlerinin ANSYS ve D.A.Y ile elde edilen sonuçları bir arada gösterilmiştir. Altı tabaka ve üzeri tabakalanmalarda, iki yöntem yaklaşık aynı sonuçları verdikleri için bu gösterim altı tabakaya kadar verilmiştir. 67

193 Çizelge 6.6. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E /E oranına göre B 6 ve B 6 değerleri a(m) b(m) E /E B 6= B 6 DEĞERLERİ Tabaka 4 Tabaka 6 Tabaka 8 Tabaka Tabaka B 6 ve B 6 Değerleri E /E İki tabaka Dört tabaka Altı tabaka 8 tabaka tabaka Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E /E oranına göre B 6 ve B 6 değerleri 68

194 Çizelge 6.7.a. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E /E oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri Tabaka Sayısı İki Tabaka Tabaka Plak orta noktasındaki çökme değerleri a(m) b(m) E /E Kalınlığı (w x -9 m) (m) D.A.Y. ANSYS Fark % Dört Tabaka

195 Çizelge 6.7.b. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E /E oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri Tabaka Sayısı Altı Tabaka Tabaka Plak orta noktasındaki çökme değerleri a(m) b(m) E /E Kalınlığı (w x -9 m) (m) D.A.Y. ANSYS Fark % Sekiz Tabaka

196 Çizelge 6.7.c. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E /E oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri Tabaka Sayısı On Tabaka a(m) b(m) E /E Kalınlığı (m) Tabaka Plak orta noktasındaki çökme değerleri (w x -9 m) D.A.Y. ANSYS Fark % Çizelge 6.8.a. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E /E oranına göre plak moment değerleri Tabaka Sayısı İki Tabaka Tabaka Plak moment değerleri E /E Kalınlığı D.A.Y ANSYS Fark D.A.Y ANSYS Fark (m) M x M x % M y M y %

197 Çizelge 6.8.b. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E /E oranına göre plak moment değerleri Tabaka Sayısı E /E Tabaka Kalınlığı (m) D.A.Y M x Plak moment değerleri (GPa.m) ANSYS M x Fark % D.A.Y M y ANSYS M y Fark % Dört Tabaka Altı Tabaka

198 Çizelge 6.8.c. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E /E oranına göre plak moment değerleri Tabaka Sayısı E /E Tabaka Kalınlığı (m) D.A.Y M x Plak moment değerleri (GPa.m) ANSYS M x Fark % D.A.Y M y ANSYS M y Fark % Sekiz Tabaka On Tabaka

199 4 3,5 3,5 Boyutsuz Deplasman,5, E /E iki Tabaka Dört Tabaka Altı Tabaka Sekiz Tabaka On Tabaka Şekil Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E /E oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (D.A.Y.) 74

200 4 3,5 3,5 Boyutsuz Deplasman,5, E /E iki Tabaka Dört Tabaka AltıTabaka Sekiz Tabaka On Tabaka Şekil 6.. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E /E oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (ANSYS) 75

201 4 3,5 3,5 Boyutsuz Deplasman,5, E /E İki Tabaka (D.A.Y.) Dört Tabaka (D.A.Y.) Altı Tabaka (D.A.Y.) İk itabaka (ANSYS) Dört Tabaka (ANSYS) Altı Tabaka (ANSYS) Şekil 6.. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E /E oranına göre plak orta noktasındaki çökme değerleri (ANSYS-D.A.Y.) 76

202 8 6 Moment (GPa.m) E /E iki Tabaka Dört Tabaka Altı Tabaka Sekiz Tabaka On Tabaka Şekil 6.. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E /E oranına göre M x değerleri (D.A.Y.) 77

203 8 6 Moment (GPa.m) E /E iki Tabaka Dört Tabaka Altı Tabaka Sekiz Tabaka On Tabaka Şekil 6.3. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E /E oranına göre M x değerleri (ANSYS) 78

204 8 6 Moment (GPa.m) Açı (Derece) iki Tabaka (D.A.Y.) Dört Tabaka (D.A.Y.) Altı Tabaka (D.A.Y.) İki Tabaka (ANSYS) Dört Tabaka (ANSYS) Altı Tabaka(ANSYS) Şekil 6.4. Basit mesnetlenmiş antisimetrik açılı-katlı plak probleminde tabaka sayısına ve E /E oranına göre M x değerleri (ANSYS-D.A.Y.) 79

205 7.SONUÇLAR VE ÖNERİLER 7.SONUÇLAR ve ÖNERİLER Bu çalışmada, denge denklemleri kullanılarak Mathematica adlı paket programın yardımıyla bir bilgisayar programı hazırlanmıştır. Hazırlanan bu programda denge denklemleri ile elde edilen diferansiyel denklemlerin çözümünde kullanılan Değişkenlere Ayırma Yöntemi (D.A.Y) kullanılmıştır. Bu yöntemin yardımıyla ince plak teorisi ile çeşitli tipteki tabakalı plakların analizi yapılmış ve sonuçlar birbiriyle karşılaştırılmıştır. Analizlerde yük fonksiyonu ve deplasman fonksiyonu Fourier serisi kullanılarak x ve y değişkenlerine ayrılmıştır. Ayrıca analizler literatürde bulunan ve mühendislik uygulamalarında yaygın olarak kullanılan Sonlu Elemanlar Yöntemine dayalı ANSYS paket programı ile de yapılmıştır. Yapılan analizler sonucunda ANSYS paket programı ile elde edilen değerlerle D.A.Y. ile elde edilen değerlerin bazı durumlarda birbirlerine çok yaklaştığı, bazı durumlarda da birbirlerinden önemli bir ölçüde uzaklaştığı görülmüştür. Bu farklılık, iki yöntemdeki kabullerin ve sınırlandırmaların farklılığından kaynaklanmaktadır. Ayrıca Değişkenlerine Ayırma Yönteminde bazı durumlarda değişkenler tam olarak ayrılamamakta ve seçilen deplasman fonksiyonları plağın davranışını tam olarak ifade edememektedir. Çalışmada ilk olarak tek tabakalı izotropik plak durumu ele alınmış ve analitik çözüm ile ANSYS çözümünün birbirine yakın sonuçlar verdiği görülmüştür. Ayrıca plak kalınlığının arttırılmasının sonucu nasıl etkilediği de gözlemlenmiştir. Beklendiği üzere plak inceldikçe sonuçlar birbirine yaklaşmaktadır. Bunun sebebi değişkenlere ayırma yönteminde ince plaklar için geçerli olan bazı kabüllerin yapılmış olmasıdır. Daha sonra tabakalandırılmış izotropik plak durumu incelenmiş ve izotropik plak durumunda ANSYS ve D.A.Y. nin yaklaşık aynı sonuçları verdiği görülmüştür. İzotropik plak çeşitli tabaka dizilimlerinde denenmiş ve tabaka dizilimlerinde değişim yapılarak, yaklaşık olarak aynı dayanıma sahip olan daha ekonomik tabakalanma şekillerinin elde edilebileceği görülmüştür. Çalışmada, izotropik olmayan tabakalı plakların analizi de yapılmıştır. Bu analizler sonucunda, simetrik plakların özel bir durumu olan özel ortotropik plaklar için ANSYS ve D.A.Y sonuçlarının birbirine çok yakın değerler verdiği görülmüştür. 8

206 7.SONUÇLAR VE ÖNERİLER Ancak tabakalanma simetrik açılı-katlı tabakalanmaya dönüştükçe sonuçlar tabakaların dizilimlerine bağlı olarak değişmektedir. Şöyle ki, simetrik tabakalardaki tabaka açısının değişimi, orta düzleme göre dıştaki tabakalarda meydana gelirse ANSYS ve D.A.Y sonuçları arasındaki fark aşırı bir biçimde artmaktadır fakat açı değişimi orta düzleme yakın tabakalarda meydana gelirse fark çok az olmaktadır. Bu durum eğilme rijitliklerinin birbirlerine olan oranlarının plak eğilmesine olan etkisinden kaynaklanmaktadır. Değişkenlerine Ayırma Yönteminde simetrik plaklar için seçilen deplasman fonksiyonu, D 6 ve D 6 eğilme rijitliklerini denklem içerisinde ifade edememektedir. Plak orta düzleminden uzaklaştıkça D 6 ve D 6 eğilme rijitliklerinin denklem içerisinde ifade edilemedikleri için etkinliklerinin artması, sonucu olumsuz yönde etkilemektedir. Bu durum ANSYS ile D.A.Y çözümleri arasındaki aşırı farktan da anlaşılmaktadır. Deplasman fonksiyonunda yapılacak değişim veya düzenleme, sonucu önemli ölçüde iyileştirebilir ancak gerekli sınır şartlarını sağlayan ve plağın elastik eğrisini tam olarak ifade edebilen bir deplasman fonksiyonu oluşturmakta oldukça güçtür. Ayrıca plaktaki tabaka kalınlığının arttırılmasının D.A.Y ile elde edilen sonuçları olumsuz yönde etkilediği görülmüştür. Buna sebep olarak tabaka kalınlığının artması sonucu, plak eleman içerisinde kayma gerilmeleri meydana gelmesi gösterilebilir. Plak kalınlığının artmasıyla meydana gelen ek kayma gerilmeleri giderek ihmal edilemeyecek sınırlara ulaşarak ince plaklar için yapılan kabullerin geçerliliğini yitirmesine neden olmaktadırlar. Bu çalışmada, antisimetrik tabakalı plakların analizi de yapılmıştır. İlk olarak antisimetrik çapraz-katlı tabakalanma durumu ele alınmıştır. Tabakalı plak sistemlerinde tabakalanmanın simetrik olmaması durumunda plak eğilmesi deformasyonları girişimli olmaktadır. Yani bu tip tabakalanma, B uzama ve eğilme arasındaki bağlanma rijitliklerine sahiptir. Tabakalanma sonsuza doğru yaklaştıkça B rijitliklerinin denkleme olan etkisi azalmaktadır. Bunun sonucu olarakta her iki yöntemle bulunan sonuçlar birbirine yaklaşmaktadır. Çalışmada antisimetrik çaprazkatlı tabakalanma durumu plağın x ve y doğrultusundaki boyutlarının birbirine oranı (a/b) ve farkı E /E oranları için incelenmiş ve tabaka sayısının artmasıyla uzamaeğilme arasındaki girişim etkisinin azaldığı görülmüştür. 8

207 7.SONUÇLAR VE ÖNERİLER Antisimetrik açılı-katlı tabakalanmada da tabakalı plak farklı tabaka açıları ve farklı E /E oranları için incelenmiş ve bu tip tabakalanmada da tabaka sayısının artması ile girişim etkisinin azaldığı görülmüştür. Ayrıca tabaka sayısındaki artışın, ANSYS ve D.A.Y ile elde edilen sonuçların birbirine yaklaşmasına neden olduğu belirlenmiştir. Değişkenlerine ayırma yöntemi tabakalı plaklar için bazı durumlarda çok iyi sonuçlar verirken bazı durumlarda da biraz farklı sonuçlar vermektedir. Wang da değişkenlerine ayırma yönteminin, bazı plak problemleri için tam çözüme neden olurken bazıları için tam çözüme neden olmadığını belirlemiştir. Yani x ve y değişkenlerinin tam olarak ayrımı her zaman mümkün olmamaktadır. Analizler sonucu elde edilen çizelge ve şekillerin incelenmesi ile aynı malzemenin değişik fiber açıları ile tabakalandırılmasıyla farklı deplasman, gerilme ve momentlere sahip olunabileceği ve malzeme özelliklerinde değişiklik yapılarak dizayn için gerekli şartlara sahip değişik plak tipleri meydana getirebileceği görülmektedir. Yüksek dayanımlı, hafif ve ekonomik çözümler farklı durumlar için duruma en uygun tabakalanma şeklinin seçimi ile mümkün olmaktadır. Bu yüzden tabakalı plakların davranışının çok iyi bilinmesi gerekmektedir. 8

208 KAYNAKLAR ASHTON,J.E., 97, Anisotropik Plate Analysis-Boundary Coditions, Journal of Composite Materials, 4, 8-9. AUSTİN,C.D.,3.Buckling of Symmetric Laminated Fiberglass Reinforced Plastic (FRP) Plates. B:S: in Civil Engineering, University of Pittsburgh, 54. DOGAN,A., 4.Fiber Çubuklarla Güçlendirilmiş Tabakalı Plakların Plak Düzlemine Dik Yükleme Etkisindeki Davranışı Y.Lisans Tezi, Ç.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü. ERSOY, H.Y.,. Kompozit Malzeme. Literatür Yayıncılık Dağıtım Pazarlama San. ve Tic. Ltd. Şti., İstanbul, Türkiye, 7. GALERKİN, B.G., 95. Reihenentwicklungen für Einige Faelle des Gleichgewichts von Platten und Balken. Wjestnik Ingerenerow, H.9. GOLUB, G.H., HUANG, L.C., SİMSON, H., et. al., A Fast Poisson Solver for The Finite Diferance Solution of the Incompressible Navier-Stokes Equations Sim. J. Sci. Comput., 9, 5,(998), GÜNALP, G.,. Tabakalı Kompozit Plakların ve Kabukların Statik Analizi. Y. Lisans Tezi, Ç.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü, Adana, 94. HASSIS, H., 998. A Warping Theory of Plate Deformation Eur. Journal Mechanics/Solidis, 7, HOU,J.P., and JERONIMIDIS, G.,. Bending Stiffness of Plates with Delamination. Composites Part A, 3, -3. HYER, M. W., 998. Stres Analysis of Fiber-Reinforced Composite Materials. Mc Graw-Hill Book Comp, Virginia Polytechnic Institute and State Universty, 67. JONES, R.M., 975. Mechanics of Composite Materials. Scripta Book Company,. Washington D.C., 355. JONES, R.M., 999. Mechanics of Composite Materials. Taylor & Francis, Inc. 35. Chestnut Street, Philadelphia, PA96, 59. KAW, A.K., 997. Mechanics of Composite Materials., CRC Press, Boca Raton. London New York Washington, D.C.,

209 LO, K.H., CHRISTENSEN, R.M., and WU, E.M., 997. A High-Order Theory of Plate Deformation. Journal of Applied Mechanics, 44, LUCKING, W.M., HOA, S.V., AND sankar, t.s., 984. The Effect of Geometry on Interlaminar Stresses of [/9]s Composite Laminates with Circular Holes. Journal of Composite Materials, 7, MINDLIN, R.D., 95. Influence of Rotatory Intertia and Shear on Flexural Motions of Isotropic, Elastic Plates. Journal of Applied Mechanics, Vol. 73, ÖZCAN, V.,. Kompozit Tabakalı Plakların dinamik Analizi. Y.Lisans Tezi, Ç.Ü. Fen bilimleri Enstitüsü, Adana, 94. PHAN, N.D., and REDDY, J.N., 985. Analysis of Laminated Composite Plates Using A Hıgher-Order Shear Deformation Theory. International Journal for Numerical Methods in Engineering,, -9. REDDY, J.N., 984. A Simple Higher-Order Theory for Laminated Composite Plates. Journal of Applied M echanics, 5, 745. REDDY, J.N., 987. A refined Nonlinear Theory of Plates with Transverse shear deformation. International Journal for Solids Structures,, REISSNER, E., 944. On The Theory of Bending of Elastic Plates. J.math. Phys, 3, REISSNER, E., 975. On Trasverse Bending of Plates Including The Effect of Transverse Shear Deformation. International Journal for Solids Structures,, SUBRAMANIAN, P., 993. A High-Order Theory for Bending of Isotropic Plates. Computers & Structures, 49(), SURESH,C., PANDA., and NATARAJAN, R., 979. Finite Element Analysis of Laminated Composite Plates. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 4, TIMOSHENKO, ST.,94. Theory of Plates and Shells. New York a. London, Mc Graw-Hill Book Comp. UGURAL, A.C., 98. Stresses In Plates and Shells. New York a. London, Mc.Graw-Hill Book Comp,

210 ANSYS, Theory Reference Manual and ANSYS Element Reference. MATHEMATICA, Wolfram Research, 85

211 ÖZGEÇMİŞ 98 yılında Antakya da doğdum. İlk,orta ve lise öğrenimimi Antakya da tamamladım. Daha sonra Çukurova Üniversitesi Mühendislik Mimarlık Fakültesi İnşaat Mühendisliği bölümünü kazandım. 3 yılında lisans öğrenimimi tamamladım. 6 yılının Şubat ayından itibaren 6 ay bir yapı denetim firmasında Yardımcı Kontrol Elemanı olarak görev yaptım. Şu anda da özel bir şirkette çalışmaktayım. 86

212 EKLER 87

213 EK. Mathematica Programında Hazırlanmış Bilgisayar Programı Programdaki Kısaltmaların Açıklanması nt : Tabaka sayısı a,b : Plağın x ve y doğrultusundaki boyutları Po : Birim yük tbc : Tabakalanma şekli t[] : Tabaka kalınlığı E[] : doğrultusundaki elastisite modülü E[] : doğrultusundaki elastisite modülü G : - düzlemi için kayma modülü Poiss : - düzlemi için poisson oranı aci : Her bir tabakanın açı değeri h[] : Plak kalınlığı c : Kosinüs açısı s : Sinüs açısı sxust[] : Sıfır noktasındaki(birinci tabakanın üst noktası) σ x gerilmesi. sxalt[] : Bir noktasındaki(birinci tabakanın alt noktası) σx gerilmesi sxust[] : Bir noktasındaki(ikinci tabakanın üst noktası) σx gerilmesi sxust[] : İki noktasındaki(ikinci tabakanın alt noktası) σx gerilmesi sxust[] : İki noktasındaki(üçüncü tabakanın üst noktası) σx gerilmesi noktası noktası noktası 3 noktası 4 noktası Birinci tabaka İkinci tabaka Üçüncü tabaka Dördüncü tabaka 88

214 (*FIBERLERLE GUCLENDIRILMIS TABAKALI PLAKLARIN DEGISKENLERINE AYIRMA YONTEMIYLE COZUMU*) Clear["Global`*"]; pi=arctan[.]*4; (*Tabaka sayisini,boyutlarini ve yükü giriniz*) nt=4;a=;b=;po=; (*Tabakalanma seklini giriniz*) (*simetrik (ozel ortotropik) ise tbc=, antisimetrik capraz-katli ise tbc=, antisimetrik acili-katli ise tbc=3*) tbc=; (*================================================================*) (*Tabakalanma ozelliklerini giriniz*) (*Tabaka sayisina gore tabaka ozelliklerini arttiriniz veya azaltiniz*) t[]=.3;e[]=8;e[]=.3; poiss[]=.8;g[]=7.7;aci[]=; t[]=.3;e[]=8;e[]=.3; poiss[]=.8;g[]=7.7;aci[]=9; t[3]=.3;e[3]=8;e[3]=.3; poiss[3]=.8;g[3]=7.7;aci[3]=9; t[4]=.3;e[4]=8;e[4]=.3; poiss[4]=.8;g[4]=7.7;aci[4]=; (*================================================================*) h[]=sum[t[k],{k,,nt,}]; Do[ Do[ Do[ Do[ Do[ Do[ poiss[k]=((poiss[k])*(e[k]))/e[k],{k,,nt,}]; Q[k]=E[k]/(-(poiss[k])*(poiss[k])),{k,,nt,}]; Q[k]=(poiss[k])*E[k]/(-(poiss[k])*(poiss[k])), {k,,nt,}]; Q[k]=E[k]/(-(poiss[k])*(poiss[k])),{k,,nt,}]; Q66[k]=G[k],{k,,nt,}]; θ[k]=aci[k],{k,,nt,}]; Do[c[k]=Cos[θ[k]Degree],{k,,nt,}]//N; Do[s[k]=Sin[θ[k]Degree],{k,,nt,}]//N; Do[T[k]={{(c[k]^),(s[k]^),(*c[k]*s[k])}, {(s[k]^),(c[k]^),(-*s[k]*c[k])}, {(-s[k]*c[k]),(s[k]*c[k]),(c[k]^-s[k]^)}},{k,,nt,}]; 89

215 R={{,,},{,,},{,,}}; Do[Q[k]={{Q[k],Q[k],},{Q[k],Q[k],},{,,Q66[k]}}, {k,,nt,}]; Do[Qtrans[k]=Inverse[T[k]].Q[k].R.T[k].Inverse[R],{k,,nt,}]//N; Do[h[k-]=-h[]/+Sum[t[l],{l,,k-,}],{k,,nt,}]; Do[h[k]=-h[]/+Sum[t[l],{l,,k,}],{k,,nt,}]; (*================================================================*) A= Sum[Qtrans[k][[,]]*Integrate[,{z,h[k-],h[k]}],{k,,nt,}]; A=Sum[Qtrans[k][[,]]*Integrate[,{z,h[k-],h[k]}], {k,,nt,}]; A6=Sum[Qtrans[k][[,3]]*Integrate[,{z,h[k-],h[k]}], {k,,nt,}]; A=Sum[Qtrans[k][[,]]*Integrate[,{z,h[k-],h[k]}], {k,,nt,}]; A6=Sum[Qtrans[k][[,3]]*Integrate[,{z,h[k-],h[k]}], {k,,nt,}]; A66=Sum[Qtrans[k][[3,3]]*Integrate[,{z,h[k-],h[k]}], {k,,nt,}]; A={{A,A,A6},{A,A,A6},{A6,A6,A66}}; (*================================================================*) B= Sum[Qtrans[k][[,]]*Integrate[z,{z,h[k-],h[k]}],{k,,nt,}]; B=Sum[Qtrans[k][[,]]*Integrate[z,{z,h[k-],h[k]}], {k,,nt,}]; B6=Sum[Qtrans[k][[,3]]*Integrate[z,{z,h[k-],h[k]}], {k,,nt,}]; B=Sum[Qtrans[k][[,]]*Integrate[z,{z,h[k-],h[k]}], {k,,nt,}]; B6=Sum[Qtrans[k][[,3]]*Integrate[z,{z,h[k-],h[k]}], {k,,nt,}]; B66=Sum[Qtrans[k][[3,3]]*Integrate[z,{z,h[k-],h[k]}], {k,,nt,}]; B={{B,B,B6},{B,B,B6},{B6,B6,B66}}; (*================================================================*) d=sum[ Qtrans[k][[,]]*Integrate[z^,{z,h[k-],h[k]}],{k,,nt,}]; d=sum[qtrans[k][[,]]*integrate[z^,{z,h[k-],h[k]}], {k,,nt,}]; d6=sum[qtrans[k][[,3]]*integrate[z^,{z,h[k-],h[k]}], {k,,nt,}]; d=sum[qtrans[k][[,]]*integrate[z^,{z,h[k-],h[k]}], {k,,nt,}]; d6=sum[qtrans[k][[,3]]*integrate[z^,{z,h[k-],h[k]}], {k,,nt,}]; d66=sum[qtrans[k][[3,3]]*integrate[z^,{z,h[k-],h[k]}], {k,,nt,}]; 9

216 d={{d,d,d6},{d,d,d6},{d6,d6,d66}}; (*================================================================*) dp={{epx},{epy},{gamaxy},{kx},{ky},{kxy}}; QT={{A,A,A6,B,B,B6},{A,A,A6,B,B,B6}, {A6,A6,A66,B6,B6,B66},{B,B,B6,d,d,d6}, {B,B,B6,d,d,d6},{B6,B6,B66,d6,d6,d66}}; u=amn*cos[(m*\[pi]*x)/a]*sin[(n*\[pi]*y)/b]; v=bmn*sin[(m*\[pi]*x)/a]*cos[(n*\[pi]*y)/b]; u=amn*sin[(m*\[pi]*x)/a]*cos[(n*\[pi]*y)/b]; v=bmn*cos[(m*\[pi]*x)/a]*sin[(n*\[pi]*y)/b]; w=cmn*sin[(m*\[pi]*x)/a]*sin[(n*\[pi]*y)/b]; (If[tbc\[Equal],(u=u;v=v;Goto[basla]),Continue]; If[tbc\[Equal],(u=u;v=v;Goto[basla]),Continue]; If[tbc\[Equal]3,(u=u;v=v;Goto[basla])]; Label[basla]); epx=d[u,x]; epy=d[v,y]; gamaxy=d[u,y]+d[v,x]; kx=-d[w,x,x]; ky=-d[w,y,y]; kxy=-*d[w,x,y]; (*================================================================*) (*tabaka ust noktası*) Do[gerust[z-]=Qtrans[z].{{epx},{epy},{gamaxy}}+ h[z-]*qtrans[z].{{kx},{ky},{kxy}},{z,,nt,}] Do[sxust[z-]=gerust[z-][[,]],{z,,nt,}] Do[syust[z-]=gerust[z-][[,]],{z,,nt,}] Do[sxyust[z-]=gerust[z-][[3,]],{z,,nt,}] (*tabaka alt noktas\[dotlessi]*) Do[geralt[z]=Qtrans[z].{{epx},{epy},{gamaxy}}+ h[z]*qtrans[z].{{kx},{ky},{kxy}},{z,,nt,}] Do[sxalt[z]=geralt[z][[,]],{z,,nt,}] Do[syalt[z]=geralt[z][[,]],{z,,nt,}] Do[sxyalt[z]=geralt[z][[3,]],{z,,nt,}] (*================================================================*) {{Nx},{Ny},{Nxy}}={{A,A,A6},{A,A,A6},{A6,A6,A66}}. {{epx},{epy},{gamaxy}}+{{b,b,b6}, {B,B,B6},{B6,B6,B66}}.{{kx},{ky},{kxy}}; {{Mx},{My},{Mxy}}={{B,B,B6},{B,B,B6},{B6,B6,B66}}. {{epx},{epy},{gamaxy}}+{{d,d,d6}, {d,d,d6},{d6,d6,d66}}.{{kx},{ky},{kxy}}; (*================================================================*) denklem=d[nx,x]+d[nxy,y]; denklem=d[nxy,x]+d[ny,y]; 9

217 denklem3=d[mx,x,x]+*d[mxy,x,y]+d[my,y,y]; (*================================================================*) pmn=6*po/((pi^)*(m*n)); x=a/; y=b/; p=pmn*sin[(m*pi*x)/a]*sin[(n*pi*y)/b]; sonuc= Solve[{denklem\[Equal].,denklem\[Equal].,denklem3\[Equal]- p},{amn,bmn, Cmn}]; Cmn=Cmn/.sonuc; Amn=Amn/.sonuc; Bmn=Bmn/.sonuc; cokme=sum[cmn*sin[(m*pi*x)/a]*sin[(n*pi*y)/b], {m,,,},{n,,,}]; (*================================================================*) (*sonuclar*) Print[" Toplam tabaka sayisi"] nt Print[" COKME"] wmax=cokme Print[" Mx momenti"] MX=Sum[Mx,{m,,,},{n,,,}] Print[" My momenti"] MY=Sum[My,{m,,,},{n,,,}] Print[" Mxy momenti"] MXY=Sum[Mxy,{m,,,},{n,,,}] (*================================================================*) (*Tabaka sayisina gore nokta numaralarini arttiriniz veya azaltiniz*) Print["X dogrultusundaki gerilmeler"] Sum[sxust[],{m,,,},{n,,,}] Sum[sxalt[],{m,,,},{n,,,}] Sum[sxust[],{m,,,},{n,,,}] Sum[sxalt[],{m,,,},{n,,,}] Sum[sxust[],{m,,,},{n,,,}] Sum[sxalt[3],{m,,,},{n,,,}] Sum[sxust[3],{m,,,},{n,,,}] Sum[sxalt[4],{m,,,},{n,,,}] 9

218 Print["Y dogrultusundaki gerilmeler"] Sum[syust[],{m,,,},{n,,,}] Sum[syalt[],{m,,,},{n,,,}] Sum[syust[],{m,,,},{n,,,}] Sum[syalt[],{m,,,},{n,,,}] Sum[syust[],{m,,,},{n,,,}] Sum[syalt[3],{m,,,},{n,,,}] Sum[syust[3],{m,,,},{n,,,}] Sum[syalt[4],{m,,,},{n,,,}] (*================================================================*) 93