DEĞİŞKEN FİZİKSEL ÖZELLİKLİ AKIŞKAN İLE ISI TAŞINIMINA MANYETİK ALANIN ETKİSİNİN SAYISAL OLARAK İNCELENMESİ

Transkript

1 PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİ SLİK FAKÜLTESİ PAMUKKALE UNIVERSITY ENGINEERING FACULTY MÜHENDİSLİK B İ L İ MLERİ DERGİSİ JOURNAL OF ENGINEERING SCIENCES YIL CİLT SAYI SAYFA : 008 : 4 : : 4-47 DEĞİŞKEN FİZİKSEL ÖZELLİKLİ AKIŞKAN İLE ISI TAŞINIMINA MANYETİK ALANIN ETKİSİNİN SAYISAL OLARAK İNCELENMESİ Ziyaddin RECEBLİ, Kemal ATİK, Perihan SEKMEN Karabük Üniversitesi, Teknik Eğitim Fakültesi, Makina Eğitimi Bölümü, Balıklarkayası,7800/Karabük Geliş Tarihi : ÖZET Manyetik alanın etkisiyle akışkanların hızlarının değiştiği bilinmektedir. Yapılan bazı çalışmalarda sıcaklıkla fiziksel özelliklerin değişmediği kabul edilerek manyetik alanın ısı taşınımına etkisi araştırılmıştır. Sıcaklığın etkisiyle akışkanların fiziksel özellikleri değişeceği için bu çalışmada sıcaklıkla fiziksel özellikleri değişen akışkan ile ısı taşınımına manyetik alanın etkisi incelenmiştir. Çözümde akışkana etkiyen elektromanyetik kuvveti içeren momentum, süreklilik ve enerji denklemleri kullanılmıştır. Silindirik koordinat sisteminde yazılan denklem sistemi sayısal metotlardan sonlu farklar yöntemiyle çözülerek manyetik alanın şiddetine ve akışkanın diğer fiziksel özelliklerine bağlı olarak eksenel ve radyal yönlerdeki sıcaklıklar ile Nusselt sayıları hesaplanmıştır.çözüm sonuçlarına göre; akış yönüne dik olarak yerleştirilen manyetik alanın şiddeti artırıldığında soğutulan akışkan için hız ve sıcaklıklarda azalmalar olduğu görülmüştür. Daha önceki çalışmalarda tespit edildiği gibi Reynolds sayısının artışıyla Nusselt sayısının arttığı, manyetik alan etkisinin artmasıyla da Nusselt sayısının azaldığı bu çalışmada da gözlemlenmiştir. Elde edilen teorik sonuçlar, daha önce tarafımızdan, sabit fiziksel özellikli akışkanla yapılan benzeri çalışmanın sonuçları ile karşılaştırıldığında uyum içinde olduğu görülmüştür. Anahtar Kelimeler : Manyetik alan, Isı taşınımı, Sıcaklık dağılımı, Borularda akış. A NUMERICAL INVESTIGATION OF EFFECT OF MAGNETIC FIELD ON HEAT CONVECTION WITH VARIABLE PHYSICAL PROPERTIES ABSTRACT In some studies, the effect of magnetic field on heat convection has been investigated given that physical properties are constant regardless of temperature. The effect of magnetic field on heat convection and fluids whose physical properties change by temperature has been investigated in this study as physical properties of fluids change by the effect of temperature. Momentum, continuity and energy equations including electromagnetic force affecting the fluid were used in the solution. Temperatures at axial and radial directions and Nusselt numbers were calculated depending on magnetic field intensity and other physical properties of fluid by solving the equation system written in cylindrical coordinates system by means of one of the numerical methods which is finite difference method. According to results, velocity and temperature of the cooled fluid decreased following an increase in the intensity of magnetic field placed vertically to flow direction. As determined in the previous one, this study also indicated that the increase in Reynolds number increases Nusselt number, and increasing the effect of magnetic field decreases Nusselt number. The theoretical results of the present study are in conformity with the results of our previous one. Key Words : Magnetic field, Heat convection, Temperature dispersion, Flow on pipes. 4

2 . GİRİŞ Kütle taşınımı ile ısı iletimine manyetik alan etkileri farklı bilim adamları tarafından incelenmiştir. Yapılan deneysel çalışmalarda genellikle, akışkan olarak fiziksel özellikleri sıcaklığa bağlı olmayan cıva, galyum, ergimiş metaller kullanılmıştır. manyetik alan içerisine yerleştirilen ve manyetik alandan etkilenmemesi için bakırdan yapılan R yarıçaplı yatay bir silindirik boru gösterilmiştir. Tashtoush v.d., (004), dalgalı bir yüzeydeki zorlanmış ısı transferi ve akışa manyetik alan etkisini sayısal olarak (sonlu farklar metoduyla) incelemişlerdir. Manyetik alanın Nusselt sayısını azaltarak ve yüzey sıcaklığını arttırarak taşınımla ısı transferini azalttığını bulmuşlardır. Ji v.d., (997), yatay silindirik boruda türbülanslı akışta sabit manyetik alanın ısı taşınımına etkisini incelemişlerdir. Hartman sayısının artması ile Re sayısının dolayısıylada Nu sayısının azaldığını göstermişlerdir. Afify, değişken viskoziteli ve elektriksel iletkenlikli akışkanın manyetik alan içerisindeki düşey yüzeydeki serbest ısı taşınımını sonlu farklar yöntemi ile incelemiştir (Afify, 007). Hız ve sıcaklık profilleri ile Nusselt sayılarını farklı parametrelere göre göstermiştir. Hossain v.d., (00) enine manyetik alan içerisindeki döner disk üzerindeki daimi olmayan akışta manyetik alan ve sıcaklığa bağlı viskozitenin ısı transferine etkilerini sonlu farklar yöntemiyle incelemişlerdir. Viskozite değişim parametresinin artmasıyla radyal ve teğetsel hız bileşenlerinin azaldığını, manyetik alan parametresinin artmasıyla eksenel hız bileşeninin azaldığını görmüşlerdir. Racabovadiloglu ve Atik (005) yaptıkları teorik çalışmada manyetik alanın sabit fiziksel özellikli akışkan ile ısı transferine etkilerini incelemiş, akış hızlarının, dolayısıyla Reynolds sayılarının ve sıcaklıkların alan etkisiyle azaldıklarını görmüşlerdir. Gerçekte akışkanların fiziksel özelliklerinin sıcaklığa bağlı oldukları ve zorlanmış taşınım ile ısı transferinde sıcaklıkların değişimiyle fiziksel özelliklerin değişiminin taşınan ısı miktarını değiştireceği düşüncesi ile bu çalışmada değişken fiziksel özellikli akışkan ile ısı taşınımına manyetik alan etkileri incelenmiştir.. PROBLEM TARİFİ Şekil de içerisinde sabit basınç farkı altında viskoziteli bir akışkanın laminer olarak aktığı, Şekil. Manyetik alan etkisinde kalan yatay boruda koordinat sisteminin yerleştirilmesi. Boru girişinde akışkan sıcaklığının (T=00 C) ve boru duvarındaki sıcaklığın (T=0 C) sabit kaldıkları kabul edilmektedir. Bu durumda akışkan ile ısı taşınımına sabit manyetik alan etkisinin incelenmiştir. Çözümde elektromanyetik kuvvet içeren momentum denklemi, süreklilik denklemi ve enerji denklemi kullanılmıştır. Momentum denklemi: ρ U + = + µ + U( U) P U J B () t Burada, J = γ E+ U B elektrik akım yoğunluğu, J B manyetik alandan dolayı akışkana etkiyen kuvvettir. Süreklilik denklemi: div U = 0 () Sıcaklık farkının küçük olduğu haller için enerji denklemi: T λ + U T = t ρc J P J T + + Ws σ (3) Burada; akışkanın ısıtılması için harcanan σ enerji, W s sürtünmeyi yenmek için harcanan enerjidir. Mühendislik Bilimleri Dergisi () Journal of Engineering Sciences () 4-47

3 Çözüm için yapılan kabuller şu şekildedir: Akışkanın parçacıkları boru eksenine paralel olarak hareket etmektedirler, yani akış simetriktir. Akış simetrik olduğundan hız bileşenleri için ur = 0, u ϕ = 0, u z = u yazılabilir, Akış diğer kütlesel kuvvetlerden etkilenmemektedir, Uygulanan manyetik alan şiddeti sabit ve akışa diktir. Akışın ve sıcaklık dağılımının daimi, simetrik olduğu dikkate alınarak t ve ϕ ye göre türevli terimler enerji denkleminden çıkarılmıştır. Akış hızının çok da büyük olmayacağı ve dolayısıyla sistemde sıcaklık kaybından dolayı bir enerji düşüşünün olmayacağı düşünülerek enerji denkleminden (Eş.3) son iki terim çıkarılmıştır. Yapılan kabuller sonucu momentum ve süreklilik denklemleri: u u P µ ( T) + = r r r (4) z şeklini, enerji denklemi ise: T T T T u = a(t) + + (5) z r r r z şeklini alacaktır. Burada a(t) ısı yayınım katsayısı; µ(t) dinamik viskozitedir ve sıcaklığa bağlıdır. Momentum denklemi için sınır şartları: µ ( Ti, j) u i, j+ u i, j + u i, j u i, j+ u i, j P + = (9) ( r) r r z Ti + j T, i, j i, j = a(ti, j). z Ti, j+ Ti, j + Ti, j Ti, j+ Ti, j + ( r) r r u (0) Ti + +, j T i, j ( z) + T i, j Kullanılan akışkanın fiziksel özellikleri olan dinamik viskozitesi (µ) ve ısıl yayınım katsayısı (a) sıcaklığa bağlı olarak değişmektedir. Akışkanın fiziksel özelliklerinin sıcaklığa bağlı olan değişim ifadeleri 0 ºC aralıklarla verilen tablodan (Yüncü ve Kakaç, 999) eğri uydurma yoluyla elde edilmişlerdir. Uydurulan eğrilerin analitik ifadeleri Denklem () ve () de; grafikleri ve korelasyon katsayıları ise Şekil ve Şekil 3 de gösterilmiştir. µ a ( T) = 3.0 T T 5.0 T () 0 7 ( T) =.0 T T +.0 () Isıl yaynım katsayısı, a (m /s),7e-07,7e-07,6e-07,6e-07,5e-07,5e-07,4e-07,4e-07,3e-07 a Polinom (a) y = -E-x + 6E-0x + E-07 R = 0, Sıcaklık T ( o C) Şekil. Isıl yayınım katsayısı için uydurulan eğri. r= R olduğunda u=0 (6) Enerji denklemi için sınır şartları: z= 0 olduğunda T=T 0 =00 C (7) r=r olduğunda T=T d =0 C (8) olacaklardır. Dinamik Viskozite, µ (kg/ms),6e-03,4e-03 y= -3E-09x 3 + 6E-07x - 5E-05x + 0,008 R = 0,9978,E-03,0E-03 "µ" 8,E-04 Polinom ("µ") 6,E-04 4,E-04,E-04,E Sı caklı k T ( o C) 3. SAYISAL ÇÖZÜM Yapılan sadeleştirmelerden sonra elde edilen (4) ve (5) nolu eşitlikler aşağıda verilen sonlu fark denklemlerine dönüştürülmüştür. Şekil 3. Dinamik viskozite için uydurulan eğri. Sonlu fark denklemlerinin çözümleri basit iterasyon yöntemiyle yapılmaktadır. Hem yakınsamanın sağlanması hem de çözüm süresinin artmaması amacıyla, çözüm bölgesi Şekil 4 de görüldüğü gibi boru ekseni ve yarıçap boyunca 00 er küçük eşit Mühendislik Bilimleri Dergisi () Journal of Engineering Sciences () 4-47

4 parçaya (sonlu farklar) ayrılmış, böylece 00 x 00 = 0000 düğüm noktası olan ağ elde edilmiştir. Bu ağdaki her bir nokta için diferansiyel denklemin sağlanması istenmektedir (Aldaş ve Karadağ, 00). kullanılmıştır (Yüncü ve Kakaç, 999; Halıcı ve Gündüz, 998), D RePr L Nu = (3) /3 D RePr L Reynolds sayısının hesaplanmasında ise U D Re = (4) ν Şekil 4. Sonlu farklar ağı. Akışkan olarak %0 tuzlu su kullanılmıştır. Hesaplamada kullanılan borunun yarıçapı R = m, uzunluğu z = m. dir. Uygulanan basınç farkı 0.6 Pa/m dir. Visual Basic kodunda geliştirilen bir program ile; Denklem (9) ve (0) kullanılarak her bir nokta için hız ve sıcaklık değerleri hesaplanmaktadır. Her iterasyon işleminde bir önceki iterasyon sonuçları kullanılmakta; böylece gerçeğe daha yakın değerler elde edilmektedir. Bu çözümün yakınsamasını görmek amacıyla, iterasyon işlemlerinin her adımında bazı noktalardaki sıcaklık değerleri arasındaki mutlak hata değerleri hesaplanmıştır. Boru ortasındaki nokta için hata değerinin iterasyon sayısına bağlı değişimi Şekil 5 de verilmiştir. Bu şekilden anlaşılacağı gibi hata değerinin sönümlenmesi yöntemin yakınsamasını göstermektedir (Çağal, 998) iterasyonda sıcaklık değerindeki mutlak hata.05e-5 C değerine ulaştığından iterasyon durdurularak hesaplanan değerler kaydedilmiştir. denklemi kullanılmıştır. Yapılan hesaplama sonuçlarının doğruluğu literatürdeki analitik ve sayısal çözüm sonuçlarına uygunluğundan anlaşılmıştır. Program önce akışkanın fiziksel özellikleri sabit olarak çalıştırılmış (Şekil 6, Şekil 7 ve Şekil 8 deki B=0 ve sabit özellikli hal için çizilen eğriler), daha önce yapılan analitik ve sayısal çözümlerle eşit sıcaklık profili elde edilmiştir (Targ, 950; Racabovadiloğlu, 00; Racabovadiloğlu ve Atik, 005). Boyutsuz Sıcaklık (θ) 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 Değişken, B= Değişken, B= Sabit, B= Sabit, B= 0 0,5,5,5 3 3,5 Şekil 6. r = 0 için farklı manyetik alanlarda boyutsuz sıcaklığın eksen boyunca değişimi. Mutlak Hata ( 0 C) 6,0E-0 5,0E-0 4,0E-0 3,0E-0,0E-0,0E-0 0,0E İteraston sayısı Boyutsuz Sıcaklık (θ) 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0 0,5,5,5 3 3,5 Değişken, B= Değişken, B= Sabit, B= Sabit, B= Şekil 5. İterasyonla sıcaklıktaki hatanın değişimi. Nusselt sayısının hesaplanmasında laminer akışta (Re<300), sabit yüzey sıcaklığında, tam gelişmemiş akış için tavsiye edilen aşağıdaki eşitlik Şekil 7. r = 0.4 için farklı manyetik alanlarda boyutsuz sıcaklığın eksen boyunca değişimi. Bu hesaplamalarda ortalama sıcaklık değeri olan 60 ºC deki ısıl yayınım ve dinamik viskozite Mühendislik Bilimleri Dergisi () Journal of Engineering Sciences () 4-47

5 değerleri kullanılmıştır. Sonra akışkanın fiziksel özelliklerinin sıcaklığa bağlı olarak değiştiği durum için hesaplamalar tekrar yapılmıştır. Bu işlemlerde her bir iterasyonda; her noktadaki hız ve sıcaklık değerleri, o noktanın sıcaklığına karşılık gelen, () ve () denklemlerinden elde edilen fiziksel özellikler kullanılarak hesaplanmıştır. Şekil 6, Şekil 7 ve Şekil 8a ve b de akışkanın fiziksel özelliklerinin sıcaklığa bağlı olarak değiştiği ve akışkanın fiziksel özelliklerinin 60 C sıcaklıktaki sabit değerlere eşit kaldıkları hal için sıcaklığının manyetik alan şiddetine ve boyutsuz boru uzunluğuna göre değişimini gösteren grafikler verilmiştir. Şekil 6 da boru ekseninde (r = 0), Şekil 7 te boyutsuz yarıçap r = 0.4 için, Şekil 8 de boyutsuz yarıçap r = 0.8 için sıcaklığın farklı manyetik alan indüksiyonlarında (B = 0, B = ve B = T) boyutsuz eksen boyunca boyutsuz sıcaklık değerleri gösterilmiştir. Boyutsuz Sıcaklık (θ ) Boyutsuz Sıcaklık θ 0,3 0, 0, 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 0,5,5,5 3 3,5 (a) Değişken, B= Değişken, B= Sabit, B= Sabit, B= Değişken, B= Değişken, B= Sabit, B= Sabit, B= 0 0,5,5,5 3 3,5 (b) Şekil 8. a, b. r = 0.8 için farklı manyetik alanlarda boyutsuz sıcaklığın eksen boyunca değişimi. Grafiklerden de anlaşıldığı gibi, manyetik alan etkisinin artması ile boyutsuz sıcaklıkta azalma olmaktadır. Akışkanın fiziksel özellikleri sıcaklığa bağlı olarak değiştiğinde boru ekseninde manyetik alan indüksiyonu B = (T) olduğunda bu azalmalar ortalama %.6, B = (T) olduğunda % 6.7 e, boyutsuz yarıçap r = 0.4 için manyetik alan indüksiyonu B = (T) olduğunda %.0 e, B = (T) olduğunda % 7.5 ye, boyutsuz yarıçap r = 0.8 için manyetik alan indüksiyonu B = (T) olduğunda %.6 ya, B = (T) olduğunda ise azalmalar % 9. ye ulaşmaktadırlar. Sıcaklık dağılımlarındaki bu tür değişimler akışkanın hızında meydana gelen azalmalar ile bağlantılıdır. Bu grafiklerden çıkan en önemli sonuç; akışkanın fiziksel özelliklerinin değişken olduğu durumdaki sıcaklık değerlerinin; fiziksel özelliklerin sabit kaldığı duruma göre daha çok azalmasıdır. Örneğin, boru ekseninde manyetik alan indüksiyonu B = 0 (T) olduğunda bu azalma ortalama %.8 e, B = (T) olduğunda %. ye, B=(T) olduğunda ise % 3.8 e ulaşmaktadır. Boyutsuz yarıçap r = 0.4 için manyetik alan indüksiyonu B = 0 (T) olduğunda azalmalar ortalama %.9, B = (T) olduğunda %.57, B=(T) olduğunda ise % 4.7 olmuştur. Boyutsuz yarıçap r = 0.8 için manyetik alan indüksiyonu B = 0 (T) olduğunda azalmalar %.7 ye, B = (T) olduğunda %.5, manyetik alan indüksiyonu B = (T) olduğunda ise bu düşüşler %4.36 ya ulaşmaktadırlar. Bunun nedeni: akışkanın hızına ve ısı geçişine etki eden özellikleri olan a ve µ nün sıcaklıkla önemli ölçüde değişmesidir. Bu özellikler sabit alındığında, her noktada gerçek sıcaklık değerinden farklı değerdeki özellikler alınacağı için hesaplamalarda hataya sebep olmaktadır. Örneğin ısıl yayınım katsayısı ve dinamik viskozite 0 ºC için a= (m /s), µ= (kg/ms) değerinde, 50 ºC için a = (m /s), µ= (kg/ms) değerinde iken 00 ºC için a= (m /s), µ= (kg/ms) değerinde olmaktadır (Yüncü ve Kakaç, 999). Bu da; fiziksel değerler sabit alındığında önemli hesap hataları meydana getirmektedir. Şekil 9a ve b de Nusselt sayısının Reynolds sayısına göre değişim grafiği çizilmiştir. Bu grafikte görüleceği gibi, Reynolds sayısının artmasıyla Nusselt sayısı artmaktadır. Bu sonuç literatürdeki çalışmalara uymaktadır (Targ,950; Racabovadiloğlu ve Atik, 005). Reynolds sayısının azalmasıyla Nusselt sayısı düşmekte ve borularda tam gelişmiş akış için verilen Nu = 3.66 değerine doğru yaklaşmaktadır (Yüncü ve Kakaç, 999). Değişken özellikli çözümde B= (T) için Reynolds sayısının 3.49 den 4.80 e çıkmasıyla Nusselt sayısı % 8 artmıştır. Şekilden manyetik alanın artmasıyla Nusselt sayısının çok küçük değerde azaldığı da görülmektedir. Fiziksel özellikleri değişken olan çözümle, sabit olan çözüm arasındaki bu fark Re= 0 civarında, B=0 (T) için % 0.3; B= (T) için % 0.35; B= (T) için % 0.58 olmuştur. Mühendislik Bilimleri Dergisi () Journal of Engineering Sciences () 4-47

6 Nu Nu 4,90 4,70 4,50 B= sabit 4,30 B= sabit B=0, Değişken 4,0 B=, Değişken 3 8 3B=, Değişken8 4,75 4,70 4,65 4,60 4,55 4,50 (a) Re B=0 sabit B=0 sabit B= sabit B= sabit B=0, Değişken B=, Değişken B=, Değişken 4, (b) Şekil 9. Nusselt sayısının Reynolds sayısına bağlı olarak değişimi. Şekil 0 da eşit Reynolds sayıları için (Re ~ 0) farklı manyetik alanlarda Nusselt sayılarının değişim eğrileri çizilmiştir. Nu 4,6 4,6 4,6 4,59 4,58 4,57 4,56 4,55 4,54 Re Sabit Değişken 0 Manyetik Alan İndüksiyonu, B Şekil 0. Nusselt sayısının manyetik alan şiddetine bağlı değişimi. Şekil 0 da manyetik alan şiddetinin artması ile Nusselt sayısının da azaldığı görülmektedir. Manyetik alan indüksiyonu B = (T), olduğunda Nusselt sayısındaki azalma % 0.7 olduğu halde, B = (T) olduğunda bu azalma %. e ulaşmıştır. Yine şekil 0 da Nusselt sayılarının, fiziksel özelliklerin sabit kaldığı çözümdeki değerleri ile, fiziksel özelliklerin değişken olduğu çözümdeki değerleri arasındaki farkın ortalama % 0.4 olduğu görülmektedir. 4. TARTIŞMA VE SONUÇ Silindirik yatay bir boruda değişken fiziksel özellikli akışkanın kullanıldığı zorlanmış taşınım ile ısı transferine manyetik alan etkisi sayısal olarak incelenmiştir. Borunun radyal ve eksenel yönlerdeki akışkan sıcaklıkları hesaplanarak akışkanın fiziksel özelliklerinin sabit olduğu çözümle karşılaştırılmıştır. Akışa dik olarak yöneltilen manyetik alanın şiddeti artırıldığında, akış hızında azalma olduğu gibi ortalama sıcaklıklarda da azalmalar olduğu tespit edilmiştir. Fiziksel özelliklerin sıcaklığa bağlı olarak değişken oldukları haldeki çözümde elde edilen ortalama sıcaklık değerlerinde sabit duruma göre daha fazla azalmalar olduğu tespit edilmiştir. Manyetik alan indüksiyonunun artırılmasıyla Reynolds sayısının azaldığı, dolayısıyla Nusselt sayısının azaldığı ve tam gelişmiş akım için literatürde verilen değere doğru yaklaştığı gözlemlenmiştir. Bu da daha önce yapılmış analitik ve sayısal çözümlere uymakta ve elde edilen sonuçların doğruluğunu göstermektedir. 5. SİMGELER E : Elektrik alan şiddeti (V/m), J : Elektrik akım yoğunluğu (A/m ), B : Manyetik alan indüksiyonu (T), D : Boru çapı (m), g :Yerçekimi ivmesi (m/s ), Nu : Nusselt sayısı, (Nu= αd/λ) P : Basınç (N/m ), Pr : Prandtl sayısı, ( Pr=c p µ/λ), R : Boru yarıçapı (m), Re : Reynolds sayısı, (Re= UD/ν), t : Zaman (s), T d : Boru cidar sıcaklığı ( C), T 0 : Boru eksenindeki sıcaklık( C), U : Ortalama akış hızı (m/s), u : Yerel akış hızı (m/s), u r, uϕ, u z :Hız bileşenleri (m/s), α : Yüzey ısı taşınım katsayısı ( W/m K), γ : Özgül elektriksel iletkenliği (/Ohm.m), µ : Dinamik viskozite (kg/ms ), a : Isı yayınım katsayısı (m /s), Mühendislik Bilimleri Dergisi () Journal of Engineering Sciences () 4-47

7 c p : Özgül ısısı (J/kgK), λ : Isıl iletkenlik katsayısı (W/mK), ν : Kinematik viskozite (m /s), ρ : Yoğunluk (kg/m 3 ), ϕ, z, r : Silindirik sistemin koordinatları, r : Boyutsuz yarıçap (r =r/r), z : Boyutsuz eksen (z =z/r), θ : Boyutsuz sıcaklık, ( θ = ( T T )/( T )). 6. KAYNAKLAR 0 d To Afify, A. A Effects of Variable Viscosity On Non-Darcy MHD Free Convection Along A Non- İsothermal Vertical Surfacein A Thermally Stratified Porous Medium. Applied Mathematical Modelling 3, Aldaş, K. ve Karabulut, H. 00. Yatay Bir Boru Üzerindeki Laminer Film Yoğuşmasının Silindirik ve Kartezyen Sınır Tabaka Denklemleriyle Simülasyonu. Politeknik Dergisi 4, Çağal, B Sayısal Analiz 50s. Birsen Yayınevi, İstanbul. Halıcı, F. ve Gündüz, M Örneklerle Isı Geçişi 548s, Birsen Yayınevi, İstanbul. Hossain, M. A., Hossain, A. and Wilson, M. 00. Unsteady Flow of Viscous Incompressible Fluid With Temperature-dependent Viscosity Due to a Rotating Disc in Presence of Transverse Magnetic Field and Heat Transfer. Int. J. Therm. Sci., 40, -0. Ji, H.C. and Gardner, R.A Numerical Analysis of Turbulent Pipe Flow in a Transverse Magnetic Field. Int. J. Heat Mass Transfer 40, Racabovadiloğlu, Z. 00. Isı Taşınımına Manyetik Alanın Etkisi. Gazi Üniversitesi Politeknik Dergisi, 5, Racabovadiloğlu, Z. ve Atik, K Isı Taşınımına Manyetik Alanın Etkisinin Sayısal İncelenmesi. K. S.Ü. Fen ve Mühendislik Dergisi 8, Targ, S. M. 95. Osnovniye Zadaçi Teori Laminarhıh Teçeniy 40 s., Gofenergo izdıatı, Moskova. Tastoush, B. and Al- Odat, M Magnetic Field Effect on Heat and Fluid Flow Over a Wavy Surface With a Variable Heat Flux. Journal of Magnetism and Magnetic Materials 68, Yüncü, H. ve Kakaç, S Temel Isı Transferi. 454 s. Bilim Yayıncılık, Ankara. Mühendislik Bilimleri Dergisi () Journal of Engineering Sciences () 4-47