T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Transkript

1 T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ İKİ BOYUTLU ÖRGÜDE FERROMANYETİZMANIN İNCELENMESİ Elmas AKSOY YÜKSEK LİSANS TEZİ Fizik Anabilim Dalı Haziran-0 KONYA Hr Hakkı Saklıdır

2

3 TEZ BİLDİRİMİ Bu tzdki bütün bilgilrin tik davranış v akadmik kurallar çrçvsind ld dildiğini v tz yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada bana ait olmayan hr türlü ifad v bilginin kaynağına ksiksiz atıf yapıldığını bildiririm. DECLARATION PAGE I hrby dclar that all information in this documnt has bn obtaind and prsntd in accordanc with acadmic ruls and thical conduct. I also dclar that, as rquird by ths ruls and conduct, I hav fully citd and rfrncd all matrials and rsults that ar not original to this work. İmza Elmas AKSOY Tarih: iii

4 ÖZET Yüksk Lisans Tzi İKİ BOYUTLU ÖRGÜDE FERROMANYETİZMANIN İNCELENMESİ Elmas Aksoy Slçuk Ünivrsitsi Fn Bilimlri Enstitüsü Fizik Anabilim Dalı Danışman:Prof. Dr. H.Şvki MERT 0,4.sayfa Jüri: Prof.Dr. H. Şvki MERT Prof. Dr. Haluk ŞAFAK Yrd. Doç. Dr. İmran ORAL Bir kristald manytik iyonlar, birbirlrini birkaç atomik msafy kadar yaklaştıkları zaman basit dipolar tkilşimlr nazaran çok kuvvtli olarak tkilşmy başlarlar. Bu tkilşmlr, Wiss modlinin tmlini oluşturur v aynı zamanda Pauli prnsibin uygunluk sağlar. Katıhal fiziğind hala zor problmlrdn bir tansi dğişim alanlarının nicl hsaplanmasıdır. Bu zorluğu ynmk için bu çalışmada kullanacağımız Hisnbrg modli yaklaşımı gtirilmiştir. Bu modl il bir çok başarı sağlanmıştır. İki boyutlu manytik sistmlr, manytik özlliklri ndniyl oldukça ilgi çkmktdirlr. Bir çok torid çalışmalar bunların kritik sıcaklarının bulunması üzrind yoğunlaşmıştır. İzotropik sistmlr için taban durum gayt kolaylıkla bulunmaktadır. Bu çalışmamızda iki boyutlu bir sistmin manytizasyonu düşük sıcaklık bölgsind indirgnmiş sıcaklığa bağlı olarak inclnmiştir. Anahtar klimlr: Frromanytizma, Grn fonksiyonu, İki boyutlu örgü, iv

5 ABSTRACT M. Sc.Thsis STUDY OF FERROMANYETIZM IN TWO DIMENSIONAL LATTICE Elmas Aksoy Slcuk Univrsity Graduat School of Natural and Applid Scincs Dpartmnt of Physics Suprvisor: Prof. Dr. H.Şvki MERT 0,.pags Jury: : Prof.Dr. H. Şvki MERT Prof. Dr. Haluk ŞAFAK Yrd. Doç. Dr. İmran ORAL In a crystal, whn magntic ions approach to ach othr till fw atomic distancs thy bgin to intract vry strongly with rspct to simpl dipolar intractions. Ths intractions mak th ground of Wiss modl and at th sam tim this is conformation of Pauli s principl. In solid stat physics, on of th most difficult problm is quantitativ calculation of xchang filds. In ordr to ovrcom this difficulty on uss Hisnbrg modl as w do in this thsis. This modl xplaind vry succssful many phnomna. Bcaus of thir magntic proprtis two dimnsional magntic systms ar vry attractiv. Studis ar on th calculations of critical tmpratur of ths. For th isotropic systms ground stat can b calculatd vry asily. In ths thsis magntizations of th two dimnsional systm will b studid at low tmpratur rgion as a function of rducd tmpratur. Ky words: Frromagntism, Grn Function, Two Dimnsional Systm v

6 ÖNSÖZ Slçuk Ünivrsitsi Fn Bilimlri Enstitüsün Yüksk Lisans tzi olarak sunulan bu çalışmada, iki boyutlu örgüd Frromanytizma inclnmiştir. Çalışma sürsinc bilgi v tcrüblri, bilimsl rhbrliği il manvi olarak dstğini sirgmdn hr zaman yanımda olan saygıdğr hocam Prof. Dr.H Şvki MERT n içtn tşkkürlrimi sunarım. Tüm çalışmam boyunca bni hr zaman maddi v manvi olarak dstklyn annm, babam v şim çok tşkkür drim. Elmas Aksoy vi

7 KISALTMALAR H : Hamiltonin opratörü. H : Manytik alan. g : Landé faktörü. N : Parçacık sayısı. V : Potansiyl. E : Enrji. F(r) : Kuvvt. G a : İlrlmiş Grn fonksiyonu. G r : Grilmiş Grn fonksiyonu. Z : Bölüşüm fonksiyonu.... : Ortalama. k : Boltzmann sabiti. T : Mutlak sıcaklık. Ω : Trmodinamik potansiyl. θ t () : Basamak fonksiyonu. J( ω) : Spktral tmsil. K : Dalga vktörü. J() 0 : Dğişim tkilşim sabitlrinin toplamı. n : Birim hacimdki lktron sayısı. : Manytizasyon. S z υ : Parçacık başına düşn alan. φ() S : Ara fonksiyon. F : Ara fonksiyon. τ : İndirgnmiş sıcaklık. μ B : Bohr manytonu. : Curi sıcaklığı. T C vii

8 İÇİNDEKİLER TEZ BİLDİRİMİ. iii ÖZET...iv ABSTRACT...v ÖNSÖZ...vi KISALTMALAR...vii İÇİNDEKİLER...viii. GİRİŞ.... GREEN FONKSIYON FORMALİZMİ KARE ÖRGÜDE MANYETİZASYONUN İNCELENMESİ Dış Manytik Alan Yokluğunda Manytik Alanın İnclnmsi Dış Manytik Alan Varlığındada Manytik Alanın İnclnmsi SONUÇLAR v ÖNERİLER KAYNAKLAR...4 ÖZGEÇMİŞ...4 viii

9 . GİRİŞ Kuantum alan torisi mtodunda tk parçacık Grn fonksiyonu bir sistmin mikroskobik özlliklrini karaktriz dn n önmli nicliklrdn biridir. Katıların manytik özlliklri için kullanılan çift zamanlı, sıcaklığa bağlı Grn fonksiyonunu göz önünd bulundurmadan önc Grn fonksiyonlarını gnl özliklriyl blirtmk grkir. İki boyutlu sonsuz yapıların manytik özlliklrinin inclnmsi son zamanlarda oldukça önm kazanmıştır. Bu sistmlri anlamak için muhtlif torik çalışmalar yapılmıştır. Yüksk Sıcaklık Açılımı (Bindr v ark., 974), Mont Carlo Simülasyon Yöntmlri (Bindr v ark., 984), Rnormalizasyon Grup Çalışmaları (Mariz, 987), Grn Fonksiyonu Çalışmaları (Zubarv, 960), dnysl olarak da iki boyutlu yapıları v yüzylrin manytik özlliklrini anlamak için çalışmalar yapılmıştır. (Rau v ark., 980) (Wllr., 985) (Dürr., 989) (Cllotta., 986) (Rau and Robrt., 987) Bu çalışmada modl olarak Ising modlindn daha grçkçi olan Hisnbrg modli kullanılmıştır. Anizotropik trimlr göz önün alınmamıştır. Spinlr arasındaki tkilşim frromanytik dğişim tkilşimi olarak alınmış v sadc n yakın komşu atomlar arası tkilşimin varolduğu kabul dilmiştir. Bu sbptn dolayı ikinci, üçüncü, komşuluktaki atomlar arasındaki tkilşimlr ihmal dilmiştir. Bu varsayım atomlar arasındaki dğişim tkilşiminin aradaki uzaklık fonksiyonu il hızla azalan bir fonksiyonu olduğu düşünülürs gayt yrinddir. Dış manytik alan z yönünd doğrultusunda kabul dilmiştir. Tz dört bölümdn oluşmuştur: İkinci bölümd Grn fonksiyonu hakkında bilgi vrilmiştir. Üçüncü bölümd manytizasyon dış manytik alan varkn v dış manytik alan yok ikn inclnmiş v manytizasyon ifadlri indirgnmiş sıcaklığın fonksiyonu olarak bulunmuştur. Dördüncü bölümd sonuçlar tartışılmıştır.

10 . GREEN FONKSİYONU FORMALİZMİ Kuantum alan torisiyl istatistiksl mkaniğ dayalı torilr arasında bnzrlik olduğunu savunan görüşlr mvcuttur. Buradaki problm bir sistmin parçacıkları birbiriyl tkilştiği zaman başlar. Parçacıkların tk başına srbst harkt tmdiklri artık biliniyor. Bu durumda hr parçacığın diğr parçacıklar üzrind oldukça karmaşık bir tkisi olduğu söylnbilir. Gazlar hariç bütün fizik sistmlri için bu durum gçrlidir. Örnğin sıvı molküllri, katı maddlrin lktronları, çkirdktki proton v nötronlar vs için bu durumu gözlmlybiliriz. Çok cisim problmind ana kavram parçacıklar arasındaki tkilşimlrin parçacıklar üzrindki tkisidir. Örnğin tkilşimlrin taban durum v uyarılmış durum nrjilri üzrin, trmodinamik özlliklr üzrin lktriksl v manytik özlliklr üzrin tkilriyl ilgilnilir. Çok cisim problminin çözümün oldukça yaklaşan, günümüzd d kullanılan başarılı mtotlardan biri kanonik dönüşüm tkniğidir. Bu tkniği kısaca anlatalım. Bu tknik tkilşimin çok küçük olduğu yni koordinat sistmlrin Shrödingr dnklmini dönüştürmyi içrir. Bu yaklaşımdaki ana zorluk tkniğin sistmatik olmadığı için uygulamasının zor oluşudur. 950 lr kadar bir sistmatik mtodun ksikliği yüzündn çok cisim torisi çok az ilrldi. Daha sonraları çok iyi ilrlmlr kayddildi. Kuantum alan torisini gliştirn önmli makallr yayımlandı. Bu makallr hazırlandıktan sonra tml parçacık fiziğin uygulandı. Hm kuantum alan torisind hm d istatistiksl mkanikt kuantum mkaniksl opratörlrin ortalamaları il ilgilnilir fakat kuantum alan torisi sistmin taban durumu üzrindki ortalamalarla ilgilnirkn ( T = 0), istatistiksl mkanik küm ortalamaları il ilgilnir. ( T 0) İstatiksl mkanik, nrji sviylri çok yoğun olan sistmlr il ilgilnir. Öyl ki bu nrji sviylri arasındaki uzaklık hacim sonsuza gidrkn sıfıra gidr. Bu durumdan dolayı spkturum sürklidir v prtürbasyon nrjisi hr zaman nrji aralıklarından büyük olur. Bu yüzdn prtürbasyon torisi sürkli spkturumlarda kullanılmalıdır. Bağlı diyagramların, diyagram tkniğin dahil dilmsi sonucunda prtürbasyon torisind büyük ilrlmlr kayddildi. Son yıllarda Grn fonksiyonlarda bir düznlm yapılarak kuantum alan torisind istatistiksl problmlr uygulandı. Prtürbasyon tori diyagramlarında sınırlandırılmış sınıflar üzrindn toplama yaparkn Grn fonksiyonlarını kullanmak

11 3 çok kullanışlı bir hal gldi v spktral trimlrl kombin dildiği zaman çok güçlü bir hal aldı. Önclikl bir parçacık Grn fonksiyonlarını düşünlim. Etkilşn bir sistmd bir parçacık bir yrdn başka bir yr dvamlı harkt halinddir. Bu parçacığın davranışlarını dtaylı olarak inclmk tabiki çok zor olacaktır. Yin d harkt olasılık kazandırarak harkti ortalama bir şkild tanımlayabiliriz. Böylc tk parçacık Grn fonksiyonu G( r,t ;r,t ), bir parçacığın t anında r noktasından başlayarak t anında r noktasına varma olasılığı olarak tanımlanır. İki parçacık Grn fonksiyonu da bnzr şkild tanımlanır. Bu Grn fonksiyonları, önmli sistmlrin fiziksl özlliklrinin ld dilmsini sağlar. Kütllri m,m... m N olan N tan parçacık, V( r) potansiyli il ilişkilndirilrk harici bir F() r kuvvt alanında, dönüşüm formüllri kullanılarak zamandan bağımsız bir şkild problmin çözümünd kullanılırsa bu parçacıkların harktlrini blirlybiliriz. N parçıcık sistmi için Shrödingr dnklmi tk parçacık Shrödingr dnklmin şu şkild ayrışır; H i φ Ki ()= r i E Ki φ Ki () r i i =,...,N (.) H i = P i m + V () r i (.) E = i Toplam nrji tk parçacık için vriln nrjilrin toplamları il bulunabilir E Ki. Parçacıklar birbirlriyl tkilşmy başladıkları zaman N tan çiftlnimli dnklmi çözmk zorunda kalırız. ()+ F F r i N j = d ( r r i, r j )= m i i i =,...,N (.3) dt dnklm sistmini çözmk zorundayız. Burada Fr ( i, r j ), konumları r r ur i v r j olan iki parçacık arasındaki tkilşimi göstrir. Ayrılamayan Shrödingr dnklmi is;

12 4 N P i m + V () r i + j = N i, j= V( r i, r j ) Ψ( r,...,r N )= EΨ r,...,r N (.4) Burada V( r i, r j ), rr ur i v r j konumlarında bulunan iki parçacık arasındaki tkilşim potansiylidir. Şimdi d güçlü v zayıf tkilşimlri ayıralım. Eğr tkilşimlrimiz zayıf is tkilşmyn durum çözümlrin çok küçük bir prtürbasyon katkısı olacaktır. Çözümü tkilşmyn parçacıkların çözümünd olduğu gibi yapabiliriz. Bu durum bizim sıradan sonlu prtürbasyon torisiyl çözümü ld dbilcğimizi göstrir. Çözümü sıradan sonlu prtürbasyon torisiyl ld dmzsk güçlü tkilşim formüllrin başvurmalıyız. Bir çok katıda olduğu gibi tkilşimlr gnllikl güçlüdür. Örnğin mtallr içindki iki lktron arasındaki Coulomb tkilşmsi şu formdadır : V( r i, r j )= ( r i r j ) (.5) Taban durum nrjisi bu formül kullanılarak hsaplanırsa; E 0 = E () E () 0 +sonsuz (.6) ld dilir. Birinci trimdn sonraki prtürbasyon torisinin bütün trimlri sonsuzdur. Buradaki çıkmazdan, koordinat dönüşümü yaparak kurtulabiliriz. Öyl ki yni koordinatları kullanırsak (.3) dnklmi yaklaşık olarak çiftlnimsiz olur. Bu dönüşümün dtaylarına girmycğiz. Bu dönüşümlr bir sistm için kullanılırsa tkilşn parçacıklar yaklaşık olarak tkilşmyn parçacıklar gibi düşünülbilir. Şimdi çoğunlukla inclnn, katılardaki tml uyarılmayı gözönünd bulunduralım. Tml uyarılmanın n olduğunu v hayali parçacıklar il nasıl bağlı olduğunu anlamaya çalışalım. Katılardaki titrşim kuantumlarına yani fononlara bakalım. Harmonik osilatörün kuantumlaştırılmasıyla kuantumlu nrji aşağıdaki dnklmdki gibi olur.

13 5 E q = hω q n q + (.7) Harmonik osilatör, taban durum nrjisi hω olan v hr biri hω nrjisin sahip olan n q tan kuantumlardan mydana gln bir küm olarak düşünülbilir. Ss dalgalarının bu kuantumları fononlar olarak adlandırılır. Fononlar parçacıklar gibi harkt drlr. Grçk birr parçacık olmayan bu fononlar kuantum mkaniksl alanda birr parçacıktır. Vriln bir n q için dalga sayısı q olan kuantumlanmış tk ss dalgası vardır fakat dalga sayısı q olan çok sayıda fonon vardır ( n q kadar). Bu yüzdn fononu bir kuantum olarak ya da bir ss parçacığı olarak isimlndirmk daha uygundur. hω nrjisi, sıfır nokta nrjisi hω üzrindki uyarılma nrjisinin minimum birimidir. Fonon bu minimum birimi taşıdığından dolayı tml uyarılma olarak kabul dilir. Birlşik uyarılmalar iki katagoriy ayrılır: toplu uyarılmalar v sanki parçacıklar. Toplu uyarılmalar sistmdki parçacıkların makroskobik gruplarının toplu harktlriyl ilişkilndirilmiş kuantumlardır. Toplu uyarılmalar grçk parçacıklarla bnzrlik göstrmzlr oysaki sanki parçacıklar grçk parçacıklarla oldukça bnzrdir. Bir parçacık bir sistm içrisind harkt ttiği müddtç yakın parçacıkları itr ya da çkr. Böylc uyarılmış parçacıklarla çvrilmiş bir bulut oluşturur. Grçk parçacık v bulutu sanki parçacık oluşturur. Parçacık bulutu grçk parçacığı kranladığından, büyük ölçkt kuvvt alanını azalttığından, sanki parçacık diğr parçacıklarla sadc zayıf bir şkild tkilşir v böylc onlardan bağımsız gibi kabul görür. Taban durum nrjisi, tml uyarılma nrjilri v tml uyarılmaların yaşam sürlri için bir sistmatik mtod ld tmk grkir. Parçacık fiziğiyl sınırlandırılmış kuantum alan torisi tam aradığımız mtodu vrir. Kuantum alan torisi bu konuda biz bütünlştirilmiş bir yol sunar. Çok cisim problmimizd, alan torisi inclmsind Grn fonksiyonları n önmli rolü oynar. Grn fonksiyonlarının farklı çşitlri vardır. Tk parçacık, iki parçacık,...,n parçacık, ilrlmiş, grilmiş, ndnsl, sıfır sıcaklık, sonlu sıcaklık, grçk zaman, sonlu zaman, komplks zaman Grn fonksiyonları v.b...

14 6 Örnğin tk parçacık Grn fonksiyonu Gr (,t ; r,t ) i l alalım. Grn fonksiyonu olasılık gnliğini vrir. Yani biz bir parçacığı tkilşn bir sistm içrisin, r konumuna, t zamanında koyarsak v diğr parçacıklarla çarpışmasına izin vrirsk t zamanında r konumunda bulunma olasılığını bulabiliriz. Grn fonksiyonu G, sanki parçacıkların dirkt nrjilrini v yaşam sürlrini vrir. Ayrıca momntum dağılımları spin v parçacık yoğunlukları taban durum nrjilri gibi bilgilr d Grn fonksiyonu kullanılarak ulaşılabilir. G fonksinunun sonlu sıcaklık vrsiyonunu kullanılırsak bu özlliklrin tamamı sonlu sıcaklıkta ld dilbiliriz. İki parçacık Grn fonksiyonu G, bir parçacık r konumunda t zamanında başka bir parçacık r konumunda t zamanında sistm içrisin konulursa; birinci parçacığın r 3 konumunda t 3 zamanında, ikinci parçacığın r 4 konumunda t 4 zamanında bulunma olsılık gnliğini vrir. Ayrıca G fonksiyonu, toplu uyarılmaların nrjilrini, yaşam sürlrini, magntik duyarlılıklarını, lktiriksl iltknliklrini v diğr dngd olmayan özlliklrin hpsini d bütün sıcaklıklar için doğrudan vrir. Çok cisim problmimizd daha az rol oynamasına rağmn bir hayli önmli olan boşluk gnliği ismindki fiziksl büyüklük üzrind duralım. Sıfır sıcaklık boşluk gnliği taban durum nrjisinin hsaplanmasında kullanılabilir. Bu gnliğin sonlu sıcaklık vrsiyonu is büyük bölüşüm fonksiyonunu vrir. Buradan da sistmin dngdki bütün özlliklri blirlnbilir. Grn fonksiyonları başlıca iki yoldan hsaplanır. Birinci yol; Grn fonksiyonunu, sonsuz prtürbasyon srisin açarak sriyi yaklaşık olarak hsaplamaktır. Gnllikl yapıldığı gibi bütün trimlri ikinci v üçüncü mrtby kadar toplamak Grn fonksiyonu için ytrli olmaz. Çünkü sri çok yavaş yakınsar. Bazı durumlarda sridki bütün trimlr ıraksayabilir. Bu durumda bazı trimlr üzrindn toplam almak grkir. Bu işlm sçici toplam adı vrilir. Elbtt sonsuz mrtbd Prtürbasyon torisind bu sçici toplamı yapmak için yni bir yöntm grkir. Bu yöntm Fynman diyagramları yöntmi olarak bilinir. Diğr bir mtotta yani analitik mtotta Grn fonksiyonlarını sağlayan çiftlnimli difransiyl dnklmlr çözülür. Bunun anlamı tk parçacık Grn fonksiyonu G, bilinmyn iki parçacık Grn fonksiyonu G yi dahil dn difransiyl dnklmi sağlar. Aynı şkild tk parçacık Grn fonksiyonu G 3 ü dahil dn difransiyl dnklmi d sağlar. Bu şkild dvam dr gidr. Sonuç olarak sonsuz

15 7 hiyrarşik çiftlnimli nonlinr difransiyl dnklmlrl ilgilnilmsi grkir. Grçkt çiftlnimli dnklmlr, uygun aşamalarda uygun bir ksm kullanılarak çiftlnimsiz hal gtirilbilir v sonra da ld diln çiftlnimsiz dnklmlr çözülbilir. Çift zamanlı sıcaklığa bağlı gcikmiş v ilrlmiş Grn fonksiyonu aşağıdaki şkild tanımlanır. G r ( t, t ) At v, (); B () t r At (), B ( t ) = iθ t t (.8) G a ( t, t ) At (); B () t a At (), B () t = iθ t t (.9) şklinddir. Burada... hr bir Grn fonksiyonuna karşılık gln kısaltılmış r,a göstrimlrdir.... Büyük kanonik küm üzrin ortalamayı göstrir. Parçacık sayısı sabit olmadığından bu istatistik uygundur.... aşağıdaki şkild tanımlanmıştır.... = Z Tr( H θ...) (.0) burada Z = Tr H θ = Ω θ (.) θ = kt dir. k Boltzmann sabitidir. T mutlak sıcaklığı göstrir. Z bölüşüm fonksiyonudur. Ω trmodinamik potansiyldir. H opratörü gnllştirilmiş Hamiltoniyndir. Aşağıdaki şkild vrilir. H =Η μn (.)

16 8 opratörüdür. Burada Η zamandan bağımsız Hamiltoniyndir. N toplam parçacık sayısı μ kimyasal potansiyldir. At, B t Hisnbrg göstrimindki opratörlrdir; ki bunlar kuantumlanmış opratörlrin çarpımları olarak ifad dilbilir. At ()= iht A() 0 iht ; h = (.3) Dnk. (.8) v dnk. (.9) daki θ( t), basamak fonksiyonu olarak adlandırılır. Aşağıdaki gibi tanımlanmıştır. θ()= t 0, t < 0, t > 0 (.4) [ A, B] komütatör vya anti komütatördür. Yani, [ A, B]= AB ηba η = ± (.5) η, A v B Bos opratörü is pozitif v hr ikisi d Frmi opratörü is ngatiftir. η dğri için problm durumuna gör ( ) ya da ( +) sçilir. Dnklm (.5) i kullanarak, (.8) v (.9) u aşağıdaki gibi yazarız. G r ( t, t )= iθ t t At ()B t () η B ( t )A( t) (.6) G a ( t, t )= iθ t t At ()B t () η B ( t )A( t) (.7) (.4) v (.6) dan görürüz ki; G r ( t, t ), t ' < t olduğu zaman G r ( t, t )= 0 olur. t > t olduğu zaman v t = t olduğu zaman G r ( t, t ), tanımlı dğildir. θ() t nin t = 0 da sürksizliğindn dolayı G r ( t, t ), t = t d tanımlı dğildir. Bnzr düşünclr G a ( t, t ) y d uygulanabilir. (.6), (.0), (.3) v (.8) kullanılarak aşağıdaki dnklmlri ld dbiliriz. G a ( t, t )= iθ( t t ) At ()B() t iηθ( t t ) B ( t )A( t) (.8)

17 9 ()B()= t iht A() 0 iht ih At t B( 0)iH t (.9) dnklmimizi ih t v ih t il çarpalım ()B()= t iht ih At t A 0 = ih ( t t ) A 0 ()iht ih ()ih t t t B( 0)iH B 0 t ih t (.0) bulunur. Bnzr olarak, B ()At t ()= ih ( t t) B() 0 ih t t A 0 (.) olur. Böylc (.0) v (.) ü (.8) içrisin yazarsak (.) ld dilir. G a ( t, t )= iθ( t t )Z Tr H i( t t ) β A 0 iθ ( t t )Z Tr H i ( t t) β B 0 ()ih t t () B 0 ()ih t t A 0 () (.) burada β = kt = θ (.3) şklinddir. Dnklm (.) aşağıdaki dnklmi göstrir. G a ( t, t )= G a t t (.4) bnzr olarak, (.5) şklind göstrilir.

18 0 F BA ( t, t )= B ()At t F AB ( t, t )= At () ()B t () (.6) Yukarıdaki gibi Hisnbrg tmsilindki opratörlrin çarpımının, istatistik küm üzrin ortalamaları, istatistik fizikt önmlidir. Bunlar zaman korlasyon fonksiyonu olarak adlandırılır. Zamanlar farklı olduğunda ( t t ' ) bu ortalamalar korlasyon fonksiyonunu vrir; ki bunlar iltim olayı için vazgçilmzdir. İstatiksl dngdki Grn fonksiyonları gibi bu zaman korlasyon fonksiyonları da ( t t ' ) n bağlıdır. F BA ( t, t )= F BA t t F AB ( t, t )= F AB t t (.7) Bu grçk yukarıdaki dnklmlrin spktral tmsillrini bulmamıza yardım dr. Aynı zamanda onları Grn fonksiyonuna bağlar. Şimdi spktral tmsillri türtlim. Blirtildiği gibi Grn fonksiyonları v zaman korlasyon fonksiyonları sadc ( t t ) y bağlıdır. Bu hr bir fonksiyon için Fourir intgralini bulmada kullanılır. Bu intgrallr spktral tmsil olarak adlandırılır. Önclikl zaman korlasyon fonksiyonu için bir tmsil ld dlim. Daha sonra da Grn fonksiyonları için bir tmsil ld dlim. Böylc ikisi arasında bir bağıntı bulabiliz. Matris lmanları için H nin köşgn olduğu bir tmsil kullanırsak, o zaman; φ μ H φ ν = δ μν E ν (.8) Bu dnklm aşağıdaki ifadyi grktirir. H φ ν = E ν φ ν (.9) Dnklm (.7) il vriln zaman korlasyon fonksiyonlarının tanımında istatistiksl ortalama işlmini açıkça kullanırsak, aşağıdaki ifadyi buluruz.

19 F BA ( t, t )= B ()At t () = Z φ ν B ()At t ()φ ν E ν θ ν = Z φ ν B ()φ t μ φ μ At φ ν E ν θ (.30) μ ν Burada φ ν nin kompl baz özlliği kullanıldı. (7.48) v (7.60) kullanılarak aşağıdaki bağıntıyı ld driz. B ()At t () = Z φ ν ih μ,ν t B( 0)iH t φ μ φ μ iht A( 0)iHt φ ν E ν θ = Z φ ν ie ν t B( 0)iE μ t φ μ φ μ ieμt A( 0)iE νt φ ν E ν θ μ,ν = Z φ ν B()φ 0 μ φ μ A()φ 0 ν ie ( ν E μ ) ( t t ) E θ ν (.3) μ,ν bnzr olarak, ()B() t = Z φ ν A()φ 0 μ φ μ B()φ 0 ν At E ν θ ie ν E μ μ,ν t t (.3) olur. (.3) dki toplama indislri μ v ν yr dğiştirrk (.33) dnklmini ld dbiliriz. ()B() t = Z φ μ A()φ 0 ν φ ν B()φ 0 μ At E μ θ ie μ E ν μ,ν ( t t) = Z φ ν A()φ 0 μ φ μ B()φ 0 ν E μ θ ie ( ν E μ ) t t μ,ν (.33) Dnklmi E ν θ il v E ν θ il çarpalım. ()B() t = Z φ ν A()φ 0 μ φ μ B()φ 0 ν At E ν θ ωθ i E ν E μ μ,ν t t = J ω ωθ iω( t t ) dω (.34)

20 ld dilir. Burada ω E ν + E μ = 0 (.35) olduğu için E ν E μ yrin ω yazılmıştır. J( ω)= Z φ ν B()φ 0 μ φ μ A( 0) φ ν E ν θ δω E ν + E μ μ,ν (.36) olarak kullanılmıştır. Bnzr olarak, F BA ( t t )= B ( t )A t () = J ω iω( t t ) dω (.37) olur. Burada J ( ω), (.36) daki il aynıdır. (.34) v (.37) zaman korlasyonu fonksiyonları için aranan spktral fonksiyonların (.34) v (.37) dki gibi olduğuna dikkat diniz. Burada J ( ω), F BA ( t) fonksiyonunun spktral tmsillridir. Şimdi G r t t v G a t t bulunduralım. Bunlar (.34) v (.37) saysind ld dilir. nün spktral tmsillrini göz önünd G r ( E), G r ( t t )nin Fourir dönüşümü olsun. G r ( t t )= de vya G r E ie( t t ) (.38) G r ( E)= G r t π ( t )ie( t t ) dt (.39) dir. (.39) için (.6) yı yrlştirirsk aşağıdaki dnklmi ld driz.

21 3 G r ( E)= πi { } dt ie( t t ) θ( t t ). At ()B() t η B ()At t () (.40) (.34) v (.37 ) dnklmlrini (.39) içrisin yazarsak; G r ( E)= πi dt ie( t t ) θ t t. J( ω) ωθ iω( t t ) dω η J( ω)iω t t = dωj( ω) ( ωθ η) πi dt ie t t dω iω ( t t ) θ t t (.4) olur. Şimdi ( t t )= t (zaman farkı) kullanarak, (.4) dnklmini ld dbiliriz. G r ( E)= dωj( ω) ωθ η πi dt ie ω t θ() t (.4) Sürksiz fonksiyon θ() t aşağıdaki biçimd yazılabilir. ()= εt δ () t θ t t dt, ε 0 ε > 0 Burada δ ()= t π Bu yüzdn ixt dx θ()= t π t εt dt ixt dx

22 4 = π = π lim ε 0 t ( ε ix)t ε ix dtdx ( ε ix)t dx = i π lim ixt ε 0 dx (.43) x + iε (.43) t tanımlanan fonksiyonun sürksiz θ fonksiyonunun özlliklrin sahip olduğu kolaylıkla görülbilir. Şimdi x i komplks dğişkn olarak l alacağız v (.43) intgrali şkil. d göstriln kontur üzrindn alacağız.. Komplks düzlmd intgralin izldiği yol İntgral alınacak fonksiyon aşağı yarı düzlmd x = iε kutbuna sahiptir. x = x + ix yazılarak aşağıdaki dnklm yazılır. ixt = ix ( +ix )t = ixt x t Şimdi t > 0 is intgralin sıfır olması için, x ngatif olmalıdır. Kutup aşağı yarı düzlmd olduğundan intgralin dğri dir. t < 0 olduğu zaman x pozitif olmalıdır. Bundan dolayı kontur yukarıdaki yarı düzlmd olmalıdır; fakat kutup yukarı yarı düzlmd olmadığından intgral sıfır olur. (.43) ü kullanarak (.4) dnklmini hsaplamaya çalışalım.

23 5 π dtie ω t θ() t = π = i π = i π dt ie ω ( i )t π dx x + iε π ixt x + iε dx i x E +ω t dx δ x E + ω x + iε = i π E ω + iε dt Qδ ()= x π ixt dt (.4) dnklmi şu hal glir. G r ( E)= π dω ( ωθ η)j ( ω) E ω + iε (.44) Bnzr olarak; G a ( E)= π dω ( ωθ η)j ( ω) E ω iε (.45) olur. (.44) v (.45) i birlştirrk aşağıdaki dnklmi ld dbiliriz. G r,a ( E)= π dω ( ωθ η)j ( ω) E ω ± iε (.46) Burada + işarti r indisin, işarti a indisin karşılık glir. Eğr E komplks kabul dilirs, (.46) komplks E düzlmind analitiksl olarak dvam dbilir. Böylc; π dω ( ωθ η)j ( ω) E ω = G r ( E), Im E > 0 G a ( E), Im E < 0 (.47)

24 6 olur. (.47) nin sol tarafı Cauchy intgralidir. G r ( E) v G a ( E), G( E) nin iki kolu olarak düşünülbilir. G( E), bütün düzlmlrd sürklidir. Rl x ksni hariç. G( E)= G r ( E), Im E > 0 G a ( E), Im E < 0 (.48) Şimdi (.48) in ispatını vrlim. G( E), Bogolyubov v Parasyuk disprsiyon bağıntıları torisind ispatladıkları bir tormin sonucudur. G r ( E)= G r () t π iet dt (.49) Daha öncdn gördüğümüz gibi burada G r ( t)= 0 dır. ( t < 0olduğu zaman) Şimdi d, G r ( E) nin komplks E bölgsind sürkli, analitiksl olabilcğini göstrlim. Kabul dlim ki E, sıfır olmayan komplks kısma sahip olsun. E = R E + i Im E = α + iγ γ > 0 (.50) O zaman aşağıdaki bağıntıyı ld driz. G r ( α + iγ )= π G r () t iαt γ t dt, γ > 0 (.5) 0 Bu dnklmd γ t, G r ( E) nin intgralinin v E y gör türvlrinin yakınsak olmasını sağlayan bir ksm faktörü rolünü oynar. Böylc G r ( E) fonksiyonu yukarı yarı düzlmd analitik olabilir. G a ( E) nin d aşağı yarı düzlmd analitik olduğu göstrilbilir. Şayt rl ksnd bir ksm yapılırsa G( E) nin iki branşı olduğu düşünülbilir. G( E)= G r ( E), Im E > 0 G a ( E), Im E < 0

25 7 (.36) daki J ( ω) v (.48) dki G( E) arasında bir bağıntı bulalım. (.46) dan G( E)= π dω ( ωθ η)j ( ω) E ω (.5) dir. E v ω yı yr dğiştirlim. G( ω)= π ( E θ η)j E de ω E (.53) Buradan (.54) ld dilir. G( ω + iε)= π ( E θ η)j E de ω + iε E (.54) Bnzr olarak; G( ω iε)= π ( E θ η)j E de ω iε E (.55) Hr ikisini birlştirrk aşağıdaki bağıntıyı bulabiliriz. G( ω + iε)+ G( ω iε) = π ( E θ η)j E ω E + iε ω E iε de (.56) Aşağıdaki δ fonksiyonunu kullanarak (.58) i ld driz. πi δ ()= x x iε x + iε (.57) G( ω + iε)+ G( ω iε)

26 8 = πi π ( E θ η)j( E) δω ( E)dE = i ( ωθ η)j ( ω) (.58) dilbilir. Böylc G( E) nin bilinmsi halind J ( ω) yı bilbiliriz. (.37) dn (.59) ld B ()At t () = J( ω) dω (.59) ' iω t t (.58) dn d J ( ω) aşağıdaki gibi ld dilbilir. J( ω)= G( ω + iε) G( ω iε) i ωθ η Bunu (.59) da yrin yazarsak sonuçta (.60) bulunur. G( ω + iε) G( ω iε) B ()At t () = i lim iω( t t ) dω (.60) ε 0 ωθ η E ω ± iε = P E ω miπδ ( E ω) (.6) Yukarıdaki bağıntıyı (.44) v (.45) t kullanalım. Burada ε 0, ε > 0 v P, intgralin tml dğrini göstrmk üzr aşağıdaki sonuç ld dilir. (.6) G a ( E)= π P dω ( ωθ η)j ( ω) E ω + i ( E θ η)j E (.63)

27 9 Burada ( E ω) bir rl büyüklük olarak göz önün alınır. (.6) v (.63) tn Grn fonksiyonlarının rl v sanal kısımları arasında (.64) v (.65) bağıntıları bulunur. (.64) (.65) (.64) v (.65) dnklmlri disprsiyon bağıntılarını içrir. (.6) v (.63) tki J( E) nin göz çarpan özlliklrin bakalım. İlk olarak J( E) grçk ksn üzrind kutuplara sahip olabilir. Şayt böyl kutuplar E i, noktalarında mvcut islr F BA, E i frkansıyla salınım yapar. T = 0 da E i frkansları sistmin tam nrji özdğrlridir v sistmin kararlı durumlarını vrir. T 0 için şayt bütün E i lr mvcut is bunlar sıcaklığa v kimyasal potansiyl bağlıdır v yorumları tam dğildir. Bununla brabr sönümsüz harkti karaktriz drlr. Sıcaklığa bağımlı nrji düzylrini vrirlr. En gnl hald J( E) karışık cinstn tkillr sahip olabilir. Bu yüzdn kutuplara indirgnmzlr. Bunun sonucunda F BA, zamanın bir sönümlü fonksiyonu olur. Sonuçta T = 0 için, kararlı durumları olmaz v T 0 için, taban durum ortalaması oluşmaz.

28 0 3. KARE ÖRGÜDE MANYETİZASYONUN İNCELENMESİ Tzd şkil 3. d görüln iki boyutlu kar örgüd manytizasyonu incliycğiz. Kar örgüdki spinlrin aşağıdaki şkild tkilştiklrini varsayacagız. z H = gμ B ΗS g g g, f J( g f )S g S f (3.) Burada J( g f ), g v f örgü noktalarındaki iki spin arasındaki dğişim tkilşimini göstrmktdir. Toplam, örgüdki toplam örgü noktaları üzrindir. Ancak hmn blirtlim ki; bazı yazarlar katsayısı yrin katsayısını almaktadırlar. J( g f ) Frromanytik maddlr için pozitif, antifrromanytik maddlr için ngatiftir. Şkil-3. İki boyutlu kar örgü

29 3. Dış Manytik Alan Yokluğunda Manytizasyonun İnclnmsi İki boyutlu örgüd H=0 durumunda φ( S) fonksiyonu dnklm (3.) dki gibi vrilir. Bir kristaldki hrhangi bir atomun kristaldki diğr bütün atomlarla olan dğişim tkilşim sabitlrinin toplamı J ( 0)il göstrilir. K dalga vktörüdür. Birim hücrnin alanı υ, is parçacık başına düşn alandır. ( υ = AN). Bu tzd ld dcğimiz manytizasyon ifadsi S z dir. φ()= S υ π d S z K xp rη K (3.) () η( K)= J K J 0 (3.3) olarak vrilmiştir. İki boyutlu kar örgü için n yakın komşuluk düşünülrk aşağıdaki yaklaşım kullanılabilir. J( K)= J() 0 cos ( K xa)+ cos K y a (3.4) J K J() 0 = cos ( K xa)+ cos K y a (3.5) Bu ifadyi (3.3) dnklmind yrin yazalım. ()J η( K)= 0 () cos K x a J() 0 + cos K y a (3.6) bulunur. Cos( K x a) v cos( K y a) ifadlrini sri açtıktan sonra taraf tarafa toplayalım. cos()= x x! + x 4 4! x 6 6! +... (3.7)

30 yaklaşımını kullanarak; cos( K x a)= K xa! cos( K y a)= K a y! cos( K x a)+ cos K y a ( + K xa) 4 4! ( + K a y ) 4 4! ( K xa) 6 6! ( K a y ) 6 6! K ( )= a x! K a 8 x 8! a 0 ( + K xa) 8 8! ( + K a y ) 8 8! K a 4 x 4! ( K xa) 0 0! +... ( K a y ) ! K 6 6 ( a 6 x ) 6! K 0 0 ( x ) 0! (3.8) ifadsini bulabiliriz. η( K)dnklmind bulunan sonucu yrin yazalım. (3.9) hsaplarsak; Eld dilir. φ() S dklminin üstl kısmını yukarıda bulunan ifadlr yardımıyla r Sz xp η( K) = xp r Sz K x + K 8 8 ( x ) a8 a a0 8! K 0 0 x a4! K 4 4 x 0! a6 4! + K 6 6 x 6! = xp r Sz K x a! xp r Sz K 4 4 ( x ) a 4! r Sz K 6 6 x a Sz 6! + r K 8 8 x 8! a8 r Sz K 0 0 x a0 0! (3.0)

31 3 Oluşturduğumuz ikinci üstl fonksiyonu sri açarsak, x = + x + x! + x (3.) 3! r S z η( K) r S z = xp K ( x ) a + r Sz! K 4 4 ( x ) a 4! r Sz K 6 6 ( x ) a 6! + r S z K 8 8 ( x ) a8 8! r S z K 0 0 ( x ) a0 0! + r S z a 8 h τ 4!4! K 8 x + K 8 y + K 4 4 x K y (3.) ld driz. φ() S dnklmind yrin yazalım. φ()= S υ π d + d K K r S z r S z K ( x ) a! K ( x ) a! r S z 4! K 4 4 ( x ) a 4 d K + d K d K r S z r S z r S z K ( x ) a! K ( x ) a! K ( x ) a! r S z r S z r S z K 6 6 ( x ) a6 6! K 8 8 ( x ) a8 8! K 0 0 ( x ) a0 0! + d K r S z K ( x ) a! r S z a 8 h τ 4!4!! K 8 x + K 8 y + K x K y (3.3) Bulunur. Bu intgrallri çözbilmk için aşağıdaki formüllri v çıkarımları kullanacağız.

32 4 I n = 0 α x p x n dx = Γ() k pα, k = n +, p > 0, n > (3.4) k p I 0 = α x dx = π α (3.5) 0 dnklmimiz simtrik olduğundan; I 0 = α x dx = π α = πα (3.6) olarak kullanılır. Tzdki intgrallrin hsabında aşağıdaki Gama dğrlri kullanılmıştır. Γ()=! = (3.7) Γ = π (3.8) Γ( n + )= nγ() n (3.9) Γ 3 = π (3.0) Γ 5 = 3 4 π (3.) Γ 7 = 5 8 Γ 9 = 05 6 π (3.) π (3.3) Γ = π (3.4) böylc I n dğrlri hsaplanabilir.

33 5 I 0 = r S z a K x π dk x = r S z a = π (3.5) r S z a I = r S z a K x K x dk x = π () = π r S z a 3 3 (3.6) r S z a I 4 = r S z a K x 4 K x dk x = 3 4 π r S z a 5 = 3 π 4 5 (3.7) r S z a I 6 = r S z a K x 6 K x dk x = 5 8 π r S z a 7 = 5 π 8 7 (3.8) r S z a I 8 = I 0 = r S z a K x 8 K x dk x = 05 6 r S z a K x 0 K x dk x = π r S z a π r S z a 9 = 05 π 6 = 9.05 π 3 9 (3.9) r S z a (3.30) r S z a Bulduğumuz I n dğrlrini yukardaki (3.3) nolu dnklmd yrin yazarsak; φ()= S υ π r S z a! K x dk x r S z a! K y dk y + r Sz a 4 4! r S z a! K x K 4 x dk x r S z a! K y dk y + r Sz a 4 4! r= r S z a! K x dk x r S z a! K y K y 4 dk y

34 6 r Sz a 6 6! r S z a! K x 6 K x dk x r S z a! K y dk y r Sz a 6 6! r S z a! K x dk x r S z a! K y K y 6 dk y + r Sz a 8 8! r S z a! K x K 8 x dk x r S z a! K y dk y + r Sz a 8 8! r S z a! K x dk x r S z a! K y K y 8 dk y r Sz a 0 0! r S z a! K x K 0 x dk x r S z a! K y dk y r Sz a 0 0! r S z a! K x dk x r S z a! K y K y 0 dk y a 8 r S z a! K x + r S z h τ 4!4!! K 8 x dk x r S z a! K y dk y a 8 r S z a! K x + r S z h τ 4!4!! dk x r S z a! K y K y 8 dk y + r S z a 8 r S z a! K x K h τ x 4!4!! dk x r= r S z a! K y K y dk y (3.3) ld driz. Grkli hsaplamalar yapıldığında (3.3) dnklmimiz aşağıdaki gibi olur. φ()= S υ π π r S z a + r Sz a 4 4! 3 π 5 π r S z a r S z a r Sz a 6 6! + r Sz a 8 8! 5 π 4 05 π 8 r S z a 7 π r S z a 9 π r S z a r S z a

35 7 r Sz a 0 0! π r S z a r S z a a 8 + r S z 05 π h τ 4!4!! 8 9 π r S z a r S z a a 8 + r S z π h τ 4!4! 4 r S z a 3 (3.3) φ()= S υ π ( π) S z a r + 3π 4! S z a r 5π.6! S z + 05π 4 4.8! S z a r 9.05π ! S z a r a r π 3.4!4!! S z a r 3 + π 4!4! S z a r (3.33) İki boyutlu örgü için υ = a alınırsa; ()= a π ( π) S z φ S a r π 8 S z a r + 9π 56 S z 3 a r 3 + π S z a r π S z a r (3.34) olur. r p = ζ () p (3.35) şklindki bağıntıyı (3.34) dnklmind yrin yazalım.

36 8 φ()= S ζ () 4π S z ζ ()π 8 4π S z ζ () 3 9π 6 4π S z 3 +ζ () 4 π 3 6 4π S z 4 ζ () 5 π π S z (3.36) ζ () i v katsayıları çarpımının a i trimlri şklind kısaltılması dnk. (3.37) d görörülmktdir. ()= a. φ S 4π S z + a. 4π S z a 3. 4π S z 3 +a 4. 4π S z 4 a 5. 4π S z (3.37) (3.36) dnklmini (3.38) dnklmi içrisin yazalım. S z = + φ() S (3.38) Yukardaki dnklmin çıkarımı dnklm (3.55) d ifad dilmiştir. Dnk. (3.55) t φ()yrin S F kullanılmıştır. S z = + φ S () (3.39) olur. + φ() S = φ S ()+ φ() S () φ S (3.40) Şklind sri açılım yapılırsa v φ( S) lrin dnk. (3.37) dki dğrlri kullanılırsa, manytizasyon ifadsi aşağıdaki şkli alır.

37 9 S z = A j τ j (3.4) j A = π ζ (), (3.4) A = π 8 π A 3 = 9π 6 π A 4 = π 3 6 π A 5 = π 4 30 π ζ (), (3.43) ζ (), 3 (3.44) ζ (), 4 (3.45) ζ (), 5 (3.46) Sonuç olarak, düşük sıcaklık bölglrind manytik alansız bir ortamda aşağıdaki manytizasyon ifadsi türtilmiştir. S z S = = φ + φ + 0 φ 3 (3.47) S z S = = ζ ζ () 4 π 3 6 () 577 π 576 ζ π 4 ()π 8 + ζ () 5 π 4 π 30 π 5 + ζ () 3 9π ζ () 3399 π ζ () π 64 π ζ ()ζ 3 577π 56 π 4 + ζ ()ζ 4 577π π 3 + ζ ()ζ 577π 5 π 5... π 3 (3.48)

38 30 3. Dış Manytik Alan Varlığında Manytizasyonun İnclnmsi H 0 durumundu nrji ifadsi aşağıdaki gibi vrilir. () J( K) E K = gμ B H + J 0 (3.49) Burada β ; kt dir. H dış manytik alandır. g, lktron için Landé faktörüdür. μ B, Bohr manytonudur. n, birim hacimdki lktron sayısıdır. S z is birim hacimdki manytizasyondur. Yukardaki E K ifadsinin hr iki tarafını β il çarpalım v yni ifadyi aşağıdaki büyüklüklr cinsindn ld dlim. τ = βj 0 (), η K J K = J() 0, L = gμ BΗ J() 0 () βe K = gμ B Η+ ( n)βj () 0 J K J 0 (3.50) βe K = L τ + S z τ η( K) (3.5) S z = υ π d K (3.5) coth βe K Şklind vriln manytizasyon ifadsind yukardaki βe K dğrini yrin yazarsak, S z = υ coth L + S z η K ( π) d K (3.53)

39 3 ifadsini ld driz. T << T C, τ 0, L + S z η( K)>> τ durumu için, aşağıdaki açılımı kullanırız. BuradaT C, Curi sıcaklığıdır, yani manytizasyonun sıfır dğrini aldığı sıcaklıktır. Yukardaki intgrald, coth x in yrin aşağıdaki açılımını alalım. coth x = ( + x ) ( x ) = + rx (3.54) S z = + F τ S z, L (3.55) τ Burada F aşağıdaki şkild tanımlanmıştır. υ L + S F = z η K d ( π) K xp r (3.56) S z = υ π L + S z η K d K (3.57) + xp r S z = υ d K + υ ( π) ( π) xp z r L + S η K d K (3.58) Trs örgü üzrindn; d K = π dir. (3.59) υ

40 3 S z = + F τ S z, L τ υ F = ( π) d K xp r L + S z η K l = idi. () η( K)= J K J 0 Olarak tanımlanmıştı. Η 0 durumu için aşağıdaki dnklmlri ynidn hsaplayalım. J K J() 0 = cos ( K xa)+ cos K y a (3.60) ()J η( K)= 0 () cos K x a J() 0 + cos K y a (3.6) cos( K x a) v cos( K y a) ifadlrini sri açtıktan sonra taraf tarafa toplayalım. cos()= x x! + x 4 4! x 6 6! +... (3.6) cos( K x a)= K xa! cos( K y a)= K a y! cos( K x a)+ cos K y a ( + K xa) 4 4! ( + K a y ) 4 4! ( K xa) 6 6! ( K a y ) 6 6! K ( )= a x! K a 8 x 8! ( + K xa) 8 8! ( + K a y ) 8 8! K a 4 x 4! a 0 ( K xa) 0 0! +... ( K a y ) ! K 6 6 ( a 6 x ) 6! K 0 0 ( x ) 0! (3.63)

41 33 a η( K)= K x + K 8 8 ( x ) a8 8! K 0 0 x a4! + K 4 4 x a0 a6 4! K 6 6 x 6! 0! (3.64) Olur. Üstl ifadd, bulunan dğrlri yrin koyarsak; L + S z η K xp r = xp rl xp r Sz. K x + K 6 6 ( x ) a6 a8 6! K 8 8 x a a0 8! + K 0 0 x a4! K 4 4 x 0! 4! (3.65) = xp rl r Sz xp K x a!. xp r Sz K 4 4 ( x ) a4 Sz 4! r K 6 6 x 6! a6 + r Sz K 8 8 x a8 Sz 8! r K 0 0 x a0 0! (3.66) ld dilir. Üçüncü üstl fonksiyonu sri açalım. x = + x + x! + x (3.67) 3! r L + Sz η K r Sz rl r Sz = xp xp K 6 6 ( x ) a 6! + r S z K 8 8 ( x ) a8 K ( x ) a 8! r S z + r Sz! K x 0 0 a0 0! K 4 4 ( x ) a 4!

42 34 + r S z a 8 h τ 4!4! K 8 x + K 8 y + K 4 4 x K y (3.68) ld driz. F dnklmind yrin yazalım. F = υ d ( π ) K + d K rl rl r Sz r Sz K ( x ) a! K ( x ) a! r S z 4! K 4 4 ( x ) a 4 d K + d K d K r= r= r= r Sz r Sz r Sz K ( x ) a! K ( x ) a! K ( x ) a! r S z r S z r S z K 6 6 ( x ) a6 6! K 8 8 ( x ) a8 8! K 0 0 ( x ) a0 0! + d K r= r Sz K ( x ) a! r S z a 8 h τ 4!4!! K 8 x + K 8 y + K x K y (3.69) F dnklmini daha açık bir şkild yazalım; F = υ ( π) r= + r Sz a 4 4! + r Sz a 4 4! r Sz a 6 6! r S z a! K x r S z a! K x dk x r= K x 4 dk x r S z a! K x dk x r S z a! K x K x 6 dk x r S z a! K y dk y r S z a! K y r S z a! K y r S z a! K y dk y K y 4 dk y dk y

43 35 r Sz a 6 6! + r Sz a 8 8! + r Sz a 8 8! r Sz a 0 0! r Sz a 0 0! a 8 + r S z h τ 4!4!! a 8 + r S z h τ 4!4!! r S z a! K x dk x r S z a! K x K x 8 dk x r S z a! K x dk x r S z a! K x K x 0 dk x r S z a! K x dk x r S z a! K x r= K x 8 dk x r S z a! K x dk x r S z a! K y r S z a! K y r S z a! K y K y 6 dk y dk y K y 8 dk y r S z a! K y r S z a! K y dk y K y 0 dk y r S z a! K y r S z a! K y dk y K y 8 dk y a 8 + r S z h τ 4!4!! r= r S z a! K x K x dk x r= r S z a! K y K y dk y (3.70) φ() S dnklmi için hsapladığımız I n dğrlrini burada da kullanırsak, F = υ ( π) r= π r S z a + r= r S z a 4 4! 3 π 5 π r S z a r S z a r= + r S z a 6 6! r S z a 8 8! 5 π 4 05 π 8 r S z a 7 π r S z a 9 π r S z a r S z a

44 36 r S z a 0 0! π r S z a r S z a + + r S z a 8 h τ 4!4!! 05 π 8 r S z a 8 π h τ 4!4! 4 r S z a 9 π r S z a r S z a 3 (3.7) ld driz. Grkli hsaplamaları yaparsak; F = υ ( π) + π a r + S z 5π.6! S z 05π 4.8! S z 3 a r 3 4 a r 4 3π 4! S z a r 9.05π 8.0! S z 5 a r π.4!4!! S z 3 a rl r + 3 π 4!4! S z a r (3.7) F = a π π 577 S z a r π 8 S z a r + 9π 56 S z 3 a r 3 + π 536 S z 4 a r 4 π 3070 S z 5 a r (3.73) olarak buluruz. Yukardaki dnklmd

45 37 L = x (3.74) kısaltması yapılarak; Z p ()= x r p rx (3.75) l = fonksiyonu kullanılarak; (3.73) ifadsi, F = Z () x π S z Z x () π 4 π S z Z 3 () x 9π 8 π S z 3 +Z 4 () x π 3 3 π S z 4 Z 5 () x π 4 5 π S z (3.76) L olarak bulunur. Z i () lr x v katsayıları a i τ fonksiyonları olarak kabul dilirs dnk. (3.76) aşağıdaki gibi yazılır. L +a 4 τ τ S z 4 L a 5 τ τ S z 5... (3.77) S z = + F idi. Buradan

46 38 S z = + F (3.78) olur. + F = F + F F (3.79) Şklind sri açılım yapılırsa, F nin dnk. (3.76) daki dğrlri (3.79) da yrin yazılırsa, manytizasyon ifadsi aşağıdaki şkli alır. S z = A j τ j j (3.80) A = π Z (3.8) A = π 4 π Z, (3.8) A 3 = 9π 3 8 π Z 3, (3.83) A 4 = π 3 3 π A 5 = π 4 5 π 4 5 Z 4, (3.84) Z 5, (3.85) Şklind katsayılar ld dilir. Sonuç olarak düşük sıcaklık bölglrind manytik alanlı bir ortamda aşağıdaki manytizasyon ifadsi türtilmiştir. S z S = = φ + φ + 0 φ 3

47 39 S z S= = Z () x 577 π 88 Z x () π 4 π + Z 3 () x 9π 8 π 3 Z 4 () x π 3 3 π 4 + Z 5 () x π 4 5 π π 447 Z () x + π 8 π + 577π 576 π 3 Z () x Z ()Z x () x 577π 8 π 4 Z ()Z x 3 () x + 577π 3 43 π 5 Z ()Z x 4 () x... (3.86)

48 40 4. SONUÇLAR v ÖNERİLER Bu tzd iki boyutlu bir kar örgüd Hisnbrg tkilşimi yapan spin sistmind Grn fonksiyonları kullanılarak manytizasyon ifadsi indirgnmiş sıcaklığın kuvvt srisi fonksiyonları olarak düşük sıcaklık bölgsind türtildi. Bu türtm önc dış manytik alansız bir ortamda sonra da dış manytik alanlı ortamda inclnmiştir. Hr iki durumda da manytizasyon ifadsi sıcaklığın srisi olarak ld dilmiştir. Mutlak sıfır sıcaklığında manytizasyon ifadsindn doyum dğri olan dğrinin ld dildiği görülmüştür. Bu çalışmada iki boyutlu kar örgüd manytizasyonun bir kritik sıcaklığa sahip olduğunu v manytizasyonun artan sıcaklıkla düzgün bir şkild azaldığını gördük.

49 4 5. KAYNAKLAR Bindr, K. v ark., 974 P.C. Hohnbrg, Phys. Rv. B, 9-94 Bindr, K. v D.P., 984 Landau Phsy. Rv. Ltt Cllotta, R.J.,986 Scinc Dürr, W., 989, Phys. Rv. Ltt 6-06 Mariz, A. v ark., 987, Europhsy. Ltt, 3-7 Rau, C. v ark., 980, in Nuclar Mthods in Matrials Rsarch, ditd by Bth, K. (Viwg, Braunschwig), 354 Rau, C. and Robrt, M., 987 Phys.Rv.Ltt.58,74 Wllr, D., 985 Phys. Rv. Ltt Zubarv, D., 960 Sov. Phsy. Doklady, 3-30

50 4 ÖZGEÇMİŞ KİŞİSEL BİLGİLER Adı Soyadı : Elmas Aksoy Uyruğu : T.C Doğum Yri v Tarihi : Tlfon : 0(33) EĞİTİM Drc Adı, İlç, İl Bitirm Yılı Lis : Açık Öğrtim Lissi, Karatay, Konya 00 Ünivrsit : Slçuk Ünivrsitsi, Slçuklu, Konya 007 Yüksk Lisans : Slçuk Ünivrsitsi, Slçuklu, Konya 0