BÖLÜM 4 LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMLERİ

Transkript

1 BÖLÜM LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMLERİ GİRİŞ Dnklm sismlrin linr cbir drsindn şin olmlısınız Anck bu ür dnklmlrd hrhngi bir difrnsiyl büyüklük vy ürv bulunmz Bşk bir dyişl cbirsl dnklm sismi, y ( y 7 şklind krşımız çıkr Ö yndn difrnsiyl dnklm sismlri gnllikl bir vy dh fzl syıd bğımsız dğişknin k bir bğımlı dğişkn gör ürvlrinin bulunduğu dnklm sismlridir Örnğin; y y ( y y y sismi, ikinci mrbdn iki n difrnsiyl dnklmdn oluşmkdır v burd bilinmyn fonksiyonlr ( v y( dir Bu iki bilinmyn fonksiyonun hr iki dnklmd d yr lmsındn öürü, bu fonksiyonlrı bulbilmk için iki dnklm birlik çözülmk zorunddır (ıpkı Dnklm in çözümünd olduğu gibi Eld dilck çözümlr, bliriln rlığınd hr iki dnklmi d sğlmlıdır Bir difrnsiyl dnklm sismini mydn girn dnklmlr frklı mrbdn dnklmlr olbilir Örnğin üm dnklmlr, Dnklm d olduğu gibi ikinci mrbdn olbilcği gibi dnklmlrin bzılrı birinci bzılrı is ikinci mrbdn olbilir Difrnsiyl dnklm sismin üniform bir ypı kzndırmk için gnllikl bu ür sismlr şdğr bir sism dönüşürülür n inci mrbdn bir difrnsiyl dnklm, hr zmn n d birinci mrbdn dnklmdn oluşn bir sism dönüşürülbilir Bunun nsıl ypıldığını üçüncü mrbdn bir dnklm üzrind gösrcğiz Aşğıdki difrnsiyl dnklm vrilmiş olsun 7 ( Bu dnklmi üç n birinci mrbdn dnklm dönüşürmk için, olrk üç prmr nımlycğız Bunu yprkn n yüksk mrbli ürv hriç, yni dğişkn olrk bilinmyn fonksiyonlr v ürvlrini nımlıyoruz Bu yni dğişknlrin Dnklm yrin yzılmsıyl, ( ld dilir 7 Bu dnklm, nımldığımız üç yni dğişkn bğlı birinci mrbdn bir difrnsiyl dnklmdir Bu dnklm il v n oluşn grup birinci mrbdn bir dnklm sismi mydn girmiş olur: ( Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

2 Eld iğimiz bu dnklm sismi Dnklm şdğrdir Burd vriln dönüşürm yönmi oldukç gnldir v hngi mrbdn olurs olsun bir dnklmi birinci mrbdn bir dnklm sismin dönüşürmd kullnılbilir ÖRNEK Yüksk Mrbli Sismlri Birinci Mrby İndirgm Aşğıd vriln dnklm sismini v sınır şrlrını birinci mrbdn bir dnklm sismin dönüşürünüz y f (, y y g(, (, y(, ( y ( ÇÖZÜM Vriln sism, iki bilinmynli ikinci mrbdn bir difrnsiyl dnklm sismidir Sonuç birinci mrbdn dör d dnklmdn oluşn bir sism ld dilckir Bunun için önc dör n yni dğişkn nımlylım: y y Bu dğişknlrin vriln sismd yrin yzılmsıyl şğıdki yni sism ld dilir, ( f(, (, ( g( ( Bu is birinci mrbdn dör dnklmdn kurulu bir difrnsiyl dnklm sismidir Dnklm sismindn mrblrin oplmının olduğu dikkinizi çkmiş olmlıdır Ayrıc bşki sismd olduğu gibi yni dnklm sismind d dnklmlrin linr v sbi ksyılı olduğu görülmkdir Bir çözüm yolu bulunmsı hlind yüksk mrbli bir difrnsiyl dnklmi birinci mrbdn bir dnklm sismin dönüşürmnin pk bir nlmı olmybilir Anck prik krşılşıln yüksk mrbli dnklmlrin çoğu linr dğildir v syısl olrk çözülmlri grkir İlrd d görülcği gibi vriln yüksk mrbli bir difrnsiyl dnklmi birinci mrbdn bir sism dönüşürmk olğn bir uygulmdır - - Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

3 DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMLERİNİN SINIFLANDIRILMASI Difrnsiyld dnklmlrl ilgili nımlmlrın büyük bir çoğunluğu difrnsiyl dnklm sismlri için d ypılbilir Bunun ynınd difrnsiyl dnklm sismlri il cbirsl dnklm sismlri rsınd d ykın bir bnzrlik olduğu görülür Örnğin cbirsl bir dnklm sismind ğr üm dnklmlr linr is, sismin d linr olduğu söylnir Bu yüzdn, y (7 y cbirsl dnklm sismi linr dğildir İkinci dnklmd yr ln y rimi linrliği bozmuşur Bnzr şkild bir difrnsiyl dnklm sismind yr ln üm dnklmlr linr is, bu difrnsiyl dnklm sismin linrdir dnir Tk bir difrnsiyl dnklm bil linr dğils, difrnsiyl dnklm sismi linr olmyn bir dnklm sismi hlin glir Örnğin y z y z z y z ( linr olmyn dnklm difrnsiyl dnklm sismi linr dğildir Eğr bir difrnsiyl dnklm sismind yr ln üm dnklmlr homojn is bu sism homojndir dnir Tk bir dnklmin bil homojn olmmsı, sismi homojn olmkn çıkrır: y z (homojn y y z (homojn z y ( dn öürü homojn dğil Linr bir difrnsiyl dnklm sismi, gnl olrk, P ( Q ( y R ( (8 y P ( Q ( y R ( Biçimind ifd dilir Burd R ( v R ( homojn olmyn rimlrdir Bun gör P ( Q ( y linr homojn bir difrnsiyl dnklm sismi y P ( Q ( y (9 olrk ifd dilir Linr bir dnklm sismind, y, v sin y gibi linr olmyn rimlrin bulunmdığın dikk diniz Ayrıc homojn bir dnklm sismind n bğımlı dğişknlr n d onlrın ürvlri bir çrpn olrk yr lmz Son olrk sndr biçimd yzıln bir difrnsiyl dnklm sismindki üm dnklmlr sbi ksyılı is, dnklm sismi d sbi ksyılı olrk nilndirilir Tk bir dnklm bil dğişkn ksyılı olurs, sism d dğişkn ksyılı hl glir Örnğin, y z (sbi ksyılı y y (sbi ksyılı z y z ( dn öürü dğişkn ksyılı Bun gör sbi ksyılı bir difrnsiyl dnklm sismi şğıdki şkild ifd dilir: b y R ( ( y b y R ( - - Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

4 Yukrıdki dnklm sismind ilk dnklmd y, ikinci dnklmd is rimlrinin bulunmsı grkiğini düşünbilirsiniz Yni dnklm sisminin gnl biçimi, b y c y R ( ( y b y c R( şklind mi olmlıdır? Anck ikinci dnklmdki y ilk dnklmd yrin yzıldığınd, ilk dnklmdki cy riminin ordn klkığı görülür Bnzr bir işlm ypılrk ikinci dnklmdki cy rimi d yok dilbilcğindn dnklm sismi yin il vriln hl glmiş olur Bu ndnl bğımlı dğişkn ürvlrini dnklm sismind gösrmnin problmi krmşık hl girmnin ösind bir kisinin bulunmdığı görülür Cbir drslrinizd muhmln linr olmyn dnklm sismlrin dğinmdiniz v sdc linr dnklm sismlri üzrind yoğunlşınız Elb bunu, linr dnklm sismlri önmsiz diy ypmdınız, bilkis bu ür dnklm sismlrinin nliik olrk çözümlri çoğunlukl imkânsızdır Anck bu ür dnklm sismlrini uygun bir knik kullnrk bilgisyrd çözmk olsıdır Anck bunun için blirli bir düzyd syısl çözümlm ypm bilgisin grk vrdır Aynı durum difrnsiyl dnklm sismlri için d gçrlidir Linr difrnsiyl dnklm sismlri blirli bir sismik yol izlnrk çözülbilir, nck linr olmyn difrnsiyl dnklm sismlri için bu ür çözüm yönmlri mvcu dğildir Bunu prik ypmnın k yolu syısl yönmlr kullnmkır Bunu ilriki bölümlrd l lcğız Bu bölümd is sdc linr dnklm sismlri üzrind durcğız Linr ols bil dğişkn ksyılrın bulunduğu difrnsiyl dnklm sismlri çözmk oldukç zordur Bunun ndni çözümlrin gnllikl sonsuz srilr içrmsidir Bu yüzdn burd linr v sbi ksyılı difrnsiyl dnklmlrdn kurulu sismlri l lcğız DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMLERİ NASIL ORTAYA ÇIKMAKTADIR? Difrnsiyl dnklm sismlri çoğu prik problmd kndiliğindn ory çıkr Bu ür problmlrin ork yönü k bir sism yrin iki y d dh fzl syıd fiziksl olrk bğlı sismlrdn oluşmlrıdır Bu ür sismlrdki bilinmyn fonksiyonlr hm birbirlrin hm d bğımsız dğişkn bğlıdır Bu ndnl birlik çözüm ypılrk ld dilmlri grkir Difrnsiyl dnklm sismlrinin orisin v çözüm kniklrin gçmdn önc birkç örnkl bu ür dnklm sismlrinin nsıl ory çıkığını görlim ÖRNEK Ayrık mknik irşim Yy sbilri k v k oln iki yy ucun sırsıyl m v m küllrinin sıldığını düşünlim Küllr dışrıdn F( v F ( kuvvlri Şkil d gösrildiği gibi uygulnıyor olsun Küllrin bşlngıç konumlrın gör yr dğişirm mikrlrı ( v ( dir Bşlngıç konumlrı küllrin kndi ğırlıklrıyl yyı uzığı konum olrk düşünüldüğü için küllrin ğırlıklrı bir dış kuvv olrk dikk lınmmkdır Hrhngi bir sönümlnm vy sürünm olmdığını kbul drk iki külnin hrklrini nımlyn difrnsiyl dnklm sismlrini ld diniz - - Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

5 ÇÖZÜM Bir külnin dğişik şrlrdki irşimi dh önc yrınılı olrk l lınmışı Hrhngi bir sönümlnm olmdığını v poziif yönün şğı doğru lındığını kbul drk hr iki külnin hrk dnklmi, d m k F( ( d v d m k F ( (b d olrk ifd dilbilir Burd ( v ( bilinmyn fonksiyonlr vy (bğımlı dğişknlrdir Dnklm sismindki is zmnı gösrn bğımsız dğişkndir Dnklm iki bilinmynli bir dnklm sismini msil mkdir Dh doğrusu bunlr, hr ikisi d k bir bğımsız dğişkn bğlı iki dnklmdir Dolyısıyl bu iki dnklm birbirindn bğımsız olrk çözülbilir v bunun sonucund ( v ( bilinmyn fonksiyonlrı ld dilbilir İki kül birbirlrindn bğımsız şkild hrk iğindn v birbirlrini hiçbir şkild kilmdiklrindn bu durum şşırıcı glmmlidir Dolyısıyl Dnklm y yrık dnklm sismi dı vrilir, çünkü hr iki bilinmyn fonksiyon d ( ( v ( sdc k bir dnklmd bulunmkdır Bu ür bir sismi çözmk için yni bir bilgiy ihiycınız bulunmmkdır v biz burd bu ür yrık sismlr il ilgilnmycğiz ÖRNEK Bğlı mknik irşim Öncki örnk vriln iki yykül sismini bu sfr uç uc klmiş olrk ynidn l llım (Şkil 7 Sürünmyi ihml drk iki külnin hrkini nımlyn difrnsiyl dnklmlri ld diniz ÇÖZÜM ( v ( yin bşlngıç konumlrın gör (kül ğırlıklrı dikk lınmış hld iki külnin zmn bğlı konumlrı olsun Aşğı yönü poziif olrk llım Yy kuvvinin, yyın sıkışm vy uzm mikrıyl ornılı olduğu hırlnrk şğıdki ifdlr yzılbilir: F k ( yy, F k ( (b yy, Hr iki kül d ynı yönd v ynı mikrd yr dğişirdiğind olur v ikinci yy hrhngi bir kuvv uygulmz Eğr birinci kül sbilnmişs (, ikinci küly gln kuvv F uygulndığınd; k olckır Nwon un ikici yssı hr bir küly yy, - - Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

6 d m k k ( F ( ( d v d m k ( F ( (b d sonuçlrı ld dilir Burd ilk dnklmin sğ rfınd yr ln bir rim il Dnklm dn frklılşığı görülmkdir İlv bu rim, ikinci yy rfındn uygulnn kuvvi msil mkdir Bnzr şkild ikinci dnklm d Dnklm b dn frklı olduğu, bunun d ikinci külnin hrkli bir noky sılmsındn ilri gldiği nlşılmkdır Eğr birinci dnklmi çözrk ilk külnin konum dnklmi oln ( i bulmy çlışırsk bund bşrılı olmyız Çünkü ilk dnklmd ynı zmnd diğr küly i oln bilinmyn fonksiyon ( yr lmkdır Aynı durum ( için d gçrlidir (yni ikinci dnklmi çözrk onu bulmyız Anck hr iki dnklmi birlik çözrk ( v ( fonksiyonlrını bulbiliriz Dnklm bğlı dnklm sismi dı vrilir, çünkü hr bir dnklm birdn fzl bilinmyn fonksiyon bğlıdır Bu bölümd bu ür bğlı dnklm sismlrinin çözümlrini öğrncğiz ÖRNEK Elkrik dvrlri Şkil 8 d vriln iki kplı gözlü lkrik dvrsini göz gönün lınız L v L bobinlrindn gçn I v I lkrik kımlrını vrn difrnsiyl dnklmi blirlyiniz ÇÖZÜM Birdn fzl gözün bulunduğu lkrik dvrlrini nliz drkn çşili dvr lmnlrındn gçn kımlrın yönlrini bşn ksirmk zordur Bu yüzdn gnllik lkrik kımlrının yönlri kbul dilir Hsplm sonucu ngif dğr olrk bulunn bir kım, o kım için sçiln yönün ynlış olduğunu gösrir I v I nin yönlri şkild gösrildiği gibi kbul dilmiş olsun Bu durumd R dirncindn gçn kım, nliz diln göz gör I I vy I I olckır Kplı bir gözd blirli bir yöndki grilim düşümlrinin oplmının uygulnn grilim şi olduğunu biliyoruz Bun gör bir RL dvrsi için; di L RI E( ( d ifdsi yzılbilir Bu ilişkiyi iki göz uygulrsk; di L R( I I E( ( d - - Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

7 di L R( I I (b d vy krr düznlm yprk, di L RI RI E( (7 d di L RI I (7b d ld driz Böylc iki n birinci mrbdn linr sbi ksyılı dnklmdn kurulu bir sism ld dilmiş olur Bilinmyn I ( v I ( fonksiyonlrını bulbilmk için iki dnklm birlik çözülmlidir ÖRNEK Krışım nklrı Şkil 9 d gösrildiği gibi L hcmind özdş iki krışım nkı birbiri il iriblndırılmış durumddır Hrhngi bir nınd nklrd bulunn uz küllri sırsıyl ( v ( fonksiyonlrı il vrilmkdir Hr iki nk bulunn krışırıcılr, krışımın mükmml homojnlik olmsını sğlmkdır Birinci nk içrisind kg uz/l bulunn çözlidn L/dk, ikinci nk is L/dk miz su girmkdir Birinci nkn ikincisin L/dk uzlu su gçrkn, ikinci nkn birincisin L/dk uzlu su gçmkdir İkinci nkn L/dk uzlu su çkildiğin gör hr iki nkki uz mikrlrını vrn difrnsiyl dnklmlri glişiriniz ÇÖZÜM İki nk birim zmnd girn v çıkn uzlu su çözlilrinin hcimlri şi olduğundn hr iki nk d hr n L çözli bulunckır Bun gör birinci nk L çözli bşın ( / kg uz bulunckır Birinci nkn birim zmnd yrıln uzlu su külsi is { ( /} olckır Bnzr şkild ikinci nk girn v çıkn uz küllri d hsb kıldığınd, kül korunumu yssı grği, d d d d (8 (8b yzbiliriz Bu, iki n birinci mrbdn difrnsiyl dnklmdn oluşn bğlı bir sismdir Yni ( v ( fonksiyonlrını bulmk için iki dnklmi birlik çözmmiz grkir Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

8 Arık linr dnklm sismlrinin çözüm yönmlrin gçbiliriz İlk olrk yok m yönmi üzrind durcğız Bu yönm n d linr difrnsiyl dnklmdn oluşn bir sismi n nci mrbdn k bir difrnsiyl dnklm dönüşürür Bunun rdındn linr sbi ksyılı dnklmlr için sismik bir çözüm yolu oln özdğr yönmini öğrncğiz Bu yönm, sbi ksyılı linr bir dnklmin çözümünü ndırmkdır En son olrk mrislr v linr cbir konusund önmli bzı hırlmlr ypılrk mris (vy öz vkörlr yönmi nlılckır Bu yönm, linr difrnsiyl dnklm sismlrinin çözümünd kullnıln n gnl v sismik yönm olm özlliğin shipir Bunlrın dışınd kln Lplc dönüşümü v syısl yönmlr ilriki bölümlrd l lınckır YOK ETME (ELİMİNASYON YÖNTEMİ Linr sismlrin orisin girmdn önc, difrnsiyl dnklm sismlrinin çözümünd kullnıln n bsi v ml yönm oln yok m yönmi üzrind durlım Bu yönm n n birinci mrbdn difrnsiyl dnklmi, mrbsi n oln k bir difrnsiyl dnklm dönüşürm ssın dynır Bu yönm, cbirsl dnklmlrdki yok m yönmin bnzmkdir Örnğin, y 7 (9 y sismi bğlı k bir dnklm dönüşürülbilir Bunu ypmk için ikinci dnklmdn y ld dilrk ilk dnklmd yrin yzılır Böylc, ( 7 ( k bilinmynli dnklmi ld dilir Bu dnklmdn çözülürs bulunur bilindiğin gör, dğri birinci vy ikinci dnklmdn yzılrk y ld dilir Şimdi d iki n birinci mrbdn linr v sbi ksyılı difrnsiyl dnklmdn oluşn bir sismi göz önün llım Bğımlı dğişknlr v y dir ( b y R ( y b y R ( (b İlk dnklmdn y yi çkip y gör ürvini lırsk; y ( R(, ( b v y ( R ( ( b ld driz Şimdi d bu y v y nü ikinci dnklmd yrin yzıp düznlrsk, ( b ( b b R ( b R ( br ( ( Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

9 sonucun ulşırız Bu dnklm ikinci mrbdn sbi ksyılı linr bir dnklm v dh önc öğrndiğimiz çözüm yönmlriyl çözülbilir Dnklmin krkrisik dnklmi şu şkilddir: λ ( b λ b b ( Dnklmimizin homojn kısmının çözümü krkrisik dnklmin iki kökü il kurulur i gnl çözüm is ld dcğimiz bu homojn çözüm il, homojn olmyn difrnsiyl dnklmi sğlyn bir özl çözümün oplmındn ( y yh yö oluşur ( bu şkild bulunduğund, ( v ( Dnklm d yrin konur v böylc y ( fonksiyonu d ld dilmiş olur Bunu bir örnk üzrind gösrcğiz ÖRNEK Yok m yönmi Yok m yönmini kullnrk şğıdki difrnsiyl dnklmi çözünüz y, ( y y, y( ÇÖZÜM: Bu bir birinci mrbdn linr sbi ksyılı difrnsiyl dnklm sismidir Yokm yönmini kullnrk vriln sismin ikinci mrbdn sbi ksyılı şdğri oln dnklmi bullım İlk dnklmdn y yi çklim v y gör ürvini llım: v y ( y (7 Şimdi d y v y nü ikinci dnklmd yrin yzlım: vy, Bu is, ikinci mrbdn linr sbi ksyılı homojn bir difrnsiyl dnklmdir Dnklmin krkrisik köklri; λ λ λ v λ olrk ld dilir Bun gör gnl çözüm; C C Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

10 olckır Bilinmyn diğr fonksiyon y is v nün ilk dnklmd (Dnklm yzılmsıyl bulunur y ( C C C C ( C C Bun gör vriln difrnsiyl dnklminin gnl çözümü, C C C C y olrk ld dilmiş olur Kyfi sbilr oln C v C is bşlngıç şrlrının uygulnmsıyl blirlnir: ( C C y ( C C Çözüm ypılırs, C v C olrk ld dilir Bu dğrlrin yrin yzılmsıyl, vriln dnklm sisminin çözümü; y olrk bulunur Bu iki dnklmin vriln difrnsiyl dnklm sismini sğldığı gösrilbilir Ayrıc çözüm y yrin i yok drk d bşlybilirdik, yin ynı sonucu bulurduk Yok m yönmi bsi v izlnmsi koly bir yönm olmsın krşın iki y d üçn fzl syıd dnklmdn oluşn sismlri çözmk için pk prik dğildir Dnklm syısının rmsıyl oldukç hnl v krmşık hl glmkdir Öğrncğimiz özdğr yönmi is, dnklm syısın bkılmksızın, ynı krkrisik dnklmi bulmd dh koly v sismik bir yönm vrmkdir Bunun için z bir mikr linr cbir bilgisi yrli olmkdır Yok m yönmi homojn olmyn dnklm sismlrin d uygulnbilir Bu ür durumlrd şdğr dnklm homojn olmycğındn, gnl çözümü bulmk için bir n özl çözüm bulmmız grkir ÖRNEK 7 Yok m yönmihomojn olmyn difrnsiyl dnklm sismlri yok m yönmini kullnrk şğıdki bşlngıç dğr problmini çözünüz - - Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

11 y y y ( y( ÇÖZÜM Bu bir homojn olmyn, birinci mrbdn sbi ksyılı difrnsiyl dnklm sismidir Bu sismin ikinci mrbdn, homojn olmyn sbi ksyılı şdğr dnklmini bulmk için ilk dnklmdn y yi çkip y gör üriğimizd; y ( 9 v y ( ld driz Şimdi d y v y nü ikinci dnklmd yrin yzlım: vy Bu dnklmin homojn kısmı is olur v bir öncki örnkn bunun çözümünü biliyoruz: C C Blirsiz ksyılr yönmin gör özl çözümün gnl şkli ö A B olckır Bu çözüm v ürvlri dnklmind yrin yzılıp ksyılr şilndiğind A, B olduğu görülür Böylc gnl çözüm ifdsi; C C hlini lır Bu dnklmdn v lınıp Dnklm 9 yrin yzıldığınd, y ( C C ( C C C C Sonuç olrk sismin gnl çözümü şu şkild olckır: C C - - Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

12 y C C Kyfi sbilr oln C v C is bşlngıç şrlrının uygulnmsıyl blirlnir: ( C C y ( C C Çözüm ypılırs C v C olrk ld dilir Bu dğrlrin yrin yzılmsıyl, vriln dnklm sisminin çözümü; y olrk bulunur Bu iki dnklmin vriln difrnsiyl dnklm sismini sğldığı gösrilbilir Ayrıc çözüm y yrin i yok drk d bşlybilirdik, yin ynı sonucu bulurduk İlk olrk bu yönm linr olmyn dnklm sismlrin d uygulnbilir Anck burdn hrkl kplı bir çözüm ld mk ndirn mümkün olur Bu yüzdn linr olmyn dnklmlri çözmnin n iyi yolu syısl yönmlrdir ÖZDEĞERLER YÖNTEMİ yok m yönmin lrnif bir çözüm yönmi d özdğrlr yönmidir Drminnlr yönmi olrk d dlndırıln bu yönm krkrisik dnklmin bulunmsınd kullnıln koly v sismik bir yoldur Bu yönm yrıc, bu bölümün sonund nlılck oln oldukç kullnışlı mris yönmi (vy özvkörlr yönmi il ykındn ilgili ml kvrmlrın öğrnilmsind d kin bir rol oynr Anck özdğrlr yönminin d kullnımı iki vy üç n birinci mrbdn linr v sbi ksyılı dnklmdn oluşn sismlrl sınırlıdır Dh fzl syıdki dnklmdn oluşn sismlr için n kin v sismik yol mris yönmidir İki n birinci mrbdn sbi ksyılı dnklmdn oluşn ' b y ( y ' b y (b sismini l llım Burd, b, v b grçl sbilrdir Bu dnklmlrin çözüm fonksiyonlrının y (b λ k ( λ k biçimind olduğunu vrsylım Burdki k, k v λ sbilri gösrmkdir Bu sbilrin dğrlri, önriln çözümlrin dnklm sismini sğlmsı grkiğindn hrkl bulunckır Çözümlr yrin koyulup, - - Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

13 λ λ λ k λ k bk ( λ λ λ k λ k bk λ bölünür v krr düznlm ypılırs, ( k bk k ( b k (b iki dnklm dy λ ( λ (b ld dilir k v k y gör bu iki dnklm linr homojn bir cbirsl dnklm sismini msil dr k k çözümü hmn göz çrps d y sonucunu doğurduğu için işimiz yrmz İşimiz yryck çözüm is, linr cbir orisin gör ylnızc ksyılr mrisinin drminnı sıfır is vrdır Bun gör, vy ( λ b ( λ( b λ b ( b λ λ ( b λ ( b b (7 ( olmlıdır λ y gör ikinci drcdn oln bu dnklm linr sismin krkrisik dnklmi dı vrilir Dnklmin köklri oln λ v λ is krkrisik köklr vy vriln dnklm sisminin özdğrlri dını lır Bu dnklmin dh önc yok m yönmi ld iğimiz krkrisik dnklmin (Dnklm ynısı olduğu görülmkdir Dnklm d vriln drminn dikklic bkıldığınd, krkrisik dnklmin bulunmsınd kıs bir yol gösrdiği nlşılır Bunun için ksyılr mrisi oln A b b mrisinin köşgn lmnlrındn λ çıkrmk yrli olmkdır İkinci mrbdn linr, homojn v sbi ksyılı bir difrnsiyl dnklmin gnl çözümünün, bu dnklmin krkrisik dnklminin köklri oln λ v λ nin grçl v frklı, klı v komplks iki kök olmsın gör şkillndiğini biliyoruz İki n birinci mrbdn dnklm ikinci mrbdn k bir dnklm dönüşürülbildiği için ynı durum burd d gçrlidir Krkrisik köklr bulundukn sonr için gnl çözüm şğıdki gibi ld dilir: Eğr λ λ λ λ is ( C C (8 λ Eğr λ λ λ is ( ( C C (9 α Eğr λ, α ± iβ is ( ( C sin β C cos β ( Burd C v C kyfi sbilrdir Diğr bilinmyn y is is, ilk dnklmdn y yi çkip, şimdi bulunn v nü y dnklmind yrin yzrk blirlnir Bu çözüm d ynı kyfi sbilr bğlı olckır Bunu bir örnkl gösrcğiz ÖRNEK 8 Özdğrlr yönmi Özdğrlr yönmini kullnrk şğıdki bşlngıç dğr problmini çözünüz - - Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

14 y, y y, ( y( ÇÖZÜM Bu soru, Örnk d dh öncdn inclnmişi Ksyılr mrisini yzlım: A Krkrisik dnklm, köşgn lmnlrdn λ çıkrılrk ld diln drminnın sıfır şilnmsiyl bulunur: ( λ ( λ ( λ ( ( λ vy λ λ Bu is dh önc Örnk d bulduğumuz krkrisik dnklmdir Dnklmin köklri λ v λ olduğundn (grçl v frklı gnl çözüm; C C olrk bulunur Diğr bilinmyn fonksiyon y is, ilk dnklmdn y yi çkip v nü bu y dnklmind yzrk bulunur: y ' ( C Bun gör gnl çözüm; C C C C ( C C C C C y olrk ld dilir Çözümd yr ln C v C sbilri Örnk d C v C olrk hsplndığındn, vriln bşlngıç dğr problminin çözümü şu şkild olur: y Özdğrlr yönmi homojn olmyn sbi ksyılı linr dnklm sismlrin d uygulnbilir İşlm, homojn olmyn k bir dnklmin çözümünd ypılnlr prlldir Önc homojn kısmın çözümü ld dilir, dh sonr homojn olmyn rimdn kynklnn özl çözüm bulunur Son dımd is homojn kısmın çözümü il bu özl çözüm oplnrk gnl çözüm ld dilir Özl çözümlrin bulunmsınd blirsiz ksyılr yönminin ynı sır sbiin dğişimi yönmi d kullnılbilir Anck sbiin dğişimi yönmi, koly v bsi olmsın krşın, homojn olmyn rimlrin polinom çrpnlrı, - - Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

15 üsl fonksiyon vy sin, cos fonksiyonlrı biçimind olmsını grkirir Linr dnklm sismlrind özl çözümlrin gnl biçiminin sçimi, k dnklm için ypılndn frklıdır Linr sismlr için k bir dnklmdki dğil, dnklm sismind yr ln homojn olmyn rimlrin hpsi birdn göz önünd uulmk zorunddır (Şkil ÖRNEK 9 Özdğrlr yönmi: Homojn olmyn dnklm sismi Özdğrlr yönmini kullnrk şğıdki bşlngıç dğr problmini çözünüz y, ( y, y ( ÇÖZÜM İki n homojn olmyn linr sbi ksyılı dnklmdn oluşn bu sismin homojn kısmı; y y y olrk ifd dilbilir Dh öncki örnklrimizd bu sismin gnl çözümünü; h c c yh c c Olrk ld mişik Şimdi is dnklm sismimizd v l şklind homojn olmyn rimlrimiz bulunmkdır Özl çözümün biçimini oluşururkn hr iki rimi d dikk lmmız grkir Bun gör, A B ö ö y A B olckır Bu çözümlr dnklm sismind yrin yzılırs; ( A B ( A ( A B ( A B A A B ld dilir Bilinmyn ksyılrı bulmk için krşılıklı olrk ksyılrı şilrsk, A A A B B A A A B B sismini buluruz Birinci v üçüncü dnklm ork çözülürs A l v A bulunur Ardındn B l B olduğu görülür Böylc özl çözüm; ö yö olrk bulınır Sonuç homojn olmyn dnklm sisminin gnl çözümü; - - Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

16 c c y c c Olckır Sınır şrlrının uygulnmsı hlind C v C olrk buluncğındn, vriln bşlngıç dğr problminin çözümü şu şkild olur: y c Bu is Örnk 7 d blirsiz ksyılr yönmi il bulduğumuz sonuçl ynıdır Arnn hr iki fonksiyonun özl çözümlrinin ynı formd olduğu dikkinizi çkmiş olmlı Frk sdc sbilrd ory çıkmkdır Homojn Olmyn Trimlrin Homojn Dnklmin Çözümü Olmsı Hli Eğr homojnliği bozn rimlr homojn kısmın çözümü is, difrnsiyl dnklm sismi için ypılck işlm, k dnklm için ypılndn frklı olckır Tk bir difrnsiyl dnklmi çözrkn bu ür durumlrd ö özl çözümün olğn biçimi olmk üzr özl k çözümü ö olrk önriyorduk Burd k homojn çözüm il özl çözümü linr bğımlılıkn kurrn n küçük poziif m syıdır Anck difrnsiyl dnklm sismlri söz konusu olduğund bu yrli olmz Bunun yrin olğn özl çözümlri, P ( A k k k A A ( biçimind bir polinom il çrpmk grkir (A bir sbiir Örnğin homojn olmyn rim, homojn kısmın çözümlri is v olsun Bu durumd önrilck özl çözüm k bir dnklm söz konusu is ö A biçimind olurkn, bir difrnsiyl dnklm sismi söz konusu is özl çözüm; A B C ö biçimind olmlıdır ( ÖRNEK Özdğr yönmi: Homojn olmyn difrnsiyl dnklm sismi Özdğr yönmini kullnrk şğıdki difrnsiyl dnklm sismini çözünüz y y y ÇÖZÜM Burd vriln, birinci mrbdn sbi ksyılı homojn olmyn bir difrnsiyl dnklm sismidir Bu sism i homojn sism, y y y olup gnl çözümü dh öncki örnklrimizdn - - Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

17 h C C C C yh olrk bulunmuşu Vriln dnklm sismindn d görüldüğü gibi homojn olmyn rimlr v dir krşılık gln özl çözüm sdc bir sbiir krşılık gln özl çözüm is normld dir, çünkü rimi homojn kısmın çözümüdür Anck burd bir dnklm sismi söz konusudur v özl çözümün bir prçsı olrk bir sbil çrpımını d dhil mmiz grkir Böylc özl çözümlri, A B D ö ö y A B D olrk önrmmiz grkir Anck h nin ml çözüm olrk lındığındn v bu ifddki kyfi sbi, çözümün bir prçsı olrk ory çıkbilck rimlrini bünysind bulundurbilcğindn h ifdsindki A lmk bir skınc doğurmz Bun gör özl çözümlr şu şkild olckır: B D ö yö A B D Bu ifdlr difrnsiyl dnklm sismind yrin yzılırs, B B ( B D ( A B A B B ( B D ( A B D ld dilir Krşılıklı ksyılr şilndiğind dnklmin mydn gldiği görülür: D D D B A B B A D B B B A B B D Son iki dnklmin ynı olduğu çıkır İlk iki dnklm is ylnızc D v D y bğlı olup çözüm ypıldığınd D / nd D / bulunur Kln dnklmlrin d çözülmsiyl A /, B v B olrk hsplnır Sonuç olrk rnn özl çözümlr; ö yö v sismin gnl çözümü; ö C C yö C C olrk bulunur rimlrinin birlşirilmsiyl ikinci fonksiyon, y C ( C olrk ifd dilbilir Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

18 Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl MATRİSLERİN GÖZDEN GEÇİRİLMESİ Grk yok m grks özdğrlr yönmi iki vy üç n dnklmdn oluşn difrnsiyl dnklm sismlrini çözmd yrlidir Anck dh fzl syıd dnklm vrs bu iki yönm pk prik dğildir Fzl syıd dnklmdn oluşn sismlr n iyi mris gösrimiyl rif dilbilir Cbirsl dnklm sismlri için d ynı şyin gçrli olduğu biliyoruz Bu kısımd mrislr v bunlrl ypıln işlmlrin hırlnmsı mçlnmışır, kndini yrli hissdn öğrncilr bu kısmı lybilir m n boyulrınd bir mris, m syıd sırd v n d süund sırlnmış syı vy lmnlrdn oluşur: mn m m n n A ( Mrislr gnllikl klın büyük hrflrl gösrilir, örnğin A Mrisin lmnlrı rl vy komplks syı olbilcği gibi fonksiyon d olbilir Mris lmnlr ij il gösrilir Burd i,,, n v j,,, n şklind lınır Örnğin sır süundki lmnı blirir Elmnlrl işlm yprkn mrisi bzn A ( ij olrk ifd mk kolylık sğlr Yukrıd mrislrin cbirsl sismlr için d kolylık sğldığını söylmişik Örnğin şğıdki dnklm sismi; 7 mris formd şu şkild ifd dilir: 7

19 KARE MATRİS Sır v süun syılrı şi (m n oln mrislr kr mris diyoruz Kr mris şu şkild görünür: n n A n n nn VEKTÖR Tk bir süundn (kolondn oluşn mris kolon vkörü vy kısc vkör dı vrilir Bun gör bir vkördki lmn syısı sır syısın şi olckır Vkörlr klın küçük hrflrl gösrilir, örnğin b b b ( b b n Bnzr şkild k bir sırdn oluşn mris d sır vkörü dı vrilir Dolyısıyl vkör mrisin özl bir durumunu ifd dr Örnğin üç n vkör, v, v, v 7 vrilmiş olsun Bunlrın oluşurcğı mris şu şkild olur: A ( v v v 7 SIFIR MATRİSİ Tüm lmnlrı sıfır oln mris sıfır mrisi dnir: ( SİMETRİK MATRİS An köşgnin gör simrik lmnlr ship mris simrik mris dnir Simrik mris için ij ji dir Bun bir örnk vrlim: Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

20 A 9 9 ( ÜST ÜÇGEN VE ALT ÜÇGEN MATRİSLER An köşgninin lınd kln üm lmnlrı sıfır oln mris üs üçgn, bu köşgnin üzrind kln üm lmnlrı sıfır oln mris is l üçgn mris dnir: 9 U üs üçgn 9 v A l üçgn 9 KÖŞEGEN MATRİS An köşgni üzrindki lmnlrı hriç üm lmnlrı sıfır oln kr mrisir: D 7 7 BİRİM MATRİS An köşgni üzrindki üm lmnlrı, gri kln üm lmnlrı is oln mrisir Bu mris I il gösrilir: I MATRİSLERİN ÖZELLİKLERİ Mris gmsrimi, çok syıd girişi k bir smbol il gösrm imknı vrir Bu yüzdn çok syıd dnklmin yr ldığı sismlri son drc sd bir biçimd ifd mk mümkündür O hld mrislrl nsıl işlm ypılcğını bilmk önmlidir EŞİTLİK Eğr iki mrisin sır v süun syılrı şis bu iki mris ynı boyudır dnir Eğr ynı boyuki A v B mrislrinin krşılıklı gln üm lmnlrı şis, yni; ij b ij ( 7 is, bu durumd A B dir Örnğin; A 7 9 v B 7 is A B olur Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

21 TOPLAMA İŞLEMİ İki n m n boyuundki mris oplnırkn krşılıklı gln lmnlrı oplnır: Örnğin, ( ij ( bij ( ij bij A B ( 8 8 ( 8 Toplnn mrislrin ynı boyu olmsı grkir Toplm sonucu ld diln mris d oplnn mrislrin boyuunddır Mris oplm işlminin d dğişm v birlşm özlliği vrdır: A B B A (9 A (B C (A B C (9b Toplm işlmind sıfır mrisi ( kisiz lmndır: A A MATRİSİ BİR SAYI İLE ÇARPMA Bir A mrisini k gibi bir sklrl çrpmk dmk, bu mrisin hr bir lmnını o syı il çrpmk dmkir: Örnğin ka k( ( k ( ij ij ( 7 7 Bunun sonucund mrisin boyuunun dğişmdiğin dikk diniz ÇIKARMA İŞLEMİ Elimizd A v B gibi m n boyuund iki mris bulunsun AB A (B yzılbilcğindn, birinci mrisl ikinci mrisin ngifini oplrsk bu iki mris rsındki frkı bulmuş oluruz Örnk vrlim: ( 8 ÇARPMA İŞLEMİ Boyuu m n oln A mrisi il boyuu m r oln B mrisinin çrpımındn boyuu m r - - Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

22 oln bir C mrisi ld dilir C mrisinin lmnlrı şöyl bulunur: c ij ikbkj i b j ib j inb n ( Örnk vrlim İki mris, A v B olrk vrilmiş olsun Bu iki mrisin çrpımı şöyldir: AB 8 Çrpm işlminin birlşm v dğılm özlliği bulunmk, nck dğişm özlliği bulunmmkdır Diğr bir ifdyl; (ABCA(BC A(B CAB AC AB BA Aslınd kr mrislr olmdıkç BA çrpımı yokur Kr mrislr söz konusu dğils, çrpm işlminin ypılbilmsi için A nın süun (kolon syısı B nin sır syısın şi olmk durumunddır Ayrıc bir mrisin birim mris I il çrpımı yin mrisin kndisin şiir, yni AI A dır MATRİSİN DEVRİĞİ (TRANSPOZESİ Bir A mrisinin dvriği y d rnspozsi A T olrk gösrilir Dvrik mris, vriln mrisin sır v süunlrı yr dğişirilrk ld dilir Örnğin A ( is, bu mrisin dvriği; T A ( ji (7 Olur Örnk vrlim: 9 7 T A A An köşgn üzrind yr ln, v 9 syılrının dğişmdiğin dikk diniz Dvrik kvrmı süun vkörlri sır vkörü olrk gösrmyi d mümkün kılr ij T b ( İki vkörün sklr çrpımı Sklr çrpım b olrk gösrilir v bun bzn iç çrpım d dnir Skl çrpım şu şkild ld dilir: - - Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

23 [ ][ ] b b b b b b b (8 T n n n n Örnğin [ ] v b [ ] T vrilmiş olsun Bu durumd [ ][ ] T b olur Görüldüğü gibi sklr çrpımın sonucu skl bir büyüklükür (yni bir syıdır 7 DETERMİNANT Boyuu n n oln kr A mrisinin drminnı d A vy A il gösrilir Mrislrdn frklı olrk drminn k bir syı il ifd dilir: Örnğin, d A A da ( boyuund bir mrisin drminnı is Srrus kurlı il bulunur: (- (- (- A ( ( ( d A Bu yönm yüksk mrbli drminnlr d uygulnbilir n inci mrbdn bir drminnın (n inci mrbdn drminnlr vrdiğini biliyoruz Örnğin M ij, vriln bir A drminnının i inci sırı v j inci süunu silinrk ld diln (n ( n boyuund bir drminn olrk lınırs, bu durumd, n i j d A ( M ij ij ( j Örnğin şğıdki drminnı sırın gör çrk hsplylım: A 7 d A ( Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

24 Eğr bir A mrisinin hrhngi bir sırı vy süunu sıfır is, bu mrisin drminnı sıfırdır Yukrıdki drminnı Mpl il llım: > > > > 7 > Bu drminnın sonucunun olduğunu gösrbilir misiniz? 8 BİR MATRİSİN TERSİ n n boyuund bir A kr mrisi bulunsun Bu mrisin rsi A il gösrilir v A A A A I dır Kr ols bil hr mrisin rsi bulunmybilir Eğr A mvcus, A mrisin kil olmyn mris dnir Eğr bir mrisin drminnı sıfır is, bu mris kil mris dı vrilir Bir A mrisinin rsi, T (kofkör A A ( d A olrk vrilir A mrisi şu şkild vrilmiş olsun A A mrisinin kofkör mrisinin lmnlrı şu şkild bulunur: A ( A A ( ( vb Bunun sonucund kofkör (A olur - - Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

25 Ö yndn d A olduğundn, olckır 9 MATRİS FONKSİYONLARI Elmnlrı bir dğişkninin fonksiyonu oln mris mris fonksiyonu dı vrilir Örnğin lük bir mris fonksiyonu şu şkild gösrilir: ( ( ( ( ( ( ( ( ( A( ( Eğr A( mris fonksiyonunun üm lmnlrı d sürkliys, mris fonksiyonu d bu nokd sürklidir Bnzr bir durum < < gibi bir rlık için d gçrlidir Örnğin sin A( fonksiyonunun üm lmnlrı hr dğri için sürkli olduğundn bu mris fonksiyonu d üm dğrlri için sürklidir MATRİS FONKSİYONLARININ TÜREVİ Bir A( mrisinin ürvi A( il gösrilir v şu şkild ld dilir: ( d ( da ij A ( d d Bun gör lük bir mrisin ürvi d, ( ( ( ( ( ( ( ( ( A ( Biçimind olckır Örnğin, ( ij ( ( ( A olckır sin cos ( A ( Fonksiyonlr için dh öncdn öğrndiğimiz ürv kurllrının çoğu mris fonksiyonlrı için d gçrlidir c hrhngi bir sbi, C is sbi mris fonksiyonu olmk üzr şğıdki bğınılr yzılbilir: - - Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

26 d da (A c c d d ( d da ( CA C d d ( b d da (A C C d d ( c d da db (A B d d d ( d d db da (AB A B d d d ( Mris çrpımlrının dğişm özlliği bulunmdığındn yukrıd vriln sırlmlrın önmi vrdır Örnğin (AB AB A B B ABA MATRİS FONKSİYONLARININ İNTEGRALİ Bir A( mris fonksiyonunun ingrli A( d olrk gösrilir v hr bir lmnın ingrli lınrk bulunur: A( d ( ij( d 7 Bun gör, örnğin lük bir mris fonksiyonunun ingrli; ( ( ( d ( ( d ( ( d ( ( ( ( ( d ( ( d ( ( d A( d ( d ( d ( d Şklind ifd dilir Bun örnk vrlim: sin A( (8 bu durumd vriln mris fonksiyonunun ingrli, d sin d ( cos A( d d d ( ( olckır Bilinn ingrl kurllrının çoğu mris fonksiyonlrının ingrllri için d gçrlidir c hrhngi bir sbi, C is sbi mris olmk üzr şu kurllr vrilbilir: - - Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

27 ( ( cad c Ad 9 CAd C A d (9 b A B d Ad B d (9 c VEKTÖRLERİN LİNEER BAĞIMSIZ OLUŞU Vkörlrin linr bğımsızlığı kvrmı, fonksiyonlrın linr bğımsızlığı kvrmın bnzrdir Eğr bir vkör bir bşk vkörü bir sbi il çrprk ld dilmiyors, bu iki vkör linr bğımsız dnir Gomrik olrk linr bğımsızlık bu iki vkörün prll olmdığını ifd dr Dh gnl bir ifdyl ğr v, v, v n olrk vriln n n vkör için C C C C n n v v v v (8 şiliği ylnızc C C Cn için sğlnıyors, bu vkörlr linr bğımsızdır Aksi hld is linr bğımlıdır (C lr birr sbiir n n linr difrnsiyl dnklmdn oluşn bir sismd hr birinin lmn syısı n oln n n vkör söz konusudur v bu vkörlrin linr bğımlı olup olmdıklrı önmlidir Şu sismi l llım: C bc cc C bc cc C b C c C Burd bilinmyn ( C, C v C v dnklm vrdır v bu sism mris biçimind yni A olrk yzılbilir: b c C A b c, C, v b c C Bu sism nck ksyılr mrisinin drminnı sıfır dğils, vy C C C di çözümün shipir: b c d A b c b c Bun gör hr biri n lmndn oluşn n n vkör, süunlrı bu vkörlrdn oluşn n n boyuundki mrisin drminnı sıfırdn fklıys linr bğımsızdır Bunu bir örnkl gösrcğiz v, v v v vrilmiş olsun Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

28 olduğundn bu vkörlr linr bğımsızdır Linr bğımlılık vy bğımsızlık kvrmlrı vkör fonksiyonlrın d uygulnbilir Örnğin; v( v( v(, v( v( v( v( v( v v( v( v( v( vrilmiş olsun Eğr v ( v ( v ( is < W( v ( v ( v ( v ( v ( v ( < rlığındki üm lr için bu vkör fonksiyonlrı linr bğımlıdır Bu drminn dh önc Wronskin drminnı dmişik Eğr n n vkör fonksiyonu söz konusu is, bu durumd W drminnı şu şkild ifd dilckir: v( v( v( vn (, v( v( v( vn (, vn ( vn ( v( n vnn ( v ( v ( v ( n v ( v ( v ( n W( (8 v ( v ( v ( n n nn ÖRNEK 7 Vkör fonksiyonlrın linr bğımsız oluşu Aşğıdki vkörlrin < < rlığınd linr bğımlı olup olmdıklrını gösriniz v(, v( v v( ÇÖZÜM Wronskin drminnı şöyldir: W( 9 O hld vriln rlık üm dğrlri için bu vkörlr linr bğımsızdır Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

29 Linr bir difrnsiyl dnklm sismi mris v vkör fonksiyonlrı kullnılrk, A ( 8 biçimind çok dh sd biçimd ifd dilbildiğini gördük Burd A ksyılrı mrisidir Böyl bir dnklm sisminin çözümünd özdğrlr v bunlr krşılık gln özvkörlr ory çıkr O hld n n boyuund bir kr A mrisinin özdğrlri v özvkörlri nsıl bulunur sorusun ynı rylım ÖZDEĞERLER VE ÖZVEKTÖRLER n n lik bir A mrisini l llım: n n A (8 n n nn d ( A λi ( 8 Dnklmini sğlyn λ grçl y d komplks köklrin A mrisinin özdğrlri (vy krkrisik dğrlri dnir Bnzr şkild, ( A λi v ( 87 Dnklmini sğlyn v vkörün d A mrisinin λ özdğrlriyl ilgili özvkörü (vy krkrisik vkör dı vrilir A λi mrisi şu şkild ifd dilbilir: n λ λ n n λ λ n A λi λ λ n n nn n n nn Görüldüğü gibi özdğrlr dnklmini ld mnin kıs bir yolu, ksyılr mrisinin n d A λi dnklmi şu köşgn lmnlrındn λ çıkrılrk ld dilir Bun gör ( şkild çılbilir: Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

30 ( λ n λ n d A λi (88 Drminnın d çılmsıyl, λ n n nn n n n λ bλ bλ bn ( 89 bulunur v çözümünün dim ( A λi v dnklmini sğldığı görüls d bu çözüm sıl rdığımız çözüm olmdığındn göz rdı dilir Ayrıc ğr v bir özvkör is, bunun k kı d, yni kv d bir özvkördür (k bir sbi Çünkü, lınırs, ( A λi v ( ( A λi kv k A λi v k olduğu görülür Dolyısıyl bir özvkör, kyfi bir sbi çrpn il çrpılırs sonuç dğişmmkdir Bu yüzdn çrpnı sıfır dışınd hrhngi bir sbi sçbiliriz Bir özvkörü blirlrkn gnllikl lmnlrındn biri y d lınır Bir A mrisinin bsi bir özdğrin krşılık gln k bir linr bğımsız özvkör vrdır k df krrlyn bir özdğr krşılık k n linr bğımsız özvkörün bulunmsı grkiğini düşünbilirsiniz, nck durum böyl dğildir k klı bir özdğr m n özvkör ship bulunbilir v m k dir m < k olmsı hlind dh ilrid görcğimiz gibi difrnsiyl dnklm sismlrinin çözümünd bzı güçlüklrl krşılşılır A mrisinin üm lmnlrı grçl ols bil, bzı özdğrlrin v bunlr krşılık gln özvkörlrin komplks olbilcği unuulmmlıdır Bir A mrisinin dğişik özdğrlrin krşılık gln özvkörlrin linr bğımsız olduğu kolyc gösrilbilir Eğr n n boyuundki A mrisi n n frklı özdğr ships, bunlr krşılık gln n n özvkör d linr bğımsızdır Anck bu mris bir y d dh fzl klı özdğr ships A y i özvkörlrin syısı n dn z olbilir Anck lmnlrı grçl oln simrik bir mris için durum frklıdır (böyl mrislrin dvriklri kndilrin şiir Eğr n n boyuundki A mrisi bu şkild simrik is, bu durumd A mrisinin linr bğımsız n n özvkörü bulunckır Bir y d dh fzl özvkörün krrlmsı bu durumu dğişirmz Bu hld yrıc üm özdğrlr grçldir v m klı bir özdğr krşılık gln m n linr bğımsız özvkör vrdır Frklı hllrd özdğrlr v özvkörlrin nsıl l lınmsı grkiğini örnklr üzrind gösrcğiz - - Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

31 ÖRNEK 8 Frklı v grçl özdğrlrin bulunmsı Aşğıdki mrisin özdğrlrini v bunlr krşılık gln özvkörlrini bulunuz A ÇÖZÜM Bu bir lik mrisir v özdğrlri d(a λi dnklminin köklridir λ d(a λi λ ( λ( λ λ λ 7 Dnklmin köklri 7 v dir Bun gör vriln mrisin özdğrlri λ 7 v λ olur Köklr grçl v frklı olduğundn A mrisinin n linr bğımsız özvkörün bulunmsı bklnir Bunlr is (A λiv dnklmindn ld dilir, yni; λ v λ v ( 9 Özdğrlrdn ilki oln λ λ 7 y krşılık gln özvkör, bu dğr yukrıdki dnklmd yrin yzılrk bulunur Bu ypıldığınd, v v ld dilir ki bu d şğıdki dnklm sismin dnkir: v v v v Bu iki dnklm slınd ynıdır, çünkü ilk dnklm / il çrpılırs ikincisi ld dilir Dolyısıyl bir dnklm krşılık iki bilinmynimiz bulunmkdır Bu durum biz bilinmynlrdn biri için uygun bir dğr sçmmiz (sıfır dışınd olnk vrir Böylc ikinci bilinmyni birinci cinsindn bulbiliriz Bsi olmsı bkımındn v lırsk v ld driz Böylc λ 7 y krşılık gln özvkör, v olckır Eğr c kyfi bir sbi olmk üzr v c lmış olsydık, bu durund v c ld drdik v λ 7 y krşılık gln özvkör; c v c c olurdu Bu is dh önc bulduğumuzun c kındn bşk bir şy dğildir c nin sonuc bir kisi olmdığındn bundn böyl onu göz rdı dcğiz Anck bir özvkörün bir sbil çrpımının yin bir özvkörü vrcği sl unuulmmlıdır İkinci özvkör Dnklm 9 d λ λ lınrk blirlnir: - - Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

32 v v Bu is şğıdki sism şdğrdir: v v v v Bu iki dnklm sonuç ynıdır v, v v olrk ifd dilbilir Yin iki bilinmyn krşı k bir dnklm vrdır Ksirlrli rimlrdn kçınmk için lırsk ld driz Bun gör λ krşılık gln özvkör şu şkild olur: v Bulduğumuz özvkörlrin linr bğımsız olduğun kolyc gösrilbilir: ÖRNEK 9 Tkrrlyn özdğrlr Aşğıdki mrisin özdğrlrini v bunlr krşılık gln özvkörlrini bulunuz A ÇÖZÜM Bu bir lik mrisir v özdğrlri d A λi dnklminin köklridir: d A λi λ λ ( λ( λ λ λ 9 ( Bu dnklmin köklri v dolyısıyl vriln mrisin özdğrlri λ λ olrk ld dilir Bun gör λ iki klı bir özdğrdir mrisinin özvkörlri is A λi v dnklmindn bulunckır: λ v ( 9 λ v λ lınırs yukrıdki dnklm v v hlini lır Ayrıc vriln sismin şğıdki dnklmlr şdğr olduğu görülür: v v v v Hr iki dnklm d ynıdır v hrhngi birini kullnbiliriz v v v lırsk v ld driz Bun gör vriln mrisinin λ özdğrin krşılık gln özvkör; v olckır mrisinin linr bğımsız k özvkörü budur, çünkü λ ün dışınd bşk bir özdğr bulunmmkdır - - Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

33 Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl - - ÖRNEK Grçl simrik mrislr Aşğıdki mrisin özdğrlrini v özvkörlrini bulunuz A ÇÖZÜM Bu bir lük mrisir v özdğrlri d A λi dnklminin köklridir: λ λ λ λ d(a ( ( ( (9 9 ( 9 ( λ λ λ λ λ λ λ Bu dnklmin köklri, v dır Dolyısıyl vriln mrisin özdğrlri λ v λ λ dir Vriln mris grçl v simrikir, bu yüzdn bklnimiz üç n linr bğımsız özvkör bulmkır Arnn özvkörlri A λi v dnklmi vrckir: v v v λ λ λ (9 λ λ krşılık gln özvkörlri bullım: v v v Çşili sır işlmlrindn sonr mris çrpımı ypılırs, şğıdki dnklm sismi ld dilir: v v v v Bun gör hr iki dnklm d özdşir v iki bilinmyn krşılık k bir dnklm vrdır Kolylık olmsı bkımındn v lırsk v v v ld driz Sonuç olrk λ y krşılık gln özvkör

34 v olrk ld dilir İkinci özvkör is Dnklm 9 d λ λ lınrk ld dilir v v v vy bun şdğr dnklm sismi; v v v v v v olur Bu kz k bir dnklm krşın üç n bilinmyn vrdır Bilinmynlrdn hrhngi ikisi kyfi olrk sçilbilir Örnğin v nd v lınırs v bulunur Bun gör λ için bulunn özvkör; v olckır dn linr olrk bğımsız bir özvkör d v için frklı syısl dğrlr nrk ld dilbilir Bu df v v v lırsk v buluruz Böylc λ krşılık gln özvkör; v olrk ld dilir v, ynı özdğr krşılık ld dilmiş olmlrın rğmn linr olrk bğımsızdırlr (birini sbi bir syı il çrprk diğrini ld dmyiz λ krşılık gln linr bğımsız bşk özvkörlrin bulunmdığını gösrmk için v c v v c lırsk v c buluruz Bu sçimlr gör λ krşılık gln özvkör c c v c c c c cv c v c c c c v v - - Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

35 olckır Bu is dh önc blirldiğimiz iki özvkörün linr kombinsyonudur Dolyısıyl iki klı λ özdğrin krşılık gln iki n linr bğımsız özvkör bulunmkdır ÖRNEK Komplks özdğrlr Aşğıdki mrisin özdğrlrini v bunlr krşılık gln özvkörlrini bulunuz A ÇÖZÜM Bu bir lik mrisir v özdğrlri d A λi dnklminin köklridir λ d ( A λi λ ( λ ( λ λ λ Bu dnklmin köklri, dolyısıyl vriln mrisin özdğrlri λ, dir Köklr komplks olduğundn hr iki özdğr d komplksir mrisinin özvkörlri A λi v ifdsindn bulunur: λ v λ v λ λ lınmsı hlind yukrıdki dnklm; hlin glir Bu is şğıdki dnklm sismin şdğrdir: Bu iki dnklm özdşir şu şkild ifd dilbilir: Yin iki bilinmyn krşın k bir dnklm vrdır lınmsı durumund ld driz Bun gör vriln mrisin λ özdğrin krşılık gln özvkörü; v i olckır Aynı işlmlri şlnik diğr kök oln λ olsydık için krrlmış - - Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

36 v i özvkörünü ld drdik Bu is ilk bulduğumuz özvkörün komplks şlniğidir 7 LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMLERİ TEORİSİ Birinci mrbdn n linr dnklmdn oluşn şğıdki sismi göz önün llım: Bu sism yrıc dh drli oplu biçimd mris olrk d gösrilbilir: (9 ( ( n( r ( ( ( n( r ( A( ; ; r( ( ( ( r ( n n nn n n (9 Ayrıc şğıdki bşlngıç şrlrı vrilmiş olsun:,,, (97 Dnklm 9 v bu bşlngıç koşullrı, n bşlngıç dğr problmi mydn girir v vrlık v klik ormi şu şkild ifd dilbilir: TEOREM Linr Sismlrin Vrlık v Tklik Tormi Eğr,, ksyılrı v,, homojn olmyn fonksiyonlrı, ın d içind kldığı bir rlığınd sürkli fonksiyonlr is, bu durumd n birinci mrbdn dnklmdn oluşn difrnsiyl dnklm sisminin şğıdki koşullrı sğlyn k bir çözümü vrdır v bu çözüm üm rlığınd gçrlidir:,,, Söz konusu dnklm sisminin gnl çözümündn n kyfi sbi glir v bu sbilr vriln bşlngıç koşullrındn hrkl bulunur - - Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

37 Dnklm sismlrinin çözümlri vkörl olrk ifd dilir Eğr bir vkörün bilşnlri, dnklm sismind yr ln üm dnklmlri sğlıyors, bu durumd o vkör bir çözümdür Çözüm vkörlri şu şkild gösrilir: LİNEER HOMOJEN SİSTEMLER TEORİSİ: Süprpozisyon İlksi Linr homojn dnklm sismi lınrk (99 şklind ifd dilir Eğr, vkör fonksiyonlrı homojn sisminin çözümlriys, bu durumd bunlrın linr kombinsyonu, yni; ( ifdsi d vriln sismin bir çözümüdür ÖRNEK Dnklm sismlri için süprpozisyon ilksi Aşğıd vriln v çözüm vkörlrinin sisminin çözümü olduğunu, yrıc 8 ifdsinin d bir çözüm olduğunu gösriniz,, A ÇÖZÜM: Vriln çözümlrin difrnsiyl dnklm sismini sğlmsı grkir Sıryl yrin koylım: burd v A A 8 olduğundn dnklmi sğlmkdır v çözümdür Bnzr şkild diğr vkörü yzlım: burd v A Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

38 A olduğundn d dnklmi sğlmkdır v çözümdür Bu iki çözüm vkörünün linr bir kombinsyonu oln 8 ifdsini oluşurup dnklmd yrin yzrsk; ( 8 A( 8 ( 8 A 8A vy ( A 8( A vy ld dilir Anck hr iki prnzin içi d sıfırdır ( v çözüm vkörlri olduğundn Dolyısıyl 8 ifdsi d dnklm sismini sğlr v bir çözümdür Süprpozisyon ilksinin sdc linr homojn sismlr uygulnbildiği, linr olslr bil homojn olmyn sismlr uygulnmdığı unuulmmlıdır TEOREM Homojn Sismlrin Gnl Çözümü Birinci mrbdn d dnklmdn oluşn linr homojn sisminin rlığınd dim d linr bğımsız, çözümlri vrdır (Ksyılr mrisi nın lmnlrı bu rlık sürkli fonksiyonlr olduğu kbul dilmişir Ayrıc bu rlık homojn sismin gnl çözümü olrk ifd dilir Burdki, kyfi sbilrdir Öncki kısımd n çözüm vkörünün linr bğımlılığının Wronskin drminnı yrdımıyl ory çıkrılbilcğini görmüşük Bnzr biçimd n çözüm vkörünün Wronskin ı W ( n ( ( ( n ( ( ( n n nn ( ( ( ( olrk ifd dilir Eğr bu drminn sıfır is çözümlr linr bğımlı, ksi hld linr bğımsızdır Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

39 ÖRNEK Çözümlrin linr bğımsız oluşu sismi için iki çözüm vkörü v ksyılr mrisi şu şkilddir:,, A Bun gör vriln çözümlrin rlığınd linr bğımlı olup olmdıklrını gösriniz ÇÖZÜM Vriln çözüm vkörlrinin Wronskin ı lınırs; Mdmki rlığınd bu rşırmyı ypıyoruz, o hld lmmızd bir skınc yokur Bun gör yukrıdki drminnn; bulunur O hld vriln çözümlr linr bğımsızdır diybiliriz ÖRNEK Linr homojn sismlrin gnl çözümü sismi için iki çözüm vkörü v ksyılr mrisi şu şkilddir:,, A Bun gör vriln sismin rlığınd gnl çözümünü yzınız ÇÖZÜM Torm gör gnl çözüm şklind ifd dilbilir Vriln çözüm vkörlri yrin yzılırs; ld dilir Bu iki çözüm yrıc sklr biçimd d ifd dilbilir: HOMOJEN OLMAYAN SİSTEMLER TEORİSİ Şimdi d homojn olmyn ( Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

40 linr dnklm sismini göz önün llım Burd homojn olmyn rimlrdn oluşmkdır İlk ypmmız grkn önclikl homojn kısmın, yni dnklminin çözümü oln ( bulmk olckır Bunun rdındn, blirsiz ksyılr y d sbilrin dğişimi yönmlrindn birini kullnrk vkörün krşılık gln özl çözüm ( ö bulunmlıdır Bu ikisinin oplmındn homojn olmyn linr difrnsiyl dnklm sisminin çözümü ö olrk ld dilir TEOREM Homojn Olmyn Sismlrin Gnl Çözümü rlığınd ö, linr sisminin bir özl çözümü v ynı sismin homojn kısmının çözümü is, vriln rlık v nin lmnlrı sürkli fonksiyonlr olmk üzr, bu rlık homojn olmyn linr difrnsiyl dnklm sisminin gnl çözümü; ö ö ( olrk ifd dilbilir Burd,, kyfi sbilri,,, is n linr bğımsız çözümü msil mkdir 8 SABİT KATSAYILI LİNEER HOMOJEN SİSTEMLER Bu bölümün bşlrınd linr difrnsiyl dnklm sismlrinin çözümü için yok m v özdğrlr yönmlrini öğrndik Bunlr ml yönmlrdir v dnklm syısı üçn fzl olunc prik dğildir Bu kısımd is mris yönmi vy özvkörlr yönmini öğrncğiz Bu yönm gnl olrk dh önc öğrndiğimiz özdğrlr yönmin v mris işlmlrin dynmkdır Aşğıdki gibi n n linr homojn dnklmdn kurulu bir sismi göz önün llım: n n n n (- n n n nn n Bu sism mrislrl dh sd biçimd ifd dilbilir: burd, ' Α ( - - Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

41 Α( n n n nn v n ( Torm gör bu linr homojn sismin n d linr bğımsız çözüm vkörü,,, vrdır v bunlrın oplmı gnl çözümü vrir n c c c n n ( 7 Dolyısıyl n d dnklmdn oluşn bir linr homojn dnklm sisminin gnl çözümünü ypmk dmk, bu sismin n n linr bğımsız çözüm vkörünü bulmk dmkir Örnğin ' Α, A vrilmiş olsun Bu sismin linr bğımsız iki çözüm vkörü, v olrk bulunur Burdn hrkl gnl çözüm c c c c olrk ld dilir Burd ypmy çlışığımız şy ' Α sisminin çözümlrini bulmkır Bu çözümlr; λ v v λ v v λ v λ n v v n n λ 8 biçimind olckır Burd λ v v, v,, vn grçl vy komplks sbilrdir λ v v sbi λ vkörlrini bulmk için kbul diln çözüm ( v λ v bunun ürvini ( ' λv dnklm sismind ( ' Α yrin yzlım: vy λ olduğundn; λv λ Α v λ Α v λ v ( Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

42 yzılbilir Bun gör λ dğrlrinin sbi v v vkörünün lmnlrın Α v λv λ dnklmini sğlmsı koşuluyl v ifdsi vriln dnklm sisminin bir çözümüdür Α v λv dnklmini sğlyn λ v v dğrlrini bulmk için bu dnklmi şu şkild ifd dlim: ( Αλ Ι v ( Burd I birim mrisir Görüldüğü gibi bu dnklm A mrisinin özvkörlrini vrn dnklml ynıdır v λ bu özvkörlr krşılık gln özdğrlri msil mkdir Böylc şu sonucu ifd mk mümkündür: λ, A ksyılr mrisinin bir özdğri, v is λ il ilgili özvkör olmk üzr ' Α linr sisminin bir çözümüdür v λ, Dh öncki konulrdn n n lik bir A mrisinin n d λ özdğrinin bulunduğunu v bunlrın d( Αλ Ι dnklminin köklri olduğunu biliyoruz Bu köklri bulmk, bzn güç d ols, dim mümkündür O hld vriln n d dnklmdn kurulu sismi oluşurmk için ypmmız grkn k şy, bu özdğrlrl ilgili n n linr bğımsız özvkörü blirlmkir Eğr n n özvkör grçl v frklı is, bunlr krşılık gln özvkörlr d grçl v linr olrk bğımsız olckır Köklr frklı olmk kydıyl, köklrin bzılrının komplks olmsı hlind d durum ynıdır Anck klı (krrlyn köklrin bulunmsı hlind n n linr bğımsız özvkörü ld mk mümkün olmybilir Bu ür durumlrd griy kln linr bğımsız çözümlri bşk yönmlrl bulmk grkbilir Homojn sismlrin çözümün gçmdn c, c,, cn kyfi sbilrini bulmd çok fydlı oln n mris F dn söz mk yrrlı olckır Süun lmnlrı n n linr bğımsız çözüm vkörü,,, n oln n n mrisin n mris dnir v ( ( n ( ( ( n ( F ( ( n ( n ( nn ( Olrk ifd dilir n n dnklmdn oluşn bir sismin gnl çözümü ( F( c ( şklind yzılbilir Burd - - Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

43 c c c ( sbi ksyılrı msil dn vkördür ( bşlngıç şrlrın krşılık gln bu kyfi sbilrin dğrlri, bu şrlrı Dnklm y uygulyrk blirlnbilir Bu ypıldığınd, ( F( colduğundn c n F( c ( ld dilir Bu dnklmin hr iki ynını F ( il çrprsk c F ( ( Bulunur, çünkü F F( I v Ic c dir Dolyısıyl kyfi sbilr, bliriln nokd ( n mrisin rsini lmk v bunu bşlngıç dğrlrindn oluşn vkörlr çrpmk suriyl blirlnbilir F( nin süunlrı linr bğımsız vkörlr olduğundn F dim mvcuur F ( blirlndikn sonr, noksındki frklı bşlngıç şrlrın gör dnklmi çözmk krr krr kullnılbilir ( Durum GERÇEL VE FARKLI ÖZDEĞERLER n n lik A mrisinin n n özdğri grçl v birbirlrindn frklı olduğund, bunlr krşılık gln n n özvkör d ( v,v,, v n grçl v frklıdır Bu durumd λ λ λn v, v,,v n çözüm vkörlri d linr bğımsızdır v dnklm sisminin gnl çözümü n C v C v C v λ ( λ λ n n λ λ λn Hlind ifd dilbilir v, v,, v n çözümlrinin linr bğımsız olduklrı, bliriln rlık Wronskin drminnının sl sıfır olmdığı gösrilrk isp dilbilir ÖRNEK Grçl v Frklı Köklr Ship Homojn Sismlr Aşğıdki difrnsiyl dnklm sisminin gnl çözümünü bulunuz ' ' ÇÖZÜM Bu sism n birinci mrbdn dnklmdn oluşmkdır v ' Α biçimind ifd dilbilir Burd, Α v - - Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

44 Önc A mrisinin özdğrlrini d( Α λ I yzrk bullım: λ d( Α λ I λ ( λ( λ 8 λ λ Bu dnklmin köklri v dir O hld λ v λ Bu köklr grçl v frklıdır Bunlr krşılık gln özvkörlr is ( A λ I v dnklmindn ld dilir Bu dnklm çık hld yzılırs, λ v ( 7 λ v olur Önc ilk özdğri l llım: λ λ Bu durumd Dnklm 7, vy k dnklm hlind, v v v v ld dilir v olrk sçilirs v olur v λ krşılık gln özvkör şu şkild olur: v Bnzr şkild For λ λ için, vy v v v v v lınmsı hlind v olur v böylc λ y krşılık gln özvkör şöyl olur: v Bun gör vriln sism i linr bğımsız iki çözüm vkörü; λ v - - Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

45 λ v Bu iki çözüm linr bğımsızdır, çünkü W ( sl sıfır olmz Böylc gnl çözüm C C C C C C C C Şklind ifd dilbilir Bu çözüm cbirsl biçimd d yzılbilir: c c c c ÖRNEK Grçl v Frklı Köklr Ship Homojn Sismlr: Bşlngıç Dğr Problmi Aşğıdki bşlngıç dğr problmini çözünüz: ' ',, ( ( ÇÖZÜM Vriln dnklm sisminin gnl çözümü yukrıd bulunmuşu: c c Bun gör n mris, F ( Olckır Kyfi sbilr c F ( (Dnklm ifdsindn yol çıkılrk blirlnir Bu mrisin rsi, F( F( F ( - - Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

46 Bunu c F ( ifdsind yzrsk, C c F ( C Bun gör C v C dir Sonuç olrk vriln bşlngıç dğr problminin çözümü vy cbirsl hld, olckır Durum KOMPLEKS ÖZDEĞERLER Özdğrlrin grçl v birbirlrindn frklı olmsı hlind mris yönminin n n linr bğımsız çözüm vrdiğini gördük Yin frklı olmk kydıyl özdğrlrin bzılrının komplks olmsı hlind d bu durum gçrlidir Komplks özdğrlr krşılık gln özvkörlr (v çözüm vkörlri normld komplks dğrlr lırlr Anck ğr ksyılr mrisi A grçl is, bu durumd krkrisik dnklmin üm ksyılrı grçl olur v komplks özdğrlr il bunlr krşılık gln özvkörlr şlnik komplks çif hlind bulunurlr Bu ür durumlrd hrhngi bir çif şlnik özdğrlr krşılık dim iki n linr bğımsız grçl dğrli çözüm ld dbiliriz Eğr λ α iβ özdğrin krşılık gln özdğr v ib lınırs (burd, b, α, β grçl sbilrdir, bu özdğr i çözüm şu şkild ifd dilbilir: (8 λ v ib ( (α iβ ( α ib ( cosβ isinβ ( cosβ bsinβ α i ( sinβ bcosβ ( i( Burd ( ( ( cosβ bsinβ (9 ( sinβ bcosβ (9b olrk ifd dilir Bu çözümlr grçl dğrli çözümlrdir Bu iki çözümün linr bğımsız olduğu ynı çözümlrin λ α iβ şlnik özdğri içind ld dilbildiği kolyc gösrilbilir Dolyısıyl şlnik köklrd sdc birini kullnrk linr iki bğımsız çözüm ulşmk mümkündür λ komplks özdğri il bun i v özvkörünün bilindiği - - Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

47 durumlrd, zbrlmk yrin yukrıd ypığmız işlmi yprk çözüm gimk dh prikir ÖRNEK 7 Komplks özdğrli homojn sismlr Aşğıdki difrnsiyl dnklm sisminin çözümünü yplım: ' ' ÇÖZÜM Sbi ksyılı iki linr dnklmdn oluşn bu sism mris formund ' A olrk yzılbilir Burd A v A nın özdğrlri Örnk d λ, ± i olrk buluşuk λ i özdğrin krşılık gln özvkör d ynı örnk v i olrk hsplnmışı Bun gör λ krşılık gln çözüm, v λ i i ( i ( cos i sin cos i sin i i cos sin cos sin i sin cos Dolyısıyl bğımsız iki çözüm; cos ( R( sin v sin ( Im( cos olckır Bu durumd gnl çözüm şu şkild ifd dilbilir: Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

48 cos sin sin cos ( C ( C ( C C Bu çözüm yrıc sklr biçimd d vrilbilir: ( ( C cos C sin ( Csin Ccos Eld iğimiz bu çözümlr, vriln difrnsiyl dnklm sismind yzrk doğrulnbilir ÖRNEK 8 Birlşik Mknik Sismlr: Srbs irşimlr Şkildki gibi iki yy v iki küldn oluşn bir sismi l llım Uyumlu birimlrd olmk üzr,, v dir nınd birinci v ikinci kül, bşlngıç noksın gör sırsıyl v konumlrın girilrk ilk hızsız olrk srbs bırkılmkdır Sürünm kilrini ihml drk hr bir külnin konumunu zmnın fonksiyonu olrk blirlyiniz ÇÖZÜM Bu sism i hrk dnklmlrini dh önc, dış kuvvlrin bulunduğu durum için Örnk çıkrmışık Burd hrhngi bir dış kuvv yokur, dolyısıyl hr bir dnklmin hrkini nımlyn difrnsiyl dnklm şu şkild olur: '' k k k m m, (, ' ( v m '' k k, (, '( v m m Bu is iki n ikinci mrbdn linr difrnsiyl dnklmdn kurulu bir sismdir İlk ypmmız grkn, bu sismi birinci mrbdn dnklmlrdn oluşn bir sism indirgmk olckır Yni dğişknlrimiz v olsun Bu nımlmlr gör yukrıdki sism şu şkild ifd dilbilir: Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

49 Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl - 9 -, ', ', ', ' m k m k m k m k m k ( ' ( '( ( ( ( v v Fiziksl olrk v sırsıyl v küllrinin hızlrını msil mkdir,,,,,, v dğrlrini yrin koyrk dnklm sismi dh sd hld yzılbilir:, ', ', ', ' '( ( '( ( ( ( Arık sismi mris biçimind olrk ifd dbiliriz: A v A mrisinin özdğrlri d λi dn bulunur: d( λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ A I λ( λ λ ( λ λ 7λ (λ (λ Bu dnklmin köklri v dir Dolysıyl ksyılr mrisinin özdğrlri λ, v λ, olur Bunlr şlnik iki çif kökür v bu yüzdn sdc λ v λ köklrini kullnrk iki n özvkör bulmmız yrli olckır Eld dilck bu iki özvkör, vriln sism i dör n linr bğımsız çözüm vkörünü blirlmk için yrlidir λ özdğrin krşılık gln özvkör A λi v dnklmindn bulunur: v v v v i i i i Sır işlmlriyl bu mris şğıdki şkild sdlşir:

50 Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl - - v v v v i i Sonuç olrk şğıdki cbirsl dnklm sismi ld dilir: v v iv v iv v v lınırs v, i v v i v olur Bun gör λ krşılık gln özvkör i i v olckır Ö yndn λ özdğrin krşılık gln özvkör bnzr yoll; v i i olrk ld dilir λ için oln çözüm şu şkild ifd dilbilir: λ v (cos sin i i i i i i i i i i i sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos sin cos sin cos sin cos Böylc linr bğımsız iki çözüm; sin sin ( ( cos cos R v cos cos ( ( sin sin Im

51 Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl - - Diğr iki linr bğımsız çözüm d, λ lınrk ynı şkild bulunbilir Sonuç v özvkörü; sin sin ( cos cos v cos cos ( sin sin olrk bulunur Bun gör vriln sismin gnl çözümü; c c c c sin sin cos cos cos cos sin sin sin sin cos cos cos cos sin sin şklind olur Bu çözüm sklr biçimd d ifd dilbilir: c c c c c c c c c c c c c c c c sin cos sin cos ( sin cos sin cos ( cos sin cos sin ( cos sin cos sin ( Vriln sınır şrının uygulnmsıyl şğıdki dnklm kımı ld dilir C C C C C C C C İlk iki dnklmin çözümündn v ld dilirkn bulunur Bu sbilrin vriln çözüm fonksiyonlrınd yrin yzılmsıyl iki külnin hrk dnklmlri;

52 ( cos cos ( cos cos olrk ld dilir Bu çözümlr, iki külnin hrkinin ω v ω doğl frknslrın ship iki frklı slınım hrkinin oplmındn oluşuğunu gösrmkdir Hr iki slınım hrkind, iki kül ynı yönd v ynı frknsl snkroniz biçimd nck frklı gnliklrl hrk mkdir in ypığı hrkin gnliği ω için nin gnliğinin yrısı, ω için is iki kıdır Durum TEKRARLAYAN ÖZVEKTÖRLER Şimdi d klı bir özdğrin ( bulunduğunu vrsylım Bu ür bir özdğr yin n linr bğımsız özvkör (, dolyısıyl n linr bğımsız çözüm vkörün ship olbilir A ksyılr mrisi simrik oln dnklm sismlri için durum dim böyldir Dolyısıyl bu ür durumlrd krrlyn özdğr bir sorun yol çmz Eğr klı bir özdğr dn dh z syıd linr bğımsız özvkör ships, bu özdğrl ilgili olrk v λ biçimind dn dh z syıd linr bğımsız çözüm vrdır Diğr bir ifdyl çözümlrin bzılrı v λ biçimind dğildir v il ilgili linr bğımsız çözümlrin syısını dnklşirmk için v λ dn bşk biçimlrd çözümlr rmmız grkir Dh öncki bölümlrdn, λ krkrisik kökünün klı olmsı hlind λ çözümünü bğımsız dğişknin kuvvlriyl çrprk diğr linr bğımsız çözümlri ld dbildiğimizi biliyoruz Örnğin krkrisik dnklmin λ kökü üç klı is, linr bğımsız üç çözüm λ, λ v λ olur Burd d bnzr bir yönm izlyrk, yni v λ çözümünü bğımsız dğişknin kuvvlri il çrprk diğr linr bğımsız çözümlri bulbilir miyiz? Aşğıd d çıklncğı gibi difrnsiyl dnklm sismlri için bu şkild ypmk m olrk uygun dğildir Ypılmsı grkn, ml çözümü nin kuvvlri yrin nin bir polinomu il çrpmkır Sdc bir linr bğımsız özvkörü (v bulunn iki klı bir özdğr (λ l llım ( Linr bğımsız iki özvkörü bulmk isylim Bu çözümlrdn biri ( v λ ( olur Yukrıdki dğrlndirmnin ışığınd ikinci çözümü ( u ( λ λ v olrk sçlim Burd u sbi bir vkördür v nin difrnsiyl dnklmini sğlm koşulundn blirlnir Bu sğlm işlmi ypılırs, λ λ λ λ λ v λv λu Av Au ( Eld dilir λ v λ rimlrinin ksyılrı şilnrk, ( A λ I v ( - - Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

53 ( A λ I u v ( b Bu dnklmlrdn ilki bir kz dh v nin λ il ilgili bir özvkör olduğunu doğrulmkdır İkinci dnklmdn u sbi vkörü kolyc çözülbilir İkinci mrbdn k bir dnklmin krrlyn kök durumu il iki n birinci mrbdn linr dnklmdn oluşn bir sismdki krrlyn kök hli rsındki frk şu şkild çıklnbilir Tk bir dnklm için, ilk çözüm λ nin bir sbil çrpımı mld λ dn frklı dğildir v bunu ikinci çözüm dhil mk sonuç bir dğişiklik ypmz Diğr bir nlıml, C C λ λ v C ( C C ( C C C λ λ λ λ λ çözümlri özdşir Ö yndn birinci mrbdn iki n dnklmdn oluşn bir sism için λ çözümünün, ilk çözüm oln λ nin sbi bir kı olmsı grkmz, çünkü v birr vkördür Örnk olrk çözümü ( λ ( λ ( ( çözümünü bir sbil çrprk ld dilmz Üslik çözüm olmsı krşın bir çözüm olmybilir Tmld bu durum, iki sklrdn birini bir sbil çrprk dim ikincisini ld dbilmmiz rğmn, iki sbi vkördn birini bir sbil çrprk diğrini ld dmyişimizdn ilri glmkdir Bunu örnklrl gösrcğiz ÖRNEK 9 Tkrrlyn (iki klı özdğrlr ship homojn sismlr Aşğıdki sismin çözümünü ypınız ÇÖZÜM İki n birinci mrb dnklmdn oluşn bu sism mris biçimind olrk yzılbilir A v - - Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

54 Ksyılr mrisi A nın özdğrlri Örnk 9 d λ λ olrk bulunmuşu Dolyısıyl klı bir kök söz konusudur Aynı örnk yrıc bu özdğrl ilgi sdc bir n linr bğımsız özvkör bulunduğunu görmüşük Bu özvkör; v Dolyısıyl vriln sismin çözümü λ ( v olckır İkinci linr bğımsız çözüm is, ( ( u v λ Biçimind lınır Burdki sbi vkörü, ( A λi u v ifdsindn ld dilir Yrin konurs, u u şğıdki k bir dnklm ulşılır u u Homojn olmyn bu dnklmd bilinmynlrdn birini sıfır sçrk diğr bilinmyni bullım: için ld dilir Bun gör u O hld linr bğımsız ikinci çözüm ( ( u v λ v çözümlrinin Wronskin ı lınrk linr bğımsız olduklrı kolyc gösrilbilir Bun gör vriln sismin gnl çözümü şu şkild olur: C C C C C C C C( Bu çözüm sklr biçimd d ifd dilbilir: ( ( C C ( [ C C ( ] - - Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

55 Özdğrin k syısı rıkç durum dh d krmşık bir hl lmkdır Örnğin klı bir özdğr için üç olsı durum söz konusudur: Durum Üç klı özdğri linr bğımsız üç özvkör (v,v,v ship olbilir Bu durumd linr bğımsız çözüm doğrudn şu şkild olur: b b v λ ( v λ ( v λ ( Durum Üç klı özdğri linr bğımsız iki özvkör (v,v ship olbilir Bu durumd linr bğımsız iki çözüm; 7 Olurkn üçüncüsü λ v λ ( v λ ( 7 λ λ v u ( 8 Dnklmindn blirlnmlidir Tkrr ifd dlim, burd u ( A λ I u v İfdsindn bulunur Pki cb v v v dn hngisini bu dnklmd kullnmlıyız? Gnld ikisi d kullnılmz, bunlrın linr oplmı kullnılır, yni v v Bun gör yukrıdki dnklm dh uygun biçimd; λ v v ( 9 Burdki v sbi olup rnn çözümünü vrck biçimd sçilmlidirlr v sbi vkörlri bulundukn sonr üçüncü linr bğımsız çözüm Dnklm 8 dn ld dilir Durum Üç klı özdğri linr bğımsız k bir özvkör (v ship olbilir Bu durumd linr bğımsız ilk çözü şu şkild olur: λ v ( Diğr iki linr bğımsız çözüm is şu dnklmlrdn ld dilir: λ λ v Burd görüln v vkörlri; u ( λ λ λ v u w ( b ( A λ I u v nd ( A λ I w u ( - - Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

56 Bğınılrındn blirlnir İkinci linr bğımsız çözümün Durum dki gibi blirlndiğin dikk diniz K syısı olduğund çözüm yolu dh krmşık bir hl lckır ÖRNEK Tkrrlyn (üç klı özdğrlr ship homojn sismlr Aşğıdki sismin gnl çözümünü ypınız ' ' ' ÇÖZÜM Vriln dnklm sismi biçimind ifd dilbilir: A v Ksyılr mrisi A nın özdğrlri d A λi dnklmindn blirlnir: λ d( A λ I λ λ λ λ λ ( ( ( λ ( Sonuç olrk λ ür v klı kökür Bu özdğr krşılık gln özvkör λ dnklmindn bulunur: v v v Mris çrpımı il bu dnklm şğıdki dnklm sismin dönüşür: v v v v y d; v v v Bsi olsun diy lırsk, yukrıdki dnklmdn buluruz Dolyısıyl λ krşılık gln k özvkör, v - - Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

57 Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl olur Bu, λ için k bir linr bğımsız özvkördür, çünkü için bşk bir dğr sçmiş olsydık, bu özvkörün sbi bir syı il çrpılmış hlini ld drdik Bun gör vriln sism Durum uymkdır Önclikl sbi v vkörlrini blirlylim vkörünü λ dnklmind yzrsk, u u u ld dilir Vy bu sism şğıdki cbirsl hl glir: u u u u y d, u u u Bsi olsun diy lırsk, yukrıdki dnklmdn buluruz Bun gör vkörü şöyl olur: u Şimdi d bunu λ dnklmind yzlım: w w w Sonuç olrk; w w w w vy, u u w Bsi olsun diy lırsk, yukrıdki dnklmdn buluruz Bun gör vkörü şöyl olur: w

58 Böylc vriln sismin linr bğımsız üç çözümü şöyl yzılır: λ v λ λ v u v u w λ λ λ Sismin gnl çözümü is C C C C C C vy sklr biçimd C C( C( [ ( ] C C C C( C( olrk ld dilir 9 LİNEER HOMOJEN OLMAYAN SİSTEMLER Şimdi d şğıdki homojn olmyn sismi göz önün llım: ' A( r ( ( Ksyılr mrisi v homojn olmyn vkör, rlığınd sürkli olsun Arnn gnl çözüm, homojn kısmın çözümü il özl çözümün oplmındn oluşur: ö Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl (

59 Burd homojn kısmın, yni dnklminin gnl çözümü, ö is homojn olmyn sismin özl çözümüdür Dh önc öğrndiğimiz blirsiz ksyılr yönmi il sbiin dğişimi yönmi, bzı dğişikliklr ypılrk bu ür sismlr için d kullnılbilir SABİT KATSAYILAR YÖNTEMİ Bu yönmi difrnsiyl dnklm sismlrin uygulrkn ksyılrın sbi sklrlr yrin sbi vkör olrk lınmsı grkir Homojn olmyn sismin özl çözümünün lcğı biçim krr vrirkn, bu sismdki rimlri blirli bir düznd yzmk kolylık sğlr Örnğin, ' ' ' sismi, r ( olrk yzılbilir Bu durumd özl çözümün olmsı grkn biçimi, homojn çözümün homojn olmyn rimlrl ynı olmdığı kbul dilrk, b c d p ( b c d b c d b c d şklind ifd dilbilir Burd n bilinmyn bulunmkdır Özl çözüm biçiminin homojn olmyn üm rimlri kpsdığın dikk dilmlidir Ö yndn homojn kısmın çözümlri oln homojn olmyn rimlr, difrnsiyl dnklm sismlrind bşk şkild l lınır Sismlri çözrkn özl çözümün ml çözümünü sdc il çrpmk yrin, sıfırıncı kuvv dhil üm l kuvvlriyl çrpmk grkir Örnk vrlim: homojn kısmın çözümü olsun Bu durumd biçimindki homojn olmyn bir rim krşılık glck özl çözüm ö biçimind sçilmlidir Blirsiz ksyılr yönminin, dnklm sismindki üm ksyılrın sbi v homojn olmyn rimlrin blirli bzı biçimlri için uygulnbildiğini krr vurgulylım ÖRNEK Blirsiz Ksyılr Yönmi Blirsiz ksyılr yönmiyl şğıdki sismi çözünüz ' ' ÇÖZÜM Vriln sism mris biçimind olrk ifd dilbilir A, v r Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

60 Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl - - Bu sismin homojn kısmının çözümünü dh önc ypmış v, h c c olrk bulmuşuk Homojn kısmın çözümü il v rimlri krşılşırıldığınd, nin homojn kısmın çözümünd d yr ldığı görülür Dolyısıyl bu rim krşılık gln özl çözüm klifi olmlıdır (sdc dğil için is sbi bir vkörü dikk lmmız grkir Bun gör özl çözüm; ö v ürvi, ö olrk ifd dilir Burdki, v, lik birr vkördür:, b b b, nd c c c Yukrıdki özl çözüm ifdsini v ürvini vriln difrnsiyl sismind yrin yzrsk, v rimlrinin ksyılrını şilrsk şğıdki gibi üç mris dnklmi ld driz: Ab b A Ac İlk dnklmin hr iki ynını il çrprk vkörü kolyc hsplnbilir: A c İkinci dnklm is ( I A olrk yzılbilir Bu is mrisinin λ özdğrin krşılık gln özvkör dnklmidir Örnk bu çözüm ypılmış v, v olrk bulmuşuk Gri kln son mris dnklmi is şğıdki hl glir: b b Bsi olsun diy lırsk, yukrıdki dnklmdn buluruz Bu sçimlr il özl çözüm;

61 ö Böylc vriln sismin gnl çözümü, C C vy sklr biçimd, (C C C C olrk ld dilir SABİTLERİN DEĞİŞİMİ YÖNTEMİ Homojn olmyn ' A ( r( sismin ksyılr mrisi nın lmnlrı sbi olmdığınd vy homojn olmyn vkörü blirsiz ksyılr il çözülbilck biçimlrdn frklı olrk vrilmişs, blirsiz ksyılr yönmi prikliğini kybdr Bu ür durumlrd gnl bir yönm oln sbilrin dğişimi yönmi dh kullnışlıdır İlk ypmmız grkn homojn dnklminin gnl çözümünü yprk n linr bğımsız çözümdn oluşn çözümünü bulmk olckır C C C ( h n n Bu homojn çözüm yrıc ml mris cinsindn d yzılbilir ( lik bu mrisin süunlrının n linr bğımsız çözüm vkörü,,, dn oluşuğunu hırllım: F( c ( h Sbilrin dğişimi yönmi, yukrıdki dnklmd görüln yi bir fonksiyonu il yr dğişirmk v bu fonksiyonu bulm ssın dynmkdır Dolyısıyl özl çözümün biçimi şu şkild olur: F( u ( 7 p fonksiyonu, önriln özl çözümün difrnsiyl dnklm sismini sğlmsı koşulundn yol çıkılrk bulunur Bunun için özl çözümün ürvi lınır v sismind yrin yzlım: - - Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

62 F '( u( F( u '( A( F( u( r( ( 8 Anck homojn sismi sğldığındn olur Bu durumd yukrıdki dnklm; F( u'( r ( ( 9 hlini lır fonksiyonu nin sürkli olduğu üm rlıklrd kil olmyn bir mris olduğundn mvcuur Dnklmin hr iki ynı il çrpılırs; ld dilir Bun gör fonksiyonu; u'( F ( r( ( ( Bu ifdyi Dnklm 7 d yrin yzrsk, rnn özl çözüm; olrk ld dilir Sonuç gnl çözüm; ( ( ( ( d ( ( ( ( ( p F F r d F k ( F c F F r F k ( vy kyfi ingrl sbilri (sbi vkörlr v k bir sbi vkörü çısı lınd düşünülürs, ( ( ( ( F c F F r d ( ld dilir ÖRNEK Sbilrin Dğişimi Yönmi Sbilrin dğişimi yönmini kullnrk şğıdki difrnsiyl dnklmi çözünüz ' ' ÇÖZÜM Vriln difrnsiyl dnklm mris biçimind ' A r olrk yzılbilir A, v r - - Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

63 Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl - - Homojn kısm i iki linr bğımsız çözüm Örnk bulunmuşu Bu çözümlr şöylydi: Dolyısıyl ml mris; ( F v drminnı; d F olrk bulunur Bu mrisin rsi is; ( F olur Arık özl çözümü bulbiliriz İngrl sbiini göz rdı drk; ( ( ( p d F F r burd d d d ( ( r F olrk ld dilip özl çözüm ifdsind yrin yzılırs, ( ( ( p d F F r ld dilir Dolyısıyl vriln dnklm sisminin gnl çözümü, vkörl olrk;

64 C C ö C C vy sklr olrk; C C C C şklind ld dilmiş olur Homojn Olmyn Bşlngıç Dğr Problmlrin Ai Sismlr Sbilrin dğişimi yönmi oldukç sismik v koly bir yönmdir v kolyc bşlngıç dğr problmlrin d uygulnbilir Yukrıdki kısımd homojn sismlrin gnl çözümünün ml mris bğlı olrk ifd dilbilcğini gördük Diğr bir nlıml; ( h F( c ( yzılbilir Burd kyfi sbilr içrn bir vkördür Dnklmi soldn il çrpr v dki dğri lınırs, bu durumd vkörü, c F ( ( Olrk ld dilir Burd dnklm sismind yzlım: vriln bşlngıç koşuludur Bu ifdyi vriln h ( ( F ( F ( 7 Burdki c F ( ifdsi çok czip görüns d homojn olmyn sismlr uygulnmz Çünkü bşlngıç koşullrı çözümün sdc homojn kısmın dğil ümün uygulnmlıdır Bunun mümkün olbilcği k durum d özl çözümün sıfır olmsıdır Dolyısıyl bir şkild dki özl çözüm olck şkild ifd dbildiğimiz homojn olmyn dnklm sismlrind bu yönmi kullnmk mümkündür Difrnsiyl dnklm sismlrini çözrkn Dnklm dki ingrl sbii yi sıfır y d kyfi bir sbi vkör lmk sonucu dğişirmz Kolylık bkımındn gnllikl sıfır lınmsı rcih dilir Anck bşlngıç dğr problmlrini çözrkn yi sıfır lmk yrin özl çözümü d sıfır ypck şkild sçmk dh uygundur Bunu ypmk için Dnklm dki blirsiz ingrli, il rsınd blirli ingrl biçimind yzmk yrlidir: ( ( ( ö F F r d ( 8 Böyl yzmkl d ö olmsı güvnc lın lınmış olur (burdn çıkn ifdd lınırs sonuç mulk sıfır çıkckır, zir ingrlin l v üs limii ynı olmuş olur Homojn v özl çözümlrin oplmındn gnl çözüm; - - Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

65 ( F( F ( F ( r ( d ( 9 olrk ld dilir Sonuç olrk homojn kısm i ml mris biliniyors, yukrıdki dnklm homojn olmyn bir difrnsiyl dnklm sisminin dki çözümünü bulmd kullnılbilir ÖRNEK Homojn Olmyn Bşlngıç Dğr Problmi Aşğıdki difrnsiyl dnklm sismini vriln bşlngıç koşullrı lınd çözünüz ', ( ', ( ÇÖZÜM Homojn olmyn bu dnklm sismini dh önc çözmüşük Vriln bşlngıç koşullrı yrin konur v ingrl sbilri bulunurs v bulunur Dolyısıyl vriln dnklm sisminin çözümü; olrk ld dilir Şimdi is ynı sonucu ynı sonucu yukrıd özldiğimiz yönml bulcğız Tml mris, bunun rsi v dki dğri sırsıyl şu şkild ld dilir: F (, ( F v F ( Ayrıc bşlngıç koşullrı v homojn olmyn rimlr d mris biçimind vrilbilir: v r Tüm bunlrı Dnklm 9 d yrin yzrsk, vriln sismin çözümü vkör olrk; ( F( F ( F ( r ( d - - Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

66 F( d F( d F( 7 vy sklr biçimd olrk ld dilir - - Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

67 PROBLEMLER Difrnsiyl Dnklm Sismlrinin Gözdn Gçirilmsi C Difrnsiyl dnklm sismlrini cbirsl dnklm sismlrindn yırn özlliklr nlrdir? C Hngi şrlrd inci mrbndn bir difrnsiyl dnklm n birinci mrbdn dnklm dönüşürülbilir, bu işlm nsıl ypılır? C Bir difrnsiyl dnklm sismi hngi durumd linrdir? Aşğıdki difrnsiyl dnklmlri birinci mrbdn difrnsiyl dnklm sismlrin dönüşürünüz ( bğımlı, is bğımsız dğişkndir ( ' '' ' ( b ' '' ( ' '' ' ( b ' '' ' sin ( ' '' ' ( b ' ' ' k 7 ( ' '' ' ( b ' '' ' cos ( iv 8 ( ' cos ( iv 9 ( ' ( b ( b ( iv ( iv Aşğıdki difrnsiyl dnklm sismlrini, birinci mrbdn difrnsiyl dnklm sismlrin dönüşürünüz ( bğımsız dğişkndir ' '' y' cos, ( π v '( π y '' y', y ( ''' y ( y' ' y' y ''' ', (, '( v ''( y y y '' y, y( ' '' y' z' ' y' ' y z z '' y yz '' ( y z z' cos, ( v '( y'' y' z, y( v y'( 7 '', ( v '( z z z z Aşğıdki difrnsiyl dnklm sismlrini linr olm/olmm, homojn olm/olmm, sbi ksyılı olm/olmm yönündn dğrlndiriniz ' '' y y' cos Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

68 y '' y' ''' y y '' y' y ( iv 7 ( y y' ' y '' y Difrnsiyl Dnklm Sismlri Nsıl Oluşmkdır? 8 Şkildki küllr bşlngıç hrksiz v dng konumlrınddırlr ( nınd yylr sıkışmış vy uzmış hld dğildir Dh sonr külsin priyodik kuvvi uygulnrk küllr hrk gçiriliyor Küllrin bşlngıç noklrın gör konumlrı sırsıyl v olduğun gör, sürünmlri ihml drk bu iki külnin hrkini vrn difrnsiyl dnklmlri ld diniz 9 Şkildki küllr bşlngıç hrksiz v dng konumlrınddırlr ( nınd yylr sıkışmış vy uzmış hld dğildir Dh sonr külsin priyodik kuvvi uygulnrk küllr hrk gçiriliyor Küllrin bşlngıç noklrın gör konumlrı sırsıyl, v olduğun gör, sürünmlri ihml drk bu üç külnin hrkini vrn difrnsiyl dnklmlri ld diniz Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

69 Şkildki külsi sol rfn yyın sğ rfn is bir sönümlyiciy (dmpr bğlıdır Sönümlm ksyısı dir Küllr bşlngıç hrksiz v dng konumlrınddırlr ( nınd yylr sıkışmış vy uzmış hld dğildir Dh sonr külsin priyodik kuvvi uygulnrk küllr hrk gçiriliyor Küllrin bşlngıç noklrın gör konumlrı sırsıyl v olduğun gör, sürünmlri ihml drk bu iki külnin hrkini vrn difrnsiyl dnklmlri ld diniz Şkildki lkrik dvrsini göz önün lınız Gösriln yönlri poziif kbul drk kollrdn gçn v kımlrını vrn difrnsiyl dnklmlri yzınız Yndki şkild vriln lkrik dvrsini göz önün lınız Gösriln yönlri poziif kbul drk kollrdn gçn v kımlrını vrn difrnsiyl dnklmlri yzınız Yndki şkild vriln lkrik dvrsini göz önün lınız Gösriln yönlri poziif kbul drk kollrdn gçn, v kımlrını vrn difrnsiyl dnklmlri yzınız Yndki şkild L hcmindki iki uzlu su (slmur nkın giriş v çıkışlr gösrilmişir Hr iki nk birr krışırıcı sürkli olrk çlışrk krışımın homojnliğini sğlmkdır Birinci nk L/dk lı su vrilirkn ikinci nkn ynı hcimsl dbid uzlu su çkilmkdir Hrhngi bir nınd nklrdki uz mikrlrı (küllri v olduğun gör, bu iki külyi vrn difrnsiyl dnklmlri oluşurunuz Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

70 Problm miz su yrin birinci nk içrisind lir bşın kg uz bulunn ynı dbid slmur girdiğini kbul drk (yni L/dk problmi krr çözünüz Yokm Yönmi C Yokm yönminin önmli bir ksikliği ndir? Bu yönm homojn olmyn dnklm sismlrin d uygulnbilir mi? Linr olmyn sismlr uygulnbilir mi? Dğişkn ksyılı sismlr uygulnbilir mi? Yokm yönmini kullnrk şğıdki birinci mrbdn difrnsiyl dnklm sismlrinin gnl çözümünü bulunuz 7 ( ' y ( b ' y y ' y y ' y 8 ( ' y ( b ' y y' y y ' y 9 ( ' y ( b ' y y' y y' y ( ' y ( b ' y y' y y' y ( ' 7 y ( b ' 7 y y' y y ' y ( ' y ( b ' y y' y y ' y ( ' y ( b ' y sin y ' y y ' y ( ' y ( b ' y y' y y' y ( ' y ( b ' y y' y y ' y ( ' y ( b ' y y ' y y ' y 7 ( ' y ( b ' y y' z y y' z y z' y z ' y Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

71 8 ( ' y z ( b ' y z y' z y y' z y z' y z z ' y z 9 ( ' y ( b ' y y ' y ' 8 ( ' y ( b ' y y' y ' ( ' y ( b ' y y ' y ' ( ' y ( b ' z y y' z y ' z z ' z' Yok m yönmini kullnrk şğıdki birinci mrbdn difrnsiyl dnklm sismlrini vriln sınır şrlrı lınd çözünüz ( ' y, ( b ( y ' y, y ( ( ' y, ( b ( y' y, y ( ( ' y, ( b ( y' y, y ( Özdğrlr Yönmi C Özdğrlr yönmi il yok m yönmini krşılşırrk vnj/dzvnj yönündn dğrlndiriniz 7C Özdğrlr yönminin önmli bir ksikliği ndir? Bu yönm homojn olmyn dnklm sismlrin d uygulnbilir mi? Linr olmyn sismlr uygulnbilir mi? Dğişkn ksyılı sismlr uygulnbilir mi? 8C Özdğrlr yönmind, blirli bir homojn olmyn rimin homojn kısmın çözümü olmsı hlind bu rim krşılık gln özl çözüm nsıl bulunur? Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

72 Özdğrlr yönmini kullnrk şğıdki birinci mrbdn difrnsiyl dnklm sismlrinin gnl çözümünü bulunuz 9 ( ' y ( b ' y y ' y y ' y ( ' y ( b ' y y' y y ' y ( ' y ( b ' y y' y y' y ( ' 7 y ( b ' 7 y y' y y ' y ( ' y ( b ' y y' y y ' y ( ' y ( b ' y sin y ' y y ' y ( ' y ( b ' y y' y y' y ( ' y z ( b ' y z y' z y y' z y y' y z y' y z Özdğrlr yönmini kullnrk şğıdki birinci mrbdn difrnsiyl dnklm sismlrini vriln sınır şrlrı lınd çözünüz 7 ( ' y, ( b ( y ' y, y ( 8 ( ' y, ( b ( y' y, y ( 9 ( ' y, ( b ( y' y, y ( ( ' y, ( b ( y ' y, y ( ( ' y, ( b ( y' y, y ( Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

73 Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl y ' (, ( ( b y y ', ( y C Aynı boyu iki vkör vrilmiş olsun Bu iki vkörün linr bğımlı olup olmdığın nsıl krr vrirsiniz? Vkör fonksiyonlrı için durum n ndir? C n vkör fonksiyonu bulunsun Bunlrın linr bğımlı olup olmdığın nsıl krr vrirsiniz? C lik bir kr mrisin kç n özdğri vrdır, bunlr nsıl blirlnir? C lik sbi bir mrisi v bun i grçl bir özdğrini dikk lınız Bu özdğr krşılık gln özvkörü nsıl blirlrsiniz? Bu mrisin bu özdğr krşılık kç n özvkörü bulunbilir v bunlrdn kçı linr bğımsız olbilir? 7C Bir mrisinin klı bir özdğri için linr bğımsız kç özvkörü vrdır? Bu mrisin grçl v simrik olmsı durumund cvbınız n olur? 8C Komplks v şlnik iki özdğr bulunsun Bunlrdn birin krşılık gln özvkör is diğri nsıl olur? Aşğıdki mrislrdn rsi olnlrın rsini bulunuz 9 7 ( A ( B b 7 ( A 9 ( B b 7 7 ( A ( B b 7 ( A 8 ( B b 7 8 ( A ( B b 7 ( A ( B b 7 7 ( A ( B b

74 Aşğıdki cbirsl dnklm sismlrindn çözümü olnlrın çözümünü ypınız? 7 ( ( b ( ( d c 7 b ( ( ( ( d c 77 b ( ( ( c d ( 8 Aşğıd vriln vkör kümlrinin linr bğımlı olup olmdığını gösriniz 78 v, v v v 79 7 v v v v 8 v, v v v 8 v, v v v Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

75 Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl (, ( v ( v v v 8 (, ( v ( v v v 8 (, ( v ( v v v Aşğıdki mrislrin özdğrlrini v bunlr krşılık gln özvkörlri bulunuz 8 ( 7 ( B A b 8 9 ( ( B A b 87 ( 7 ( B A b 88 8 ( ( B A b 89 ( ( B A b 9 ( 8 ( B A b 9 ( 7 ( B A b

76 Linr Dnklm Sismlri Torisi Aşğıdki vkörlrin vriln difrnsiyl dnklmin çözümlri olduğunu gösriniz Bu çözümlr linr bğımsız mıdır? Eğr öylys vriln sismlrin rlığınd gnl çözümlrini ld diniz Ayrıc bu çözümlrin ml mrislrini oluşurunuz 9 ' ;, ' ;, 7 9 ' ;, 9 ' ;, 9 ' ;, 97 ' ;, 98 ' ;, 99 ' ;, v ' ;, v Aşğıdki vkörlrin vriln difrnsiyl dnklmin çözümlri olduğunu gösriniz Bu çözümlr linr bğımsız mıdır? Eğr öylys vriln sismlrin rlığınd gnl çözümlrini ld diniz Ayrıc bu çözümlrin ml mrislrini oluşurunuz 8 7 ' ; ö 7 ' ; ö 9 ' ; ö ' ; ö Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl

77 Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl Sbi Ksyılı Linr Homojn Sismlr Mris yönmini kullnrk şğıdki difrnsiyl dnklm sismlrinin gnl çözümünü bulunuz ' ' ' ' 7 ' ' 7 ' ' - ' 8 ' - 7 ' - ' 9 ' ' Mris yönmini kullnrk şğıdki difrnsiyl dnklm sismlrini vriln sınır şrlrı lınd çözünüz ' -, ( ' - -, ( ', ( ', ( ', ( ', ( 8 Linr Homojn Olmyn Sismlr Blirsiz ksyılr v Sbilrin dğişimi yönmlrini kullnrk şğıd vriln difrnsiyl dnklm sismlrinin gnl çözümlrini ypınız Homojn kısımlrın çözümlrini bulmk içim mris yönmini kullnınız ' - ' cos sin ' 7 ' 7 7 ' '

78 Mühndislr İçin Difrnsiyl Dnklmlr Engin/Çngl ' ' 9 cos ' ' 7 ' ( ' ' ' Blirsiz ksyılr v Sbilrin dğişimi yönmlrini kullnrk şğıd vriln difrnsiyl dnklm sismlrini, vriln sınır şrlrı lınd çözünüz Homojn kısımlrın çözümlrini bulmk içim mris yönmini kullnınız ( ; cos ' ( ; ' ( ; ' ( ; ' ( ; ' 7 ( ; cos sin '