Mühendisler İçin DİFERANSİYEL DENKLEMLER

Transkript

1 Mühndislr İçin DİFERANSİYEL DENKLEMLER Doç. Dr. Tahsin Engin Prof. Dr. Yunus A. Çngl Sakara Ünivrsitsi Makina Mühndisliği Bölümü Elül 8 SAKARYA - - Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

2 İÇİNDEKİLER BÖLÜM BİRİNCİ MERTEBEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER.. GİRİŞ.. BAZI TEMEL TANIMLAMALAR.. DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİ.4. DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN DOĞRUDAN İNTEGRAL YOLUYLA ÇÖZÜMLERİ.5. PROBLEMLER BÖLÜM BİRİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLER.. GİRİŞ.. BİRİNCİ MERTEBE DİFERANSİYEL DENKLEMLERE GENEL BAKIŞ.. BİRİNCİ MERTEBE LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLER.4 LİNEER OLMAYAN BİRİNCİ MERTEBEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER.4.. Dğişknlrin Arılabilir Tipt Birinci Mrtbdn Dnklmlr.4.. Homojn Tipt Birinci Mrtbdn Dnklmlr.4.. Tam Difransil Dnklmlr.4.4. Bazı Özl Tip Difransil Dnklmlr.5. BİRİNCİ MERTEBEDEN DENKLEMLER İÇİN SİSTEMATİK YAKLAŞIM.6. MÜHENDİSLİK UYGULAMALARI.7. PROBLEMLER BÖLÜM İKİNCİ v YÜKSEK MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLER. GİRİŞ.. LİNEER BAĞIMSIZLIK VE WRONSKIAN FONKSİYONLARI.. HOMOJEN DENKLEMLER TEORİSİ.4. SABİT KATAYILI HOMOJEN DENKLEMLER.5. HOMOJEN OLMAYAN DENKLEMLER TEORİSİ.6. HOMOJEN OLMAYAN DENKLEMLER; BELİRSİZ KATSAYILAR YÖNTEMİ.7. HOMOJEN OLMAYAN DENKLEMLER: SABİTİN DEĞİŞİMİ METODU.8 EULER DENKLEMLERİ.9. MÜHENDİSLİK UYGULAMALARI.. PROBLEMLER BÖLÜM 4 LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ 5.. GİRİŞ 5.. LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMLERİNİN ELİMİNASYON YÖNTEMİ İLE ÇÖZÜMÜ 5.. ÖZDEĞER YÖNTEMİ İLE ÇÖZÜM 5.4. MATRİS YÖNTEMİ İLE ÇÖZÜM 5.5. MÜHENDİSLİK UYGULAMALARI - - Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

3 BÖLÜM 5 LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ 6.. LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ 6.. LAPLACE DÖNÜŞÜMÜNÜN TEMEL ÖZELLİKLERİ 6.. TÜREVİN VE DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ 6.4. TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ 6.5. DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ İLE ÇÖZÜMÜ 6.6. KONVOLÜSYON TEOREMİ 6.7. PROBLEMLER BÖLÜM 6 DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜMÜ 7.. GİRİŞ 7.. SAYISAL İNTEGRAL ALMA 7.. EULER YÖNTEMİ 7.4. TAYLOR SERİSİ YÖNTEMİ 7.5. RUNGE KUTTA YÖNTEMİ - - Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

4 . BÖLÜM BİRİNCİ MERTEBEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER.. GİRİŞ Difransil dnklmlr uzun ıllardır, dünada çoğu fiziksl bilimlr v mühndislik dallarında önmli bir r tutmaktadır. Bilim adamları v mühndislr gnllikl dğişim uğraan sistmlri inclrlr v difransil dnklmlr mühndislr bir sistmdki anahtar dğişknlrin dğişimini inclm v fiziksl olaı daha ii anlama olanağı gtirir. Bilim v matmatik öğrncilrin önlik matmatik öğrtimi uzun sürdir bilim v mühndislik fakültlri arasında bir anlaşmazlık konusu olmuştur. Bilim v mühndislik fakültlri öğrncilrin torik matmatikl aralarının çok da ii olmadığı konusunda hmfikirlrdir. Zira bu tarz öğrtim öğrncilrin problm çözm bcrilrini gliştirbilmlrin ardımcı olamamaktadır. Bu ugulama çoğu ünivrsitd bu drstn başarısızlık oranını % 5 lr kadar çıkarmıştır. Bu is doğa bilimlri v mühndislik bölümlri için önmli bir kaıptır. Bu tartışma v anlaşmazlık gnllikl matmatik öğrnimi görn öğrncilrl doğa bilimlri v mühndislik öğrnimi görn öğrncilr farklı içrikli drslrin oluşmasıla sonuçlanmıştır. Bölc doğa bilimlri v mühndislik fakültlri öğrncilrin kndi disiplinlri içrisind karşılaştıkları problmlri çözbilmlri için matmatik drslrini kndilri vrm olunu bnimsmişlrdir. Difransil dnklmlri cbirsl dnklmlrdn aıran n önmli özllik fonksion türvlri içrmlridir. Difransil dnklmlrin inclnmsi ii bir matmatik altapısı grktirir v dolaısıla öğrncilrin bu drs başlamadan önc bağımlı v bağımsız dğişkn, sürkli v sürksiz fonksion, adi v kısmi türvlr, farklar v artırımlar il intgral gibi tml konuları gözdn gçirmlri ksinlikl önrilir... BAZI TEMEL TANIMLAMALAR Bir a da daha fazla fonksionun türvlrini içrn dnklmlr difransil dnklm dioruz. Diğr bir ifadl difransil dnklm bir takım fonksionlar il bunların türvlri arasındaki ilişkii tmsil dr. Bu kavram ilk olarak 676 ılında Libniz tarafından kullanıldı v difransil dnklmlr uzun zamandır çok çşitli pratik problmin modllnmsi v çözülmsi için bilim adamları v mühndislr tarafından kullanılmaktadır. Çoğu bilimsl problmlrin tarif dilmsi bazı anahtar dğişknlrin diğr dğişknlr gör olan dğişimlrini içrir. Gnllikl bu dğişknlrdki çok küçük dğişimlrin dikkat alınması daha gnl v hassas bir tanımlama sağlar. Dğişknlrin sonsuz küçük va difransil dğişimlrinin dikkat alınması durumunda, dğişim hızlarını türvlrl ifad tmk surtil, fiziksl prnsip v kanunlar için ksin matmatiksl formülasonlar sağlaan difransil dnklmlr ld dilir. Bu üzdn difransil dnklmlr uzun zamandır doğa bilimlri v mühndislikt karşılaşılan çok farklı problmlr başarıla ugulanmaktadır. Araştırmalar, difransil dnklmlrin ni ugulamalarını kşftm sadc fiziksl bilimlrd dğil anı zamanda bioloji, tıp, istatistik, sosoloji, psikoloji v konomi gibi alanlarda da dvam tmktdirlr. Hm torik hm d ugulamalı difransil dnklm araştırmaları günümüzd çok aktif araştırma konuları arasında bulunmaktadır. Fiziksl kanun v prnsiplrin, göz önün alınan dğişknlrdki sonsuz küçük dğişimlri dikkat almak surtil, bir problm ugulanmasıla difransil dnklmlr ld Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

5 dilmktdir. Dolaısıla difransil dnklmin ld dilmsi problm hakkında trli bilgi sahibi olmaı, problm dahil olan dğişknlri blirlbilmi, ugun basitlştirmlr v varsaımlar apabilmi, kullanılacak fiziksl prnsip v kanunları bilmi v d dikkatli bir analiz apabilmi grktirir. Aşağıda bazı örnklr vrilmiştir. Örnk Nwton un harkt asası Nwton un ikinci kanununu kullanarak düz bir çizgi bounca F kuvvtinin tkisi altında harkt dn m kütlli bir cismin konumunu s tanımlaan difransil dnklmi ld diniz. Çözüm Dinamik drslrimizdn hız v ivm tanımlarının ds V dt dv d ds d s a dt dt dt dt olarak vrildiğini bilioruz. Nwton un ikinci kanunu Kuvvt Kütl İvm şklind ifad dildiğindn d s F ( t ) ma( t ) m dt azılabilir. Düznlm apılırsa d s F( t ) difransil dnklmi ld dilir. dt m Örnk Nwton un soğuma kanunu Başlangıçta blirli sıcaklığa sahip kürsl mtal bir cisim sıcaklığı T olan sıcak su içrisin bırakılıor. Cismin başlangıç sıcaklığı su sıcaklığından düşük is, cism ısı transfri başlaacağı bilinmktdir. Buna gör cismin hrhangi bir t anında sıcaklığını T(t) vrn difransil dnklmi blirliniz. Çözüm Suun bulunduğu kabı mükmml şkild alıtılmış düşünlim (çvr ısı kabı ok) v buna gör nrjinin korunumu prnsibini ugulaalım. Cisim sıcak sua bırakıldıktan Δt sür sonra cismin nrjisindki artış, cismin üzindn cism taşınımla (konvksion) gçn ısı nrjisi kadar olacaktır. Buna gör mcδ T ha T( t ) T ld driz. Hr iki tarafı Δt bölrsk ( ) t Δ ΔT ha ( T( t ) T ) Δt mc Zaman dilimini sonsuz küçük aldığımızda (limit durumunda, ani Δt ) dt( t ) ha ( T( t ) T ) dt mc difransil dnklmi ld dilir. Bu dnklm kürsl cismin sıcaklığını zamanın fonksionu olarak ifad tmktdir. Difransil dnklmlr fiziksl olaı, bağımsız dğişkn(lr)in blirli bir aralıktaki dğrlri için tanımlaabilir. Örnğin bu dnklm kürsl cismin mrkzindn üzin kadar olan sıcaklık dğişimini tanımlar, bu sınırların dışında gçrsizdir. Arıca dnklm, cismin sıcak sua daldırıldığı andan itibarn (t) sıcaklığını vrir v dolaısıla ld dilck çözüm t aralığında gçrli olacaktır Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

6 Bir a da daha fazla bağımlı dğişknin tk bir dğişkn gör adi türvlrini içrn difransil dnklmlr Adi Difransil Dnklm (ADD) dnir. Bunun anında içrisind bir a da daha fazla bağımlı dğişknin, bir a da daha çok bağımsız dğişkn gör türvlri bulunan dnklm is Kısmi Difransil Dnklm (KDD) dicğiz. Bu drst ADD konusu üzrind durulacak olup KDD konusu daha çok lisansüstü düzlrd l alınmaktadır. Adi bir difransil dnklm örnk olarak vrilbilir Cot Bir difransil dnklmd n üksk mrtbli türvin mrtbsi difransil dnklmin mrtbsini vrir. Örnğin üsttki dnklm. mrtbdndir dnir. Bunun anında, mrtbl sıkça karıştırılan bir kavram olan drc d dğinmk grkir. Bir difransil dnklmd bulunan n üksk mrtbli türvin üssün, bu difransil dnklmin drcsi dncktir. Bir difransil dnklmdki bağımlı dğişkn v tüm türvlri birinci drcdn is, difransil dnklm linr difransil dnklm dnir. Dolaısıla içrisind,( ),,, sin, gibi trimlr bulunan dnklmlr linr dğildir. Bunun anında dnklm sin,, sin,, ln türündn ifadlr içrbilir. Daha gnl bir ifadl ğr bir difransil dnklm ( n ) + f ( ) ( n ) + f ( ) ( n ) f ( ) R( ) n formunda ifad dilbiliorsa dnklm linrdir dicğiz, aksi hald linr olmaan bir difransil dnklm söz konusudur. Bu dnklmd ğr R ( ) is linr difransil dnklm homojndir. Aksi durumda dnklm homojn olmaan difransil dnklm adını alır. Örnk Difransil dnklmlrin sınıflandırılması Aşağıdaki difransil dnklmlri sınıflandırınız. Çözüm () + (. mrtb linr homojn) () + + sin (. mrtb linr homojn dğil) () + (. mrtb linr dğil) (4) + sin + cos (. mrtb linr dğil homojn dğil) Difransil dnklmlr bağımlı dğişkn v türvlrinin katsaılarının durumuna gör d sınıflandırılmaktadır. Eğr bu katsaılar birr sabits dnklm sabit katsaılı difransil dnklm, ğr bağımsız dğişkn bağlı fonksionlar is dğişkn katsaılı difransil dnklm adını alır. Örnğin + sin dnklmi sabit katsaılı, cosh z + z is dğişkn katsaılı bir difransil dnklmdir... DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİ Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

7 Bir problm için difransil dnklmin ld dilmsi gnllikl koladır. Diğr andan bu dnklmin çözümünün bulunması is gnllikl zordur. Bir difransil dnklmin çözümü bazn bir a da birkaç dfa intgral alma işlmindn ibart olabils d bu tür durumlar gnllikl istisnadır. Tüm difransil dnklm tiplrin ugulanabiln gnl bir çözüm öntmi n azık ki mvcut dğildir. Çşitli sınıflara arılan difransil dnklmlr için bunlara özgü çözüm mtotları gliştirilmiştir. Bazn bir difransil dnklmi çözmk birdn fazla tkniğin brabr kullanılmasının anı sıra bu tkniklrdki trli bir uzmanlık düzi v hünr grktirir. Bazı difransil dnklmlr sadc ustaca apılmış bir takım manipülasonlarla çözülbilirkn bazılarının analitik çözümlri imkansız olabilir. Dolaısıla bir difransil dnklmi çözmk bilimdn ziad bir sanat dalı gibidir. Cbirsl dnklmlrin çözümünd gnllikl 7 türündn bir dnklmi sağlaan arık dğrlrin (köklrin) bulunması hdflnir. Öt andan bir difransil dnklmi çözrkn, blirli bir aralıkta dnklmi sağlaan fonksionlar aranır. Yukarıdaki cbirsl dnklmi sağlaan dğrlr v 5 tir. Osa 7 difransil dnklmini hrhangi bir dğri için 7 sağlamaktadır. Difransil dnklmi sağlaan hrhangi bir fonksion, difransil dnklmin bir çözümüdür. Bnzr şkild difransil dnklmi sağlaan v içrisind bir a da daha fazla kfi sabit bulunduran v bu ndnl bir ğri ailsini oluşturan çözüm gnl çözüm dnir. Eğr difransil dnklmin hr çözümü gnl çözümdki kfi sabitlr dğrlr atanarak ld dilbiliorsa bu gnl çözüm anı zamanda tam çözüm adını alır. Gnl çözümdn ld diln hr bir çözüm is özl va özgül çözüm adını alır. Eğr difransil dnklmin hrhangi bir çözümü, gnl çözümdki sabitlr dğrlr atanarak ld dilmiorsa bu çözüm tkil çözüm adını alır. Tıpkı cbirsl dnklmlrin çözümünd olduğu gibi, difransil dnklmlrd d, hangi isim altında olursa olsun, bir çözüm difransil dnklmi mutlaka sağlar. Eğr sağlamıorsa, ld diln çözüm hatalıdır dmktir. Örnk 4 Bir difransil dnklmin çözümü ifadsinin (,+ ) aralığında difransil dnklminin bir çözümü olduğunu göstriniz. Çözüm Vriln çözüm difransil dnklmi sağlamalıdır. sağlanır. alınarak difransil dnklmd azılırsa olur v dnklm Örnk 5 Bir difransil dnklmin çözümü ifadsinin + difransil dnklminin bir çözümü olduğunu göstriniz. Vriln çözümün hr dğri için gçrli olup olmadığını irdliniz. Çözüm Vriln çözüm difransil dnklmd azılırsa + ld dilir, dolaısıla vriln çözüm dnklmi sağlamaktadır. Çözümün tanım aralığı için olması grktiği açıktır. Buradan ( )( + ) v azılarak ld dilir Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

8 Örnk 6 Bir difransil dnklmin gnl çözümü C + ifadsinin difransil dnklminin, C sabitinin hrhangi bir dğri için, çözümü olduğunu göstriniz. Çözüm C +, C( + ) + C + C + v C + C( + ) 4C + 4C bulunup dnklmd rin azarsak, ( 4C + 4C ) 4( C + C + ) + 4( C + ) 8 ld dilir. Dolaısıla vriln çözüm gnl çözümdür. Şimdi tkrar bir su banosuna daldırılan kürsl cisim örnğimiz dönlim (örnk ). Eld diln difransil dnklmin çözümündn cismin sıcaklığının zamanla dğişimi, Tt () T ( T C ) mc ha t olarak ld dilir. Bu ifadd C bir kfi sabittir. Kolalıkla göstrilbilir ki bu çözüm C nin aldığı dğrdn bağımsız olarak difransil dnklmi sağlar. Dolaısıla C nin alabilcği sonsuz saıda dğr karşılık sonsuz saıda özl çözüm ld tm imkanı vardır. Gnl çözüm içrisind cismin başlangıç sıcaklığı (t anında) olan T i bulunmadığından bu sonuç sürpriz dğildir. Dolaısıla başlangıç sıcaklığı blirtildiğind, vriln difransil dnklm olan çözüm d özl bir çözüm kimliği kazanır. Bizim ilgilndiğimiz çözüm d, T ksnini T i sıcaklığında ksn özl çözüm olacaktır. Buradan şu önmli sonuç çıkmaktadır: Blirli bir problmin tk bir çözümü olsa da, bu problmi tmsil dn difransil dnklmlrin sonsuz saıda çözüm sahip olmaları mümkündür. Bunun ndni, difransil dnklmin, bağımlı dğişknlrl bağımsız dğişknlrdki dğişimlr arasındaki bir ilişki olmasından başka bir ş olmamasıdır. Difransil dnklm, bir fonksion va türvlrinin blirli bağımsız dğişkn dğrlrin karşılık gln bağımsız dğişkn dğrlri konusunda bilgi içrmz. Sonuç olarak anı fiziksl olala ilgili pk çok farklı problm anı difransil dnklml ifad dilir. Farklılık is ld diln gnl çözümdn bizim ilgilndiğimiz problmin özl çözümün gçbilmmizi sağlaan özl şartların tanımlanmasıdır. Eğr bu şartlar bağımsız dğişknin anı dğri için vrilmişs bu şartlara başlangıç şartları, bağımsız dğişknin birdn fazla dğri için blirlnmişs bu şartlara sınır şartları dicğiz. 4 + başlangıç dğr problmi () 5, () 4 + () 5, (8) sınır dğr problmi Örnk 7 Srbst düşm harkti Hava sürtünmlri ihmal dildiğind, bir cismin srbst düşm harkti rçkimi kanunu il grçklşir. zh ükskliğindn ilk hızsız olarak aşağıa doğru bırakılan bir cisim düşünlim. Bu harkt il ilgili matmatiksl ilişkilri azınız, problmin türünü (başlangıç va sınır dğr) blirtiniz. Çözüm Nwton un ikinci kanununa gör (ukarı ön pozitif sçilirs), cismin harkti Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

9 d z g dt difransil dnklmil blirlidir. Cisim ilk hızsız olarak bırakıldığından dz V ( t ) azılabilir. Bir diğr şart is cismin başlangıçta h ükskliğind dt t bulunması şartıdır. Diğr bir ifadl, z ( t ) h Hr iki şart da bağımsız dğişknin (t) anı dğrind vrildiği için bu problm bir başlangıç dğr problmi olmaktadır. Bir difransil dnklmi çözmd, dnklmi sağlaan () fonksionunun bulunması arzu dilir. Ancak çoğu zaman bu mümkün olmaz v aklaşık çözüm tkniklri çözüm için tk altrnatif kalır. Saısal öntmlr bu ndnl ortaa çıkmış aklaşık çözüm ollarıdır. Kapalı çözümlrin ld dildiği analitik öntmlrl bağımsız dğişknin sonsuz dğrin karşılık sonsuz saıda bağımlı dğişkn dğri hsaplamak mümkündür. Yani analitik çözü fonksionu, vriln çözüm aralığında, sürkli bir fonksiondur. Diğr taraftan saısal öntmlr, ancak bağımsız dğişknin daha öncdn tanımlanmış dğrlrin karşılık gln bağımlı dğişkn dğrlrini aklaşık olarak vrmktdir..4. DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN DOĞRUDAN İNTEGRAL YOLUYLA ÇÖZÜMLERİ Bazı difransil dnklmlr linrdir v türvlri içrn tk bir trim sahip olup, bilinmn (aranan) fonksionun bir çarpan olduğu trimlri içrmzlr. Eğr intgral işlmi apılabiliorsa, difransil dnklm d doğrudan intgrallm tkniğil çözülbilir dmktir. Bunun anında diğr bazı difransil dnklm türlri linr olmaan trimlr sahiptir v bu olla çözülmlri mümkün dğildir. 6 doğrudan intgral olula çözülbilir. 6 + doğrudan intgral olula çözülmz, çünkü bilinmn fonksionun bir çarpan durumundan olduğu trimi doğrudan intgrallnmz. Bir difransil dnklm doğrudan intgral olula çözülürkn trim trim intgr dilir v bir intgral sabiti klnir. Hr intgrason adımında türvlrin mrtblri bir düşürülür v buna karşılık bir başka intgral sabiti klnir. Dolaısıla bir difransil dnklmin gnl çözümünd, difransil dnklmd bulunan n üksk mrtbli türvin mrtbsi kadar kfi sabit ld dilir. Örnk 8 Doğrudan intgrason il çözüm Aşağıdaki difransil dnklmlrin doğrudan intgral olula çözülüp çözülmcklrini blirtiniz v çözülbilir olanları çözünüz. () 5 + () 6 () Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

10 Çözüm () Bu dnklm, ikinci triminin bilinmn fonksionu (ani bağımlı dğişkni) içrmsindn dolaı çözülmz. () Bu dnklm linrdir v türvli tk trimi bulunmakta v diğr trimlrd bilinmn fonksion bir çarpan va faktör durumunda dğildir. Bu ndnl dnklm çözülbilir. Dnklm. mrtbdn olduğundan art arda kz intgral alınıp hr sfrind bir sabitin klnmsi grkir. d d d azılabilir. d d d Dnklmd rin konursa v hr iki taraf d il çarpılırsa d d d( ) 6 d d dnklmi bulunur. İntgral alırsak C ld driz. Bir kz d daha intgral almak surtil d d Cd va 4 C + C azılarak 4 + C + C aranan çözüm bulunmuş olur. () Bu dnklm linr dğildir v doğrudan intgral olula çözülmz gibi görünüor. Ancak dikkatli bir kontrol il triminin nin türvindn başka bir ş olmadığı açıkça görülmktdir. O hald dnklm şu şkild düznlnbilir. d ( d ) 4. Dnklmin hr iki tarafı d il çarpılarak d( ) 4d azılıp intgral alınırsa 4 C va ± 4 + C gnl çözümü ld dilir. Örnk 9 Srbst düşm harkti m ükskliktn bırakılan bir cismin sani sonraki rdn ükskliğini v hızını blirliniz. Çözüm Zmini z kabul dlim v cismin bırakıldığı ükskliği d z m alalım. Hava dirnci ihmal dildiğind cismin bu srbst düşm harktinin z g difransil dnklmil tanımlı olduğunu bilioruz. Art arda iki kz intgral alarak z V ( t ) gt + C v z ( t ) gt + Ct + C ld driz. Bu çözümlr srbst düşm harkti apan hr cisim için anıdır. Dikkat dilirs bir difransil dnklmin gnl çözümü, bilinmn fonksion il bağımsız dğişkn arasında bir ilişkidir v ksinlikl bir bağımlı dğişkn ait bir türv trimi içrmz. Gnl çözümün adt kfi sabiti bulunmaktadır v bunları bilmksizin cismin s sonraki konumu için bir hsaplama apılamaz. Bu sürpriz bir durum dğildir çünkü bu konum cismin atıldığı ükskliğ v cismin ilk hızına bağlı olarak dğişbilir. Osa gnl çözüm bunlar konusunda hiçbir bilgi vrmz. Daha önc d blirtildiği gibi bir difransil dnklm bağımlı v bağımsız dğişknlrdki dğişimlr arasındaki ilişkii tanımlar v problm özgü vriln bağımsız dğişkn dğrin karşılık gln bağımlı dğişkn dğrlrindn tkilnmz. Örnğin m rin 5 m düşünülsdi, ld dcğimiz gnl çözüm in anı kalacaktı. Ancak doğal olarak cismin s sonraki konumu bu durumda farklı bir rd olacaktı. Gnl çözüm dnklmini bizim problmimiz ugun hal gtirbilmk için içrisindki sabitlrin problmd vriln koşullara gör blirlnmsi grkir. Bu koşullar - - Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

11 dz V( ) dt z ( ) t olarak vrilmiştir. Birinci koşulumuzu hız dnklmind azalım: V ( ) g + C, C. İkinci koşulu da konum dnklmind rin koalım: z ( ) g + C + C, C. Dolaısıla aranan özl çözüm ifadsi z z( t ) gt + olacaktır. Hız ifadsi is C olduğundan V( t ) gt olur. t sani sonraki dğrlr hsaplanırsa, z( s ) ( 9.8)( ) m v V( s ) ( 9.8)( ) 9. 4 m/s (aşağı önlü). - - Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

12 Bölüm il ilgili problmlr Fiziksl problmlri modllmd cbirsl dnklmlr ndn trsiz kalır, difransil dnklmlr ndn ihtiaç duulmuştur. Sabit hızla (V ) düşmkt olan bir paraşütün harktini tanımlaan difransil dnklmini Nwton un ikinci kanununu ( F ma ) kullanarak ld diniz. Kütlsi m olan bir taş rdn ukarıa doğru V düş hızıla atılmaktadır. Nwton un harkt kanununa gör cismin rdn ükskliğini v hızını zamanın fonksionu olarak ld dbilcğiniz difransil dnklmi azınız. Yalar gnllikl dformason miktarlarıla orantılı v önü sürkli olarak dng konumuna doğru olan bir kuvvt oluştururlar. Örnğin kadar grilmiş bir aın oluşturacağı kuvvt Fk il vrilir v burada k a katsaısı adını alır. Ya katsaısı k olan böl bir a ucuna, a dng konumundakn () m kütlli bir cisim bağlanmakta v kütl aın ucuna bağlı olarak rçkimi v a kuvvtinin bütünlşik tkisil salınım apmaa trk dilmktdir. Nwton un harkt kanununa gör kütlnin konumunu, başlangıç konumuna gör (), zamanın fonksionu olarak vrn difransil dnklmi azınız. Plütonum, Radum v C 4 gibi Karbon izotoplarının, başka bir lmnt va anı lmntin başka bir izotopunu oluşturmak üzr tabii olarak bozunduğu bilinmktdir. Bozunma hızı hnüz bozunmamış miktar il doğru orantılı olarak dğişmktdir. Bir radoaktif malzmnin hrhangi bir t anındaki miktarını M(t) alarak, bu kütlnin zamanla dğişimini vrn difransil dnklmi ld diniz. Not: Bir dğişknin (örnğin A) başka bir dğişknl(örnğin B) doğru orantılı olması matmatiksl olarak AkB olarak ifad dilir. Burada k orantı katsaısı adını alır... Bağımlı v bağımsız dğişkn ndir, bir fonksionda bunları birbirindn nasıl aırt drsiniz... Türvin gomtrik anlamını açıklaınız... Adi v kısmi difransil dnklmlr arasında n fark vardır noktasındaki tğti ksnin parall olan bir f() fonksionunun bu noktadaki birinci türvi konusunda n sölbilirsiniz..5. Bir difransil dnklmin mrtbsi il drcsini blirtiniz.. mrtbdn,. drcdn bir difransil dnklm örnği vriniz..6. Aşağıdaki fonksionların tanım aralıklarını blirliniz. (a) + (b) ( )ln (c) / (d) cos / () ( ).7. Aşağıdaki türvlri ld diniz ( v t bağımsız dğişkndir). 4 f (a) f 7 sin +, 4 f? ; (b) f 7 sin t + t,? f f df (c) f ln( t ),?, ; (d) f ( ) sin 4, 4? t d () ttan f5 f5 df f5,?,? ; (f) f sin 6, 6? t d (g) ln df f7 ( ), 7 cos t f? ; (h) f 8, 8? d lnt t.8. Aşağıdaki intgral işlmlrini apınız. + + d 5 5 (b) ln + d t (c) ( + sinωt + t )d (a) ( sin5) - - Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

13 t (d) ( ( ) + + cosωt) d (g) (h) t d + d (k) tan sc d (l) ln d + d (f) () ( ( ) t ln) (i) ln d (j) sin d d (m) ( )( )( + ) ( ) d ( ) (n) ln d.9. Aşağıdaki kavramları, hr birin örnklr vrrk, açıklaınız. (a) Adi difransil dnklm, (b) Kısmi difransil dnklm, (c) drc, mrtb (d) Homojn difransil dnklm, () Sabit katsaılı difransil dnklm (f) Başlangıç dğr problmi, (g) Sınır dğr problmi, (h) Sınır şartları (i) Linr difransil dnklm, (j) Linr olmaan difransil dnklm, (k) Gnl çözüm (l) Özl çözüm, (m) Tkil çözüm.. Aşağıdaki difransil dnklmlrin mrtblrini, linr olup olmadıklarını v sabit/dğişkn katsaılı olduklarını blirtiniz. (a) (b) + 8, +, +, sin +, +, (c) z + z sin sin z ln + cot, + 5 Vriln fonksionların anındaki difransil dnklmin bir çözümü olduğunu göstriniz. + 4, v ln 4 4, v,, v cosh +, sin v sin + cos ln 4 + 4,, v 5 (a), 5 v (b) (c) (d) () ( ) (f) 4.. N tür difransil dnklmlr doğrudan intgral olula çözüm lvrişlidir. 4.. Üçüncü mrtbdn linr v homojn bir difransil dnklm azınız. Bu dnklmin çözümündn kaç tan kfi sabit ld dilir. Bu kfi sabitlri blirli bir problm için bulmak istrsniz, kaç adt koşul blirtmlisiniz. 4.. Aşağıdaki difransil dnklmlrin doğrudan intgral olula çözülüp çözülmcklrini incliniz. Çözülbilck durumda olanları çözünüz. (a), +, + sin, + 4 (b) 4, 4 8, (c) 5,, cos, Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr 4.. R. m çapında kürsl şkl sahip radoaktif bir madd içrisind g 4 7 W/m ısı ürtmktdir. Ürtiln ısı kararlı bir rjiml kürsl üzdn ortama salınmakta, bölc üzdki sıcaklığın T 8 o C d sabit kalması sağlanmaktadır. Cismin ısı iltim katsaısı k5 W/m o C olarak vrilmktdir. Kürsl cismin sıcaklığı alnızca arıçapı doğrultusunda dğişmktdir (TT(r)). Kürsl cisim içrisindki sıcaklık dağılımı 4

14 d dt g r + r dr dr k difransil dnklmil tanımlanır. Bu dnklmin linr olup olmadığını, sabit katsaılı mı va dğişkn katsaılı olduğunu, mrtb v drcsini, homojn olup olmadığını blirliniz. Dnklm çözümündn glck kaç adt sabit mvcuttur, bunları bulabilmk için hangi koşulları önrirsiniz. Bu dnklmi çözrk kürsl cisim içrisindki sıcaklık dağılımı arıçapın fonksionu olarak (T(r)) ld diniz. Eld ttiğinin ifadi bir sıcaklıkarıçap (T r) ğrisind göstriniz Kalınlığı L.5 olan gniş bir duvar göz önün alalım. Duvarın sol üzü () mükmml şkild alıtılmış olup diğr üzü (L) üniform olarak o C sıcaklıktadır.. Duvar içrisind g ( ) g ifadsin gör ısı ürtilmktdir. Duvar içrsind d T g( ) sıcaklığın sadc doğrultusunda dğiştiğini (TT()) v bu dğişimin + d k difransil dnklmi uarınca olduğu bilindiğin gör, k5 W/mK, g 5 W/m alarak duvardaki sıcaklık dağılımını, ani TT() fonksionunu v alıtılmış üzdki sıcaklığı hsaplaınız. (Not: Yalıtılmış üzd dt/d alınır.) Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

15 . BÖLÜM BİRİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLER.. GİRİŞ Pk çok ugulamada bir büüklüğün dğişim hızı (birinci türv), bu büüklüğün kndisin v bağımsız dğişkn bağlıdır. Bu tür problmlr gnld f (, ) formunda ifad dilirlr. Bu basit görünüm, bu tür dnklmlrin çözümünün d basit olacağı şklind anlış bir anlamaa ndn olabilir. Bazı istisna durumlar dışında bu tür dnklmlri çözmd karşılaşılan zorluklarla daha üksk mrtbli dnklmlri çözmd karşılaşılan zorluklar anı düzd olabilir. Birinci mrtbdn difransil dnklmlri çözmd n azık ki gnl bir ok oktur. Bu ndnl birinci mrtb dnklmlr d kndi aralarında alt sınıflara arılmış v hr bir sınıf için farklı öntmlr gliştirilmiştir. Bu bölümd birinci mrtbdn dnklmlrin nasıl sınıflandırıldığı anlatılacak, ardından sistmatik bir aklaşımla hr zaman çözümü mümkün olan birinci mrtbdn linr dnklmlr v ugulamaları işlncktir. Ardından linr olmaan türlr için vriln bir çözüm aralığında çözümün var olup olmadığı tartışılacaktır. Bu sınıfa girn dğişknlrin arılabilir tip, homojn v tam difransil tiptki dnklm çözümlri üzrind durulacaktır... BİRİNCİ MERTEBE DİFERANSİYEL DENKLEMLERE GENEL BAKIŞ Tanımından anlaşılacağı üzr birinci mrtbdn difransil dnklmlrd sadc birinci türv r alır. bağımlı, d bağımsız dğişkni göstrmk üzr böl bir dnklm f (,, ) formunda vrilir. Bu bölümd sadc birinci türvin doğrudan bağımlı v bağımsız dğişkn cinsindn azılabildiği f (, ) türündn dnklmlr üzrind duracağız. Bölc çözüm f (, )d + C şklind ifad dilbilcktir. Ancak çoğu kz bu azım tarzı, vriln difransil dnklmin bir intgral dnklm dönüştürülmsindn daha öt bir sonuç gtirmz. Vriln f(, ) fonksionunun sadc bağlı olduğu basit durumlar ancak doğrudan intgral olula çözüm ugundur. Örnğin 6 5 difransil dnklmind f(, ) sadc bağımsız dğişkn bağlıdır v doğrudan intgral olula gnl çözüm 5 + C olarak kolaca ld dilir. Burada şu hususun altını çizmk grkir. Birinci mrtbdn bir difransil dnklmi çözrkn bağımsız dğişkn olarak a da sçilbilir. Bu tür bir dğişim bazn çözümü zor olan difransil dnklmi, çözümü daha kola bir hal gtirbilir. Örnğin d d ( + ) + sin + difransil dnklmi linr olmamasına rağmn, aşağıdaki dnklm linrdir v ksin olan bir çözüm olu vardır. d + sin + + dnklmi gör linrdir. d Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

16 .. BİRİNCİ MERTEBE LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLER Birinci mrtbdn linr bir difransil dnklm, + P( ) R( ) (.) formunda vrilir. Hatırlatmak grkir ki + P( ) R( ) dnklmi d gör linrdir v burada anlatılacak öntml çözülbilir. Vriln P v R fonksionları öngörüln çözüm aralığında bağlı sürkli fonksionlardır. Bu türdn bir dnklmin çözümü, ğr dnklmin sol anı tk bir trimin türvi şklind ifad dilbilirs, sıradan bir işlm dönüşcktir. Bunun için dnklmin sol tarafını bir trimin türvi halin gtirbilck bir çarpanın aranması grkir. Dnklmin hr iki anını μ() fonksionu il çarpalım. μ ( ) + μ( )P( ) μ( )R( ) (.) μ ( ) μ( ) + μ ( ) (.) [ ] ( nin açılımı olabilmsi için μ ( ) μ( )P( ) şartı sağlanmalıdır. Bulmaa çalıştığımız çarpanın sıfırdan farklı olduğu durumda, bu dnklmi intgr drsk olduğundan, (.) şitliğinin sol tarafının [ μ ) ] μ ( ) d P( ) va ln μ( ) P ( ) μ( ) d azılarak ln μ( ) P( )d + C ld driz. μ() çarpanı alnız bırakılıp v C sabiti dikkat alınmaarak μ( ) P( )d (.4) ld dilir. İntgral sabitinin bu aşamada dahil dilmsi gnl çözüm üzrind bir dğişikliği ol açmaacaktır. Arıca (.4) dnklminin sağ tarafı hr koşulda pozitif olacağından dnklm, μ( ) P( )d (.5) olarak da ifad dilbilir. (.5) dnklmil tanımlanan fonksiona intgral çarpanı dicğiz. (.) dnklminin sol tarafı artık tk bir trimin türvi şklind ifad dildiğindn [ μ ( )] μ( )R( ) (.6) azılarak μ( ) μ( )R( )d + C va bağımlı dğişkni alnız bırakarak difransil dnklmin gnl çözümü, [ μ( )R( )d ] + C μ( ) (.7) Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

17 olarak ld dilmiş olur. Birinci mrtbdn linr bir difransil dnklmin (.7) dnklmin gör gnl çözümünün bulunabilmsi için, vriln difransil dnklmin ksinlikl (.) dnklmind vriln şkl gtirilmsi grkir. Örnk 9, () linr başlangıç dğr problmini çözünüz. Çözüm türvinin katsaısı v P(), R() 9 olduğu görülmktdir. İntgral çarpanı, μ( ) P( ) d d ld dilrk (.7) dnklmind rin konursa, [ ( 9) d + C] [ 9 d C] + 9 d intgralini almak için kısmi intgrason öntmi kullanmak üzr, u, d du d dv dğişkn dönüşümü ugulanır. Bu kurala gör u dv uv vdu v olduğundan 9 d 9 d 9 ( + Dnklmd rin konursa, C sabiti blirlnir: C ld dilir. Vriln başlangıç şartı kullanılarak ) ( ) olduğundan, + + C C 6 6. Bölc aradığımız özl çözüm, Şu ana kadar apılan işlmlrd vriln bir çözüm aralığında P() v R() ifadlrinin sürkli fonksionlar olması grktiği vurgulanmıştı. Eğr bu fonksionlardan birinin va ikisinin sürksizlik noktaları varsa, çözüm bölgsi sürkliliğin olduğu alt bölglr arılmalıdır. Bunu bir örnkl görcğiz. Örnk + 5, () başlangıç dğr problmini çözünüz. + Çözüm P ( ) fonksionu noktasında sürksizdir. O hald çözümü << va + << aralığında aramamız grkir. İntgral çarpanımız, μ( ) P( ) d d + ln + +, > için mutlak dğr içi pozitiftir. Dolaısıla << aralığında μ( ) + azılabilir. (.7) dnklmind rin konursa; Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

18 + [ ( + ) 5 d + C] 5 ( + 4) C + ( + ) C C Vriln koşulu rin azarak C sabitini bulalım: 5 ( + 4) C 7 + C, bölc aranan özl çözüm; ( + ) + 5 ( + 4) 7 olacaktır. ( + ) ( + ).4 LİNEER OLMAYAN BİRİNCİ MERTEBEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER Linr v birinci mrtbdn difransil dnklmlrl ifad diln başlangıç dğr problmlri nisptn çözümlri kola olan problmlrdir. Bunun ndni (.7) dnklmil vriln analitik bir gnl çözüm sahip olmalarıdır. Arıca bu tür difransil dnklmlrin, P() v R() in sürkli olduğu öngörüln çözüm bölgsind, tk bir gnl çözümlri vardır. Durum linr olmaan difransil dnklmlrd biraz daha zordur, çünkü önclikl vriln çözüm bölgsind bir çözümün olup olmadığı dahi ksin dğildir, bunun önclikl blirlnmsi grkir. Eğr bir çözüm varsa bu çözümün tk bir gnl çözüm olup olmadığı da ortaa çıkarılmalıdır. Çoğu pratik ugulamanın doğasından gln bir linr olmaışlık vardır, v bu tür ugulamalar linr olmaan difransil dnklmlri ortaa çıkarır. Bu tür dnklmlri çözbilmk için gnl bir mtot olmadığı gibi, gnl karaktristiklri konusunda da çok az bilgi vardır. Dolaısıla, bu kısımda ancak analitik çözümlri var olan blirli tiptki difransil dnklmlr üzrind durulacaktır. Torm: Linr olmaan birinci mrtbdn dnklmlr için çözüm varlığı v tkliği Eğr bir f(, ) fonksionu dikdörtgnsl bir D bölgsind sürklis v anı bölgdki bir (, ) noktasından gçiorsa, diğr bir ifadl ( ) is, bu durumda birinci mrtbdn f (, ) difransil dnklmi (, ) noktasını içrisind bulunduran D nin alt bölgsind n az bir çözüm sahiptir. Arıca f türvi d bu D bölgsind sürkli bir fonksion is ld dilck çözüm tktir. Hr n kadar tormin şartları oldukça kısıtlaıcı görüns d, blirli bir fiziksl problmi tmsil dn v bir çözümü bulunan difransil dnklmlr tarafından bu şartların sağlandığı kolaca göstrilbilir. Torm sadc çözümün olup olmadığı, varsa tk olup olmadığı konusunda bilgi vrir. Çözüm nasıl ulaşılacağı v bu çözümün hangi bölgd olduğula ilgili ipucu vrmz. Linr difransil dnklmlr, tüm özl çözümlr ulaşabilcğimiz bir gnl çözüm sahiptirlr. Buna karşın linr olmaan dnklmlr için anı durum gçrli dğildir. Arıca linr olmaan dnklmlrin çözümlri gnllikl kapalı fonksionlar halind ld dilirlr, diğr bir ifadl bağımlı dğişkni alnız bırakmak gnld mümkün olmaz Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

19 .4.. Dğişknlrin Arılabilir Tipt Birinci Mrtbdn Dnklmlr Birinci mrtbdn bir difransil dnklmin h(, ) şklind vrildiğini düşünlim. Eğr dnklmin sağ anı, f ( ) h (, ) şklind ifad dilbiliorsa, bu difransil dnklm dğişknlrin g( ) arılabilir tiptdir. Örnk Dğişknlrin arılabilir dnklm, () başlangıç dğr problmini çözünüz. Çözüm Vriln dnklm dilirs; d d d d şklind dğişknlrin arılıp trim trim intgr v sonuç olarak, ld dilir. Dikkat dilirs, vriln başlangıç şartı doğrudan intgral işlmi sırasında hsaba katılmış, bölc özl çözüm ld dilmiştir. Örnk d + ( + ) d difransil dnklmini çözünüz. Çözüm d 4 Vriln dnklm + d + şklind azılıp doğrudan intgr dilbilir. d d arctan( ) + C 5 5 aranan çözümdür. Örnk 5 Ortogonal (Dik) Yörünglr Birbirini 9 açıla ksn doğrulara birbirinin ortogonalıdır dnir. Bu ndnl doğrulardan birinin ğimi m is buna ortogonal olan diğrinin ğimi /m olacaktır (gomtridn birbirin dik iki doğrunun ğimlri çarpımının olduğunu hatırlaınız). Tanımı gnişltck olursak, örnğin bir düzlmindki F(, )C ğri ailsinin hr bir ğrisi, anı düzlmdki G(, )K ğri ailsinin hr bir ğrisini dik olarak ksiorsa, bu ğrilr birbirinin ortogonalıdır. Vriln bir ğri ailsin ortogonal (dik) olan ğri ailsini bulmak için şu adımlar izlnmlidir: d Vriln ifadnin (F(, )C) gör türvi alınıp oluşturulur. d Bu iki dnklmdn (F(, ) v bunun türvini vrn dnklm) C ok dilir. d d İkinci dnklmd rin alınarak ld dilck difransil dnklm d d çözülür Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

20 Bu adımları bir ugulama il görlim. Örnğin bulmak istlim. Vriln ifaddn c ğri ailsin dik olan ğri ailsini F (, ) c olduğu anlaşılmaktadır. Dolaısıla d c ld dilir. Hr iki dnklm d c şit olduğuna gör bu şitliklrin sol anları da d birbirlrin şit olmalıdır, diğr bir ifadl; d d bulunur. Bölc ilk iki adımı tamamlamış oluoruz. Şimdi d türvi il r d d d dğiştirlim v çözülck difransil dnklmi olarak blirlmiş olalım. Dnklm d düznlnirs d + d difransil dnklmi ld dilir ki bu da dğişknlrin arılmış vazitt olduğundan trim trim intgr dilbilir. d + d + k, va + R ld dilmiş olur. Burada k R aldık. c ğri ailsi ğimi c olan v mrkzdn gçn doğruları tmsil dr. Öt andan + K ğri ailsi is mrkzi orijin noktası olan v arıçapı R olan mrkzcil çmbr ailsidir. Grçktn d bu iki ğri ailsi birlri birbirlrini dik açı il ksrlr. Dik örünglr konusu, sadc gomtril ilgili dğil, diğr mühndislik alanlarında da önmli r tutar. Örnğin boutlu bir lktrik alanındaki kuvvt çizgilri, sabit potansil çizgilrinin ortogonal örünglridir. boutlu bir ısı transfri problmind ısı akış çizgilri, sabit sıcaklık çizgilrinin ortogonal örünglridir. Bir diğr önmli ugulama da akışkanlar mkaniğinddir. Boutlu bir akışkan akımı problmind akım çizgilri, sabit potansil çizgilrinin ortogonalıdır..4.. Homojn Tipt Birinci Mrtbdn Dnklmlr Dğişknlrin arılabilir forma gtirilbilck difransil dnklmlrdn biri d homojn tipt olanlardır. Birinci mrtbdn bir difransil dnklm ğr, f f (v) şklind azılabiliorsa bu dnklm homojndir dnir. Örnğin homojn tipt bir difransil dnklmdir. Çünkü dnklmin sağ anı sadc v nin fonksionu olarak ifad dilbilir. ifadsind v dönüşümü ugulanırsa, v ( v) v v v v Şunu not tmmiz grkir ki burada kullandığımız homojn trimi,. Bölüm dki anlamından farklıdır. Pk çok difransil dnklmin homojn olup olmadığı basit bir - - Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

21 kontroll ortaa çıkarılabilir. Karmaşık ifadlr için homojnlik tsti ugulanması tavsi dilir. f (, ) difransil dnklminin homojn olup olmadığını anlamak için dnklmdki tüm lr λ il, tüm lr d λ il r dğiştirildiğind ğr dnklmin sağ tarafındaki f(, ) fonksionu λ n f(,) halin glbiliorsa dnklm n inci drcdn homojndir dnir. Homojn bir difransil dnklmi çözrkn aşağıdaki dönüşümlri ugulaacağız: v v hr iki anın gör türvi olan v + v Örnk 6 Homojn difransil dnklm difransil dnklmini çözünüz. v v v + v dönüşümlrini + ugularsak, v v v + v + v va v ld dilir Şimdi dnklm dğişknlrin v + v + v + arılabilir. Düznlm apılırsa; v + dv v + d va v + d v dv + dv d dv olur. İntgrallr v + v + v + alınırsa, ln( v + ) + arctan( v) lnc ln v tkrar düznlm apılırsa; C C arctan( v ) ln ln v + ln bulunur. v va / v olduğu v + hatırlanırsa, arctan ln C + C + Örnk 7 ( ) d + d difransil dnklmini çözünüz. Çözüm Dnklmin ikinci drcdn homojn olduğu açıktır. v v v + v dönüşümü ugulanırsa, ld dilir. (Not: ) bulunur. ( v v) + ( v + v) v grkli sadlştirm apılarak ( v v) + ( v + v) bulunur. dv dv d v C d v ln ln ln dn gnl çözüm, v C v olarak ld dilir. ln C ( ) - - Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

22 Örnk 8 / / ( + ) d + ( ) d difransil dnklmini çözünüz. Çözüm Vriln difransil dnklmd lr λ v lr λ il r dğiştirildiğind sonucun dğişmdiği görülür. O hald dnklm sıfırıncı drcdn homojndir. Ancak çözüm için v dönüşümü rin v dönüşümü kolalık sağlar. Buna gör; v d vd + dv ifadlri difransil dnklmd azılarak; v ( + )( vd + dv) + ( v) d aparsak, d + + dv + v v v v ld dilir. Dğişknlrin aırarak düznlm v v ln + ln v + lnc va ( v + ) C. Ancak v olduğundan ( + ) C va + C. C sabitinin ngatif olamaacağından harktl mutlak dğr kaldırılabilir. + C >.4.. Tam Difransil Dnklmlr M (, ) d + N(, ) d difransil dnklmini göz önün alalım. Burada M v N, düzlmindki R bölgsind birinci türvlri bulunan v bağlı sürkli fonksionlar olsun. M (, ) d + N(, ) d formunda azılan bir ifadnin tam difransil olabilmsi için dnklmin sol tarafı u (, ) şklind bir fonksionun tam difransili, sağ tarafın da türvlndiğind sıfır olabilmsi için bir sabit olması grkir. Dolaısıla aranan gnl çözüm u (, ) C şklind olmalıdır. Çözümün tam difransilini alalım: u(, ) u(, ) d [ u(, ) ] d[ C] d + d. Vriln difransil dnklml bu dnklm arasında bklnn bir bnzrlik olduğu açıktır. O hald M (, ) d + N(, ) d difransil dnklminin tam difransil tipin ugun olabilmsi için; u u M (, ) v N(, ) olması grktiğini sölbiliriz. Buna ilav olarak, d d M (, ) d + N(, ) d şklind vriln bir difransil dnklmin tam difransil dnklm olabilmsi için; M (, ) N(, ) olması grkir. - - Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

23 Örnk 9 ( + ) d + ( + 9 ) d difransil dnklmini çözünüz. Çözüm M (, ) + M + 9 N(, ) + 9 difransil dnklm tipinddir. N olduğundan vriln dnklm tam u M (, ) u (, ) d M (, ) d ( + ) d + + h( ) ld dilir. Dikkat dilirs intgral sabitini nin fonksionu olarak azdık. Bunun ndni aradığımız u (, ) C şklindki gnl çözümün iki dğişknli bir fonksion olması v bu aşamada sadc gör intgral alıor olmamızdır. Zira bu durumda dışındaki tüm paramtrlr u sabit gibi işlm alınır. Madmki N(, ) olması grkior, bunu sağlamak üzr; d + 9 ( + + h( ) ) h ( ) azılırsa, h ( ) va h ( ) C ld driz. u (, ) + + h( ) + + C C va sonuç olarak kullandık. u (, ) + K ld dilir. Burada K C C olarak Örnk + d d, () başlangıç dğr problmini çözünüz. Çözüm + M (, ) M N(, ) N olduğundan vriln dnklm tam difransildir. u M (, ) u (, ) d M (, ) d + d + + h( ) u N (, ) h( ) + h ( ) d + + dn h ( ) va h ( ) C buluruz. Dnklmd rin konursa, u (, ) + K. Sabiti bulmak üzr vriln başlangıç şartını kullanırsak, + K, K - - Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

24 u (, ) + Bazn vriln bir difransil dnklm bir intgral çarpanı ardımıla tam difransil hal gtirilbilir. Eğr M (, ) d + N(, ) d dnklmi bundan öncki öntmlrl çözülmior v anı zamanda da tam difransil dğils, M (, ) N(, ) g( ) olmak üzr intgral çarpanı g( ) d μ(, ) ifadsindn N(, ) bulunur. Bölc dnklmin hr iki tarafı bu çarpanla çarpılarak tam difransil hal gtirilbilir Bazı Özl Difransil Dnklmlr ( + b + c ) d + ( a + b + c ) d a difransil dnklmi Bu dnklm ğr c c dönüşüml homojnlştirilir. is homojndir. c, c is dnklm aşağıdaki + h d d + k d d Bölc dnklm ( a + b ) d + ( a + b ) d homojn dnklmin dönüşür. a b Ancak m is ukarıdaki dönüşüm çözüm götürmz. Bu durumda a b a m a v b mb dönüşümül dnklm [( a + b ) + c ] d + [ m( a + b ) + c ] d olur. Bu dnklm duruma glir. a + b v dönüşümü ugularsak dnklm dğişknlrin arılabilir Örnk d d ( ) ( ) Çözüm difransil dnklmini çözünüz. + h d d + k d d Eld diln dnklmi homojn hal gtirbilmk için + h k d h + 4k d ( ) ( ) h k h, k olmalıdır. Bölc dnklm h + 4k Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

25 ( ) d + ( + ) d 4 şklind homojn olur. Bu dnklmi çözmk üzr; v d dv + vd dönüşümü ugularsak dnklm, ( 4v + ) d + ( + 4v) dv halini alır. Dğişknlrin aırırsak, d + 4v + dv 4v + ld driz. v dv + 8 dv + ln c 4v + 4v + va ln + n 4v + + tan (v) c ld dilir. Başta atadığımız dğişknlrdn gri dönrsk, + h + v + k + ln tan c ld dilir.. Brnoulli difransil dnklmi Brnoulli difransil dnklmi n + P( ) R( ), n, n formunda vrilir çözüm n u için dönüşümü ugulandığında dnklm linr dnklm halin gtirilmiş n du ( n) d olur. Linrlştiriln dnklmin gnl şkli du + ( n) P( ) u ( n) R( ) halin glir. d Örnk + ln difransil dnklmini çözünüz. Çözüm ln Vriln dnklm + olarak azıldığında bir Brnoulli dnklmi olduğu açıktır. n u v u dönüşümlri dnklmd rin azılır v grkli düznlmlr apılırsa, Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

26 ln u u şklind u a gör linr bir dnklm ld driz. P( ) d d ln ln μ( ) olarak intgral çarpanı bulunup gnl çözüm ifadsind azılırsa, ln ln u u( ) ( ) d C C / va ln + + C ld dilir.. Clairaut difransil dnklmi d d d Bu dnklm + ϕ şklinddir. Bu dnklmin gnl çözümü için lr d d d rin kfi olarak sçiln bir c sabitinin konulmasıla bulunur. Yani gnl çözüm, c + ϕ(c) olur. Bu dnklmin tkil çözümü is c + ϕ(c) gnl çözümü il bu dnklmin hr iki tarafının c gör türvini alarak bulunan + ϕ ( c) dnklmlrindn c i limin tmk surtil bulunur. Örnk + difransil dnklmini çözünüz. Çözüm Vriln dnklm Clairaut dnklmidir. Gnl çözüm için d c alınarak c + c c d olarak ld dilir. Tkil çözüm için hr iki tarafın c gör türvini alalım: + + c c bulunan gnl çözümd rin konursa; ( + ) + ( + ) ( + ) va ( + ) bulunur Lagrang difransil dnklmi Bu dnklm ugulanır. d d ϕ + φ şklind vrilir v gnl çözüm için p dönüşümü d d Örnk + difransil dnklmi çözünüz Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

27 Çözüm p( ) dönüşümü apıldığında türtirsk, p p + ( p) + p p va p + p ld driz. Hr iki tarafı gör p p p bulunur. Düznlm apılarak d p + difransil dnklmi bulunur ki bu da gör birinci mrtbdn linr dp p c bir difransil dnklmdir. Bu dnklmin çözümündn p + buluruz. Daha 5 p önc d p + p olduğunu bulmuştuk, dolaısıla, p + p, p + 5 c p aranılan çözüm ait paramtrik dnklmlrdir. 5. Riccati difransil dnklmi Bu dnklm P( ) + Q( ) + R( ) olarak vrilir v P() sıfırdan farklı dğrlr alır. Bu dnklmin ğr gibi bir özl çözümü vrilmişs, bu durumda gnl çözümü d bulunabilir. Aşağıdaki dönüşümlr bu amaçla kullanılır: u + alınarak difransil dnklmd rin azalım. u u u P( ) + + Q( ) + + R( ) u u u () özl çözümü difransil dnklmi sağlamalıdır. Buna gör difransil dnklmd rin koarsak, P( ) + Q( ) + R( ) buluruz. () () dnklmi () dnklmind rin azılıp düznlm apılırsa, [ ] u + P( ) + Q( ) u+ P( ) linr dnklmin ulaşılır ki bu da intgral çarpanı il çözümü olan bir dnklmdir. Özl durum: Eğr vriln Riccati dnklminin v gibi iki özl çözümü bilinior da gnl çözümü istniorsa bu durumda gnl çözüm olarak aşağıdaki ifad ld dilir Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

28 Gnl çözüm: C ( ) P( ) d Örnk difransil dnklminin bir özl çözümü olduğuna gör bu dnklmin gnl çözümünü bulunuz. Çözüm u u + + olur. Dnklmd rin koalım: u u u u u u u u Düznlm aparsak, 5 u u bulunur. 5 Pd ( ) d 5ln ln 5 5 μ( ) u ( ) d+ C + C + C 5 / 4 4 ld dilir. Diğr andan, + u olduğundan u bulunur. Yukarıdaki ifadd rin azıldığında, u C sonucuna ulaşılır Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

29 .5. BİRİNCİ MERTEBEDEN DENKLEMLER İÇİN SİSTEMATİK YAKLAŞIM Şu ana kadar birinci mrtbdn difransil dnklmlrin çözümün önlik çşitli öntmlr öğrndik. Bu öntmlr ugulamada karşılaşılan çoğu problmi çözmk için trlidir, fakat bir difransil dnklmin bu öntmlrin biril çözülbilcğinin garantisi oktur. Bazn bir a da iki öntm trli olabilirkn, bazn hiç birinin iş aramadığı gibi bir durum ortaa çıkabilir. Hr iki durumda da problm sistmatik bir mantık çrçvsind aklaşım apmak fadalı olabilir. f (, ) difransil dnklminin ön görüln çözüm aralığında çözümünün var olduğunu v bu çözümün tk olduğunu düşünlim. Kndimiz şu soruları sorup cvap bulmaa çalışalım:. Dnklm doğrudan intgral olula çözülbilior mu? Ugulamada karşılaşılan pk çok difransil dnklm doğrudan intgr dilrk çözülbilck şkilddir. f () şklin gtirilbiln tüm dnklmlr bu olla çözülbilir.. Vriln dnklm linr midir? Tüm linr dnklmlrin, karşılaşılacak olan intgrallr alınabildiği sürc çözümü apılabilir.. Dnklm dğişknlrin arılabilir midir? Vriln difransil dnklmd li trimlr bir tarafta, li trimlr d diğr tarafta toplanabiliorsa, dnklm dğişknlrin arılıor dmktir. Dğişknlrin arılan dnklm doğrudan intgral olula çözülür. 4. Dnklm homojn midir? Dğils homojn hal gtirilbilir mi? Dğişknlrin arılamaan bir dnklm, ğr homojns, v / gibi bir paramtrnin tanımlanmasıla daima dğişknlrin arılabilir duruma gtirilbilir. 5. Dnklm tam difransil midir?dğils, tam difransil halin gtirilbilir mi? Dnklm tam difransillik tsti apılır. Eğr tam is çözümü apılır. Eğr tam dğil v diğr formlara da umuorsa dnklmi tam difransil duruma gtirck bir intgral çarpanı aranır. Şimdi bu sistmatik olu bir örnkl pkiştirlim: Örnk 4 + ln difransil dnklmini çözünüz. Çözüm İlk kontrol dcğimiz konu dnklmin mrtbsidir. Vriln dnklm birinci mrtbdndir, çünkü iki va daha fazla mrtbdn türv trimi bulunmamaktadır. Ardından doğrudan intgrason il çözülbilirliğin bakalım. Dnklmin sağ tarafı, bilinmn fonksion, çünkü iki va daha fazla mrtbdn türv trimi bulunmamaktadır. Ardından doğrudan intgrason il çözülbilirliğin bakalım. Dnklmin sağ tarafı, bilinmn fonksion bağlı olduğundan dğişknlrin aıramaız. Dnklm linr dğildir, sağ taraftan glck olan trimi linr dğildir. Dnklmi biraz basitlştirm çalışalım. ln ld driz. Dnklm dğişknlrin arılabilir duruma glmiştir Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

30 d d ( ) + C v hr iki tarafın doğal logaritması alınarak; ( ( + C) ln ).6. BİRİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN UYGULAMALARI Fizikt, biolojid v sosal bilimlrd karşılaşılan çok saıda problmd bir büüklüğün dğişim hızının büüklüğün kndisil orantılı olduğu gözlnmiştir. Diğr bir ifadl, ğr ilgilniln büüklüğün t anındaki dğris, bu durumda, d d va k dt dt azılabilir. Burada k orantı sabiti olup dnsl va gözlmsl sonuçlardan blirlnir. Dnklmin solundaki trim, büüklüğünün zamanla dğişim hızını tmsil dr. Bu dnklm birinci mrtbdn linr bir difransil dnklm olup dğişknlrin arılmak surtil kolaca çözülür: kt Burada, büüklüğünün t anındaki dğridir. Fiziksl olalarda gnllikl dğişim sürkli bir fonksion özlliğind olmasına rağmn bioloji v sosal bilimlrd ksikli dğişimlr söz konusudur. Bir havan türünün saısı va bir kolonidki baktri saısındaki dğişimlr buna örnktir. Ancak saı çok fazlasa dğişim zamanın sürkli bir fonksionu olarak düşünülbilir v bu ndnl apılacak hsaplama hatası gnllikl makul sınırlar içrisind kalır. Örnk 5 Nüfus artışı: Malthusian asası Blirli zaman priotlarında insan topluluklarının, havan türlrinin, böcklrin v baktri kolonilrindki baktrilrin kndilril orantılı biçimd arttığı gözlnmiştir. N(t), t anındaki saı olmak üzr v t anındaki saıı N alarak, nüfusun dğişim hızı (artış va azalma hızı); N( t) N olacaktır. Burada k doğum v ölüm hızları arasındaki farkı tanımlaan nt nüfus dğişim hızıdır. Örnğin k.5/ıl, d 5 lik bir nüfus artışı dmktir. Örnk 6 Radoaktif bozunma v Radoaktif Karbon Yaş Taini Plütonum, Radum v C 4 olarak bilinn Karbon izotopu gibi bazı radoaktif lmntlrin diğr bir lmnt va anı lmntin farklı bir izotopunu tşkil tmk üzr tabii olarak bozundukları bilinmktdir. Bozunmanın hızı gnllikl mvcut lmnt miktarıla orantılı olarak dğişir, dolaısıla radoaktif bozunma sürci d ukarıdaki dnklml tanımlanır: dm kt km, va M ( t) M dt Bu ifadd k > olup bozunma sabiti adını alır. Bir arkologun, bulduğu kmik kalıntısı üzrind, bir canlı havanda bulunan miktarın %8 i oranında C 4 izotopunun olduğunu saptamıştır. C 4 izotopunun bozunma sabiti.4 4 /ıl olduğuna gör kmiğin aşını hsaplaınız. kt Çözüm Yukarıda vriln dnklmdn t i çkrsk, M ( t) t ln buluruz. k M - - Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

31 dm ( t) il vriln bozunma hızı, miktarı sürkli düşn M(t) il orantılı olduğundan başlarda dt bozunma hızı çok üksktir v zaman gçtikç bu hız düşr. Mvcut bir radoaktif maddnin arısının bozunması için gçmsi grkli sür arı ömür sürsi dioruz. Bu durumda M ( t) M alınırsa, ukarıdaki dnklm, ln t th k olur. Radoaktif maddlrin arı ömürlri glişmiş laboratuarlarda ölçülür. Radoaktif bozunmanın önmli bir ugulama alanı, C 4 izotopunun bozunumu sasına daanan Rado Karbon Yaş Taini dir. Bu mtodun tmlind, aşaan hrhangi bir canlıdaki karbon atomlarının küçük bir oranının C 4 izotopu mdana gtirdiği gözlmi vardır. Bu oran canlının aşamı bounca aklaşık olarak sabit kalmakta, çünkü bozunan miktar, canlının çvrsindn bsin v solunum olula aldığı karbon atomlarıla rin konur. Ancak öln canlıa artık karbon girişi olmaacağı için sürkli bir bozunma söz konusu olacaktır. Diğr bir ifadl canlı öldüğünd, içrisind C 4 izotoplarının da bulunduğu karbon girişi ksilir, canlının sahip olduğu C 4 sürkli bir azalma sürcin girr. C 4 ün arı ömrü 5568 ıldır. Atmosfrdki C 4 miktarı, azotun atmosfrdki kozmik ışınlar ndnil C 4 izotopuna dönüşümü olula sürkli olarak nilnir v bölc C 4 ün atmosfrdki C miktarına oranı sabit kalır. Bu açıklamaların ışığı altında aranan sür, t ln(.8) 69 ıl olacaktır. 4.4 Örnk 7 Bir rado aktif lmnt olan Torum 4 (Th 4 ) izotopu, β ışınları aarak Pa 4 dönüşmktdir. Bu izotopun bozunma hızı, lmntin mvcut miktarı il doğru orantılıdır. Arıca mg. Th 4 izotopunda bir hafta içind gri 8.4 mg. kaldığı bilindiğin gör, a) hrhangi bir t anında gri n kadar Th 4 kaldığını, b) mvcut miktarın arıa inmsi için n kadar zaman gçmsi grktiğini bulunuz. Çözüm (a) Vrilnlr gör M mg (t anında), M(t7 gün) 8.4 mg. 8.4 k ln.8 /gün ld dilir. Dolaısıla hrhangi bir t anındaki bozunmamış 7 miktar;.8t ln ln M ( t) olacaktır. Diğr andan (b) t th 4. 5 gün. k.8 Örnk 8 Nwton un soğuma kanunu Başlangıçta T i C olan bakırdan küçük bir bil T C d kanamakta olan su banosuna bırakıldıktan sani sonra sıcaklığı n olur. Su banosu trinc gniş olup ha sıcaklığı dğişmmktdir. λ. /s. mc - - Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

32 Çözüm dt Daha önc Nwton un soğuma asasından λ ( T T) olduğunu görmüştük. dt Dğişknlrin aırarak çözdüğümüzd, bakır bilnin t anındaki sıcaklığı t Tt () T ( T T) λ olur. Vriln dğrlr rin konursa Tt ( s) 89. C olur. i Örnk 9 Karışım problmi İçrisind başlangıçta L tmiz su bulunan bir tanka, içrisindki tuz konsantrasonu. kg/l olan tuzlu su 5 L/dakika dbisind girmkt, v anı zamanda tanktan in 5 L/dakika dbisind tuzlu su çkilmktdir. Tank içrisindki bir karıştırıcı, tanktaki karışımın homojnliğini sağlamaktadır. Bklndiği gibi, tanktaki su svisi sabit kalmasına karşın içrisindki tuzlu sudaki tuz konsantrasonu sürkli olarak ükslcktir. Tankta blirli bir t anında bulunan tuz miktarını vrn ilişkii gliştiriniz. Tankta bulunabilck maksimum tuz miktarı ndir. Çözüm M(t) tankta t anında bulunan tuz miktarını göstrsin. Tanktaki tuz miktarına kütlnin korunumu prnsibini ugulaalım: Tanktaki tuz miktarının dğişim hızı Tanka birim zamanda girn tuz miktarı Tanktan birim zamanda çıkan tuz miktarı dm dt M dm M dt ( 5 L / dak)(. kg / L) ( 5 L / dak) kg / L ld dilir. Dnklm birinci mrtbdn linr bir difransil dnklm olup M ( t ) koşulula bir başlangıç dğr problmidir..5dt.5 t P ( t).5, R( t) 5 alınmak surtil μ( t). Dnklm.7 dn [ μ( )R( )d ] + C μ( ).5 t.5 t.5t.5 t.5 t t M ( t) 5 dt 5( ).5 t.5 t ( ) ( ) M ( t) ld dilir. Dikkat dilirs t durumunda parantz içi olacağından M ( t ) kg olur. t Örnk Bir tank, t anında içind Q kg tuz içrn L tuzlu su çözltisi il doludur. Litrsind / kg tuz bulunan başka bir tuz çözltisi 5 L/dak lık bir hızla tanka akmaktadır. Karıştırma il tank içind sürkli olarak homojn bir tuz karışımı ld dilmkt v karışım anı hızda (5 L/dak) tanktan dışarı çıkmaktadır. t anında tankta mvcut tuz miktarını vrn Q(t) ifadsini bulunuz. Çözüm Kütlnin korunumu ilksindn; - - Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr