Mühendisler İçin DİFERANSİYEL DENKLEMLER

Transkript

1 Mühndislr İçin DİFERANSİYEL DENKLEMLER Doç. Dr. Tahsin Engin Prof. Dr. Yunus A. Çngl Sakara Ünivrsitsi Makina Mühndisliği Bölümü Elül 8 SAKARYA - - Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

2 İÇİNDEKİLER BÖLÜM BİRİNCİ MERTEBEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER.. GİRİŞ.. BAZI TEMEL TANIMLAMALAR.. DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİ.4. DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN DOĞRUDAN İNTEGRAL YOLUYLA ÇÖZÜMLERİ.5. PROBLEMLER BÖLÜM BİRİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLER.. GİRİŞ.. BİRİNCİ MERTEBE DİFERANSİYEL DENKLEMLERE GENEL BAKIŞ.. BİRİNCİ MERTEBE LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLER.4 LİNEER OLMAYAN BİRİNCİ MERTEBEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER.4.. Dğişknlrin Arılabilir Tipt Birinci Mrtbdn Dnklmlr.4.. Homojn Tipt Birinci Mrtbdn Dnklmlr.4.. Tam Difransil Dnklmlr.4.4. Bazı Özl Tip Difransil Dnklmlr.5. BİRİNCİ MERTEBEDEN DENKLEMLER İÇİN SİSTEMATİK YAKLAŞIM.6. MÜHENDİSLİK UYGULAMALARI.7. PROBLEMLER BÖLÜM İKİNCİ v YÜKSEK MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLER. GİRİŞ.. LİNEER BAĞIMSIZLIK VE WRONSKIAN FONKSİYONLARI.. HOMOJEN DENKLEMLER TEORİSİ.4. SABİT KATAYILI HOMOJEN DENKLEMLER.5. HOMOJEN OLMAYAN DENKLEMLER TEORİSİ.6. HOMOJEN OLMAYAN DENKLEMLER; BELİRSİZ KATSAYILAR YÖNTEMİ.7. HOMOJEN OLMAYAN DENKLEMLER: SABİTİN DEĞİŞİMİ METODU.8 EULER DENKLEMLERİ.9. MÜHENDİSLİK UYGULAMALARI.. PROBLEMLER BÖLÜM 4 LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ 5.. GİRİŞ 5.. LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMLERİNİN ELİMİNASYON YÖNTEMİ İLE ÇÖZÜMÜ 5.. ÖZDEĞER YÖNTEMİ İLE ÇÖZÜM 5.4. MATRİS YÖNTEMİ İLE ÇÖZÜM 5.5. MÜHENDİSLİK UYGULAMALARI - - Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

3 BÖLÜM 5 LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ 6.. LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ 6.. LAPLACE DÖNÜŞÜMÜNÜN TEMEL ÖZELLİKLERİ 6.. TÜREVİN VE DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN LAPLACE DÖNÜŞÜMLERİ 6.4. TERS LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ 6.5. DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ İLE ÇÖZÜMÜ 6.6. KONVOLÜSYON TEOREMİ 6.7. PROBLEMLER BÖLÜM 6 DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜMÜ 7.. GİRİŞ 7.. SAYISAL İNTEGRAL ALMA 7.. EULER YÖNTEMİ 7.4. TAYLOR SERİSİ YÖNTEMİ 7.5. RUNGE KUTTA YÖNTEMİ - - Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

4 . BÖLÜM BİRİNCİ MERTEBEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER.. GİRİŞ Difransil dnklmlr uzun ıllardır, dünada çoğu fiziksl bilimlr v mühndislik dallarında önmli bir r tutmaktadır. Bilim adamları v mühndislr gnllikl dğişim uğraan sistmlri inclrlr v difransil dnklmlr mühndislr bir sistmdki anahtar dğişknlrin dğişimini inclm v fiziksl olaı daha ii anlama olanağı gtirir. Bilim v matmatik öğrncilrin önlik matmatik öğrtimi uzun sürdir bilim v mühndislik fakültlri arasında bir anlaşmazlık konusu olmuştur. Bilim v mühndislik fakültlri öğrncilrin torik matmatikl aralarının çok da ii olmadığı konusunda hmfikirlrdir. Zira bu tarz öğrtim öğrncilrin problm çözm bcrilrini gliştirbilmlrin ardımcı olamamaktadır. Bu ugulama çoğu ünivrsitd bu drstn başarısızlık oranını % 5 lr kadar çıkarmıştır. Bu is doğa bilimlri v mühndislik bölümlri için önmli bir kaıptır. Bu tartışma v anlaşmazlık gnllikl matmatik öğrnimi görn öğrncilrl doğa bilimlri v mühndislik öğrnimi görn öğrncilr farklı içrikli drslrin oluşmasıla sonuçlanmıştır. Bölc doğa bilimlri v mühndislik fakültlri öğrncilrin kndi disiplinlri içrisind karşılaştıkları problmlri çözbilmlri için matmatik drslrini kndilri vrm olunu bnimsmişlrdir. Difransil dnklmlri cbirsl dnklmlrdn aıran n önmli özllik fonksion türvlri içrmlridir. Difransil dnklmlrin inclnmsi ii bir matmatik altapısı grktirir v dolaısıla öğrncilrin bu drs başlamadan önc bağımlı v bağımsız dğişkn, sürkli v sürksiz fonksion, adi v kısmi türvlr, farklar v artırımlar il intgral gibi tml konuları gözdn gçirmlri ksinlikl önrilir... BAZI TEMEL TANIMLAMALAR Bir a da daha fazla fonksionun türvlrini içrn dnklmlr difransil dnklm dioruz. Diğr bir ifadl difransil dnklm bir takım fonksionlar il bunların türvlri arasındaki ilişkii tmsil dr. Bu kavram ilk olarak 676 ılında Libniz tarafından kullanıldı v difransil dnklmlr uzun zamandır çok çşitli pratik problmin modllnmsi v çözülmsi için bilim adamları v mühndislr tarafından kullanılmaktadır. Çoğu bilimsl problmlrin tarif dilmsi bazı anahtar dğişknlrin diğr dğişknlr gör olan dğişimlrini içrir. Gnllikl bu dğişknlrdki çok küçük dğişimlrin dikkat alınması daha gnl v hassas bir tanımlama sağlar. Dğişknlrin sonsuz küçük va difransil dğişimlrinin dikkat alınması durumunda, dğişim hızlarını türvlrl ifad tmk surtil, fiziksl prnsip v kanunlar için ksin matmatiksl formülasonlar sağlaan difransil dnklmlr ld dilir. Bu üzdn difransil dnklmlr uzun zamandır doğa bilimlri v mühndislikt karşılaşılan çok farklı problmlr başarıla ugulanmaktadır. Araştırmalar, difransil dnklmlrin ni ugulamalarını kşftm sadc fiziksl bilimlrd dğil anı zamanda bioloji, tıp, istatistik, sosoloji, psikoloji v konomi gibi alanlarda da dvam tmktdirlr. Hm torik hm d ugulamalı difransil dnklm araştırmaları günümüzd çok aktif araştırma konuları arasında bulunmaktadır. Fiziksl kanun v prnsiplrin, göz önün alınan dğişknlrdki sonsuz küçük dğişimlri dikkat almak surtil, bir problm ugulanmasıla difransil dnklmlr ld Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

5 dilmktdir. Dolaısıla difransil dnklmin ld dilmsi problm hakkında trli bilgi sahibi olmaı, problm dahil olan dğişknlri blirlbilmi, ugun basitlştirmlr v varsaımlar apabilmi, kullanılacak fiziksl prnsip v kanunları bilmi v d dikkatli bir analiz apabilmi grktirir. Aşağıda bazı örnklr vrilmiştir. Örnk Nwton un harkt asası Nwton un ikinci kanununu kullanarak düz bir çizgi bounca F kuvvtinin tkisi altında harkt dn m kütlli bir cismin konumunu s tanımlaan difransil dnklmi ld diniz. Çözüm Dinamik drslrimizdn hız v ivm tanımlarının ds V dt dv d ds d s a dt dt dt dt olarak vrildiğini bilioruz. Nwton un ikinci kanunu Kuvvt Kütl İvm şklind ifad dildiğindn d s F ( t ) ma( t ) m dt azılabilir. Düznlm apılırsa d s F( t ) difransil dnklmi ld dilir. dt m Örnk Nwton un soğuma kanunu Başlangıçta blirli sıcaklığa sahip kürsl mtal bir cisim sıcaklığı T olan sıcak su içrisin bırakılıor. Cismin başlangıç sıcaklığı su sıcaklığından düşük is, cism ısı transfri başlaacağı bilinmktdir. Buna gör cismin hrhangi bir t anında sıcaklığını T(t) vrn difransil dnklmi blirliniz. Çözüm Suun bulunduğu kabı mükmml şkild alıtılmış düşünlim (çvr ısı kabı ok) v buna gör nrjinin korunumu prnsibini ugulaalım. Cisim sıcak sua bırakıldıktan Δt sür sonra cismin nrjisindki artış, cismin üzindn cism taşınımla (konvksion) gçn ısı nrjisi kadar olacaktır. Buna gör mcδ T ha T( t ) T ld driz. Hr iki tarafı Δt bölrsk ( ) t Δ ΔT ha ( T( t ) T ) Δt mc Zaman dilimini sonsuz küçük aldığımızda (limit durumunda, ani Δt ) dt( t ) ha ( T( t ) T ) dt mc difransil dnklmi ld dilir. Bu dnklm kürsl cismin sıcaklığını zamanın fonksionu olarak ifad tmktdir. Difransil dnklmlr fiziksl olaı, bağımsız dğişkn(lr)in blirli bir aralıktaki dğrlri için tanımlaabilir. Örnğin bu dnklm kürsl cismin mrkzindn üzin kadar olan sıcaklık dğişimini tanımlar, bu sınırların dışında gçrsizdir. Arıca dnklm, cismin sıcak sua daldırıldığı andan itibarn (t) sıcaklığını vrir v dolaısıla ld dilck çözüm t aralığında gçrli olacaktır Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

6 Bir a da daha fazla bağımlı dğişknin tk bir dğişkn gör adi türvlrini içrn difransil dnklmlr Adi Difransil Dnklm (ADD) dnir. Bunun anında içrisind bir a da daha fazla bağımlı dğişknin, bir a da daha çok bağımsız dğişkn gör türvlri bulunan dnklm is Kısmi Difransil Dnklm (KDD) dicğiz. Bu drst ADD konusu üzrind durulacak olup KDD konusu daha çok lisansüstü düzlrd l alınmaktadır. Adi bir difransil dnklm örnk olarak vrilbilir Cot Bir difransil dnklmd n üksk mrtbli türvin mrtbsi difransil dnklmin mrtbsini vrir. Örnğin üsttki dnklm. mrtbdndir dnir. Bunun anında, mrtbl sıkça karıştırılan bir kavram olan drc d dğinmk grkir. Bir difransil dnklmd bulunan n üksk mrtbli türvin üssün, bu difransil dnklmin drcsi dncktir. Bir difransil dnklmdki bağımlı dğişkn v tüm türvlri birinci drcdn is, difransil dnklm linr difransil dnklm dnir. Dolaısıla içrisind,( ),,, sin, gibi trimlr bulunan dnklmlr linr dğildir. Bunun anında dnklm sin,, sin,, ln türündn ifadlr içrbilir. Daha gnl bir ifadl ğr bir difransil dnklm ( n ) + f ( ) ( n ) + f ( ) ( n ) f ( ) R( ) n formunda ifad dilbiliorsa dnklm linrdir dicğiz, aksi hald linr olmaan bir difransil dnklm söz konusudur. Bu dnklmd ğr R ( ) is linr difransil dnklm homojndir. Aksi durumda dnklm homojn olmaan difransil dnklm adını alır. Örnk Difransil dnklmlrin sınıflandırılması Aşağıdaki difransil dnklmlri sınıflandırınız. Çözüm () + (. mrtb linr homojn) () + + sin (. mrtb linr homojn dğil) () + (. mrtb linr dğil) (4) + sin + cos (. mrtb linr dğil homojn dğil) Difransil dnklmlr bağımlı dğişkn v türvlrinin katsaılarının durumuna gör d sınıflandırılmaktadır. Eğr bu katsaılar birr sabits dnklm sabit katsaılı difransil dnklm, ğr bağımsız dğişkn bağlı fonksionlar is dğişkn katsaılı difransil dnklm adını alır. Örnğin + sin dnklmi sabit katsaılı, cosh z + z is dğişkn katsaılı bir difransil dnklmdir... DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİ Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

7 Bir problm için difransil dnklmin ld dilmsi gnllikl koladır. Diğr andan bu dnklmin çözümünün bulunması is gnllikl zordur. Bir difransil dnklmin çözümü bazn bir a da birkaç dfa intgral alma işlmindn ibart olabils d bu tür durumlar gnllikl istisnadır. Tüm difransil dnklm tiplrin ugulanabiln gnl bir çözüm öntmi n azık ki mvcut dğildir. Çşitli sınıflara arılan difransil dnklmlr için bunlara özgü çözüm mtotları gliştirilmiştir. Bazn bir difransil dnklmi çözmk birdn fazla tkniğin brabr kullanılmasının anı sıra bu tkniklrdki trli bir uzmanlık düzi v hünr grktirir. Bazı difransil dnklmlr sadc ustaca apılmış bir takım manipülasonlarla çözülbilirkn bazılarının analitik çözümlri imkansız olabilir. Dolaısıla bir difransil dnklmi çözmk bilimdn ziad bir sanat dalı gibidir. Cbirsl dnklmlrin çözümünd gnllikl 7 türündn bir dnklmi sağlaan arık dğrlrin (köklrin) bulunması hdflnir. Öt andan bir difransil dnklmi çözrkn, blirli bir aralıkta dnklmi sağlaan fonksionlar aranır. Yukarıdaki cbirsl dnklmi sağlaan dğrlr v 5 tir. Osa 7 difransil dnklmini hrhangi bir dğri için 7 sağlamaktadır. Difransil dnklmi sağlaan hrhangi bir fonksion, difransil dnklmin bir çözümüdür. Bnzr şkild difransil dnklmi sağlaan v içrisind bir a da daha fazla kfi sabit bulunduran v bu ndnl bir ğri ailsini oluşturan çözüm gnl çözüm dnir. Eğr difransil dnklmin hr çözümü gnl çözümdki kfi sabitlr dğrlr atanarak ld dilbiliorsa bu gnl çözüm anı zamanda tam çözüm adını alır. Gnl çözümdn ld diln hr bir çözüm is özl va özgül çözüm adını alır. Eğr difransil dnklmin hrhangi bir çözümü, gnl çözümdki sabitlr dğrlr atanarak ld dilmiorsa bu çözüm tkil çözüm adını alır. Tıpkı cbirsl dnklmlrin çözümünd olduğu gibi, difransil dnklmlrd d, hangi isim altında olursa olsun, bir çözüm difransil dnklmi mutlaka sağlar. Eğr sağlamıorsa, ld diln çözüm hatalıdır dmktir. Örnk 4 Bir difransil dnklmin çözümü ifadsinin (,+ ) aralığında difransil dnklminin bir çözümü olduğunu göstriniz. Çözüm Vriln çözüm difransil dnklmi sağlamalıdır. sağlanır. alınarak difransil dnklmd azılırsa olur v dnklm Örnk 5 Bir difransil dnklmin çözümü ifadsinin + difransil dnklminin bir çözümü olduğunu göstriniz. Vriln çözümün hr dğri için gçrli olup olmadığını irdliniz. Çözüm Vriln çözüm difransil dnklmd azılırsa + ld dilir, dolaısıla vriln çözüm dnklmi sağlamaktadır. Çözümün tanım aralığı için olması grktiği açıktır. Buradan ( )( + ) v azılarak ld dilir Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

8 Örnk 6 Bir difransil dnklmin gnl çözümü C + ifadsinin difransil dnklminin, C sabitinin hrhangi bir dğri için, çözümü olduğunu göstriniz. Çözüm C +, C( + ) + C + C + v C + C( + ) 4C + 4C bulunup dnklmd rin azarsak, ( 4C + 4C ) 4( C + C + ) + 4( C + ) 8 ld dilir. Dolaısıla vriln çözüm gnl çözümdür. Şimdi tkrar bir su banosuna daldırılan kürsl cisim örnğimiz dönlim (örnk ). Eld diln difransil dnklmin çözümündn cismin sıcaklığının zamanla dğişimi, Tt () T ( T C ) mc ha t olarak ld dilir. Bu ifadd C bir kfi sabittir. Kolalıkla göstrilbilir ki bu çözüm C nin aldığı dğrdn bağımsız olarak difransil dnklmi sağlar. Dolaısıla C nin alabilcği sonsuz saıda dğr karşılık sonsuz saıda özl çözüm ld tm imkanı vardır. Gnl çözüm içrisind cismin başlangıç sıcaklığı (t anında) olan T i bulunmadığından bu sonuç sürpriz dğildir. Dolaısıla başlangıç sıcaklığı blirtildiğind, vriln difransil dnklm olan çözüm d özl bir çözüm kimliği kazanır. Bizim ilgilndiğimiz çözüm d, T ksnini T i sıcaklığında ksn özl çözüm olacaktır. Buradan şu önmli sonuç çıkmaktadır: Blirli bir problmin tk bir çözümü olsa da, bu problmi tmsil dn difransil dnklmlrin sonsuz saıda çözüm sahip olmaları mümkündür. Bunun ndni, difransil dnklmin, bağımlı dğişknlrl bağımsız dğişknlrdki dğişimlr arasındaki bir ilişki olmasından başka bir ş olmamasıdır. Difransil dnklm, bir fonksion va türvlrinin blirli bağımsız dğişkn dğrlrin karşılık gln bağımsız dğişkn dğrlri konusunda bilgi içrmz. Sonuç olarak anı fiziksl olala ilgili pk çok farklı problm anı difransil dnklml ifad dilir. Farklılık is ld diln gnl çözümdn bizim ilgilndiğimiz problmin özl çözümün gçbilmmizi sağlaan özl şartların tanımlanmasıdır. Eğr bu şartlar bağımsız dğişknin anı dğri için vrilmişs bu şartlara başlangıç şartları, bağımsız dğişknin birdn fazla dğri için blirlnmişs bu şartlara sınır şartları dicğiz. 4 + başlangıç dğr problmi () 5, () 4 + () 5, (8) sınır dğr problmi Örnk 7 Srbst düşm harkti Hava sürtünmlri ihmal dildiğind, bir cismin srbst düşm harkti rçkimi kanunu il grçklşir. zh ükskliğindn ilk hızsız olarak aşağıa doğru bırakılan bir cisim düşünlim. Bu harkt il ilgili matmatiksl ilişkilri azınız, problmin türünü (başlangıç va sınır dğr) blirtiniz. Çözüm Nwton un ikinci kanununa gör (ukarı ön pozitif sçilirs), cismin harkti Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

9 d z g dt difransil dnklmil blirlidir. Cisim ilk hızsız olarak bırakıldığından dz V ( t ) azılabilir. Bir diğr şart is cismin başlangıçta h ükskliğind dt t bulunması şartıdır. Diğr bir ifadl, z ( t ) h Hr iki şart da bağımsız dğişknin (t) anı dğrind vrildiği için bu problm bir başlangıç dğr problmi olmaktadır. Bir difransil dnklmi çözmd, dnklmi sağlaan () fonksionunun bulunması arzu dilir. Ancak çoğu zaman bu mümkün olmaz v aklaşık çözüm tkniklri çözüm için tk altrnatif kalır. Saısal öntmlr bu ndnl ortaa çıkmış aklaşık çözüm ollarıdır. Kapalı çözümlrin ld dildiği analitik öntmlrl bağımsız dğişknin sonsuz dğrin karşılık sonsuz saıda bağımlı dğişkn dğri hsaplamak mümkündür. Yani analitik çözü fonksionu, vriln çözüm aralığında, sürkli bir fonksiondur. Diğr taraftan saısal öntmlr, ancak bağımsız dğişknin daha öncdn tanımlanmış dğrlrin karşılık gln bağımlı dğişkn dğrlrini aklaşık olarak vrmktdir..4. DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN DOĞRUDAN İNTEGRAL YOLUYLA ÇÖZÜMLERİ Bazı difransil dnklmlr linrdir v türvlri içrn tk bir trim sahip olup, bilinmn (aranan) fonksionun bir çarpan olduğu trimlri içrmzlr. Eğr intgral işlmi apılabiliorsa, difransil dnklm d doğrudan intgrallm tkniğil çözülbilir dmktir. Bunun anında diğr bazı difransil dnklm türlri linr olmaan trimlr sahiptir v bu olla çözülmlri mümkün dğildir. 6 doğrudan intgral olula çözülbilir. 6 + doğrudan intgral olula çözülmz, çünkü bilinmn fonksionun bir çarpan durumundan olduğu trimi doğrudan intgrallnmz. Bir difransil dnklm doğrudan intgral olula çözülürkn trim trim intgr dilir v bir intgral sabiti klnir. Hr intgrason adımında türvlrin mrtblri bir düşürülür v buna karşılık bir başka intgral sabiti klnir. Dolaısıla bir difransil dnklmin gnl çözümünd, difransil dnklmd bulunan n üksk mrtbli türvin mrtbsi kadar kfi sabit ld dilir. Örnk 8 Doğrudan intgrason il çözüm Aşağıdaki difransil dnklmlrin doğrudan intgral olula çözülüp çözülmcklrini blirtiniz v çözülbilir olanları çözünüz. () 5 + () 6 () Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

10 Çözüm () Bu dnklm, ikinci triminin bilinmn fonksionu (ani bağımlı dğişkni) içrmsindn dolaı çözülmz. () Bu dnklm linrdir v türvli tk trimi bulunmakta v diğr trimlrd bilinmn fonksion bir çarpan va faktör durumunda dğildir. Bu ndnl dnklm çözülbilir. Dnklm. mrtbdn olduğundan art arda kz intgral alınıp hr sfrind bir sabitin klnmsi grkir. d d d azılabilir. d d d Dnklmd rin konursa v hr iki taraf d il çarpılırsa d d d( ) 6 d d dnklmi bulunur. İntgral alırsak C ld driz. Bir kz d daha intgral almak surtil d d Cd va 4 C + C azılarak 4 + C + C aranan çözüm bulunmuş olur. () Bu dnklm linr dğildir v doğrudan intgral olula çözülmz gibi görünüor. Ancak dikkatli bir kontrol il triminin nin türvindn başka bir ş olmadığı açıkça görülmktdir. O hald dnklm şu şkild düznlnbilir. d ( d ) 4. Dnklmin hr iki tarafı d il çarpılarak d( ) 4d azılıp intgral alınırsa 4 C va ± 4 + C gnl çözümü ld dilir. Örnk 9 Srbst düşm harkti m ükskliktn bırakılan bir cismin sani sonraki rdn ükskliğini v hızını blirliniz. Çözüm Zmini z kabul dlim v cismin bırakıldığı ükskliği d z m alalım. Hava dirnci ihmal dildiğind cismin bu srbst düşm harktinin z g difransil dnklmil tanımlı olduğunu bilioruz. Art arda iki kz intgral alarak z V ( t ) gt + C v z ( t ) gt + Ct + C ld driz. Bu çözümlr srbst düşm harkti apan hr cisim için anıdır. Dikkat dilirs bir difransil dnklmin gnl çözümü, bilinmn fonksion il bağımsız dğişkn arasında bir ilişkidir v ksinlikl bir bağımlı dğişkn ait bir türv trimi içrmz. Gnl çözümün adt kfi sabiti bulunmaktadır v bunları bilmksizin cismin s sonraki konumu için bir hsaplama apılamaz. Bu sürpriz bir durum dğildir çünkü bu konum cismin atıldığı ükskliğ v cismin ilk hızına bağlı olarak dğişbilir. Osa gnl çözüm bunlar konusunda hiçbir bilgi vrmz. Daha önc d blirtildiği gibi bir difransil dnklm bağımlı v bağımsız dğişknlrdki dğişimlr arasındaki ilişkii tanımlar v problm özgü vriln bağımsız dğişkn dğrin karşılık gln bağımlı dğişkn dğrlrindn tkilnmz. Örnğin m rin 5 m düşünülsdi, ld dcğimiz gnl çözüm in anı kalacaktı. Ancak doğal olarak cismin s sonraki konumu bu durumda farklı bir rd olacaktı. Gnl çözüm dnklmini bizim problmimiz ugun hal gtirbilmk için içrisindki sabitlrin problmd vriln koşullara gör blirlnmsi grkir. Bu koşullar - - Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

11 dz V( ) dt z ( ) t olarak vrilmiştir. Birinci koşulumuzu hız dnklmind azalım: V ( ) g + C, C. İkinci koşulu da konum dnklmind rin koalım: z ( ) g + C + C, C. Dolaısıla aranan özl çözüm ifadsi z z( t ) gt + olacaktır. Hız ifadsi is C olduğundan V( t ) gt olur. t sani sonraki dğrlr hsaplanırsa, z( s ) ( 9.8)( ) m v V( s ) ( 9.8)( ) 9. 4 m/s (aşağı önlü). - - Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

12 Bölüm il ilgili problmlr Fiziksl problmlri modllmd cbirsl dnklmlr ndn trsiz kalır, difransil dnklmlr ndn ihtiaç duulmuştur. Sabit hızla (V ) düşmkt olan bir paraşütün harktini tanımlaan difransil dnklmini Nwton un ikinci kanununu ( F ma ) kullanarak ld diniz. Kütlsi m olan bir taş rdn ukarıa doğru V düş hızıla atılmaktadır. Nwton un harkt kanununa gör cismin rdn ükskliğini v hızını zamanın fonksionu olarak ld dbilcğiniz difransil dnklmi azınız. Yalar gnllikl dformason miktarlarıla orantılı v önü sürkli olarak dng konumuna doğru olan bir kuvvt oluştururlar. Örnğin kadar grilmiş bir aın oluşturacağı kuvvt Fk il vrilir v burada k a katsaısı adını alır. Ya katsaısı k olan böl bir a ucuna, a dng konumundakn () m kütlli bir cisim bağlanmakta v kütl aın ucuna bağlı olarak rçkimi v a kuvvtinin bütünlşik tkisil salınım apmaa trk dilmktdir. Nwton un harkt kanununa gör kütlnin konumunu, başlangıç konumuna gör (), zamanın fonksionu olarak vrn difransil dnklmi azınız. Plütonum, Radum v C 4 gibi Karbon izotoplarının, başka bir lmnt va anı lmntin başka bir izotopunu oluşturmak üzr tabii olarak bozunduğu bilinmktdir. Bozunma hızı hnüz bozunmamış miktar il doğru orantılı olarak dğişmktdir. Bir radoaktif malzmnin hrhangi bir t anındaki miktarını M(t) alarak, bu kütlnin zamanla dğişimini vrn difransil dnklmi ld diniz. Not: Bir dğişknin (örnğin A) başka bir dğişknl(örnğin B) doğru orantılı olması matmatiksl olarak AkB olarak ifad dilir. Burada k orantı katsaısı adını alır... Bağımlı v bağımsız dğişkn ndir, bir fonksionda bunları birbirindn nasıl aırt drsiniz... Türvin gomtrik anlamını açıklaınız... Adi v kısmi difransil dnklmlr arasında n fark vardır noktasındaki tğti ksnin parall olan bir f() fonksionunun bu noktadaki birinci türvi konusunda n sölbilirsiniz..5. Bir difransil dnklmin mrtbsi il drcsini blirtiniz.. mrtbdn,. drcdn bir difransil dnklm örnği vriniz..6. Aşağıdaki fonksionların tanım aralıklarını blirliniz. (a) + (b) ( )ln (c) / (d) cos / () ( ).7. Aşağıdaki türvlri ld diniz ( v t bağımsız dğişkndir). 4 f (a) f 7 sin +, 4 f? ; (b) f 7 sin t + t,? f f df (c) f ln( t ),?, ; (d) f ( ) sin 4, 4? t d () ttan f5 f5 df f5,?,? ; (f) f sin 6, 6? t d (g) ln df f7 ( ), 7 cos t f? ; (h) f 8, 8? d lnt t.8. Aşağıdaki intgral işlmlrini apınız. + + d 5 5 (b) ln + d t (c) ( + sinωt + t )d (a) ( sin5) - - Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

13 t (d) ( ( ) + + cosωt) d (g) (h) t d + d (k) tan sc d (l) ln d + d (f) () ( ( ) t ln) (i) ln d (j) sin d d (m) ( )( )( + ) ( ) d ( ) (n) ln d.9. Aşağıdaki kavramları, hr birin örnklr vrrk, açıklaınız. (a) Adi difransil dnklm, (b) Kısmi difransil dnklm, (c) drc, mrtb (d) Homojn difransil dnklm, () Sabit katsaılı difransil dnklm (f) Başlangıç dğr problmi, (g) Sınır dğr problmi, (h) Sınır şartları (i) Linr difransil dnklm, (j) Linr olmaan difransil dnklm, (k) Gnl çözüm (l) Özl çözüm, (m) Tkil çözüm.. Aşağıdaki difransil dnklmlrin mrtblrini, linr olup olmadıklarını v sabit/dğişkn katsaılı olduklarını blirtiniz. (a) (b) + 8, +, +, sin +, +, (c) z + z sin sin z ln + cot, + 5 Vriln fonksionların anındaki difransil dnklmin bir çözümü olduğunu göstriniz. + 4, v ln 4 4, v,, v cosh +, sin v sin + cos ln 4 + 4,, v 5 (a), 5 v (b) (c) (d) () ( ) (f) 4.. N tür difransil dnklmlr doğrudan intgral olula çözüm lvrişlidir. 4.. Üçüncü mrtbdn linr v homojn bir difransil dnklm azınız. Bu dnklmin çözümündn kaç tan kfi sabit ld dilir. Bu kfi sabitlri blirli bir problm için bulmak istrsniz, kaç adt koşul blirtmlisiniz. 4.. Aşağıdaki difransil dnklmlrin doğrudan intgral olula çözülüp çözülmcklrini incliniz. Çözülbilck durumda olanları çözünüz. (a), +, + sin, + 4 (b) 4, 4 8, (c) 5,, cos, Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr 4.. R. m çapında kürsl şkl sahip radoaktif bir madd içrisind g 4 7 W/m ısı ürtmktdir. Ürtiln ısı kararlı bir rjiml kürsl üzdn ortama salınmakta, bölc üzdki sıcaklığın T 8 o C d sabit kalması sağlanmaktadır. Cismin ısı iltim katsaısı k5 W/m o C olarak vrilmktdir. Kürsl cismin sıcaklığı alnızca arıçapı doğrultusunda dğişmktdir (TT(r)). Kürsl cisim içrisindki sıcaklık dağılımı 4

14 d dt g r + r dr dr k difransil dnklmil tanımlanır. Bu dnklmin linr olup olmadığını, sabit katsaılı mı va dğişkn katsaılı olduğunu, mrtb v drcsini, homojn olup olmadığını blirliniz. Dnklm çözümündn glck kaç adt sabit mvcuttur, bunları bulabilmk için hangi koşulları önrirsiniz. Bu dnklmi çözrk kürsl cisim içrisindki sıcaklık dağılımı arıçapın fonksionu olarak (T(r)) ld diniz. Eld ttiğinin ifadi bir sıcaklıkarıçap (T r) ğrisind göstriniz Kalınlığı L.5 olan gniş bir duvar göz önün alalım. Duvarın sol üzü () mükmml şkild alıtılmış olup diğr üzü (L) üniform olarak o C sıcaklıktadır.. Duvar içrisind g ( ) g ifadsin gör ısı ürtilmktdir. Duvar içrsind d T g( ) sıcaklığın sadc doğrultusunda dğiştiğini (TT()) v bu dğişimin + d k difransil dnklmi uarınca olduğu bilindiğin gör, k5 W/mK, g 5 W/m alarak duvardaki sıcaklık dağılımını, ani TT() fonksionunu v alıtılmış üzdki sıcaklığı hsaplaınız. (Not: Yalıtılmış üzd dt/d alınır.) Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

15 . BÖLÜM BİRİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLER.. GİRİŞ Pk çok ugulamada bir büüklüğün dğişim hızı (birinci türv), bu büüklüğün kndisin v bağımsız dğişkn bağlıdır. Bu tür problmlr gnld f (, ) formunda ifad dilirlr. Bu basit görünüm, bu tür dnklmlrin çözümünün d basit olacağı şklind anlış bir anlamaa ndn olabilir. Bazı istisna durumlar dışında bu tür dnklmlri çözmd karşılaşılan zorluklarla daha üksk mrtbli dnklmlri çözmd karşılaşılan zorluklar anı düzd olabilir. Birinci mrtbdn difransil dnklmlri çözmd n azık ki gnl bir ok oktur. Bu ndnl birinci mrtb dnklmlr d kndi aralarında alt sınıflara arılmış v hr bir sınıf için farklı öntmlr gliştirilmiştir. Bu bölümd birinci mrtbdn dnklmlrin nasıl sınıflandırıldığı anlatılacak, ardından sistmatik bir aklaşımla hr zaman çözümü mümkün olan birinci mrtbdn linr dnklmlr v ugulamaları işlncktir. Ardından linr olmaan türlr için vriln bir çözüm aralığında çözümün var olup olmadığı tartışılacaktır. Bu sınıfa girn dğişknlrin arılabilir tip, homojn v tam difransil tiptki dnklm çözümlri üzrind durulacaktır... BİRİNCİ MERTEBE DİFERANSİYEL DENKLEMLERE GENEL BAKIŞ Tanımından anlaşılacağı üzr birinci mrtbdn difransil dnklmlrd sadc birinci türv r alır. bağımlı, d bağımsız dğişkni göstrmk üzr böl bir dnklm f (,, ) formunda vrilir. Bu bölümd sadc birinci türvin doğrudan bağımlı v bağımsız dğişkn cinsindn azılabildiği f (, ) türündn dnklmlr üzrind duracağız. Bölc çözüm f (, )d + C şklind ifad dilbilcktir. Ancak çoğu kz bu azım tarzı, vriln difransil dnklmin bir intgral dnklm dönüştürülmsindn daha öt bir sonuç gtirmz. Vriln f(, ) fonksionunun sadc bağlı olduğu basit durumlar ancak doğrudan intgral olula çözüm ugundur. Örnğin 6 5 difransil dnklmind f(, ) sadc bağımsız dğişkn bağlıdır v doğrudan intgral olula gnl çözüm 5 + C olarak kolaca ld dilir. Burada şu hususun altını çizmk grkir. Birinci mrtbdn bir difransil dnklmi çözrkn bağımsız dğişkn olarak a da sçilbilir. Bu tür bir dğişim bazn çözümü zor olan difransil dnklmi, çözümü daha kola bir hal gtirbilir. Örnğin d d ( + ) + sin + difransil dnklmi linr olmamasına rağmn, aşağıdaki dnklm linrdir v ksin olan bir çözüm olu vardır. d + sin + + dnklmi gör linrdir. d Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

16 .. BİRİNCİ MERTEBE LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLER Birinci mrtbdn linr bir difransil dnklm, + P( ) R( ) (.) formunda vrilir. Hatırlatmak grkir ki + P( ) R( ) dnklmi d gör linrdir v burada anlatılacak öntml çözülbilir. Vriln P v R fonksionları öngörüln çözüm aralığında bağlı sürkli fonksionlardır. Bu türdn bir dnklmin çözümü, ğr dnklmin sol anı tk bir trimin türvi şklind ifad dilbilirs, sıradan bir işlm dönüşcktir. Bunun için dnklmin sol tarafını bir trimin türvi halin gtirbilck bir çarpanın aranması grkir. Dnklmin hr iki anını μ() fonksionu il çarpalım. μ ( ) + μ( )P( ) μ( )R( ) (.) μ ( ) μ( ) + μ ( ) (.) [ ] ( nin açılımı olabilmsi için μ ( ) μ( )P( ) şartı sağlanmalıdır. Bulmaa çalıştığımız çarpanın sıfırdan farklı olduğu durumda, bu dnklmi intgr drsk olduğundan, (.) şitliğinin sol tarafının [ μ ) ] μ ( ) d P( ) va ln μ( ) P ( ) μ( ) d azılarak ln μ( ) P( )d + C ld driz. μ() çarpanı alnız bırakılıp v C sabiti dikkat alınmaarak μ( ) P( )d (.4) ld dilir. İntgral sabitinin bu aşamada dahil dilmsi gnl çözüm üzrind bir dğişikliği ol açmaacaktır. Arıca (.4) dnklminin sağ tarafı hr koşulda pozitif olacağından dnklm, μ( ) P( )d (.5) olarak da ifad dilbilir. (.5) dnklmil tanımlanan fonksiona intgral çarpanı dicğiz. (.) dnklminin sol tarafı artık tk bir trimin türvi şklind ifad dildiğindn [ μ ( )] μ( )R( ) (.6) azılarak μ( ) μ( )R( )d + C va bağımlı dğişkni alnız bırakarak difransil dnklmin gnl çözümü, [ μ( )R( )d ] + C μ( ) (.7) Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

17 olarak ld dilmiş olur. Birinci mrtbdn linr bir difransil dnklmin (.7) dnklmin gör gnl çözümünün bulunabilmsi için, vriln difransil dnklmin ksinlikl (.) dnklmind vriln şkl gtirilmsi grkir. Örnk 9, () linr başlangıç dğr problmini çözünüz. Çözüm türvinin katsaısı v P(), R() 9 olduğu görülmktdir. İntgral çarpanı, μ( ) P( ) d d ld dilrk (.7) dnklmind rin konursa, [ ( 9) d + C] [ 9 d C] + 9 d intgralini almak için kısmi intgrason öntmi kullanmak üzr, u, d du d dv dğişkn dönüşümü ugulanır. Bu kurala gör u dv uv vdu v olduğundan 9 d 9 d 9 ( + Dnklmd rin konursa, C sabiti blirlnir: C ld dilir. Vriln başlangıç şartı kullanılarak ) ( ) olduğundan, + + C C 6 6. Bölc aradığımız özl çözüm, Şu ana kadar apılan işlmlrd vriln bir çözüm aralığında P() v R() ifadlrinin sürkli fonksionlar olması grktiği vurgulanmıştı. Eğr bu fonksionlardan birinin va ikisinin sürksizlik noktaları varsa, çözüm bölgsi sürkliliğin olduğu alt bölglr arılmalıdır. Bunu bir örnkl görcğiz. Örnk + 5, () başlangıç dğr problmini çözünüz. + Çözüm P ( ) fonksionu noktasında sürksizdir. O hald çözümü << va + << aralığında aramamız grkir. İntgral çarpanımız, μ( ) P( ) d d + ln + +, > için mutlak dğr içi pozitiftir. Dolaısıla << aralığında μ( ) + azılabilir. (.7) dnklmind rin konursa; Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

18 + [ ( + ) 5 d + C] 5 ( + 4) C + ( + ) C C Vriln koşulu rin azarak C sabitini bulalım: 5 ( + 4) C 7 + C, bölc aranan özl çözüm; ( + ) + 5 ( + 4) 7 olacaktır. ( + ) ( + ).4 LİNEER OLMAYAN BİRİNCİ MERTEBEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER Linr v birinci mrtbdn difransil dnklmlrl ifad diln başlangıç dğr problmlri nisptn çözümlri kola olan problmlrdir. Bunun ndni (.7) dnklmil vriln analitik bir gnl çözüm sahip olmalarıdır. Arıca bu tür difransil dnklmlrin, P() v R() in sürkli olduğu öngörüln çözüm bölgsind, tk bir gnl çözümlri vardır. Durum linr olmaan difransil dnklmlrd biraz daha zordur, çünkü önclikl vriln çözüm bölgsind bir çözümün olup olmadığı dahi ksin dğildir, bunun önclikl blirlnmsi grkir. Eğr bir çözüm varsa bu çözümün tk bir gnl çözüm olup olmadığı da ortaa çıkarılmalıdır. Çoğu pratik ugulamanın doğasından gln bir linr olmaışlık vardır, v bu tür ugulamalar linr olmaan difransil dnklmlri ortaa çıkarır. Bu tür dnklmlri çözbilmk için gnl bir mtot olmadığı gibi, gnl karaktristiklri konusunda da çok az bilgi vardır. Dolaısıla, bu kısımda ancak analitik çözümlri var olan blirli tiptki difransil dnklmlr üzrind durulacaktır. Torm: Linr olmaan birinci mrtbdn dnklmlr için çözüm varlığı v tkliği Eğr bir f(, ) fonksionu dikdörtgnsl bir D bölgsind sürklis v anı bölgdki bir (, ) noktasından gçiorsa, diğr bir ifadl ( ) is, bu durumda birinci mrtbdn f (, ) difransil dnklmi (, ) noktasını içrisind bulunduran D nin alt bölgsind n az bir çözüm sahiptir. Arıca f türvi d bu D bölgsind sürkli bir fonksion is ld dilck çözüm tktir. Hr n kadar tormin şartları oldukça kısıtlaıcı görüns d, blirli bir fiziksl problmi tmsil dn v bir çözümü bulunan difransil dnklmlr tarafından bu şartların sağlandığı kolaca göstrilbilir. Torm sadc çözümün olup olmadığı, varsa tk olup olmadığı konusunda bilgi vrir. Çözüm nasıl ulaşılacağı v bu çözümün hangi bölgd olduğula ilgili ipucu vrmz. Linr difransil dnklmlr, tüm özl çözümlr ulaşabilcğimiz bir gnl çözüm sahiptirlr. Buna karşın linr olmaan dnklmlr için anı durum gçrli dğildir. Arıca linr olmaan dnklmlrin çözümlri gnllikl kapalı fonksionlar halind ld dilirlr, diğr bir ifadl bağımlı dğişkni alnız bırakmak gnld mümkün olmaz Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

19 .4.. Dğişknlrin Arılabilir Tipt Birinci Mrtbdn Dnklmlr Birinci mrtbdn bir difransil dnklmin h(, ) şklind vrildiğini düşünlim. Eğr dnklmin sağ anı, f ( ) h (, ) şklind ifad dilbiliorsa, bu difransil dnklm dğişknlrin g( ) arılabilir tiptdir. Örnk Dğişknlrin arılabilir dnklm, () başlangıç dğr problmini çözünüz. Çözüm Vriln dnklm dilirs; d d d d şklind dğişknlrin arılıp trim trim intgr v sonuç olarak, ld dilir. Dikkat dilirs, vriln başlangıç şartı doğrudan intgral işlmi sırasında hsaba katılmış, bölc özl çözüm ld dilmiştir. Örnk d + ( + ) d difransil dnklmini çözünüz. Çözüm d 4 Vriln dnklm + d + şklind azılıp doğrudan intgr dilbilir. d d arctan( ) + C 5 5 aranan çözümdür. Örnk 5 Ortogonal (Dik) Yörünglr Birbirini 9 açıla ksn doğrulara birbirinin ortogonalıdır dnir. Bu ndnl doğrulardan birinin ğimi m is buna ortogonal olan diğrinin ğimi /m olacaktır (gomtridn birbirin dik iki doğrunun ğimlri çarpımının olduğunu hatırlaınız). Tanımı gnişltck olursak, örnğin bir düzlmindki F(, )C ğri ailsinin hr bir ğrisi, anı düzlmdki G(, )K ğri ailsinin hr bir ğrisini dik olarak ksiorsa, bu ğrilr birbirinin ortogonalıdır. Vriln bir ğri ailsin ortogonal (dik) olan ğri ailsini bulmak için şu adımlar izlnmlidir: d Vriln ifadnin (F(, )C) gör türvi alınıp oluşturulur. d Bu iki dnklmdn (F(, ) v bunun türvini vrn dnklm) C ok dilir. d d İkinci dnklmd rin alınarak ld dilck difransil dnklm d d çözülür Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

20 Bu adımları bir ugulama il görlim. Örnğin bulmak istlim. Vriln ifaddn c ğri ailsin dik olan ğri ailsini F (, ) c olduğu anlaşılmaktadır. Dolaısıla d c ld dilir. Hr iki dnklm d c şit olduğuna gör bu şitliklrin sol anları da d birbirlrin şit olmalıdır, diğr bir ifadl; d d bulunur. Bölc ilk iki adımı tamamlamış oluoruz. Şimdi d türvi il r d d d dğiştirlim v çözülck difransil dnklmi olarak blirlmiş olalım. Dnklm d düznlnirs d + d difransil dnklmi ld dilir ki bu da dğişknlrin arılmış vazitt olduğundan trim trim intgr dilbilir. d + d + k, va + R ld dilmiş olur. Burada k R aldık. c ğri ailsi ğimi c olan v mrkzdn gçn doğruları tmsil dr. Öt andan + K ğri ailsi is mrkzi orijin noktası olan v arıçapı R olan mrkzcil çmbr ailsidir. Grçktn d bu iki ğri ailsi birlri birbirlrini dik açı il ksrlr. Dik örünglr konusu, sadc gomtril ilgili dğil, diğr mühndislik alanlarında da önmli r tutar. Örnğin boutlu bir lktrik alanındaki kuvvt çizgilri, sabit potansil çizgilrinin ortogonal örünglridir. boutlu bir ısı transfri problmind ısı akış çizgilri, sabit sıcaklık çizgilrinin ortogonal örünglridir. Bir diğr önmli ugulama da akışkanlar mkaniğinddir. Boutlu bir akışkan akımı problmind akım çizgilri, sabit potansil çizgilrinin ortogonalıdır..4.. Homojn Tipt Birinci Mrtbdn Dnklmlr Dğişknlrin arılabilir forma gtirilbilck difransil dnklmlrdn biri d homojn tipt olanlardır. Birinci mrtbdn bir difransil dnklm ğr, f f (v) şklind azılabiliorsa bu dnklm homojndir dnir. Örnğin homojn tipt bir difransil dnklmdir. Çünkü dnklmin sağ anı sadc v nin fonksionu olarak ifad dilbilir. ifadsind v dönüşümü ugulanırsa, v ( v) v v v v Şunu not tmmiz grkir ki burada kullandığımız homojn trimi,. Bölüm dki anlamından farklıdır. Pk çok difransil dnklmin homojn olup olmadığı basit bir - - Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

21 kontroll ortaa çıkarılabilir. Karmaşık ifadlr için homojnlik tsti ugulanması tavsi dilir. f (, ) difransil dnklminin homojn olup olmadığını anlamak için dnklmdki tüm lr λ il, tüm lr d λ il r dğiştirildiğind ğr dnklmin sağ tarafındaki f(, ) fonksionu λ n f(,) halin glbiliorsa dnklm n inci drcdn homojndir dnir. Homojn bir difransil dnklmi çözrkn aşağıdaki dönüşümlri ugulaacağız: v v hr iki anın gör türvi olan v + v Örnk 6 Homojn difransil dnklm difransil dnklmini çözünüz. v v v + v dönüşümlrini + ugularsak, v v v + v + v va v ld dilir Şimdi dnklm dğişknlrin v + v + v + arılabilir. Düznlm apılırsa; v + dv v + d va v + d v dv + dv d dv olur. İntgrallr v + v + v + alınırsa, ln( v + ) + arctan( v) lnc ln v tkrar düznlm apılırsa; C C arctan( v ) ln ln v + ln bulunur. v va / v olduğu v + hatırlanırsa, arctan ln C + C + Örnk 7 ( ) d + d difransil dnklmini çözünüz. Çözüm Dnklmin ikinci drcdn homojn olduğu açıktır. v v v + v dönüşümü ugulanırsa, ld dilir. (Not: ) bulunur. ( v v) + ( v + v) v grkli sadlştirm apılarak ( v v) + ( v + v) bulunur. dv dv d v C d v ln ln ln dn gnl çözüm, v C v olarak ld dilir. ln C ( ) - - Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

22 Örnk 8 / / ( + ) d + ( ) d difransil dnklmini çözünüz. Çözüm Vriln difransil dnklmd lr λ v lr λ il r dğiştirildiğind sonucun dğişmdiği görülür. O hald dnklm sıfırıncı drcdn homojndir. Ancak çözüm için v dönüşümü rin v dönüşümü kolalık sağlar. Buna gör; v d vd + dv ifadlri difransil dnklmd azılarak; v ( + )( vd + dv) + ( v) d aparsak, d + + dv + v v v v ld dilir. Dğişknlrin aırarak düznlm v v ln + ln v + lnc va ( v + ) C. Ancak v olduğundan ( + ) C va + C. C sabitinin ngatif olamaacağından harktl mutlak dğr kaldırılabilir. + C >.4.. Tam Difransil Dnklmlr M (, ) d + N(, ) d difransil dnklmini göz önün alalım. Burada M v N, düzlmindki R bölgsind birinci türvlri bulunan v bağlı sürkli fonksionlar olsun. M (, ) d + N(, ) d formunda azılan bir ifadnin tam difransil olabilmsi için dnklmin sol tarafı u (, ) şklind bir fonksionun tam difransili, sağ tarafın da türvlndiğind sıfır olabilmsi için bir sabit olması grkir. Dolaısıla aranan gnl çözüm u (, ) C şklind olmalıdır. Çözümün tam difransilini alalım: u(, ) u(, ) d [ u(, ) ] d[ C] d + d. Vriln difransil dnklml bu dnklm arasında bklnn bir bnzrlik olduğu açıktır. O hald M (, ) d + N(, ) d difransil dnklminin tam difransil tipin ugun olabilmsi için; u u M (, ) v N(, ) olması grktiğini sölbiliriz. Buna ilav olarak, d d M (, ) d + N(, ) d şklind vriln bir difransil dnklmin tam difransil dnklm olabilmsi için; M (, ) N(, ) olması grkir. - - Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

23 Örnk 9 ( + ) d + ( + 9 ) d difransil dnklmini çözünüz. Çözüm M (, ) + M + 9 N(, ) + 9 difransil dnklm tipinddir. N olduğundan vriln dnklm tam u M (, ) u (, ) d M (, ) d ( + ) d + + h( ) ld dilir. Dikkat dilirs intgral sabitini nin fonksionu olarak azdık. Bunun ndni aradığımız u (, ) C şklindki gnl çözümün iki dğişknli bir fonksion olması v bu aşamada sadc gör intgral alıor olmamızdır. Zira bu durumda dışındaki tüm paramtrlr u sabit gibi işlm alınır. Madmki N(, ) olması grkior, bunu sağlamak üzr; d + 9 ( + + h( ) ) h ( ) azılırsa, h ( ) va h ( ) C ld driz. u (, ) + + h( ) + + C C va sonuç olarak kullandık. u (, ) + K ld dilir. Burada K C C olarak Örnk + d d, () başlangıç dğr problmini çözünüz. Çözüm + M (, ) M N(, ) N olduğundan vriln dnklm tam difransildir. u M (, ) u (, ) d M (, ) d + d + + h( ) u N (, ) h( ) + h ( ) d + + dn h ( ) va h ( ) C buluruz. Dnklmd rin konursa, u (, ) + K. Sabiti bulmak üzr vriln başlangıç şartını kullanırsak, + K, K - - Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

24 u (, ) + Bazn vriln bir difransil dnklm bir intgral çarpanı ardımıla tam difransil hal gtirilbilir. Eğr M (, ) d + N(, ) d dnklmi bundan öncki öntmlrl çözülmior v anı zamanda da tam difransil dğils, M (, ) N(, ) g( ) olmak üzr intgral çarpanı g( ) d μ(, ) ifadsindn N(, ) bulunur. Bölc dnklmin hr iki tarafı bu çarpanla çarpılarak tam difransil hal gtirilbilir Bazı Özl Difransil Dnklmlr ( + b + c ) d + ( a + b + c ) d a difransil dnklmi Bu dnklm ğr c c dönüşüml homojnlştirilir. is homojndir. c, c is dnklm aşağıdaki + h d d + k d d Bölc dnklm ( a + b ) d + ( a + b ) d homojn dnklmin dönüşür. a b Ancak m is ukarıdaki dönüşüm çözüm götürmz. Bu durumda a b a m a v b mb dönüşümül dnklm [( a + b ) + c ] d + [ m( a + b ) + c ] d olur. Bu dnklm duruma glir. a + b v dönüşümü ugularsak dnklm dğişknlrin arılabilir Örnk d d ( ) ( ) Çözüm difransil dnklmini çözünüz. + h d d + k d d Eld diln dnklmi homojn hal gtirbilmk için + h k d h + 4k d ( ) ( ) h k h, k olmalıdır. Bölc dnklm h + 4k Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

25 ( ) d + ( + ) d 4 şklind homojn olur. Bu dnklmi çözmk üzr; v d dv + vd dönüşümü ugularsak dnklm, ( 4v + ) d + ( + 4v) dv halini alır. Dğişknlrin aırırsak, d + 4v + dv 4v + ld driz. v dv + 8 dv + ln c 4v + 4v + va ln + n 4v + + tan (v) c ld dilir. Başta atadığımız dğişknlrdn gri dönrsk, + h + v + k + ln tan c ld dilir.. Brnoulli difransil dnklmi Brnoulli difransil dnklmi n + P( ) R( ), n, n formunda vrilir çözüm n u için dönüşümü ugulandığında dnklm linr dnklm halin gtirilmiş n du ( n) d olur. Linrlştiriln dnklmin gnl şkli du + ( n) P( ) u ( n) R( ) halin glir. d Örnk + ln difransil dnklmini çözünüz. Çözüm ln Vriln dnklm + olarak azıldığında bir Brnoulli dnklmi olduğu açıktır. n u v u dönüşümlri dnklmd rin azılır v grkli düznlmlr apılırsa, Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

26 ln u u şklind u a gör linr bir dnklm ld driz. P( ) d d ln ln μ( ) olarak intgral çarpanı bulunup gnl çözüm ifadsind azılırsa, ln ln u u( ) ( ) d C C / va ln + + C ld dilir.. Clairaut difransil dnklmi d d d Bu dnklm + ϕ şklinddir. Bu dnklmin gnl çözümü için lr d d d rin kfi olarak sçiln bir c sabitinin konulmasıla bulunur. Yani gnl çözüm, c + ϕ(c) olur. Bu dnklmin tkil çözümü is c + ϕ(c) gnl çözümü il bu dnklmin hr iki tarafının c gör türvini alarak bulunan + ϕ ( c) dnklmlrindn c i limin tmk surtil bulunur. Örnk + difransil dnklmini çözünüz. Çözüm Vriln dnklm Clairaut dnklmidir. Gnl çözüm için d c alınarak c + c c d olarak ld dilir. Tkil çözüm için hr iki tarafın c gör türvini alalım: + + c c bulunan gnl çözümd rin konursa; ( + ) + ( + ) ( + ) va ( + ) bulunur Lagrang difransil dnklmi Bu dnklm ugulanır. d d ϕ + φ şklind vrilir v gnl çözüm için p dönüşümü d d Örnk + difransil dnklmi çözünüz Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

27 Çözüm p( ) dönüşümü apıldığında türtirsk, p p + ( p) + p p va p + p ld driz. Hr iki tarafı gör p p p bulunur. Düznlm apılarak d p + difransil dnklmi bulunur ki bu da gör birinci mrtbdn linr dp p c bir difransil dnklmdir. Bu dnklmin çözümündn p + buluruz. Daha 5 p önc d p + p olduğunu bulmuştuk, dolaısıla, p + p, p + 5 c p aranılan çözüm ait paramtrik dnklmlrdir. 5. Riccati difransil dnklmi Bu dnklm P( ) + Q( ) + R( ) olarak vrilir v P() sıfırdan farklı dğrlr alır. Bu dnklmin ğr gibi bir özl çözümü vrilmişs, bu durumda gnl çözümü d bulunabilir. Aşağıdaki dönüşümlr bu amaçla kullanılır: u + alınarak difransil dnklmd rin azalım. u u u P( ) + + Q( ) + + R( ) u u u () özl çözümü difransil dnklmi sağlamalıdır. Buna gör difransil dnklmd rin koarsak, P( ) + Q( ) + R( ) buluruz. () () dnklmi () dnklmind rin azılıp düznlm apılırsa, [ ] u + P( ) + Q( ) u+ P( ) linr dnklmin ulaşılır ki bu da intgral çarpanı il çözümü olan bir dnklmdir. Özl durum: Eğr vriln Riccati dnklminin v gibi iki özl çözümü bilinior da gnl çözümü istniorsa bu durumda gnl çözüm olarak aşağıdaki ifad ld dilir Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

28 Gnl çözüm: C ( ) P( ) d Örnk difransil dnklminin bir özl çözümü olduğuna gör bu dnklmin gnl çözümünü bulunuz. Çözüm u u + + olur. Dnklmd rin koalım: u u u u u u u u Düznlm aparsak, 5 u u bulunur. 5 Pd ( ) d 5ln ln 5 5 μ( ) u ( ) d+ C + C + C 5 / 4 4 ld dilir. Diğr andan, + u olduğundan u bulunur. Yukarıdaki ifadd rin azıldığında, u C sonucuna ulaşılır Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

29 .5. BİRİNCİ MERTEBEDEN DENKLEMLER İÇİN SİSTEMATİK YAKLAŞIM Şu ana kadar birinci mrtbdn difransil dnklmlrin çözümün önlik çşitli öntmlr öğrndik. Bu öntmlr ugulamada karşılaşılan çoğu problmi çözmk için trlidir, fakat bir difransil dnklmin bu öntmlrin biril çözülbilcğinin garantisi oktur. Bazn bir a da iki öntm trli olabilirkn, bazn hiç birinin iş aramadığı gibi bir durum ortaa çıkabilir. Hr iki durumda da problm sistmatik bir mantık çrçvsind aklaşım apmak fadalı olabilir. f (, ) difransil dnklminin ön görüln çözüm aralığında çözümünün var olduğunu v bu çözümün tk olduğunu düşünlim. Kndimiz şu soruları sorup cvap bulmaa çalışalım:. Dnklm doğrudan intgral olula çözülbilior mu? Ugulamada karşılaşılan pk çok difransil dnklm doğrudan intgr dilrk çözülbilck şkilddir. f () şklin gtirilbiln tüm dnklmlr bu olla çözülbilir.. Vriln dnklm linr midir? Tüm linr dnklmlrin, karşılaşılacak olan intgrallr alınabildiği sürc çözümü apılabilir.. Dnklm dğişknlrin arılabilir midir? Vriln difransil dnklmd li trimlr bir tarafta, li trimlr d diğr tarafta toplanabiliorsa, dnklm dğişknlrin arılıor dmktir. Dğişknlrin arılan dnklm doğrudan intgral olula çözülür. 4. Dnklm homojn midir? Dğils homojn hal gtirilbilir mi? Dğişknlrin arılamaan bir dnklm, ğr homojns, v / gibi bir paramtrnin tanımlanmasıla daima dğişknlrin arılabilir duruma gtirilbilir. 5. Dnklm tam difransil midir?dğils, tam difransil halin gtirilbilir mi? Dnklm tam difransillik tsti apılır. Eğr tam is çözümü apılır. Eğr tam dğil v diğr formlara da umuorsa dnklmi tam difransil duruma gtirck bir intgral çarpanı aranır. Şimdi bu sistmatik olu bir örnkl pkiştirlim: Örnk 4 + ln difransil dnklmini çözünüz. Çözüm İlk kontrol dcğimiz konu dnklmin mrtbsidir. Vriln dnklm birinci mrtbdndir, çünkü iki va daha fazla mrtbdn türv trimi bulunmamaktadır. Ardından doğrudan intgrason il çözülbilirliğin bakalım. Dnklmin sağ tarafı, bilinmn fonksion, çünkü iki va daha fazla mrtbdn türv trimi bulunmamaktadır. Ardından doğrudan intgrason il çözülbilirliğin bakalım. Dnklmin sağ tarafı, bilinmn fonksion bağlı olduğundan dğişknlrin aıramaız. Dnklm linr dğildir, sağ taraftan glck olan trimi linr dğildir. Dnklmi biraz basitlştirm çalışalım. ln ld driz. Dnklm dğişknlrin arılabilir duruma glmiştir Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

30 d d ( ) + C v hr iki tarafın doğal logaritması alınarak; ( ( + C) ln ).6. BİRİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN UYGULAMALARI Fizikt, biolojid v sosal bilimlrd karşılaşılan çok saıda problmd bir büüklüğün dğişim hızının büüklüğün kndisil orantılı olduğu gözlnmiştir. Diğr bir ifadl, ğr ilgilniln büüklüğün t anındaki dğris, bu durumda, d d va k dt dt azılabilir. Burada k orantı sabiti olup dnsl va gözlmsl sonuçlardan blirlnir. Dnklmin solundaki trim, büüklüğünün zamanla dğişim hızını tmsil dr. Bu dnklm birinci mrtbdn linr bir difransil dnklm olup dğişknlrin arılmak surtil kolaca çözülür: kt Burada, büüklüğünün t anındaki dğridir. Fiziksl olalarda gnllikl dğişim sürkli bir fonksion özlliğind olmasına rağmn bioloji v sosal bilimlrd ksikli dğişimlr söz konusudur. Bir havan türünün saısı va bir kolonidki baktri saısındaki dğişimlr buna örnktir. Ancak saı çok fazlasa dğişim zamanın sürkli bir fonksionu olarak düşünülbilir v bu ndnl apılacak hsaplama hatası gnllikl makul sınırlar içrisind kalır. Örnk 5 Nüfus artışı: Malthusian asası Blirli zaman priotlarında insan topluluklarının, havan türlrinin, böcklrin v baktri kolonilrindki baktrilrin kndilril orantılı biçimd arttığı gözlnmiştir. N(t), t anındaki saı olmak üzr v t anındaki saıı N alarak, nüfusun dğişim hızı (artış va azalma hızı); N( t) N olacaktır. Burada k doğum v ölüm hızları arasındaki farkı tanımlaan nt nüfus dğişim hızıdır. Örnğin k.5/ıl, d 5 lik bir nüfus artışı dmktir. Örnk 6 Radoaktif bozunma v Radoaktif Karbon Yaş Taini Plütonum, Radum v C 4 olarak bilinn Karbon izotopu gibi bazı radoaktif lmntlrin diğr bir lmnt va anı lmntin farklı bir izotopunu tşkil tmk üzr tabii olarak bozundukları bilinmktdir. Bozunmanın hızı gnllikl mvcut lmnt miktarıla orantılı olarak dğişir, dolaısıla radoaktif bozunma sürci d ukarıdaki dnklml tanımlanır: dm kt km, va M ( t) M dt Bu ifadd k > olup bozunma sabiti adını alır. Bir arkologun, bulduğu kmik kalıntısı üzrind, bir canlı havanda bulunan miktarın %8 i oranında C 4 izotopunun olduğunu saptamıştır. C 4 izotopunun bozunma sabiti.4 4 /ıl olduğuna gör kmiğin aşını hsaplaınız. kt Çözüm Yukarıda vriln dnklmdn t i çkrsk, M ( t) t ln buluruz. k M - - Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

31 dm ( t) il vriln bozunma hızı, miktarı sürkli düşn M(t) il orantılı olduğundan başlarda dt bozunma hızı çok üksktir v zaman gçtikç bu hız düşr. Mvcut bir radoaktif maddnin arısının bozunması için gçmsi grkli sür arı ömür sürsi dioruz. Bu durumda M ( t) M alınırsa, ukarıdaki dnklm, ln t th k olur. Radoaktif maddlrin arı ömürlri glişmiş laboratuarlarda ölçülür. Radoaktif bozunmanın önmli bir ugulama alanı, C 4 izotopunun bozunumu sasına daanan Rado Karbon Yaş Taini dir. Bu mtodun tmlind, aşaan hrhangi bir canlıdaki karbon atomlarının küçük bir oranının C 4 izotopu mdana gtirdiği gözlmi vardır. Bu oran canlının aşamı bounca aklaşık olarak sabit kalmakta, çünkü bozunan miktar, canlının çvrsindn bsin v solunum olula aldığı karbon atomlarıla rin konur. Ancak öln canlıa artık karbon girişi olmaacağı için sürkli bir bozunma söz konusu olacaktır. Diğr bir ifadl canlı öldüğünd, içrisind C 4 izotoplarının da bulunduğu karbon girişi ksilir, canlının sahip olduğu C 4 sürkli bir azalma sürcin girr. C 4 ün arı ömrü 5568 ıldır. Atmosfrdki C 4 miktarı, azotun atmosfrdki kozmik ışınlar ndnil C 4 izotopuna dönüşümü olula sürkli olarak nilnir v bölc C 4 ün atmosfrdki C miktarına oranı sabit kalır. Bu açıklamaların ışığı altında aranan sür, t ln(.8) 69 ıl olacaktır. 4.4 Örnk 7 Bir rado aktif lmnt olan Torum 4 (Th 4 ) izotopu, β ışınları aarak Pa 4 dönüşmktdir. Bu izotopun bozunma hızı, lmntin mvcut miktarı il doğru orantılıdır. Arıca mg. Th 4 izotopunda bir hafta içind gri 8.4 mg. kaldığı bilindiğin gör, a) hrhangi bir t anında gri n kadar Th 4 kaldığını, b) mvcut miktarın arıa inmsi için n kadar zaman gçmsi grktiğini bulunuz. Çözüm (a) Vrilnlr gör M mg (t anında), M(t7 gün) 8.4 mg. 8.4 k ln.8 /gün ld dilir. Dolaısıla hrhangi bir t anındaki bozunmamış 7 miktar;.8t ln ln M ( t) olacaktır. Diğr andan (b) t th 4. 5 gün. k.8 Örnk 8 Nwton un soğuma kanunu Başlangıçta T i C olan bakırdan küçük bir bil T C d kanamakta olan su banosuna bırakıldıktan sani sonra sıcaklığı n olur. Su banosu trinc gniş olup ha sıcaklığı dğişmmktdir. λ. /s. mc - - Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

32 Çözüm dt Daha önc Nwton un soğuma asasından λ ( T T) olduğunu görmüştük. dt Dğişknlrin aırarak çözdüğümüzd, bakır bilnin t anındaki sıcaklığı t Tt () T ( T T) λ olur. Vriln dğrlr rin konursa Tt ( s) 89. C olur. i Örnk 9 Karışım problmi İçrisind başlangıçta L tmiz su bulunan bir tanka, içrisindki tuz konsantrasonu. kg/l olan tuzlu su 5 L/dakika dbisind girmkt, v anı zamanda tanktan in 5 L/dakika dbisind tuzlu su çkilmktdir. Tank içrisindki bir karıştırıcı, tanktaki karışımın homojnliğini sağlamaktadır. Bklndiği gibi, tanktaki su svisi sabit kalmasına karşın içrisindki tuzlu sudaki tuz konsantrasonu sürkli olarak ükslcktir. Tankta blirli bir t anında bulunan tuz miktarını vrn ilişkii gliştiriniz. Tankta bulunabilck maksimum tuz miktarı ndir. Çözüm M(t) tankta t anında bulunan tuz miktarını göstrsin. Tanktaki tuz miktarına kütlnin korunumu prnsibini ugulaalım: Tanktaki tuz miktarının dğişim hızı Tanka birim zamanda girn tuz miktarı Tanktan birim zamanda çıkan tuz miktarı dm dt M dm M dt ( 5 L / dak)(. kg / L) ( 5 L / dak) kg / L ld dilir. Dnklm birinci mrtbdn linr bir difransil dnklm olup M ( t ) koşulula bir başlangıç dğr problmidir..5dt.5 t P ( t).5, R( t) 5 alınmak surtil μ( t). Dnklm.7 dn [ μ( )R( )d ] + C μ( ).5 t.5 t.5t.5 t.5 t t M ( t) 5 dt 5( ).5 t.5 t ( ) ( ) M ( t) ld dilir. Dikkat dilirs t durumunda parantz içi olacağından M ( t ) kg olur. t Örnk Bir tank, t anında içind Q kg tuz içrn L tuzlu su çözltisi il doludur. Litrsind / kg tuz bulunan başka bir tuz çözltisi 5 L/dak lık bir hızla tanka akmaktadır. Karıştırma il tank içind sürkli olarak homojn bir tuz karışımı ld dilmkt v karışım anı hızda (5 L/dak) tanktan dışarı çıkmaktadır. t anında tankta mvcut tuz miktarını vrn Q(t) ifadsini bulunuz. Çözüm Kütlnin korunumu ilksindn; - - Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

33 birim zamanda girn tuz kütlsi birim zamanda çıkan tuz kütlsi tanktaki tuz kütlsinin zamanla dğişimi olarak ifad dilbilir. Tankta t anında Q kg tuz vardır (başlangıç şartı). Ancak tankta t anındaki tuz konsantrasonu Q/ olacaktır (bkz. Konsantrason tanımı). / kg/l, 5 L/dak Q/ kg/l, 5 L/dak Q dq dq Q dt dt + Linr difransil dnklmi bulunur. Bu dnklmin çözümündn Qt ().5t + C gnl çözümü ld dilir. Ancak Qt ( ) Q sınır şartı ugulanırsa, C Q bulunur. Gnl çözümd rin koar, düznlm aparsak,.5 t.5 t ( ) + Q Q ( t) ld dilir. Örnk Bir kimasal madd, çözünmmiş miktarla () v domuş bir çözltil domamış bir çözlti arasındaki konsantrason farkı il doğru orantılı olarak çözünmktdir. g lık bir domuş çözltid 5 g maddnin çözündüğü bilinior. Eğr g kimasal madd g sula karıştırılırsa, g saatt çözünüor. Buna gör 5 saat sonunda n kadar çözünm olacaktır. Çözüm t saat sonra çözünmn madd miktarını göstrsin. Bu durumda mvcut çözltinin konsantrasonu olacaktır. Çözlti tamamn domuş hal gldiğind is 5 5 konsantrasonu olacaktır. Problmd, maddnin çözünm hızının, çözünmmiş madd miktarı v bu iki konsantrason arasındaki fark il orantı bir hızda çözündüğü ifad dildiğin gör aranan difransil dnklm d 5 d 7 k k + dt dt 6 va düznlm apılarak - - Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

34 d kdt ld dilir. Hr iki tarafın intgrali alındığında is, d kdt ln ln(5 + ) ln kt+ C sonucuna varılır. Bulunan ifadd k v C bilinmmktdir. Ancak vriln iki şart kullanılarak bunlar blirlnbilir. t g (başlangıçtaki toplam çözünmmiş madd miktarı) t g ( saat sonra kalan çözünmmiş madd miktarı) 6 ln k() + C C ln k().87 k Şimdi dnklm 6 ln.44 t olarak ifad dilbilir. Artık t 5 saat sonunda çözünmmiş olarak kalan miktar bulunabilir. 6 ln ln g g Bölc 5 saat sonunda çözünn miktar 8 g olur. Örnk Sıcaklığı C olan bir cisim 5 C sıcaklığında bir odaa bırakılıor dakika sonra cismin sıcaklığının 9 C düştüğü görülüor. Başlangıç anından itibarn n kadar zaman sonra cismin sıcaklığının 6 C düşcğini bulunuz. Cvap: 5 dakika Örnk Bir sıvı içrisindki basınç, sıvının üzindn aşağıa doğru inildikç artar. Bu artış hidrostatiğin tml dnklmi olan dp / dz ρg difransil dnklmil vrilir. Bu ifadd ρ sıvının oğunluğu, g is rçkimi ivmsi v z üzdn itibarn drinliktir. Okanus gibi çok drin sıvı ükskliğinin söz konusu olduğu ugulamalarda ρ f ( p) olduğundan bu difransil dnklmin intgr dilbilmsi için oğunluk il basınç arasında bir ilişkinin kurulması grkir. Bu ilişki sıvının sıkışma modülündn ld dilir. Bu ifad gör sıkışma Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

35 modülü dp E il tanımlıdır. Sıkışma modülünün sabit kaldığını v üzdki basıncı sıfır d ρ ρ v oğunluğu ρ alarak basıncın drinlikl dğişimini ld diniz. Çözüm p ρ dp dρ (a) E sabit olduğundan, d ρ ρ dp E ρ oğunluğu çkrsk, dp dz p E ρ p E ln ρ ρ ld dilir. Bu ifaddn p ρ ρ E ld dilir. Bunu hidrostatiğin tml dnklmind azalım: p( z) p( z) ρg ρ g, v dğişknlrin aırarak dp E dp ρ g dz p E p p( z) p( z) P( z) ρg z E ρ E E ρ E E gz E + E gz doğal logaritması alınarak, ρ g z p( z) E ln bulunur. E p z v hr iki tarafın Örnk 4 Blirli koşullarda silindirik bir duvardan r doğrultusunda birim zamanda gçn ısı miktarı Q k AT () r T () r dt()/ r dr il vrilir. Bu ifadd A üz alanı, k ısı iltim katsaısıdır. cm çapındaki bir buhar borusu 6 cm kalınlığında izolason malzmsi il kaplanmıştır. İzolason malzmsi ısı iltim katsaısı k.4 W/m K dir. Buharın sıcaklığı C, izolason dış üz sıcaklığı is C dir. Borunun bir mtrsindn saatt kabolacak ısıı v boru civarındaki (r > cm ) sıcaklık dağılımını blirliniz. Çözüm İzolason kalınlığı 6 cm r C d buhar r boru mrkzindn uzaklık cm Boru mrkzindn r kadar uzaktaki silindirik üz alanı (va r arıçaplı bir silindirin üz alanı) A π rl olarak ifad dilbilcğindn, soruda vriln dnklm r Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

36 dt Q k AT r () r kπ rl dr Olarak azılabilir. Burada L silindirin boudur. Dnklmi dğişknlrin aırıp intgral alalım: r.6 m T C dr kπ dr kπ dt r Q L r Q L ( ) ( ) r. m T C dt.6.5 ln ( Q L) 9.9 W/m. ( ) ( ) Q L (cvap a) Anı dnklmi, bu sfr intgralin üst sınırlarını hrhangi bir konum (r) v bu konudaki sıcaklık (T) olarak intgr drsk, r dr.4π r dt r 9.9. r. m T C T ( T ) ln ln( r) T va T 6.66 ln( r) İzolason malzmsi içindki sıcaklık dağılımı aşağıdaki göstrilmiştir. T ( C) Örnk 5 Kütlsi ihmal dilbilir bir a düş olarak bir üz tutturulmuş, diğr ucuna is kütlsi m olan bir cisim asılmıştır. Ya dng konumundakn () asılı bulunan kütlnin hızı V is, kütlnin hızını aın r dğiştirmsin () bağlı olarak ifad diniz. Çözüm Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

37 Nwton un. asasına gör kuvvt blirlnmlidir. F F m a olduğundan kütl tki dn doğrultusundaki nt mg k. Diğr taraftan cismin ivmsi için azılabilcğindn cismin harktini tanımlaan difransil dnklm, olacaktır. Dğişknlrin aırarak intgr drsk; dv mv d dv a V d mg k V ( ) V V dv g k m d V V ( ) V k g m V ( ) V + g k m Örnk 6 Kütlsi m olan bir cisim rdn oldukça ükskt bulunan bir noktadan ilk hızsız olarak srbst düşm bırakılıor. Cism tki dn rçkimi kuvvti sabit v hava dirncinin cismin hızı il orantılı olduğu kabul dildiğin gör, hrhangi bir t anında cismin başlangıç noktasından hangi uzaklıkta olduğunu v o anda hangi hıza harkt tmkt olduğunu m g k t / m mg m g k t / m buluz. Cvap: V ( t) ( ), ( t) t ( ), korantı sabiti k k k Örnk 7 Kütlsi m olan bir cisim r kürsi üzrind bir rdn ukarıa doğru bir V ilk hızı il fırlatılıor. Hava dirncini ihmal drk, cismin bir daha r üzün dönmmsi için V ilk hızının n olması grktiğini bulunuz. Çözüm ksninin (+) önü ukarı olsun. Hava dirnci ihmal dildiğin gör, burada harkti tkiln tk kuvvt r çkimi kuvvtidir. Bu kuvvtin dğri is Nwton un Evrnsl Çkim Kanununa gör dğişir. Bu durumda, rkürsi üzrind rçkimi ivmsinin dğri g il, rkürsinin kütlsi M v arıçapı R il göstrilirs; Evrnsl Çkim Kanunu na gör m. M g. R mg G. G R M t anında, cismin rkürsindn olan uzaklığı v hızı v olsun. Buna gör harkt dnklmi d m. M dv g. R m G va ld dilir. Dnklmin sağ anı bağlı dt ( + R) dt ( + R) olduğundan sol anında da bağlı ivmsinin kullanılması rind olacaktır. Buna gör, V dv g. R gr v vdv d ifadsindn hızın üksklikl dğişim ifadsi, d ( + R) ( + R) V gr V V gr + olarak ld dilir. + R Cismin rkür gri dönmmsi için sürkli olarak pozitif bir hıza sahip olması grkir. Bu is ancak V gr şartı sağlanırsa mümkün olabilir. Bu durumda V gr m/s Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

38 Örnk 8 γ maddsi, α v β gibi iki kimasal maddnin raksionu sonucu oluşmaktadır. Dolaısıla a gr α il, b gr β raksion sonucu (a+b) gr γ vrmktdir. Başlangıçta gr α v gr β vardır; hiç γ bulunmamaktadır. γ maddsi oluşum hızının tpkim girmmiş α v β maddlrinin çarpımı il doğru orantılı olduğu bilindiğin gör, oluşan γ miktarını, z(t), zamanın fonksionu olarak ld diniz. Çözüm a t anında oluşan z(t) gr γ içrisindki α nın oranı a + b, β nın oranı b olacaktır. Kütl a + b a b cinsindn is z(t) gr γ içrisind z(t) gr α, z(t) gr β bulunacaktır. Dolaısıla t a + b a + b a z b z anında tpkim girmn α v β miktarları sırasıla, ( ) v ( ) olur. a + b a + b dz a z b z Bu durumda aranan difransil dnklm; k( )( ) halini alır. dt a + b a + b dz k a b a b a b Düznlm aparsak z z K( A z)( B z) dt + + a + b a b ld ( ) k a b a + b a + b dilir. Burada K A B ( a + b) a b Difransil dnklmin çözümü A v B arasındaki ilişki bağlıdır. İki durumu dikkat alalım: ( A B) k t AB( ). A > B için çözüm z( t) A B ( A B) k t A k t. A B olursa çözüm z( t) + Ak t Öğrncilrin bu sonuçları ld tmlri tavsi dilir. Örnk 9 gr Y il gr X tpkim girrk gr Z oluşturmaktadır. gr Y 5 gr X iic karıştırıldığında dakika sonra 5 gr Z maddsi oluştuğu gözlnmiştir. (a) dakika sonunda kaç gr Z oluşur, (b) 6 gr Z ld tmk için n kadar bklnmlidir. Cvap: 75 gr, 4/ dakika. Örnk Ülklrin glcktki nüfus tahminlrind kullanılan dn dt AN BN difransil dnklmi oldukça kabul görmktdir. Bu dnklmd, A v B pozitif ülk sabitlri, N is nüfusu göstrmktdir. Başlangıç anındaki (t) nüfusu N alarak nüfus zamanın fonksionu olarak ld diniz. ABD için A. 8 B.5887 v 97 ılındaki nüfus.9 milon olarak alınabildiğin gör ılındaki v 5 ılındaki nüfusları bulunuz Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

39 Örnk Sri olarak bağlı bobin v dirnçtn kurulu bir altrnatif akım dvrsindn gçn akım di L + R i E(t) difransil dnklmi uarınca dğişmktdir. Burada i dvrdn gçn dt akımı (ampr), L bobinin indüktansı (Hnr), R dirnç (ohm) v E(t) is volt olarak lktromotor kuvvttir. t anında dvrdn gçn akımın i v lktromotor kuvvtin E(t)E olması durumunda dvrdn gçck olan akımı i(t) zamanın fonksionu olarak ld diniz. Çözüm Elimizdki dnklm birinci mrtbdn linr bir difransil dnklm olduğundan doğrudan intgral çarpanı kullanılarak çözülbilir. [ μ R( t dt ] R dt R t L i ( t) ) + C v L / μ( t) alarak, μ Rt / L Rt / L E E Rt / L i( t) dt + C + C L bulunur. t anında ii olduğundan R E rin koarak C i ld dilrk difransil dnklm çözümünd azılırsa, R E Rt L i t / ( ) ( ) olduğu görülür. R Örnk Yukarıda vriln 6 nolu soruda lktromotor kuvvtinin E( t) sinπt uarınca dğiştiği bilinmktdir.. L hnr, R5 ohm olarak vrildiğin v t anında i ampr olduğuna gör dvrdn gçn akımı zamanın fonksionu olarak bulunuz. Çözüm di Dvrdn gçn akım L + R i E(t) difransil dnklmil tanımlı olduğuna gör dt di di R çözümü aranan dnklm, L + R i sinπt va + i sinπt olacaktır. dt dt L L di Vriln dğrlr rin konursa dnklm, + 5 i sinπt olur. Birinci mrtbdn dt linr olan bu dnklm intgral çarpanı mtodu il çözülür. 5dt 5t μ( t) ld dilrk gnl çözüm ifadsind (.7 şitliği) rin konursa, 5t 5t [ μ R( t) dt + C] sinπt dt + C i( t) μ ld dilir. İntgral işlmi için kısmi intgral öntmi kullanılmalıdır (bu kısım öğrnci bırakılmıştır). Burada biz at at sin bt dt t a + b ( a sin bt b cosb ) Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

40 kalıbını kullanacağız. Problmimizd a5 v bπ olduğundan rin azıp bazı sadlştirmdn sonra; 5t 5t sinπt dt ( ) ( sinπt 4πcosπt ) π ld driz. Dolaısıla aranan çözüm; ( ) ( ) 5t i( t) sinπt 4π cosπt + C π olacaktır. Vriln başlangıç dğrlrindn intgral sabiti blirlnbilir. t anında i ampr olduğuna gör, gnl 4π çözümd rin konup C çkilirs, C + 576π ld dilir. Bölc aranan özl çözüm; ( ) ( ) ( 5t sinπt 4πcosπt + 4π ) π i( t) şklind olacaktır. Örnk Sri bağlı dirnç v kondansatördn oluşan bir altrnatif akım dvrsind, kondansatörd dq q dpolanarak lktrik ükü zamanı R + E(t) uarınca dğişir. R ohm, c dt c farad, E( t) sinπt olarak vrildiğin v t anında q olduğuna gör kondansatörd dpolanan lktrik ükünün zamanın fonksionu olarak ld diniz. Çözüm dq Difransil dnklm, vrilnlrin rin konmasıla + q sinπt va dt dq + q sinπt halini alacaktır. Bu is birinci mrtbdn linr bir difransil dt dnklmdir. dt t μ( t) alınarak gnl çözüm ifadsind rin konursa, t [ sinπt dt ] t q( t) + C ld dilir. İntgrali almak üzr at at sin b t dt ( a sin b t b cosb t) olduğundan harktl a, bπ alınarak a + b t t sinπt dt ( 5sinπt 6πcosπt) bulunur. Çözüm (5 + 6π ) ifadsind rin azılarak; t t q( t) ( 5sinπt 6πcosπt) + C va (5 + 6π ) t q( t) ( 5sinπt 6π cosπt) + C ld dilir. C sabitini bulmak üzr 5 + 7π vriln koşul sağlatılırsa, 6π π + C C bulunur. Bölc aranan çözüm; 5 + 7π π Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

41 q ( t) 5 + 7π π t ( 5sinπt 6π cosπt) π Örnk 4 Örnk 4 t t anında gçn akım i5 A olduğuna gör akımın zamanla dğişimini ld diniz. Çözüm q( t) 5sinπt 6π cosπt + C ld dilmişti π t Bir öncki örnktn ( ) dq i olduğundan türv alma işlmi apılarak, dt 6π cosπt + 7π sinπt t i( t) C 5 + 7π bulunur. Vriln koşul rin azılırsa; 6π 5 C 5 + 7π va çözüm; π C 5 ld dilir. Bölc aranan özl 5 + 6π πcosπt + 6π sinπt π t i( t) 5 olacaktır π 5 + 6π Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

42 Bölüm il ilgili problmlr. Gnl dğrlndirm soruları Birinci mrtbdn difransil dnklm n dmktir. Birinci mrtbdn bir difransil dnklm,, gibi trimlr bulundurabilir mi? Birinci mrtbdn bir difransil dnklm hangi şartlarda doğrudan intgral olula çözülbilir.. Linr birinci mrtbdn difransil dnklmlr.. Aşağıdaki difransil dnklmlrin hangilri birinci mrtbdn linrdir: (a) + sin (b) + (c) + (d) + () + cos + (f) + (g) Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr (h).. Aşağıdaki difransil dnklmlri, tüm işlm adımlarını göstrrk, çözünüz. (a) (b) ( ) (c) (d) + ( / ) () + (f) + tan sin 4 (g) + (h) + ( + ) (i) + sin.. Aşağıdaki başlangıç dğr problmlrini, tüm adımları göstrrk, çözünüz. (a) +, () (b) cos, ( π) (c), () 4 4 (d) + 4, () 8 () ( ).4. Aşağıdaki sorularda i bağımlı, i bağımsız dğişkn alarak çözümü apınız. d d (a), ( ) (b), () d d.5. + P( ) birinci mrtbdn difransil dnklminin bir çözümü ( ) olsun. C ( ) ifadsinin d anı dnklmin çözümü olduğunu göstriniz..6. Birinci mrtbdn difransil dnklmlrin ugulamaları (a) Malthusian nüfus artış asası ndir? Ndn grçkçi tahminlrd daha ugundur. (b) Radoaktif karbon il aş taininin sası ndir. Bu iş için ndn C 4 ugundur. (c) Bir ağmur damlasının limit hızını tanımlaınız. Bu hız damlanın düştüğü ükskliğ bağlı mıdır? (d) Ytrinc bsinin bulunduğu bir balık gölünd, ğr hiç balık avlanmazsa, hr ıl balık saısının iki katladığı gözlnmiştir. Başlangıçtaki balık saısını N dır. Mathusian artış asasını kullanarak v hr gün ortalama.n adt balık avlandığını kabul drk, balık saısını zamanın fonksionu olarak ld diniz. () Blirli bir baktri kolonisindki baktri saısının hr saat iki kat arttığı bilinmktdir. Mathusian artış asasını kullanarak başlangıçtaki baktri saısının 4 katına çıkabilmsi için n kadar sür gçmsi grktiğini bulunuz. (f) Yıllık nüfus artış hızı %. olan bir ülknin kaç ıl sonra nüfusunu iki katlaacağını blirliniz.

43 (g) Başlangıçtaki sıcaklığı T i C olan bakırdan apılmış küçük bir kür t anında buzlu sua bırakılmıştır. Kürnin sıcaklığı dakika sonra C düştüğün gör, Nwton soğuma kanununu kullanarak dakika sonra kürnin sıcaklığının n olacağını blirliniz. (h) Bir tankta, kg tuz kullanılarak ld dilmiş bulunan litr salamura (tuzlu su) bulunmaktadır. Tanka, bir karıştırıcı dvrdkn, dakikada 5 litr saf su ilav dilirkn, anı hacimd tuzlu su da tankın altındaki dliktn dışarı boşaltılmaktadır. dakika sonra tankta n kadar tuz kalır. Tuz miktarının kg a kadar düşmsi için n kadar sür gçmsi grkir. (i) m kütlli bir cisim blirli bir ükskliktn durgun haldkn srbst düşm bırakılmaktadır. Cism tkin hava dirncinin cismin hızıla orantılı olduğu bilindiğin gör, cismin hızı v konumunu zamanın fonksionu olarak ld diniz.. Birinci mrtbdn linr olmaan difransil dnklmlr.. Dğişknlrin arılabilir tiptki difransil dnklmlri çözünüz. (a) + (b) ( ) (c) + (d) () () + + (f) (g) +, () (h) cos, ( π / ) cos (j), ( π/ 4) sin Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr (i), ( ).. Aşağıdaki difransil dnklmlrd dğişkn dönüşümü aparak dğişknlrin arılabilir duruma gtirip çözünüz. (a) ( ) ( + ) (b) ( + ) (c) + ( ) (d) ( ) ().. R arıçaplı kürsl bir tank sula doludur. Tank tabanına açılan a arıçaplı bir dliktn su boşaltılacaktır. Toriçlli kanununa gör tankı trk dn suun ortalama hızı V g olup burada göz önün alınan durumdaki su ükskliğidir. Tanktaki su svisini zamanın fonksionu olarak ld diniz. Tankın tamamn boşalabilmsi için grkli zamanı vrn ifadi gliştiriniz..4. Yukarıdaki problmi ata olarak konumlandırılmış R arıçaplı v L boundaki silindirik tank için tkrarlaınız. dn.5. Lojistik nüfus artışı ( a bn) N difransil dnklmil tanımlanır. Bu dt difransil dnklmin gnl çözümünü bulunuz..6. Lojistik nüfus artışı kanununa gör biraz daha karmaşık, ancak daha grçkçi bir modl dn ( a bn)( cn) N difransil dnklmil vrilir. Bu dnklmin gnl çözümünü dt bulunuz..7. Aşağıdaki ğri aillrinin ortogonal örünglrini vrn ğri ailsini blirliniz. (a) C (b) + k (c) C

44 .8. Su dolu bir tankın altından bir dlik açılırsa su boşalmaa başlaacaktır.ancak tanktaki su svisi düştükç birim zamanda tanktan boşalan su miktarı da azalacaktır, dolaısıla zamana bağlıdır. Sabit A T ksitli bir tankın tabanına açılan A büüklüğündki bir dliktn birim zamanda çıkan su hacmi KA gh olarak vrildiğin gör, (Ksabit, h t anındaki su ükskliği) tankın içrisind başlangıçta (t), H mtr ükskliğind su bulunduğunu varsaarsak, tanktaki su svisini zamanın fonksionu olarak ld diniz..9. Problm.8 i, trs çvrilmiş v taban çapı D olan konik ksitli bir tank için çözünüz... Problm.9 u trs çvrilmiş, alt v üst taban çapları sırasıla d v D olan ksik koni biçimli bir tank için çözünüz. dt.. Düzlmsl bir duvardaki tk boutlu ısı iltimi, Q k. A olarak vrilir. Burada d dt ısının akış(iltim) doğrultusunu, k ısı iltim katsaısını A duvar alanını v, d doğrultusundaki sıcaklık ğimini (gradnini) vrir. Eğr k mvcut malzm için sabits bu dnklm duvar içrisindki sıcaklık profilini [ T T() ] bulmak üzr kolaca intgr dilir. Ancak k gnld sıcaklığın fonksionudur v k k ( + β. T ) ilişkisil vrilir. Burada k v β sabitlrdir ( k > ). Buna gör sabit bir Q ısı transfri için duvar içrisindki sıcaklık dağılımını ld diniz... Yatala 7 açı apan bir ğik düzlm üzrind bulunan bir cisim, ğik düzlm bounca v ukarı doğru V m/s lik bir ilk hızla fırlatılıor. Cisim il ğik düzlm arasındaki sürtünm katsaısı μ. 5 tir. Buna gör (a) cisim ğik düzlm bounca hangi uzaklığa gidbilir v (b) cisim atıldığı noktaa gri döndüğünd hızı n olur? Cvap: 9 m, 8.48 m/s. 4. Birinci mrtbdn homojn tipt difransil dnklmlr 4.. Homojn difransil dnklm ndir, nasıl anlaşılır. 4.. Aşağıdaki difransil dnklmlrin homojn olup olmadıklarını incliniz. + + (a) (b) (c) (d) Aşağıdaki homojn (va homojn indirgnbilir) difransil dnklmlri çözünüz (a) (b) (c) (d) () (f) + (g) + + (h), () (i), () (j), () + + (k), () 6 (l), () (m) (n) (o) Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr 4 4

45 + (p) (r) 4 5. Tam difransil dnklmlr Tam difransil n dmktir. u(, ) fonksionunun tam difransilini alınız. 5.. Aşağıdaki difransil dnklmlrin tam difransil olup olmadıklarını incliniz. Tam difransil olanları çözünüz. (a) ( + ) + ( ) (b) ( ) ( + ) (c) ( ) + ( ) () ( sin + ) cos (g) ( + sin ) ( cos ) (k) (h) sin + cos (d) (f) ( + ) + ) + ( ) (i) + + (l) ( + ) + ( ) + + (m) ( + + ) d + ( + 4) d Aşağıdaki çözümlr sahip olan difransil dnklmlri ld diniz. + (a) f (, ) sin. (b) f (, ) tan Aşağıdaki başlangıç dğr problmlrinin çözünüz (a) ( + ) + ( 4 ), () (b) ( sin + ) + ( cos + ), () (c) ( + ) + ( + ), () (d) ( + sin ) + ( + cos ), ( π / ) + (), () 4 (f), ( ) + 6. Aşağıdaki Brnoulli tipi difransil dnklmlri çözünüz. 4 (a), () (b) + 4, () (c), () (d) + ln Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

46 . BÖLÜM İKİNCİ VE DAHA YÜKSEK MERTEBEDEN LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLER. GİRİŞ Birinci mrtbdn difransil dnklmlr, bir intgral çarpanı kullanılarak sistmatik bir aklaşımla hr zaman çözülbilirlr. Çözülck dnklmin intgrali alınabildiği sürc, sabit va dğişkn katsaılı olması bu durumu dğiştirmz. Ancak ikinci va daha üksk mrtbli dnklmlr için anı şi sölmiz. Çünkü bu dnklmlrin çözümü, büük oranda, katsaıların sabit olmasına va blirli şartları sağlaan türdn dğişkn olmasına bağlıdır. İkinci v daha üksk mrtbli difransil dnklmlr için gnl bir çözüm olu oktur. Çoğu mühndislik problmind sabit katsaılı ikinci mrtbdn difransil dnklmlril karşılaşılır. Bu ndnl bu tür dnklmlrin çözüm ollarını ii kavramak grkir. İkinci mrtbdn linr bir difransil dnklm n gnl hald + P( ) + Q( ) R( ) formunda vrilir. Burada P, Q v R, bağımsız dğişknlrin bağlı fonksionlardır. R() trimi içrisind v türvlri bulunmaan tüm ifadlri tmsil dr v bu üzdn homojn olmaan trim adını alır. R() is bu durumda dnklm homojndir dnir. İkinci mrtbdn difransil dnklmlri çözrkn homojn kısmı arı l almak gnllikl daha ugundur. Bunun için ilk tapta dnklmin sağ anı sıfırmış gibi harkt dilir. Linr dnklmlr arıca sabit v dğişkn katsaılı olarak da sınıflandırılırlar sabit katsaılı } + 8 dğişkn katsaılı Torm Çözüm Varlığı v Tkniği } < < aralığında P(), Q() v R() bağlı sürkli fonksionlar v bu aralıkta bir nokta is, bu durumda ; + P( ) + Q( ) R( ) difransil dnklminin ( ) v ( ) iki adt başlangıç şartını sağlaan aralıkta tk bir çözümü vardır. Ancak ( ) v ( ) başlangıç şartlarını sağlaan tk çözüm çözümüdür. Difransil dnklmin standart formda olması şarttır. Örnğin; 8 6 dnklmi saılmaz. 4 halind azılmadıkça standart forma glmiş Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

47 Örnk Aşağıdaki difransil dnklmin tk bir çözümünün olduğunu v bu çözümün çözüm aralığını göstriniz. + 5 cos (5) v (5) Çözüm: Bu bir başlangıç dğr problmidir çünkü hr iki koşul da anı bağımsız dğişkn dğrind vrilmiştir. Dnklm ikinci mrtbdn olduğu için n üksk mrtb dir. Dnklmd va bunun türvlrinin çarpımı üssü v linr olmaan fonksionları olmadığından, vriln dnklm linrdir. Dnklmin sağ anı sıfır dğil, dolaısıla homojn dğildir. Arıca dnklm standart formdadır. Bu tahlillri aptıktan sonra; p ( ) Q() 5, R() cos azalım. Açıkça görülüor ki Q() v, R() sürkli fonksionlar, P() is d sürksizdir. Dolaısıla hr üç ifadnin d sürkli olduğu < < + v < < aralıklarında çözümün olup olmadığı aranmalıdır. Başlangıç koşulu olan 5 noktası ikinci aralıktadır v bu aralıkta çözüm varlığı v tkliği garanti altına alınmış olur. Linr sabit katsaılı homojn difransil dnklmlrin katsaıları zatn < < + aralığında sürkli olduğundan çözüm tüm dğrlri için gçrli olacaktır. Ancak bir difransil dnklmi çözm il bir başlangıç dğr problmini çözm arasındaki arımı görmmiz grkir. İkinci mrtbdn bir difransil dnklmin çözümündn c v c nin alabilcği sonsuz dğr karşılık sonsuz adt çözüm vardır. Vriln iki koşul için bu sabitlr blirlnir. Birinci olasılık bu iki şartı anı noktada (anı dğri için) vrmktir. Bu bizi başlangıç dğr problmin götürür v içrisind ın r aldığı bir aralıkta çözümün garantisi vardır. Ancak iki şart farklı dğrlri için vrilmişs ki bir sınır dğr problmimiz var dmktir. Yukarıda vriln Torm, bu tür bir problmin çözümünün olup olmadığı konusunda bir garanti vrmz. Sadc c c ld dilbiln şartlarda sınır dğr problminin çözümünün varlığından v tkliğindn söz dilbilir. Örnğin; + (), () 5 tkbir çözüm garanti olmasın karşın, ' + ' (), (8) dnklmi için çözüm tk olmaabilir, hatta hiçbir çözüm bulunmaabilir. Örnk Kararlı rjimd L kalınlığındaki düzlmsl bir duvar içrisindki sıcaklık dağılımı dnklmil vrilir. Burada, noktasındaki sıcaklığı tmsil dior. Vriln dnklmin gnl çözümünü v aşağıdaki durumlar için özl dnklmlrini ld diniz. a) (), () 5 b) (), (L) c) () 5, ( L) Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

48 d) () 5, ( L) 5 Çözüm: Çözüm aralığımız L olacaktır. Art arda iki kz intgr drsk gnl çözüm; c + olur. Bu is ğimi c olan bir doğru dnklmidir. c a. () 5 } c 5 () } 5. + c, c ( ) 5. + ld dilir. Diğr hiçbir koşul bu şartları sağlaamaz. Dolaısıla vriln başlangıç dğr problminin tk çözümüdür. b. Sabitlr blirlnirs c, c bulunur. Bu durumda ( ) + L L Buda vriln koşullar için ld dilbilck tk çözüm olduğundan sınır dğr problmi tk bir çözüm sahiptir. c. Vriln koşullar için () 5 } c 5 (L) } c bulunur ki bu imkansızdır. Dolaısıla vriln koşullar için problmin çözümü oktur. Fiziksl olarak problm duvarın hr iki anından ısı vrilmsini v kararlı rjim oluşmasını öngörmktdir ki bu imkansızdır. d. Vriln koşullar için () 5 } c 5 (L) 5 } c 5 dolaısıla ( ) 5 + c ld dilir ki bu çözüm c bağlı olduğundan tk çözüm dğildir. Fiziksl olarak bu problmin duvarın bir tarafından vriln ısının diğr tarafından anı hızla uzaklaştırıldığı bir duruma karşılık glir. Bu is duvar içrisindki sıcaklık dağılımını bulma için trli bir bilgi dğildir... LİNEER BAĞIMSIZLIK VE WRONSKIAN FONKSİYONLARI Vriln bir aralıkta bir fonksion diğr bir fonksionun bir sabitl çarpımından ld dilbiliorsa bu iki fonksion linr bağımlıdır dnir. Aksi durumlar için linr bağımsızlık söz konusudur. Diğr bir ifadl iki fonksionun oranı sabit bir saı is linr bağımlılık vardır dnir. (linr bağımlılık) (linr bağımsızlık) Bu ifadi daha gnllştirmk için c + c şklind vriln v fonksionlarının linr kombinasonunu dikkat alalım. Eğr < < aralığında c + c ilişkisi sadc c c için sağlanıorsa v linr bağımsız fonksionlarıdır dnir Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

49 Örnk Linr bağımsız fonksionlar < < + aralığında aşağıdaki fonksion çiftlrinin linr bağımlı va bağımsız olduklarını blirtiniz. Çözüm a) 6, b), c), d), (a) (b) (c) (d) 6 (bağımsız) (bağımsız) (bağımsız) (bağımsız) İki Fonksionun WRONSKIAN ı Yukarıdaki örnklrin dışında üç a da daha fazla fonksionun linr bağımsızlığını bulmak durumunda kalındığında daha gnl bir ola ihtiaç vardır. Biz bunu v şklind iki fonksion için göstrip gnllştircğiz. Blirli bir aralıkta vriln v fonksionları, tüm lr için ; W is ' ' bu iki fonksion linr bağımsızdır dnir. Aksi hald linr bağımlılık vardır. Örnk 4 Aşağıdaki fonksion çiftlri için linr bağımlı va bağımsız olduklarını göstriniz. (a) (b) (c) +, sin, cos, Çözüm (a) W ( + )( ) ( ) ( + ) (b) W sin ( sin ) cos.cos (c) W ( 6 ) ( )( ) (linr bağımlı) Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

50 Gnllştirirsk, n adt,,... n fonksionunun < < aralığında hr birinin (n ) adt türvi varsa bunlara ait W dtrminantı;... n ' '... ' n W is bu fonksionlar linr bağımsızdır ( n ) ( n )... ( n ) n.. HOMOJEN DENKLEMLER TEORİSİ difransil dnklminin çözümün tkrar bakalım. c + c gnl çözümünü v almak surtil c + c olarak ifad dbiliriz. Buna gör aşağıdaki süprpozison ilksi azılabilir. Eğr v linr homojn bir difransil dnklminin çözümlris ( + P( ) + Q( ) ), c + c d bu dnklmin bir çözümüdür. Örnk 5 Süprpozison İlksi (Homojn Dnklmlr) in 4 difransil dnklminin bir çözümü olduğunu, arıca 5 in d anı dnklmin bir çözümü olduğunu göstriniz. Çözüm - 4 ( + ) 4( + ) Ancak bu durum homojn olmaan difransil dnklmlr v linr olmaan difransil dnklmlr için gçrli dğildir. Öl görünüor ki ikinci mrtbdn homojn difransil dnklmlr sonsuz saıda çözüm sahiptir, ancak bunların çoğu ancak bir sabit çarpan il birbirindn arılmışlardır (,,, gibi). Yani çözümlrin çoğu linr bağımlıdır. O hald bir linr homojn dnklm linr bağımsız kaç tan çözüm sahip olabilir? Bunun cvabı, difransil dnklmin mrtbsi saısıncadır. Torm: Süprpozison ilksi ' + P( ) ' + Q( ) dnklmi, < < aralığında sürkli olan P() v Q() fonksionları için, hr zaman v linr bağımsız iki çözüm sahiptir. Arıca bu aralıktaki hrhangi bir çözüm bu iki çözümün linr kombinasonu olarak; c + c Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

51 şklind ifad dilbilir..4. SABİT KATAYILI HOMOJEN DENKLEMLER İkinci mrtbdn sabit katsaılı homojn bir difransil dnklm sistmatik bir olla kolaca çözülbilir. Dğişkn katsaılı dnklmlr için iş daha zordur. V bu tür dnklmlr gnllikl sonsuz srilr cinsindn çözülürlr. Şimdi a + b + c dnklmini dikkat alalım. Burada a, b, c sabit katsaılardır. Dolaısıla çözüm aralığımız < < + olur. Bu tür bir dnklm hr zaman v gibi linr bağımsız iki çözüm sahiptir v dnklmin gnl çözümü c + c şklind ifad dilir. Pki v i nasıl ld dbiliriz... a + b + c dnklmin dikkatli bakıldığında çözüm fonksionlarını v türvlrini blirli sabitlrl çarparak topladığımızda tüm dğrlri için sonucun sıfır olması grktiği anlaşılmaktadır. Dolaısıla çözüm fonksionu v türvlri n fazla bir sabit çarpan farkıla bnzr olmalıdır. Buna uan tk lmntr fonksion m fonksionudur (msabit). Örnğin; m, m m, m m gibi. m çözüm tklifi difransil dnklmd azılırsa, m m m am ( ) + bm ( ) + c ( ) va, m ( am + bm + c) olur. Eşitliğin sıfır olabilmsi için olduğundan; m ( am + bm + c) olmalıdır. Bu dnklm karaktristik dnklm dicğiz. Bu dnklmin köklri olan m v m is karaktristik köklr olup; m, b b a 4ac ifadsindn hsaplanır. Dolaısıla iki kök için ld dilck iki çözüm fonksionu ; m v olur. m Eğr m v m farklı rl saılarsa bu iki çözüm linr bağımsızdır. Ancak köklrin şit olma v komplks olma ihtimallri d vardır Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

52 . Durum: Farklı iki rl kök m m Bu durumda v linr bağımsız olacağından dnklmin gnl çözümü m m c c + olur. Örnk.6 + difransil dnklminin gnl çözümünü bulunuz. Çözüm: Karaktristik dnklm m + m va ( m )( m ), m v m, c + c Örnk.7 Silindirik apılı (D çapında L bounda) alüminum kanatlar sıcak üzlrdn ısının uzaklaştırılmasında agın olarak kullanılır. Böl bir kanat içrisindki sıcaklık dağılımı, TT() 4 h T '' λ T, λ > kd difransil dnklmil tanımlanır. Burada h kanat il çvrsi arasındaki ısı transfr katsaısı, k kanat malzmsinin ısı iltim katsaısıdır. L.5 m λ 4 m T() C T () 48 C/m vrildiğin gör kanat bounca olan sıcaklık dağılımını v kanat ucundaki ( L,5 m) sıcaklığı blirliniz. Çözüm: Bu bir başlangıç dğr problmidir v T '' 4T T() T () 48 şklind öztlnbilir. Karaktristik dnklm m 4, m v m bulunur. Buna gör ; T ( ) c + c ld dilir. Arıca, T ( ) c + c azılarak koşullar rin konulursa; Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

53 T() c +c T () 48 c +c 48 sistmindn c, c ld dilir. Bölc T( ) Kanat ucundaki sıcaklık için.5 alınırsa,.5.5 T(.5 m) 6.57 C. Durum: Eşit grçk iki kök m m Eğr b 4ac is karaktristik dnklmin rl v şit iki kökü olur. Bu durumda özdş iki çözüm vardır. b ( ) m m m a olur. Linr bağımsız ikinci çözümü ld tmk için mrtb düşürm öntmi ugulanır. Bu öntmd P( ) d υ( ) olarak vrilir v υ( ) d tanımlanır. b c a + b + c difransil dnklmi + + azılırsa a a P ( ) b a dır. Buna gör Buradan b d a υ ( ) d bulunur. ( b/ a) olur. Dolaısıla difransil dnklmin gnl çözümü + m m m + c + c ( c c ) olur. Örnk 8 ( m m ) durumu difransil dnklmini çözünüz. Çözüm: Karaktristik dnklm m + 6m + 9, ( m + ) va m m bulunur. ( Buna gör c + c ) olur Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

54 Durum : komplks kök durumu m α i ) Δ b 4ac < (, β köklr komplks olur. Burada i b α, a v β 4ac b a dır. Şimdi v çözümlrin bakalım. m ( α + i β ) α i β m ( α iβ) α iβ + A α iβ + B α iβ α ( A iβ + B burada A v B kfi sabitlrdir. Çözüm fonksionu komplkstir ancak grçk fonksionlarla da ifad dilbilir. iβ ) i i cos isin cos + isin Talor srisi açılımından ld dilrk rin konulursa; A iβ + B iβ A(cosβ + isinβ) + A(cosβ isinβ) ( A B) β ( A + B)cosβ + i sin C Cosβ + C Sinβ olur. Burada C A + B v C i ( A B ) olarak kfi sabitlrdir. Bölc aranan gnl çözüm ( C Cosβ + C Sinβ) α olur. Örnk 9 ( α ± iβ) m, durumu + difransil dnklmini çözünüz. Çözüm: m m + m, ( ) ( ) 4 i b b 4ac a. m, i olur. Buradan α v β olduğundan Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

55 ( C Cos + C Sin ) bulunur..5. HOMOJEN OLMAYAN DENKLEMLER TEORİSİ İkinci mrtbdn linr, homojn olmaan bir difransil dnklm ( ) + Q( ) R( ) + P Bu dnklmin homojn hali R ( ) için ld dilir. Buna gör homojn kısmı c + c h formunda olacaktır. Buna karşın hrhangi bir kfi sabit içrmn v homojn olmaan dnklmi d sağlaan çözüm bir özl çözüm olarak adlandırılır. Bir sonraki adımda, ld diln homojn kısmın çözümü tüm dnklmin çözümü olacak şkild dğişikliğ uğratılır. Bu, aşağıdaki torm il apılır: Torm: ğr dnklmin gnl çözümü, + P( ) + Q( ) R( ) ö dnklminin bir özl çözümü is bu hald + h + ö c + c olur. P, R v Q fonksionları < < aralığında sürkli fonksionlardır. Burada şunu blirtlim ki özl çözüm tk dğildir. Homojn olmaan difransil dnklmi sağlaabilck çok saıda çözümlr vardır v bunlardan hrhangi biri özl çözümün rini alabilir. Örnğin dnklminin homojn kısmının çözümü ( ) 4 8 ö c + c dir. Bu çözümün homojn olmaan dnklmin d gnl çözümü olabilmsi için bir özl çözüm ihtiaç vardır. Kontrol dilirs nin vriln difransil dnklmi sağladığı görülür. Bölc homojn olmaan difransil dnklmin gnl çözümü, olur. Biz, özl çözüm olarak ( 5 ) + ( ) c + c + va + 4 hatta ifadsini d sçsk homojn olmaan dnklmin in sağlandığını görürüz. Bunun ndni, iki çözümün linr kombinasonlarının da çözüm olmasıdır. Burada, ö çözümü n basitidir. Homojn olmaan dnklmin gnl çözümü, özl çözümün sçimindn tkilnmz. Sonuçta homojn kısmın çözümü h c + c halind ifad dilcğindn, ortak parantz almak surtil, gnl çözüm in c + c olur Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

56 Homojn olmaan trim R ( ) gnllikl birkaç trimdn oluşur v bazn hr bir trim karşılık gln özl çözümlr ld dilrk toplanabilir. Torm: Süprpozison ilksi Eğr, ö, + P( ) + Q( ) R ( ) ( ) + Q( ) R ( ) ( ) + Q( ) R ( ) R ( ) difransil dnklminin bir özl çözümü v ö, + P dnklminin bir özl çözümü is ö + ö, + P + dnklminin bir özl çözümüdür..6. HOMOJEN OLMAYAN DENKLEMLER; BELİRSİZ KATSAYILAR YÖNTEMİ Homojn olmaan bir difransil dnklmi çözmnin n basit olu blirsiz katsaılar öntmidir. + P( ) + Q( ) R( ) difransil dnklmi sabit katsaı hald azılırsa, + b + c R( ) ld driz. R ( ) triminin alacağı bazı özl hallr için bu öntm son drc kullanışlıdır. Bunlar:. R ( ) k sabit. ( ) P ( ) R n bağlı bir polinom k. ( ) A R üstl fonksion 4. R( ) A sinα va B cosα k 5. va bunların sonlu saıda çarpanından oluşmuş fonksionlar, A P ( ) sin gibi. n α Hr n kadar R ( ) için vrdiğimiz bu hallr çok kısıtlaıcı görüns d ugulamada karşılaşılan çoğu problm bu sınıfa girmktdir. Eğr dnklm dğişkn katsaılı is, mtodun bir garantisi oktur. Arıca, va tan gibi sonsuz saıda linr bağımsız türvi bulunan R ( ) formları için d mtot pratik dğildir. Bu tür durumlar için ilrid görülck olan sabitin dğişimi öntmi daha ugun olmaktadır. R 4 difransil dnklmini çözünüz. Örnk ( ) k Çözüm: ö A alalım v vriln dnklmi sağlaması için A sabitinin n olması grktiğin bakalım. ö A Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

57 ö 9A olduğundan 9 A 4 A A Dolaısıla özl çözüm ö olur. Not: Özl çözümün sabit bir saı il çarpımı bir başka özl çözüm olmaz. Örnk R( ) sinα + 6 sin difransil dnklmini çözünüz. Çözüm: ö Asin ö Acos A ö 4 sin dnklmd azalım. 4 A sin + Acos A sin 6 sin sin 4A A + Acos 6sin ( ) 6 A, A, A buluruz ki bu imkansızdır. Pki nrd hata apılmıştır? Sorunun 7 cvabı basittir. Önriln çözümün türvlri linr bağımlı olmaan fonksionlar türtmktdir. Dolaısıla önrinin ö A sin + B cos şklind olması grkirdi. Buna gör ö Acos B sin ö 4Asin 4B cos 4 A sin 4B cos + Acos B sin A sin B cos 6 sin sin 4A B A + cos 4B + A B 6 sin +.cos ( ) ( ) 7A B 6 A 7B ikinci şitlik 7, birincisi il çarpılırsa 4A 4B 4A 49B 5B B 5 7B 7 4 A ö ( sin + 7cos ) Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

58 Örnk R( ) P ( ) n difransil dnklmini çözünüz. Çözüm: Çözüm tklifi ö A + B ö A A + B C şklind olmalıdır. ö + A + 4A + B 4A 4B 4C 8 4 A + 4A 4B + A + B 4C 8 ( ) ( ) 4 A 8 4 A 4B dnklm sistmindn A B C A + B 4C ( + ) ö + Not: Eğr bulunacaktı. a + b + c d tklifi apılmış olsadı a, b c d ö + Örnk Özl çözümlrin süprpozisonu sin + 4 cos 6 difransil dnklminin bir özl çözümünü bulunuz. Çözüm: Vriln dnklm + 4 ( 8 + ) + ( sin + 4 cos ) ( 6 ) şklind azılırsa, aranan özl çözümün ö ( A + A + A ) + ( B sin + B cos ) C + formunda olacağını sölbiliriz. Bu şkild ö v ö türvlrini alarak v vriln difransil dnklmd rin azarak A,A,A,B,B, C şklind altı katsaıı blirlmk mümkündür. Ancak Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

59 bu uzun v hata apmaa lvrişli bir ol olur. Bunun rin problmi üç aşamada çözmk v sonuçta hr aşamada ld diln özl çözümlri toplamak da anı sonucu vrcktir. R ( ) 8 + için ö A + A + A R ( ) sin + 4cos için B sin B cos ( ) 6 R için azılarak çözüm apılırsa ö ö ö sin 9 C ö cos ö ö olur. ö ö ö Örnk 4 Özl çözümlr (Fonksion çarpımları) dnklminin bir özl çözümünü bulunuz. Çözüm: Öncki örnklrdn farklı olarak burada şklind fonksion çarpımı vardır. Özl çözümün apısı hakkında bir fikir dinmk için bu fonksionun ilk iki türvin bakalım. R ( ) ( ) + v R ( ) + + R 4 Görüldüğü gibi türvlrdn v gibi linr bağımlı olmaan iki ifad glmktdir. O hald önrilck özl çözüm bu iki ifadnin linr bir kombinasonu şklind olmalıdır. Dolaısıla A + B A + B ö ( ) Dnklmin sağındaki 5 trimi is C şklind bir ifadi gtircktir. Ancak bunu da B trimi il zatn dikkat almış oluoruz. Birinci v ikinci türvlri alıp difransil dnklmd azalım: ( ) ö A + A+ B ö A + A + ( A+ B) ö 4A + 4A + 4B dnklmd azılırsa [ ( 4 A + 4B) + 4 A ] + A + 4 A + 4B 4 A 4B + 5 [ 4 A + 4B + A + 4B 4B] + [ 4 A + 4 A 4 A] A + 4B B 5 B Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

60 4 A A v 4 Bölc özl çözüm 7 B ö + olur. 4 Burada şunun altını çizmmiz grkir: Fonksionların çarpımı şklind vriln bir R ( ) için tklif dilck olan özl çözüm, çarpıma katılan hr bir fonksionun özl çözümlrinin çarpımıdır. R için dn dolaı A + B v Örnğin ( ) Dolaısıla ö A + B C AC + BC için ( ) ö K K ( K K ) olmalıdır. + dn dolaı C önrilmlidir. Örnk 5 Başlangıç dğr problmi C T h sıcaklığındaki hava ortamında bulunan bir kanatçıktaki sıcaklık dağılımı T λ T Th il tanımlanır. λ 4, T ( ) C, T ( ) 4 C m v h ( ) C T vrildiğin gör kanatçıktaki sıcaklık dağılımını bulunuz. Çözüm: Vriln başlangıç dğr problmi T 4T 8 ; T ( ) ; T ( ) 4 olarak öztlnbilir. Dnklm ikinci mrtbdn sabit katsaılı homojn olmaan bir difransil dnklmdir. Karaktristik dnklm m 4, m olur. Dolaısıla homojn kısmın gnl çözümü ( ) C C T dnklmin sağ anı, ani R() sabit olduğundan dnklmd azalım. 4A 8, A + ö A tklifi ugundur. alarak Dolaısıla ö olur. Buna gör homojn olmaan dnklmin gnl çözümü ö ö Vriln koşulları kullanmak üzr T ( ) C + C + ( ) C C T + azılarak ( ) C + C T T () 4 C + C 4 C Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

61 C 95 olarak ld dilir. Bölc aranan dnklm ( ) 5 95 T + olur. Not: Vriln başlangıç şartlarının problmin gnl çözüm dnklmin ugulanması grktiği unutulmamalıdır. Sadc homojn kısmın çözümün va özl çözüm bu şartlar ugulanmamalıdır..7. HOMOJEN OLMAYAN DENKLEMLER: SABİTİN DEĞİŞİMİ METODU Bir öncki bölümd anlatılan blirsiz katsaılar mtodu oldukça basit v düz bir mantıkla harkt tmi grktirir. Ancak iki önmli dzavantaja sahip olması bu mtodun gnllşmsini ngllmiştir. Bunlardan biri dnklmin sabit katsaılı olmak zorunda olması, bir diğri homojn olmaan kısmın R() blirli tiplrd olması grkliliğidir. Bu iki ksikliği gidrn mtot sabitin dğişimi mtodudur. Tk dzavantajı homojn kısmın çözümünün apılmış olmasını grktirmsidir. İlk dfa Lagrang tarafında gliştirildiği için Lagrang Tormi va Grn Tormi olarak bilinir. difransil dnklminin dnklminin v gibi iki tan linr bağımsız çözüm fonksionu vardır v bu çözüm h C + C şklind bu fonksionların linr bir kombinasonudur. Bu çözüm mtodunun arkasındaki tml fikir Öncki bölümdn bildiğimiz gibi + P( ) + Q( ) R( ) homojn kısmının ani + P( ) + Q( ) o u + u formunda bir özl çözüm araışıdır. Bölc şu sorunun cvabı aranır: Homojn kısmının çözümünd r alan C v C sabiti nasıl birr u () v u () fonksionları olmalı ki ukarıdaki ifad homojn olmaan difransil dnklmin bir özl çözümü olabilsin. İki tan bilinmn fonksionu blirlbilmk için iki dnklm ihtiaç vardır. Bunlardan biri ö çözümünün difransil dnklmi sağlama şartından, diğri is bu iki fonksionun bizim tarafımızdan sçilck bir şartı sağlamasından ld dilir. o ( u + u ) + ( u + u ), u u( ), u u( ) Şimdi kndi şartımızı (bütünlr şart) u + u olacak şkild blirllim. Bunu dikkat alarak ikinci türvi alalım. o u + u + u + u Şimdi d o v o ifadlrini difransil dnklmd rin koalım. Bölc aşağıdaki ifadi ld driz. u + P + Q) + u ( + P + Q ) + u + u R( ) ( Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

62 Ancak v ilgili homojn dnklmin çözümü olduklarından parantz içlri sıfır olur. Bölc u + u R( ) dnklmi bulunur. Bu dnklm il bütünlr şart olarak ld ttiğimiz dnklmin ( u + u ) oluşturduğu dnklm sistminin çözümündn, R ( ) R ( ) u v u bulunur. Hr iki dnklmin padasındaki Wronskian dğri olup, v linr bağımsız olduğundan hr zaman sıfırdan farklı dğrlr alır. Bölc aradığımız fonksionlar, u R( ) R( ) d v u d olacaktır. Buradaki intgrallrin sonucunda glck sabitlrin dikkat alınmaması aranan gnl çözümü tkilmz. Bu üzdn intgral sabitlri bu aşamada dahil dilmz. Bölc özl çözüm ld dildiktn sonar, gnl çözüm, ( olur. h + ö c + c + u u u + c ) + ( u + c ) Yukarıda u v u nin ld dilmsi sırasındaki intgrallr bazn analitik olarak alınmaabilirlr. Bu durumda saısal intgral alma oluna gidilir. Örnk 6 Sabitin dğişimi mtodu + difransil dnklminin gnl çözümünü bulunuz. Çözüm m m + m m olduğundan homojn kısmın çözümü h c + c Açıkça görülüor ki + + ( ) olduğundan, tir. Arıca R( ) v W + ) ( + olur. Bölc R ( ) ( ) u d d d W ( ) R d u ( ) d d ln W Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

63 Dolaısıla aradığımız özl çözüm, ö u + u ln v gnl çözüm, + c c + c + c + ö c + K ln olur. K C dir. + ln Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

64 .8 EULER DENKLEMLERİ Şimdi kadar sabit katsaılı linr dnklmlr üzrind durduk. Katsaıların dğişkn olması durumunda is sadc bazı özl durumlar dışında, basit bir çözüm olu oktur. Sabit katsaılı linr bir dnklm dönüştürülbiln Eulr (va Eulr Cauch) dnklmi buna bir örnktir. Dnklm, + b + c r( ) formunda vrilir v b, c sabitlrdir. Eulr dnklmi gnllikl b c + + R( ), standart şklind vrilir. Açıkça görülüor ki için çözüm oktur.dolaısıla çözüm aralığı bu noktaı hariçt bırakacak şkild sçilmlidir. Arıca mutlak dğr işartini kullanmamak için > durumları inclncktir. Ancak < için d çözümlr apılabilir. Eulr dnklmi sabit katsaılı linr bir difransil dnklm dönüştürmk için t va tln dönüşümü ugulanır. Bölc dnklm, t d d + ( b ) + c r( ) halini alır. Burada,, dir. dt dt Örnk 7 Eulr Dnklmi, > olmak üzr 4 difransil dnklmini çözünüz. Çözüm Vriln dnklm bir Eulr dnklmidir. Dnklm standart formda azılırsa, 4 olarak, b b c 4 c 4 ld dilrk d d 4 dt dt Bu is ikinci mrtbdn, linr, sabit katsaılı v homojn bir difransil dnklm olup karaktristik dnklmi m m 4 m v m 4 bulunur. Buna gör dönüştürülmüş dnklmin gnl çözümü, t ( t) c + c 4t olur. Ancak t ln olduğundan, Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

65 ( ) c c ln ln c + c + c + c 4 4 ln 4 ln Not: ln u u Eulr dnklmlrinin gnl çözümü, altrnatif bir ol izlndiğind, aşağıdaki gibi d öztlnbilir. + b + c difransil dnklmind r dönüşümü ugulandığında dnklm, r r + ( b ) r+ c apılabilir. halini alır. Bu dnklmin r v r köklri için şu gnllmlr r r. c c, r r + grçk köklr r,. ( c + c ) r r r ln grçk kök α,,. [ c sin( β ln + c cos( β ln )] r α ± iβ Burada c v c sabit olup > için mutlak dğr işartlri kaldırılabilir. Eğr çözüm < < aralığında aranıorsa alınır. Bunların dışında ğr Eulr dnklmi ) + b( ) + c r( ( formunda vrilmiş olabilir. Bu durumda; r a) ( ) r b) t v t c) t ) dönüşümlrindn biri ugulanarak vriln dnklm sabit katsaılı hal gtirilbilir Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

66 Örnk 8 Mtotların karşılaştırılması 4 Eulr dnklminin > için v çözümünü bulunuz. r dönüşümü aparak gnl Çözüm r, r r v r r( r ) ld drk vriln dnklmd azalım. r r r [ r( r ) ] [ r ] 4, [ r r 4] r dnklmin ulaşılır. > r olduğundan, dolaısıla parantz içi sıfır olmalıdır. Buna gör r v r 4 bulunarak gnl çözüm; c r + c r c + c 4 c + c 4 ld dilir. Örnl 9 Eulr dnklmlri (Özl çözümünün bulunması) > olmak üzr 4 difransil dnklminin gnl çözümünü bulunuz. Çözüm c 4 Bir öncki örnktn + c olarak ld tmiştik. Hr n kadar dnklmin sağ anı olduğundan akla ilk glbilck özl çözüm tklifi ö A+B olsa da, bu çözüm blirsiz katsaılar mtodu il gitmnin bir garantisi oktur. Dolaısıla sabitin dğişimi mtodu kullanılacaktır. Özllikl dnklmi, mtodun ugulanabilcği standart hal gtirmliiz. 4 c 4, c h + olduğundan R ( ),, dir. 4 Wronkskian is; W (4 ) ( ) 5 olur. Bölc; 4 R( ) u d d W 5 R( ) u d d W 5 5 Bu duruma gör ö u + u v gnl çözüm 4 c 4 5 h + ö + c olacaktır Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

67 .9. İKİNCİ MERTEBEDEN SABİT KATSAYILI LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN UYGULAMALARI Örnk Sönümsüz Srbst titrşimlr m k Statik durum k m t Sürtünmsiz bir a kütl sistmi dng halindkn kütl aşağı doğru X msafsin kadar çkilip V hızına ulaştıktan sonra t anında srbst bırakılmıştır. Yaın dform olmamış konumu olarak v aşağı önü pozitif kabul drk kütlnin konumunu zamanın fonksionu (t) olarak ld diniz. Arıca titrşimin gnliğini v priodunu blirliniz. Çözüm: Ya kütl sönümlicidn oluşan bir sistmin harkt dnklmi Nwton un ikinci kanunundan d d m + c + k F dış difransil dnklmi olarak ld dilir. Burada m aa bağlı cismin dt dt kütlsi, c sönümlm katsaısı v k a sabitidir. F dış is zorlanmış sönümlm durumları hariç sıfırdır. Vriln problmd sönümlm lmanı oktur (c). Arıca dış kuvvt, sürtünm va başkaca bir sönümlm kuvvti bulunmadığından dnklm m + k halini alır. Şartlar olarak ( ) v () v azılabilir. Bu dnklm is linr, homojn v sabit katsaılıdır. Dnklmi standart hal gtirmk için m il bölrsk, k + va + ω bulunur. Bölc karktristik dnklmimiz, m r + ω, r iω v ( t) c cosω t + c sinωt c v c sabitlri başlangıç şartlarından blirlnirs, c v c ω v ld dilir. Buna gör ( t) cosω t + sinωt bulunur. Açıkça görülüor ki bir ω priodik harkttir. İrdlm açısından daha ugun olması ndnil bu ifad trigonomtrik bir dönüşüml, ( t) Acos( ωt φ) şklind vrilir. A v φ nın blirlnmsi için cos(a b) özdşliğindn ararlanılarak bu ifad açılır v ukarıdaki ifadl karşılaştırılarak, Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

68 A φ tan v ω v ω + olup faz açısı adını alır. Eld dilbilir. Buradaki φ dğrinin sağlaması grkir. sinφ v A ifadsini ω ( t) Acos( ωt φ) basit harmonik harkti tanımlar. cos() fonksionunun alabilcği maksimum dğr olduğundan buradaki A maksimum gnliktir. Bölc kütl A v +A arasında salınım apar. cos fonksionu πn (n tamsaı) açılarında dğrini alacağından πn + φ ω t φ πn t, n,,,,... olarak kütlnin maksimum gnlik ω noktalarından gçcgi zamanlar hsaplanabilir. Ardışık iki maksimum nokta arasında gçn sür priot (T ) dnildiğini bilioruz. Buna gör, n için φ t ω n için π + φ π φ t + ω ω ω π T t t olur. Produn (T) trsi is frkanstır (f) v ω ω f şklind ifad T π k dilir. Frkansın birimi çvrim/s olup kısaca Hz. il göstrilir. ω ifadsi is sistmin m doğal frkansıdır Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

69 Örnk Sönümsüz Zorlanmış Titrşimlr: Bazn a kütl sönümlici sistmlri mkanik sistm üzrin tki dn dış kuvvtlr maruz kalır. Bu tür kuvvtlr gnl olarak priodik karaktrli olup F cos ωt va F sin ωt gibi fonksionlarla tmsil dilirlr. Başlangıçta harktsiz bulunan ( (), () ) bir kütl a sistmini dikkat alalım. Dış kuvvt is F cos ωt uarınca zamanla dğişmktdir. Sistm sürtünmsiz olup sönümlm lmanı oktur. (c) ω ω durumu için kütlnin konumunu zamanın fonksionu olarak ld diniz. k m () () Çözüm Harkti tanımlaan difransil dnklm m + k F cosωt olur. Standart formda is F + ω cosωt Dnklmin homojn kısmının m çözümü h c cosω t + c sin ω t olurkn özl çözüm F / m için ö cosωt ld driz. Bölc gnl çözüm ω ω F / m ( t) c cosω t+ c sinω t+ cosωt ω ω F Başlangıç şartlarını dikkat aldığımızda is; c v c ld dilir. Sonuç m( ω ω ) olarak aranan gnl çözüm, F / m ( t) (cosωt cosωt) olarak ld dilir. ω ω F nt F cosωt Örnk Sönümlü Srbst titrşimlr Sönümlü srbst titrşim harktini tanımlaan difransil dnklm m + c + k olrak vrildiğin gör, ( ), () v olarak bir kütl a sönümlici sistmindki kütlnin konumunu a) c 4mk > b) c 4mk c) c 4mk < durumları için ld diniz. Hr üç ğrii bir t grafiğind göstriniz. Örnk Sönümlü Zorlanmış titrşimlr Yukarıdaki örnğin difransil dnklmin m + c + k F cosωt olması halind c 4mk > durumu için çözünüz Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

70 Çözüm ö Acos ωt + B sin ωt A m ( ω B Acω F m( ω ω ) ω ) + c ω r t r t h c c + Örnk Elktrik Dvrlri İkinci mrtbdn, linr, sabit katsaılı difransil dnklmlrin önmli bir ugulama alanıda,lktrik mühndisliğind sıklıkla karşılaşılan, basit RLC dvrlridir. Bu tür bir dvr R dirncin sahip bir rzistör, C sığasına sahip bir kapasitör (va kondansör) v L indüktansına sahip bir bobindn oluşur. R (Ω) S Ugulanan Grilim(V) C (Farad) L(hnr) Dvr lktrik nrjisi bir batara, bir jnaratör, rado va TV sinali, va basit olarak v cranından sağlanır. Bir batara E gibi sabit bir grilim ürtirkn bir jnaratör E cosωt va E sin ωt şklind priodik grilim ürtir. Bu durumlarda E, Volt olarak grilim gnliği olur. Bir lktirik dvrsindki ana büüklük dvrdn gçn akımdır v birim zamanda akan dq lktrik ükü olarak I il tanımlanır. dt Bir lktrik dvrsindki grilim düşümlinin toplamı ugulanan grilim şittir (Kirchhoff kanunu). Bu grilim düşümlri, R dirnci için E R I R di L bobini için E L L dt Q C kondansatörü için E C C Şklind ifad dilir. Buna gör Kirchhoff kanunundan di L + RI + Q E( t) ld dilir. Burada E(t) dvr ugulanan grilimdir. Ancak dt C dnklmin bu hali, iki tarafı bağımlı dğişkn; I,Q içrdiğindn, kullanışlı dğildir. Bunun dq rin dnklm I olduğu dikkat alınarak, dt Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

71 d Q dq L + R + Q E( t) dt dt C şklind sadc Q a bağlı olarak ld dilbilir. Arıca ukarıda I a gör vriln dnklmi t gör türtrk, d I di dq de( t) L + R + va I dt dt C dt dt dq dt alarak d I di de( t) L + R + I ld dilir. Bu dnklmin gnl çözümündn c v c gibi iki dt dt C dt kfi sabit glir. Bunları blirlmk için gnlikl Q ( ) Q v Q I I şklind iki başlangıç şartı tanımlanır. Eğr Q a gör () () dq ifadd diln difransil dnklm çözülürs, I ifadsindn akımda çözülür. Diğr dt andan önc I akımı blirlnmişs anı ifaddn intgrason olula Q a gçilbilir. Örnk 4 Basit Elktrik Dvrlri Bir RLC dvrsin ugulanan E( t) E sin ωt priodik grilimi için dvrdn gçn akımın E cos( ωt φ) ωrc I( t), φ tan ifadsin gör dğiştiğini göstriniz. LCω R + ( ωl ) ωc Akım ifadsinin padası gnld ugulamada mpdans olarak tanımlanır v Z R + ωl şklinddir. Empdans bir RLC dvrsinin tkin dirncini tmsil ωc dr v ωr olduğundan minimum olur, dolaısıla maksimum akım dvrdn LC dz gçm başlar. ( dan ω bulunur) Frkansın bu dğrin ( ω r ) özl olarak dω rzonans frkansı dnir. Rzonans çoğu mkanik sistmlr için ıkıcı tkisi olan v kaçınılması grkn bir ola olmasına karşın lktrik sistmlrind çoğu cihazlar rzonans sasına gör çalışırlar v bu durum istnn bir durumdur Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

72 .. YÜKSEK MERTEBELİ DİFERANSİYEL DENKLEMLER.. GİRİŞ n. mrtbdn linr bir difransil dnklm, ( n) ( n ) P ( ) P ( ) n + Pn ( ) R( ) + şklind vrilir. Burada P, lr bağlı olabiln fonksionlardır. Eğr R() is dnklmin homojn olacağını biliorum. İkinci mrtbdn dnklmlrd olduğu gibi homojn kısmı çözümün arı apılması daha ugundur. Bir öncki bölümd ikinci mrtbdn bir difransil dnklmin, < < aralığında bir nokta olmak üzr bu noktada iki başlangıç koşulunun sağlanması durumunda tk bir çözümün olacağı ifad dilmişti. Bnzr şkild bu durum n. mrtbdn bir dnklm için aşağıdaki torml ifad dilir. ( n) ( n ) + ( n Torm: P ) P ( ) + P ( ) R( ) dnklmi için, P ( ), P ( ),..., Pn ( ) v R() < < aralığında sürkli fonksionlar v bu aralıkta bir nokta is ; n () ( n ), ()... ( ) ( n ) başlangıç şartlarını sağlaan tk bir çözüm vardır. Örnk.4 Çözüm varlığı () () () 5 difransil dnklminin ; başlangıç şartları için tk bir çözümü olduğunu v bu çözümün hangi aralıkta olduğunu göstriniz. Çözüm: + P ( ), P ( ), P ( ) v R ( ) + olduğuna gör; P () in v 4 sürksiz olduğu, arıca R() in da sürksiz olduğu anlaşılmaktadır. O hald dnklmin, bu üç noktaı dışarıda bırakan bir aralıkta çözümü vardır. Bu aralıklar is, < < < < olabilir. < < < < Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

73 Şimdi d vriln noktasına bakalım. Başlangıç şartları d tanımlandığından vriln başlangıç dğr problminin sadc < < aralığında var olan çözümü için tktir dibiliriz. Örnk.5 Bir kirişin kndi ağırlığı il oluşturulduğu shim Şkildki gibi iki uçtan msntlnmiş bir kirişin shimi ( IV ) ρ g EI difransil dnklmil tanımlanır. Burada ρ kirişin oğunluğu, g rçkimi ivmsi E kirişin malzmsinin Young modülü v I kiriş ksitinin atalt momntidir. Vriln difransil dnklmin gnl v özl çözümünü bulunuz. Çözüm: Vriln dnklm art arda 4 kz intgr dilrk gnl çözüm: g 4 ( ) ρ + c + c + c + c 4EI 6 4 bulunur. Kiriş iki uçtan sabitlndiğin gör ( ) ( L) olur. Arıca kirişin bu iki uçtan sıkıca sabitlnmiş olması shim ğrisinin bu noktalarda ata (sıfır ğimli) olmasını grktirdiğindn ( ) ( L) azılır. Bölc ld diln 4 dnklmdn sabitlr bulunup gnl çözümd azılarak, 4 ρgl ( ) 4EI 4 L 4 L + L ld dilir... HOMOJEN DENKLEMLER TEORİSİ Daha önc dğindiğimiz süprpozison ilksi burada da aşağıdaki gibi ifad dilbilir. Torm: Eğr,,..., olarak n adt fonksion n ( n) ( n ) + n P ( ) P ( ) + P n ( ) difransil dnklminin çözümlris, bunların linr kombinasonu olan c + c +,..., + c n n ifadsi d bir çözümdür. Bir kz daha dikkat çkmk grkirs, süprpozison kuralı sadc homojn kısım için doğrudur. Bu prnsip linr olmaan homojn dnklmlr il linr olsa bil homojn olmaan dnklmlr ugulanmaz. Vriln n adt,,..., n çözümünün linr bağımlı olup olmadığını anlamak için bunlara ait Wronskian dğrin bakılmalıdır. Bu dğr Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

74 W (,,..., ) k n P ( ) d ifadsindn hsaplanır.linr bağımlılık araştırması apılırkn ukarıdaki Wronskian dğrinin, göz önünd alınan aralıktaki hrhangi bir dğri için hsaplanması trlidir. Homojn dnklmlrin gnl çözümü aşağıdaki toril vrilir. Torm: < < aralığında P, P,..., Pn sürkli fonksionlar olmak üzr ( n) ( n ) + n P ( ) P ( ) + P n ( ) homojn dnklmi hr zaman,,..., n gibi n adt linr bağımsız çözüm sahiptir. Arıca dnklmin gnl çözümü bu çözümlrin linr kombinasonu olup c + c +,..., + c n n şklind ifad dilir. Buna gör,,..., n dn oluşan çözümlr grubuna tml çözüm sti adını vrioruz. Bu torm n.mrtbdn bir homojn dnklmin çözümünün n adt linr bağımsız çözümün bulunmasıla şdğr olduğunu ifad tmktdir... SABİT KATSAYILI HOMOJEN DENKLEMLER Sabit katsaılı linr v homojn bir difransil dnklmi a ( n) ( n ) + a +,..., + an + an a olmak üzr tüm trimlri a a bölünrk ld dilck olan ( n) a + a ( n ) an +,..., + a a + a n dnklmi hr zaman tüm lr için c + c +,..., + c n n şklind ifad dilbiln bir gnl çözüm sahiptir. Bu çözüm vriln difransil dnklmin karaktristik dnklmindn; n n + n a m am +,..., + a m + a n ld dilck köklrl blirlnir. Ancak karaktristik dnklmin köklrini blirlmk için. v. v hatta 4. drcdn dnklmlrd olduğu gibi blirgin bir çözüm olu oktur. n için köklrdn biri ada ikisi dnm anılma il bulunmaa çalışılır Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

75 Durum. Tüm köklr farklı v rl saı m m ( ) c + c +,..., + c örnğin; m m m n mn va, ( m + )( m + m ), m, m, ( ) c + c ( ) + c ( + ) ± Durum. Eğr m m,..., m is k k m ( ) ( c c,..., ck ) Örnğin; ( ) IV m için + 8m + 8m 6m + 5 dnklminin köklri,,, v 5 bulunur. k alınırsa 5 ( ) ( c + c + c + c olur. ) Durum. Komplks kök durumu 4 Hr bir şlnik komplks kök için ( α ± iβ ) ( c cos β + c sin β) azabilcğimizi bilioruz. Bazn komplks köklr d katlı olabilir. Bu durum da örnğin; m, m, 4 α ± iβ is çözüm α α α ( 4 ) ( c cos β + c sin β) + ( c cos β + c sin β ) şklind azılmalıdır...4 HOMOJEN OLMAYAN DENKLEMLER TEORİSİ Torm: Eğr ö, ( n) ( n ) + n P ( ) P ( ) + P n ( ) R( ) linr v homojn olmaan dnklmin bir özl çözümü v h homojn kısmın gnl çözümü is, + c + c +,..., + c + h ö n n ö Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

76 ifadsi vriln dnklmin gnl çözümüdür. Bu ifadlrd P ( ), P ( ),..., Pn ( ) v R() < < aralığında sürkli fonksionlardır. R() trimi gnllikl birkaç trimi içrir v bu tür durumlarda hr bir trim karşılık gln özl çözümlri arı arı bulmak v bunları daha sonra toplamak daha kola bir oldur. Bunu öncki bölümd olduğu gibi süprpozison ilksil grçklştirioruz...5 HOMOJEN OLMAYAN DİFERANSİYEL DENKLEMLER: BELİRSİZ KATSAYILAR METODU Daha önc Bölüm d.mrtbdn homojn olmaan dnklmlr konusunda dtalı açıkladığımız bu öntm üksk mrtbli dnklmlr d ugulanabilir. Bu mtot için gçrli olduğu blirtiln kısıtlamalar burada da söz konusudur. Söz glimi bu mtot sadc linr v sabit katsaılı dnklmlr, R() in aşağıdaki formlardan birin uması durumunda ugulanabilir. R() in alabilcği formlar; () R()bir sabit, k () R()bir üstl fonksion, k () R()P()şklind polinom (4) R()sin(a), cos(a) gibi fonksionlar va 4 maddd gçnlrin bir çarpımı olan fonksionlar olabilir. Ancak unutulmaması grkn bir husus, ğr önriln özl çözümlrdn biri homojn kısmın çözümüs bu durumda önriln özl çözüm il çarpılır. Yni form da homojn kısmın çözümüs il çarpılır. Farklılık ld diln kadar buna dvam dilir. Eğr bir difransil dnklm linr olmasına rağmn dğişkn katsaılı is va homojn olmaan trimi (R()) ukarıdaki formlara umuorsa ilrid görülck olan sabitin dğişimi mtodu ugulanmalıdır. Örnk.6 k + 4 dnklminin bir özl çözümünü bulunuz. Çözüm: Özl çözüm tklifimiz s k olacaktır. Ancak dilim ki rakamı karaktristik dnklmin köklrindn birin şit. Bu durum önriln çözümün homojn kısmın bir çözümü olması sonucunu doğuracak bu durumda ö k önrmmiz grkckti. k 9k 7k 7k k + 9k difransil dnklmd azılırsa, 4k k Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

77 ld dilir. Buna gör 5 ö olur. 6 Örnk.7 Homojn olmaan dnklmin gnl çözümü ( ) IV + difransil dnklminin gnl çözümünü bulunuz. Çözüm Karaktristik dnklm m 4 olduğundan çakışı 4 adt sıfır kök vardır. Buna gör ( ) c + c + c + c olur. ( ) 4 Burada normald özl çözüm için akla ilk glbilck tklif ö A + B dir. Ancak sol tarafta 4. mrtbdn bir türv olduğundan böl bir tklif + gibi bir sonuç doğurur. O hald 4.türvini aldığımızda birini mrtb inck bir fonksion grkir. Bu da önriln 4 dfa il çarpmakla mümkündür. 4 ö ( A + B) önrilmsi grkn özl çözümdür. ( IV ) ö A + 4B bulunup rin konulduğunda, A, B bulunur. Bölc gnl çözüm ifadsi; 4 + ( ) h + ö c + c + c + c4 + ( şklind azılır. )..6 HOMOJEN OLMAYAN DENKLEMLER: SABİTİN DEĞİŞİMİ METODU ( n) ( n ) + n P ( ) P ( ) + P n ( ) R( ) difransil dnklmind, P n ( ), P ( ),..., P ( ) vriln bir aralıkta bağlı fonksionlar olsun. Bu dnklmin homojn kısmının ( R() alınarak ld diln halinin),,,..., n şklind n adt linr bağımsız çözümü olduğunu bilioruz. Bu çözümün h c + c +,..., + cn n olarak ifad dildiğini d öğrnmiştik..bölümd sorduğumuz soruu burada da tkrarlaalım: c, c,... c n sabitlri nasıl birr u( ), u ( ),... un ( ) şklind bağlı fonksionlar olmalı ki ö ( ) u + u +,..., + un n ifadsi homojn olmaan dnklmin aradığımız bir özl çözümü olsun? n adt u fonksionunun bulunabilmsi için n adt dnklm ihtiaç vardır. Bunlardan biri önriln özl çözümün homojn olmaan dnklmi sağlama şartından, kalanları is srbst olarak bizim ataacağımız şartların sağlanma koşulundan (bütünlr şart olarak) ld dilir Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

78 Bu atamalar çözümü basitlştirck şkild apılır. Diğr bir ifadl alınacak intgral işlmlri basitlştirmk için, u fonksionlarının ikinci va daha üksk mrtbdki türvlrini ok tmkl önlik şartlar ön sürülür. Şimdi d n. mrtbdn linr, dğişkn katsaılı v homojn olmaan bir difransil dnklmi çözbilcğimiz sabitin dğişimi mtodunu bir torml öztllim. Torm: Sabitin Dğişimi Mtodu P ( ), P ( ),..., Pn ( ) v R() < < aralığında sürkli fonksionlar v,,..., n ; ( n) + P ( ) ( n ) + P ( ) n +,..., + P n ( ) R( ) difransil dnklminin sas çözüm stis bu durumda homojn olmaan dnklmin bir özl çözümü; +,..., + u olur. Burada ö ( ) u + u n n R( ) Wk ( ) uk d, k,,..., n W (,,..., ) olarak vrilir. n P Bu ifadd (,,..., ) ( ) d W K olarak Wronskian dğri, W k () is, n W (,,..., n ) n.. n n ( n ) ( n )... ( n ) n dtrminantındaki k. kolonun v son satırın silinmsil ld dilck ni dtrminantın ( ) k katıdır. Bölc ö çözümü ld dildiktn sonra homojn olmaan dnklmin çözümü; c + c +,..., + c + olarak ld dilir. n n ö Örnk.8 Sabitin dğişimi mtodu + difransil dnklmini sabitin dğişimi mtodula çözünüz. Çözüm: Homojn kısmın karaktristik dnklmi, Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

79 Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr ,, ) (, + + m m m m m m h c c c c c c Wronskian, W 4 4 ),, ( bulunur. Şimdi d W k dğrini bulalım. k için W ) ( ) ( k için W ) ( ) ( k için ) ( ) ( W Bölc; d d W W R u 4 4 ) ( ),, ( ) ( ) ( + d d W W R u 4 ) ( ),, ( ) ( ) ( d d W W R u 4 () ),, ( ) ( ) ( Buna gör; ö u u u. ) 4 ( sonuç olarak aranan gnl çözüm; c c c olur.

80 ..7 EULER DENKLEMLERİ Dğişkn katsaılı dnklmlrin çözümü için blirli bir gnl çözüm oktur. Ancak özl bir hal sahip Eulr dnklmlri istisnadır. Tüm Eulr dnklmlri sabit katsaılı dnklm dönüştürülbilir. n. mrtbdn bir Eulr dnklmi; n ( n) n ( n ) + α n +,..., + α + α R( ) n vrilmiş olsun. Eğr r dönüşümü ugulanırsa ukarıdaki fonksion r bağlı n. drcdn bir polinom fonksiona dönüşür. Eğr bu dnklmin n adt r kökü grçk v birbirlrindn farklısa bu hald n adt çözüm; r r,,..., r n sas çözüm stini oluşturun. Eğr örnğin r, k katlı kök is bu hald kök karşılık gln k adt linr bağımsız çözümlr, r r r k,(ln ),(ln ),...,(ln ) r olur. Burada dışında ğr k katlı r, α iβ şklind komplks köklr varsa bu hald bu köklr karşılık gln k adt linr bağımsız çözümlr α ln.... (ln ) cos( β ln ), α cos( β ln ), k α ln cos( β ln ), α sin( β ln ) α sin( β ln ) (ln ) k α sin( β ln ) olur. > için bir Eulr dnklminin gnl çözümü, anı karaktristik dnklm sahip linr sabit katsaılı bir dnklmin gnl çözümündki lri ln lrl r dğiştirrk ld dilbilir. Örnk.9 Üçüncü mrtb Eulr dnklmi r dönüşümü (>) ugulaarak; + 4 dnklmini çözünüz. Çözüm: Dnklmdki tüm trimlr m (m) k formunda olduğundan bu bir Eulr dnklmi olup Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

81 r r r r( r ) r r( r )( r ) r ifadlri difransil dnklmd azılarak, r [ ( r )( r ) r + 4] va olduğundan r r + 4 karaktristik dnklmi ld dilir. bu dnklmin köklri is, v dir. Buna gör gnl çözüm; r r r r ( ) c + cln + C olarak c ( ) ( c + c ln ) + ld dilir Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

82 Bölüm il ilgili problmlr. a) Bir difransil dnklmin linr olup olmadığını nasıl anlarsınız. b) Sağ tarafı sabit olmaan bir difransil dnklm sabit katsaılı olabilir mi? c) Hangi koşullarda bir linr başlangıç dğr problminin ksin bir çözümü vardır. d) Hangi koşullarda bir ikinci mrtbdn linr sınır dğr problminin tk bir çözümü vardır... Aşağıdaki dnklmlrin linr olup olmadıklarını, homojn olup olmadıklarını, sabit va dğişkn katsaılı olup olmadıklarını blirtiniz. a) + 6 b) + sin c) + + d) + cos ) + f) + 6 g) + ln h) 8 i) 5 + cos j) sin +.. Aşağıdaki başlangıç dğr problmlrinin tk bir çözüm sahip olduğu aralığı blirliniz. a) + cos, ( π ) v ( π ) b) +, () v () 5 c) ( ) +, ( ) v ( ) 7 d) ( 4), () v () 7.4. Aşağıda gnl çözümlri vriln difransil dnklmlri ld diniz.(ipucu: vriln ifadi iki kz türtip c v c i ok diniz.) a) c + c b) c + c c) c sinh + c cosh d) sin cos c + c ) c ln + c f) c c Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

83 .5. linr Bağımlılık v Wronskian Fonksionları a) v f ( ) linr bağımlımıdır. b) 5 arı fonksionun wronskian ı bazı dğrlri için sıfır olurkn bazıları için dğildir. Bu fonksionlar linr bağımlı mı linr bağımsız mıdır?.6. Aşağıdaki fonksionların () kontrol öntmil () Wronskian dğrlri ardımıla linr bağımlı olup olmadıklarını blirliniz. a) + v + v cosh v sin v cos + v + sin( α + β ) v sin α + v b) c) d) ) f) sin β g).7. Wronskian Dğrlrini hsaplaarak aşağıdaki fonksionların linr bağımlı olup olmadıklarını göstriniz., 5,,, sin, cos,,, a) +,, b) c) d) ).8. Homojn Dnklmlr Torisi a) Süprpozison ilksinin ugulanabilmsi için bir difransil dnklmin linr v homojn bir difransil dnklm olması şart mıdır? b) Hangi tür difransil dnklmlr için bir çözümün sabit bir saıa çarpımı da çözümdür..8.. aşağıda vriln difransil dnklmlrin bir çözümüs k (ksabit) ifadsin d vriln dnklmin çözümü olup olmadığını göstriniz. a) + 6 b) + c) + cos d) + ) + ( ) f) 5.8..Aşağıdaki difransil dnklmlrin iki çözümü (, ) anlarında vrilmiştir. Hangi çözüm çiftlri için W(, ) nin > olmak üzr hiç bir zaman sıfır olamaacağını söliniz. W(, ) Dğrinin hr bir çift için hsabını aparak düşüncnizin doğruluğunu kontrol diniz Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

84 a) 4 b) 4 c) d) + 5 v Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr v ) 4 v 4 f) + sin v cos g) 4 4ln 5ln ln v.8.. > için v gibi iki çözümü vriln aşağıdaki difransil dnklmlri göz önün alarak bu iki çözümün gnl bir çözüm sti oluşturup oluşturamaacağını blirliniz. Oluşturulabiln çözüm çiftlri için bu sti oluşturunuz. Örnğin, 9 da v linr bağımsız olduklarından Y ( ) c + c tüm çözümlrin ld dilbilcği bir çözüm sti olur. a) v b) sinh v cosh c) ln + + v d) + + v ) v f) + sin v cos 5 g) 9 v.9.bazı durumlarda, çözümlrdn biri bilinn ikinci mrtbdn linr v homojn bir dnklm ( + P( ) + Q( ) ) birinci mrtbdn hal gtirilbilir. Bilinn çözüm olmak üzr aranan diğr çözüm v( ), burada P( ) d v( ) d il vrilir. Bölc başta vriln dnklmin gnl çözümü c + cv( ) olur. Bu mtod mrtb düşürm mtodu olarak bilinir. Buna gör aşağıdaki dnklmlrin ikinci linr bağımsız çözümlrini ld diniz. a), b) + 4, cos c) 4 + 4, d) 9, sin ) cos + + ( ), 4 f) + +,

85 .. Sabit Katsaılı Homojn Dnklmlr... Aşağıdaki Dnklmlrin gnl çözümlrini bulunuz. a) + b) + + c) + λ d) λ ) f) g) + 5 h) Aşağıdaki başlangıç dğr problmlrini vriln koşullar için çözünüz. a) + 4 ; ( π ) v ( π ) b) + 5 ; () v () c) + ; () 5 v () 6 d) ; π π ( ) v ( )...Aşağıdaki sınır dğr problmlrini vriln koşullar için çözünüz. a) ; () v (5) b) + + ; () v () 6 c) 4 ; () v (4) d) 9 ; () 6 v ().. Homojn Olmaan Dnklmlr Torisi... a) Vriln bir homojn olmaan difransil dnklmini sağlaan v içrisind bir sabit olan bir fonksion bu dnklm ait bir özl çözüm olabilir mi? Açıklaınız. b) Homojn kısmın çözümü olan bir ifad homojn olmaan dnklmin d bir özl çözümü olabilirmi? Açıklaınız. c) Özl çözümlr için süprpozison ilksinin önmi ndir?... Aşağıdaki dnklmlrin, vriln özl çözümlri kullanarak gnl çözümlrini ld diniz. Bu çözümlri olabilck n basit formda azınız. a) ; ö b) + 4 ; ö c) ; ö + ; d) ö ) ; ö ( ) f) 4 ; ö g) 4 ; ö Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

86 ... a) Eğr öz, 9 dnklminin bir özl çözümü v öz is 9 9 dnklminin bir özl çözümüs ; 9 + dnklminin gnl çözümünü bulunuz. b) Eğr öz sin, + 6sin in v öz, + nin birr özl çözümlris + 6 sin + difransil dnklminin gnl çözümünü bulunuz... Homojn Olmaan Dnklmlrin Blirsiz Katsalar Mtodu:... a) Hangi koşullarda bir difransil dnklmin homojn olmaan R() trimin karşılık gln özl çözümü AR() olur. b) Hangi koşullarda AR() olur. c) Hangi koşullarda A R() olur. d) Homojn olmaan v 4 + trimlri için önrilck özl çözüm hangi formda olur. ) Blirsiz katsaılar mtodu ndn R()ln için ugun dğildir. f) R() 5 karşılık gln bir özl çözüm tklifi ndn sadc A 5 şklind azılamaz....blirsiz katsaılar Mtodunu Kullanarak aşağıdaki difransil dnklmlri çözünüz. a) 4 4 b) 4 c) 4 d) + 9 cos ) + 9 cos f) + 9 sin 5sin + cos g) h) i) j) cos k) + sin l) + m) n) ( ) o) 6 + p) 6 + r) 6 + cos s) 6 + sin + cos t) + sin cos u) + sin... Aşağıdaki başlangıç dğr problmlrini blirsiz katsaılar mtodula çözünüz. a) + 6 sin cos ; π π ( ) v ( ) b) + ; () v () c) 4 + cos ; () v () d) + 4 sin ; ( π ) v ( π ).. Homojn Olmaan Dnklmlr Sabitin Dğişimi.. a) Blirsiz katsaılar mtodunun kısıtları nlrdir. b) Sabitin dğişimi mtodunun sası ndir? Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

87 ... Aşağıdaki difransil dnklmlri sabitin dğişimi mtodu il çözünüz. Blirsiz katsaılar mtodu il çözülbilcklri d çözrk sonuçları karşılaştırınız. a) b) sin c) + 5 d) 4 ) + 9 cos f) 9 cos g) cos h) 4 ln i) j) + k) + 8 l) +.4. Eulr Dnklmlri.4.. a) Eulr dnklmini nasıl aırddrsiniz b) Eulr dnklmi hr zaman sabit katsaılı linr bir dnklm dönüştürülbilir mi? c) Eulr dnklmlrinin çözümü ndn da gçrsizdir Aşağıdaki Eulr dnklmlrini çözünüz. Bulduğunuz çözümün çözüm aralığını blirtiniz. a) + b) c) d) + ) ( ) + ( ) 6 f) + g) h) + 6 i) + 6 j) k) İkinci Mrtbdn Linr sabit katsaılı Dnklmlrin Ugulamaları.5.. Yata konumlandırılmış bir a kütl sönümlici sistminin harktini tanımlaan difransil dnklmi azınız..5.. a) Ya sabiti k5 N/m olan bir aın ucuna m. kg lık kütl bağlanıp dng konumundan cm aşağıdakn srbst bırakılıor. Sistmi sürtünmsiz kabul drk, titrşim ait doğal frkansını, produnu v gnliğini bulunuz. b) m.5 kg lık bir kütl bir aın ucuna asıldığında aı aşağı doğru. cm uzatılmıştır. Kütl bu konumdakn çkilip srbst bırakılıor. t anında kütlnin konumundan m/s hızla gçtiği gözlnmiştir. Sürtünmi ihmal drk titrşimin doğal frkansını, produnu v gnliğini blirliniz. c) k sabitli bir a ucuna m kütlsi bağlanmış v başlangıçta statik hald bulunan kütl F ( t) F cosω t + F kuvvti ugulanmaa başlanmıştır. Sürtünmi ihmal drk (t)? Arıca rzonansın oluşacağı frkansı (ω ) blirliniz. d) m5 kg kütlli bir cisim bir aa bağlandığında aı cm grmiştir. Kütl bir aönümlici bağlı olup sönümlm katsaısı c Ns/m dir. Kütl başlangıçta Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

88 statik haldkn F( t) cosωt uarınca kuvvt ugulamaa başlıor. (t)? Arıca gnliğin maksimum olacağı ω dğrini blirliniz..5.. a) Bir RLC dvrsinin rzonans frkansı nasıl tanımlanır. b) Bir RLC dvrsindn gçn akım fonksionu I(t) bilindiğind kondansatördki lktrik ükünün zamanla dğişimini nasıl blirlrsiniz. c) Bir RLC dvrsind R ihmal dilbilir düzd küçüktür. ( R ), v ugulanan grilim E( t) E cosωt uarınca dğişmktdir. ω almak surtil ilgili LC difransil dnklmi çözrk Q (t) i blirliniz. ω ω olduğunda t durumu için n sölnbilir. d) Bir RLC dvrsind grilim okkn Q (t) i 4L R < C R R 4L C 4L > C için ld diniz. ) Bir öncki problmi I(t) için çözünüz. Yüksk Mrtbli Linr Difransil Dnklmlr.6 Aşağıdaki başlangıç dğr problmlrinin tk bir çözümündn ksin olarak var olduğu aralıkları blirliniz. a) + cos, ( π ) v ( π ) b) +, () v ( ) 5 c) ( ) +, ( ) v ( ) 7 d) ( ) + ( ), () v ( ) 5 ) ( 4), () v ( ) 7.7 Aşağıdaki linr homojn dnklmlri v > için çözümlrini göz önün alın. Wronskian dğri > için ksinlikl sıfır olmaan çözümlri blirtiniz. a) b) c) d) + ;, v ;, v ln + ;, v 5 ln + ;, v.8 Aşağıdaki linr homojn dnklmlri v çözümlrini inclin (>). Vriln çözümlrin bir sas çözüm sti oluşturup oluşturulamaacağını blirliniz. Oluşturan sti kullanarak hr bir dnklmin gnl çözümünü azınız Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

89 a) ( iv) ( iv ) ;,, b) ;, sinh, cosh c) d) ) + ;,, 4 ln ;,, + ln + ;,, + f) ; 5,,, Sabit katsaılı homojn dnklmlr a) Üçüncü mrtbdn linr sabit katsaılı bir homojn dnklmini, v fonksionlarının sağlıorsa, bunların hrhangi ikisinin linr kombinasonunun da bir çözüm olduğu sölnbilir mi? b), +, v +5 fonksionlarının sağladığı üçüncü mrtbdn linr homojn bir dnklm bulunabilir mi?. Aşağıdaki dnklmlrin gnl çözümlrini bulunuz. ( ) iv a) b) + + c) d) ) f) Aşağıdaki başlangıç dğr problmlrinin özl çözümlrini bulunuz. ( ) iv a) 8 ; ( π ) ( π ) ( π ), ( π ) b) ; (), (), () c) ; (), () () d) + ; (), () (). Homojn olmaan dnklmlr: Blirsiz Katsaılar Mtodu a) Blirsiz katsaılar mtodunun ikinci v daha üksk mrtbli dnklmlr ugulanmasında bir fark var mıdır? b) Homojn olmaan trimlri anı olan biri.mrtb diğri. mrtb dnklm düşünün. Bunların anı olan trimlrin karşılık gln özl çözüm tkliflri anı mıdır? Dğils nasıl bir fark vardır?. Blirsiz katsaılar mtodula aşağıdaki dnklmlri çözünüz. a) b) Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr

90 c) + sin, + cos d) 4 + ) 4 + cos + f) g) 4 + sin + cos ( ) iv h) ( iv) i) sin j) + 8 ( ) k) + 8 sin l) 5 m).4 Sabitin dğişimi mtodunu kullanarak aşağıdaki difransil dnklmlrin özl çözümlrini bulunuz. Bu olla çözmdiklrinizi, ugulanabiliorsa, blirsiz katsaılar mtodu il çözünüz. a) b) sin c) + 8 cos d) + 8 cos ) f) g) h) +.5 Eulr Dnklmi a) Bir difransil dnklmin Eulr tipind olup olmadığını nasıl anlarsınız? b) Bir Eulr dnklmini çözrkn ( r dönüşümü aptığınızı düşünün.) üç katlı kök durumunda homojn kısmın çözümünü nasıl azarsınız. c) b şıkkında üç katlı α iβ kökü bulsadınız durum n olurdu?.6 > için aşağıdaki Eulr dnklmlrinin gnl çözümünü blirliniz. a) + + b) c) + d) 6 ) Mühndislr İçin Difransil Dnklmlr