Temel Elektronik Basic Electronic Düğüm Gerilimleri Yöntemi (Node-Voltage Method)
Konular Düğüm Gerilimleri Yöntemi o Temel Kavramlar o Yönteme Giriş o Yöntemin Uygulanışı o Yöntemin Uygulanması o Örnekler 2
Düğüm Gerilimleri Yöntemi
Temel Kavramlar Bir düğüm ile referans noktası arasındaki gerilime (potansiyel farkına) düğüm gerilimi denir. Örnek uygulamadaki devremizde bir adet tanımlamamız gereken düğüm gerilimi (V a ) mevcuttur. Devredeki düğüm gerilimleri bulunduktan sonra dallardaki akımlar, güçler vs. hesaplanabilir. Düğüm gerilimleri yöntemine başlamadan önce; düğüm, temel düğüm, dal ve temel dal gibi bazı temel kavramları bilmek gerekir. 4
Temel Kavramlar Düğüm (Node): İki veya daha fazla devre elemanının birleştiği noktadır. Temel Düğüm (Essential Node): Üç veya daha fazla devre elemanının birleştiği noktadır. Aslında her temel düğüm bir düğümdür, ancak her düğüm bir temel düğüm olmayabilir. Dal (Branch): İki düğüm noktasını birbirine bağlayan yoldur. Temel Dal (Essential Branch): İki temel düğümü, bir temel düğümden geçmeden birleştiren yoldur. Şu unutulmamalıdır ki; bu iki temel düğüm arasında bir düğüm olmalı ve o da normal bir düğüm olmalıdır. 5
Yönteme Giriş Aşağıdaki devrenin düğüm, temel düğüm, dal ve temel dallarını inceleyelim. 6
Yönteme Giriş Düğümler: o a: V 1, R 1 o b: R 1, R 5, R 7, I (Temel) o c: V 1, V 2, R 2 (Temel) o d: R 2, o e:, R 5, R 6 (Temel) o f : V 2, R 4 o g: R 4, R 6, R 7, I (Temel) Görüldüğü üzere, belirlenen düğümlerden dört tanesi temel düğüm şeklindedir. Diğerleri ise normal düğüm şeklindedir. Dallar: o a - b arası: R 1 dalı o a - c arası: V 1 dalı o b - e arası: R 5 dalı o vs. Temel Dallar: o b - c arası: V 1 - R 1 temel dalı o c - g arası: V 2 - R 4 temel dalı o vs. 7
Yöntemin Uygulanışı Çok kaynaklı ve gözlü (basit olmayan) devrelerin, analizi için kullanılan yöntemlerden biridir. Kirchhoff un akım yasası, esasına dayanır. Düğüm gerilimleri yöntemi uygulanırken şu aşamalar gerçekleştirilir: 1. Başta temel düğümler olmak üzere, tüm düğümler belirlenir ve harflendirilir. (A, B gibi.) Ayrıca temel düğümler gerilim şeklinde de harflendirilir. (V A, V B gibi.) 2. Düğümlerden sadece biri (genelde kaynağın negatif - ucu), referans düğüm (şase) olarak kabul edilir ve gerilimi 0 volttur. 3. Temel düğümleri oluşturan her bir kol için akım yönleri isteğe göre belirlenir ve her bir temel düğüm için Kirchhoff akım denklemi ayrı ayrı yazılır. 4. Elde edilen Kichhoff akım denklem(leri), Ohm yasası kullanılarak V/R biçiminde yazılır ve ortaya çıkan denklem veya denklem sistemleri çözülüp, devredeki tüm akımlar ve gerilimler tek tek hesaplanır. 8
Yöntemin Uygulanması #1 Başta temel düğümler olmak üzere, tüm düğümler belirlenir ve harflendirilir. (A, B gibi.) Ayrıca temel düğümler gerilim şeklinde de harflendirilir. (V A, V B gibi.) c V a R 1 a d V 1 V 2 R 2 b V b 9
Yöntemin Uygulanması #2 Düğümlerden sadece biri (kaynağın negatif - ucu), referans düğüm olarak kabul edilir. Bu düğüm şasedir ve gerilimi 0 volttur. c V a R 1 a d V 1 V 2 R 2 b V b Şase (0 Volt) 10
Yöntemin Uygulanması #3 Temel düğümleri oluşturan her bir kol için akım yönleri isteğe göre belirlenir ve her bir temel düğüm için Kirchhoff akım denklemi ayrı ayrı yazılır. c V a R 1 a d i 2i1 i3 V 1 V 2 R 2 b V b Şase (0 Volt) 11
Yöntemin Uygulanması #4 Elde edilen Kichhoff akım denklem(leri), Ohm yasası kullanılarak V/R biçiminde yazılır ve ortaya çıkan denklem veya denklem sistemleri çözülüp, devredeki tüm akımlar ve gerilimler tek tek hesaplanır. a düğümü için; i 1 + i 3 i 2 V 1 V a R 1 + V 2 V a V a V b R 2 V 1 V a R 1 + V 2 V a V a R 2 (V b ) 12
V 1 = 10 V R 2 = 3 Ω V 1 = 8 V Örnek #1 Aşağıdaki devrede; a düğümündeki gerilimi (V a ), kol akımlarını (i 1, i 2, i 3 ) ve tüm dirençler üzerine düşen gerilimleri (V R1, V R2, V R3 ) bulunuz. R 1 = 2 Ω a = 4 Ω i 2i1 i3 13
V 1 = 10 V R 2 = 3 Ω V 2 = 8 V Örnek #1 Düğüm gerilimleri yöntemi uygulanırken kullanılan tüm aşamaları gerçekleştirdiğimizde devre aşağıdaki hâle gelir. Artık temel düğümlerdeki Kichhoff akım denklem(leri) yazılarak, analize başlanır. V R 1 = 2 Ω V a = 4 Ω 1 V 2 c a d i 2i1 i3 b V b Şase (0 Volt) 14
Örnek #1 a düğümü denklemi: i 1 + i 3 i 2 V 1 V a R 1 + V 2 V a V a V b R 2 10 V a 2 + 8 V a 4 V a 0 3 (V b ) 60 6V a + 24 3V a 4V a 13V a = 84 V a = 6, 46 V 15
Örnek #1 Akımları bulalım. i 1 + i 3 i 2 V 1 V a R 1 + V 2 V a V a V b R 2 i 1 = 10 6, 46 2 = 1, 77 A i 3 = 8 6, 46 4, 39 A i 2 = 6, 46 0 3 = 2, 15 A Dirençlerin üzerine düşen gerilimleri bulalım. V R1 = V 1 V a = 10 6, 46 = 3, 54 V V R2 = V a V b = 6, 46 0 = 6, 46 V V R3 = V 2 V a = 8 6, 46 = 1, 54 V 16
Örnek #2 Aşağıdaki devrenin analizini yapınız. (Tüm temel düğümlerdeki gerilimleri ve kola akımlarını bulunuz.) 17
Örnek #2 18
Örnek #2 19
Örnek #3 Aşağıdaki devrenin analizini yapınız. (Tüm temel düğümlerdeki gerilimleri ve kola akımlarını bulunuz.) 20
Örnek #3 21
Örnek #3 22
R 1 = 2 Ω V 1 = 10 V R 4 = 3 Ω V 2 = 20 V R 2 = 4 Ω Örnek #4 Aşağıdaki devrenin analizini yapınız. (Tüm temel düğümlerdeki gerilimleri ve kola akımlarını bulunuz.) = 12 Ω R 5 = 6 Ω 23
R 1 = 2 Ω V 1 = 10 V R 4 = 3 Ω V 2 = 20 V R 2 = 4 Ω Örnek #4 Düğüm gerilimleri yöntemi uygulanırken kullanılan tüm aşamaları gerçekleştirdiğimizde devre aşağıdaki hâle gelir. V a a = 12 Ω V b b R 5 = 6 Ω e V 2 i 2i1 i3 i 4i5 d V 1 c V c c 24
Örnek #4 Artık temel düğümlerdeki Kichhoff akım denklemleri yazılıp, analize başlanır. a düğümü denklemi: i 1 + i 2 + i 3 b düğümü denklemi: i 3 i 4 i 5 V a V c R 1 + V a V 1 R 2 + V a V b V a V b V b V c R 4 V b V 2 R 5 V a 0 2 + V a 10 4 + V a V b 12 6V a + 3V a 30 + V a V b 10V a V b = 30 (1) V a V b 12 V b 0 3 V b ( 20) 6 V a V b 4V b 2V b 40 7V b V a = 40 (2) Denklem sistemi çözüldüğünde: V a = 2, 46 V V b = 5, 36 V 25
Örnek #4 Akımları bulalım. i 1 + i 2 + i 3 i 3 i 4 i 5 V a V c R 1 + V a V 1 R 2 + V a V b V a V b V b V c R 4 V b V 2 R 5 i 1 = V a V c R 1 i 2 = V a V 1 R 2 = = 2, 48 0 2 2, 48 10 4 = 1, 24 A = 1, 88 A i 4 = V b V c R 4 i 5 = V b V 2 R 5 = = 5, 36 0 3 5, 36 ( 20) 6 = 1, 79 A = 2, 44 A i 3 = V a V b = 2, 48 ( 5, 36) 12, 65 A 26
V S = 10 V R 2 = 5 Ω R 4 = 10 Ω i S = 2 A Örnek #5 Aşağıdaki devrenin analizini yapınız. (Tüm temel düğümlerdeki gerilimleri ve kola akımlarını bulunuz.) R 1 = 1 Ω = 2 Ω 27
V S = 10 V = 5 Ω R 4 = 10 Ω i S = 2 A Örnek #5 Düğüm gerilimleri yöntemi uygulanırken kullanılan tüm aşamaları gerçekleştirdiğimizde devre aşağıdaki hâle gelir. Artık temel düğümlerdeki Kichhoff akım denklem(leri) yazılarak, analize başlanır. V S d R 1 = 1 Ω V a a i 3i1i2 R 2 = 2 Ω i 2 V b b i 4 i S e c V c c 28
Örnek #5 a düğümü denklemi: i 1 + i 2 + i 3 b düğümü denklemi: i 2 + i S i 4 V a V S R 1 + V a V b R 2 + V a V c V a V b R 2 + 2A V b V c R 4 V a 10 1 + V a V b 2 + V a 0 5 10V a 100 + 5V a 5V b + 2V a 17V a 5V b = 100 (1) V a V b 2 + 2 V b 0 10 5V a 5V b + 20 V b 5V a 6V b = 20 (2) Denklem sistemi çözüldüğünde: V a = 9, 09 V V b = 10, 91 V 29
Örnek #5 Akımları bulalım. i 1 + i 2 + i 3 i 2 + i S i 4 V a V S R 1 + V a V b R 2 + V a V c V a V b R 2 + 2A V b V c R 4 i 1 = V a V S R 1 = 9, 09 10 1 = 0, 91 A i 3 = V a V c = 9, 09 0 = 1, 82 A 5 i 2 = V a V b R 2 = 9, 09 10, 91 2 = 0, 91 A i 4 = V b V c R 4 = 10, 91 0 10 = 1, 09 A 30
Örnek #6 NOT: Bir gerilim kaynağının + ucu bir düğüme, - ucu bir başka temel düğüme gidiyorsa ve arada başka hiçbir eleman yoksa, yani daldaki tek elemansa, + ucun bağlı olduğu düğümün gerilimi kaynağa eşittir. Bu soru için düşünecek olursak, V 1 = 100 V olur. Bu yüzden bu devrede 2 düğümü için bir tane denklem yazmak yeterlidir. 31
V 1 = 20 V R 2 = 20 Ω R 4 = 10 Ω V 2 = 8iθ Örnek #7 Aşağıdaki devrenin analizini yapınız. (Tüm temel düğümlerdeki gerilimleri ve kola akımlarını bulunuz.) R 1 = 2 Ω = 5 Ω R 5 = 2 Ω 32
V 1 = 20 V R 2 = 20 Ω R 4 = 10 Ω V 2 = 8iθ Örnek #7 Düğüm gerilimleri yöntemi uygulanırken kullanılan tüm aşamaları gerçekleştirdiğimizde devre aşağıdaki hâle gelir. Artık temel düğümlerdeki Kichhoff akım denklem(leri) yazılarak, analize başlanır. V 1 R 1 = 2 Ω V a = 5 Ω V b R 5 = 2 Ω V 2 d a b e i 1 i 2 i 4 i 5 c V c c 33
Örnek #7 a düğümü denklemi: i 1 i 2 i θ b düğümü denklemi: i θ i 4 + i 5 V 1 V a R 1 V a V c R 2 V a V b V a V b V b V c R 4 + V 2 V b R 5 20 V a 2 V a 0 20 V a V b 5 200 10V a V a 4V a + 4V b V a V b 5 V b 0 10 + 8i θ V b 2 2V a 2V b V b + 40. i θ 5V b 15V a 4V b = 200 (1) 8V b 2V a = 40. i θ i θ = V a V b 16V b 10V a (2) Denklem sistemi çözüldüğünde: V a = 16 V V b = 10 V 34
Örnek #7 Akımları bulalım. i 1 i 2 i θ i θ i 4 + i 5 V 1 V a R 1 V a V c R 2 V a V b V a V b V b V c R 4 + V 2 V b R 5 i 1 = V 1 V a R 1 = 20 16 2 = 2 A i 4 = V b V c R 4 = 10 0 10 = 1 A i 2 = V a V c R 2 = 16 0 20, 8 A i 5 = V 2 V b R 5 = 8i θ 10 2 i θ = V a V b = 16 10 5 = 1, 2 A = 8. 1, 2 10 2 = 0, 2 A 35
Örnek #8 Aşağıda gösterilen devrede V 1, V 2 ve R 2 direnci üzerine düşen gerilim değerlerini düğüm gerilimi yöntemini kullanarak bulunuz. 36
Örnek #8 37
V K = 50 V R 2 = 8 Ω R 4 = 4 Ω I K = 5 A Örnek #9 Aşağıdaki devrenin analizini yapınız. (Tüm temel düğümlerdeki gerilimleri ve kola akımlarını bulunuz.) Ayrıca kaynaklardan devreye aktarılan güçleri hesaplayınız. 3i 1 R 1 = 6 Ω = 2 Ω i 1 38
V K = 50 V R 2 = 8 Ω R 4 = 4 Ω I K = 5 A Örnek #9 Düğüm gerilimleri yöntemi uygulanırken kullanılan tüm aşamaları gerçekleştirdiğimizde devre aşağıdaki hâle gelir. 3i 1 V 1 d R 1 = 6 Ω i 1 V a a i 4 i 2 = 2 Ω i 4 i 5i3 V b b i K c V c c 39
Örnek #9 Artık temel düğümlerdeki Kichhoff akım denklemleri yazılıp, analize başlanır. a düğümü denklemi: i 1 i 2 i 3 + i 4 b düğümü denklemi: i 3 i 4 i 5 + i K V K V a R 1 V a V c R 2 V a V b + 3i 1 V a V b 3i 1 V b V c R 4 + 5A 50 V a 6 V a 0 8 V a V b 2 + 3 50 V a 6 V a V b 2 3 50 V a 6 V b 0 4 + 5 200 4V a 3V a 12V a + 12V b + 600 12V a 31V a 12V b = 800 (1) 2V a 2V b 100 + 2V a V b + 20 4V a 3V b = 80 (2) Denklem sistemi çözüldüğünde: V a = 32 V V b = 16 V 40
Örnek #9 Akımları bulalım. i 1 i 2 i 3 + i 4 i 3 i 4 i 5 + i K V K V a R 1 V a V c R 2 V a V b + 3i 1 V a V b 3i 1 V b V c R 4 + 5A i 1 = V K V a R 1 i 2 = V a V c R 2 = = 50 32 6 32 0 8 = 3 A = 4 A i 4 = 3i 1 = 3. 3 A = 9 A i 5 = V b V c R 4 = 16 0 4 = 4 A i 3 = V a V b = 32 16 2 = 8 A 41
Örnek #9 Şimdi sıra geldi güçleri bulmaya. Eğer akım güç kaynağının pozitif + ucundan çıkıyorsa, negatif alınır. Çünkü kaynak güç veriyor demektir. Eğer akım güç kaynağının pozitif - ucundan çıkıyorsa, pozitif alınır. Çünkü kaynak güç soğuruyor demektir. P 50 V = i 1. v 50 = 3. 50 = 150 W P 3i1 = 3i 1. v 3i1 = 3i 1. v a v b = 3. 3. 16 = 144 W P 5 A = i. v 5A = i. v b v c = 5. 16 = 80 W Tüm kaynaklar devreye güç aktarıyor (iletiyor). 42
Dinlediğiniz için Teşekkürler! Web www.alperkarakaya.com Facebook www.facebook.com/malperk Twitter www.twitter.com/malperkarakaya E-mail malperkarakaya@gmail.com