NDOLU ÜNİVERSİTESİ BİLİM VE TEKNOLOJİ DERGİSİ NDOLU UNIVERSITY JOURNL OF SCIENCE ND TECHNOLOGY pplied Sciences and Engineering Cilt/Vol.:-Sayı/No: 2 : 95-0 (200) YÜKSEK DERECELİ BULNIK ZMN SERİSİ MODELİ VE IMKB UYGULMSI Çağdaş Hakan LDĞ, Erol EĞRİOĞLU 2, Süleyman GÜNY, Ufuk YOLCU 2 ÖZ Gerçek hayatta karşılaşılan sıcaklık, borsa gibi bazı zaman serilerinin gözlemleri gün içinde birden çok değer alabilmektedir. Bu tür zaman serilerinin gözlemlerini gerçel sayılarla belirtmek yerine, dilsel değerlerle ya da bulanık kümeler ile belirtmek daha uygun olabilir. Gözlemleri bulanık kümeler olan ve bulanık zaman serisi olarak adlandırılan zaman serilerinin çözümlenmesi için son yıllarda çok sayıda yöntem geliştirilmiştir. Bu çalışmada, yüksek dereceli bulanık zaman serisi modelinin çözümlenmesi için yeni bir yaklaşım önerilmiştir. Önerilen yaklaşım IMKB verilerine uygulanmış ve elde edilen sonuçlar tartışılmıştır. IMKB verileri literatürdeki diğer bulanık zaman serileri modelleriyle de çözülmüş ve sonuçlar önerilen yöntemle karşılaştırılmıştır. Yapılan karşılaştırma sonucu önerilen yöntemin oldukça iyi öngörüler ürettiği görülmüştür. nahtar Kelimeler : Bulanık zaman serileri, Geri beslemeli ağlar, Öngörü, Yapay sinir ağları. HIGH ORDER FUZZY TIME SERIES MODEL ND ITS PLICTION TO IMKB BSTRCT The observations of some real time series such as temperature and stock market can take different values in a day. Instead of representing the observations of these time series by real numbers, employing linguistic values or fuzzy sets can be more appropriate. In recent years, many approaches have been introduced to analyze time series consisting of observations which are fuzzy sets and such time series are called fuzzy time series. In this study, a novel approach is proposed to analyze high order fuzzy time series model. The proposed method is applied to IMKB data and the obtained results are discussed. IMKB data is also analyzed by using some other fuzzy time series methods available in the literature and obtained results are compared to results obtained from the proposed method. s a result of the comparison, it is seen that the proposed method produce accurate forecasts. Keywords: Fuzzy time series, Recurrent networks, Forecasting, rtificial neural networks., Hacettepe Üniversitesi, Fen Fakültesi, İstatistik Bölümü, Beytepe, nkara. aladag@hacettepe.edu.tr, 032-2977900 2, Ondokuz Mayıs Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi, İstatistik Bölümü, Kurupelit, Samsun. Geliş: 5 Ocak 2009; Düzeltme: 9 Mart 200; Kabul: 26 Ekim 200
96. GİRİŞ Bulanık zaman serisi yaklaşımıyla ilgili çalışmalar son yıllarda yoğun biçimde artmaktadır. Bulanık küme teorisi ilk olarak Zadeh (965) in çalışmasında ortaya atılmıştır. Song ve Chissom (993a, 993b, 994) çalışmalarında, Zadeh in bulanık küme teorisine dayalı olarak, bulanık zaman serisi tanımını ve çözümleme algoritmalarını önermiştir. Chen (996) da Song ve Chissom un önerdiği yöntemlere göre daha kolay bir yaklaşım geliştirmiştir. Son on yıl içinde, literatürde bir çok bulanık zaman serisi yöntemi geliştirilmiştir. Bu yöntemlerin büyük çoğunluğu birinci dereceden bulanık zaman serisi modellerine dayalıdır. Birinci dereceden bulanık zaman serisi modelinde, bulanık zaman serisinin sadece bir önceki dönemden etkilendiği varsayılır. Sullivan ve Woodal (994), Hwang, Chen ve Lee (998), Chen ve Hwang (2000), Huarng (200), Yu (2005a), Yu (2005b) ve Yolcu vd. (2008) çalışmaları birinci dereceden bulanık zaman serisi modellerini kullanan önemli çalışmalardır. Gerçek hayat zaman serileri için birinci dereceden daha yüksek modellere ihtiyaç duyulmaktadır. Chen (2002) çalışmasında, yüksek dereceli zaman serisi modeline dayalı bir yaklaşım ilk kez önerilmiştir. Buna karşın, Chen (2002) çalışmasında bulanık ilişkilerin belirlenmesi, ilişki tablolarının elde edilmesini gerektirmekte ve bu nedenle fazla hesaplama yükü getirmektedir. Karşılaşılan hesaplama yükünden kurtulmak için Huarng ve Yu (2006) bulanık ilişkilerin belirlenmesinde yapay sinir ağları (YS) yönteminden yararlanmıştır. ladağ vd. (2008) ise yüksek dereceli bulanık zaman serisi modeline dayalı ve ilişki belirlemede ileri beslemeli YS modellerinin kullanıldığı bir yaklaşım önermiştir. Huarng ın yaklaşımı birinci dereceden bulanık zaman serisi modeli için olduğundan, yapay sinir ağı modelinde tek girdi bulunmaktadır. Buna karşın ladağ vd. (2008) de yüksek dereceli model kullanıldığından, yapay sinir ağının girdi sayısı da birden fazladır. Bu çalışmada, ladağ vd. (2008) de önerilen yöntemin bulanık ilişki belirleme aşaması değiştirilmiştir. Bulanık ilişki belirlemede ileri beslemeli YS kullanmak yerine geri beslemeli Elman YS kullanılmıştır. Önerilen yeni yöntem, T.C. Merkez bankası internet sayfasından elde edilen 20.05.2008 ile 9.09.2008 tarihleri arasında günlük olarak gözlemlenmiş IMKB ulusal 00 endeksi (Kapanış fiyatlarına göre, Ocak 986=) zaman serisine uygulanmıştır. İncelenen zaman serisi 95 gözlem içermektedir. nadolu Üniversitesi Bilim ve Teknoloi Dergisi - (2) Çalışmanın ikinci bölümünde, bulanık zaman serilerinin temel tanımları verilmiştir. Üçüncü bölümde, önerilen yeni yöntem tanıtılmıştır. Önerilen yöntemin ve literatürdeki diğer bazı yöntemlerin, IMKB serisine uygulamasından elde edilen bulgular dördüncü bölümde verilmiştir. Son bölümde ise elde edilen sonuçlar tartışılmıştır. 2. BULNIK ZMN SERİLERİ Bulanık zaman serisi yaklaşımları aşağıda verilen temel kavram ve tanımlara bağlıdır (Chen, 2002). Evrensel küme U = { u,..., u b } olmak üzere, U nun elemanları aralıklardır. Bu aralıklar zaman serisinin tüm değerlerini kapsayan evrensel kümenin önceden belirlenen sabit bir aralık uzunluğuna göre parçalanması ile elde edilir. U nun elemanlarına bağlı olarak bulanık kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanabilir. = f u () ( u u f u ) / + + ( b ) / Burada f, bulanık kümesinin üyelik fonksiyonudur ve : U [0,] olmaktadır. f Tanım. Y ( t), t =...,0,,2,... gerçel değerli zaman serisi olsun. Zaman serisine uygun evrensel küme tanımı ve parçalanması yapıldıktan sonra zaman serisinin her bir gerçel gözlemi bulanıklaştırılarak elde edilen ve i bulanık kümlerinden oluşan yeni zaman serisi F (t) ye bulanık zaman serisi adı verilir. ye ait olmasının derece- f ( u a ), u a nın sidir. Tanım 2. Bulanık zaman serisinde, F(t) değerinin sadece F ( t ) den etkilendiği düşünülürse, bulanık zaman serisine birinci dereceden bulanık zaman serisi adı verilir. Birinci dereceden bulanık zaman serisi için bulanık ilişki F( t) = F( t ) R( t, t ) şeklinde gösterilebilir. Bu ifadede, herhangi bir operatörü göstermektedir. R (t, t ) ifadesi, incelenen bulanık zaman serisindeki, t zamanı ile (t ) zamanı arasındaki bulanık ilgiyi belirten bir fonksiyonu temsil etmektedir. F ( t ) = i ve F ( t) = olduğu durumda bulanık mantık ilişki i şeklinde ifade edilebilir. Burada, i bulanık ilişkinin sol yanı b
nadolu University Journal of Science and Technology - (2) pplied Sciences and Engineering 97 ve bulanık ilişkinin sağ yanı olarak isimlendirilir. Tanım 3. F(t) bulanık zaman serisi olsun. Eğer F ( t ), F ( t 2),, F( t n) ; F (t) ye neden oluyorsa bulanık mantık ilişki: F( t n),..., F( t 2), F( t ) F( t) (2) şeklinde gösterilir ve bu modele n. dereceden bulanık zaman serisi öngörü modeli adı verilir. F (t) ye de n. dereceden bulanık zaman serisi adı verilir. 3. ÖNERİLEN YENİ YÖNTEM VE LGORİTMSI Gerçek hayat zaman serilerinin çözümlenmesinde genellikle yüksek dereceli modellere ihtiyaç duyulur. Bulanık zaman serisi nin sadece bir önceki dönemden, başka bir deyişle sadece den etkilenmesi ender karşılaşılan bir durumdur. Gerçek hayat zaman serilerinin çoğu F ( t 2),, F( t n) gibi diğer gecikmeli değişkenlerden de etkilenebilmektedir. Bu nedenle, yüksek dereceli bulanık zaman serisi modelleri bir çok zaman serisine uygulanabilir. Buna karşın, yüksek dereceli bulanık zaman serisi modellerinin çözümlenmesi için kullanılan Chen in (2002) yöntemi, bulanık ilişki tablolarını kullandığından fazla hesaplama gerektirmektedir. Huarng (2006) birinci dereceden bulanık zaman serileri için bulanık ilişki belirlemede, ileri beslemeli yapay sinir ağlarını kullanmıştır. ladağ vd. (2008) de yüksek dereceli bulanık zaman serisi modelini çözümleyen ve bulanık ilişkinin belirlenmesinin ileri beslemeli yapay sinir ağları ile yapıldığı bir yaklaşım önerilmiştir. Bu çalışmada ise ladağ vd. (2008) de önerilen yöntemin bulanık ilişki belirleme aşaması değiştirilerek, ileri beslemeli YS yerine Elman tipi geri beslemeli YS nın kullanıldığı yeni bir yaklaşım önerilmiştir. Önerilen yaklaşımın algoritması aşağıda verilmiştir. dım 2. Evrensel küme ve belirlenen alt aralıklara bağlı olarak bulanık kümeleri,, k = a k = 0.5, k =, + 0, d. durumlarda, olmak üzere aşağıdaki gibi tanımlanır. = a a / u, / u + a 2 / u2 + + dım 3. Her bir veri bulunduğu aralığın en büyük üyelik değerine sahip olduğu bulanık küme ile eşleştirilerek zaman serisi bulanıklaştırılır. dım 4. Elman tipi YS kullanılarak bulanık mantık ilişkiler belirlenir. Yapay sinir ağının girdileri: gecikmeli değişkenlerden, çıktıları: öngörülerden ve hedef değerleri ise gerçek verinin bulanık değerlerinden oluşur. Kullanılan yapay sinir ağı verilen girdi ve çıktılara göre eğitilir. Girdi nöronlarının sayısı modelin derecesini göstermektedir. Gizli tabaka birim sayısına deneme yanılma yöntemi ile karar verilir. Çıktı birimindeki nöron sayısının ise bir olacağı açıktır. Elman tipi YS mimarisinin genel şekli Şekil de gösterilmiştir. b b lgoritma. dım. D ve D2 pozitif iki sayı olmak üzere, zaman serisinin tüm gözlemlerini kapsayacak bir U = [D min D, D max +D2] evrensel kümesi ve U = {u, u 2,, u b } olacak şekilde, sabit aralık uzunluğuna sahip u i alt aralıkları tanımlanır. Şekil. Elman tipi YS mimarisi dım 5. Bulanık öngörüler elde edilir. Önceki adımda elde edilen yapay sinir ağı modeli kullanılarak, yapay sinir ağının çıktıları
98 hesaplanır. Hesaplanan çıktılar, öngörülerin ait olduğu bulanık kümelerin numaralarıdır. Buna göre, bulanık öngörüler bir önceki adımda elde edilen yapay sinir ağı modelinin çıktılarından elde edilir. dım 6. Bulanık öngörülere durulaştırma işlemi uygulanır. Durulaştırma sürecinde merkezileştirme yöntemi kullanılır. Bulanık öngörü ise duru öngörü, bu bulanık kümenin en yüksek üyelik değerine sahip aralık olan u nin orta noktasıdır. nadolu Üniversitesi Bilim ve Teknoloi Dergisi - (2) 4. UYGULM Önerilen yeni yöntem ve literatürdeki diğer bazı yöntemler T.C. Merkez bankası internet sayfasından elde edilen 20.05.2008 ile 9.09.2008 tarihleri arasında günlük olarak gözlemlenmiş IMKB ulusal 00 endeksi (Kapanış fiyatlarına göre, Ocak 986=) zaman serisine uygulanmıştır. 95 gözlemden oluşan IMKB ulusal 00 endeksi zaman serisinin grafiği Şekil 2 de verilmiştir. Şekil 2. IMKB ulusal 00 endeksi (Kapanış fiyatlarına göre, Ocak 986=) zaman serisi Önerilen yöntemin algoritmasını içeren program, Matlab 2007a paket programından yararlanılarak kodlanmış ve çözümlemelerde bu fonksiyon kullanılmıştır. Önerilen yöntemin IMKB ulusal 00 endeksi zaman serisine uygulanması adımsal olarak aşağıda açıklanmıştır. dım. IMKB ulusal 00 endeksi zaman serisinin en küçük değeri 3226,43 ve en büyük değeri 43259,37 dir. IMKB zaman serisinin gözlemlerini 2 adet bulanık küme ile temsil etmek için evrensel küme ve aralık uzunluğu 000 olacak şekilde, evrensel kümenin parçalanmaları aşağıdaki gibi verilebilir. ralık uzunluğunun seçimi konusu Huarng ( 200) de detaylı olarak incelenmiştir. Diğer yandan, bu çalışmada önerilen yöntem bulanık ilişki belirleme konusunda katkı sağladığından, aralık uzunluğunun etkisini sabit tutmak için tüm yöntemlerin uygulanmasında 000 aralık uzunluğu kullanılmıştır. u [ 32000,33000], [ 33000,34000] = u, u [ 34000,35000] 2 = u [ 35000,36000] u [ 36000,37000], u [ 37000,38000], [ 38000,39000] 4 = 5 = 6 = 3 = u, u [ 39000,40000] u [ 40000,4000], u [ 4000,42000], [ 42000,43000] 8 = u = 2 [ 43000,44000] 9 = 0 = 7 = u, dım 2. Verilen evrensel küme parçalanmalarına göre bulanık kümeler aşağıdaki gibi = / u + 0.5/ u2 + 0 / u3 + 0 / u4 +... + 0 / u2 tanımlanır. 2 = 0.5/ u + / u2 + 0.5/ u3 + 0 / u4 +.. + 0 / u2 =
nadolu University Journal of Science and Technology - (2) pplied Sciences and Engineering 99 2 = 0 / u = 0 / u... + 0 / u + 0 / u 2 2 +... + 0.5/ u0 + / u +... + 0 / u + 0.5/ u 0 + 0.5/ u + / u dım 3. Zaman serisinin gözlemleri, bir önceki adımda verilen bulanık kümelerle eşleştirilir. Yani gözlemler bulanıklaştırılır; bunun için her bir gözlem içinde bulunduğu aralığın en yüksek üyelik değerine sahip olduğu bulanık küme ile eşleştirilir. Örneğin, IMKB ulusal 00 endeksi zaman serisinin ilk gözlemi 4296,5 dir. Bu gözlemin ait olduğu aralık u = 0 [ 4000,42000] dur. u0 aralığının en yüksek üyelik değerine sahip olduğu bulanık küme = 0 / u + 0 / u +... + 0.5 / u + / u + 0.5 / u + 0 / u 0 2 9 0 2 olduğundan, bulanık zaman serisinin ilk gözlemi 0 bulanık kümesidir. Benzer şekilde tüm gözlemler bulanıklaştırılır. dım 4. Bu aşama bir örnek üzerinde açıklanabilir. İkinci dereceden bulanık zaman serisi öngörü modeli kullanıyorsa, Elman tipi yapay sinir ağının girdileri ve bulanık gecikmeli zaman serilerinin gözlemlerini oluşturan bulanık kümelerin indisleridir. Hedef değer ise bulanık zaman serisinin gözlemlerini oluşturan bulanık kümelerin indisleridir. Elman tipi yapay sinir ağının çıktıları ye ait bulanık kümelerin indislerinin tahminleridir. IMKB ulusal 00 endeksi zaman serisinin çözümlenmesinde, model derecesi ile 5 arasında değiştirilerek ve Elman tipi yapay sinir ağının gizli tabaka birim sayıları da, ağın genelleştirme yeteneğini kaybettirmeyecek şekilde, ile 5 arasında değiştirilerek, Elman tipi 25 adet YS eğitilmiştir. yrıca YS nın tüm düğümlerinde loistik aktivasyon fonksiyonu kullanılmış ve eğitim algoritması olarak da Levenberg-Marquardt algoritması tercih edilmiştir. dım 5. Bulanık öngörüler elde edilir. Önceki adımda eğitilen Elman tipi YS lar kullanılarak, öngörüler hesaplanır. Hesaplanan çıktılar, öngörülerin ait olduğu bulanık kümelerin indisleridir. dım 6. Bulanık öngörülere durulaştırma işlemi uygulanır. Durulaştırma sürecinde merkezileştirme yöntemi kullanılır. Bulanık öngörü ise duru öngörü, bu bulanık kümenin en yüksek 2 2 üyelik değerine sahip aralık olan u nin orta noktasıdır. Önerilen yönteme göre, 25 Elman tipi YS için elde edilen tahminlerden hesaplanan hata kareler ortalaması karekök (HKOK) değerleri Tablo de verilmiştir. Tabloya göre, örneğin 3. dereceden modelde, 4 gizli tabaka birimi kullanıldığında HKOK değeri 5692,306 olarak elde edilmiştir. Tablo incelenirse, önerilen yöntemin en küçük HKOK değerinin bulunduğu durumun 5. dereceden modelde, 4 gizli tabaka biriminin kullanıldığı durum olduğu ve HKOK değerinin 639,730 olarak elde edildiği görülmektedir. Önerilen yöntemin sonuçlarını karşılaştırabilmek için IMKB ulusal 00 endeksi zaman serisine ladağ vd. (2008) ve Chen (996) yöntemleri uygulanmıştır. ladağ vd. (2008) in uygulamasında model derecesi ile 5 arasında değiştirilip, gizli tabaka birim sayısı da ile 5 arasında değiştirildiğinde en iyi duruma 5. dereceden modelde, 5 gizli tabaka birimi kullanıldığında ulaşıldığı ve HKOK değerinin 643,005 olarak elde edildiği görülmektedir. IMKB ulusal 00 endeksi zaman serisine Chen(996) yöntemi uygulandığında ise HKOK değeri 850,5700 olarak bulunmaktadır. ladağ vd. (2008), Chen (996) ve bu çalışmada önerilen yöntemin en iyi durumları için elde edilen sonuçlar Tablo 2 de verilmiştir. Tablo 2 de HKOK değerine ilaveten ortalama mutlak sapma (OMS) değerleri de verilmiştir. OMS ve HKOK değerlerinin hesaplanmasında aşağıda verilen formüller kullanılmıştır. HKOK = OMS = n n i= n i= ( y yˆ ) t n yˆ t y t t 2 (3) (4) 20.05.2008 ile 9.09.2008 tarihleri arasındaki gözlemler için elde edilen öngörüler görsel olarak incelenmiştir. IMKB ulusal 00 endeksi zaman serisinin, ladağ vd. (2008), Chen (996) ve bu çalışmada önerilen yöntemle çözümlendiğinde elde edilen öngörüleri ve IMKB ulusal 00 endeksi zaman serisi birlikte Şekil 3 de verilmiştir.
00 Tablo. Önerilen Yöntemin Uygulanmasından elde edilen HKOK değerleri nadolu Üniversitesi Bilim ve Teknoloi Dergisi - (2) Model Derecesi Gizli Tabaka Birim Sayısı 2 3 4 5 902,0098 5668,783 874,840 86,8807 844,8368 2 902,0098 874,575 842,5040 82,9462 772,480 3 877,2264 8,9674 763,07 779,658 5727,3 4 857,9667 798,844 5692,306 757,5584 639,730 5 857,9667 5668,783 5692,306 698,053 68,7789 Tablo 2. IMKB ulusal 00 endeksi zaman serisinin çözümlenmesinden elde edilen sonuçlar Önerilen Yöntem Model derecesi: 5 Gizli tabaka birimi: 4 ladağ vd. (2008) Model derecesi: 5 Gizli tabaka birimi: 5 HKOK OMS 639,730 506,057 643,005 52,8390 Chen (996) 850,5700 677,750 Şekil 3. IMKB ulusal 00 endeksi zaman serisi ve çeşitli yöntemlerden elde edilen öngörüler. Şekil 3 incelendiğinde, uygulanan tüm yöntemlerden elde edilen öngörülerin genel olarak gerçek gözlem değerlerine uyumlarının iyi olduğu görülmektedir. Kullanılan modeller, oriinal verideki dönüm noktalarını iyi yakalamış ve gerçek değerlere yakın tahminler üretmiştir. Tablo 2 göz önünde bulundurularak, görsel olarak incelenen öngörü sonuçları hem HKOK hem de OMS ölçütlerine göre incelendiğinde, bu çalışmada önerilen yöntem ve ladağ vd. (2008) de önerilen yöntemin Chen (996) da önerilen yönteme göre daha iyi sonuçlar verdiği görülmektedir.
nadolu University Journal of Science and Technology - (2) pplied Sciences and Engineering 0 5. SONUÇLR VE TRTIŞM Chen (2002) çalışmasında yüksek dereceli bulanık zaman serilerinin çözümlemesinde, bulanık mantık grup ilişki tabloları kullanılmaktadır. Yüksek dereceli bulanık zaman serisi öngörü modelinde, bulanık ilişki belirlemede bulanık mantık grup ilişki tablosu kullanımı oldukça karmaşıktır. Bu problem göz önünde bulundurularak, ladağ vd. (2008) çalışmasında, bulanık mantık ilişkilerinin belirlenmesi ileri beslemeli YS ile gerçekleştirilmiş ve böylece karmaşık bulanık mantık grup ilişki tablolarına gerek kalmamıştır. yrıca ladağ vd. (2008) de Chen (2002) yönteminden daha iyi sonuçlar bulunduğu gösterilmiştir. Bu çalışmada ise ladağ vd. (2008) de önerilen yöntemin bulanık ilişki belirlemede kullandığı ileri beslemeli yapay sinir ağı yerine, Elman tipi yapay sinir ağı kullanılarak yeni bir yöntem önerilmiştir. Önerilen yöntem, ladağ vd. (2008) ve Chen(996) yöntemi IMKB ulusal 00 endeksi zaman serisine uygulandığında, Tablo 2 den en düşük HKOK ve OMS değerlerini önerilen yöntemin verdiği görülmektedir. yrıca Şekil 3 incelenirse, önerilen yöntemden elde edilen öngörülerin IMKB ulusal 00 endeksi zaman serisine oldukça uyumlu olduğu görülmektedir. KYNKLR ladag, C.H., Basaran, M.., Egrioglu, E., Yolcu, U. ve Uslu, V.R. (2009). Forecasting in high order fuzzy times series by using neural networks to define fuzzy relations. Expert Systems with pplications 36 (3), 4228 423. Chen, S.M. (996). Forecasting enrollments based on fuzzy time-series. Fuzzy Sets and Systems 8, 3-39. Huarng, K. ve Yu, H.K. (2006). The application of neural networks to forecast fuzzy time series. Physica 363, 48-49. Hwang, J.R., Chen, S.M. ve Lee, C.H. (998). Handling forecasting problems using fuzzy time series. Fuzzy Sets and Systems 00, 27-228. Song, Q. ve Chissom, B.S. (993a). Fuzzy time series and its models. Fuzzy Sets and Systems 54, 269-277. Song, Q. ve Chissom, B.S. (993b). Forecasting enrollments with fuzzy time series- Part I. Fuzzy Sets and Systems 54, -0. Song, Q. ve Chissom, B.S. (994). Forecasting enrollments with fuzzy time series- Part II. Fuzzy Sets and Systems 62, -8. Sullivan, J. ve Woodall, W.H. (994). comparison of fuzzy forecasting and Markov modeling. Fuzzy Sets and Systems 64, 279-293. Yolcu, U., Egrioğlu, E., Uslu, V.R., Basaran, M.. ve ladağ, C.H. (2009). new approach for determining the length of intervals for fuzzy time series. pplied Soft Computing 9 (2), 647-65. Yu, H.K. (2005a). refined fuzzy time series model for forecasting. Physica 346, 657-68. Yu, H.K. (2005b). Weighted fuzzy time series models for TIEX forecasting. Physica 349, 609-624. Zadeh L.. (965). Fuzzy Sets. Control 8, 338-353. Inform and Chen, S.M. ve Hwang, J.R. (2000). Temperature prediction using fuzzy time series. IEEE Transaction on Systems. Man and Cybernetics Part B 30 (2), 263-275. Chen, S.M. (2002). Forecasting Enrollments based on high-order fuzzy time series. Cybernetics and Systems an International Journal 33, -6. Huarng, K. (200). Heuristic models of fuzzy time series for forecasting. Fuzzy Sets and Systems 23 (3), 369-386.
96 nadolu Üniversitesi Bilim ve Teknoloi Dergisi - (2)