DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN VE MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 8 Sayı: 3 s. 85-97 Eim 6 DEĞİŞİK FİBER ORYANTASYONLARINA SAHİP TABAKALI KOMPOZİT KİRİŞLERİN SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİYLE TİTREŞİM ANALİZİ (VIBRATION ANALYSIS OF LAMINATED COMPOSITE BEAMS HAVING DIFFERENT FIBER ORIENTATIONS BY USING THE FINITE ELEMENT METHOD) Aysun BALTACI, Ahmt SARIKANAT ÖZET/ABSTRACT Bu çalışmada, farlı fibr oryantasyonlarına sahip tabaalı ompozit irişlrin dinami yü altındai srbst v zorlanmış titrşim davranışları inclnmiştir. Çalışmada, 8 düğüm notalı 4 srbstli drcli izoparamtri abu lman ullanılmış v sonlu lmanlar mtodu il analizlr yapılmıştır. Kompozit irişin srbst v zorlanmış titrşimi inclnirn, fibr oryantasyonlarının irişin titrşim fransına tilri göstrilmiştir. In this study, fr and forcd vibration analysis of laminatd composit bams having diffrnt fibr orintations undr dynamic forc was invstigatd. In study, th isoparamtric shll lmnt usd in th prsnt study has 8 nods, 4 dgrs of frdom and th finit lmnt mthod was usd. Th ffcts of fibr orintations on th fr and forcd vibration analysis of laminatd composit bams wr invstigatd. ANAHTAR KELİMELER/KEYWORDS Kompozit malzmlr, Sonlu lmanlar yöntmi, Titrşim analizi Composit matrials, Finit lmnt mthod, Vibration analysis *Eg Ünivrsitsi Müh. Fa., Main Mühndisliği Bölümü, 35 Bornova, İZMİR
Sayfa No: 86 A. BALTACI, A. SARIKANAT. GİRİŞ Amaca uygun olara, farlı özllilrdi ii yada daha fazla malzmyi, istniln özllilri sağlayaca duruma gtirm için, blirli şartlar v blirli oranlarda fizisl olara, maro yapıda bir araya gtirr ld diln malzmlr Kompozit Malzmlr dnir (Danil v Ishai, 994; Rddy v Chao, 997). Günümüzd, tabaalı ompozit malzmlrin yüs dayanım/ağırlı oranı v dirngnli/ağırlı oranına sahip olmaları sbbiyl; uzay yapılarında, ulaşım araçlarında, ltri, imya, onstrüsiyon v gıda ndüstrisind ullanım alanları gidr artmatadır (Shi v Lam., 999). Kompozit yapıların titrşim analizi, bir ço mühndisli uygulamalarında prati önm azanmatadır. Örnğin, dniz tnolojisind motor vya maina asamlarının mani dizaynında, dinami yülrin sbp olduğu titrşimlr büyü önm azanmatadır (Romanlli v Laura, ). Kullanım yrin v çalışma şartlarına gor, tabaalı ompozit plalarda büyü gnlili titrşimlr olduça tilidir (Rddy v Chao, 98). Çi modülünün nin ayma modülün oranının yüs dğrlrindn dolayı, nin ayma dformasyonları sadc alın çubu v plaların analizind dğil, aynı zamanda inc çubu v plaların blirli sınır v yülm oşulları altında yüs franslı titrşim analizlrind d önmli rol oynar. Tabaalı ompozit irişlrin titrşim analizind yüs drcli ayma dformasyon torilri gniş ullanım alanına sahiptir (Kamal v Durvasula, 986). Sonlu lman modlind, dinami analizin hassaslığı ütl matrisinin formülasyonlarında tilidir. Titrşim v dinami analizdi birço yüs drcli lmanlarda, dirngnli matrisinin ld dilmsi yüs drcdn torilri sas alır. Kompozit çubuların v plaların analizi il ilgili birço çalışmada, sdc tml titrşim fransları üzrind durulmamıştır. Çünü, yüs titrşim fransları da birço mühndisli uygulamalarında büyü önm azanmatadır (Ramtar v Dsai, ).. TABAKA YAPISAL DENKLEMLERİ Kompozit malzmlr, mirosobi v marosobi gözl baıldığında, yapı olara dğişn özllitdir. Marosobi olara, ompozit malzmlrin mani özlilri, matris v fibr malzmsinin ağırlılar oranı alınara bulunur. Kompozit malzm, homojn yapılı bir malzm olara varsayılır (Rddy, 997). Anizotropi bir malzmnin gnllştirilmiş Hoo Kanunu; σ = ε () Cl l şlinddir. Kartzyn oordinat sistmind; σ (σ i ) grilm bilşnlri, ε (ε i ) birim şil dğiştirm bilşnlri v C malzm özlli atsayılarıdır. Grilm yr dğiştirm ilişilri σ σ σ 6 = ε ε 66 ε 6 olara vrilir. Burada atılılardır v E = ν ν E = ν ν νe = ν ν 66 = G () (3)
Fn v Mühndisli Drgisi Cilt : 8 Sayı : 3 Sayfa No: 87 il bulunur. Bu dirngnlilr; E, E, ν v G olma üzr dört bağımsız malzm sabiti içrirlr... Grilm Bilşnlrinin Dönüşümü (x, y, z) oordinatları, bir problmin çözümünd ullanılan oordinatlar v (x, x, x 3 ) oordinatları da, tml malzm oordinatları olara tanımlanır (Şil ). Tabaalara üsttn baıldığında (trs olara), (x, y, z) oordinatları; x, x düzlmind x, x,x 3 ün saat ibrsi yönünd θ açısı adar döndürülmsi il ld dilir. z=x 3 x θ y x θ x Şil. Global oordinat sistmind fibr taviyli tabaa Bu ii sn taımındai oordinatlar arasındai grilm dönüşümü aşağıdai dnlmlr yardımıyla ld dilir: σ σ σ σ σ σ xx yy zz yz xz xy cos θ sin θ = sin θcosθ Bu şitli; sin cos θ θ sin θcosθ cosθ sin θ sin θ cosθ cos sin θ sin θ θ sin σ σ σ σ σ θ σ (s) p = [T](s) m (5) şlind yazılabilir. Burada [T], dönüşüm matrisidir. Malzm atsayılarının dönüşümü için; =[ ] [ ] [ ] T C T C T ifadsi vrilir. Burada[ C ] dirngnli matrisidir., malzm oordinatlarındai 6x6 boyutundai malzm 3 4 5 6 (4) (6)
Sayfa No: 88 A. BALTACI, A. SARIKANAT 3. KİRİŞİN KÜTLE VE DİRENGENLİK MATRİSLERİNİN ELDE EDİLMESİ Şil d göstriln 8 düğüm notalı 4 srbsli drcli izoparamtri abu lmanının şil foniyonları; öşlrdi düğüm notaları için ψi ( ξη, ) = ( + ξ)( + η)( ξ + η ) i =,3,5,7 (7) 4 orta notalardai düğüm notaları için ψi ( ξη, ) = ( + ξ )( + η ) i =,6 ψi ( ξη, ) = ( + ξ)( + η ) i = 4,8 olara yazılır. Burada, ξ = ξξi, η = ηηi olara vrilmiştir. (ξ i, η i ) is düğüm notalarının ğrisl oordinatlarda aldığı dğrlrdir v Çizlg d vrilmiştir (Rddy, 997). Çizlg. (ξ i, η i ) düğüm notalarının ğrisl oordinatlarda aldığı dğrlr i 3 4 5 6 7 8 x i - - - h i - - - Hr bir lmanın dirngnli matrisinin lmanları ( ) K = AS + A S + S + A S xx xy yx yy 6 66 K = A S + A S + A S + A S xy xx yy yx 6 6 66 ( ) K = A S + A S + S + A S xx xy yx yy 66 6 K = B R B R B R B R B R B R (9) 3 xxx xyy xxy yxx yyy yxy i i i 6 i 6 i 6 i 66 i K = B R B R B R B R B R B R 3 xxx xyy xxy yxx yyy yxy i 6 i 6 i 66 i i i 6 i ( ) ( ) ( ) K = DT + D T + T + D T + T + D T + T + 33 xxxx xxyy yyxx xxxy xyxx xyyy yyxy i l l l 6 l l 6 l l 4D T + D T xyxy 66 l yyyy l v ütl matrisinin lmanları M = I Ψ i Ψ j (8) M 3 i = I Ψ i ϕ x M = I Ψ i Ψ j ()
Fn v Mühndisli Drgisi Cilt : 8 Sayı : 3 Sayfa No: 89 M 3 i = I Ψ i ϕ y M 3 l = I şlinddir. Burada ϕ + I ϕ l S ψ ξη ψ i = Ω ξ η j ϕ x ϕ l x ξηζµ ψ ϕ l T = ξ η ζ µ ϕ + y ϕ l y ξηζ ψ i ϕ R = ξ η ζ N N [ A ] = [ ] t [ B ] = [ ] = N [ D ] = [ ] = t z = 3 t + dnlmlriyl hsaplanır v A,.tabaanın uzama dirngnli matrisi, B,.tabaanın uzama v ğilm çifti matrisi, D is.tabaanın ğilm dirngnli matrisi olara adlandırılır. A, B v D matrislrinin hsaplanmasında ullanılan.ıncı tabaanın alınlığı; t = z z v. z + z tabaanın mrzinin tabaalı ompozitin orta düzlmin olan uzalığı; z = dır (Şil ). ϕ is, bu lmanın intrpolasyon fonsiyonudur. t z () () Şil. z vt nın z v z - il olan bağlantısı 4. TABAKALI KOMPOZİT KİRİŞİN TİTREŞİM ANALİZİ Ço srbstli drcli sistmlrin titrşim davranışları, bir srbstli drcli sistmlrin titrşim davranışından farlıdır. N srbstli drcsin sahip böyl bir sistmin çözümlnbilmsi için, n tan difransiyl dnlm tanımlama grmtdir. Bundan dolayı da systm, n tan doğal fransa sahiptir. Bu difransiyl dnlmlrin çözümlri, homojn çözüm v özl çözümün toplamından oluşur. Homojn çözüm, sistmin srbst titrşim özllilrini göstrirn; özl çözüm sistmin zorlanmış titrşim özllilrini göstrir. Homojn çözüm il bulunan sistmin doğal fransları, bu sistmin zorlanmış titrşim özllilrini blirlm için özl çözümd ullanılır. Zorlanmış titrşimlrin blirlnbilmsi için ullanılan modal analiz yöntmind, sistmin doğal franslarının v mod şillrinin bilinmsi grlidir.
Sayfa No: 9 A. BALTACI, A. SARIKANAT N srbstli drcli sönümsüz srbst titrşimlrin homojn çözümü için gnl difransiyl dnlm M x&& + K x = şlinddir. Buradai M v K, simtri n x n boyutlarında olan ütl v atılı matrislri v x is n boyutunda gnl oordinatların olon vtörüdür. Eğr difransiyl dnlmlr oluşturulurn nrji yöntmi ullanılır is, M v K matrislri sinlil simtri olur. Simtri, srbst titrşim analizi için grli dğildir, faat zorlanmış titrşimlrin çözümü için bu matrislr mutlaa simtri olmalıdır. Eşitli 3 ün çözümü iwt x ( t ) = X şlinddir. Buradai w titrşimin fransı v X d n boyutlu sabit vtördür. Eşitli 4 di x dğri Eşitli 3 d yrin onulursa iwt ( w MX + KX) = iwt ld dilir. Buradan, olduğundan w MX + KX = (6) olacatır. Eşitli 6 M - il çarpılırsa - ( MK-wIX= ) sonucu ld dilir. Buradai I, n x n boyutlarında olan birim matris olup w, M - K nın özdğridir. Pozitif olan dğr doğal frans olara adlandırılır. N srbstli drcli sistmlrin zorlanmış titrşimlrinin tam çözümü için, birço yöntm bulunmatadır. Faat, bu sistmlrin zorlanmış titrşim davranışlarını blirlm için ullanılan n tili yöntm modal analizdir. Bu yöntmd, srbst titrşim analizi il hsaplanan mod şillri arasındai dili durumları, gnllşmiş oordinatlar il tml oordinatlar arasındai gçişi tanımlama için ullanılır. Modal analiz, ço srbstli drcli tüm sönümsüz linr sistmlr uygulanabiln tili bir yöntmdir (Graham, 993). Ço srbstli drcli sistmlr için tml oordinatlar, sçiln gnl oordinatların linr dönüşümü il bağıntılıdır. Bu linr dönüşüm x = Pp olmatadır. Burada P, modal matris olara adlandırılır. Eşitli 8 in hr ii tarafı P - il çarpılırsa p = P x dnlmi ld dilir. Ço srbstli drcli zorlanmış sönümsüz titrşimlrin gnl dnlmi ( ) Mx+Kx=F && t şlinddir. Eşitli 8, Eşitli d yrin onulursa ( ) MP p& + Kp = F t () ld dilir v bu şitliğin hr ii tarafı P T il çarpılırsa ( ) T T P MPp& + P Kp = G t () (3) (4) (5) (7) (8) (9) ()
Fn v Mühndisli Drgisi Cilt : 8 Sayı : 3 Sayfa No: 9 G T ( t ) P F( t ) = (3) şitlilri ld dilir. Eşitli, n tan şitli olara p&& p&& p&& 3 + w + w + w 3 p p p = G = G = G p&& n + wnpn= G M 3 ( t) () t () t 3 n () t şlind göstrilbilir. Eşitli 4 in çözümü; w, w, w 3,..,w n. adt zorlanmış titrşim fransını vrmtdir (Uyar, 3). 5. SONUÇLAR Kompozit irişin malzmsi olara glass-posi ullanılmış v 5x mm boyutlarında didörtgn olara modllnmiştir. Sınır şartı olara irişin sol ucu anastr olara bağlanmıştır (Şil 3). (4) Şil 3. Kirişin sonlu lman modli Farlı fibr oryantosyonlarında ld diln doğal franslar, Çizlg d göstrilmiştir. Çizlg v Şil 4 t göstriln dğrlr inclndiğind, doğal fransları n büyü olan bir aç diziliş [ 8 ], [(5/-5) 4 ], [(5/-5) ] s, [/45/-45/9] s, [ 3 /5] s şlind v doğal fransı n üçü olan diziliş is [(45/-45) 4 ] şlind bulunmuştur. Sonuçlardan görüldüğü gibi, n yüs doğal fransların ld dildiği tabaa dizilişlri, [(5/-5) ] s v [(5/-5) 4 ] dizilişlridir. Kiriş için n uygun tabaa dizilişlri, bunlardır. Bu sbpl, bu dizilişlrin mod şillri v toplam yr dğiştirmlri Şil 5 t vrilmiştir.
Sayfa No: 9 A. BALTACI, A. SARIKANAT Çizlg. Çşitli dizilişlrdn ld diln doğal franslar Tabaa Doğal Franslar (Hz) Dizilişi 3 4 5 6 [ 8 ] 86,36 6,36 55,5 756,3 57,6 3736,3 [ /9 ] s 69,67 486,8 7,6 644,4 6,9 368, [9 / ] s 7,3 486,8 79, 54,8 94, 6,9 [(/9) ] s 4,35 486,8 3, 485,4 6,9 354,6 [(9/) ] s 74,36 486,8 77,9 8, 6,9 97,4 [(/9) 4 ] 7,58 486,5 95,3 79,6 3,4 3448, [(9/) 4 ] 7,58 486,5 95,3 79,6 3,4 3448, [(3/-3) 4 ] 67,65 399,68 44, 383, 5, 93,5 [(-3/3) 4 ] 67,65 399,68 44, 383, 5, 93,5 [(45/-45) 4 ] 95,637 4,76 6,53 37,5 7, 569,4 [(5/-5) ] s 49,97 69,5 56,9 864, 38, 453,4 [(5/-5) 4 ] 55,8 66,4 569,5 8,4 3,5 485, 8 7 6 Doğal franslar (Hz.) 5 4 3 []8 [(5/-5)4] [(5/-5)]s [/45/- 45/9]s 3 4 5 6 7 8 Mod numarası Şil 4. Çşitli tabaa dizilişlrind ld diln doğal franslar
Fn v Mühndisli Drgisi Cilt : 8 Sayı : 3 Sayfa No: 93 Mod Mod Şil 5. [(5/-5) ] s dizilişi ullanılara modllnn ompozit irişin mod şillri
Sayfa No: 94 A. BALTACI, A. SARIKANAT Mod 4 Mod 3 Şil 5. [(5/-5) ] s dizilişi ullanılara modllnn ompozit irişin mod şillri (dvam)
Fn v Mühndisli Drgisi Cilt : 8 Sayı : 3 Sayfa No: 95 Mod 6 Mod 5 Şil 5. [(5/-5) ] s dizilişi ullanılara modllnn ompozit irişin mod şillri (dvam)
Sayfa No: 96 A. BALTACI, A. SARIKANAT Şil 6. Kuvvt zorlamalı irişin sonlu lman modli (a) x yönünd (b) y yönünd (c) z yönünd Şil 7. Kirişin 3 v 5 numaralı düğüm notalarındai yr dğiştirmlr
Fn v Mühndisli Drgisi Cilt : 8 Sayı : 3 Sayfa No: 97 [ 8 ], [(5/-5) 4 ], [(5/-5) ] s, [/45/-45/9] s, [ 3 /5] s v [(45/-45) 4 ] dizilişlrinin fransları, Şil 4 d vrilmiştir. Kiriş z yönünd srbst uçtan N lu uvvt uygulandığında (Şil 6), bu uvvt bağlı irişin yr dğiştirmlr cinsindn davranışı is, [(5/-5) ] s dizilişi için, Şil 7 d göstrilmiştir. Şild 3 v 5 numaralı düğüm notalarının sırası il x, y v z yönlrindi yr dğiştirm grafilri görülmtdir. Şillrd görüln tp dğrlri, rzonans dğrlridir. Kiriş bu franslarda rzonansa glmtdir. Çizlg d vriln sonuçlardan anlaşılacağı gibi, fibr yönlrin bağlı olara irişin doğal fransları büyü bir dğişm göstrmtdir. Doğal fransların yüs olması, irişin daha rit bir davranışa sahip olduğunu göstrir. Bu grçtn hartl, n uygun fibr yönlri blirlnir. Zorlanmış titrşim analizi il ld diln fransa bağlı yr dğiştirm sonuçları inclndiğind, n büyü yr dğiştirmlrin, uvvtin uygulandığı yöndi yr dğiştirmlr olduğu gözlnmiştir. Bu sonuçların dışında, modal analiz yapılırn, bazı dizilişlrin irişin bazı doğal franslarını tilmdiği d gözlnmiştir. Bu dizilişlr inclndiğind; sadc simtri olan dizilişlrd gçrli olma şartı il, ullanılan hr bir açının sayısı v bu açı dğrlri sabit tutulara yrlri dğiştirildiğind, iinci, bşinci v sizinci doğal fransların dğişmdiği ortaya çımatadır. KAYNAKLAR Danil I.M., Ishai O. (994): Enginring Mchanics of Composit Matrials, Oxford Univrsity Prss, Nw Yor. Graham K.S. (993): Fundamntals of Mchanical Vibrations, McGraw Hill, Inc. Kamal K., Durvasula S. (986): Som Studis on Fr Vibration of Composit Laminats, Composit Structurs, 5, s.77-. Ramtar G.S., Dsai Y.M. (): Natural Vibrations Of Laminatd Composit Bams By Using Mixd Finit Elmnt Modlling, Journal of Sound and Vibration, 57(4), s. 635-65. Rddy J.N. (997): Mchanics of Laminatd Composit Plats, Thory and Analysis, CRC Prss, Nw Yor. Rddy J.N., Chao W.C. (98): Larg-Dflction and Larg Amplitud Fr Vibrations of Laminatd Composit Matrial Plats, Computrs and Structurs, 3, s. 34-347. Romanlli E., Laura P.A.A. (): Forcd Transvrs Vibrations of a Simply Supportd Rctangular Orthotropic Plat in Th cas Whr th Forc Acts ovr a Plat Subdomain, Ocan Enginring, 8, s. 35-44. Shi G., Lam K.Y. (999): Finit Elmnt Vibration Analysis Of Composit Bams Basd On Highr-Ordr Bam Thory, Journal of Sound and Vibration, 9(4), s. 77-7. Uyar Ö. (3). Kompozit Kirişlrin Titrşim Analizi, E.Ü. Yüs Lisans Tzi.