BALİSTİK PENETRASYON BENZETİMLERİNDE JOHNSON-COOK MALZEME MODELİ SABİTLERİNİN ETKİSİNİN İNCELENMESİ Tansel Deniz (a), Namık Kılıç (b), R.Orhan Yıldırım (c) (a) Yüksek Lisans Öğrencisi ODTÜ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ, Ankara (b) OTOKAR OTOBUS KAROSERİ A.Ş., Sakarya, (c) ODTÜ KKK MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ, Kıbrıs ÖZET Balistik penetrasyon problemlerinin sayısal benzetimler yardımıyla çözümünde malzeme modeli seçimi büyük önem teşkil etmektedir. Johnson-Cook malzeme modeli bu tür problemlerin çözümünde sıklıkla kullanılmaktadır. Bu modeli oluşturan sabitlerin sayısal benzetimlere ne derece etki ettiklerinin saptanması ve kullanılacak sabitlerin incelenmesi; bu malzeme modelinin ve oldukça kompleks girdileri olan balistik penetrasyon probleminin anlaşılmasını daha da kolaylaştıracaktır. Bu bildiride SPHB (Split Hopkinson Pressure Bar) tekniği ile elde edilen J-C dayanım ve kırılma modeli sabitleri temel alınarak bu sabitlerde yapılacak değişikliklerin malzeme modeli sonuçlarına etkileri incelenmiştir. Anahtar Kelimeler: Malzeme modeli, Sayısal benzetim, Balistik penetrasyon ABSTRACT Material model selection is significant in solving ballistic penetration problems with the help of numerical simulations. It s known that, Johnson-Cook material model is a popular choice in these simulations. It s necessary to analyse the influence of the material model constants to have an insight in to the material model and ballistic penetration phenomena. In this study, J-C strength and failure model parameters derived from SPHB (Split Hopkinson Pressure Bar) tests are taken as basis and the effects of changing this parameters on material model results are discussed. Keywords: Material model, Numerical simulation, Ballistic penetration 1. GİRİŞ Balistik penetrasyon problemleri; yüksek hızlarda deformasyon, şok dalgaları yayılımı, erime gibi lineer olmayan malzeme davranışını içerir. Bu yüzden, problemin hidrokod yazılımları yardımıyla (sayısal yöntemlerle) çözülebilmesi için dinamik malzeme özellikleri ve oluşan gerinim hızları gibi girdiler detaylı bir şekilde incelenmelidir. Bu doğrultuda; yapılacak olan malzeme modeli seçimi elde edilecek olan sonuçların geçerliliğine doğrudan etki eder.
Literatürde bulunan bir çok malzeme modeli içerisinden Johnson-Cook dayanım ve kırılma modeli [1,2]; balistik problemlerin modellenmesinde sıklıkla kullanılagelmektedir. Bu çalışmada, Johnson-Cook dayanım ve kırılma modeli ele alınmış olup, bu malzeme modelinin ve ele alınan olgunun daha iyi anlaşılabilmesi için model değişkenleri incelenmiştir. Split Hopkinson Pressure Bar deneyi ile elde edilen model sabitleri temel alınarak bu sabitler üzerinde yapılacak değişikliklerin hangi sonuçları vereceği gösterilmiştir. Dayanım ve kırılma modelinden elde edilen sonuçların model sabitlerine olan hassasiyetleri saptanarak model kalibrasyonunda yapılabilecek hataların vereceği sonuçlar üzerinde durulmuştur. Son olarak da, adyabatik kayma bantlarının oluşabileceği instabilite gerinimi değerleri bulunmuştur. 2. TEORİ Hidrokod yazılımı, ele aldığı fiziksel gerçekliği çözerken gerinim tensörünü sapma (sij) ve hidrostatik basınç (p) olarak ikiye ayırır: sij = sij + p*dij (1) Hal denklemleri hidrostatik basınçla içsel enerji ve yoğunluk arasında bağıntı kurar. Şok dalgalarının görülebileceği durumlarda hal denkleminin doğru bir şekilde tanımlanması elzemdir. Malzeme deformasyonunu sağlayan etmen olan sapma gerilmeleri dayanım modeli ile incelenir. Son olarak da malzemenin deformasyon miktarını sınırlamak için kırılma modelinin kullanılması gerekmektedir. Kullanılacak olan malzeme modelii ele alınan olgunun içerdiği fiziğe göre seçilmelidir. Tamamen ampirik olan Johson-Cook dayanım modeli akış (flow) gerilmesini açık bir formda gerinim, gerinim hızı ve sıcaklık cinsinden ifade eder: [1 T m ] (2) σ=[ A Bε Pn ] [ 1 C ln ε P ε ] Burada A, B, n, C ve m malzeme sabitleri, ε referans gerinim hızı ve T * ise homolog sıcaklıktır. Denklem içerisindeki ilk parantez gerinim sertleşmesini, ikinci parantez gerinim hızına bağlı sertleşmeyi ve son parantez de sıcaklık etkilerini belirtir. Kırılma modeli ise yine aynı şekilde kırılma gerinimini; gerilme üç-eksenlilik oranı, gerinim hızı ve sıcaklık cinsinden ifade eder: ε f =[D 1 D 2 exp D 3 σ ] [ ε 1 D P ] [ 4 1 D ε 5 T ] (3) Burada D1,..,D5 testlerden elde edilen malzeme sabitleridir. Denklem içerisindeki ilk parantez gerinimi gerilme üç eksenlilik oranının bir fonksiyonu olarak ifade ederken, ikinci parantez gerinim hızı etkilerini ve son parantez ise sıcaklık etkilerini belirtir. Kırılma, malzeme elemanındaki hasar bire eşit
olduğunda gerçekleşir, çünkü esas denklem ile hasar arasında bir bağıntı yoktur. Hasar (D) şu şekilde ifade edilir: D= Δε ε f (4) Malzeme içerisinde oluşan gerinim hızlarına bağlı olarak adyabatik ısınma meydana gelir. Bu ısınma neticesinde malzemenin dayanımı düşer. Isınma miktarı aşağıdaki denklemle ifade edilir [3]. dt=β 1 ρc P σ ε dε (5) Burada b değeri yapılan mekanik işin ısıya dönüşme oranını belirtir. Yapılan deneylerle,9-1, arasında değer aldığı bilinmekte olup LS-Dyna yazılımı bünyesinde,9 olarak alınmıştır. Kullanılan malzeme modeli adyabatik kayma bantlarının oluşabileceği instabilite gerinimine [3] kadar fiziksel gerçeklikle paralel gider. Bu gerinimden daha yüksek gerinimlerin elde edilmesi durumunda instabiliteler oluşabileceği için model sonuçları ile test sonuçları karşılaştırılmalıdır. İnstabilitelerin oluşabileceği gerinim, (6) koşulu ile ifade edilir. 3. DAYANIM MODELİ dσ / dε = (6) Balistik delme probleminin daha iyi incelenmesi adına, sayısal benzetimlerde kullanılmak üzere çelik hedef malzemesi ve 7.62mm AP mermisinin çekirdeği için Johnson-Cook malzeme modeli sabitleri İYTE Dinamik Malzeme Laboratuvarı'nda gerçekleştirilen deneylerle elde edilmiştir. Yüksek gerinim hızlarında gerçekleştirilen testler SHPB düzeneğinde yapılmıştır. Elde edilen malzeme sabitleri gizli tutulduğu için bu çalışma kapsamında verilememektedir. Zırh çeliği için kullanılan alaşım Armox 5T'ye yakın olup, bu malzemenin dayanım modeli Nilsson [4], kırılma modeli ise Skoglund ve arkadaşları [5] tarafından bulunmuştur. LS-Dyna yazılımında yapılan ön benzetimlerle penetrasyon sırasında oluşan gerinim hızı değerlerinin çoğunlukla 1-1 1/s arasında olduğu saptanmış olup malzemenin büyük bir kısmının ortalama 1 1/s gerinim hızında deforme olduğu değerlendirilmiştir. Mermi çekirdeği ve hedef malzemesi için oluşturulan Johnson-Cook dayanım denklemi ile, 1 1/s gerinim hızı ve adyabatik koşullar altında oluşturulan gerilme-gerinim grafiği Şekil 1'de verilmiştir. Adyabatik ısınma sonucunda hedef malzemesi 267 o C, çekirdek malzemesi ise 327 o C sıcaklık değerine ulaşmıştır.
Gerinim-Gerilme Grafiği 3 25 Gerilme (MPa) 2 15 1 Hedef malzemesi Çekirdek Malzemesi 5,,1,2,3,4,5,6 Gerinim Şekil 1. Hedef ve çekirdek malzemesi için adyabatik gerilme-gerinim grafiği Dayanım denkleminde (2), A sabiti malzemenin sıfır gerinimdeki akma gerilmesidir. Bundan dolayı bu sabitin alabileceği değer belirlidir. B sabiti ise gerinim sertleşmesi sabitidir. Bu değerin arttırılması ya da azaltılması durumunda Şekil 1'de verilen grafik aynı şekilde yukarı ve aşağı yer değiştirir. Yine bu ifadenin alabileceği değer belirlidir. Gerinime bağlı sertleşmeyi belirleyen son parametre gerinim üssü (n) olup bu sabit, akma gerilmesi grafiğinin şeklini belirleyen ana parametredir. Hedef malzemesi için bu sabitin,1 ile,6 arasında değiştirilmesi ile elde edilen akma gerilmesi-gerinim grafiği Şekil 2'de verilmiştir. Gerinim üssü etkisi 3 275 Gerinim sertleşmesi (MPa) 25 225 2,1,2,3,4,5,6 175,,1,2,3,4,5,6 Gerinim Şekil 2. Gerinim sertleşmesinde gerinim üssü (n) sabitinin etkisi
Şekil 2'de verilen grafik incelendiğinde, n sabitinin değeri ile akma gerilmesinin ters orantılı olduğu görülmektedir. Bu şekilde, düşük n değerine sahip olan bir mermi çekirdeği, balistik çarpma olayının başlarında hızlı bir şekilde sertleşecek ve delinmeyi arttıracaktır. Nitekim LS-Dyna yazılımında yapılan sayısal benzetimler bu yaklaşımı doğrulamıştır. Dayanım modelindeki (2) ikinci çarpan KC olarak ifade edilerek, gerinim hızı sabitinin (C) farklı değerleri için bu çarpanın aldığı değerler Şekil 3'te verilmiştir. 1 8 6 KC 4 C=.5 C=.5 C=.5 2 1 1 1 1 1 Gerinim Hızı (1/s) Şekil 3. K C çarpanının gerinim hızı sabitine (C) bağlı olarak değişimi Şekil 3'te verilen grafiğe göre, C sabitinin değeri,5 iken 1 katına çıkarılarak,5 yapılmış ve balistik çarpma problemi için ortalama bir gerinim hızı olan 1 1/s değeri için KC değeri yaklaşık 1,5 katına çıkmıştır. Bu da, C sabitinde 1e-3 mertebesinde yapılacak değişikliklerin gerinim hızı KT sertleşmesini fazla değiştirmeyeceğini göstermektedir. 1,8,6 KT,4,2 m=.1 m=.5 m=1. m=1.5 m=1,2,4,6,8 1 Homolog sıcaklık Şekil 4. K T çarpanının m sabitine bağlı olarak değişimi Dayanım modelindeki (2) üçüncü çarpan KT olarak ifade edilerek, sıcaklığa bağlı yumuşama (m) sabitinin farklı değerleri için bu çarpanın aldığı değerler Şekil 4'te verilmiştir. Bu grafiğe göre, m sabitinin değeri 1 olduğu zaman
malzeme sıcaklığa bağlı lineer bir yumuşama gösterirken, sabitin değerinin artırılması ile malzemenin sıcaklığa bağlı yumuşamasının azalacağı görülmektedir. Çelik malzemeler için genel olarak bu değer.5 ile 1.5 arasında değişmektedir. Test çalışmaları ile elde edilen sabitlerin değerlendirilmesindeki bir aşama ise hassasiyet analizidir. Saltelli ve arkadaşları [6] tarafından gösterilen yöntem uygulanarak dayanım denkleminde yer alan malzeme sabitlerinin malzeme modeli sonuçlarına etkilerinin gerinim, gerinim hızı ve sıcaklığın değimesi ile ne kadar değiştiği saptanmaya çalışılmıştır. Bu çalışma hedef malzemesi için yapılmıştır. Hassasiyetlerin bulunması için dayanım denkleminin (2); A, B, n, C ve m parametrelerine göre türevi alınıp bu parametrelere bağlı hassasiyet miktarlarının aynı grafik içinde gösterilebilmesi için yine aynı parametrelerle çarpımları yapılmıştır. Elde edilen hassasiyetlerin malzemedeki gerinim Hassasiyet miktarına göre değişimi Şekil 5 te, homolog sıcaklığa bağlı değişimi ise Şekil 6 da verilmiştir. 125 Hassasiyet miktarı (MPa) 1 A*ds/dA 75 B*ds/dB 5 C*ds/dC 25 m*ds/dm n*ds/dn,1,2,3,4,5,6-25 -5-75 Gerinim Şekil 5. Dayanım modeli hassasiyetinin gerinime bağlı değişimi Şekil 5 te görülen grafik 1 1/s gerinim hızı değeri için elde edilmiştir. Bu grafiğe göre, düşük gerinim değerleri için m parametrelerine bağlı hassasiyetin düşük olduğu görülmekte, artan gerinimle oluşan adyabatik ısınma sonucu bu parametreye bağlı hassasiyetin ön plana çıktığı görülmektedir. Gerinim hızı değişmediği için C parametresine bağlı hassasiyet değişim göstermemiştir. n parametresi için bulunan negatif hassasiyet bu parametrenin artırılması ile gerilmenin düşeceği anlamına gelmektedir. Bu sonuç Şekil 2 de elde edilen sonuçla paraleldir. Artan gerinim miktarı ile, n ve A parametrelerine bağlı hassasiyet düşerken m ve B ye bağlı hassasiyet artmıştır. Gerinim hızının değiştirilmesi ile parametrelerin hassasiyetlerinin fazla bir değişim göstermediği bulunmuştur. Şekil 6 da elde edilen grafik 1 1/s gerinim hızı ve,2 gerinim değeri için elde edilmiştir. Bu grafiğe göre, dayanım modeli parametrelerinin artan sıcaklığa bağlı yumuşama ile azaldığı gözlenmiştir. m parametresinin düşük sıcaklıklarda düşük hassasiyet gösterdiği, daha sonra artan sıcaklıkla birlikte
(Şekil 5 e paralel olarak) hassasiyetinin,3 gerinime kadar hızla arttığı görülmüştür. Hassasiyet grafiği 15 Hassasiyet miktarı (MPa) 125 1 75 5 25-25 A*ds/dA B*ds/dB C*ds/dC m*ds/dm n*ds/dn,1,2,3,4,5,6,7,8,9 1-5 Homolog Sıcaklık Şekil 6. Dayanım modeli hassasiyetinin homolog sıcaklığa bağlı değişimi Dayanım modeli ile ilgili sonuçların değerlendirilmesi ile ilgili bir diğer husus ise adyabatik kayma bantlarının oluşmaya başlayabileceği instabilite geriniminin bulunmasıdır. Yapılan hesaplamaya göre hedef malzemesi için,2, mermi çekirdeği için ise,18 gerinim değeri bu instabilitelerin oluşmaya başlayabileceği koşula işaret etmektedir. 4. KIRILMA MODELİ Hedef malzemesi için oluşturulan kırılma modeli 3. Bölümde gösterilen yöntem ile hassasiyet açısından incelenmiştir. Model sonuçlarının parametrelere göre hassasiyetinin gerilme üç-eksenlilik oranına göre değişimi Şekil 7 de, gerinim hızına göre değişimi Şekil 8 de ve son olarak homolog sıcaklığa bağlı değişimi Şekil 9 da verilmiştir. Malzeme testleri kapsamında sıcaklığa bağlı parametre olan D5 değeri bulunmamış olup bu parametre için dan farklı değerlerin kullanılması ile elde edilen grafik şekillerinin fazla bir değişim göstermediği bulunmuştur. Şekil 7-9 da verilen grafikler için D5 değeri dan farklı bir değerdir. Şekil 7 de verilen grafik; 1 1/s gerinim hızı ve bu hıza bağlı elde edilen sıcaklık için oluşturulmuştur. Grafiğe göre, negatif gerilme üç-eksenlilik oranları için model parametrelerinin hassasiyetleri sıfıra yakındır. Bu da çekme gerilmesi durumları için model hassasiyetinin bulunmadığını gösterir. Yine artan gerilme üç-eksenlilik oranıyla birlikte sırasıyla birlikte gerinim hızı (D4) parametresine bağlı hassasiyetin belirgin bir şekilde arttığı görülmüştür. D3 parametresine bağlı hassasiyet negatif yönde artış gösterirken D2 ye bağlı hassasiyet ise pozitif yönde artış göstermiştir.
Kırılma Parametreleri hassasiyeti Hassasiyet Miktarı 3 def/dd1 def/dd2 2 def/dd3 def/dd4 1 def/dd5-2 -1,5-1 -,5,5 1 1,5 2-1 -2 Gerinim üç-eksenlilik oranı Şekil 7. Kırılma modeli hassasiyetlerinin gerilme üç-eksenlilik oranına bağlı 4 Kırılma parametreleri hassasiyeti değişimi Hassasiyet miktarı 3 2 1-1 def/dd1 def/dd2 def/dd3 def/dd4 def/dd5 5 1 15 2 Gerinim Hızı (1/s) Şekil 8. Kırılma modeli hassasiyetlerinin gerinim hızına bağlı değişimi Şekil 8 de verilen grafik tek ensenli gerilmede elde edilen σ * = 1/3 değeri ve T * =,1 durumu için oluşturulmuştur. Grafiğe göre, gerinim hızının artması ile birlikte gerinim hızı (D4) parametresine bağlı hassasiyet belirgin bir biçimde artmıştır. Diğer parametrelere bağlı hassasiyetlerde fazla bir değişim görülmemiştir. Hesaplamalarda gerinim hızına bağlı adyabatik ısınma etkisi eklenmesi durumunda (sayısal benzetimlerde) D5 parametresinin hassasiyet değerinin artış göstereceği düşünülmektedir. Şekil 9 da gösterilen grafik 1 1/s gerinim hızı ve 1/3 gerilme üç-eksenlilik oranı için elde edilmiştir. Bu grafiğe göre D5 dışındaki parametrelerin hassasiyet değeri artan homolog sıcaklıkla birlikte artmaktadır. Gerinim hızına (D4) bağlı hassasiyetin ön plana çıktığı görülmüştür. 5. DEĞERLENDİRME Bu çalışmada, balistik delme benzetimlerinden elde edilecek sonuçların daha sağlıklı irdelenebilmesi açısından, Johnson-Cook dayanım ve kırılma parametrelerinin model sonuçlarına etkisi incelenmiştir. SHPB testleri ile hedef malzemesi için elde edilen malzeme parametrelerinin model sonuçlarına olan
hassasiyetleri gösterilmiştir. Bu şekilde, elde edilen hassasiyetler ile model kalibrasyonu sırasında oluşan belirsizlikler arasında karşılaştırma yapılarak elde edilen model incelenebilir. Bu çalışmada elde edilen sonuçlar ve yorumları aşağıdaki gibi özetlenebilir: Hedef ve çekirdek malzemesi için elde edilen dayanım, yüksek gerinim hızlarında adyabatik ısınma göz önünde bulundurularak hesaplandığında bir maksimum değere ulaşmakta ve daha sonra düşüş göstermektedir. Dayanım modelinde gerinime bağlı sertleşmeyi belirten kısımda A ve B parametreleri statik testlerle kolayca belirlenebileceği için bu sabitlerin alabileceği değerler belirlidir. Dayanım modelinde gerinime bağlı sertleşme grafiğinin şeklini belirleyen ana parametre n olup, bu parametre dayanım miktarı ile ters orantı gösterir. Dayanım modelinde C parametresinin artırılması malzemeyi yüksek gerinim hızlarında sertleştirmekle beraber, balistik çarpma sırasında elde edilen gerinim hızları için bu parametrede 1e-3 mertebesinde yapılan değişiklikler model sonuçlarını fazla etkilememektedir. Dayanım modelinde m parametresinin değerinin arttırılması ile termal yumuşamanın azaldığı gösterilmiştir. Yüksek gerinim hızlarında, gerinim miktarının artması ile birlikte adyabatik ısınma görülmekte ve bundan dolayı yüksek gerinim değerleri için m parametresine bağlı hassasiyet ön plana çıkmaktadır. Adyabatik kayma bantlarının oluşabileceği instabilite gerinimi değerleri hesaplanmıştır. Gerinim miktarının bu değerleri aştığı durumlarda (yüksek gerinim hızları çerçesinde) model sonuçları test sonuçları ile karşılaştırılmalı, ve gerektiği durumlarda instabilite gerinimine bağlı ek bir kırılma modeli üzerinde düşünülmelidir. Kırılma modelinde çekme gerilmesi durumunda model parametrelerinin hassasiyetlerinin sıfıra yakın olduğu görülmüştür. Basma durumunda ise gerinim hızına bağlı etkiler ön plana çıkmıştır. Kırılma modelinde gerinim hızının artırılması ile birlikte olan adyabatik ısınmaya bağlı olarak da D5 parametresinin hassasiyet değeri ön plana çıkmıştır. Sıcaklığın artmasıyla birlikte kırılma modeli üzerinde gerinim hızına bağlı parametre (D4) hassasiyeti diğerlerine göre daha fazla artış göstermiştir.
25 2 Hassasiyet Miktarıı 15 1 5 def/dd1 def/dd2 def/dd3 def/dd4 def/dd5,1,2,3,4,5,6,7,8,9 1 Homolog Sıcaklık Şekil 9. Kırılma modeli hassasiyetlerinin homolog sıcaklığa bağlı değişimi TEŞEKKÜR Yazarlar Otokar Otobüs Karoseri San. A.Ş. ye finansal ve teknik destekten ötürü teşekkür ederler. KAYNAKÇA [1] Johnson G.R., Cook W.H., A Constitutive Model and Data for Metals Subjected to Large Strains, High Strain Rates and High Temperatures, Proceedings of the 7 th International Symposium on Ballistics, the Hague, Hollanda, Nisan 1983 [2] Johnson G.R., Cook W.H., Fracture Characteristics of Three Metals Subjected to Various Strains, Strain Rates, Temperatures and Pressures, Engineering Fracture Mechanics, Vol. 21, Num. 1, pp. 31-48, 1985 [3] Meyers M. A., Dynamic Behaviour of Materials, New York: Wiley Interscience, 1994 [4] Nilsson M., Constitutive model for Armox 5T and Armox 6T at low and medium strain rates, FOI, Swedish Defence Research Agency, Stockholm, FOI-R-168-SE, 23 [5] Skoglund P., Nilsson M., Tjenberg A., Fracture Modelling of a High Performance Armour Steel, J. of Physic IV France Vol 134, 26, pp197-22 [6] Saltelli A, Tarantola S., Campolongo F., Ratto M., Sensitivity analyisis in practice. A guide to assessing scientific models, Chichester: John Wiley; 24