PI KOTROLÖR TASARIMI VE PERFORMAS AALİZİ Abdullah YEİGÜ 1 v usrt TA 1 Yüksk Lsans Öğrncs İnönü Ünvrsts, Mühndslk Fakülts, Elktrk-Elktrnk Mühndslğ Bölümü, 4480, Malatya. -sta: ntan@nnu.du.tr Anahtar sözcüklr: Kararlılık, PI kntrl, Kararlılık bölgs, Kazanç ayı, Faz ayı, St cvabı ABSTRACT Ths ar dals wth th cmutatn f all stablzng PI cntrllrs. A mthd calld th stablty bundary lcus arach s dscrbd. A rgram s rard n th Matlab nvrnmnt fr cmutatn f all stablzng PI cntrllrs f sm cmmnly usd standard transfr functns. Prfrmanc analyss f th cntrl systms usng th stablty rgn s studd. 1. GİRİŞ PID kntrlörlr, dayanıklı rfrmans v bast yaıları sbbyl ndüstrd sıklıkla kullanılmaktadırlar. Grçktn, %90 dan fazla kntrlör yaısı PID yaısında vya daha çk ratk uygulamalarda türvsl kısmının sık kullanılmaması sbbyl PI şklnddr [1]. Bu kntrlörlrn aramtrlrn blrlmk çn kullanılan br çk mtt [-3] sn 60 yılda glşm göstrmştr. En ülr mttlardan bazıları: Zglr - chls ayarlama mttları, Chn Cn kuralları, Åström Häggland mtdu, glşmş Zglr chls mtdu, dahl mdl kntrl (IMC tasarım yaklaşımı, kazanç v faz ayına dayanan tasarımlar v ntgral rfrmans krtrlrn dayanan dğr mttlardır. Sn zamanlarda s karalı tüm P, PI v PID kntrlörlrn hsabıyla lgl brçk önml snuç ld dlmştr [4-13]. PI kntrlör yaısı bast v br çk kntrl sstm çn çk y snuçlar sağlayan br kntrlör yaısı lduğu çn br kntrl sstmn kararlı yaablck k aramtrsnn bütün dğrlrnn hsalanması önml lacaktır. Makal, bu rblm l lgldr v kararlılık sınır ğrsnn ( k, k düzlmnd çzmn dayalı br mtt tanıtmaktadır [7-8]. Kararlılık sınır ğrs kntrlör aramtrlrn v frkansa bağlıdır. Örnğn, l ( k, k, göstrm ( k, k düzlmnd kararlılık sınır ğrsn fad tmktdr. Kararlılık sınır ğrs ω ya bağlı lduğu çn ω 0 dan a kadar dğşblr. Fakat hang frkans aralığında kararlı kntrlör aramtrlrnn bulunablcğ v çzm çn grkl frkans aralığının tahmn dlblcğ çalışmada göstrlmştr. Dlayısıyla öztlnn mttla br kntrl sstmn kararlı yaablck tüm PI kntrlör aramtrlrnn çk hızlı hsalanablr. Ayrıca vrln mtt, kullanıcı çn grkl kazanç ayı v faz fayı dğrlrn d sağlayan tüm kararlı PI katsayı aralığını hsalayablmktdr. Bu dğrlr br kntrl sstmnn rfrmansı l lgl dğrlrdr. Matlab rtamında hazırlanan rgramlarla sıkça kullanılan bazı standart frmdak transfr fnksynlarını kararlı yaacak bütün PI kntrlörlr klayca hsalanablmktdr. Hsalanan kararlı bölgd sçln kntrlörlrn sstmn rfrmansına tklr d nclnblmktdr.. PI KOTROLÖR KULLAARAK KARARLILIK Şkl 1 d vrln tk grş-tk çıkışlı sstmd τs ( τs G ( (1 D( kntrl dlmk stnn sstmn transfr fnksynunu v C( d k k s + k C( k + ( s s frmundak br PI kntrlörü göstrmktdr. Amacımız şkl 1 d vrln sstm kararlı yaan dnklm ( dk PI kntrlörün tüm aramtrlrn hsalamaktır.
Şkl 1: Br tk grş-tk çıkışlı kntrl sstm Sstmn kaalı çvrm karaktrstk dnklm τs ( sd( + ( k s + k ( (3 Şklnd yazılablr. Dnklm (1 d s jω alınarak, n ay v aydasının tk v çft kısımlarını yazarsak, + jω G ( j (4 D + jωd Bast göstrm açısından lr bundan snrak dnklmlrd yazılmayacaktır. Böylc Dnklm (3 tk karaktrstk dnklm ( j [( k k ω cs( ωτ + ω( k + j[ ω( k ( k + k + k ω k sn( ωτ ω D cs( ωτ sn( ωτ + ωd R + ji 0 yazılablr. Snra, ( j nın rl v sanal kısımları sıfıra ştlnrs k + k ( v k ( ω + k ( ω ld dlr. R( ω cs( ωτ + ω cs( ωτ + ω cs( ωτ cs( ωτ + ω X ( ω D v + _ ω sn( ωτ ω D cs( ωτ + ω cs( ωτ + ω U ( ω Y ( ωd C( cs( ωτ ] sn( ωτ sn( ωτ ] sn( ωτ ωd cs( ωτ + ω sn( ωτ sn( ωτ (5 (6 (7 (8 tanımlanırsa Dnklm (6 v (7 şu şkld yazılablr k + k R( X ( (10 k + ku ( Y ( Bu dnklmlrdn sn( ωτ sn( ωτ G ( (9 X ( U ( Y ( R( k (11 U ( R( v Y ( X ( k (1 U ( R( Dnklm (8 v (9, Dnklm (11 v (1 d yrn yazılırsa, ( ω D + D cs( ωτ + ω( D D sn( ωτ k ( + ω (13 v ω ( D D cs( ωτ ω( D + ω D sn( ωτ k ( + ω (14 lduğu görülür. Dnklm (13 v (14 kullanılarak, kararlılık sınır ğrs, l ( k, k,, ( k, k düzlmnd çzlblr. Kararlılık sınır ğrs ld dldktn snra sstm kararlı yaacak PI kntrlörlrn bölgs bulunablr. Çünkü kararlılık sınır ğrs l k 0 dğrusu aramtr düzlmn yan ( k, k düzlmn karalı v kararsız bölglr bölr. Bu bölglrd sçlck kntrlörün aramtr dğrlr kullanılarak hang bölgnn sstm kararlı yaacak aramtrlr çrdğ bulunablr. Burada k 0 dğrusu kararlılık bölgsnn br sınırıdır çünkü ( n br rl kökü da sanal ksn s 0 ksr. Dlayısıyla Dnklm (5 t ω 0 çn I zatn sıfır lmaktadır v ω 0 çn R yı sıfıra ştlrsk k 0 ld dlr. Görülcğ gb kararlılık sınır ğrs frkansa yan ω ya bağlıdır v ω da 0 dan a dğşmktdr. Fakat kararlılık sınır ğrsn ω c gb krtk br frkans dğrn kadar çzmmz ytrl lacaktır. Çünkü Dnklm (1 dk G ( n s jω c d fazı 180 y şt lduğu çn, 1 ω ω D tan tan 1 ωτ π (15 D vya ω( D D tan( ωτ f ( (16 D + ω D yazılablr. Dlayısıyla, ω c Dnklm (16 nn ( 0, π aralığında çözümündn ld dlr. tan ( ωτ v f ( yı ω ya karşılık çzdğmzd ω c, tan ( ωτ v f ( nın ksştğ n küçük ω dğrdr. Blndğ gb kazanç ayı v faz ayı klask kntrl trsnd kntrlör tasarımı çn kullanılan k önml
rfrmans ölçüsüdür. Yukarıdak yaklaşım stnln faz v kazanç aylarını sağlayan PI kntrlörlrn bulunması çn d kullanılablr. Şkl 1 d vrln kntrl sstmn kazanç-faz ayı tst dcs, jφ Gg ( A, klnrs ( ω D + D cs( h + ω( D D sn( h k A( + ω (17 and ω ( D D cs( h ω( D + ω D sn( h k A( + ω (18 dnklmlr ld dlr. Burada h ωτ + φ dr. Kararlılık sınır ğrsn vrln A kazanç dğr çn ld tmk stdğmzd, Dnklm (17 v (18 d φ 0 yazılmalıdır. Dğr taraftan stnln faz ayı φ çn s A 1 yazılmalıdır. 3. STADART FORMDAKİ BAZI TRASFER FOKSİYOLARI KARARLILIĞI Bu bölümd glştrlmş lan rgramın bazı uygulamaları göstrlcktr. Şmdlk rgram K τs Ts + 1 K τs ( T1s + 1( Ts + 1 1 s s K τs ( Ts + 1 K s + 1 Kω0 ( s + 1( s + ςω0s + ω0 K n ( s + 1 K s( T s + 1( T s + 1 1 frmdak transfr fnksynları kararlı yaacak bütün PI kntrlörlrn hsalanmasını klaylaştırmaktadır. İlrd rgram daha da glştrlrk klay kullanımlı hal dönüştürülcktr. Örnk 1: Şkl 1 dk kntrl sstmnd 3 s + 4s s + 1 G ( (19 5 4 3 s + s + 3s + 14s 4s + 50 Dnklm (13 v (14 tn 8 6 4 ω + 3ω + 94ω 10ω + 50 k (0 6 4 ω 18ω + 7ω 1 v 8 6 4 ω 117ω 0ω 46ω k (1 6 4 ω 18ω + 7ω 1 ld dlr. Bu dnklmlr kullanılarak kararlılık sınır ğrs ld dlr. Örnğn, kararlılık sınır ğrs yan l ( k, k, ω [0.45,7.8] çn Şkl d görülmktdr. Şkld d görüldüğü gb kararlılık sınır ğrs ( k, k düzlmn R1, R, R3, R4 v R5 l göstrln bölglr ayırmaktadır. Bu bölglrd tst nktaları sçlrk hang bölgnn kararlı lduğu bulunablr. Örnğn, R5 bölgsnd sçln k 13 v k 5 dğrlr çn sstmn karaktrstk dnklmnn sağ yarı düzlmd k kökü vardır. Dlayısıyla R5 bölgs kararlı bölg dğldr. Sstm kararlı yaacak tk bölgnn R1 bölgs lduğu tst dlblr. Örnğn, R1 bölgsnd sçln k 5 v k 0 çn sstmn karaktrstk lnmu 6 5 4 3 ( s + s + 37s + 54s + 71s + 35s + 0 kararlı br lnmdur. Sstm kararlı yaan bütün k v k dğrlrn çrn R1 bölgs Şkl 3 t görülmktdr. Şkl : Kararlılık sınır ğrs Örnk : Şkl 1 d 7 τs G ( ( 3 ( s 0.1( s +.8 lsun. Dnklm (13 v (14 tn
k 4 ( 0.037ω + 0.84ω + 0.0813 cs( τ (3 3 + ( 0.3074ω + 0.76sn( τ v k 4 ( 0.3074ω + 0.77ω cs( τ (4 5 3 + (0.037ω 0.84ω 0.0813ω sn( τ ld dlr. τ 0. 3, τ 0. 4, τ 0. 5, τ 0. 6 v τ 0.7 çn kararlı bölglr Şkl 4 t görülmktdr. Burada zaman gckmsnn kararlı bölg üzrnd önml drcd tkl lduğu gözlnblr. Şkl 3: Sstm kararlı yaan bütün PI kntrlörlr v k ω + 1 sn( + ω cs( (7 v Şkl 5 t kararlı bölg vrlmştr. Sstmn faz ayını 45 dn büyük yaacak PI kntrlörlrn bulmak çn Dnklm (17 v (18 d A 1 v φ 45 alınırsa k ω sn( h + 1 cs( h (8 v k ω + 1 sn( h + ω cs( h (9 ld dlr. Burada h ω + π / 4 dr. Kararlılık sınır ğrs φ 45 v ω (0,0.895 çn Şkl 5 t görülmktdr. Bnzr şkld φ 0 v A. 5 alınırsa k 0.8ω sn( 0.4 + 1 cs( (30 v k 0.8ω cs( + 0.4ω( ω + 1 sn( (31 dnklmlr ld dlr. Kararlılık sınır ğrs A. 5 v ω (0,1.307 çn Şkl 5 t vrlmştr. Sstmn faz ayını 45 dn büyük v kazanç ayını da.5 tan büyük yaan bütün k v k dğrlr bu k bölgnn ksşmndn luşur. Örnğn k bölgnn ksşm nktalarından brn karşılık gln k 0.5 v k 0. 46 dğrlr çn G ( j C ( j nın yqust dyagramı Şkl 6 d çzlmştr. Şkl 6 da faz ayının 45 ayının.5 drc lduğu görülmktdr. φ 45 bölgsnd sçln dğşk v kazanç A.5 v k dğrlr çn sstmn st tks Şkl 7 d vrlmştr. v k Şkl 4: Farklı τ dğrlr çn kararlılık bölglr Örnk 3: Şkl 1 d 1 s G ( (5 ( s + 1 lsun. Amaç sstmn kazanç ayını.5 tan büyük v faz ayını da 45 dn büyük yaacak bütün PI kntrlörlrn bulmaktır. Dnklm (1 v (13 tn k ω sn( + 1 cs( (6 Şkl 5: φ 45 v A. 5 çn kararlılık bölgs
Şkl 6: yqust dyagramı Şkl 7: Farklı k v k dğrlr çn st tklr 5. SOUÇLAR Bu bldrd br kntrl sstmn kararlı yaacak bütün PI kntrlörlrn hsalanması nclnd. Bazı sıkça kullanılan standart frmdak transfr fnksynlarını çrn kntrl sstmlrn kararlı yaan PI kntrlörlrn hsalanmasını klaylaştıracak Matlab rtamında hazırlanmış rgramlar glştrld. Bu rgramlar kullanılarak br kntrl sstmnn rfrmansı l lgl lan stnln faz v kazanç ayını sağlayan bölglr bulunablr. Ayrıca kararlı bölgd sçln kntrlör aramtrlrnn rfrmansa tklr nclnblr. İlry yönlk larak bu rgram klay kullanımlı v daha gnş kasamlı hal gtrlcktr. KAYAKLAR [1] Astrm, K. J., Hagglund, T., Th Futur f PID Cntrl, Cntrl Engnrng Practc, Vl. 9, 001, 1163-1175. [] Zhuang, M., Athrtn, D. P., Autmatc Tunng f Otmum PID Cntrllrs, IEE Prc. Part D, vl. 140, 1993, 16-4. [3] Astrm, K. J., Hagglund, T., PID Cntrllrs: Thry, Dsgn, and Tunng, Instrumnt Scty f Amrca, 1995. [4] H, M. T., A. Data, A., Bhattacharyya, S. P., A Lnar Prgrammng Charactrzatn f All Atablzng PID Cntrllrs, Prc. f Amr. Cntr. Cnf., 1997. [5] Söylmz, M. T., Munr,., Bak, H., Fast Calculatn f Stablzng PID Cntrllrs, Autmatca, vl. 39, 003, 11-16. [6] Tan,., Cmutatn f Stablzatn Lag/Lad Cntrllr Paramtrs, Cmutrs and Elctrcal Engnrng, Vl. 9, 003, 835-849. [7] Tan,., Cmutatn f Stablzng PI and PID Cntrllrs fr Prcsss wth Tm Dlay, ISA Trans., Vl. 44, 005, 13-3. [8] Tan,., Kaya, I., Yrglu, C., Athrtn, D. P., Cmutatn f Stablzng PI and PID Cntrllrs Usng th Stablty Bundary Lcus, Enrgy Cnvrsn and Managmnt., Vl. 47, 006, 3045-3058. [9] Hamamcı, S. E., Tan,., Dsgn f PI Cntrllrs fr Achvng Tm and Frquncy Dman Scfcatns Smultanusly, ISA Trans., Vl. 45, 006, 59-543. [10] Tan,., Athrtn, D. P., Dsgn f Stablzng PI and PID Cntrllrs, Intrnatnal Jurnal f Systms Scnc., Vl. 37, 006, 543-554. [11] Ackrmann, J., Kasbaur, D., Dsgn f Rbust PID Cntrllrs, Euran Cntrl Cnfrnc,. 5-57, 001. [1] Shaf, Z., Shntn, A. T., Frquncy Dman Dsgn f PID Cntrllrs fr Stabl and Unstabl Systms wth Tm Dlay, Autmatca, vl. 33, 1997, 3-3. [13] Huang, Y. J., Wang, Y. J., Rbust PID Tunng Stratgy fr Uncrtan Plants Basd n th Khartnv Thrm, ISA Transactns, vl. 39, 000, 419-431.
Abdullah YEİGÜ: 198 Mardn dğumludur. İnönü Ünvrsts, Mühndslk Fakülts, Elktrk- Elktrnk Mühndslğ Bölümü nd 004 yılında mzun ldu v 004 yılında yüksk lsans ğtmn başladı. Şu anda yüksk lsans tz aşamasında çalışmalarını sürdürmktdr. Kntrl sstmlr v uygulanmaları l lglnmktdr. usrt TA: 1971 yılında Malatya Dğanşhr dğumludur. 1994 yılında Hactt Ünvrsts, Elktrk-Elktrnk Mühndslğ Bölümü ndn mzun ldu. 1995 yılında İnönü Ünvrsts, Mühndslk Fakülts, Elktrk-Elktrnk Mühndslğ Bölümü nd araştırma görvls larak görv başladı. Aynı yıl dktra ğtm çn İngltr d Sussx Ünvrstsn gtt. Dktra ğtmn 000 yılında tamamlayarak tkrar İnönü Ünvrstsn döndü. 004 yılında dçntlk ünvanını aldı. Gnl larak kntrl sstmlrnn analz v tasarımıyla lglnmktdr.