YAPI MEKANİĞİNDE ÖZEL PROBLEMLER ENERJİ YÖNTEMLERİ

Transkript

1 YIDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ İNŞAAT MÜHENDİSİĞİ BÖÜMÜ MEKANİK ANABİİM DAI YAPI MEKANİĞİNDE ÖZE PROBEMER ENERJİ YÖNTEMERİ PRO. DR. TRGT KOCATÜRK Hazırlayan : İnş. Müh. ŞERE DOĞŞCAN AKBAŞ

2 -ENERJİ YÖNTEMERİ-. Şl dğştrm şnn hsabı Csm tyn dış uvvtlr csmn şl dğştrm sırasında br ş yaparlar. Bu ş csmd last nrj halnd dpo dlr v gry alınablr. İşYol.Kuvvtn yol üzrnd zdüşümü d S t S W P s. Sonsuz üçü br csm lmanında ç uvvtlr ndnyl dpolanan nrj: Brm hacm çn ç uvvtlrn şl dğştrm nrjs fad dlc olursa: u σε σyεy σzεz τyγy τzγz τyzγyz.. fadsnd σ, σy, σz, τy, τz, τyz grlmlr stt st tsrlrndn N, T, M, M b oluşurlar. Dolayısıyla şl dğştrm snasında st tsrlr sbbyl oluşan grlmlr csmd gr alınablr br şl dğştrm nrjsnn dpolanmasına yol açarlar. Enrjnn gr alınablms uvvtlrn onsrvatf olmasına bağlıdır. Blndğ gb onsrvatf uvvtlr durumunda man nrj orunmatadır. Şmd. fads şl dğştrmlr cnsndn yazılacatır.

3 . Normal uvvtn yaptığı ş Eğr. fadsnd normal grlmy snl normal uvvt ndn oluyorsa, Şl., u σε σyεy σε z z τyγy τzγz τyzγyz bu durumda nrj fads; σ z v z olduğundan u N A N N N A EA EA ε N EA σ z ε z. olur.. dv hacmnd ş s N N d dv dadz EA EA. d z boyunda çubuta nrj s, yuarıda fadd dz sabt tutulup, A alanı üzrnd ntgrasyon şlm yapılırsa, sabt nst v lastst modülü durumu çn dz boyunda çubuta dpolanan nrj N EA N dadz dz.5 EA A Çubuğun l boyunda dpolanan nrj s l N dz EA.6 olara ld dlr.

4 . Burulma momntnn yaptığı ş. fadsnd ayma grlmsn burulma momnt sbp oluyorsa, sl., bu durumda brm hacmd dpolanan nrj τ Mb r I o alınara u σε σε y y σε z z τyγy τzγz τyzγyz. M M M r u τγ r r I GI GI b b b o o o.7 olur. d V hacmnd dpolanan d nrjs s M r M r d τγdv d.d y.d z d A.dz.8 olur. GI b b o GIo dz boyunda çubuta dpolanan nrj M M r d A.d z.dz GI b b o GI A o.9 olur. l boyunda çubuta dpolanan nrj s olara bulunur. l Mb.dz. GI o

5 . Ksm uvvtnn yaptığı ş. fadsnd ayma grlmsn sm uvvt u sbp oluyorsa, Şl., bu durumda σε σε y y σε z z τyγy τzγz τyzγyz τ TS / bi brm hacmd ş u alınara olur. dv hacmnd dpolanan d nrjs TS TS T S τγ. bi GbI Gb I. d T S dv. Gb I olur. dz boyunda çubuta dpolanan nrj T S T S dadz A Gb I G I. b l ddydz A S d d y A I olara tanımlanırsa,. v. dn l boyunda çubuta dpolanan nrj b l T d z.5 olur. G A

6 .5 Eğlm momntnn yaptığı ş. fadsnd normal grlmlr ğlm momntndn ortaya çııyorsa, bu durumda M σ z y dr, Şl 5. Brm hacmnd d nrjs I u M ym y M y σε I EI EI z z dz boyunda çubuta dpolanan nrj M M y A z dz EI.8 olur. d d A EI l boyunda dpolanan nrj s M M d y dv y dadz EI.7. EI M dz EI.9 Hr br st tsrnn t başına bulunduğu dört hal çn çıarılan formüllr, tlrn br arada bulunması halnd doğrudan doğruya toplanacatır. Bu durumda l M Mb N T dz EI GI o EA GA. u σε σε y y σε z z τyγy τzγz τyzγyz. Olara l boyunda çubuta çştl st tsrlr sbbyl dpolanan nrj bulunur. İşartlr dama poztftr. Yuarıda trmlrdn ğlm v burulma momntlrnn payı büyütür. Sonra normal uvvt, daha sonra da sm uvvt glr. Krşlrd sm uvvtnn ts ğlm momntnnnn yanında çoğu zaman %-% mrtbsnddr. Aynı tptn st tsrn at nrj hsaplanırn hr br st tsrnn ayrı ayrı yaptıları nrjnn toplanmayacağına dat dlmldr. Yan M v M momntlrnn ayrı ayrı yaptıları nrjlrn toplamı, snn aynı anda tmsndn dolayı olan nrjy şt dğldr: Ayrı ayrı nrjlr M M l hsaplanacağı hald, M v M aynı anda trs nrj M M l hsaplanacağından sonucun aynı olmayacağı açıtır.

7 Eğr man nrj orunuyorsa, söz onusu sstmd dış uvvtlrn yapmış olduğu ş, last sstmd ç uvvtlrn potansyl nrjs olara dpolanır. Bu fad aşağıda şld formüllştrlr: Wd W d. : Dış uvvtlrn ş : İç uvvtlr ndnyl sstmd dpolanan po tan syl nrj Örn Problm: Şl.6 da görüln srbst ucunda P yüü l yülü onsol rşn yü altında vb çömsn dış uvvtlrn şn ç uvvtlrn potansyl nrjsn ştlyr bulunuz.ksm uvvtnn şn hmal dlnz. P l l M - Pz dz dz EI EI Pl PvB ; Wd stat yülm 6EI Pl PvB Pl Wd vb 6EI EI A v z B B'

8 .6 Dış uvvtlrn şnn gnllştrlmş hal Hoo anunu grğ uvvtl yr dğştrm doğrusal orantılı olduğu çn tp br δ yr dğştrms, Şl.7, P P P P Pn δ cp cp cp... cp n n. olara yazılablr. Burada c, c,..., cn csmn gomtrsn v last özlllrn bağlı olan orantı atsayısıdır. Sstm n adt dış uvvt trs n adt δ yr dğştrms olacatır. Bu durumda söz onusu atsayıların toplamı tüm sstm çn nn. n olacağı açıtır. Bu ullanma yararlı olur. Böylc n n n adt atsayıyı daha sstmat br şld yazma çn alt nds δ yr dğştrms δ α P α P... α P... α P α P. n şlnd yazılablr. Burada hrhang br α atsayısı, notasında yr dğştrmd notasında uvvtn tsn at orantı atsayısı olur. P, P,..., Pnuvvtlrnn hr brnn tatb notasında yr dğştrmlrn o uvvt doğrultusunda zdüşümlr olan δ, δ,..., δn yr dğştrm dğrlr yuarıdalr bnzr olara δ αp αp... αnpn şlnd yazılablr. Bu atsayıların fzsl anlamı şöyl δ αp αp... αnpn. açılanablr: Csm tyn n adt uvvtn P dn başası δ αp αp... αnpn sıfır olsun.p uvvtnn dğr s brm P olsun. δ α P α P... α P notasında, doğrultusunda yrdğştrm n n n nn n Şl.7 δl

9 Bu atsayıların fzsl anlamı şöyl açılanablr: Csm tyn n adt uvvtn dn başası P sıfır olsun.p uvvtnn dğr s brm P olsun. δ cp cp cp... cp n n. δ notasında, doğrultusunda yrdğştrm α P αp... αp... αnpn αp δ α olduğu gb hrhang br notasında şddt sıfır olara alınan P uvvt doğrultusunda yr dğştrm δ α α.5.6 olurdu. Burada şöyl tanımlanır: n adt dış uvvtn ts altında dngd olan br csmd α atsayısı, notasında tyn br brm uvvtn, notasında, doğrultusunda mydana gtrdğ yr dğştrmy göstrr: Burada l nds yr dğştrmnn mydana gldğ nota v doğrultuyu,nc nds s bu yr dğştrmy ndn olan uvvtn tdğ notayı v uvvtn doğrultusunu göstrmtdr. Bu atsayılarda zlyn önml özll vardır: α α.7. δ αp αp... αnpn δ αp αp... αnpn δ αp αp... αnpn δ α P α P... α P n n n nn n. P P P P Pn δl n Bu özll Mawll arşıtlı torm olara blnr. Bu aşamada dış uvvtlrn yaptığı ş baalım: n n n n n W Pδ P α P α PP.8 d

10 .7 Mawll arşıtlı torm Dngd br sstmd hrhang br notasına, doğrultusunda tyn brm uvvtn, br başa notasında, doğrultusunda mydana gtrdğ yr dğştrm α, notasında, doğrultusunda tyn brm uvvtn, notasında, doğrultusunda mydana gtrdğ yr dğştrmyα şttr. İspat : a Önc P uvvt t ttrlyor: notasında ş: δ αp s ş Pδ αp notasında ş: δ αp ş b P uvvt mvcutn notasında P uvvt ttyor. notasında ş: δ α P s İş P δ α P P P nn P ya at yrdğştrmd gördüğü ş pasf olduğundan / atsayısı yotur. notasında ş: δ α P s, αp αp P α P Toplam ş: ş Pδ αp.9 P δ P δ δ Şl.9a Şl.9b δ δ δ P Aynı şlmlr uvvtlrn tm sırasını dğştrr yapalım P P Şl.9c Şl.9d P δ δ δ δ δ δ Şl b Şl.a

11 c Önc P uvvt t ttrlyor: notasında ş: δ α P, ş notasında ş: δ αp, ş αp d P uvvt mvcutn notasında P uvvt ttlyor. notasında ş: δ αp s ş Pδ αp notasında ş: P δ α s ş Pδ αpp P nn P ya at yr dğştrmd gördüğü ş pasf ş olduğundan ½ atsayısı yotur. Toplam ş: αp αp P α P. Hr durumda toplam şlrn brbrn şt olması grr. Buradan.9 v. brbrlrn ştlnrs αp αpp αp αp αpp αp buradan P δ δ Şl.9a P P δ δ δ δ Şl.9b α α. α P α PP α P.9 Şl.9c Şl.9d P P P δ δ δ δ δ δ Şl b Şl.a

12 .9 Castglano Torm Brnc Castglano torm Br dış uvvtlr sstmnn ts altında dngd olan br last sstmd şl dğştrm şnn dış uvvtlrdn brn gör ısm türv, o uvvtn uygulama notasının uvvt doğrultusunda yr dğştrmsn şttr: W δ.5 P İspat: α α olduğu da göz önün alınırsa W [ α PP α PP... α -PP - α P... α n PP n K ].6 Şlnd dış uvvtlrn ş yazılablr. Burada üçü parantz, çrsnd P uvvtnn bulunduğu tüm trmlr göstrmt; K s çrsnd P uvvt bulunmayan tüm trmlr tmsl tmtdr. Şmd.6 fadsndn P y gör ısm türv alınırsa, K / P olduğu da göz önün alınıra n W [ α P α P... α P ] α P δ.7 P n n olara torm spatlanmış olur. Tormdn yr dğştrmlrn hsabından. bağıntısından W yararlanılır. d

13 Örn: Şl. d srbst ucundan P yüü l yülü onsol rşn yü altında VB çömsn bulunuz. l M dz EI l M Pz EI P z dz A z P B P. l Pl ; vb 6EI P EI olur. Şl. Örn: Yanda Şld rşn orta notasında çömy bulunuz. z z M P M P M Pz dz dz EI EI δ l / l / P P z P l z dz EI EI 96EI P Pl 8EI / Pz/ P C / P/ Şl.

14 İnc Castglano torm İşn br yr dğştrmy gör türv, o notada yr dğştrmyl uyumlu olaca bçmd, yr dğştrm doğrultusunda uvvt vrr..8 dn W n P δ.8 d olduğu blnmtdr. Buradan P j W δ.9 j olduğu açıtır. İnc Castglano torm gnldr. İspatı aşağıda vrlmştr: dw dw Pdδ P. dδ Bu sonuca gör P l δ arasında orantılılı lşs olsa da olmasa da nc Castglano torm gçrldr.

15 . Toplam potansyl nrj prnsb Elast sstmlrn dng onumlarının nclnmsnd problm farlı açıdan l alınmatadır: a Sstm parçalara ayırara nclm Dfransyl dng dnlmlr ygunlu şartları Büny dnlmlr-şl dğştrm anunları v Sınır şartları Yanda maddlrd fadlr l alınara problm blrl sınır şartlarını grçlyn br dfransyl dnlm taımının çözümün ndrgnr. b Bu mtotta sstmn onumunu blrlyn oordnatlara bağlı v toplam potansyl nrj dnln br ntgral fad tanımlanır. Sonra bazı sınır şartlarını grçlyn onumlar arasında nrjnn strm olduğu onum araştırılır. Toplam potansyl nrjnn anca sstm dngd olduğu zaman br strmdn gçtğ uygulamada çoğu r bu strm br mnmumdur göstrlblr. Prnsbn spatına gçmdn önc söz onusu mtodu bast br örn üzrnd açılayalım. Şl.6 da bast rş Py z yayılı yüüyl yülü olsun. Sstmn dng durumuna arşı gln vz last ğrsnn hsabı stnsn. a Sstmn parçalara ayrılara nclnms: Çubuğun dz boyunda lmanın dngsndn dty py dz ddz M Ty.5 bulunur. O y z v δv I II Py z ygunlu bağıntısı olara zlyn dfransyl gomtr bağıntı göz önün alınırsa: d v ρ d z.6 Şl.6

16 Eğln çubuğun ğrlğ l ğlm momnt arasında Hoo bağıntısı M ρ.7 ω EI şlnd yazılır. Yuarıda.5,.6,.7 fadlr arasında sm uvvt, ğlm momnt v ğrl yo dlrs d v py.8 d z EI gb sadc py dış yüü l v çöms arasında problmn asıl dfransyl dnlm urulmuş olur..5 dnlmlrn ntgrasyonunda arşılaşılaca olan ntgrasyon sabtlr v v l O y z v δ v I II Py Şl.6 dty py dz ddz gomtr sınır şartları ssntal boundary condtons.9a v v l dnam sınır şartları natural boundary condtons.9b M Ty gb dört adt sınır şartı ullanılara ld dlr. Bu mtoda gör sstmn dng durumu, br dfransyl dnlmn vrln sınır şartları altında çözümün ndrgnmştr. b Toplam potansyl nrjnn strm olması prnsb: Bu mtot açısından aranan v z v v vl.5 d v ρ.6 d z gomtr şartlarını grçlyn br ço ğrlr arasından br tansdr. Asıl problm, grç dng onumunu dğr düşünülbln, mümün onumlardan ayırt ttrc rtr bulmatadır. İnc nclm mtoduna gör bu rtr grç dng onumunda toplam potansyl nrjnn strm l alınan örnt mnmum olmasıdır. Dğr br dyml grç onumdan başa bütün onumlarda toplam potansyl nrj daha büyü olaca, nrj n üçü dğrn anca grç onumunda bulaca dmtr. Grç dng onumunu dğrlrndn ayırt ttrc br toplam potansyl nrj ısımdan oluşur: z

17 a İç uvvtlrn potansyl nrjs: Bu nrj şl dğştrm nrjs olan olup, örnğmzd sm uvvtnn ş hmal dlrs l M l EI d v Π dz dz EI dz.5 olur. b Dış uvvtlrn potansyl nrjs: Bu nrj mantn blndğ üzr dış uvvtlrn şnn trs şartlsdr l Π p vdz.5 d y Burada potansyllr ölçm çn arşılaştırma düzlm Şl d z düzlm olara alınmıştır. Bu durumda toplam potansyl nrj l EI d v ΠΠ Π d p d yv z dz.5 olur. Bu potansyl nrj hsaplanırn gb gomtr sınır şartlarını grçlşms ytrldr. v z onum fonsyonlarının sadc v v l Şmd şu matmat problmn göstrlms grldr: İ ayrı mtotla varılan sonuç aynıdır. Dğr br ıv dyml Π nn strm olması, EI Xv py dfransyl dnlmnn v v v l dnam şartlarının grçlşmsyl aynı anlamdadır. Bunu spatlama çn Şl.6 da görüldüğü gb I grç dng onumuna yaın II gb br onum daha l alalınsın. İ ğr arasında ço üçü olduğu abul dln far fonsyonunu δv l göstrlsn. Buna v fonsyonun varyasyonu dnr v şöyl tarf dlr: P y O y z v δ v I II Şl.6 z

18 v z v z δ v εη z.5 II I Burada ε stnldğ adar üçü alınan br dğr, ηz s sınırlarda sıfır olan, yf br fonsyonu göstrr, ısaca l EI d v l vya v v l ΠΠ Π d p d.5 yv z.5 dz şartları mvcuttur; bu da I gb II ğrsnn d problmn gomtr şartlarını grçlyc tarzda sçldğn göstrr. Şmd II v I onumları arsında potansyl nrj farı hsap dlsn; faat bu snada dış yülmnn dğşmdğ abul dlsn..5 dn l Π II EI v δv Pv y Py. δv dz.55 yazılr; buradan nrj farıvaryasyonu η η δ δ l l l II I EIv vdz Py. vdz EI v dz.56 δ ΠΠ Π δ δ δ olara bulunur. Şmd bu nrj farında trmlr nclnsn. Üçüncü trm, l sndn br mrtb daha üçü olup dama poztftr. Bu trm δ l EI d v z α > d ntgral, ısm olara r ntgr dlrs l l l l ıv d E I v δ v z EI v δ v EI v δ v EI v δ vdz.58 bulunur. Burada l trm v v l dnam şartlarından v nc trm d.5 dn ötürü sıfır dr yan l EI v δv v EI v δv.59 yazılablr. l

19 O hald.58 fads l ıv E I v δv dz EIv δvdz.6 l dn bart olur..57 v.6 göz önünd tutulara.56 d nrj varyasyonu l ıv y δ Π EI v p δvdz α l l l II I EIv vdz Py. vdz EI v dz.56 δππ Π δ δ δ.6 ıv şln grr. Dng onumuna at dfransyl dnlm EI v p δ Π α >.6 l δ EI v dz α >.57 y hsaba atılırsa.6 dnlm şln grr bu da dng onumuna omşu olan bütün onumlarda toplam potansyl nrjnn dng durumundandn daha fazla ttğn göstrr; çünü α nc mrtbdn sonsuz üçü poztf br dğrdr. O hald I l göstrln grç dng onumunda toplam potansyl nrj mnmum olaca vya ısaca.6 yazılacatır. Yuarda yapılan hsapta açıça görülüyor oluşu dfransyl dng Π mn dnlmlryl dnam sınır şartlarının br sonucudur. Böylc yuarıda nclm mtodunun da aynı sonucu vrdğ görülmüş olur. Varyasyon hsabından blndğ üzr, sınırlı br ntgraln strm dğr alablms, problmn trar br dfransyl dnlm ndrgnms l mümündür; buna o varyasyon problmnn Eulr dfransyl dnlm dnr. Örnğn strm yapılaca sınırlı ntgral I, y, y, y d.6 s buna at Eulr dfransyl dnlm d d d y d y y Π mn formülü l hsaplanır. Bu formül toplam potansyl nrj fads olan ıv Π y uygulanırsa, yrn z v y yrn v alma şartıyla EIv py bulunur bu da problmn dng dnlmndn başa br şy dğldr. Sonuç olara, br last sstmd, gomtr sınır şartlarını grçlyn bütün onumlar arasında Π toplam potansyl nrjsn mnmum yapan durumun grç dng onumu olduğu ortaya çıar.

20 agrang Dnlmlr Hamlton prnsb vrtül yr dğştrmlr prnsbnn rjt csmlr, maddsl notalar vya şl dğştrn csmlrn dnamğn uygulanmış olan gnllştrlmş şldr. Br maddsl nota çn hart ştlğ zlyn dnam dng formunda yazılsın: d r m dt r.5. olsun. Burada r δ hrhang br sabt t zamanı çn yolda Grç yoldan farlı br yol r δ r dğşm göstrr. arz dlsn grç yol l dğştrlmş yol brbrlrndn t v t δrt δrt.5. n δ r dğşm l salr çarpımı yapılır v t v t zamanları arasında zamanla münasbtl olara ntgrasyon yapılırsa zamanları dışında zamanlarda farlı olsunlar; yan t t d r m r δ rdt dt t dr dδ r dr d.5. t m r δr t m δr t dt dt dt t K dt dt.5. Eld dlr. Brnc trmn parçalı ntgrasyonu yapılırsa δr t δr t olduğundan.5. d son trm yo olur. Ayrıca dr dδ r m dr dr m δ δ K dt δ t dt dt.5. Burada K maddsl notanın nt nrjsdr t m dr dr Bu durumda.5. zlyn formu alır:.5.5 δk r δr dt.5.6 t

21 t t K r r dt δ δ.5.6 Bu ştl br adt maddsl nota çn Hamlton prnsbnn gnl formu olara blnr. arz dlsn onsrvatf br uvvttr Potansyl v nt nrjlrn toplamı orunmatadır. Bu durumda uvvt br potansyln gradyn olara yazılablr: gradv.5.7 Burada V V r Bu durumda.5.6 zlyn şld fad dlblr: t d.5.8 δ K V t t V V V maddsl notanın potansyl nrjsdr. Çünü grad V δr δ δ δ δv,, Knt v potansyl nrjlrn farı agrang fonsyonu olara adlandırılır: K V ştlğ br maddsl notanın orunumlu hart çn Hamlton prnsbn tmsl dr. Bu ştl, yf zaman olan t v t zaman aralığında, onsrvatf uvvtlrn ts altında br maddsl notanın hartnn öyl br hart olduğunu göstrr agrangan fonsyonu üzrnd çzgsl ntgral grç yol çn br strmumdur. Dğr br dyşl, parçacı t zamanında pozsyonundan t zamanında pozsyonuna hart drn öyl br yörüng zlr mümün olan yörünglr çnd grç olanı çn zlyn ntgral strmumdurmnmum, masmum vya dönüm notası: t I d t t.5.

22 t I d t t.5. Eğr r yolu q gnllştrlmş oordnatları cnsndn yazılablrs, agrang fonsyonları q lr v onların zaman türvlr cnsndn yazılablr.,,,,, q q q q q q.5. Bu durumda I nın strmum olması oşulu δ t t I δ q, q, q, q, q, q dt q q dt t t q δ q δ Yuarıda bulunan fadnn sağ tarafında nc trm parçalı ntgrasyon uygulanırsa t t t t δq dt δq - δqdt - δqd t; d d t q t t q dt q t dt q d dv δq d; t u ; v δq; du d; t udv uv vdu q dt q t t d δ δ δ q dt q I q, q, q, q, q, q dt q dt t t δ t t I δ q, q, q, q, q, q dt q q dt t t q δ q δ.5. δ q δ δ v δ q Olur. Tüm q lr lnr bağımsızsa yan q lr arasında ısıtlılılarconstrants yosa, dğşmlr tüm t lr çn, t v t d δ q harç, bağımsızdır. Bu yüzdn, q, q atsayıları ayrı ayrı yo olur. d,,,.5. q d t q

23 d,,, q d t q δ t.5. δ t K r r dt.5.6 Bu ştllr hartn agrang dnlmlr olara adlandırılır. Bu ştllr Eulr ştllr olara da adlandırılır. Ayrıca bunlara Eulr-agrang ştllr d dnmtdr. Kuvvtlrn bazıları onsrvatf olmadığında,.5.6 da Hamlton prnsbnn gnl formu l lglnlmldr. Konsrvatf olan uvvtlrn potansyl bu durumda da V onsrvatf olmayan uvvtlrn ş δ t δ W δ r nc nc t K V dt δwncdt t.5. t l göstrlrs,.5.6 zlyn şld yazılablr: Bu durumda strmum olaca br I fonsyonl ortaya çımaz. Eğr onsrvatf olmayan uvvtlrn vrtül ş gnllştrlmş oordnatlar olan q cnsndn, Q lr gnllştrlmş sönüm uvvtlr olara, zlyn şld fad dlblrs δw Q δq Q δq Q δq.5.5 Bu durumda.5. nc t t d Qδ qdt q dt q.5.6 V orunumsuz durum çn Eulr-agrang ştllr zlyn şld vrlr: d Q,,, dnlmlr, gnllştrlmş oordnatlar cnsndn q dt q fad dlbln sürl sstmlr d mvcut formu l uygulanablr.

24

25 YIDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ İNŞAAT MÜHENDİSİĞİ BÖÜMÜ MEKANİK ANABİİM DAI YAPI MEKANİĞİNDE ÖZE PROBEMER.HATA SNM PRO. DR. TRGT KOCATÜRK Hazırlayan : İnş. Müh. athköşe

26 NEERDEN BAHSEDECEĞİZ?. nr Eştl Kısıtlılıları l Mnmzasyon: agrang Çarpanları Yöntm. Yapısal Elmanlar İçn Şl Dğştrm Enrjlr. Büny Bağıntıları. Tml Bağıntılar 5. Örn Problmlr

27 nr Eştl Kısıtlılıları l Mnmzasyon: agrang Çarpanları Yöntm Mnmzaton wth nar Equalty Constrants b,,,..7 Kısıtlılığına maruz br Guuvv u v..6 I u, v, u, u, v, v d onsyonlnn v y gör quadrat olara abul dlmş fonsyonl mnmumunu bulma problm göz önün alınsın. Ayrıca u v v problmn blrl sınır oşullarını vya ssntal-gomtr sınır oşullarını sağlamalıdır. a Burada,,, ua u ub u va v vb v olara sınır oşulları alınsın. a b a b Kısıtlı mnmzasyon problmlrnd, abul dlblr fonsyonlar hm blrl uç oşullarını sağlamalı v ytr adar sürl olmalı hm d ısıtlılı oşullarını sağlamalıdırlar. Ayrıca, abul dlblr varyasyonlar ısıtlılı oşulları hlal dlmyc şld olmalıdır.

28 agrang çarpanları yöntm: b I uv, uu,,, vv, d a..6 mn olması çn b δi δu δu δv δv d a u u v v..8 δu G u, u, v, v..7 ısıtlılı oşulunu sağlama zorunda olduğundan v varyasyonları zlyn şld brbrlryl lşldr ; δ v G G G G δg δu δu δv δv u u v v..9 agrang çarpanı mtodu..9 u yf br paramtr olan l çarpıp, a, b aralığında ntgr dp sonucu..8 lmy htva dr. Çarpan olan agrang çarpanı olara adlandırılır. λ λ

29 Bu durumda, b δi u u v v a δ δ δ δ u u v v G G G G λ δu δu δv δv d u u v v b a G d G λ λ δu u u d u u G d G λ λ δvd v v d v v..5 v δu a δu b δv a δ v b sınır trmlr yo olur. Böylc, d λg λg u d u d λg λg v d v..5 dn açıtır agrang mtodu zlyn..5 Guuvv,,,..7 b λ λ uv,, Iuv, Guuvv,,, d b λ G d a a..5 Dğştrlmş fonsyonlnn uv, λ brnc varyasyonunun sıfıra ştlnmsyl v nın bulunması olara göz önün alınablr. 5

30 onsyonln Eulr ştllr tam olara..7 v..5 ştllrdr. Grçtn b δ δ λg d a b δ δλ λδ G G d a b G G λ δu λ δu a u u u u..5 G G λ δv λ δv δλgd v v v v b G d G λ λ δu a u u d u u G d G λ λ v G δ δλ d v v d v v Eld dlr buradan δu, δ v v δλ nın atsayıları sırasıyla sıfıra ştlnr..5 v..7 ştllrn ulaşılır. 6

31 YAPISA EEMANAR İÇİN ŞEKİ DEĞİŞTİRME ENERJİERİ Kafs Elman İçn Şl Dğştrm Enrjs Büny bağıntısı σ Q şlnd blnmtdr. Buradan nrj olara bulunur. l N d z EA Klas v Tmoshno Krş torlr çn Enrjlr BÜNYE BAĞINTIARI : Ortotrop malzm çn şl dğştrm-grlm bağıntıları: S S S σ S S S σ S S S σ S σ S σ S σ Krş çn şl dğştrm-grlm bağıntıları: S σ S σ / E σ / G σ 6 6 S S S S 66 σ σ 6 6 Krşlr çn grlmlr l şl dğştrmlr arasında büny bağıntıları Şl. d sn taımı çn aşağıda şld vrlmtdr: σ σ 6 E 6 S S S 66 G S

32 .,.,., v. dnlmlrnd E sırasıyla sn doğrultusunda Elastst modülü, normal grlm, şl dğştrm oranıdır. grlms v X X, σ, X X σ G, X - düzlmnd ayma modülü,, X - X düzlmnd ayma, - düzlmnd ayma şl dğştrmsdr. X TEME BAĞINTIAR : Yr dğştrm l Şl Dğştrm Arasında Knmat Bağıntılar ; X X Şl. Br rş parçası v sçln sn taımı X, t X X, t W X, t X X. Burada X, t rş stnn ğlmdn dolayı X. doğrultusunda yr dğştrms, W X, t rş tarafsız snnn X doğrultusunda düşy yr dğştrmsdr. 8

33 Eulr-Brnoull Krş çn Yr Dğştrm, Şl Dğştrm v Grlmlr Arasında Bağıntılar ; Açılığı, st yüslğ v st gnşlğ olan bast msntl br rş Şl. d göstrlmştr. Kartzyn oordnat sstm X, X, X rşn orta notasında tanımlanmıştır. X ası rş sn doğrultusunda, ası st gnşlğ doğrultusunda v X ası st yüslğ doğrultusundadır. h b X A X X Şl. Bast msntl br rş Eulr-Brnoull rş torsn gör ğlmdn önc tarafsız sn d v düzlm olan stlr, ğlmdn sonra da tarafsız sn d v düzlm alırlar. Şl. d d göstrldğ gb bu abul sonucunda rşt ayma şl dğştrmlr hmal dlmş olur. X B b h X X X dw Şl. Eulr-Brnoull rş torsn gör alınan br stn durumu dx,w,w dw dx 9

34 Eulr-Brnoull rş torsn gör rşt yr dğştrmlr zlyn şlddr: X, X, t o X dw X, t W X, X, t W X, t dx Brnc mrtb torsyl çalışıldığı çn sn yr dğştrms olan dğr.. sıfıra ço yaın olup hmal dlctr.. v. dnlmlrnd vrln yr dğştrm alanlarının ullanımıyla Eulr-Brnoull rş torsnd şl dğştrm blşnlr zlyn şld ld dlr: j u, j uj, dw X dx.5.6 Grlmlrl şl dğştrmlr arasında büny bağıntıları ullanılırsa grlm büyülülr zlyn şld ld dlr. dw E X E dx σ.7 Tmoshno Krş çn Yrdğştrm, Şl Dğştrm v Grlmlr Arasında Bağıntılar ; Tmoshno rş torsnd s ğlmdn önc tarafsız sn d v düzlm olan stlr, ğlmdn sonra yn düzlm alır, anca tarafsız sn d almazlar. Yan ayma grlmlrnn rşn ğlmsn ts göz önün alınmış olur. Tmoshno rş torsnd stt sabt br ayma şl dğştrms sabt ayma grlms dağılımı abul dlr. Anca muavmttn bldğmz gb ayma grlms dağılışı sabt dğldr. Bu sbptn dolayı oluşan bu hatayı düzltm çn Tmoshno rş torsnd düzltm fatörü ullanılır. Şl. d br Tmoshno rşnn ğlm öncs v sonrasında durumu göstrlmştr.

35 X X Yuarıda açılamalara gör Tmoshno rş torsnd yr dğştrm alanı zlyn şld vrlmtdr: X, X, t X ψ X, t.8 X ψ,w Şl. Tmoshno rş torsn gör alınan br stn durumu,w Grlmlrl şl dğştrmlr arasında büny bağıntıları ullanılırsa grlm büyülülr zlyn şld ld dlr: dψ E X dx σ E σ s 6 s dw dx dw G G ψ dx.. W X, X, t W X, t.9 Brnc mrtb torsyl çalışıldığı çn sn yr dğştrms olan dğr sıfıra ço yaın olup hmal dlctr. Burada W X rşn düşy yr dğştrmlrn,, t rş stnn dönmlrn göstrmtdr. ψ X, t Yr dğştrmlrl şl dğştrmlr arasında nmat bağıntıların ullanılmasıyla Tmoshno rşnd şl dğştrm fadlr aşağıda şld ld dlr: dψ dw X 6 dx dx ψ..

36 σ X σ Burada, doğrultusunda normal grlm,, X X düzlmnd ayma grlms, ayma grlms dağılışı düzltm fatörü, Young Elastst modülü v G ayma modülüdür. E s Potansyl Enrj: Eulr-Brnoull Krş çn Potansyl Enrj ; Krş hacm üzrnd hsaplanan şl dğştrm nrjs aşağıda şlddr: dv σ V Krş çn bu fad Kartzyn oordnatlarda daha açı olara aşağıda şld yazılablr: h b σ dx dx dx h b dw E X E dx..5 σ.7 d vrlmş olan grlm fads.5 bağıntısında yrn onursa potansyl nrj fads zlyn şl alır; h E bx dx dx h dw dx.6 Krş stnn ylmszl momnt nn aşağıda.7 bağıntısıyla vrln tanımı göz önün alınırsa potansyl nrj fads.8 bağıntısıyla fad dlr. I h dw X, t h E I dx dx I b X dx.7.8 Sayısal sonuçlar ısmında boyutsuz sonuçlar ld dlcğndn dolayı potansyl nrj fadsn boyutsuz büyülülr cnsndn yazablm çn aşağıda boyutsuz büyülülr tanımlanmıştır: X, W w.9 Bu durumda.8 bağıntısıyla vrln potansyl nrj fads zlyn şl alır: d d. E I d w

37 Tmoshno Krş çn Potansyl Enrj Tmoshno rş çn potansyl nrj fads artzyn oordnatlarda zlyn şld fad dlr: h b σ σ 6. h b dx dx dx Şl dğştrmlr v grlmlrn.,.v.,. numaralı bağıntılarda vrln fadlr. numaralı bağıntıda vrln potansyl nrj fadsnd yrlrn yazılırsa: h b E G dx dx h s 6 dψ dw D dx A ψ dx s z dx dx fadlr ld dlr.. fadsnd v A z D st rjtllr zlyn şld vrlmştr: h D b E X dx h h Az b G dx h..5.. Yuarıda st rjtllr ddörtgn stlr çn aşağıda şl alır: D E I z I A G A Burada rş stnn ylmszl momnt, A s rş stnn alanıdır. Bu durumda Tmoshno rşnn potansyl nrjs aşağıda şld fad dlblr: dψ dw E I G A dx ψ.8 s dx dx İzlyn boyutsuz büyülülr tanımlanır v.8 bağıntısında yrlrn yazılırsa rş at potansyl nrj boyutsuz büyülülr cnsndn zlyn şld ld dlr: X W w φ ψ.9 EI dφ dw s φ d d G A d.

38 v v Knt Enrj : Eulr-Brnoull Krş çn Knt Enrj ; Ttrşm yapan rş stnn hrhang br notasının hrhang br anda hızı zlyn şld fad dlr: X X d X, X, t dw X, t X dt d dt. dw X, t dt. Eulr-Brnoull rş çn nt nrj fads ld dlrn, dönm ataltnn ts hmal dlcğndn dolayı rşn stlrnn hızının v blşn hmal dlr. Böylc tüm rş çn nt nrj fads aşağıda şld olacatır: dw X, t T dv ρ V dt. ρ burada rşn brm hacm ütlsdr. Bu fad artzyn oordnatlarda daha ayrıntılı olara zlyn şld yazılablr: T h b dw X, t ρ dxdx dx h b dt.. numaralı bağıntıda ntgral şlmnd grl hsaplamalar yapılırsa Eulr-Brnoull rş çn nt nrj fads zlyn şld ld dlr: dw X, t T ρa dx dt.5.9 bağıntısında boyutsuz büyülülr ullanılırsa rş at nt nrj fads zlyn şld olacatır: d w, t T ρ A d dt.6

39 Tmoshno Krş çn Knt Enrj ; Tmoshno rş çn hız fadlr Eulr-Brnoull rş çn çıarılan hız fadlrn bnzr şld aşağıda gb yazılablr: v X d X, X, t dψ X, t X.7 dt dt. fadsnd grl ntgral şlmlr yapılır v. d vrln atalt büyülülr tanımlanırsa. bağıntısıyla vrln nt nrj fads. bağıntısında şln alır. h J, J b, X ρ dx. A D h v X dw X, t dt.8 Krşn hrhang br zamanda nt nrjs ; T v v dv ρ X X.9 V şlnd olacatır..7 v.8 bağıntıları.9 bağıntısında yrlrn yazılırsa nt nrj fads aşağıda şl alır: h b T v v dx dx X X ρ. h dw dψ T J dx J dx A D dx dx Ddörtgn st çn J v büyülülr A J D zlyn şld olacatır: JA ρ A. JD ρi.. dw dψ ρ ρ dt dt.5 T A I dx 5

40 Tmoshno rş çn ld dlmş olan nt nrj fadsn boyutsuz büyülülr cnsndn yazablm çn,.9 bağıntısında tanımlanmış olan boyutsuz büyülülr ullanılırsa.5 bağıntısıyla vrln nt nrj fads zlyn şl alır: Rtz mtodunun y anlaşablms çn br örn üzrnd nclm yapılsın. Şl.7 d bast rşt vz çömlrn hsabı stnsn. dw dφ T ρa ρi d dt dt Rtz mtodu : a A za A z...a A z a A z n n b B zb B z...b B z b B z y n n c C zc C z...c C z c C z z n n.66 a,a,...a ;b,b...b ;c,c,...c n n n.67 Mnmum şartı ullanılırsa; / a / b.68 / c,,,...n Elast ğr çn zlyn abul yapılsın: va sn πz/la snπz/l...a snnπz/l a snπz/l n,,5 Toplam potansyl nrj yazılaca olursa; Π [/EId v/dz -pv].dz 6

41 Π [/EId v/dz -pv].dz Bu faddn a atsayıları, Π/ a,,,5,...,n, dnlmlrndn çözülc olursa v çn ; vz/ π.pl /EI / snπz/l;,,5 formulü bulunur. 5 5 vz y dayanara çştl büyülülr çöm, dönm, momnt hsaplanablr. Hr büyülü çn trm sayısı arttıça çözümd hata da azalır. Ayrıca br büyülüğün vz fonsyonuna gör hsabında, türv mrtbs arttıça hata mtarları da artmatadır. Sonlu farlar mtodu : Sonlu farlar mtodu, dfransyl ştllr yalaşı çözümlr ld tm çn ullanılan sayısal br tntr. Mtotta dfransyl ştl, çözümü gnlll dfransyl ştlğn çözümündn daha olay olan şdğr cbrsl ştllr taımına dönüştürülür. Sonlu farlar tnğnn tml, br fonsyonun br notasında türvn, fonsyonun bu v yaın cvarda braç notada dğrlrn çrn br cbrsl fad l yalaşılablcğdr. Bu grç ışığında, br dfransyl ştlt türvlrn cbrsl fadlrl fad dlms mümündür v böylc dfransyl ştl br cbrsl fady dönüşür. Br ural olara, dfransyl dnlmlr sürl sstmlrn davranışlarını tanımlarlar. Oysa cbrsl ştllr blrl notalarda toplanmış sstmlrn davranışını tanımlar. Br dfransyl dnlmd sürl fonsyonun braç ayrı notada dğrlrn çrn br cbrsl fadyl dğştrlms böylc, sürl br sstmn ayrı sayıda nota ütlsnn ayrı sayısını çrn br sstml dğştrlmsn şdğrdr. Böylc sonlu farlar mtodu, nrj mtoduna, s d problmn çözümünü srbstl drcsnnsayısına ndrgyr bastlştrdğndn, bnzrdr. Enrj mtodu bunu sstmn davranışına yalaşımla yapar, yan yr dğştrmş br şl abul dr. Sonlu farlar tnğ s sstmn ndsn bastlştrr. 7

42 Gnld, ğr br sürl sstm n adt ayrı ütl notası l dğştrlrs, blnmyn fonsyon n adt cbrsl dğşnl dğştrlr v dfransyl ştl n adt şzamanlı,söz onusu dğşnlr çrn cbrsl ştllrl dğştrlr. Blnmyn fonsyonun br notada türvn, fonsyonun b v braç omşu notada dğrlrn çrn br fad l yalaşılı sağlandığından, notalar brbrn n adar yaın s türv v onun yalaşığı uyumu da o adar ydr v problm daha doğru br çözüm olacatır. Bununla brlt, notaların sayısı arttıça çözülms grl şzamanlı ştllrn sayısı da artar. Büyü mtarda sayısal şlm çrdğndn sonlu farlar mtodu özlll blgsayar yardımıyla hsap yapıldığında ullanım çn uygun olur. Mtodun dzavantajı, tüm sstm çn gçrl br analt fad vrm yrn,blnmyn fonsyonun ayrı notalarda sayısal dğrlrn vrmsdr. Eğr analt br fady htyaç duyulursa,bu fad,çözümd ld dln ayrı dğrlr br ğr uydurara ld dlmldr. Bu sl, öz dğr problmlrndn zyad dng problmlrnd blrgndr: Çünü, gnlll rt yülr çn uygulanablr bağıntılar ld dlmsn arşın,yr dğştrmfonsyonlarçn sürl fadlr hçbr zaman ld dlmz. Sözü dln dzavantajı olmasına arşın, sonlu falar prosdürü, gnş br uygulama alanı olduğundan, son drc faydalı br analz mtodudur. ar oranları : Br fonsyonun br notada türv yalaşı olara fonsyonun bu v br vya daha fazla omşu notalarda dğrlr cnsndn fad dlblr. Böyl br fad far oranı olara blnr. Şl.8 d çzln f fonsyonu göz önün alınsın. Bu fonsyonun dğr v nn sağ v solunda şt aralılı braç notada blnsn. Br notada f n brnc türvn df d f f df d f d bu fad yndn h f h f şlnd yazılablr. 8

43 onsyonun v h da dğrlr çrn bnzr br fad f f f h h Bu çşt yalaşım gr far olara blnr. nn hr tarafında notaları çrn üçüncü mümün br fad f f f h h h Brnc far tanımlandıtan sonra, nc far brncnn farını alara ld dlr. Eğr dfransyl opratör d/d arşı glyor olara tanımlanırsa, bu durumda f f f f f h/ h/ h/ h/ f h f hf / h ff h / h h f h f f h h h Bnzr br tarzda üçüncü v dördüncü mrz farlar türtlblr. f f f f f h h h h h f f f 6f f f h h h h h Aşağıda şld hsaplamaya lşn molüllr.7,.7,.7,.75 fadlrnn rsmsl tmsln vrr. Bu far oranlarını tmsl tmnn ço uygun br yoludur 9

44

45 Enrj Yöntmlrn At Problmlr Problm.: Şl. d vrln rşt oordnat fonsyonu aşağıda gb alındığına gör çözümü bulunuz v buna dayanara çöm, dönmy hsaplayınız v sonucu nclynz. ullanınız. P / C / z π z πz nπz πz v a sn a sn... a sn a sn n l l l,,5 l y çn vz asn πz/ l asn πz/ l Bu fonsyon vvl gomtr şartını grçlmtdr. Sstmn toplam potansyl nrjs şöyl fad dlr. dv d EI dz Pv/ l v z a dz π / l cos πz/ l a π / l cos πz/ l π Π Π { { sn π / asn π /}} v z aπ / l sn πz/ l a 9 π / l sn πz/ l Π EI / aπ / l sn πz / l aa9 π / l sn πz / l a8 π / l sn πz / l dz P a EI a π 8a π yuarıda ntgral çözülürs π π π P a sn asn l l dnlm ld dlr. Şmd bu fonsyonun mnmum tms çn grl fadlr yazılsın.. π / a,, π π π / a EI / a / l P sn / π π π / a EI / a8 / l P sn / Dnlmlr düznlrs blnmyn atsayılar zlyn şld ld dlr: EI / π / l a P a Pl / π EI EI / 8 π / l a P a Pl / 8π EI

46 Blnmyn atsayılar yrn onursa çöm fonsyonu zlyn şld ld dlr: π π π π v z Pl / EI sn z / l Pl /8 EI sn z / l C notasında çöm / Eld dlr bu dğr grç dğr olan v l / Pl / π EI sn π / Pl /8π EI sn π / 6 Pl /8π EI vl dr. Buna gör Pl /8EI dğrn ço yaındır İ çözüm arasında far8,-8/8.%, v z Pl / π EI cos πz / l /7 Pl / π EI cos πz / l Hr notada dönmy vrn fad Problm.: Şl. d sstmn BB çömsn toplam potansyl nrj lsn dayanara bulunuz. Koordnat fonsyonları n olara v az a z... anz az alınacatır. çn çözümün yalaşılı drcsn bulunuz., P A z l B v B' Çözüm:. fads l vrldğ gb br sstmn toplam potansyl nrjs π Π Π d v d pv dz EI dz ntgral l fad dlmtdr v sstmn grç onumunu blrlyn v ğrs bu potansyl nrjy mnmum yapan faddr. Yalaşı br çözüml ytnc s problmn varyasyonu sonucu ld dcğmz Eulr dfransyl dnlmn çözm yrn v y,vrln rşn sınır oşullarını sağlıyaca şld yalaşı br fad alara problmmz yürütblrz. Bu problmd d bu nc yalaşı yolu uygulayacağız. Koordnat fonsyonları adı vrln fadlrl blrlnn çöm fonsyonu çn yuarıda vrln n v z az a z... anz az polnomunu ullanacağız. Görüldüğü gb bu polnom problmn sınır oşullarını sağlamatadır. Yan v v dr. fadsnn z y gör dfa türvn alalım.

47 v z a z Bu hald ld dlr. Bu sonuç fadsnd yrn onursa π az dz-p al bulunur. Şmd bu fady mnmumu yapaca a lar aranacatır. Blndğ gb şlm EI π,,..., n a oşulları yazılara ld dln n- dnlm yardımı l yapılır. Bu şlmlr bz yalnızca hal çn yapacağız. çn v z az az az dür. Bunun z türvn alalım. v z a 6a z a z v z a z a z a z 5 6 dnlm çn bz v grmtdr. Bu da 6 fadsndn hsaplanablr. v a a a z 8a a z 6a z a a z a z 7 Şmd 5 v 7 fadlrn d yrn oyara toplam potansyl nrjy ld dlm EI l l l π a aaz aaz az aaz a z dz P a a a 5 5 EI 5 l l l a l aal 6aal a l 6aal a l P a a a 5 5 şmd π fonsyonunun mnmum tms çn grl fadlr yazalım.yan π,,, a türvlr hsaplayalım.bu hald π EI Pl 8al al 6al a π EI Pl al al 6al a 5 π EI 5 Pl 6al 6al 88 / 5al a 5 EI 8l l 6 l a P / l l 6 l a P / 5 5 6l 6l 88 / 5 l a P / 5 dnlmlr ld dlr. Buradan blnmynlr çözülürs

48 a Pl EI / a Pl/6 EI bulunur. Bu fadlr v fadsnd yrn onara çöm fonsyonu ld dlr. a P/ EI v z Pl z z z 6 EI l l l B notasında çöm vl dr. Buna gör f B Pl 8EI Bu durumda ço y br ğr sçm yaptığımız söylnblr. Problm.: Şl. d görüln bast rşn orta notasında çömy mrj tabanlı sonlu farlar mtodu yardımıyla bulunuz. N C m Enrj tabanlı sonlu farlar mtodu l çözüm: Bast rş 8 şt parçaya bölr problm nclylm. Bölünn bu parçalar arasında msafy h, bölünn notalarda çömlr, smtrdn d faydalanara v, v, v, v, rş dışında hayal notalarda çömlr d yn smtrdn d faydalanara vo olara tanımlayalım. Dönm l göstrlrsn. tan v olara tanımlanır. Br - v- / h v v last ğr fonsyonunda d v/d z fadsn şttr. Elast ğry v P v at dnlm, br notasında sonlu farlar mtoduyla; v v v v 5 v v v h h h h h h h h h h v v v dz boyunda br rş parçasında dpolanan h şl dğştrm nrjs dv dz EI d v dz dz dr.

49 Hrhang br notasının sağ v solunda toplam h boylu br rş ısmında ğrl sabt abul dlr, bu ısımda şl dğştrm nrjs, fads d yrn onulara v dz yrn h alınara zlyn şld ld dlr: EI v -v v h - h Krş N parçaya bölünürs rş bölgs üzrnd N nota ortaya çıar. Bu durumda toplam şl dğştrm nrjs; N EI v- -v v Π h h olara ld dlr. fads açı olara yazılırsa tüm rş çn şl dğştrm nrjs çn aşağıda fad ld dlr: EI vo v v v v v v v v Π h h h h h h 5 5 v v v h v v v h h h 5 Blndğ üzr dış uvvtlrn potansyl nrjs Πd P y. v dz Buradan l alınan problm çn dış uvvtlrn potansyl Π Pv5 Toplam potansyl nrj s zlyn şld vrlr π Π Π Toplam potansyl nrj anca sstmn grç onumunda br strmdn gçr. Şmd sstm toplam potansyl nrjsn mnmum yapaca dğrlr aranacatır. d d π v nrj formu çn 9 ullanılara zlyn fadlr ld dlr: π v v v v π v 8v v 8v v v π v 8v v 8v5 v π v v 8v v v π v 8v v 8v v5 v π v 8v 6v5 v Ph EI 5

50 fads matrs formunda zlyn şld yazılır: v 8 v 8 8 v 8 8 v v v5 Ph / EI v olduğu blndğndn fadsnn nc satır v sütunu slnr zlyn dnlm taımı ld dlr: v 8 v 8 8 v 8 8 v Ph / EI 8 6 v 5 P N h /8.5m dğrlr yrn onup, yuarıda dnlm taımı çözülürs v.5 P / EI ; v.5 P / EI ; v 5.5 P / EI ; v.75 P / EI ; v 7.5 P / EI 5 dğrlr ld dlr. Aynı problm vrtül ş dnlmyl çözülürs v56/ei dğr bulunur. ar [6 7.5 / 6] %.5 Problm.5: Elast faat Hoo anuna uymayan csmlr çn toplam potansyl nrj ls uygulanablr m? Elast sstmlrn dng durumunu bulma çn problm farlı açıdan l alınablr. Brncs sstm parçalara ayırara, ncs sstmn tümünü l alıp nclyr. Brnc yolda dngnn dfransyl dnlmlr, uygunlu oşulları v csmn bünys l lgl şl dğştrm onumları l alındığı hald, nc yolda sstmn onumunu blrlyn oordnatlara bağlı v toplam potansyl nrj adı l vrln br ntgral fad tanımlanara bazı sınır oşullarını grçlyn çştl onumlar arasında nrjnn strm olduğu onumlar aranır. Böylc problmn çözümü blrl br ntgral fady strmum yapan onumun bulunmasına ndrgnmş olur. Bu ndnl nrj fads last faat Hoo anunlarına uymayan csmlr özgü br şld yazılaca olursa toplam potansyl nrj ls problmmz çn uygulanablr. 6

51 YIDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ İNŞAAT MÜHENDİSİĞİ BÖÜMÜ MEKANİK ANABİİM DAI YAPI MEKANİĞİNDE ÖZE PROBEMER PRO. DR. TRGT KOCATÜRK Hazırlayan: İnşaat Müh. Canr İNCE 75

52 BÖÜM M. SON EEMANAR YÖNTEMY NTEMİ Grş Br sonlu lmanın ana aratrstğ, lman rjtl matrsnd toplanmıştır. Yapısal v yapısal olmayan analzlrd ullanılan br sonlu lman çn rjtl matrs gomtr v malzm dağılışı blgsn apsar bu, yülm altında lmanın şl dğştrmy drncn göstrr. Öylys, şl dğştrm snl, ğlm, sm v burulma tlrn apsar. Burulma: z sn doğrultusunda momnt Bu ısımda, adt görcl olara bast br boyutlu yapısal lmanlar, yan lnr last yay v br last çm basınç lmanı çn sonlu lman aratrstlr nclnctr. Bunlar tanıtım lmanları olara sçlmşlrdr. Böylc mühndsl öğrnclrn yn olan torlrl sonlu lman mtoduna gçş öprüsü sııntıya soulmayacatır. Yn nr yay v çm basınç lmanı çm basınç lmanına bundan sonra çubu dnctr. ntrpolasyon fonsyonları avramını tanıtma çn d ullanılacatır. Sonlu lman mtodunda güzll, alan dğşnnn sürl dğşmn sonlu lmanın düğüm notalarında ayrı dğrlr cnsndn tanımlanmasıdır. Sonlu lmanın ç bölgsnd, aynı zamanda sınırlarında da alan dğşn ntrpolasyon fonsyonlarıyla tanımlanmıştır bu fonsyonlar öncdn blrlnmş sınır şartlarını sağlamalıdırlar. Alan dğşn Eğlm problmnd sn d yr dğştrm Burulma problmnd dönm açısı Sonlu lmanlar analz, problmn tpn bağlı olara braç matmatsl/fzsl prnsp üzrn tmllndrlmştr. Sonlu lman analzn uygulanabln böyls prnsplrdn braçı sunulacatır. Brncs v n önmls, yay v çubu sstmlr çn stat dng prnsb dr. aat stat dng prnsbn ullanırn şl dğştrmlr problm dahl drz. Daha armaşı last sstmlr sonlu lman yöntmnn glştrlms çn Castglano nun. Torm fad dlr v uygulanır. Ayrıca daha yaygın olara ullanılan mnmum potansyl nrj prnsb d ullanılır. Hr torm d yr dğştrmlr v uygulanan uvvtlr man nrj cnsndn br man sstmn dng oşullarına bağlarlar. Burada Castglano nun. Torm nn ullanılmasında amaç, mnmum potansyl nrj avramını varyasyonlar hsabının matmatsl prnsplrn başvurmadan fad dblmtr.

53 .. Br Sonlu Elman Olara nr Yay BÖÜM. RİJİTİK MATRİSİ, YAY VE ÇBK EEMANAR Br lnr yay sadc snl yü ltmy apastl olan man br araçtır. Öyl, maul br şlm aralığında yayda uzama vya ısalma, uygulanan yü l doğru orantılıdır. Şl dğştrm v yü arasında orantılılı sabt, yay sabt vya yay rjtlğ olara adlandırılır. Yrl-Elman oor. snlr l Şl..a Gnl-Sstm oor. snlr aynı yönd Gnl oordnat sstm, tüm yapının tanımlanacağı oordnat sstmdr. Tüm yapı l brço sonlu lmanın brlşm astdlmtdr bu sstm çn yülm oşullarına cvap bulma stnmtdr. Bu ısımda, yrl v gnl oordnat sstmlrnn orjnn ötlnms dışında aynı olması durumlarıyla lglnlctr. Bununla brlt, v boyutlu durumlarda sstm olduça farlıdır v lman oordnat sstmlrnn orta br tml dönüştürülms matmatsl şlmlr grtrr. Orta tml gnl global oordnat sstmdr. Şl..a da yayın uçları düğüm notalarıdır nods v düğüm notaları yr dğştrmlr u v u l göstrlmş olup şld poztf yönlryl vrlmştr. Eğr bu düğüm notaları yr dğştrmlr vrlrs yayın toplam uzaması vya ısalması blnr. Bu da dmtr, yayda nt uvvt blnr. Yayda nt uvvt: u u Bu notada, yülrn sadc düğüm notalarında uygulanmasına htyaç vardır v bu yülr f v f olara göstrlmş olup poztf yönlryl vrlmşlrdr. Yayın şl dğştrmmş durumunda hr düğüm notasında yr dğştrmlr sıfır abul dr yayın nt şl dğştrms, δ u. u olara vrlr v sonuç yay snl uvvt s, f δ u u. Dng çn, f f vya f -f olmalıdır. Bu durumda,. ştlğ uygulanan düğüm uvvtlr cnsndn şu şld yazılablr: f u.a f u u u.b

54 Bu ştl matrs formunda; u u f f. vya [ ]{ u} { f }.5 Burada [ ] lman oordnat sstmnd yrl sstmd lman rjtl matrs {u} Düğüm notası yr dğştrmlrnn sütun matrs {f} Elman düğüm notası uvvtlrnn sütun matrs ç yülr l uç yr dğştrmlr arasında bağıntı [ ].6 Rjtl matrsnn smtrlğ, csmn lnr last olmasının v hr br yr dğştrmnn dğrn aynı fzsl olayla bağlantılı olmasının br göstrgsdr. u u [ ] f f.7 [ ] - Elman rjtl matrsnn trs Bununla brlt, matrsn trs yotur. Çünü lman rjtl matrsnn dtrmnantı sıfırdır. Bu yüzdn, lman rjtl matrs sngülrdr tl v brço durumda bu gnl br sonuç olara ortaya çıar. Elman rjtl matrsnn tll özllğnn fzsl anlamı, şl.a nın nclnmsndn ortaya çıar. Yan, yay hrhang br düğüm notasının hartn önlyc ya da sınırlayaca fzsl br nsny bağlanmamıştır. Hrhang br ısıtlılı olmadan düğüm notası yr dğştrmlrnn brysl olara ld dlms mümün dğldr. Bunun yrn sadc düğüm notası yr dğştrmlrnn farı blrlnblr. Bu far, last tlr yüzündn yay lmanının uzama vya ısalmasını göstrr. Şu anda örnt bu durum rjt csm hart anlamına glr. Rjt csm hart apasts, br yay lmanı cnsndn v braç bağlı lmanlar cnsndn ld dlp zlnblr. Tutulu olmayan t br lman çn, ğr hr br notasında yf uvvtlr uygulanırsa, yay hm snl olara şl dğştrr hm d Nwton un. Kanunu na ma gör br vmlnmy maruz alır. Eğr br lmanın düğüm notaları aynı yr dğştrmy yaparsa, bu lmanda last şl dğştrm yotur v bu sbpl d bu lmanda last uvvt yotur. Bu fzsl durum, lman fonsyonunda şn çn dâhl dlmldr. Bu apast, lman rjtl matrsnn tllğyl matmatsl olara göstrlr.

55 ... Gnl Koordnatlarda Sstm Oluşturulması Br yay lmanı çn lman rjtl matrsnn ld dlms dng ştllrn dayandırılmıştır. Bununla brlt, hr br düğüm notasının srbst csm dyagramlarını çzm v forml olara dng ştllrn yazma yrn, düğüm notası dng ştllr, hr br lmanın tsn ayrı ayrı göz önün alıp, lman uvvt atısını hr br lman düğüm notası ştlğn lyr daha tn br şld ld dlblr. Bu şlm brlştrm olara tanımlanır. Çünü brysl rjtl blşnlr alınır v sstm ştllrn ld tm çn br araya onulurlar. Bunu bast br örn üzrnd açılama çn lman aratrstlrnn gnl vya sstm ştllr çnd brlştrlms, zlyn lnr yay lmanı ullanılara göstrlblr. Örn Sstm: İ yayın fzsl bağlantısı düğüm notasıdır. Şl. Şl.: İ Elmanlı Br Sstm İçn Elmanların v Düğüm Notalarının Srbst Csm Dyagramları İ yay lmanından oluşmuş sstm dngd abul dr yayların srbst csm dyagramlarını ayrı ayrı nclrz v hr br yay çn dng oşullarını fad drz. Bunun çn. ştlğn ullanırız. f f u u f f u u f f u u..8a.8b 5

56 İ yaydan oluşmuş sstmn davranışını tanımlayan dng ştllrnn brlştrlmsn başlama çn lman yr dğştrmlrn sstm yr dğştrmlrn lşlndrn oşulların aşağıda gb yazılması grr: u, u, u, u.9 Kuvvtlr uygulanmadan önc yayın düğüm notasında brlşmş olması, uvvtlr uygulandıtan sonra da yn yayın düğüm notasında brlşmş olması grçğn, uygunlu oşulları fad dr. Bu yüzdn düğüm notasında aynı düğüm notası yr dğştrmlr ortaya çımalıdır. Böylc lmanlar arası yr dğştrm sürllğ, düğüm notası bağıntılarında sstm dâhl dlr..9 ştllr.8 ştllrnd yrn onursa, f f f f f j : j lmanı üzrn notasında t dn uvvt.. Eştlğ hr br yay lmanı çn brlştrlmş gnl yr dğştrmlr cnsndn dng ştllrn vrr. Bu formda ştllr açıça göstrr, lmanlar notasında fzsl olara brbrlrn bağlıdırlar v bu notada aynı yr dğştrmsn sahptrlr. Bu ştllr hnüz doğrudan brlşmy uygun durumda dğldrlr. Çünü yr dğştrm vtörlr aynı dğldr. Hr matrs ştllr lü boyuta zlndğ gb gnşltlblrlr. Bu tür gnşltmd lmanı nın düğüm notası na, lmanı nın da düğüm notası na bağlı olmadığı grçğ göz önün alınmalıdır. f f f f... v. ştllrnn toplamı, zlyn fady vrr: f f f f. 6

57 Şl.c,.d v. d tasvr dln üç düğüm notasının hr br çn çzm srbst csm dyagramlarına baarız.,, düğüm notaları çn dng oşulları zlyn fadlrn varlığını göstrr: f,. f f, f Bunları. t yrn yazarsa, f f f f.. [ ]{ } { } K ld dlr, bu formundadır..5 Bu form, [ ]{ } { } f u.5 Dng ştllrnn doğrudan göz önün alınması l sstm rjtl matrs K yı aşağıda gb ld drz. bnzr. K.6 Not dlmldr, sstm rjtl matrs. Tldr: Çünü sstmn rjt csm hartn ngllyc hrhang br ısıt yotur lnr bağımlıdır v dtk dır.. Sstm matrs, bast olara, lman düğüm notası yr dğştrmlr v brlş rjtl atsayılarının sstm düğüm notası yr dğştrmlrn uygun şld atanmasıyla ld dlmş brysl lman rjtl matrslrnn süprpozsyonudur.. Smtrtr: Bu durum ortogonal oordnat sstmlrnd tüm lnr sstmlr çn gçrldr. 7

58 8 SOR: Şl. d tasvr dln lmanlı sstm göz önün alara, düğüm notası nın sabt olması durumunda 5 N/m, 75N/m, 75 N olması oşulları çn v düğüm notası yr dğştrmlrn bulunuz. Sabt nota olduğundan n ts yo. Tp uvvtdr. f u u u f f f f f u u f f u u -5 f f u u f f u u N trs yönd m m

59 9 SOR: Şl.a, üç şt W ağırlığını taşıyan üç adt lnr last yayı tasvr tmtdr. Ağırlılar düşy düzlmd asılıdırlar. Yayları s.. olara l alıp hr br ağırlığın düşy yr dğştrmsn bulunuz. Çözüm: Bu problm, br s.. problm olara l alma çn Şl.b d görüldüğü gb düğün notası v lman numaraları atanır. Ayrıca, sabt msnt ısıtlılığı ndnyl olara blnmtdr..6 ştlğndn hartl hr br lman çn rjtl matrs zlyn şld ld dlr. Şl.: Ağırlıları Taşıyan Elast Yay u u u u u u Elman v gnl yr dğştrm lşlr s; Brysl lman ştllrn zlyn şld yazalım: f f f f f f, v ştllrn toplayara zlyn dnlm ld dlr: W W W f f f f f f 5 Burada, hr br düğüm notasında lman uvvtlrnn toplamının lgl notada uygulanan dış uvvt şt olması grçğndn faydalanılmıştır.

60 - 5 W W W 5 6 Yr dğştrm ısıtlılığı olan ı uygularsa; ld drz. Bu, ısıtlılı ştlğ dr. Bu durumda matrs ştlğ zlyn şl alır: Burada,,, atf yr dğştrmdr Blnmyn v bulunması stnn. s pasf yr dğştrmdr. Blnn. 6 ştlğ, ştlğndn ısıtlılı ştlğnn lnmsyl ld dlmştr. 6 ştlğ l vrln cbr ştllrn ş zamanlı çözümü çözüm aşaması zlyn yr dğştrmlr vrr: W W W 5 ştlğ s, blnmyn rasyon uvvtn -W olara vrr. yönü yuarı doğru Bu sonuçların stat ştllrl aynı sonucu vrcğ ontrol dlblr. Ayrıca sonlu lmanlarda gnl prosdür zlyn şlddr:. Brysl lman rjtl matrslrnn formülasyonu. Elman yr dğştrmlr l gnl yr dğştrmlr arasında lşlrn yazılması. Gnl dng ştlğnn matrs formunda brlştrlms. Blrl ısıtlılı oşullarına gör matrs ştllrnn ndrgnms 5. Blnmyn düğüm notası yr dğştrmlr çn sstm ştllrnn çözümü Brncl 6. dğşnlr çn çözüm Eld dln yr dğştrmlrnn gr yrn onulması l rasyon uvvtlrnn çözümü sonlu lmanı çn çubu uvvtlr bulunma stnsn: / / f f W W W W W f W W W f

61 SOR: Şl.5: Sıfır olmayan blrl δ yr dğştrms olan üç lmanlı sstm Vrln sınır şartları sıfırsa bu sınır şartlarına homojn sınır şartları adı vrlr homojn s.ş. δ homojn olmayan s.ş. Şl.5 Brlştrlmş üç lnr yay lmanını tasvr dr. Düğüm notası v lman numaraları şl.5 t göstrldğ gbdr. düğüm notası, rjt csm hartn ngllm çn sabttr. düğüm notası na s blrl br δ yr dğştrms vrlmştr. - v uvvtlr v düğüm notalarında uygulanmışlardır. Hr br düğüm notasının yr dğştrmsn v düğüm notası nın blrl oşulları çn grl olan uvvt bulunuz. Çözüm: Bu örn homojn olmayan sınır oşulu çrr. Br önc örnt sınır oşulu SIIR yr dğştrmlr l vrlmşt. Bu örnt hm sıfır homojn hm d blrl sıfır olmayan homojn olmayan yr dğştrm oşulu mvcuttur. Bu ndnl problmn cbr l alınması, zlyn şld farlı olmalıdır: Sstm dng ştllr zlyn matrs formunda ld dlblr: 5 5 δ Blrl v δ oşullarını yrn oyarsa zlyn ştllr sstmn ld drz. olduğundan brnc satır v sütun aldırılara zlyn ştl ld dlr: 5 δ Gnl br prosdür öğrtm çn son matrs ştlğ zlyn şld yazılır: 5 δ K matrsnd. v. sütunlar yr dğştrdğnd δ v yuarı çıar.

62 [ ] [ ] K 5 δδ [ ] [ ] K δ [ ] [ ] δ δ [ ] δ [ ] [ ] T K K δ δ [ ] [ ] [ ] K Kısımlara ayrılmış matrs ştllrnn nc satırından [ ][ ] [ ][ ] [ ] K K δ δ ld dlr v bu ştl blnmyn yr dğştrmlr bulma çn zlyn şld çözülür: [ ] [ ] [ ] [ ][ ] K K δ δ Bu çözümün olablms çn [K ] - n var olması grr. [ ] K / / Bunun yrn yazılmasıyla, blnmyn yr dğştrmlr zlyn şld ld dlr: [ ] [ ] / / / / δ δ δ δ δ düğüm notası nda grl olan uvvt, yr dğştrmy üst ısımda.satır yrn yazara ld dlr. [ ][ ] [ ][ ] [ ] δ δ δδ δ K K δ 5 δ δ f f f f δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ Elman Elman Elman

63 .. Elast Çubu, Kafs Sstm Elmanı nr last yay, rjtl matrs avramını tanıtmada ullanılmala brlt böyls br lmanın sonlu lman analznd faydalı olması olduça sınırlıdır. Blnmtdr, manlrd brço durumda yaylar ullanılmatadır v br lnr yayın sonlu lman olara tmsl dlblms böyls durumlarda ço faydalıdır. Daha gnl uygulama alanı olan v faat hala yaya ço bnzr br lman sadc snl yülr tsnd last çubutur. Bu lman, bastç çubu lamanı olara smlndrlctr, v üç boyutlu çrçv vya afs yapıların analznd özlll faydalıdır. Br çubu lmanın s.. aratrstlrnn formülasyonu zlyn abullr üzrn tmllndrlmştr:. Çubu, gomtr olara doğrudur doğru snldr.. Malzm Hoo Kanununa uyar σ Eε.. Kuvvtlr sadc çubuğun uçlarında uygulanır.. Çubuta sadc snl yülr vardır. Yan ğlm, burulma v sm, düğüm notalarının doğası grğ çubuğa ltlmzlr.düğüm notaları mafsal alınıyor. Ksm, burulma yo, sadc snl uvvt vardır. v oşulları brabrc bu lmanın br boyutlu lman olduğunu göstrr. Çubu lmanı hm hm d üç boyutlu yapıları modllmd ullanılablr. Şl.6, uzunlulu br last çubuğu tasvr dr. Şl.6: Br Çubu Kafs Elmanı v Elman Koordnat Sstmlr v Düğüm Notası Yr Dğştrmlr Çubu sadc sn doğrultusunda alınmış olup snnn başlangıcı yf olara çubuğun sol ucunda alınmıştır. Buna lman oordnat sstm vya rfrans çrçvs dnr. Çubuğun uzunluğu boyunca, hrhang br yrd snl yr dğştrmy u l göstrlm. Şld göstrldğ gb v düğüm notaları hr br uçta tanımlansın. u u v u u un u N u.7 olara fad dlr. Özlll vurgulanmalıdır,.7 d br ştl vrlmsn rağmn, sonlu lmanlar çn lş, gnl olara br yalaşımdır. Bununla brabr bu lş çubu lman çn sndr. İntrpolasyon fonsyonlarını blrlm çn, u n düğüm notası yr dğştrmlrn at zlyn sınır dğrlrnn özdş olara sağlaması grr: u u u u.8

64 .7 v.8 ştllr, zlyn sınır düğüm notası oşullarını vrr: N N.9 N N. Bu oşullar, ntrpolasyon fonsyonları tarafından sağlanmalıdır. Düğüm notaları, lmanlar arasında bağlantı notaları olacağından v yr dğştrm sürll oşulları bu bağlantılarda sağlanma zorunda olduğundan,.7 yr dğştrm fadsnn uç düğüm notası oşullarını özdş olara sağlaması grr. Br boyutlu fonsyonların hr brnn sağlaması grn oşulumuz olduğundan, ntrpolasyon fonsyonları çn n bast formlar zlyn polnom formlarıdır. N a a. N b b. Burada polnom atsayıları sınır oşullarının sağlatılmasından ld dlctr..9 sınır oşullarının uygulanması: a v b vrr.. sınır oşullarının uygulanması s: a - / v b / vrr. Bu durumda ntrpolasyon fonsyonları yanda şl alırlar: N /. v N /. Bu durumda sürl yr dğştrm fonsyonu yanda ayrılaştırma l vrlr: u /u /u.5 Daha sonra,.5 n n uygun formunun zlyn matrs formunda olduğu göstrlrs: u u [ N N ] [ N ]{} u.6 u Burada [N] ntrpolasyon fonsyonlarının satır matrs, {u} s düğüm notası yr dğştrmlrnn sütun matrs/vtörüdür. Yr dğştrm alanını düğüm notaları yr dğştrmlr cnsndn fad tmş olara bu aşamada şlm, düğüm notası yr dğştrmlr v uygulanan uvvtlr arasında lş olmatadır, bu lş lman çn rjtl matrsn vrr. P δ AE.7 P δ A E.8

65 nr last yay l analoj urulursa rjtl matrsnn.6 ştlğnd gb yazılablcğ görülür. Son olara, düğüm notası yr dğştrmlrnn ld dlmsn çalışılacatır. Yr dğştrmlr uygulanan uvvtlrl lşlndrm çn grl dng ştllrn ld tmd yr dğştrmdn şl dğştrmy, şl dğştrmdn grlmy v grlmdn yülmy doğru zlyn şld gdlctr. Esnl yülm durumunda, çubu lmanında olduğu gb sadc normal şl dğştrm blşnn göz önün almamız grr. ε du d.9 Normal şl dğştrm blşn Bu.5 ştlğn uygulanırsa, u u ε.. ştlğ çubu lmanının homojn şl dğştrm altında olduğunu göstrr. Bu, csmlrn muavmtnd tor l d uyuşmatadır. Sabt n st alanına sahp v uç notalarında sabt uvvt maruz br çubuta, şl dğştrm oordnatıyla dğşmz. Hoo anunundan yararlanılara snl grlm: u u E E AE σ ε. P σ A u u.. ştlğ, uygulanan düğüm notaları uvvtlr f v f y düğüm notaları yr dğştrmlr olan u v u l lşlndrm çn ullanılablr. Eğr. ştlğ poztf şart sahps lman çm altındadır v f düğüm notası uvvt poztf oordnat doğrultusunda olur. Bununla brlt dng çn f düğüm notası uvvt trs yönd olmalıdır. A E A E f u u f u u... v. ştllr matrs formunda zlyn şld yazılır: AE u f u f.5 ştlğnn. ştlğ l arşılaştırılması çubu çn AE rjtl matrsnn zlyn şld olduğunu göstrr: [ ].5.6 nr last yayda olduğu gb, çubu lmanı çn d lman rjtl matrsnn smtr, tl v srbstl drcl vya düğüm notası yr dğştrms olması l uyumlu olara mrtbdn olduğu gözlnr. Glc bölümd bu lman formülasyonunun v üç boyutlu yapılara uygulaması göz önün alınacatır. 5

66 SOR: Şl.7:a Dğşn Kstl Çubu, b Br Elmanlı Modl c İ Elmanlı Modl,d Srbst Csm Dyagramı Şl.7a dğşn stl last br çubuğu tasvr tmtdr. Çubu notasında sabt olup dğr notasında s P çm uvvt ts altındadır. Çubu n st alanı sabt msntt A olup d s A / dr. Çubuğun uç notasında yr dğştrmy a. Çubuğun uzunluğu boyunca orta notasında alan dat alınıp t br lman olara modllyr, b. Eşt uzunluta çubu lman alara v bnzr olara hr brnn orta notasında alanı ullanara, c. Ksn çözümü ntgrasyon l hsaplayınız. A a. T br lmanın n st alanı v lman yay sabt s A E P P K AE P, A E A E K AE A E d yr dğştrm b. A E 7 A E 7 A E 8 / A E 5 A E 8 / 5 A E Çubuğun orta notasına yü uygulanmadığı çn lmanlı sstm çn dng ştllr zlyn şlddr: Kısıtlılı oşulu u uygulanırsa P P P P 7 A E 8 P A E A E,7 5 6

67 c Esnl uvvt bulma çn Şl.7 y baılsın. Bu şl yf br l arasında çubu ısmının srbst csm dyagramıdır. σ A P σ A P A A A Normal şl dğştrm, ε σ E EA P Çubuğun uzunluğu boyunca normal grlm dğşm σ P A P A δ ε d P EA d δ P P P P ln ln ln ln.86 EA EA EA EA Yr dğştrm Çözümlr f Grlm Çözümlr b v c şılarında sonuçların arşılaştırılması lmanlı çözümün sn çözüm gör sadc % farlı olduğunu göstrr. Şl.7 uzunlu boyunca çözüm çn yr dğştrmy göstrr. Sonlu lman çözümlrndn hsaplanan snl grlmlrn sn çözümdn dat dğr drcd farlı olduğunu not tm son drc önmldr. Brlşm düğüm notalarında hsaplanan grlm dğrlrnd sürszllr özlll dat dlmldr. Bu durum türtlmş vya ncl dğşnlr çn aratrst br durumdur. Burada problmd türtlmş vya ncl dğşnlr grlmlr v şl dğştrmlrdr. Bu büyülülr s.. l düğüm notalarında yr dğştrmlr bulundutan sonra hsap dlrlr. Elmanlar üçüldüç yan lman sayısı arttıça böyls sürszllrn dğr azalır. Bu durum çözüm yaınsamayı göstrr. Sonlu lman ullananlar, yapısal analzd yr dğştrmlrdn ço grlmlrl lgldrlr. Bu yüzdn ncl dğşnlrn 7 yaınsamasının dat alınması önmldr.

68 .. Castglano nun. Torm Dng durumunda br last sstm çn toplam şl dğştrm nrjsnn hrhang br notada yr dğştrmy gör ısm türv, bu notada yr dğştrm doğrultusunda uygulanan dış uvvt vrr. N adt j uvvtn maruz br last csm göz önün alalım. Bu last csmd dpolanan toplam şl dğştrm nrjs, N d δ δ j j j j. δ... δ N δ N N Burada δ j, j uvvtnn uygulama notasında v j uvvtnn tsr doğrultusunda yr dğştrmdr. Eğlm tsnd rşlrd yatay yr dğştrm hmal dlr. Eğr notası harç dğr tüm yülrn uygulama notaları sabt s, notası sonsuz üçü δ yr dğştrmsn yn sonsuz üçü uvvtyl zorlanırsa şl dğştrm nrjsnd dğşm: δ δ d δ olur..5 δ.6 δ δ yalaşması lmt durumunda, Burada, sonsuz üçü dğşm snasında orjnal uvvtnn sabt olduğu abul dlr..5 t ntgral trm sonsuz üçü büyülülrn çarpımını çrdğndn hmal dlblr. Bu durumda, Castglano nun. torm sonlu lman formülasyonu çn ço güçlü br araçtır v br çubu lmanı üzrnd bu durum göstrlctr..,. v. ştllrnn brlştrlmsndn çubu lmanı çn toplam şl dğştrm nrjs zlyn şld vrlr: δ.7 ε u u u u E ε E. σ. u σ d ε σ ε. ε σ ε V uu E A.8 A st alanı, boy V çubuğun toplam hacm 8

69 Hr br yr dğştrm çn Castglano nun. torm AE u u f uygulanırsa, u AE u u f.9 Bunların. v. ştllr l özdş olduğu u görülür. Castglano nun. torm dönm açı yr dğştrmlr olması durumu çn d uygulanablr. Dönm durumunda şl dğştrm nrjsnn dönm yr dğştrmsn gör türv lgl notada dönm yönünd uygulanan momnt vya burulma momntn vrr. Şl.8 İzlyn örn bast burulma durumu çn vrlmştr ÖRNEK.5: R yarıçaplı v uzunlulu br darsl stl çubu sabt br T burulma momnt ts altındadır. Çubu br ucunda anastr msntldr. ucunda dönm açısı cnsndn last şl dğştrm nrjsn fad dnz v Castglano nun. tormnn uygulanan tor çn doğru fady vrdğn göstrnz. Şl.9 Çözüm: T. r Csmlrn muavmtndn çubu boyunca hrhang br stt ayma grlmsnn τ J Burada r, çubuğun snndn tbarn msafy; J s n stnn polar atalt momntn göstrmtdr. T r τ J r da T r J τ γ hrhang br msafd ayma açısı, γ A G J G G ayma modülü Bu durumda şl dğştrm nrjs zlyn şld ld dlr: τγd V T r T r τγdv da d V J J G V A çubuğun ucunda dönm açısının, Castglano nun. torm vasıtasıyla, r dad T J G T J G J G J G T J G A J G T JG 9

70 Bu sonuç, csmlrn muavmtndn ld dln sonuçla tamamn aynıdır. Burada dolaylı mantı ullanıldığı düşünülblr. Çünü daha önc blnn brço sonuçtan faydalanılmıştır. Bununla brlt şl dğştrm nrjsnn formülasyonu blnn grlm v şl dğştrm lşlr üzrn tmllndrlmldr v Castglano tormnn uygulanması grçt farlı br avramdır. Elast br sstm çn şl dğştrm nrjs fonsyonu, yr dğştrmlrn uadrat arsl vya. drcdn br fonsyonudur. Castglano nun. tormnn uygulanması, yr dğştrmlr uygulanan uvvtlr lşlndrn cbr ştllr vrr. Sonuç ştllrd yr dğştrmlrn atsayıları, sstm rjtl matrsnn blşnlrn vrr. Böyls br nrj tabanlı yalaşım, yapısal sonlu lmanların br çoğunun rjtl matrslrnn tşlnd n olay mtottur. G J T ÖRNEK.6: N/mm, - N 6 N/mm, N/mm, 5 N a. Şl. da görüln yaydan oluşan sstm Castglano nun. tormn uygulayınız. b. notasında rasyon uvvtn v tüm yr dğştrmlr ld dnz. *Castglano yu uygulayablm çn last şl dğştrm nrjsn bulup yr dğştrmlr gör türv alınır. yaydan oluşmuş sstmn toplam şl dğştrm nrjs yr dğştrmlr v yay uvvtlr cnsndn zlyn şld fad dlr. Bu lnr ştl sstm, zlyn şld matrs formunda yazılablr: Böylc Castglano torm vasıtasıyla sstm rjtl matrs ld dlmş olur. Vrln nümr dğrlr yrn onursa, sstm ştllr; 5 5 6

71 Kısıtlılı ştlğnn yo dlmsyl atf yr dğştrmlr yanda gb fad dlr: Katsayılar matrsn üst üçgn forma dönüştürr zlyn fad bulunur: Aşağıdan yuarıya doğru çözüm yapılırsa yr dğştrmlr zlyn şld ld dlr:,8 mm., 9,7 mm., 5 mm. düğüm notasında rasyon, ısıtlılı ştlğndn ld dlr: 5 N Buradan görülmtdr sstm dngddr.

72 .. Mnmum Potansyl Enrj Castglano nun. torm gnl mnmum potansyl nrj prnsbnn sadc br öncülüdür. Bu prnsbn fads çn brço yol vardır v bu prnsp sn olara spat dlmştr. Burada spata gdlmyc olup sonuçların Castglano nun. tormyl arşılaştırılması bulunmatadır. Mnmum potansyl nrj prnsb zlyn şld fad dlr: Dış yülr altında br csmd gomtr sınır oşullarını sağlayan tüm yr dğştrm alanları çnd dng ştllrn d sağlayan yr dğştrm alanı öyl br alandır bu yr dğştrm alanının ullanılması durumunda toplam potansyl nrj mnmumdur. Toplam potansyl nrj ısımdan oluşmuştur:. Dpolanan last potansyl nrj Şl dğştrm nrjs. Dış uvvtlrn potansyl nrjs Π.5 Bu dış uvvtlr uygulanan dış momntlr d çrr. Burada sadc orunumlu sstmlrl lglncğz. Blndğ gb orunumlu uvvtn yaptığı man ş, hartn yörüngsndn bağımsızdır. Korunumsuz uvvt örn sürtünm uvvt. Bu uvvtn yaptığı ş ısı olara açığa çıar. Krşlrd mafsallarla orunumsuz uvvt durumu oluşturulur. Korunumlu uvvtn yaptığı ş gr dönüşlü ya da gr alınablrdr. Bu orunumlu uvvtn yaptığı man ş potansyl nrjd ayıp olara göz önün alınır. -W W Sadc orunumlu uvvtlrn yaptığı ş.5 Bu durumda toplam potansyl nrj şöyl yazılablr: Π W.5 Şl dğştrm nrjs, sstm yr dğştrmlrnn uadrat br fonsyonudur. İş brm W s yr dğştrmlrn lnr br fonsyonudur. Toplam potansyl nrjnn mnmzasyonu varyasyonlar hsabı problmdr. Eğr N adt yr dğştrmnn fonsyonu olan br toplam potansyl nrj fads varsa yan, Π Π,,., N.5 Π Bu durumda potansyl nrj zlyn fadnn yazılmasıyla mnmz dlr:,,.., N ştlğ N adt cbr ştl vrr. Bu ştllr yapısal sstmn cvabını yöntn dfransyl ştllrn çözümün sonlu lman yalaşımını oluşturur.

73 ÖRNEK.7: Örn.6 nın çözümünü toplam potansyl nrjnn mnmum olma prnsbn ullanara trarlayınız. Dış uvvtlrn potansyl nrjs W Π Bu örnt, mnmum potansyl nrj prnsb zlyn fady gçlmsn grl ılar: Yay potansyl nrjs Π,,, Bu da, daha önc ld dln rjtl matrs l özdştr. Eğr zlyn üçlü matrs çarpımı oluşturulursa söz onusu üçlü çarpımın sstmn şl dğştrm nrjsyl özdş olduğu görülür. { } [ ]{ } [ ] K T Eğr şl dğştrm nrjs yuarıda üçlü çarpım formunda fad dlblrs, yr dğştrmlr olaylıla blrlnblcğ çn, rjtl matrs ld dlblr.

74 YIDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ EN BİİMERİ ENSTİTÜSÜ MEKANİK ANABİİM DAI YAPI MEKANİĞİNDE ÖZE PROBEMER İnş. Müh. Ayhan ŞEKERSTA

75 KAES SİSTEMER: DOĞRDAN RİJİTİK METOD Gnl Global oordnat sstm yapının yr dğştrmlrnn fad dldğ rfrans çrçvsdr v uygun olması çn yapının tüm gomtrs göz önün alınara sçlr. Elmanların fzsl bağlantısı v dğşn yönlnmlr sonlu lmanların doğasında olan zlyn öncüllr götürür. Hr br bağlanan lmanın lman düğüm notası yr dğştrms, düğüm notasının gnl oordnat sstmnd yr dğştrms l aynı olmalıdır Yr dğştrm uyumluluğu. Hr br lmanın fzsl aratrstlr bu durumda rjtl matrs v lman uç uvvtlr gnl global oordnat sstmn dönüştürülmldr. Böylc yapısal özlllr gnl global sstmd fad dlr. İlg duyulan brysl lman paramtrlr çubu lman çn normal grlmlr problmn gnl oordnat sstmnd çözümündn sonra, sonuçların lman rfrans çrçvsn gr dönüştürülms l ld dlr.

76 . Düğüm Notası Dng Eştllr Elman özlllrnn gnl oordnat sstmn dönüştürülmsn göstrm çn zlyn boyutlu afs sstm l alınacatır. Bu afs sstmd br boyutlu çubu lmanlar mvcuttur. Bu bast örn vasıtasıyla hrhang br sonlu lman problm formülasyonunda brlştrm şlmlr göstrlctr. X - Y : düğüm numarası Şl.: a İ lmanlı afs b Gnl yr dğştrm notasyonu

77 Şl.: a,b,c Düğüm notası srbst csm dyagramları d, Elman srbst csm dyagramları f cos.a 5 f cos f cos.a f f.c f sn f cos f sn.b.a.b sn f sn 6 f.b f f.d

78 5 6 v dış uvvtlrnn blndğ abul dlr yuarıda 8 adt dnlmdn f, f, f, f,,,, sz adt blnmyn ld dlblr. Statç blrsz sstmlrd, çözüm çn yr dğştrm lşlrnn blrlnmsn gr olduğu blnmtdr. Bu yüzdn sonlu lman yöntmnn formülasyonu böyls durumları htva dr. Yuarıda şld durum çn brncl blnmynlrn, yan l aşamada blrlnc olan blnmynlrn tümünün yr dğştrmlr dönüştürülms aşağıda göstrlctr. Elman oordnat sstmnd lman yr dğştrmlr l gnl oordnat sstmnd lman yr dğştrmlr arasında lş zlyn şld ld dlr:

79 u cos sn v sn cos.a u cos sn v sn cos.b δ u u cos sn Esnl t dn nt snl uvvt; f δ [ cos sn ],,, v.8 n düğüm notası dng oşullarında yrn onmasıyla; [ 5 cos 6 sn] cos [ 5 cos 6 sn] sn.9. f f [ cos ] f 5 6 sn [ cos ] f 5 6 sn [ 5 cos 6 sn ] cos [ 5 cos 6 sn ] sn cos 6 sncos 5 cos 6 sncos 5. 5 cos 6 snsn 5 cos 6 snsn 6.

80 .5 l tmsl dln altı adt cbr ştl lmanlı afs çn tüm dng oşulları stn fad dr..5 ştlğ zlyn formdadır: KATSAYIAR l tmsl dln altı adt cbr ştl lmanlı afs çn tüm dng oşulları stn fad dr..5 ştlğ zlyn formdadır: [ ]{ } { } K.6 Burada [K] gnl global rjtl matrsdr, {} düğüm yr dğştrmlr vtörüdür, {} uygulanan düğüm uvvtlr vtörüdür. Gnl rjtl matrs 66 lı smtr matrs olup mümün olan 6 adt gnl yr dğştrmy arşı glr.. Elman Dönüşümü Dng ştllrnn doğrudan uygulanmasıyla gnl sonlu lman ştllrnn formülasyonu, ço bast modllr dışında, braz önc görüldüğü gb ço müşülatlıdır. Gnl oordnat sstmnd düğüm notası dng ştllrnn yazılması v yr dğştrm formülasyonunun ştllr dahl dlms yoluyla önc bölümd tanıtılan prosdür gzl olara brysl lman aratrstlrn rjtl matrs gnl sstm dönüştürmüştür. Elman rjtl aratrstlrn dönüştürn br doğrudan mtot şmd glştrlc olup, bu yolla, yan lman rjtl matrslrnn gnl oordnatlarda fad dlms l doğrudan br brlştrm prosdürü glc ısımda ullanılacatır.

81 Elman çrçvsnd hazırlanan çubu lman ştllr hatırlansın. f f u u u u AE.7 Şu anda amaç bu dng ştllrnn gnl oordnat sstmnd ştllr zlyn formda dönüştürülmsdr: [ ] K.8 [K] gnl oordnat sstmnd lman rjtl matrs {} gnl çrçvd lman düğüm notası uvvtlr v gnl snn parall yr dğştrmlr v gnl y snn parall yr dğştrmlr Elman oordnat sstmnd lman snl yr dğştrmlr l gnl oordnat sstmnd lman yr dğştrmlr arasında lş zlyn formdadır: cos sn u cos sn u Bu fad matrs formunda aşağıda gb yazılır: [ ] sn cos sn cos R u u.9.. [ ] sn cos sn cos R. [R], lman snl yr dğştrmlrnn gnl yr dğştrmlr dönüşümü matrsdr. v v v rjtl matrsnd göz önün alınmaz. Bu yr dğştrmlr dnam analzd rol oynarlar. [ ] K.8 [ ] K.8 [ ] K.8 cos sn u. cos sn u cos sn u. cos sn u. cos sn u. cos sn u cos sn u. [ ] sn cos sn cos R u u. [ ] sn cos sn cos R [ ] sn cos sn cos R u u.. [ ] sn cos sn cos R [ ] sn cos sn cos R u u. Elman çrçvsnd hazırlanan çubu lman ştllr hatırlansın. f f u u u u AE.7 Elman çrçvsnd hazırlanan çubu lman ştllr hatırlansın. f f u u u u AE [ ] K.8 [ ] K.8 [ ] K cos sn u cos sn u cos sn u. cos sn u cos sn u.9. cos sn u cos sn u Bu fad matrs formunda aşağıda gb yazılır: [ ] sn cos sn cos R u u. Bu fad matrs formunda aşağıda gb yazılır: [ ] sn cos sn cos R u u [ ] sn cos sn cos R. Bu fad matrs formunda aşağıda gb yazılır: [ ] sn cos sn cos R u u. [ ] sn cos sn cos R. Bu fad matrs formunda aşağıda gb yazılır: [ ] sn cos sn cos R u u [R], lman snl yr dğştrmlrnn gnl yr dğştrmlr dönüşümü matrsdr. v v v rjtl matrsnd göz önün alınmaz. Bu yr dğştrmlr dnam analzd rol oynarlar.. [ ] sn cos sn cos R. Bu fad matrs formunda aşağıda gb yazılır: [ ] sn cos sn cos R u u cos sn u cos sn u

82 . nn.7 d yrn onması sn cos sn cos f f [ ] f f R... nn.7 d yrn onması sn cos sn cos f f.. nn.7 d yrn onması sn cos sn cos f f [ ] f f R.. nn.7 d yrn onması sn cos sn cos f f. [ ] f f R.. nn.7 d yrn onması sn cos sn cos f f cos X sn Y vrr. Burada dng ştllrnd görüln lman yr dğştrmlr, lman oordnat taımından gnl oordnat taımına blnmynlr olara dönüştürülmsn arşın, dng ştllr hala lman oordnat sstmnddr.. ün. dnlm lmanın düğüm notası çn lman oordnat taımında dng dnlmdr. Eğr bu ştl l çarpılırsa lgl düğüm notası çn gnl oordnat sstmnn doğrultusunda dng ştlğ ld dlr. Bnzr olara l çarpım doğrultusunda gnl dng ştlğn vrr. İ düğüm çn d aynı şlmlr yapılırsa bu düğüm çn gnl oordnatlarda dng ştllr bulunur. Eğr. ştlğnn hr tarafı [R] T l çarpılırsa yuarıda tanımlanan arzu dln şlmlrn aynısı ld dlr: [ ] [ ] sn cos sn cos sn cos sn cos T f f f f f f R R.5.5 ştlğnn sağ tarafının lman uvvtlrnn blşnlrnn gnl oordnat sstmnd blşnlr olduğu açıtır. Bu aşamada zlyn fad dlr: [ ] [ ] T R R.6

83 .6 matrs ştlğ lman düğüm notaları v çn gnl oordnat sstmnd fad dln dng dnlmlrn tmsl dr. Bu sonucun.8 l arşılaştırılması lman rjtl matrsnn gnl oordnat sstmnd zlyn şld olduğunu göstrr: T [ K ] [ R] [ R].7 c cos, s sn tanımlamalarıyla v.7 nn sağ tarafında matrs şlmnn yapılmasından sonra [ K ] c sc c sc sc s sc s c sc c sc sc s sc s.8 ld dlr. Burada AE/ dr. Buna lmanın aratrst snl rjtlğ dnr..8 n nclnms gnl oordnat sstmn dönüşümd lman rjtl matrsnn smtrsnn orunduğunu göstrr. Ayrıca, dtrmnantın sıfır olduğu da spatlanablr. Blrlnn ısıtlılıların olmaması durumunda rjt csm hart olduğundan bu durum baştan blnmldr... Doğrultman Kosnüslr ygulamada, br sonlu lman modl blrl oordnat yrlrnd düğüm notalarının tanımlanmasıyla oluşturulur. Hr br lmanın brbryl bağlantı notasında ortaya çıan düğüm notalarının blrlnmsyl lmanlar tanımlanır. Şu anda problmd v j düğüm notaları X, Y v X, Y j j l gnl oordnatlarda tanımlanmıştır. Elmanın düğüm notası oordnatları ullanılara, lman uzunluğu olaylıla [ X X Y Y ] /.9 olara hsaplanır. dn j y doğru olan brm vtör s λ j j [ X X Y Y j ] cos cos j j j y.

84 olup burada v j, gnl oordnatlar olan X v Y doğrultularında brm vtörlrdr. İ vtörün salr çarpımının tanımı hatırlanırsa v Şl. baılırsa, lman dönüşüm matrsn oluşturma çn grl trgonomtr dğrlr düğüm notası oordnatlarından doğrultman osnüslr olara. vasıtasıyla olaylıla blrlnr: X j X Y j Y cos cos λ. sn cos y λ j. Böylc gnl oordnatlarda lman rjtl matrs, düğüm notalarının oordnatlarının blrlnms, lmanın n st alanının vrlms v lman malzmsnn lastst modülünün vrlmsyl tamamn blrlnmş olur.. Gnl Rjtl Matrsnn Doğrudan Eld Edlms Br boyutlu çubu lmanın lman aratrstlrnn boyutlu br yapının gnl oordnat sstmn dönüştürülms daha önc görülmüştü. Şmd, gnl dng ştllrnn hr br lmana at dng ştllrnn uygun şld brlştrlms yoluyla ld dlms l lglnlctr..8 ştlğ ullanılara Şl çn gnl oordnat çrçvsnd lman rjtl matrslr zlyn şld yazılır: [ ] K [ K ].. Brysl lman rjtl matrslrnn gnl rjtl matrsn atılması çn brysl lman yr dğştrmlr l gnl yr dğştrmlrn brbrlrn arşı glm durumu gözlnml v lgl lman rjtl trmlr gnl matrst doğru yrlrn atanmalıdır. Şl. nn v lmanı çn lman v gnl yr dğştrmlr arasında

85 { }.5 { } v.6 ştllr brlşm lşlrdr v açıça afsn hr br lmanının yapıya nasıl brlştğn göstrr. Örnğn,.5 lmanı l v gnl yr dğştrmlrnn bağlantısının olmadığını gnl düğüm notasına brlşmdğn göstrr. Bu yüzdn bu yr dğştrmlr tlyn rjtl trmlr atısında bulunmaz. Bu, lmanının, gnl rjtl matrsnn. v. satır v sütunları üzrnd ts olmadığını göstrr. Bnzr olara, lmanı,. v. satır v sütunlara atıda bulunmaz. Brysl yr dğştrm lşlrn yazma yrn tüm lman v gnl yr dğştrm vrlrnn t br tabloda yrlştrlms uygundur. Tablo.: Düğüm Notaları Yr Dğştrmlr Karşılaştırma Tablosu Gnl Yr. Elman Yr. Elman Yr. 5 6

86 Yuarıda mtot dr rjtl mtodu olup, gnl rjtl matrs brysl lman rjtl matrslrnn lman v sstm düğüm notası yr dğştrmlrnn brbrlrn arşı glm durumlarına gör doğrudan toplanması sonucu oluşturulmuştur.

87 Bu aşamada djtal blgsayar şlmlr çn uygun olan br tn tanıtılacatır. Bu tnt hr br lman çn lman rjtl matrs sırayla göz önün alınır. Elman rjtl matrsnn trmlr gnl rjtl matrsn lman düğüm notası bağlantı tablosuyla yrlştrlr. Tablo.: Elman Düğüm Notası Tablosu Şl. çn Elman Düğüm Notası Bu amaçla zlyn abullr bnmsnr:.elmanların brlştlr gnl düğüm notaları v j l göstrlr.. Koordnat sstmnn orjn notasında yrlştrlr v lman ası dn j y yönlnnc poztf alınır.. düğüm notalarında gnl yr dğştrmlr -,, j-v j olara alınır. Tablo. d düğüm notası vrlr ullanılara hr br lman çn lü lman yr dğştrm yr vtörü [ ] [ j j].8 olara tanımlanır. Burada hr br dğr gnl yr dğştrm numarası olup lman rjtl matrsnn,,, numaralı satır v sütunlarına sırasıyla arşı glr. Şl. d afs çn lman yr dğştrm yr vtörlr [ ] [ 5 6] [ ] [ 5 6].9

88 olur. Elman rjtl matrslr. v. yndn yazılırsa [ ] K [ K ] olur. Burada lman rjtl matrsnn sstm rjtl matrsnd yrnn blrlnms ço olaydır. Örnğn sstm rjtl matrsnn 6. satır v. sütununa yrlştrlctr. Yapının gomtrs tanımlandığından, hr br notanın gnl oordnatları X,Y blrldr. Bu blg l hr br lmanın uzunluğu v doğrultman osnüslr bulunur [.9 v. l]. En st alanı A v lastst modülü E nn vrlmsyl,.8 ullanılara gnl oordnat taımında lman rjtl matrslr ld dlr. Bunlar gnl rjtl matrsn yrlştrlr..5 Sınır Koşulları, Kısıtlılı Kuvvtlr Gnl rjtl matrsnn dng ştllr vya doğrudan brlştrm l ld dlmsndn sonra Şl. d afs sstm çn sstm yr dğştrm ştllr, [ K ]

89 olur. Daha önc not dldğ gb gnl rjtl matrs tldr. Bu ndnl,. çn t br çözüm doğrudan ld dlmz. Bununla brlt, bu ştllrn glştrlmsnd rjt csm hartlrn önlyc msnt oşulları sstm yr dğştrmlrn hnüz dahl dlmmştr. Bu örnt yr dğştrm sınır oşulları olup, sadc v yr dğştrmlr blrlnmldr. Sınır 5 6 oşullarının yrn onulması v. nn açı yazılmasıyla K K K K K K K K K K K K olara ndrgnmş sstm ştllr ld dlr. Bu örnt,,, tutulmuş olan v düğümlrnd rasyon uvvtlrnn blşnlrdr. 5 v 6 s düğümünd uygulanan dış uvvtn gnl blşnlrdr. Dış uvvtn blşnlr vrlrs,. dnlmnn son dng ştlğ 5 v 6 çn çözülür. Bu yr dğştrm çn ld dln dğrlr, ısıtlılı ştllrnd, yan. ün l dört ştlğnd yrlrn onur v rasyon uvvtlrnn blşnlr ld dlr. Sınır oşullarının uygulanması v rasyonların hsabı çn daha gnl br yalaşım aşağıda vrlmştr:

90 c nds tutulan yr dğştrmlr a nds d tutulu olmayan atf yr dğştrmlr göstrsn Sstm ştllr zlyn şld ısımlara ayrılablr: K cc K ca c c K ac K aa a.5 a Burada tutulu yr dğştrmlr olan c lrn yrlr blnmtdr Bu dğrlr sıfır olma zorunda dğldr.. Ayrıca uygulanan dış a uvvtlr d blnmtdr. Böylc blnmyn atf yr dğştrmlr alt ısım yardımıyla ld dlr. [ K ]{ } [ K ]{ } { } ac c aa { } [ K ] { } [ K ]{ } a aa a a ac a c.6a.6b Burada baştan blrl olan {c} yr dğştrmlrnn sıfır olmadığı abul dlmştr. Bununla brlt afs sstmlrd bunlar gnlll sıfırdır. Not dlmldr, nümr tnl çn, çözümün ld dlmsnd matrs trs mtotlarından başa mtotların ullanımı daha uygundur..6 ştlğndn yr dğştrmlrn ld dlmsndn sonra.5 n üst ısmının ullanımıyla msnt rasyonları { } [ K ]{ } [ K ]{ }.6 [ ] [ ] T c cc c ca a K.7 ca K ac olduğu rjtl matrsnn smtrsndn blnmtdr.

91 Matrs Bölümlndrlms Hrhang br matrs alt mrtbdn matrslr ayrılablr. Matrs bölümlndrm avramı, sstm ştllrnn boyutunu ndrgmd v bağımlı dğşnlrn alt ümsnn blrl dğrlrn hsaba atmada ço faydalıdır. n adt blnmyn dğrlrn tmsl dn n adt lnr cbr ştllr sstm göz önün alınsın. Bu sstm matrs formunda [A]{}{} olara fad dlblr. Burada bz l p adt blnmyn yo tm styoruz. Bölümlndrlmş formda matrs ştlğ zlyn şld yazılablr: [ A] [ A] [ A ] [ A ] [ X] [ X ] { } { } A. Burada alt matrslrn mrtblr zlyn şlddr: [A] p p lmanından oluşur. [A] p n p [A] n p p [A] n p n p {X}, {} p A. {X}, {} n p Bu aşamada tüm ştllr st, matrs bölümlndrmlr cnsndn zlyn şld yazılablr:

92 [ A]{ X } [ A ]{ X } { } [ A ]{ X } [ A ]{ X } { } A. İl p adt ştl üst bölüm zlyn şld çözülür: { X } [ A ] { } [ A ]{ } X A.5 Bu ştlğn alan n p sayıda ştllrd alt ısım yrn onması aşağıda fady vrr: [ A ] [ A ][ A ] [ A ]{ X } { } [ A ][ A ] { } A.6 A.6 ştlğ, orjnal sstm tmsl dn v l p adt ştlğn tüm tlrn apsayan n p adt ndrgnmş cbr ştllr sstmdr. Sonlu lman analz apsamında bu prosdür stat yoğunlaştırma statc condnsaton adı vrlr. Sonlu lman analznd yaygın olara arşılaşan uygulamada bölümlndrlmş {X} dğrlrnn blndğ faat arşı gln sağ taraf ısmı olan {} n blnmdğ durum göz önün alınır. Bu durumda, alt ısım ştllr {X} çn doğrudan { X } [ A ] { } [ A ]{ } X A.7 olara çözülür. {} n blnmyn dğrlr üst ısım ullanılara doğrudan hsaplanablr.

93 .6 Elman Şl Dğştrm v Grlmlr Sonlu lmanlarda afs yapıların n son hsap aşaması hr br afs lmanında şl dğştrm v grlmlrn blrlnms çn çözüm adımında ld dln gnl yr dğştrmlrn ullanılmasıdır. v j notalarını brlştrn br lman çn lman oordnat stmnd düğüm notası yr dğştrmlr.9 v. l zlyn şld vrlmştr. cos sn u cos sn u.8.9 Elman snl şl dğştrms.9 ştlğn v.5 ayrılaştırma v ntrpolasyon fonsyonlarını ullanara [ ] u u u u u u N N d d d du ε.9 olur. Burada lman uzunluğudur. Bu durumda lman snl grlms, Hoo Kanunu nun uygulanmasıyla, E ε σ.5 olara ld dlr. Bununla brlt gnl çözümün lman snl yr dğştrmlrn doğrudan vrmdğ not dlmldr. Daha doğrusu lman yr dğştrmlr gnl yr dğştrmlrdn.8 v.9 vasıtasıyla ld dlr.. v. ştllr hatırlanırsa, gnl sstm yr dğştrmlr cnsndn lman şl dğştrmlr

94 ε du d [ N N ][ R ] d d.5 olur. Burada [R],. l vrln lman dönüşüm matrsdr. Gnl oordnatlarda yr dğştrmlr cnsndn çubu lman çn lman grlmlr, σ d E ε E [ N N ][ R] d.5 olur. Burada çubu lmanı formül dldğndn poztf snl grlm, çubu lmanının çm altında, ngatf snl grlm s basınç altında olduğunu göstrr. Gnl yalaşım budur. Not dlmldr,.5 d göstrln grlm hsabı hr br lman çn ayrı ayrı yapılmalıdır. Eğr arzu dlrs, lman uç uvvtlr. ştlğ l bulunablr.

95 BÖÜM EĞİME EEMANARI. Grş Sadc snl yü tsnd br boyutlu lmanlar önc bölümlrd l alınmış olup, bunlar brço bast yapının yülr cvabını nclmd ço yararlıdır. Bununla brlt, bu lmanların ğlm tlrn ltmmlr aynalı vya prçnl bağlantıları olan v daha yaygın olara arşılaşılan yapıların modllnmsnd ullanılmalarını ngllr. Bu bölümd tml rş tors, yanal ğlm tlr göstrm apasts olan ğlm rş lmanı glştrmd uygulanacatır. İl olara lman br düzlmd ğlm apasts olan br boyutlu çubu lman olara sunulmuştur. Bu lman çn ayrılaştırılmış ştllrn glştrlms apsamında, alan dğşn çn abul dln polnom formu ullanılara, ntrpolasyon fonsyonlarının blrlnms çn gnl br prosdür sunulmuştur. Glştrm daha sonra düzlmd ğlm ğ ğlm v snl yü l burulmayı apsayaca şld glştrlmştr... Tml Krş Tors Şl..a gnl yayılı yanal q yüü altında bast br rş göstrmtdr. Yü brm uzunluta uvvt cnsndn fad dlmştr N/m. Koordnat sstmnd snl oordnatı y yanal oordnatı göstrr. Tml rş torsnn blnn abullr burada uygulanablr:

96 Krş sadc y doğrultusunda yülüdür. Krşn aratrst boyutları yanında rş yr dğştrmlr üçütür. Krş malzms lnr last Malzm Hoo anunu na uyar, zotrop v homojndr. Krş przmat olup n st ğlm düzlmnd br smtr snn sahptr Daha gnl br durumda yz sn taımı asal sn taımı alınara da düz ğlm ld dlr.. y q y d O M M a Kyf ngatf yülm altnda b bast rs Eglms rs lman V c V Ksm uvvt v glm momnt çn sart abulü Şl. h a b c Şl. Krş n stlr : a v b bast rş torsnd smtr oşullarını sağlar, c smtr grllğn sağlamaz

97 a v b y düzlmn gör smtrtr v sadc bu düzlmd ğlr. c d şll st böyls br smtry sahp dğldr v y düzlm dışında ğlr, hatta yülm y düzlmnd olsa bl durum böyldr. Kabul çn yr dğştrmnn h dan n adar üçü olduğu haında abaca br dğr vrlblr. Gnl olara uygulanablr br ural masmum yr dğştrmnn. h dan üçü olmasıdır O y d Şl..b Şl..b d gb ğlm sonrasında uzunluğu d olan dfransyl br rş lmanı göz önün alınsın. Szgsl olara üst yüzy uzunluğunun azaldığı, alt yüzy uzunluğunun s uzadığı söylnblr. Bu yüzdn ğlm snasında şl dğşmn uğramayan br tabaa vardır. Bu tabaanın, ğrl mrz O dan r msafd yrlştrlmş olduğu abul dlr v bu yüzy Tarafsız yüzy y da alara, hrhang br y msafs çn ğlmdn sonra uzunlu, ds r y d. olara fad dlr. Bu durumda ğlm şl dğştrms, ds d d ρ y d ρd - ρd y. ρ

98 olur. Matmattn düzlm br ğrnn ğrlğnn yarıçapının, ρ dv d d v d /. olduğu blnmtdr. Burada v v tarafsız snn yr dğştrmş ğrsn göstrr. Küçü yr dğştrm torsnd ğmlr üçütür. Bu ndnl. ştlğ çn zlyn yalaşım yapılır: ρ d v d..,. d yrn onursa ğlm durumunda rş sn doğrultusunda normal şl dğştrm, d v - y.5 d olur. Bu durumda arşı gln grlm s, dv σ ε Ey d.6 olur. Burada E rş malzmsnn lastst modülüdür. Eştl.6, vrln br n stt normal grlmlrn rş tarafsız snndn olan msafyl lnr olara dğştğn göstrr.

99 Krş n stn snl br uvvt uygulanmadığından,.6 ştlğ l vrln grlm dağılışının blşs sıfır olmalıdır. Bu yüzdn, hrhang br snl yrnd, uzunlu boyunca, σ da d v Ey - da.7 d A A olur. Hrhang br n stt ğrl sabt olduğundan,.7 yda A.8 olduğunu fad dr. Bu ştl z düzlmnn y alanın ağırlı mrzndn gçms durumunda sağlanır. Böylc tarafsız yüzyn ğlm düzlmn d olduğu v n st alanının ağırlı mrzndn gçtğ sonucuna varılır. Bnzr olara, ç ğlm momnt, hrhang br n st çn, normal grlm dağılışının blş momntn ş dğr olmalıdır. Öylys, M - y A s da E d v d y da A.9

100 Eştl.9 da ntgral trm n st alanının z snn gör atalt momntn tmsl dr. Öylys; d v M E I z d. olur..6 v. ştllrnn brlştrlmsyl, rş ğlms çn normal grlm ştlğ, M y d v s z - - y E. I z d. d ngatf şart, rş şl. c d abul gör poztf ğlmy maruz aldığında tmn dlmş olur. Basınç v çm grlmlrnn dğrlr y yrnn dğrnn şartn bağlı olara ld dlr.

101 YIDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ İNŞAAT MÜHENDİSİĞİ BÖÜMÜ MEKANİK ANABİİM DAI YAPI MEKANİĞİNDE ÖZE PROBEMER EĞİME EEMANI PRO. DR. TRGT KOCATÜRK Hazırlayan : İnş. Yü. Müh. Svg YAÇIN

102 . Eğlm Elmanı İ boyutlu rş vya ğlm lmanı Castglano nun. torm l, tml rş tors ullanılara glştrlctr. Çalışmanın tmln oluşturan abullr v ısıtlılılar aşağıda lavlrl brabr tml rş torsndlrl aynıdır:. Elmanın boyu dr, hr br uçta br tan olma üzr düğüm notasına sahptr.. Elman dğr lmanlarla sadc düğüm notalarında bağlıdır.. Yülmlr sadc düğüm notalarına yapılmıştır. Sonlu lman formülasyonunun tml öncülünün, sürl dğşn alan dğşnnn düğüm notalarında hsap dln sonlu sayıda dğrlr cnsndn fad dlms olduğu hatırlanara, lglnln alan dğşnnn tarafsız yüzyn düz, yr dğştrmmş pozsyondan olan uzalı v yanal yr dğştrms olduğu not dlsn ğlm lmanı çn. V V V V V V c a b Sl.

103 Şl.a v.b d tasvr dldğ gb, rşn yanal yr dğştrms öyls br yr dğştrmdr, çubu boyunca yr dğştrmnn dğşm sadc uç notalarının yr dğştrmlr l ytr drcd tanımlanamaz. Şl. d açılandığı gb, a v b durumlarının yr dğştrmş şl ço farlıyn uç yr dğştrmlr özdş olablr. Bu yüzdn ğlm lmanı formülasyonu uç notalarının yr dğştrmlr yanında ğmlrn d dönm gözönün almalıdır. V V V V V V c a b Sl. Yr dğştrmlrn potansyl anlamlılığında blrszltn açınmaya lav olara, rş lmanı düğüm dönmlrnn dahl dlms, lmanlar arasında düğüm bağlantılarında dönmlrn uyumluluğunu da sağlar. Böylc fzsl olara abul dlmz olan, Şl.c d tasvr dln sürszllr ngllnr. Şl.a v b d özdş uç dplasmanlı faat tamamn farlı yr dğştrm aratrstlr göstrn rş lmanları vrlmştr. Şl.c brlşm notalarında fzsl olara abul dlmz sürszl durumudur.

104 Dönmlrl lgl bu gözlmlrn ışığında, ğlm lmanı l lgl düğüm dğşnlr Şl. d tasvr dlmştr. v lman düğümlr lmanın uçlarında yrlştrlmştr v düğüm notası y V V dğşnlr yanal yr dğştrmlr v v v l ğmlr dönmlr v dr. Eğmlr radyan cnsndn blrlnmldr. Şl. Poztf yönlryl rş lmanı düğüm yr dğştrmlr Bu aşamada olaylı çn lman özlllrn göstrn üst nds ullanılmayacatır. Çünü bu aşamada t br lman l alınmatadır. İzlyn daha sonra ço lmanlı örnlrd üst nds notasyonu yndn ullanılacatır. v f v, v,,, Yr dğştrm fonsyonu v; olup, zlyn sınır oşullarına sahptr: v v. v v.. dv d.5 dv d.6 Bağımsız dğşn gör problmn br boyutlu olması v dört sınır oşulu göz önün alınara yr dğştrm fonsyonu, v a a a a.7 formunda alınır.

105 Yr dğştrmy tanımlama çn üb fonsyon sçm yf dğldr. İntrpolasyon fonsyonlarının gnl grlllr daha sonra açılanaca olmala brabr braç lgl gözlm burada yapılacatır. Açıtır dört sınır oşulunun blrlnmsyl abul dln yr dğştrm fonsyonunda dörttn fazla sabt blrlymyz. İnc olara. v.7 ştllr açısından abul dln yr dğştrm fonsyonu v n nc türv lnrdr; bu yüzdn ğlm momnt lman uzunluğu boyunca lnr dğşr. Bu, yülrn sadc düğüm notalarında uygulandığı abulü l uyum halnddr. M EI z d v d. v a a a a.7 Söz onusu durum Şl.5 d yülü lmanın ğlm momnt dyagramının çzm l göstrlmştr. Eğr lman uzunluğu boyunca yayılı br yü uygulanmış olsaydı, ğlm momnt n azından nc drcdn dğşct. M M M z M -M - M -M Şl.5 Eğlm lmanı çn ğlm momnt dyagramı

106 ..6 sınır oşullarının ardışı olara uygulanması, v v a.8 v v a a a a.9 v v. v v dv d.5 dv d..6 dv d a dv.. d a a a.8 -. ştllr ş zamanlı olara çözülür v düğüm notası dğşnlr cnsndn atsayılar ld dlr: a v a.. a v - v -..5 a v v..5 ştllrnn.7 d yrn onmasıyla v v a düğüm notası dğşnlrnn atsayılarının toplanmasıyla a a a.7 zlyn fad ld dlr: v v v.6 Bu fad zlyn formdadır : v N v N N v N.7a Burada N, N, N v N ntrpolasyon fonsyonları olup, düğüm notası yr dğştrm vtörü {} δ da dğrlr cnsndn yr dğştrm dağılımını tarflr. v v N N N N N v [ ]{ δ}.7b

107 Eğlm lmanı çn boyutsuz uzunlu oordnatının tanımlanması uygundur; ξ Bu durumda.6 ştlğ, v v v.6.8 ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ v v v.9. ' dr ξ Bu form lman ştllrnn glşmnn tamamlanması çn grl ntgrasyonların yapılması açısından daha uygundur.. n.7b l brlt ullanılması snl pozsyonunda br nstt olan normal grlm dağılışını vrr; [ ]{ } v v N N N N N v δ.7b d v d ye I y M z z σ. [ ] {} δ σ, d N d ye y. Normal grlm br nst üzrnd lnr olara dğştğndn, hrhangbr nstt masmum v mnmum dğrlr, tarafsız sndn n uza y msafd dış yüzylrd oluşur. Bu durumda, [ ] {} δ σ d N d E y mas mas. İntrpolasyon fonsyonlarının yrn onması v dfransyl şlmlrn yapılması sonucu, σ v v E y mas mas

108 . ştlğ lman uzunluğu boyunca grlmlrn lnr dğştğn göstrr σ v v E y mas mas 6 σ v v E y mas mas 6 σ v v E y mas mas.. Düğüm notası stlrnd grlmlr, Düğüm notası dğrlr, yr dğştrm çözümü ld dldtn sonra blnn sabtlr olduğundan, sadc düğüm notalarına arşı gln nstlrd grlm dğrlrnn blnmsn htyaç vardır.

109 . Eğlm Elmanı çn Rjtl Matrs Bu aşamada yü altında lmanın ortaya oyduğu grlm, şl dğştrm, şl dğştrm nrjs, ğlm lmanı yr dğştrmsnn ayrılaştırma yalaşımı ullanılara nclnblr. Toplam şl dğştrm nrjs, ε dv σ.5,.6 vasıtasıyla.5 dnlm aşağıda şld yazılablr; E d v y dv d V V.6 E d v y da d d.7 A.5 V : Elmanın hacm ε y d v d d v σ Eε Ey d d alan ntgral, ğlm düzlmn d v stn ağırlı mrzndn gçn sn gör I z atalt momntdr. Bu durumda, EI z dv.8 d d.8 ştlğ tml rş torsnn abullrn uyan sabt n stl hrhang br rş çn şl dğştrm nrjsn tmsl dr. Sonlu lman çn şl dğştrm nrjs blrlnmş olara,.7 ayrılaştırılmış yr dğştrm lşs.8 d yrn onursa, EI z d N d N d N d N v v d d d d d.9 olara şl dğştrm nrjsn yalaşım bulunmuş olur. Ayrılaştırılmış yr dğştrm fonsyonu gnld rş ğlm problm çn sn çözüm olmadığından,.9 un br yalaşım olduğu vurgulanmalıdır.

110 Düğüm notası yr dğştrms v l münasbtl olara Castglano nun brnc torm şl dğştrm nrjsn uygulanara, düğümünd yanal uvvt, EI z d N d N d N d N v v d d d d d d N d N d N d N d N EIz v v d v d d d d d. şlnd ld dlr. Tormn dönm yr dğştrms l münasbtl olara uygulanması momnt vrr; d N d N d N d N d N M EI z v v d. d d d d d düğümü çn sonuçlar aşağıda vrlmştr: d N d N d N d N d N EIz v v d V. d d d d d M EI z d N d N d N d N d d d d v v d d N d..-. ştllr adt düğüm notası yr dğştrmsn adt uygulanan düğüm notası uvvtlryl cbr olara lşlndrr burada uvvt uygulanan momntlr d apsayaca şld gnl anlamda ullanılmıştır. mn : Elman rjtl matrslr m, n, M M v v.

111 .. ştllrnn. matrs ştlğ tarafından tmsl dln cbr ştllrl arşılaştırılması sonucu, d Nm d Nn mn nm EI z d.5 d d m, n, olduğu görülür. Buradan, lnr last br lman çn öncdn blndğ gb, lman rjtl matrsnn smtr olduğu görülür. Rjtl atsayılarının hsabına gçmdn önc ntgrasyonu boyutsuz uzunlu dğşm dönüştürm uygundur. Bu amaçla, Bu durumda, ξ f d f ξ dξ.6.7 olur. Öylys.5 ntgral, olduğu not dlmldr. ξ d N m d N n EI z d N m d N n nm EI z d dξ d d.8 m, n, dξ dξ mn olur. Bu durumda rjtl atsayıları zlyn şld hsaplanır: EI 6EI 6EI EI 6 d d ξ ξ ξ ξ ξ z z z z y EI z 6EI EI z z EI ξ 66ξ dξ ξ 66 ξ dξ z EI z 6EI ξ 66ξ dξ Doğrudan ntgrasyona dvam dlrs alan rjtl atsayıları, EI 6EI EI ; ; z z z z EI 6EI z ; ; z EI z

112 Bu durumda ğlm lmanı çn tüm rjtl matrs, EI [ ] z Daha önc d gözlndğ gb lman rjtl matrsnn smtrs aşardır. Ayrıca, lman br şld tutulu olmadığı sürc, rjt csm hart mümün olacağından, lman rjtl matrsnn sngülr olacağı göstrlblr..9 l vrln lman rjtl matrs, dönm srbstl drclrnn radyan cnsndn fad dlmlrnn sağlanması durumunda, hrhang br uyumlu brmlr sstm çn gçrldr.

113 .5 Elman Yü Vtörü.-. ştllrnd, Castglano nun brnc tormnn grğ olara, lman uvvtlr v momntlr lgl yr dğştrmlrn yön v doğrultularında alındı. Bu yön v doğrultular düğüm notası yr dğştrmlrnn poztf yön v doğrultuları l aynıdır. M M V a Şl.6 b a Düğüm notası yüü çn poztf abul b Muavmtt poztf abul c Düğüm notası yüü tlrn tasvr dn sm uvvt v ğlm momnt dyagramı V M M V M - P M Bununla brlt, Şl.6a v.6b d tasvr dldğ gb, sm uvvt v ğlm momnt çn olağan abul br rş çn öyldr ; V, M, V, M, v uçlarında sm uvvt v momntlrn mutla dğrlr s.5 lşs mvcuttur. P M c c M M V M V M.5.5 nn sol tarafında olon vtörü sonlu lman formülasyonlarıyla alaalı poztf düğüm notası uvvtlr v momntlrn tmsl dr. Sağ taraf s rş tors şart abulüyl alaalı, sol tarafta duruma arşı gln şartl sm uvvtlr v ğlm momntlrn apsar.

114 Eğr ğlm lmanı orta br notada brlştrlrs, ç sm uvvtlr, bu düğümd br dış uvvt uygulanmadığı sürc, şt şddtl v trs yönlüdür. Dış uvvt uygulanması durumunda ç sm uvvtlrnn toplamı uygulanan dış yü şt olmalıdır. Bu yüzdn, ğlm lmanları ullanılara sonlu lman modlnn oluşturulmasında, br düğümd uvvt bast olara o düğümd uygulanan hrhang br dış uvvt şttr. Bnzr durum ğlm momntlr çn d gçrldr. İ lman arasında br brlşm yrnd düğümd, ç ğlm momntlr şt şddtl v trs yönlüdür, bu yüzdn, bu düğümd br dış tl momnt uygulanmadığı sürc brbrlrn dnglrlr. Bu durumda ç momntlrn toplamı uygulanan dış momnt şttr. Bu gözlmlr Şl.6c d tl uvvt v tl momnt ts altında olan br bast rşt göstrlmştr. Tl momnt v tl uvvt orta notada tmtdr. P M M V a b Şl.6 V M M V M - M M c P c a Düğüm notası yüü çn poztf abul b Muavmtt poztf abul c Düğüm notası yüü tlrn tasvr dn sm uvvt v ğlm momnt dyagramı Ksm dyagramında göstrldğ gb, tl uvvtn uygulandığı notada sıçrama şlnd br sürszl ortaya çıar v sürszlğn şddt uygulanan uvvtn şddtn şttr. Bnzr olara, ğlm momnt dyagramı, uygulanan ğlm momntnn şddtn şt br sürszl göstrr. Bu yüzdn, ğr rş ortasında br düğüm l sonlu lmana ayrılırsa, düğümd nt uvvt uygulanan dış uvvttr v nt momnt s uygulanan dış momnttr.

115 Örn. : Şl.7a Çözüm : orta açılığında yanal br yü tsnd stat olara blrsz br rş göstrmtdr. İ ğlm lmanı ullanara orta notanın yr dğştrmsn bulunuz. P / / Sl.7a Yülü rs V V V Sl.7c Yrdgstrm çözümü V V V Sl.7b Elman v yrdgstrm göstrm Elman- sstm yr dğştrm lşs yardımıyla sstm ştllr zlyn şld ld dlr: EI z v v v M M M Tablo. Elman-Sstm yrdğştrm lşs Gnl yr. 5 6 Elman Sınır oşulları: v v Elman

116 Sınır oşulları ullanılara ndrgnmş sstm ştllr; EI 9 v P z 7P P 6 v,, 768EI z 8EI z 8 P EI z Kısıtlılı ştllrndn; P 5P,, M 6 6 P 6 P 5P P P 5P Dng ştllr : y P M P / / Sl.7a Yülü rs V V V Sl.7b Elman v yrdgstrm göstrm V V V Sl.7c Yrdgstrm çözümü

117 YIDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ İNŞAAT MÜHENDİSİĞİ BÖÜMÜ MEKANİK ANABİİM DAI YAPI MEKANİĞİNDE ÖZE PROBEMER YAYII YÜKER İÇİN İŞ EŞDEĞERİİĞİ PRO. DR. TRGT KOCATÜRK Hazırlayan : Haan Ern ERTEKİN

118 Yülrn sadc lman düğüm notalarında t ttrlms ısıtlılığı ğr yayılı br yü varsa lglnlms grn br onudur.olağan yalaşım yayılı yülrn yrn, düğüm notalarında tyn düğüm notası uvvtlr v düğüm notası momntlr oymatır.düğüm yülr sstmnn yaptığı man ş, yayılı yüün man şn şt olmalıdır. q q/ q/ q Sl. a Sl.8 Is - sdgr dügüm uvvtlr v momntlrnn yayl yü çn göstrm Şl. baılırsa yayılı yülr tarafından yapılan man ş zlyn şld fad dlblr: q b q W q v d.5

119 Burada amaç.5 l fad dln şn aynı olan ş yapan şdğr düğüm yülrn bulmatır.yan; W q v d q v M q q v M q.5 Burada q v q, v düğüm notalarında tyn şdğr uvvtlr, M q v M q s yn sırasıyla v düğüm notalarında tyn şdğr momntlrdr..7 l vrln ayrılaştırılmış yr dğştrm fonsyonunu yrn oyarsa, ş ntgral, v N v N N v N.7 W q [ N v N N v N ]d olur..5 v.5 ştllrnn arşılaştırılması,.5 q q N d M q q N d q q N d M q q N d fadlrn vrr.bu ndnl, ş ştlğ tml üzrnd yayılı yüü tms dn düğüm notası yü vtörü.5.57 ştllr l vrlr.örnğn q q şlnd ünform br yü çn, bu ştllrn ntgrasyonu,

120 q q q q M M q q q q.58 olur. Ünform yayılı yüün arşı gln düğüm yülrn şdğrlğ Şl.8 üzrnd göstrlmştr.

121 Örn Problm. : q V V V b q a / / c q q /8 q /8 q /8 q /8 q/ q/ q/ q/ d Şl.9 a Düzgün yayılı yül yülü rş b Düğüm notası, lman v yr dğştrm notasyonu c Elman yülms d İş şdğr düğüm yülr Şl.9-a da göstrln bast msntl rş düzgün yayılı yanal br yü maruzdur. İ şt uzunlulu lman v ş şdğr düğüm yülr ullanara, açılığın ortasında yr dğştrm çn sonlu lman çözümünü ld dp, bu dğr las rş torsndn ld dlnl arşılaştırınız.

122 Çözüm : Şl.9 b vasıtasıyla düğüm notaları v lmanlar numaralandırılır.sınır oşulları V V dır. Ayrıca smtrdn olduğu da not dlmldr. Bununla brlt, bu örnt, bu sonucun çözüm şlmnn br sonucu olmasına müsaad dlctr.elman rjtl matrslr özdştr.bunlar; [ ] [ ] / / 6 / / 6 / 6 / 6 / / 6 / / 6 / 6 / 6 / EI z Rjtl trmlrnn hsabında brysl lman uzunluğu / alınmıştır. Tablo. lman bağlantı tablosudur.bu durumda brlştrlmş gnl rjtl matrs; [ ] / / / / 8 EI K z Tablo. [ ] [ ] / / 8 EI z

123 Hr br lman çn ş şdğr yülr Şl.9 c y baılara hsaplanır v sonuç yülr Şl.9 d d göstrlr. Yayılı yülrdn gln yülr lav olara v düğümlrnd yülr olduğu gözlmlnr, gnl dng ştllr, [ ] 8 / / / 8 / / q q q q q v v v K Burada ş şdğr düğüm yülr.58 ştlğ vasıtasıyla ullanıldı.hr br lman uzunluğu / alındı v q -q alındı.kısıtlılı oşullarının uygulanması l, zlyn sstm ld dlr: q q q q M M q q q q.58

124 8EI z / / / q 8 q v / q 8 Yuarıda ştlğn çözümü yr dğştrmlr aşağıda gb vrr: q EI Z V 5q 8 EI Z q EI Z Öncdn blndğ gb rşn ortasında ğm sıfırdır.ayrıca, yülm v msnt oşulları smtr olduğundan yr dğştrm çözümü, uç ğmlr vasıtasıyla göstrldğ gb, smtrtr. Bu örnğn sonlu lmanlar analzndn ld dln sonuçları, muavmtt yalaşım l ld dln sonuçların aynısıdır. Bu, ş şdğr düğüm yülrnn uygulanması yüzündndr.bununla brlt, sonlu lman çözümünün vrdğ gnl yr dğştrmşşl muavmt çözümü l aynı dğldr.tarafsız yüzyn sapmasını tarflyn ştl n dördüncü mrtbdn br fonsyonudur v, sonlu lman modlnd ullanılan ntrpolasyon fonsyonları üçüncü drcdn olduğundan, sapma ğrs br şld sn çözümdn farlıdır.

125 .7 Esnl Yü İl d Yülü Eğlm Elmanı Buraya adar glştrln ğlm lmanının başlıca slğ yüün lman snn d olması zorunluluğudur.bu, söz onusu sonlu lmanların sadc lnr rş yapılarının, modllnmsnd ullanılablcğ anlamına glr. Eğr lman ayrıca snl yüü d taşıyaca şld formül dlrs uygulanablrl alanı br hayl gnşlr.böyls br lman Şl. d tasvr dlmştr:bu lmanda düğüm notası yanal yr dğştrmlr v dönmlrn lav olara düğüm notalarında snl yr dğştrmlr d alınmıştır.böylc, lman yanal yülmlr yanında snl yülmlr d müsaad dr. Görünüşt bast olan bu gnşltmnn brço dallanmaları vardır.eğr snl yü basınç s, lman burulablr. Eğr snl yü çm v dat dğr drcd büyüs, grlm rjtlşms adı vrln olay oluşur. Grlm rjtlşms olayı gtar tlnn grlmsn bnztlblr. Çm arttıça tln snn d yönd hart olan drnç artar. Aynı t çm altında yapı lmanlarında da ortaya çıar.

126 V V j j j j Sl. Esnl rjtll br rs lmannn dügüm yr dgstrmlr M M M a Sl. a Eglm momnt v snl uvvt tsnd rs b Çm uvvtnn glm momntn nasl azalttgn v bu yüzdn rs nasl rjtlstrdgn göstrn br rs sm V M M M - V b Şl. d göstrldğ gb, yanal v snl yülmlr maruz br rşt, snl yüün ğlmy ts doğrudan yr dğştrmyl lşldr. Çünü blrl br notada sapma, snl yü çn momnt olu olur. Küçü last yr dğştrm durumlarında, snl yülm ndnyl ortaya çıan lav ğlm momnt hmal dlblr. Bununla brlt, brço sonlu lman pat program yazılımlarında, burulma v grlm rjtlşms analzlr böyls br lman ullanıldığında sçml olara mümündürlr Burulma v grlm rjtlşms tlr yazılım ullanıcısı bunları baştan blrttğ sürc ontrol dlrlr.. Şu an amaç çn, snl yülrn ncl tlrnn lg alanı çnd olmayaca şld olduğu farz dlmştr. Yan, snl yüün ğlm tlrndn bağımsız olduğu farz dlmştr. Bu durumda, snl yülü çubu lmanı rjtl matrs ğlm lmanı rjtl matrsn bast olara lnr v snl yülü ğlm lmanı çn 66 lı br lman rjtl matrs ld dlr:

127 [ ] AE AE AE AE EI Z 6EI Z EI 6EI Z Z 6EI Z EI Z EI Z 6EI Z 6EI Z EI EI Z 6EI Z Z 6EI Z EI Z 6EI Z EI Z fads zlyn formda yazılablr: [ ] [ aal ] [ ] [][ flur ] Yuarıda fadd snl v ğlm rjtllr grşmszdr.krş lmanına snl apast lnms, bu lmanların snlrnn aynı doğrultulu olması ısıtlılığını ortadan aldırır v lmanın, düğüm notalarında ğlm drnc olan düzlm çrçv yapılarının analznd ullanılmasını sağlar.

128 Böyls uygulamalarda, gnl oordnat sstmnd lmanın yönlnms göz önün alınmalıdır. Kafs sstm çubularında aynı durum ortaya çımıştı. Şl.a, sn l Ψ açısı yapan br yönlnmy sahp lmanı tasvr dr. X sn gnl rfrans çrçvsnn sndr. Şld düğüm notası yr dğştrmlr d vrlmştr. V u Y 5 6 y V u X a b Şl. a Elman oordnat sstmnd düğüm notası yr dğştrmlr b Gnl oordnat sstmnd düğüm notası yr dğştrmlr

129 Şl.b lman çn atanmış gnl yr dğştrmlr göstrr. Burada yr dğştrm çn t br smbol, düğümdn düğüm nümr olara artan br ndsl brabr ullanılmıştır. Not dlmldr,.59 l vrln lman rjtl matrsn yndn, lman rfrans çrçvsnd yr dğştrm vtörü zlyn şld olaca bçmd düznlm uygundur: {} δ v u v u.6 Bu durumda lman rjtl matrs, [ ] EI EI EI EI EI EI EI EI AE AE EI EI EI EI EI EI EI EI AE AE Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z olur.

130 Şl. ullanılara, gnl yr dğştrmlr cnsndn lman yr dğştrmlr, ψ snψ cos u ψ cosψ sn v ψ snψ cos 5 u ψ cosψ sn 5 v 6 olur..6 ştlğ matrs formunda, [ ]{ } R v u v u 6 5 cos sn sn cos cos sn sn cos ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ.6.6 olara yazılablr. Burada lman yr dğştrmlr l gnl yr dğştrmlr arasında lş uran dönüşüm matrsdr. Gnl sstmd 66 lı lman rjtl matrsnn, [ ] R

131 T [ K ] R [ ][ R].65 olduğu göstrlblr.gnl br sonuç ld tm çn.65 n gnşltlms, şlmn cbr armaşası ndnyl burada vrlmyctr. Bunun yrn, göstrln hsaplamalar blrl br lman çn ço olay olup, blgsayar programı l yapılırlar. Krş snl lman ullanılara sonlu lman modl çn sstm ştllrnn brlştrlms afslr çn zlnn şlm aşamaları tarzına özdş br tarzda yapılır. İzlyn bast örn şlm aşamalarını örnlr.

132 Örn. : Şl. a da vrln çrçv, n st cm cm stl ar olan v lastst modülü. 6 N / cm olan özdş rştn oluşmuştur. O v C d msntlr anastrdr.yatay rş N / cm l düzgün yayılı yü tsnddr. B notasında yr dğştrmlr v dönmy hsaplama çn adt rş snl yü lmanı ullanınız. Y N/cm 5 8 B C V cm O cm a Şl. a İ lmanlı çrçv b Gnl oordnat sstm v yr dğştrm numaralaması c Elman n dönüşümü X b V

133 Çözüm : En st alanı A cm olur. Z snn gör atalt momnt, I Z bh / /.8 cm Karatrst snl rjtl, AE / 6 / 5 5 N / cm Karatrst ğlm rjtlğ, EI Z / 6.8 /. N / cm OB y, BC y lmanı olara göstrrs, lman oordnat taımında rjtl matrslr özdştr v; , 5 5, , 5 5,

134 Gnl oordnat sstm v yr dğştrm numaralamasını Şl.b d gb sçr, lmanının, lman oordnat sstm gnl oordnat sstm l aynı yönlnmy sahp olduğundan, dönüşüm grtrmdğ gözlnr.bununla brlt, Şl.c d göstrldğ gb lman dönüşüm grtrr. ψ π / ullanılara,.6 v.65 ştllr uygulanırsa; cosψ snψ u v snψ cosψ u v [ K ] cosψ snψ snψ cosψ [ R]{ } 5, 5 5, , 5 5, T [ K ] R [ ][ R].65 ld dlr. 9 drcl dönmnn sonucu olara lmanının rjtl matrsnn nasıl dğştğ özlll not dlmldr. Rjtl matrsnd brysl blşnlrn dğrlr dğşmml brlt, trmlrn matrs çnd yrlr dğşmştr. Gnl oordnat sstmnd tanımlandığında, ğlm v snl yr dğştrmlrn doğrultularını yansıtma çn matrst trmlrn pozsyonları dğşmştr.

135 Yr dğştrm arşılaştırma tablosu Tablo. d vrlmştr. Doğrudan brlştrm prosdürüyl brlştrlmş sstm rjtl matrs Tablo. d vrlmştr. Orta notalarla lgl yr dğştrmlrd lman rjtl matrslrnn üst üst gldğ not dlmldr.gnl rjtl matrsnn bu pozsyonlarında, brysl lmanlardan gln rjtl trmlr toplanır.

136 Y N/cm 5 8 B C V cm cm O a Tablo. Sstm Rjtl Matrs X b V [ K ] 5, 5 5, , 5 55, , 5 5, , 5 5,

137 Sstm rjtl matrs ullanılara brlştrlmş sstm ştllr; [ ],, R Y X R Y X M R R M R R K olur.burada v düğümlrnd uvvtlr rasyon uvvtlrnn blşnlr olara göstrlr yr dğştrm tutululuları yüzündn v düğümlrnd uvvtlr rasyon uvvtlrnn blşnlr olara alınmışlardır. Tutululular göz önün alınırsa, atf yr dğştrmlr çn çözülms grl olan ştllr,, , 5 55, 6 5 olur. Eş zamanlı çözüm sonucu yr dğştrm dğrlr,, cm; 5 -,77. - cm; 6-9, rad olara bulunur. Bu dğrlr olağan olduğu gb, hsap dln yr dğştrmlr altı adt ısıtlılı ştllrnd yrlrn onara rasyon blşnlr ld dlblr.

138 Esnl apastl rş lmanı çn grlm hsabı ğlm grlmlr l snl yütn oluşan snl grlmlrn süprpozsyonu göz önün alınara yapılır. Örnğn, lmanı çn ψ π / l brlt.6 ştlğ ullanılırsa, lman yr dğştrmlr zlyn şld ld dlr: u cosψ snψ v snψ cosψ u cosψ 5 snψ v snψ 5 cosψ 6 B N/cm C 6 Y V cm O cm a X b V

139 v düğümlrnd ğlm grlms. v. ştllr vasıtasıyla, 5 6 / 95, 9,958.,797. 6,5.. cm N ± ± σ 5 6 / 99, 9,958...,797. 6,5.. cm N ± ± σ ,958.,797.,77. v u v u 6 ma ma σ v v E y 6 ma ma σ v v E y..

140 V snl yütn oluşan snl grlm, σ aal, ,5N / cm Bu yüzdn, n büyü grlm şddt düğümünd oluşur. Bu düğümd snl basınç grlms ğlm ndnyl oluşan grlm dağılışının basınç ısmına lnr. Bu durumda; σ 79,6N / cm şddtnd basınç grlms ortaya çıar.

141 YIDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ İNŞAAT MÜHENDİSİĞİ BÖÜMÜ MEKANİK ANABİİM DAI YAPI MEKANİĞİNDE ÖZE PROBEMER ÜÇ BOYT KİRİŞERDE SON EEMANAR YÖNTEMİ VE AĞIRIKI ARTIKAR YÖNTEMİ PRO. DR. TRGT KOCATÜRK Hazırlayan : İnş. Müh. ŞERE DOĞŞCAN AKBAŞ

142 Üç Boyutlu Gnl Krş Elmanı Üç boyutlu gnl br rş lmanı snl, burulma v düzlmd ğlm yr dğştrmlrnn hpsn çrc apastddr. Böyls br lmanın rjtl aratrstlrn v lman rjtl matrsn nclm çn, l olara rş - snl yü lmanının düzlmd ğlmy apsayaca şld gnşltlms, daha sonra burulma tsnn lav dlms grldr. z y a y W z b q z W y X sn rş snnn ağırlı mrzndn gçmtdr. Y v Z snlr n stn alan atalt momntlr çn ortaya çıan asal snlr olaca şld sçlmştr. Eğr snlr böyl sçlmzs, düzlmd ş zamanlı ğlmnn l alınması v zlyn lman glştrmsnd gb sonuçların süprpoz dlms doğru sonuçları ürtmyctr.

143 Z sn trafında ğlm çn ğlm düzlm y düzlmdr Y sn trafında ğlm düzlm z düzlmdr. Aşağı sağda şl, v düğümlr l tanımlanan v q z yayılı yüü l yülü poztf z yönünd br rş lmanını tasvr dr. Z doğrultusunda düğüm yr dğştrmlr W v W l, düğüm dönmlr d v l göstrlmştr. y ğlm düzlmn arşı gln dönmlr v z z y y l göstrlr Ayrıca, Şl d y snnn ağıda d yönd olduğunu v poztf yönünün ağıdın çn doğru olduğunu not tm önmldr. Bu yüzdn, sağ l uralına gör, göstrln dönmlr y sn trafında poztf dönmlrdr. z q z y y W W z a b y

144 z düzlm çn lman rjtl matrs [ ] XZ 6 6 EI y [ ] y düzlm çn lman rjtl matrs XZ EI z z düzlm ğlms v y düzlm ğlms rjtl matrslr arasında ygan farın dyagonal dışında trmlrd şart farlılıları v aratrst rjtlğn alan ylmszl momnt Iy y bağlı olması olduğu görülür. z q z y y W W z a b y

145 y düzlm ğlm rjtlğ matrs v z düzlm ğlm rjtlğ matrslrnn brlştrlms l, düzlm ğlms v snl rjtl olması durumunda toplam rjtl matrs u u y v M z [ aal ] [ ] [ ] z v y [ ] bndng [ ] M y z z z [ ] [ ] w bndng z M y y w z M y y Düzgün yayılı yü çn, qz q, ş dğr düğüm yü vtörü q z qz q z M qz q qz z M qz q z z q z y y W W z a b y

146 BRMANIN ETKİSİ Aşağıda şl burulmaya maruz darsl br slndr tasvr tmtdr. Slndr rşn uçlarında burulma momntlr uygulanmıştır. Karşı gln burulma sonlu lmanı sağ altta şld göstrlmştr. Burada düğümlr v dr, slndrn sn sndr, burulma momntlr sağ l uralına gör poztftr. ünform, last darsl br slndr çn, T burulma momnt altında brm uzunlu çn dönm açısı φ T JG J G nst alanının polar atalt momntdr malzmnn ayma modülüdür. Brm uzunluta dönm açısı sabt olduğundan, lmanın toplam dönms düğüm dönmlr v burulma momntlr cnsndn, T JG vya T T JG M T G, J a T b M

147 JG M M ın göz önün alınması doğrudan lman dng ştllrn götürür: M M burulmada rjtl [ ] torson JG matrs, Not:Burada nclnn rş darsldr.br ço yaygın n st çn ş dğr br burulma rjtlğ Jq G / blnr v standart yapısal tablolardan vya muavmttn ld dlblr. Burulma aratrstlrn gnl rş lmanına lyr, rş lmanı çn n gnl ştll y V M z z aal y V M z bndng z y W z bndng z M y y W [ ] [ ] [ ] z M y y M M [ torson ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Sonuçta br gnl üç boyutlu rş lmanı çn rjtl matrsnn l smtr br matrs olduğu v snl yülmy, düzlmd ğlmy v burulmayı tmsl dn brysl rjtl matrslrnn brlştrlmsndn oluştuğu gözlnr.

148 Ağırlılı Artılar Yöntm Mühndslt uygulamalarda arşılaşılan problmlrn brçoğunun dfransyl ştllr olduğu tml br grçtr. Gomtr v yülmnn armaşılığı yüzündn nadr olara yöntc ştllrn sn çözümlr mümündür. Bu yüzdn mühndsl analznd dfransyl ştllr çözm çn yalaşım tnlr açınılmazdır. Grçt, sonlu lmanlar tnğ böyls br mtottur. Bununla brlt, sonlu lmanlar mtodu braç dğr, daha tml yalaşım tnlr üzrn tmllndrlmştr. Bunlardan brs bu bölümd dtaylı olara tartışılaca v sonuçta sonlu lmanlar formülasyonuna uygulanacatır. Ağırlılı artılar yöntm MWR sınır dğr problmlrn çözm çn ullanılan br yalaşım tnğdr. Bu yalaşımda öncdn tanımlanan sınır oşullarını sağlayan dnm fonsyonları v problmn bölgs üzrnd, br ortalama anlamında hatayı mnmz dc br ntgral formülasyonu ullanılır. Burada gnl avram br boyutlu durum cnsndn tanımlanmıştır. aat, sonra bölümlrd göstrlcğ üzr, v üç boyutlu durumlara gnşltldğnd, şlm fazlalığı dışında aşardır. Br dfransyl ştl zlyn gnl formda vrlmş olsun [, ] ; a < < b D y y a y b 5. Ağırlılı artılar yöntm zlyn formda br yalaşı çözüm araştırır: Sınır oşulları 5. y* cn n 5.

149 Burada y* blrlnc olan c blnmyn paramtrlr l N dnm fonsyonlarının çarpımı olara fad dln yalaşı çözümdür. Dnm fonsyonları üzrn onulan ana grll onların abul dlblr fonsyonlar olmasıdır; yan, dnm fonsyonları lglnln bölg üzrnd sürldrlr v blrlnn sınır oşullarını sn olara sağlarlar [ ] D y, ; a < < b n y* cn 5. E olara, dnm fonsyonları gnl anlamda problmn fzğn sağlayaca şld sçlmldrlr. Br şld gvştlmş bu oşullar vrlmş olara, uvvtl muhtmldr 5. ştlğ l tmsl dln çözüm sn dğldr. Bunun yrn, abul dln çözümün 5. d yrn onması, * R D y, şlnd br artı hata bundan sonra sadc artı dnlctr vrctr. Burada R artıtır. Not dlmldr artı ayrıca blnmyn c paramtrlrnn d fonsyonudur. Ağırlılı artılar mtodu blnmyn c paramtrlrnn, b w R d, n 5.5 olaca şld hsaplanmasını grtrr. a Burada w n adt yf ağırlı fonsyonunu tmsl dr. 5.5 ştlğ n adt cbr ştl vrr. Bu ştllr c nn n adt dğr çn çözülblr. 5.5 ştlğ ağırlılı artı hatalarının bölg üzrnd toplamının ntgralnn sıfır olduğunu fad dr. Dnm fonsyonları üzrn yrlştrln grlllrdn dolayı uç notalarında çözüm sndr sınır oşulları sağlanma zorundadır.. aat, gnl olara, hrhang br ç notada artı hatası sıfır dğldr. Daha sonra tartışılacağı gb, MWR blrl oşullar altında sn çözümü yaalayablr. aat bu durum gnl br uraldan zyad br stsnadır.

150 MWR nn braç çşd mvcuttur v tnlr sas olara ağırlı fonsyonlarının nasıl blrlncğ vya sçlcğ hususunda brbrlrndn farlılı göstrrlr. En yaygın tnlr pont collocaton, subdoman collocaton, n üçü arlr v Galrn mtodudur. Kullanılması olduça olay olara v sonlu lmanlar mtoduna olayca uyarlanabldğndn burada sadc Galrn mtodu nclnctr. Galrn n ağırlılı artılar mtodunda ağırlı fonsyonları dnm fonsyonlarına özdş olara sçlr. Yan; b D[ y, ] ; a < < b y* cn n * R D y, w R d, n 5.5 a w N, n 5.6 Bu yüzdn blnmyn paramtrlr, b b w R d N R d, n 5.7 a a vasıtasıyla blrlnrlr. 5.7, blnmyn paramtrlrn hsaplanması çn n adt cbr ştl vrr. Prosdürün dtayları zlyn örnlrd vrlctr.

151 Örn 5. : İzlyn dfransyl ştlğ br yalaşı çözüm bulma çn Galrn n ağırlılı artılar mtodunu ullanırız. d y 5; d Sınır oşulları y y ; y y a b Çözüm : ştlt arsl trm polnom formunda dnm fonsyonlarının uygun olacağı zlnmn uyandırır. a v b d homojn sınır oşulları çn gnl form, p N - - N sınır oşullarını otomat olara sağlar v a b ullanılara, blrlnn sınır oşullarını a b q lur. Burada p v q sıfırdan büyü poztf tam sayılardır sağlayan böyls n bast form, N - dr. Bu dnm fonsyonu ullanılara, 5. ştlğ vasıtasıyla yalaşı çözüm, y*c - olur v brnc v nc türvlr d sürldr. Br t dnm fonsyonu D[ y, ] ; a < < b y* cn n dy d * c - d y d * c b 5. * R D y, w R d, n 5.5 a

152 dy d * c - d y d * Bu notada görülür, sabt nc türv ld dldğndn sçln dnm çözümü problmn fzğn sağlamaz. Dfransyl ştl nc türvn n arsl fonsyonu olmasını grtrc şlddr. Bununla brlt prosdürü zah tm çn örnğ dvam dlctr. y* n nc türvnn dfransyl ştlt yrn onması artığı, R ; c c olara vrr bunun sıfır olmadığı c d 5 y* - olara ld dlr. Bu görcl bast örn çn yalaşı çözüm l sn çözümü arşılaştırablrz. Dfransyl ştl z ntgr dlr sn çözüm, c açıtır. Bunun 5.7 d yrn onması, vrr. Bu fad ntgrasyondan sonra c vrr. Öylys yalaşı çözüm, b b w R d N R d, n dy d y d d d 5 d 5 c dy 5 5 y d 5 c d c c d 6 b D[ y, ] ; a < < b y* cn n * R D y, w R d, n 5.5 a d y 5; d N - y*c a a

153 dy 5 5 y d 5 c d c c d 6 y sınır oşulunun uygulanması c, y c vrr buradan c - / Bu yüzdn sn çözüm, y 6 olur. sınır oşulu y* olur. İ çözümün graf tasvr Şl 5. d vrlmştr. İ çözümün graf tasvr Şl 5. d vrlmştr. Şl 5. yalaşı çözümün sn çözüml maul br uyuşma çnd olduğunu göstrr. Bununla brlt, dat dlmldr t trm çözümü lg aralığı üzrnd smtrtr. Bunun doğru olmadığı dfransyl ştlğn nclnmsndn görülblr. Tml tc güç d arsl trmdr; bu yüzdn çözümün smtr olması muhtml dğldr. İzlyn örn çözümü gnşltr v mtodun sn çözüm nasıl yalaştığını göstrr.

154 Örn 5. : 5. çn trml Galrn çözümünü, dnm fonsyonlarını N - N - alara ld dnz. dy 5; d Çözüm : İ trml yalaşım çözümü y* c c olur v nc türv d d y * c c R ; c, c c c olur. dr. Bunun dfransyl ştlt yrn onması sonucu artı p N - - Galrn mtodu vasıtasıyla ağırlı fonsyonlarının dnm fonsyonları olara alınması, artı ştllrn zlyn şld vrr: a b q c c 6 [ c c 5] d c c 6 5 [ c c 5] d Bunların ş zamanlı çözümü 9 c 6 c 5 vrr. b D[ y, ] ; a < < b y* cn n * R D y, w R d, n 5.5 a

155 Böyl trml yalaşı çözüm, y* olur y 6 Ksn, br trml, trml çözümlr arşılaştırm çn Şl 5. d çzlmştr. Ksn v trml çözümlr arasında farlar zorlula sçlr. Böyl trml yalaşı çözüm, y* 6 6 Ksn, br trml, trml çözümlr arşılaştırma çn Şl 5. d çzlmştr. Ksn v trml çözümlr arasında farlar zorlula sçlr MWR çözümünün ytrnc hassas olduğunun Yan, çözümün sn çözüm yaın olduğunun blrlnblms çn tüm yalaşı çözüm tnlrnd yönltlmldr. Eğr sn çözüm blnmyorsa v nadrn blnr, doğruluğun blrlnms çn br rtr glştrlmldr. Gnl olara, ağırlılı artılar mtodu çn, prosdür, dnm fonsyonlarının sayısını arttırırn çözümlr ld tmy dvam tm v çözümün davranışını not tmtr. Dnm fonsyonlarının artımıyla çözüm ço az dğşrs, çözümün yaınsadığı söylnblr. d y 5; d

156 Çözümün grç çözüm yaınsayıp yaınsamadığı hala dğr br sorudur. Bu tabın apsamı dışında olmala brabr, tor matmatğn büyü br ısmı yaınsama sorularına v yaınsamanın doğru çözüm olup olmadığına htap dr. Bu çalışma dahlnd yaınsayan br çözümün doğru çözüm yaınsadığı abul dlctr. zsl problmlr durumunda, çözüm prosdürünün dışında blrl ontrollr, nümr çözümün maullüğünü blrlm çn yapılablr. Bu ontrollr dngy v zlyn bölümlrd tartışılaca dğrlrn apsar. Önc örnt dnm fonsyonları sınır oşullarını otomat olara sağlayaca şld uyduruldu faat sstmat br prosdür üzrn tmllndrlmd. Bu yalaşımda hçbr yanlış durum yon, şmd polnom dnm fonsyonları üzrn tmllndrlc br prosdür sunulacatır. Bu prosdürd dnm fonsyonlarının sayısı sstmat olara arttırılaca, böylc yaınsamanın nclnmsn man sağlanacatır. Prosdür zlyn örn apsamında açılanacatır. Örn 5. : Problm 5. v 5. y çözüm çn br gnl polnomsal form abul dr çözünüz: y* c c c.... Çözüm : Brnc dnm çn sadc y* c c c y* c ; y* c c arsl formu alınıp sınır oşulları uygulansın: İnc sınır oşulu ştlğ, ğr homojn sınır oşulu tam olara sağlanacasa c v c nn bağımsız olmadığını göstrr. Bunun yrn, ısıtlılı lşs c - c ld dlr. Dnm çözümü, y*c c c - c c - olur v Örn 5. d çözüm l aynıdır. Daha sonra üb trm lnr v dnm çözümü, y* c c c c olur. d y 5; d

157 y* c ; y* c c c y* c c c c vrr v bu durumda ısıtlılı lşs c c c olur. Kısıtlılı c - c c şlnd fad dlr dnm çözümü, y*c c c c c -c c y*c - c - olur. Bu durumda, hr br özdş olara sınır oşullarını sağlayan dnm fonsyonu ld dlmştr. Burada trml çözüm yapılmayaca, bunun yrn dördüncü drcdn trm lnr dnm çözüm y * c c c c c olur v sınır oşulları, c ; c c c c Kısıtlılı lşs c ü yo tm çn yf olara ullanılır v bu durumda, y * c c c - c c c y * c - c - c - d y 5; d Dfransyl ştlt yrn oyara, artı R ; c, c, c - c c- c

158 R ; c, c, c - c c- c Eğr artı fads sıfıra ştlnr v n uvvtlrnn atsayıları ştlnrs, artığın aşağıda atsayılar çn sn olara sıfır olduğu bulunur: 5 5 c - ; c ; c ; c y* - 6 Böylc olur bu da sn çözümdür. Önc örnt dtaylandırılan prosdür polnomsal dnm fonsyonları glştrm çn sstmat br prosdürü tmsl dr v ayrıca homojn olmayan sınır oşulları durumuna da uygulanablr. Cbr olara, şlm açıtır. aat dnm fonsyonlarının sayısı arttırıldıça polnom mrtbs sııcı olur. Galrn ağırlılı artılar mtodunun gnl tnğnn ana hatları vrlmş olara, şmd MWR üzrn tmllndrlmş olan Galrn n sonlu lman mtodu glştrlctr.

159 Galrn Sonlu Elman Mtodu Önc ısımda tanımlanan las ağırlılı artılar mtodu gnl dnm fonsyonlarını ullanır; yan hr br dnm fonsyonu lg bölgsnn tümü üzrnd uygulanmalıdır v özdş olara sınır oşullarını sağlamalıdır. Özlll uygulamada sıça arşılaşılan v üç boyutlu olan v ısm dfransyl ştllrl yöntln problmlrd uygun dnm fonsyonlarının bulunması v sonuç çözümlrn doğruluğunun blrlnms üstsndn glnms güç çalışmalardır. Bununla brlt, artı hatanın mnmzasyonu avramı, Galrn yalaşımı ullanılara sonlu lman durumuna olaylıla uyarlanablr. Öğrtc amaçlar çn zlyn dfransyl ştl, d y f d a b 5.8 yn zlyn sınır oşulları altında y a y ; y b y 5.9 a b a M M göz önün alınır. Problm bölgs M lmana bölünür bu lmanlar bağımsız dğşnn M adt dğr l sınırlandırılmıştır. Öyl a v m b gnl sınırların dahl dlmsn sağlar. Br yalaşım çözümü, M y* y n olur. 5. Burada y, çözüm fonsyonunun d dğrdr v n arşı gln dnm fonsyonudur. Dat dlmldr, bu yalaşımda, ağırlılı artılar mtodunun blnmyn c sabt paramtrlr, bölgd blrl notalarda hsaplanan çözüm fonsyonunun blnmyn ayrı y dğrlr olurlar. M b

160 n - a n n < > s n 5. n 5 Hr br lman bölgsnd sadc dnm fonsyonunun ısmn üst üst gldğn dat dlmldr. Ayrıca dnm fonsyonlarında önml br farlılı vardır. Eştl 5. da ullanıldığı gb, dnm fonsyonları n lr gnl problm bölgsnn sadc üçü br ısmı üzrnd sıfırdan farlıdırlar. Özlll blrtlrs, br dnm fonsyonu n sadc < < aralığında sıfırdan farlıdır v örnlrl açılama olaylığı çn zlyn şld tanımlanan lnr fonsyonlar ullanalım: b n n 5 5 M y * y n 5. 5 Şl 5. a M lmana bölünmüş olan b İl dört dnm fonsyonu. bölgs. a b

161 Açıça, bu durumda, dnm fonsyonları, < < aralığında y çözümünün dğrnn omşu düğüm dğrlr olan y v y n lnr brlşm olduğunu göstrn ntrpolasyon fonsyonlarıdır. İl dört dnm fonsyonu Şl 5.b d göstrlmştr v gözlnr, a aralığında 5. l vrln yalaşı çözüm, y* y n y n y y 5. olur. Burada ullanılan dnm fonsyonları lnrdr. aat yüs mrtbdn dnm fonsyonları, tnğn rş lmanında ullanımında daha sonra göstrlcğ gb, ullanılablr. 5. Kabul dln çözümünün 5.8 yöntc ştlğnd yrn onması artığı, M * M dy d R ; y f { yn } f d d 5. n n b n n d y f d 5.8 M 5. y * y n 5 Şl 5. a M lmana bölünmüş olan b İl dört dnm fonsyonu. bölgs. a b

162 M * M d y d R ; y f yn f d d { } 5. olara vrr. Buna Galrn n ağırlılı artı mtodunun uygulanması çn hr br dnm fonsyonu ağırlı fonsyonu olara ullanılır v b b M a d nj R ; y d nj { yn } f d j, M d a 5. ld dlr. 5. ştlğ v Şl 5.b ışığında gözlnr ; hrhang br aralığında, dnm fonsyonlarından sadc s sıfırdan farlıdır. Bu gözlm dat alara, 5. ştlğ aşağıda formda fad dlblr: d n y jnj yj nj f d j, M;, M d j j ştlğnn ntgrasyonu M adt blnmyn y düğüm çözümü dğrlr cnsndn M cbr K y 5.6 olara yazılablr. dnlm vrr v bu ştllr matrs formunda [ ] {} { } Burada [ K] sstm rjtl matrsdr, { } { } y düğüm notası yr dğştrmlr vtörüdür, düğüm notası uvvtlr vtörüdür. 5. ştlğ, Galrn sonlu lman mtodunun forml fadsd v hm lman oluşturma hm d brlştrm adımlarını apsar. Tüm bölg üzrnd ntgrasyon cnsndn yazılmış olara, bu formülasyon açıça ağırlılı artılar mtodunda matmatsl tmllr göstrr. Bununla brlt, 5.5 ştlğ göstrr, ştllrn hr br çn sadc hr br lman üzrnd ntgrasyon grldr. Şmd Galrn mtodu üzrn tmllndrlmş müstal lman formülasyonu nclnctr.

163

164 YIDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ İNŞAAT MÜHENDİSİĞİ BÖÜMÜ MEKANİK ANABİİM DAI YAPI MEKANİĞİNDE ÖZE PROBEMER PRO. DR. TRGT KOCATÜRK Hazırlayan : İnş. Müh. ath KÖŞE

165 5.. Elman ormülasyonu Eğr 5.8 ştlğ çn sn çözüm ld dlrs, bu durumda çözüm a, b aralığında hrhang br alt bölgd d ştlğ sağlar. İzlyn problm göz önün alınsın. d y f 5.8 j j d d y f j j d 5.7 Burada v a, b aralığındadır v br sonlu j j lmanın düğümlrn tanımlarlar. 5.7 ştlğn uygulanablr uygun sınır oşulları, y y y y j j j j 5.8 Bunlar alt bölgnn uç notalarında çözümün blnmyn dğrlrdr.daha sonra zlyn formda br çözüm önrlsn: y y jn y j N 5.9 Burada çözümün sonlu lman çn olduğunu göstrr v şmd ntrpolasyon fonsyonları N j j j j j N j j j j j 5. a,b 5. ştlğnd tanımlanan ntrpolasyon fonsyonları v 5. ştlğnd dnm fonsyonları arasında lşy dat dlsn. İntrpolasyon fonsyonları t br lman bölgsnd uygulanablr dnm fonsyonlarının üst üst gln ısımlarına arşı glr. Ayrıca, ntrpolasyon fonsyonlarının zlyn oşulları lman sınır düğüm oşulları olara sağladığına dat dlmldr: n N j N j N j N j 5. n s n 5.

166 N N N N j j j j 5.8 ştlğ özdş olara sağlanır. Kabul dln çözümün 5.9 ştlğnd yrn onması artığı zlyn şld vrr: R yj yj f y jn yj N f Burada üst nds artığın lman çn olduğunu göstrmtdr. Galrn ağırlılı artı rtrnn uygulanması, j j d y j j d j N R ; y, y d N f d, 5. j j j d y N d N d, f 5. d j d y d ;, d d j 5. olara lman artı ştllrn vrr. Brnc ntgral parçalı ntgrasyon uygulanırsa, dn dy J j j dy N d N f d, d d d J j j İntgrallr dışında trmn, yan yuarıda brnc trmn hsaplanması v grl düznlmlrdn sonra zlyn ştl ld dlr:

167 dn dy dy d N f d d d d j j j j j j j dn dy dy d N f d 5.6 a, b d d d j j j Dat dlmldr, 5.6 formunda ştlğ varmada, lman düğüm notalarında ntrpolasyon fonsyonlarının hsabında 5. ştlğ ullanıldı. 5. ştlğnn parçalı ntgrasyonu üç fayda sağlar: En yüs mrtbdn türvlrn mrtbs br ndrgnr. Açıça gözlncğ gb rjtl matrs smtr yapıldı. Eğr parçalı ntgrasyon yapılmasaydı hr br ştlt dnm fonsyonlarının br tansnn nc mrtbdn türv olacatı v dğr dnm fonsyonunun türv olmayacatı. Kısm ntgrasyon lman düğüm notalarında gradyn sınır oşullarını tanıtır. Gradyn sınır oşullarının fzsl anlamı zlyn fzsl uygulamalarda açıça görülctr. Notasyon bastlğ çn j alınara v 5.9 ştlğnn 5.6 da yrn onması, dn dn dn dy y y d N f d d d d d dn dn dn dy y y d N f d d d d 5.7 a, b d y y Bunlar zlyn formdadır: Katsayı trmlr lman rjtlğ dn dn j j d, j, d d olara tanımlanır v lman düğüm uvvtlr 5.7 ştllrnn sağ taraflarında vrlmştr. Eğr lman formülasyonu çn tarflnn Galrn prosdürü zlnrs v doğrudan rjtl mtodunda olağan tarzda sstm ştllr brlştrlrs, sonuç sstm ştllr hr açıdan 5. ştlğyl tmsl dln prosdürl ld dlnlrl özdştr. Brlştrm şlm snasında, Şl 5.5 d olduğu gb orta br düğüm notasında lman brlştğnd, düğüm çn brlştrln sstm ştlğnn zlyn formda br sağ taraf trm htva ttğn gözlmlm önmldr:

168 dy dy d d Eğr sonlu lman çözümü sn çözüm olsaydı, hr br lman çn 5. l göstrln fadlr şt olacatı v fadnn dğr sıfır olacatı. Bununla brlt, sonlu lman çözümlr nadrn sndr. Öylys gnld bu trmlr sıfır dğldr. Bununla brlt, brlştrm şlmnd abul dlr, tüm ç notalarda, gradyn trmlr btş y y dy d dy d 5 Şl 5.5. Br düğümd brlşn lman lmanlarda şt v arşıt olara gözüürlr v böylc düğümd br dış t tmdç brbrlrn götürürlr. Bununla brlt, gnl düğüm notalarında gradyn trmlr blrlnn sınır oşulları olablrlr vya çözüm aşaması vasıtasıyla ld dln rasyonları tmsl dblrlr. Grçt, sonlu lman çözümlrnn doğruluğunu dğrlndrmd ço güçlü br tn, düğüm notalarında vya daha gnl olara lmanlar arasında sınırlarda gradyn sürszllrnn dğrlrn araştırmatır. Örn 5.5 İzlyn dfransyl dnlm çözm çn Galrn mtodunu ullanara br lnr sonlu lman formülü çıarınız. d y dy Sınır oşulları y y d d d Çözüm: İl olara dfransyl ştlğn a şdğr olduğu not dlsn d d Doğrudan ntgrasyondan v sınır oşullarının uygulanmasından sonra sn çözüm, dy y - ln olur. Sonlu lman çözümü çn n bast yalaşım düğüm notalı lman ullanımı ln olup bunun çn lman çözümü,

169 y N y N y y y olara abul dlr. Burada y v y düğüm notası dğrlrdr. Elman çn artı ştlğ, d dy N d, d d olup brnc trmn parçalı ntgrasyonundan sonra, dn dy dy N d Nd, d d d Elman çözüm formunun yrn onması v düznlmdn sonra dn dn dn dy y y d N Nd, d d d d İntrpolasyon fonsyonlarının v brnc türvlrn yrn onmasından sonra zlyn fad ld dlr: dy y y d d d Sol tarafta trmlrn ntgrasyonu lman rjtl matrsn y y d dy d d olara vrr. Eştllrn sağ tarafında gradyn sınır oşulları v düğüm uvvtlrnn olduğu açıtır. Örnlndrm çn lmanlı çözüm şt aralılı düğümlr,.5, d alınara zlyn şld formül dlr: Elman d d..5 Elman d d Bu durumda lman ştllr

170 y.667 dy d.5.5 y dy d.5.5 y.5.5 y dy.5 d dy d Sstm düğüm dğrlr,.5, d sırasıyla l göstrlr, Y, Y, Y brlştrlmş sstm ştllr.5.5 Y.5 6.5Y.5.5 Y dy d dy d dy y.5 Y d Gnl sınır oşulları Y Y uygulanara, göstrln ştllrn ncs Y -.5 vrr v bu dğrn dğr ştlt yrn onması sınırlarda gradynlrn dğrlrn, dy d.67 dy d.86 dy d.797 olara vrr. Ksn çözüm s, Dtayları vrlmml brabr bu örn çn dört lmanlı çözüm şt aralılı yrlştrlmş düğümlr çn,.5,.5,.75, zlyn ştllr vrr:.57 dy d.5.5 Y Y Y.5 Y Y 5 dy d 5 Y Y5 sınır oşullarının uygulanması v alan lü sstmn çözüm sonuçları, Y -.6 Y -.57 Y -.6 dy d.5 dy d 5.8 olara vrr.

171 İ lmanlı çözüm, düğüm notaları dışında ço aba br yalaşımdır. Ayrıca türv sürszlğ blrgndr. Dört lmanlı çözüm düğüm notalarında nrdys sn çözüml özdştr. Dört lmanda brnc türvlrn sürszllrnn büyülülr azaltılmış olmala brlt hala olaylıla görülblmtdr Şl 5.5 : İ lmanlı, dört lmanlı v sn çözümlr Galrn Mtodunun Yapısal Elmanlara ygulanması 5.. Kafs Elmanı Bölüm d afs lmanı yndn göz önün alınara v çubuğun sabt şl dğştrm lmanı olduğu hatırlanara sabt şl dğ. sabt grlm.9 v. ştllrnn ullanımıyla uygulanablr dng ştlğ ld dlr: d σ d d u d d d Eε E 5. Burada sabt last modül abulü yapılmıştır. Elman uzunluğu l göstrlr, yr dğştrm alanı.7 ştlğyl ayrılaştırılır: u Nu Nu.7 u u N u N u - u 5. İlglnln bölg, lmanın hacm olduğundan Galrn artı ştllr ;

172 V du du d d 5. Burada dv Ad dr v A lmanın sabt nstdr. N E dv N E Ad, Parçalı ntgrasyon v yndn düznlmdn sonra, AE d N AE d d dn du du d nn ullanımından sonra 5. dn d du AE N N d AE AE A d d d ε σ X dn d du AE N N d AE AE ε Aσ d d d X 5.5a,b 5.5 n sağ tarafından gözlnr, çubu lman çn gradyn sınır oşulu σa olduğundan sadc uygulanan düğüm uvvtn tmsl dr. 5.5 olaylıla zlnn matrs formuna onablr: AE l dn dn dn dn d d d d d dn dn dn dn d d d d 5.6 Burada matrsn brysl trmlr bağımsız olara ntgr dlr. Göstrln dfransyl v ntgrasyonların yapılmasından sonra, AE 5.7 ld dlr. Bu, bölüm d çubu lman çn ld dln çözüml aynıdır. Bu açıça Galrn mtodu, dng mtodu v nrj Castglano mtotlarının çubu lman çn şdğrlğn göstrr. u u N u N u - u 5.

173 5.. Krş Elmanı Galrn mtodunun rş lmanına uygulanması yülü rşn boyuna sn boyunca alınan dfransyl br parçanın göz önün alınması l başlar. Bu parça Şl 5.7 d göstrlmş olup brm uzunluta yüü tmsl dn q yayılı yüü l yülüdür. q yf dğşml brabr d dfransyl boyu boyunca sabt olara abul dlr. Y doğrultusunda uvvtlrn dngs oşulu, dv - V V d q d d dv d 5.8olur. Buradan q 5.9 olur. Sol yüzd br notaya gör momnt dngs dm dv d M d M V dd [ qd ] d d 5. olur. İnc mrtb dfransyllrn hmalndn sonra V 5. d M olur. 5.9 v 5. ştllrnn brlştrlmsyl q 5. d ld dlr. Tml csmlrn muavmt torsndn hatırlanırsa, Şl 5.7 d şart abulü çn ğlm formülü, dm d M d v E Iz 5. V, Y doğrultusunda yr dğştrmy göstrr. d y M q M dm d d Şl 5.7 Yülü rşn dfransyl br parçası 5. l brlt 5. yöntc ştllr rş ğlms çn V d V dv d d d d v EI z q 5. d d vrr. Galrn n sonlu lman mtodu yr dğştrm çözümünü zlyn formda alara uygulanır: v N v N N v N N δ 5.5 Bu durumda lman artı ştllr

174 d d v N EI, z q d d d 5.6 Türv trmn parçalı olara ntgr dr v E Iz sabt abul dr, d v dn d v z z d d d dm d d v d v N E I EI d N q d, 5.7 V EIz EI z d d d d nn brnc trmnn lman düğümlrnd sm uvvt oşullarını tmsl ttğ gözlnr. Trar parçalı ntgrasyon ullanılır v düznlm yapılırsa, d N d v d v dn d v EI z d N, q d NEI z EI z d d 5.9 d d d v 5. vasıtasıyla sağ tarafta son trm lman sınırlarında momnt oşullarını tanıtır. Önc glştrmd, çubu lman apsamında sözü dln ndnlr bnzr ndnlrl dfa parçalı ntgrasyon yapıldı. Öyl yapılara, 5.9 da brnc ntgrald görüln türv trmnn mrtbs aynı olur v böylc sonuç rjtl matrs smtrtr v düğümlrd sm uvvtlr v ğlm momntlr şmd lman ştllrnd açı olara görünür. δ yazılablr. Burada rjtl trmlr, 5.9 ştlğ matrs formunda [ ]{ } { } z d N d N j j E I d, j, d d d v dn d v z z d d d 5.5 l blrlnr. Bu trmlr dğr mtotlarla blrlnn önc sonuçlarla özdştr. Elman uvvt vtörünün trmlr N q d N EI EI, 5.5a vya, 5. v 5.8 ştllr ullanılara, dn d N q d N V M, { } q V q M q V q M 5.5 b Burada ntgral trm, yayılı yü tarafından ürtln şdğr düğüm uvvtlr v momntlrn tmsl dr. Eğr q qsabt yuarı doğru poztf s, ntrpolasyon fonsyonlarının 5.5 d yrn onması, lman düğüm uvvtlrn; 5.5 olara vrr M E I z d v d 5.

175 İ rş ğlm lmanı orta br düğümü paylaştılarında sm v momnt oşullarıyla alaalı olara htmal oluşur: Eğr düğümd dış uvvt vya momnt uygulanmazsa, omşu lmanlar çn 5.5 nn momnt dğrlr şddtç şt, yön olara trs olup brbrlrn brlştrm aşamasında götürürlr. Eğr düğümd br tl uvvt uygulanırsa, omşu lmanlar çn sınır sm uvvtlrnn toplamı uygulanan dış uvvt şt olmalıdır.

176 YIDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ İNŞAAT MÜHENDİSİĞİ BÖÜMÜ MEKANİK ANABİİM DAI YAPI MEKANİĞİNDE ÖZE PROBEMER.BÖÜM YAPI DİNAMİĞİ PRO. DR. TRGT KOCATÜRK Hazırlayan : İnşaat Mühnds: Canr İNCE

177 BÖÜM. : YAPI DİNAMİĞİ.. Bast Harmon Salınım Şl.: a Ağırlığı tuttu, uzamasız yayın orjnal uzunluğu b δ st W, Stat dng onumu c Knd ağırlığı altında dngd n csm yf dğr adar çldğnd çzln srbst csm dyagramı Şl. b çn: dng durumunda, mg - δ st mg δ st. m d dt. İnc mrtbdn lnr sabt atsayılı homojn ad dfransyl dnlm ld tt. d dt d ω m dt. ω: açısal doğal frans Gnl çözüm : t A snωt B cosωt. Tml trgonomtr özdşllr ullanılırsa,. gnl çözüm olan t A snωt B cosωt ştlğ t C snωt Φ.5 Kütl ω açısal fransı v C gnlğ l ttrşr.

178 t C snωt Φ.5 Φ, sıfır zamanında pozsyonun br göstrgsdr, Çünü, C snφ dır. ω rad/sn.6 m Bast harmon hart sonlu lman apsamında göz önün alacağız. u f Yayın rjtl matrs lman çn dng ştllr.8.7 u f Bununla brlt yay lmanı stat dng durumunda dğldr. Böyl s düğüm notası uvvtlrn dtaylı olara nclm grr. f d u ma m mg f dt d u.9 Buradan düğümünd uvvt, f mg m. dt - u f y.8 dnlmnd yrn yazarsa, -. u mg-mu Şl.. Eştlğ ayrıca zlyn şld d fad dlblr. u u f m u u mg. [ m] m u u. {} u.

179 Şl. d bast harmon hart çn u ısıtlılığı vardır. Bu durumda. dn d. ştlğ: u f m dt. ştlğ: m u u mg.5 m u u mg u u f m u u mg.5 çn çözümü yapalım. Homojn çözüm çn, u h t C sn ω t Φ.6 Özl çözüm, zamanın tüm dğrlr çn.5 ştlğn tam olara sağlamalıdır. Sağ taraf sabt olduğundan özl çözüm d sabt olmalıdır. u t mg p st.7 δ.5 n özl çözümü olan.7,. d stat dng çözümünü vrd. u h p t t u t u u h t C sn ω t Φ u p t mg δ st u t δ st C sn ωt Φ.9.9 Eştlğ dng onumu trafında snüsodal salınımı tmsl dr v.5 da vrln çözüml aynıdır. t C snωt Φ.5 düğümünün yr dğştrms vrlrs düğümünd rasyon uvvt ısıtlılı ştlğndn bulunur. δst ω f u t Csn t Φ C gnlğ v Φ faz açısı başlangıç oşullarının uygulanması l vrlr.

180 . Zorlanmış Ttrşm Sstm ştllrnn sonlu lman formu. ştlğndn doğrudan yazılablr. u m u u u f mg t. u u f m u u mg. Şl. Kısıtlılı ştlğn uygularsa, düğüm notasının hart çn dfransyl ştl, m u u mg. t. nn çözümü homojn çözüm l özl çözümün toplamı olara fad dlr. Çünü, sağ tarafta sıfırdan farlı trm bulunmatadır. Homojn çözüm v mg trm çn özl çözüm ld dldğndn, bu aşamada dış uvvt çn özl çözüm araştırılacatır. Dış uvvt çn özl çözüm, m u u t. Özl çözüm. Dnlmn tüm zaman dğrlr çn sağlamalıdır.. ştlğ, hr taraf ütly m bölünr zlyn şld fad dlblr: t u u. m m Yapı dnamğnd, özl önm olan br durum zorlayıcı uvvtn zamanla snüsodal dğşm göstrdğ durumdur. Çünü böyls uvvtlrl ço sı arşılaşılır. Bu yüzdn; t sn ω t. 5

181 u u m t m. Eştlğ bu durumda, u ω u sn ω t.5 m Zamanın tüm dğrlrnd. ştlğnn sağlanması çn sol tarafta trmlr sağ tarafta trmd olan snüs trmn özdş br snüs fonsyonu htva tmldr. Snüs fonsyonunun zamana gör. türv dğr br snüs fonsyonu olduğundan çözüm, u t sn ω t şlnd abul dlr. Burada,: Blrlnc olan br sabttr. u nn bu dğr.6 da yrn onursa, ω snω t ω snω t m snω t.6 ld dlr. Buradan da,.7 ld dlr. m ω ω Bast harmon salınımın sünüsodal dğşn uvvt cvabını tmsl dn çözüm, u / m t sn ω t.8 ω ω.8 l tmsl dln hart zorlanmış cvap olara smlndrlr v önml aratrst ortaya oyar. - Zorlanmış cvabın fransı, zorlama fonsyonunun fransı l aynıdır. - Eğr zorlama fonsyonunun darsl fransı, sstmn doğal fransına ço yaınsa.9 ştlğnn paydası ço üçü olur. Bu durum, ço önml br sonuçtur. Çünü böyls br durumda hartn gnlğ ço büyü olur. ω ω durumunda.8 ştlğ sonsuz gnl göstrr. Bu durum rzonans olara blnr v bu ndnl sstmn doğal darsl fransı rzonans fransı olara da smlndrlr. 6

182 7 MODA ANAİZ. Ço Srbstl Drcl Sstmlr Sstm yr çm uvvt altındadır. Dng onumundan tbarn sstm çp bıraıyoruz. Srbst csm dyagramlarını çzp Nwton un. Hart Kanunu uygulanara yöntc ştllr ld dlblr. Bununla brlt, burada sonlu lman yalaşımı ullanılacatır. [ ] K 5.9 [ ] m m M Böylc hart ştllr,. [ ] [ ] mg mg R K M. Burada R, düğümünd dnam rasyon uvvtdr. sürl dğşr ısıtlılı oşulu uygulanırsa. ştlğ, mg mg m m 5 Bu ştl, nc mrtbdn lnr ad dfransyl ştllr sstm olup v gb adt blnmyn sstm yr dğştrmlr mvcuttur.. olara ld dlr. Şl. Zorlayan fonsyon l göstrln yr çm uvvtlr stat dng oşulunu tmsl ttğndn bunlar hmal dlr v ştllr sstm, 5 m m olara yazılır.. Prat br onu olara sonlu lman pat programlarının çoğu analz problmlrnd yapısal ağırlığı apsamazlar. Bunun yrn yapısal ağırlığın şlmlr soulması yazılımın ullanıcısı tarafından sçlms grn br opsyondur.yapısal ağırlı tlrnn dahl dlp dlmms sstmn gomtrs v yülmlrn özlllr üzrn tmllndrlmş olan br yargılama sonucu analzc tarafından blrlnr.

183 8 sn sn Φ Φ t A t t A t ω ω. Kabul dln çözümlrn zamana gör. türvn alara v. ştlğnd yrn oyara, Φ Φ sn 5 sn t A A t A A m m ω ω ω Φ sn 5 t A A m m ω ω ω.5.6 vya Φ sn 5 t A A m m ω ω ω.6.6 ştlğ, adt homojn cbr ştllr sstm olup ttrşm gnllr olan A v A çn çözülmldr. nr analzdn homojn ştllr sstmnn aşâr olmayan çözümlr çn atsayılar matrsnn dtrmnantının sıfır olması grtğ blnmtdr. Bu yüzdn aşâr olmayan çözümlr çn, 5 m m ω ω olmalıdır..7 5 m m ω ω.8. ştlğ l vrln nc mrtbdn, lnr, ad, homojn dfransyl ştllr sstm srbstl drcl sstmn ttrşm cvabını tmsl dr. Srbst salınım yapan br sstm çn çözümlr zlyn harmon hartlr olara araştırılır.

184 ω ω 5 m m.9 ω, ω 6 m m.8.8 Eştlğ fzsl sstmn aratrst dnlm vya frans dnlm olara blnr. v m blnn poztf sabtlr olara.9 ştlğ blnmyn ω nn arsl br ştlğ olara l alınır v zlyn adt ö ld dlr: vya ω v ω 6. m m Ngatf frans fzsl anlama sahp olmadığından v. çözümünd ngatf dğrlrn yrn onması sadc br faz farı ortaya çıardığından poztf ö arşılı gln hartn aynısını tmsl dr. t t A A sn ω t sn ω t Φ Φ. Şl. t görüln srbstl drcl sstmn adt doğal darsl fransının olduğu bulunmuştur. Kölrdn sayısal olara üçüğünün ω olara göstrlms v tml frans olara adlandırılması br glntr. Bu aşamada abul dln çözümd A v A gnllrnn blrlnms grr 5 ω m A ω m A.. ştlğ homojn ştllr st olduğundan gnllrn mutla dğrlrn bulma mümün dğldr. Bununla brlt zlyn şld gnllr arasında sayısal lşlr ld dlblr. Şl. Eğr ω ω m hr br cbr ştlt yrn onulursa A A ld dlr. Bu durumda, brnc vya tml ttrşm modu çn gnl oranı A A 9

185 Yan ğr sstm tml fransı ω l salınım yaparsa m nn salınımının gnlğ m n salınımının gnlğnn atıdır. A A Mutla dğrlr hartn başlangıç oşullarına bağlıdır. Bu durumda tml mod çn yr dğştrm ştllr, t t A A sn ω t Φ. sn ω t Φ A sn ω t Φ.mod olablms çn ütly d. sağlanaca şld çp aynı anda bırama grr. Bu aşamada. doğal fransı hr br ştlt yrn oyarsa,. modda gnl oranı; A /A -,5 olara buluruz. Öylys, ncl doğal ttrşm modunda ütllr trs yönlrd hart drlr. İncl fransa arşılı gln yr dğştrmlr t t A A sn ω t Φ sn ω t Φ,5A sn ω t Φ. Sonuç olara gnl durumda srbstl drcl br sstmn srbst ttrşm cvabı zlyn şld vrlr. t t A A A sn ω t sn ω t sn ω t Φ Φ Φ A A,5 A sn ω t sn ω t Φ Φ sn ω t Φ. Bu aşamada problmd dört adt blnmyn bulunmatadır: A, A, Φ, Φ. Başlangıç yr dğştrmlr v hızlarına gör bu blnmynlr ld dlrlr.

186 İ srbstl drcl br sstmn srbst ttrşm analz br öz dğr problmdr. Hsaplanan doğal franslar problmn öz dğrlrdr, gnl oranları problmn öz vtörlrn vrr..5 ştlğ doğal ttrşm modları cnsndn sstmn cvabını tmsl dr. Böyls br çözüm, modal süprpozsyon ya da modal analz olara smlndrlr. Problmn tam çözümü matrs notasyonu ullanılara zlyn şld vrlr: sn,5 sn sn sn sn sn Φ Φ Φ Φ Φ Φ t A t A t A t A t t A t A t ω ω ω ω ω ω.5 sn,5 sn Φ Φ t A A t A A t t ω ω Bu dnlm sstmn gnl hartn ürtm çn modların tlşm halnd olduğunu göstrr..6

187

188 YIDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ İNŞAAT MÜHENDİSİĞİ BÖÜMÜ MEKANİK ANABİİM DAI YAPI MEKANİĞİNDE ÖZE PROBEMER YAPI DİNAMİĞİ PRO. DR. TRGT KOCATÜRK Hazırlayan : İnş. Yü. Müh. Svg YAÇIN

189 Problm : Şl. t vrln sstm gözönün alınsın. lb/n, W mg lb. a Sstmn doğal franslarını blrlynz. b Eğr başlangıç oşulları t n. t,5 n. s sstmn srbst ttrşm cvaplarını bulunuz. t t Bu başlangıç oşulları sstmn dng onumu baz alınara vrlmştr. Öylys hsaplanan yr dğştrm fonsyonları yr çm tsn apsamayacatır. Çözüm :. ştlğ l doğal franslar; ω m / g 86, 7,8 rad / sn ω 6 m 6 / g 86, 68, rad / sn Srbst ttrşm cvabı gnl durumda.5 l vrlr: t A t A sn7,8t Φ sn7,8t Φ A,5A sn68, t Φ sn68, t Φ Şl. Gnllr v faz açıları başlangıç oşullarının uygulanması l ld dlr bunlar, aşağıda vrlmştr. I t A sn Φ A sn Φ II t,5 A sn Φ,5A sn Φ III t 7,8A cosφ 68,A cos Φ IV t 7,8A cosφ,5 68,A cosφ

190 Trgonomtr fonsyonların varlığı yüzündn ştllrn çözümü aşar dğldr. Bu durumda zlyn dönüşümlr yapılara başlangıç yr dğştrm ştllr zlyn şld ld dlr: P A sn Φ Q A sn Φ I : P Q II: P,5Q,5 P A sn Φ. Q A sn Φ.6 Bnzr olara, R A cos Φ S A cos Φ olsun. Bu durumda başlangıç hız ştllr III : 7,8R 68,S IV : 7,8 R,5 68,S R v S cnsndn homojn sstm çözümü çn atsayılar matrsnn dtrmnantı sıfır olmalıdır. Anca açıça görülür sıfır dğldr. Aşar olmayan çözümlr sadc atsayılar matrsnn dtrmnantının sıfır olması durumunda ortaya çıar. Burada s doğrudan hsaplamayla tah dlblcğ gb dtrmnant sıfır dğldr. Dolayısıyla aşar olmayan çözüm yotur. Bu yüzdn; R S olmalıdır. zsl grçlrdn blnmtdr gnllr sıfır olamaz. Öylys; cosφ cosφ olmalıdır. Buradan; Φ Φ π sonucuna varılır. Dolayısıyla, faz açılarının snüs fonsyonu brm dğr sahptr. Bu yüzdn; A,, A,6 ld dlr.

191 ωt π cos t sn ω olduğuna dat dr gnllr gnl çözüm formunda yrn oyarsa, hrbr ütl çn srbst ttrşm cvabı, t,cos 7,8t,6cos68,t olur. t,8cos 7,8t,cos 68, t Hrbr ütlnn yr dğştrm cvabının sstmn doğal franslarına arşılı gln hartlrn brlşm olduğu görülür. Böyls br olay ttrşn yapısal sstmlrn aratrstğdr. Tüm doğal ttrşm modları yapının gnl hartn atıda bulunmalıdır. Bu modal analzdr. YERDEĞİŞTİRMEERİN MODA AÇIIMI Hrhang br N adt bağımsız vtörlr st N nc mrtbdn dğr br vtörün tmsl çn br baz olara ullanılablr. Burada doğal modlar böyls br baz olara ullanılacatır. Böylc, hrhangbr yr dğştrm vtörü çn modal açılım zlyn formdadır: N u φ r qr Φ q.7. Burada q r modal oordnatlar vya normal oordnatlar adı vrln salr çarpanlardır v r q q q... q n T φr lar blndğnd, vrln br u çn, Eştl.7. n hr tarafını mümündür: T n N T nm r φ mu φ φ r q r φ T m n l çarpara q r y hsaplama Ortogonall lşs yüzündn yuarıda toplamda r n trm dışında trmlr yo olur. Böylc; q n T T φnmu φnmu M T φn mφn n.7. Yrdğştrm vtörü u nun.7. l vrln modal açılımı zorlanmış ttrşm cvabında v ÇSD sstmlrn dprm cvabında ço önml rol oynar.

192 ÖRNEK Aşağıda vrln atlı ayma çrçvs çn yrdğştrm vtörü u T çn modal açılımı blrlynz. Brnc v nc mod vtörlrnn öncdn, blnn yolla ld dlmş T olduğu v dğrlrnn φ v φ T olduğu abul dlsn. EIc h EI c h q n T T φnmu φnmu M.7. T φn mφn n ÇÖZÜM Yrdğştrm u blnn yolla ld dlmş olan φ v φ T.7. d yrlrn onursa zlyn dğrlr ld dlr: T l brlt q m m m m / m m q m m m m m m Bu q n dğrlrnn.7. d yrlrn onması arzulanan modal açılımı vrr bu açılım aşağıda şld göstrlmştr. φ u / / φ N u φ r qr Φ q.7. r 5

193 6.7 Asal Modların Ortogonallğ Ço srbstl drcl sstmlrn asal ttrşm modları ortogonalt olara blnn tml br matmat özllğ paylaşırlar. Ço srbstl drcl br sstmn srbst ttrşm cvabı zlyn şld vrlr:.99 Çözüm formunu q t A snωt Φ olara, özl br frans ω.99 da yrn onursa [ ]{ } [ ]{ } { } A K A M ω Dğr br ω j fransı çn [ ]{ } [ ]{ } { } j j j A K A M ω... ştlğn {A j } T v. ştlğn {A } T l çarparsa { } [ ]{ } { } [ ]{ } {} T j T j A K A A M A ω fadsn vrr.. { } [ ]{ } { } [ ]{ } {} j T j T j A K A A M A ω.. nn. tn çıartılması sonucu { } [ ]{ } {} j T j A M A ω ω j.. ştlğn ulaşmada matrs cbrndn blnn [A]T[B][C] [C]T[B][A] grçğn ullandı. [A], [B] v [C] üçlü çarpımı tanımlanan hrhang üç matrstr.. d darsl frans ayrı olara zlyn sonuca ulaşılır: { } [ ]{ } T j A M A j.5.5 ştlğ asal ttrşm modlarının ortogonallğnn matmat fadsdr. Ortogonall özllğ ço srbstl drcl sstmlrn hart ştllrnn grşmszlğn sağlama çn ço güçlü br matmatsl tntr. [ ]{ } [ ]{ } { } q K q M

194 P srbstl drcl br sstm çn, olonları hr br doğal ttrşm modu çn gnl vtörlr olan PP boyutlu modal matrs tanımlansın P j T [ A ] [{ A } { A } { A }...{ A }].6 { } [ M ]{ A } A.5 olduğundan, [S] [A] T [M] [A] şlnd tanımlanan matrs dyagonal matrstr. Matrsn sıfırdan farlı trmlr; T { } [ ]{ } S A M A, P.7 Hrbr modal gnl vtörü sadc br sabt çarpan dahlnd blndğndn daha önc örnlrd A dğr yf olara sçlmşt, modal gnl vtörlr.7 l tanımlanan dyagonal trmlr hrhang stnn sayısal dğr alaca şld dğrlndrlblr. Özl olara; ğr bu dğr brm olara sçlrs, yan T { } [ ]{ } S A M A, P.8 bu durumda modal gnl vtörlrnn ortonormal olduğu söylnr v üçlü matrs çarpımı [S] [A] T [M] [A] [I].9 olur. Burada [I], PP boyutlu brm matrstr..8 l modal gnl vtörlrnn normalz dlms aşağıda göstrldğ gb açıtır. Özl br modal gnl.98 l tmsl dlmş olsun orada brnc trm yf olara brm dğr atanmıştır. Bu durumda modal matrsn arşı gln trm { A } A B B BP, P.98 P P j m j A j A S sabt. 7

195 Eğr modal gnllr zlyn şld yndn tanımlanırsa.9 l tanımlanan ştl grçtn brm matrstr. Daha sonra anlaşılablcğ üzr zlyn dğşn dönüşümü yapılmıştır: { } [ A]{ p} q. A j A j S P P j A m j j A j A [S] [A] T [M] [A] [I].9., P Burada {p} gnllştrlmş yr dğştrmlrn olon matrsdr v grç düğüm yr dğştrmlr olan q ların lnr brlşmlrdrlr. [A] normalz dlmş modal matrstr. Bu durumda.95 [ M ][ A]{ p } [ K][ A]{ p} { } [ M ]{ q } [ K]{ q} { }..95. ün [A] T l çarpımından, T T T [ A] [ M ][ A]{ p} [ A] [ K ][ A]{ p} [ A] { } T T Ortogonall prnsb ullanılara,. [ I ]{ p} [ A] [ K ][ A]{ p} [ A] { }..5 olur. Şmd [A] T [K] [A] l tmsl dln rjtl tlr araştırılmalıdır. [K] matrs smtr olma aydıyla üçlü [A] T [K][A] da smtrtr. Asal modların ortogonallğ prnsb zlnr, [A] T [K][A] üçlü çarpımının dyagonal matrs olduğu olayca göstrlblr.. ştlğnn {A}T l çarpılmasıyla dyagonal trmlrn dğrlr bulunur: T T ω { A } [ M ]{ A } { A } [ K ]{ A } {}, P [ M ]{ A } [ K ]{ A } { }.6 ω. Eğr modal gnl vtörlr daha önc { } [ ]{ } tanımlandığı gb normalz dlrs.6 A T K, P A ω.7 olur. 8

196 9 Bu yüzdn [A] T [K] [A] çarpımı, dyagonal trmlr asal ttrşm modlarının doğal darsl franslarının arlr olan dyagonal matrs ürtr. Yan, [ ] [ ][ ] P T A K A ω ω ω.8 Sonuçta.5 ştlğ; [ ]{ } [ ]{ } [ ] { } A p p I T ω.9 olur. []{ } [ ] [ ][ ]{ } [ ] { } A p A K A p I T T.5 Burada [ω ],.8 l blrlnn dyagonal matrs tmsl dr. Problm: Vrln problmd, v düğümlrnd sırasıyla v dnam yülrnn uygulanması durumunda cvapları, modal analzl blrlynz. Çözüm: Daha önc ld dldğ gb sstm rjtl matrs v ütl matrs, [ ] K 5. [ ] m m M. Grşml olan hart dnlmlr s, [ ] [ ] mg mg R K M. olara ld dlr. R, düğümünd dnam rasyon uvvtdr. Kısıtlılı şartının uygulanmasından sonra 5 m m. ld dlr.

197 Doğal fransların v bunlara arşı gln öz vtörlrn ld dlms çn; sn sn Φ Φ t A t t A t ω ω.5 çözümlr abul dlr. Burada A v A, v düğümlrnn ttrşm gnllrdr. ω, blnmyn, harmon abul dln hartn darsl fransı, Φ s böyls br hartn faz açısıdır. Φ Φ sn 5 sn t A A t A A m m ω ω ω.6 vya Φ sn 5 t A A m m ω ω ω.7 Yuarıda.7 ştlğnn aşar olmayan çözümü çn atsayılar matrsnn dtrmnantı sıfır olmalıdır: 5 m m ω ω.8 Yuarıda.8 fadsndn zlyn aratrst ştl vya fzsl sstmn frans ştlğ ld dlr: 5 m m ω ω.9.9 ştlğnn ölr öz dğrlr, yan doğal fransları vrr: m m 6, ω ω m m 6, ω ω.. Doğal fraslar aşağıda. dnlmnd yrlrn onursa; 5 A A m m ω ω. Brnc doğal fransa arşı gln öz vtör brnc mod şl, İnc doğal fransa arşı gln öz vtör nc mod şl, A A ω 5, A A ω olara ld dlr.

198 Bunlar zlyn şld sütun matrs A formunda yazılmışlardır: { A } A { A } A A,5 A A Modal gnl vtörlrnn ortonormal hal gtrlms çn dyagonal [S] matrsnn lmanları bulunsun: T m S { A } [ M ]{ A } [ ] 5m m Öylys brnc gnl vtörü, hr br trm S, 6 m bölününc, zlyn normallştrlmş formda ld dlr: Bnzr şld, S [,5], 5m { } { A },7 m,89 m m,5 olup nc gnl vtörü normallştrlmş formda,89 A,7,89 olur. Bu durumda normalz dlmş modal matrs [ A] m,7 m,89,7 olara ld dlr. Şmd.9 ştlğn tah dlm. Yan.9 l vrln üçlü çarpımım sonucunun grçtn T brm matrs olup olmadığına baalım: [ S] [ A] [ M ][ A] [ I ],7 m,89,89 m,7,7 m,89,89,7 [ A] T [ M ][ A] Rjtl matrs l lgl üçlü çarpım zlyn şlddr:.9 T, 7,89 5, 7,89 m,89, 7,89, 7 m 5,9996 [ A] [ K][ A]

199 Bu durumda hart ştllr sstm zlyn şld grşmsz hal gtrlr: p p p m 5,9996 p T [ A] { } olur.,7 m,89,89,7,7,89 m,89,7 [ A] T { } p p, 7,89 p m 6 p m,89, 7 Yuarıda dnlmd p v p grşmsz hal gtrlmştr. Bu dnlmlr yf şld vrlmş dnam yü durumları çn, başlangıç oşulları vrlm şartıyla, hrhang br t anı çn sayısal olara çözülblr. T [ I ]{ p } [ ω ]{ p} [ A] { }.9.9 dan v ayrıca yuarıda son dnlmn nclnmsndn, bu dnlmn aşağıda gb yazılablcğ görülür: p ω p, 7,89 p ω p m,89, 7 Bu sstmn, düşy br snω t uvvtnn düğümün uygulanması durumunda ararlı hal cvabı zlyn şld blrlnr. Bu durumda yuarıda dnlm haln alır. ω p ω p,89 sn t p ω p, 7 m Bu durumda gnllştrlmş oordnatlar çn grşmsz hal gtrlmş hart dnlmlr p ω p ω t,89 sn m p ω p ω t, 7 sn m olur.

200 p ω p ω t,89 sn m p ω p ω t, 7 sn m Bu hart dnlmlrnn çözümlr,89 sn ω t p t ω ω m,7 sn p t m ω ω ω t Bu durumda grç yr dğştrmlr olan t qt yr dğştrmlr. ştlğnn uygulanmasıyla aşağıda gb ld dlr: {} [ A]{ p} q.,89,7,89 { } { } [ ]{ } ω ω X q A p m,89,7,7 ω ω sn ω t m

201 agrang Dnlmlrnn Tüm Bölg Üzrnd Gçrl Dnm onsyonlarıyla Kullanımı: Rtz Mtodu agrang dnlmlrnn uygulanablms çn rş at çöm v dönm fonsyonları çn bazı fadlrn sçlms grldr. Bu çalışmada söz onusu blnmyn büyülülr polnomlar ullanılara yalaşım sağlanmıştır. Bu amaçla, sadc gomtr sınır oşulunu sağlayan bazı fadlr w, t v φ, t çn sçlr v angrang dnlmlr ullanılırsa doğal sınır oşulları da sağlatılmış olur. angrang dnlmlr ullanılara, yr dğştrm fonsyonu olan w, t v dönm fonsyonu olan φ, t nn abul dlblr fonsyonların lnr srs olara tmsl dlmsyl v srd atsayıların agrang dnlmlrn sağlayaca şld ayarlanmasıyla yr dğştrm v dönm fonsyonları çn br yalaşı çözüm bulunur. agrang ştlğnn uygulanması çn dnm fonsyonları olan w, t v φ, t fadlrn uzay N bağımlı,,,..., oordnatları v zaman bağımlı gnllştrlmş q n t büyülülryl yalaşım sağlanmıştır. Böylc yr dğştrm v dönm fonsyonları zlyn şld fad dlblr: M w,t A t φ m m m M,t B t m m m agrang dnlmlrnn gnl fads zlyn şld vrlmştr: I d I q d t q...

202 Burada q büyülülr gnllştrlmş oordnatlardır. s problm at fonsyonl olup zlyn şld tanımlanmıştır: I T agrang dnlmlr l lgl bu ısa blgdn sonra, daha önc nrj fadlr çıarılmış olan Eulr-Brnoull v Tmoshno rşlrnn srbst ttrşmlr çn nasıl uygulanacağı zlyn bölümlrd açılanacatır... Eulr-Brnoull Krş çn Kuramsal Çalışma agrang dnlmlrnn uygulanablms amacıyla rşn düşy yr dğştrms çn. bağıntısında vrldğ gb polnomlar ullanılacatır. Yan, M w,t A t m m m Burada A zaman bağımlı gnllştrlmş oordnatları, d uzay bağımlı m t oordnatları göstrmtdr. Eğr rş srbst ttrşm yapıyorsa, rş at zaman bağımlı gnllştrlmş A oordnatı zlyn şld fad dlblr: m t t A t A ω m m Burada rşn boyutlu olan srbst ttrşm fransıdır. Bu durumda rş at boyutsuz yr dğştrm fonsyonunun gnlğ d aşağıda şld olur: w ω M m m m A I m

203 El alınan rş bast msntl olduğu çn msnt oşulları olara rşn hr ucunda düşy yr dğştrmlr sıfırdır. Bu çalışmada msnt oşulları agrang çarpanları l sağlatılmış olup ısıtlılı oşulları zlyn şld vrlmştr: S α w, t Burada S nc msntn oordnatı v agrang çarpanları olup bu problmd msnt rasyonlarına arşılı glr. agrang çarpanları, problmn agrangan fonsyonlnn tşl dlmsn man sağlar. Böylc; S, I α w t Eld dln agrangan fonsyonln uygulanaca olan agrang dnlmlr aşağıda gb vrlmştr: d A dt A,,,..., M. bağıntısında vrln dnlmlrd nota zamana gör türv göstrmtdr. Problmn sayısal analznd aşağıda vrlmş olan boyutsuz frans paramtrs ullanılacatır: λ ρaω E I,.8. bağıntısıyla vrln agrang dnlmlrnn uygulanmasıyla v α,.9..

204 A M α,. tanımının yapılmasıyla zlyn lnr cbr dnlm taımı frans dnlm ld dlr. [ K]{ A} λ [ M]{ A} { }. ştlğyl vrln v M matrslr M M boyutlarında rjtl v ütl matrs olup lmanları zlyn şlddr: / / m Km d K K m m A m S m m S / / m M m d M m [ K ] [ ].,m,,,..., M,...,M ; m M, M M, M ; m,..., M,m M, M,m,,,..., M,m M, M.. d vrln dnlm rşn frans dnlm d dnlmtdr. Özdğrlr olan dğrlr dnlm. l vrln ştllr sstmnn dtrmnantının sıfır olmasından bulunur. λ

205 Tmoshno Krş çn Kuramsal Çalışma Tmoshno rş torsnd blnmyn fonsyonlar düşy yr dğştrm v dönm fonsyonlarıdır. Bu durumda, agrang dnlmlrn uygulayablm çn. v. ştllrnd düşy yr dğştrm v dönm fonsyonları çn zlyn fadlr ullanılacatır: M w,t A t m m m.5 φ M,t B t m m m Burada A m t v Bm t m zaman bağımlı gnllştrlmş oordnatları, d uzay bağımlı oordnatları göstrmtdr. Eğr rş srbst ttrşm yapıyorsa, rş at zaman bağımlı gnllştrlmş A m t v B oordnatları zlyn şld fad dlblr: m t t Am t Am ω.7 t B t Bm ω m Bulunmuş olan rşn boyutlu olan srbst ttrşm fransıdır. Krşn boyutsuz yr dğştrm fonsyonunun gnlğ d zlyn şld olur: w M m Am m M m m m φ B ω

206 Bast msntl rşn hr ucunda düşy yr dğştrmlr sıfırdır. Msnt oşulları s agrang çarpanları l sağlatılmış olup ısıtlılı oşulları zlyn şld vrlmştr: S α w, t, S nc msntn oordnatı v agrang çarpanları olup, problmd msnt rasyonlarına arşılı glr. Burada agrang çarpanları ullanılırsa, problmn agrangan fonsyonl ld dlmş olur. Böylc; S, I α w t ld dln agrangan fonsyonln uygulanaca olan agrang dnlmlr aşağıda gb vrlmştr: d q dt q α,.,,,..., M.. Burada; q q q A B,,...M M,...M M α qm α..5.6 şlnd tanımlanmıştır.. bağıntısında vrln dnlmlrd nota zamana gör türv göstrr. Problmn sayısal analznd aşağıda vrlmş olan boyutsuz büyülülr ullanılacatır:

207 ρaω GA h s λ, D, µ EI E I.7. bağıntısıyla vrln agrang dnlmlrnn uygulanmasıyla aşağıda vrln lnr cbr dnlm taımı frans dnlm ld dlr: [ K]{ A} λ [ M]{ A} { }.8.8 ştlğyl vrln [ K ] v [ M ] matrslr M M boyutlarında rjtl v ütl matrs olup lmanları zlyn şlddr: 5 Km D d m Km D d 5 m Km D d 5 5 m Km D d 5 Mm M m 5 m m d m,,..., M,,..., M M,..., M M,..., M,,..., M,,..., M m,,..., M m M,..., M m,,..., M m M,..., M m,,..., M m M,..., M

208 M m M,..., M m,,..., M 5 Mm µ 5 d m M,..., M m M,..., M Özdğrlr olan dğrlr dnlm.8 l vrln ştllr sstmnn dtrmnantının sıfır olmasından bulunur.. Enrj Tabanlı Sonlu arlar l Kuramsal Çalışma Sonlu farlar mtodu, analt çözümü güç olan brço problmd başvurulan, uygulama alanı ço gnş olan sayısal br mtottur. Bu mtotta rşn dfransyl dnlm sonlu farlardan oluşan br cbrsl dnlm taımına dönüştürülür. y f ğrs göz alınırsa, brnc v nc türvlrn dy y y y d m m λ m m..9 d y y y y y d m m m. şlnd olduğu blnmtdr.

209 .. Eulr-Brnoull Krş çn Kuramsal Çalışma. fadsnd gnllştrlmş oordnatlarda vrlmş agrang ştllrnn sonlu farlar tnğ l çözülblms çn. v.6 ştllrnn agrang ştllrnd yrn onması v türv fadlrnn sonlu far opratörlr l dğştrlms grr. Sonlu far opratörlrnn uygulandığı agrang ştllrnn göstrm d W dt W. şlnd olur. Gnllştrlmş oordnat A yrn W alınmıştır.. fads rşn hr notasına uygulanır. Bunun çn öncll şl dğştrm v nt nrj fadlrnn boyutsuz büyülülrl hrhang br pvot notası çn sonlu far açılımları yazılırsa: EI w w w T A w ρ.. ştllr ld dlr. Krşn tamamı göz önünd bulundurulursa şl dğştrm nrjs v nt nrj fadlr T N N T.5.6

210 haln alır.. fads rşn tamamına uygulandığında, pvot notalarının onumlarına gör bş farlı fad ld dlr. Ayrıca, dnlmlrn ld dlmsnd zlyn tanımlamalar yapılacatır: t w w ω λ ρ A ω E I.7.8 N- N N A B Şl. Bast rşt düğüm notalarının göstrlms Krş at toplam şl dğştrm v nt nrjlr bulundutan sonra agrang dnlmlrnn rşn sol ucunun dışında ftf notada uygulanması zlyn fady vrr notası: w w w.9 agrang dnlmlrnn rşn sol ucunda bulunan notada uygulanması zlyn fady vrr notası: 8 w w λ w w.

211 agrang dnlmlrnn rşn uç notaları arasında bulunan hrhang br notada uygulanması zlyn fady vrr notası: 8 8 w w w λ w w. agrang dnlmlrnn rşn sağ ucunda bulunan notada uygulanması zlyn fady vrr N notası: 8 wn w N w N λ w N. agrang dnlmlrnn rşn sağ ucunun dışında ftf notada uygulanması zlyn fady vrr N notası: wn w N w N. Yuarıda.9,.,.,.,. dnlmlr matrs formunda düznlnrs zlyn şl alır: [ A]{ w} λ [ B]{ w} Sabt msntl rşl çalışıldığından zlyn sınır oşulları vardır: w, w N..5

212 Söz onusu.5 sınır oşullarının göz önün alınmasıyla. homojn dnlm taımı çözülürs rş at λ özdğrlr ld dlr. Sınır oşullarının göz önün alınmasından sonra ld dln matrslrn boyutu N N olur. Yuarıda vrln matrs formunda. özdğr dnlmnn açı fads Elrd E dnlm l vrlmştr... Tmoshno Krş çn Kuramsal Çalışma Eulr-Brnoull rşn bnzr olara Tmoshno rşnd;. fadsnd gnllştrlmş oordnatlarda vrlmş agrang ştllrnn sonlu farlar tnğ l çözülblms çn. v.6 ştllrnn agrang ştllrnd yrn onması v türv fadlrnn sonlu far opratörlr l dğştrlms grr. Sonlu far opratörlrnn uygulandığı agrang ştllrnn göstrm d W dt W d ψ dt ψ şlnddr. Gnllştrlmş oordnat q yrn W ψ v alınmıştır..6 v.7 fadlr rşn hr notasına uygulanır. Bunun çn öncll şl dğştrm v nt nrj fadlrnn boyutsuz büyülülrl hrhang br pvot notası çn sonlu far açılımları yazılırsa:.6 EI ψ ψ G s A w w G s A ψ w w.9 G s A ψ.7.8

213 T ρ A w ρ I ψ.9 dnlmlr ld dlr. Krşn tamamı gözönün alınırsa nrj fadlr N.5 T N T.5 şln alır..6 v.7 fads rşn tamamına uygulandığında, pvot notalarının onumlarına gör bşr farlı fad ld dlr. Ayrıca, dnlmlrn ld dlmsnd zlyn tanımlamalar yapılacatır: t w w ω ψ ψ t ω.5.5 ρa ω E I h G A E I λ, µ, D.5 Krş at toplam şl dğştrm v nt nrjlr bulundutan sonra agrang dnlmlrnn rşn sol ucunun dışında ftf notada uygulanması zlyn fady vrr notası:

214 D D w w D ψ.55 ψ ψ.56 agrang dnlmlrnn rşn sol ucunda bulunan notada uygulanması zlyn fady vrr notası: D λ w w D ψ D.57 λµ ψ ψ D D w D w.58 agrang dnlmlrnn rşn uç notaları arasında bulunan hrhang br notada uygulanması zlyn fady vrr notası: D D D λ w w w D ψ D ψ.59 ψ λ µ D ψ ψ D w D w.6 agrang dnlmlrnn rşn sağ ucunda bulunan notada uygulanması zlyn fady vrr N notası:

215 D D λ wn wn D ψ N.6 ψ N λ µ D ψ N D wn D wn.6 agrang dnlmlrnn rşn sağ ucunun dışında ftf notada uygulanması zlyn fady vrr N notası: D D w w D ψ N N N ψ N ψ N δ w ; δ ψ ;, N N dnlmlr,.65a da tanımlamalar ullanılırsa,.65b d vrln matrs formunda fad dlr. [ A]{ δ} λ [ B]{ δ} b.65a Sabt msntl rşl çalışıldığından zlyn sınır oşulları vardır: w, w N.66

216 Söz onusu.66 sınır oşullarının göz önün alınmasıyla.65 homojn dnlm taımı çözülürs rş at λ özdğrlr ld dlr. Sınır oşullarının göz önün alınmasından sonra ld dln matrslrn boyutu N N olur. Yuarıda vrln matrs formunda.65 özdğr dnlmnn açı fads Elrd E dnlm l vrlmştr.

217 . Sonlu Elmanlar l Kuramsal Çalışma.. Eulr-Brnoull Krş çn Kuramsal Çalışma Sonlu lman formülasyonu sürl olan br alan dğşnn düğüm notalarıyla ayrılaştırara lgl alan dğşnn düğüm notasında sçln blnmynlr cnsndn fad tmy dayanır. Br rş ğlm lmanı çn hr br düğüm notasında br düşy yr dğştrm w, dğr dönm olma üzr adt blnmyn alınır. El alınan srbst ttrşm problmnd zaman fatörü d olduğu çn düğüm notası yr dğştrmlr zamanın fonsyonudur. Bu prnsb gör sonlu br rş parçası ğlm lmanı v düğüm notası yr dğştrmlr poztf yönlr dat alınara Şl. d göstrlmştr. Düğüm notası yr dğştrmlr.67 d vrldğ gbdr: {} δ,,, w t t wj t j t T.67 w j j w j Şl. Eğlm lmanı.67 numaralı bağıntıda vrln düğüm notası yr dğştrmlr ullanılara, Şl. d göstrln ğlm lmanı çn düşy yr dğştrm fonsyonu zlyn şld ayrılaştırılablr:,, j, j, w t f w t t w t t.68

218 Şl. d l alınan ğlm lmanı aşağıda göstrln sınır oşullarını sağlamatadır: w t w t w t w t, j, j.69 w j w j j dw d, t t, t t dw d j j.7 Burada v j lman oordnatları olup, bundan sonra hsaplamalarda olaylı sağlaması yönüyl v j şlnd sçlctr. Yuarıda fad dln dört sınır şartı v daha önc vrlmş olan potansyl nrj fadsnd yr dğştrm fonsyonunun nc mrtbdn türv d dat alınara, yr dğştrm fonsyonu aşağıda şld üçüncü drcdn br agrang polnomu olara sçlmştr., w t a t a t a t a t.7 o.69 v.7 bağıntılarıyla vrln sınır oşulları uygulanırsa:, j o w, t w t ao t dw d w t w t a t a t a t a t, t t a t, j dw d t t a t a t a t.7.7 dnlmlr şzamanlı olara çözülürs blnmyn atsayılar aşağıda şld ld dlr: a o w a a wj w j.7 a w wj j

219 .7 dnlmlr.7 bağıntısında yrn yazılır v grl düznlmlr yapılırsa, düşy yr dğştrm fonsyonu zlyn şld ld dlr: w t w t t w t, t.7.7 bağıntısı daha sad br şld aşağıda gb, w t N w t N t N w t N t.75 j j w w t N N N N N N t w, [ ] [ ]{ δ} δ.76 Burada N, N, N N şl fonsyonları olara adlandırılmatadır..75 bağıntısında vrln ayrılaştırılmış yr dğştrm fads şl dğştrm v nt nrj fadlrnd yrn onulursa br lman çn hrhang br anda şl dğştrm nrjs v nt nrj düğüm notası yr dğştrmlr cnsndn zlyn şld ld dlr:, EI w t d.77 ρ A w, t T d t.78 Br lman çn fonsyonl aşağıda dnlml tanımlanmatadır: I T.79

220 Br lman çn zlyn bağıntıda vrln agrang dnlmlr uygulanırsa I d I δ dt, δ w, δ, δ w, δ δ w w w w matrs formunda vrln br lnr hart dnlm zlyn şld ld dlr: [ K] [ ] {} M.8 [ K] EI N N d j [ ] ρ j 6 6 EI ρ A M A N N d 5 56 Br lman çn ld dln bu dnlm taımından faydalanılara, tüm sstm çn hart dnlm zlyn şld yazılablr: [ K]{ δ} [ M]{ δ} {}.8 p n ; n m.8 [ K ] [ M ] p modln sahp olduğu toplam srbstl drcsdr. Bu durumda [ K ] [ M ] Burada v tüm rşn rjtl v ütl matrs, m lman sayısı, n sstmd düğüm notası sayısı, v matrslr p p boyutunda olacatır. Srbst ttrşm yapan rşt zamana bağlı düğüm notası yr dğştrmlr zlyn şld yazılablr: { δ t } { δ} t ω bağıntısında { δ} yr dğştrm vtörünün lmanlarının gnllrdr..86 numaralı bağıntı göz önün alınırsa.8 bağıntısı zlyn matrs formunda fad dlblr: [ K]{ δ} ω [ M]{ δ} { }.87

221 Yuarıda tanımlanan boyutsuz büyülülr dat alındığında,.87 bağıntısı zlyn şld boyutsuz hal glctr: { K λ M}{ δ} {}.89 El alınan rşn hr ucu bast msntl olduğu çn, lgl düğüm notalarında düşy yr dğştrmlrn sıfır olması grr. Dolayısıyla problmd gomtr sınır oşulları zlyn şld fad dlblr: δ t δ p t.9 Sınır oşulları problm uygulanırn, rjtl v ütl matrslrnd, sıfır olan düğüm notası blnmynn arşılı gln satır v sütun slnr. Böylc l alınan problmd rjtl v ütl matrslrnn. satır v sütunu l p. satır v sütunu slnr v tüm sstm çn zlyn şld vrln ndrgnmş boyutsuz frans dnlm ld dlr: * * K { δ} λ M { δ} {} * *.9 Burada K v M tüm sstm çn p p boyutlarında ndrgnmş rjtl v ütl matrsdr..9 d vrln dnlm rşn frans dnlm d dnlmtdr. Özdğrlr olan λ dğrlr dnlm.9 l vrln ştllr sstmnn dtrmnantının sıfır olmasından bulunur... Tmoshno Krş çn Kuramsal Çalışma Br ğlm lmanı çn hr br düğüm notasında br düşy yr dğştrm w, dğr dönm olma üzr adt düğüm notası blnmyn olduğu daha önc bölümd açılanmıştı. Eulr-Brnoull rş torsn gör hrhang br stt dönm, düşy yr dğştrmnn o notada türvyl fad dlr. Anca, Tmoshno rş torsnd stlrn yr dğştrmlrn v dönmlrn fad dn yr dğştrm v dönm fonsyonları brbrndn bağımsız olara l alınır. Bu amaçla düşy yr dğştrm w, t v dönm ψ, t çn aynı drcdn polnomlar sçlblcğ gb, gnlll farlı drcdn polnomlar sçlmtdr. Söz onusu polnomlar, w/ ψ / oşulları göz önün alınara, n az brnc drcdn sçlmldr. Br Tmoshno rş lmanı çn yr dğştrm v dönm fonsyonları düğüm notası blnmynlr yardımıyla aşağıda şld ayrılaştırılablr:

222 ,,,..., m w t N w t.9.9 v.9 ştllrnd w t v j t ψ, t R t j,,..., n j j.9 zamana bağlı olara fad dln düğüm notası blnmynlrdr..9 v.9 d fadlr Tmoshno rş çn daha öncdn vrlmş olan şl dğştrm v nt nrj fadlrnd yrlrn onulursa, br lman çn hrhang br anda şl dğştrm v nt nrj düğüm notası yr dğştrmlr cnsndn zlyn şld ld dlr: E I G A t d dψ, t dw, t s ψ, d d.9 w, t ψ, t ρ ρ t t T A d I d.95 Br lman çn fonsyonl zlyn dnlml tanımlanmatadır: I T.96 Br lman çn daha öncdn vrlmş olan agrang dnlmlr uygulanırsa hart dnlmlr [ K] { δ} [ M] { δ} {}.97 olara ld dlr. Burada [ K ] [ M ] matrslr rjtl v ütl matrslrdr. [ K ] K K K K.98 [ M ] [ ] M [ ] M ştlğnd matrs formunda vrln rjtl matrsnn alt matrs blşnlr daha açı olara zlyn şld vrlmtdr:

223 j s j K G A N N d. j j s j j j s j K K G A N R d j ρ j K E I R R d G A R R d. M A N N d.. j ρ j M I R R d..,.,. v. ştlllrnd rjtl trmlr hsaplanırn düğüm notası yr dğştrms v dönmlr çn aynı drcdn polnomlar özlll lnr sçldğnd, l alınan ğlm lmanı, Tmoshno torsnd sabt ayma grlms abulü sbbyl, ltratürd ayma ltlnms shar locng Rddy, 99 adı vrln olay mydana glmtdr. Bu problmn üstsndn glm çn ltratürd yol bulunmatadır Rddy, 99. Bu yöntm haında ısaca blg vrlctr.... arlı Drcdn yumlu İntrpolasyon onsyonlarının Kullanılması Brnc yöntmd düşy yr dğştrm v dönm fonsyonları çn farlı drcdn polnomlar sçlmtdr. Bu polnomlar w/ v ψ nın mrtbs şt olaca şld sçlmldr, örnğn m n Br ğlm lmanının düşy yr dğştrms, w t çn nc drcdn uadrat, dönmsn fad dn ψ, t çn brnc drcdn lnr polnom sçlrs, yr dğştrm v dönm fonsyonları zlyn şld ayrılaştırılablr: w w t N w t N w t N w t N N N w, [ ] w, t R t R t [ R R ] ψ.5.6 Burada N v R şl fonsyonları olara blnmtdr..5 v.6 ştllrnd fadlr şl dğştrm v nt nrj fadlrnd yrlrn onuldutan sonra agrang dnlmlr uygulanırsa zlyn matrs formunda göstrln hart dnlmlr ld dlr:

224 w w w w K K M [ ] w w K K [ ] M {} G s A K G s A K K 6 5 E I G s A K 6.9.5,.6 v.7 ştllrn dat dlrs, lmanın tam orta notasında, sadc yr dğştrm türündn blnmyn olan v dğr lmanlarla bağlantısı olmayan üçüncü br düğüm notasının ortaya çıtığı görülür. Bu düğüm notası br lmandan tüm sstm gçşt lgl matrslrn toplanmasında zorlu tşl tmtdr. Bunun çn lman rjtl matrsnd üçüncü düğüm notasında w blnmyn yo dlrs, br lman çn daraltılmış rjtl matrs zlyn şld olur: w [ K ] G s A G s A G s A G s A G s A G s A G s A G s A G s A G s A G s A EI G E s A I G E s A G s A G s A I G E s A I. Buna bnzr şld ütl matrs d ld dlr, ayma ltlnms problmnn üstsndn glnmş olur.

225 ... Aynı Drcdn İntrpolasyon onsyonlarının Kullanılması Düşy yr dğştrm v dönm fonsyonları çn aynı drcdn m n polnomlar sçldğnd, lman rjtl v ütl matrslrn oluşturan tüm alt matrslr n n boyutlarında olmatadır. Elman rjtl matrsnn K K blşnlr l K matrsnn. ştlğnd vrln brnc ısmı ld dln şl fonsyonlarının ullanılmasıyla hsaplanır. K matrsnn nc ısmı s ndrgnmş ntgrasyon yöntm ullanılara hsaplanır Yr dğştrm v dönm fonsyonları çn zlyn şld vrln brnc drcdn lnr polnomlar sçlblr:,., w t ao t a t ψ t bo t b t. Bu durumda l alınan ğlm lmanı aşağıda vrln sınır oşullarını sağlamalıdır:, w, t w t w t w t ψ., t t ψ t, t.. v. ştllrnd vrln sınır oşulları uygulandıtan sonra, Eulr-Brnoull rş torsnd yapıldığı gb bnzr matmatsl şlmlr v düznlmlr yapılırsa yr dğştrm v dönm fonsyonları zlyn şld ayrılaştırılablr: w t w t w t N w t,.5 ψ, t t t R t.6.5 v.6 ştllrndn görüldüğü gb yr dğştrm v dönm fonsyonları çn ld dln N R şl fonsyonları özdş olmatadır. Eld dln bu şl fonsyonları yardımıyla v.,.,.,. v. ştllrnn ullanılmasıyla rjtl v ütl matrslrnn blşnlr zlyn şld ld dlr:

226 G s A K G s A K K E I G s A K 6 6 M ρ A 6 6 M ρi.7.7 ştllrnd vrln alt matrslr br lman çn t br matrs çnd aşağıda şld yazılablr: [ K ] G s A G s A G s A G s A G s A G s A G s A G s A G s A G s A G s A EI G E s A I G E s A G s A G s A I G E s A I [ M ].8 ρa ρa 6 ρa ρa 6 ρi ρi 6 ρi ρi ştlğnd br lman çn vrln rjtl matrsn dat dlrs, farlı drcdn polnomlar ullanılara daha öncdn ld dlmş olan. ştlğnd rjtl matrsyl aynı olduğu dat çmtdr. Bu çalışmada Tmoshno torsn gör sonlu lmanlar yöntmyl çözümd aynı drcdn polnomlar sçlr ld dlmş olan rjtl v ütl matrslr ullanılacatır. Bu durumda, br lman çn ld dln lgl matrslrdn faydalanara, tüm sstm çn hart dnlm zlyn şld yazılablr: [ K]{ δ} [ M]{ δ} {}. p n; n m. Srbst ttrşm yapan rşt zamana bağlı düğüm notası yr dğştrmlr zlyn şld yazılablr: { δ t } { δ} t ω.

227 . numaralı bağıntı göz önün alınırsa,. bağıntısı zlyn matrs formunda fad dlblr: [ K]{ δ} ω [ M]{ δ} { }. Problmn sayısal analznd aşağıda tanımlanmış olan boyutsuz büyülülr ullanılacatır: ρaω G s A h δδ / ;,,..., n δδ ; n, n,...,n λ, D, µ. E I E I Yuarıda tanımlanan boyutsuz büyülülr dat alındığında,. bağıntısı zlyn şld boyutsuz hal glctr: { K λ M}{ δ} {}.5 Problmd sınır oşulları, l alınan rşn hr ucu bast msntl olduğu çn, lgl düğüm notalarında düşy yr dğştrmlrn sıfır olmasıdır. Dolayısıyla problmd gomtr sınır oşulları zlyn şld fad dlblr: δ t δ p / t.6 Sınır oşulları problm uygulanırn, rjtl v ütl matrslrnd, sıfır olan düğüm notası blnmynn arşılı gln satır v sütun slnr. Böylc l alınan problmd rjtl v ütl matrslrnn. satır v sütunu l p /. satır v sütunu slnr v tüm sstm çn zlyn şld vrln ndrgnmş boyutsuz frans dnlm ld dlr: K { δ} λ M { δ} {} * *.7.7 d vrln dnlm rşn frans dnlm d dnlmtdr. Özdğrlr olan λ dğrlr dnlm.7 l vrln ştllr sstmnn dtrmnantının sıfır olmasından bulunur.

228 .5 Krş Elmanları Bu aşamada br rş lmanının ğlm ttrşm çn ütl matrs glştrlctr. Şl.9: Zamana bağlı yülmy maruz br şnn dfransyl lmanı Dfransyl lmana Nwton un. anunu y doğrultusunda uygulanırsa, t V d A d t q V d V V ma y y ρ.66 ρa doğrultusunda brm uzunluta rş ütlsn göstrr..66 ştlğ sadlştrlrs,, t V A t q V ρ.67 V M.68 Bu momnt sm uvvt lşsn.67 d yrn yazarsa,, t V A t q V ρ.69 Sonuç olara ğlm formülü, V EI M z.7, t V A t q V EI z ρ.7 Sabt lastst modülü E v ylmszl Iz abulü altında yöntc ştl zlyn şl alır., t q V EI t V A z ρ.7

229 Krşn yanal yr dğştrms rş fonsyonu çn daha önc glştrln ntrpolasyon fonsyonlarının aynısı ullanılara ayrılaştırılır. t N t V N t N t V N V.7 İntrpolasyon fonsyonları.6 vya.9 l vrldlr gbdr. Galrn yöntmnn.7 y uygulanması l d q V EI t V A N z ρ,.7 İntgral şart altında son trm 5.6 ştlğnd l alınmıştı. 5.6 da rjtl matrs v yü vtörü ld dldğndn burada trarlanmadı, bunun yrn ntgral altında. trm üzrn odalanacağız..7 l tmsl dln ştllrn hr br çn brnc ntgral trm, [ ] ρ ρ V V d N N A d N V N N V N N A o.75 Eştllrn tümü boyutlu br rş lmanı çn ütl matrs zlyn şld vrlr; [ ] [ ] [ ] T d N N A m ρ.77 İntrpolasyon fonsyonlarının yrn onulması v grl ntrpolasyonların yapılmasından sonra ütl matrs [ ] m ρa.78 İnc türv vtörü sıfır s, stat durum ld dlr. Yan stat durum dnam durumun özl haldr.

230 Dnam durumda düğüm notası momntlr v sm uvvtlr zamana bağımlı olablr. Kütl matrsn d apsayan rş lmanı çn brlştrm prosdürü stat dng durumunda prosdür özdştr. Gnl ütl matrs lman yr dğştrmlr l gnl yr dğştrmlr arasında lşlrl brlt brysl lman ütl matrslrn ullanara ld dlr. Sstm brlştrms prosdür olara açı olmasına arşın şlm l l yapıldığında yorucudur.