Üçüncü Kitapta Neler Var?

Transkript

1 Üçüncü Kitapta Neler Var?. Kümeler 7 0. Kartezyen çarpım - Bağıntı 4. Fnksiynlar İşlem Mdüler Aritmetik Plinmlar İkinci Dereceden Denklemler 6 8. Eşitsizlikler Parabl Trignmetri Karmaşık Sayılar Lgaritma Permütasyn Kmbinasyn Binm Açılımı Olasılık Matrisler ve Determinant Cevaplar 97 46

2 ANTRENMAN EŞİTSİZLİKLER 4. ( ) ANTRENMAN eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayı kaçtır? Eşitsizlik eşit lmayan şey demek. Birinci dereceden bir eşitsizliği çözmek için öyle aman aman bir bilgiye gerek yk aslında. Eşitsizliklerle ilgili temel özellikleri bilseniz yeter de artar bilem. Meselâ, 6 > 0 biçimindeki bir eşitsizliği çözerken sıkıntıyaşar mısınız? Veya + 8 biçimindeki bir eşitsizliği? Eğer bunlarda prbleminiz varsa bence işi biraz daha temelden alıp antrenmanlarla matematik. ve. kitaplarından eşitsizlik layını tekrar ele almanızda azim fayda var. Bu sayfadaki antrenmanları yanlışsız çözebiliyrsanız bunlarda prbleminiz yk demektir.. > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayı kaçtır? + < 4 4 eşitsizliğini sağlayan pzitif tam sayıların tplamı kaçtır?. 4 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? Hatırlayın Bir eşitsizliğin her iki yanı negatif bir sayı ile çarpılır veya bölünürse eşitsizliğin yönü değişiyrdu > 6 4 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayı kaçtır? 7

3 ANTRENMAN Fakat eşitsizlik kareli mi kareli şeyler içeriyrsa işin kuralları değişiyr. Bu tip eşitsizliklerde daha önceki yöntemler işe yaramıyr. Onun için yeni şeyler söylemek lâzım. Zaten bu faslı da bunun için açtım. + 8 Meselâ < 0 gibi ya da 0 gibi daha zrmuş gibi duran (Ama aslında öyle lmayan) bir eşitsizliği nasıl çözeceksiniz? Var mı bi fikriniz? Şimdiki layımız bu. İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler Eşitsizlikleri Yk şöyle lursa şöyle çözeceksin. Yk şöyle ise böyle gibi dallandırmadan esas layıanlatayım. Hem de test tekniğine uygun larak. Bu işin pratiği şu 4 > 0 veya ( 4 )( + 6) 0 gibi bir + eşitsizliği çözerken yapmanız gerekenler çk zr değil. Daha önceden bildiğiniz şeyler. Ama söyleyeceklerimi sırayla yapmanızda fayda var. İlk önce her bir çarpanın köklerini bulun ve sayı dğrusuna yerleştirin. (Tabl yapın yani.) Tabii ki en büyük kökü en sağa yazacaksınız dğal larak. İkinci larak Her bir çarpanın en büyük dereceli terimlerinin işaretlerini çarpın (bölün) ve bulduğunuz işareti tabldaki en büyük kökün sağına yazın bi zahmet. Üçüncü larak ise Tablda sağdan sla dğru gelirken köklere rastladıkça işareti değiştirin. Bundan snrası çözüm kümesini yazmaya kalıyr. İyi de çözüm kümesi ne? Bunu nasıl bulacağınızı biliyr musunuz? Söyleyeyim. Eğer çözmeye çalıştığınız eşitsizlik < 0 veya 0 biçiminde ise tablda lan aralıklar, > 0 veya 0 biçiminde ise + lan aralıklar aradığınız çözüm kümesidir. Artık çözüm kümesini yazarsınız. Bu anlattıklarımı bir sru üzerinde izah edeyim mi? Örnek Sru < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?. ANTRENMAN Çözelim Gerçi bunda sıkıntı yk. Ama siz siz lun ve bir eşitsizliği çözerken ilk önce sağ tarafın sıfır lup lmadığına bakın. Sebebini snra söylicem. Diyelim ki sağ taraf sıfır. (Ki bunda öyle zaten.) Şimdi yapmanız gereken sl taraftaki her bir çarpanı sıfıra eşitleyip köklerini bulmak. Yani, = 0 dan = 4 ve = ile = 0 dan = yi buldunuz mu? Kökleri bulduktan snra bu kökleri sayı dğrusuna sıralayın. Yani, yerleştirin. (Aşağıdaki gibi bir tabl yapın. Köklerden aşağı bir çizgi çizin ve rtasına bir yuvarlak yapın. ) - 4 Sıra tablda nerelere artı, nerelere eksi yazacağınıza geldi. En sağa (4 ün sağına) yazacağınız işareti en büyük dereceli terimlerin işaretini bölerek bulun En sağa = + yazmanız lâzım En sağa yazacağınız işareti bulduktan snra sla dğru her kökte işareti değiştirerek gelin. Şimdi işaretli tablnun sn hali şöyle lması lâzım İşaret tablsunu hazırladıktan snra artık eşitsizliğin çözüm kümesini yazabilirsiniz. Eşitsizlik, < 0 şeklinde lduğu için tablda eksi lan aralıklar çözüm aralıklarıdır. Bunun anlamı tablda eksi lan aralıklardaki her değeri için bu eşitsizlik dğrudur. Dlayısıyla bu eşitsizliğin çözüm kümesi (, ) (, 4) tür. Anlatırken uzun gibi. Ama layın özeti şu: Kökleri bulup sayı dğrusuna sıralayın. Snra da en sağa yazacağınız işaret layını halledip köklerde işareti değiştirin ve çözüm kümesini bulun 8

4 EŞİTSİZLİKLER. ( + )( ) < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?. +.ANTRENMAN > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.. ( + 4)( ) < 0 eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayısı kaçtır? > 0 7 eşitsizliği in kaç tam sayı değeri için dğrudur?. ( )( + ) < 0 eşitsizliğini sağlayan en büyük tamsayısı kaçtır? 7. 6 > 0 4 eşitsizliğini sağlayan tam sayıların tplamı kaçtır? 4. + < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? 8. ( + )( )( + ) < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? 9

5 EŞİTSİZLİKLER 9. ( )( ) 4 + > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?. ( 9)( + 6) + < 0.ANTRENMAN eşitsizliğini sağlayan en büyük negatif tamsayısı kaçtır? 0. ( )( ) + 4 < 0 eşitsizliğini sağlayan en büyük tamsayısı kaçtır? 4. 9 > 0 + eşitsizliğini sağlayan pzitif tam sayıları tplamı kaçtır?. ( )( ) 7 > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?. 4 > 0 eşitsizliğini sağlayan en büyük negatif tamsayı ile en küçük pzitif tamsayının çarpımı kaçtır?. ( )( + ) < 0 eşitsizliğini sağlayan en küçük tamsayısı kaçtır? < 0 6 eşitsizliğini sağlayan en büyük iki tamsayı değerlerinin tplamı kaçtır?. 40

6 EŞİTSİZLİKLER. ANTRENMAN. > 0 eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayısı kaçtır? > 0 eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayısı ile en büyük tam sayısının tplamı kaçtır?. > 0 4 eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayısı kaçtır? 6. < eşitsizliğini sağlayan tam sayıların tplamı kaçtır?. + 6 < 0 8 eşitsizliği in kaç tam sayı değeri için dğrudur? > 0 eşitsizliğinin en geniş çözüm aralığı (a,b) lduğuna göre, a.b çapımı kaçtır? 4. ( + )( )( + 4) > 0 eşitsizliğini sağlayan dğal sayısı kaçtır? 8. < eşitsizliğinin en geniş çözüm aralığı (a, b) lduğuna göre, a + b tplamı kaçtır? 4

7 EŞİTSİZLİKLER. ANTRENMAN 9. ( + 0)( + ) < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?. ( + 0) ( + )( 6) > 0 eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayısı kaçtır? 0. ( ) 6 > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? > 0 eşitsizliğini sağlayan pzitif tam sayıların tplamı kaçtır?. ( )( 4) 6 > 0 eşitsizliğini sağlayan pzitif tam sayıların tplamı kaçtır?. + m + 4 = 0 denkleminin kökleri ve dir. m nin hangi değerleri için > 0 dır?. ( 4). ( ) < 0 eşitsizliğini sağlayan tam sayılarının tplamı kaçtır? 6. (m ) + (m 9) = 0 denkleminin kökleri ve dir. m nin hangi değerleri için + < 0dır? 4

8 EŞİTSİZLİKLER Eşitsizlikleri çözerken içler dışlar çarpımı yapmayın. Ve sağ tarafı hep sıfır yapın. Meselâ + 6 < gibi bir eşitsizliği çözerken yapmanız gereken ilk iş + 6 < 0dan + 8 < 0 eşitsizliğini elde edip çözüme öyle başlamak lmalı. İçler dışlar çarpımı yapınca veya sağdaki i sla almadan işlem yapınca yanlış çıkıyr da Siz en iyisi mi lâf dinleyin. Ve tecrübeye güvenin 4. ANTRENMAN 4. + < eşitsizliğini sağlayan tamsayıları kaç tanedir?. < + eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?. 4 < eşitsizliğini sağlayan tamsayıları tplamı kaçtır?. Hangi sayıların karesiyle katının tplamı ten küçüktür? 6. > + 4 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?. ( 4) > eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? 7. < + eşitsizliği in kaç pzitif tamsayı değeri için dğrudur? 4

9 EŞİTSİZLİKLER 8. < + eşitsizliğini sağlayan pzitif tamsayıların tplamı kaçtır?. 4. ANTRENMAN + > + eşitsizliğini sağlayan en küçük tamsayı değeri kaçtır? 9. < + eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?. < 8 + eşitsizliğini sağlayan pzitif tamsayıların tplamı kaçtır? 0. > + eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? 4 m (m ) + m = 0 denkleminin 4. ( ) kökleri ve dir. Buna göre, m nin hangi değerleri için < dir? Eşitsizliklerde sadeleştirme yaparsanız yamulabilirsiniz. <. ( ) ( ) eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?. (m + 6) + m 4 = 0denkleminin kökleri ve dir. + < lduğuna göre, m nin alabileceği tamsayı değerler tplamı kaçtır? 44

10 EŞİTSİZLİKLER Peki, eşitsizlik < 0 veya > 0 şeklinde değil de 0 veya 0 şeklinde lursa ne değişir? Aslında çözüm şekli larak hiçbir şey değişmez. Sadece çözüm kümesini yazarken küçük bir değişiklik var. O kadar. 0 ve 0 biçimindeki eşitsizliklerde payı sıfır yapan değerleri çözüm kümesine dâhil edin. Paydanınkileri ise etmeyin. Örnek üzerinde göstereyim. Örnek Sru 4 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? Çözelim Çözüm ylu yine aynı. İlk önce pay ve paydayı sıfır yapan değerlerini bulun. 4 = 0 dan = 4 ve = ve = 0 dan = yi bulup sayı dğrusuna yerleştirin. Köklerden aşağı çizdiğiniz çizgilerin rtasına yaptığınız yuvarlaklar vardı ya? İşte bunlardan paydanın köklerindekilerin içi bş diğerleri dlu lacak. Yani şöyle: - 4. ANTRENMAN İsterseniz tekrar söyleyeyim. 0 veya 0 şeklindeki eşitsizlikleri çözerken farklı bir şey yapmanıza gerek yk. İlk çözdüğünüz eşitsizlikler gibi çözün. Yani, kökleri bulun. Sayı dğrusunda sıralayın. İşaret layını halledin. Halledin fakat çözüm kümesini yazarken dikkatli lun. Yanlış yazarsanız anlattığım bunca şeyin bi kıymet-i harbiyesi kalmıyr da Unutmayın ki paydanın kökleri hiçbir zaman çözüme dâhil edilmez. (yani, paydanın köklerinde kapalı parantez lmaz.). 8 0 eşitsizliğini sağlayan tam sayılarının tplamı kaçtır?. 6 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? Sıra işaret layına geldi. En sağa +... = lduğundan eksi yazıp sla dğru her kökte işareti de-.. ğiştirerek gelin Üstteki gibi bir tabl yapmış lmanız lâzım. Artık çözüm kümesini yazabilirsiniz. Bir kere eşitsizlik 0 şeklinde lduğundan tablda + (artı) lan yerleri alacaksınız. Bir şey demiyrum. Alın. Ama alırken içi dlu lan kökleri çözüm kümesine dâhil etmeyi sakın unutmayın. Buradaki en önemli lay bu aslında. Dlayısıyla, bu eşitsizliğin çözüm aralığını < veya < 4 larak ifade etmeniz lâzım. (ki dğru lsun.) Tabii bunu (, ] (, 4] şeklinde de ifade edebilirsiniz. Keyfiniz bilir. 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? 4

11 EŞİTSİZLİKLER. ANTRENMAN eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? 8. ( ) eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayısı kaçtır? ( ) 8 0 eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayısı kaçtır? eşitsizliğini sağlayan tam sayıları tplamı kaçtır? eşitsizliğini sağlayan en küçük iki tam sayısının tplamı kaçtır? eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? 7. + ( 8)( + ) 0 eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayısı kaçtır?. 0 eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayısı kaçtır? 46

12 EŞİTSİZLİKLER 6. ANTRENMAN. 0 eşitsizliğini sağlayan en büyük negatif tamsayısı kaçtır? Bazı çarpanların kökü lmayabilir. Olmayan kökü tablda gösteremezsiniz elbette Ama en sağa yazacağınız işareti belirlerken bu çarpanı da hesaba katarsınız tabii ki.. + < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?. 8 ( + )( ) 0 eşitsizliğini sağlayan en büyük tamsayısı kaçtır? 6. ( )( ) eşitsizliğini sağlayan tam sayıların tplamı kaçtır? ( + )( ) + 0 eşitsizliğini sağlayan en küçük tamsayısı ile en büyük tamsayısının tplamı kaçtır? eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? ( ) + 0 eşitsizliğini sağlayan kaç farklı negatif tamsayısı vardır? eşitsizliğini sağlayan tam sayıların tplamı kaçtır? 47

13 EŞİTSİZLİKLER Size bahsetmediğim bir şey daha var. Tek katlı kök - çift katlı kök meselesi. Özellikle çift katlı kök layı çk önemli. Çünkü tablda işaretler yazılırken çift katlı köklerde işaret değiştirilmez. Bunu da izah edeyim. Çift katlı kök - tek katlı kök meselesi Eşitsizlikte aynı kökten çift sayıda lan köklere çift katlı kök, tek sayıda lanlara da tek katlı kök denir. Bu ne demek? mi? Meselâ, ( ) = 0 eşitliğinde = çift katlı köktür.(burada iki tane vardır. Göremediniz di mi? ) Şöyle aslında. ( ) = ( )( ) = 0 larak yazıp her çarpanı ayrı ayrı sıfıra eşitleyince iki tane (yani, çift sayıda) bulursunuz. Öyle değil mi? 4 Yine aynı şekilde ( + ) = 0 eşitliğinde = çift katlı köktür. (Bunda da dört tane (çift sayıda) vardır.) Ve ( 4) = 0 denkleminin kökü 4 tür. (Burada ise tam üç tane (tek sayıda) 4 vardır. Çift katlı kökleri tablda gösterirken iki çizgi çizilir. (Ki çift katlı kök lduğu belli lsun.) Aslında parantez üssü çift lan yerde çift katlı, parantez üssü tek lan yerde de tek katlı kök var diyebilirsiniz. Ama aynı kökten başka yerde lmaması lâzım. Anladınız mı?? Anladıysanız güzel de. Neyse Şuna da bakın bi. İşe yarayabilir. Hem de şimdiye kadar anlattığım çğu şeyin özeti var bunda. 6. ANTRENMAN İkinci larak da eşitlik durumu varsa payın köklerinde yuvarlakların içi dlu. Bir de çözüm kümesini yazarken şunları da dikkate alın. Yksa Tablda (yandaki gibi) içi dlu larak gösterilen kökleri çözüm kümesine dâhil edin. Tablda (yandaki gibi) içi bş larak gösterilen kökleri ise çözüm kümesine dâhil etmeyin. Çünkü dâhil ettiğiniz de yamulmuş lacaksınız muhtemelen. Zaten eşitsizlikte eşitlik durumu ( veya durumu) söz knusu değilse hiçbir kökü çözüm kümesine dâhil etmezsiniz. Yani, kapalıparantez yapmazsınız. Paydanın köklerini çözüm kümesine hiçbir zaman dâhil etmeyin. Niye ki sahi? Neyse Epeydir eveleyip geveleyerek anlatmaya çalıştığım şeyin özeti şu aslında Eşitsizliğin tablsunu dğru yapın, Tek katlı-çift katlı kökün ne lduğunu bilin, Hangi köklerin çözüme dâhil lup lmadığına dikkat edin, Hangi aralıkların çözüm lduğunu yazabilin. Yeter. İyi mi? Sn kez söyleyeyim. Snra unutur munutursunuz Çift katlı köklerde işaret değiştirmeyeceksiniz. 9. ( ) ( ) + < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? biçimindeki eşitsizliklerde payın kökleri biçimindeki eşitsizliklerde kökler çift katlı kök tek katlı kök çift katlı kök tek katlı kök + < 0 0. ( ) ( ) eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir Üstteki şekilcikte şunları görün Bir kere çift katlı köklerde çift çizgi var. 48

14 EŞİTSİZLİKLER 7. ANTRENMAN Bir de tek katlı çift katlı kök meselesinde üssün çk büyük lmasının bir önemi yk. Önemli lan üssün tek mi çift mi lduğu. Aslında parantez üssü çift ise, tek ise almanızda hiçbir sakınca yk. 6 Yani, ( ) ( ) ( ) ( ) eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? < 0 eşitsizliğinin çö- zümü ile ( )( ) < 0 eşitsizliğinin çözümü aynıdır. Hiç bir farkı yktur. 0 + > 0. ( )( ) eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? ( ) ( ) eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? + > 0. ( ) ( ) eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? 6. ( + ) ( 4) 0 eşitsizliğini in kaç tam sayı değeri için dğrudur? < eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? ( )( ) eşitsizliğini sağlayan tam sayıların tplamı kaçtır? 49

15 EŞİTSİZLİKLER 7. ANTRENMAN 6 < 0 8. ( )( ) eşitsizliğini sağlayan tam sayıların tplamı kaçtır?. Eşitsizlikte mutlak değerli çarpan varsa bunun köklerini çift katlı kök larak almanızda hiçbir sakınca yk. < 0 6 eşitsizliğini sağlayan pzitif tam sayıların tplamı kaçtır? 9. ( + 4) ( ) < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? 0. ( + ) ( ) eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? 4. ( ) eşitsizliğini sağlayan tam sayıların tplamı kaçtır?. ( + ) ( + ) 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?. ( ) + + > 0 eşitsizliğini sağlayan tam sayıların tplamı kaçtır? 0

16 EŞİTSİZLİKLER Eşitsizlik Sistemleri Sistem dediysem öyle karmaşık şeyler zannetmeyin. Çk kasmaya gerek yk. Genellikle iki eşitsizlik lur bunlarda. Üç lduğu da lur belki. Ama çk nadir > 8. ANTRENMAN eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi nedir? Daha önce çözdüğünüz eşitsizliklerden farklı bir şey yk burada. Şunu bilin yeter. Bir eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulurken her bir eşitsizliğin çözüm kümesi ayrı ayrı bulunur. Snra da bu çözüm kümelerin kesişimleri alınır. Buradaki tek farklılık bu çözüm kümelerinin kesişimini bulma layı. Örnek Sru ( ) < 0 > 0 + eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi nedir?. m + > 0 m m > 0 eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi nedir? Çözelim. İki eşitsizliği de sağlayan değerleri bulcaz. Ama bunun için ilk önce her birini tek tek ele alıp aynı tablda göstermek lâzım ki kesişimleri daha klay görülsün. ( ) < 0 in çözüm kümesini bulun. (0, ) bulmuş lmanız lâzım. Şimdi de > 0 ın çözüm kümesini bulun. + Bunun da (, 0) (, ) bulmuş lmanız lâzım. Ve bunları aynı tablda gösterin. ( - ) > + 4 < 0 eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi nedir? çözüm aralığı Bundan snra ise ikisinin kesişimini (Yani, ikisini de sağlayan değerleri) bulun. İkisini de sağlayan değerler (, ) aralığı lduğundan bu eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi (, ) açık aralığıdır. Anlaşıldı mı şimdi?

17 EŞİTSİZLİKLER 4. + > 0 4 > 0 eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi nedir? 7. 0 < > 0 8. ANTRENMAN eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi (a, b) açık aralığı lduğuna göre, a + b tplamı kaçtır?. 0 0 ( ) > 0 eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi nedir? 8. > eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi (a, b] yarı açık aralığı lduğuna göre, a.b çarpımı kaçtır? 6. 9 > > 0 eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi nedir? > 0 ( )( ) < 0 eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi nedir?

18 EŞİTSİZLİKLER 9. ANTRENMAN. > < 6 eşitsizlik sistemini sağlayan en küçük tamsayısı kaçtır? 4. < eşitsizlik sistemini sağlayan tam sayılarının tplamı kaçtır?. 6 < < 0 ( )( ) eşitsizlik sistemini sağlayan tamsayısı kaçtır?. < < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?. ( + )( 9) > 0 4 > 0 eşitsizlik sistemini sağlayan en küçük iki tamsayı değeri tplamı kaçtır? 6. < + eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?

19 EŞİTSİZLİKLER İkinci Dereceden Denklemin Köklerinin Varlığı ve İşareti Baştan söyleyeyim. Köklerin işaretini incelerken kök mök bulmayacaksınız. Çünkü a + b + c = 0 denklemini çözmeden, köklerinin varlığını ve işaretini belirleyebilirsiniz. Nasıl mı? İzah edeyim. Bunun için verilen denklemin sırasıyla, a) Diskriminantına, (Yani = b 4ac ye ) b) Kökler çarpımına (Yani, = c ya ) a c) Kökler tplamına, (Yani + = b ya ) a bakarak köklerin reel lup lmadığı, eğer kökler reel ise pzitif mi, negatif mi ldukları hakkında karar verebilirsiniz.ama bir şartla. Dediklerimi adam gibi öğrenirseniz. Neyse Bu layı çk da kasmadan önünüze gelebilecek lan şeyleri vereyim. a + b + c = 0 denkleminin, Ters işaretli iki kökü (Biri pzitif, diğeri negatif) lması için kökler çarpımı negatif lmalı. Yani,. < 0 lmalı. En önemlisi bu. Bence tabii ki Pzitif iki kökü lması için, sırasıyla I) Δ > 0 II) III). > 0 + > 0 Negatif iki kökü lması için, sırasıyla I) Δ > 0 II) III). > 0 + < 0 eşitsizliklerinin sağlanması gerekir. Dikkat ederseniz hem pzitif iki kök lması için, hem de negatif iki kök lması için diskriminant ve kökler çarpımı pzitif lması gerekiyr. Sadece kökler tplamında farklılık var. Pzitif iki kök için kökler tplamı pzitif, negatif iki kök için ise negatif lması gerekiyr. Örnek Sru 9. ANTRENMAN 6 = 0 denkleminin köklerinin işareti hakkında ne söylenebilir? Çözelim Köklerin işaretini incelerken ilk önce deltaya bakılır. Öyle ya bakalım ki kökleri reel (gerçek) mi? Bakalım. = b 4ac = ( ) + 4..( 6) = 7 > 0 lduğundan kökleri reelmiş. İkinci larak kökler çarpımına bakılır. = c = 6 = < 0 a Kökler çarpımı negatif çıktı. Demek ki köklerin biri pzitif diğeri negatif. Olayı daha da netleştirmek için kökler tplamına da bakalım. 6 ( ) + = = = > 0 a Pzitif çıktı. Eee Şimdi ne diycez? Şöyle. < 0 < demek yetmez. Bir de şunu ilave et- mek lâzım. < Yani, negatif lan kökün mutlak değeri daha küçük.(öyle ya kökler tplamı pzitif lacak ) Demek ki < 0 < ve Anladınız mı bu layı? Örnek Sru < imiş. (m + ) (m + ) + 4 m = 0 denkleminin biri pzitif diğeri negatif iki kökü lduğuna göre, m hangi değerleri alabilir? Çözelim En çk bunu sruyrlar. (Bir iki defa srulmuş. ) Ters işaretli iki kök var. Bunun için kökler çarpımının negatif lması yeterli. Kökler çarpımı, = c = 4 m < 0 lmalı. a m+ Artık bu eşitsizliği de bana çözdürmezsiniz herhalde? Çözün bakalım. Ne çıktı? (, ) (, ) bulduysanız sıkıntı yk. Bulamadıysanız gidip tekrardan baştan adam gibi çalışın lütfen? 4

20 EŞİTSİZLİKLER 0. ANTRENMAN. Aşağıdaki denklemlerin hangisinin ters işaretli iki kökü vardır? A) C) + 7 = 0 B) + 6 = 0 D) E) + = 0 + = = 0. (m + ) + m = 0 denkleminin ters işaretli iki kökü lduğuna göre, m kaç farklı tam sayı değer alabilir?. Aşağıdaki denklemlerin hangisinin pzitif iki kökü vardır? A) C) + = 0 B) + 6 = 0 D) E) 6 + = = = 0 6. m nin hangi aralıktaki değerleri için, m (m ) m 4 0 denkleminin ters işaretli iki reel kökü lur?. Aşağıdaki denklemlerin hangisinin mutlak değerce büyük lanı negatif lan iki reel kökü vardır? A) C) + + = 0 B) 4 + = 0 D) E) 6 + = 0 + = = 0 7. ( m) + + m 9 = 0 denkleminin biri pzitif, diğeri negatif iki gerçek kökü lduğuna göre, m hangi değerleri alabilir? m 8 = 0 denkleminin ters işaretli iki kökü lması için m hangi aralıktaki değerleri almalıdır? 8. ( m + ) + 6 m + = 0 denkleminin zıt işaretli iki kökü lduğuna göre m nin aralığı nedir?

21 EŞİTSİZLİKLER 0. ANTRENMAN 9. (k ) (k ) k 0 0 denkleminin kökleri ve dir. 0 ve lduğuna göre, k nin değer aralığı nedir? m = 0 denkleminin negatif iki gerçek kökü lduğuna göre, m ne lmalıdır? 0. ( ) ( ) m m + m = 0 denkleminin kökleri ve dir. < 0 < ve < lduğuna göre, m. 6 + p = 0 denkleminin pzitif iki gerçek kökü lduğuna göre, p ne lmalıdır? nin aralığı nedir?. ( ) ( ) a 6 a + + a + 4 = 0 denkleminin kökleri ve dir. < 0 < ve < lduğuna göre, a 4. m nin hangi aralıktaki değerleri için, m 6 m 8 0 denkleminin pzitif iki reel kökü vardır? nin aralığı nedir? 6

22 Trignmetri

23 İlim ilim demektir, ilim kendin bilmektir. Sen kendini bilmezsen bu nice kumaktır. Yunus Emre

24 TRİGONOMETRİ.ANTRENMAN TRİGONOMETRİ Trignmetri acayip önemli bir knu. Ama şimdi size desem ki bu knuyla tarih byunca bir sürü adam ilgilenmiş. İnanmayacaksınız Meselâ adamın birine astrnmi ile ilgili çalışma yaparken lazım lmuş. Bir başkasına rady dalgalarıyla uğraşırken, bir başkasına bilmem ne yaparken lazım lmuş. Bir sürü yerde lâzım lmuş anlayacağınız. Ama çk iyi biliyrum ki size, Bu knudan sınavda sru gelmez. desem. Aha da şimdi kapatırsınız bu sayfayı. Ama geliyr işte. Hem de bir sürü. Ona göre. Neyse. A B 4 Şekildeki dik üçgende verilenlere göre aşağıdaki trignmetrik ranlar kaça eşittir? a) sin b) tan c) cs d) ct C Bu knuda bilmeniz gereken ilk şey şu. Dik Üçgende Dar Açıların Trignmetrik Oranları Bu knuda en çk karşılaşacağınız kavramlar sin, cs, tan ve ct diye kısaltılmış lan ranlar. Bilginiz vardır. sin = sinüs, cs = csinüs, tan = tanjant ve ct = ctanjant larak kısaltılmış. İşte trignmetrik ranlar: C. B Şekildeki dik üçgende verilenlere göre aşağıdaki trignmetrik ranlar kaça eşittir? A C b a a) sin b) tan A c B c) cs d) ct açısına göre, c kmşu dik kenar, b karşı dik kenar ve a hiptenüstür. sin karşı dik kenar = = hiptenüs b a. C kmşu dik kenar cs = = hiptenüs c a 7 8 tan ct karşı dik kenar = = kmşu dik kenar kmşu dik kenar = = karşı dik kenar c b b c A Şekildeki dik üçgende verilenlere göre aşağıdaki trignmetrik ranlar kaçtır? a) sin b) tan B c) cs d) ct 79

25 TRİGONOMETRİ.ANTRENMAN 4. B C Şekildeki üçgende verilenlere göre aşağıdaki işlemleri yapınız. a) sin + cs b) tan ct c) A sin + cs tan 7. Aşağıdaki üçgende AD = DC = BD dir. C α D θ B A sinα = lduğuna göre, sinθ nın değeri kaçtır?. D E C 8. A A E y G B F B 8 C Şekilde verilenlere göre, tan kaçtır? Yukarıdaki şekil özdeş kareden luşmuştur. Buna göre, tan siny ranı kaçtır? 6. Aşağıdaki şekil eş kareden luşmaktadır C BC = AC = 4 A α O B y Yukarıda AB çaplı yarım çember verilmiştir. Buna göre, sinα kaçtır? Buna göre, tan + cty tplamı kaçtır? 80

26 TRİGONOMETRİ.ANTRENMAN. Aşağıda verilen [DC], T nktasında [AB] çaplı yarım çembere teğettir. D. T BC = 4. A α T P O O θ. A O B C Buna göre, csθ nın değeri kaçtır? AT dğrusu sırasıyla P ve T nktalarında O, O merkezli yarım çemberlere teğettir. O merkezli çemberin yarıçapı O merkezli çemberin yarıçapının yarısıdır. Buna göre, sinα değeri kaçtır?. Aşağıdaki şekilde ABCD bir karedir. D A α C H.. K B Şekilde verilenlere göre, csα kaçtır?. Aşağıda ABCD bir dikdörtgendir. D E C. α α A 8 B Şekilde verilenler göre, tanα nın değeri kaçtır? Trignmetrik ranlardan birini biliyrsanız diğerlerini de bulabilirsiniz. Bir dar açının trignmetrik ranı verilmişse bu rana uygun güzel bi dik üçgen çizip verilenleri yerine yerleştirin. Örnek Sru dar açı lmak üzere, cs = 4 lduğuna göre, tan kaçtır? Çözelim dar açı ve cs değeri verilmiş. Bu tür srularda ilk önce bir dik üçgen çizin ve verilen rana uygun larak değerleri yerleştirin. Snra bilinmeyen kenar uzunluğunu da bulun. Hatırlayın. cs neydi? Kmşu dik kenar bölü hiptenüs. Kmşu dik kenarı 4, hiptenüsü lan dik üçgen çizcez. Meselâ şöyle bir üçgen çizebilirsiniz. (Bu arada AB = lduğunu bulacaksınız.) A B 4 C Gerisi klay. Srulan tan in değeri. Artık bulursunuz. tan = ü 4 8

27 TRİGONOMETRİ.ANTRENMAN. dar açı lmak üzere, sin = lduğuna göre, tan kaçtır? 9. 0 < < lmak üzere, cs = lduğuna göre, tan + ct kaçtır? 6. dar açı lmak üzere, ct = lduğuna göre, sin kaçtır? 0. dar açı lmak üzere, tan = lduğuna göre, sin + cs cs sin kaçtır? 7. 0 < < lmak üzere, tan = lduğuna göre, cs kaçtır?. dar açı lmak üzere, ct = lduğuna göre, cs sin sin kaçtır? 8. 0 < < lmak üzere, sin = lduğuna göre, tan + cs sin kaçtır?. dar açı lmak üzere, tan = 4 lduğuna göre, sin + cs kaçtır? sincs 8

28 TRİGONOMETRİ.ANTRENMAN Dik üçgendeki trignmetrik ranlar yardımıyla şu snuçları çıkarabilirsiniz. C b a. dar açı lmak üzere, cs = sin + cs lduğuna göre, ct kaçtır? A c B Şu yazdığım eşitliklerin dğru lduğunu görün isterseniz. tan = sin ct = cs cs sin Bu snuçları kullanarak aynı açıya ait tanjant ve ktanjant değerleri çarpımının lduğunu görmüşsünüzdür. tan ct = dir. Ve bu eşitlikten de tan = ve ct = ct tan lduğunu görebilirsiniz. Aklınızda lsun. Özellikle sadeleştirme srularında tan yerine sin bölü cs, ct yerine de cs bölü sin yazmak klaylık sağlayabilir Çk fazla karşılaşmazsınız. Ama bir de şu var. sec = csec = cs sin Bu ikisi genellikle sadeleştirmelerde lâzım luyr. 4. dar açı lmak üzere, cs = sin + 4cs 4 lduğuna göre, tan kaçtır?. sin = cs lduğuna göre, ct kaçtır?. tan0.ct0 tan ct işleminin snucu kaçtır?. dar açı lmak üzere, cs + sin = sin cs lduğuna göre, ct kaçtır? 6. + tan + ct ifadesinin en sade biçimi nedir? 8

29 TRİGONOMETRİ.ANTRENMAN 7. tan ct = lduğuna göre, tan + ct tplamı kaçtır? 0. sin ifadesinin en sade biçimi nedir? Dik üçgenden çıkarabileceğiniz bir diğer önemli snuç sin + cs = dir. Yani aynı açının sinüs ve csinüsünün kareleri tplamı daima e eşittir. Yine bu özdeşlikten hareketle sin = cs ve cs = sin eşitliklerinin yazılabileceğini görün. Srularda sin.. ve cs.. görürseniz hemen aklınıza sin + cs = lduğu gelsin. Ok. sin tan ifadesinin en sade biçimi nedir? 8. sin 4 + cs sin + cs işleminin snucu kaçtır?. sin cs işleminin snucu nedir? 9. sin cs işleminin snucu nedir?. sin + cs sin işleminin snucu nedir? 84

30 TRİGONOMETRİ 4.ANTRENMAN. ( cs )( + ct ) ifadesinin en sade biçimi nedir?. ( sin + cs ) cs sin ifadesinin en sade biçimi nedir?. sin 0 + cs 0 tan0.ct0 işleminin snucu kaçtır? 6. sin.cs = a lduğuna göre, ( ) nedir? sin + cs ifadesinin eşiti. 4cs sin 8 8sin 7. tan + cs + sin işleminin snucu nedir? ifadesinin en sade biçimi nedir? 4. 6cs sin cs sin + işleminin snucu nedir? 8. sin 6 + cs 6 + tan ct işleminin snucu kaçtır? 8

31 TRİGONOMETRİ 4.ANTRENMAN 9. sin + + cs + cs sin. sin + tan.tan78 + sin işleminin snucu kaçtır? ifadesinin en sade biçimi nedir? 0. sin + cs = lduğuna göre, sin.cs çarpımı kaçtır?. sin 0 + sin 40 + sin 0 + sin 60 işleminin snucu nedir?. sin cs = lduğuna göre, sin.cs işleminin snucu kaçtır? 4. sin + sin 7 4 işleminin snucu kaçtır? Tplamları 90 lan iki açıdan (tümler iki açıdan) birinin sinüsü diğerinin ksinüsüne, birinin tanjantı diğerinin ktanjantına eşittir. Meselâ, sin = cs 6 tan 0 = ct 70 cs 6 = sin 84 ye eşittir. Çğaltabilirsiniz bunları. Yine aynı şekilde sin 40 = cs 0 cs 4 = sin 6 yazılabilir.. sin4 + cs66 tan40 ct0 işleminin snucu kaçtır? 86

32 TRİGONOMETRİ.ANTRENMAN. tan ct + cs + cs işleminin snucu kaçtır?. ct 0 ct70 sin 70 + sin 0 işleminin snucu kaçtır?. sin + cs78 sin ifadesinin eşiti kaçtır? 6. + y = lmak üzere, sin = lduğuna göre, csy kaçtır?. tan + ct7 tan ifadesinin eşiti kaçtır? 7. + y = lmak üzere, sin = lduğuna göre, cs y kaçtır? 4. ct 0 tan70 tan70 ifadesinin eşiti kaçtır? 8. = y lmak üzere, tany = lduğuna göre, ct kaçtır? 87

33 TRİGONOMETRİ.ANTRENMAN 0º, 4º ve 60º nin Trignmetrik Oranları En önemli yerlerden birindesiniz. Bu açıların sin, cs, tan ve ct değerlerini bulmak için dik üçgen çizmek lâzım. 4 º için dik kenar uzunlukları birim lan dik üçgen çizin. Snra da istenen trignmetrik ranları yazın. Ama antrenmanları yaparsanız bir süre snra bunları ezberlediğinizi göreceksiniz. 4 º için çizceniz üçgen şu: 9. sin0 + cs60 sin4 işleminin snucu kaçtır? 4. 4 sin 4 = cs 4 = 0. sin4 + cs4 cs60 işleminin snucu kaçtır? tan4º = ct4º = 0º ve 60º nin trignmetrik ranlarını bulmak için ise dik kenar uzunlukları birim ve birim lan bir dik üçgen çizin. Gerisi klay tan60 + ct0 sin60 işleminin snucu kaçtır? sin 0 = cs60 = sin 60 = cs 0 = tan0 = ct60 = tan60 = ct0 = Bu değerler kadar çk yerde lâzım lacak ki. Knu ilerledikçe bunu daha iyi anlayacaksınız. Onun için bu kısmı adam gibi halletmek lâzım. Bence bu üçgenleri birkaç defa çizin ve üzerine uzunlukları yerleştirerek sin, cs, tan ve ct değerlerini yazarak bu işte pratikleşin. Eğer trigda ilerleyecekseniz dediklerimi dikkate almanız gerek.. sin4.cs0 tan4.ct 60 işleminin snucu kaçtır? 88

34 TRİGONOMETRİ 6.ANTRENMAN. tan 60 + cs60 sin 4. tan4 + cs60 sin0 + ct 4 işleminin snucu kaçtır? işleminin snucu kaçtır?. sin + cs tan sin 4 6 işleminin snucu kaçtır? 6. sin0 + cs60 işleminin snucu kaçtır?. sin60 + tan4 + ct40 tplamı kaça eşittir? 7. sin60 + cs0 tan60 tan4 işleminin snucu kaçtır? 4. sin60 ct 4 + tan 60 tan0 işleminin snucu kaçtır? 8. cs4.sin4 sin0 + cs60 işleminin snucu kaçtır? 89

35 TRİGONOMETRİ 6.ANTRENMAN 9. cs60 + tan4 sin4.cs0 işleminin snucu kaçtır?. sin + cs tan 6 işleminin snucu kaçtır? 4. sin = sin0 + cs60 lduğuna göre, kaçtır? ifadesinin değeri kaçtır?. sin60 + cs0 cs4. sin tan 6 4 ifadesinin değeri kaçtır? işleminin snucu kaçtır?. tan + + tan 4 işleminin snucu kaçtır? 6. sin + ct 4 işleminin snucu kaçtır? 90

36 TRİGONOMETRİ 7.ANTRENMAN Pzitif yönlü açı ve negatif yönlü açı 4. Ölçüsü lan açı kaç radyandır? Açının pzitif veya negatif yönlü lması kun yönüyle belli lur. Saat ibresinin dönme yönündeki açılara negatif yönlü açı, saat ibresinin dönme yönünün tersi yöndeki açılara pzitif yönlü açı denir. A A O α B O + α B. Ölçüsü 0 lan açı kaç radyandır? Açı Ölçü Birimleri Derece Bir çember yayının tamamını gören merkez açı 60º dir. 60 parçasından birine ise derece (º) denir. Radyan Bir çember yayının tamamını gören merkez açı raydandır. Derece ile radyan arasında Derce Radyan = eşitliği 80 yazılabilir. Aslında radyan larak verilen bir açıyı derece cinsinden yazmak çk klay radyan = 80º lduğundan yerine 80º yazarsınız lur biter 6. Ölçüsü radyan lan açı kaç derecedir?. Ölçüsü 90 lan açının ölçüsü kaç radyandır? 7. Ölçüsü radyan lan açı kaç derecedir?. Ölçüsü 0 lan açı kaç radyandır? 8. Ölçüsü 4 radyan lan açı kaç derecedir?. Ölçüsü 44 lan açı kaç radyandır? 9. Ölçüsü 9 radyan lan açı kaç derecedir? 9

37 TRİGONOMETRİ 7.ANTRENMAN Esas Ölçü Trignmetride açılar genellikle 0 ile 60 arasında ifade edilir. Ki çember üzerinde rahatlıkla gösterilebilsin. Birim çember üzerinde bitim nktaları aynı lan açılardan ölçüsü [0º, 60º) veya [0, ) aralığında lan açıya, bu açıların esas ölçüsü denir. Esas ölçü 0º ile60º (veya 0 ile radyan) arasındadır. Esas Ölçü Nasıl Bulunur? Pzitif yönlü açıların esas ölçüsü 60 den büyük bir açının esas ölçüsünü bulurken verilen açının ölçüsünü 60 a bölün. Kalan esas ölçüdür. Eğer açı radyan larak verilmiş ise radyanın katlarını atın ve esas ölçüyü bulun. Radyan larak verilen bir açının esas ölçüsü bulunurken pay, paydanın iki katına bölünür ve kalan paya yazılır, payda ise aynen yazılır.. Ölçüsü 70 lan açının esas ölçüsü kaç derecedir? 4. Ölçüsü 4 radyan lan açının esas ölçüsü kaç radyandır?. Ölçüsü 4 radyan lan açının esas ölçüsü kaç radyandır? Negatif Yönlü Açıların Esas Ölçüsü İlk önce verilen açıyı pzitifmiş gibi düşünerek esas ölçüyü bulun. Snra da bulduğunuz değeri derece ise 60º den, radyan ise radyandan çıkarın. Anladınız mı? 0. Ölçüsü 00 lan açının esas ölçüsü kaç derecedir? 6. Ölçüsü 9 radyan lan açının esas ölçüsü kaç radyandır?. Ölçüsü 800 lan açının esas ölçüsü kaç derecedir? 7. Ölçüsü kaç radyandır? radyan lan açının esas ölçüsü. Ölçüsü 600 lan açının esas ölçüsü kaç derecedir? 8. Ölçüsü kaç radyandır? radyan lan açının esas ölçüsü 9

38 TRİGONOMETRİ 8..ANTRENMAN Trignmetrik Fnksiynlar Bir tane birim çember (Yarıçapı birim ve merkezi rijinde lan çembere birim çember diyruz.) çizip y eksenini sinüs ekseni, eksenini de csinüs ekseni larak alabiliriz. Bunda bir sakınca yk.. a = sin0 b = sin0 c = sin48 lduğuna göre, a, b ve c yi küçükten büyüğe dğru sıralayınız. sin ekseni tan ekseni (0,) (,0) ct α sinα tan α ct ekseni (-,0) O α cs α (,0) cs ekseni. a = cs b = cs7 c = cs6 (0,-) (-,0) lduğuna göre, a, b ve c yi küçükten büyüğe dğru sıralayınız. Birim çember üzerindeki herhangi bir açının birim çemberi kestiği nktanın sin ekseni üzerindeki dik izdüşümü lan nktanın rdinatı açının sin değerini, cs ekseni üzerindeki dik izdüşümü lan nktanın apsisi açının cs değerini, tan eksenini kestiği nktanın rdinatı açının tan değerini, ct eksenini kestiği nktanın apsisi de açının ct değerini verir. Biraz uzun ldu gibi. Ama şekli inceleyerek kursanız daha hş lacak.. a = tan b = tan c = tan4 lduğuna göre, a, b ve c yi küçükten büyüğe dğru sıralayınız. (0, 90 ) aralığındaki bir açının değeri büyüdükçe sinüs ve tanjant değeri artar. Örneğin, sin90 > sin70 > sin >... > sin0 aynı şekilde tan90 > tan6 > tan4 >... > tan0 dir. Aynı aralıkta açı büyüdükçe ksinüs ve ktanjant değeri azalır. Örneğin, cs 0º > cs 0º > cs º > > cs 90º yine ct 0º > ct º > ct 4º > ct 90º dir. 4. a = ct b = ct 0 c = ct lduğuna göre, a, b ve c yi küçükten büyüğe dğru sıralayınız. Ve... Bu aralıktaki bir açının tanjant değeri sinüs değerinden her zaman daha büyüktür. tan0 > sin0, tan0 sin0 > gibi. 9

39 TRİGONOMETRİ 8..ANTRENMAN Sıralama srularında eğer açılar karışık verilirse en güzeli ksinüsleri sinüse, ktanjantları da tanjanta çevirip öyle sıralamak.. = sin 40º y = sin 0º z = cs 0º lduğuna göre,, y ve z yi küçükten büyüğe dğru sıralayınız. Birim çemberden çıkarabileceğiniz bir diğer snuç şu: sin ve cs un en küçük değeri en büyük değeri dir. Yani, sin cs dir. 9. sin csy farkı en az kaçtır? 6. a = sin7 b = cs4 c = cs89 lduğuna göre a, b, c yi küçükten büyüğe dğru sıralayınız. 0. a = 4 + sinα b = + csθ lduğuna göre, a b farkı en çk kaçtır? 7. a = tan b = ct 4 c = ct8 lduğuna göre a, b, c yi küçükten büyüğe dğru sıralayınız.. k = sina + 7csb lduğuna göre, k nın alabileceği en büyük değer kaçtır? 8. a = ct8 b = ct c = tan6 lduğuna göre a, b, c yi küçükten büyüğe dğru sıralayınız.. A = cs + lduğuna göre, A nin değer aralığı nedir? 94

40 TRİGONOMETRİ 9.ANTRENMAN Birim Çemberde Bölgeler ve Trignmetrik Fnksiynların işaretleri Analitik gemetride dik krdinat düzlemindeki bölgeler ve işaretlerin aynısı burada da var. Dik krdinat düzleminde eksenini ksinüs ekseni larak, y eksenini de sinüs ekseni larak alınca bölgelerdeki sin ve cs un işaretini çk klay bir şekilde bulabilirsiniz. Şekilde yazdım hepsini. İnceleyin bakalım Ama bence mantığını anlasanız daha iyi edersiniz. Ezberlemeye gerek yk bence. tan ve ct un bölgelerdeki işareti zaten sin ve cs un bölgedeki işaretleri bölünerek bulunabiliyr.. Aşağıdaki trignmetrik ranların bölgelere göre işaretlerini belirtiniz. a) c) e) cs b) 7 sin 4 d) 9 tan f) cs tan 6 ct 6 9 II. bölge < α < cs - sin + tan - ct - y cs - sin - tan + ct + III. bölge < α < sin cs + sin + tan + ct + cs + sin - tan - ct - I. bölge 0 < α < 0 IV. bölge < α < cs 4. Aşağıdaki trignmetrik ranların işareti nedir? a) c) e) cs b) ct 8 7 sin 4 d) f) sin 0 4 cs 6 tan 0. Aşağıdaki trignmetrik ranların işaretlerini belirtiniz. a) sin9 b) cs79 c) sin7 d) tan0 e) ct7 f) sin86. a = sin cs4 b = tan79 ct9 c = cs tan4 lduğuna göre, a, b, c nin işaretleri sırasıyla ne dir?. Aşağıdaki trignmetrik ranların işaretlerini belirtiniz. a) cs9 b) ct86 c) tan d) cs46 e) sin0 f) sec46 6. a = sin cs4 b = tan89 cs c = ct 80 sin lduğuna göre, a, b, c nin işaretleri sırasıyla nedir? 9

41 TRİGONOMETRİ 9.ANTRENMAN 90 ile 60 derece arasındaki açıların dar açılara dönüştürülmesi y α ve α şeklinde ifade edilen açılar Açılar ekseninin alt tarafında ya da üst tarafında lmasına göre, ( α) veya ( α) şeklinde ifade edilebilirler. y + α α - - α α + - α α + α - α α dar açı lsun diyelim. Eğer bir açı ( α) veya ( α) şeklinde ifade edilmişse ilk önce hangi bölgedeyse verilen trignmetrik fnksiynun bölgedeki işareti belirlenir. Snra sadece α açısının trignmetrik ranı larak yazılır. Trignmetrik fnksiyn aynen muhafaza edilir. En iyisi mi bunu bir örnek üzerinde ifade edeyim. Örnek sru cs( ) ifadesinin eşiti nedir? 0 Çözelim cs( ) i dar açısının trignmetrik ranı larak yazarken ilk önce verilen açının (Yani, in) hangi bölgede lduğuna bakın. Ve cs un bu bölgedeki işaretini yazın. Snra da işaretiyle birlikte cs larak ifade edin. Demek istediğim şu. ikinci bölgede ve cs burada eksi. Dlayısıyla cs( ) = cs tir. α veya α şekilde ifade edilen açılar α veya α şeklinde ifade edilen açıları dar açıların ranı larak ifade ederken ilk larak açının bölgesine göre verilen fnksiynun işaretini yazın. Snra fnksiynu değiştirin. Fnksiyn sin ise cs, tan ise ct a dönüştürün. Örnek sru sinα ( ) ifadesinin eşiti nedir? Çözelim Açı α şeklinde. Bir kere bunda isim değişikliği lacak. Ama ilk önce açının bölgesine bakın. Ve işaretini yazın. Açı üçüncü bölgede. Bu bölgede sinüs negatif. Önce bu eksiyi yazın. Snra da sin yerine csu. Dlayısıyla sinα ( ) csα = dır. Anladınız mı? Anlamış lmanız lâzım. Özetleyeyim. İlk önce açının bölgesine göre verilen fnksiynun işaretini yazıyr. Snra da,,, yi atıyr ve sadece i bırakıyruz. Ama ve de isim değiştirmeyi unutmuyruz Bu şekilde ifade etme zrunluluğu yk elbette. Ama adam ifade etmişse de yapacak bir şey yk 96

42 TRİGONOMETRİ 0.ANTRENMAN. Aşağıdaki trignmetrik ranları e bağlı larak ifade ediniz. a) sin( ) b) cs( + ) c) ct( ) d) tan( ) e) cs( ) f) ct( + ) g) sin( + ) h) tan( + ). Aşağıdaki trignmetrik ranları e bağlı larak ifade ediniz. a) sin c) ct + b) cs d) tan + + İyi de bütün bunlar ne işe yarayacak. Şimdi nu izah edeyim. Ama önce şu sruma cevap verin. cs0 nin değeri kaçtır? Buldunuz mu? İşte bu şekilde 90 den büyük açıların trignmetrik ranını bulurken bunları kullancaz. Göstereyim. cs0 nin kaç lduğunu bulmak istiyruz. Açı ikinci bölgede. Bu bölgede cs negatif. Önce bunu yazın. Snra şunu düşünün bu bölgedeki açıyı nasıl yazıyrduk? 80α şeklinde öyle değil mi? Şimdi de şunu yapın. cs0 = cs tır. ( ) Gerisi klay. 80 yi atın ve cs ( ) = cs60 = yi bulun Sn larak da 90 den büyük açıların trignmetrik ranının bulurken ya 80 ± α ya da 60 α şeklinde yazın ve öyle hesaplayın. Sebebini bş verin. Dediğimi yapın. e) cs + f) ct 4. Aşağıdaki ifadelerin kaça eşit lduklarını yazınız. g) sin + h) tan a) cs0 c) sin b) ct00 d) tan40 Bu arada şunu da nt edin münasip bi yere = larak alınabilir. ( ) ( ) Meselâ, tan( ) tan( ) = tan= tir.. Aşağıdaki trignmetrik ranları e bağlı larak ifade ediniz. a) sin( ) b) cs( ) c) ct( ) d) tan( ). sin40. tan0 işleminin snucu kaçtır? 97

43 TRİGONOMETRİ 0.ANTRENMAN 6. cs00 sin0 tan işleminin snucu kaçtır? 0. sin cs 6 işleminin snucu eşittir? 7. tan sin0 ct ct 4 işleminin snucu kaçtır?. cs( α) + sin α ifadesinin eşiti nedir? 8. tan cs40 sin 00 işleminin snucu kaçtır?. cs + sin( ) ifadesinin en sade biçimi nedir? ct. cs 4 6 işleminin snucu kaçtır?. m = tan0 lduğuna göre, tan90 nin m türünden değeri nedir? 98

44 TRİGONOMETRİ.ANTRENMAN. f() = ct + lduğuna göre, f 4 değeri kaçtır?. cs + = cs( + ) lduğuna göre, tan değeri kaçtır?. cs tan + ( + ) ifadesinin en sade biçimi nedir? 6. 4sin = cs + lduğuna göre, tan değeri kaçtır?. 0 < a < 90 lmak üzere sin a cs a + ifadesinin eşiti nedir? 7. f() = ct + tan( + ) lduğuna göre, f 4 değeri kaçtır? 4. sin + + cs( ) ifadesinin eşiti nedir? 8. sin( ) + cs + 8 = cs ( ) lduğuna göre, tan kaçtır? 99

45 TRİGONOMETRİ.ANTRENMAN 9. sin cs + tan + ( ). = tan48 y = ct4 z = cs09 ifadesinin en sade biçimi nedir? lduğuna göre,, y, z yi büyükten küçüğe dğru sıralayınız. 0. tan0 = ifadesinin tü- tan90 + ct70 lduğuna göre, ct80 ct0 ründen değeri nedir? 4. 0 < < lmak üzere, sin = lduğuna göre, tan + kaçtır? Geniş açıların trignmetrik ranlarını sıralarken ilk önce geniş açıları dar açıya dönüştürmek lâzım.. D C. = sin7 y = cs4 z = cs89 lduğuna göre,, y, z yi küçükten büyüğe dğru sıralayınız. A α. H θ B ABCD bir paralelkenar, AD = birim, AH = birim, m(dah)α=, m(abc)θ= lduğuna göre, tanθ kaçtır?. k = cs77 l = sin84 m = sin89 lduğuna göre k, l, m yi büyükten küçüğe dğru sıralayınız < < 90 lmak üzere tan + ct ifadesinin eşiti nedir? ( ) 00

46 TRİGONOMETRİ.ANTRENMAN. 0 < < 90 lmak üzere, ( + ) ( + ) sin cs cs ( ) ifadesinin eşiti nedir?. Hatırlayın Birim çember üzerindeki bir nktanın apsisi ( i) nktaya karşılık gelen açının cs u, rdinatı da (y si de) sin i idi. R r T t y α α α α pp qq Birim çemberde gösterilen P, Q, R ve T nktalarının krdinatlarını α açısına bağlı larak ifade ediniz.. + y = lmak üzere 4 sin 4 ( + y) = lduğuna göre, sin kaçtır? 6. Şekildeki birim çemberde P ve Q nktaları verilmiştir. y P(,y) Q(a,b) α α. + y = lmak üzere, 0 sin ( + 6y) = lduğuna göre, csy kaçtır? lduğuna göre, P ve Q nktalarının krdinatları tplamı nedir? 0, 90, 80, 70 ve 60 nin trignmetrik değerleri Bu değerleri dik üçgen çizerek gösteremezsiniz. 90 nin katlarının sinüs ve ksinüs değerlerini birim çember yardımıyla klaylıkla bulabilirsiniz. sin 4. + y = lmak üzere, sin 4 ( + y) = lduğuna göre, sin kaçtır? (-,0) 80 (0,) 90 cs0 (,0) 0 sin0 cs 70 (0,-) Birim çember üzerindeki nktaların apsisi ( i) nktaya karşılık gelen açının ksinüsü, rdinatı da (y si de) sinüsüdür. 0

47 TRİGONOMETRİ.ANTRENMAN 7. sin90.cs0 cs80 işleminin snucu kaçtır?. sin80 + cs00 işleminin snucu kaçtır? 8. sin70 cs0 cs80 işleminin snucu kaçtır?. sin4 cs4 sin90 + cs0 işleminin snucu kaçtır? 9. tan0 + ct 4 sin90 4. sin cs işleminin snucu kaçtır? ifadesinin değeri kaçtır? 0. sin70 + cs80 ct90 + cs60 işleminin snucu kaçtır?. f() =sin cs4 lduğuna göre, f ( ) kaçtır?. tan 0 + cs40 sin70 işleminin snucu kaçtır? 6. f + = cs + sin lduğuna göre, f ( ) kaçtır? 0

48 TRİGONOMETRİ.ANTRENMAN Trignmetrik Fnksiynların Periydu Ayrıntıya girmeden bir iki şey söyleyip geçsek çk da bir şey kaybetmezsiniz Trignmetrik fnksiynlar periydiktirler. Yani, grafiklerini çizerseniz belli aralıklarda sürekli aynı biçimde devam ettiklerini görürsünüz.. f() = + tan fnksiynunun periydu kaçtır? Periytla ilgili şunları bilin yeter n f() = sin (a + b) n f() = cs (a + b) n f() = tan (a + b) n f() = ct (a + b) fnksiynlarının periydu T = dır. a n f() = sin (a + b) n f() = cs (a + b) fnksiynlarının periydu ise T = dır. a 4. f() = cs + 4 fnksiynunun periydu m kaçtır? lduğuna göre, m Yani, sin ve cs un tek kuvvetlerinde periyt a, geri kalanların hepsinde a dır.. Aşağıdaki fnksiynların periytlarını bulunuz. a) f() = sin( + ) b) f() = sin ( 0 ) c) f ( ) = cs ( 0 + ) d) f() = + cs 4 ( + ). f() = sin + 4 fnksiynunun periydu kaçtır?. Aşağıdaki fnksiynların periytlarını bulunuz. a) f() = ct( 90 ) b) f ( ) = tan ( ) 6. f() sin = + fnksiynunun periydu kaçtır? c) d) f() sin = + f() ct 0 = + 0

49 TRİGONOMETRİ.ANTRENMAN Ters Trignmetrik Fnksiynlar Biraz değişik gelebilir. Ama bunu ilk icat eden! amcalar sizi hiç düşünememişler ve trignmetrik fnksiynların tersini arcf() biçiminde ifade etmişler. Siz de sebebini srmazsınız artık. 7. Aşağıdaki ifadelerin eşitlerini bulunuz. a) arcsin b) arccs c) arctan d) arc ct Meselâ y = sin fnksiynunun tersi arcsin şeklinde ifade edilir. Yani, f() = sin ise f () = arcsin tir. Anladınız mı bu muhabbeti? Anlamadınız Neyse Ters trignmetrik fnksiynlarda en önemli şeylerden biri tanım ve değer kümeleridir. Aklınızda şöyle kalsın. arcsin ve arctan ın snucu ile arasında, arccs ve arcct un snucu ise 0 ile arasında çıkar. 8. arcsin arcsin0 + işleminin snucu kaçtır? Bu söylediğim şeyde ufak bir yanlışlık var. Ama siz bş verin. Zaten fark etmeyeceksiniz bile Dediğim gibi öğrenin. 9. arccs + arctan işleminin snucu kaçtır? Peki, gelelim asıl laya. arcsin kaça eşittir? srusunun cevabı ile si- nüsü lan açı kaç dercedir? srusunun cevabı aynı gibi. Bunu da şöyle buluyrsunuz. arcsin = ise sin = dir. sinüs değeri lan açı da 6 lduğundan cevap 6 dır. Yani, arcsin = dır. Yine aynı şekilde, 6 arccs = ise cs = dir. arctan 4 = ise tan = 4 tür. Aslında hep şunu yapsanız da lur. Ters trignmetrik ifadeye deyin ve üstte yaptığım gibi devam edin. Hepsi böyle çözülüyr desem yeridir Şuna da dikkat edin arcsin = ve 6 arctan = dır. 6 Yani arcsin deki ve arctan daki eksi başa geliyr gibi düşünebilirsiniz. 0. arcsin arctan + işleminin snucu kaçtır? 04

50 TRİGONOMETRİ 4.ANTRENMAN. arccs + arc ct( ) işleminin snucu kaçtır? Hatırlayın ters trignmetrik fnksiyna hep deyip çözüyrduk. Bir örnek yapayım. Örnek Sru tan arccs ifadesinin değeri kaçtır?. sin arcsin + cs arccs işleminin snucu kaçtır? Çözelim arc lı ifadenin tamamına deyin. Yani, arccs = lsun. Bu durumda şunları hemen görmeniz lâzım. arccs = ise cs = tür. Ve srulan şey tan tir. Bunu da güzel bir dik üçgen çizip bulursunuz artık kaç çıkıyr? tan = değil mi?. sin arccs ifadesinin değeri kaçtır?. sin arccs sin( arc ct) işleminin snucu kaçtır? 6. tan arcsin 4 ifadesinin değeri kaçtır? 4. tan arccs cs arc ct 7. cs arcsin işleminin snucu kaçtır? ifadesinin değeri kaçtır? 0

51 TRİGONOMETRİ 4.ANTRENMAN 8. cs arctan ifadesinin değeri kaçtır?. 0 < a < 90 lmak üzere, ct arctan = tana lduğuna göre, sina kaçtır? 9. sin arc ct + ifadesinin değeri kaçtır?. arccs = lduğuna göre kaçtır? 0. ct arcsin 4. arcsin 4 + = lduğuna göre kaçtır? ifadesinin değeri kaçtır?. sin arctan 4 + ifadesinin değeri kaçtır?. f() = arcsin + fnksiynunun en geniş tanım aralığı nedir? 06

52 TRİGONOMETRİ.ANTRENMAN. f() = arccs 4 fnksiynunun en geniş tanım aralığı nedir?. [,6 ] da tanımlı f fnksiynu, f() = arccs 4 ne- lduğuna göre, ters fnksiyn lan dir? f () lduğuna göre, ters fnksiyn lan dir?. f() = arcsin fnksiynu in kaç tam sayı değeri için tanımlıdır? 6. 0, de tanımlı f fnksiynu 4 f() = cs4 + lduğuna göre, f () ters fnksiynu nedir? Hatırlayın Bir fnksiynun tersini bulurken ilk iş i yalnız bırakmaktı.. [ 8, ] de tanımlı f fnksiynu, f() = arcsin + 7. f() = sin( ) lduğuna göre f () fnksiynu nedir? 4. [ 0,4 ] te tanımlı f fnksiynu f() = arc cs 8. f() = sin lduğuna göre f () fnksiynu nedir? f () ne- f () ne- lduğuna göre, ters fnksiyn lan dir? 07

53 TRİGONOMETRİ.ANTRENMAN Üçgende Trignmetrik bağıntılar. A Sinüs Teremi c 4 Bir ABC üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı R ve kenar uzunlukları a, b ve c lmak üzere, a b c R sina sinb sinc c A O b R B 60 a C Şekilde verilenlere göre ABC üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı kaçtır? Bu eşitliğin ispatı klay. Ama krkmayın ispata girmiycem B a C 9. Sinüs teremi denen şey bu. Yani, kenar uzunluklarıyla karşılarındaki açıların sinüsleri ranı eşit ve R dir. Göreceksiniz. Çk fazla sru tipi yk zaten. Onun için sıkıntıya gerek yk B A 7 60 Şekilde verilenlere göre, kaç br dir? C. Şekilde A, C, D nktaları dğrusal lmak üzere ABC üçgeni verilmiştir. AB = cm, BC = 4 cm m (C A B) = θ m ( BCDθ ) = 90 lduğuna göre, tanθ kaçtır? C D 90 -θ 4 θ A B A 0. Bir ABC üçgeninde, m(bâc) = 60º, BC = 4 cm lduğuna göre, ABC üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı kaç cm dir?. B c O 0 R 4 C Şekilde verilenlere göre ABC üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı kaçtır? 08

54 TRİGONOMETRİ 6.ANTRENMAN Üçgenin Alanı A. 6 D C E c b A 8 B a F B a C Kenar uzunlukları a, b, c ve iç açıları, A, B, C lan ABC üçgeninin alanı Şekilde verilen ABC ve ADF üçgenlerinin alanları eşit lduğuna göre a kaçtır? a.b.sinc b.c.sina a.c.sinb A(ABC) Yani, üçgenin alanı, iki kenar ile bu kenarlar arasında kalan açının sinüsünün çarpımının yarısına eşit. 4 A D 4 C E B C Şekilde verilenlere göre ABC üçgeninin alanı kaçtır? A 9 B F Şekilde, A(CDE) = A(EBF) lduğuna göre, kaç birimdir? A. Şekilde AB = br AD = EC = 4 br AE = a br a E 4 4 D. A 4 60 y C B D C B ABC üçgeninin alanı AED üçgeninin alanının katı lduğuna göre, a kaçtır? Şekildeki ABC üçgeninde, BD = DC m(bâd) = 4º, m(dâc)= 60º, AB =, AC = y lduğuna göre, y ranı kaçtır? 09

55 TRİGONOMETRİ 6.ANTRENMAN 6. Şekilde BD = DC AB = cm A 60 α Ksinüs Teremi A AC = cm m ( BAD ) = 60 B D C lduğuna göre, m(dac) = α kaç derecedir? c b B a C Bir ABC üçgeninde kenar uzunlukları a, b, c ve iç açıları A, B, C lmak üzere a b c bccsa b a c accsb c a b abcsc 7. Şekilde ABC ikizkenar üçgen AB = AC BF = CD BE = EC A C E B D F 9. Şekilde, AB = 4 cm BC = cm AC = 6 cm m(abc) = A 4 B 6 C lduğuna göre, A(DCE) A(EBF) ranı kaçtır? lduğuna göre, cs kaçtır? 8. A α 0. B A 4 C B α Şekilde verilenlere göre, csα nın değeri kaçtır? (Bu arada sinα = sinα.csα dır) C Şekilde verilen uzunluklara göre, kaçtır? cs( ABC ) 0

56 TRİGONOMETRİ 7.ANTRENMAN. Şekilde, AB = 6 cm AC = cm BC = cm m(bac) = θ B csθ= lduğuna göre, kaçtır? 4 A 6 θ C 4. A 4 D B E 4 C Şekilde verilenlere göre, kaçtır?. E 6 D B 4 A 4 C Şekilde verilenlere göre, kaçtır?. C. A 7 D E 4 B Şekilde verilenlere göre kaçtır?. A 4 D 4 B C Şekilde verilenlere göre, kaçtır? 6. D 6 C 4 θ A 9 B Şekilde verilen ABCD yamuğunda m(abc) = θ lduğuna göre, csθ kaçtır?

57 TRİGONOMETRİ 7.ANTRENMAN 7. D 6 C α 6 0. Bir ABC üçgeninde, b = a + c ac lduğuna göre m(b) kaç derecedir? A 0 B Şekildeki ABCD yamuğunda csα= 9 lduğuna göre, 6 kaçtır? Kirişler dörtgeninde karşılıklı iki açının tplamı 80 idi 8. B 6 θ C A 4 7 D. Kenar uzunlukları 4 cm, 6 cm ve 8 cm lan bir üçgende ölçüsü en büyük lan açı α lduğuna göre csα kaçtır? ABCD kirişler dörtgeni lduğuna göre, csθ kaçtır? 9. Bir ABC üçgeninde, a = b + c + bc lduğuna göre m(a) kaç derecedir?. Kenar uzunlukları cm, cm ve cm, lan ikizkenar üçgenin tepe açısı α lduğuna göre, csα kaçtır?

58 TRİGONOMETRİ 8.ANTRENMAN Tplam Fark Frmülleri Bunları iyi öğrenin. Çk önemli. Çünkü diğer frmülcüklerin hepsi bunlardan çıkarılmış. Onun için söyleyeceğim her şeyin sizin için önemli lduğunu düşünüyrum. Ona göre. Bazen bir açının trignmetrik ranını direkt değil de iki açının tplamı veya farkı şeklinde yazarak hesaplamak gerekebilir. Dlayısıyla tplam ve fark frmülleri iki açının tplamı veya farkı larak yazılabilen açıların trignmetrik değerlerini hesaplamak için kullanılıyr. Birazdan göreceksiniz İşte frmüller İspatına girmiyrum. Merak ederseniz mail adresim var. sin( + y) = sin cs y + cs siny sin( y) = sin cs y cs siny = 4 0 larak yazılabilir. Dlayısıyla da sin = sin(4 0 ) lur. Ki bu da sin( y) ye benzedi. sin( y) = sin.csy cs.siny idi. Yani, sin(4 0 ) = sin4 cs0 cs4 sin0 dir. Artık bunları biliyrsunuzdur. Snucu 6 larak bulmuş lmanız gerekiyr Buldunuz di 4 mi? Yalnız burada srular daha çk gemetrik şekiller üzerindeki açının tan ı veya cs u kaçtır? şeklinde sruluyr. Bu tür srularda istenen açıyı ya iki açının tplamı ya da farkı şeklinde yazmaya çalışın. Ne demek istediğimi şekil üzerinde göstereyim. Meselâ diyelim ki aşağıdaki gibi bir üçgen de tan i srmuş lsunlar. C a b cs( + y) = cscs y sin siny A D B cs( y) = cs cs y + sin siny tan + tany tan( + y) = tantany tan tany tan( y) = + tantany Şimdi bş bir kâğıt alın ve bunları ezberleyene kadar yazın çizin. Ezberlediğinizden emin lduktan snra antrenmanlara geçebilirsiniz. Eğer bunları ezbere bilemezseniz önünüze gelen sruda ne yapacağınızı bilseniz bile snuca ulaşamayacaksınız. Onun için lütfen adam gibi halledin bunları Zaten tplam ve fark frmüllerini çk iyi bilirseniz, daha snra vereceğim yarım açı, dönüşüm ve ters dönüşüm frmüllerini daha klay öğrenebilirsiniz. Örnek üzerinde göstereyim. Örnek Sru sinº nin değeri kaçtır? Çözüm Bu trignmetrik ranlarını daha önceden bildiğimiz bir açı değil. Değil ama bulabileceğimiz bir açı. Şöyle ki Bu gibi srularda i iki açının farkı biçiminde yazın. Yani = b a lduğunu görün. a ve b açıları dik üçgenlerin açıları lduğu için bunlarda sıkıntı lmaz. tan = tan(b a) = tanb tana deyip hesaplarsınız artık. + tanb.tana Unutmadan söyleyeyim. ct( + y) ve ct( y) yi vermedim. Çünkü biliyrsunuz ki ct( + y) = idi. Onun için vermedim. Zaten yeteri kadar frmül var burada. Bir de nları ver- tan( + y) seydim A Siz de yandaki şekildeki açısını iki açının tplamı C larak yazın ve tan i bulun bakalım. B A Şöyle lması en mantıklısı a öyle değil mi? b = a + b C Meselâ tan = tan(a + b) B dir. tana ve tanb yi de bulursunuz artık.