Üçüncü Kitapta Neler Var?

Transkript

1 Üçüncü Kitapta Neler Var?. Kümeler 7 0. Kartezyen çarpım - Bağıntı 4. Fnksiynlar İşlem Mdüler Aritmetik Plinmlar İkinci Dereceden Denklemler 6 8. Eşitsizlikler Parabl Trignmetri Karmaşık Sayılar Lgaritma Permütasyn Kmbinasyn Binm Açılımı Olasılık Matrisler ve Determinant Cevaplar 97 46

2 ANTRENMAN EŞİTSİZLİKLER 4. ( ) ANTRENMAN eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayı kaçtır? Eşitsizlik eşit lmayan şey demek. Birinci dereceden bir eşitsizliği çözmek için öyle aman aman bir bilgiye gerek yk aslında. Eşitsizliklerle ilgili temel özellikleri bilseniz yeter de artar bilem. Meselâ, 6 > 0 biçimindeki bir eşitsizliği çözerken sıkıntıyaşar mısınız? Veya + 8 biçimindeki bir eşitsizliği? Eğer bunlarda prbleminiz varsa bence işi biraz daha temelden alıp antrenmanlarla matematik. ve. kitaplarından eşitsizlik layını tekrar ele almanızda azim fayda var. Bu sayfadaki antrenmanları yanlışsız çözebiliyrsanız bunlarda prbleminiz yk demektir.. > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayı kaçtır? + < 4 4 eşitsizliğini sağlayan pzitif tam sayıların tplamı kaçtır?. 4 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? Hatırlayın Bir eşitsizliğin her iki yanı negatif bir sayı ile çarpılır veya bölünürse eşitsizliğin yönü değişiyrdu > 6 4 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayı kaçtır? 7

3 ANTRENMAN Fakat eşitsizlik kareli mi kareli şeyler içeriyrsa işin kuralları değişiyr. Bu tip eşitsizliklerde daha önceki yöntemler işe yaramıyr. Onun için yeni şeyler söylemek lâzım. Zaten bu faslı da bunun için açtım. + 8 Meselâ < 0 gibi ya da 0 gibi daha zrmuş gibi duran (Ama aslında öyle lmayan) bir eşitsizliği nasıl çözeceksiniz? Var mı bi fikriniz? Şimdiki layımız bu. İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlikler Eşitsizlikleri Yk şöyle lursa şöyle çözeceksin. Yk şöyle ise böyle gibi dallandırmadan esas layıanlatayım. Hem de test tekniğine uygun larak. Bu işin pratiği şu 4 > 0 veya ( 4 )( + 6) 0 gibi bir + eşitsizliği çözerken yapmanız gerekenler çk zr değil. Daha önceden bildiğiniz şeyler. Ama söyleyeceklerimi sırayla yapmanızda fayda var. İlk önce her bir çarpanın köklerini bulun ve sayı dğrusuna yerleştirin. (Tabl yapın yani.) Tabii ki en büyük kökü en sağa yazacaksınız dğal larak. İkinci larak Her bir çarpanın en büyük dereceli terimlerinin işaretlerini çarpın (bölün) ve bulduğunuz işareti tabldaki en büyük kökün sağına yazın bi zahmet. Üçüncü larak ise Tablda sağdan sla dğru gelirken köklere rastladıkça işareti değiştirin. Bundan snrası çözüm kümesini yazmaya kalıyr. İyi de çözüm kümesi ne? Bunu nasıl bulacağınızı biliyr musunuz? Söyleyeyim. Eğer çözmeye çalıştığınız eşitsizlik < 0 veya 0 biçiminde ise tablda lan aralıklar, > 0 veya 0 biçiminde ise + lan aralıklar aradığınız çözüm kümesidir. Artık çözüm kümesini yazarsınız. Bu anlattıklarımı bir sru üzerinde izah edeyim mi? Örnek Sru < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?. ANTRENMAN Çözelim Gerçi bunda sıkıntı yk. Ama siz siz lun ve bir eşitsizliği çözerken ilk önce sağ tarafın sıfır lup lmadığına bakın. Sebebini snra söylicem. Diyelim ki sağ taraf sıfır. (Ki bunda öyle zaten.) Şimdi yapmanız gereken sl taraftaki her bir çarpanı sıfıra eşitleyip köklerini bulmak. Yani, = 0 dan = 4 ve = ile = 0 dan = yi buldunuz mu? Kökleri bulduktan snra bu kökleri sayı dğrusuna sıralayın. Yani, yerleştirin. (Aşağıdaki gibi bir tabl yapın. Köklerden aşağı bir çizgi çizin ve rtasına bir yuvarlak yapın. ) - 4 Sıra tablda nerelere artı, nerelere eksi yazacağınıza geldi. En sağa (4 ün sağına) yazacağınız işareti en büyük dereceli terimlerin işaretini bölerek bulun En sağa = + yazmanız lâzım En sağa yazacağınız işareti bulduktan snra sla dğru her kökte işareti değiştirerek gelin. Şimdi işaretli tablnun sn hali şöyle lması lâzım İşaret tablsunu hazırladıktan snra artık eşitsizliğin çözüm kümesini yazabilirsiniz. Eşitsizlik, < 0 şeklinde lduğu için tablda eksi lan aralıklar çözüm aralıklarıdır. Bunun anlamı tablda eksi lan aralıklardaki her değeri için bu eşitsizlik dğrudur. Dlayısıyla bu eşitsizliğin çözüm kümesi (, ) (, 4) tür. Anlatırken uzun gibi. Ama layın özeti şu: Kökleri bulup sayı dğrusuna sıralayın. Snra da en sağa yazacağınız işaret layını halledip köklerde işareti değiştirin ve çözüm kümesini bulun 8

4 EŞİTSİZLİKLER. ( + )( ) < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?. +.ANTRENMAN > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.. ( + 4)( ) < 0 eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayısı kaçtır? > 0 7 eşitsizliği in kaç tam sayı değeri için dğrudur?. ( )( + ) < 0 eşitsizliğini sağlayan en büyük tamsayısı kaçtır? 7. 6 > 0 4 eşitsizliğini sağlayan tam sayıların tplamı kaçtır? 4. + < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? 8. ( + )( )( + ) < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? 9

5 EŞİTSİZLİKLER 9. ( )( ) 4 + > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?. ( 9)( + 6) + < 0.ANTRENMAN eşitsizliğini sağlayan en büyük negatif tamsayısı kaçtır? 0. ( )( ) + 4 < 0 eşitsizliğini sağlayan en büyük tamsayısı kaçtır? 4. 9 > 0 + eşitsizliğini sağlayan pzitif tam sayıları tplamı kaçtır?. ( )( ) 7 > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?. 4 > 0 eşitsizliğini sağlayan en büyük negatif tamsayı ile en küçük pzitif tamsayının çarpımı kaçtır?. ( )( + ) < 0 eşitsizliğini sağlayan en küçük tamsayısı kaçtır? < 0 6 eşitsizliğini sağlayan en büyük iki tamsayı değerlerinin tplamı kaçtır?. 40

6 EŞİTSİZLİKLER. ANTRENMAN. > 0 eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayısı kaçtır? > 0 eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayısı ile en büyük tam sayısının tplamı kaçtır?. > 0 4 eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayısı kaçtır? 6. < eşitsizliğini sağlayan tam sayıların tplamı kaçtır?. + 6 < 0 8 eşitsizliği in kaç tam sayı değeri için dğrudur? > 0 eşitsizliğinin en geniş çözüm aralığı (a,b) lduğuna göre, a.b çapımı kaçtır? 4. ( + )( )( + 4) > 0 eşitsizliğini sağlayan dğal sayısı kaçtır? 8. < eşitsizliğinin en geniş çözüm aralığı (a, b) lduğuna göre, a + b tplamı kaçtır? 4

7 EŞİTSİZLİKLER. ANTRENMAN 9. ( + 0)( + ) < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?. ( + 0) ( + )( 6) > 0 eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayısı kaçtır? 0. ( ) 6 > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? > 0 eşitsizliğini sağlayan pzitif tam sayıların tplamı kaçtır?. ( )( 4) 6 > 0 eşitsizliğini sağlayan pzitif tam sayıların tplamı kaçtır?. + m + 4 = 0 denkleminin kökleri ve dir. m nin hangi değerleri için > 0 dır?. ( 4). ( ) < 0 eşitsizliğini sağlayan tam sayılarının tplamı kaçtır? 6. (m ) + (m 9) = 0 denkleminin kökleri ve dir. m nin hangi değerleri için + < 0dır? 4

8 EŞİTSİZLİKLER Eşitsizlikleri çözerken içler dışlar çarpımı yapmayın. Ve sağ tarafı hep sıfır yapın. Meselâ + 6 < gibi bir eşitsizliği çözerken yapmanız gereken ilk iş + 6 < 0dan + 8 < 0 eşitsizliğini elde edip çözüme öyle başlamak lmalı. İçler dışlar çarpımı yapınca veya sağdaki i sla almadan işlem yapınca yanlış çıkıyr da Siz en iyisi mi lâf dinleyin. Ve tecrübeye güvenin 4. ANTRENMAN 4. + < eşitsizliğini sağlayan tamsayıları kaç tanedir?. < + eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?. 4 < eşitsizliğini sağlayan tamsayıları tplamı kaçtır?. Hangi sayıların karesiyle katının tplamı ten küçüktür? 6. > + 4 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?. ( 4) > eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? 7. < + eşitsizliği in kaç pzitif tamsayı değeri için dğrudur? 4

9 EŞİTSİZLİKLER 8. < + eşitsizliğini sağlayan pzitif tamsayıların tplamı kaçtır?. 4. ANTRENMAN + > + eşitsizliğini sağlayan en küçük tamsayı değeri kaçtır? 9. < + eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?. < 8 + eşitsizliğini sağlayan pzitif tamsayıların tplamı kaçtır? 0. > + eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? 4 m (m ) + m = 0 denkleminin 4. ( ) kökleri ve dir. Buna göre, m nin hangi değerleri için < dir? Eşitsizliklerde sadeleştirme yaparsanız yamulabilirsiniz. <. ( ) ( ) eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?. (m + 6) + m 4 = 0denkleminin kökleri ve dir. + < lduğuna göre, m nin alabileceği tamsayı değerler tplamı kaçtır? 44

10 EŞİTSİZLİKLER Peki, eşitsizlik < 0 veya > 0 şeklinde değil de 0 veya 0 şeklinde lursa ne değişir? Aslında çözüm şekli larak hiçbir şey değişmez. Sadece çözüm kümesini yazarken küçük bir değişiklik var. O kadar. 0 ve 0 biçimindeki eşitsizliklerde payı sıfır yapan değerleri çözüm kümesine dâhil edin. Paydanınkileri ise etmeyin. Örnek üzerinde göstereyim. Örnek Sru 4 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? Çözelim Çözüm ylu yine aynı. İlk önce pay ve paydayı sıfır yapan değerlerini bulun. 4 = 0 dan = 4 ve = ve = 0 dan = yi bulup sayı dğrusuna yerleştirin. Köklerden aşağı çizdiğiniz çizgilerin rtasına yaptığınız yuvarlaklar vardı ya? İşte bunlardan paydanın köklerindekilerin içi bş diğerleri dlu lacak. Yani şöyle: - 4. ANTRENMAN İsterseniz tekrar söyleyeyim. 0 veya 0 şeklindeki eşitsizlikleri çözerken farklı bir şey yapmanıza gerek yk. İlk çözdüğünüz eşitsizlikler gibi çözün. Yani, kökleri bulun. Sayı dğrusunda sıralayın. İşaret layını halledin. Halledin fakat çözüm kümesini yazarken dikkatli lun. Yanlış yazarsanız anlattığım bunca şeyin bi kıymet-i harbiyesi kalmıyr da Unutmayın ki paydanın kökleri hiçbir zaman çözüme dâhil edilmez. (yani, paydanın köklerinde kapalı parantez lmaz.). 8 0 eşitsizliğini sağlayan tam sayılarının tplamı kaçtır?. 6 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? Sıra işaret layına geldi. En sağa +... = lduğundan eksi yazıp sla dğru her kökte işareti de-.. ğiştirerek gelin Üstteki gibi bir tabl yapmış lmanız lâzım. Artık çözüm kümesini yazabilirsiniz. Bir kere eşitsizlik 0 şeklinde lduğundan tablda + (artı) lan yerleri alacaksınız. Bir şey demiyrum. Alın. Ama alırken içi dlu lan kökleri çözüm kümesine dâhil etmeyi sakın unutmayın. Buradaki en önemli lay bu aslında. Dlayısıyla, bu eşitsizliğin çözüm aralığını < veya < 4 larak ifade etmeniz lâzım. (ki dğru lsun.) Tabii bunu (, ] (, 4] şeklinde de ifade edebilirsiniz. Keyfiniz bilir. 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? 4

11 EŞİTSİZLİKLER. ANTRENMAN eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? 8. ( ) eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayısı kaçtır? ( ) 8 0 eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayısı kaçtır? eşitsizliğini sağlayan tam sayıları tplamı kaçtır? eşitsizliğini sağlayan en küçük iki tam sayısının tplamı kaçtır? eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? 7. + ( 8)( + ) 0 eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayısı kaçtır?. 0 eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayısı kaçtır? 46

12 EŞİTSİZLİKLER 6. ANTRENMAN. 0 eşitsizliğini sağlayan en büyük negatif tamsayısı kaçtır? Bazı çarpanların kökü lmayabilir. Olmayan kökü tablda gösteremezsiniz elbette Ama en sağa yazacağınız işareti belirlerken bu çarpanı da hesaba katarsınız tabii ki.. + < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?. 8 ( + )( ) 0 eşitsizliğini sağlayan en büyük tamsayısı kaçtır? 6. ( )( ) eşitsizliğini sağlayan tam sayıların tplamı kaçtır? ( + )( ) + 0 eşitsizliğini sağlayan en küçük tamsayısı ile en büyük tamsayısının tplamı kaçtır? eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? ( ) + 0 eşitsizliğini sağlayan kaç farklı negatif tamsayısı vardır? eşitsizliğini sağlayan tam sayıların tplamı kaçtır? 47

13 EŞİTSİZLİKLER Size bahsetmediğim bir şey daha var. Tek katlı kök - çift katlı kök meselesi. Özellikle çift katlı kök layı çk önemli. Çünkü tablda işaretler yazılırken çift katlı köklerde işaret değiştirilmez. Bunu da izah edeyim. Çift katlı kök - tek katlı kök meselesi Eşitsizlikte aynı kökten çift sayıda lan köklere çift katlı kök, tek sayıda lanlara da tek katlı kök denir. Bu ne demek? mi? Meselâ, ( ) = 0 eşitliğinde = çift katlı köktür.(burada iki tane vardır. Göremediniz di mi? ) Şöyle aslında. ( ) = ( )( ) = 0 larak yazıp her çarpanı ayrı ayrı sıfıra eşitleyince iki tane (yani, çift sayıda) bulursunuz. Öyle değil mi? 4 Yine aynı şekilde ( + ) = 0 eşitliğinde = çift katlı köktür. (Bunda da dört tane (çift sayıda) vardır.) Ve ( 4) = 0 denkleminin kökü 4 tür. (Burada ise tam üç tane (tek sayıda) 4 vardır. Çift katlı kökleri tablda gösterirken iki çizgi çizilir. (Ki çift katlı kök lduğu belli lsun.) Aslında parantez üssü çift lan yerde çift katlı, parantez üssü tek lan yerde de tek katlı kök var diyebilirsiniz. Ama aynı kökten başka yerde lmaması lâzım. Anladınız mı?? Anladıysanız güzel de. Neyse Şuna da bakın bi. İşe yarayabilir. Hem de şimdiye kadar anlattığım çğu şeyin özeti var bunda. 6. ANTRENMAN İkinci larak da eşitlik durumu varsa payın köklerinde yuvarlakların içi dlu. Bir de çözüm kümesini yazarken şunları da dikkate alın. Yksa Tablda (yandaki gibi) içi dlu larak gösterilen kökleri çözüm kümesine dâhil edin. Tablda (yandaki gibi) içi bş larak gösterilen kökleri ise çözüm kümesine dâhil etmeyin. Çünkü dâhil ettiğiniz de yamulmuş lacaksınız muhtemelen. Zaten eşitsizlikte eşitlik durumu ( veya durumu) söz knusu değilse hiçbir kökü çözüm kümesine dâhil etmezsiniz. Yani, kapalıparantez yapmazsınız. Paydanın köklerini çözüm kümesine hiçbir zaman dâhil etmeyin. Niye ki sahi? Neyse Epeydir eveleyip geveleyerek anlatmaya çalıştığım şeyin özeti şu aslında Eşitsizliğin tablsunu dğru yapın, Tek katlı-çift katlı kökün ne lduğunu bilin, Hangi köklerin çözüme dâhil lup lmadığına dikkat edin, Hangi aralıkların çözüm lduğunu yazabilin. Yeter. İyi mi? Sn kez söyleyeyim. Snra unutur munutursunuz Çift katlı köklerde işaret değiştirmeyeceksiniz. 9. ( ) ( ) + < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? biçimindeki eşitsizliklerde payın kökleri biçimindeki eşitsizliklerde kökler çift katlı kök tek katlı kök çift katlı kök tek katlı kök + < 0 0. ( ) ( ) eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir Üstteki şekilcikte şunları görün Bir kere çift katlı köklerde çift çizgi var. 48

14 EŞİTSİZLİKLER 7. ANTRENMAN Bir de tek katlı çift katlı kök meselesinde üssün çk büyük lmasının bir önemi yk. Önemli lan üssün tek mi çift mi lduğu. Aslında parantez üssü çift ise, tek ise almanızda hiçbir sakınca yk. 6 Yani, ( ) ( ) ( ) ( ) eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? < 0 eşitsizliğinin çö- zümü ile ( )( ) < 0 eşitsizliğinin çözümü aynıdır. Hiç bir farkı yktur. 0 + > 0. ( )( ) eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? ( ) ( ) eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? + > 0. ( ) ( ) eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? 6. ( + ) ( 4) 0 eşitsizliğini in kaç tam sayı değeri için dğrudur? < eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? ( )( ) eşitsizliğini sağlayan tam sayıların tplamı kaçtır? 49

15 EŞİTSİZLİKLER 7. ANTRENMAN 6 < 0 8. ( )( ) eşitsizliğini sağlayan tam sayıların tplamı kaçtır?. Eşitsizlikte mutlak değerli çarpan varsa bunun köklerini çift katlı kök larak almanızda hiçbir sakınca yk. < 0 6 eşitsizliğini sağlayan pzitif tam sayıların tplamı kaçtır? 9. ( + 4) ( ) < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? 0. ( + ) ( ) eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? 4. ( ) eşitsizliğini sağlayan tam sayıların tplamı kaçtır?. ( + ) ( + ) 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?. ( ) + + > 0 eşitsizliğini sağlayan tam sayıların tplamı kaçtır? 0

16 EŞİTSİZLİKLER Eşitsizlik Sistemleri Sistem dediysem öyle karmaşık şeyler zannetmeyin. Çk kasmaya gerek yk. Genellikle iki eşitsizlik lur bunlarda. Üç lduğu da lur belki. Ama çk nadir > 8. ANTRENMAN eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi nedir? Daha önce çözdüğünüz eşitsizliklerden farklı bir şey yk burada. Şunu bilin yeter. Bir eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulurken her bir eşitsizliğin çözüm kümesi ayrı ayrı bulunur. Snra da bu çözüm kümelerin kesişimleri alınır. Buradaki tek farklılık bu çözüm kümelerinin kesişimini bulma layı. Örnek Sru ( ) < 0 > 0 + eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi nedir?. m + > 0 m m > 0 eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi nedir? Çözelim. İki eşitsizliği de sağlayan değerleri bulcaz. Ama bunun için ilk önce her birini tek tek ele alıp aynı tablda göstermek lâzım ki kesişimleri daha klay görülsün. ( ) < 0 in çözüm kümesini bulun. (0, ) bulmuş lmanız lâzım. Şimdi de > 0 ın çözüm kümesini bulun. + Bunun da (, 0) (, ) bulmuş lmanız lâzım. Ve bunları aynı tablda gösterin. ( - ) > + 4 < 0 eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi nedir? çözüm aralığı Bundan snra ise ikisinin kesişimini (Yani, ikisini de sağlayan değerleri) bulun. İkisini de sağlayan değerler (, ) aralığı lduğundan bu eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi (, ) açık aralığıdır. Anlaşıldı mı şimdi?

17 EŞİTSİZLİKLER 4. + > 0 4 > 0 eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi nedir? 7. 0 < > 0 8. ANTRENMAN eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi (a, b) açık aralığı lduğuna göre, a + b tplamı kaçtır?. 0 0 ( ) > 0 eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi nedir? 8. > eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi (a, b] yarı açık aralığı lduğuna göre, a.b çarpımı kaçtır? 6. 9 > > 0 eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi nedir? > 0 ( )( ) < 0 eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi nedir?

18 EŞİTSİZLİKLER 9. ANTRENMAN. > < 6 eşitsizlik sistemini sağlayan en küçük tamsayısı kaçtır? 4. < eşitsizlik sistemini sağlayan tam sayılarının tplamı kaçtır?. 6 < < 0 ( )( ) eşitsizlik sistemini sağlayan tamsayısı kaçtır?. < < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?. ( + )( 9) > 0 4 > 0 eşitsizlik sistemini sağlayan en küçük iki tamsayı değeri tplamı kaçtır? 6. < + eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?

19 EŞİTSİZLİKLER İkinci Dereceden Denklemin Köklerinin Varlığı ve İşareti Baştan söyleyeyim. Köklerin işaretini incelerken kök mök bulmayacaksınız. Çünkü a + b + c = 0 denklemini çözmeden, köklerinin varlığını ve işaretini belirleyebilirsiniz. Nasıl mı? İzah edeyim. Bunun için verilen denklemin sırasıyla, a) Diskriminantına, (Yani = b 4ac ye ) b) Kökler çarpımına (Yani, = c ya ) a c) Kökler tplamına, (Yani + = b ya ) a bakarak köklerin reel lup lmadığı, eğer kökler reel ise pzitif mi, negatif mi ldukları hakkında karar verebilirsiniz.ama bir şartla. Dediklerimi adam gibi öğrenirseniz. Neyse Bu layı çk da kasmadan önünüze gelebilecek lan şeyleri vereyim. a + b + c = 0 denkleminin, Ters işaretli iki kökü (Biri pzitif, diğeri negatif) lması için kökler çarpımı negatif lmalı. Yani,. < 0 lmalı. En önemlisi bu. Bence tabii ki Pzitif iki kökü lması için, sırasıyla I) Δ > 0 II) III). > 0 + > 0 Negatif iki kökü lması için, sırasıyla I) Δ > 0 II) III). > 0 + < 0 eşitsizliklerinin sağlanması gerekir. Dikkat ederseniz hem pzitif iki kök lması için, hem de negatif iki kök lması için diskriminant ve kökler çarpımı pzitif lması gerekiyr. Sadece kökler tplamında farklılık var. Pzitif iki kök için kökler tplamı pzitif, negatif iki kök için ise negatif lması gerekiyr. Örnek Sru 9. ANTRENMAN 6 = 0 denkleminin köklerinin işareti hakkında ne söylenebilir? Çözelim Köklerin işaretini incelerken ilk önce deltaya bakılır. Öyle ya bakalım ki kökleri reel (gerçek) mi? Bakalım. = b 4ac = ( ) + 4..( 6) = 7 > 0 lduğundan kökleri reelmiş. İkinci larak kökler çarpımına bakılır. = c = 6 = < 0 a Kökler çarpımı negatif çıktı. Demek ki köklerin biri pzitif diğeri negatif. Olayı daha da netleştirmek için kökler tplamına da bakalım. 6 ( ) + = = = > 0 a Pzitif çıktı. Eee Şimdi ne diycez? Şöyle. < 0 < demek yetmez. Bir de şunu ilave et- mek lâzım. < Yani, negatif lan kökün mutlak değeri daha küçük.(öyle ya kökler tplamı pzitif lacak ) Demek ki < 0 < ve Anladınız mı bu layı? Örnek Sru < imiş. (m + ) (m + ) + 4 m = 0 denkleminin biri pzitif diğeri negatif iki kökü lduğuna göre, m hangi değerleri alabilir? Çözelim En çk bunu sruyrlar. (Bir iki defa srulmuş. ) Ters işaretli iki kök var. Bunun için kökler çarpımının negatif lması yeterli. Kökler çarpımı, = c = 4 m < 0 lmalı. a m+ Artık bu eşitsizliği de bana çözdürmezsiniz herhalde? Çözün bakalım. Ne çıktı? (, ) (, ) bulduysanız sıkıntı yk. Bulamadıysanız gidip tekrardan baştan adam gibi çalışın lütfen? 4

20 EŞİTSİZLİKLER 0. ANTRENMAN. Aşağıdaki denklemlerin hangisinin ters işaretli iki kökü vardır? A) C) + 7 = 0 B) + 6 = 0 D) E) + = 0 + = = 0. (m + ) + m = 0 denkleminin ters işaretli iki kökü lduğuna göre, m kaç farklı tam sayı değer alabilir?. Aşağıdaki denklemlerin hangisinin pzitif iki kökü vardır? A) C) + = 0 B) + 6 = 0 D) E) 6 + = = = 0 6. m nin hangi aralıktaki değerleri için, m (m ) m 4 0 denkleminin ters işaretli iki reel kökü lur?. Aşağıdaki denklemlerin hangisinin mutlak değerce büyük lanı negatif lan iki reel kökü vardır? A) C) + + = 0 B) 4 + = 0 D) E) 6 + = 0 + = = 0 7. ( m) + + m 9 = 0 denkleminin biri pzitif, diğeri negatif iki gerçek kökü lduğuna göre, m hangi değerleri alabilir? m 8 = 0 denkleminin ters işaretli iki kökü lması için m hangi aralıktaki değerleri almalıdır? 8. ( m + ) + 6 m + = 0 denkleminin zıt işaretli iki kökü lduğuna göre m nin aralığı nedir?

21 EŞİTSİZLİKLER 0. ANTRENMAN 9. (k ) (k ) k 0 0 denkleminin kökleri ve dir. 0 ve lduğuna göre, k nin değer aralığı nedir? m = 0 denkleminin negatif iki gerçek kökü lduğuna göre, m ne lmalıdır? 0. ( ) ( ) m m + m = 0 denkleminin kökleri ve dir. < 0 < ve < lduğuna göre, m. 6 + p = 0 denkleminin pzitif iki gerçek kökü lduğuna göre, p ne lmalıdır? nin aralığı nedir?. ( ) ( ) a 6 a + + a + 4 = 0 denkleminin kökleri ve dir. < 0 < ve < lduğuna göre, a 4. m nin hangi aralıktaki değerleri için, m 6 m 8 0 denkleminin pzitif iki reel kökü vardır? nin aralığı nedir? 6

22 Trignmetri

23 İlim ilim demektir, ilim kendin bilmektir. Sen kendini bilmezsen bu nice kumaktır. Yunus Emre

24 TRİGONOMETRİ.ANTRENMAN TRİGONOMETRİ Trignmetri acayip önemli bir knu. Ama şimdi size desem ki bu knuyla tarih byunca bir sürü adam ilgilenmiş. İnanmayacaksınız Meselâ adamın birine astrnmi ile ilgili çalışma yaparken lazım lmuş. Bir başkasına rady dalgalarıyla uğraşırken, bir başkasına bilmem ne yaparken lazım lmuş. Bir sürü yerde lâzım lmuş anlayacağınız. Ama çk iyi biliyrum ki size, Bu knudan sınavda sru gelmez. desem. Aha da şimdi kapatırsınız bu sayfayı. Ama geliyr işte. Hem de bir sürü. Ona göre. Neyse. A B 4 Şekildeki dik üçgende verilenlere göre aşağıdaki trignmetrik ranlar kaça eşittir? a) sin b) tan c) cs d) ct C Bu knuda bilmeniz gereken ilk şey şu. Dik Üçgende Dar Açıların Trignmetrik Oranları Bu knuda en çk karşılaşacağınız kavramlar sin, cs, tan ve ct diye kısaltılmış lan ranlar. Bilginiz vardır. sin = sinüs, cs = csinüs, tan = tanjant ve ct = ctanjant larak kısaltılmış. İşte trignmetrik ranlar: C. B Şekildeki dik üçgende verilenlere göre aşağıdaki trignmetrik ranlar kaça eşittir? A C b a a) sin b) tan A c B c) cs d) ct açısına göre, c kmşu dik kenar, b karşı dik kenar ve a hiptenüstür. sin karşı dik kenar = = hiptenüs b a. C kmşu dik kenar cs = = hiptenüs c a 7 8 tan ct karşı dik kenar = = kmşu dik kenar kmşu dik kenar = = karşı dik kenar c b b c A Şekildeki dik üçgende verilenlere göre aşağıdaki trignmetrik ranlar kaçtır? a) sin b) tan B c) cs d) ct 79

25 TRİGONOMETRİ.ANTRENMAN 4. B C Şekildeki üçgende verilenlere göre aşağıdaki işlemleri yapınız. a) sin + cs b) tan ct c) A sin + cs tan 7. Aşağıdaki üçgende AD = DC = BD dir. C α D θ B A sinα = lduğuna göre, sinθ nın değeri kaçtır?. D E C 8. A A E y G B F B 8 C Şekilde verilenlere göre, tan kaçtır? Yukarıdaki şekil özdeş kareden luşmuştur. Buna göre, tan siny ranı kaçtır? 6. Aşağıdaki şekil eş kareden luşmaktadır C BC = AC = 4 A α O B y Yukarıda AB çaplı yarım çember verilmiştir. Buna göre, sinα kaçtır? Buna göre, tan + cty tplamı kaçtır? 80

26 TRİGONOMETRİ.ANTRENMAN. Aşağıda verilen [DC], T nktasında [AB] çaplı yarım çembere teğettir. D. T BC = 4. A α T P O O θ. A O B C Buna göre, csθ nın değeri kaçtır? AT dğrusu sırasıyla P ve T nktalarında O, O merkezli yarım çemberlere teğettir. O merkezli çemberin yarıçapı O merkezli çemberin yarıçapının yarısıdır. Buna göre, sinα değeri kaçtır?. Aşağıdaki şekilde ABCD bir karedir. D A α C H.. K B Şekilde verilenlere göre, csα kaçtır?. Aşağıda ABCD bir dikdörtgendir. D E C. α α A 8 B Şekilde verilenler göre, tanα nın değeri kaçtır? Trignmetrik ranlardan birini biliyrsanız diğerlerini de bulabilirsiniz. Bir dar açının trignmetrik ranı verilmişse bu rana uygun güzel bi dik üçgen çizip verilenleri yerine yerleştirin. Örnek Sru dar açı lmak üzere, cs = 4 lduğuna göre, tan kaçtır? Çözelim dar açı ve cs değeri verilmiş. Bu tür srularda ilk önce bir dik üçgen çizin ve verilen rana uygun larak değerleri yerleştirin. Snra bilinmeyen kenar uzunluğunu da bulun. Hatırlayın. cs neydi? Kmşu dik kenar bölü hiptenüs. Kmşu dik kenarı 4, hiptenüsü lan dik üçgen çizcez. Meselâ şöyle bir üçgen çizebilirsiniz. (Bu arada AB = lduğunu bulacaksınız.) A B 4 C Gerisi klay. Srulan tan in değeri. Artık bulursunuz. tan = ü 4 8

27 TRİGONOMETRİ.ANTRENMAN. dar açı lmak üzere, sin = lduğuna göre, tan kaçtır? 9. 0 < < lmak üzere, cs = lduğuna göre, tan + ct kaçtır? 6. dar açı lmak üzere, ct = lduğuna göre, sin kaçtır? 0. dar açı lmak üzere, tan = lduğuna göre, sin + cs cs sin kaçtır? 7. 0 < < lmak üzere, tan = lduğuna göre, cs kaçtır?. dar açı lmak üzere, ct = lduğuna göre, cs sin sin kaçtır? 8. 0 < < lmak üzere, sin = lduğuna göre, tan + cs sin kaçtır?. dar açı lmak üzere, tan = 4 lduğuna göre, sin + cs kaçtır? sincs 8

28 TRİGONOMETRİ.ANTRENMAN Dik üçgendeki trignmetrik ranlar yardımıyla şu snuçları çıkarabilirsiniz. C b a. dar açı lmak üzere, cs = sin + cs lduğuna göre, ct kaçtır? A c B Şu yazdığım eşitliklerin dğru lduğunu görün isterseniz. tan = sin ct = cs cs sin Bu snuçları kullanarak aynı açıya ait tanjant ve ktanjant değerleri çarpımının lduğunu görmüşsünüzdür. tan ct = dir. Ve bu eşitlikten de tan = ve ct = ct tan lduğunu görebilirsiniz. Aklınızda lsun. Özellikle sadeleştirme srularında tan yerine sin bölü cs, ct yerine de cs bölü sin yazmak klaylık sağlayabilir Çk fazla karşılaşmazsınız. Ama bir de şu var. sec = csec = cs sin Bu ikisi genellikle sadeleştirmelerde lâzım luyr. 4. dar açı lmak üzere, cs = sin + 4cs 4 lduğuna göre, tan kaçtır?. sin = cs lduğuna göre, ct kaçtır?. tan0.ct0 tan ct işleminin snucu kaçtır?. dar açı lmak üzere, cs + sin = sin cs lduğuna göre, ct kaçtır? 6. + tan + ct ifadesinin en sade biçimi nedir? 8

29 TRİGONOMETRİ.ANTRENMAN 7. tan ct = lduğuna göre, tan + ct tplamı kaçtır? 0. sin ifadesinin en sade biçimi nedir? Dik üçgenden çıkarabileceğiniz bir diğer önemli snuç sin + cs = dir. Yani aynı açının sinüs ve csinüsünün kareleri tplamı daima e eşittir. Yine bu özdeşlikten hareketle sin = cs ve cs = sin eşitliklerinin yazılabileceğini görün. Srularda sin.. ve cs.. görürseniz hemen aklınıza sin + cs = lduğu gelsin. Ok. sin tan ifadesinin en sade biçimi nedir? 8. sin 4 + cs sin + cs işleminin snucu kaçtır?. sin cs işleminin snucu nedir? 9. sin cs işleminin snucu nedir?. sin + cs sin işleminin snucu nedir? 84

30 TRİGONOMETRİ 4.ANTRENMAN. ( cs )( + ct ) ifadesinin en sade biçimi nedir?. ( sin + cs ) cs sin ifadesinin en sade biçimi nedir?. sin 0 + cs 0 tan0.ct0 işleminin snucu kaçtır? 6. sin.cs = a lduğuna göre, ( ) nedir? sin + cs ifadesinin eşiti. 4cs sin 8 8sin 7. tan + cs + sin işleminin snucu nedir? ifadesinin en sade biçimi nedir? 4. 6cs sin cs sin + işleminin snucu nedir? 8. sin 6 + cs 6 + tan ct işleminin snucu kaçtır? 8

31 TRİGONOMETRİ 4.ANTRENMAN 9. sin + + cs + cs sin. sin + tan.tan78 + sin işleminin snucu kaçtır? ifadesinin en sade biçimi nedir? 0. sin + cs = lduğuna göre, sin.cs çarpımı kaçtır?. sin 0 + sin 40 + sin 0 + sin 60 işleminin snucu nedir?. sin cs = lduğuna göre, sin.cs işleminin snucu kaçtır? 4. sin + sin 7 4 işleminin snucu kaçtır? Tplamları 90 lan iki açıdan (tümler iki açıdan) birinin sinüsü diğerinin ksinüsüne, birinin tanjantı diğerinin ktanjantına eşittir. Meselâ, sin = cs 6 tan 0 = ct 70 cs 6 = sin 84 ye eşittir. Çğaltabilirsiniz bunları. Yine aynı şekilde sin 40 = cs 0 cs 4 = sin 6 yazılabilir.. sin4 + cs66 tan40 ct0 işleminin snucu kaçtır? 86

32 TRİGONOMETRİ.ANTRENMAN. tan ct + cs + cs işleminin snucu kaçtır?. ct 0 ct70 sin 70 + sin 0 işleminin snucu kaçtır?. sin + cs78 sin ifadesinin eşiti kaçtır? 6. + y = lmak üzere, sin = lduğuna göre, csy kaçtır?. tan + ct7 tan ifadesinin eşiti kaçtır? 7. + y = lmak üzere, sin = lduğuna göre, cs y kaçtır? 4. ct 0 tan70 tan70 ifadesinin eşiti kaçtır? 8. = y lmak üzere, tany = lduğuna göre, ct kaçtır? 87

33 TRİGONOMETRİ.ANTRENMAN 0º, 4º ve 60º nin Trignmetrik Oranları En önemli yerlerden birindesiniz. Bu açıların sin, cs, tan ve ct değerlerini bulmak için dik üçgen çizmek lâzım. 4 º için dik kenar uzunlukları birim lan dik üçgen çizin. Snra da istenen trignmetrik ranları yazın. Ama antrenmanları yaparsanız bir süre snra bunları ezberlediğinizi göreceksiniz. 4 º için çizceniz üçgen şu: 9. sin0 + cs60 sin4 işleminin snucu kaçtır? 4. 4 sin 4 = cs 4 = 0. sin4 + cs4 cs60 işleminin snucu kaçtır? tan4º = ct4º = 0º ve 60º nin trignmetrik ranlarını bulmak için ise dik kenar uzunlukları birim ve birim lan bir dik üçgen çizin. Gerisi klay tan60 + ct0 sin60 işleminin snucu kaçtır? sin 0 = cs60 = sin 60 = cs 0 = tan0 = ct60 = tan60 = ct0 = Bu değerler kadar çk yerde lâzım lacak ki. Knu ilerledikçe bunu daha iyi anlayacaksınız. Onun için bu kısmı adam gibi halletmek lâzım. Bence bu üçgenleri birkaç defa çizin ve üzerine uzunlukları yerleştirerek sin, cs, tan ve ct değerlerini yazarak bu işte pratikleşin. Eğer trigda ilerleyecekseniz dediklerimi dikkate almanız gerek.. sin4.cs0 tan4.ct 60 işleminin snucu kaçtır? 88

34 TRİGONOMETRİ 6.ANTRENMAN. tan 60 + cs60 sin 4. tan4 + cs60 sin0 + ct 4 işleminin snucu kaçtır? işleminin snucu kaçtır?. sin + cs tan sin 4 6 işleminin snucu kaçtır? 6. sin0 + cs60 işleminin snucu kaçtır?. sin60 + tan4 + ct40 tplamı kaça eşittir? 7. sin60 + cs0 tan60 tan4 işleminin snucu kaçtır? 4. sin60 ct 4 + tan 60 tan0 işleminin snucu kaçtır? 8. cs4.sin4 sin0 + cs60 işleminin snucu kaçtır? 89

35 TRİGONOMETRİ 6.ANTRENMAN 9. cs60 + tan4 sin4.cs0 işleminin snucu kaçtır?. sin + cs tan 6 işleminin snucu kaçtır? 4. sin = sin0 + cs60 lduğuna göre, kaçtır? ifadesinin değeri kaçtır?. sin60 + cs0 cs4. sin tan 6 4 ifadesinin değeri kaçtır? işleminin snucu kaçtır?. tan + + tan 4 işleminin snucu kaçtır? 6. sin + ct 4 işleminin snucu kaçtır? 90

36 TRİGONOMETRİ 7.ANTRENMAN Pzitif yönlü açı ve negatif yönlü açı 4. Ölçüsü lan açı kaç radyandır? Açının pzitif veya negatif yönlü lması kun yönüyle belli lur. Saat ibresinin dönme yönündeki açılara negatif yönlü açı, saat ibresinin dönme yönünün tersi yöndeki açılara pzitif yönlü açı denir. A A O α B O + α B. Ölçüsü 0 lan açı kaç radyandır? Açı Ölçü Birimleri Derece Bir çember yayının tamamını gören merkez açı 60º dir. 60 parçasından birine ise derece (º) denir. Radyan Bir çember yayının tamamını gören merkez açı raydandır. Derece ile radyan arasında Derce Radyan = eşitliği 80 yazılabilir. Aslında radyan larak verilen bir açıyı derece cinsinden yazmak çk klay radyan = 80º lduğundan yerine 80º yazarsınız lur biter 6. Ölçüsü radyan lan açı kaç derecedir?. Ölçüsü 90 lan açının ölçüsü kaç radyandır? 7. Ölçüsü radyan lan açı kaç derecedir?. Ölçüsü 0 lan açı kaç radyandır? 8. Ölçüsü 4 radyan lan açı kaç derecedir?. Ölçüsü 44 lan açı kaç radyandır? 9. Ölçüsü 9 radyan lan açı kaç derecedir? 9

37 TRİGONOMETRİ 7.ANTRENMAN Esas Ölçü Trignmetride açılar genellikle 0 ile 60 arasında ifade edilir. Ki çember üzerinde rahatlıkla gösterilebilsin. Birim çember üzerinde bitim nktaları aynı lan açılardan ölçüsü [0º, 60º) veya [0, ) aralığında lan açıya, bu açıların esas ölçüsü denir. Esas ölçü 0º ile60º (veya 0 ile radyan) arasındadır. Esas Ölçü Nasıl Bulunur? Pzitif yönlü açıların esas ölçüsü 60 den büyük bir açının esas ölçüsünü bulurken verilen açının ölçüsünü 60 a bölün. Kalan esas ölçüdür. Eğer açı radyan larak verilmiş ise radyanın katlarını atın ve esas ölçüyü bulun. Radyan larak verilen bir açının esas ölçüsü bulunurken pay, paydanın iki katına bölünür ve kalan paya yazılır, payda ise aynen yazılır.. Ölçüsü 70 lan açının esas ölçüsü kaç derecedir? 4. Ölçüsü 4 radyan lan açının esas ölçüsü kaç radyandır?. Ölçüsü 4 radyan lan açının esas ölçüsü kaç radyandır? Negatif Yönlü Açıların Esas Ölçüsü İlk önce verilen açıyı pzitifmiş gibi düşünerek esas ölçüyü bulun. Snra da bulduğunuz değeri derece ise 60º den, radyan ise radyandan çıkarın. Anladınız mı? 0. Ölçüsü 00 lan açının esas ölçüsü kaç derecedir? 6. Ölçüsü 9 radyan lan açının esas ölçüsü kaç radyandır?. Ölçüsü 800 lan açının esas ölçüsü kaç derecedir? 7. Ölçüsü kaç radyandır? radyan lan açının esas ölçüsü. Ölçüsü 600 lan açının esas ölçüsü kaç derecedir? 8. Ölçüsü kaç radyandır? radyan lan açının esas ölçüsü 9

38 TRİGONOMETRİ 8..ANTRENMAN Trignmetrik Fnksiynlar Bir tane birim çember (Yarıçapı birim ve merkezi rijinde lan çembere birim çember diyruz.) çizip y eksenini sinüs ekseni, eksenini de csinüs ekseni larak alabiliriz. Bunda bir sakınca yk.. a = sin0 b = sin0 c = sin48 lduğuna göre, a, b ve c yi küçükten büyüğe dğru sıralayınız. sin ekseni tan ekseni (0,) (,0) ct α sinα tan α ct ekseni (-,0) O α cs α (,0) cs ekseni. a = cs b = cs7 c = cs6 (0,-) (-,0) lduğuna göre, a, b ve c yi küçükten büyüğe dğru sıralayınız. Birim çember üzerindeki herhangi bir açının birim çemberi kestiği nktanın sin ekseni üzerindeki dik izdüşümü lan nktanın rdinatı açının sin değerini, cs ekseni üzerindeki dik izdüşümü lan nktanın apsisi açının cs değerini, tan eksenini kestiği nktanın rdinatı açının tan değerini, ct eksenini kestiği nktanın apsisi de açının ct değerini verir. Biraz uzun ldu gibi. Ama şekli inceleyerek kursanız daha hş lacak.. a = tan b = tan c = tan4 lduğuna göre, a, b ve c yi küçükten büyüğe dğru sıralayınız. (0, 90 ) aralığındaki bir açının değeri büyüdükçe sinüs ve tanjant değeri artar. Örneğin, sin90 > sin70 > sin >... > sin0 aynı şekilde tan90 > tan6 > tan4 >... > tan0 dir. Aynı aralıkta açı büyüdükçe ksinüs ve ktanjant değeri azalır. Örneğin, cs 0º > cs 0º > cs º > > cs 90º yine ct 0º > ct º > ct 4º > ct 90º dir. 4. a = ct b = ct 0 c = ct lduğuna göre, a, b ve c yi küçükten büyüğe dğru sıralayınız. Ve... Bu aralıktaki bir açının tanjant değeri sinüs değerinden her zaman daha büyüktür. tan0 > sin0, tan0 sin0 > gibi. 9

39 TRİGONOMETRİ 8..ANTRENMAN Sıralama srularında eğer açılar karışık verilirse en güzeli ksinüsleri sinüse, ktanjantları da tanjanta çevirip öyle sıralamak.. = sin 40º y = sin 0º z = cs 0º lduğuna göre,, y ve z yi küçükten büyüğe dğru sıralayınız. Birim çemberden çıkarabileceğiniz bir diğer snuç şu: sin ve cs un en küçük değeri en büyük değeri dir. Yani, sin cs dir. 9. sin csy farkı en az kaçtır? 6. a = sin7 b = cs4 c = cs89 lduğuna göre a, b, c yi küçükten büyüğe dğru sıralayınız. 0. a = 4 + sinα b = + csθ lduğuna göre, a b farkı en çk kaçtır? 7. a = tan b = ct 4 c = ct8 lduğuna göre a, b, c yi küçükten büyüğe dğru sıralayınız.. k = sina + 7csb lduğuna göre, k nın alabileceği en büyük değer kaçtır? 8. a = ct8 b = ct c = tan6 lduğuna göre a, b, c yi küçükten büyüğe dğru sıralayınız.. A = cs + lduğuna göre, A nin değer aralığı nedir? 94

40 TRİGONOMETRİ 9.ANTRENMAN Birim Çemberde Bölgeler ve Trignmetrik Fnksiynların işaretleri Analitik gemetride dik krdinat düzlemindeki bölgeler ve işaretlerin aynısı burada da var. Dik krdinat düzleminde eksenini ksinüs ekseni larak, y eksenini de sinüs ekseni larak alınca bölgelerdeki sin ve cs un işaretini çk klay bir şekilde bulabilirsiniz. Şekilde yazdım hepsini. İnceleyin bakalım Ama bence mantığını anlasanız daha iyi edersiniz. Ezberlemeye gerek yk bence. tan ve ct un bölgelerdeki işareti zaten sin ve cs un bölgedeki işaretleri bölünerek bulunabiliyr.. Aşağıdaki trignmetrik ranların bölgelere göre işaretlerini belirtiniz. a) c) e) cs b) 7 sin 4 d) 9 tan f) cs tan 6 ct 6 9 II. bölge < α < cs - sin + tan - ct - y cs - sin - tan + ct + III. bölge < α < sin cs + sin + tan + ct + cs + sin - tan - ct - I. bölge 0 < α < 0 IV. bölge < α < cs 4. Aşağıdaki trignmetrik ranların işareti nedir? a) c) e) cs b) ct 8 7 sin 4 d) f) sin 0 4 cs 6 tan 0. Aşağıdaki trignmetrik ranların işaretlerini belirtiniz. a) sin9 b) cs79 c) sin7 d) tan0 e) ct7 f) sin86. a = sin cs4 b = tan79 ct9 c = cs tan4 lduğuna göre, a, b, c nin işaretleri sırasıyla ne dir?. Aşağıdaki trignmetrik ranların işaretlerini belirtiniz. a) cs9 b) ct86 c) tan d) cs46 e) sin0 f) sec46 6. a = sin cs4 b = tan89 cs c = ct 80 sin lduğuna göre, a, b, c nin işaretleri sırasıyla nedir? 9

41 TRİGONOMETRİ 9.ANTRENMAN 90 ile 60 derece arasındaki açıların dar açılara dönüştürülmesi y α ve α şeklinde ifade edilen açılar Açılar ekseninin alt tarafında ya da üst tarafında lmasına göre, ( α) veya ( α) şeklinde ifade edilebilirler. y + α α - - α α + - α α + α - α α dar açı lsun diyelim. Eğer bir açı ( α) veya ( α) şeklinde ifade edilmişse ilk önce hangi bölgedeyse verilen trignmetrik fnksiynun bölgedeki işareti belirlenir. Snra sadece α açısının trignmetrik ranı larak yazılır. Trignmetrik fnksiyn aynen muhafaza edilir. En iyisi mi bunu bir örnek üzerinde ifade edeyim. Örnek sru cs( ) ifadesinin eşiti nedir? 0 Çözelim cs( ) i dar açısının trignmetrik ranı larak yazarken ilk önce verilen açının (Yani, in) hangi bölgede lduğuna bakın. Ve cs un bu bölgedeki işaretini yazın. Snra da işaretiyle birlikte cs larak ifade edin. Demek istediğim şu. ikinci bölgede ve cs burada eksi. Dlayısıyla cs( ) = cs tir. α veya α şekilde ifade edilen açılar α veya α şeklinde ifade edilen açıları dar açıların ranı larak ifade ederken ilk larak açının bölgesine göre verilen fnksiynun işaretini yazın. Snra fnksiynu değiştirin. Fnksiyn sin ise cs, tan ise ct a dönüştürün. Örnek sru sinα ( ) ifadesinin eşiti nedir? Çözelim Açı α şeklinde. Bir kere bunda isim değişikliği lacak. Ama ilk önce açının bölgesine bakın. Ve işaretini yazın. Açı üçüncü bölgede. Bu bölgede sinüs negatif. Önce bu eksiyi yazın. Snra da sin yerine csu. Dlayısıyla sinα ( ) csα = dır. Anladınız mı? Anlamış lmanız lâzım. Özetleyeyim. İlk önce açının bölgesine göre verilen fnksiynun işaretini yazıyr. Snra da,,, yi atıyr ve sadece i bırakıyruz. Ama ve de isim değiştirmeyi unutmuyruz Bu şekilde ifade etme zrunluluğu yk elbette. Ama adam ifade etmişse de yapacak bir şey yk 96

42 TRİGONOMETRİ 0.ANTRENMAN. Aşağıdaki trignmetrik ranları e bağlı larak ifade ediniz. a) sin( ) b) cs( + ) c) ct( ) d) tan( ) e) cs( ) f) ct( + ) g) sin( + ) h) tan( + ). Aşağıdaki trignmetrik ranları e bağlı larak ifade ediniz. a) sin c) ct + b) cs d) tan + + İyi de bütün bunlar ne işe yarayacak. Şimdi nu izah edeyim. Ama önce şu sruma cevap verin. cs0 nin değeri kaçtır? Buldunuz mu? İşte bu şekilde 90 den büyük açıların trignmetrik ranını bulurken bunları kullancaz. Göstereyim. cs0 nin kaç lduğunu bulmak istiyruz. Açı ikinci bölgede. Bu bölgede cs negatif. Önce bunu yazın. Snra şunu düşünün bu bölgedeki açıyı nasıl yazıyrduk? 80α şeklinde öyle değil mi? Şimdi de şunu yapın. cs0 = cs tır. ( ) Gerisi klay. 80 yi atın ve cs ( ) = cs60 = yi bulun Sn larak da 90 den büyük açıların trignmetrik ranının bulurken ya 80 ± α ya da 60 α şeklinde yazın ve öyle hesaplayın. Sebebini bş verin. Dediğimi yapın. e) cs + f) ct 4. Aşağıdaki ifadelerin kaça eşit lduklarını yazınız. g) sin + h) tan a) cs0 c) sin b) ct00 d) tan40 Bu arada şunu da nt edin münasip bi yere = larak alınabilir. ( ) ( ) Meselâ, tan( ) tan( ) = tan= tir.. Aşağıdaki trignmetrik ranları e bağlı larak ifade ediniz. a) sin( ) b) cs( ) c) ct( ) d) tan( ). sin40. tan0 işleminin snucu kaçtır? 97

43 TRİGONOMETRİ 0.ANTRENMAN 6. cs00 sin0 tan işleminin snucu kaçtır? 0. sin cs 6 işleminin snucu eşittir? 7. tan sin0 ct ct 4 işleminin snucu kaçtır?. cs( α) + sin α ifadesinin eşiti nedir? 8. tan cs40 sin 00 işleminin snucu kaçtır?. cs + sin( ) ifadesinin en sade biçimi nedir? ct. cs 4 6 işleminin snucu kaçtır?. m = tan0 lduğuna göre, tan90 nin m türünden değeri nedir? 98

44 TRİGONOMETRİ.ANTRENMAN. f() = ct + lduğuna göre, f 4 değeri kaçtır?. cs + = cs( + ) lduğuna göre, tan değeri kaçtır?. cs tan + ( + ) ifadesinin en sade biçimi nedir? 6. 4sin = cs + lduğuna göre, tan değeri kaçtır?. 0 < a < 90 lmak üzere sin a cs a + ifadesinin eşiti nedir? 7. f() = ct + tan( + ) lduğuna göre, f 4 değeri kaçtır? 4. sin + + cs( ) ifadesinin eşiti nedir? 8. sin( ) + cs + 8 = cs ( ) lduğuna göre, tan kaçtır? 99

45 TRİGONOMETRİ.ANTRENMAN 9. sin cs + tan + ( ). = tan48 y = ct4 z = cs09 ifadesinin en sade biçimi nedir? lduğuna göre,, y, z yi büyükten küçüğe dğru sıralayınız. 0. tan0 = ifadesinin tü- tan90 + ct70 lduğuna göre, ct80 ct0 ründen değeri nedir? 4. 0 < < lmak üzere, sin = lduğuna göre, tan + kaçtır? Geniş açıların trignmetrik ranlarını sıralarken ilk önce geniş açıları dar açıya dönüştürmek lâzım.. D C. = sin7 y = cs4 z = cs89 lduğuna göre,, y, z yi küçükten büyüğe dğru sıralayınız. A α. H θ B ABCD bir paralelkenar, AD = birim, AH = birim, m(dah)α=, m(abc)θ= lduğuna göre, tanθ kaçtır?. k = cs77 l = sin84 m = sin89 lduğuna göre k, l, m yi büyükten küçüğe dğru sıralayınız < < 90 lmak üzere tan + ct ifadesinin eşiti nedir? ( ) 00

46 TRİGONOMETRİ.ANTRENMAN. 0 < < 90 lmak üzere, ( + ) ( + ) sin cs cs ( ) ifadesinin eşiti nedir?. Hatırlayın Birim çember üzerindeki bir nktanın apsisi ( i) nktaya karşılık gelen açının cs u, rdinatı da (y si de) sin i idi. R r T t y α α α α pp qq Birim çemberde gösterilen P, Q, R ve T nktalarının krdinatlarını α açısına bağlı larak ifade ediniz.. + y = lmak üzere 4 sin 4 ( + y) = lduğuna göre, sin kaçtır? 6. Şekildeki birim çemberde P ve Q nktaları verilmiştir. y P(,y) Q(a,b) α α. + y = lmak üzere, 0 sin ( + 6y) = lduğuna göre, csy kaçtır? lduğuna göre, P ve Q nktalarının krdinatları tplamı nedir? 0, 90, 80, 70 ve 60 nin trignmetrik değerleri Bu değerleri dik üçgen çizerek gösteremezsiniz. 90 nin katlarının sinüs ve ksinüs değerlerini birim çember yardımıyla klaylıkla bulabilirsiniz. sin 4. + y = lmak üzere, sin 4 ( + y) = lduğuna göre, sin kaçtır? (-,0) 80 (0,) 90 cs0 (,0) 0 sin0 cs 70 (0,-) Birim çember üzerindeki nktaların apsisi ( i) nktaya karşılık gelen açının ksinüsü, rdinatı da (y si de) sinüsüdür. 0

47 TRİGONOMETRİ.ANTRENMAN 7. sin90.cs0 cs80 işleminin snucu kaçtır?. sin80 + cs00 işleminin snucu kaçtır? 8. sin70 cs0 cs80 işleminin snucu kaçtır?. sin4 cs4 sin90 + cs0 işleminin snucu kaçtır? 9. tan0 + ct 4 sin90 4. sin cs işleminin snucu kaçtır? ifadesinin değeri kaçtır? 0. sin70 + cs80 ct90 + cs60 işleminin snucu kaçtır?. f() =sin cs4 lduğuna göre, f ( ) kaçtır?. tan 0 + cs40 sin70 işleminin snucu kaçtır? 6. f + = cs + sin lduğuna göre, f ( ) kaçtır? 0

48 TRİGONOMETRİ.ANTRENMAN Trignmetrik Fnksiynların Periydu Ayrıntıya girmeden bir iki şey söyleyip geçsek çk da bir şey kaybetmezsiniz Trignmetrik fnksiynlar periydiktirler. Yani, grafiklerini çizerseniz belli aralıklarda sürekli aynı biçimde devam ettiklerini görürsünüz.. f() = + tan fnksiynunun periydu kaçtır? Periytla ilgili şunları bilin yeter n f() = sin (a + b) n f() = cs (a + b) n f() = tan (a + b) n f() = ct (a + b) fnksiynlarının periydu T = dır. a n f() = sin (a + b) n f() = cs (a + b) fnksiynlarının periydu ise T = dır. a 4. f() = cs + 4 fnksiynunun periydu m kaçtır? lduğuna göre, m Yani, sin ve cs un tek kuvvetlerinde periyt a, geri kalanların hepsinde a dır.. Aşağıdaki fnksiynların periytlarını bulunuz. a) f() = sin( + ) b) f() = sin ( 0 ) c) f ( ) = cs ( 0 + ) d) f() = + cs 4 ( + ). f() = sin + 4 fnksiynunun periydu kaçtır?. Aşağıdaki fnksiynların periytlarını bulunuz. a) f() = ct( 90 ) b) f ( ) = tan ( ) 6. f() sin = + fnksiynunun periydu kaçtır? c) d) f() sin = + f() ct 0 = + 0

49 TRİGONOMETRİ.ANTRENMAN Ters Trignmetrik Fnksiynlar Biraz değişik gelebilir. Ama bunu ilk icat eden! amcalar sizi hiç düşünememişler ve trignmetrik fnksiynların tersini arcf() biçiminde ifade etmişler. Siz de sebebini srmazsınız artık. 7. Aşağıdaki ifadelerin eşitlerini bulunuz. a) arcsin b) arccs c) arctan d) arc ct Meselâ y = sin fnksiynunun tersi arcsin şeklinde ifade edilir. Yani, f() = sin ise f () = arcsin tir. Anladınız mı bu muhabbeti? Anlamadınız Neyse Ters trignmetrik fnksiynlarda en önemli şeylerden biri tanım ve değer kümeleridir. Aklınızda şöyle kalsın. arcsin ve arctan ın snucu ile arasında, arccs ve arcct un snucu ise 0 ile arasında çıkar. 8. arcsin arcsin0 + işleminin snucu kaçtır? Bu söylediğim şeyde ufak bir yanlışlık var. Ama siz bş verin. Zaten fark etmeyeceksiniz bile Dediğim gibi öğrenin. 9. arccs + arctan işleminin snucu kaçtır? Peki, gelelim asıl laya. arcsin kaça eşittir? srusunun cevabı ile si- nüsü lan açı kaç dercedir? srusunun cevabı aynı gibi. Bunu da şöyle buluyrsunuz. arcsin = ise sin = dir. sinüs değeri lan açı da 6 lduğundan cevap 6 dır. Yani, arcsin = dır. Yine aynı şekilde, 6 arccs = ise cs = dir. arctan 4 = ise tan = 4 tür. Aslında hep şunu yapsanız da lur. Ters trignmetrik ifadeye deyin ve üstte yaptığım gibi devam edin. Hepsi böyle çözülüyr desem yeridir Şuna da dikkat edin arcsin = ve 6 arctan = dır. 6 Yani arcsin deki ve arctan daki eksi başa geliyr gibi düşünebilirsiniz. 0. arcsin arctan + işleminin snucu kaçtır? 04

50 TRİGONOMETRİ 4.ANTRENMAN. arccs + arc ct( ) işleminin snucu kaçtır? Hatırlayın ters trignmetrik fnksiyna hep deyip çözüyrduk. Bir örnek yapayım. Örnek Sru tan arccs ifadesinin değeri kaçtır?. sin arcsin + cs arccs işleminin snucu kaçtır? Çözelim arc lı ifadenin tamamına deyin. Yani, arccs = lsun. Bu durumda şunları hemen görmeniz lâzım. arccs = ise cs = tür. Ve srulan şey tan tir. Bunu da güzel bir dik üçgen çizip bulursunuz artık kaç çıkıyr? tan = değil mi?. sin arccs ifadesinin değeri kaçtır?. sin arccs sin( arc ct) işleminin snucu kaçtır? 6. tan arcsin 4 ifadesinin değeri kaçtır? 4. tan arccs cs arc ct 7. cs arcsin işleminin snucu kaçtır? ifadesinin değeri kaçtır? 0

51 TRİGONOMETRİ 4.ANTRENMAN 8. cs arctan ifadesinin değeri kaçtır?. 0 < a < 90 lmak üzere, ct arctan = tana lduğuna göre, sina kaçtır? 9. sin arc ct + ifadesinin değeri kaçtır?. arccs = lduğuna göre kaçtır? 0. ct arcsin 4. arcsin 4 + = lduğuna göre kaçtır? ifadesinin değeri kaçtır?. sin arctan 4 + ifadesinin değeri kaçtır?. f() = arcsin + fnksiynunun en geniş tanım aralığı nedir? 06

52 TRİGONOMETRİ.ANTRENMAN. f() = arccs 4 fnksiynunun en geniş tanım aralığı nedir?. [,6 ] da tanımlı f fnksiynu, f() = arccs 4 ne- lduğuna göre, ters fnksiyn lan dir? f () lduğuna göre, ters fnksiyn lan dir?. f() = arcsin fnksiynu in kaç tam sayı değeri için tanımlıdır? 6. 0, de tanımlı f fnksiynu 4 f() = cs4 + lduğuna göre, f () ters fnksiynu nedir? Hatırlayın Bir fnksiynun tersini bulurken ilk iş i yalnız bırakmaktı.. [ 8, ] de tanımlı f fnksiynu, f() = arcsin + 7. f() = sin( ) lduğuna göre f () fnksiynu nedir? 4. [ 0,4 ] te tanımlı f fnksiynu f() = arc cs 8. f() = sin lduğuna göre f () fnksiynu nedir? f () ne- f () ne- lduğuna göre, ters fnksiyn lan dir? 07

53 TRİGONOMETRİ.ANTRENMAN Üçgende Trignmetrik bağıntılar. A Sinüs Teremi c 4 Bir ABC üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı R ve kenar uzunlukları a, b ve c lmak üzere, a b c R sina sinb sinc c A O b R B 60 a C Şekilde verilenlere göre ABC üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı kaçtır? Bu eşitliğin ispatı klay. Ama krkmayın ispata girmiycem B a C 9. Sinüs teremi denen şey bu. Yani, kenar uzunluklarıyla karşılarındaki açıların sinüsleri ranı eşit ve R dir. Göreceksiniz. Çk fazla sru tipi yk zaten. Onun için sıkıntıya gerek yk B A 7 60 Şekilde verilenlere göre, kaç br dir? C. Şekilde A, C, D nktaları dğrusal lmak üzere ABC üçgeni verilmiştir. AB = cm, BC = 4 cm m (C A B) = θ m ( BCDθ ) = 90 lduğuna göre, tanθ kaçtır? C D 90 -θ 4 θ A B A 0. Bir ABC üçgeninde, m(bâc) = 60º, BC = 4 cm lduğuna göre, ABC üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı kaç cm dir?. B c O 0 R 4 C Şekilde verilenlere göre ABC üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapı kaçtır? 08

54 TRİGONOMETRİ 6.ANTRENMAN Üçgenin Alanı A. 6 D C E c b A 8 B a F B a C Kenar uzunlukları a, b, c ve iç açıları, A, B, C lan ABC üçgeninin alanı Şekilde verilen ABC ve ADF üçgenlerinin alanları eşit lduğuna göre a kaçtır? a.b.sinc b.c.sina a.c.sinb A(ABC) Yani, üçgenin alanı, iki kenar ile bu kenarlar arasında kalan açının sinüsünün çarpımının yarısına eşit. 4 A D 4 C E B C Şekilde verilenlere göre ABC üçgeninin alanı kaçtır? A 9 B F Şekilde, A(CDE) = A(EBF) lduğuna göre, kaç birimdir? A. Şekilde AB = br AD = EC = 4 br AE = a br a E 4 4 D. A 4 60 y C B D C B ABC üçgeninin alanı AED üçgeninin alanının katı lduğuna göre, a kaçtır? Şekildeki ABC üçgeninde, BD = DC m(bâd) = 4º, m(dâc)= 60º, AB =, AC = y lduğuna göre, y ranı kaçtır? 09

55 TRİGONOMETRİ 6.ANTRENMAN 6. Şekilde BD = DC AB = cm A 60 α Ksinüs Teremi A AC = cm m ( BAD ) = 60 B D C lduğuna göre, m(dac) = α kaç derecedir? c b B a C Bir ABC üçgeninde kenar uzunlukları a, b, c ve iç açıları A, B, C lmak üzere a b c bccsa b a c accsb c a b abcsc 7. Şekilde ABC ikizkenar üçgen AB = AC BF = CD BE = EC A C E B D F 9. Şekilde, AB = 4 cm BC = cm AC = 6 cm m(abc) = A 4 B 6 C lduğuna göre, A(DCE) A(EBF) ranı kaçtır? lduğuna göre, cs kaçtır? 8. A α 0. B A 4 C B α Şekilde verilenlere göre, csα nın değeri kaçtır? (Bu arada sinα = sinα.csα dır) C Şekilde verilen uzunluklara göre, kaçtır? cs( ABC ) 0

56 TRİGONOMETRİ 7.ANTRENMAN. Şekilde, AB = 6 cm AC = cm BC = cm m(bac) = θ B csθ= lduğuna göre, kaçtır? 4 A 6 θ C 4. A 4 D B E 4 C Şekilde verilenlere göre, kaçtır?. E 6 D B 4 A 4 C Şekilde verilenlere göre, kaçtır?. C. A 7 D E 4 B Şekilde verilenlere göre kaçtır?. A 4 D 4 B C Şekilde verilenlere göre, kaçtır? 6. D 6 C 4 θ A 9 B Şekilde verilen ABCD yamuğunda m(abc) = θ lduğuna göre, csθ kaçtır?

57 TRİGONOMETRİ 7.ANTRENMAN 7. D 6 C α 6 0. Bir ABC üçgeninde, b = a + c ac lduğuna göre m(b) kaç derecedir? A 0 B Şekildeki ABCD yamuğunda csα= 9 lduğuna göre, 6 kaçtır? Kirişler dörtgeninde karşılıklı iki açının tplamı 80 idi 8. B 6 θ C A 4 7 D. Kenar uzunlukları 4 cm, 6 cm ve 8 cm lan bir üçgende ölçüsü en büyük lan açı α lduğuna göre csα kaçtır? ABCD kirişler dörtgeni lduğuna göre, csθ kaçtır? 9. Bir ABC üçgeninde, a = b + c + bc lduğuna göre m(a) kaç derecedir?. Kenar uzunlukları cm, cm ve cm, lan ikizkenar üçgenin tepe açısı α lduğuna göre, csα kaçtır?

58 TRİGONOMETRİ 8.ANTRENMAN Tplam Fark Frmülleri Bunları iyi öğrenin. Çk önemli. Çünkü diğer frmülcüklerin hepsi bunlardan çıkarılmış. Onun için söyleyeceğim her şeyin sizin için önemli lduğunu düşünüyrum. Ona göre. Bazen bir açının trignmetrik ranını direkt değil de iki açının tplamı veya farkı şeklinde yazarak hesaplamak gerekebilir. Dlayısıyla tplam ve fark frmülleri iki açının tplamı veya farkı larak yazılabilen açıların trignmetrik değerlerini hesaplamak için kullanılıyr. Birazdan göreceksiniz İşte frmüller İspatına girmiyrum. Merak ederseniz mail adresim var. sin( + y) = sin cs y + cs siny sin( y) = sin cs y cs siny = 4 0 larak yazılabilir. Dlayısıyla da sin = sin(4 0 ) lur. Ki bu da sin( y) ye benzedi. sin( y) = sin.csy cs.siny idi. Yani, sin(4 0 ) = sin4 cs0 cs4 sin0 dir. Artık bunları biliyrsunuzdur. Snucu 6 larak bulmuş lmanız gerekiyr Buldunuz di 4 mi? Yalnız burada srular daha çk gemetrik şekiller üzerindeki açının tan ı veya cs u kaçtır? şeklinde sruluyr. Bu tür srularda istenen açıyı ya iki açının tplamı ya da farkı şeklinde yazmaya çalışın. Ne demek istediğimi şekil üzerinde göstereyim. Meselâ diyelim ki aşağıdaki gibi bir üçgen de tan i srmuş lsunlar. C a b cs( + y) = cscs y sin siny A D B cs( y) = cs cs y + sin siny tan + tany tan( + y) = tantany tan tany tan( y) = + tantany Şimdi bş bir kâğıt alın ve bunları ezberleyene kadar yazın çizin. Ezberlediğinizden emin lduktan snra antrenmanlara geçebilirsiniz. Eğer bunları ezbere bilemezseniz önünüze gelen sruda ne yapacağınızı bilseniz bile snuca ulaşamayacaksınız. Onun için lütfen adam gibi halledin bunları Zaten tplam ve fark frmüllerini çk iyi bilirseniz, daha snra vereceğim yarım açı, dönüşüm ve ters dönüşüm frmüllerini daha klay öğrenebilirsiniz. Örnek üzerinde göstereyim. Örnek Sru sinº nin değeri kaçtır? Çözüm Bu trignmetrik ranlarını daha önceden bildiğimiz bir açı değil. Değil ama bulabileceğimiz bir açı. Şöyle ki Bu gibi srularda i iki açının farkı biçiminde yazın. Yani = b a lduğunu görün. a ve b açıları dik üçgenlerin açıları lduğu için bunlarda sıkıntı lmaz. tan = tan(b a) = tanb tana deyip hesaplarsınız artık. + tanb.tana Unutmadan söyleyeyim. ct( + y) ve ct( y) yi vermedim. Çünkü biliyrsunuz ki ct( + y) = idi. Onun için vermedim. Zaten yeteri kadar frmül var burada. Bir de nları ver- tan( + y) seydim A Siz de yandaki şekildeki açısını iki açının tplamı C larak yazın ve tan i bulun bakalım. B A Şöyle lması en mantıklısı a öyle değil mi? b = a + b C Meselâ tan = tan(a + b) B dir. tana ve tanb yi de bulursunuz artık.

59 TRİGONOMETRİ 8.ANTRENMAN Trignmetrik ranlardan biri belli iken diğerleri lâzım lduğunda dik üçgen çiziyrduk.. Aşağıdaki trignmetrik ranların değerlerini tplam fark frmüllerini kullanarak hesaplayınız.. ve y dar açılar lmak üzere, sin = cs y = lduğuna göre aşağıdaki ifadelerin snuçları kaçtır? a) sin( + y) a) b) tan7 tan b) sin( y) c) sin0 c) cs( + y) d) cs7 d) cs( y) 4. Aşağıdaki ifadelerin snuçlarını bulunuz.. a ve b dar açılar lmak üzere, tana = tanb = lduğuna göre aşağıdaki ifadelerin snuçları kaçtır? a) tan( a + b) a) b) c) sin0.cs0 + sin0.cs0 sin70.cs40 sin40.cs70 cs0.cs80 sin0.sin80 b) tan( a b) d) cs0.cs0 + sin0.sin0 c) ct( a + b) e) tan0 + tan0 tan0.tan0 d) ct( a b) f) tan00 tan40 + tan40.tan00 4

60 TRİGONOMETRİ 9.ANTRENMAN. sin.cs + cs.sin sin6. sin sin + cscs sincs işleminin snucu kaçtır? işleminin snucu kaçtır?. A = sin.cs7 B = cs.sin7 lduğuna göre, A B farkı kaçtır? 6. sin0acsa cs0asina sinacsa işleminin snucu kaçtır?. K = sin.sin7 L = cs.cs7 7. sin0.cs0 + cs0.sin0 cs.cs8 sin.sin8 lduğuna göre, K + L tplamı kaçtır? işleminin snucu kaçtır? 4. sin 48 cs 4 + cs 48 sin4 cs8 işleminin snucu kaçtır? 8. cs7.cs + sin7.sin sin4.cs cs4.sin işleminin snucu kaçtır?

61 TRİGONOMETRİ 9.ANTRENMAN Gemetrik şekillerde verilen bir açının trignmetrik ranını bulmak için bu açıyı iki açının tplamı larak yazmanız gerekebilir. A K θ 9. A B H C 6 Şekilde verilenlere göre, tanθ kaçtır? B. H 4 y C Şekilde verilenlere göre, tan( ABC ) kaçtır? 0. A. A H C B Şekil 9 özdeş kareden luşmuştur. Buna göre, tan BAC nin değeri kaçtır? ( ) B C Şekilde BH = cm, HC = cm, AH = cm ve tan ( ABC) = lduğuna göre, kaçtır?. D C H F 4. D 4 C A B E A B ABCD ve BEFH birer kare, AB = BE dir. Buna göre, tan(ahe) kaçtır? şekilde verilenlere göre, cs(adc) kaçtır? 6

62 TRİGONOMETRİ 0.ANTRENMAN. D C E 4. D F C F α A B Şekilde ABCD kare, AB = CE lduğuna göre, tanα kaçtır? E θ A B Şekilde ABCD kare, AD = AE, DC = 4 FC lduğuna göre, tanθ kaçtır?. D F C. A E A α G B B Şekilde ABCD kare, AD = 4 AE, DF = FC lduğuna göre, tanα kaçtır? C Şekil özdeş karelerden luştuğuna göre, tan(bac) kaçtır?. D E F θ C Ama bazen istenen açıyı iki açının farkı larak yazmak daha mantıklıdır. İlle de ki açının tplamı larak yazılacak diye bir kural yk. A B Şekildeki ABCD dikdörtgen, AB = CE = BC lduğuna göre, tanθ kaçtır? 6. A α B D C Şekilde verilenlere göre, tanα kaçtır? 7

63 TRİGONOMETRİ 0.ANTRENMAN 7. A α 0. tan arctan arctan + işleminin snucu kaçtır? B D C Şekilde, BD = cm, DC = cm, AB = cm tanα= lduğuna göre, kaçtır? 4 8. D C 4. tan arccs arc ct + 7 işleminin snucu kaçtır? A E B Şekilde ABCD dikdörtgen lduğuna göre, ct kaçtır? Ters trignmetrik şeylere rastlayınca eşittir deyip bir şeyler yapıyrduk Meselâ arcsin = deyince sin = luyrdu.. cs arccs arc ct + işleminin snucu kaçtır? 9. sin arccs arcsin + işleminin snucu kaçtır? 8

64 TRİGONOMETRİ.ANTRENMAN Yarım açı frmülleri Aslında bu ve bundan snraki frmüller hep tplam fark frmüllerinden icat! edilmiş. Adamlar uğraşıp bulmuş valla. Yarım açı frmüllerinin nasıl bulduğunu siz de görün isterseniz. Tplam frmüllerinde y yerine yazın bakalım ne çıkıyr. Birini göstereyim. Merak edenler diğerleriyle uğraşıp matematiğe katkıda bulunabilir. Örneğin cs( + y) = cs.csy sin.siny cs( + ) = cs.cs sin.sin cs = cs sin elde edilir. Anladınız mı bari? İşte yarım açı frmülleri sin = sincs bi zahmet. Ama bunu da yapamıyrsanız üzgünüm Sınavda sruyla sadece bakışırsınız Onun için frmülleri aklınızda tutmanızda fayda var. Ya da her seferinde tplam frmüllerinden çıkarırsınız artık. Örnek Sru 6 cs = lduğuna göre, cs kaçtır? Çözelim Klay bir sru. cs i verip cs i srdum. Yapmanız gereken cs in cs li frmülünü yazmak. Buradaki bütün lay bu zaten. Gerisi klay. cs = cs frmülünde 6 cs = ü yeri- ne yazın bakalım ü bulabilecek misiniz? cs = cs sin = cs = sin tan tan = tan cs in üç tane mi frmülü var? diyeceksiniz şim- di. Yk yk. Hepsi aynı. cs = cs sin frmülünde sin = cs yazarak cs = sin yazarak da cs = cs i cs = sin i elde etmişler. Ama üçünü de bilmek lâzım. Hangisinin lâzım lacağı belli lmuyr da. Aşağıdaki ifadelerin snuçlarını bulunuz. a) b) c) sin.cs sin0.cs0 cs 7 sin 7 d) cs 8 e) sin Yarım açı frmülleri hangi srularda kullanılır? Söyleyeyim. Diyelim ki bir açının trignmetrik ranını biliyrsunuz. Ama siz bu açının iki katına eşit lan başka bir açının trignmetrik ranını bulmak istiyrsunuz. İşte bu tür srularda yarım açı frmülü kullanmak icap ediyr. Ya da tam tersi durumlarda. Yani, bir açının yarısına ait trignmetrik ranları bulurken. Gel gör ki yarım açı frmüllerini hatırlayamadınız. Ama tplam frmüllerinde müthişsiniz. O zaman endişeye mahal yk Tplam frmüllerinden çıkarıverin f) tan tan 9

65 TRİGONOMETRİ.ANTRENMAN. cs = lduğuna göre, cs in değeri kaçtır? 6. sin = 4 lduğuna göre, cs kaçtır?. tan = lduğuna göre, tan değeri kaçtır? 7. sin = a lduğuna göre, cs in değeri kaçtır? 4. tan = 4 lduğuna göre, tan in değeri kaçtır? 8. cs4 = a lduğuna göre, cs8 nin a türünden değeri nedir?. sin = 9. cs = lduğuna göre, cs in değeri kaçtır? lduğuna göre, cs in değeri kaçtır? 0

66 TRİGONOMETRİ.ANTRENMAN. cs =. cs sin sin + cs + lduğuna göre, sin in değeri kaçtır? ifadesinin eşiti nedir?. cs6 = lduğuna göre, cs in değeri kaçtır? 6. sin = a lduğuna göre, (sin cs) ifadesinin a türünden değeri nedir? sincs. cs sin ifadesinin eşiti nedir? 7. sin sin 8 6 işleminin snucu kaçtır? 4. cs sin sin ifadesinin en sade biçimi nedir? 8. sin cs 8 8 işleminin snucu kaçtır?

67 TRİGONOMETRİ.ANTRENMAN 9. sin4 cs6 + cs4 sin6 cs 0 işleminin snucu kaçtır?. cs sin ifadesinin en sade biçimi nedir? Şunu aklınızdan çıkarmayın cs un yanındaki i inadına yk edin. Bunu da cs in sin li ya da cslu frmüllerinden biriyle yapın. Artık denersiniz. Hangisiyle yk luyrsa işte Meselâ, + cs = + cs = cs ( ) ( ) cs = sin = sin luyr Gördüğünüz üzre çk da zr değil. Ama önemli. İntegralde bile lâzım lduğu srular var bunun.. sin = cs lduğuna göre, tan kaçtır? 0. cs + cs ifadesinin eşiti nedir? 4. 0< < lmak üzere, + cs = sin 4 lduğuna göre, cs kaçtır?. + cs sin ifadesinin en sade biçimi nedir?. tanº = m lduğuna göre, + cs4 sin4 nin m türünden değeri nedir? ifadesi

68 TRİGONOMETRİ.ANTRENMAN. cs sin8 cs8 ifadesinin eşiti nedir?. cs sin 8 8 sin cs 8 8 işleminin snucu kaçtır? Tplam fark frmüllerini unutmadınız değil mi?. sin cs cs sin sin ifadesinin en sade biçimi nedir? 6. sina + csa csa sina ifadesinin eşiti nedir?. cs cs sin sin sin cs ifadesinin en sade biçimi nedir? 7. sin7 cs7 sin4 cs4 işleminin snucu kaçtır? 4. Bazı srularda ilk önce paydaları eşitlemek lâzım sin + cs cs sin 8. sin48 + cs6 cs48 sin6 ifadesinin eşiti nedir? işleminin snucu kaçtır?

69 TRİGONOMETRİ.ANTRENMAN 9. sin6 + cs6 = sin cs lduğuna göre, cs in değeri kaçtır?. sin cs = lduğuna göre, cs in değeri kaçtır? 0. tan = lduğuna göre, cs sin ifa- (sin + cs) desinin değeri kaçtır? 4. sin = 4 lduğuna göre, cs sin cs sin ranı kaçtır? (sin cs ) = sin lduğunu görün.. sin + cs = lduğuna göre, sin kaçtır? Ters trignmetrik fnksiyn içeren srularda ters trignmetrik fnksiyna deyin ve öyle çözün.. tan arcsin ifadesinin eşiti kaçtır?. sin cs = lduğuna göre, sin in değeri kaçtır? 6. cs arccs ifadesinin eşiti kaçtır? 4

70 TRİGONOMETRİ 4.ANTRENMAN. cs arcsin Şekilli sruların bazılarında tplam frmülü uygulamaya çalışırken yarım açı frmülüne gerek lduğunu ifadesinin eşiti kaçtır? fark edersiniz. Fark ederseniz tabii ki.. A B C Şekil özdeş kareden luşmuştur. Buna göre, tan(bac) kaçtır?. sin arccs ifadesinin eşiti kaçtır? 6. A. ct arcsin + α B C D Şekilde verilenlere göre, csα değeri kaçtır? ifadesinin eşiti kaçtır? 4. cs arctan 4 ifadesinin eşiti kaçtır? 7. Aşağıdaki şekil üç eş kareden luşmaktadır. lduğuna göre, tanθ nın değeri kaçtır? D E θ C F

71 TRİGONOMETRİ 4.ANTRENMAN 8. Şekilde verilen O merkezli yarım çemberin yarıçapı cm lduğuna göre, csα kaçtır? C α A O B Sn larak şunu vereyim. in trignmetrik ranı verilince in ranlarını bulmanın pırt ylu da var. Ama dar açıysa tabii ki Pırt. çözüm ylu şu dar açı lmak üzere, in trignmetrik ranı belli iken in trignmetrik ranı dik üçgen yardımıyla klayca bulunabiliyr. Nasıl yani? derseniz. Bakın bi. Önce bir dik üçgen (ABC üçgeni) çizin. Snra dik kenarlardan birini hiptenüs kadar uzatın ve üçgen dışında bir ikizkenar üçgen luşturun Gerisi klay C 9. A 4 4 A B Anladınız mı? D B y 6 C Şekildeki ikizkenar ABC üçgeninde, AB = AC, m(abc) = y m(bac) = lduğuna göre, cs kaçtır?. 0, 4 lmak üzere, tan = 4 lduğuna göre, tan kaçtır? 0. T α A O B C Şekilde [CT] dğrusu O merkezli yarım çembere T nktasında teğettir. m(tac)α= lduğuna göre, csα kaçtır?. 0, 4 lmak üzere, cs = lduğuna göre, tan kaçtır? 6

72 TRİGONOMETRİ.ANTRENMAN Dönüşüm Frmülleri Bunlar biraz daha uzun gibi. Ama dediğim şekilde öğrenirseniz çk da zr değiller. Dönüşüm frmülü denen şeyler tplam ya da fark biçiminde verilen ifadeleri çarpım haline dönüştürmeye yarıyr. TAC! FFS! muhabbeti A + B A B sin A + sinb = sin.cs A + B A B cs A + csb = cs.cs A + B A B sin A sinb = cs.sin A + B A B cs A csb = sin.sin Biliş gerek Bu frmüller de tplam ve fark frmüllerinden elde edilmiş. Meraklıları için mail adresimi biliyrsunuz. Frmüllere dikkat ettiniz mi? Bir kere ikisi ya sin sin ya da cs cs ile başlıyr. Ve kat sayıları da. Yani, biri sin diğeri cs iken bu frmülleri kullanamazsınız. Şuna da dikkat edin. Hepsinin başında var. Sadece cs cs daki kadar. Ve hepsinde ilk önce A + B snra da A B var ve araları da çarpı Bu izahatları tekrar kuyarak ne dediğimi üstteki frmüllerde de görün isterseniz. Neyse geleyim şu saçma sapan! (Ama işe yarıyr işte TAC ve FFS muhabbetine Belki aklınızda kalır diye bahsediyrum. Bir ihtimali lması bile güzel. Örnek Sru cs7 cs sin6 + sin4 ifadesinin en sade biçimi nedir? Çözelim İlk önce tplam mı? Fark mı? Ona bakın. Eğer tplamsa(arada artı varsa ) TAC layı. Yani aynı fnksiynla başlayın ve cs la bitirin. Ama fark ise (Arada eksi varsa ) farklı fnksiynla başlayın. sin ile bitirin. Uygulayın bakalım. İlk önce cs7 cs e bakın. FFS layı. Değil mi? O zaman farklı başlayıp sin le bitireceksiniz. Bir de cs cs un başı idi. Bunu da unutmayın. cs7 cs = sin 7 +.sin 7 = sin.sin sin6 + sin4 te ise TAC uygulayacaksınız. Değil mi?. Arada artı var. Aynı başlayın cs la bitirin. sin6 + sin4 = sin cs 6 4 = sin. cs Şimdi de bulduğunuz bu ifadeleri yerine yazın ve sadeleştirerek snucu tan bulun.. cs40 + cs0 sin80 ifadesinin eşiti nedir? Tplamlar, Aynı başlar Csinüsle biter. Farklar, Farklı başlar Sinüsle biter. Örnek vereyim.. cs00 cs40 sin70 ifadesinin eşiti nedir? 7

73 TRİGONOMETRİ.ANTRENMAN. sin6 + sin4 sin cs ifadesinin eşiti nedir? 7. sin4a + sina = sina lduğuna göre, csa kaçtır? 4. sin80 sin70 sin ifadesinin eşiti nedir? 8. cs0 cs0 + cs80 işleminin snucu nedir?. cs + cs cs4 9. sin40 + sin0 cs40 + cs0 işleminin snucu nedir? işleminin snucu kaçtır? 6. cs9 cs sin4 işleminin snucu nedir? 0. cs + cs9 sin + sin9 ifadesinin en sade biçimi nedir? 8

74 TRİGONOMETRİ 6.ANTRENMAN. sin sin cs + cs ifadesinin en sade biçimi nedir?. = lmak üzere sin + sin7 cs.cs işleminin snucu kaçtır?. sina + sin A csa cs A 6. = lmak üzere ifadesinin en sade biçimi nedir? sin8 + sin4 sin7 + sin işleminin snucu kaçtır?. sin6 sin cscs sin sin ifadesinin en sade biçimi nedir? 7. 8= lmak üzere sin9 sin sin7 + sin işleminin snucu kaçtır? 4. sin78 + sin0 cs4.cs6 işleminin snucu kaçtır? 8. = lmak üzere cs9 + cs sin6 sin ifadesinin eşiti nedir? 9

75 TRİGONOMETRİ 6.ANTRENMAN Eğer tplam veya fark durumunda üç ifade lursa en küçüğü ile en büyüğü arasında dönüşüm frmülü kullanmak en mantıklısı. Benden demesi Ama daha pırt bir şeyler isterseniz buyurun bakalım.. sin + sin4 + sin7 cs + cs4 + cs7 işleminin snucu nedir? Pır t. y l a+ c Eğer b = ise, sina + sinb + sinc sinb = = tanb csa + csb + csc csb Meselâ, sin + sin7 + sin sin7 = = tan7 tir. cs + cs7 + cs cs7 Yani, açıları küçükten büyüğe sıraladığınızda rtadakilerin ranına eşit luyr.. cs cs + cs8 sin sin + sin8 işleminin snucu nedir? 9. cs0 + cs40 + cs70 sin0 + sin40 + sin70 işleminin snucu nedir? sin + sin + sin9 0. cs + cs + cs 9 ifadesinin eşiti nedir? in m tü- 4. tan4 = m lduğuna göre, cs + cs4 + cs sin + sin4 + sin ründen değeri nedir?. cs + cs6 + cs9 sin + sin6 + sin9 işleminin snucu nedir?. + y = lmak üzere cs cs y siny sin ifadesinin değeri kaçtır? 0

76 TRİGONOMETRİ 7.ANTRENMAN Trignmetrik Denklemler Burada yeni bir şey yk. Trignmetrik denklemleri çözerken 0, 4 ve 60 nin trignmetrik ranlarını ve birim çemberde bölgeleri ve bu bölgelerde işaretleri bilmek lâzım. Tek tek ele alıp trignmetrik denklemlerin çözümündeki mantığı izah edeyim. cs = a eşitliğini sağlayan değerlerini bulma İlk önce birim çemberdeki bölgeleri düşünerek ksinüs değeri a ya eşit lan açıları bulun. Bulacağınız değerler in değerleridir. Yani, denklemin kökleri. Snra da bulduğunuz değerlere fnksiynun periydunu ekleyerek diğer kökleri bulun.(demek ki periyt bulmayı biliyr lmanız gerekiyrmuş. ) Bu mantığı bütün trignmetrik denklem çözümlerinde kullanabilirsiniz.. cs = cs0 den = 0 çıkıyr. Bu değere periydu ekleyince ise = = 8 bulunuyr. Ve çözüm kümesi = {7, 0,, 8 } Çözüm kümesi böyle bulunuyr. Ama denklemlerde genellikle in en küçük değeri sruluyr. En küçük değer srulduğunda çğu zaman periyt eklemenize gerek kalmaz. Bulduğunuz ilk değer aradığınız değer lur. cs = denklemini sağlayan en küçük açısı kaç derecedir? Örnek Sru 0 < < lmak üzere, cs = denkleminin çözüm kümesi nedir? Çözelim Fena sru sayılmaz. Olayın mantığını anlayabileceğiniz iyi bir sru. İlk önce periydu bulun. Snra da değerlerini. Ve bulduğunuz bu değerlere periydu ekleyerek diğer kökleri ( değerlerini) bulun. cs in periydu 80 = =. Bu bir. Gelelim in değerlerini bulmaya. Bir kere cs değeri eksi. Demek ki açı ikinci bölgede veya üçüncü bölgede. Ve cs değeri 0 yani 6 lan açı. Bunları nt edin bakalım ilk önce.. 0 < < lmak üzere, cs = lduğuna göre, açısı kaç radyandır?. cs6 = lduğuna göre en küçük dar açısı kaç derecedir? İkinci bölgede 0 ye karşılık gelen açı 0 dir. (80 0 = 0 dir.) Üçüncü bölgede ise = 0 dir. İşin zr tarafı burası aslında. Gerisi klay. cs = cs0 den = 7 yi bulun. Snra da buna fnksiynun periydunu ekleyerek = = yi bulun. (Periydu eklemeye devam edin. Aynı değeri bulunca durusunuz.) Üçüncü bölgedeki 0 için ise

77 TRİGONOMETRİ 7.ANTRENMAN 4. 0cs + = 0 lduğuna göre en küçük açısı kaç derecedir? sin = a denkleminin çözümü cs = a denklemindeki mantıkla aynı. Yine ilk önce sinüsü a ya eşit lan açıları bulun. Snra bulduğunuz değerlere periydu ekleye ekleye gidin. Başa gelince de durun. 8. sin = 0 denklemini sağlayan, en küçük açısı kaç derecedir?. cs 4 = sin0 lduğuna göre, açısının en küçük değeri kaç derecedir? 9. sin = lduğuna göre, en küçük dar açısı kaç derecedir? 6. cs = lduğuna göre en küçük açısı kaç derecedir? 0. sin = lduğuna göre en küçük dar açısı kaç derecedir? 7. cs = cs 4 lduğuna göre, açısının en küçük değeri kaçtır?. ( ) sin + 0 = sin80 eşitliğini dğrulayan en küçük açısı kaç derecedir?

78 TRİGONOMETRİ 8.ANTRENMAN. sin + = < < lmak üzere, eşitliğini dğrulayan en küçük açısı kaç derecedir? + = 6 sin cs lduğuna göre, kaçtır? tan = a ve ct = a denklemlerinin çözümü. 0 < < lmak üzere, ct + sin = + cs lduğuna göre, dar açısı kaç derecedir? tan ya da ct. İkisi de aynı şekilde çözülüyr. Ve ikisinin de çözüm kümesi aynı şekilde bulunuyr. İlk önce fnksiynun periydunu bulun. Snra en küçük değerini. Snra da buna periydu ekleye ekleye devam edin. Örnek Sru tan = denkleminin [0,] deki çözüm kümesi nedir? Çözelim İlk önce periydu bulun. Periyt.. 0 < < lmak üzere, + = 4 + cs cs lduğuna göre, en küçük dar açısı nedir? İkinci larak şunu düşünün. tan değeri lan en küçük açı hangisi? dediniz diyelim 6 Artık in değerlerini yazmaya başlayabilirsiniz. = dan =. in diğer değerleri ise buna periydu ekleye ekleye bulacağınız = = = = 9 = başa döndü. Burada durun Ve çözüm kümesini,,, 7 larak bulursunuz

79 TRİGONOMETRİ 8.ANTRENMAN. 0 < < 90 lmak üzere, tan = lduğuna göre, dar açısı kaç derecedir? 8. 0 < < lmak üzere, + tan = + ct lduğuna göre, açısı kaçtır? 6. tan = lduğuna göre, en küçük açısı kaç derecedir? 9. 0 < < 60 lmak üzere, sin = sin0 lduğuna göre, açısı kaç farklı değer alır? 7. ct = lduğuna göre, en küçük dar açısı kaç derecedir? 0. 0 < < 60 lmak üzere, ( ) sin + 0 = sin80 lduğuna göre, açısının alabileceği en küçük değer kaç derecedir? 4

80 TRİGONOMETRİ 9.ANTRENMAN. 0 < < 60 lmak üzere, ( ) = ( ) cs 0 cs 60 lduğuna göre açısının alabileceği en küçük değer kaç derecedir? 4. tan + ct = 4 lduğuna göre, en küçük açısı kaç derecedir?. cs cs + = 0 lduğuna göre, dar açısı kaç derecedir?. ct + sin = sin cs lduğuna göre, dar açısı kaç derecedir?. 0 < < 90 lmak üzere, sin + sin = 4 cs + cs lduğuna göre, açısı kaç derecedir? 6. 0 < < 80 lmak üzere, ( ) ( ) ct 70.tan 40 = lduğuna göre, en küçük dar açısı kaç derecedir?

81 TRİGONOMETRİ 9.ANTRENMAN 7. 0 < < 60 lmak üzere, cs cs + sin = 0 lduğuna göre in alabileceği en küçük açı kaç derecedir? 0. cs tan sin = 4 denkleminin, aralığındaki kökü nedir? 8. 0, lmak üzere, cs sin = 0 lduğuna göre, açısının ölçüsü kaç radyandır?., lmak üzere, sin + tan cs = lduğuna göre, değeri nedir? 9. 0, lmak üzere, cs sin = 0 lduğuna göre, değeri kaçtır?. 0 < < 90 lmak üzere, sin sin cs = cs lduğuna göre, değeri kaçtır? 6

82 Lgaritma

83 Çalışanlar, kötülük düşünmeye vakit bulamazlar. Çalışmayanlar ise, kendilerini kötülükten kurtaramazlar. Hz. Ali

84 LOGARİTMA.ANTRENMAN LOGARİTMA Zr bir knu değil. Ama lgaritmayı adam gibi anlayabilmeniz için üslü ifadelerin temel özelliklerini iyi bilmeniz lâzım. Tabii ki bilmeniz gereken başka bir kaç şey daha var. Fakat diyeceğim ki burada vereceğim yeni bilgiler sizi zrlamayacak. İlk önce lgaritmanın ne işe yaradığını izah edeyim. Önce şu iki sruya cevap verin bakalım. İlki şu = 4 ise kaçtır? a İkincisi ise = ise a kaçtır? Biliyrum. i larak buldunuz. Peki, a yı? a yı eski bilgilerinizle bulmanız zr. İşte lgaritmayı öğrendikten snra a yı da bulabileceksiniz. En azından a şudur diyebileceksiniz a = beşitliğinde = lg b larak ifade edilmiş. Ve bu eşittir lgaritma a tabanında b diye kunur. Bu da ne? diye filan düşünmeyin. Ve burayı iyi anlayın. (Ki snra yamulmayasınız ) İşin özeti bu knuda bilmeniz gereken ilk şey bu. Yani, a = b = lg b lduğu. a a. Aşağıdaki eşitlikleri sağlayan değerlerini kaçtır? a) b) c) d) = = 6 = 8 7 = 0. Aşağıdaki eşitlikleri sağlayan değerlerini kaçtır? a) b) c) d) lg = lg = 4 lg = 0 lg = 6 Örneğin, = eşitliğinde + = eşitliğinde 0 = 7 eşitliğinde = lg + = lg = lg 7 dir. 0 Yani, üslü ifadedeki taban lgaritmanın tabanı luyr. Kısacası taban hep tabandır. Bunun tersi de dğru tabii ki. Yani lg = ise lg ( ) = ise Anlaşıldı mı bu kısım? = = 9 dur. = tir.. = lduğuna göre, in eşiti nedir? Örnek Sru lg ( ) = 4 lduğuna göre, kaçtır? Çözelim Basit ama önemli bir sru. Direkt tanımla ilgili. lg ( ) = 4 ise Buradan da = 6 çıkıyr. 4 = tür. 4. = lduğuna göre, in eşiti nedir? 7

85 LOGARİTMA.ANTRENMAN. = 0. lg (a ) = lduğuna göre, kaçtır? lduğuna göre, a kaçtır? 6. a + = 0 lduğuna göre, a kaçtır?. lg (a + ) = lduğuna göre, kaçtır? 7. = 0 lduğuna göre, kaçtır?. + lg = lduğuna göre, kaçtır? 8. + = lg 4 lduğuna göre, kaçtır?. lg = 0 lduğuna göre, kaçtır? 9. lg = lduğuna göre, kaçtır? 4. ( ) lg 4 = 4 lduğuna göre, kaçtır? 74

86 LOGARİTMA.ANTRENMAN. lg ( + ) = lduğuna göre, kaçtır?. ( ) lg = 4 lduğuna göre, in alabileceği değerler tplamı kaçtır? lg =. ( ) lduğuna göre, kaçtır? Peş peşe iki veya daha çk lgaritma lursa en dıştakinden başlayın. Örnek Sru ( ( )) lg lg lg ( ) = 0 lduğuna göre, kaçtır?. ( ) lg + = 4 lduğuna göre, kaçtır? Çözelim lg (... ) = 0 imiş. Demek ki parantez içinde yazma- dığım yer 0 (...) = = e eşitmiş Aynı mantıkla devam edin. Şimdi sru şöyle ldu. ( ) lg lg ( ) = ise kaçtır? Bu daha basit.... = = lacak. lg (... ) = ise ( ) lg = ise ten = 7 bulursunuz artık Gerisi de aynı zaten. ( ) = ( ) lg 8 = + lduğuna göre, kaçtır? 6. lg ( lg ) = lduğuna göre, kaçtır? 7

87 LOGARİTMA.ANTRENMAN lg lg (4 ) = 0 7. ( ) lduğuna göre, kaçtır?. ( ( )) lg lg lg (0 + = 0 lduğuna göre, kaçtır? 8. ( ) lg lg ( + ) = lduğuna göre, kaçtır?. ( ( )) lg 8 + lg lg ( + = lduğuna göre, kaçtır? 9. ( ) lg + lg (7 + ) = 4 lduğuna göre, kaçtır?. ( ( )) lg + lg + lg ( ) = 6 4 lduğuna göre, kaçtır? lg lg ( ) = 0. ( ) lduğuna göre, kaçtır? ( ( )) 4. ( ) lg lg lg = 0 7 lduğuna göre, kaçtır? 76

88 LOGARİTMA.ANTRENMAN Aklınızda lsun. Lgaritmanın tabanı yazılmamış ise tabanı 0 kabul edilir. Daha dğrusu taban 0 ise çğu zaman yazılmaz. Yani, lg = lg tir. 0 Dlayısıyla lg = lg, lg = lg ve 0 0 lg( ) = lg ( ) demektir. 0 Bir de dğal lgaritma denen bi lgaritma var. Bu da tabanı e lan lgaritmadır. (e =,788 e eşit irrasynel bir sayıdır. Nereden çıktığını bş verin lg = ln demektir. e Dlayısıyla demektir. ln = lg, e ln( ) = lg ( ) e 4. ( ) lg + ln( ) = lduğuna göre, kaçtır?. ( ) ln e + lg ( ) = lduğuna göre, kaçtır?. lg( + 0) = lduğuna göre, kaçtır? lg 6 + lg (4 + 8) =. ( ) lduğuna göre, kaçtır? 6. lg = a lgy = b lmak üzere,.y = 00 lduğuna göre, a + b tplamı kaçtır? 7. = lg00. ln( + ) = lduğuna göre, kaçtır? y = lg 8 lduğuna göre,.y çarpımı kaçtır? 77

89 LOGARİTMA.ANTRENMAN Lgaritma Fnksiynunun Özellikleri İlk şunları söyleyeyim. Bunlar özellik filan değil zaten. Daha önce anlattığım şeyler. a = a lduğundan lg a = dir. (Yalnız a nın a lmaması lâzım.) Yani, den farklı her pzitif sayının aynı tabandaki lgaritması dir. lg0 + lne + lg. lg + lg 4 işleminin snucu kaçtır? lg = lg = lg0 = ln e =... = Tanımdan çıkarabileceğiniz diğer bir snuç da 0 a = lduğundan lg = 0 dır. a Bunun yanisi de şu; taban ne lursa lsun in lgaritması sıfırdır. lg = lg= ln= lg =... = 0 7 lg + lg işleminin snucu kaçtır? lg 4 + lg 4 işleminin snucu kaçtır? Belki de en önemli özellik şu m Pzitif reel sayısı için, lg = m lg dir. a a Sayının üssü kat sayı larak başa geliyr. Eğer tabandaki sayının da üssü varsa bu da başa bölüm larak gelir. lg = m m lg e eşittir. n a n a Antrenman yapa yapa pekiştirin bakalım bunları. Başka bi ylu da yk zaten.. Aşağıdaki ifadelerin değeri kaçtır? a) lg 8 b) lg c) lg 8 d) lg 49 7 Bazen üslü ve köklü ifade bilgisine ihtiyacınız labilir. Hatırlayın. =, = = idi. Yine 8 0. lg 0 + lg işleminin snucu kaçtır? = =, Hatırladınız mı? = = idi. 4. Aşağıdaki ifadelerin değeri kaçtır?. lg0 + ln işleminin snucu kaçtır? a) c) e) lg 4 b) lg d) 4 lg lg lg f) lg

90 LOGARİTMA 4.ANTRENMAN. lg 4 + lne tplamının snucu kaçtır? 6. ln( e ) + ln( e ) işleminin snucu kaçtır?. lg 8 + lg tplamının snucu kaçtır? 7. lg lg 9 7 lg işleminin snucu kaçtır?. lg 46 + lg 66 tplamının snucu kaçtır? 8. lg( 0,0) + lg 0 işleminin snucu kaçtır? 4. lg00 lg000 çarpımının snucu kaçtır? 9. lg 4 lg 7 + lg işleminin snucu kaçtır?. 6( lg 0 + lg 0 ) işleminin snucu kaçtır? 0. lg 8 lg 8 + lg 4 9 işleminin snucu kaçtır? 79

91 LOGARİTMA 4.ANTRENMAN e e. lg lg ( e ) ln işleminin snucu kaçtır? 6. a = b lduğuna göre, lg b ifadesinin değeri kaçtır? a 7. = y 4. lg( 000 ) + lg ( 6 ) lduğuna göre, lg y ifadesinin değeri kaçtır? işleminin snucu kaçtır? 8. 4 = y. ln e + ln e işleminin snucu kaçtır? lduğuna göre, lg y ifadesinin değeri kaçtır? 4. lg + lg + lg tplamının snucu kaçtır? 9. a = b lduğuna göre, lg b ifadesinin değeri kaçtır? a. 0 lg0 + lg0 lg 0 0. a = b işleminin snucu kaçtır? lduğuna göre, lg b ifadesinin değeri kaçtır? a 80

92 LOGARİTMA.ANTRENMAN. lg = a lduğuna göre, lg 9 un a türünden değeri ne- 4 dir?. lg = m lduğuna göre, lg 9 in m türünden değeri nedir?. lg = lduğuna göre, lg in türünden değeri ne- 9 dir? Lgaritma çarpımı tplama, bölümü de farka dönüştürür. lg (.y) = lg + lg y a a a Bunun Türkçe meali şu Pzitif iki sayının çarpımının lgaritması, bu sayıların lgaritmalarının tplamına eşittir. lg lg lg y a y = a a. lg b = a Bunun Türkçe meali de şu Pzitif iki sayının bölümünün lgaritması bu sayıların lgaritmalarının farkına eşittir. lduğuna göre, lg a b ün değeri kaçtır? 6. lg + lg tplamının snucu kaçtır? 4. lg b = 8 a lduğuna göre, lg b nin değeri kaçtır? a 7. lg + lg + lg tplamının snucu kaçtır? 8

93 LOGARİTMA.ANTRENMAN 8. lg + lg e e e. lg 4 lg 8 0, 0, tplamının snucu kaçtır? işleminin snucu kaçtır? 9. lg A + lg B = lduğuna göre, A.B çarpımı kaçtır?. lg lg + lg işleminin snucu kaçtır? 0 lg A lg B = lduğuna göre, A B ranı kaçtır? 4. 7 lg lg lg işleminin snucu kaçtır?. lg lg farkı kaça eşittir?. 4 6 lg lg lg... lg işleminin snucu kaçtır? 8

94 LOGARİTMA 6.ANTRENMAN. lg 8 + lg 6 6 lg 4 lg 6 işleminin snucu kaçtır?. lg = lg = y lduğuna göre, lg08 in ve y türünden eşiti nedir?. lg = a lg = b lduğuna göre, lg8 in a ve b türünden eşiti nedir? 6. lg = lg = y lduğuna göre, lg0,6 nın ve y türünden eşiti nedir?. lg = a lg = b lduğuna göre, lg in a ve b türünden eşiti nedir? 7. lg = 0,0 lg = 0,477 lduğuna göre, lg70 nin değeri kaçtır? 4. lg = lg = y lduğuna göre, lg7 nin ve y türünden değeri nedir? 8. lg 0,0 lg 0,477 lduğuna göre, lg0, nin yaklaşık değeri kaçtır? 8

95 LOGARİTMA 6.ANTRENMAN 9. lg 0,0 lg 0,477 6 lduğuna göre, lg( 4.0 ) kaçtır? nın yaklaşık değeri. lg = lg y = lduğuna göre, lg y kaçtır? 0. lg = y lg = z lduğuna göre, lg( 0,06) eşiti nedir? nın y ve z türünden 4. ln( y) = ln = y lduğuna göre, in değeri nedir?. lg = lg y = lduğuna göre, ( ) lg y kaçtır?. lg + lg işleminin snucu kaçtır?. lg = 4 lgy = lduğuna göre, lg( y ) kaçtır? 6. 4lg + 6lg işleminin snucu kaçtır? 84

96 LOGARİTMA 7.ANTRENMAN Taban Değiştirme lg b c lg b = a lg a c Lgaritmada tabanı değiştirmek zr değil. Ama Ne zrumuz var ki tabanı değiştiriyruz? diye gelebilir aklınıza. Şeytandandır bu düşünce Takılmayın öyle şeylere. Taban değiştirirken asıl önemli lan husus tabanın hangi tabana göre değiştirileceğidir. Bunu sruda verilenler bakıp anlayabilirsiniz aslında.. lg = a lg = b lduğuna göre, lg in a ve b türünden değeri nedir? Örneğin, lg ifadesinde taban değiştirirken lg lg 7 lg ln lg = = = = =... yazılabilir. lg lg lg ln 7 Gerçi ben bir sürü yazdım. Ama hangi taban işinize yarayacaksa tabanı seçin. Anlaşıldı mı bu lay? Neyin işinize yarayacağını da siz bilin artık.. lg = lg = y lduğuna göre, nedir? lg ün ve y türünden eşiti Örnek Sru lg = a lg 7 = b lduğuna göre, lg 4 nin a ve b türünden değeri nedir? Çözelim Klasik bi taban değiştirme srusu. Verilenlere bakınca tabanı seçmek gerektiğini görebilmek lâzım. Çünkü tabanındaki ve 7 yi biliyruz en azından tabanına göre tabanı değiştirirseniz, lg 4 lg 4 = larak yazılabilir. Bunda bi sakınca yk lg Snraki adım bildiğiniz gibi lg 4 lg (..7) = larak yazıp devam edin. lg lg (.) lg + lg + lg 7 Devam edince = a + b + lg + lg a + gibi bir snuç bulacaksınız. Oldu mu şimdi?. lg = u lg = v lduğuna göre, nedir? 4. lg = lg = y lduğuna göre, nedir? lg ün u ve v türünden eşiti lg 6 nın ve y türünden eşiti 9 Özet larak Demek ki verilenin tabanı ile istenenin tabanı farklı ise istenen ifadede verilen tabanda taban değiştirmek lâzım. 8

97 LOGARİTMA 7.ANTRENMAN. lg = a lg = b lduğuna göre, nedir? lg in a ve b türünden değeri 6 9. lg = lg = y lduğuna göre, nedir? lg ün ve y türünden eşiti 6. lg = u lduğuna göre, eşiti nedir? lg 4 ifadesinin u türünden 0. lg 4 = a lg4 7 = b lduğuna göre, nedir? lg 7 ün a ve b türünden eşiti 7. lg = a lduğuna göre, eşiti nedir? lg ifadesinin a türünden. lg = a lg = b lduğuna göre, lg40 ın a ve b türünden değeri nedir? 8. lg = lduğuna göre, eşiti nedir? lg ifadesinin türünden 0. lg 7 = a lg = b lduğuna göre, lg in a ve b türünden değeri 4 nedir? 86

98 LOGARİTMA 8.ANTRENMAN Yine taban değiştirmeyi kullanarak = lg b lduğunu görebilirsiniz lg a a b. lg 4 lg 4 0 işleminin snucu kaçtır?. + lg lg 7 işleminin snucu kaçtır? lg lg. lg + 6 lg 6 işleminin snucu kaçtır? işleminin snucu kaçtır?. lg lg lg 4 lg 4 lg 4 7 işleminin snucu kaçtır? işleminin snucu kaçtır? 4. + lg 0 lg 0 işleminin snucu kaçtır? lg 60 lg 60 lg 60 işleminin snucu kaçtır? 87

99 LOGARİTMA 8.ANTRENMAN lg 60 lg 60 lg 60. lg. lg 000 işleminin snucu kaçtır? işleminin snucu kaçtır? 0. Yine lg b lg c lg d = lg d lduğu rahatlıkla a b c a görülebilir lg. lg işleminin snucu kaçtır? 4. lg 9. lg. lg işleminin snucu kaçtır?. lg 9. lg 8 işleminin snucu kaçtır?. lg. lg 4. lg... lg işleminin snucu kaçtır?. lg 4. lg 7 işleminin snucu kaçtır? 6. lg 9 lg lg 8 işleminin snucu kaçtır? 88

100 LOGARİTMA 9.ANTRENMAN Lgaritma Fnksiynunun Tanım Kümesi Önce Türkçesini söyleyeyim. Sadece pzitif sayıların lgaritması vardır. Negatif sayıların ve sıfırın lgaritması yktur. Ayrıca lgaritmanın tabanı da pzitif lmalı. Ama lamaz. Bunu da aklınızda tutun Gelelim bunun matematikçesine. f() = lg fnksiynunun en geniş tanım kümesi nedir? y = lg g () fnksiynunun tanımlı lması için a g() > 0 lmalı. Ayrıca a > 0 ve a lmalı. Örnek Sru f() = lg (7 ) ( ) fnksiynunun en geniş tanım kümesi nedir? Çözelim Çk basit. Lgaritmanın tanımlı lması için gördüğünüz bütün li ifadeler pzitif (yani sıfırdan büyük ) lmalı. Sadece taban lamaz. Buna dikkat edin. İlk önce 7 > 0 dan < 7 yi bulun. Snra tabana geçin. Ve > 0 dan > lması gerektiğini görün. Ama neyi unutmayın demiştim. Bir de lması gerektiğini. Yani, lmalı. Daha bitmedi tabii ki. Şimdi ne ldu. den büyük, 7 den küçük lacak. Ama de lmayacak. Bunu (, 7) {} larak ifade etmek lâzım. Ben tabanı li lan bir fnksiyn verdim. Ama çğu zaman tabanı li verilmez. Göreceksiniz 4. f() = lg ( ) fnksiynunu tanımlı yapan pzitif tam sayılarının tplamı kaçtır?. f() = lg( ) + lg( 6 ) fnksiynunu tanımlı yapan tamsayılarının tplamı kaçtır?. f() = lg ( ) fnksiynunun en geniş tanım kümesi nedir?. f() = lg ( ) fnksiynunun en geniş tanım kümesi nedir? 6. f() = lg 7 6 fnksiynunun en geniş tanım aralığı nedir? 89

101 LOGARİTMA 9.ANTRENMAN 7. f() = ln( + + ) fnksiynunun en geniş tanım aralığı nedir? Lgaritmalı ve Üslü Fnksiynların Tersi Hatırlayacaksınız. Bir fnksiynun tersini alırken önce i yalnız bırakıyrdunuz. (Yani, in y türünden değerini buluyrdunuz.) buradaki lay da aynı. Zaten birazdan göreceksiniz ki üslü biçimde verilen fnksiynun tersi lgaritmalı, lgaritmalı verilen fnksiynun tersi de üslü çıkıyr. Çk fazla bir zrluğu yk. Eğer cebirsel yeteneklerinizi kaybetmediyseniz bunu da yapabilmeniz lazım. 8. f() = lg ( 9 ) 6 fnksiynu in kaç farklı tamsayı değeri için tanımlıdır? Örnek Sru f() = lg ( ) fnksiynunun ters fnksiynu lan fnksiynu nedir? f () 9. f() = lg ( 7 ) fnksiynunun en geniş tanım kümesi nedir? Çözelim. Fnksiynun tersi srulduğunda ilk önce i yalnız bırakın. f() yerine y yazın ve devam ederek, y = lg ( ) eşitliğinden en baştaki lgaritma ta- nımını kullanarak lg ( ) = y den = y ve y = + i bulun. Snrasını biliyrsunuz Bunu f () = + larak yazın ve ters fnksiynu bulmuş lun. Örnek Sru f() = fnksiynunun ters fnksiynu lan fnksiynu nedir? f () 0. f() = lg ( 7 ) ( ) fnksiynunu tanımlı yapan tam sayıların tplamı kaçtır? Çözelim. Yine aynı şeyi yapın. Yani, i yalnız bırakın. f() yerine y yazın ve devam ederek, = y eşitliğinden yine lgaritmanın en başında verdiğim lgaritma tanımını kullanarak = y + ve = lg (y + ) ve buradan da = + lg ( + ) ü bulun. Snrası hep aynı. Bunu f () = + lg ( + ) larak yazın ve ters fnksiynu bulmuş lun. Var mı bi zrluğu? 90

102 LOGARİTMA 0.ANTRENMAN. f() = lg 6 fnksiynunun ters fnksiynu lan fnksiynu nedir? f (). f() = lg ( 4 ) 6 fnksiynunun ters fnksiynu lan fnksiynu nedir? f (). f() = + lg fnksiynunun ters fnksiynu lan fnksiynu nedir? f () 6. + f() = lg 4 fnksiynunun ters fnksiynu lan fnksiynu nedir? f (). f() = lg ( ) fnksiynunun ters fnksiynu lan fnksiynu nedir? f () 7. 4 f() = ln fnksiynunun ters fnksiynu lan fnksiynu nedir? f () 4. f() = lg ( + ) fnksiynunun ters fnksiynu lan fnksiynu nedir? f () 8. f() = + lg ( ) fnksiynunun ters fnksiynu lan fnksiynu nedir? f () 9

103 LOGARİTMA 0.ANTRENMAN 9. f() = lg ( 4) fnksiynunun ters fnksiynu lan fnksiynu nedir? f (). f() = fnksiynunun ters fnksiynu lan fnksiynu nedir? f () 0. f() = lg( + ) fnksiynunun ters fnksiynu lan fnksiynu nedir? f () 4. f() = + fnksiynunun ters fnksiynu lan fnksiynu nedir? f (). f() = fnksiynunun ters fnksiynu lan fnksiynu nedir? f (). f() = fnksiynunun ters fnksiynu lan fnksiynu nedir? f (). f() = fnksiynunun ters fnksiynu lan fnksiynu nedir? f () 6. f() = fnksiynunun ters fnksiynu lan fnksiynu nedir? f () 9

104 LOGARİTMA.ANTRENMAN Lgaritmik Fnksiynun Grafiği Grafik çizme knusunda çk da istekli lmadığınızı biliyrum Ama krkmanıza da gerek yk Lgaritmik fnksiynların grafiğini çizmek de, çizilen grafiğin hangi fnksiyna ait lduğunu bulmak da zr değil kesinlikle. Yeter ki dediklerimi iyi anlayın. İlk önce tanım aralığını bulun. Snra da y = 0 ve y = lan nktaların apsislerini bulun. Bu kadarcık işte. Ama bu nktalardan geçen grafiği çizmek için de epey bir yetenekli lmak lazım. O da sizde çkça lduğuna göre. Örnek Sru y = lg ( ) fnksiynun grafiğini çizelim.. Grafiği uzun uzun çizdim. Ama test srularında grafiği çizmeyeceksiniz tabii ki. Tanım aralığına ve geçtiği nktalara bakarak dğru cevabı bulacaksınız. Hatırlayacaksınız. Grafiğin geçtiği nktaların krdinatları fnksiyn denklemini sağlardı. y O a Şekilde y = lg fnksiynunun grafiği verilmiştir. Buna göre, a kaçtır? Çözelim Lgaritmalı fnksiyn grafiğinde önemli lan tanım kümesi ve y yi 0 ve yapan değerleriydi. Bu fnksiyn > 0 için y yani, > için tanımlıdır. (Grafikte = den kesikli bir çizgi çizilir ve grafik > lduğundan in sağ O tarafında lacak demektir bu.) İkincisi larak da y yi 0 ve yapan değerlerini bulmak lâzım. Bulalım. lg ( ) = 0 y dan = luyr. Demek ki grafik (,0) dan geçecek. (4,) lg ( ) = den = 4 O (,0) 4 luyr. Bu da grafiğin (4,) nktasından geçeceği anlamına geliyr. Bu adımlardan snra iş grafiği çizmeye geldi. Aklınızda lsun. Lgaritmalı fnksiynun grafiği yay şeklinde lur. Bu nktalardan geçen ve kesikli çizginin diğer tarafına geçmeyen eğri de şu lacak. y.. Şekilde y = lg fnksiynunun grafiği verilmiştir. Buna göre, a kaçtır? y y O a b O 4 O 9 Şekilde y = lg eğrisinin grafiği verilmiştir. Buna göre, b kaçtır? 9

105 LOGARİTMA.ANTRENMAN 4. y 7. y - k - - O k Şekilde y = lg fnksiynunun grafiği verilmiştir. Buna göre, k kaçtır? Şekilde f() = lg ( + n) fnksiynunun grafiği verilmiştir. Buna göre, k + n tplamı kaçtır?. y 8. y O m n 9-4 n O Şekilde f() = lg fnksiynunun grafiği verilmiş- tir. Buna göre, m + n tplamı kaçtır? Şekilde f() = lg ( + m) fnksiynunun grafiği verilmiştir. 4 Buna göre, m + n tplamı kaçtır? 6. y 9. y O n - a O b Şekilde f() = lg ( m) fnksiynunun grafiği 4 verilmiştir. Buna göre, m + n tplamı kaçtır? Şekilde y = lg ( + ) eğrisinin grafiği verilmiştir. 4 Buna göre, a + b tplamı kaçtır? 94

106 LOGARİTMA.ANTRENMAN Bir Reel Sayının Lgaritmasının Yaklaşık Değeri Zr bir şey değil. Burada yaklaşık değerden kasıt verilen sayının lgaritmasının hangi iki ardışık tam sayı arasında lduğunu bulmaktır. Bunun için tabandaki sayının tam kuvvetlerine eşit lan sayıların lgaritmasından yararlancaz. 4. lg0,0006 sayısı hangi iki ardışık tam sayı arasındadır? Şöyle ki lg = 0 ve lg0 = lduğuna göre, 0 tabanına göre ile 0 arasındaki (yani tam kısmı bir basamaklı) sayıların lgaritmasının 0 ile arasında lduğunu söyleyebiliriz. Meselâ lg7 = 0, yine lg8,4 = 0, gibi bir şeydir. Aynı mantıkla lg0 = ve lg00 = lduğundan 0 ile 00 arasındaki (yani, tam kısmı iki basamaklı) sayıların lgaritmasının ile arasında lduğunu ve yine aynı mantıkla lg00 = ve lg000 = lduğundan 00 ile 000 arasındaki (yani tam kısmı üç basamaklı) sayıların lgaritmasının da ile arasında lduğunu klaylıkla söyleyebilirsiniz.. 6. lg 4 hangi iki ardışık tam sayı arasındadır? lg 70 hangi iki ardışık tamsayı arasındadır? Bu arada bu mantığı taban 0 dan farklı lduğunda da kullanabilirsiniz. Meselâ lg = ve lg = lduğundan ile arasındaki sayıların tabanındaki lgaritması ile ara- sında lduğunu görebilirsiniz. Var mı anlaşılmayan bir şey? Ya da anlaşılan bir şey? 7. lg hangi iki ardışık tam sayı arasındadır?. lg46 hangi iki ardışık tam sayı arasındadır? 8. lg hangi iki ardışık tamsayı arasındadır? 7. lg,8 hangi iki ardışık tamsayı arasındadır?. lg9,6 hangi iki ardışık tam sayı arasındadır? 9. lg 0,0 lduğuna göre, lg80 in yaklaşık değeri kaçtır? 9

107 LOGARİTMA.ANTRENMAN 0. lg 0,0 lduğuna göre, lg 0,064ün yaklaşık değeri kaçtır? 4. a = lg 0 b = lg 4 c = lg lduğuna göre, a, b, c nin küçükten büyüğe dğru sıralaması nedir?. lg 0,0 lg 0,477 lduğuna göre, lg8 in yaklaşık değeri kaçtır?. = lg y = lg7 z = lg lduğuna göre,, y, z nin küçükten büyüğe dğru sıralaması nedir?. lg 0,0 lg 0,477 lduğuna göre, lg0 nin yaklaşık değeri kaçtır? 6. = lg 00 y = lg 40 z = lg 0 4 lduğuna göre,, y, z arasındaki sıralama nasıldır?. lg 0,477 lduğuna göre, lg0,007 nin yaklaşık değeri kaçtır? 7. a = lg 0 b = lg 0 c = lg 60 4 lduğuna göre, a, b, c nin küçükten büyüğe dğru sıralaması nedir? 96

108 LOGARİTMA.ANTRENMAN Basamak Sayısını Bulma Çk uzatmadan bunu şöyle ifade edeyim. Üslü larak verilen bir sayının basamak sayısını bulmak için sayının 0 tabanındaki lgaritmasına bakılır. Basamak sayısı sayının lgaritmasının tam kısmından bir fazladır.. lg 0,0 lduğuna göre, 0 0 sayısı kaç basamaklıdır? Örnek Sru lg 0,0 lduğuna göre, 0 40 sayısı kaç basamaklıdır? Çözelim Hesap makinesiyle bulamazsınız. Aslında 40 üzeri 0 nin kaç lduğunu bulmak zr. Ama kaç basamaklı lduğunu bulabiliriz yine de. Bunun için şunu yapın. Bu sayının 0 tabanındaki lgaritmasının kaç lduğunu bulun. Dğru bulduysanız şu işlemleri yapmış lmanız lâzım lg40 0 = 0lg40 = 0lg.0 ( ) 0( lg + lg0) = 0( 0,0 + ) =,04 Bu sayının tam kısmı imiş. Tam kısmını bulduysanız basamak sayısı bunun fazlasıdır. Yani, 40 0 sayısı basamaklıdır. Demek ki hesap makinesine gerek ykmuş. 4. lg 0,477 lduğuna göre, 0 9 sayısı kaç basamaklıdır?. lg 0,0 lduğuna göre 0 kaç basamaklı sayıdır?. lg 0,477 0 lduğuna göre, 9 kaç basamaklıdır?. lg 0,0 lduğuna göre, 0 8 sayısı kaç basamaklıdır? 6. lg 0,477 lduğuna göre, 0 0 kaç basamaklıdır? 97

109 LOGARİTMA.ANTRENMAN Lgaritmik ve Üslü Denklemler Burada yeni bir şey yk. Üslü denklemler bildiğiniz gibi Lgaritmalı denklemlerde ise lgaritma özelliklerini biliyrsanız sıkıntı yaşamayacaksınız. Bu arada lgaritmalı denklemden kasıt, lgaritmalı ifade içeren denklemlerdir. Üslü denklemlerde özel bir şey yk. Ama lgaritmalı denklemleri çözerken bir şeye dikkat etmek lâzım. Yksa yamulma lasılığı mevcut. O da şu; lgaritmalı denklemi çözdükten snra bulduğunuz değerlerinin lgaritmalı ifadelerin hiç birini negatif yapmadığından emin lun. Negatif yapıyrsa bu değer kök lamaz = 64 lduğuna göre, kaçtır? + + = 40 denklemini sağlayan değeri kaçtır? Örnek Sru + = 64 denkleminin çözüm kümesi nedir? Çözelim En önemli üslü denklem tipi bu. Yani tabanları eşit duruma getirilebilenler. Biliyrsunuz ki Tabanları eşit iki üslü ifade eşit ise üsleri de eşittir = 6dır. bu denklemi = lduğundan çözüp = ve = ü bulursunuz artık. Ç.K = {, } imiş = 0 lduğuna göre, kaçtır? Örnek Sru + 4 = 0 denklemini sağlayan değeri kaçtır? 0. a 4 = lduğuna göre, a kaçtır? Çözelim Denklem üslü. Ama aslında ikinci derece denkleme dönüştürülerek çözülen tiplerden Denklemi düzenleyin ( ) 4 = 0 şeklinde ifade edin. Snra da = t diyerek t 4t = 0 denkleminden t = 8 ve t = 4 ü bulun. Ama srulanın in değerleri lduğunu kesinlikle aklınızdan çıkarmayın. Onun için t değerlerini = 8 den = ü bulun. Ve = 4 eşitliğini sağlayan değeri lmadığını da görün Demek ki = imiş = t de yerine yazarak = 0 lduğuna göre, kaçtır? 98

110 LOGARİTMA 4.ANTRENMAN = = 0 lduğuna göre kaçtır? denkleminin çözüm kümesi nedir?. + = lduğuna göre, kaçtır? = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? = lduğuna göre kaçtır? 7. 0 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? 4. e + = denkleminin çözüm kümesi nedir? = 0 denkleminin kökler tplamı nedir? 99

111 LOGARİTMA 4.ANTRENMAN lg ( ) = gibi bir denklemi çözerken sıkıntınız lacağını sanmıyrum. 9. ( ) lg =. ( ) lg 4 + = lduğuna göre, kaçtır? lduğuna göre, değerleri tplamı kaçtır? 0. lg + = 8 lduğuna göre, kaçtır? ( ) 4. ( ) lg lg = lduğuna göre, kaçtır?. ( ) lg = 4 lduğuna göre, kaçtır? ( ). ( ) lg + lg = 0 lduğuna göre, kaçtır?. ( ) lg a + a 8 = a lduğuna göre, denklemin çözüm kümesi nedir? ( ) lg lg lg + = 0 6. ( ) lduğuna göre, kaçtır? 00

112 LOGARİTMA.ANTRENMAN Fakat lg f() = lg g() gibi bir denklemi çözerken a a değerlerini f() = g() eşliğinden bulun. Bulun fakat bulduğunuz değerlerin hem f() i hem de g() i pzitif yaptığından emin lun. Yani kntrl edin bi zahmet. lg = lg ( + 0) lduğuna göre, kaçtır? Örnek Sru lg( + ) + lg = 0 denklemini sağlayan değeri kaçtır? Çözelim İlk önce bildiğiniz lgaritma özelliklerini kullanın ve denklemi lg( + ) + lg = lg( + ). = 0 biçimine getirin. Snra da ( ) lg + = 0 denklemini çözün. 0 + = 0 = den = ve = i bulun. Fakat = için lgaritmalı ifadelerin negatif lduğunu görün. Dlayısıyla sadece labilir. 4. 6lg 8 = lg lg 4 lduğuna göre, kaçtır? lg + = lg. ( ) lduğuna göre, kaçtır?. lg ( + ) = lg ( 4) lduğuna göre, kaçtır? lg 4 = lg 4. ( ) lduğuna göre, kaçtır? 6. ( ) ( ) lg + lg 6 = 0 lduğuna göre, kaçtır? 0

113 LOGARİTMA.ANTRENMAN 7. ( ) ( ) lg a + 7 lg 4a + = lduğuna göre, a kaçtır?. lg + lg = lduğuna göre, kaçtır? 8. lg ( + ) + lg ( ) = denkleminin çözüm kümesi nedir?. lg ( ) + lg = lduğuna göre, kaçtır? 9. lg ( 4 ) = lg ( 4 + 6) lduğuna göre, kaçtır? lg + lg + =. ( ) ( ) lduğuna göre çözüm kümesi nedir? 0. lg ( ) = lg ( + ) lduğuna göre, kaçtır? 4. ( ) ( ) lg + + lg = lduğuna göre, kaçtır? 0

114 LOGARİTMA 6.ANTRENMAN. lg(4 + ) + lg = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? Fakat lg ( ) < ise 0 < < dir. lg ( ) ise 0 < tür. Eşitsizlikleri çözmedim. Sadece yl gösterdim. Çözersiniz artık Yani, li ifade bir sayıdan büyükse eşitsizliği düz çözün. Ama li ifade bir sayıdan küçükse li ifadenin sluna 0 < yazın. (ki lgaritma tanımlı lsun.).. lg( ) + lg = lg lduğuna göre, kaçtır? lg ( + ) lg ( + ) = denkleminin çözüm kümesi nedir? Taban 0 ile arasında lursa eşitsizlik yön değiştiriyr. lg ( ) < ise > dir. lg ( ) ise tür. Fakat lg ( ) > ise 0 < < dir. lg ( ) ise 0 < tür. Bunları da çözersiniz Üstte ben tabanı verdim. Ama 0 ile arasında başka bir sayı da labilir tabii ki Lgaritmalı eşitsizlikler Lgaritmalı eşitsizlikleri çözerken aklınızda hep şu lsun. Negatif sayıların lgaritması yktur. Yani, lgaritmanın içi negatif lamaz. Bir de tabanın 0 ile arasında mı yksa den büyük mü lduğu önemli. Hem de çk Üstte fark etmişsinizdir. Yine li ifade bir sayıdan büyükse eşitsizlik düz çözülüyr. Ama li ifade bir sayıdan küçükse li ifadenin sluna 0 < yazılıyr. Mantık yine aynı aslında. 4. ( ) lg > eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? Ben şunları yazayım. Bakalım bir snuç çıkarabilecek misiniz? Taban den büyükse sıkıntı yk. lg ( ) > ise > dir. lg ( ) ise tür. 0

115 LOGARİTMA 6.ANTRENMAN. ( ) lg 4 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? 9. ( ) lg 4 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? 6. ( ) lg + lg eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? 0. ( ) lg + lg < eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? 7. ( ) lg + lg eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?. ( ) lg + lg eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? 8. ( ) lg 4 < eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?. ( ) lg + eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? 04

116 LOGARİTMA 7.ANTRENMAN lg eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?. ( ). ( ) lg + lg < 4 4 eşitsizliği in kaç tam sayı değeri için dğrudur?. ( ) lg + lg < eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? 6. ( ) lg + lg > eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayı kaçtır?. ( ) lg + lg eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? 4. ( ) lg + lg eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayı kaçtır? lg ( ) < lg ( + 6) gibi bir eşitsizliği çözerken de aynı şeyi yapacaksınız. Yani, 0 < < + 6 deyip çözeceksiniz. lg ( ) > lg ( + 6) şeklindekileri çözerken ise > + 6 > 0 deyip öyle çözeceksiniz. Bunları çözebilirsiniz diye tahmin ediyrum. Ama unutanlar için hatırlatayım. İlkinde önce 0 < eşitsizliğini. Snra da < + 6 eşitsizliğini çözüp ikisinin kesişimlerini alıyrduk Diğerinde de aynı mantık. 7. lg ( ) < lg ( + 6) eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? 0

117 LOGARİTMA 7.ANTRENMAN 8. lg ( ) < lg ( + ) eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?. < lg eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? 9. lg ( ) < lg ( + 6) eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?. ( ) 0 lg < eşitsizliğini sağlayan tam sayılarının tplamı kaçtır? 0. lg ( + ) > lg ( 4 ) eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? 4. ( ) lg eşitsizliği in kaç farklı tam sayı değeri için dğrudur?. lg ( + 6) lg ( 4 ) 4 4 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?. ( ) ( ) lg + lg + lg 7 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? lg ( 7) < gibi eşitsizliklerin çözümü en klayı. Yapmanız gereken 7 < deyip devam etmek. Başka da bir şey yk. 06

118 Lgaritma

119 Çalışanlar, kötülük düşünmeye vakit bulamazlar. Çalışmayanlar ise, kendilerini kötülükten kurtaramazlar. Hz. Ali

120 LOGARİTMA.ANTRENMAN LOGARİTMA Zr bir knu değil. Ama lgaritmayı adam gibi anlayabilmeniz için üslü ifadelerin temel özelliklerini iyi bilmeniz lâzım. Tabii ki bilmeniz gereken başka bir kaç şey daha var. Fakat diyeceğim ki burada vereceğim yeni bilgiler sizi zrlamayacak. İlk önce lgaritmanın ne işe yaradığını izah edeyim. Önce şu iki sruya cevap verin bakalım. İlki şu = 4 ise kaçtır? a İkincisi ise = ise a kaçtır? Biliyrum. i larak buldunuz. Peki, a yı? a yı eski bilgilerinizle bulmanız zr. İşte lgaritmayı öğrendikten snra a yı da bulabileceksiniz. En azından a şudur diyebileceksiniz a = beşitliğinde = lg b larak ifade edilmiş. Ve a bu eşittir lgaritma a tabanında b diye kunur. Bu da ne? diye filan düşünmeyin. Ve burayı iyi anlayın. (Ki snra yamulmayasınız ) İşin özeti bu knuda bilmeniz gereken ilk şey bu. Yani, a = b = lg b lduğu. a. Aşağıdaki eşitlikleri sağlayan değerlerini kaçtır? a) b) c) d) = = 6 = 8 7 = 0. Aşağıdaki eşitlikleri sağlayan değerlerini kaçtır? a) b) c) d) lg = lg = 4 lg = 0 lg = 6 Örneğin, = eşitliğinde + = eşitliğinde 0 = 7 eşitliğinde = lg + = lg = lg 7 dir. 0 Yani, üslü ifadedeki taban lgaritmanın tabanı luyr. Kısacası taban hep tabandır. Bunun tersi de dğru tabii ki. Yani lg = ise lg ( ) = ise Anlaşıldı mı bu kısım? = = 9 dur. = tir.. = lduğuna göre, in eşiti nedir? Örnek Sru lg ( ) = 4 lduğuna göre, kaçtır? Çözelim Basit ama önemli bir sru. Direkt tanımla ilgili. lg ( ) = 4 ise Buradan da = 6 çıkıyr. 4 = tür. 4. = lduğuna göre, in eşiti nedir? 7

121 LOGARİTMA.ANTRENMAN. = 0. lg (a ) = lduğuna göre, kaçtır? lduğuna göre, a kaçtır? 6. a + = 0 lduğuna göre, a kaçtır?. lg (a + ) = lduğuna göre, kaçtır? 7. = 0 lduğuna göre, kaçtır?. + lg = lduğuna göre, kaçtır? 8. + = lg 4 lduğuna göre, kaçtır?. lg = 0 lduğuna göre, kaçtır? 9. lg = lduğuna göre, kaçtır? 4. ( ) lg 4 = 4 lduğuna göre, kaçtır? 74

122 LOGARİTMA.ANTRENMAN. lg ( + ) = lduğuna göre, kaçtır?. ( ) lg = 4 lduğuna göre, in alabileceği değerler tplamı kaçtır? lg =. ( ) lduğuna göre, kaçtır? Peş peşe iki veya daha çk lgaritma lursa en dıştakinden başlayın. Örnek Sru ( ( )) lg lg lg ( ) = 0 lduğuna göre, kaçtır?. ( ) lg + = 4 lduğuna göre, kaçtır? Çözelim lg (... ) = 0 imiş. Demek ki parantez içinde yazma- dığım yer 0 (...) = = e eşitmiş Aynı mantıkla devam edin. Şimdi sru şöyle ldu. ( ) lg lg ( ) = ise kaçtır? Bu daha basit.... = = lacak. lg (... ) = ise ( ) lg = ise ten = 7 bulursunuz artık Gerisi de aynı zaten. ( ) = ( ) lg 8 = + lduğuna göre, kaçtır? 6. lg ( lg ) = lduğuna göre, kaçtır? 7

123 LOGARİTMA.ANTRENMAN lg lg (4 ) = 0 7. ( ) lduğuna göre, kaçtır?. ( ( )) lg lg lg (0 + = 0 lduğuna göre, kaçtır? 8. ( ) lg lg ( + ) = lduğuna göre, kaçtır?. ( ( )) lg 8 + lg lg ( + = lduğuna göre, kaçtır? 9. ( ) lg + lg (7 + ) = 4 lduğuna göre, kaçtır?. ( ( )) lg + lg + lg ( ) = 6 4 lduğuna göre, kaçtır? lg lg ( ) = 0. ( ) lduğuna göre, kaçtır? ( ( )) 4. ( ) lg lg lg = 0 7 lduğuna göre, kaçtır? 76

124 LOGARİTMA.ANTRENMAN Aklınızda lsun. Lgaritmanın tabanı yazılmamış ise tabanı 0 kabul edilir. Daha dğrusu taban 0 ise çğu zaman yazılmaz. Yani, lg = lg tir. 0 Dlayısıyla lg = lg, lg = lg ve 0 0 lg( ) = lg ( ) demektir. 0 Bir de dğal lgaritma denen bi lgaritma var. Bu da tabanı e lan lgaritmadır. (e =,788 e eşit irrasynel bir sayıdır. Nereden çıktığını bş verin lg = ln demektir. e Dlayısıyla demektir. ln = lg, e ln( ) = lg ( ) e 4. ( ) lg + ln( ) = lduğuna göre, kaçtır?. ( ) ln e + lg ( ) = lduğuna göre, kaçtır?. lg( + 0) = lduğuna göre, kaçtır? lg 6 + lg (4 + 8) =. ( ) lduğuna göre, kaçtır? 6. lg = a lgy = b lmak üzere,.y = 00 lduğuna göre, a + b tplamı kaçtır? 7. = lg00. ln( + ) = lduğuna göre, kaçtır? y = lg 8 lduğuna göre,.y çarpımı kaçtır? 77

125 LOGARİTMA.ANTRENMAN Lgaritma Fnksiynunun Özellikleri İlk şunları söyleyeyim. Bunlar özellik filan değil zaten. Daha önce anlattığım şeyler. a = a lduğundan lg a = dir. (Yalnız a nın a lmaması lâzım.) Yani, den farklı her pzitif sayının aynı tabandaki lgaritması dir. lg0 + lne + lg. lg + lg 4 işleminin snucu kaçtır? lg = lg = lg0 = ln e =... = Tanımdan çıkarabileceğiniz diğer bir snuç da 0 a = lduğundan lg = 0 dır. a Bunun yanisi de şu; taban ne lursa lsun in lgaritması sıfırdır. lg = lg= ln= lg =... = 0 7 lg + lg işleminin snucu kaçtır? lg 4 + lg 4 işleminin snucu kaçtır? Belki de en önemli özellik şu m Pzitif reel sayısı için, lg = m lg dir. a a Sayının üssü kat sayı larak başa geliyr. Eğer tabandaki sayının da üssü varsa bu da başa bölüm larak gelir. lg = m m lg e eşittir. n a n a Antrenman yapa yapa pekiştirin bakalım bunları. Başka bi ylu da yk zaten.. Aşağıdaki ifadelerin değeri kaçtır? a) lg 8 b) lg c) lg 8 d) lg 49 7 Bazen üslü ve köklü ifade bilgisine ihtiyacınız labilir. Hatırlayın. =, = = idi. Yine 8 0. lg 0 + lg işleminin snucu kaçtır? = =, Hatırladınız mı? = = idi. 4. Aşağıdaki ifadelerin değeri kaçtır?. lg0 + ln işleminin snucu kaçtır? a) c) e) lg 4 b) lg d) 4 lg lg lg f) lg

126 LOGARİTMA 4.ANTRENMAN. lg 4 + lne tplamının snucu kaçtır? 6. ln( e ) + ln( e ) işleminin snucu kaçtır?. lg 8 + lg tplamının snucu kaçtır? 7. lg lg 9 7 lg işleminin snucu kaçtır?. lg 46 + lg 66 tplamının snucu kaçtır? 8. lg( 0,0) + lg 0 işleminin snucu kaçtır? 4. lg00 lg000 çarpımının snucu kaçtır? 9. lg 4 lg 7 + lg işleminin snucu kaçtır?. 6( lg 0 + lg 0 ) işleminin snucu kaçtır? 0. lg 8 lg 8 + lg 4 9 işleminin snucu kaçtır? 79

127 LOGARİTMA 4.ANTRENMAN e e. lg lg ( e ) ln işleminin snucu kaçtır? 6. a = b lduğuna göre, lg b ifadesinin değeri kaçtır? a 7. = y 4. lg( 000 ) + lg ( 6 ) lduğuna göre, lg y ifadesinin değeri kaçtır? işleminin snucu kaçtır? 8. 4 = y. ln e + ln e işleminin snucu kaçtır? lduğuna göre, lg y ifadesinin değeri kaçtır? 4. lg + lg + lg tplamının snucu kaçtır? 9. a = b lduğuna göre, lg b ifadesinin değeri kaçtır? a. 0 lg0 + lg0 lg 0 0. a = b işleminin snucu kaçtır? lduğuna göre, lg b ifadesinin değeri kaçtır? a 80

128 LOGARİTMA.ANTRENMAN. lg = a lduğuna göre, lg 9 un a türünden değeri ne- 4 dir?. lg = m lduğuna göre, lg 9 in m türünden değeri nedir?. lg = lduğuna göre, lg in türünden değeri ne- 9 dir? Lgaritma çarpımı tplama, bölümü de farka dönüştürür. lg (.y) = lg + lg y a a a Bunun Türkçe meali şu Pzitif iki sayının çarpımının lgaritması, bu sayıların lgaritmalarının tplamına eşittir. lg lg lg y a y = a a. lg b = a Bunun Türkçe meali de şu Pzitif iki sayının bölümünün lgaritması bu sayıların lgaritmalarının farkına eşittir. lduğuna göre, lg a b ün değeri kaçtır? 6. lg + lg tplamının snucu kaçtır? 4. lg b = 8 a lduğuna göre, lg b nin değeri kaçtır? a 7. lg + lg + lg tplamının snucu kaçtır? 8

129 LOGARİTMA.ANTRENMAN 8. lg + lg e e e. lg 4 lg 8 0, 0, tplamının snucu kaçtır? işleminin snucu kaçtır? 9. lg A + lg B = lduğuna göre, A.B çarpımı kaçtır?. lg lg + lg işleminin snucu kaçtır? 0 lg A lg B = lduğuna göre, A B ranı kaçtır? 4. 7 lg lg lg işleminin snucu kaçtır?. lg lg farkı kaça eşittir?. 4 6 lg lg lg... lg işleminin snucu kaçtır? 8

130 LOGARİTMA 6.ANTRENMAN. lg 8 + lg 6 6 lg 4 lg 6 işleminin snucu kaçtır?. lg = lg = y lduğuna göre, lg08 in ve y türünden eşiti nedir?. lg = a lg = b lduğuna göre, lg8 in a ve b türünden eşiti nedir? 6. lg = lg = y lduğuna göre, lg0,6 nın ve y türünden eşiti nedir?. lg = a lg = b lduğuna göre, lg in a ve b türünden eşiti nedir? 7. lg = 0,0 lg = 0,477 lduğuna göre, lg70 nin değeri kaçtır? 4. lg = lg = y lduğuna göre, lg7 nin ve y türünden değeri nedir? 8. lg 0,0 lg 0,477 lduğuna göre, lg0, nin yaklaşık değeri kaçtır? 8

131 LOGARİTMA 6.ANTRENMAN 9. lg 0,0 lg 0,477 6 lduğuna göre, lg( 4.0 ) kaçtır? nın yaklaşık değeri. lg = lg y = lduğuna göre, lg y kaçtır? 0. lg = y lg = z lduğuna göre, lg( 0,06) eşiti nedir? nın y ve z türünden 4. ln( y) = ln = y lduğuna göre, in değeri nedir?. lg = lg y = lduğuna göre, ( ) lg y kaçtır?. lg + lg işleminin snucu kaçtır?. lg = 4 lgy = lduğuna göre, lg( y ) kaçtır? 6. 4lg + 6lg işleminin snucu kaçtır? 84

132 LOGARİTMA 7.ANTRENMAN Taban Değiştirme lg b c lg b = a lg a c Lgaritmada tabanı değiştirmek zr değil. Ama Ne zrumuz var ki tabanı değiştiriyruz? diye gelebilir aklınıza. Şeytandandır bu düşünce Takılmayın öyle şeylere. Taban değiştirirken asıl önemli lan husus tabanın hangi tabana göre değiştirileceğidir. Bunu sruda verilenler bakıp anlayabilirsiniz aslında.. lg = a lg = b lduğuna göre, lg in a ve b türünden değeri nedir? Örneğin, lg ifadesinde taban değiştirirken lg lg 7 lg ln lg = = = = =... yazılabilir. lg lg lg ln 7 Gerçi ben bir sürü yazdım. Ama hangi taban işinize yarayacaksa tabanı seçin. Anlaşıldı mı bu lay? Neyin işinize yarayacağını da siz bilin artık.. lg = lg = y lduğuna göre, nedir? lg ün ve y türünden eşiti Örnek Sru lg = a lg 7 = b lduğuna göre, lg 4 nin a ve b türünden değeri nedir? Çözelim Klasik bi taban değiştirme srusu. Verilenlere bakınca tabanı seçmek gerektiğini görebilmek lâzım. Çünkü tabanındaki ve 7 yi biliyruz en azından tabanına göre tabanı değiştirirseniz, lg 4 lg 4 = larak yazılabilir. Bunda bi sakınca yk lg Snraki adım bildiğiniz gibi lg 4 lg (..7) = larak yazıp devam edin. lg lg (.) lg + lg + lg 7 Devam edince = a + b + lg + lg a + gibi bir snuç bulacaksınız. Oldu mu şimdi?. lg = u lg = v lduğuna göre, nedir? 4. lg = lg = y lduğuna göre, nedir? lg ün u ve v türünden eşiti lg 6 nın ve y türünden eşiti 9 Özet larak Demek ki verilenin tabanı ile istenenin tabanı farklı ise istenen ifadede verilen tabanda taban değiştirmek lâzım. 8

133 LOGARİTMA 7.ANTRENMAN. lg = a lg = b lduğuna göre, nedir? lg in a ve b türünden değeri 6 9. lg = lg = y lduğuna göre, nedir? lg ün ve y türünden eşiti 6. lg = u lduğuna göre, eşiti nedir? lg 4 ifadesinin u türünden 0. lg 4 = a lg4 7 = b lduğuna göre, nedir? lg 7 ün a ve b türünden eşiti 7. lg = a lduğuna göre, eşiti nedir? lg ifadesinin a türünden. lg = a lg = b lduğuna göre, lg40 ın a ve b türünden değeri nedir? 8. lg = lduğuna göre, eşiti nedir? lg ifadesinin türünden 0. lg 7 = a lg = b lduğuna göre, lg in a ve b türünden değeri 4 nedir? 86

134 LOGARİTMA 8.ANTRENMAN Yine taban değiştirmeyi kullanarak = lg b lduğunu görebilirsiniz lg a a b. lg 4 lg 4 0 işleminin snucu kaçtır?. + lg lg 7 işleminin snucu kaçtır? lg lg. lg + 6 lg 6 işleminin snucu kaçtır? işleminin snucu kaçtır?. lg lg lg 4 lg 4 lg 4 7 işleminin snucu kaçtır? işleminin snucu kaçtır? 4. + lg 0 lg 0 işleminin snucu kaçtır? lg 60 lg 60 lg 60 işleminin snucu kaçtır? 87

135 LOGARİTMA 8.ANTRENMAN lg 60 lg 60 lg 60. lg. lg 000 işleminin snucu kaçtır? işleminin snucu kaçtır? 0. Yine lg b lg c lg d = lg d lduğu rahatlıkla a b c a görülebilir lg. lg işleminin snucu kaçtır? 4. lg 9. lg. lg işleminin snucu kaçtır?. lg 9. lg 8 işleminin snucu kaçtır?. lg. lg 4. lg... lg işleminin snucu kaçtır?. lg 4. lg 7 işleminin snucu kaçtır? 6. lg 9 lg lg 8 işleminin snucu kaçtır? 88

136 LOGARİTMA 9.ANTRENMAN Lgaritma Fnksiynunun Tanım Kümesi Önce Türkçesini söyleyeyim. Sadece pzitif sayıların lgaritması vardır. Negatif sayıların ve sıfırın lgaritması yktur. Ayrıca lgaritmanın tabanı da pzitif lmalı. Ama lamaz. Bunu da aklınızda tutun Gelelim bunun matematikçesine. f() = lg fnksiynunun en geniş tanım kümesi nedir? y = lg g () fnksiynunun tanımlı lması için a g() > 0 lmalı. Ayrıca a > 0 ve a lmalı. Örnek Sru f() = lg (7 ) ( ) fnksiynunun en geniş tanım kümesi nedir? Çözelim Çk basit. Lgaritmanın tanımlı lması için gördüğünüz bütün li ifadeler pzitif (yani sıfırdan büyük ) lmalı. Sadece taban lamaz. Buna dikkat edin. İlk önce 7 > 0 dan < 7 yi bulun. Snra tabana geçin. Ve > 0 dan > lması gerektiğini görün. Ama neyi unutmayın demiştim. Bir de lması gerektiğini. Yani, lmalı. Daha bitmedi tabii ki. Şimdi ne ldu. den büyük, 7 den küçük lacak. Ama de lmayacak. Bunu (, 7) {} larak ifade etmek lâzım. Ben tabanı li lan bir fnksiyn verdim. Ama çğu zaman tabanı li verilmez. Göreceksiniz 4. f() = lg ( ) fnksiynunu tanımlı yapan pzitif tam sayılarının tplamı kaçtır?. f() = lg( ) + lg( 6 ) fnksiynunu tanımlı yapan tamsayılarının tplamı kaçtır?. f() = lg ( ) fnksiynunun en geniş tanım kümesi nedir?. f() = lg ( ) fnksiynunun en geniş tanım kümesi nedir? 6. f() = lg 7 6 fnksiynunun en geniş tanım aralığı nedir? 89

137 LOGARİTMA 9.ANTRENMAN 7. f() = ln( + + ) fnksiynunun en geniş tanım aralığı nedir? Lgaritmalı ve Üslü Fnksiynların Tersi Hatırlayacaksınız. Bir fnksiynun tersini alırken önce i yalnız bırakıyrdunuz. (Yani, in y türünden değerini buluyrdunuz.) buradaki lay da aynı. Zaten birazdan göreceksiniz ki üslü biçimde verilen fnksiynun tersi lgaritmalı, lgaritmalı verilen fnksiynun tersi de üslü çıkıyr. Çk fazla bir zrluğu yk. Eğer cebirsel yeteneklerinizi kaybetmediyseniz bunu da yapabilmeniz lazım. 8. f() = lg ( 9 ) 6 fnksiynu in kaç farklı tamsayı değeri için tanımlıdır? Örnek Sru f() = lg ( ) fnksiynunun ters fnksiynu lan fnksiynu nedir? f () 9. f() = lg ( 7 ) fnksiynunun en geniş tanım kümesi nedir? Çözelim. Fnksiynun tersi srulduğunda ilk önce i yalnız bırakın. f() yerine y yazın ve devam ederek, y = lg ( ) eşitliğinden en baştaki lgaritma ta- nımını kullanarak lg ( ) = y den = y ve y = + i bulun. Snrasını biliyrsunuz Bunu f () = + larak yazın ve ters fnksiynu bulmuş lun. Örnek Sru f() = fnksiynunun ters fnksiynu lan fnksiynu nedir? f () 0. f() = lg ( 7 ) ( ) fnksiynunu tanımlı yapan tam sayıların tplamı kaçtır? Çözelim. Yine aynı şeyi yapın. Yani, i yalnız bırakın. f() yerine y yazın ve devam ederek, = y eşitliğinden yine lgaritmanın en başında verdiğim lgaritma tanımını kullanarak = y + ve = lg (y + ) ve buradan da = + lg ( + ) ü bulun. Snrası hep aynı. Bunu f () = + lg ( + ) larak yazın ve ters fnksiynu bulmuş lun. Var mı bi zrluğu? 90

138 LOGARİTMA 0.ANTRENMAN. f() = lg 6 fnksiynunun ters fnksiynu lan fnksiynu nedir? f (). f() = lg ( 4 ) 6 fnksiynunun ters fnksiynu lan fnksiynu nedir? f (). f() = + lg fnksiynunun ters fnksiynu lan fnksiynu nedir? f () 6. + f() = lg 4 fnksiynunun ters fnksiynu lan fnksiynu nedir? f (). f() = lg ( ) fnksiynunun ters fnksiynu lan fnksiynu nedir? f () 7. 4 f() = ln fnksiynunun ters fnksiynu lan fnksiynu nedir? f () 4. f() = lg ( + ) fnksiynunun ters fnksiynu lan fnksiynu nedir? f () 8. f() = + lg ( ) fnksiynunun ters fnksiynu lan fnksiynu nedir? f () 9

139 LOGARİTMA 0.ANTRENMAN 9. f() = lg ( 4) fnksiynunun ters fnksiynu lan fnksiynu nedir? f (). f() = fnksiynunun ters fnksiynu lan fnksiynu nedir? f () 0. f() = lg( + ) fnksiynunun ters fnksiynu lan fnksiynu nedir? f () 4. f() = + fnksiynunun ters fnksiynu lan fnksiynu nedir? f (). f() = fnksiynunun ters fnksiynu lan fnksiynu nedir? f (). f() = fnksiynunun ters fnksiynu lan fnksiynu nedir? f (). f() = fnksiynunun ters fnksiynu lan fnksiynu nedir? f () 6. f() = fnksiynunun ters fnksiynu lan fnksiynu nedir? f () 9

140 LOGARİTMA.ANTRENMAN Lgaritmik Fnksiynun Grafiği Grafik çizme knusunda çk da istekli lmadığınızı biliyrum Ama krkmanıza da gerek yk Lgaritmik fnksiynların grafiğini çizmek de, çizilen grafiğin hangi fnksiyna ait lduğunu bulmak da zr değil kesinlikle. Yeter ki dediklerimi iyi anlayın. İlk önce tanım aralığını bulun. Snra da y = 0 ve y = lan nktaların apsislerini bulun. Bu kadarcık işte. Ama bu nktalardan geçen grafiği çizmek için de epey bir yetenekli lmak lazım. O da sizde çkça lduğuna göre. Örnek Sru y = lg ( ) fnksiynun grafiğini çizelim.. Grafiği uzun uzun çizdim. Ama test srularında grafiği çizmeyeceksiniz tabii ki. Tanım aralığına ve geçtiği nktalara bakarak dğru cevabı bulacaksınız. Hatırlayacaksınız. Grafiğin geçtiği nktaların krdinatları fnksiyn denklemini sağlardı. y O a Şekilde y = lg fnksiynunun grafiği verilmiştir. Buna göre, a kaçtır? Çözelim Lgaritmalı fnksiyn grafiğinde önemli lan tanım kümesi ve y yi 0 ve yapan değerleriydi. Bu fnksiyn > 0 için y yani, > için tanımlıdır. (Grafikte = den kesikli bir çizgi çizilir ve grafik > lduğundan in sağ O tarafında lacak demektir bu.) İkincisi larak da y yi 0 ve yapan değerlerini bulmak lâzım. Bulalım. lg ( ) = 0 y dan = luyr. Demek ki grafik (,0) dan geçecek. (4,) lg ( ) = den = 4 O (,0) 4 luyr. Bu da grafiğin (4,) nktasından geçeceği anlamına geliyr. Bu adımlardan snra iş grafiği çizmeye geldi. Aklınızda lsun. Lgaritmalı fnksiynun grafiği yay şeklinde lur. Bu nktalardan geçen ve kesikli çizginin diğer tarafına geçmeyen eğri de şu lacak. y.. Şekilde y = lg fnksiynunun grafiği verilmiştir. Buna göre, a kaçtır? y y O a b O 4 O 9 Şekilde y = lg eğrisinin grafiği verilmiştir. Buna göre, b kaçtır? 9

141 LOGARİTMA.ANTRENMAN 4. y 7. y - k - - O k Şekilde y = lg fnksiynunun grafiği verilmiştir. Buna göre, k kaçtır? Şekilde f() = lg ( + n) fnksiynunun grafiği verilmiştir. Buna göre, k + n tplamı kaçtır?. y 8. y O m n 9-4 n O Şekilde f() = lg fnksiynunun grafiği verilmiş- tir. Buna göre, m + n tplamı kaçtır? Şekilde f() = lg ( + m) fnksiynunun grafiği verilmiştir. 4 Buna göre, m + n tplamı kaçtır? 6. y 9. y O n - a O b Şekilde f() = lg ( m) fnksiynunun grafiği 4 verilmiştir. Buna göre, m + n tplamı kaçtır? Şekilde y = lg ( + ) eğrisinin grafiği verilmiştir. 4 Buna göre, a + b tplamı kaçtır? 94

142 LOGARİTMA.ANTRENMAN Bir Reel Sayının Lgaritmasının Yaklaşık Değeri Zr bir şey değil. Burada yaklaşık değerden kasıt verilen sayının lgaritmasının hangi iki ardışık tam sayı arasında lduğunu bulmaktır. Bunun için tabandaki sayının tam kuvvetlerine eşit lan sayıların lgaritmasından yararlancaz. 4. lg0,0006 sayısı hangi iki ardışık tam sayı arasındadır? Şöyle ki lg = 0 ve lg0 = lduğuna göre, 0 tabanına göre ile 0 arasındaki (yani tam kısmı bir basamaklı) sayıların lgaritmasının 0 ile arasında lduğunu söyleyebiliriz. Meselâ lg7 = 0, yine lg8,4 = 0, gibi bir şeydir. Aynı mantıkla lg0 = ve lg00 = lduğundan 0 ile 00 arasındaki (yani, tam kısmı iki basamaklı) sayıların lgaritmasının ile arasında lduğunu ve yine aynı mantıkla lg00 = ve lg000 = lduğundan 00 ile 000 arasındaki (yani tam kısmı üç basamaklı) sayıların lgaritmasının da ile arasında lduğunu klaylıkla söyleyebilirsiniz.. 6. lg 4 hangi iki ardışık tam sayı arasındadır? lg 70 hangi iki ardışık tamsayı arasındadır? Bu arada bu mantığı taban 0 dan farklı lduğunda da kullanabilirsiniz. Meselâ lg = ve lg = lduğundan ile arasındaki sayıların tabanındaki lgaritması ile arasında lduğunu görebilirsiniz. Var mı anlaşılmayan bir şey? Ya da anlaşılan bir şey? 7. lg hangi iki ardışık tam sayı arasındadır?. lg46 hangi iki ardışık tam sayı arasındadır? 8. lg hangi iki ardışık tamsayı arasındadır? 7. lg,8 hangi iki ardışık tamsayı arasındadır?. lg9,6 hangi iki ardışık tam sayı arasındadır? 9. lg 0,0 lduğuna göre, lg80 in yaklaşık değeri kaçtır? 9

143 LOGARİTMA.ANTRENMAN 0. lg 0,0 lduğuna göre, lg 0,064ün yaklaşık değeri kaçtır? 4. a = lg 0 b = lg 4 c = lg lduğuna göre, a, b, c nin küçükten büyüğe dğru sıralaması nedir?. lg 0,0 lg 0,477 lduğuna göre, lg8 in yaklaşık değeri kaçtır?. = lg y = lg7 z = lg lduğuna göre,, y, z nin küçükten büyüğe dğru sıralaması nedir?. lg 0,0 lg 0,477 lduğuna göre, lg0 nin yaklaşık değeri kaçtır? 6. = lg 00 y = lg 40 z = lg 0 4 lduğuna göre,, y, z arasındaki sıralama nasıldır?. lg 0,477 lduğuna göre, lg0,007 nin yaklaşık değeri kaçtır? 7. a = lg 0 b = lg 0 c = lg 60 4 lduğuna göre, a, b, c nin küçükten büyüğe dğru sıralaması nedir? 96

144 LOGARİTMA.ANTRENMAN Basamak Sayısını Bulma Çk uzatmadan bunu şöyle ifade edeyim. Üslü larak verilen bir sayının basamak sayısını bulmak için sayının 0 tabanındaki lgaritmasına bakılır. Basamak sayısı sayının lgaritmasının tam kısmından bir fazladır.. lg 0,0 lduğuna göre, 0 0 sayısı kaç basamaklıdır? Örnek Sru lg 0,0 lduğuna göre, 0 40 sayısı kaç basamaklıdır? Çözelim Hesap makinesiyle bulamazsınız. Aslında 40 üzeri 0 nin kaç lduğunu bulmak zr. Ama kaç basamaklı lduğunu bulabiliriz yine de. Bunun için şunu yapın. Bu sayının 0 tabanındaki lgaritmasının kaç lduğunu bulun. Dğru bulduysanız şu işlemleri yapmış lmanız lâzım lg40 0 = 0lg40 = 0lg.0 ( ) 0( lg + lg0) = 0( 0,0 + ) =,04 Bu sayının tam kısmı imiş. Tam kısmını bulduysanız basamak sayısı bunun fazlasıdır. Yani, 40 0 sayısı basamaklıdır. Demek ki hesap makinesine gerek ykmuş. 4. lg 0,477 lduğuna göre, 0 9 sayısı kaç basamaklıdır?. lg 0,0 lduğuna göre 0 kaç basamaklı sayıdır?. lg 0,477 0 lduğuna göre, 9 kaç basamaklıdır?. lg 0,0 lduğuna göre, 0 8 sayısı kaç basamaklıdır? 6. lg 0,477 lduğuna göre, 0 0 kaç basamaklıdır? 97

145 LOGARİTMA.ANTRENMAN Lgaritmik ve Üslü Denklemler Burada yeni bir şey yk. Üslü denklemler bildiğiniz gibi Lgaritmalı denklemlerde ise lgaritma özelliklerini biliyrsanız sıkıntı yaşamayacaksınız. Bu arada lgaritmalı denklemden kasıt, lgaritmalı ifade içeren denklemlerdir. Üslü denklemlerde özel bir şey yk. Ama lgaritmalı denklemleri çözerken bir şeye dikkat etmek lâzım. Yksa yamulma lasılığı mevcut. O da şu; lgaritmalı denklemi çözdükten snra bulduğunuz değerlerinin lgaritmalı ifadelerin hiç birini negatif yapmadığından emin lun. Negatif yapıyrsa bu değer kök lamaz = 64 lduğuna göre, kaçtır? + + = 40 denklemini sağlayan değeri kaçtır? Örnek Sru + = 64 denkleminin çözüm kümesi nedir? Çözelim En önemli üslü denklem tipi bu. Yani tabanları eşit duruma getirilebilenler. Biliyrsunuz ki Tabanları eşit iki üslü ifade eşit ise üsleri de eşittir = 6dır. bu denklemi = lduğundan çözüp = ve = ü bulursunuz artık. Ç.K = {, } imiş = 0 lduğuna göre, kaçtır? Örnek Sru + 4 = 0 denklemini sağlayan değeri kaçtır? 0. a 4 = lduğuna göre, a kaçtır? Çözelim Denklem üslü. Ama aslında ikinci derece denkleme dönüştürülerek çözülen tiplerden Denklemi düzenleyin ( ) 4 = 0 şeklinde ifade edin. Snra da = t diyerek t 4t = 0 denkleminden t = 8 ve t = 4 ü bulun. Ama srulanın in değerleri lduğunu kesinlikle aklınızdan çıkarmayın. Onun için t değerlerini = 8 den = ü bulun. Ve = 4 eşitliğini sağlayan değeri lmadığını da görün Demek ki = imiş = t de yerine yazarak = 0 lduğuna göre, kaçtır? 98

146 LOGARİTMA 4.ANTRENMAN = = 0 lduğuna göre kaçtır? denkleminin çözüm kümesi nedir?. + = lduğuna göre, kaçtır? = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? = lduğuna göre kaçtır? 7. 0 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? 4. e + = denkleminin çözüm kümesi nedir? = 0 denkleminin kökler tplamı nedir? 99

147 LOGARİTMA 4.ANTRENMAN lg ( ) = gibi bir denklemi çözerken sıkıntınız lacağını sanmıyrum. 9. ( ) lg =. ( ) lg 4 + = lduğuna göre, kaçtır? lduğuna göre, değerleri tplamı kaçtır? 0. lg + = 8 lduğuna göre, kaçtır? ( ) 4. ( ) lg lg = lduğuna göre, kaçtır?. ( ) lg = 4 lduğuna göre, kaçtır? ( ). ( ) lg + lg = 0 lduğuna göre, kaçtır?. ( ) lg a + a 8 = a lduğuna göre, denklemin çözüm kümesi nedir? ( ) lg lg lg + = 0 6. ( ) lduğuna göre, kaçtır? 00

148 LOGARİTMA.ANTRENMAN Fakat lg f() = lg g() gibi bir denklemi çözerken a a değerlerini f() = g() eşliğinden bulun. Bulun fakat bulduğunuz değerlerin hem f() i hem de g() i pzitif yaptığından emin lun. Yani kntrl edin bi zahmet. lg = lg ( + 0) lduğuna göre, kaçtır? Örnek Sru lg( + ) + lg = 0 denklemini sağlayan değeri kaçtır? Çözelim İlk önce bildiğiniz lgaritma özelliklerini kullanın ve denklemi lg( + ) + lg = lg( + ). = 0 biçimine getirin. Snra da ( ) lg + = 0 denklemini çözün. 0 + = 0 = den = ve = i bulun. Fakat = için lgaritmalı ifadelerin negatif lduğunu görün. Dlayısıyla sadece labilir. 4. 6lg 8 = lg lg 4 lduğuna göre, kaçtır? lg + = lg. ( ) lduğuna göre, kaçtır?. lg ( + ) = lg ( 4) lduğuna göre, kaçtır? lg 4 = lg 4. ( ) lduğuna göre, kaçtır? 6. ( ) ( ) lg + lg 6 = 0 lduğuna göre, kaçtır? 0

149 LOGARİTMA.ANTRENMAN 7. ( ) ( ) lg a + 7 lg 4a + = lduğuna göre, a kaçtır?. lg + lg = lduğuna göre, kaçtır? 8. lg ( + ) + lg ( ) = denkleminin çözüm kümesi nedir?. lg ( ) + lg = lduğuna göre, kaçtır? 9. lg ( 4 ) = lg ( 4 + 6) lduğuna göre, kaçtır? lg + lg + =. ( ) ( ) lduğuna göre çözüm kümesi nedir? 0. lg ( ) = lg ( + ) lduğuna göre, kaçtır? 4. ( ) ( ) lg + + lg = lduğuna göre, kaçtır? 0

150 LOGARİTMA 6.ANTRENMAN. lg(4 + ) + lg = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir? Fakat lg ( ) < ise 0 < < dir. lg ( ) ise 0 < tür. Eşitsizlikleri çözmedim. Sadece yl gösterdim. Çözersiniz artık Yani, li ifade bir sayıdan büyükse eşitsizliği düz çözün. Ama li ifade bir sayıdan küçükse li ifadenin sluna 0 < yazın. (ki lgaritma tanımlı lsun.).. lg( ) + lg = lg lduğuna göre, kaçtır? lg ( + ) lg ( + ) = denkleminin çözüm kümesi nedir? Taban 0 ile arasında lursa eşitsizlik yön değiştiriyr. lg ( ) < ise > dir. lg ( ) ise tür. Fakat lg ( ) > ise 0 < < dir. lg ( ) ise 0 < tür. Bunları da çözersiniz Üstte ben tabanı verdim. Ama 0 ile arasında başka bir sayı da labilir tabii ki Lgaritmalı eşitsizlikler Lgaritmalı eşitsizlikleri çözerken aklınızda hep şu lsun. Negatif sayıların lgaritması yktur. Yani, lgaritmanın içi negatif lamaz. Bir de tabanın 0 ile arasında mı yksa den büyük mü lduğu önemli. Hem de çk Üstte fark etmişsinizdir. Yine li ifade bir sayıdan büyükse eşitsizlik düz çözülüyr. Ama li ifade bir sayıdan küçükse li ifadenin sluna 0 < yazılıyr. Mantık yine aynı aslında. 4. ( ) lg > eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? Ben şunları yazayım. Bakalım bir snuç çıkarabilecek misiniz? Taban den büyükse sıkıntı yk. lg ( ) > ise > dir. lg ( ) ise tür. 0

151 LOGARİTMA 6.ANTRENMAN. ( ) lg 4 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? 9. ( ) lg 4 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? 6. ( ) lg + lg eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? 0. ( ) lg + lg < eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? 7. ( ) lg + lg eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?. ( ) lg + lg eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? 8. ( ) lg 4 < eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?. ( ) lg + eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? 04

152 LOGARİTMA 7.ANTRENMAN lg eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?. ( ). ( ) lg + lg < 4 4 eşitsizliği in kaç tam sayı değeri için dğrudur?. ( ) lg + lg < eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? 6. ( ) lg + lg > eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayı kaçtır?. ( ) lg + lg eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? 4. ( ) lg + lg eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayı kaçtır? lg ( ) < lg ( + 6) gibi bir eşitsizliği çözerken de aynı şeyi yapacaksınız. Yani, 0 < < + 6 deyip çözeceksiniz. lg ( ) > lg ( + 6) şeklindekileri çözerken ise > + 6 > 0 deyip öyle çözeceksiniz. Bunları çözebilirsiniz diye tahmin ediyrum. Ama unutanlar için hatırlatayım. İlkinde önce 0 < eşitsizliğini. Snra da < + 6 eşitsizliğini çözüp ikisinin kesişimlerini alıyrduk Diğerinde de aynı mantık. 7. lg ( ) < lg ( + 6) eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? 0

153 LOGARİTMA 7.ANTRENMAN 8. lg ( ) < lg ( + ) eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?. < lg eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? 9. lg ( ) < lg ( + 6) eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?. ( ) 0 lg < eşitsizliğini sağlayan tam sayılarının tplamı kaçtır? 0. lg ( + ) > lg ( 4 ) eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? 4. ( ) lg eşitsizliği in kaç farklı tam sayı değeri için dğrudur?. lg ( + 6) lg ( 4 ) 4 4 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?. ( ) ( ) lg + lg + lg 7 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir? lg ( 7) < gibi eşitsizliklerin çözümü en klayı. Yapmanız gereken 7 < deyip devam etmek. Başka da bir şey yk. 06