RC circuits

Sönümlü harmonik salıngan ile RC devresi arasındaki benzerliğin başka bir yönü iki sistemdeki enerji bağıntılarının göz önüne alınması ile ortaya çıkar: Sönümsüz harmonik salınganın toplam mekanik enerjisi sabittir; sönüm kuvvetinin etkisi enerjiyi sürekli olarak azaltmaktır. Benzer şekilde dirençsiz bir C devresinin toplam enerjisi sabittir; indüksiyoncu ile sığa enerji biriktirir, fakat elektrik enerjisini devreden çıkarıp eksiltmez. Direncin eklenmesi I 2 R güç kaybı ile dizgenin enerji kaybetmesine yol açar. Enerjinin dirençte ısıya dönüşmesi ile devredeki elektrik enerjisi sürekli olarak azalır. Tam sönümsüz bir harmonik salınganın gerçekleştirilmesi ideal bir durumdur. Örneğin, doğrusal hava rayında yapılan deneyler, kızağı taşıyan hava tabakasının viskozluğu yaklaşık hız ile oranlı, küçük, fakat ihmal edilmeyen bir sönüm kuvveti oluşturduğunu gösterir. Aynı şekilde dirençsiz bir C devresi de bir idealdir. Devrede hiç direnç olmasa bile indüksiyoncu sargı telinin ve bağlama tellerinin direnci hiç bir zaman tamamen ihmal edilemez.

Harmonik salınganlar üzerindeki deneysel çalışmalar sönüm kuvvetinden ileri gelen enerji kaybı ile birlikte salınımların genliğinde de düzgün bir azalma olduğunu gösterdiğini hatırlayınız. Benzer şekilde Şekil-27 deki gibi bir RC devresinde, kondansatör üzerindeki Q yükünün salınım genliğinin küçülmesini bekleriz. Salınımların ne çabuklukla söndüğü b sönüm sabitinin (veya R direncinin) büyüklüğüne bağlıdır. Bu niceliklerin daha büyük bir değer alması salınımların daha çabuk sönmesine yol açar. Aşağıdaki şekil, = 0.08 H, C = 25x10-8 F, R = 50, 100, 150 ve 250 alınarak çizilmiştir.

SİNÜSSE SÜRÜCÜ KUVVETE KARŞI TEKİ Bir RC devresinin sinüssel sürcü bir gerilime verdiği tepkiyi inceleyeceğiz. Şekil-3.4 daki devreyi göz önünealalım ve V = V 0 cos ωt (3.9) ile verilen sinüssel bir sürücü gerilim ile devrenin beslendiğini düşünelim.

Şekil-3.4 daki devreye Kirchoff un ilmek kuralını uyguladığımızda, Eşitlik- 3.7 den tek farkın V 0 cos ωt teriminin eklenmesi olduğu görülür. Bu durumda geçerli diferensiyel denklem: d 2 Q/dt 2 + R dq/dt + Q/C = V 0 cos ωt (3.10) dir. Kondansatörün Q yükünün zamanla değişimi, Eşitlik-3.10 nun çözümü olan bir fonksiyon ile anlatılır. Çözüm, tıpkı Deney ED-1 in RC devresindeki gibi bulunur. Çözümün, frekansı sürücü geriliminki ile aynı olan fakat aralarında bir faz farkı bulunan, Q = Q 0 cos (ωt + ) (3.11) şeklinde bir kosinüs fonksiyonu olduğunu düşünelim (Kalıcı çözümü dikkate alacağız)

Şimdi bu bağıntının çözüm olabilmesi koşulunu, Q nın birinci ve ikinci türevlerini ve kendisini Eşitlik-3.10 da yerlerine koyarak bulalım. sin(ωt + ) ve cos(ωt + ) fonksiyonlarını açıp terimleri sinωt ve cosωt parantezlerine alalım. Buradaki katsayılar Deney ED-1 deki nedenlerle ayrı ayrı yok olmalıdır. Bu koşulu uyguladığımızda Q 0 ω 2 cos(ωt + ) Q 0 ωr sin(ωt + ) +(Q 0 /C) cos(ωt + ) = V 0 cosωt veya Q 0 [(1/C ω 2 ) (cosωt cos sinωt sin) ωr (sinωt cos + cosωt sin)] = V 0 cosωt elde ederiz. cos ωt ve sin ωt nin katsayılarını sıra ile eşitleyerek Q 0 [(1/C ω 2 ) cos Rω sin] = V 0 Q 0 [-(1/C ω 2 ) sin + Rω cos] = 0 (3.12a) (3.12b) yazabiliriz (Buradaki ara işlemleri yapmanızı öneririm.).

Eşitlik-52b yi yeniden düzenleyerek: tan = R/[ω-1/(ωC)] (3.13) Eşitlik-52a yı sin ile bölüp Eşitlik-53 ü yerine koyalım ve Q 0 yı çözelim: Q 0 = [V 0 / (ω R)]sin (3.14) buluruz. Q 0, içinde bulunmayacak şekilde de belirtilebilir: Q 0 = (V 0 /ω) / [R 2 + [ω-1/(ωc)] 2 ] 1/2 (3.15) Q 0 nın ω ya bağlı davranışı =0,025 H, C=0,001 F, R = 1000 ve V 0 = 10 volt değerleri için aşağıda verilmiştir. Rezonans frekansı

Bu Q 0 genliği ω ile ilginç biçimde değişir; (ω 1/ωC) nin sıfır olduğu = -π/2 durumunda (Q 0 ) max = V 0 /(ωr) (3.16) en büyük değerine ulaşır. Bu, ω = (1/C) 1/2 olduğu zaman gerçekleşir; bu da devrenin ω 0 sönümsüz frekansından başka bir şey değildir. Yani, sürücü frekansın doğal sönümsüz frekansa eşit olması halinde dizgenin tepkisi en büyüktür. Belli bir frekansta tepkinin tepe değerine ulaşmasına rezonans denir (Bu konuda Titreşimler ve dalgalar ders notuna bakınız). Devredeki I akımı Denk (3.11) in zamana göre türevinden başka bir şey değildir. I = dq/dt = -(V 0 / [R 2 + (ω-1/(ωc)) 2 ] 1/2 )sin(ωt + ) (3.17) Akımın fazı her zaman Q dan π/2 öndedir. Bunun için, rezonansta I, V ile aynı fazdadır ve R den ile C sanki kısa-devre yapılmış gibi akım geçer. Bu nedenle ω 0, R de en çok güç harcamasına yolaçan frekanstır.

Z = [R 2 + (ω-1/ωc) 2 ] 1/2 (3.18a) büyüklüğüne devranin empedansı denir. X = indüktif reaktans, X C = 1/C ye de kapasitif reaktans denir. Bu gösterimle empedans Z = [R 2 + (X X C ) 2 ] 1/2 (3.18b) şeklinde yazılır. Seri RC devresinin empedansını vektör gösterimi ile şeklinde temsil edebiliriz (X > X C durumu için). Bu gösterim faz ilişkilerini kolay analiz etme imkanı vermesi bakımından faydalıdır.

R, C ve elemanlarında V gerilimi ile I akımı arasındaki faz ilişkisi 1. Direnç üzerinde akım ile gerilim aynı fazdadır. 2. Sığaç üzerinde akım, gerilimin 90 0 ilerisindedir. 2.indüktans üzerinde akım, gerilimin 90 0 gerisindedir.

Sığaçta akım ileride İndüktörde gerilim ileride

Seri RC devresinde X > X c ve X < X c durumları için fazör diyagramı a)seri bağlanmış R--C devresi indüktans voltaj fazörü, akım fazörünün 90 derece önündedir. b)x > X c için fazör diyagramı Kaynak voltaj fazörü V R,V,V C nin vektörel toplamıdır Tüm devre elemanlarının akım fazörü aynıdır. c) X < X c için fazör diyagramı X < X c ise, kaynağın voltaj fazörü akım fazöründen geridedir. Sığaç voltaj fazörü, akım fazörünün 90 derece arkasındadır. Daima V fazörüne anti paraleldir. Direnç voltaj fazörü, akım fazörüyle aynı fazdadır.

ÖZET

SUMMARY Circuit Element Average ower Reactance hase of Current Voltage Amplitude Resistor R R 2 m E 2R R Current is in phase with the voltage V R I R R Capacitor C C 0 X C 1 C Current leads voltage by a quarter of a period V I X C C C IC C Inductor 0 X Current lags behind voltage by a quarter of a period V I X I (31-17)

i I sint The Series RC Circuit An ac generator with emf E E sint is connected to an in-series combination of a resistor R, a capacitor C, and an inductor, as shown in the figure. The phasor for the ac generator is given in fig. c. The current in this circuit is described by the equation: i I sin t. m The current i is common for the resistor, the capacitor, and the inductor. The phasor for the current is shown in fig. a. In fig. c we show the phasors for the voltage v across R, the voltage v across C, and the voltage v across. R C The voltage v is in phase with the current i. The voltage v lags behind R the current i by 90. The voltage v leads ahead of the current i by 90. C (31-18)

A B i I sint Kirchhoff's loop rule (KR) for the RC circuit: E v v v. This equation is represented in phasor form in fig. d. Because V and V have opposite directions we combine the two in a single phasor V O R C 2 R X X C of the circuit. 2 V 2 2 Z R X X C The current amplitude I C C. From triangle OAB we have: 2 2 2 2 2 2 2 2 Em VR V VC IR IX IX C I R X X C Em I. The denominator is known as the " impedance" Z I R 2 E m 1 C 2. (31-19) E Z 2 2 Z R X XC m. I E Z m

i I sint X C 1 C A B 2 2 Z R X XC O X XC tan R X V VC IX IX C X X C From triangle OAB we have: tan. V IR R We distinguish the following three cases depending on the relative values of X and X. 1. X X 0 The current phasor lags behind the generator phasor. C The circuit is more inductive than capacitive. 2. X C R X 0 The current phasor leads ahead of the generator phasor. The circuit is more capacitive than inductive. 3. XC X 0 The current phasor and the generator phasor are in phase. (31-20)

1. Figs. a and b: X X 0 The current phasor lags behind the generator phasor. The circuit is more inductive than capacitive. C 2. Figs. c and d: X X 0 The current phasor leads ahead of the generator C phasor. The circuit is more capacitive than inductive. 3. Figs. e and f : X C X 0 The current phasor and the generator phasor are in phase. (31-21)

1 C I res E R m Resonance In the RC circuit shown in the figure, assume that the angular frequency of the ac generator can be varied continuously. The current amplitude in the circuit is given by the equation Em I. The current amplitude 2 2 1 R C 1 has a maximum when the term 0. C 1 This occurs when. C Em The equation above is the condition for resonance. When it is satisfied, Ires. R A plot of the current amplitude I as a function of is shown in the lower figure. This plot is known as a " resonance curve." (31-22)

I R I E cos avg rms rms avg 2 rms ower in an RC Circuit We already have seen that the average power used by a capacitor and an inductor is equal to zero. The power on the average is consumed by the resistor. The instantaneous power i 1 The average power avg dt. T 0 2 R I sin t R. T 2 2 1 2 I R 2 avg I R sin t dt IrmsR T 2 0 Erms R avg IrmsRIrms IrmsR IrmsErms IrmsErms cos Z Z The term cos in the equation above is known as the " power T factor" of the circuit. The average power consumed by the circuit is maximum when 0. (31-23) 2

Transmission lines E rms =735 kv, I rms = 500 A Step-up transformer Step-down transformer 110 V Home ower Station T 1 T 2 R = 220Ω 1000 km Energy Transmission Requirements The resistance of the power line R. R is fixed (220 in our example). A Heating of power lines I R. This parameter is also fixed (55 MW in our example). ower transmitted heat heat heat E I 2 rms trans rms rms rms (368 MW in our example). In our example is almost 15 % of and is acceptable. trans To keep we must keep I as low as possible. The only way to accomplish this is by increasing E. In our example E 735 kv. To do that we need a device rms rms that can change the amplitude of any ac voltage (either increase or decrease). (31-24)

The Transformer The transformer is a device that can change the voltage amplitude of any ac signal. It consists of two coils with a different number of turns wound around a common iron core. The coil on which we apply the voltage to be changed is called the " primary" and it has N turns. The transformer output appears on the second coil, which is known as the "secondary" and has N S turns. The role of the iron core is to ensure that the magnetic field lines from one coil also pass through the second. We assume that if voltage equal to V is applied across the primary then a voltage V appears on the secondary coil. We also assume that the magnetic field through both coils is equal to B and that the iron core has cross-sectional area A. The magnetic flux d db through the primary NBA V N A ( eq. 1). dt dt ds db The flux through the secondary S NS BA VS NS A ( eq. 2). dt dt (31-25) S

V N S S V N d db NBA V N A ( eq. 1) dt dt ds db S NS BA VS NS A ( eq. 2) dt dt If we divide equation 2 by equation 1 we get: V V S db N A N S dt S VS V db N N S A N N dt. NS The voltage on the secondary VS V. N NS If NS N 1 VS V, we have what is known as a " step up" transformer. N NS If NS N 1 VS V, we have what is known as a " step down" transformer. N Both types of transformers are used in the transport of electric power over large distances. (31-26)

I I S V N S S V N I N I N S S We have that: V N V N S S V N S S V N (eq. 1). If we close switch S in the figure we have in addition to the primary current a current I in the secondary coil. We assume that the transformer is " ideal, " S i.e., it suffers no losses due to heating. Then we have: V I V I (eq. 2). If we divide eq. 2 with eq. 1 we get: I S N N S I In a step-up transformer ( N N ) we have that I I. In a step-down transformer ( N VI V N VI S V N S S S S S S S I N N ) we have that I I. S S I N S S. I (31-27)