4. TAHMİN SONUÇLARININ DEĞERLENDİRİLMESİ 4.1. Katsayıların Yorumu Y i = β 0 + β 1 X 1i + β X i + + β k X ki + u i gibi çok açıklayıcı değişkene sahip bir modelde, anakütle regresyon fonksiyonu, E(Y i X 1i, X i,, X ki ) = β 0 + β 1 X 1i + β X i + + β k X ki dir. Böyle bir modelde katsayıların anlamı şudur: β 0 : Tüm açıklayıcı değişkenler sıfıra eşitken (X 1i = X i = = X ki = 0) bağımlı değişkenin aldığı değerdir. β 1 : X 1 dışındaki tüm açıklayıcı değişkenler sabitken, X 1 deki bir birimlik değişmenin bağımlı değişkende ortaya çıkardığı değişmedir. E(Y i X 1i, X i,, X ki ) nin X 1i ye göre türevine eşittir. Herhangi bir β j : X j dışındaki tüm açıklayıcı değişkenler sabitken, X j deki bir birimlik değişmenin bağımlı değişkende ortaya çıkardığı değişmedir. Örnek 4.1: W i = β 0 + β 1 E i + u i modelinde W i herhangi bir kişinin aylık ücretini ve E i eğitim yılı sayısıdır. Bu modelin tahmini sonucu W i =100+300E i bulunmuştur. Katsayıların yorumu şu şekildedir: β 0 : Kişinin eğitim yılı sayısı 0 iken yani hiç eğitimi olmayan bir kişinin aylık ücreti 1,00TL dir. β 1 : Kişinin eğitim yılı bir yıl arttığında ücreti 300TL artar. Örnek 4.: C t = β 0 + β 1 Y t + β C t-1 + u t modelinde C t Türkiye nin herhangi bir t yılındaki tüketim harcamalarını (milyon TL), Y t ulusal gelirini (milyon TL) ve C t-1 bir önceki yılın tüketim harcamalarını (milyon TL) gösterir. Bu model tahmin edilmiş, C t =75+0.63Y t + 0.3C t bulunmuştur. Katsayıların yorumu şu şekildedir: β 0 : Türkiye de ulusal gelir ve önceki yılın tüketim harcamaları sıfır iken bu yılın tüketim harcaması (otonom tüketim harcaması) 75 milyon TL dir. β 1 : Bir önceki yılın tüketim harcamasında bir değişme yokken ulusal gelirde 1 milyon TL değişme olduğunda bu yılın tüketim harcamaları aynı yönde 630,000TL değişir. Marjinal tüketim eğilimi 0.63 tür. β 1 : Ulusal gelirde bir değişme yokken bir önceki yılın tüketim harcamasında 1 milyon TL lik değişme olduğunda bu yılın tüketim harcamalarında 30,000TL lik artış olur. 3-1
4.. Belirlilik Katsayısı: R Belirlilik katsayısı 1 (R ) örneklem verileri kullanılarak elde edilen örneklem eğrisinin verilere ne kadar iyi uyduğunu ölçmek amacıyla kullanılan bir ölçüttür. Grafik 4.1 örneklem verilerinin ÖRF fonksiyonu etrafında dağıldığını göstermektedir. Grafik 4.1: Örneklem Verileri ve Örneklem Eğrisi Y ÖRF X En iyi durumda, diğer bir deyişle tam bir uyumun sağlandığı durumda, bütün gözlemler eğri üzerinde olacaktır. Ancak böyle bir duruma rastlama olasılığı çok düşüktür. Genellikle gözlemler eğrinin etrafında dağılacaktır. Gözlemler eğriye ne kadar yakınsa (hata terimleri ne kadar küçükse) o kadar iyi bir uyum sağlanmış olur. Belirlilik katsayısı ise gözlemlerin eğriye ne kadar yakın olduğunu, diğer bir deyişle örneklem regresyon eğrisinin veriye ne kadar iyi uyduğunu gösteren özet bir ölçüdür. R yi hesaplamak için önce her bir y değerini tahmin değeri ile hata teriminin toplamı olarak ifade edelim: Y i = Y i +u i Bunu ortalamadan sapmalar olarak yazarsak (Y i -Y i )=(Y i -Y i )+u i Karelerini ve toplamlarını alırsak 1 Coefficient of Determination 3-
(Y i -Y i ) = (Y i -Y i ) +u i Burada (Y i -Y i ) ifadesi Y değerlerinindeki (ortalamalara göre) toplam değişimi gösterdiğinden Bütün Kareler Toplamı (BKT), (Y i -Y ) ifadesi tahmin edilmiş Y değerlerinindeki (ortalamalara göre) toplam değişimi gösterdiğinden Açıklanan Kareler Toplamı (AKT) ve u i Y değerlerinin açıklanamayan kısmını gösterdiğinden Kalıntı Kareler Toplamı (KKT) olarak adlandırılır. Yeniden ifade etmek gerekirse, BKT Y deki toplam değişimleri ifade ederken bu değişimlerin yaptığımız tahminin açıklayabildiği kısmı AKT, açıklayamadığı kısmı KKT ile gösterilmiştir. BKT = AKT + KKT veya 1= AKT BKT + KKT BKT R değeri, BKT nın ne kadarının tahminimiz tarafından açıklandığını ölçer, yani AKT/BKT dir. RR =1- KKT BKT u i =1- (Y i -Y i ) (4.1) =1- u i Y i - ( Y i) n Modelde sabit terim varsa, R değeri 0 ile 1 arasında bir değer alır. Bire ne kadar yakınsa modelin bağımlı değişken Y deki değişmeleri açıklama gücü o kadar yüksek demektir. Örneğin R 0.75 çıkmış ise, model Y deki değişmelerin yüzde 75 ini açıklamaktadır. Zaman serileri genellikle trend içerdiğinden R genellikle yüksek çıkmaktadır. Bu nedenle zaman serisi kullanılıyorsa, R 0.9 veya üzerinde çıkıyorsa modelin açıklama gücü yüksek kabul edilir. Kesit verisinde ise 0.5 veya üzerinde çıkması durumunda açıklama gücü yüksek kabul edilir. 3-3
Örnek 4.3: Örnek 3.1 de kullanılan verileri ve elde edilen tahmin sonuçlarını kullanarak R değerini hesaplayalım. Tablo 3.1 ve ve 3. deki bilgileri kullanarak R değeri aşağıdaki gibi hesaplanabilir: RR =1- u i Y i - ( Y i) n = 1-337 13,100- (1,110) 10 = 0.96 Bulduğumuz sonuca göre model Y deki değişmelerin yüzde 96. sini açıklamaktadır. Kesit verisi kullanıldığı ve elde edilen değer 0.50 nin üzerinde olduğundan modelin açıklama gücü yüksektir diyebiliriz. 4.3. Düzeltilmiş R : R Modele açıklayıcı değişken eklendikçe R değeri asla azalmaz, genellikle artar. Bu nedenle R değeri, açıklayıcı değişken sayısı aynı olan modellerin açıklama güçlerinin karşılaştırılmasında kullanılmalıdır. Açıklayıcı değişken sayısı farklı olan modelleri karşılaştırmada R değerini kullanmak doğru değildir. Bunun yerine, modele ilgisiz açıkayıcı değişken eklendiğinde bu işlemi cezalandıran alternatif bir istatistik, Düzeltilmiş R (R ) kullanılmalıdır. R u i /(n k) = 1- (Y i -Y i ) /(n 1) 1- u i /(n k) ( Y i - ( Y i) n )/(n 1) (4.) R formülünü de dikkate alarak 3.15 no lu denklem R cinsinden de yazılabilir. R = 1-(1-RR ) n 1 n k (4.3) Düzeltilmiş R istatistiğinin özellikleri R ile benzerdir. Farklı olarak modelde sabit terim yer alsa bile düzeltilmiş R eksi değerli olabilir. Ayrıca modele yeni değişken eklendiğinde R nin aksine düzeltilmişi R azalabilir: Yeni değişken eklendiğinde k artacağından (n-1)/(n-k) değeri azalacaktır. Yeni değişkenin Y yi açıklama gücü düşükse R değeri fazla artmayacağından düzeltilmiş R değeri azalabilir. Düzeltilmiş R istatistiğinin yorumu R ile aynıdır. 3-4
Örnek 4.4: Örnek 3.1 de kullanılan veriler ve tahmin sonuçları ile düzeltilmiş R değerini hesaplayalım. R = 1-(1-RR ) n 1 10 1 = 1-(1-0.96) n k 10 = 0.957 Düzeltilmiş R değerine göre model Y deki değişmelerin yüzde 95.7 sini açıklamaktadır. 4.4. Hipotez Testleri Ekonometrik analizlerin temel amacı örneklem tahminlerini bularak anakütle ile ilgili çıkarsamalar yapmaktır. Bu amaçla katsayı tahminlerini (β 0, β 1 gibi) bulmak yanında bu tahminleri kullanarak anakütle katsayıları (β 0, β 1 gibi) ile ilgili çıkarımlarda bulunmaktır. Bu noktada u i hata terimlerinin olasılık dağılımları ile ilgili varsayımlarda bulunmamız gerekir. Gujarati ve Porter (01) Ek 3.A. de gösterildiği gibi katsayı tahmin edicileri (β 0, β 1 ) hata terimlerinin (u i ) doğrusal bir fonksiyonudur. Dolayısıyla katsayı tahmin edicilerinin olasılık dağılımları hata terimlerinin olasılık dağılımları ile ilgili varsayımlarımıza dayanır. 4.4.1 Normallik Varsayımı Burada yapılacak varsayım, hata terimlerinin daha önce belirtilen özellikleri (üçüncü, dördüncü ve beşinci varsayımlar) yanında normal dağılıma da sahip olduğudur. Üçüncü, dördüncü ve beşinci varsayımlar sırasıyla E(u i X i ) = 0, Var (u i X i ) = σ u ve Cov(u i, u j X i, X j )= 0 olmasıdır. Normallik varsayımıyla beraber hata terimleri için gösterim u i ~ N(0, σ u ) (4.4) şeklindedir. Burada ~ biçiminde dağılmaktadır anlamına gelir. N normal dağılım ı temsil eder. Parantez içindeki ifadeler ortalama ve varyansı gösterir. Hata terimlerinin normal dağıldığı varsayımı yapıldığında EKK tahmin edicileri de normal dağılıma sahiptirler. 3-5
İki değişkenli Y i = β 0 + β 1 X i modeli için bu durum aşağıdaki gibi gösterilebilir. E(β 0 ) = β 0, E(β 1 ) = β 1, Var(β 0 )=σ X β0 =σ i u ve β n X i ( X i ) 0 ~ N(β 0, σ β0 ) Var(β 1 )=σ n β1 =σσ uu ve β n X i ( X i ) 1 ~ N(β 1, σ β1 ) İstatistik derslerinden hatırlanabileceği gibi normal dağılıma sahip bir değişkenden ortalaması çıkartılıp standart hatasına bölündüğünde elde edilen değişken standartlaştırılmış normal dağılıma, diğer bir deyişle ortalaması 0, varyansı 1 olan normal dağılıma sahiptir. Yani ZZ = β 0 β 0 σ β0, ZZ = β 1 β 1 σ β1 Z ~ N(0, 1) Ayrıca hata terimlerinin 0 ortalama ve σ u varyans ile normal dağılıma sahip olması, Y i nin de aşağıdaki ortalama ve varyans ile normal dağılıma sahip olması anlamına gelir. E(Y i ) = β 0 + β 1 X i Var(Y i ) =σσ uu (4.5) (4.6) Kısaca, Y~N(β 0 + β 1 X i, σσ uu ) (4.7) İki değişkenli Y i = β 0 + β 1 X i modeli için geçerli olan bu durum daha genel çok değişkenli model için de geçerlidir. 4.4. Katsayılar için Hipotez Testleri Hipotez testi uygulaması için, dağılımı bilinen ve teorik tablo değerleri bulunan bir test istatistiğine gereksinme duyarız. Yukarıda katsayılar için normallik varsayımı yapılmıştır. Bu durumda eğer σσ uu biliniyorsa katsayıların varyansları ve dolayısıyla Z değerleri hesaplanabilir ve Z dağılımı kullanılabilir. Ancak genellikle σσ uu bilinmez, tahmin edilmesi gerekir. Bu durumda kullanılması en uygun istatistik t dağılımına sahip istatistiktir. 3-6
tt h = β 0 β 0 ssh(ββ 0 ) = β 0 β 0 σσ β0 = β 0 β 0 XX σσ uu ii nn XX ii ( XX ii ) (4.8) tt h = β 1 β 1 ssh(ββ 1 ) = β 1 β 1 σσ β1 = β 1 β 1 (4.9) n σσ uu n X i ( X i ) Burada sh tahmin edilmiş standart hata anlamına gelmektedir. Bu şekilde tanımlanmış t istatistiği n-k serbestlik derecelidir ve hem çift taraflı hem de tek taraflı testlerde kullanılabilir. Çift taraflı testte H 0 boş hipotezi eşitlik olarak ifade edilir. * H 0 : β 1 = β 1 * H 1 : β 1 β 1 Eğer β * 1 = 0 ise uygulanan test anlamlılık testidir. Hesaplanan t istatistiği t tab = t α/,n-k tablo değeri ile karşılaştırılmalıdır. Burada α (1. Tip) hata payıdır ve %1, % 5 veya %10 seçilebilir. Serbestlik derecesi n-k da yer alan n gözlem sayısı, k denklemde yer alan katsayı adedidir. Eğer tt h > t tab ise H 0 hipotezi ret, H 1 hipotezi kabul edilir (t h Grafik 4. de ret bölgesindedir). Eğer tt h t tab ise H 0 hipotezi kabul, H 1 hipotezi reddedilir (t h Grafik 4. de kabul bölgesindedir). 3-7
Grafik 4.: Çift taraflı testte kabul ve ret bölgeleri f(t) Ret bölgesi α/ -t α/,n-k Kabul bölgesi 1-α 0 t α/,n-k Ret bölgesi α/ t H 0 boş hipotezinin reddedilmesi β 1 in β 1 * dan farklı olduğu anlamına gelir. Eğer yapılan anlamlılık testi ise, diğer bir deyişle β 1 * = 0 ise boş hipotezin reddedilmesi, ilgili açıklayıcı değişkenin bağımlı değişken Y yi açıklamakta anlamlı katkısı olduğu anlamına gelir. H 0 boş hipotezinin kabul edilmesi β 1 in β 1 * dan farklı olmadığı anlamına gelir. Anlamlılık testinde ilgili açıklayıcı değişkenin bağımlı değişken Y yi açıklamakta anlamlı katkısı olmadığını gösterir. Örnek 4.5: Örnek 3.1 de Örneklem 1 e ait 10 veri kullanarak Y i = β 0 + β 1 X i + u i modeli tahmin edilmiş ve β 1 = 0.5090, σσ uu = 4.16, Var(β 1 )=0.0013 bulunmuştur. Şimdi β 1 için anlamlılık testi yapalım. H 0 : β 1 = 0 H 1 : β 1 0 tt h = β 1 β 1 σσ β1 = β 1 β 1 Var(β 1 ) = 0.5090-0 0.0013 = 0.7574 Hata payı % 5 için (α=0.05) t tab = t α/,n-k = t 0.05,10- = t 0.05,8 =.306 dır. Grafikte: 3-8
Grafik 4.3: Çift taraflı testte kabul ve ret bölgeleri f(t) Ret bölgesi %.5 -.306 Kabul bölgesi 0.306 Ret bölgesi %.5 t tt h t tab olduğundan H 0 hipotezi kabul edilir: %5 hata payıyla X değişkeninin (gelirin) bağımlı değişken Y yi (tüketim harcamalarını) açıklamakta istatistiki olarak anlamlı katkısı yoktur. Tek taraflı testte H 0 boş hipotezi eşitsizlik olarak ifade edilir. Eşitsizlik iki farklı şekilde ifade edilebilir. Birinci eşitsizlik: * H 0 : β 1 β 1 * H 1 : β 1 > β 1 t istatistiği çift taraflı testte olduğu gibi hesaplanır. Tablo değerinde ise artık α/ değil, α değeri kullanılır: t tab = t α,n-k. Karar kuralı Grafik 4.4 yardımıyla açıklanabilir. 3-9
Grafik 4.4: Birinci tür tek taraflı testte kabul ve ret bölgeleri f(t) Kabul bölgesi 1-α 0 t α,n-k Ret bölgesi α t Eğer tt h > t tab ise H 0 hipotezi ret, H 1 hipotezi kabul edilir. Eğer tt h t tab ise H 0 hipotezi kabul, H 1 hipotezi reddedilir. Örnek 4.6: Örnek 3.1 de yer alan Örneklem 1 e ait verileriyle aşağıdaki hipotezi test edelim. H 0 : β 1 0. H 1 : β 1 > 0. tt h = β 1 β 1 = 0.5090-0. = 8.58 σσ β1 0.0013 Hata payı % 5 için (α=0.05) t tab = t α,n-k = t 0.05,8 = 1.86 dır. tt h =8.58 > t tab (=1.86) olduğundan H 0 hipotezi ret, H 1 hipotezi kabul edilir: %5 hata payıyla X değişkeninin katsayısı 0. den küçük değildir. İkinci eşitsizlik: * H 0 : β 1 β 1 * H 1 : β 1 < β 1 Karar kuralı Grafik 4.5 te gösterildiği gibidir. 3-10
Grafik 4.4: İkinci tür tek taraflı testte kabul ve ret bölgeleri f(t) Ret bölgesi α Kabul bölgesi 1-α -t α,n-k 0 t Eğer tt h < -t tab ise H 0 hipotezi ret, H 1 hipotezi kabul edilir. Eğer tt h -t tab ise H 0 hipotezi kabul, H 1 hipotezi reddedilir. Örnek 4.6: Örnek 3.1 de yer alan Örneklem 1 e ait verileriyle aşağıdaki hipotezi test edelim. H 0 : β 1 0.6 H 1 : β 1 < 0.6 tt h = β 1 β 1 = 0.5090-0.6 =.58 σσ β1 0.0013 Hata payı % 5 için (α=0.05) t tab = t α,n-k = t 0.05,8 = 1.86 dır. tt h =-.58 < -t tab (=-1.86) olduğundan H 0 hipotezi ret, H 1 hipotezi kabul edilir: %5 hata payıyla X değişkeninin katsayısı 0.6 dan büyük değildir. 3-11
4.4.3 Modelin Açıklama Gücüne İlişkin F Testi Aşağıdaki çok sayıda açıklayıcı değişken bulunan modelde açıklayıcı değişken katsayılarının tümünün birden sıfır olduğu hipotezi test edilmek istenebilir. Y i = β 0 + β 1 X 1i + β X i + + β k X ki Bu durumda boş ve alternatif hipotezler aşağıdaki gibidir. H 0 : β 1 = β = = β k = 0 H 1 : β 1, β,, β k 0 Burada dikkat edilmesi gereken nokta, boş ve alternatif hipotezde sabit terimin bulunmaması, testin sadece eğim katsayıları ile ilgili olmasıdır. Bu hipotezler aynı zamanda H 0 : R = 0 H 1 : R 0 olarak da ifade edilebilir. Diğer bir deyişle, bu test ile R nin sıfırdan farklı olup olmadığı da test edilmektedir. Bu hipotezli test etmek için kullanılacak istatistik F dağılımına sahiptir ve aşağıdaki gibi hesaplanmaktadır. FF h = AAAAAA/(kk 1) KKKKKK/(nn kk) = RR /(kk 1) (1 RR )/(nn kk) (4.10) İkinci adıma geçebilmek için R tanımından yararlanılmıştır. F h değeri hesaplandıktan sonra F tab tablo değeri ile karşılaştırılmalıdır. F tab = F α (k-1,n-k). Eğer F h >F tab ise H 0 reddedilir: α hata payıyla modeldeki açıklayıcı değişkenlerin tümü birden bağımlı değişkeni açıklayabilmektedir. Modelin R değeri sıfırdan farklıdır. 3-1
Örnek 4.7: Y i = β 0 + β 1 X 1i + β X i + β 3 X 3i aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. modeli 0 veri ile tahmin edilmiş, Y i = 0.5 + 0.X 1i + 0.13X i 0.14X 3i R = 0.7 açıklayıcı değişken katsayılarının tümünün birden sıfır olduğu hipotezini test ediniz. H 0 : β 1 = β = β 3 = 0 (R = 0) H 1 : β 1, β, β 3 0 (R 0) FF h = 0.7/(4 1) (1 0.7)/(0 4) = 13.71 F tab = F 0.05 (3,16) = 3.4 F h >F tab olduğundan H 0 reddedilir: %5 hata payıyla modeldeki açıklayıcı değişkenlerin tümü birden bağımlı değişkeni açıklayabilmektedir. Modelin R değeri sıfırdan farklıdır. 4.4.4 Katsayıların Doğrusal Bileşimi İçin t Testi Bazı durumlarda iktisat teorisi, bazı katsayıların doğrusal bileşimleri ile ilgili hipotez önerebilir. Bunun en tipik örneği Cobb-Douglas üretim fonksiyonudur. Bu üretim fonksiyonu Q = AL β 1K β e u (4.11) olarak yazılabilir. Modelin tahmin edilebilmesi için doğrusal hale getirilmesi gerekir. Bunun için iki tarafın logaritması alınırsa lnq = β 0 + β 1 L + β K + u (4.1) şekline dönüşür. Burada β 0 = ln A dır. Eğer ölçeğe göre sabit getiri varsa β 1 + β = 1 olmasını bekleriz. Katsayıların bu şekilde doğrusal bileşimlerine ilişkin test t testi uygulanarak sınanabilir. Y i = β 0 + β 1 X 1i + β X i + + β k X ki genel modelinde aşağıdaki gibi bir hipotezi test ettiğimizi düşünelim. 3-13
H 0 : a 1 β 1 + a β + + a k β k = r H 1 : a 1 β 1 + a β + + a k β k r Bu durumda kullanılacak t istatistiği aşağıdaki gibi hesaplanır. tt h = aa 1ββ 1 + aa ββ + + aa kk ββ kk r ssh(aa 1 ββ 1 + aa ββ + + aa kk ββ kk ) = aa 1 ββ 1 + aa ββ + + aa kk ββ kk r VVVVVV (aa 1 ββ 1 + aa ββ + + aa kk ββ kk ) (4.13) Karar kuralı çift taraflı t testinde olduğu gibidir. Eğer tt h > t tab ise H 0 hipotezi ret, H 1 hipotezi kabul edilir. Eğer tt h t tab ise H 0 hipotezi kabul, H 1 hipotezi reddedilir. Doğrusal bileşimin tahmin edilmiş standart hatasının hesaplanmasında varyans özelliklerinden yararlanılır. Örneğin H 0 : β 1 + 3β 3 = 5 H 1 : β 1 + 3β 3 5 için tt h = ββ 1 + 3ββ 3 5 ssh(ββ 1 + 3ββ 3 ) = ββ 1 + 3ββ 3 5 VVVVVV (ββ 1 + 3ββ 3 ) ββ 1 + 3ββ 3 5 = VVVVVV ββ 1 + 9VVVVVV ββ 3 + 6CCCCCC(ββ 1, ββ 3 ) Burada VVVVVV(aaaa + bbbb) = aa VVVVVV (XX) + bb VVVVVV(YY) + aaaaaaaaaa(xx, YY) özelliğinden yararlanılmıştır. Bu test iki katsayının eşitliğinin sınanması amacıyla da kullanılabilir. Örneğin H 0 : β = β 3 H 1 : β β 3 hipotezleri H 0 : β - β 3 = 0 H 1 : β - β 3 0 3-14
olarak yazılabilir. Bu durumda ββ ββ 3 tt h = VVVVVV (ββ ββ 3 ) ββ ββ 3 = VVVVVV ββ + VVVVVV ββ 3 CCCCCC(ββ, ββ 3 ) Burada VVVVVV(XX YY) = VVVVVV (XX) + VVVVVV(YY) CCCCCC(XX, YY) özelliğinden yararlanılmıştır. Örnek 4.8: I t = β 0 + β 1 Y t + β R t + u t modelinde I yatırımları, Y ulusal geliri ve R faiz oranını göstermektedir. Bu model Türkiye için 1976-010 arası 35 veri ile tahmin edilmiş, aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. I t = 0.05 + 0.04Y t + 0.81R t, Var β 1 = 0.0004, Var β = 0.0095, Cov β 1, β = 0.001 H 0 : β 1 + β = 0.5 H 1 : β 1 + β 0.5 Hipotezlerini test ediniz. tt h = ββ 1 + ββ 0.5 VVVVVV (ββ 1 + ββ ) ββ 1 + ββ 0.5 = VVVVVV ββ 1 + VVVVVV ββ + CCCCCC(ββ 1, ββ ) = 0.04 + 0.81 0.5 0.0004 + 0.0095 (0.001) = 3.9378 α=0.05 için t tab = t α/,n-k = t 0.05,35-3 = t 0.05,3 =.037 dir. tt h = 3.9378 > t tab =.037 olduğundan H 0 hipotezi reddedilir: %5 hata payıyla : β 1 ve β katsayılarının toplamı istatistiki olarak 0.5 den farklıdır. 3-15
4.4.5 Yapısal Farklılaşma İçin Chow Testi Ekonometrik modelin uygulandığı dönemde söz konusu ekonomide veya sektörde bir yapısal değişikliğin olup olmadığı da test edilmek istenebilir. Örneğin Y t = β 0 + β 1 X 1t + β X t + + β k X kt genel modelinin t = 1 n veri ile tahmin edilmekte olduğunu düşünelim. Bu incelenen dönem içinde ise dönem için katsayıların ikinci dönem katsayılarından farklılaşacağını test etmek için nedenlerimiz olabilir. İlk döneme ait modeli Y t = α 0 + α 1 X 1t + α X t + + α k X kt, ikinci döneme ait modeli Y t = γ 0 + γ 1 X 1t + γ X t + + γ k X kt ile gösterirsek, hiçbir yapısal değişimin olmadığı (yapısal kararlılığın olduğu) durumda iki modelin katsayıları birbirine eşit olmalıdır: α i = γ i. Eğer yapısal farklılaşma varsa iki modelin katsayıları farklılaşacaktır. Bu durumda boş ve alternatif hipotezler aşağıdaki gibidir. H 0 : α i = γ i H 1 : α i γ i Hipotezin test edilmesi için veri dönemi ikiye ayrılmalıdır. Birinci dönemde n 1, ikinci dönemde n veri olsun (n 1 + n = n dir). Testin uygulanabilmesi için model birinci dönem için (n 1 veri ile), ikinci dönem için (n veri ile) ve modelin tüme verilerini kullanarak (n 1 + n = n veri ile) tahmin edilmelidir. Birinci dönem için yapılan tahmin sonucunda elde edilen hata kareleri toplamına KKT 1, ikinci döneminkine KKT, ve tüm dönem ile yapılan tahmininkime KKT diyelim. Test istatistiği aşağıdaki gibi hesaplanır. FF h = (KKKKKK KKKKKK 1 KKKKKK )/kk (KKKKKK 1 + KKKKKK )/(nn kk) = 13.71 Burada payın serbestlik derecesi (n-k)-(n 1 -k)-(n -k)=k işlemi ile bulunmuştur. Paydanın serbestlik derecesi ise (n 1 -k)+(n -k) = n-k olmaktadır. Hesaplanan F istatistiği k, n-k 3-16
serbestlik dereceli F dağılımına sahiptir. Eğer F h >F tab ise α hata payı ile H 0 reddedilir: α hata payı ile iki dönem arasında yapısal farklılık vardır. Örnek 4.9: Örnek 4.8 de kullanılan modelde 1989 dan itibaren bir yapısal değişiklik olduğunu düşünüyor olalım. Bu durumda model 1976-1988 dönemi, 1989-010 dönemi ve 1976-010 dönemi için ayrı ayrı tahmin edilmiş ve aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. 1976-1988 dönemi: n 1 = 13, KKT 1 = 6.51 1989-010 dönemi: n =, KKT = 1.58 1976-010 dönemi: n= 35, KKT = 8.31 Yapısal farklılaşma testi aşağıdaki gibi uygulanacaktır. H 0 : α i = γ i H 1 : α i γ i FF h = (8.31 6.51 1.58)/3 (6.51 + 1.58)/(35 6) = 0.3159 F tab = F 0.05 (3,9) =.93 F h <F tab olduğundan %5 hata payı ile H 0 kabul edilir: %5 hata payı ile iki dönem arasında yapısal farklılık yoktur. 4.4.6 Hata Teriminin Normal Dağılımı için χ Testi Burada ele alınan hipotez testleri hata teriminin normal dağılıma sahip olduğunu varsaydığından bu varsayımın geçerliliği de test edilmelidir. Bu bölümde hata teriminin normal dağıldığı hipotezini test etmede kullanılan Jarque-Bera testi ele alınacaktır. Bu testte boş ve alternatif hipotezler aşağıdaki gibidir. H 0 : u ~ N (hata terimleri normal dağılıma sahiptir) H 1 : u N (hata terimleri normal dağılıma sahip değildir) Jarque-Bera testi hata terimlerinin çarpıklık (S) ve basıklık 3 (K) katsayılarını kullanarak aşağıdaki istatistiği hesaplar. skewness 3 kurtosis 3-17
JJJJ = nn SS 6 (KK 3) 4 SS = μμ 3 σσ 3 = uu 3 /nn σσ 3, KK = μμ 4 σσ 4 = uu 4 /nn σσ 4, σσ = μμ = uu /nn Bu istatistik serbestlik dereceli χ dağılımına sahiptir (χ tab= χ ()). Normal dağılımlı bir değişken için S=0, K=3 tür. Eğer χ h> χ tab ise H 0 reddedilir: hata terimleri normal dağılıma sahip değildir. Örnek 4.10: Örnek 3.1 de kullanılan modelde uu 3 =-780, uu 4 =1,511, uu =337.7 bulunmuştur. Ayrıca n=10 olduğu bilinmektedir. Normallik testi aşağıdaki gibi uygulanmalıdır. H 0 : u ~ N (hata terimleri normal dağılıma sahiptir) H 1 : u N (hata terimleri normal dağılıma sahip değildir) σσ = uu /nn = 337.7/10=5.807 SS = 780/10 1,511 (5.807) 3 =-0.398 KK = = 1.89 (5.807) 4 JJJJ = 10 ( 0.398) 6 (1.89 3) = 0.777 4 χ tab= χ ()=5.991 χ h< χ tab olduğundan H 0 kabul edilir: hata terimleri normal dağılıma sahiptir. 3-18