Korelasyon ve Regresyon

Transkript

1 Korelasyon ve Regresyon

2 Korelasyon- (lineer korelasyon) Açıklayıcı (Bağımsız) Değişken x çalışma zamanı ayakkabı numarası İki değişken arasındaki ilişkidir. Günlük sigara sayısı SAT puanı boy Yanıt (Bağımlı) Değişken y Kaza sayısı Boy akciğer kapasitesi Başarı puanı İki değişken arasında ne tür bir ilişki vardır ve bu korelasyon anlamlı mıdır? IQ

3 Dağılım grafiği ve korelasyon çeşidi 60 x = egzersiz süresi y = kaza sayısı Kaza egzersiz süresi Negatif Korelasyon x artarken, y azalıyor

4 GPA(başarı notu) x = SAT puanları y = başarı notu SAT matematik puanı Positif Korelasyon x artıyorken, y artıyor

5 x = boy y = IQ IQ Boy(inç) lineer korelasyon yok

6 Korelasyon Katsayısı İki değişken arasındaki lineer ilişkinin büyüklüğü ve yönünü ölçer. r = Σ ( 1 1 X X ).( Y N. S x. S y Y ) r değeri 1 ila 1 arasında değişir Eğer r, 1 e yakın ise, kuvvetli negatif korelasyon var. Eğer r, 0 a yakın ise lineer korelasyon yok. Eğer r,1 e yakın ise kuvvetli pozitif korelasyon var. r = -0.97, r = 0.02, kuvvetli ilişkiyi gösterir ama 0.63 için ne kadar kuvvetli olup olmadığı hakkında hipotez testi gerekir

7 Geçme notu örnek devamsızlık X devamsızlık x y geçme Notu

8 n x y r nin hesabı xy x 2 y Sonucun yorumu nedir?

9 Anlamlılık için Hipotez Testi r örneğin korelasyon katsayısıdır. Popülasyonun korelasyon katsayısı (rho) dur. Çift taraflı anlamlılık testi için: (Korelasyon anlamlı değil) Sağ ve sola dayalı (left tail and right tail)durumları pozitif veya negatifliliği test etmede: (Korelasyon anlamlı) r için örnek dağılımında t dağılımı ile birlikte d.f.: n 2 dir Standardize edilmiş test İstatistiği

10 Anlamlılık Testi Devamsızlıkla geçme notu arasındaki korelasyon katsayısını r = dır. toplam yedi kişiye ait sonuç verilmiştir.bu sonucun anlamlılık seviyesini belirleyiniz = 0.01 dir. 1. Boş(null) ve alternatif hipotezi yazınız. 2. Anlamlılık seviyesi: = 0.01 (Korelasyon anlamlı değil) (Korelasyon anlamlı ) 3. Kullanılacak Örnek dağılımını belire. t-dağılımı ve d.f.:5

11 Reddetme bölgesi t Kritik değer ± t 0 4. Kiritik değeri bul. 5. Reddetme bölgesini bul. 6. İstatistiksel değeri bul.

12 t Kararınızı verin t = reddetme bölgesi içindedir. null hipotez reddedilir. 8. Kararı yorumla Devamsızlık sayısı ile geçme notu arasında anlamlı bir korelasyon-ilişki- vardır.

13 Lineer Regresyon

14 Regresyon Çizgisi Anlamlı bir lineer korelasyon bulduktan sonra x ve y arasındaki bu anlamlılığı ifade edecek bir denklem yazılmalıdır. Bu denkleme regresyon çizgisi/eğrisi veya en küçük kare çizgisi -least squares line- denir Bu çizgi için denklem y = mx + b olarak yazılır. buradaki m : çizginin eğimi ve b: y yi- kesim noktasıdır. Regresyon çizgisi: Eğim, m : Y yi -kesme noktası b:

15 (x i,y i ) = elde edilen verinin bulunduğu noktalar = aynı x değeri için çizgi üzerindeki noktalar = artık( residual), bu değer +,- veya 0 olabilir gelir reklam $

16 n x y xy x 2 y x = devamsızlık sayısı y = geçme notu için lineer regresyon denklemini yazınız. m ve b yi hesapla. Regresyon çizgisi: = 3.924x

17 m = ve b = Regresyon denklemi: Regresyon Çizgisi geçme notu Dikkat ediniz ki Devamsızlık sayısı = (8.143, ) çizgi üzerinde.

18 y değerini tahmin etme Verilen regresyon denkleminden herhangi bir x değeri için y değeri tahmin edilebilir. Geçme notu ile devamsızlık arasındaki regresyon denklemi: = 3.924x Bu denkleme göre aşağıdaki devamsızlıklar için umulan geçme notunu hesaplayınız (a) 3 devamsızlık (b) 12 devamsızlık (a) (b) = 3.924(3) = = 3.924(12) = Yorumlar verilen değerler arasında anlamlıdır. Mesela 100 devamsızlık için bulunan not değerinin bir anlamı yoktur.

19 Regresyon ve Korelasyon Ölçümü

20 Belirleme Katsayısı Belirleme katsayısı, r 2, bağımlı değişken olan y nin ne kadarının -çeşitliliğinin- bağımsız değişken x tarafındani açıklandığını gösterir Açıklanan Varyasyon Toplam Varyasyon Devamsızlıkla geçme notu arasındaki korelasyon katsayısı, r = ve belirleme katsayısı ise, r 2 = ( 0.975) 2 = dir. Yorumu: geçme notunun yaklaşık %95 i öğrencilerin okula devamsızlıkları tarafından açıklanabilir veya buna bağlıdır. Geri kalan açıklanamayan %5 ise, örnekleme hatası veya diğer değişkenlere-zekilik,çalışma süresi vs -- bağlıdır.

21 Standat Hata Tahmini Standart Hata Tahmini, s e, gözlemlenen y i nin tahmin yapılan değer hakkındaki standart sapmasıdır. standart hata tahmininin olması demek geçme notunun standart hatasının 4.307olması demektir, yani belli bir devamsızlık için bu tahmini standart hata mevcuttur. Standart tahmini hata ne kadar büyük olursa, o oranda da verilerin yaygınlığı söz konusudur.

22 Standat Hata Tahmini x y Her bir x=4.307 değeri için yi hesapla

23 Tahmin Aralığı Verilen bir lineer regresyon denklemi ve x 0 ile, x in spesifik değeri ne karşın, y nin tahmini aralığı: İle bulunur Burada: Nokta tahmini: ve E de maximum tahmini hatadır. t-dağılımı ile d.f: n 2 kullanınız

24 örnek 6 kez devamsızlığı olan bir öğrencinin geçme notunu a %90 güven aralığı için bulunuz? 1. Nokta tahminini bul: Bu x koordinatında regresyon denklemine göre 6 ya karşılık gelen noktadır. (6, )

25 Örnek 6 kez devamsızlığı olan bir öğrencinin geçme notunu a %90 güven aralığı için bulunuz? 2. E yi bul, %90 güven aralığında, maximum tahmin hatası tür.

26 örnek 6 kez devamsızlığı olan bir öğrencinin geçme notunu a %90 güven aralığı için bulunuz? 3. Uç noktaları bul. E = = E = = < y < x = 6 olduğu zaman, %90 güven aralığında değerler den ye kadar değişmektedir; yani %90 ihtimalle 6 devamsızlığı olan bir öğrencinin geçme notu bu değerler arasındadır.

27 Çıktı-sonuç Regression Analysis The regression equation is y = x Predictor Coef StDev T P Constant x S = R-Sq = 95.0% R-Sq(adj) = 94.0%

28 Çoklu Regresyon (Multiple Regression)

29 Daha fazla Açıklayıcı Değişkenler devamsız IQ Başarı Notu Y, X 1,X 2, X 3.

30 Çıktı-sonuç Regression Analysis regresyon denklemi B.Notu = devamszılık IQ Y: Başarı notu X1: devamsızlık X2:IQ olsun Y= X X 2 Predictor Coef Constant devamsızlık IQ StDev T P S = R-Sq = 95.4% R-Sq(adj) = 93.2%

31 Yorumlama regresyon denklemi Başarı Notu = devamsızlık IQ Diğer değişkenler 0 olduğunda, başarı notu 52.7 dir. Eğer IQ sabit tutulursa, devamsızlıktaki her bir puana karşılık 2.65 puan oranında tahmini başarı notuna katkı yapacaktır. Eğer devamsızlık sabit tutulursa, IQ nun bir puan artması ile tahmin edilen başarı notunda da puan orarında artış olacaktır.

32 Sonuç tahmini Regresyon denklemi: Başarı notu = devamsızlık IQ Verilen regresyon denkleminden devamsızlığı 5 ve IQ 125 olan bir öğrencinin başarı notunu hesaplayınız? Başarı notu = devamsızlık IQ Başarı Notu = (5) (125) = (yaklaşık 80) Verilen regresyon denkleminden devamsızlığı 9 ve IQ 120 olan bir öğrencinin başarı notunu hesaplayınız? Başarı notu = devamsızlık IQ B. Notu = (9) (120) = (yaklaşık 72)