ZAMAN SERİSİ ANALİZİ VE YAPISAL KIRILMA 1

ZAMAN SERİSİ ANALİZİ VE YAPISAL KIRILMA 1 Zaman serisi ekonometrisinde sahte regresyona neden olacak durağan olmama durumlarından sakınmak amacıyla, elimizde yer alan zaman serilerinin durağanlık açısından test edilmesi gerekmektedir.temel olarak zaman serilerinin durağanlık testi, şeklikorelogram- sınamaları dışında, Dickey-Fuller ve diğer yöntemler yardımıyla yapılmaktadır. Değişik yöntemler olmakla birlikte, durağanlık için kullanılan en yaygın ve en geçerli yöntem birim kök testleri olmaktadır. Birim kök testi için kullanılan ifade; Y t = Y t-1 + u t şeklindedir. 2 Burada u t ; klasik varsayımlara uyan, yani ortalaması sıfır, ardışık bağımlı olmayan, olasılıklı hata terimidir. Y t ; Y nin t zamandaki aldığı değer ve Y t-1 ise, Y nin t-1 zamandaki aldığı değeridir. Eğer regresyonu hesaplar ve ρ = 1 olarak bulunursa Y t olasılıklı değişkeninin bir birim köke sahip olduğu söylenir. Bu durum zaman serisi analizinde, rassal yürüyüş (random walk) olarak bilinir ve serinin durağan olmadığı anlamına gelir. 3 YAPISAL KIRILMA DIŞSAL VE İÇSEL İNCELEME- Bir zaman serisi değişkeni analiz döneminin çeşitli alt bölümlerinde deterministik trend etrafında durağan özelliğe sahip olabilir. Bu alt dönemler sabit terimde ve/veya eğim parametresindeki yapısal değişiklerden etkilenebilir. Bu yapısal değişiklikleri dikkate almadan birim-kök testi yapmak yanlış sonuçlar doğurur ve testin gücünü azaltır. Yapısal kırılmanın olması durumunda, örnek verilerinden yararlanılarak tahmin edilen regresyon doğrusu, gerçek regresyon doğrusundan farklı olmakta ve zaman serisi analizinin durağanlık sınaması yoluyla 1 Avni Önder Hanedar, Salih Gümüş. 2 Seride birim kökün varolup olmadığı Dickey-Fuller (DF) veya geliştirilmiş Dickey-Fuller (ADF)- otokorelasyon içermesi durumunda- testleri ile çözümlenebilir.bkz.dickey David A. Ve Fuller Wayne A., Likelihood Ratio Statistics for Autoregressive Time Series with a Unit Root,Econometrica,vol:49,ss.1057-1072. 3 Eğer, hesaplanan τ Dickey-Fuller test istatistiğinin mutlak değeri (yani τ ), MacKinnon kritik eşik değerlerinin mutlak değerinden küçükse H 0 : δ = 0 hipotezi kabul edilir ve incelenen zaman serisinin durağan olmadığı kabul edilir. Eğer bunun tam tersi bir sonuç çıkarsa, H 0 hipotezi reddedilir ve zaman serisinin durağan olduğu sonucuna varılır. 1

yapmak istediği tahmin çalışmalarının zayıflamasına neden olmaktadır. 4 Ayrıca birim kök sınamalarına ilişkin üzerinde durulması gereken bir diğer önemli husus, asıl desende mevcut yapısal kırılmaların birim kök sınamasının sıfır hipotezinin reddedilmemesine neden olabileceğidir, asıl desenin zaman içinde bir kırılma içeren eğim doğrusunun etrafında durağan dalgalandığı durumda, eğime karşı standart birim kök sınamalarının sıfır önsavını reddetmekte başarısız olduklarını göstermiştir. 5 Zaman serisi değişkenin de, analiz dönemi içerisinde görülen yapısal değişiklikler biliniyorsa kurulan modele kukla(dummy) değişkenlerin eklenmesi ile birim-kök testi yapılmaktadır. Perron, T B zamanında trend fonksiyonunda dışsal değişmeye maruz kalan deterministik zaman trendinin durağan olduğu alternatif hipotezine karşıt olarak, {y t } T 1 serisinin sabit ile birlikte birim köke sahip olduğu ve 1<T B <T zamanında bir dışsal yapısal kırılmanın olduğu sıfır(null) hipotezini test etmek için bir yöntem geliştirmiştir. Perron, sıfır(null) ve alternatif hipotezi göz önünde bulundurarak yapısal kırılma için üç denklemleştirmeyi geliştirdi 6. Peron`un simgeleriyle, Model A: y t =μ+dd(t B ) t +y t-1 +e t : y t =μ+ y t-1 +(μ 2 - μ 1 ) DU t + +e t Model C: y t =μ+ dd(t B ) t + y t-1 +(μ 2 - μ 1 ) DU t + +e t t= T B +1 iken D(T B ) t =1 ve aksi durumda D(T B ) t nin 0 olduğu birim kök sıfır ( null) hipotezleri yukarıda ifade edilmiştir.model(a) serinin düzeyinde dışsal bir kırılmaya, model(b) büyüme oranında bir dışsal değişmeye ve Model(C) de bu değişmelerin her ikisine de izin verir. Trend-durağan alternatif hipotezler, Model A: y t =μ 1 +βt+(μ 2 - μ 1 )DU t +e t 4 Bkz. yapısal kırılma durumu ve birim-kök sonuçları, Perron,P. The Great Crash, the Oil Price Shock and the Unit Root Hypothesis Econometrica,vol:57,1989,ss.1361-1401. 5 Perron,P ve Vogelsang,T.J. The Great Crash, the Oil Price Shock and the Unit Root Hypothesis: Erratum Econometrica,vol:61,1993,ss.248-249. ve Perron,P ve Vogelsang,T.J, testing for a unit root in a time series with a changing mean: corrections and extensions journal of business and economic statistics, vol:10, 1992, ss: 467-470 6 Zivot,E. Ve Andrews, D.W.K., Further Evidence on the great crash,the oilprice shock and the unit-root hypothesis journal of business and economic statistic,vol:10,1992,ss.251-270. ve bkz.test süreci için, Yurdakul, Funda, Türkiye de enflasyon Sürecinde Yapısal Kırılmalar A.Ü.S.B.F. dergisi,sayuı:56,2001,ss.149-169. 2

: y t =μ+ β 1 t +(β 2 - β 1 ) DTt * + +e t Model C: y t = μ+ β 1 t +(β 2 - β 1 ) DTt * + (μ 2 - μ 1 ) DU t + +e t DU t, DTt * kukla değişkenlerini içermesi nedeniyle ilk durumdan farklılık göstermektedir.model(a) Perron tarafından crash model olarak adlandırılmakta ve serinin düzeyinde tek zamanlı bir değişmeye izin vermektedir. μ 2 - μ 1 farkı T B zamanında trend fonksiyonunun sabitindeki değişmenin büyüklüğünü simgelemektedir. Perron Model(B) yi değişen büyüme olarak isimlendirmekte ve β 2 - β 1 farkı T B zamanında trend fonksiyonun eğiminde meydana gelen değişmeyi simgelemektedir.model(c) trend fonksiyonun eğim ve sabitindeki birlikteki değişmeyi ifade etmektedir.ayrıca T B modelin kırılma zamanını ve T de bize örnek sayısını ifade ederken kritik değerlere ulaşmak için kırılma noktası olarak λ = T B /T ilişkisini elde ederiz.burada λ kırılma noktasını temsil eder. Perron(1989), Model(A),(B) ve (C) için bir genişletilmiş test stratejisini; Model A ΔY t = α + βt + θd(t B ) t + δdu t + (ρ-1)y t-1 + j=1,2,...,j ρ j ΔY t-j + ε t ΔY t = α + βt + δdu t + γdt t + (ρ-1)y t-1 + j=1,2,...,j ρ j ΔY t-j + ε t Model C ΔY t = α + βt + θd(t B ) t + δdu t + γdt t + (ρ-1)y t-1 + j=1,2,...,j ρ j ΔY t-j + ε t şeklinde ifade ederek kullanmıştır. 7 Birim-kök(ADF) testi için son denklemler; Model A ΔY t = α + βt + θd(t B ) t + δdu t + (ρ-1)y t-1 + j=1,2,...,j ρ j ΔY t-j + ε t ΔY t = α + βt + δdu t + γdt t + (ρ-1)y t-1 + j=1,2,...,j ρ j ΔY t-j + ε t 7 Bkz. Christiano, Lawrence J., serching for a break in GNP, journal of business and economic statistics, vol:10, 1992, ss.237-249, ADF`nin yapısal kırılma ile kukla değişkenler yardımıyla analizinde modelde birim kökün varlığı için parametrelerin sıfıra eşitliği test edilmiştir., ve Charemza, Wojciech W., and Deadman, Derek F., New Directions Econometric Practice, s.edit, Edward elgar, UK, 1997, ss.115-122. kukla değişken içeren modelde pulse(itiş) kukla değişkeninin katsayısı kalıcı değişmeleri ifade eder. 3

Model C ΔY t = α + βt + θd(t B ) t + δdu t + γdt t + (ρ-1)y t-1 + j=1,2,...,j ρ j ΔY t-j + ε t şeklinde elde edilebilir. Birim kök ün belirlenebilmesi için,sıfır(null) hipotezi a 1 =1 olan t istatistiği Perron tarafından hesaplanan t kritik değerler ile karşılaştırma ile yapılır.bu süreçte; t i a (λ) değeri ile ifade edilen hesaplanan değerdir.bu istatistikler λ=t B /T (T,gözlem sayısı ve T B kırılma yılı iken, λ kırılma noktasının konumu-kritik değerin bulunması için-) yani kırılma noktasının konumlanmasına bağlıdır.sıfır hipotezini red edebilmek 8 için, t i a (λ)<κ a (λ) durumunun geçerli olması gerekmektedir.yani belirli bir λ değeri için, hesaplanan değer, kritik değerden küçükse birim-kök var hipotezi red edilir. Perron(1989), kırılma durumunda birim kök tespiti uygulaması, kırılma yılının dışsal olarak belirlenmesine dayanır.zivot ve Anders(1992) bu yaklaşım yerine kırılmayı içsel olarak algılamaktadır.eğer λ ile gösterilen kırılma noktası bilinmiyorsa ve hesaplanması durağanlığın tespiti amacıyla zorunlu ise, sıfır(null) hipotezi; şeklinde olur. Y t = α + Y t-1 + ε t Bundan dolayı birim kök testi için üç denklem kullanılmaktadır 9 ;: 8 Bkz.uygulama için,utkulu,utku, Testing for unit-roots with structural change: an application of the perron additive outlier test to the turkish macroeconomic time series data,deü-iibf Dergisi,cilt:12,sayı:1,1997,ss.231-238., Pinon Rarah, Marco, Demand for Money in mozambique: was ther a structural break? IMF Working Paper, 1998, Doğanlar, Murat, testing for the structural break in the turkish foreign trade,çukurova Üniversitesi İİBF Dergisi,cilt:8,sayı:1,1998,ss.333-340. Yan, Yon-hong, first and second order Instability of the Shangai and Shenzhen share price Indices, Scholl of economics discussion paper, 2004. Perron ve Vogelsang, additive outlier model-aom- ve innovational outlier model-iom- olarak isimlendirilen iki model önermiştir.ilki anlık, ikincisi ise kademeli değişmeler için uygun olmaktadır.yapısal kırılmanın birim kök analizi için değerlendirilmesinde AOM uygulanmasında, sabit,trend, ve yapısal kırılmayı gösterecek kukla değişkenini içerecek model kurulur ve ADF test süreci uygulanarak, kırılma dikkate alınarak, sıfır ve alternatif hipotez t hesaplananın minimumluğuna göre değerlendirilir.kukla değişkenlerin gerekliliği anlamlılık testi ile oluşturulur. Bkz.Enders,Walter,Applied Econometric Time Series,John Wiley and sons Inc.,USA,1995,ss.245-249, Perron Pierre, testing for a unit root in a Time series with a changing mean, journal of business and economic statistics, vol:8 ss. 153-162 ve Franses,Philip Hans,Time Series Models for Business and Economic Forecasting,Cambridge University Press,UK,1998,ss-131-147. 9 Zivot,E. Ve Andrews, D.W.K., Further Evidence on the great crash,the oilprice shock and the unit-root hypothesis journal of business and economic statistics,vol:10,1992, ss.251-270 ve Helmut Luetkepohl & Pentti Saikkonen, 2000. "Testing for a Unit Root in a Time Series with a Level Shift at Unknown Time," Econometric Society World Congress 2000 Contributed Papers 0342, Econometric Society. 4

Model A H 0 : Y t = α + Y t-1 + ε t H 1 : Y t = α 1 + βt + (α 2 α 1 )DU t (λ) + ε t H 0 : Y t = α + Y t-1 + ε t H 1 : Y t = α + β 1 t + (β 2 β 1 )DT t (λ) + ε t Model C H 0 : Y t = α + Y t-1 + ε t H 1 : Y t = α 1 + β 1 t + (α 2 α 1 )DU t (λ) + (β 2 β 1 )DT t (λ) + ε t ADF test sürecide: Model A ΔY t = α + βt + δdu t (λ) + (ρ-1)y t-1 + j=1,2,...,j ρ j ΔY t-j + ε t ΔY t = α + βt + γdt t (λ) + (ρ-1)y t-1 + j=1,2,...,j ρ j ΔY t-j + ε t Model C ΔY t = α + βt + δdu t (λ) + γdt t (λ) + (ρ-1)y t-1 + j=1,2,...,j ρ j ΔY t-j + ε t şeklindedir. Bilinmeyen zamanda tek bir yapısal kırılmalı belli bir trend durağan sürece uygun Y t `nin sonucu olan kırılma noktası λ`ya dayanan kukla değişkenlerini DU t ve DTt şeklinde ifade edebiliriz. Bu test süreci için amaç, trend durağanlığını en çok destekleyen kırılma noktasını hesaplamaktır.başka bir şekilde söyleyecek olursak, λ *, tek taraflı t istatistiğini minimize ederek, gecikme parametresinin ρ = 1 olduğunu test etmek -durağanlık- için seçilir. Hesaplanan λ * değeri ve minimum t istatistiği, Model(A),(B) ve (C) için, 0< λ<1 aralığındaki yer alan λ`nın olası tüm değerleri için test eşitlikleri tahmin edilir.yani, T B =2`den T B =T-1`e ve j=2/t`den j=(t-1)/t` ye, T-2 regresyonları koşturulur ve ρ=1 olduğunun-durağanlık- testi için tüm t istatistik değerleri elde edilir.test eşitliklerinde kullanılan bütünleşmiş gecikmeli j değerlerinin her bir λ=t B /T için farklı olabileceğini vurgulamak gerekmektedir. 0< λ<1 ve {t ρ (λ)}`de t * ρ = min λ belirlenir ve λ * bu minimum t istatistiğine karşılık gelen tahmin edilmiş 5

kırılma noktasıdır. 10 * Bu hesaplanan t ρ değerleri ekteki kritik tablo değerleri ile karşılaştırılır.eğer hesaplanan değer, belli bir anlam düzeyinde, kritik değerden küçükse birim kök olduğunu belirten sıfır hipotezi red edilir. 10 Bkz. Andrews, D.W.K, test for Parameter Instability and structural change with unknown change point Econometrica, vol:61, 1993 ss.821-856 ve kritik değerler için.,e. Ve Andrews, D.W.K., Further Evidence on the great crash,the oilprice shock and the unit-root hypothesis Journal of business and economic statistic,vol:10,1992,ss.251-270. 6