ZAMAN SERİSİ ANALİZİ. Ne ilginçtir ki, insanlar büyük ölçüde rassal olan şeylerde anlamlı örnekler bulmaya çalışır. Mr. Data Star Trek, 1992

Transkript

1 ZAMAN SERİSİ ANALİZİ Ne ilginçtir ki, insanlar büyük ölçüde rassal olan şeylerde anlamlı örnekler bulmaya çalışır. Mr. Data Star Trek, 1992

2 Zaman Serisi Analizi İçin Temel Kavramlar Durağanlık ve Durağan olmama, Autoregressive and moving average Unit roots. Dickey fuller test. Cointegration and spurious regression. Cointegration un testi.

3 Neden Zaman Serisi Analizi Amaç Serinin yapısının geçmiş değeri dikkate alınarak tanımlanması Neden Bu Model Kullanılır? Basit olması, Teorinin olmaması ya da az olması, Öngörü için kolay olması.

4 MAKRO-EKONOMETRİ Cowles Komisyonu Motivasyon: Klasik regresyonun, large scale, eş-anlı denklemler, öngörü ve kriz tahmininde yetersiz kalması, Temel olarak klasik ekonometri denklemleri getirilen eleştiriler, -Dynamic stability -Exogeneity (Lucas Kritiği)

5 ZAMAN SERİSİ VERİLERİ VE BİLEŞENLERİ Bir zaman serisi,ilgilenilen bir büyüklüğün zaman içerisinde sıralanmış ölçümlerinin bir kümesidir. Bu analizin yapılma amacı ise, gözlem kümesince temsil edilen gerçeğin anlaşılması ve zaman serisindeki değişkenlerin gelecekteki değerlerinin tahmin(forecast) edilmesidir. Zaman serileri dört bileşenden oluşur; 1.Trend(Genel Eğilim) bileşeni 2.Mevsim Bileşeni 3.Çevrimsel Bileşen 4.Düzensiz Bileşen

6 1.Trend(Genel Eğilim) Bileşeni Zaman serilerinin uzun sürede gösterdiği kararlı düşme ve yükselme durumudur. 2.Çevrimsel Bileşen Ekonomide, mevsimsel değişmeler ile ilgili olmayan dönemsel değişmelerdir. 3.Mevsimsel Bileşen Zaman serilerinde mevsimlere göre değişmeyi ifade eder. 4.Düzensiz Bileşen Diğer unsurlar gibi belirli olmayan, hata terimi ile ifade edilebilecek değişmelerdir.

7 TREND VE ÇEVRİMSEL BİLEŞEN The business cycle Potential output National output Trend output Actual output O Time

8

9

10 MEVSİMSEL BİLEŞEN

11

12

13

14

15 TOPLAMA VE ÇARPMA MODELİ X=T+S+C+I ya da X=TSCI Zaman serisini bileşenlerin toplamı ya da çarpımı olarak ele alabiliriz.

16 Box-Jenkins Yaklaşımı ve Forecasting Box-Jenkins yaklaşımı zaman serilerinin durağan olduğunu varsayar. Ancak durağan olmaması durumunda zaman serilerinin bir yada daha fazla kere farkı alınması gerekmekte ve durağanlaştırma sonucunda ARMA yapısı oluşturulur. Box-Jenkis yönteminin temeli ARIMA(p,d,q) paradigmasına dayanır., otoregresif ve hareketli ortalamaya sahip zaman serilerini incelemekte ve bu yönteme göre zaman serilerinin durağanlığı korelogram ile tespit edilmekte ve yine zaman serisinin ne tür bir süreç içerdiği de korelasyon fonksiyonları ile analiz edilmektedir.zaman serilerinde durağan olmama durumunda farkı alınarak durağanlaştırılmakta,ancak eğer yine durağanlık ile karşılaşılmaz ise bu sefer verilere yine geri dönülmektedir.ancak eğer durağanlık sağlanmış ise bu durumda model ARMA ile tahmin edilip, öngörü işlemi yapılmaktadır.

17 AR, MA ve ARMA; Autoregressive (AR) Model Bir AR modelinde, bağımlı değişken geçmişteki değerinin bir fonksiyonudur.bi çok zaman serisi verisi de bu süreci taşır. Basit bir AR modeli, Yt = β 0 + β1y t 1 + ε t Bu birinci dereceden bir otoregresif yani AR(1) modelidir.genel hali, AR(p) şeklindedir

18 AR Süreci(Process) Yt = β 0 + β1y t 1 + Yt değişkeninin bu günkü (current) değeri, b1 değeri ile ifade edilen gecikme değerine ve öngörülemez hata terimine eşittir Bu durum AR(p) süreci içinde, ε t xt = a+ a1*x(t-1) + a2*x(t-2) + a3*x(t-3) ε Şeklinde genişletebilinir..

19 AR Süreci AR süreci için bir örnek olarak, Bir limonata satıcısı olduğunuzu ve her saat beş bardak limonata sattığınızı düşünürseniz.eğer siz limonata sattığınız yeri kapatmak ve limonata bittiği için satmaktan vazgeçmek istemiyorsanız, her saat başına tükenen limonata yerine yeni limonata doldurmanız gerekir.böylece her saat beş bardak limonata satılsa da siz her zaman yerine yenisini ilave ettiğinizden siz bir kaza geçirmediğiniz sürece asla limonata satışınızda bir aksama olmaz. Bu bir otoregresif süreci tarif eder.çünkü daha az ya da daha fazla limonata satmanız şeklinde bir şok belli bir saatteki limonata seviyesini etkiler. verilebilir.

20 MOVİNG AVERAGE (MA) Eğer serinin gecikmeli hata terimi, şimdiki hata terimini etkiliyorsa hareketli ortalama süreci tanımlanır. Bir hareketli ortalama süreci, x t = e t -a 1 e t , t = 1, 2, n Şeklinde ifade edilebilir. Yukarıdaki durum, birinci dereceden bir MA sürecini yani MA(1) i tarif eder.

21 Moving Average(MA) MA süreci de, x t = e t -a 1 e t , t = 1, 2, n Hata teriminin önceki dönem değerleri ve öngörülemez hata teriminin fonksiyonudur.

22 MA Süreci Hareketli ortalama süreci için, yolda kalan kamyonları çekmek üzerenine uzmanlaşmış olan bir şirkete sahip olduğunuzu düşünürseniz,her bir yolda kalan aracın çekilmesi bir bağımsız olay olacaktır.deneyimleriniz aracın bozulduğu yere ve araca sahip olan şirketin bir tamir şirketinin tamirhanesinin olduğu yere bağlı olarak, bir aracın çekilmesi ve onun tamirhaneye götürülmesi için üç günün gerekli olduğunu göstermiştir.eğer siz yeterli çekiciye sahip olmazsanız aracın sahipleri bu işi başkasına verecektir.bir gündeki tamir edilmek için çekilmesi gerekli araç sayısı size gerekli olan çekici için bilgi vermektedir.üç gün ötesinde, bu günkü tercihler size gelecekte olanlar hakkında bir şey söylemez.bu süreç bir hareketli ortalama sürecidir örneği verilebilir.

23 ARMA VE ARIMA Seriler çoğu durumda her iki sürecide birlikte içerirler. Y t =m+a 1yt-1...a p y t-p +u t -bu t b q u t-q Şeklinde ARMA(1,1) olarak ifade edilir. ARIMA(1,0,1) ise, Serinin durağan olduğunu gösterir. BOX-JENKİS 5 AŞAMA AIC,SBC ile gecikme.

24 ARMA ve ARIMA Ulusal park yakınında bir hotele sahip olduğunuzu düşünün,hotel defteri bazı rezervasyonları içermektedir.yani, müşterilerin bazıları otelinizde bir günden daha fazla zaman harcamakta ve ayrıca müşterilerden bazıları da ulusal parkta bir haftalık tatil geçirirken aynı zamanda evlerine dönmeden önce gece kalmak için sizin otelinize gelmektedirler.belli bir günde meydana gelecek şok otelde sürekli kalan müşterileri artanbirden fazla dönem- bir şekilde etkileyecektir. Ancak bu şokun, ulusal parkta bir tatil geçirdikten sonra gece için kalmaya gelenler üstünde bir hafta sonra tek bir etkisi olacaktır

25 SERİNİN YAPISINI NASIL ANLARIZ ACF and PACF fonksiyonları yoluyla, PACF (Tepe sayısı) AR sürecini tanımlamamız, ACF(Tepe Sayısı) ise MA sürecini tanımlamamızı sağlar

26 AR y t = θy t-1 + ε t AR(1) süreci için, Otokorelasyon fonksiyonu ρ k = θ k dır. θ <1 iken durağanlık var ve geçmiş şok azalarak etkiler.

27 Source: Verbeek (2000) AR(1) with θ = 0.5 AR(1) with θ = 0.9

28 MA y t = ε t + αε t-1 MA(1) süreci, için otokorelasyon, α ρ 1 = ve ρ k = 0 (k = 2,3,4, ) 1 + α 2 MA(1) süreci için durağanlık geçerlidir.

29

30 ZAMAN SERİLERİNDE DURAĞANLIK Zaman serilerinin durağan olması olarak ifade edilen şey, zaman içinde varyansın ve ortalamanın sabit olması ve gecikmeli iki zaman periodundaki değişkenlerin kovaryansınındeğişkenler arasındaki gecikmeye bağlı olup zamana bağlı olmamasıdır. Ortalama=E(Y t )=μ Varyans=var(Y t - μ) 2 =δ 2 Kovaryans= χ k =E((Y t - μ)(y t-k - μ)

31 İki Tür Durağanlık Yaklaşımı vardır, İlki değişkenlerin dağılımının tümünün zamanda bağımsız olması anlamında strong, Diğeri de, Ortalama=E(Y t )=μ Varyans=var(Y t - μ) 2 =δ 2 Kovaryans= χ k =E((Y t - μ)(y t-k - μ) Şeklinde weak anlamda durağanlıktır.

32 Durağan Olmamanın Belirleyenleri Her hangi bir şokun etkilerinin ortadan kalkmaması ve ya değişkenlerin zaman patikalarının değişmesi, Ortalamanın tanımlanamaz ve varyansın sonsuz olması

33 TREND Zaman serisinin durağan olmaması, trend içermesi anlamına gelmektedir.oldukça uzun bir devrede ortaya çıkan ve birbirini takip eden yükseliş ve alçalış durumları açısından, uzun dönemde ortaya çıkan deterministik trend ve zaman içerisinde düzensiz(öngörülemeyen-tesadüfi) modellerde ortaya çıkan stokastik trend birbirinden farklıdır.

34 Bir seri, Birim köke sahipse böyle bir serinin stokastik(rassal) bir trende sahip olduğunu, Y t =Y t-1 + ε öte taraftan eğer birim kökü yoksa bu zaman serisi deterministik(bütünü ile öngörülebilir) bir trend izler. Y t =a+βt +ε Trendsizleştirme TSP-DSP

35 BORSA İÇİN ZAMANLA DEĞİŞİM

36 BORSADA DEĞİŞİM(Fark- Büyüme)

37 İŞ ÇEVRİMİ TEORİLERİ- RASSALYÜRÜŞ, Kalıcı ve Geçici Etki Y Y Deterministik Trend Y=a+bt t Stokastik Trend Y=Y(-1)+e t

38 DURAĞAN BİR ZAMAN SERİSİNİ NASIL ANLARIZ? Görsel Tespit Otokorelasyon Fonksiyonu (ACF) Formal Test Kullanımı: Dickey-Fuller test

39 Görsel Method (1) Eye ball the data (a) Constant mean? 12 RW (b) Constant variance? 200 var

40

41

42

43 ACF -KORELOGRAM Otokorelasyon serinin bazı değerleri ve gecikmeli değerleri arasındaki ilişkinin (correlation) boyutunu belirler.değişik zaman aralıkları(k) için bulunacak ACF(k) katsayısı değerleri ilişkilendirildiğinde, korelogram elde edilir. Σ(X t -X bar )(X t-k -X bar ) ACF(k) = Σ(X t -X bar ) 2

44 H0=(BütünACF(k) için)otokorelasyon Yok H1= (BütünACF(k) için) Otokorelayon Var Eğer korelogram değerleri güven aralığı sınırları içerisinde ise Ho red edilemez(yt ve Y arasında O.Kor. Yok),dışında kalıyorsa Ho red edilebilir. AZALMA

45 KISMİ OTOKORELASYON FONKSİYONU Kısmi korelasyon fonksiyonu gecikmeli değişkenler arasındaki ilişkiyi ifade eder. Kısmi korelasyon fonksiyonu ile korelasyon Y ve Yt-k değerleri arasındaki terimlerin etkisi çıkarılarak bulunur.

46 Q istatistiği Box-Pierce Q Ljung-BoxQ Ho red edilirse durağan değil. LB n ( n + 2 ) n m k = 1 p 2 n k k Box PierceQ n m k = 1 p 2 k

47

48

49 Durağan Olmayan Zaman Serileri Non stationary deterministic ya da stokastik trendi (birim kökü) ifade eder. AR(1 y t = θy t-1 + ε t Stationary if θ < 1 Contains a unit root if θ = 1 (ie. a random walk) Explosive if θ > 1

50 Durağanlığın Testi Dickey-Fuller test (unit root test) ΔYt = ( Yt Yt 1 ) = β 0 + β1y t 1 + t ε H H 0 1 : β = 0 1 : β < 1 0 (unit root) Y = b 0 + Y + ε I t t 1 t ΔY = Y Y = b 0 + ε I t t t 1 t (1) (0)

51 Non-stationarity: Şokların Etkisi 1) y t = φy t-1 + u t 2) y t-1 = φy t-2 + u t-1 3) y t-2 = φy t-3 + u t-2 4) y t = φ(φy t-2 + u t-1 ) + u t = φ 2 y t-2 + φu t-1 + u t 5) y t-2 : y t = φ 2 (φy t-3 + u t-2 ) + φu t-1 + u t = φ 3 y t-3 + φ 2 u t-2 + φu t-1 + u t Sonuç y t = φ T y 0 + φu t-1 + φ 2 u t-2 + φ 3 u t φ T u 0 + u t

52 1. φ<1 φ T 0 as T Şok ortadan kalkıyor, 2. φ=1 φ T =1 T Şok kalıcı, T iken Öngörü değeri sonsuza gider, 3. φ>1. y + t= y0 u t i= 0 Arttırıcı etki, çok etkili, φ>1, φ 3 >φ 2 >φ etc.

53 Detrending a Stochastically Non-stationary Series y t = μ + y t-1 + u t I(1) DSP Ve TSP y t = α + βt + u t. Δy t = y t -y t-1 L y t = y t-1 ve (1-L) y t = y t -L y t = y t -y t-1 y t -y t-1 = μ + u t Δy t = μ + u t I(0) Elde edilir.

54 Different DF tests Summary t-type test τ τ ΔY t = b 0 + βy t-1 + b 2 trend + ε t (a) Ho: β = 0 Ha: β < 0 τ μ ΔY t = b0 + βy t-1 + ε t (b) Ho: β = 0 Ha: β < 0 τ ΔY t = βy t-1 + ε t (c) Ho: β = 0 Ha: β < 0 Kritik Değerler Fuller (1976)

55 A White Noise Process

56 Random Walk and a Random Walk with Drift Random Walk Random Walk with Drift

57 Deterministic Trend

58 Different DF tests Summary F-type test Φ 3 ΔY t = b 0 + β Y t-1 + b 2 trend + ε t (a) Ho: β = b 2 =0 Ha:β 0 and/or b 2 0 Φ 1 ΔY t = b 0 + β Y t-1 + ε t (b) Ho: β = b 0 =0 Ha:β 0 and/or b 0 0 β1 parametresi sıfırdan farklı ise, ho hipotezini red edebiliriz yani seri durağandır. ADF ΔYt = b0 + β Yt-1 + θ1δyt-1 + θ2δyt-2 + θ3δyt-3 + θ4δyt-4 + ε t DW istatistiği ve Otokorelasyon giderilmesi.

59 Look at the Series Is there a Trend? Δ Yes Estimate Y = b + b t + β Y + α Δ Y + ε Δ Y = b + β Y + α Δ Y + ε t 0 2 t 1 j t j No Estimate t 0 t 1 j t j φ 3 Use to test Use φ 1 to test H 0: b0, b2, β = b0, 00, v H : b, b, β b, 00, H H : b, β = 00, v : b, β 00, Reject Reject Accept Accept Reject No Unit Root test β=0 using the t-stat. from step 1 using τ τ Accept Unit Root +Trend Reject Pure Random Walk test β=0 using the t-stat. from step 1 using τ μ Accept Normal Test procedure to determine the presence of Time trend or Drift Use φ 2 To determine if there is a drift as well Stable Series, use normal test to check the drift Random Walk + Drift

60

61

62