T.C. SELÇUK ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ

T.C. SELÇUK ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ GEROTOR PROFĐLLERĐNĐN OPTĐMĐZASYONU Bkir KARAGÜL YÜKSEK LĐSANS TEZĐ MAKĐNA ANABĐLĐM DALI KONYA 2010

ÖZET Yüksk Lisans Tzi GEROTOR PROFĐLLERĐNĐN OPTĐMĐZASYONU BEKĐR KARAGÜL Slçuk Ünivrsitsi Fn Bilimlri Enstitüsü Makin Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Ziya ŞAKA 2010, 47 Sayfa Jüri: Prof. Dr. Ziya ŞAKA Doç. Dr. Hacı SAĞLAM Yrd. Doç. Dr. Hüsyin ĐMREK Endüstriyl hidrolik sistmlrd hm pompa hm d motor olarak kullanılan grotorlar, akışkanları dvir sayısı il doğru orantılı olarak aktaran mkanizmalardır. Bu çalışmada pisikloid saslı grotor profillrinin optimum olarak tasarımı amaçlanmıştır. Bunun için önc grotor gomtrisi l alınarak profillrin dnklmi paramtrik olarak ld dilmiştir. Profild oluşacak n büyük Hrtz basıncını blirlmk üzr minimum ğrilik yarıçapı formül dilmiş v sayısal olarak bulunabilcği göstrilmiştir. Grotor dbisini bulmak için bir dvird süpürüln alan matmatiksl olarak hsaplanmıştır. Dğişik boyutlardaki grotor profillri için minimum ğrilik yarıçapı v süpürüln alan dğrlri sayısal olarak bulunmuştur. Bu dğrlr üç boyutlu grafiklrd göstrilrk izin vrilbilck n küçük ğrilik yarıçapına v n büyük dbiy sahip optimum grotor profillri blirlnmy çalışılmıştır. Anahtar Klimlr: Grotor, Episikloid, Hrtz Basıncı, Minimum Eğrilik Yarıçapı, Grotor Dbisi i

ABSTRACT Mastr Thsis OPTIMIZATION OF GEROTOR PROFILES BEKĐR KARAGÜL Slçuk Univrsity Institu of th Natural and Applid Scinss Dpartmnt of Mchanical Enginring Suprvisor: Prof. Dr. Ziya ŞAKA 2010, 47 Pag Jury: Prof. Dr. Ziya ŞAKA Assoc. Prof. Dr. Hacı SAĞLAM Assist. Prof. Dr. Hüsyin ĐMREK Th grotors usd as pump or motor on th industrial hydraulic systms ar th mchanisms transfrrd fluids proportionally with th angular vlocity. In this study, it is purposd optimal dsign of picycloid basd grotor profils. For this purpos, at first by considring gomtry of grotor, it is obtaind quations of profil paramtrically. Minimum radius of curvatur has bn formulatd to dtrmin maximum Hrtzian strsss occurd on th profil, it is shown to b abl calculating numrically. In ordr to dtrmin flowrat of th grotor, th ara swpt in on rvolution is mathmatically calculatd. Minimum radius of curvatur and swpt ara valus for diffrnt dimnsions of grotor profils ar found numrically. By plotting ths valus on th thr dimnsional graphics, it is trid to dtrmin th optimal grotor profils having prmittd minimum radius of curvatur and maximum flowrat. Ky words: Grotor, Epicycloid, Hrtzian strss, minimum radius of curvatur, grotor flowrat ii

ÖNSÖZ Tz çalışmam sırasında bni yönlndirn v dğrli katkılarını sirgmyn danışman hocam Prof. Dr. Ziya ŞAKA ya tşkkürlrimi sunarım. Konya, 2010 Bkir KARAGÜL iii

ĐÇĐNDEKĐLER ÖZET... i ABSTRACT... ii ÖNSÖZ.. iii ĐÇĐNDEKĐLER..iv SĐMGELER LĐSTESĐ...v 1.GĐRĐŞ.. 1 2. KAYNAK ARAŞTIRMASI. 3 3. GEROTORLARIN TASARIM METOTLARI. 5 3.1. Episikloid Esaslı Grotorlar. 5 3.2. Zarf Torisi.. 9 4. GEROTOR PROFĐLLERĐNĐN OLUŞTURULMASI..... 13 5. EĞRĐLĐK YARIÇAPI ANALĐZĐ... 18 6. HERTZ BASINCI 23 7. GEROTOR DEBĐSĐ... 26 8. OPTĐMĐZASYON 33 8.1 Grotor Profilinin Optimizasyonu....33 9. SONUÇ VE ÖNERĐLER..42 9. KAYNAKLAR.... 44 EK-1...... 46 EK-2...... 47 iv

SĐMGELER Simg Açıklama Birim A Alan mm 2 c Paramtr Eksantriklik mm E Elastisit modülü N/mm 2 EE, EF Eliptik intgral f, h, k Fonksiyon F Kuvvt N g Pim Yarıçapı mm H Kalınlık mm K Eğrilik 1/mm l Uzunluk mm p Ofst Msafsi mm P H Hrtz Basıncı N/mm 2 r Yuvarlanan Dair Yarıçapı mm R Tml Dair Yarıçapı mm R Eşdğr Eğrilik Yarıçapı mm R m Profildki Maksimum Yarıçap mm x Kartzyn Koordinat mm y Kartzyn Koordinat mm z Diş Sayısı ρ Eğrilik Yarıçapı, Kutupsal Koordinat mm θ Kutupsal Koordinat, Açı ( ) α, β, γ, θ Açı ( ) v

1 1. GĐRĐŞ Grotor, bir akışkanı dvir sayısı il orantılı olarak taşıyan pozitif dplasmanlı bir pompa mkanizmasına vriln isimdir. En yaygın kullanım şkli olan hidrolik pompa özlliğinin yanı sıra hidrolik motor olarak da yaygın bir şkild kullanılmaktadır. Ayrıca, sikloid profilli çarklar da gnl olarak grotor olarak adlandırılır. Bu klim Hill (1927) tarafından GEnratd ROTOR ifadsindn türtilmiştir. Grotor pompa mkanizması iki lmandan oluşur: Đç rotor (rotor) v dış rotor (çark). Đç rotorun ksni dış rotorun ksnin gör bir miktar kaçıktır. Đç rotor motordan aldığı dönm harktiyl dış rotoru da döndürür. Đç rotorun diş sayısı hr zaman dış rotorunkindn bir diş ksiktir. (Şkil 1.1). Bu sayd dişlr arasında mm v basma hacimlri mydana glir. Rotorlar dönmy başladığı zaman bir tarafta artan hacim, diğr tarafta is azalan hacim oluşur. Artan hacimd mm, azalan hacimd is basma işlmi grçklşir. Eksik dişin oluşturduğu bu hacim (Şkil 1.2), hr dvird pompalanan akışkanın hacmini blirlr. Diş sayısı pompalanacak akışkan hacmin, hıza v pompa gövdsin bağlı olarak dğişbilir. Đç Rotor Dış Rotor Şkil 1.1 Grotor pompa mkanizması

2 Birbirlrin gör ksantrik v sabit mrkzli rotorlar dönünc, iç v dış rotorların dişlri arasındaki boşluk hr dvird yaklaşık olarak 180 lik bir dönüşl maksimum boyuta kadar artar. (Eksik dişin hacmin şit oluncaya kadar.) Yarım tur boyunca gidrk artan boşluğa, mm v kısmi vakumla sıvı aktarılır. Bunu takip dn 180 lik dönüş boyunca dişlrin birbiri için girmsi il boşluk gidrk azalır v akışkan, boşaltma kapağından çıkmaya zorlanır. Bu sırada iç v dış rotor blli noktalarda birbiriyl sürkli tmas halinddirlr. (Şkil 1.2) Grotor, hidrolik motor olarak kullanıldığı zaman is bu olay trsin grçklşir. Artan Hacim Azalan Hacim Şkil 1.2 Đç v dış rotor arasındaki hacim Đç v dış rotorun birbiriyl sürkli olarak tmas tmsi sbbiyl, tmas noktalarında Hrtz basınçları oluşur. Basıncın şiddti tmas kuvvti il doğru orantılı, ğrilik yarıçapı il trs orantılıdır. Eğrilik yarıçapının artması Hrtz basıncını azaltır, fakat boyutları büyütür v dbiyi azaltır. Basıncın artması aşınmayı artırır, bu da grotorun ömrünü azaltır. Uzun ömürlü bir mkanizma için dbiyi çok azaltmayacak, fakat minimum ğrilik yarıçapının makul dğrlrd olmasını sağlayacak bir optimum bir çözüm bulunabilir.

3 2. KAYNAK ARAŞTIRMASI Grotorların gçmişi 1900 lü yıllara kadar dayanmaktadır. Hill (1927), grotorlarla ilgili ilk çalışmasını yapmış v 1906 dan 1921 kadar bütün zamanını grotoru gliştirmk için harcamıştır. Bunlarla ilgili gomtrik toriyi gliştirmiş, grotor klimsini GEnratd ROTOR klimlrindn türtmiş v grotorlarla ilgili tml patntlri almıştır. Stryczk (1990), grotor profillrinin oluşum mkanizmasını açıklamıştır. Episikloid v hiposikloid saslı grotor profillrinin zarf torisi yardımıyla paramtrik dnklmlrini ld tmiştir. Đç v dış zarf torisini ayrıntılı olarak açıklayarak, pisikloid v hiposikloid saslı grotor profillrinin nasıl ld dilbilcğini göstrmiştir. Stryczk (1993), grotor hidrolik motor v pompalarda kullanılan pisikloid v hiposikloid saslı profillrin karaktristik paramtrlrini l alarak bunların hidrolik akış üzrindki tkilrini inclmiştir. Episikloid v hiposikloid saslı profillrin tkilrini karşılaştırarak aralarındaki farkları blirtmiştir. Bard, Hall v Sodl (1991), pisikloid v hiposikloid saslı grotor profillrini l alarak tasarım paramtrlrin gör matmatiksl dnklmlrini ld tmişlrdir. Bunlara bağlı olarak dbi v sıkıştırma oranı gibi dğişik çalışma karaktristiklri arasında karşılaştırma yapmışlardır. Kwon, Kim v Shin (2008), grotorlarda aşınmayla ilgili çalışmalarında önc profil dnklmlri yardımıyla, alttan ksmyi önlmk için grkli minimum ğrilik yarıçapını bulmuşlardır. Daha sonra hidrodinamik tkiyi dikkat almaksızın iç v dış rotor arasındaki Hrtz basınçlarının dğişimini inclmişlrdir. Bu sonuçlara bağlı olarak yarı statik v kuru şartlarda gçrli bir aşınma faktörü ifadsi önrmişlrdir. Maiti (1993), pisikloid saslı grotorlarda tork karaktristiklrini mkanizmanın tml gomtrisi v kinmatiği ışığında torik olarak incldiktn sonra, bir dny sti oluşturarak dnysl sonuçlarla torik sonuçları karşılaştırmıştır. Ani tork dğişimlrini inclyrk sürtünm v diğr dirnçlrl torktaki dalgalanmaları v tkilşimlri araştırmıştır.

4 Kim, Won, Burris, Holtkamp, Gssl, Swanson v Sawyr (2005), mtalmtal tmaslı ğrisl yüzyli parçalarda Hrtz basınçlarını sonlu lmanlar yöntmiyl analiz tmişlr v buldukları sonuçları dnysl sonuçlarla karşılaştırarak yorumlamışlardır. Mimi, Bonandrini, Rottnbachr (2007), pisikloid saslı pompaların torik prformansını gomtrik boyutlarının bir fonksiyonu olarak l almışlardır. Boyutlarla ilgili üç boyutlu paramtr tanımlayarak pompa prformansını bunlara bağlı olarak inclmişlr v gnl sonuçlar ld tmy çalışmışlardır.

5 3. GEROTORLARIN TASARIM METOTLARI Grotor profillrinin blirlnmsi için başlıca iki yöntm mvcuttur: 1. Dış Zarf Eğrisi Mtodu 2. Đç Zarf Eğrisi Mtodu Eğr dış zarf mtodu tatbik dilirs, önc dış dişli şklindki sikloid profilli ana çark (rotor) tasarlanır. Bu şkild tasarlanan rotor, bir dış dişli olarak iç dişli şklindki dış rotor yani çark il birlikt çalışır. Grotor olarak adlandırılan v sistmin ana lmanını oluşturan rotorun profili sikloid ğri ailsi saslı bir zarf ğrisidir vya onun uyarlanmış (modifiy dilmiş) formudur. Đç zarf ğrisi yöntmi dış zarf ğrisi yöntminin trsin çvrilmiş halidir. Grotor tasarımı yapılırkn birbiri il ş çalışan dış dişli şklindki rotor v iç dişli şklindki çark brabrc tasarlanır. Çarkların ölçülri v şkli üzrind ana çarkın profili blirlyicidir, ana çarkın (rotorun) profilindn bütün profil ortaya çıkar. Sikloid profil konstrüksiyonu için kullanılan sikloid ğrilri (pisikloid vya hiposikloid) iki tml koşulu yrin gtirmk zorundadır. 1. Hr iki çark tam sayıda diş sayısına sahip olduğu için, profili oluşturan ğrilr kapalı olmalıdır. 2. Çark profilind girişim olmaması için ğrilr kndi kndini ksmmlidir. Bu koşulları sağlayan ğrilr, dalgalı pisikloidlr v dalgalı v basit hiposikloidlrdir. Episikloid ğrilrin kullanılması durumunda pisikloid saslı dişlilr; hiposikloid ğrilrin kullanılmasıyla da hiposikloid saslı dişlilr oluşur. Sikloid saslı dişlilrin konstrüksiyonu için ilmikli sikloidlr kullanılmamalıdır, çünkü bunlar kndi kndini ksn ğrilrdir. 3.1. Episikloid Esaslı Grotorlar Bir dairnin bir doğru üzrind kaymadan yuvarlanması snasında, dair üzrindki bir noktanın çizdiği ğriy sikloid ğrisi dnir. Dair, bir doğru üzrind

6 dğil d başka bir dairnin dışında kaymadan yuvarlanıyorsa pisikloid ğrisi, içind kaymadan yuvarlanıyorsa hiposikloid ğrisi mydana glir. Grotorların büyük çoğunluğunda pisikloid saslı profillr kullanılmaktadır. (Stryczk 1990). Bu yüzdn burada bu tip grotor profili l alınmıştır. Yukarıdaki birinci koşulun sağlanması için, tml dair yarıçapının yuvarlanan dairnin yarıçapına oranı tam sayı olmalıdır. Aksi hald pisikloid ğrisi kapalı olmaz. (Şkil 3.1) Yuvarlanan dairnin harkt düzlmi üzrindki hrhangi bir noktanın çizdiği ğrinin gnl adı da pisikloiddir. Y Yuvarlanan Dair O' r R θ θ β p U O X Tml Dair Şkil 3.1 Episikloid ğrisinin oluşumu Şkil 3.1 d görüldüğü gibi, R yarıçaplı tml dair üzrind kaymadan yuvarlanan r yarıçaplı dair, ksikli çizgi il göstriln başlangıç konumundan itibarn şkild görüln konuma glmiş olsun. Kaymadan yuvarlanma şartından, yuvarlanan dairnin dönm miktarı β aşağıdaki gibi bulunur.

7 R Rθ = r β, β = θ r (3.1) Bu dairnin harkt düzlmi üzrind mrkzdn p kadar uzaklıktaki U noktasının, tml dairnin mrkzindki OXY ksn takımındaki koordinatları şu şkild yazılabilir: ( θ β ) x = ( R + r) cosθ p cos + (3.2) ( θ β ) y = ( R + r) sin θ p sin + (3.3) Bu ifadlrd β yrin konur v düznlnirs, R R x = r 1 + cosθ p cos 1 + θ (3.4) r r R R y = r 1 + sin θ p sin 1 + θ (3.5) r r şklind pisikloid ğrisinin gnl paramtrik dnklmlri ld dilmiş olur. Söz konusu nokta yuvarlanan dairnin üzrind olursa (p = r hali) klasik pisikloid ğrisi oluşur. Başlangıçta, bu dairnin tml dairy tmas ttiği noktada (A) v kaymadan yuvarlanarak tkrar tmas ttiği noktalarda (A', A'' ) ğri, bir büküm noktasından gçr. (Şkil 3.2) Bu büküm noktalarında ğrilik yarıçapı sıfırdır v sürksizlik oluşur. Bu yüzdn bu ğri grotor profilinin oluşturulmasında kullanılamaz. A' A Şkil 3.2 Klasik pisikloid ğrisi

8 Alınan nokta yuvarlanan dairnin dışında olursa (p > r hali) ilmikli pisikloid oluşur. (Şkil 3.3) Đlmikli pisikloidd ğri kndini kstiği için, yukarıdaki ikinci koşulda blirtildiği gibi profild girişim sbp olacağından yin grotor profillrinin oluşturulmasında kullanılamaz. Şkil 3.3 Đlmikli pisikloid Alınan nokta yuvarlanan dairnin içind olursa (p < r hali) dalgalı pisikloid oluşur.(şkil 3.4) Dalgalı pisikloidd yukarıda blirtiln sakıncalar oluşmayacağı için, ğri grotor profillrinin oluşturulmasında kullanılabilir. Şkil 3.4 Dalgalı pisikloid

9 3.2. Zarf Torisi Bir ğri ailsi vrildiğind hr noktasında bu ğri ailsinin bir ğrisin dokunan ğri, zarf ğrisi olarak adlandırılır. Böylc zarf ğrisi ğri ailsindki tüm ğrilr n az bir noktada tğt olmuş olur. Bir paramtrli ğri ailsi f (x,y,c) = 0 gibi bir dnklml blirlidir. Bu dnklmd c dğişkn paramtr olup hr c dğrind ğri ailsinin bir ğrisi ld dilir. Eğri ailsind bulunan bir ğrinin hrhangi bir noktasında ğimi: dy dx f = x (3.6) f y Bu dnklmdn f x f dx + y dy = 0 (3.7) bağıntısı ld dilir. Bu bağıntı aynı zamanda: f x dx dc f + y dy dc = 0 (3.8) olarak yazılabilir. Eğim dnklmindn ld diln bu ilişki ğri ailsi içind bulunan hr ğri için gçrli olacaktır. Eğr bir başka ğri (zarf ğrisi) bu ğri ailsini oluşturan bütün ğrilr tğt is, o ğrinin d aynı bağıntıyı sağlaması grkir. f (x,y,c) = 0 fonksiyonunun toplam türvi: f x f dx + y f dy + c dc = 0 (3.9) vya f x dx dc f + y dy dc f + c = 0 (3.10)

10 olacaktır. Eğim dnklmindn ld dilmiş olan bağıntı (3.8) d fonksiyonun toplam türvind kullanıldığında: f c = f c = 0 (3.11) olur. Öyl is bu ğri ailsinin zarfı f (x, y, c) = 0 dnklmini sağlaması grktiği gibi f c =0 kısmi türvinin sıfır olmasını da sağlamalıdır. Bu iki dnklmdn c paramtrsinin yok dilmsi il ld diln g (x, y) = 0 ğrisi ğri ailsinin zarfıdır. Bazı durumlarda bir ğri ailsi paramtrik olarak da ifad dilbilir. Yani, ğri ailsi: x = h (s, c) y = k (s, c) şklind vrilbilir. Burada s ğri paramtrsi, c is ğri ailsi paramtrsidir. Zarf bu dnklmlrdn v: h k h k s c c s = 0 (3.12) dnklmindn c paramtrsinin yok dilmsi il ld dilir (vya zarf ğrisi koordinatları c paramtrsin gör ld dilbilir). Örnk 1: Şkil 3.5

11 f (x, y, c) = (x c) 2 + y 2 1 = 0 dnklmi il vriln ğri ailsinin zarfını bulalım. Şkil 3.5 d göstrildiği gibi, ğri ailsi mrkzi x = c, y = 0 v yarıçapı bir birim olan dairlrdir. Hr c dğri için ailnin bir ğrisi ld dilir. Dnklmin c paramtrsin gör türvi: f c = 2(x c) = 0 f = 0 v f c = 0 dnklmlrindn c paramtrsi yok dildiğind: y = ± 1 ld dilir. Dair ailsinin zarfı, dairlr tğt, y = +1 v y = 1 yatay doğrularıdır. Örnk 2: (Söylmz 2007) γ Şkil 3.6 Bir ucu duvara dayalı, bir ucu yrd duran bir mrdivnin sürtünmnin az olmasından dolayı düşrkn yaptığı harkti l alalım. (Şkil 3.6) Mrdivnin farklı konumları bir ğri dmtini oluşturacaktır. Bu sırada oluşturulan zarfı bulalım: Paramtrik olarak mrdivnin dnklmi: y = x tanγ + l sin γ γ mrdivn il yatay arasında kalan açı, l is mrdivn uzunluğudur. Bu dnklmi:

12 f ( x, y, γ ) = y + x tanγ l sin γ = 0 şklind yazabiliriz. Dnklmin γ ya gör kısmi türvi is: 1 f γ ( x, y, γ ) = x l cosγ = 0 2 cos γ olacaktır. Bu iki dnklmdn x v y için çözüm yapıldığında: 3 x = l cos γ 3 y = l sin γ bulunur. Bu iki dnklm zarf ğrisini paramtrik olarak tanımlamaktadır v zarf bu dnklmlrl çizilbilir. Eğr γ paramtrsini bu iki dnklmdn yok drsk: 2 3 2 3 x + y = l 2 3 dnklmi ld dilir (bu astroid ğrisidir).

13 4. GEROTOR PROFĐLLERĐNĐN OLUŞTURULMASI Grotor tasarımı yapılırkn birbiri il ş çalışan dış dişli şklindki rotor v iç dişli şklindki çark brabrc tasarlanır. Pratikt kullanılan grotor pompa v motorlarda imalat kolaylığı açısından iç dişli şklind düşünüln çarkın diş profili dairsl olarak düşünülür v rotorun profili buna gör blirlnir. Dairsl profilli dişlr ya gövd il birlikt bir bütün olarak imal dilir (Şkil 4.1), ya da dairsl ksitli pimlr şklind gövd üzrin bağlanır (Şkil 4.2). Grotorların büyük çoğunluğu bu iki şkild imal dilmkt v kullanılmaktadır. Böylc dış çarkın imalatı tamamn basitlştirilmiş olmakta v iç rotorun imalatı önm kazanmaktadır. Dairsl profilli dış çark Şkil 4.1 Dairsl ksitli pim Şkil 4.2

14 Dış çarka ait dairsl profillr bir ğri ailsi olarak düşünülürs rotorun profili bu ğri ailsin ait zarf ğrisi olarak ortaya çıkar. Rotor profili bu dairlrin hr birin bir noktada tğt olmak zorundadır. Mkanizmanın çalışması sırasında da bu durum böyldir, tğt olunan nokta sürkli yr dğiştirir, fakat tğt sürkliliği dvam dr. Grotor mkanizması çalışırkn iç rotor dönr v dış rotoru da döndürür. Grotor profilini oluşturan doğurucu ğri, Şkil 4.3 t ksikli çizgi il göstriln ğri olsun. Dış çarkı oluşturan dairsl profillrin iç rotora gör izafi harktind, mrkzlri bu ğri üzrind olmak üzr çvrd döndürüldüğü zaman dairlrin zarfı iç rotor profili olacaktır. (x,y) (x,y ) Şkil 4.3 Doğurucu ğri olarak Bölüm 3.1. d sözü diln dalgalı pisikloid ğrisi kullanılır, ld diln profil pisikloid saslı grotor profili olur. Dairlrin iç rotora gör izafi harkti onun trafında yaklaşarak v uzaklaşarak dönmlridir. Yani dairlrin mrkzlri bu ğri üzrind harkt ttirilrk, bunların zarfı olan ğri şklind rotor profili oluştuğuna gör, ğri üzrindki hr bir nokta, ğri ailsindki bir dair mrkzi koordinatı olur. Eğri dnklmindki (dnklm 3.1) R/r oranı pratikt iç rotorun tamsayı olan diş sayısına şittir. Buna gör diş sayısına z dnilirs, dnklm 3.4 v 3.5 dn,

15 ( ) ( )θ θ z p z r x + + = 1 cos cos 1 (4.1) ( ) ( )θ θ z p z r y + + = 1 sin sin 1 (4.2) Buna gör dairlrin oluşturduğu ğri ailsinin dnklmi, hr bir dairnin yarıçapı g is aşağıdaki gibi olur: 0 ) ( ) ( ),, ( 2 2 2 = + = g y y x x y x f θ (4.3) Bu dnklmin yanı sıra zarf torisin gör dnklmdki θ paramtrsin gör türv d sıfır olmalıdır. (Dnklm 3.11) = 0 θ f 0 ) ( ) ( = + θ θ y y y x x x (4.4) x x = θ v y y = θ dnilirs, 0 ) ( ) ( = + y y y x x x (4.5) Dnklm 4.3 v 4.5 dn ara işlmlr yapılarak, y x x x y y = ) ( ) ( (4.6) 2 2 2 ) ( ) ( g y x x x x x = + (4.7) 2 2 ) 2 1 ( g y x x x = + (4.8) Buradan x v bnzr şkild y çözülrk zarf ğrisinin paramtrik dnklmlri aşağıdaki gibi ld dilir:

16 x y g y = x (4.9) ( x ) 2 ( ) 2 + y g x = y + (4.10) ( x ) 2 ( ) 2 + y Burada ( + z) sin θ + p (1 + z)sin ( z)θ x = r 1 1+ (4.11) ( + z) cosθ p (1 + z)cos ( z)θ y = r 1 1+ (4.12) 4.9 v 4.10 dnklmlrind zarf ğrisinin dışbüky olarak ld dilmsi için ilkind (-) işarti v ikincisind (+) işarti alınmalıdır. Böylc grotor iç rotorunun profili için, zarf torisi yardımıyla paramtrik dnklmlr ld dilmiştir. Bu dnklmlr yardımıyla pisikloid saslı olmak üzr farklı boyutlara sahip tüm grotor profillri çizilbilir vya sayısal olarak hsaplanabilir. Bu sayısal vrilr yardımıyla CNC tzgahlarında profili imal tmk mümkündür. Đki adt sayısal örnk Şkil 4.4 v Şkil 4.5 d görülmktdir. Şkil 4.4 Grotor profilinin oluşumu (R = 35, r = 5, p = 4, g = 7,2)

Şkil 4.5 Grotor profilinin oluşumu (R = 25, r = 5, p = 4,2, g = 9) 17

18 5. EĞRĐLĐK YARIÇAPI ANALĐZĐ Dnklmi paramtrik olarak vriln bir ğrinin hrhangi bir noktasındaki ğrilik yarıçapı aşağıdaki bağıntıyla vrilir. (Adams 2003) 2 2 [( x ) + ( y ) ] 3 / 2 ρ = (5.1) x y x y Düzlmsl ğri x = x(θ) v y = y(θ) şklind θ paramtrsi cinsindn vrilmişs ( ' ) smbolü θ ya gör bir türvi göstrir. Bir grotor için buradaki x v y, grotor profilini paramtrik olarak vrn dnklm 4.9 v 4.10 daki ifadlrdir. Dnklmdki türvlr θ paramtrsin gör alınıp yrin konur v ğrilik yarıçapı ifadsi ld dilir. Eğrilik yarıçapının minimum v maksimum olduğu noktalar dnklm 5.1 dn ld diln ğrilik yarıçapı ifadsinin θ ya gör türvinin sıfıra şitlnmsiyl bulunur. dρ = 0 dθ (5.2) Đfad oldukça uzun olduğu için Ek 1 d vrilmiştir. Eğrilik yarıçapının maksimum olduğu noktalar Şkil 5.1 dn d görülbilcği gibi, bir grotor lobunun simtri ksni üzrindki A noktasıdır. Minimum olduğu noktalar is A noktasının sağında v solunda birbirin gör simtrik olarak bulunurlar.(b v B noktaları) Bu noktaların açısal konumları Dnklm 5.2 dn sayısal olarak hsaplanabilir.

19 y B α α θ A B' x Şkil 5.1 Grotor profilind ğrilik yarıçapının minimum v maksimum olduğu noktalar Ek 1 d vriln ifad oldukça uzun v karışık olduğundan bu noktaların analitik olarak hsaplanması bir hayli zordur. Bu ndnl minimum ğrilik yarıçapı v oluştuğu açısal konum sayısal olarak bulunmuştur. Örnk olarak, boyutları R = 35, r = 5, p = 3.7, g = 11 olan bir grotor profilind ğriliğin (k = 1/ρ) bir lobdaki dğişimi Şkil 5.2 d görülmktdir. Buradaki iki tp noktası, şkildki B v B' noktalarına, bunlar arasındaki minimum nokta da A noktasına karşılık glir. k θ Şkil 5.2: Yukarıdaki sayısal örnkt ğriliğin (1/ ρ) dğişimi

20 Bu sayısal dğrlr gör θ = 10º açısal konumundaki B' noktasında minimum ğrilik yarıçapı yaklaşık ρ min 2.7 mm. olmaktadır. (Şkil 5.1) Yukarıdaki sayısal örnkt, blli bir g dğri için, p paramtrsinin dğişimi il minimum ğrilik yarıçapının dğişimi Şkil 5.3 t görülmktdir. Dğişim doğruya oldukça yakın bir parabol şklinddir. Blli bir p dğri için, g paramtrsinin dğişimi il minimum ğrilik yarıçapının dğişimi d Şkil 5.4 t görülmktdir. Bu dğişim oldukça doğrusaldır. ρ min p Şkil 5.3 p nin dğişimi il minimum ğrilik yarıçapının dğişimi. (R = 35, r = 5, g = 10 mm) ρ min g Şkil 5.4 g nin dğişimi il minimum ğrilik yarıçapının dğişimi. (R = 35, r = 5, p = 3.6 mm)

21 R = 35, r = 5 mm ölçülri sabit bir grotor profilind, p v g paramtrlri dğiştirilrk oluşan minimum ğrilik yarıçapının dğişimi üç boyutlu olarak Şkil 5.5 tki grafikt göstrilmiştir. Eğrisl yüzyin oluşturulması için kullanılan noktalar grafikt görülmktdir. g v p paramtrlri şkild göstriln aralıkta dğiştirilrk dnklm 5.2 dn sayısal olarak bulunan ρ min dğrlri şklind ld diln bu noktalar Tablo 1 d vrilmiştir. ρ min p g Şkil 5.5 p v g paramtrlrinin dğişimi il ρ min in dğişimi Grafikt görüldüğü gibi g v p paramtrlrinin artmasıyla minimum ğrilik yarıçapı azalmaktadır.

22 p g ρ min 8 9.8673 9 8.8673 2.4 10 7.8673 11 6.8673 12 5.8673 8 8.8739 9 7.8739 2.8 10 6.8739 11 5.8739 12 4.8739 8 7.6494 9 6.6494 3.2 10 5.6494 11 4.6494 12 3.6494 8 6.1341 9 5.1341 3.6 10 4.1341 11 3.1341 12 2.1341 8 4.2202 9 3.2202 4 10 2.2202 11 1.2202 12 0.2202 Tablo 1 Şkil 5.5 tki grafiğin ld dilmsi için kullanılan noktalar

23 6. HERTZ BASINCI Hrhangi bir ğrisl yüzy sahip iki makin lmanı arasındaki torik tmas, noktasal vya çizgisl olduğu takdird, dış kuvvtlrin tkisi altında mydana gln şkil dğiştirm sonucunda torik tmas noktası dairsl vya lips, torik tmas çizgisi is dikdörtgn şklini alır. Tknikt bu çşit tmaslara rulmanlarda, dişli çarklarda, sürtünm çarklarında v kam mkanizmalarında çok rastlanır. (Kim v ark. 2005). Tmas yüzyindki basınçlar v dformasyonlar Hrtz torisin gör hsaplanır. Bu tori şu kabullri yapmaktadır: - Tmas yüzylrinin boyutları tmas dn parçaların diğr boyutlarına oranla oldukça küçüktür. - Dformasyonlar, malzmlrin lastiklik sınırı içinddir. - Grilm v şkil dğiştirmlr için Hook kanunu gçrlidir. - Tmas yüzylrind kayma grilmsi yoktur. Birbirin bir F kuvvti il bastırılan ğrisl yüzyli iki silindirik cisim arasındaki Hrtz basıncı aşağıdaki bağıntı il vrilir (Akkurt 1996, Dijk 2001): P H F E = (6.1) 2 π H R Burada H cisimlrin kalınlığı, E şdğr lastiklik modülü, R şdğr ğrilik yarıçapıdır. E v R aşağıdaki bağıntılarla hsaplanır: 1 E 1 1 1 = + 2 E1 E 2 (6.2) 1 R = 1 1 ρ + ρ 1 2 (6.3) Burada E 1 v E 2 sırayla iki cismin malzmlrinin lastiklik modülü, ρ 1 v ρ 2 is tmas noktasındaki ğrilik yarıçaplarıdır. Eğrilik yarıçapı; dışbüky durumda pozitif, içbüky durumda ngatif olarak dikkat alınır. Grotorlarda iç v dış rotorun

24 kalınlığı hr yrd aynıdır, yani bunlar silindirik olarak göz önün alınıp Hrtz basınçları dnklm 6.1 dki ifad yardımıyla hsaplanmalıdır. Grotorlarda iç v dış rotor sürkli olarak birbirlriyl tmas halind oldukları için tmas noktalarında Hrtz basınçları oluşur. Hr iki rotorun da malzmlri büyük çoğunlukla aynı olduğu için lastiklik modüllri aynıdır. Dış rotor dairsl bir ksit sahip olduğu için ğrilik yarıçapı dğişmz, pim yarıçapına şittir. Đç rotor profilind is, Şkil 6.1 d görüldüğü gibi pimlrl tmas halindki profil noktalarının ğrilik yarıçapları farklı farklıdır, yani rotor profilind ğrilik yarıçapı dğişkndir. Rotora tki dn Hrtz basıncı hsaplanırkn n büyük dğri önmlidir, bu da dnklm 6.1 dn d görülbilcği gibi R nin n küçük dğrind mydana glir. Dnklm 6.3 d ρ 1 sabit olduğuna gör ρ 2 nin n küçük dğrind R minimum olur, dolayısıyla Hrtz basıncı maksimum dğrini alır. Buna gör grotor profili üzrind ğrilik yarıçapının minimum olduğu nokta bulunarak bu noktada hsaplanacak Hrtz basıncının dikkat alınması v grotor büyüklüğünün buna gör blirlnmsi grkmktdir. g Şkil 6.1 Rotor profili v pimlrin tmas noktaları Đç v dış rotor malzmlrinin aynı olduğu düşünülrk şdğr lastiklik modülü E olarak alınır v şdğr ğrilik yarıçapı R dnklm 6. 3 dn hsaplanarak dnklm 6.1 d yrin konulursa Hrtz basıncı için aşağıdaki ifad bulunur.

25 F E ( g + ρ P H 2 π H g ρ min = (6.3) min ) Burada g pim yarıçapı, ρ min profildki minimum ğrilik yarıçapıdır.

26 7. GEROTOR DEBĐSĐ Grotor bir dfa döndüğü zaman bir diş boşluğu kadar hacmi aktarır. Dbi bu düşüncy gör hsaplanabilir. Şkil 7.1 d görüln taralı alanın grotor kalınlığı il çarpımı bir dvird süpürüln torik hacmi, bu dğrin d dvir sayısı il çarpımı torik dbiyi vrir. Kalınlık hr yrd aynı olduğuna gör taralı alanın hsaplanması ytrlidir. Bu alan iki kısımdan oluşmaktadır. Birincisi dış rotora ait iki pim arasında kalan alan(a 1 ), ki bu alan sabittir v gomtrik olarak kolayca hsaplanabilir. Đkincisi grotor profili il pimlrin tğt dairsi arasında kalan alandır(a 2 ), bu alan ancak bir intgral yardımı il hsaplanabilir. Bir dvird süpürüln toplam alan bu iki alanın toplamına şittir. A = A 1 +A 2 (7.1) Pimlrin tğt dairsi g A 1 A 2 R g Şkil 7.1 Bir dvird süpürüln alan

27 Dnklmi kutupsal olarak vriln bir ğri il çvrili bir alanı vrn intgral aşağıdaki gibidir. (Adams 2003) 1 θ 2 2 A = ρ dθ (7.2) 2 θ1 C' A 2 A 3 C α θ 1 θ 2 x R m Şkil 7.2 A 2 alanı Şkil 7.1 dki A 2 alanı, Şkil 7.2 dki α açısının gördüğü dair dilimindn, dnklm 7.2 dki intgrall hsaplanacak A 3 alanının farkına şittir. A 3 alanı şkild görüldüğü gibi grotor profilinin, iki lobunun tp noktaları olan C v C' arasında kalan kısmının sınırladığı alandır. α π A3 (7.3) 360 2 A2 = Rm Burada α açısı, C v C' tp noktalarını görn mrkz açıdır, yani (θ 2 θ 1 ) farkına şittir. R m is profilin n uç noktalarından gçn dairnin yarıçapıdır. (R m =R+r+p) (Şkil 7.2)

28 Dnklm 7.2 dki ρ = ρ(θ) ifadsi grotor profilinin kutupsal koordinatlardaki dnklmidir v aşağıdaki gibi yazılabilir. 2 2 ρ = x + y, ρ 2 = x 2 + y 2 (7.4) x v y ifadlri grotor profilini paramtrik olarak vrn 4.9 v 4.10 nolu dnklmlrdn yrin yazılarak, ara işlmlrdn sonra aşağıdaki kutupsal profil dnklmi ld dilir: 2 ρ 2 2 2 2 2g 2 2 = u r + p + g 2upr coszθ [ ur + p pr(1 + u)coszθ ] (7.5) K burada, u = 1+z, K = r 2 + p 2 2 p r cos(zθ) ρ 2 ifadsi yrin konarak dnklm 7.2 dki intgral hsaplanırsa A 3 alanı için aşağıdaki ifad bulunur: 2 2 2 2 1 A3 = 0.5( u r + p + g )( θ2 θ1) upr(sin zθ2 sin zθ1) z g θ [ EF( DG CH ) EE( DG + DH )] θ 2 1 Hz G + H (7.6) burada, C = ur 2 + p 2 D = pr (1 + u) G = p 2 + r 2 H = 2pr Dnklmdki EE v EF, sayısal olarak hsaplanabiln E v F tipind liptik intgrallrdir. Bunların açık ifadlri Ek 2 d vrilmiştir. A 1 alanı Şkil 7.3 d görüldüğü gibi gomtrik olarak şu şkild hsaplanabilir:

29 Ardışık iki pim mrkzini görn γ mrkz açısına sahip dair dilimi, yani şkildki COD diliminin alanı hsaplandıktan sonra, OCF v OGD şit üçgnlri il OFG üçgninin alanları bundan çıkartılacak olursa CFGD alanı bulunmuş olur. COD dair diliminin alanından BOE dair diliminin alanını v şkildki gibi pim mrkzindn α açısının gördüğü BCF v GDE dair dilimlri il yukarıdaki gibi hsaplanan CFGD alanını çıkartırsak BFGE alanını yani A 1 alanını bulmuş oluruz. Alanlar harflrl göstrilirs bu işlmlr aşağıdaki gibi ifad dilbilir: A 1 = BFGE = OCD OBE EGD BCF (OCD CFO OGD OGF) (7.7) Parantz içrisindki alanın CFGD alanı olduğu açıktır. Bütün bu alanların hsabı için grkli olan γ, α, β açıları v OB, BC v OF uzunlukları grotor gomtrisindn kolayca bulunabilir. Hsaplama için kosinüs tormi, sinüs tormi il üçgn v dair il ilgili gomtrik bağıntılar kullanılmıştır. C A 2 α B A 1 F G γ β γ' β O D α E Şkil 7.3 A 1 alanı v ilgili diğr alanlar

30 Sayısal bir örnk olarak R = 35, r = 5, p = 3.7, g = 10 (mm) dğrlri için z = 7 olur. Dnklm 7.6 dki intgralin sınırları, Şkil 7.3 t profilin tp noktaları olan B v E noktalarına karşılık gln mrkz açılar olmak üzr θ 1 = 2π/14 v θ 2 = 2π/14+2π/7 olarak yazılır. Bu sayısal dğrlrl A 1 v A 2 alanları aşağıdaki gibi hsaplanmıştır: A 1 = 118.6770 mm 2 A 2 = 56.9404 mm 2 Buna gör bir dvird süpürüln alan, A = A 1 + A 2 = 175.6174 mm 2 olur. A Şkil 7.4 g nin dğişimi il süpürüln alanın dğişimi (R = 35, r = 5, p = 3.6 mm) A g p Şkil 7.5: p nin dğişimi il süpürüln alanın dğişimi (R = 35, r = 5, g = 10 mm)

31 R = 35, r = 5, g = 10 mm dğrlri için p paramtrsinin dğişimi il süpürüln alanın dğişimi Şkil 7.4 d görülmktdir. Dğişim oldukça doğrusaldır. R = 35, r = 5, p = 3.6 mm dğrlri için g paramtrsinin dğişimi il süpürüln alanın dğişimi d Şkil 7.5 d görülmktdir. Bu dğişim doğruya oldukça yakın bir parabol şklinddir. R = 35, r = 5 ölçülri sabit, p v g ölçülri dğişkn olan bir grotor profilindki süpürüln alanın dğişimi Şkil 7.6 daki üç boyutlu grafikt göstrilmiştir. Eğrisl yüzyin oluşturulması için kullanılan noktalar grafikt görülmktdir. g v p paramtrlri şkild göstriln aralıkta dğiştirilrk yukarıdaki dnklmlrdn sayısal olarak bulunan alan dğrlri şklind ld diln bu noktalar Tablo 2 d vrilmiştir. Grafikt görüldüğü gibi g nin artmasıyla A yaklaşık linr olarak azalırkn, p nin artmasıyla A artar. A p g Şkil 7.6 p v g paramtrlrinin dğişimi il süpürüln alanın (A) dğişimi

32 p g A 8 146.8751 9 136.4975 2.4 10 126.4458 11 116.6751 12 107.1521 8 168.2501 9 155.3673 2.8 10 142.9128 11 130.8244 12 119.0568 8 189.0155 9 173.3634 3.2 10 158.2589 11 143.6184 12 129.3814 8 209.0885 9 190.3669 3.6 10 172.3319 11 154.8728 12 137.9109 8 228.2368 9 206.0887 4 10 184.7896 11 164.1946 12 144.2025 Tablo 2 Şkil 7.6 daki grafiğin ld dilmsi için kullanılan noktalar

33 8. OPTĐMĐZASYON Gnl bir tasarım sürcind önc tasarım problmi tanımlanır, gliştirilir v çözülmy çalışılır. Böylc daha iyiyi, daha ucuza ld tm yolları aranır. Gçmiştn günümüz gliştiriln optimizasyon tkniklri, birçok tasarım problmlrinin çözümünd kullanılaglmktdir. Özllikl bilgisayar tknolojisindki glişmlr parall olarak bu uygulamalar çok daha kolaylaşmış v yaygınlaşmıştır. Optimal tasarım, mümkün tasarımların n iyisi olarak tanımlanabilir. Optimizasyon, arzulanan bir özlliğin maksimum yapılırkn; arzulanmayanların minimum yapılması işlmi olarak tanımlanabilir. Gnl bir optimizasyon sürcind tasarımcı, bağımsız paramtrlrin sayısal dğrlri il sabit olmayan gnl kısıtlar oluşturur. Bağımsız dğişknlr cinsindn tasarımın özlliklrini tanımlayan bir amaç fonksiyonu saptanır. (Börklü 2008) Yaygın amaç fonksiyonları; maliyt, ağırlık, güvnilirlik v ürtilbilirlik gibi istklr olabilir. Amaç fonksiyonu, blirli kısıtlayıcılar tarafından sınırlandırılır. Sınırlayıcılar, fiziki kanunlar v sınırlandırmalar vya bağımsız dğişknlr üzrindki uyumluluk şartlarından çıkmaktadır. Gnld optimizasyon problm formülasyonunda bazı özlliklr amaç fonksiyon olarak sçilirkn; diğr bazı özlliklr, kısıtlayıcılar konumuna dahil dilir. Kısıtlar v amaç fonksiyonu matmatiksl olarak ifad dilip, gnllikl bilgisayar ortamında çşitli yöntmlrl çözülür. Çözüm yöntmi optimizasyon problminin linr vya nonlinr olmasına gör farklılık v çşitlilik göstrir. 8.1 Grotor Profilinin Optimizasyonu Grotor pompa vya motor mkanizmasının çalışması snasında iç v dış rotorun birbiriyl sürkli olarak tmas tmsi sbbiyl, tmas noktalarında Hrtz basınçları oluşur. Basıncın şiddti dnklm 6.3 d görüldüğü gibi tmas kuvvti il doğru orantılı, ğrilik yarıçapı il trs orantılıdır. Küçük ğrilik yarıçapları, profild sivriy yakın köşlr oluşmasına v Hrtz basıncının artmasına sbp olur. Eğrilik yarıçapının artması Hrtz basıncını azaltır, fakat boyutları büyütür v dbiyi azaltır.

34 Ayrıca Hrtz basıncının artması aşınmayı artırır (Kim v ark. 2005), bu da grotorun ömrünü azaltır. Uzun ömürlü bir mkanizma için dbiyi azaltmayacak, fakat minimum ğrilik yarıçapının da makul dğrlrd olmasını sağlayacak optimum bir çözüm bulunabilir. Grotor tasarımı yapılırkn önc iç rotorun diş sayısı blirlnir. Bazı avantajlarından dolayı diş sayısı çoğunlukla tk sayı olarak sçilmktdir. (Dijk 2001) Dış rotorun diş sayısı da iç rotor diş sayısının bir fazlası olarak ortaya çıkar. Bundan sonraki aşama, sçiln diş sayısına bağlı olarak tml dair v yuvarlanan dair yarıçapları R v r nin blirlnmsidir. Bu dğrlr gnllikl grotor dbisin v diş sayısına bağlı olarak blirlnir v diş sayısı dğiştirilmdikç bunların dğişmsi söz konusu dğildir. Bundan sonra p v g paramtrlrinin uygun olarak sçilip profilin oluşturulması grkmktdir. Bu noktada optimizasyon problmi ortaya çıkmaktadır. Karşılaşılan n önmli kısıtlardan biri minimum ğrilik yarıçapı sınırlamasıdır. Diğr bir kısıt is izin vrilbilck maksimum Hrtz basıncı dğridir. Bu iki kısıt aslında birbirindn tamamn bağımsız dğildir. Dnklm 6.3 t görüldüğü gibi maksimum Hrtz basıncı (P H ) dğri kullanılan malzmlr v çalışma basıncına bağlı olarak blirlndiktn sonra profild izin vrilbilck n küçük ğrilik yarıçapı ρ min hsaplanabilir. Fakat ifadd pim yarıçapı g d olduğu için, dbi d göz önünd tutularak g dğri blirlnmk zorundadır. Profildki n küçük ğrilik yarıçapı dnklm 6.3 tn hsaplanacak ρ min dğrindn büyük olmak zorundadır, bu ilk kısıt olarak yazılabilir. ρ > ρ min (8.1) Đkinci sınırlayıcı faktör, grotorun dbisidir. Dbinin blli bir dğrdn küçük olmaması grkir. Yukarıda 7. bölümd bulunan alan ifadsi grotorun tml tasarım paramtrlrinin (R, r, p, g) oldukça karışık bir fonksiyonudur. Sayısal bir dbi dğrindn bu paramtrlri tahmin tmk oldukça zordur. Bu ndnl önc diş sayısı z il R blirlnip p v g paramtrlri uygun şkild alınarak dbi hsaplanır. Arzu diln dbi dğri ld dilincy kadar birkaç dnm yapmak grkir. Sçiln tml boyutsal paramtrlrl maksimum dbi miktarının ld dilmsi bir amaç fonksiyonu olarak ön sürülbilir. Bu paramtrlrin blli sayısal dğrlri için

35 istniln dbi dğri ld dilmiş olsa bil bunun optimum bir çözüm olup olmadığını anlamak için dbiyi vrn alanın v minimum ğrilik yarıçapının dğişimini görmk grkir. ρ min v A paramtrlrinin hr ikisi d p v g y bağlı olarak dğiştiklri için dğişim yüzyi Bölüm 5 v 7 d göstrildiği gibi üç boyutlu bir ğri olarak ortaya çıkar. Bu iki yüzyin ksişmsi il ortaya çıkan araksit ğrisi optimum çözümlri vrir. Dbi ğrisi amaç fonksiyonunun, minimum ğrilik yarıçapı ğrisi is kısıt fonksiyonunun dğişimini göstrmktdir. Dolayısıyla bu iki ğrinin araksiti optimum çözüm ğrisi olacaktır. Örnk olarak Şkil 5.5 v 7.6 daki grafiklrd sözü diln aynı boyutsal paramtrlr sahip grotoru l alalım. Bu iki grafiği aynı ölçkl ölçklndirrk bir araya gtirirsk Şkil 8.1 dki grafiği ld driz. Yukarıdaki 8.1 dnklmi bu grafikt kırmızı rnkl göstriln ρ min yüzyinin üst kısmını ifad dr. Eğrinin altındaki bölgd ρ < ρ min olacağı için burası uygun olmayan bölgdir. Yşil rnkl göstriln ğri p v g dğrlrin gör alanın dğişimini göstrmktdir. Đki yüzyin araksiti olan üç boyutlu ğri uygun çözümlri göstrir. Bu ğrinin sağ tarafında kalan noktalarda, alan, yani grotor dbisi artmasına karşın minimum ğrilik yarıçapı hızlı bir şkild düşmktdir. Bu durum Hrtz basıncının artmasına, yani grotor ömrünün azalmasına ndn olacağı için bu bölgnin uygun çözümlr içrmdiği açıktır. Soldaki bölgd is minimum ğrilik yarıçapı artmasına rağmn, alan yani dbi azalmaktadır. Böylc araksit ğrisi üzrindki noktaların optimum çözümlri vrdiği söylnbilir. Şkil 8.1 dki araksit ğrisinin başlangıç noktası olan C noktasında sayısal olarak p = 3.05 v g = 8 mm dir. Bu dğrlr için A = 181.3028 mm 2 v ρ min = 8.13 mm olarak hsaplanır. Araksit ğrisinin bitiş noktası olan D noktasında sayısal olarak p = 2.75 v g = 12 mm dğrlri için A = 117.6523 mm 2 v ρ min = 5.01 mm olarak hsaplanır. Eğr grotor mkanizması bir pompa olarak kullanılacaksa, ilk çözüm alanın v dolayısıyla dbinin yüksk olması v minimum ğrilik yarıçapının v dolayısıyla Hrtz basıncının düşük olması ndniyl trcih dilbilir. Mkanizma bir hidrolik motor olarak kullanılacaksa ikinci çözüm dbinin düşük olması ndniyl, minimum ğrilik yarıçapının da ilk çözüm gör bir miktar küçük olması göz ardı dilrk uygun bir çözüm olarak düşünülbilir. Boyutsal paramtrlri C noktasındaki gibi olan grotor profili Şkil 8.2 d ölçkli olarak görülmktdir.

36 D A ρ min C p g Şkil 8.1 p v g paramtrlrin gör süpürüln alanın (A) v minimum ğrilik yarıçapının (ρ min ) dğişimi Şkil 8.2 Örnk 1 d ld diln optimum grotor profili

37 Araksit ğrisi dışındaki çözümlr bir örnk vrilck olursa; p = 3.6 v g = 9 mm dğrlri için A = 190.3669 mm 2 v ρ min = 5.13 mm olarak bulunur. Burada C noktasındaki dğrlr gör dbi sadc % 5 artmış olmasına karşın minimum ğrilik yarıçapı is % 36.9 oranında azalmıştır v Hrtz basıncı % 23.38 oranında artmıştır. Bu durum Hrtz basıncı açısından hiç uygun bir çözüm dğildir. Araksit ğrisi dışındaki diğr noktalarda da bnzr bir durumun oluşacağı görülbilir. F ρ min A E g p Şkil 8.3 p v g paramtrlrin gör süpürüln alanın (A) v minimum ğrilik yarıçapının (ρ min ) dğişimi (R = 45 mm, r = 9 mm) Đkinci bir sayısal örnk olarak R = 45 mm, r = 9 mm v z = 5 şklind boyutsal paramtrlr sahip olan grotoru l alalım. Bu grotor için d örnk 1 dki üç boyutlu grafiklri çizip aynı ölçkl ölçklndirrk bir araya gtirirsk Şkil 8.3 dki grafiği ld driz. Kırmızı rnkli ğrisl yüzyin altındaki bölg bnzr

38 şkild uygun olmayan bölgdir. Yşil rnkl göstriln ğri p v g dğrlrin gör alanın dğişimini göstrir. Burada da iki yüzyin araksiti olan üç boyutlu ğri uygun çözümlri göstrir. Bu ğrinin sağ tarafında kalan noktalarda, alan, yani grotor dbisi artmasına karşın minimum ğrilik yarıçapı hızlı bir şkild düşmktdir. Sonuç olarak araksit ğrisi üzrindki noktaların optimum çözümlri vrdiği söylnbilir. Şkil 8.4 Örnk 2 d ld diln optimum grotor profili Şkil 8.3 dki araksit ğrisinin başlangıç noktası olan E noktasında sayısal olarak p = 6.05 v g = 11 mm dir. Bu dğrlr için A = 752.9370 mm 2 v ρ min = 14.0813 mm olarak hsaplanır. Araksit ğrisinin bitiş noktası olan F noktasında sayısal olarak p = 5.7 v g = 15 mm dğrlri için A = 575.2913 mm 2 v ρ min = 11.2172 mm olarak hsaplanır. Grotor mkanizması bir pompa olarak kullanılacaksa, yukarıdakin bnzr olarak ilk çözüm alanın v dolayısıyla dbinin yüksk olması v ayrıca minimum ğrilik yarıçapının v dolayısıyla Hrtz basıncının

39 düşük olması ndniyl trcih dilbilir. Mkanizma bir hidrolik motor olarak kullanılacaksa ikinci çözüm dbinin düşük olması ndniyl, minimum ğrilik yarıçapının da ilk çözüm gör bir miktar küçük olması göz ardı dilrk uygun bir çözüm olarak düşünülbilir. Bu örnk için boyutsal paramtrlri F noktasındaki gibi olan grotor profili Şkil 8.4 d ölçkli olarak görülmktdir. Araksit ğrisi dışındaki çözümlr bir örnk olarak p = 6.8 v g = 13 mm dğrlri için A = 758.6490 mm 2 v ρ min = 9.1927 mm olarak bulunur. Burada E noktasındaki dğrlr gör dbi sadc % 0.75 artmış olmasına karşın minimum ğrilik yarıçapı % 34.71 oranında azalmış v Hrtz basıncı % 12.81 oranında artmıştır. Bu durumun Hrtz basıncı açısından uygun bir çözüm olmadığı açıktır. Bu örnkt d araksit ğrisi dışındaki diğr noktalarda da bnzr bir durumun oluşacağı görülbilir. Diş sayısı daha fazla olan üçüncü bir sayısal örnk olarak R = 121 mm, r = 11 mm v z = 11 şklind boyutsal paramtrlr sahip grotoru l alalım. Bu grotor için d örnk 1 dki üç boyutlu grafiklri çizip aynı ölçkl ölçklndirrk bir araya gtirirsk Şkil 8.5 dki grafiği ld driz. Kırmızı rnkli ğrisl yüzyin altındaki bölg bnzr şkild uygun olmayan bölgdir. Yşil rnkl göstriln ğri p v g dğrlrin gör alanın dğişimini göstrir. Burada da iki yüzyin araksiti olan üç boyutlu ğri optimum çözümlri göstrir. Bu ğrinin sağ tarafında kalan noktalarda, alan, yani grotor dbisinin artmasına karşın minimum ğrilik yarıçapının hızlı bir şkild düştüğü görülmktdir. Sonuç olarak araksit ğrisi üzrindki noktaların optimum çözümlri vrdiği söylnbilir. Şkil 8.5 dki araksit ğrisinin başlangıç noktası olan K noktasında sayısal olarak p = 7.2 v g = 12 mm dir. Bu dğrlr için A = 1137.6358 mm 2 v ρ min = 24.6920 mm olarak hsaplanır. Araksit ğrisinin bitiş noktası olan L noktasında sayısal olarak p = 6.6 v g = 20 mm dğrlri için A = 819.0685 mm 2 v ρ min = 18.8263 mm olarak hsaplanır. Grotor mkanizması bir pompa olarak kullanılacaksa, yukarıdakin bnzr olarak ilk çözüm alanın v dolayısıyla dbinin yüksk olması v ayrıca minimum ğrilik yarıçapının v dolayısıyla Hrtz basıncının düşük olması ndniyl trcih dilbilir. Mkanizma bir hidrolik motor olarak kullanılacaksa ikinci çözüm dbinin düşük olması ndniyl, minimum ğrilik

40 L A ρ min K g p Şkil 8.5 p v g paramtrlrin gör süpürüln alanın (A) v minimum ğrilik yarıçapının (ρ min ) dğişimi (R = 121 mm, r = 11 mm) Şkil 8.6 Örnk 3 için ld diln optimum grotor profili

41 yarıçapının da ilk çözüm gör bir miktar küçük olması göz ardı dilrk uygun bir çözüm olarak düşünülbilir. Araksit ğrisi dışındaki çözümlr bir örnk vrilck olursa; p = 6 v g = 16 mm dğrlri için A = 855.2210 mm 2 v ρ min = 24.6774 mm olarak bulunur. Burada K noktasındaki dğrlr gör dbi sadc % 24.82 azalmış olmasına karşın minimum ğrilik yarıçapı is hmn hmn aynı kalmış v Hrtz basıncı bir miktar azalmıştır. Bu durum dbi açısından uygun dğildir. Eğrilik yarıçapı aynı kaldığına gör dbinin büyük olduğu çözüm trcih dilir. Bu nokta yukarıdaki iki örnktn farklı olarak Şkil 8.5 t d görülbilcği gibi araksit ğrisinin solunda alınmıştır. Đlk iki örnkt olduğu gibi ğrinin sağında bir nokta alınırsa sonuç diğr örnklrdki gibi olacaktır. Yin yukarıdaki iki sayısal örnkt d araksit ğrisinin solunda bir nokta alınırsa bu örnktki sonuca bnzr bir sonuç ld dilmiştir. Böylc araksit ğrisi dışındaki noktaların uygun çözümlr vrmdiği görülmktdir.

42 9. SONUÇ VE ÖNERĐLER Pozitif dplasmanlı bir pompa vya motor mkanizması olarak yaygın bir şkild kullanılan grotorların profillri diğr hidrolik mkanizmalara nazaran farklılık arzdr. Bu çalışmada önclikl zarf torisi yardımıyla grotor profili analitik olarak ld dilmiştir. Bu formülasyon yardımıyla profildki minimum ğrilik yarıçapının nasıl bulunacağı göstrilmiştir. Grotor gomtrisi d göz önün alınarak dbi hsabına sas tşkil dn alan formülasyonu da yapılmıştır. Hidrolik pompa v motor olarak kullanılan grotorlara ait boyutsal paramtrlr, sas olarak aktaracakları akışkanın hacmin gör tspit dilir. Aktarılacak akışkan hacmi yani dbi blirlndiktn sonra boyutsal paramtrlr kısıtlayıcılara bağlı olarak blirlnir. Grotorlarda olduğu gibi birbiri il sürkli tmas halind kalarak çalışan yüzylrd sürkli bir aşınma sözkonusu olduğu için, sistmin uzun ömürlü olabilmsi adına bu aşınmayı oluşturan faktörlri mümkün olduğunca azaltmak grkir. Grotorlarda iç v dış rotorun tmas noktalarında oluşan Hrtz basınçları ğrilik yarıçapıyla doğrudan ilgili olduğu için, bu basıncın azaltılabilmsi grkir. Eğrilik yarıçapının küçük olması, Hrtz basıncının artmasına v dolayısıyla aşınmanın artmasına v sistm ömrünün azalmasına yol açar. Eğrilik yarıçapının artması Hrtz basıncının v aşınmanın azalmasını sağlar, fakat sistmin boyutlarını büyütür v dbiyi azaltır. Hm dbinin istniln sviylrd olmasını sağlamak, hm d Hrtz basıncının makul sviylrd tutulmasını sağlamak için yapılan bu optimizasyon çalışmasında önclikl grotorun tml boyutsal paramtrlri blirlnmiştir. Daha sonra grotor profillrinin minimum ğrilik yarıçapları v dbiy sas tşkil dn alan hsapları yapılmış v bunların dğişimi üç boyutlu grafiklrd üç boyutlu yüzylr olarak göstrilmiştir. Dbi dğişimini v minimum ğrilik yarıçapı dğişimini göstrn bu iki yüzyin ksişimi il oluşan araksit ğrisinin optimum çözüm ğrisi olduğu blirlnmiştir. Sonuçlar öztlnirs; 1. Bir grotor için iki sas boyutsal paramtr tml dair yarıçapı (R) v yuvarlanan dair yarıçapı (r) dir. Bunlar blirlndiktn sonra dğiştirilmlri

43 mümkün dğildir, dğiştirilbilck iki paramtr pim yarıçapı (g) v ofst msafsi (p) dir. 2. Profildki minimum ğrilik yarıçapı v dbiy sas tşkil dn alan bu iki paramtry gör ortaya çıkmaktadır. 3. Grotor dbisi bir amaç fonksiyonu olarak düşünülbilir. Bunu kısıtlayan faktör is minimum ğrilik yarıçapıdır. 4. Dbinin v minimum ğrilik yarıçapının g v p paramtrlrin gör dğişimini ifad dn üç boyutlu yüzylrin araksit ğrisi optimum çözüm bölgsi olarak ortaya çıkmaktadır. 5. Bu araksit ğrisi üzrind amaca gör bir nokta sçilrk optimum grotor profili ld dilir. Daha ilri çalışmalarda optimal boyutları ld diln bu profillr sahip grotorların imal dilip, dnysl olarak dbi, aşınma v ömür açısından dğrlndirilmsi düşünülbilir.

44 KAYNAKLAR Hill, M. F. 1927. Th Kinmatics of Grotor. Philadlphia. Bard, J. E. 1985. Kinmatic analysis of grotor typ pumps, ngins and comprssors. Ph. D. Dissrtaion, Purdu Univ. Stryczk, J.,1990. Projktirn dr Zykloidnvrzahnungn Hydraulischr Vrdrängrmaschinn, Mch. Mach. Thory Vol. 25. No. 6, s. 597-610 Stryczk, J.,1992. Charaktristisch Paramtr Hydraulischr Vrdrängrmaschinn mit Zykloidnvrzahnungn, Mch. Mach. Thory Vol. 28. No. 1, s. 97-112. Kwon, S. M., Kim, M. S., Shin, J. H. 2008 Analytical war modl of a grotor pump without hydrodynamic ffct. J. of Advancd Mc. Ds. Syst. and. Manufactur. Vol.2, no:2 Gamz. M., Javlr, P., 2003. Contact strss in a grotor pump, Univrsitat Politcnica d Catalunya, 08222 Trrassa, Spain, s. 65-71. Tsay, C,B., Yu, C,Y.. 1989. Mathmatical modl for th profil of grotor pumps. Natl Chiao Tung Univ, Hsinchu, Taiwan, s. 41-47. Bard, J.E., Hall, A.S., Sodl, W.. 1991. Comparison of hypotrochoidal and pitrochoidal grotors. Louisiana Stat Univ, Baton Roug, LA, USA s. 133-141. Söylmz, E., 2007. Mkanizma Tkniği. Birsn Yayınvi. Akkurt, M., Knt, M. 1979. Makin Elmanları. Birsn Yayınvi, s. 111-115

45 Irwin, E. 2003. What Is a Grotor, Vian Entrpriss, Inc. (http://www.vianntrpriss.com/grotor.htm) Adams, R.A., 2003. Calculus, Fifth Edition, Addison Wsly Longman. Maiti, R. 1993. Torqu charactristics of pitrochoid gnratd orbital rotary piston typ hydraulic motors. Mch. Mach. Thory Vol. 28. No. 2, s. 225-231 Kim, N.H., Won, D., Burris, D., Holtkamp, B., Gssl, G.R., Swanson, P., Sawyr,W.G. 2005. Finit lmnt analysis and xprimnts of mtal/mtal war in oscillatory contacts. War, Vol. 258 s.1787 1793 Dijk, P.V., 2001. Contact Spots. ICEC Conf., s. 123-129 Mimi, G., Bonandrini, G., Rottnbachr C., 2007. Thortical analysis of intrnal lob pumps. 12th IFToMM World Congrss, Bsançon