Do not open the exam until you are told that you may begin.

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Do not open the exam until you are told that you may begin."

Serkan Yüce
5 yıl önce
İzleme sayısı:

1 OKAN ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MÜHENDİSLİK TEMEL BİLİMLERİ BÖLÜMÜ , 3:0 4:40 MATH3 Mthemtics I Finl Exm N. Course Forenme: Surnme: Stuent No: Signture: Time Allowe: 90 min. You must nswer ll questions.! Do not open the exm until you re tol tht you my begin. Sınvın bşlığı yüksek sesle söylenene kr syfyı çevirmeyin.!. You will hve 90 minutes.. The points wre for ech prt, of ech question, re stte next to it. 3. All of the questions re in English. You must nswer in English. 4. You must show your working for ll questions. 5. This exm contins 8 pges. Check to see if ny pges re missing. 6. If you wish to leve before the en of the exm, give your exm script to n invigiltor n leve the room quietly. You my not leve in the first 0 minutes, or in the finl 0 minutes, of the exm. 7. Switch your mobile phone off n sel it in the envelope provie. Do not open your envelope until the exm is finishe or you hve left the room. 8. All communiction between stuents, either verblly or non-verblly, is strictly forbien. Stuents who finish erly must leve the room without communicting with other stuents. 9. Clcultors, mobile phones n ny igitl mens of communiction re forbien. The shring of pens, ersers or ny other item between stuents is forbien. 0. All bgs, cots, books, notes, etc. must be plce wy from your esks n wy from the sets next to you. You my not ccess these uring the exm. Tke out everything tht you will nee before the exm strts.. Any stuent foun cheting or ttempting to chet will receive mrk of zero (0), n will be investigte ccoring to the regultions of Yükseköğretim Kurumlrı Öğrenci Disiplin Yönetmeliği.. Sınv süresi toplm 90 kikır.. Sorulrın her bölümünün kç pun oluğu ynlrın belirtilmiştir. 3. Tüm sorulr İngilizce ir. Cevplrınızı İngilizce veriniz. 4. Sonuc ulşmk için yptığınız işlemleri yrıntılrıyl gösteriniz. 5. Sınv 8 syfn oluşmktır. Lütfen eksik syf olup olmığını kontrol ein. 6. Sınv süresi son ermeen sınvınızı teslim eip çıkmk isterseniz, sınv kğıınızı gözetmenleren birine veriniz ve sınv slonunn sessizce çıkınız. Sınvın ilk 0 kiksı ve son 0 kiksı içine sınv slonunn çıkmnız ysktır. 7. Cep telefonunuzu kptınız ve size verilen zrfın içine koyunuz. Zrfı, sınv süresi bitene kr y sınv slonunn çıkn kr çmyınız. 8. Sınv esnsın öğrenciler rsın, sözlü y sözsüz, her türlü iletişim kesinlikle ysktır. Sınvını erken bitiren öğrenciler, iğer öğrencilerle hiç bir şekile iletişim kurmn sessizce sınıftn çıkmlıır. 9. Sınv esnsın hesp mkinesi, cep telefonu ve ijitl bilgi lışverişi ypıln her türlü mlzemelerin kullnımı ile iğer silgi, klem, vb. lışverişlerin ypılmsı kesinlikle ysktır. 0. Çnt, plto, kitp ve ers notlrınız gibi eşylrınız sırlrın üzerinen ve ynınızki snlyeen klırılmlıır. Sınv süresince bu tür eşylrı kullnmnız ysktır, bu neenle ihtiycınız olck herşeyi sınv bşlmn ynınız lınız.. Her türlü sınv, ve iğer çlışm, kopy çeken vey kopy çekme girişimine bulunn bir öğrenci, o sınv y çlışmn sıfır (0) not lmış syılır, ve o öğrenci hkkın Yükseköğretim Kurumlrı Öğrenci Disiplin Yönetmeliği hükümleri uyrınc isiplin kovuşturmsı ypılır. α Totl 00

2 Definition We write lim x c f(x) = L if n only if, for ll ε > 0, there exists δ > 0 such tht for ll x, 0 < x c < δ = f(x) L < ε. Question (The Precise Definition of Limit) 3x [0 pts] Use the efinition bove to prove tht lim =. x x Let ε > 0. Choose δ = ε 3. Then for ll x we hve tht Therefore lim x 3x x =. 0 < x < δ = 3x x = 3(x )(x + ) x = 3 (x + ) 4 = 3 x < 3δ = ε. /8

3 Question [ pt] Plese write your stuent number t the top-right of this pge. Stuent No: Question 3 (Arc Length) [0 pts] Fin the length of the curve y = x x from x = to x =. We clculte tht n + The length of the curve is L = + y x = ( x 4 x 4 + ) 8x = x 3 8x 3 = x3 4x 3 ( ) y = + x 6 x + 6x 6 = x6 + + ( 6x 6 = x 3 + ) 4x 3. ( ) y x = x 3 + [ x 4 x 4x 3 x = 4 ] ( 6 8x = 4 ) ( 3 4 ) 8 = = , 3:0 4:40 MATH3 Mthemtics I Finl Exm (α) y Length of curve = y = x x x 3/8

4 y? y = x shell rius shell height y = x? x? Question 4 (Volumes Using Cylinricl Shells) The region boune by y = x, y = x n x = 0 is shown bove. This region is rotte bout the y-xis to generte soli. [0 pts] Use the shell metho to clculte the volume of the soli. First we clculte tht x = x 4x 4x + = x 4x 5x + = 0 x 5 4 x + 4 = 0 (x )(x 4 ) = 0. Since ( ) 4 = = 4, the curves must intersect when x =. As shown on the figure bove, we hve tht Therefore the volume of the soli is shell rius = x shell height = x (x ) = x x +. V = = π π ( )( shell shell rius 0 x 3 0 height) x x + x x [ = π 5 x 5 3 x3 + x ( = π = 7π 5. ] 0 ) π( ) Volume = 4/8

5 Question 5 (Inverse Trigonometric Functions) 3 r [0 pts] Clculte 5 4r + 8r. [HINT: First write 5 4r + 8r in the form u.] First note tht 5 4r + 8r = 5 4(r r) = 5 4(r r + ) = 5 4(r r + ) + 4 = 9 4(r ) Let u = (r ) = r. Then u = u r r = r. It follows tht 3 r 5 4r + 8r = 3 r 9 4(r ) = 3 u 3 u = 3 u sin 3 + C = 3 ( r sin 3 ) + C. 3 r 5 4r + 8r = 5/8

6 Question 6 (Ineterminte Forms) [9 pts] Clculte lim (x π ) sec x. x π [Stte which rules, if ny, you re using.] We clculte tht lim (x π ) sec x = lim (x π ) ( ) x π x π cos x x π = lim x π cos x ( ) x x π = lim x π x cos x = lim x π sin x by l Hôpitl s Rule. = = lim (x π ) sec x = x π 6/8

7 this pge is empty 7/8

8 cos θ = sin ( π θ) cos θ + sin θ = + tn θ = sec θ + cot θ = cosec θ cos(a + B) = cos A cos B sin A sin B sin(a + B) = sin A cos B + cos A sin B cos θ = cos θ sin θ sin θ = sin θ cos θ cos θ = ( + cos θ) sin θ = ( cos θ) tn x = sin x cos x sec x = cos x cot x = cos x sin x x xn = nx n sin x = cos x x cos x = sin x x x tn x = sec x tn x x = ln sec x + C sec x = sec x tn x x sec x x = ln sec x + tn x + C x cot x = cosec x cot x x = ln sin x + C cos 0 = cos 0 = sin 0 = sin 0 = 0 cosec x = csc x = sin x cosec x = cosec x cot x x cosec x x = ln cosec x + cot x + C cos π 6 = cos 30 = 3 cos π 4 = cos 45 = cos π 3 = cos 60 = cos π = cos 90 = 0 sin π 6 = sin 30 = sin π 4 = sin 45 = sin π 3 = sin 60 = 3 sin π = sin 90 = x sin x = x x tn x = x sec x = +x x x x ex = e x x ln x = x (uv) = uv + u v ( u v ) = u v uv v (f g) (x) = f (g(x)) g (x) ( f ) (x) = f (f (x)) sinh x = ex e x cosh x = ex +e x cosh x sinh x = sinh x = sinh x cosh x cosh x = cosh x = cosh x sinh x cosh x+ sinh cosh x x = tnh x = sech x coth x = + cosech x sinh x = cosh x x x tnh x = sech x cosh x = sinh x x x coth x = cosech x v(f) = b f(x) x b b V = A(x) x b V = π ( R(x) ) x b ( (R(x) ) ( ) ) V = π r(x) x b V = π ( shell )( shell rius height) x b ( ) y L = + x x b ( ) y S = πy + x x sech x = sech x tnh x x cosech x = cosech x coth x x sech x = cosh x cosech x = sinh x coth x = tnh x x sinh x = ( > 0) +x x cosh x = (x > > 0) x x tnh x = x (x < ) x coth x = x (x > ) x sech x = x cosech x = (0 < x < ) x x (x 0, > 0) x +x 8/8

Benzer belgeler

Do not open the exam until you are told that you may begin.

Do not open the exam until you are told that you may begin. ÖRNEKTİR ÖRNEKTİR ÖRNEKTİR ÖRNEKTİR ÖRNEKTİR OKAN ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 03.11.2011 MAT 461 Fonksiyonel Analiz I Ara Sınav N. Course ADI SOYADI ÖĞRENCİ NO İMZA Do not open