TC GAZİ ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ İLKÖĞRETİM ANABİLİM DALI SINIF ÖĞRETMENLİĞİ BİLİM DALI

Transkript

1 TC GAZİ ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ İLKÖĞRETİM ANABİLİM DALI SINIF ÖĞRETMENLİĞİ BİLİM DALI ÖĞRETMENLERİN GEOMETRİ ÖĞRETİMİNE İLİŞKİN GÖRÜŞLERİ VE SINIF İÇİ UYGULAMALARIN VAN HİELE SEVİYELERİNE GÖRE İRDELENMESİ ÜZERİNE FENOMENOGRAFİK BİR ÇALIŞMA DOKTORA TEZİ Hazırlayan Özlem DOĞAN TEMUR ANKARA- 2007

2 ii TC GAZİ ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ İLKÖĞRETİM ANABİLİM DALI SINIF ÖĞRETMENLİĞİ BİLİM DALI ÖĞRETMENLERİN GEOMETRİ ÖĞRETİMİNE İLİŞKİN GÖRÜŞLERİ VE SINIF İÇİ UYGULAMALARIN VAN HİELE SEVİYELERİNE GÖRE İRDELENMESİ ÜZERİNE FENOMENOGRAFİK BİR ÇALIŞMA DOKTORA TEZİ Hazırlayan Özlem DOĞAN TEMUR Danışman Yrd. Doç. Neşe TERTEMİZ ANKARA- 2007

3 JÜRİ VE ENSTİTÜ ONAY SAYFASI iii

4 iv ÖNSÖZ Son yıllarda matematik öğretimi alanında çok önemli değişiklikler ve gelişmeler görülmüştür. Matematik öğretimi alanında görülen bu değişiklikler kendini geometri alanında da hissettirmiştir. Özellikle günümüzde eğitimciler geometri öğretimine büyük bir önem vermekte, etkili bir geometri öğretimi gerçekleştirebilmek için çaba harcamaktadırlar. Bu araştırma öğretmenlerin birinci kademe geometri öğretimine ilişkin görüşlerini alarak sınıf içi uygulamalarının van Hiele seviyelerine göre irdelenmesine yönelik olarak fenomenografik olarak incelenmesine dayalı bir çalışmadır. Araştırmanın birinci bölümünde matematik öğretimi alanında genel bilgiler verilmiş ve geometri öğretiminin yeri ve önemi konusunda irdelemeler yapılmış, bu konuyla ilgili araştırmalara yer verilmiştir. İkinci bölümde araştırmanın yöntemi olan nitel araştırma yöntemlerinden fenomenografi yöntemine ilişkin bilgiler verilmiştir. Üçüncü bölümde ise verilerin analizi bulgular ve yorumlara yer verilmiştir. Dördüncü bölüm bulgulara dayalı olarak tartışma bölümü, beşinci bölüm ise sonuç ve öneriler bölümüdür. Araştırmanın her aşamasında görüş ve önerileriyle bana destek olan Sayın Hocam Yrd. Doç.Dr. Neşe Tertemiz e, araştırma tamamlanıncaya kadar ihtiyacım olan her anda desteğini esirgemeyen hocalarım Doç.Dr.Ahmet Arıkan ve Yrd.Doç.Dr.Melek Çakmak a desteklerinden dolayı saygı ve teşekkürlerimi sunuyorum. Araştırmamın başından sonuna kadar evde, okulda, her yerde bana destek olan eşim Dr. Turan Temur a, bir yandan moral kaynağım diğer taraftan çalışma boyunca denek olarak bana destek olan canım kızım Efsa Ece Temur a, tezle ilgili çalışmalarım sırasında daha iyi çalışabilmem için çaba harcayan sevgili annem, babam ve kardeşlerime, sınıflarında gözlem yapıp görüşlerini aldığım sayın sınıf öğretmenlerine çok teşekkür ediyorum. Özlem Doğan TEMUR Ankara, 2007

5 v ÖZET ÖĞRETMENLERİN GEOMETRİ ÖĞRETİMİNE İLİŞKİN GÖRÜŞLERİ VE SINIF İÇİ UYGULAMALARIN VAN HİELE SEVİYELERİNE GÖRE İRDELENMESİ ÜZERİNE FENOMENOGRAFİK BİR ÇALIŞMA Doğan Temur, Özlem Doktora, Sınıf Öğretmenliği Bilim Dalı Tez Danışmanı:Yrd. Doç. Dr. Neşe TERTEMİZ Aralık 2007 Öğretmenlerin birinci kademe geometri öğretimine ilişkin görüşleri ve sınıf içi uygulamalarının van Hiele seviyelerine göre irdelenmesine yönelik olarak desenlenen bu çalışma nitel bir araştırmadır. Araştırma Ankara ili Çankaya ilçesi Maltepe semtindeki bir özel İlköğretim Okulunun 1, 2, 3, 4 ve 5. sınıf öğretmenleri ile yapılmıştır. Araştırmaya katılan öğretmenlerden veriler gözlem ve görüşme tekniği kullanılarak toplanmış ve fenomenografik analize uygun olarak incelenmiştir. Araştırmada aşağıdaki sonuçlara ulaşılmıştır: 1. Öğretmenlerin geometrik şekil öğretim sürecinde gerçek yaşamla ilişkilendirmeye dikkat ettikleri gözlenmiştir. 2. Yapılan görüşmelerde öğretmenler, geometrik şekiller arasında benzerlikler kurarak ilişkilendirme yapmanın ve araç gereç kullanmanın önemine inandıklarını belirtmişler fakat derslerini işlerken bu noktaya yeterince dikkat etmemişlerdir. 3. Tüm öğretmenler kendileriyle yapılan görüşmelerde çizim yaptırmanın görselleştirme, somutlaştırma ve kalıcılığı sağlama açısından önemli olduğunu, şekiller arasındaki benzerlik ve farklılıkları öğrenmenin ve geometrik şekillerin özelliklerini listelemeye dayanan tanım yaptırmanın gerekli olduğunu belirtmişler fakat beşinci sınıf öğretmeni dışındaki diğer öğretmenler bu noktaları yeterince göz önüne almamışlardır. 4. Öğretmenlerin çoğunluğu çizgiden şekle gitmenin uygun olduğunu, iki öğretmen ise geometri öğretimine üç boyutlulardan başlanmasının daha uygun bir yol olduğu görüşündedirler. Öğretmenlerden üçü geometri öğrenmede başlıca etkeni gelişim özellikleri olarak görürken, ikisi iyi tasarlanmış öğretim etkinliklerinin daha etkili olduğu görüşündedirler. Yukarıda sıralanan tüm bu sonuçlardan hareketle öğretmenlerin geometri derslerini deneyimlerine dayalı etkinliklerle işledikleri söylenebilir.

6 vi ABSTRACT A PHENOMENOGRAPHIC ANALYSIS OF TEACHERS' VIEWS AND CLASSROOM APPLICATIONS REGARDING GEOMETRY TEACHING ACCORDING TO VAN HIELE LEVELS Doğan Temur, Özlem PhD, Primary Education Department Thesis Advisor: Assoc. Prof. Dr. Neşe TERTEMİZ December 2007 A qualitative study was undertaken to analyze teachers views regarding first-grade geometry teaching and classroom applications according to the van Hiele theory of geometric thought. The study was carried out with Grade 1 to 5 primary school teachers (n=5) at a private Primary Education School in the Çankaya district of Ankara, Turkey. The study employed observation and interview techniques and the data obtained was analyzed in accordance with phenomenographic analysis. The following results were obtained from the study: 1. It was observed that, in the process of teaching geometric shapes, teachers took care to associate the shapes with real life examples. 2. When interviewed, participating teachers stated that they believed in the importance of making associations between the geometric shapes by pointing out similarities and utilizing tools and devices. However, they did not pay sufficient attention to this point when they gave their courses. 3. In interviews, all of the teachers reported that drawing is important for facilitating visualization, reification and permanence, and; That definitions should be taught, based on listing the properties of the geometric shapes and learning the similarities and differences between the shapes. However, apart from the fifth-grade teachers, none of the teachers paid enough attention to this point. 4. The majority of the teachers thought that proceeding from line to shape is appropriate, while two teachers thought that starting geometry teaching with three dimensional shapes was a more appropriate method. While three of the teachers considered developmental characteristics as the principal factor in geometry teaching, two thought that properly-designed teaching activities were more effective. Based on the above results, it can be suggested that teachers structured their geometry courses based on their own experiences.

7 vii İÇİNDEKİLER JÜRİ VE ENSTİTÜ ONAY SAYFASI...İİİ ÖNSÖZ...İV ÖZET... V ABSTRACT...Vİ TABLOLAR LİSTESİ...Xİ 1. BÖLÜM GİRİŞ Kavramsal Çerçeve Geometri Öğretimi Uzamsal Kavramların Gelişimi Geometrik Düşünme Modelleri Van Hiele nin Geometrik Düşünme Seviyelerine Uygun Kullanılabilecek Etkinlikler Sıfır (0) Seviyede Öğretim Birinci Seviyede Öğretim İkinci Seviyede Öğretim Van Hiele Seviyelerinin Karakteristiği İlk seviyelerin asıl elementlerinin sonraki seviyelerde olması Hiyerarşi Yarıda Bırakılma Dil Seviyelerin Yetersizliği Eğitimin Rolü Matematik Programı ve Geometri Geometri Programının Öğrenme Alanları ve Amaçları Öğretim Programında Geometri Kazanımları Araştırmanın Gerekçesi ve Önemi... 34

8 viii Araştırmanın Amacı Araştırmanın Problemi Araştırma Soruları Sınırlılıklar Varsayımlar BÖLÜM İLGİLİ ARAŞTIRMALAR BÖLÜM YÖNTEM Nitel Araştırma Fenomenografi Veri Toplama Fenomenografik Çalışmanın Analiz Aşamaları Araştırmada Kullanılan Veri Toplama Araçları ve Verilerin Analizi Bireysel Görüşme Bireysel Görüşme Formu Güvenirliği Gözlem Katılımcılar ve Özel Okula Ait Kısa Bilgiler Araştırma Yapılan Okul BÖLÜM BULGULAR VE YORUM Alt Problem 1: Öğretmenlerin Görüşleri van Hiele Seviyeleriyle Ne Derece Örtüşmektedir? Soruya Verilen Cevapların Analizi a. Sorusuna Verilen Cevapların Analizi b. Sorusuna Verilen Cevapların Analizi c. Sorusuna Verilen Cevapların Analizi c.a Sorusuna Verilen Cevapların Analizi... 84

9 ix 2. Soruya Verilen Cevapların Analizi Soruya Verilen Cevapların Analizi Soruya Verilen Cevapların Analizi Soruya Verilen Cevapların Analizi Soruya Verilen Cevapların Analizi Soruya Verilen Cevapların Analizi Alt Problem 2: Öğretmenlerin Uygulamaları van Hiele Seviyeleriyle Ne Derece Örtüşmektedir? Birinci kategori: Gerçek yaşamla ilişkilendirme İkinci kategori: Geometrik cismin ve şeklin özelliklerini vurgulama Üçüncü kategori: Araç- gereç kullanımı Dördüncü kategori: Öğretmen yanılgıları, bilgi eksiklikleri ve geçiştirmeler Beşinci kategori: Çizim yaptırma Altıcı kategori: Tanımlamalar ve açıklamalar yaptırma Yedinci kategori: Tahmin ve çıkarım yaptırma Sekizinci kategori: Şekiller arası ilişkiler kurma Dokuzuncu kategori: Farklı bakış açılarından şekilleri tanıma BÖLÜM TARTIŞMA Görüşmelerden Elde Edilen Bulguların van Hiele Seviyelerine Uygunluğunun Değerlendirilmesi Gözlemlerden Elde Edilen Bulguların van Hiele Seviyelerine Uygunluğunun Değerlendirilmesi Gözlem ve Görüşme Bulgularının Tutarlığı BÖLÜM SONUÇ ve ÖNERİLER Sonuçlar Öneriler

10 x KAYNAKLAR EKLER EK. 1 GÖRÜŞME SORULARI EK. 2 GÖZLEM FORMU EK 3: 2, 3, 4 ve 5. SINIF GEOMETRİ DERSLERİNDE ÖĞRENCİLERİN DEFTERLERİNDE TUTTUKLARI NOTLARDAN ÖRNEKLER

11 xi TABLOLAR LİSTESİ Tablo 1.1: Geometri ve Farklı Disiplinler...25 Tablo 4. 1: Birinci Soruya Verilen Cevapların Analizi..69 Tablo 4.2: 1.a. Sorusuna Verilen Cevapların Analizi.78 Tablo 4. 3: 1.b. Sorusuna Verilen Cevapların Analizi 80 Tablo 4. 4: 1.c. Sorusuna Verilen Cevapların Analizi 82 Tablo 4. 5: 1.c.a Sorusuna Verilen Cevapların Analizi..84 Tablo 4. 6: 2. Soruya Verilen Cevapların Analizi...87 Tablo 4.7: 3. Soruya Verilen Cevapların Analizi Tablo 4. 8: 4. Soruya Verilen Cevapların Analizi..92 Tablo 4. 9: 5. Soruya Verilen Cevapların Analizi..95 Tablo 4.10: 6. Soruya Verilen Cevapların Analizi...97 Tablo 4. 11: 7. Soruya Verilen Cevapların Analizi 99

12 1. BÖLÜM Birinci bölümünde giriş, kavramsal çerçeve, geometri öğretimi, uzamsal kavramların nasıl geliştiği, geometrik düşünme modeli ve özellikleri, van Hiele geometrik düşünme seviyeleri, geometri programının öğrenme alanları ve amaçları araştırmanın gerekçesi ve önemi, çalışmanın amacı araştırmanın problemi ve araştırma soruları, araştırmanın kapsam ve sınırlılıkları ile varsayımları hakkında bilgi verilmektedir Giriş Yaşadığımız çağda eğitim, ekonomi, teknoloji vb. alanlarda gelişim hızla sürmekte ve bu gelişim süreci hayatın her alanında kendisini göstermektedir. Bilimde ve teknolojide karşılaştığımız hızlı gelişme çoğu zaman insanoğlunu şaşırtmakta ve bu gelişmeyi takip etmekte insanoğlu zorlanmaktadır. Gelişmeyi takip etmenin zorluğu kadar gelişimle birlikte hızla ortaya çıkan problemleri çözmek de matematiksel düşünce yapısını gerektirmektedir. Günlük yaşamdaki matematikten söz edildiğinde, gidilecek yere vaktinde varabilmek için sabah kaçta kalkılması gerektiğini hesaplamakla başlayan ve gün boyu evde, yolda, alışverişte, TV izlerken süren dört işlemli hesaplamalar ya da sayma işlemleri anlaşılmaktadır. Oysa yaşamın içindeki matematik yalnızca bunlardan oluşmaz. Sayılar olmadan düşünürken de günün önemli bir bölümünde matematik kullanılmaktadır. Bir sorunu çözerken eldeki veriler sıralanır, bunlardan yola çıkarak çözümler üretilir. Her düşünme matematiksel değildir, ama sorun çözme üzerinde matematiksel düşünmenin çok önemli bir katkısı vardır (Umay, 1996).

13 2 Matematiksel düşünce insanların günlük yaşamlarında karşılarına çıkan olaylara sistemli ve zaman kaybetmeden yaklaşmalarıdır. Matematiksel düşünce yapısına sahip birey bir olayı tanımlama, anlama, irdeleme, çözümü tahmin etme, uygun genellemelere ulaşma, soyutlama, ispat, analiz sentez gibi davranışları sergileyebilen kişi olarak düşünülmektedir. Bu davranışları sergileyen bireylerin ise başarılı olmaları beklenmektedir. Matematiksel düşünce yapısını, onu oluşturan matematiğin ne olduğuna ve matematiğin özelliklerine bakarak cevap verilebilir. Buna göre matematik bir disiplin, bilgi alanı, iletişim aracı, bir düşünce biçimi, mantıksal bir sistemdir. Ayrıca matematik ardışık ve yığmalıdır, birbiri üzerine kurulur (Aksu, 1985). Baykul (2005) a göre matematik nedir? Sorusunun cevabı, insanların matematiğe başvurmadaki amaçlarına, belli bir amaç için kullandıkları matematik konularına, matematikteki tecrübelerine, matematiğe karşı tutumlarına ve matematiğe ilgilerine göre değişmektedir. Bu çeşitlilik içinde insanların matematiği nasıl gördükleri ve onun ne olduğu konusundaki düşünceleri dört grupta toplanabilir: 1. Matematik günlük hayattaki problemleri çözmede başvurulan sayma, hesaplama, ölçme ve çizmedir. 2. Matematik bazı sembolleri kullanan bir dildir. 3. Matematik insanda mantıklı düşünmeyi geliştiren mantıklı bir sitemdir. 4. Matematik dünyayı anlamamızda ve yaşadığımız çevreyi geliştirmemizde başvurduğumuz bir yardımcıdır. Matematik, insan tarafından zihinsel olarak yaratılan bir sistemdir. Bu sistem yapılardan ve ilişkilerden oluşur. Bu bağıntılar herkes tarafından yaygın olarak kullanılmaktadır. Öyle ki hayatında hiç okula gitmemiş olan herkes dört kişilik hazırlanmış olan bir sofraya oturmak için dört sandalye gerektiğini ya da kapının önünde on ayakkabı gördüğünde içerde beş kişinin bulunduğunu bilir. İnsanlar matematiği okuma yazmayı bilmeden anadilini öğrendiği gibi sezgileriyle

14 3 öğrenmektedir. Nasıl konuşurken sözcükleri ardı ardına belli kurallara ve yapılara uygun olarak sıralanıyorsa, düşünürken de matematiksel pek çok kavram ve teknikleri kullanarak bir düşünme zinciri oluşturulup, problemlere çözümler üretilebilmektedir (Umay, 1996, s.146). Matematik insanların ortak düşünme aracıdır. İnsanın kendisini ve evreni tanımasına yardımcı olur. Matematik tüm bu etkinliklerin de temelini oluşturur. Matematiksel düşünme becerisi kazanmış olan bireyler her türlü sorunu çözmede başarılı olurlar. Uygun bir tepki ya da davranışta bulunmak her şeyden önce sağlam ve işlek bir akıl yürütmeye dayanır. Matematik insana akıl yürütme alışkanlığı veren bir bilim dalıdır (Başer, 1996). Geometri, matematiğin çok önemli bir parçasıdır. Eski dönemlerden bu yana insanoğlu geometriye ilgi duymuş ve çeşitli çalışmalar yapmıştır. Attığımız her adımda matematiği ve geometriyi görmek olasıdır. Her meslek matematik ve geometriyi içerebilir. Mühendis ya da mimar, doktor ya da ressam ilgilendikleri her alanda ve konuda muhakeme yapmak zorundadır. Kısacası matematik ve geometri hayatın her alanında çok önemlidir. Geometri konuları insanların ilk dikkatini çeken konulardır. Bir yüzey parçasını doğru olarak bölme gereksinimi, cisim ve biçimleri ölçme ve sayı ile anlatma bilgisi olan geometriyi doğurmuştur. Bu nedenle geometri dersinin, insanların günlük yaşamında önemli bir yeri vardır (Binbaşıoğlu, 1981). Geometri içinde yer alan en önemli ögeler geometrik şekiller ve şekillerle ilgili kavramlardır. Geometri ile ilgili hazırlanan programlar incelendiğinde geometrik cisim ve şekillerin temel alındığı ve cisim ve şekilleri karşılayan kavramlar doğrultusunda hazırlandığı dikkati çekmektedir. Geometrik kavramlarla ilgili formal bilginin ilköğretim yıllarında oluştuğu düşünülerek öğrencilere bu kavramlarla ilgili zengin öğrenme yaşantıları sağlanmalıdır. Geometrik şekillerle ilgili bilgi ve işlemler öğrencilerin gelişimine iki şekilde katkı sağlamaktadır: İlki,

15 4 geometrik şekiller geometrik durumların daha kolay anlaşılmasını sağlayan şekilsel temsilleridir. İkincisi, geometrik şekiller şekillerin algılanmasında sezgisel bir süreci başlatmaktadır ve algılanabilen nesneler arasında bağlantı kurabilmeyi sağlamaktadır (Charalambus, 1997) Kavramsal Çerçeve Günümüzde matematik ve teknoloji kavramları birlikte anılır hale gelmiştir. Bilginin her geçen gün önemini arttırdığı ve değişen bilgiyle birlikte matematiği kullanabilme ve anlayabilme gereksiniminin artması matematik eğitimine daha çok önem verilmesi gerekliliğini ortaya koymaktadır. Matematik eğitimi bireylere fiziksel dünyayı ve sosyal etkileşimleri anlamaya yardımcı olacak geniş bir bilgi ve beceri donanımı sağlar. Matematik eğitimi bireylere çeşitli deneyimlerini analiz edebilecekleri açıklayabilecekleri tahminlerde bulunacakları ve problem çözebilecekleri bir dil ve sistematik kazandırır. Ayrıca yaratıcı düşünmeyi kolaylaştırır ve estetik gelişimi sağlar. Bunun yanı sıra çeşitli matematiksel durumların incelendiği ortamlar oluşturarak bireylerin akıl yürütme becerilerinin gelişmesini hızlandırır (İlköğretim Matematik Dersi Öğretim Programı, 2005). Öğrencilerin becerilerini geliştirmek için matematik eğitimcilerinin bilgiyi iyi analiz etmeleri gerekmektedir. Bilginin kavramsal bilgi ya da işlemsel bilgi olup olmadığını ayırt etmek matematik eğitiminin kalitesini arttıracaktır. Kavramsal bilgide anlam önemlidir. İşlemsel bilgi ise rutin matematiksel problemlerde kullanılan kural ve işlemleri içerir. Matematik öğrenmek için hem işlemsel hem de kavramsal bilgiye ihtiyaç vardır. Kavramsal bilgi işlemsel bilgiye anlam kazandırarak ona destek olur. Böylece anlama yeni bilginin mevcut bilgilerle olan bağlantısının nitelik ve niceliğinin bir ölçüsü olarak tanımlanabilir Anlama yeni bilginin eskilerle ilişkilendirilme derecesidir. Her birey değişik anlama düzeylerine sahiptir. Çünkü bireylerin sahip oldukları bilgi yapıları birbirinden farklıdır. Kavram ve ilişkiler bir günde değil zamanla oluşur. Bir kavramın çok çeşitli anlamları ve diğer kavramlarla olan ilişkileri birbirlerine bağlandığında ilişkisel öğrenme

16 5 gerçekleşir (Olkun ve diğerleri, 2004, s.31-32). Günlük hayattaki öğrenmelerimiz dahil olmak üzere tüm öğrenmelerimizde kavramlar arası ilişki kurma çok önemlidir. İlişkisel öğrenmenin öneminin farkında olan eğitimciler öğrenmenin niteliğini arttırma çabası olan eğitimcilerdir. Öğrenmenin niteliği göz önüne alınarak gerçekleştirilen bir öğretim ise matematiğin yapısına uygun olacaktır. Van de Walle (2004) ye göre matematiğin yapısına uygun bir öğretim şu üç amaca yönelik olmalıdır: 1. Öğrencilerin matematikle ilgili kavramları anlamalarına, 2. Matematikle ilgili işlemleri anlamalarına, 3. Kavramların ve işlemlerin arasındaki bağları kurmalarına yardımcı olmak. Bu üç amaç ilişkisel anlama olarak adlandırılmaktadır. İlişkisel anlama matematikteki yapıları anlama sembollerle ifade etme ve bunun kolaylıklarından yararlanma matematikteki işlemlerin tekniklerini anlama ve bunları sembollerle ifade etme metotlar, semboller ve bağıntılar arasındaki bağıntılar veya ilişkileri kurma olarak açıklanabilir. İlişkisel anlama öğretime daha çok yük getirir, daha çok zaman alır. Ancak bu tür öğrenmenin öğrenci açısından birçok faydası vardır : 1. Öğrenme zevkli hale gelir, 2. Öğrenilenlerin hatırda tutulması kolaylaşır, 3. Yeni kavramlar daha kolay öğrenilir, 4. Problem çözme becerisi gelişir, 5. Matematiğe olan kaygı azalır ( Baykul, 2005, s.41). Öğretim faaliyetleri gerçekleştirilirken verilen kavramların somut ya da soyut olması çok önemlidir. Matematiğin alt dallarından biri olan geometri de soyut kavramlar ve ilişkiler üzerine inşa edildiği için ilköğretimin birinci kademesinde dikkatle verilmesi gereken bir alandır. Birinci kademe öğrencileri somut ve sonlu nesneleri, kavramları, ilişkileri anlayabileceğinden geometri konuları mümkün olduğunca çocuğun yaşadığı, görebileceği yakın çevreden ve algılayabileceği düzeyde ele alınmalıdır (İlköğretim Matematik Dersi Öğretim Programı, 2005). Bu

17 6 noktada hem çocukların öğrenme düzeyleri hem de yaşadıkları çevrede edindikleri geometri ile ilgili deneyimleri büyük önem kazanmaktadır. Dienes, matematiği kendi iç güzelliği olan bir sanat olarak öğrenilmesi gerektiğini savunmuştur. Dienes in matematik öğrenme teorisinin 4 ana ilkesi vardır. İlki dinamiklik ilkesidir ve bu ilkeye göre, yeni bir kavramın gerçek bir şekilde anlaşılması üç aşamalı evrimsel bir süreçtir demiştir. İkincisi algısal görsel değişkenlik ilkesidir. Bu ilkeye göre, eğer öğrenciler bir kavramı birden fazla model kullanarak öğrenirse kavramsal anlama en üst düzeyde olur. Üçüncüsü matematiksel değişkenlik ilkesidir. Bu ilkeye göre bir matematiksel kavramın genelleştirilmesi sürecinde, ilgili değişkenler sabit tutulurken, sistematik olarak ilgisiz değişkenlerin değiştirilmesi ile kavram sağlamlaştırılabilir. Sonuncusu ise inşa edicilik ilkesidir. Dienes e göre 2 çeşit düşünen vardır: yapılandırıcı düşünür ve analitik düşünür. Birey bir kavramın nasıl oluştuğunu, yapılandığını bilmeden analiz edemez. Öğrenciler kendi kavramlarını somut deneyimlerle kendileri inşa etmelidirler (Olkun ve Toluk, 2004). Baroody (1992) ye göre matematik yeteneklerinin edinimi okul başarısında ergenlik ve yetişkinlikte önemli rol oynamaktadır. Matematik yeteneklerinin bilişsel başlangıcında iyi bir anlama ve çevresel etkiler önemlidir. Bu etkiler bilişsel alanda matematik öğrenmeyi kolaylaştırma yollarını anlamada bize yardım etmektedir. Matematik yeteneklerinin erken gelişimi ve ailesel etkiler okul çağındaki matematik yeteneklerinin gelişimini etkilemektedir. Okul öncesi dönemde çocuklar birçok aritmetik beceriyi edinmektedirler (Akt: Assel ve diğerleri, 2003). Çocukların okul öncesinde evde, okulda, her yerde oynadığı oyunlar, karşılaştığı zengin uyarıcılar onların matematik becerilerini edinimlerinde faydalı olacaktır denilebilir. Sayma, toplama, çıkarma ve temel geometrik beceriler bu beceriler arasında gösterilebilir. Geary (1993) ye göre üç becerinin matematik edinimlerinin gelişiminde önemi büyüktür. İlki, muhtemelen en önce gelişeni sayısal iletişimler içindeki görsel sunumlardan edinilenlerdir. İkincisi, sunumlarda ve tahmin etmede kullanılan öğrenme içerisinde önemli bir yere sahip olan anlama kapasitesidir. Bu uzamsal

18 7 beceriden ziyade dil gelişimiyle ilgilidir. Üçüncüsü, akıldan yapılan ve yazılı hesaplamalar için gerekli olan süreci anlama yeteneğidir. Bu edinimler matematik becerilerinin başlangıcıyla ilgilidir ki bu edinimlerin çıkış noktası erken çocukluk dönemindedir. Hartje (1987) ye göre çocuklar saymayı ilk öğrendiklerinde tipik olarak bunu sayılabilen nesnelerin görsel uzamsal sunumlarıyla yaparlar. Bir gurup objeyi saymak için çocuklar genel olarak parmaklarını kullanırlar. Çocukların saymayı ve basit aritmetik becerileri öğrenmelerinde görsel uzamsal becerinin önemi büyüktür (Akt: Assel ve diğerleri, 2003). Görsel uzamsal beceriler hayatın her alanında önem taşımaktadır. Bu becerileri edinmiş bireyler çevresindeki nesneleri daha iyi görebilir, edindiği beceriler yardımıyla iletişim kurarken başarılı olur ve çevresindeki olaylar arasında sınıflandırmalar yapabilir. Nitelikli bir geometri öğretimi bireyin uzamsal becerilerinin gelişmesine katkı sağlayabilir Geometri Öğretimi Geometrinin konusu şekil ve cisimdir ve geometrinin insan hayatındaki yeri oldukça büyüktür. Kullandığımız ve satın aldığımız eşyanın çoğu geometrik bir yapıya sahiptir. Meslek elemanlarının (mimar, iç mimar, mühendis, peyzajcılar vs.) uğraşları içinde çokça geometrik şekil biçim ve desen yer alır. Bütün bunların geometrik olmasının nedeni eşyanın görevini daha iyi yapabilmesidir ( Altun, 1998). Geometri matematiğin nokta, doğru, düzlem, düzlemsel şekiller, uzay, uzaysal şekiller ve bunlar arasındaki ilişkilerle geometrik şekillerin uzunluk, açı, alan, hacim gibi ölçülerini konu edinen dalıdır. Çalışma alanının bu şekilde belirlenmesi, geometrik şekillerin özelliklerini ve bunlar arsındaki ilişkileri a) ölçü katmadan inceleyen b) ölçerek inceleyen olmak üzere iki kısımda düşünülmesine sebep olmuştur. Bunlardan birincisine ölçüsel olmayan geometri, ikincisine de ölçüsel geometri demek gelenekselleşmiştir. Geometri geometrik yapıları noktadan başlayarak sonraki kavramları öncekiler üzerine oturtularak inşa edildiği bir yapı içerisindedir. Geometri kavramlarının inşası noktadan cisme doğru bir durum arz eder (Baykul, 2005).

19 8 Olkun ve Aydoğdu (2003) ya göre eğitim öğretim sürecinde çocukların çevreyi ve olayları eleştirel biçimde gözleyip akranları ile görüş alışverişinde bulunarak öğretmenin düzenleme ve yol gösterme dışında öğrenci adına hiçbir ek eylemde bulunmadığı ortamlarda bilgi kazanmaları gerekmektedir. Bu eğitim öğretim türüne gerçekçi eğitim denmektedir. Bu yüzden çocuğun geometri adına yapacağı tüm zihinsel ve bedensel etkinlikler kavram ve bulguları ilk defa kendisi bulmuş ve kazanmış duygusu içinde gerçekleşmelidir. İlk eleştirel geometrik gözlemlerin yapıldığı, kavramların kazanıldığı, sezgilerin oluştuğu ilköğretim döneminde geometri öğretiminin önemi sonraki dönemlere oranla daha büyüktür. Öğrencilerin geometrik bilgi, beceri ve düşüncelerinin gelişmesi için geometrik şekilleri sınıflamaları, yeni şekiller oluşturmaları, çizim yapmaları, bilgisayarda veya elle şekiller oluşturmaları gerekmektedir. Sherard (1981, s.19-21) a göre geometri temel bir beceridir. Bunun nedenleri şöyle açıklanmaktadır: Geometri iletişim kurmada önemli bir yere sahiptir. Günlük konuşma ve yazı dilinde birçok geometrik terimlerden yararlanılmaktadır. Nokta, çizgi, kenar, köşe, paralel kavramları gibi. Objelerin şekillerini tanımlamada geometrik terminoloji kullanılmaktadır. Geometri gerçek yaşamda karşılaştığımız problemlere çözüm bulmada önemli bir uygulama alanına sahiptir. Geometri temel matematiğin diğer alt dallarında uygulama alanına sahiptir. Geometri matematiğin diğer alt dalları ile bütünleşmekte, aritmetik, cebir ve istatistik konularının anlatımında görsellik katmaktadır. Matematik öğretiminde geometrik modeller veya geometrik örneklerin önemli bir yeri vardır. Geometri sahip olduğu özellikler sayesinde insanlarda uzamsal algılama gücünü de sağlamaktadır. Geometri zihni harekete geçirme, zihin jimnastiği yapma ve problem çözme becerilerini geliştirme de bir araçtır. Geometri öğrencilerin

20 9 bakma, kıyaslama, ölçme tahmin etme, genelleme ve özetleme becerilerinin gelişimine fırsatlar sunar. Kültürel ve estetik yapılara bakıldığında birçok geometrik şekle rastlamak olanaklıdır. Bu kültürel ve estetik yapıları öğretmek için geometri iyi bir araçtır. Geometrik yapı ve formlar bize içinde yaşadığımız dünyanın doğal ve yapay yönlerini anlamamıza yardımcı olmaktadır. Yapılarda, gökdelenlerde geometrik yapı ve formlara rastlamak olanaklıdır. Bu sayılan özelliklerden anlaşılabileceği gibi geometri matematiğin önemli bir parçasıdır. İlköğretimde geometri konularının öğretimi matematiğin diğer konularının öğretimi kadar önemlidir. Çünkü matematik çalışmaları arasında eleştirici düşünme ve problem çözme önemli yer tutar. Geometri çalışmaları öğrencilerin eleştirici düşünme ve problem çözme becerilerinin geliştirilmesinde önemli katkı sağlar. Geometri matematiğin diğer konularının öğretiminde yardımcı olur. Geometri öğrencilerin içinde yaşadıkları dünyayı daha yakından tanımalarına yardım eder. Geometri öğrencilerin matematiği sevmelerinin bir aracıdır (Baykul, 2001, s.464). Geometriyi öğrencilerin sevmesinde en önemli rolü ise derste kullanılacak yöntem ve teknikler alacaktır. Bu yöntem ve teknikler öğrencileri tüm yönleriyle derse karşı motive ederek onların ilgisini çekecek nitelikte olmalıdır. Çocuklar daha okula gelmeden geometri ile ilgili birçok deneyime sahiptirler. Zamanlarının çoğunu şekillerle ilgili olarak araştırma, oyun ve yapılandırma ile geçirmektedirler. Oyun oynarken şekiller arası ilişkileri doğal olarak kurabilmektedirler. Çocuklar ellerinde bulunan şekilleri sınıflama yaparak, bir araya getirerek ve yuvarlayarak daha çok deneyim sahibi olurlar. Çocukların okula gelmeden önce öğrendikleri bu ilk deneyimler daha sonraki yıllarda geometri çalışmalarının da temelini oluşturmaktadır. Bu nedenle, çocukların daha okula başlamadan karşılaştıkları bu ilk deneyimler okul matematiğine uygun olarak eğitici ve istenilen düzeyde olmalıdır ( Burns, 2000, s.79).

21 10 İlköğretim boyunca öğrenciler birçok geometrik şekli tanımayı öğrenip, basit şekillerin çevre ve alanlarını belirlemek için formüllerle tanışmaktadırlar. Çocuklar ilk olarak çevrelerinde doğal olan ve insan yapımı olan nesnelerle karşılaşır ve böylece geometriyi öğrenmeye başlamaktadırlar. Çocuklar iki ve üç boyutlu şekilleri ilk olarak sezgileriyle sonrasında ise öğretimde kullanılan modeller yardımıyla kavramaktadırlar. Uygun modellerle edinilmiş deneyimler çocukların sezgisel anlamalarını da geliştirmektedir (Kennedy, 1980, s. 431). İlk çocukluk döneminde eğitimciler, çocukların geometrik şekilleri anlamalarını geliştirmede yardımcı olmalıdır. Bu yardım süreci 3, 4 ve 5 yaş çocuklarının öğretmenleri için daha da önemlidir. Çünkü bu yaşlardaki çocuklar üçgen ve dikdörtgenlerdeki kategorik sınırlamaları tanımlamakta ve şekillerle ilgili kavramları geliştirmektedir. Yine bu yaş çocukları bu şekillerin hem ortak hem de farklı özelliklerine dikkat ederek farklı olan özelliklere daha çok eğilim göstermektedirler. Örneğin: Onun kaç tane kenarı var, fakat oldukça uzun bir üçgendir. Öğretmenler öğrencilerin bir şekil kategorisini nasıl tanımlayarak algıladıklarını merak ederler. Buna gereksinim de vardır. Öğretmenler, kenarların ve açıların bütün özelliklerini ayırt etmede açıların büyüklüğünü, görünüm oranını, yönünü, üçgen ve dikdörtgenleri kavramada çocuklara yardım eder. Ayrıca birçok çocuğun noktalarla kenarlar arasındaki farkı anlayamadıkları gözlenmiştir. Bundan dolayı öğretmenler, şeklin matematiksel tanımını yapmadan önce bu terimleri açıklamaya gereksinim duyarlar. Öğrenciler tanımlamaya ve sınıflamaya çalışırken öğretmenler de şekil kategorileri hakkında, onların mantıksal yönünü sözlü olarak sormalıdırlar. Bu sözel durum sadece çocuğun bir kavramı anlaması hakkında öğretmene önemli bir bilgi sağlamakla kalmaz, aynı zamanda bilgi bazında, çocuğun daha çok bilimsel anlamayı zihinsel fonksiyonlarıyla birleştirmesi noktasında yardımcı olur (Çoban ve Dursun, 2003: 38). Akan (2001) tarafından yapılan araştırmaya göre öğretmenlerin matematik dersinde yöntem ve teknik konusunda problem yaşadıkları görülmektedir. Bu konuda yeterli bilgi sahibi olmayıp kullandıkları yöntemlerle öğrencilerinin dikkatini çekememektedirler. Bu çalışma öğretmenlerin klasik yöntemi daha çok kullanıp

22 11 öğrencilerin dikkatlerini çekecek yöntem ve tekniklere yer vermediklerini göstermektedir. Geometrinin matematiğin diğer konularına göre kendine has bir yapısı vardır. Bu nedenle öğretmenlerin matematik dersinde yaşadıkları problemleri tespit edip öğrencilerin uzamsal becerilerini geliştirecek, onların ilgilerini çekebilecek, muhakeme yapmalarına yardımcı olacak etkinliklerle derslerini zenginleştirmeleri faydalı olacaktır. Aşkar ve Baykul (1987) a göre geometrinin yapısı tümdengelimci bir öğretime çok uygundur. Hatta bu öğretim türü öğretmene bazı konularda çekici ve kolay gelebilir. Ancak, geometrik şekillerin kavratılmasına bu şekillerin özelliklerini araştırma ile başlanabilir. Daha sonra modelleri inceleyerek özellikleri bulunabilir ve buna dayalı genellemeler yapılabilir. Son olarak da genellemelerin doğruluğu denetlenir. Böyle bir yaklaşım öğrencilere matematiğin birçok konusunun yeniden keşfetme zevkini verecektir. Bu da bilgi ve becerilerin daha çok kalıcı olmasını sağlayacaktır. Hoffer a (1981, s.11-13) göre geometri öğretiminde öğrencilere kazandırılması gereken bazı temel beceriler vardır. Bu temel becerileri: görüş becerileri, söz becerileri, çizim becerileri, mantık becerileri ve uygulama becerileri olmak üzere beş grupta toplamak mümkündür. Görüş becerileri (Visual Skills) : Geometri gözle ilgili bir konudur. Öğrenci şekle baktığında yalnız şekli değil, şeklin gizlediği olanakları da görebilmelidir. Öğrenciler geometriyi daha çok şekillerle ve uygulamalı olarak araç gereçlerle öğrenmeye ihtiyaç duymaktadırlar. Söz Becerileri (Verbal Skills): Matematikte dil önemlidir. Söz becerileri gelişmemiş öğrenciler anlıyorum ama anlatamıyorum biçiminde, yakınırlar. Öğrenciler geometriyle ilgili birçok materyal ve konu hakkında okumak ve geometrik kanıtlarını yazabilmek için sorular sormaktadırlar. Bunlar ise zengin söz becerilerini gerektirmektedir.

23 12 Çizim Becerileri (Drawing Skills): Geometri öğrencilerin düşüncelerini şekillerle aktarmalarına olanak sağlamaktadır. Bu nedenle öğrencilere bu becerinin kazandırılması gerekmektedir. Çizim becerileri öğrencilerin geometrik ilişkileri öğrenmeleri için hazırlayıcı bir rol üstelenmektedir. Mantık Becerileri (Logical Skills): Mantık becerileri gerekli ve yeterli koşulları tanımak, neyin tanım, neyin teorem olduğunu ayırt etmede çok önemlidir. Öğrencilerin mantık becerilerini geliştirmeleri için görsel ve sözel düşüncelerle çalışmalar yapmaya ihtiyaçları vardır. Uygulama Becerileri (Applied Skills): Uygulama becerileri dünya ile ilgili somut problemleri geometri problemine dönüştürebilmek için gerekli olan becerilerdir. Schwarz ve Hershkowitz (1999); Vinner (1991), öğrenci ve öğretmenlerin geometrideki temel kavramlar üzerindeki, kavram imajlarını araştırmışlar ve her kavramın bir ya da daha çok prototip (örneğe) sahip olduğunu bulmuşlardır. Benzer olarak Wilson (1983) çocukların dikdörtgeni tanımlamaları ve dikdörtgen kavramını tanımlamak için konu hakkında sorular sorarak gerekli örnekleri seçmeleri arasındaki ilişkiyi araştırmıştır. Öğrencilerin örnekleri seçerken daha çok kendi prototipleri üzerinde durduklarını, kendi tanımlamaları üzerinde ise daha az durduklarını, öğrencilerin örnekleri seçerken uygun olmayan örnekler de yazdıklarını bulmuştur. Hoffer (1983) öğrencilerin eğer prototip bir yamuğa benzemiyorsa eşit açılı bir yamuğu çocukların yamuk olarak adlandırmadıklarını bulmuştur. Hershkowitz (1989) ise öğrencilerin kareyi dört eşit kenarının diğer dörtgenlerde olmadığı için dörtgen olarak düşünmediklerini bulmuştur ( Akt: Ubuz ve Üstün, 2005). Geometrik kavramların doğru öğrenilmesinde ve kullanılmasında öğrencilerin kavramlar hakkında sahip oldukları geometrik bilgilerin doğruluğunun ve eksikliklerinin saptanmasının öneminin büyük olduğu söylenebilir. Matematik eğitiminde kavramlar matematiksel tanımlamalardan gelir ve dolayısıyla bu tanımlamalar kritik olan ve olmayan niteliklere sahiplerdir. Sözel tanımlamalar kavramı tanımlamada minimal etkiye sahiplerdir ( Herskowitz, 1990). Herskowitz (1989, 1990); Shwarz ve Herskowitz (1999), bir kavramın adı

24 13 duyulduğunda ya da kavram görüldüğünde daima kavramın imajı çağrışır, kavramın tanımı değil. Kavram imajı çoğunlukla kavramla ilişkili olan bilişsel yapıdadır ki bu yapı görsel sunumlar, deneyimler ve kavramın adıyla ilişkili zihinsel resimler içerir. Bir kavramın tekrar adlandırılmasındaki zihinsel süreç boyunca oyunlar içerisinde verme, kavram üzerindeki farkındalık ya da farkında olmama kavramın anlamını ve kullanımını etkiler. Bu özel örneklerle sık sık prototipler adlandırılır. Bu prototipler bizim kişilerin adlandırma yeteneğini etkileyen ve kişilerin prototiplere ait örnekleri kullanma eğilimlerini etkileyen görsel - algısal sınırlarımızın sonucundadır ( Akt: Ubuz ve Üstün, 2005) Uzamsal Kavramların Gelişimi Uzamsal kavramların öğrenilmesinde çocuk ilk önce çevresiyle etkileşimde bulunmakta, görme ve dokunma hislerinin yardımıyla uzamsal tecrübelerinin hemen hemen tamamı temellendirilebilir. Daha sonra dil gelişmeye ve fiziksel çevredekiler bir anlam kazanmaya başlar. Aralarında Piaget, Bruner ve Denis gibi psikologların da bulunduğu birçok psikolog insan bilgisinin temelindeki özellikle matematikte somut objeleri kullanmak gerektiğine inanmaktadır. Piaget çok sayıda deneyinin sonucunda çocuklarda uzamsal kavramların gelişim teorisini ileri sürmüştür. O algılama ve sunumu arasında bir ayrım yapmıştır. Çocuklarda algılama yeteneğinin ve uzamsal imajları algılama gücünün iki yaş civarında gelişmeye başladığını ve yedi yaş civarında da mükemmel bir duruma doğru ilerlediğini söylemektedir. Piaget in yaptığı çalışmaların özellikle uzamsal düşüncenin gelişimi konusunda çok önemli katkıları olmuştur. Ancak bu teoriler alanla ilişki kurulduğunda bazı yönlerden eleştirilmektedir. a. Lesh ve Mierkiewich imajları algılamanın Piaget in dediği gibi net olmadığını, yapılan çalışmalarla bu durumun ortaya konduğunu ifade etmektedir. b. Piaget in yaptığı çalışmalar bazen farklı metotlar uygulandığında farklı sonuçlar göstermiştir. Weinzweigh, üçboyutlu şekillerin yüzeylerini kullanarak yapılan çizimler katıların bazı temel özelliklerinin iki boyutlu şekillerinin farklarının farkına

25 14 varması ile daha iyi geliştiğini iddia etmektedir. Fuson ve Murray (1978) in çalışmaları göstermiştir ki çocuklar şekiller küçük yapılı ise dokunulan şekilleri kolaylıkla algılayabilir, bu şekilde dokunsal ve görsel algıyı geniş bir şekilde yapılmış olan sistematik yaklaşımlarla ilişkilendirilemeyebilir. c. Piaget uzamsal fikirlerin gelişimini kendisinin geliştirdiği topoloji, izdüşüm ve öklid bağıntısına göre matematiğin mantıksal yapılanmasını kullanarak açıklamaktadır. Ancak Weinzweing ve Fuson (1978) Piaget nin matematiksel geçişlerdeki bu özellikleri tanımlayamadığını ifade etmektedir. Son yapılan çalışmalarla Darke topolojiksel fikirlerin daha önce gelişip adlandırılmaya başladığını ortaya koymuştur (Akt: Dickson, Brown ve Gibson, 1990). Görüldüğü gibi çocukların görsel uzamsal becerilerinin gelişiminde deneyim büyük bir öneme sahiptir. Gerek dokunarak, gerekse görsel olarak çocukların deneyim sahibi olması geometri öğrenmelerinde etkilidir. Yine görülüyor ki çocuklar çok küçük yaşlardan itibaren edindikleri uzamsal deneyimleri beceriye dönüştürmeye başlıyorlar. Bu noktada da özellikle öğretmenlerin geometri öğretimi konusunda daha dikkatli olmaları gerektiği söylenebilir. Van De Walle (2004, s.309) nın NCTM den aktardığına göre geometri önemlidir ve geometriye daha çok önem verilmelidir. Aşağıda sıralanan nedenler geometriye verilen önemin gerekliliğini vurgulamaktadır: Geometrik deneyimler problem çözme becerisini geliştirebilir. Uzamsal muhakeme problem çözme için önemlidir. Geometri oyunları matematiğin diğer alanlarındaki çalışmalarda da anahtar rol üstlenir. Örneğin, oran orantı ve ölçüler konuları geometriyle direkt olarak ilişkilidir.

26 15 Birçok insan geometriyi günlük yaşamda kullanır. Bahçe planı yaparken, odasını düzenlerken gibi. Geometri eğlencelidir. Eğer öğrenciler geometri konusunda ilerlerlerse matematiğe daha çok efor harcayacaktır. Tsamir, Tirash ve Stavy (1998), öğrencilerin çokgenlerin çeşitli karakteristiklerini kıyaslama yollarını araştırmışlardır. Bu araştırmacılar öğrencilerin sonuç çıkarma eğilimleri üzerine odaklanmışlardır. Sonuçta çocukların çeşitli seviyelerde çokgenlerin açı ve kenarlarının eşitliğini tartıştıkları ve onlar için eşit açının anlamının eşit kenar ya da tam tersi olabildiğini bulmuşlardır. Bu muhakemenin ise sezgisel bir kural olduğunu vurgulamışlardır ( Akt: Ubuz ve Üstün, 2005). Geometri öğretiminin önemini anlamış eğitimciler çocukların sonuç çıkarma becerilerini geliştirme konusunda dikkatli olmalıdırlar. Çünkü geometri konularının öğretiminde muhakeme yeteneğinin etkisi büyüktür. İlköğretimde geometri konularının öğretimi matematiğin diğer konularının öğretimi kadar önemlidir. İlköğretimdeki matematik öğretiminde geometri konularına da yer verilmesinin sebepleri Baykul (2005) tarafından aşağıdakiler gibi sıralanmıştır: İlköğretimde matematik çalışmaları arasında eleştirel düşünme ve problem çözme önemli bir yer tutmaktadır. Bu bakımdan geometri çalışmaları, öğrencilerin eleştirel düşünme ve problem çözme becerilerinin geliştirilmesinde önemli katkı getirir. Geometri konuları matematiğin diğer konularının öğretiminde önemli bir öğe durumundadır. Örneğin kesir sayıları ve ondalık sayılarla ilgili kavramların kazandırılmasında ve işlemlerin tekniklerinin öğretiminde dikdörtgensel bölge, karesel bölge ve daireden büyük ölçüde yararlanılır.

27 16 Geometri, matematiğin günlük hayatta kullanılan önemli parçalarından biri olma özelliğindedir. Örneğin odaların şekli, binalar, süslemelerde kullanılan şekiller geometriktir. Geometri bilim ve sanatta da çok kullanılan bir araçtır. Örnek olarak mimarlar, mühendisler geometrik şekilleri çok kullanırlar. Diğer taraftan fizikte, kimyada ve diğer bilim dallarında geometrik özelliklerin fazlaca kullanılması önemli bir araç olmasına kanıt olarak gösterilebilir. Geometri, öğrencilerin içinde yaşadıkları dünyayı daha yakından tanımalarına ve değerini takdir etmelerine yardım eder. Örneğin, kristallerin, gökcisimlerinin şekil ve yörüngeleri birer geometrik şekildir. Geometri, öğrencilerin hoş vakit geçirmelerini, hatta matematiği sevmelerini sağlayan bir araçtır. Örneğin, geometrik şekiller, bunlarla yırtma, yapıştırma, döndürme, öteleme ve simetri yardımıyla eğlenceli oyunlar oynanabilir. Geometrinin günlük hayatın bir parçası olma, eleştirel düşünmeyi ve estetik duygusunu geliştirme gibi özellikleriyle matematik dersi içerisinde önemli bir yere sahip olduğu söylenebilir. Ele alınacak amaçlar Geometri dersinin bu özellikleri dikkate alınarak belirlenebilir. Geometride, dört amaç şu başlıklarda özetlenebilir: Şekiller ve özellikleri, konum, dönüşüm, görselleştirme. 1) Şekiller ve özellikleri; özellikler üzerine kurulu ilişkilerin çalışılması kadar iki ve üç boyutlu şekillerin özelliklerinin çalışılmasını kapsar. 2) Konum, koordinat geometrisi ya da nesnelerin uzayda ve düzlemde nasıl konumlandığını belirlemenin başka bir yolu anlamına gelir.

28 17 3) Dönüşüm; kayma, dönme ve öteleme gibi yön değiştirme çalışmaları ile simetri çalışmalarını içerir. 4) Görselleştirme; çevrede şekilleri tanıma, iki ve üç boyutlu nesneler arasında ilişkileri geliştirme ve nesneleri farklı açılardan tanıma ve çizme yeteneğini kapsar. Bu içerik amaçlarının önemi, sınıflar arasında ayırım yapan bir içerik çerçeve çalışması olmasıdır. Böylece, hem öğretmenler hem de program geliştirenler gelişmeyi değerlendirebilirler (Van De Walle, 2004). Günümüzde matematik öğretiminin daha nitelikli hale getirilmesinin gerekliliği üzerinde birçok çalışma yapılmaktadır. Geometri öğrenmenin matematiksel pek çok konuyu öğrenmeye katkı sağladığı yapılan araştırmalarla ortaya konulmaktadır. Geometri öğrenmeyi etkileyen pek çok etkeni ortaya çıkarmak amacıyla ve geometrik düşüncenin gelişimiyle ilgili pek çok araştırma yapılmıştır. Bu araştırmalar sonucunda geometrik düşünce ile ilgili modeller karşımıza çıkmaktadır Geometrik Düşünme Modelleri French (2004) in aktardığına göre geometri öğrenmede üç gelişim modeli bilinmektedir. Piaget ve Inhelder (1958) somut operasyonel dönemden formal operasyonel döneme geçişi ileri sürdükleri modelde anlatmaktadırlar. Öğrencilerin somut operasyonel dönemden formal operasyonel döneme geçişlerinin kolay olmadığını belirtmektedirler. Adey ve Shayer (1994) Piaget in fikrine ek olarak yüksek seviyelerde geometrik düşünme yeteneklerinin oluşabilmesinin iyi yapılandırılmış sınıf görevlerine bağlı olduğunu söylemektedir. Piaget in zihinsel gelişim için ortaya koyduğu dört aşama geometri için de geçerlidir. Bu dönemler; duyu- hareket dönemi, işlem öncesi dönem, somut dönem, soyut dönemdir. Piaget e göre çocukların ilk kavramları uzamsal kavramlardır.

29 18 Çocuklar insanlara ve nesnelere somut ve değişmez olarak bakmazlar. Bunun yerine uzamsal duyularını kullanırlar. Bu uzamsal bakış duyu hareket dönemi boyunca devam etmektedir. Fakat işlem öncesi dönemde çocukların insan ve nesnelere bakışları değişir. Çocuklar bu dönemde dört önemli uzamsal ilişkiyi geliştirmeye başlamaktadırlar. Bunlar yakınlık, ayırma, sıra ve çevirme olarak belirlenmiştir. Çocuklar nesnelere dokunmak ve onları hareket ettirmek için doğal olarak yakınlarında bulunan varlıklarla ilgilenmektedirler. Çocukların ayrılığı anlayabilmeleri için nesnelerin sahip oldukları parçaları açıkça görsel olarak fark etmeleri bunun için de bol bol çizim yapmaları gerekmektedir. Çocukların kendilerine sunulan modellerdeki sıralamayı ters çevirebildiklerinde sıralamayı anladıkları söylenebilir. Yine işlem öncesi dönemde çocukların çevirmeyi anlamalarına yardım etmek için çizgi ve düzlem üzerinde ve boşlukta şekillerin çevrilmesini içeren etkinliklerle baş başa bırakılması gerekmektedir (Kennedy, 1980, s.431). Van Hiele Geometrik düşünme modeli Dina van Hiele Geldolf ve eşi Pierre Marie van Hiele nin Utrecht Üniversitesinde aynı zamanda tamamladıkları (1957) doktora çalışmalarının bir ürünüdür. Hiele ler Hollandalı matematik öğretmenleridir. Dina doktora tezini tamamladıktan hemen sonra öldüğü için eşi Pierre kuramı geliştirmiştir. Van Hiele nin en iyi bilinen kitabı Structure and Insight isimli kitabıdır. Bu kitap teorinin ayrıntılarını sunmaktadır. Van Hiele çalışmasında teorinin yapısı ve teorinin dayandığı geometrik düşünme seviyeleri arasındaki ilişkiyi gözler önüne sermektedir. Matematik eğitiminde olgunluk ve dikkatin pedagojik durumunu tartışmaktadır. Bu çalışma yalnızca geometriyle sınırlı değildir. Bunun yanında aritmetik ve cebire kadar da uzanmaktadır (Golinskaia, 1997). Van Hiele nin geometrik düşünme modeli uzamsal düşünmenin beş hiyerarşik sınıfa ayrılmasını esas alır. Sınıfların her biri bir düzey belirtir ve geometri kavramlarında işe koşulan düşünme süreçlerini tanımlar. Her düzey, geometri kavramlarından hangilerinin ve ne kadarının kazanıldığını değil, insanların

30 19 geometrideki kavramlar üzerinde nasıl düşündüklerini ve bu düşüncelerin tiplerini belirtir. Bu düzeyler hiyerarşiktir. Bir düzeyde olabilmek için önceki düzeylerden geçilmesi gerekmektedir. Düzeyler zihinsel gelişimle ilgilidir, sadece yaşa veya zihinsel gelişim stratejilerine bağlı değildir. Bir ilköğretim öğrencisi ile lise öğrencisi aynı düzeyde olabilir. Bu düzeylerdeki geçiş öğretim konusuna, öğretim niteliğine ve öğrencilerin tecrübelerine bağlıdır. Öğrencileri keşfetmeye, eleştirici düşünmeye tartışmaya bir sonraki düzeydeki gelişimini ve sonraki düzeylere hızlı bir geçişi sağlamaktadır. Öğrencinin halen bulunduğu düzeye ve geometri konusuna uygun olmayan bir yaklaşım öğrenmenin gerçekleşmemesine sebep olur (Van de Walle, 2004, s.348). Piaget in teorisiyle van Hiele nin teorisi arasında büyük farklılıklar vardır. Piaget in araştırmaları gelişim psikolojisiyle ilgilidir. Geometrik düşüncenin gelişimle ilerleyeceğini vurgulamaktadır. Van Hiele ise geometrik düşünmenin öğrenme sürecindeki ilerlemesini tartışmaktadır. Piaget in kavram gelişimi için ortaya koyduğu evreler geometrik düşünce içerisindeki öğrenme sürecini açıkça anlatmamaktadır ( Van Hiele, 1986, s.101). Piaget in yaptığı çalışmaların özellikle uzamsal düşüncenin gelişimi konusunda büyük katkıları olmuştur. Fakat Lesh ve Mierkiewich (1978) Piaget in yaptığı çalışmaların farklı metotlar uygulandığında farklı sonuçlar verdiğini vurgulamaktadırlar. Piaget uzamsal düşünmenin iki yaş civarında oluşmaya başladığını ve yedi yaş civarında mükemmel bir duruma geldiğini belirtmektedir. Ancak Lesh ve Mierkiewich (1978) elli altmış günlük bebeklerin firizbiden dörtgeni ayırt edebildiklerini aktarırken Piaget yalnızca beş buçuk altı yaşlarında bu davranışın geliştiğini ifade etmektedir (Dicksonve diğerleri, 1984, s.15). Her matematiksel kavram ya da işlem gibi geometrik düşünce de belli evrelerden geçmektedir. Van Hiele (1986) yaptığı araştırmalar sonucunda çocukta geometrik düşüncenin gelişiminin beş evreden geçtiğini belirtmektedir. Bunlar görsel dönem, analitik dönem, informal tümdengelim (yaşantıya bağlı çıkarım), formal tümdengelim (çıkarım) ve en ileri dönemdir.

31 20 Seviye 1, Görsel Dönem: Birinci seviyedeki bir öğrenci geometrik şekilleri bir bütün olarak tanır. Bu öğrenci şekilleri görünüşleri itibariyle belirler, isimlendirir, karşılaştırır. Örneğin bu bir dikdörtgendir çünkü kapıya, pencereye benziyor gibi açıklamalar yapabilir. Öğrencinin geometrik şekillerin özel parçaları ve özellikleri hakkında fikir yürütmesi henüz mümkün değildir. Bu nedenle bu seviyedeki bir öğrenciye karenin açılarının dik olduğu ya da kenarlarının eşit olduğu gibi bilgilerin verilmesi doğru değildir. Bu seviyedeki bir öğrenci bir grup geometrik nesne içerisinden benzer olan şekil ve cisimleri bulabileceği etkinliklere yönlendirilmelidir. Dönemin sonuna doğru şekillerin özellikleriyle ilgili etkinlikler yapılabilir. Öğrenciler adlandırırlar, kıyaslarlar ve geometrik şekillerin görünümüne göre düşünürler. Seviye 2, Analitik Dönem: Geometrik düşüncenin ikinci seviyesindeki bir öğrenci şekilleri parçaları ve özellikleri yönünden karşılaştırır ve açıklar. Şeklin özelliklerini kullanarak şekli betimler. Bu seviyedeki bir öğrenci şeklin özelliklerini çeşitli etkinlikler yardımıyla keşfeder. Öğrencinin bir üst düzeye geçişi için öğrencinin geometrik şekiller hakkında topladığı verileri bir tablo halinde düzenlemesi ve tablodan çıkarımlarda bulunması yararlı olmaktadır. Öğrenciler figürleri, onların parçalarını ve parçalar arasındaki ilişkileri analiz ederler. Şekillerin sınıflandırılmasını ve kurallarını ve şekillerin özelliklerini keşfederler. Seviye 3, Yaşantıya Bağlı Çıkarım: Üçüncü seviyedeki bir öğrenci şekiller arası ve şekillerin özellikleri arası ilişkileri tanımların rolünü anlayabilir. Şekilleri özelliklerine göre gruplandırabilir. Öğrenci dikdörtgenin özel bir paralelkenar olduğunu söyleyebilir. Öğrenciler mantıksal olarak önceden keşfettikleri özellikleri ve kuralları kullanarak iç ilişkiler kurarlar.

32 21 Seviye 4, Çıkarım: Dördüncü seviyedeki bir öğrenci aksiyom, teorem ve tanımlara dayalı olarak yapılan bir ispatın anlam ve önemini kavrayabilir. Daha önce kanıtlanmış teoremlerden ve aksiyomlardan yararlanarak tümdengelim yardımıyla başka teoremleri ispatlar. Öğrenciler teoremler ve teoremlerin bağlantıları arasında ilişkiler kurarlar. Teoremleri tartışarak kanıtlarlar. Seviye 5, En ileri Dönem: Bu seviyedeki bir kişi değişik aksiyomatik sistemler arasındaki farkları anlayarak bu sistemler içerisinde teoremler ortaya atar, Bu sistemleri analiz eder ve bu sistemler arasında karşılaştırmalar yapar. Öğrenciler farklı ön gerçek sistemlerde teoremler kurarlar ve bu sistemleri kıyaslayıp analiz ederler (Olkun ve Toluk, 2004, s : Hoffer, 1981: NCTM, 1988: van Hiele, 1986). C A D B A açısı = B açısı = C açısı = D açısı = Seviye 0: Öğrenciler paralel kenarın açılarını ölçebilirler. Seviye 1: Öğrenciler paralelkenarın karşıt açılarının eşit olduğunu fark ederler. 1 2 Seviye 2: Öğrenciler gördüklerine dayanarak kendilerine has ifadelerle karşılıklı açıların 3 eşit olduğunu gösterirler.

33 22 Van Hiele (1959) seviyelerin, düşünülen nesnelerin farklılıklarıyla belirlendiğini vurgulamaktadır. Örneğin seviye 0 da düşünülen şeyin geometrik figürler olduğunu, seviye 1 de öğrencilerin belirli nesneler üzerinde çalıştığını, figürleri adlandırıp sınıflandırdıklarını ve böylece özellikleri keşfettiklerini, seviye 2 de ise özelliklerin ötesinde bu özellikler arası ilişkiler üzerinde yoğunlaştıklarını belirtmektedir. Yine her seviyenin kendine has bir dili ve etkinlikleri bulunmaktadır. (NCTM, 1988). Van Hiele tarafından ortaya konulan geometrik düşünme seviyelerinin eğitimciler tarafından iyi bilinmesi gerektiği ve geometri derslerinde kullanabilecekleri etkinliklerde bu seviyelerin özelliklerini göz önünde bulundurmaları gerektiği söylenebilir. Van Hiele (1986, s. 50) ye göre bir seviyeden diğerine ilerlemenin doğal bir süreç olmadığını, bu ilerlemenin uygulanan öğrenme öğretme programının etkisi altında gerçekleştiğini vurgulamaktadır. Her yeni seviyenin yeni dili öğrenilmeden ilerlemenin mümkün olmadığını, öğrencilere görseller kullanılarak rehberlik edildiğinde onların geometrik ilişkileri sezgileriyle fark edeceklerini belirtmektedir. Öyleyse geometri derslerinde kullanılacak etkinlikler belirlenirken van Hiele tarafından ortaya konulan geometrik düşünme seviyelerinin dikkate alınması gerektiği söylenebilir Van Hiele nin Geometrik Düşünme Seviyelerine Uygun Kullanılabilecek Etkinlikler Van Hiele Teorisi, öğretime öğrencilerin sahip oldukları düşünme seviyesinden başlama gerekliliğinin altını çizmektedir. Fakat her etkinlik iki düşünme seviyesinin karışımı olarak düzenlenebilir. Birçok etkinlik için öğrencilerle birebir etkileşim içine girmemiz etkinliği onların seviyesine uyarlamakta ve onları bir sonraki seviyede çalışmaları için cesaretlendirip çaba göstermelerine yol açmaktadır. Geometri öğretirken ilk üç seviyenin her biri için uygun olan soru sorma ve etkinlik çeşidinin nasıl olacağını bilmek gerekmektedir. Her seviyede fiziksel materyaller, çizimler ve bilgisayar modelleri kullanmak gerekmektedir. İlköğretimin

34 23 ilk kademesinde sırasıyla 0, 1 ve 2 düzeyindeki düşünme seviyelerini geliştirmek ve bu yönde etkinlikler yapmak çok önemlidir. Bu nedenle araştırmada bu üç düzeye ilişkin öğretim üzerinde durulmuştur Sıfır (0) Seviyede Öğretim 0. seviye için geometride uygun öğretim etkinlikleri: Bu seviye birçok çeşit ve sınıflama içermelidir. 0. seviyenin en önemli özelliği, şekillerin nasıl birbirine benzedikleri ve nasıl birbirinden farklı olduklarını görmektir. Öğrenciler daha çok içerik öğrendiklerinden fark ettikleri şeylerin çeşitleri daha karmaşık hale gelmektedir. İlk zamanlarda öğrenciler şişman ya da parçaların renkleri gibi şekillerin pek geometrik olmayan nitelikleri hakkında konuşabilmektedirler. Öğrencilere simetri ve kenar sayısı gibi özellikler tanıtıldığında, şekilleri sınıflamak üzere bu özellikleri kullanmaları için fırsat verilmelidir. Yeterli çeşitlilikte şekil örnekleri göstermek gerekmektedir. Böylece ilgisiz özellikler önemli hale gelmeyecektir. Öğrencilerin iki ve üç boyutlu şekillerle çizmek, inşa etmek, yapmak, bir araya getirmek ve parça çıkarmak için yeteri kadar fırsata ihtiyacı vardır. Bu etkinliklerin belirli özellikler etrafında yapılması gerekmektedir. Bu şekilde öğrenciler, geometrik özellikler hakkında anlayışlarını geliştirir ve doğal olarak bunları kullanmaya başlar. Öğrencilere, 0. seviyeden 1. seviyeye geçmelerine yardım etmek ve özel bir kategorideki örneklerin çeşidini içeren şekiller hakkındaki düşüncelerini test etmek için fırsatlar verilmelidir. Onlara, Haydi bunun diğer dikdörtgenler için doğru olup olmadığını görelim deyip veya Bir dik açıya sahip olmayan üçgen çizebilir misiniz? diye sorulmalıdır. Genelde öğrencilere belirli bir şekil için yaptıkları gözlemlerin buna benzer diğer şekillere uygulanıp uygulanılmayacağını görmeleri için imkân verilmelidir.

35 Birinci Seviyede Öğretim 1. seviye için uygun geometri etkinlikleri: Basit tanımlamalardan ziyade şekillerin özellikleri üzerine yoğunlaşmak gerekmektedir. Çünkü geometrik kavramlar, öğrenildiği sürece bu şekillerin özelliklerinin sayısı artabilir. Kavramlar bireysel modellerden ziyade şekillerin bütün sınıflarına (bütün dikdörtgenler, bütün prizmalar gibi) uygulanmalıdır. Yeni özellikler bulmak için şekillerin sınıflaması analiz edilmelidir. Örneğin, Mümkün olan bütün üçgenleri gruplara ayırmak için yollar bulun. Bu gruplardan, üçgenlerin çeşitlerini tanımlayın gibi yönergelerle etkinlikler yönlendirilmelidir. Öğrencilere 1. seviyeden 2. seviyeye geçmelerine yardım etmek için Niçin gibi mantık içeren sorular sorulmalı, Örneğin, Eğer dört kenarlı bir şeklin bütün kenarları eş ise her zaman kare mi elde edersin? ve Bunun tersi bir örnek bulabilir misin? diye öğrenciler yönlendirilmelidir İkinci Seviyede Öğretim 2. seviye için uygun geometri etkinlikleri: Öğrenciler hipotezler veya kabuller yapmak ve bunları test etmek için cesaretlendirmelidir. Her zaman işe yarayacağını düşünüyor musun? Bu bütün üçgenler için mi yoksa sadece eşkenar üçgen için mi geçerli? gibi sorular örnek olabilir. Farklı şekiller ve kavramlar için gerekli ve yeterli koşulları belirlemek üzere şekillerin özellikleri test edilmelidir. Tümevarım dilini kullanmak gerekmektedir: hepsi, bazıları, hiçbiri, eğer.ise, ya ise v.b. ifadeler tümevarım diline örnek ifadelerdir. Sezgisel ispatlar yapmak için öğrencileri cesaretlendirmelidir. Buna alternatif olarak diğer öğrencilerin önerdiği veya öğretmenlerin önerdiği sezgisel ispatların anlamlandırılmasını istemek gerekmektedir (Van De Walle, 2004). Yukarıda yalnızca 0,1 ve 2. seviyedeki öğretim etkinlikleri ele alınmıştır. Van

36 25 Hiele geometrik düşünme seviyeleri, ilköğretim birinci kademe öğrencilerinin gelişim özellikleri ve bu araştırmanın amacına uygun olarak ilk üç seviye etkinliklerine yer verilmiştir. Van Hiele (1984) geometrik düşünce seviyelerine farklı bakış açılarından yaklaşmaktadır. Van Hiele tarafından ortaya konulan geometrik düşünme seviyeleri tek boyut üzerinde düşünülmemiş geometriyle ilişkili diğer disiplinlerle ilişkilendirilmiştir. Geometri matematik, mantık, yapı, düşünmeyi içeren bu disiplinler farklı seviyelere yerleştirilebilir. Van Hiele nin tanımlamasının özeti Tablo 1 de verilmiştir (Akt:Golinskaia, 1997). Tablo 1.1: Geometri ve Farklı Disiplinler Disiplin Seviye 0 Seviye 1 Seviye2 Seviye 3 Seviye 4 Matematik Mantık Yapı Düşünme Farklılaşmamış yapılar Uzamsal düşünme Geometrik figürler Geometriye yöneliş Görsel geometrik yapı Geometrik uzamsal düşünme Geometrinin özü Matematiğe yöneliş Geometrinin yapısı Matematiksel geometrik düşünme Teoremler Geometriyi anlama Matematiğin özü Mantığa yöneliş Prensiplerin organize edilmesi Geometri konularının teorilerine doğru bilimsel anlayış Matematiği anlama Mantığın özü Bu tablo Golinskaia (1997) nın çalışmasından uyarlanmıştır. Golinskaia (1997) nın çalışmasında yer verdiği tablo geometri, matematik, mantık, yapı ve düşünme kavramaları arasındaki ilişkiyi ortaya koymaktadır. Van Hiele tarafından ortaya koyulan düşünme seviyeleri, sıralanan bu her bir kavramı hiyerarşik yapıda sunmaktadır. Tablo incelendiğinde 2. seviyede düşünen bir öğrencinin geometrinin özünü kavrarken aynı zamanda geometrinin yapısı hakkında

37 26 da düşünmeye başladığı söylenebilir. Aynı dönemde öğrencilerde matematiğe yöneliş ve matematiksel olarak geometrik düşünme becerileri edindikleri gözlenebilir Van Hiele Seviyelerinin Karakteristiği Geometrik düşünme seviyeleri, her seviyenin kendisinden önce gelen seviyenin özellikleri tarafından karakterize edilebilir. Bunlar: İlk seviyelerin asıl elementlerinin sonraki seviyelerde olması Seviyelerin her biri önceki seviyelerin iç düzenlemesiyle meşguldür. Örneğin seviye 0 da geometrik şekiller karakterize edilir fakat iç düzenleme yoktur. Seviye 1 de öğrenciler açıkça şekillerin özellikleriyle çalışır. Seviye 1 in iç düzenlemesi seviye 2 de dış düzenlemeye dönüşür ki o zaman öğrenciler özellikler arasında ilişkilendirmeler yaparlar Hiyerarşi Öğrenciler hiyerarşik yolla düşünmenin farklı seviyelerine geçerler. Her bir seviyedeki düşünmede önceki seviyelerin düşünmesi gereklidir. Öyle ki öğrenciler seviye 1 e seviye 0, seviye 2 ye de seviye 1 olmadan ulaşamazlar Yarıda Bırakılma Düşünme seviyeleri yarıda kalır. Yüksek seviyeler için öğrencilerin getirdiği öğrenmelerin sürecinde atlama vardır. Bu atlama düşük seviyelerdeki öğrenmelerin süreç özelliklerine uygun olarak tamamlanamamasından kaynaklanmaktadır. Van Hiele bu süreci düşünme krizi olarak tanımlar Dil Her seviyenin kendi dili ve sembolü gereklidir. Örneğin özellikler ve karakteristikler birinci seviyenin kelimeleridir. Tanımlama ikinci seviyenin, aksiyom ise üçüncü seviyenin kelimeleridir.

38 Seviyelerin Yetersizliği Öğrenciler seviyelerinin üzerindeki problemleri çözemez ya da sunumları izleyemezler. Bu öğretmen ve öğrenciler arasındaki anlama hatalarından kaynaklanmaktadır. Öğrenciler öğretmenlerin sunumlarında kullandığı yüksek seviye ve dile sahip değillerdir Eğitimin Rolü Her birey yüksek seviyelere ulaşamayabilir. Bu süreçte eğitim kurucu rol oynar. Bir seviyeden diğerine hareket doğal süreçte gerçekleşmeyebilir. Bu durum öğrenme öğretme programlarının etkisi altında gerçekleşir. Belirli yollarla sunumlar organize edildikten sonra yüksek seviyelere geçiş yavaş ya da hızlı olabilir (Golinskaia, 1997). Van Hiele ye göre geometrik fikirlerin öğrenilmesinde zincirleme bir geçiş vardır. Dolayısıyla öğrenciler farklı kavramlar için farklı seviyelerde olabilirler. Van Hiele nin bu görüşünü eğitim araştırmaları da desteklemektedir. Bu konuda van Hiele (1986) geometrik figürlerin benzerliklerini örnekleyerek çizmek için görsel prototipler kullanılabileceğini önermektedir. Öyle ki kare ya da üçgenin özellikleri öğrencilere sorulduğunda akıllarında tutabilirler, kolayca adlandırabilir, yeniden üretebilirler (Burger ve Shaughnessy,1986; Teppo, 1991). National Council of Teachers of Mathematics e göre çocuklar şekillerin özelliklerini tanımlamak için cesaretlendirilmelidir ve aynı zamanda öğretmenler sunumlarında doğru matematik dili kullanmalıdır. Bu çocuklarda yanlış kavramsal yapıların oluşmamasında önemli bir etkiye sahiptir. Çocuklar örnek ve örnek olmayan şekilleri kullanarak şekillerin özelliklerini gösterebilmelidir. 3 ve 5. sınıf çocuklarında şekilleri tanımlamak ve adlandırmak için daha çok yol kullanılmalıdır. Şekillerin özelliklerini tanımlamak ve adlandırmak için özel kelimeler, şekiller, şekillerin özellikleriyle ilgili öğrenme yaşantılarına odaklanılmalıdır (NCTM 2000, s. 165). Çocuklar tahmin yapmaya, şekilleri sınıflandırmaya ve bunun sebeplerini bulmak için cesaretlendirilmelidir.

39 28 NCTM (National Council of Teachers of Mathematics) öğretmenlerin iyi hazırlanmış etkinlikler ve uygun araç gereçlerle derslerini zenginleştirmeleri gerektiğini vurgulamaktadır. Öğrenciler geometri hakkında okulun ilk yıllarında tahmin yapabilip öğrendiği geometrik fikirleri dikkatlice kullanabilmesi, öğrencilerin geometrik kavramlarla kavramsal bilgileri arasında aktif olarak bağ kurabilmeleri için öğretmenlerin zengin etkinlikler oluşturması gerektiği, ayrıca öğrenme durumlarının görsellerle desteklenip, öğrencilerin sahip oldukları geometrik düşüncelerini birbirleriyle paylaşabilmelerinin önemli olduğunu vurgulamaktadır Matematik Programı ve Geometri Hâlihazırda uygulanan İlköğretim Matematik Dersi Öğretim Programı matematikle ilgili kavramları, kavramların kendi aralarındaki ilişkileri, işlemlerin altında yatan anlamı ve işlem becerilerinin kazandırılmasını vurgulamaktadır. Programın odağında kavram ve ilişkilerin oluşturduğu öğrenme alanları bulunmaktadır. Kavramsal yaklaşım, matematikle ilgili bilgilerin kavramsal temellerinin oluşturulmasına daha çok zaman ayırmayı, böylece kavramsal ve işlemsel bilgiyle beceriler arasında ilişkiler kurmayı gerektirmektedir. Benimsenen yaklaşımla öğrencilerin somut deneyimlerinden, sezgilerinden matematiksel anlamları oluşturmalarına ve soyutlama yapabilmelerine yardımcı olma amaçlanmıştır. Bu yaklaşımla, matematiksel kavramların geliştirilmesinin yanı sıra bazı önemli becerilerin geliştirilmesi de hedeflenmiştir. Öğrenciler etkin şekilde matematik yaparken problem çözmeyi, çözümlerini ve düşüncelerini paylaşmayı, açıklamayı ve savunmayı, matematiği hem kendi içinde hem de başka alanlarla ilişkilendirmeyi ve zengin matematiksel kavramları öğrenirler (İlköğretim Matematik Dersi Öğretim Programı, 2007). İlköğretim Matematik Dersi Öğretim Programı (2007) içerisinde geometri konuları çocuğun yaşadığı, görebileceği yakın çevreden ve algılayabileceği düzeyde ele alınması gerektiği ilkesinden yola çıkarak belirlenmiştir. Programda ilköğretimin ilk üç sınıfında somut nesnelerle incelenen geometrik kavram, özellik ve ilişkilerin geometri terminolojisi kullanılarak ele alınması gerektiği belirtilmiştir. Yine ilköğretimin 3, 4 ve 5. sınıflarında her yeni incelenen kavramın başlangıçta somut ve

40 29 sonlu modellerle daha sonra soyutlamalarla ele alınması gerektiği programda vurgulanmaktadır. Geometrik cisim ve şekillerin bazılarında bulunan simetri özelliğinin dikkate alınması ve bunun için de kesme, katlama etkinliklerin yapılması gerekmektedir. Geometrinin aslında çevremizde bizimle her an birlikte olan nesnelerin özelliklerini inceleyen bir çalışma alanı olduğu, uzamsal ilişkilerin sağda, solda, önde, arkada vb. terimlerle desteklenmesi gerekmektedir. Öğrencilerin kendi estetik tercihlerini öne çıkaran süsleme ve örüntüler de geometri öğrenme alanında incelenebilecek bir alt öğrenme alanı olduğu belirtilmektedir. Programda öğretmen ve öğrencilerin rollerinde farklılıklar vardır. Öğrencinin rollerinden bazıları; öğrenme sürecinde zihinsel ve fiziksel olarak aktif katılımcı, öğrenmesinden sorumlu olan, konuşan, soru soran, sorgulayan, düşünen, tartışan, anlayan, problem çözebilen ve kuran, birlikte çalışabilen ve değerlendirendir. Öğretmenin rollerinden bazıları ise kendini geliştiren, yönlendiren, motive eden, etkinlik geliştiren ve uygulayan, sorgulayan, soru sorduran, düşündüren, tartıştıran, dinleyen, birlikte çalışabilen ve değerlendirendir. Öğretmen ve öğrenci rollerindeki değişikliklerin yanında İlköğretim Matematik Dersi Öğretim Programına içerik ve süreçler açısından bakıldığında da önemli değişiklikler olduğu görülebilmektedir. NCTM tarafından 2000 yılında, Principles and Standards of School Mathematics (PSSM) adlı bir doküman yayımlanmıştır. Bu dokümanda anaokulundan 12. sınıfın sonuna kadar okul matematiğinin genel prensiplerinin neler olması gerektiği ve matematiksel içerik ve süreçlerin hangi standartları sağlaması gerektiği açıklanmaktadır. PSSM nin sunduğu dokümanla İlköğretim Matematik Dersi Öğretim Programı (İMDÖP) karşılaştırıldığında okulöncesi ve ikinci sınıf düzeyinde iki ve üç boyutlu şekilleri fark etme, karşılaştırma ve sınıflandırma becerisinin hem İMDÖP hem de PSSM de önemsendiği görülmektedir. Genel anlamda İMDÖP ve PSSM de şu becerilere yer verildiği söylenebilir: uzayda yön ve uzaklığı tanımlama, isimleme ve yorumlama; uzayda yön ve uzaklığı tanımlama, yakında ve uzakta gibi ilişkileri bulma ve isimlendirme. Hem İMDÖP hem de PSSM de iki ve üç boyutlu cisimleri tanıma, özelliklerini karşılaştırma ve bu özellikleri tanımlamak için gerekli matematiksel kelime hazinesini geliştirme, üçgen

41 30 ve piramit gibi iki ve üç boyutlu şekilleri özelliklerine göre sınıflandırma ve bu gruptaki geometrik şekillerin özelliklerini söyleme becerilerinin vurgulandığı görülmektedir (Umay ve diğerleri, 2006). Hâlihazırda uygulanan sınıf matematik eğitim programı genel olarak, çağdaş matematik eğitimi konusunda, öğrencinin anlamlı öğrenmesine olanak veren, onu ezbercilikten kurtaran, düşünmeyi öğrenmesini hedefleyen bir yaklaşımla, dünyadaki gelişmelere uygun normlarda hazırlanmış; ayrıntılı olarak düşünülmüş, başarılı bir program olarak değerlendirilebilir (Umay ve diğerleri, 2006). İlköğretim Matematik Dersi Öğretim Programı içerisinde geometri programına kapsamlı olarak yer verildiği söylenebilir. Geometri öğretim programı içerisinde uzamsal ilişkilerle ilgili becerilere, geometrik cisim ve şekil özellikleri ve bunlar arasındaki ilişkilere, yine araç gereç kullanımı ve önemi gibi alanlara vurgu yapılmıştır. Geometri programının öğrenme alanları ve amaçları aşağıda sıralanmıştır Geometri Programının Öğrenme Alanları ve Amaçları Uzamsal (durum-yer, doğrultu-yön) ilişkilerle ilgili beceriler geliştirir ve kullanır. Geometrik cisim ve şekillerin özelliklerini bilir ve bunları problem çözümlerinde kullanır. Geometrik cisim ve şekiller arasındaki ilişkileri belirler ve çıkarımlarda bulunur. Geometrik araçları kullanır. Geometrik cisim ve şekillerden, yeni cisim ve şekiller elde eder, bunlarla süslemeler yapar. Geometrik cisim ve şekilleri oluşturur ve çizer. Simetriyi bilir ve kullanır. Şekillerle örüntüler oluşturur ( İlköğretim Matematik Dersi Öğretim Programı, 2007).

42 Öğretim Programında Geometri Kazanımları Birinci sınıf 1) Uzamsal ilişkileri ifade etmek için uygun terimleri kullanır. 2) Bir model üzerindeki öğelerin birbirine göre durumlarını uzamsal ilişkilerin uygun terimlerini kullanarak açıklar. 3) Geometrik cisimlerden küp, prizma, silindir, koni ve küreye benzeyen nesneleri belirtir. 4) Küp, prizma, silindir, koni ve küre modellerini kullanarak farklı yapılar oluşturur. 5) Eş nesnelere örnekler verir. 6) Bir örüntüdeki ilişkiyi belirler. 7) Bir örüntüde eksik bırakılan öğeleri belirleyerek tamamlar ( İlköğretim Matematik Dersi Öğretim Programı, 2007) İkinci Sınıf 1) Küp ve prizma modellerinde yüzleri, köşeleri ve ayrıtları gösterir. 2) Silindir, koni ve küre modellerinde yüzleri gösterir. 3) Küp, dikdörtgen, kare ve üçgen prizması modellerinin yüzleri ile silindir ve koni modellerinin düz yüzlerinin isimlerini belirtir. 4) Karesel, dikdörtgensel, üçgensel bölgelerin ve dairenin sınırlarının isimlerini belirtir. 5) Karenin, dikdörtgenin, üçgenin köşe ve kenarlarını gösterir. 6) Kare, dikdörtgen, üçgen ve çember modelleri oluşturur. 7) Bir şeklin iki eş parçaya ayrılıp ayrılamayacağını belirler uygun şekilleri iki eş parçaya ayırır. 8) Simetriyi, modelleri ile açıklar. 9) Bir örüntüde eksik bırakılan öğeleri belirleyerek tamamlar. 10) Bir örüntüdeki ilişkiyi kullanarak farklı malzemelerle aynı ilişkiye sahip yeni örüntüler oluşturur( İlköğretim Matematik Dersi Öğretim Programı, 2007).

43 Üçüncü Sınıf 1) Düzlemi ve düzlemsel şekilleri modelleri ile tasvir eder. 2) Küp, kare prizma, dikdörtgenler prizması, üçgen prizma, silindir, koni ve küre modellerinin yüzeylerini belirtir. 3) Prizma, koni ve silindir modellerinin yüzeylerini düzleme açar ve bu modellerin her yüzünün birer düzlemsel şekil olduğunu gösterir. 4) Doğruyu, ışını ve doğru parçasını modelleri ile tasvir eder. 5) Doğrunun, ışının ve doğru parçasının çizgi modellerini oluşturur. 6) Yatay, dikey ve eğik doğru modellerine örnekler vererek çizimlerini yapar. 7) Düzlemde iki doğrunun birbirine göre durumlarını belirler ve çizimlerini yapar. 8) Noktaya modelleriyle örnekler verir. 9) Noktayı sembolle gösterir ve isimlendirir. 10) Açıya, çevresindeki modellerden örnekler verir. 11) Açıyı modelleri ile çizer. 12) Dik açıya çevresindeki modellerden örnekler verir ve çizer. 13) Açıları dar açı, dik açı, geniş açı ve doğru açı olarak sınıflandırır. 14) Üçgen, kare, dikdörtgen ve çemberi modellerini kullanarak çizer. 15) Cetvel ve gönye kullanarak kare, dikdörtgen ve üçgeni çizer. 16) Üçgenin, karenin, dikdörtgenin çizgi modelleri üzerinde açıları gösterir. 17) Üçgen, kare, dikdörtgen ve çemberi köşe ve açı sayısına göre sınıflandırır. 18) Düzlemsel şekillerde, doğruya göre simetriyi belirler ve simetrik şekiller oluşturur. 19) Üçgensel, karesel, dikdörtgensel bölgeleri kullanarak ve boşluk kalmayacak şekilde döşeyerek süsleme yapar (İlköğretim Matematik Dersi Öğretim Programı, 2007) Dördüncü Sınıf 1) Açının kenarlarını ve köşesini belirtir. 2) Açıyı isimlendirir ve sembolle gösterir.

44 33 3) Açıları, standart olmayan birimlerle ölçerek standart açı ölçme biriminin gerekliliğini açıklar. 4) Açıları standart açı ölçme araçlarıyla ölçerek açıları; dar, dik, geniş ve doğru açı olarak belirler. 5) Ölçüsü verilen bir açıyı çizer. 6) Açıların ölçülerini tahmin eder ve tahminini açıyı ölçerek kontrol eder 7) Üçgen, kare ve dikdörtgeni isimlendirir. 8) Üçgen, kare ve dikdörtgenin kenarlarını isimlendirir. 9) Kare ve dikdörtgenin, kenar ve açı özelliklerini belirler. 10) Köşegeni belirler. 11) Üçgenleri kenar uzunluklarına göre sınıflandırır. 12) Üçgenleri açı ölçülerine göre sınıflandırır. 13) Üçgenin iç açılarının ölçülerinin toplamını belirler. 14) Açıölçer, gönye veya cetvel kullanarak dik üçgen, kare ve dikdörtgeni çizer 15) İzometrik kâğıttaki çizimleri eş küplerle oluşturur 16) Düzlemsel şekillerdeki simetri doğrularını belirler ve çizer. 17) Uygun karesel, dikdörtgensel ve üçgensel bölgeleri kullanarak ve boşluk kalmayacak şekilde döşeyerek süsleme yapar ( İlköğretim Matematik Dersi Öğretim Programı, 2007) Beşinci Sınıf 1. Atatürk ün geometri alanında yaptığı çalışmaların ülkemizdeki geometri öğretimine katkılarını açıklar. 2. Çokgenleri sınıflandırır. 3. Düzgün çokgenleri ayırt eder. 4. Paralelkenar, eşkenar dörtgen ve yamuğu tasvir eder. 5. Kare, dikdörtgen, paralelkenar, eşkenar dörtgen ve yamuğun açılarını ve açı ölçülerinin toplamını belirler. 6. Kare, dikdörtgen, paralelkenar, eşkenar dörtgen ve yamuğun kenar, açı ve köşegen özelliklerini belirler. 7. Üçgen, kare, dikdörtgen, paralelkenar, eşkenar dörtgen ve yamuğu çizer.

45 34 8. Üçgen, kare, dikdörtgen, paralelkenar ve yamuğun yüksekliklerini belirler. 9. Çemberin merkezini, yarıçapını ve çapını belirtir. 10. Pergel ve cetvelle çember çizerek merkezini, yarıçapını ve çapını adlandırır. 11. Çember ile daire arasındaki ilişkiyi açıklar. 12. Çokgenlerin simetri doğrularını belirler ve çizer. 13. Düzlemsel bir şeklin verilen simetri doğrusuna göre simetriğini çizer 14. Düzgün çokgensel bölgeleri kullanarak ve boşluk kalmayacak şekilde döşeyerek süsleme yapar. 15. Uzayı tasvir eder. 16. İki düzlemin birbirine göre durumlarını belirler. 17. Piramide örnekler verir ve yüzeyini tasvir eder. 18. Geometrik cisimlerin isimlerini belirterek özelliklerini açıklar. 19. Küp ve dikdörtgenler prizmasının yüzey açınımlarını yapar, çizer ve yüzey açınımları verilen cisimleri oluşturur. 20. İzometrik kâğıttaki çizimleri eş küplerle oluşturur. 21. Eş küplerle oluşturulmuş bir yapıyı izometrik kâğıda çizer. 22. Boyutu açıklar ve nesneleri boyutuna göre sınıflandırır ( İlköğretim Matematik Dersi Öğretim Programı, 2007). Sınıflar düzeyinde geometri kazanımları incelendiğinde geometrik cisimleri ve şekilleri tanıma, adlandırma, inşa etme, çizme, karşılaştırma ve belli özelliklerine göre gruplama etkinliklerinin öne çıktığı görülebilir. Bu etkinliklerle cisimleri ve şekilleri bir araya getirerek veya ayırarak öğrencilerin analiz yapabilmeleri için onlara fırsatlar sunulmaktadır Araştırmanın Gerekçesi ve Önemi Çağdaş eğitimciler çocukların eğitim-öğretim sürecinde çevreyi ve olayları eleştirel biçimde gözleyip akranları ile görüş alışverişinde bulunarak öğretmenin düzenleme ve yol gösterme dışında öğrenci adına hiçbir ek eylemde bulunmadığı

46 35 ortamlarda bilgi kazanması gerektiğini savunmaktadırlar. Bu yüzden, çocuğun geometri adına yapacağı tüm zihinsel ve bedensel etkinlikler, kavram ve bilgileri ilk defa kendisi bulmuş ve kazanmış duygusu içinde gerçekleşmelidir. Eğitimcilere düşen görev ise, çocuğa bu zorlu yolda özgür düşünce ortamları hazırlamak, eğitimöğretim adına kazanılmış her türlü olanağı onun hizmetine sunmaktır. Aksi halde yani çocuğun özgürce düşünmesine olanak bırakmadan ona aktarılacak her bilgi, görüş ve düşünce onun kendi adına düşünme yeteneğini ve isteğini azaltacaktır (Develi ve Orbay, 2003). Geometri programlarında öğrencilere şekillerin mümkün olan farklı formları üzerinde deneyim edinmeleri sağlanmalıdır. Burada şekillerin bloklar ve diğer geometri öğretim araçlarının kullanımı ve çizimler, bilgisayar kullanımı, şekillerin doğal ortamlarında gözlemlenmesi çok önemlidir. Geometri programı geometrik muhakemeyi ve uzamsal düşünceyi geliştirmeyi amaçlamalıdır (Van De Walle, 2004: s.306). Lehrer ve diğerlerinin (1994) yaptıkları araştırmada, geometrik düşünme aşamasının öğrenciler şekilleri benzeterek düşündükleri sonucuna ulaşılmıştır. Öğrenciler bu seviyede şekilleri, tanımından gelen özelliklerinden değil, diğer şekillere benzemeleri gibi özelliklerine bakarak sınıflandırmaktadırlar. İkinci aşama niteliklerine göre düşünme yetisi geliştikçe çocuklar informal bir dil kullanarak şekillerin parçaları ve özellikleriyle ilgilenmeye başlamaktadırlar. Fakat henüz bu parçaların birbirleriyle ilişkisini anlayamamaktadırlar. Bir şeklin açıları ve kenarları arasındaki ilişkileri anlayamamış bir çocuğa şeklin kaç kenarı olduğu sorulduğunda, çocuk o şeklin kaç tane açısı olduğunu kenarlarını sayarak cevap verecek düzeydedir. Bu ilişkiyi anlayan çocuklar ise daha üst seviyelerde düşünüyorlar demektir. Üçüncü aşama olan özelliklerine göre geometrik düşünme seviyelerinde öğrenci geometrik şekli özelliklerine ve şekiller arası ilişkilere göre düşünebilirler. Örneğin bu seviyedeki bir öğrenci karenin karşılıklı kenarları birbirine paralel olduğu için bir paralelkenar olduğunu bilir (Duatepe, 2000).

47 36 Yapılan araştırmalar beynin her iki yarısını da etkin hale getirecek farklı aktiviteler ile matematik öğreniminin gerçekleşebileceğini ortaya koymaktadır. Uzamsal işlemler beynin sağ yarım küresinde gerçekleşirken, dil ile ilgili fonksiyonlar beynin sol yanında gerçekleşmektedir. Sharma (1973) bu alanda yaptığı çalışmalarla kapsamlı bir rapor sunmaktadır. Sharma yaptığı çalışma ile geometrik düşüncenin kazanımı için beynin iki yarı küresinin farklı özelliklere sahip olduğunu belirtmektedir. Beynin sol ve sağ yarım kürelerinin özellikleri şöyledir: Sol Yarımküre, 1. Kelimeler üzerinde düşünür. 2. Dilsel iletişim merkezidir. 3. Görsel materyallerin sözel ve yazılı anlamını gerçekleştirir. 4. Saniyede bir bit lik bilgi işlenir. 5. Dil ve kelime düzeyinde soyut bilginin kullanımı gerçekleşir. Sağ Yarımküre, 1. Şekilleri düşünür. 2. Görsel görünüm ile ilgilidir. 3. Şekillerin dikkatle incelenmesi sonucunda bilgiyi ortaya çıkarır. 4. Görsel bilgiyi bütünden parçaya doğru oluşturur. 5. Merkezi önsezi ve yaratıcılıktır. 6. Semboller kullanarak bazı soyut düşüncelerin görselliğe çevrilip ifade edildiği yerdir. 7. Öğrenilenleri hafızaya kaydeder. 8. Bilginin fark edilmesi kavranması ve hatırlanması da önemlidir. Sharma kişilerin matematik öğrenmelerini iki şekilde tanımlar: B. Sol yarımküre yönelimliler: Dil ve ifade becerileri iyidir. Matematik problemlerini adım adım çözerler. C. Sağ yarımküre yönelimliler: Probleme ilişkin çözümde global yaklaşımlar kullanırlar. Bu çocuklar örnekleri iyi tanımlarlar. Gerçek yaşama ilişkin

48 37 problemleri çözmede daha yaratıcı ve hızlıdırlar (Akt: Dickson, Brown ve Gibson, 1990). Birçok insan geometriyle olan deneyimi ya da uzamsal hislerinin olmadığını söylemektedir. İnsanların uzamsal becerileriyle doğduklarını düşünmeleri tipik bir inançtır. Ama bu doğru değildir. Şekillerle ve uzamsal ilişkilerle ulaşılan zengin deneyimler uzamsal beceriyi geliştirmektedir. Geometrik deneyimler olmadan pek çok insan uzamsal muhakemesini geliştiremez (Van. De. Walle, 2004, s.308). İnsanların uzamsal muhakemelerinin geliştirilebilir olması ve zengin geometrik deneyimlerin geometri öğrenme üzerindeki öneminin anlaşılmasında van Hiele ve geometrik düşünme düzeyleri üzerine yaptığı çalışmaların bilinmesi ve eğitim öğretim faaliyetlerinde göz önüne alınmasının büyük bir öneme sahip olduğu söylenebilir. Yine bu çalışmayla geometri dersini gerçek yaşamla ilişkilendirmenin ve araç gereç kullanımının, çizim yapmanın, tahmin ve çıkarım yaptırmanın önemi ortaya çıkmaktadır. Geometrinin sadece şekil öğretiminden ibaret olmadığı, öğrencilerin geometri derslerindeki farkındalık düzeylerinin kıyaslayarak, şekiller arası ilişkiler kurarak artırılması gerektiğinin önemi ve gerekliliği de bu çalışmayla belirtilmeye çalışılmıştır. Dolayısıyla geometrinin matematiğin ayrılmaz bir parçası olduğu ifade edilebilir. Nitelikli bir geometri öğretimi öğrenciye sadece geometrik şekiller hakkında bilgi vermekle kalmayıp öğrencilerin uzamsal yeteneklerinin gelişiminde önemli bir yere sahiptir. Bu araştırmada öğretmenlerin geometri dersinin işlenmesinin nasıl olması gerektiği konusundaki görüşleri alınarak geometri dersini nasıl işledikleri, işledikleri derslerin van Hiele tarafından belirtilen geometrik düşünme seviyelerine hitap edip etmediği irdelenmiştir. van Hiele nin geometrik düşünme seviyeleri ve geometri öğretimi ile ilgili alana yaptığı katkılar bilinip dikkate alındığında geometri öğretim sürecinde önemli ilerlemeler ve iyileşmeler görülebileceği söylenebilir. Bu araştırmadan elde edilecek sonuçların öğretmenlerin

49 38 geometri dersinin işlenmesi konusunda düşünmelerinde ve van Hiele nin geometrik düşünme seviyelerini derslerini işlerken göz ardı etmemelerinde katkısı olacaktır Araştırmanın Amacı Bu çalışmanın genel amacı, matematik dersinde öğretmenlerin birinci kademe geometri öğretimine ilişkin görüşlerini saptamak ve sınıf içi uygulamalarını seviyelerine göre irdelemektir Araştırmanın Problemi Öğretmenlerin birinci kademe matematik dersinde geometri öğretimine ilişkin görüşleri ve sınıf içi uygulamaları van Hiele seviyeleri ile ne derece örtüşmektedir? Araştırma Soruları 1. Öğretmenlerin geometri öğretimine ilişkin görüşleri van Hiele seviyeleriyle ne derece örtüşmektedir? 2. Öğretmenlerin geometri uygulamaları van Hiele seviyeleriyle ne derece örtüşmektedir? 3. Öğretmenlerinin geometri öğretimine ilişkin görüşleri ve uygulamaları arasında tutarlılık var mıdır? Sınırlılıklar Bu araştırma: 1. Ankara ili Çankaya ilçesi Maltepe semtindeki bir özel ilköğretim okulunun 1, 2, 3, 4 ve 5. sınıf şubelerinden seçilen birer sınıf öğretmeni, eğitim öğretim yılı güz döneminde matematik dersi öğretim programında belirtilen her sınıf seviyesinde ele alınan geometri kazanımları, 3. Öğretmenlerin geometri öğretimine ilişkin görüşlerini tespit etmek amacıyla oluşturulan görüşme soruları,

50 39 4. Öğretmenlerin sınıf içinde geometri uygulamalarını belirlemek amacıyla yapılan gözlemler ile sınırlıdır Varsayımlar 1. Öğretmenlerle yapılan görüşmelerde öğretmenler samimi cevaplar vermişlerdir. 2. Görüşmede sorulan sorular öğretmenlerin geometri öğretimi konusundaki bilgilerini ve yaptıkları eğitim öğretim faaliyetlerinin van Hiele kuramına uygunluğunu açığa çıkaracak niteliktedir.

51 2. BÖLÜM İLGİLİ ARAŞTIRMALAR Bu araştırmanın amaçları doğrultusunda geometri öğretimi ve van Hiele in geometrik düşünme seviyeleri ile ilgili yurt içinde ve yurt dışında yapılmış araştırmalar incelenmiştir. Bulguları ve sonuçları açısından bu araştırma ile ilgili aşağıda verilen çalışmalar tarih sırası dikkate alınarak sıralanmıştır. Usiskin (1982) öğrencilerin düşünmelerinin sık sık iki farklı seviye arasında kaldığını bulmuştur. Etkili bir öğretimin gerçekleştirilebilmesi için seviyeler arasında kalmış olan öğrencilerin belirlenip bir sonraki seviyeye geçmeleri için onlara destek olmak gerekmektedir. Eğitimciler öğrenciler tarafından gösterilen düşünme seviyelerini daima kontrol etmelidir. Çünkü öğrenciler bir seviyeden diğerine geçiş yaparken dört seviye arasında gidip gelebilmektedirler (Burger ve Shaughnessy, 1986, s.45). Mayberry (1981,1983) van Hiele tarafından hipotez edilen geometrik düşünmenin beş seviyesi üzerinde çalışmıştır. 19 ilköğretim okulundan seçilen aday öğretmenler denek olarak seçilmişlerdir. Öğrencilere iki görüşme boyunca 7 geometri kavramıyla ilgili 128 soru sorulmuştur (kare, dik üçgen, ikizkenar üçgen, daire, paralel kenar, eşkenar üçgen). Bu soruların hepsi seviyelerinin tümünü içermektedir. Örnek: a. İki benzer üçgen aynı olabilir mi? Daima Bazen Asla Niçin? b. A karesi daima, bazen, asla B karesi ile benzer olabilir mi? Niçin? Sonuçlar lise geometrisi alan birçok öğretmenin seviye 3 ün altında olduğunu göstermiştir. Öğretmenlerin çoğu ne seviye 1 karakteristiğinde figürlerin özelliklerini

52 41 algılamakta ne de seviye 2 karakteristiğinde figür içi özellikleri ve onların içerdiği özellikleri algılayabilmektedir. Mayberry nin araştırması in önerdiği geometrinin doğal hiyerarşisini desteklemektedir. Yine Mayberry öğretmenlerin farklı geometri konularındaki başarısının farklı seviyelerde olduğunu bulduğunu da vurgulamaktadır. Burger and Shaughnessy (1986) klinik görüşmeler ve kolej öğrencilerini sınıflandırmak için kategori kodları kullanmışlardır. Bunlar van Hiele in düşünme seviyelerini tanımlayan ve sınıflandıran kodlardır. Çalışma için 5. sınıflardan 45 öğrenci seçilmiştir. Görüşmelerde geometrik şekillerle ilgili 8 başlık altında her bir öğrenciyle kişisel olarak görüşülmüştür. Bu başlıklar: Şekil çizme, tanımlama, şekilleri adlandırma, şekil çeşitleri, geometrik şekiller hakkındaki formal ve informal ilişkilerin sebepleri olarak belirlenmiştir. Çizme görevi boyunca öğrencilerden üçgenin farklı örneklerini çizmeleri istenmiştir. Bu süreç güvenilirliği kanıtlanan soruların uygulanmasıyla devam etmiştir. Her bir öğrenciye hep birlikte çizilen kaç şekil varsa şekillerin isimleri, zıtlıkları ve farklılıkları sorulmuştur. Öğrencilere kendilerine verilen görevleri tanımlamak ve adlandırmak için şekiller gösterilmiştir. Kareye S, dikdörtgene R, (terimlerle ilgili öğrencilerdeki benzerlikleri görmek için), paralel kenara P, dörtgene B harflerini koyun denilmiş, şekil seçimleri tanımlandıktan sonra öğrencilerden dört şekli tanımlamaları her bir öğrenciden yine üçgenleri kesip çıkarmaları beklenmiştir. Bunları birçok yönden benzeyenlerle bir araya koyabilir misin? Nasıl bir benzerlik var? Gibi sorularla bu çalışma desteklenmiştir. Görüşmeler teypten dinlenmiş. 7. sınıflardan 12 görüşme analiz için random olarak seçilmiştir. Van Hiele seviyelerini ortaya koymak amacıyla protokol analizi kullanılmıştır. 3 araştırmacı her görüşmeyi kişisel olarak analiz etmiştir. Çeşitli bulgular rapor edilmiştir. İlki 3 ve 5. sınıf öğrencilerinden üçgen çizmeleri istendiğinde belirgin özelliklerini ortaya koydukları kareyi tanımlamaları istendiğinde dörtgen, dikdörtgen gibi örnekleri de gösterdikleri ortaya çıkmıştır. Benzer olarak 5. sınıf öğrencileri paralel kenarı dikdörtgen gibi tanımlamışlardır. Fuys, Geddes, ve Tishler (1988) 6. sınıf öğrencilerinin geometrik düşüncelerini karakterize etmek için van Hiele modelini kullanmışlardır. Amerika da 6. sınıf boyunca kullanılan van Hiele modelini yansıtan kitap serisinin nasıl

53 42 kullanıldığını ve öğretmenlerin geometrik düşüncede van Hiele seviyelerini adlandırıp adlandıramadıklarını analiz etmek istemişlerdir. On altı 6. sınıf on altı dokuzuncu sınıf öğrencisiyle 45 dakikalık görüşmeler yapılmıştır. Öğrencilere görüşme boyunca 27 etkinlik verilmiştir. Etkinlikler bu çalışma için araştırmacılar tarafından geliştirilmiştir. Videoteyp görüşmeleri analiz edilip, 6. sınıf öğrencileri üç grupta sınıflandırılmıştır. Bu sınıflandırma şöyle olmuştur: Seviye 1 e ilerlemeyen seviye 0 öğrencileri, seviye 1 e doğru ilerleyen seviye 0 öğrencileri, seviye 1 öğrencileri. Birinci gruptaki birçok öğrenci farklı durumlardaki şekilleri tanımlamakta zorlanmıştır. Dikdörtgeni tanımlarken bir öğrenci iki uzun iki kısa kenar olduğunu, ilginç olarak iki öğrenci paralel kenar ve dörtgen terimlerini duymadıklarını söylemişlerdir. 2. gruptaki öğrenciler kare ve dikdörtgeni tanımlamak için sık sık şekil özelliklerini kullanmışlar, fakat paralel kenar ve yamukta zorlanmışlardır. Üçüncü grup öğrenciler şekilleri sınıflandırmak için ihtiyaçları olan özellikleri ve sınıflar arasındaki ilişkileri tanımlamaya çalışmışlardır. Bu araştırmada tüm sonuçlar van Hiele seviyelerinin hiyerarşik bir yapıda olduğunu göstermiştir. Bu sonuçlara bağlı olarak çocukların geometrik şekilleri tanımlamaları hem teori, öğretmen, eğitim hem de yapısalcılık merkezli müfredat geliştirenler için çok önemlidir. Birçok öğretmen ve müfredat yazarı okul öncesi çocukların basit şekilleri az ayırabildiklerini ya da hiç ayıramadıklarını düşünmektedirler. Okul öncesi çocuklar geometrik şekil bilgisini basit düzeyde gösterdiklerini ve geometrik etkinliklerden uzak kalan çocukların geometri derslerinde zorlanabileceklerini söylemektedirler. Mc Clendon (1990) tarafından yapılan çalışmada, ilkokul öğretmenlerinin geometrik kavramları anlama ve geometri öğretimine ilişkin tutumlarının van Hiele modeline uygun olarak değerlendirilmesi amaçlanmıştır. Öğretmenlerle haftada altı saat olmak üzere sekiz hafta çalışılmıştır. Uygulama öncesi ve uygulama sonrası van Hiele testi ve tutum ölçeği hem ön test hem de son test olarak kullanılmıştır. Öğretim yapılırken van Hiele modelinin beş öğretim evresi dikkate alınmış, etkinlikler bu beş evreye göre düzenlenmiştir. 28 öğretmenin katıldığı bu araştırmada, grupların son test puanları ile geometri düzeyleri ve geometri öğretimine ilişkin tutum puanlarında önemli fark çıkmıştır.

54 43 Teppo (1991) sistematik geometri öğretimini ana sınıfından 8. sınıfa kadar beceri ve kavramların muhakemesinin geliştirilmesi için geometrik düşünmenin en düşük seviyesinden vurgulanmaya başlanması gerektiğini vurgulamaktadır. Orta gruplarda düşünme seviyesinin ileri düzeyde, lise seviyesinde ise muhakeme seviyesinde olması gerektiğini söylemektedir. Böylelikle araştırmacı öğrencilerin seviyelerine uygun hazırlanan derslerle cesaretlendirileceğini vurgulamaktadır. Gutierrez, Adela, ve Fortuny (1991) van Hiele seviyelerinde geometrik düşünmede ayrıntıların çabuk kazanılmadığını ilerlemek için aylar hatta yıllar gerekebileceğini vurgulamaktadırlar. Öğrencilerin van Hiele seviyelerinde düşük, ileri ve yüksek edinimler için bir süreç gerekmektedir. İlk ve orta düzeydeki öğrencilerin öncelikle geometriyi tanımaya ihtiyaçları olmaktadır. Bol aktivite kullanılarak öğrencilerin lise düzeyine gelmeden seviye 2 düşüncesinden ilerlemeye ihtiyaçları olacaktır. Carroll (1998) Chicago Üniversitesi Matematik Okulunda Her Gün Matematik Programı Projesindeki öğrencilerin van Hiele seviyelerini incelemiştir. Sonuçta 20 beşinci sınıf öğrencisinin seviye 2 ya da daha da üstünde, 29 altıncı sınıf öğrencisinin de seviye 2 ve daha da üstünde olduğu ortaya çıkmıştır. Bu sonuç yaşla birlikte geometrik düşünme seviyesinin artmadığını göstermektedir. Van Hiele yüksek düşünme seviyelerinin gelişiminin yaştan çok uygun öğretime bağlı olduğunu vurgulamaktadır. Lehrer, Jenkins, ve Osana (1998) Çocukların kavramsal gelişimini ortaya koymak için üç yıllık uzamsal bir çalışma yapmışlardır. a) İki ve üç boyutlu açıları içeren öklit formlar b) Uzunluk ve alanın ölçülmesi c) Becerilerin ilişkilendirilmesi (grafiklerin, şekillerin ve çizimlerin idare edilmesinde) Ek olarak çocukların seviyelerinin tanımlanmasında van Hiele seviyelerinin geçerliliğini araştırmışlardır. Bu çalışma için 1. sınıftan 5. sınıfa kadar tesadüfî örnekleme ile 30 çocuk seçilmiştir. Çocuklarla kişisel olarak her öğretim yılında 6 kere görüşülmüştür. Böylece üç yılda 18 kere görüşülmüştür. Her görüşme analiz için kaydedilmiştir. İki boyutlu figürleri anlamalarını değerlendirmek için 9 maddede 3 lü şekil grupları oluşturulmuş, her

55 44 üçlü gruptan öğrencilere birbirine en çok benzeyen iki şekli bulmaları söylenmiştir. Tipik olarak çocukların şekillere görsel bakış açıları seviye 1 düzeyinde olmakla birlikte çocuklar tanımlama yaparken şu örnek cümleleri kullanmışlardır: Bu kare., O eğik gibi görünüyor., O çok zayıf., O Eğimli. Çocuklar sık sık şekillerin özelliklerini kullanmışlardır. Çocuklar şekilleri kıyasladıkları zaman bir şeklin diğer şekiller içine girebileceğini, ya da şeklin içinden çıkabileceğine ait tanımlamalar yapmışlardır. Örneğin ikinci üçlüde şekil B için bir çocuk arkasını açarsak dikdörtgenin içine konulabileceğini söylemiştir. Böylece çocuklar Şekil B ve C nin dikdörtgen olabileceğini düşünmüşlerdir (Akt: Driskell, 2004). A B C Baynes ın (1998) çalışmasının amacı van Hiele modelini kullanarak lise seviyesinde geometri derslerinde gerekli düşünme seviyelerinde hazırlanan bir program yapılandırmaktır. Çalışması için öğrencilerini New Jersey bölgesinde bir devlet lisesinden seçmiştir. Matematik öğretmenleri iki haftada 10 saatlik bir periyottan geçirilerek eğitilmiştir. Van Hiele geometri testi Chicago Üniversitesinde geliştirilmiştir. Öğrencilerin çalışmaları defter, çalışma kâğıdı ve diğer değerlendirmeleri toplanmış ve değerlendirme için saklanmıştır. Akademik yıl boyunca öğrencilerin geçmişteki ve araştırma sürecindeki başarıları arasındaki ilişkiyi ortaya koymak amacıyla araştırmacı verileri yorumlamıştır. Sonuçta yaz programında seviye 3 öğrencilerinin başarılarının seviye 2 öğrencilerine göre yıl ortası puanlarının yükseldiği görülmüştür. Öğrencilerin bir önceki yıla göre cebir puanlarının da yükseldiği dikkati çekmiştir.

56 45 Clements ve diğerleri (1999), Okul öncesi çocukların şekilleri diğer şekillerden ayırt etmek için, kullandıkları kriterleri araştırmışlardır. Şekillerin tanımları ve tasvirleri ve tanımlarının sebepleri üzerinde durarak 3 ve 6 yaş arası 97 çocukla bireysel görüşmeler yapmışlardır. İlk olarak çocukların görsel formlarının analizlerine dayalı olarak şemalar oluşturduklarını bulmuşlardır. Bu şemalar oluşurken çocuklar şekilleri ayırt edebilmek için görsel eşleştirmeler yapmaktadırlar. Ancak böyle tanıdık şekillerin basit özelliklerini ve içeriklerini hatırlayabilmektedirler. Bunlara dayalı olarak biliş öncesi seviyenin van Hiele seviye 1 den önce (görsel seviye) var olduğunu söylemenin mümkün olduğunu vurgulamaktadırlar. Sonuçlar çocukların daireyi tanımlamakta az zorlandıklarını, yalnız 4 yaş çocukları sık sık çember ve eğimli şekilleri daire olarak kategorize ettiklerini göstermektedir. 6 yaş çocukları daireyi adlandırmakta daha az zorlanmaktadırlar. Çocukların çoğu kareyi tanımlayabilmekte ancak 4 ve 5 yaşındakiler dörtgeni kare olarak tanımlamaktadırlar. İlginç olarak 4 yaş çocukları kareyi dikdörtgen gibi sınıflamaktadırlar. Eşit kenarlılar içinden okul çağı çocuklarından dikdörtgeni seçmeleri istendiğinde iki uzun iki kısa kenardan oluşur diyerek kareyi dikdörtgen olarak görmediklerini göstermişlerdir. Sonuçta çocukların dikdörtgen ve üçgeni adlandırmakta, daire ve kareyi adlandırdıklarından daha az doğruları olduğu görülmüştür (Akt: Driskell, 2004). Mistretta (2000) çalışmasında van Hiele nin düşünme seviyelerini arttırmak için ek bir ünitenin alan denemesini yapmıştır. Çalışmada çoktan seçmeli ve kısa cevaplı sorular kullanılmıştır. Ön testte geometrik kavram, şekil ve alan bilgisini içeren seviye 0, 1, 2 soruları kullanılmıştır. Öğrenciler seviye 1 ve 2 sorularına zayıf cevaplar vermişlerdir. Adlandırma, tanımlama ve düzensiz şekillerin alanını bulmada şekiller arasında ilişkilendirmeler yapmakta zayıf kalmışlardır. Öğrencilerin düşünme düzeylerini tanımlamak için öğrencilere ön test, görüşme ve tutum testi uygulanmıştır. Bir aylık bir çalışma yapılmış ve çalışmada kavram kartları, grafik kâğıtları, alan bulmak için çoklu stratejiler, öğrencilerin yaptığı üç boyutlu geometrik figürler kullanılmıştır. Sonuçta seviye 0 sorularına ön testte sadece 4 öğrenci cevap verebilirken, son testte öğrencilerin %80 i cevap verebilmiştir. Ön testte 1 öğrenci

57 46 seviye 1 sorularına %50 cevap verirken ve 13 öğrenci çok başarısızken son testte sadece 1 öğrenci seviye 1 düzeyine ulaşamamış çoğunluk seviye 2 düzeyine ulaşabilmiştir. Sadece 8 öğrenci %80 in altında, üç öğrenci de %40 ın altında kalmıştır. Mistretta nın çalışmasında 8. sınıflardan bir grup üzerinde geometri konularıyla ilgili etkinlikler ve van Hiele seviyelerini göz önüne alarak hazırlanan hazır deneyler kullanılmıştır. Bu çalışmada düşünmenin ilk üç seviyesindeki baskın değişimlerin nasıl olduğundan çok sebepleri üzerinde durulmuş ve çoğu öğrencinin el aktiviteleri ve tartışmalarla geometriyi daha kolayca ve hoşlanarak öğrendiği görülmüştür. Duatepe (2000) tarafından yapılan Öğretmen Adaylarının Van Hiele Geometri Düşünme Düzeyleri İle Demografik Değişkenler Arasındaki İlişkiler Üzerine Bir Çalışma adlı araştırmada ilköğretim okullarında görev yapacak öğretmen adaylarının van Hiele düşünme düzeylerine ve bu düzeylerle adayların demografik değişkenleri arasındaki ilişkiye bakılmıştır. Araştırma 478 öğretmen adayı üzerinde yapılmıştır. Öğretmen adaylarının geometrik düşünme düzeylerini belirlemek için van Hiele geometri testi kullanılmıştır. Demografik değişkenleri ölçmek için ise araştırmacı tarafından hazırlanan Demografik Araştırma Anketi kullanılmıştır. Sonuçta öğretmen adaylarının geometrik düşünme düzeylerinin düşük olduğu görülmüştür. Ayrıca öğretmen adaylarının yaşları, liseden mezun oldukları yıl, anne ve babalarının eğitim durumlarına göre gruplandırıldıklarında, grupların van Hiele geometri testindeki başarıları arasında anlamlı bir fark olmadığı görülmüştür. Öğretmenlerin van Hiele testinden aldıkları puanlar, cinsiyetleri ve üniversitede bulundukları yıl dikkate alınarak analiz edildiğinde istatistiksel olarak anlamlı bir fark ortaya çıkmıştır. Ayrıca adayların okudukları lisenin bulunduğu coğrafi bölge, üniversitedeki bölümleri, lise türü, lisede alınan geometri dersi gibi değişkenler dikkate alındığında öğretmen adaylarının geometrik düşünme düzeyleri arasında istatistiksel açıdan anlamlı farklar ortaya çıkmıştır. Durmuş, Toluk ve Olkun (2002) tarafından yapılan Matematik Öğretmenliği Birinci Sınıf Öğrencilerinin Geometri Alan Bilgi Düzeylerinin Tespiti, Düzeylerinin Geliştirilmesi İçin Yapılan Araştırma ve Sonuçları adlı araştırmada Geometri

58 47 dersinde geometriye temel teşkil eden aksiyomları anlama ve aksiyomlara dayalı teoremleri ispatlamada değişik modelleri bir grup çalışması içerisinde kullanmanın öğrencilerin bilgi düzeylerini artırmaya etkisinin olup olmadığına bakılmıştır. Araştırmaya Matematik Öğretmenliği birinci sınıf öğrencilerinden 78 öğrenci katılmıştır. Araştırmada, deney gruplarına geometri dersinde işbirlikli öğrenme ortamı oluşturularak kavram ve aksiyomlar verilirken, kontrol grubunda ise aynı derste geleneksel yöntemle ders verilmiştir. Araştırmanın başında ve sonunda deney ve kontrol gruplarına van Hiele Geometrik Düşünme Testi ve araştırmacı tarafından geliştirilmiş beş soruluk bir geometri testi uygulanmıştır. Araştırmanın başında öğrencilerin geometrik düşünme düzeyleri düşük bulunmuştur. Araştırma sonucunda ise deney ve kontrol gruplarına verilen 14 haftalık eğitim sonunda grupların van Hiele geometri testi ve geometri testi puanları arasında istatistiksel açıdan anlamlı bir fark ortaya çıkmamıştır. Olkun, Toluk ve Durmuş (2002), tarafından yapılan Matematik ve Sınıf Öğretmenliği Birinci Sınıf Öğrencilerinin Geometrik Düşünme Düzeyleri adlı araştırmada ilköğretim bölümü sınıf öğretmenliği ve matematik öğretmenliği programlarına gelen öğrencilerin van Hiele düşünme düzeylerine ve bu düzeylerle bu programları seçme ölçütleri arasındaki ilişkiye bakılmıştır. Araştırma sonuçları öğrencilerin geometrik düşünme düzeylerinin düşük olduğunu göstermiştir. Öğrencilerin van Hiele düşünme düzeyleri ile ÖSS matematik netleri arasında istatistikî olarak anlamlı ilişkiler bulunmuştur. Kız ve erkek öğrencilerin geometri puanlarına bakıldığında erkeklerin lehine olmak üzere anlamlı düzeyde farklılıklar görülmüştür. Duatepe ve Akkuş (2003) tarafından yapılan Okul Öncesi Öğretmen Adaylarının van Hiele Düşünme düzeylerinin belirlenmesi adlı araştırmada okul öncesi öğretmen adaylarının geometrik düşünme düzeylerinin belirlenmesi amaçlanmıştır. Araştırmada veri toplama aracı olarak van Hiele geometri testi kullanılmıştır. Ankara da bulunan dört devlet üniversitesindeki 94 üçüncü sınıf ve 126 dördüncü sınıf olmak üzere 220 okul öncesi öğretmen adayı araştırmanın örneklemini oluşturmuştur. Araştırma sonucunda okul öncesi öğretmen adaylarının

59 48 geometrik düşünme düzeylerinin oldukça düşük olduğu görülmüştür. Ayrıca araştırmada meslek lisesi mezunu öğretmen adaylarının diğer liselerden mezun olanlara göre geometrik düşünme düzeylerinin daha düşük olduğu belirlenmiştir. Matthews (2004) çalışmasında geometride Mira nın evre temelli öğretimi geleneksel geometri öğretimi ve geometri konuları dışındaki matematik konularının öğretimini kıyaslamak için 5. sınıflardan 52 öğrenci seçmiştir. Her bir öğrencinin van Hiele seviyelerinde gelişimini tanımlamak için 5. sınıflar düzeyinde kalem kağıt testleri geliştirilmiştir. Öğrencilere ön test, 10 günlük öğretimin ardından da son test verilmiştir. Bu çalışmanın sonucunda Miranın evre temelli öğretimi ve geleneksel geometri öğretiminden sonra 5. sınıf öğrencilerinin van Hiele seviyelerindeki gelişmede artış olduğu görülmüştür. Geometri öğretimi yapılmadan yalnızca bazı matematik konuları üzerinde durulan gurubun van Hiele seviyelerinde ise değişiklik görülmemiştir. Sonuç olarak Miranın evre temelli öğretimi ile geleneksel geometri öğretimi alan grupların van Hiele seviyelerinde gelişme görülmektedir. Çetin ve Dane (2004) tarafından yapılan Sınıf Öğretmenliği üçüncü sınıf öğrencilerinin geometrik bilgilere erişi düzeyleri adlı araştırmada sınıf öğretmenliği üçüncü sınıf öğrencilerinin geometrik bilgilere erişi düzeylerinin incelenmesi amaçlanmıştır. Öğretmen adaylarına geometriyle ilgili konu ve kavramları içeren açık uçlu yedi sorudan oluşan bir test uygulanmıştır. Araştırma 65 öğretmen adayı üzerinde yapılmıştır. Araştırma sonucunda öğretmen adaylarının % 65 lik kısmının geometride görülen temel kavramları tanıyamadıkları ve uygulayamadıkları görülmüştür. Ayrıca araştırmaya katılan adayların birbirlerine bağımlı olarak tanımlanan matematiksel kavramları birbirlerinden bağımsız gibi kullandıkları belirlenmiştir. Ünal (2005), çalışmasında orta ve lise seviyesindeki öğretmenlerin geometrik düşünme türleri, merak türleri, uzamsal düşünme yetenek seviyeleri ve merak türleriyle, uzamsal düşünmeleri arasındaki ilişkiye bakmıştır. Bu çalışmada nitel ve nicel metot birlikte kullanılmıştır. Öğrencilerin van Hiele seviyeleri, Mayberry tarafından dizayn edilen (1981) görüşme kullanılarak belirlenmiştir. 4 öğretmenle

60 49 görüşme yapılmıştır. Orta ve lise öğretmenlerinin uzamsal yetenekleri ve geometriyi anlama düzeyleri arasında farklılıklar çıkmıştır. Ön görüşme sonuçları bir öğretmenin çok yüksek seviye 2, bir kişi seviye 2 ve 3 arasında, bir kişi 3 ve 4 arasında, biri seviye 3 düzeyinde olduğunu göstermiştir. Son görüşme sonuçlarında üç öğretmenin geometriyi anlama seviyelerinde gelişme olurken bir kişinin uzamsal yeteneğinde yükselme görülmemiştir. Motivasyon, merak düzeyleri ve uzamsal yetenek arasındaki, korelasyona bakıldığında (Motivasyon bağımlı değişken, merak ve uzamsal yetenek bağımsız değişken) kişisel merak ve motivasyon arasında ilişki olduğu görülmüştür. Aksu (2005) ilköğretimde aktif öğrenmenin ve geleneksel öğretimin öğrencilerin geometrik başarıları, kalıcılığı, matematiğe karşı tutumu ve geometrik düşünme düzeyleri üzerine etkilerini incelemek amacıyla yaptığı araştırmada beşinci sınıftan 106 öğrenciyle çalışmıştır. Araştırmanın sonucunda Aktif öğrenme geometri dersinde öğrenci başarısını arttırmada geleneksel öğretime göre daha etkili olduğunu, deney grubu öğrencilerinde kalıcılığı ve geometrik düşünme düzeylerini arttırdığını, öğretmenin aktif öğrenme yöntemiyle tanıştıktan sonra görüşlerinin bu yöntem lehine değiştiğini görmüştür. Tertemiz ve Altıntaş (2006) ın ilköğretim 5. sınıf öğrencilerinin dörtgenler konusundaki hatalarını belirlemek amacıyla 277 si erkek, 292 si kız olmak üzere 569 öğrenci üzerinde yaptıkları araştırmada öğrencilerin dörtgenler ile ilgili kavramlar ve kavramlar arasındaki ilişkileri görüp göremediklerine bakılmıştır. Bu doğrultuda uygulanan dörtgenler testi sonucunda öğrencilerin belirgin birtakım kavram hataları ortaya çıkmıştır. Sınavda doğru cevap verilen soru sayısı kızlarda erkek öğrencilere oranla daha fazla olduğu görülmüştür. Öğrencilerin yaptıkları hatalar dikkate alındığında öğrencilerin paralel doğrular, kenar uzunlukları, çokgen, dikdörtgen, dikdörtgende açılar, paralelkenar konularında birtakım kavramsal yanılgılara sahip oldukları görülmektedir. Elde edilen bulgular incelendiğinde öğrencilerin geometrinin bir alt öğrenme dalı olan dörtgenler konusundaki kavramları karıştırdıkları, yamuğun algılanmasında eksiklikler ve yanlışlıklar bulunduğu anlaşılmaktadır. Ayrıca öğrencilerin matematiksel dili kullanmada başarılı

61 50 olmadıkları paralelkenar, dikdörtgen ve dörtgen tanımını yaparken eksiklikler bulunduğu görülmektedir. Toptaş (2007), ilköğretim 1. sınıf matematik dersi öğretim programında yer alan matematik dersinin alt öğrenme alanlarından biri olan geometri öğrenme alanı ile ilgili öğrenme öğretme sürecini incelemek amacıyla yaptığı araştırmada nitel araştırma yöntemlerinden biri olan durum çalışmasını kullanmıştır. Bir devlet okulunun birinci sınıfından 40 öğrenci içerisinden seçkisiz yolla seçtiği 12 öğrenciyle ve sınıf öğretmeniyle çalışmıştır. Araştırmanın sonunda geometrinin alt öğrenme alanları ile ilgili olarak öğretmenin genellikle düz anlatım yöntemini ve bu yöntemde benimsenen soru cevap tekniğini kullandığı, öğretmenin sorduğu soruların ise yeterince yargılayıcı ve düşündürücü olmadığı, ders işleniş sürecinde ise öğretmen ve öğrenciler arasında tek yönlü bir iletişim yaşandığı ortaya çıkmıştır. Yine öğretmenin konuların amacına uygun materyalleri sınıfa getirmek yerine öğretmen merkezli etkinlikler kullanarak etkinlikleri öğrencilerin gerçekleştirmesine izin vermediği ve çok az somut materyal kullandığı tespit edilmiştir. Öğrencilerin geometri alt öğrenme alanlarından biri olan uzamsal ilişkilerle ilgili kazanımları öğretim sürecinde ve süreç sonundaki öğrenme düzeylerine bakıldığında programda öngörülen kazanımlarla ilgili terimlerin hepsini öğrenmedikleri görülmüştür. Bu bölümde genel olarak, ele alınan araştırmaların ortak konusunun geometri öğretim sürecinin önemi olduğu görülmektedir. İncelenen bu araştırmalar öncelikle doğru olarak seçilmiş ve hazırlanmış olan geometri öğretim süreçlerinin etkili öğrenmelerle sonuçlandığını göstermektedir. Yine ele alınan birçok araştırma van Hiele tarafından geliştirilen teoriyi doğrulamakta ve van Hiele nin araştırmalarıyla sunduğu geometrik düşünme seviyelerine eğitimcilerin dikkatini çekeceği düşünülmektedir. Araştırma sonuçlarından hareketle geometri öğrenmenin, öğretimin niteliğiyle çok ilgili olduğu sonucunun ise dikkate alınması önemsenmektedir. Etkili bir geometri öğretiminde araç gereç kullanımının önemi ve van Hiele nin sunduğu geometrik düşünme düzeylerinin iyi bilinmesi gerektiği, geometri derslerinde öğrencilerin sahip oldukları düşünme düzeylerinin doğru belirlenerek, dersleri bu

62 51 düzeylere uygun olarak hazırlamanın doğru bir yaklaşım olacağı bu araştırmaların bize sunduğu önemli bilgiler arasında olduğu söylenebilir.

63 3. BÖLÜM YÖNTEM Bu bölümde bilimsel araştırma yöntemlerinden nitel araştırma, nitel araştırma yöntemlerinden olan fenomenografi, fenomenografik çalışmanın analiz aşamaları, veri toplama araçları (bireysel görüşme, gözlem), katılımcılar, veri toplama süreci ve takvimi, toplanan verilerin analizi ve yorumlanması ele alınmıştır Nitel Araştırma İnsan davranışı durağan değildir; sürekli gelişen ve değişen bir özelliğe sahiptir. İnsan davranışının karmaşık ve tahmin edilmesi güç özelliği de buradan kaynaklanmaktadır. Bu nedenle insan davranışını konu edinen araştırmaların, süreci dikkate alması ve süreç içindeki davranışların nasıl biçimlendiğini incelemesi gerekmektedir. İnsan davranışının incelenmesinde fen bilimlerinde yaygın olarak kullanılan mekanik anlayışın aksine, insan davranışının doğasına uygun daha farklı bir anlayış benimsememiz gerektiğini vurgulamaktadır. Bu anlayış araştırmalarda geleneksel olarak kullanılan nicel yöntemlerin dışında insan davranışının doğasına uygun nitel bazı yöntemler geliştirmemiz gerektiğine işaret etmektedir. Nitel araştırmayı, gözlem, görüşme ve doküman analizi gibi nitel veri toplama yöntemlerinin kullanıldığı, algıların ve olayların doğal ortamda gerçekçi ve bütüncül bir biçimde ortaya konmasına yönelik nitel bir sürecin izlendiği araştırma olarak tanımlamak mümkündür (Yıldırım ve Şimşek, 2000, s.19). İnsan ve grup davranışlarının niçin ini anlamaya yönelik araştırmalara nitel araştırma denir. Nitel araştırma Niçin? Nasıl? Ve Ne şekilde? Sorularına yanıt arar. Nitel araştırma kişilerin kanaatleri, tecrübeleri, algıları ve duyguları gibi öznel verilerle meşgul olur. Nitel araştırma bir durumu, ilişkili bağlantıları içinde bütüncül

64 53 bakış açısıyla anlamaya çalışır. Bir olayı etkileyen değişkenleri kendisi ortaya çıkarır. Nitel araştırmalarda veriler gözlem, görüşme ve anket yoluyla toplanabilir. Zaman alıcı olması dolayısıyla küçük örneklemler üzerinde çalışılır ( Ergün, 2005). Bu araştırmada nitel araştırma yöntemlerinden biri olan fenomenografi, özellikleri ve analiz süreci ayrıntılı bir şekilde ele alınmıştır Fenomenografi Fenomenografik çalışma yaşam deneyimleri ve doğal olaylarda görünen doğal araştırma formudur. Fenomenografi insanların kavram oluşturdukları ve olayların görününümleri üzerindeki deneyimlerini açığa çıkaran nitel araştırma yaklaşımıdır (Patton,1980). Olayların nasıl deneyim haline geldiğini bulmakla ilgilenir. Fenomenografi fenomenoloji den farklıdır. Fenomenografi grup içerisindeki bireylerin fenomenlere verdikleri anlamları paylaşarak nasıl öğrendiklerini araştırır. Fenomenoloji için ise kişi ya da grup, gerçek ya da hayal eşit değerdedir. Fenomenografik çalışmalar eğitimcilere ele aldıkları soruları cevaplandırmak açısından yararlıdır. Odaklanılan gruplarda daha iyi öğrenme nasıl gerçekleşir noktasında fenomenografik çalışmalar büyük öneme sahiptir. Fenomenografi İsviçre de 1970 lerden bu yana kullanılmaktadır (Marton, 1994). Fenomenografi bir şeyin farkında olma yöntemidir. Fenemenografide iki temel varsayımdan biri insanların olağandışını nasıl deneyimlediği, kavramsallaştırdığı veya anladığını belirlemenin çeşitli yollarının olduğu diğeri ise bunları sınırlı sayıdaki tanım kategorileri ile tanımlamanın mümkün olduğudur. Bir kavramın her zaman iki boyutu vardır; biri insanların ne deneyimlediğine odaklanır, örneğin; bir durumun içeriği veya referans durum; diğeri ise herhangi birinin belirli bir fenomen hakkında ne düşündüğüne odaklanır; örneğin yapısal durum (Marton 1996, s.180). Fenemenografiye göre bilgi her zaman belirli bir içeriğe bağlıdır. Bir insanın bir şey hakkındaki kavraması bu insanın bu fenomen hakkındaki bilgisidir. Bir fenomen ile ilgili olarak nesnel bilgi insanların bu fenomen hakkında düşündüğü çeşitli yolları içerir. Bu bilginin her zaman şartlı olduğu anlamına gelir. Bu aynı

65 54 zamanda bilginin niteliksel olduğu anlamına da gelir. İnsanlar arasındaki bilgi farkının daha az ya da daha çok olması söz konusu değildir. Bir konuda daha bilgili olmak, fenomenin daha derin niteliksel çeşitliliği ile daha karmaşık anlaşılmasıdır. Bilgiye bu şekilde bakmak öğrenmeyi bir fenomenin anlaşılmasındaki yöntemlerin değişmesi şeklinde fenomenografik kavranışı ile yakından ilgilidir. Bu kavramsallaştırmanın eleştirildiğini veya öğrenmenin genel bir süreç olarak tanımlandığını gösterir. Öğrenme belirli bir öğrenme içeriğinden ayrı görülemez (Limberg, 1999). Marton fenemenografinin psikolojik karakteri olmadığı konusunda ısrar etmektedir. Kavrama; zihinsel bir yapı değildir. Belirli bir fenomenin deneyimlenme şeklidir. Bir deneyim bir insana atfedilemez, belirli bir olay ve insan arasında bir ilişkidir ve araştırmanın hedefi her ikisine de diğerine odaklandığı oranda odaklanır. Fenemenografi meydana getirme ile ilgilidir. İnsanların dünya tecrübeleri insanlar arası ilişkiler ve dünya ile olan ilişkileridir. Birine diğerine yansıdığı kadar yansır (Marton, 1996, s.168). Fenomenografi diğer perspektiflerden farklıdır. Geleneksel yaklaşımlarda araştırmacılar teori ve bilgi toplamakla araştırmaya başlarlar. Burada tam aksine Fenomenografi temelli araştırmacılar önce terimlerde kavramsal yapı içindeki kategorileri bulmaya çalışırlar. Geleneksel araştırmalar veriden etkilenirken fenomenografi verilerden oluşur (Marton ve Svensson,1979). Fenomenografi ilk olarak grup içerisindeki bireyleri ve öğrenme durumları gibi sürekli olayları açığa çıkarmak için kullanılmıştır. Birincisi bireyler tarafından öğrenilen veya anlaşılan şeyleri anlamak ikincisi konunun nasıl öğrenildiğini anlamaktır (Hasselgren, 1997). Fenomenografik çalışma için özel olarak veriler toplanır. Veri toplama olay ya da öğrenme durumları ortaya çıktıktan sonra bireysel görüşmelerle sağlanır. Adaylarla görüşmeler ilk ya da sonraki aşamalarda olabilir. Görüşmelerin ardından

66 55 kaydedilir ve kaydedilen veriler kavramları tanımlamak için kullanılır. Araştırma sorularıyla ilişkilendirilir ve tanımlanan kavramlar sınıflandırılır ve gruplandırılır. Kategoriler kendi içinde, birbirleriyle ve çalışmanın konusuyla ilişkilendirilir. Sonraki adımda, analiz boyunca açığa çıkan kavramsal yapılar açıklanır. Fenomenografi içerik analizine benzemez. Fenomenografi bir kavramın diğerine göre genişliğiyle ilgilenmez. Bunun yerine kavramların yapısal ilişkilerine varmaya odaklanır. Fenomenografi görüşmelerden veri toplar. Aynı fenomenle ilgileri olan 20 kişi uygundur. Görüşmeler bireylerin aynı fenomenle ilgili anlam kurma yollarındaki sınırlılıkları ortaya koymak için dizayn edilmiştir. Birçok doktora çalışması ve araştırma raporu fenomenografik çalışmada 20 kişinin uygun olduğunu fazlasının kullanıldığında gerekli verinin bulunamadığı ortaya çıkmıştır (Sandberg, 2000) Veri Toplama Fenomenografide kavramların bireysel görüşmelerde kendi esaslarına sahip olduğunu hatırlamak önemlidir. Fakat bir kez belirlendiğinde ve tanımlandığında bu kavram kategorileri araştırılan fenomen ile bağlantılı hale gelirler. Fenomene ait tanım bir çeşitlemenin tanımıdır, müşterek seviyedeki bir tanımdır. Bu manada bireysel sesler duyulmaz (Marton 1996, s.187). Fenemenografide en çok kullanılan veri toplama aracı bireysel görüşmelerdir. Bir şeyin nasıl göründüğü elbette ki çok farklı şekillerde ifade edilebilir. Aynı derecede önemli olarak bir insanın nasıl hareket ettiği nesnelerin ona nasıl göründüğünü ifade eder. Buna göre grup görüşmelerinin, gözlemlerin, çizimlerin, yazılı cevapların ve tarihi dokümanlarının bilgi için ana kaynak olarak kullanılmış olduğu fenomenografik incelemeler de vardır (Marton, 1994). Veri toplamanın çeşitli yollarına rağmen tercih edilen yol bireysel görüşmedir. Bu yapının farkındalığı ile ilgilidir. Fenomenografide araştırmacı kendi farkındalığını veya yansımasını incelemektedir. Görüşme diyalog şeklinde yapılmalıdır. Görüşler anlayışlar görüşme öncesinde orada değillerdir. Dışarıya

67 56 çıkmaya hazırdırlar. Bu türdeki bir görüşmenin önceden hazırlanmış çok sorusu olmamalıdır. Daha önceden belirlenmiş çok fazla detayı da olmamalıdır. Soruların çoğu konunun dediklerini takip eder. Konu fenomenin görüldüğü şekilde oluşturulmalıdır. Konunun farklı özellikleri mümkünse müştereken veya tamamen keşfedilmelidir. İlk soru genel olarak fenomeni hedef alabilir şöyle ki genel bir münazaranın ardından konuyu sorarken Bu arada öğrenme ile ne demek istediniz? gibi alternatif olarak konunun genel fenomeninin örnekleri ile açığa çıkması istenebilir. Bu türdeki araştırmalar bu sebeple eğitimsel araştırmalara çok yakındır. Aynı katılımcı fenomeni anlayışını birden fazla şekilde ifade edebileceği için birey analiz edilecek olan birim değildir. Bireyler arasındaki sınırlar olduğu gibi geçici olarak kaldırılmıştır. Farklı görüşmelerden çıkan veriler beraberce bölünmemiş ve oldukça kapsamlı analiz edilecek veriyi oluştururlar. Veriyi azaltmanın ilk yolu sorgulanmakta olan fenomenin ne şekilde görüldüğünü ifade eden bakış noktasıyla ilgili olanları ve olmayanları belirlemektir. Bazen değişik konular veya olağan dışılıkların görüşme esnasında ele alındığı fark edilir. Verinin başlamak için konuya veya olağandışılıklara göre düzenlenmesi gerektiğinde her konu ve olağan dışılık için aynı anda analiz yapılması gerekir. Bir sonraki adım fenomenin anlaşılmasının farklı yollarının belirlenmesidir. Belirli anlamaların belirdiği iki mekanizma vardır. Biri benzerliklere dayanır. Fenomenle ilgili olarak yapılan incelemelerde iki kelimenin aynı anlamı yansıttığını belirlendiğinde fenomenin belirli bir anlaşılma şeklinin farkına varabiliriz. Bunu yapmak için mümkün olan söylenenle ilgili olarak en derin anlayış amaçlanmalıdır. Belirli ifadelerin hem müştereken hem de bireysel bağlamda yorumu yapılmalıdır. Bu fenomenografik analizin açıklayıcı elementidir Fenomenografik Çalışmanın Analiz Aşamaları Fenomenografide analiz keşif prosedürüdür. Bir ölçüm değildir. Bir fenomenin nasıl anlaşıldığına dair değişik şekillerin bulunması, yeni bir bitki veya uzak bir adanın keşfi gibi bir keşiftir. Keşif tekrar edilebilir olmak zorunda değildir.

68 57 Diğer araştırmacılar sorgulanmakta olan fenomenin görünüş şekillerinin değişik örneklerinin genel olarak kabul edilmesi için fenomenin çıktı alanı bir kez ortaya çıkarıldıktan sonra etkili bir şekilde iletilmelidir. Çıktı alanının tanımını inceledikten sonra diğer bir araştırmacı kategori tanımlarının bulunduğu materyalde her müstakil duruma hangi takım kategorisinin uygulanacağına karar verebilir hale gelmelidir. Böyle bir karar söz konusu olduğunda iki bağımsız ve yeterli araştırmacı arasında makul bir seviyeye kadar anlaşma olmalıdır (Marton, 1994). İlgili kayıtların gruplanmasının ardından ilgi odağı kayıtlar arası ilişkilerden gruplar arasına kaydırılır. Her grubun kritik özniteliklerinin ve gruplar arasındaki ayırıcı özelliklerin ne olduğunu belirlenmelidir. Bu şekilde belirli bir fenomenin ne şekilde algılandığına kavramsallaştırıldığına ve anlaşıldığına dair çeşitlemeyi karakterize eden kategori grupları geliştirilebilir. Tanım kategorileri arasında mantıksal ilişkiler bulunmasıyla ve sorgulanan fenomenin görünüşüne dair bir hiyerarşi oluşturulabilir. Fenemenografik analizde etkileşimli olarak farklı adımlar atılmalıdır. Her takip eden sıralı adımın sadece takip eden adım için değil, aynı zamanda gelecek olan diğer adımlar için çıkarımları olacağından analiz bazı durumlarda adımların eş zamanlı atılacağı şekilde birkaç kez yürütülebilir. Fenomenografinin esası tanım kategorilerinin bireylerin niteliklerinden çıkarılmamış olmasıdır. Tanım kategorileri toplanmış olan verinin anlam havuzunun tamamından görüşmeler veya yazılı yorumlar kullanılarak analitik olarak çıkarılır. Bireyler ise belirli bir tanım kategorisine katkıda bulunan veri parçaları olarak görülürler. Varılacak tanım müşterek seviyede belirlenmiş bir tanım olmalıdır (Adawi and İngerman, 2006). Fenomenografik çalışmanın analiz edilmesi genel olarak 7 aşamadan oluşmaktadır. Bu aşamalar: 1. Samimiyet 2. Yoğunlaşma

69 58 3. Mukayese 4. Gruplama 5. Açıklama 6. Sınıflandırma 7. Karşılaştırma Fenomenografide standart bir analiz yolu yoktur. Adlandırmadan sınıflandırmaya kadar tekrar tekrar dataları gözden geçirmek gerekmektedir (Marton, 1996). a. Samimiyet: Analizin ilk aşamasıdır. Her kaydın en az üç kere listelenmesidir. İlk bakışta kayıtlar en iyi şekilde dinlenir, ikinci bakışta yanlış anlaşılmalar doğrulanır. 3. bakışta vurgulanan kelimeler yükselen ve alçalan enerji, vurgulanan anlam gibi sonuç çıkarmak zorunludur. Benim sorularım mavi, konuşanın kelimeleri siyah, araştırma notları kırmızı, yorumlar yeşil böyle bir sistemle transkripti gözden geçirmek kolaylaşır. b. Yoğunlaşma: Bu bölümde katılımcının anlattıkları sayısız kez gözden geçirilir. Bu uzun sürece rağmen aynı tekste defalarca bakılır. Başlangıçta sorulacak soru Bu durum nasıl açıklanır?dır. Sonra tekstin içindeki anlam kategorileri analiz edilir. c. Kıyaslama ve gruplama: Kıyaslamaya başlarken zıtlık ve grup çeşitlemelerini, düşüncelerde bulunan varyasyonları kapsayan sınıflamaları bulmak için çeşitli kereler göz atmak gerekmektedir. Metinlerdeki yoğun anlamı gruplamaya ve kıyaslamaya başlamak gerekmektedir. e,f,g: Açıklama, sınıflama, karşılaştırma: Bu bölümde tekst sınırlandırılır. Ana anlamlar etiketlenir ve kavramlar gruplanır, kategorize edilir ve isim verilir Araştırmada Kullanılan Veri Toplama Araçları ve Verilerin Analizi

70 59 Öğretmenlerin geometri öğretiminde van Hiele nin ortaya koyduğu geometrik düşünme sürecinin ne kadar farkında olduklarını belirlemek amacıyla her öğretmenle görüşmeler yapılmıştır. Bu görüşmeler için yarı yapılandırılmış sorulardan oluşan görüşme formu hazırlanmıştır. Görüşmelerin ardından sınıflarda yapılacak olan gözlemler için ise gözlem formu hazırlanmıştır. Bu çalışmada beş öğretmenle yapılan görüşmeler tekrar tekrar dinlenmiş ve iki uzman tarafından iki kez yazıya dökülmüştür. Güvenilir kayıtlar elde edildikten sonra her iki uzman da elde edilen verilerden kategoriler çıkarmışlardır. Görüşmeci ve araştırmacının konuşmaları farklı renkler kullanılarak yazılmıştır. Ardından uzman yardımıyla tutulan listeler tekrar tekrar incelenip gruplandırmalar yapılmıştır. Buradaki amaç fenomenle ilgili olarak anlam kategorilerine ulaşmak ve listeleri sınırlandırmak ve kısaltmaktır. Bu sınırlandırma ve gruplandırmalar yapılırken görüşmecilerin deneyimlerinden ortaya çıkan anlam kategorileri arasında kıyaslamalar yapılmıştır. Uzman ve araştırmacı tarafından bulunan kategoriler karşılaştırılmış ve asıl kategorilere ulaşılmıştır. Kategorilerin belirlenmesinin ardından tablolar oluşturulmuş ve kategorileri yansıtan örnek cümlelerle zenginleştirilmiştir. Tablolar oluşturulduktan sonra kategorilere yönelik açıklamalar yapılmıştır. Açıklamalar yapılırken özellikle kategoriler arasındaki ilişkiler de ortaya çıkarılmaya çalışılmıştır Bireysel Görüşme Bireysel görüşme, nitel araştırmada kullanılan en yaygın veri toplama yöntemlerinden biridir. Bireylerin verilerini, görüşlerini, deneyimlerini ve duygularını ortaya çıkarma yönünden oldukça güçlü bir yöntem olan görüşme, iletişimin en yaygın biçimi olan konuşmayı temel alır. Bu yönüyle yazmaya veya doldurmaya dayalı testler ya da anketlerde var olan sınırlılığı ve yapaylığı ortadan kaldırır (Yıldırım ve Şimşek, 2000). Bireysel görüşme, görüşme sıkı yapılandırılmış, yarı yapılandırılmış ve

71 60 yapılandırılmamış olarak üçe ayrılır. Sıkı yapılandırılmış görüşmede sorular önceden belirlenmiştir. Herkese aynı sorular sorulur. Yarı yapılandırılmış görüşmede bazı açık uçlu sorular vardır. Görüşen ve görüş bildiren bazı konularda derine gidebilir. Yapılandırılmamış görüşmede sorular serbesttir. İstenilen konuda derinlemesine gidebilir. Verilen cevaplar yönlendirici olur (Ergün, 2005) Bireysel Görüşme Formu Güvenirliği Bu araştırmada bireysel görüşme için yarı yapılandırılmış görüşme formu uygulanmıştır. Yarı yapılandırılmış görüşme soruları açık uçlu sorulardan oluşturulmuştur. Görüşme formunda bulunan sorular literatür incelenerek van Hiele nin Geometrik Düşünme Seviyeleri ve özellikleri derinlemesine araştırılarak van Hiele (1986), Olkun ve Toluk (2004), Wan De Walle (2004) nin kitaplarında sundukları, van Hiele nin Geometrik Düşünce Seviyelerine uygun etkinliklere uygun olarak hazırlanmıştır. Hazırlanan sorular iki doçent, iki yardımcı doçent tarafından incelenmiş ve görüşme formu hazırlanmıştır. Hazırlanan görüşme soruları görüşme sırasında öğretmenlere sorularak, öğretmenlerin geometri öğretirken öğrencilerin geometrik düşünme becerilerinin gelişim düzeylerine uygun eğitim verip vermediklerini tespit etmek için yapılmıştır. Görüşme soruları araştırmada kullanılamadan önce üç değişik öğretmenle görüşülerek bir pilot uygulama yapılmıştır. Pilot uygulama sonunda görüşme sorularına son şekli verilmiş ve görüşmelere hazır hale getirilmiştir. Pilot uygulamada sorulan soruların bazılarının öğretmenler tarafından karmaşık bulunan ifadeleri düzenlenmiş, bazı soruların yerleri değiştirilmiştir. Görüşme formunda bulunan öğretmenlerin verdikleri cevaplara yönelik olarak pilot uygulama öncesinde hazırlanan beş sorunun toparlanmasıyla, alt sorular şeklinde ifade edilmiştir. Bu düzenlemeyle sorulan soruların ve görüşmeci tarafından verilen cevapların tekrarından kaçınılarak görüşme formu son haline getirilmiştir (Ek 1). Görüşmelerde sorulara verilen cevaplar dijital ses kayıt cihazı ile kaydedilmiştir. Kayıt işlemi başlamadan önce öğretmene vereceği cevapların kaydedileceği söylenmiş ve gerekli izin alınarak kaydedilmiştir. Wav uzantılı

72 61 kaydedilen cevaplar daha sonra dinleme işlemlerini kolaylaştırması açısından mp3 formatına dönüştürülmüştür. Öğretmenlerin cevapları öncelikle araştırmacı tarafından duraklamalar dahi dikkate alınarak kelime kelime metin biçimine dönüştürülmüştür. Metin biçimine dönüştürülen cevaplar daha sonra bilgisayar ortamına aktarılmıştır. Bilgisayar ortamındaki metinler ve ses kayıtları sınıf öğretmenliği alan uzmanı bir akademisyene elden teslim edilmiştir. Uzmandan öncelikle mp3 formatındaki görüşmelerle yazılı metni karşılaştırması istenmiş ve bir farklılık olup olmadığını belirlemesi istenmiştir. Bu karşılaştırma sonunda 2.sınıf öğretmeni ve 4. sınıf öğretmenin metinlerinde birer cevapta düzeltme yapılmıştır. Daha sonra aynı uzmandan metinlere ait alt kategoriler tespit etmesi istenmiştir. Uzmanın belirlediği kategoriler araştırmacının kategorileri ile karşılaştırılmıştır. Bu karşılaştırma sonucunda da araştırmacının belirlediği görüşme kategorilerinde düzenleme yapılmış ve bir kategori başka bir kategoriye dâhil edilmiştir. Bu düzenlemede ortak olan kategoriler araştırmada analiz amacıyla kullanılmıştır. Her soruya verilen cevaplardan hareketle belirlenen kategoriler tablolara yerleştirilmiştir. Örneğin; birinci sorudan beş kategori çıkarılmış beş satırda kategoriler sergilenmiştir. Her kategorinin yanına kategoriyle ilgili olan öğretmenin numarası eklenmiştir. Belirlenen kategorilerin çıkarıldığı cümlelerden örnek olarak ifadeler seçilmiş ve aynı satırda gösterilmiştir. Bireysel görüşmeler okul ortamında öğretmenlerin uygun oldukları saatlerde yapılmıştır. Görüşmeler öğretmenlerin kendi istedikleri ve rahat ettiklerini belirttikleri mekânlarda yapılmıştır. Yalnız birinci sınıf öğretmeni okuma yazma çalışmalarının yoğunluğu nedeniyle araştırmacıyı evine davet etmiştir. Öğretmenlerin görüşme sırasında gözlem yapılırken olduğu kadar rahat olmadıkları gözlenmiştir. Öğretmenlerin görüşmenin ilk sorusunun genel ifadesinin etkisiyle rahat cevap vererek görüşmeye başlamaları, görüşülen bireyleri rahatlattığı dikkati çekmiştir. Öğretmenler sorulan soruları anlamakta ve cevap vermekte

73 62 zorlanmamışlardır. Yalnız görüşmelerin okul ortamında yapılıyor olması nedeniyle bazı öğretmenlerle görüşürken görüşmeye birkaç kez ara verilmesine neden olmuştur. Görüşmeler ortalama olarak elli, elli beş dakika sürmüştür. Deneyimli öğretmenlerin görüşme sorularına kısa ve net cevaplar vermeyi tercih ettikleri dikkati çekmiştir Gözlem Gözlem herhangi bir ortamda ya da kurumda oluşan davranışları ayrıntılı olarak betimlemek amacıyla kullanılan bir yöntemdir. Ancak gözlem basit anlamda sadece normal durumlarda sık olarak görülmeyen davranışları ortaya çıkarmak için kullanılmaz. Eğer bir araştırmacı herhangi bir ortamda oluşan bir davranışa ilişkin ayrıntılı kapsamlı ve zamana yayılmış bir resim elde etmek istiyorsa gözlem yöntemi kullanılabilir. Gözlem yöntemi araştırmacının uygun bulduğu her türlü sosyal veya kurumsal ortamda bir veri toplama aracı olarak kullanılabilir (Yıldırım ve Şimşek, 2005). Nitel verilerin hepsi doğrudan görüşmelerle sağlanamaz. Bazen başkalarının gözlem ve düşüncelerinden ziyade doğrudan gözlem yapmak daha güvenilirdir (Ergün, 2005). Gözlem formu araştırmacının sınıf içinde yapılan etkinlikleri, konuşmaları, öğretmen sorularını, öğrenci cevaplarını, öğretmen-öğrenci, öğrenci-öğrenci iletişimini kayıt altına almak amacıyla oluşturulmuştur. Gözlem formu içerisinde gözlem yapılan sınıf, öğretmen, gözlemin yapıldığı tarihin not edilebileceği ve ayrıntılı olarak öğretmen ve öğrenci davranışlarının kaydedilebileceği bölümden oluşmaktadır (Ek 2). Araştırmada yapılandırılmış bir gözlem aracı kullanılmamıştır. Gözlem yapılan sınıflardaki öğrenci defterlerinden biri seçilmiş ve gözlem sonuçlarına ek olarak incelenmiştir (Ek 3). Sınıf öğretmenlerinin, öğretim programının zorunlu kıldığı geometri derslerinin tamamı gözlemlenmeye çalışılmıştır. Birinci, ikinci, üçüncü ve beşinci sınıf düzeylerinde bütün geometri konuların izlenmiş ve kaydedilmiştir. Dördüncü sınıf düzeyindeki gözlemler % 80 oranında yapılabilmiştir. % 20 lik bu kayıp sınıf

74 63 öğretmeninin belirlenen gözlem saatlerindeki rahatsızlığı sebebiyle yapılamamıştır. Gözlemlerin güvenirliğini sağlayabilmek amacıyla araştırmacının yanı sıra bir başka uzman tarafından araştırmacıyla birlikte gözlemler yapılarak gözlem sonuçları karşılaştırılmıştır. Bu karşılaştırma sonucunda araştırmacı ve uzmanın sınıf içi etkinlikleri benzer şekilde not aldıkları tespit edilmiştir. Gözlem notları araştırmacı tarafından sınıf ortamında tutulmuştur. Araştırmacı gözlem için sınıfa erkenden gidip öğrencilerin dikkatini çekmeyecek bir yere oturmaya çalışmıştır. İlk gözlemlerde öğretmen ve öğrenciler araştırmacının derse katılmasını ve yorum yapmasını beklemişlerdir. Fakat araştırmacı derslere kesinlikle müdahale etmemiş, zamanla gerek öğretmen gerekse öğrenciler araştırmacının varlığına alışmışlardır. Sınıf öğretmenleriyle geometri konularını işleyecekleri tarih ve saatleri not alınmış ve ilgili tarih ve saatlerde randevu alınmıştır. Gözlem saatleri belirlenirken ders kitaplarında geometri konularının en başta oluşundan ve tüm öğretmenlerin aynı saatlerde geometri dersi işliyor olmasından kaynaklanan sorun araştırmacının aynı okulda çalışıyor olması ve dönem başında ders programları hazırlanırken araştırmanın yapılacağının göz önüne alınmasıyla çözülmüştür. Araştırmacının aynı okulda çalışıyor olmasının bir yararı da öğrencilerin araştırmacıyı tanıyor olmasıyla derslerde çok dikkat çekmemiş olmasıdır. Araştırmacı her sınıf gözlemi için belirlenen tarih ve saatte sınıflarda hazır bulunmuştur. Öğretmenlerin bazı geometri konularını işlemeyip dönem içinde başka bir zaman işlemek istemeleri, yine sınıf içerisine kayıt cihazı kabul etmemeleri ve kayıtların yazarak tutulmuş olması araştırmacının karşılaştığı güçlüklerdendir. Her sınıf düzeyinde ortalama 10 saat gözlem yapılmıştır. Yalnızca birinci sınıfta öğretmenin okuma yazma çalışmalarının ağırlığı nedeniyle geometriye fazla zaman ayırmamasından dolayı dört saatlik bir gözlem yapılabilmiştir. Gözlemlerin tamamlanmasının ardından tutulan notlar bilgisayar ortamına aktarılmıştır. Bilgisayar ortamına aktırılan gözlem notları gözlem kategorileri oluşturmak amacıyla son kez kontrol edilmiş gözlem formunda bulunan bütün

75 64 notların aktarılıp aktarılmadığı yoklanmıştır. Gözlem kategorileri öncelikle araştırmacı tarafından oluşturulmuştur. Uzman tarafından oluşturulan kategorilerle araştırmacının çıkardığı kategoriler karşılaştırılmıştır. Kategoriler oluşturulurken öğretmenlerin geometri ders sürecini kapsayan öğretim etkinlikleri, örnekleri dikkate alınmıştır. Gözlemlerin öğretmenlerin istedikleri konu ve saatlerde yapılmasına dikkat edilmiştir. Bu da hem öğretmenin hem de gözlemcinin daha rahat olmasını sağlamıştır. Gözlemlerin yapıldığı sınıflar ortalama olarak 24 kişilik sınıflardır. Sınıflarda her öğrenciye ait birer masa ve dolap bulunmaktadır. Televizyon, tepegöz, teyp ve VCD sınıf ortamında bulunan araçlardandır. Sınıf ortamında bilgisayar bulunmamaktadır. Öğrenci sıraları arka arkaya dizilmiş ve klasik bir sınıf ortamı oluşturulmuştur. Araştırmacı, gözlemleri yaparken öğretmen ve öğrencileri rahatsız etmemek ve dikkatlerini çekmemek amacıyla arkaya oturmuş ve ders boyunca hiçbir şekilde müdahale etmemiştir. Araştırmacının aynı okulda çalışan bir öğretmen olması nedeniyle zaman zaman öğretmen ve sınıfta bulunan öğrenciler sorular sorup veya etkinliklere katılmasını istemişlerdir. Fakat birkaç gözlemin ardından araştırmacının tutumu, öğretmen ve öğrencilerin araştırmacının sınıf ortamındaki varlığına alışmış olmaları gözlemlerin daha rahat yapılmasını sağlamıştır. Gözlemler yapılırken en düzenli olarak ikinci sınıf ve beşinci sınıf öğretmenleri gözlenmiştir. Bunun nedeni öğretmenlerin programa bağlı olarak ve düzenli bir şekilde derslerini işlemeleridir. Üçüncü sınıf öğretmeni zaman zaman geometri işlemeye ara verip başka matematik konuları işlemiştir. Bu nedenle gözlemlere ara verilmiştir. Bu durumun gözlemci açısından yararı ise geometri konularını tüm sınıfların aynı anda işlemesinden dolayı gözlemcinin rahat gözlem yapmasını sağlamıştır. Dördüncü sınıf öğretmeni ise konuları hep bir sınıf ilerde işlemeyi tercih ettiğinden dolayı programa bağlı kalmamıştır. İşlemesi gereken konuları bir sınıf önceden işlediğinden öğretmen geometri derslerini kendi istediği biçimde yönlendirmektedir.

76 65 Gözlemlerle ilgili analizlerde belirlenen kategorilere uygun konuşma cümleleri seçilmiştir. Bu konuşma cümleleri derslerin sırasına göre değil kategoriye uygun olup olmamasına göre seçilmiştir. Analizlerde öğretmen konuşmalarının başına (Ö), Çocukların konuşmalarının başına ise (Ç) harfi konularak kodlamalar oluşturulmuştur Katılımcılar ve Özel Okula Ait Kısa Bilgiler Ankara'nın merkez ilçelerinden biri olan Çankaya ilçe milli eğitim müdürlüğüne bağlı bir özel okul seçkisiz örnekleme yöntemiyle araştırmanın yapılacağı okul olarak belirlenmiştir. Araştırmanın yapılabilmesi için okul içerisinden her sınıf düzeyinden bir öğretmen olmak üzere toplam beş öğretmen yine seçkisiz örnekleme yöntemiyle seçilmiştir. Araştırmanın uygulanması için birkaç öğretmenle ön görüşmeler yapılarak gözlem ve görüşmeler için alt yapı oluşturulmuştur. Araştırmada etik kurallar çerçevesinde öğretmenlerin gerçek isimleri kullanılmamış, öğretmenler 1, 2, 3, 4, ve 5 rakamlarıyla kodlanmıştır. Araştırmanın bu aşamasından sonra öğretmenlerin yerine kodları kullanılmıştır. 1, özel kolejde 1. Sınıf öğretmenidir. 12 yıllık deneyime sahiptir. Bir eğitim fakültesinin, sınıf öğretmenliği bölümünden mezun olmuştur. Fakat eğitimi süresince van Hiele ve teorisi hakkında hiçbir şey duymadığını kendisiyle yapılan görüşmede belirtmiştir. 1 ile tarihinde saat 15:15 te elli (50) dakikalık bir görüşme yapılmıştır. Görüşme, öğretmen 1. sınıf okuttuğundan dolayı okulda vakit bulamamış ve öğretmenin evinde yapılmıştır. 1, 2 sene devlet okullarında çalışmış daha sonra bu okulda çalışmaya başlamıştır. 10 senedir bu okulda çalışmaktadır. 1 Türkçe Öğretimi alanında yüksek lisans yapmıştır. Bu okulda uzman öğretmen kadrosuna geçmiştir. 2, özel kolejde 2.sınıf öğretmenidir. 28 yıllık deneyime sahiptir. Bir öğretmen okulundan mezun olmuştur. Eğitimi süresince van Hiele ve teorisi hakkında hiçbir şey duymadığını kendisiyle yapılan görüşmede belirtmiştir. Bu okulda 2 senedir

77 66 çalışmaktadır. Yıllarca devlet okullarında çalışmış emekli olduktan sonra bu okula gelmiştir. 2 ile 21 Kasım 2007 tarihinde saat 15: 30 da elli beş (55) dakikalık bir görüşme yapılmıştır. Görüşme 2. Sınıflar zümre odasında yapılmıştır. 3, özel kolejde 3. Sınıf öğretmenidir. 5 senelik deneyime sahiptir. Bir eğitim fakültesinin, sınıf öğretmenliği bölümünden mezun olmuştur. Fakat eğitimi süresince van Hiele ve teorisi hakkında hiçbir şey duymadığını kendisiyle yapılan görüşmede belirtmiştir. 3 halen yüksek lisans çalışmalarını sürdürmektedir. Bu okulda 4 senedir çalışmaktadır. 3 ile 12: 50 de elli (50) dakikalık bir görüşme yapılmıştır. Görüşme öğretmenin öğretim çalışmalarını sürdürdüğü sınıfında yapılmıştır. 4, özel kolejde 4. sınıf öğretmenidir. Okuttuğu sınıfı 1. sınıftan almış ve okutmaya devam etmektedir. 29 yıllık deneyime sahiptir. Bir öğretmen okulundan mezun olmuştur. Eğitimi süresince van Hiele ve teorisi hakkında hiçbir şey duymadığını kendisiyle yapılan görüşmede belirtmiştir. 4 ile 20 Kasım 2007 tarihinde saat 11: 30 da elli (50) dakikalık bir görüşme yapılmıştır. Görüşme 4. Sınıflar zümre odasında yapılmıştır. Bu okulda 4 senedir çalışmaktadır. Yıllarca devlet okullarında çalışmış emekli olduktan sonra bu okula gelmiştir.4 izlenirken önemli derecede hastalanmış yaklaşık olarak 10 gün okula gelememiştir. Bu durumdan dolayı gözlemci diğer sınıflarda daha rahat gözlem yapmıştır. Çünkü geometri konuları tüm sınıflar düzeyinde sene başındadır. 5, özel kolejinde 5. sınıf öğretmenidir. 37 yıllık deneyime sahiptir. Bir öğretmen okulundan mezun oluştur. Eğitimi süresince van Hiele ve teorisi hakkında hiçbir şey duymadığını kendisiyle yapılan görüşmede belirtmiştir. 5 ile tarihinde saat 11: 30 da kırk beş (45) dakikalık bir görüşme yapılmıştır. Görüşme 5. Sınıflar zümre odasında yapılmıştır. Bu okulda sekiz senedir çalışmaktadır. Yıllarca devlet okullarında çalışmış emekli olduktan sonra bu okula gelmiştir Araştırma Yapılan Okul

78 yılında eğitim öğretim hayatına başlamıştır. Açıldığı yıllarda Çoklu Zekâ Kuramı ile ilgili köklü çalışmalar yapılmıştır. Yeni programların uygulanmaya başlanmasıyla öğretmen ve yöneticiler yeni programlar konusunda eğitimler almaya başlamışlardır. Okul 5 katlıdır. Giriş katta anasınıfı zümresi ve anasınıfı, 1. katta idari birimler, 2. katta bir, ikinci sınıf zümreleri ve birinci ikinci sınıflar, 3. katta üçüncü ve dördüncü sınıf zümresi ve üçüncü, dördüncü sınıflar, 4. katta beşinci, altıncı sınıf zümresi ve beşinci, altıncı sınıflar, 5. katta yedi, sekizinci sınıf zümresi ve yedi, sekizinci sınıflar eğitim öğretim yapmaktadır. Araştırmanın yapıldığı sırada 1 5. sınıflar düzeyinde her sınıftan beşer adet şube bulunmaktadır.

79 4. BÖLÜM BULGULAR VE YORUM Bu bölümde araştırmanın genel amacı ve bu genel amaca dayalı olarak geliştirilen araştırma sorularını cevaplamak üzere yapılan veri analizi sonucunda elde edilen bulgulara yer verilecektir. Araştırma sonuçları betimleyici analiz çerçevesinde sunulacaktır. Öğretmenlerin birinci kademe geometri öğretimine ilişkin görüşlerini ve sınıf içi uygulamalarının van Hiele seviyelerine göre irdelenmesini fenomenografik olarak incelenmeyi amaçlayan bu araştırmada aşağıdaki sorulara cevap aranmıştır: Öğretmenlerin görüşleri van Hiele seviyeleriyle ne derece örtüşmektedir? Öğretmenlerin uygulamaları van Hiele seviyeleriyle ne derece örtüşmektedir? Öğretmenlerinin geometri öğretimine ilişkin görüşleri ve uygulamaları arasında tutarlılık var mıdır? 4.1. Alt Problem 1: Öğretmenlerin Görüşleri van Hiele Seviyeleriyle Ne Derece Örtüşmektedir? Yukarıdaki alt probleme cevap aramak için yapılan görüşmelerde sorulan sorular Ek 1 de verilmiş ve her soruya verilen cevaplar aşağıda tablolaştırılarak yorumlanmıştır.

80 69 Tablo Soruya Verilen Cevapların Analizi Tablo 4.1 de öğretmenlerin edindikleri deneyimlere dayanarak geometri öğretim süreci için kullandıkları eğitim - öğretim faaliyetlerinde nasıl bir hiyerarşi oluşturduklarını görmektir. 1. Soru: Herhangi bir geometrik şekli öğretirken nasıl bir yol izliyorsunuz? Kastedilen İfade edilen İlkönce günlük hayattan bazı şekiller gösteriyorum. Mesela dikdörtgen için defter çıkarmalarını istiyorum. (1) Çok yakın hemen gösterebilecekleri yanlarında neler olduğunu sorarım. Daha sonra Evinizde buna benzeyen neler var? Odanızda Gerçek yaşamla derim. Dışarıda buna benzeyen neler var. Ya da sokakta(2) İlişkilendirmek Ondan sonra başka mesela sınıfta görsel olarak kullandığımız neler varsa işte Türkiye haritası olabilir, mevsim panosu, dolaplarımız (1) (2) (3) (4) (5) olabilir. (3) Çevredeki eşyalarla, etkinliklerle şekillerin özelliklerini kendilerine bulduruyorum. (4) Çevrelerindeki eşyaların hangileri karedir, hangileri dikdörtgendir? Gibi sorularla çocuğun çevresindeki geometrik şekilleri fark etmesini sağlarım.(5) Sonra daire ve üçgene benzeyen şekillerin farklıklarını Karşılaştırmak bulduruyorum. (1) (1) (2) (3) (4) mesela karşılaştırma her iki cismi (2) İşte kenarlarının hangileri aynı (3) (5) Önce benzerlik kurduruyorum (4) Şekillerin benzerlik ve farklılıkları vurgulandığında çocuklar şekillerin özelliklerini daha net algılarlar. İki karşılıklı kenarın eşit ve paralel olduğunu kavrıyorlar (1) Özelliklerini anlatarak kenar ve bölgeyi ayırt etmelerini sağlarım Özelliklerini (2) vurgulamak Özelliklerini görmelerini sağlıyorum (3) (1) (2) (3) (4) Karenin şekil özelliklerinin öğrenilmesinden sonra karelerden farklı şekiller oluşturuyoruz (4) Dikdörtgenin özelliklerini kendilerinin kavramalarını istiyorum (1) Geometrik şekillerin özelliklerini anlattıktan sonra şeklin tanımı Keşfetmek kendilerinin bulmasını isterim (2) O kare şekilleriyle özellikleri tek tek keşfedip söyleyip (1) (2) (3) (5) yapıştırmalarını isteyebiliriz. (3) Sorularla zorlayarak ve yönlendirerek çocuğun keşfetmesini sağlarım. (5) Uygulamalar yapmak (çizim, ölçme) (1) (2) (3) Çizdiğimiz şekillere bakıyoruz. Cm olarak ölçüyoruz. (1) Elimle etrafından geçerim ve her cismin, şeklin bir sınırı vardır. O sınıra da çocuklara da şöyle bir ellerini dolaştırırım (2) Dört kenarı birbirine eşit çocuğa renkli kağıtlar verip kestirip sonra defterlerine yapıştırırız. (3)

81 70 Tablo 4.1 de sınıf öğretmenlerinin geometrik bir şekli öğretirken nasıl bir yol izlediklerine ilişkin belirlenen alt kategoriler verilmektedir. Öğretmenlerin bu alt kategorilere ilişkin olarak farklı bakış açılarına sahip oldukları söylenebilir. Görüşmeye katılan 1 geometrik bir şekli öğrencilerine anlatırken günlük yaşamla ilişkilendirmeyi öğrenme etkinliklerinin ilk basamağı olarak görmektedir. 1 konu ile ilgili görüşlerini şu şekilde ifade etmektedir: İlkönce günlük hayattan bazı şekiller gösteriyorum. Mesela dikdörtgen için defter çıkarmalarını istiyorum. Sonra daire ve üçgene benzeyen şekillerin farklılıklarını bulduruyorum 2, günlük yaşamla ilişkilendirmenin geometrik şekillerin özelliklerini anlatmadan önce bir basamak olduğuna dair ve çocuğun öğreneceği bilginin günlük yaşamda nerede kullanacağını bilmesinin eğitimin bir amacı olduğuna dair düşüncesini şu şekilde ifade etmiştir: Eee genel olarak Evde dikdörtgensel bölgeden oluşan karton ya da işte elişi kâğıtlarından öncelikle keserim renkli. İlgilerini çekecek şekilde. Onlara hazırladığım dikdörtgensel bölgenin büyüğünü kendine yapar asarım. Bir de dikdörtgen, ayrıca dikdörtgeni çıtalardan yaparım. O aklıma geldi. Her ikisi de yanımda olur. Önce dikdörtgensel bölgeyi gösteririm. Ondan sonra da Geometrik şekillerin özelliklerini anlattıktan sonra şeklin tanımı kendilerinin bulmasını isterim. Ya da bu bilgiyi nerede kullanacağız. Hani bu bilgiyi öğrendik ama nerede işimize yarayacak. Bununla ilgili örnekler de getiririm. Diyelim ki işte bir mimaride kullanılacak bir ev yapımı. Dikdörtgensel bölgenin ya da dikdörtgenin kullanıldığı ya da diğer geometrik şekillerin kullanıldığı işte çocuklar da bununla ilgili araştırmada verebilirim. Bunu öğrendik ama bunu günlük yaşamda nerede kullanılacak, ne işimize yarayacak, işimize yaradığını bilirse ancak öğrenir. Çocukların bunu bilmesi önemli eğitimin bir

82 71 amacı da bu ya. O şekilde onlara da buldurturum. Nerede kullanacağız, Bundan sonra çevremize baktığımızda dikkat edelim Mesela pencereye baktığımızda a orada bir dikdörtgen var. Dikdörtgensel bölge de var gibi. Günlük yaşamla ilişkilendirmelerini sağlarım. 3 ise konu ile ilgili şunları söylemiştir: Geometrik şekle benzeyen şeyleri söyleriz. Küre getirip küreyi gösteririz. Kutular getirebiliriz. Günlük hayatta da evimizde geometrik şekilleri gösteririz, e Oyuncaklarını getirtip geometrik şekilleri gösteririz. Cisimler üzerindeki şekilleri gösterebiliriz. Bir robotu oluşturan parçaları gösterebiliriz. 4 de geometrik şekil ile gerçek yaşamda kullanılan eşyalarla benzerlik kurduğunu şu şekilde ifade etmiştir. Önce benzerlik kurduruyorum. Çevredeki eşyalarla, etkinliklerle özelliklerini kendilerine bulduruyorum. Şekli oluşturup farklı boyutlarda kareler çizdiriyorum Gerçek yaşamda kullandıkları eşyalarla benzerlik kurduruyorum. Yaşadıkları ortamı, evin, odanın, dolapların şekillerin yararlanıyorum. 5 günlük yaşamla ilişkiyi ifade ederken şunları söylemiştir: Sınıfta var mı, evinizde var mı, okulda var mı, çantada var mı? Hangileri karedir, hangileri dikdörtgendir. Birinci sınıftan beşinci sınıfa kadar geometri öğretimi yapan her öğretmen geometri konularının öğretimini gerçek yaşamla ilişkilendirmenin önemine inandığını, gerçek yaşamla ilişkilendirmenin öğrenilen bilgiyi somutlaştırdığını belirtmişlerdir. Öğretmenler genel olarak gerçek yaşamla ilişkilendirmenin geometri öğretiminin ilk aşaması olduğunu ayrıca öğretilen bilginin nerede kullanılacağını öğrenci bilmediği takdirde bu bilginin kalıcı olmayacağını belirtmişlerdir. Gerçek yaşamla ilişkilendirmelerin kullanıldığı geometri derslerinde öğrencilerin sahip

83 72 olduğu düşünme seviyeleri de ilerleyecektir. Çünkü gerçek yaşamla ilişkilendirme geometri konularının somutlaştırılması ve kavranmasında etkili olacaktır. Karşılaştırmak Geometrik şekiller arasındaki benzerlik ve farklılıkları bulmanın bilginin kalıcı olması açısından önemli gören 1 şunları söylemektedir: herhangi bir şey öğretilirken benzerlik ve farklılıkları bilmeleri kalıcı olması bakımından da önemli. Eşkenar üçgenle karenin kenarları eşit ama açı özellikleri farklı. Paralel kanarla dikdörtgenin çevresi aynı ama açı özellikleri farklı Şekiller arasındaki karşılaştırmaların önemli olduğu ve önce benzer sonra farklı özelliklerin belirlenmesini vurgulayan 2 ise konu ile ilgili şunları söylemiştir. Artık şekli karşılaştırmalarını istediğimde her ikisini de tahtaya yapıştırırım, ya da koyarım, elime alır gösteririm. Neyi benziyor, işte cisim olmaları, işte neyi benziyor. Her ikisinde de kenar var mesela ııı önce bir benzer taraflarını bulup daha sonra da peki Farklı tarafları ne onları buldururum. İşte birinde üç kenar var, birinde dört kenar var. Hani ııı önceden benzeyen taraflarını daha sonra farklı olanlarını Ayırt etme açısından cisimleri, geometrik şekilleri birbirlerinden ayırt edebiliyor. 3 karşılaştırmaların geometrik şekillerde kenar, köşe ayrımını görmeleri açısından önemli olduğu vurgulayarak şunları eklemiştir: Kenarları, köşeleri görmesi açısından önemli tabi ki. Yani hangi şekillerde, işte kenar yapıları nasıl işte her geometrik şeklin hangi kenarı, kaç tane kenarı var, kaç köşesi var bunu öğrenmesi açısından önemli. Yani yine şekilleri tahtaya çizip ya da şekilleri çocukların eline bir model olarak

84 73 verip işte üç öğrenci kaldırılabilir tahtaya, üçüne de farklı şekiller verip, farklı şekiller üzerindeki benzerlik ya da farklılıkları çocukların hani karşıdan görüp keşfetmelerini sağlayabiliriz 4 ise konu ile ilgili düşüncelerini özellik problem çözme ve araç-gereç kullanımı ile ilişkilendirerek şu şekilde açıklamıştır. Konuyu kavramazsa geometrik şekillerin özelliklerini kavrayamazsa problem çözemez Katlaya katlaya yeni şekiller oluşturabilir. Bir dikdörtgen veriyorsun. Onu katlayıp kare yapıyorsun. Öğrenci geometrik şekiller arasındaki benzerlikleri ve farklılıkları görüyor. Bütün geometrik şekillerden bir nesne ortaya çıkıyor. Origamiden yararlanarak bildikleri bir geometrik şekli katlayarak başka bir geometrik şekil oluşturuyorlar. Kenarlarını eşit katlamadan yararlanarak özelliklerini görmüş oluyorlar. İple geometrik şekiller yaparak, ipe düğüm atarak öğrenciler düğümlerden tutarak geometrik şekiller oluşturuyorlar. İpin farklı yerlerinden düğümlenmesiyle oluşturulan üçgenler arasındaki farklılıklar ve benzerlikler çıkıyor. Farklı ebatlarda teller kesilerek üçgenin kenarları arasındaki özellikler vurgulanıyor. Yine renkli kâğıtlardan yararlanarak geometrik şekiller arasındaki benzerlik ve farklılıklar ortaya çıkarılabilir. Geometrik şekillerin özelliklerini daha net algılanması bakımından benzerlik ve farklılık bulma etkinliklerinin yararlı olacağını söyleyen 5 şunları söylemiştir: Şekillerin benzerlik ve farklılıkları vurgulandığında çocuklar şekillerin özelliklerini daha net algılarlar. Böylece ayırt edici özellikler çıkıyor ortaya. Benzerlik ve farklılıkları ortaya çıkarmak için cisimler yapıyoruz. Bol bol sorular soruyoruz. Eşkenar, şu paralel kenar diyor çocuk. Venn şaması kullanırım çocukları zorlarım. Beyin fırtınası, şemalarla çizdiririm

85 74 Yukarıda ele alınan öğretmen görüşleri değerlendirildiğinde hemen her sınıf düzeyinde geometrik şekiller arasındaki benzerlik ve farklılıkları buldurma etkinliklerinin yapıldığı görülmektedir. Bu etkinliklerin yapılma gerekçesi de yine öğretmen görüşlerine dayalı olarak şu şekilde ifade edilebilir: Karşılaştırmalar Şekiller arasındaki ilişkilerin fark edilmesini sağlamaktadır. Geometrik cisimleri, şekilleri birbirlerinden ayırt eden özellikleri açığa çıkarmaktadır. Geometrik şekillerin özelliklerini net olarak ortaya koymaktadır. Özelliklerini vurgulamak 1 geometrik şekillerin özelliklerini vurgularken öncelikle kullandıkları eşyalardan hareket ettiğini daha sonra şekillere indiğini şu şekilde ifade etmiştir: (Şekli tanıdıktan sonra) diğer şekillerle arada fark olduğunu kavradıktan sonra kenar uzunluklarına geçiyorum. İki karşılıklı kenarın eşit ve paralel olduğunu kavrıyorlar. Açı bilgisi varsa açılarını ölçtürüyorum. Açılarının 90 derece olduğu kavratıyorum. Kendi kullandıkları eşyalar üzerinde ölçümler yaptırıp daha sonra soyut şekillere iniyorum. Çizdiğimiz şekillere bakıyoruz. Cm olarak ölçüyoruz 2 geometrik şekillere ilişkin bilgileri verdikten sonra bu özellikleri ve geometrik şeklin tanımını öğrencilerinin keşfetmelerini beklediğini söyleyerek şunları vurgulamıştır: Ondan sonra da geometrik şekillerin özelliklerini anlattıktan sonra şeklin tanımı kendilerinin bulmasını isterim. Daha sonra da defter göstererek bunun dikdörtgensel bölge olduğunu, bir alanı kapladığı için işte elimizdeki şey.. hani bir bölgeyi kapladığını, bir yüzeyi kapladığını onun için dörtgene ait olduğu içinde dikdörtgensel bölge olduğunu söylerim. Örneğin bu masa benim masam, masa bana ait. Onun için içindeki alan da bana ait yani

86 75 dikdörtgene ait dolayısıyla bu alan dikdörtgensel bölge derim. Kenarları kendilerine buldurturum. 3 geometrik şekillerin özelliklerini vurgularken diğer şekillerdeki benzerliklerden hareket ettiğini dolayısıyla şekil özelliklerinin daha iyi görüldüğünü şu şekilde söylemiştir: işte şöyle bir şekli var. Şekli tahtaya çizip bu şekilde gördüğü benzerlikleri keşfetmelerini sağlıyorum önce. İşte kenarlarının hangileri aynı, ya da hangi boyutta, işte köşeleri nereler, evet özelliklerini görmelerini sağlıyorum. Mesela işte tahtaya bir öğrenci alabiliriz. Ya da defterlerine kare şekline benzettikleri kafalarında canlandırdıkları kare şekli nasıl önce onu kesip yapıştırmalarını isteyebiliriz. Yani çocuğun önceki bilgilerini harekete geçirebiliriz. Nedir mesela kare şekli nasıl akıllarında kalmış. İşte dört kenarı birbirine eşit çocuğa renkli kağıtlar verip hani kestirip sonra defterlerine yapıştırıp özellikleri tek tek keşfedip söyleyip yapıştırmalarını isteyebiliriz 4 ise konu ile ilgili olarak şunları söylemiştir: Karenin şekil özelliklerinin öğrenilmesinden sonra karelerden farklı şekiller oluşturuyoruz. Kareyi simetriye ayırarak farklı geometrik şekiller oluşturuyoruz. Dört kenarının eşit olduğundan hareketle karenin çevresini hesaplamayı öğretiyorum. 1, 2, 3 ve 4 geometri öğretiminde şekil özelliklerinin vurgulanmasının önemine inandıklarını söylemişlerdir. Özellikle şekil özelliklerinin iyi anlaşılması için gerçek nesneler kullanmanın, şekiller arasındaki benzerlik ve farklılıklardan yararlanmanın yine keşfederek şekil özelliklerine varmanın gerekliliğini belirtmişlerdir. 5 şekil özelliklerini vurgulamanın önemini doğrudan belirtmese de keşfederek öğrenmeye verdiği önemi anlattığı cümlelerden şekli ve özelliklerini öğrencilerin keşfederek öğrenmelerini istediği düşüncesi çıkarılabilir.

87 76 Keşfetmek 1 şekillerin özelliklerini doğrudan kendisinin vermesindense öğrencilerin birebir kavrayarak öğrenmelerini istediğini belirtmiştir. Dikdörtgenin şekil özelliklerini kendilerinin bulmalarını istiyorum. 2 ise şekil özelliklerini kendisinin vermeyi tercih ettiğini fakat tanım yapma noktasında öğrencilerinden çıkarım yapmalarını beklediğini söylemiştir. Geometrik şekillerin özelliklerini anlattıktan sonra şeklin tanımı kendilerinin bulmasını isterim. 3 de öğrencilerinin şekle ait özellikleri bireysel olarak keşfetmelerini beklediğini vurgulamıştır. İlk önce kendi gözleriyle gördükleri kare şeklini nasıl, sonrada tahtaya o örnek problemi vererek kendim bir kare şeklini çizip ya da hani topukların üzerine yapıştırdığımız o kare şekilleriyle özellikleri tek tek keşfedip söyleyip yapıştırmalarını isteyebiliriz 5 öğrencilerini şekil özelliklerini keşfetme sürecinde zihinlerini zorlayıcı ve düşünmeleri için onlara fırsatlar sunacak etkinlikler yaptırdığını belirtmiştir. Sorularla zorlayarak ve yönlendirerek çocuğun keşfetmesini sağlarım. 1, 2, 3 ve 5 öğrencilerin geometriyle ilgili deneyim kazanırken özellikle şekil özelliklerini kendilerinin bulmalarına fırsatlar vermeyi tercih ettiklerini söylemişlerdir.

88 77 Uygulamalar yapmak (çizim, ölçme) 1 geometri öğretim sürecinin uygulamalara dayandığını bu uygulamalar içerisinde çizim yaptırma ve yaptıkları çizimler üzerinde ölçmeler yaptırmanın önemli olduğunu belirtmiştir. Açı bilgisi varsa açılarını ölçtürüyorum. Açılarının 90 derece olduğu kavratıyorum. Kendi kullandıkları eşyalar üzerinde ölçümler yaptırıp daha sonra soyut şekillere iniyorum. Çizdiğimiz şekillere bakıyoruz. 2 ise uygulamalar yapma süreci içerisinde dokunarak öğrencilerinin geometrik şekil özelliklerini daha iyi öğreneceğini belirtmiştir. O sınıra da çocuklara da şöyle bir ellerini dolaştırırım. 3 de kesme ve yapıştırma etkinliklerinin geometri öğretim sürecinde çok önemli uygulama etkinliklerinden olduğunu belirtmiştir. Mesela üçgenle ilgili onun özellikleri o üçgenin içine yerleştirdiler. Ondan sonra yazdılar, yapıştırdılar. Çok güzel bir uygulama oldu. Öğretmenler tarafından uygulamalar yapma kategorisiyle ilgili belirtilen görüşler incelendiğinde öğretmenlerin basit olarak öğrencilerinin yaparak yaşayarak öğrenecekleri etkinliklere yer verdikleri görülmektedir. 1 ve 3 görüşmeler sırasında yaparım, öğretirim tarzında ifadelerin tersine ölçerler, yapıştırırlar, incelerler, çizdiler tarzında ifadeler kullandıkları dikkati çekmiştir. 1 ve 3 ün, 2, 4 ve 5 ten daha az deneyime sahip oldukları ve eğitim fakültesi mezunu olmaları öğrencilerini derslerinde daha fazla etkin halde tutmalarıyla ilişkilidir denilebilir.

89 78 Tablo a. Sorusuna Verilen Cevapların Analizi Tablo 4.2 de öğretmenlerin geometri derslerinde gerçek yaşamla ilişkilendirmeyi nasıl kullandıkları ve ilişkilendirmeleri nasıl yaptıkları görülebilir. Soru: 1.a. Gerçek hayatla nasıl ilişkilendiriyorsunuz? Kastedilen İfade edilen Günlük kullandıkları eşyalardan yola çıkarak, odanın, okulun, bahçenin hangi şekle benzediğini mutfak eşyalarının neye benzediğini buldurarak (1) Dikdörtgensel bölgeye veya dikdörtgene benzeyen neler var. Neyiniz var sizin. Kitabımız, Benzerlik kurarak ilişkilendirme defterimiz neye benziyor? (2) Geometrik şekillere benzeyen şeyleri (1) (2) (3) (4) (5) söyleyebiliriz. Mesela dünyamızın şeklinden örnek verip, işte küre getirip gösterebiliriz. (3) Gerçek yaşamda kullandıkları eşyalarla benzerlik kurduruyorum. (4) Gerçek yaşamla ilişkilendirmek için sınıfta var mı, evinizde var mı, okulda, çantada var mı? (5) Tablo 4.2 incelendiğinde araştırmaya katılan beş öğretmenin de geometri konularını işlerken günlük yaşamla benzerlik kurarak bir ilişkilendirme mantığı oluşturdukları görülmektedir. 2 ye göre gerçek yaşamla benzerlik kurarak yapılan bir ilişkilendirme öğrencilerin öğrendikleri konulara ilişkin farkındalık düzeyi açısından önemlidir. Ayrıca 2 nin konu ile ilgili açıklayıcı ifadesi de şöyledir: Bunu öğrendik (geometrik bir bilgi) ama bu günlük yaşamda nerede kullanılacak, ne işimize yarayacak, işimize yaradığını bilirse ancak öğrenir. Çocukların bunu bilmesi önemli, eğitimin bir amacı da buya. O şekilde onlara da buldurturum. Nerede kullanacağız, Bundan sonra çevremize baktığımızda dikkat edelim 3 ise gerçek yaşamla ilişkilendirmenin öğrencilerin geometri konuları ile gerçek eşyalar arasında bir bilgi keşif süreci olarak görmektedir ve şunları söylemektedir:

90 79 en çok sevdiği neyi var, bir yazı tahtası var ya da başka bir şeyi var ya da bir ayısı var ya da ayının üzerinde ya da bir robotu var. Robotu oluşturan parçaları görebiliriz. Hani bakar orda da evet işte kafası daire şekline benziyor ya da kolları dikdörtgen gibi. Hani onları keşfedebilir. 4 de konu ile ilgili olarak, öğrencilerin yaşadıkları çevredeki eşyalardan yararlandığını yapılan işlemin bir hatırlatmadan ibaret olduğunu vurgulamaktadır: Yaşadıkları ortamları hatırlatıyorum. Evin, odanın, dolapların ve içindeki diğer eşyaların şekillerinden yararlanıyorum Yukarıdaki öğretmenlerin günlük yaşamla ilgili benzetmeye dayalı ilişkisinin 5 tarafından da uygulandığı görülmüştür. 5 de diğer öğretmenler gibi öğrencilerin çevrelerindeki geometrik şekilleri fark etmeleri için çaba harcadığını şu şekilde anlatmıştır: Çevrelerindeki eşyaların hangileri karedir, hangileri dikdörtgendir? Gibi sorularla çocuğun çevresindeki geometrik şekilleri fark etmesin sağlarım. Beş sınıf düzeyinde de öğretmenlerin geometri öğretiminde konuları gerçek nesnelerle ilişkilendirerek işlemeye özen gösterdikleri görülmektedir. Özellikle geometrik şekillerin, çocukların yakın çevresindeki eşyalarla ilişkilendirerek öğretimi tüm öğretmenlerin ifadelerinde dikkati çekmektedir.

91 80 Tablo b. Sorusuna Verilen Cevapların Analizi Tablo 4.3 te öğretmenlerin ne tür araç gereçler kullandıkları ve bu araç gereçlerin kullanımının geometri konularını somutlaştırma, karşılaştırma ve kalıcılık açılarından nasıl etkilediği görülebilir. 1.b. Ne tür araçlar kullanıyorsunuz? Neden? Kastedilen İfade edilen Geometri İp, tel (çevre hesabı yaptırırken) oyun hamuru araçları küçük sınıflarda cetvel, pergel, açıölçer, (pergel, geometride şekilli cetveller kullanıyorum. (1) iletki vb) Çocuklarında yaparak öğrenmesi gerekiyor (2) Somutlaştırma (1) (2) (3) (4) işte görerek, yaparak, yaşayarak öğrenme. (3) Çivili tahtadaki birim mantığı sayesinde geometrik (5) şekillerin özelliklerini öğrenciler daha iyi anlıyorlar. (4) Sınıftaki eşyalar da benim için birer geometri aracıdır.(5) Kendilerinin ölçüp kıyaslamalarının daha etkili Karşılaştırma olacağı için. (1) Kafalarında daha farklı bir kare farklı şey, o kareyi getirip sınıfta göstermek farklı bir algılama düzeyi yaratıyor. (3) Diğer araçlar (renkli kağıtlar, ip, lastik vb.) (1) (2) (3) (4) (5) Kalıcılık Teori olarak vermenin çok kalıcı olmadığı için (1) Kalıcı olması için, yani çünkü kendilerinin oluşturmasını isterim. (2) Daha kalıcı bir öğrenme sağlamak için Hani bir dokunduğun zaman ya da o cismi görerek tanıdığı zaman bence öğrenme çok daha anlamlı ve kalıcı oluyor. (3) Konu ile ilgili olarak 1, Çizim yaparken kendileri daha çok uygulama yapabiliyorlar şeklinde görüşünü vurgulayarak araç-gereç kullanımının öğrencilere uygulama yapma fırsatı verdiğini söylemiştir. 2 de ben onlara anlattığımda çok yüzeysel kendilerinin de işte köşesi ne görmesi lazım, yapması lazım, kenarını oluşturması lazım diyerek 1 in görüşünü destekler niteliktedir. Ayrıca 2 sınıf içinde yapılan uygulamaların anlatılan bilgilerin somutlaştırdığını vurgulamıştır.

92 81 3 araç-gereç kullanımına farklı bir bakış açısından yaklaşmıştır. 3 e göre geometri öğretiminde kalıcı bilgi ders sırasında öğrencilere dönük hazırlanan materyallerle sağlanabilir. Dolayısıyla araç-gereç kullanımı öğrencilere bilginin yanında uygulama yapma fırsatı vermektedir. sınıfımızdaki elimizdeki araçlarla kendim bazen kağıtlar hazırlıyorum, çalışma kağıtları, onlarla ilgili. Daha kalıcı bir öğrenme sağlamak için. Şimdi çocuk çok fazla hani bilgi düzeyinde belki her şeyi çok net öğrenemeyebilir. Ayrıca 3 bireysel farklıklara hitap etmesi açısından araç-gereç kullanarak geometri etkinlikleri yapmanın önemli olduğunu söylemiştir. Örneğin farklı baskın zekâya sahip öğrencilerin bu tür çalışmalarla belirgin hale geldiğini ve konuyu daha iyi anladıklarını vurgulamaktadır. 3 göre kiminin görsel hafızası çok daha iyi, şekilleri gördüğü zaman çok daha net bilgi ifade ediyor bu durumda araç-gereç kullanarak uygulamalar yapmak (örneğin çizim) bilginin somutlaşmasını sağlıyor denebilir. Tablo 4.3 verilerine göre sınıf öğretmenleri geometri derslerinde iki farklı türde araç kullanmaktadır. Bunlardan ilki geometrik çubuklar, birim küpler, pergel, gönye, iletki, cetvel, tangram, gibi örneklendirilebilecek geometri araçlarıdır. İkincisi ise renkli kağıtlar, kibrit çöpleri, oyun hamurları, çalışma kağıtları, üç boyutlu nesneler, ip, lastik gibi yardımcı öğretim aracı olabilecek diğer araçlardır. Öğretmenlerin verdikleri cevaplar analiz edilmiştir. Öğretmenler, araç-gereç kullanımının öğrencilerde bilgiyi somutlaştırdığı, çeşitli karşılaştırmalar yapma olanağı verdiği ve bilginin kalıcılığını sağladığı görüşündedirler.

93 82 Tablo c. Sorusuna Verilen Cevapların Analizi Soru: 1.c. Çizim yaptırmanın geometri öğretimindeki yeri nedir? Kastedilen İfade edilen Kendileri çizip kendileri gördüler (3) Problemler görsellerince çözüme kolay Görselleştirme ulaşıyorlar. Geometrinin temeli şekle ve (3) (4) görselliğe dayanıyor. (4) Somutlaştırma-kalıcılığı sağlama (1) (2) El becerisi kazandırma (3) (5) Çizim yaptırmadan geometri bilgisi hiçbir şekilde oturmaz (1) Öğrendiğinin daha kalıcı olmasını sağlar. (1) Çizdirilirse, çizerse daha kalıcı olacak. (2) Çocukların küçük kas gelişiminin tam tamamlanacağı dönemler özellikle şunlar 1. sınıftan itibaren eğer çok fazla çizim yaptırırsak o şekilleri çizerken bir el becerisi kazanmış olacak çocuklar (3) Pergelle çember çizme mesela çocuklar müsait değil el becerileri. (5) Tablo 4.4 te çizim yaptırmanın geometri öğretimindeki yeri üzerine alınan cevapların analizinden oluşturulmuş kategoriler verilmektedir. Bu analiz sonuçlarına göre öğretmenler, geometri öğretiminde çizim yaptırmanın üç farklı açıdan önem taşıdığını düşünmektedirler, denebilir. Bunlardan birincisi görselleştirmedir. İkincisi somutlaştırma ve kalıcılığı sağlama son olarak da el becerisi kazandırmaktır. Görselleştirmenin geometri derslerinde önemli bir aşama olduğunu vurgulayan 3 yakın çevrelerindeki bir nesneden yararlanarak çizim yaptırmanın somutlaştırıcı bir özellik taşıdığını şu şekilde ifade etmiştir: Mesela geometrik şekilleri çizdiriyordum ama mesela çok sevdikleri bir oyuncak yapmalarını istemiştim. Daha çok robot yapmışlar, işte robotu

94 83 oluştururken mesela bir çok geometrik şekil kullanmışlar işte kafasını daire, gövdesini dikdörtgen, kollarını farklı bir geometrik şekil yapmışlar. Görselleştirme 4 geometrinin temelinin şekle dayandığını bu nedenle çizim yaptırmanın görselliğe kaynaklık ettiğini, görselliğin ise öğrencilerin problemlerin çözüme ulaşmalarında onlara yardımcı olduklarını söylemiştir. Somutlaştırma kalıcılığı sağlama 1 çizim yapmanın geometrik bilginin kazanılmasında önemli olduğunu vurgulayarak çizim yaptırarak öğrenilen bilgilerin somut bir şekle dönüşüp kalıcı bilgiye dönüşeceğini söylemiştir. Çizim yaptırmadan geometri bilgisi hiçbir şekilde oturmaz. Birinci sınıfta kum üzerinde masa, sıra üzerinde, fasulye çubukları da kullanılabilir. Öğrendiğinin daha kalıcı olmasını sağlar. Şekiller arasında daha çabuk ilişki kurar. 2 çizim yapmanın öğrencilerin edindikleri geometrik bilgileri görselleştirmenin yanı sıra kalıcı hale getireceğini söylemiştir. İşte masa, dantel problemleri var ya... Onda çizim olursa problemi daha iyi anlayacak. Çizip yerine koyacak ne isteniyorsa Problemi daha çabuk anlamasını sağlayacak... Çizdirilirse, çizerse daha kalıcı olacak El becerisi kazandırma 3 çizim yaptırmanın öğrencilere el becerileri kazandıracağını bu nedenle geometri derslerinde çizim yaptırmak gerektiğini söylerken ilköğretimin ilk kademesindeki öğrencilerin geometri için gerekli olan becerileri kazanmaya gelişim olarak hazır olmadıklarını söylemiştir.

95 84 Görüşülen beş öğretmende geometri öğretiminde çizim yaptırmanın önemini farklı açılardan anlatmaktadırlar. Özellikle 4 geometrinin temeli şekle ve görselliğe dayanıyor diyerek çizim yaptırmanın geometri öğretimi içindeki yerini daha açık anlatmıştır. 1 ise belki de bulunduğu sınıf seviyesinden soruyu cevaplayarak ifadesiyle somutlaştırma kategorisinde yer almıştır. Tablo c.a Sorusuna Verilen Cevapların Analizi Tablo 4.5 farklı bakış açılarından, döndürerek ya da geometrik şekilleri büyüklü küçüklü çizdirerek, çizim yaptırmanın önemini anlatan ifadelere yer verilmiştir. Soru: 1.c.a. Çizim yaptırırken farklı bakış açılarından büyüklük küçüklük ve şekilleri döndürerek çizimler yaptırmak ya da göstermek, çocuğun konuyu öğrenmesinde önemli midir? Niçin? Kastedilen İfade edilen Pekiştirdiği için zihninde canlandıramadığı için olabilir (1) Pekiştirme Önemli (1) Bakış açısı kazandırma (2) (3) (4) Somutlaştırma (1) (2) (5) Çıkarım yapma (4) Dikdörtgeni hep aynı şekilde çizeriz tamam Kısa kenar, biri de uzun kenar ve ama hep düzgün bir şekilde bunu ters bir şekilde çevirdiğimizde bakıp kalıyor, bu ne diyor? (2) Farklı bakış açılarından göründüğü zaman hani aynı özelliklere sahip olduğunu, farklı bakış açılarından benzerliklere sahip olduklarını gördük. (3) Dikdörtgen hangi açıdan çizilirse çizilsin çocuk o şeklin dikdörtgen olduğunu ayırt ediyor (4) Geometri normal matematiksel işlemler gibi kolayca zihinde kavratılacak bir şey değil. Kendisinin çizmesi ve uygulayabilmesi gerekiyor (1) Ezberci değil de bunu da ancak öğrenirse yapacak gerçekten kavrayabilirse (2) Geometrik şekilleri farklı bakış açılarından görerek şekilleri somutlaştırmış oluyor (5) Çocuğun mantığını kullanmayı öğretiyor. Tahmin yeteneğini gelişiyor. (4)

96 85 Tablo 4.5 incelendiğinde farklı bakış açılarından şekilleri öğrencilere göstermenin veya çizdirmenin çok önemli olduğunu 5 öğretmen de söylemektedir. Tablo 4.5 pekiştirme, bakış açısı kazandırma, somutlaştırma ve çıkarım yapma olmak üzere dört kategoride incelenebilir. Pekiştirme 1 numaralı öğretmen farklı bakış açılarından şekilleri öğrencilerinden hayal etmelerinin çok zor olduğunu fakat farklı bakış açılarından şekilleri göstermenin öğrencilerin öğrenmesinde pekiştirici rolü olduğunu belirtmektedir. Bakış Açısı Kazandırma 2 numaralı öğretmen şekilleri hep aynı şekilde çizmenin öğrencileri farklı durumlarla karşılaştıklarında zor duruma düşürdüğünü, fakat şekillerin farklı açılardan görünümü verildiğinde çocukların şaşırmayıp şekilleri tanıyacaklarını belirtmiştir. 3 de farklı bakış açılarından şekilleri gösterdiğinde öğrencilerinin, şekillerin özelliklerinin değişmediğini gördüklerini böylelikle öğrencilerin şekillerin özelliklerine daha çok hakim olduklarını belirtmişlerdir. Tabi yaptırdım. Mesela şeyde yaptırmıştım onu, daire şeklini göstermiştim. Daire şeklinin ön taraftan kendi kendilerine göre görünen yüzeyiyle tersini çevirip tekrar kendilerine dönük yüzeyi arasındaki benzerlikleri ve farklılıkları sormuştum. Mesela ikisinin de aynı olduğunu ya da şöyle mesela kareyi gösterdik ya bilgisayar televizyon ekranı yapmıştım ya hani televizyon ekranında kafamı çıkarmıştım, işte karenin iki tarafından aynı olabileceğini işte 4 şekillerin farklı bakış açılarından gösteriminin şekillerin tanınmasına yardım ettiğini ve bu sayede öğrenci şekil nasıl gösterilirse gösterilsin şekli tanıdığını belirtmiştir.

97 86 Çocuk açıyı doğru üzerinde tanıyor; fakat geometrik şekillerin farklı açılarını ayırt etmede zorlanabiliyor. Farklı açılardan bol çizim yaptırmak bu duruma katkı sağlayacaktır. Somutlaştırma 1 öğrencilerin şekilleri kendilerinin çizdiğinde ve bu konuda uygulamalar yaptığında bilgilerin somutlaştığını söylemiştir. 2 bilgiyi doğrudan vermenin yararlı olmayacağını, geometride yaparak öğrenmenin şart olduğunu belirtmiştir. 5 de geometrik şekillerin farklı bakış açılarından gösteriminin şekiller hakkındaki bilgiyi somutlaştırdığını ve ileriki sınıflarda öğrenmeyi kolaylaştırdığını vurgulamıştır. Örneğin çocuklar çapa yarıçapı açarak ulaşmışlardı. Çemberde döndürerek. Küçük sınıflarda büyüklük, küçüklük çizerek değil gerçek araçlarda kullanılmalı, küçük sınıflarda paralel kenarın yüksekliğini hem vücudumuzla gösterdik. Çocuk daha net görüyor. Somut görüyor ileriki sınıflarda. Paralel kanarı çizerek evet yüksekliği buymuş diyor çocuk. Çıkarım Yapma 4 farklı bakış açılarından şekilleri göstermenin çocukları zorladığını ve mantıklarını kullanmayı öğrettiğini ayrıca şekiller üzerinde tahmin yapma becerilerinin geliştiğini belirtmiştir. Tablo 4.5 te farklı bakış açılarından, büyüklük küçüklük ve döndürerek çizimler yaptırmanın öğrencilerin öğrendikleri bilgileri pekiştirme, somutlaştırma, çıkarım yapma ve hangi açılardan çizilirse çizilsin geometrik şekiller hakkında bir fikre sahip olmaları açısından öneme sahip olduğu görülmektedir.

98 87 Tablo Soruya Verilen Cevapların Analizi Tablo 4.6 öğrencilerin geometrik şekillerin birbirleriyle olan benzerlik ve farklılıklarını öğrenmeleri ve bu benzerlik ve farklılıkları görmeleri için öğretmenler tarafından ne tür etkinlikler yapıldığını göstermektedir. Çeşitli Soru: 2. Öğrencilerinizin şekiller arasındaki benzerlik ve farklılıkları öğrenmelerinin sizce önemi nedir? Bu benzerlik ve farklılıkları görmeleri için ne tür etkinlikler yapıyorsunuz? Kastedilen Etkinlikler (1) (2) (3) (4) (5) Kalıcılığı sağlama (1) Karşılaştırma (1) (2) (3) (4) (5) Şekiller arası ilişki kurma (1) İfade edilen Herhangi bir şey öğretilirken yani başkalarıyla farklı ve benzer taraflarını görmeleri daha kalıcı olmasını sağlıyor. (1) İki üçgen bir kareyi birleştirerek paralel kenar oluşturuyoruz. Burada benzerlik ve farklılıkları görüyorlar. (1) Mesela karşılaştırma her iki cismi, artık şekli karşılaştırmalarını istediğimde her ikisini de tahtaya yapıştırırım, ya da koyarım, elime alır gösteririm. Neyi benziyor? (2) Yani hangi şekillerde, işte kenar yapıları nasıl işte her geometrik şeklin hangi kenarı, kaç tane kenarı var, kaç köşesi var bunu öğrenmesi açısından önemli. (3) Öğrenci geometrik şekiller arasındaki benzerlikleri ve farklılıkları görüyor. (4) Şekillerin benzerlik ve farklılıkları vurgulandığında çocuklar şekillerin özelliklerini daha net algılarlar. (5) Eşkenar üçgenle karenin kenarları eşit ama açıları farklı gibi bilgileri vermek onlar arasında ilişki kurmalarını yani bir sonraki şekle ve çevre hesabına geçiş yapmaları için çok gerekli (1) Problem çözme (4) Problem çözüyoruz. (4) Bol bol sorular soruyoruz. (5)

99 88 Tablo 4.6 öğretmenlerin şekiller arasındaki benzerlik ve farklılıkları görmelerinin ne önemi olduğu konusundaki görüşlerini göstermektedir. Öğrencilerin şekiller arasındaki benzerlik ve farklılıkları görmelerinin öğrenilen bilgilerin kalıcılığında, karşılaştırılmasında, şekiller arasında ilişkiler kurulmasında ve problem çözme becerisinin kazanılmasında etkili olduğu tabloda görülmektedir. Kalıcılık 1 numaralı öğretmen öğrenilen şeklin diğer şekillerle benzerlik ve farklılıklarının öğrenci tarafından görülmesinin geometrik şekillerle ilgili öğrenilen bilgilerin kalıcılığını sağladığını belirtmektedir. Mesela kareyle dikdörtgenin benzer ve farklı özelliklerini bilmeleri çevre için de çok gerekli eee çevre hesabına geçmek için..ee.. işte açıları eşit ama kenarları ya da kenar özellikleri farklı gibi düşünmeleri Karşılaştırma 1 iki şekli birleştirerek başka bir şekil oluşturduklarını ya da başka etkinliklerde farklı şekilleri birlikte kullanmaları gerektiği, böyle bir durum için ise şekiller arasındaki benzerlik ve farklılıkları öğrencilerin görmeleri gerektiği yani karşılaştırmaları gerektiğini belirtmiştir. Paralel kanarla dikdörtgenin çevresi aynı hesapla bulunuyor ama açı özellikleri farklı yani o iki şeklin benzer ve farklı yanlarını bilmeleri gerekli.. 2 ise öğrencilerin şekilleri ayırt etmeleri bakımından benzerlik ve farklılıklarını görmelerinin çok önemli olduğunu vurgulamıştır. işte cisim olmaları, işte neyi benziyor.. her ikisinde de kenar var mesela ııı önce bir benzer taraflarını bulup daha sonra da peki farklı tarafları ne onları buldururum. İşte birinde üç kenar var, birinde dört kenar var. Hani ııı önceden benzeyen taraflarını daha sonra farklı olanlarını ayırt etme açısından cisimleri, geometrik şekilleri birbirlerinden ayırt

100 89 edebiliyor. Tabi tabii her sınıf düzeyinde yapılabilir. Çünkü ilerleyen sınıfta açısı olur ama şu an kenar, köşe bize yetiyor. 3 de öğrencilerin şekiller arasında benzerlik ve farklılıkları görmelerinin şekillerin özelliklerini öğrenmelerinde öneminin büyük olduğunu söylemiştir. Yani yine şekilleri tahtaya çizip ya da şekilleri çocukların eline bir model olarak verip işte üç öğrenci kaldırılabilir tahtaya, üçüne de farklı şekiller verip, farklı şekiller üzerindeki benzerlik ya da farklılıkları çocukların hani karşıdan görüp keşfetmelerini sağlayabiliriz. 4 ise karşılaştırma etkinliklerinde şekiller arasındaki benzerlik ve farklılıkları daha iyi gördüklerini böylece öğrencilerin şekil özellikleri konusunda da deneyim kazandıklarını belirtmiştir. Bütün geometrik şekillerden bir nesne ortaya çıkıyor. Origamiden yararlanarak bildikleri bir geometrik şekli katlayarak başka bir geometrik şekil oluşturuyorlar. Kenarlarını eşit katlamadan yararlanarak özelliklerini görmüş oluyorlar. 5 karşılaştırma etkinliklerinin diğer öğretmenlere benzer olarak geometrik şekil özelliklerini öğretmede etkili olduğunu ayrıca öğrencilerin şekillerin ayırt edici özelliklerini daha iyi öğrendiklerini belirtmiştir. Ayırt edici özellikler çıkıyor ortaya. Benzerlik ve farklılıkları ortaya çıkarmak için cisimler yapıyoruz. Bol bol sorular soruyoruz. Eşkenar, şu paralel kenar diyor çocuk. Şekiller Arası İlişki Kurma 1 öğrencilerin şekiller arasındaki benzerlik ve farklılıkları görmelerinin şekil özelliklerini daha iyi öğrenip iç ve dış ilişkiler kurmalarındaki öneminden bahsetmiştir.

101 90 Problem Çözme 4 şekiller arasındaki benzerlik ve farklılıkları öğrenen öğrencilerin problem çözerken daha başarılı olduklarını belirtmiştir. 5 ise konularla ilgili soru çözmede şekil özelliklerini iyi bilmenin ve karşılaştırmalar yapmanın etkili olduğunu söylemiştir. Kalemlerini cetvel kullanarak. Şekilleri birlikte vererek kıyaslarım. Kâğıtlarım hep hazırdır. Paralel kenarla eşkenar dörtgen aynı renk yapıştırırım. Dikdörtgenle kareyi aynı renk yaparım. Şekilleri çocuklara sunarım. Benzerlikleri neler, farklılıkları neler diye sorarım. Tablo 4.6 öğrencilerin geometrik şekiller arasındaki benzerlik ve farklılıkları görmelerinin, özellikle şekiller arası karşılaştırmalar yaparak şekilleri daha net algılamalarını sağladığını göstermektedir. Tablo Soruya Verilen Cevapların Analizi Soru: 3. Okuttuğunuz sınıf seviyesinde bir geometrik kavramı öğrencilerinizin ne düzeyde tanımlamasını beklersiniz örnek veriniz? Kastedilen İfade edilen İlişki kurma ya da diğer şekillerle olan benzeri olan yönler nereler ya da bu şekille birlikte günlük hayatta (3) gördüğü şeyler neler? (3) Benzerlerini gösterme Benim için önemli olan çocuk benzerleri içerisinden (5) yamuğu seçmesidir. Özelliklerini sayması da yeter. (5) Çok basit düzeyde özelliklerini söylemesini beklerim. Mesela dikdörtgen için 4 tane kenarı vardır (1) O sınıf düzeyinde bilmesi gereken kenarı, köşesini bilmesi gerekir ve kenar sayısını.. Kenarının da Temel (belirgin) özelliklerini kenarları birbirlerine eşit, iki uzun iki kısa özelliklerini kenar var. (2) Bir geometrik şekil olarak kare yine olabilir ya da vurgulama (1) (2) (3) dikdörtgen olabilir. Yani en azından köşelerin neresi (4) (5) olduğunu, kaç köşesinin olduğunu ya da kenarları neresi, kaç kenarı olduğunu (3) Dikdörtgenin tanımını yapmasını istediğimde bu şeklin belirgin özelliklerini vurgulamasını beklerim (4) Özelliklerini sayması için gerekli

102 91 Tablo 4.7 de görülüyor ki öğretmenler geometrik kavramların tanımlanmasında üç kategori üzerinde görüş belirtmişlerdir. Bu kategoriler ilişki kurma, benzerlerini gösterme, temel özelliklerini vurgulamadır. İlişki kurma 3 numaralı öğretmen öğrencilerinden tanımlama yaparken bir şeklin diğer şekillerle olan benzerliklerini vurgulayarak şekiller arasında ilişkiler kurmalarını beklediğini belirtmiştir. 3 tanımlamadan ziyade öğrencilerinden ayrıntılı olarak şekil özelliklerini betimlemelerini beklemektedir. Yani o köşeleri nasıl oluşturduğunu ya da o kenarların nasıl oluştuğunu, neleri birleştirip bir köşe yapabiliriz? Ya da neler mesela burada iki doğru parçası ya da dört doğru parçası birleşmiş kareyi oluştururken. Daha soyut bir kavramı da bununla birlikte. Yeterli değil tabiî ki. Yani görünüşleri nasıl? Benzerlerini Gösterme 5 öğrencilerinden tanım yapmalarını beklemediğini tanımdan çok şekle benzer olan diğer şekilleri gösterip bunun yanında da şekle ait özellikleri belirtmelerinin kendisi için yeterli olacağını belirtmiştir. Tanım gerektiği zaman ise tanımı ben vermem. Çocukların şekillerin özelliklerinden hareketle tanıma ulaşmalarını sağlarım. Özelliklerden tanıma giderim. Grup fikri ve sınıf fikri olarak yazarım. Bazen de yapılır. Temel Özelliklerini Vurgulama Görüşmeye katılan tüm öğretmenler temel özelliklerini vurgulayarak tanım yapma konusunda benzer düşüncelere sahiptirler. Hepsi de tanımdan ziyade öğrencilerin şekil özelliklerini bilmelerinin ve betimleyebilmelerinin yeterli olacağını belirtmişlerdir.

103 92 Tablo Soruya Verilen Cevapların Analizi Tablo 4.8 geometri öğretimine başlarken üç boyutlu cisimlerden ya da noktadan başlamanın hangisinin uygun olup olmadığı konusunda öğretmen görüşlerine bağlı kategorilerden ve ifadelerden oluşmaktadır. Soru: 4. Geometri öğretimine önce üç boyutlu cisimlerden başlanıp, sonra iki boyutlu şekillere sonra da tek boyuta inilmesi konusunda ne düşünüyorsunuz? Bu uygun bir yol mudur? Üç boyutlulardan tek boyutlulara gitme Kastedilen Uygun (2) (3) Uygun değil (1) (4) (5) İfade edilen Şekil olarak belki benzetme yapmakta zorlanabilecek ama cisim olarak gösterdiğimde işte dikdörtgenler prizması evdeki buzdolabı, bir kare prizma çamaşır makinesi ya da her bir dolap hani daha çok nesnelerle eşleştirme yapabilecekler (2) Evet üç boyutlu cisimler hani görsellik açsından ya da daha kolay algılamaları açısından üç boyutlu şekillerle başlamak daha faydalı olabilir. (3) Üç boyutlulardan başlaması mantıklı geliyor insana ama geometrik şekilleri bilmeselerdi işte geometrik cisimleri çabuk öğrenirler miydi bilmiyorum (1) Değil bence. Çizgiden şekle gitmenin daha doğru olduğunu düşünüyorum (4) Geometri dersine üç boyutlulardan başlanması öğretmenin işini zorlaştırır (5) Tablo 4.8 incelendiğinde öğretmenlerin geometri programında yer alan üç boyutlu şekillerin öğretiminden başlanıp tek boyutluya inme konusundaki görüşleri yer almaktadır. 2 bu durumun çocuklar açısından uygun olduğunu çünkü çocukların çevresindeki nesnelerin üç boyutlu olduğunu söylemiştir. Bu nedenle çevresindeki

104 93 eşyalarla benzerlik kurarak eşleştirmeler yaptıkları ve şekil özelliklerini daha iyi öğrendiklerini söylemiştir. Çevresinde daha çok şekilde çok nesneler daha fazla diyelim ki bir top, işte diyelim ki diğer şeylere geçtiğimizde evin çatısını gösterip, buzdolabını Dolayısıyla daha uygun hani ilk anda şeye başlarken biraz tuhaf geldi. Önceden şekilden başlayarak üç boyutluya geçerdik. Ama şimdi şeyi fark ettim hani çocuk daha fazla şey yapabiliyor. Hani evet.. Bizim evdeki şu şuna benziyor, dolap ya da benim kalem kutum ya da ne bileyim işte cep telefonum gibi daha çok varlık görebiliyor geometrik cisimlere benzeyen. 3 de üç boyutluların görsellik bakımından daha zengin olduğunu ve çocukların daha iyi kavrayabileceklerini belirtmiştir. Onları çok daha net anlamlandırabilirler. Bu şey gibi basitten karmaşığa gitme gibi işte basit olarak üç boyutlu şekil gördükten sonra, iki boyutlu sonra hani tek boyutlu.. ee.. Kare şudur, şekil olarak budur demek bence de daha doğru. 1 öğrencilerin önce geometrik şekilleri öğrenmeleri gerektiğini, aslında okul öncesinde de geometrik şekilleri öğrenerek geldikleri için üç boyutluları öğrenmede zorluk yaşamadıklarını söylemiştir. Şekilleri bilmeselerdi. Bu kadar kalıcı olmazdı. Mesela prizmayı..ee..çok şey yapmadılar hemen öğrenemediler. Ama işte kenarları kare gibi ya da dikdörtgene benziyor deyince öyle hatırladılar. Önce iki boyutlu şekillerin kartlarla öğretilip sonra da üç boyutlulara geçiş daha uygun olur. Programda prizmaya benzeyen şekiller diyor. Mesela prizmayı..ee..kibrit kutusuna yada tebeşir kutusuna benzeyen olarak veriyoruz. Öğrenci dolabına, işte tv ye benzeyen şeklin de Özelliklerini istemiyor. Fakat çocuklar okul öncesinden aradaki geçişi yapabiliyorlar. Öğretmenin tv. Bir prizma ama işte bu ön tarafı dikdörtgene benziyor şeklinde soranlar oldu.

105 94 4 de tek boyutlulardan başlayarak üç boyutlulara hareket edilmesinin daha doğru olacağını söylemiştir. Çizgi şeklin temeli olduğundan bu durumun basamak oluşturduğunu düşünüyorum. Çocuk önce üç boyutlu şekilleri oluşturan çizgiyi kavramalı bence. Çünkü cisimlerin açılımı geometrik şekilleri oluşturuyor. Yüzeyin ne olduğunu vermeden, cisimdeki yüzeyleri veremezsiniz. Çocuk şekli cisme kendisi dönüştürmeli, işin mantığı o. 5 ise geometri öğretimine üç boyutlulardan başlanmasının öğretmenin işini zorlaştıracağını, çünkü her durumda öğretmenin üç boyutluları verirken bir taraftan da şekiller hakkında bilgi vermesi gerektiğini söylemektedir. Öğretmenin işi zorlaşır. Öğretmenin cisimle şekli bir arada vermesi gerekir. İlk konu küp, küpün on iki yüzeyi var. Kareyi vermeden öğrencinin küpün özelliklerini öğrenmesi çok zordur. 2 ve 3 geometri öğretimine üç boyutlulardan başlamanın uygun olduğunu, 1, 4 ve 5 ise uygun olmadığını savunmaktadırlar. Üç boyutlulardan başlanmasının öğretmenin işini zorlaştıracağını ve öğrencilerin daha zor öğreneceklerini söyleyerek uygun olmadığını söyleyen öğretmenler önceden olduğu gibi geometri öğretimine tek boyutla başlanmasının gerekli olduğunu söylemişlerdir. 2 ve 3 ise üç boyutlu cisimlerin öğrencilerin çevrelerinde çok miktarda olması ve dokunarak, inceleyerek geometrik şekillerin de daha kolay algılanabileceği ve nesneler yardımıyla eşleştirmeler yaparak tek boyuta geçişin daha kolay olacağını ifadelerinde belirtmektedirler.

106 95 Tablo Soruya Verilen Cevapların Analizi Tablo 4. 9 öğretmenlerin geometri öğretimini etkileyen etkenler hakkındaki düşüncelerini göstermektedir. Soru: 5. Öğrencilerinizin geometrik konuları öğrenmelerindeki başlıca etkenlerin neler olduğunu düşünüyorsunuz? Örneklendirerek açıklayınız. Kastedilen İfade edilen Gelişimi iyi olan bir çocuk..ee..işte okulda dikdörtgeni öğrendikten sonra eve gelip halının da ona benzediğini dikdörtgen olduğunu fark edebilir. Ama gelişimi iyi olmayan çocuk sadece teorik boyutta kalır. Her yönden gelişim çok önemli (1) Gelişim Çocuğun gelişimi önemli tabi. Çünkü hani (1) (2) (4) karmaşık bulabilir. Diyelim ki iki ay önce bir sınıflandırma yaptırırken zorlanabiliyor ama iki ay sonra çok seri bir şekilde yapabiliyor (2) Çocuk zaten o gelişim düzeyinde değilse ona geometri öğretemezsiniz (4) Öğretim Öğretim çok renkli olursa, çeşitli olursa çocuklar öğrenir. (3) (3) (5) Öğretmen daha etkili öğretim daha etkili (5) Tablo 4. 9 incelendiğinde öğrencilerin geometri konularını öğrenirken 1, 2 ve 4 numaralı öğretmenlerin gelişimin önemine inandıkları, 3 ve 5 numaralı öğretmenlerin ise öğretimin daha önemli olduğunu söyledikleri görülmüştür. 1 gelişimi iyi olan bir çocuğun öğrendikleriyle çevresi arasında ilişki kurabileceği ve öğrendiklerini uygulamaya geçirerek başarılı olabileceğini söylemektedir. Zihinsel yönden gelişmiş çocuklar geometride başarılı oluyorlar. Zihinsel gelişim iyi olamayan çocuklar bilgiyi biliyor ama uygulamaya beceremeyebiliyorlar. Üst sınıflarda (4-5. sınıflarda) çok sıkıntı yaşanıyor.

107 96 Bilgi olarak çocuk diyor ki dikdörtgenin kenarlarını topladığımda çevresini bulurum. Ama iki kısa kenarın ikiyle çarpıldıktan sonra yapılabileceği bilgisi bazılarında çok zor yerleşiyor. Şekil olarak veriyorsun bakıyor. Dikdörtgenin şekline benzer bir havuz deyince, bir tarla deyince bilgiyi aktaramıyor. Hatta dikdörtgen şeklinde havuz olursa kaç kenarı olur öğretmenim diye soran oluyor. Bu çocuk aslında dikdörtgeni biliyor ama. Biraz daha zihinsel olarak daha iyi olan çocuklar yapabiliyor. 2 öğrencilerin öğrenme durumlarında gelişimin etkili olduğunu, eğer öğrenci bir konuyu öğrenmeye hazır değilse en iyi öğretimin bile işe yaramayacağını belirtmiştir. Hani..ee..Belli zamanlarda (onun gelişimine uygun zamanlarda) verildiğinde konuları her çocuk öğrenebilir. Ama diyelim ki birinci sınıfta böyle bir çalışma yapılsaydı zorlanabilirlerdir. Karmaşık gelebilirdi. Çocuğu hazır hissettiğimizde yapmalıyız. Her çocuğun kapasitesi farklı. İleri düzeyde zekâya sahip olanlar da ama normal sürecini tamamlamakta olan çocuk anlamayabilir. Dolayısıyla gelişime uygun öğretim olmalı. Çocuk yapamadığından dolayı kendini kapatabilir. 4 ise kesin bir ifadeyle çocuğun o konuyu öğrenmek için gerekli gelişim düzeyine gelmediği takdirde ona hiçbir şey öğretilemeyeceğini söylemiştir. Öğretim çok iyi de olsa gelişim düzeyi yeterli değilse en iyi öğretim bile işe yaramaz. Öncesinde bir birikimi olması lazım. Hiyerarşik olmalı. Konular düzeyinde. 1, 2 ve 4 geometri öğrenme üzerindeki gelişim faktörünün önemini çocuk gerekli gelişim düzeyinde değilse öğrenemez, her yönden gelişim çok önemli diyerek; 3 ve 5 ise öğretimin önemini etkili öğretim ve etkili öğretmen faktörleriyle açıklamaktadırlar. Yinede öğretmenler ne gelişimi ne de öğretimi yok

108 97 saymamaktadırlar. Her ikisinin de öğretimde önemli olduğunu özellikle belirtmişlerdir. Tablo Soruya Verilen Cevapların Analizi Tablo 4.10 öğretmenlerin geometri konularının sene başı ya da sene sonunda ne zaman işlenmesinin gerektiği konusunda sahip oldukları düşünceleri göstermektedir. Soru: 6. Geometri ünitelerinin işlenmesini ne zaman yapıyorsunuz? Geometri konularını diğer matematik konulardan önce işlemenin avantajları olabilir mi? Geometrik şekilleri diğer konuların modellemesinde kullanıyor musunuz? Nasıl? Kastedilen İfade edilen Programa göre ne zaman yapmamız gerekiyorsa. Program belirliyor. (1) Modelleme (1) (2) (3) (4) (5) Öğretim programı (sene başı) (1) (2) (3) (4) (5) Avantajlı (1) (3) (5) Dezavantajlı (2) (4) Sene başında yaptık. Müfredatta sene başında olduğu için bu konular (3) Geometri konularını sene başında işledik. Hiçbir sakıncası olmadı. (5) Sene başında işliyoruz. Avantajlı değil (2) Geometri konuları sene sonunda işlenmeli. Geometri problemlerinin çözümü için dört işlemden faydalanmak gerekiyor. (4) Tablo 4.10 incelendiğinde sınıf düzeylerine göre soruyu cevaplayarak kendi düzeyleri için geometri konularının diğer matematik konularından önce işlenebileceğini belirtmişlerdir. 1 birinci sınıf düzeyinde işlem yapma önemli olmadığı için geometri konularının sene başında işlenebileceğini fakat büyük sınıflarda önce işlem bilgisinin yer alması gerektiğini söylemiştir.

109 98 Yeni programla birlikte ilk konular geometri. Genelde sayılarla başlıyordu...ee.. 1. sınıf için uygun bence. Çünkü ilk önce şekillerle başlamak uygun sayıları bilmiyor. Ya da biz bilmediklerini kabul ediyoruz. Daha büyük sınıflarda açılar ve çevre hesapları olduğu için uygun değil. Sayılardan başlaması daha uygun gibi. Ölçüm yapmak için sayıları kullanmaları gerekiyor. İkinci sınıfta diyeli ki karenin çevresini bulacak bunun için sayıları ve dört işlemi bilmeli. Birinci sınıfta böyle bir sıkıntı yok. Çarpma, bölme yok. İşlem yapmıyoruz. 3 geometri konularının, öğrencilerin daha çok dikkatini çektiğini vurgulamaktadır. 3, matematik dersine böyle eğlenceli ve istekli başlandığında çok yararlı olduğunu söylemiştir. Diğer matematikteki konularla özdeşleştirmeleri açısından önce işlenmesi önemli. 4 işlem problemlerinin geometrik şekilleri içine alan sorularda (mesela bir bahçe dendiğinde) geçen bahçe nasıldır. Yani bunları görmeleri yani soruları kafalarında canlandırmaları için... ee.. yani bence geometri konularıyla başlaması diğer matematik konularıyla bağlantı kurmaları açısından önemli. Günlük hayatla ilişkilendirmede, diğer derslerle ilişkilendirmede avantajları oldu. 4 geometri konularının sene sonunda işlenmesi gerektiğini çünkü geometride de problem çözmenin önemli bir yeri olduğunu bu nedenle önce sayılar ve dört işlem bilgisinin verilmesinin, ardından geometri konularının işlenmesinin daha uygun olacağını belirtmiştir. Önce dört işlem konularının işlenmesi gerekiyor. Aslında bence geometri ayrı bir ders olmalı. Çünkü geometri matematiğin ayrı bir dalıdır. Önce işlemenin hiçbir avantajı yok. O matematiğin ayrı bir dalı ama. ( diğer konularında)

110 99 2 ise tatil dönüşü önce çocukların işlem yapma konusundaki eksikliklerini gidermek gerektiğini, çünkü geometride de işlemlere dayalı etkinlikler yapılabildiğini, işlemlerdeki eksikleri tamamlamada geç kalınmaması gerektiğini belirtmişlerdir. Çok avantajlı bulmadım. Geçen sene de böyleydi..ee.. Tatil dönüşünden sonra böyle çocuklarla 4 işlemle ilgili biraz alıştırmalar yapmak gerekiyor. Biraz eksikliklerini giderici çalışmalar yaptırmak gerekiyor. Ama direkt geometrik şekillerle başlayınca çok iyi olmadı açıkçası. Hiçbir yararı yok. Öğretmenlerin ifadelerinden genel olarak geometri konularının İlköğretim Matematik Programının başında olmasının pek uygun bulmadıkları anlaşılmaktadır. Öğretmenlerin genel olarak istedikleri, sayılar konusunun başta olmasıdır. 1 kendi seviyesinde avantajlı olabileceğini fakat sınıf seviyesi arttıkça bu avantajların dezavantaja dönüşebileceğini belirtmektedir. Tablo Soruya Verilen Cevapların Analizi Tablo 4.11 öğretmenlerin birinci sınıftan beşinci sınıfa kadar öğrencilerinde görmek istedikleri becerileri hiyerarşik olarak göstermektedir. 7. Soru: Bir öğrencinin herhangi bir geometrik kavramla ilgili 1. sınıftan 5. sınıfa kadar ne tür beceriler edinmelerini beklersiniz? Kastedilen İfade edilen Görsel olarak tanıma (1) (2) (3) Üç kenarının olduğu bilecek. Üçgen pencereli bir ev çizebilsin. Çatının üçgene benzediğini bilsin. Resimdeki üçgeni ayırt edebilsin başka şekillerden. (1) Kareye benzeyen şekilleri gördüğünde bu kare diyebilmeli. 1.Sınıf (4) (5) Tanımlamalı, işaretlemeli. (2) Dairenin nelere benzediğini hissettirerek bilmesini beklerim (3) Geometrik şekilleri şekil olarak tanımalı. (4) Kareyi seçmeli diğer şekillerden ayırmalı (5)

111 100 2.Sınıf 3.Sınıf 4.Sınıf 5.Sınıf Özelliklerini tanıma (1) (2) (3) (4) (5) Çeşitleri ve açı hesaplama (1) (4) (5) Çevre hesaplamaları yapma (1) (2) (3) (4) (5) Alan hesaplamaları yapma (1) (4) (5) Tablo in devamı Üçgenle diğer geometrik şekiller arasında farkları sıralayabilsin (1) Özellikleriyle tanıyabilmeli. Bir kare çizebilmeli. Kenarlarının eşit olmasını göstermesi açısından uygun nenelerle kare oluşturmalı. (2) Bu şekilleri tanıyıp dokunarak kendisi keşfederek şekillerle ilgili özelliklerini yavaş yavaş öğrenebilir.(3) Geometrik şekilleri şekil olarak tanımalı. Ayırt edici özelliklerini anlamalı.(4) Kenar özelliklerini bilir. (5) Üçgen çeşitlerini de bilsin. Açılarına ve kenar uzunluklarına göre değişik adlar aldığını. İç açılarının toplamının 180 derece olduğu ikinci sınıfta daha uygun olur. (1) Çevreyle ilgili bütün problemleri çözebilmeli. Açıları tanımalı. (4) Açı özellikleri ve hesaplamaları (5) Çevre hesapları yapmak. Bir üçgen verilen ölçülere göre çevresini hesaplayabilmeli. (1) Açılarıyla, kenar özelliği, kareyle ilgili problemleri çözebilmeli. Çevre problemlerini (2) Çevre hesabı ve dört işlem problemleri çözebilmeli (3) Çevre, alan hesaplarıyla ilgili problemleri çözebilmeli. (4) Çevre hesaplamaları (5) Alan kavramı biraz daha geç yerleşiyor. Bir üçgenin alanını hesaplayabilmeli (1) Alan hesaplarıyla ilgili pekiştirmeli (4) Alan ve hacmi ölçülebilir (5) Tablo 4.11 incelendiğinde öğretmenlerin görüşlerinden hareketle genel bir sıralama yapılırsa geometrik kavramla ilgili ilk edinilmesi gereken beceri görsel olarak tanıma, ikincisi özelliklerini tanıma, üçüncüsü çeşitlerini tanıma, dördüncüsü çevre hesaplamaları yapma, beşincisi ise alan hesaplamaları olarak görülmektedir. Görsel olarak tanıma 1, 2, 3, 4 ve 5 numaralı öğretmenlerin geometrik kavramlarla ilgili olarak ilk edinmeleri gereken beceri olarak görsel olarak tanıma becerisini göstermektedirler.

112 101 söylemiştir. 1 öğrencilerinden öncelikle bir şekli diğerlerinden ayırt etmesini beklediğini 2 de istenen bir şekli benzerlerinin içinden seçip işaretleyebilmeli. İlk adım olarak kendisi için bunun önemli olduğunu belirtmiştir. 3 öğrencilerinden şeklin benzerlerini göstermelerini beklediğini söylemiştir. 4 öğrencilerinin geometrik şekilleri şekil olarak tanımalarını beklediklerini ve diğer şekiller arasından ayırt etmeleri gerektiğini söylemiştir. 5 ise öğrencilerinden şekli diğer şekiller içerisinden seçmelerini beklediğini belirtmiştir. Özelliklerini tanıma 1 öğrencilerinden şekiller arsındaki farklılıkları sıralayabilmelerini beklediğini ifade etmiştir. 2 şekil özelliklerini kullanarak bu özelliklerle geometrik şekilleri kendisinin oluşturması gerektiğini söylemiştir. 3 ise bu düzeyde öğrencilerin şekil özelliklerini bilmesi gerektiğini söylemiştir. 4 hem şekli gördüğünde öğrenci tanımalı hem de ayırt edici özelliklerini bilmeli demiştir. 5 ise kenar özelliklerini bilmenin bu seviyede yeterli olacağını belirtmiştir. Çeşitleri ve açı hesaplama 1 öğrencilerinin bu düzeyde şekillerin çeşitlerini tanıyıp açılarıyla ilgili bilgi sahibi olmasını beklediğini ifade etmiştir. 4 bu seviyedeki öğrencilerin açıları tanımaları gerektiğini belirtmiştir. 5 de öğrencilerinin açıları tanıyıp açı hesaplamaları yapabilmeleri gerektiğini söylemiştir.

113 102 Çevre hesaplamaları yapma 1, 2, 3, 4 ve 5 ortak olarak bu düzeyde öğrencilerinden şekil özelliklerini biliyor olmalarını ve çevre hesapları yapıyor olmaları gerektiğini söylemişlerdir. 4 bu düzeyde çevre hesaplarıyla birlikte alan hesaplarını da öğrenmeleri gerektiğini belirtmiştir. Alan hesaplamaları 1 ve 4 bu seviyede öğrencilerinin basit alan hesaplamaları yapmaları gerektiğini 5 numaralı öğretmen ise alan hesaplamalarının yanı sıra hacim ölçülerinin de verilmesi gerektiğini söylemiştir. Geometri öğretimine ilişkin öğretmen görüşleri yukarıda ele alınmış ve ayrıntılı olarak incelenmiştir. Öğretmen görüşlerinin van Hiele seviyeleri ile örtüşme dereceleri tartışma bölümünde ele alınmıştır. Birinci alt problemde öğretmen görüşlerinin van Hiele seviyeleriyle ne derece örtüştüğü irdelenmiştir. Öğretmen görüşlerini almak için onlarla görüşmeler yapılmıştır. Bu görüşme esnasında öğretmenlere 7 soru sorulmuştur. Öğretmenlerin verdikleri cevaplardan yola çıkılarak analizler yapılmıştır. Analiz sonucunda öğretmenlerin geometri derslerini işlerken gerçek hayatla ilişkilendirmeler yaptıkları, şekil özelliklerini şekiller arasında benzerlikler kurarak ve ilişkilendirmeler yaparak vurguladıkları görülmüştür. Geometri araçlarını kullanmanın önemine inandıklarını ifade edip geometri dersinde en çok kullandıkları araç gereçleri renkli kâğıtlar, ip, tel gibi çevreden kolayca bulunacak araçlardan seçtikleri, çizim yaptırmanın konuları görselleştirip somutlaştırdığını, özellikle çizimlerde farklı bakış açılarından ya da döndürerek çizimler yaptırmanın öğrencilerin öğrendiklerini pekiştirip somutlaştırdığını belirtmişlerdir.

114 103 Öğretmenler öğrencilerinin şekiller arası benzerlik ve farklılıkları görmeleri için karşılaştırma, şekiller arası ilişkiler kuma gibi etkinlikleri kullandıklarını, tanımlamadan ziyade şekil özelliklerini geometri derslerinde vurguladıklarını yapılan görüşmelerde söylemişlerdir. Öğretmenler genel olarak geometri öğretiminde gelişim faktörünün önemine inandıklarını öğretim ne kadar iyi olursa olsun, yeterli gelişimi sağlayamamış çocuklar başarılı olamaz. Diyerek belirtmişlerdir. Öğretmenlerle yapılan görüşmelerde sorulan son soruda herhangi bir geometrik kavramla ilgili birinci sınıftan beşinci sınıfa kadar öğrencilerinizde ne tür beceriler görmek istersiniz? Sorusuna verdikleri cevaplarda bir hiyerarşi ortaya çıkmıştır. Öğretmenler ilk olarak öğrencilerinin şekli görsel olarak tanımalarını sonra özelliklerini bilmelerini, sonra şekillerin çeşitleri ve açı hesaplamalarını yapabilmelerini, ardından çevre hesaplarını yapabilmelerini en son olarak da alan hesaplarını yapabilmelerini beklediklerini söylemişlerdir. Öğretmen görüşleri incelendiğinde genel olarak, öğretmenlerin geometri derslerini işlerken van Hiele nin geometrik düşünme seviyeleri hakkında bilgileri olmasa da beklentilerinin bu seviyelere ve seviyelerin özelliklerine uygun olduğu görülmektedir Alt Problem 2: Öğretmenlerin Uygulamaları van Hiele Seviyeleriyle Ne Derece Örtüşmektedir? Araştırmaya katılan öğretmenler sınıf ortamında gözlemlenmiştir. Bu gözlemler süresince öğretmenlerin yalnızca geometri konuları işleniş biçimleri gözlemlenmiş ve sınıf içinde yaptıkları etkinlikleri, öğrencilerle iletişimi ayrıntılı bir şekilde gözlenmiştir. Gözlem notları incelendiğinde ve çözümlendiğinde aşağıdaki kategoriler oluşmuştur. Gerçek yaşamla ilişkilendirme Geometrik cismin ve şeklin özelliklerini vurgulama Araç- gereç kullanımı Öğretmen yanılgıları, bilgi eksiklikleri ve geçiştirmeler Çizim yaptırma

115 104 Tanımlamalar ve açıklamalar yaptırma Tahmin ve çıkarım yaptırma Şekiller arası ilişkiler kurma Farklı bakış açılarından şekilleri tanıma Birinci kategori: Gerçek yaşamla ilişkilendirme Gözlemlerin analizinden çıkarılan ilk kategori gerçek yaşamla ilişkilendirmedir. Burada öğretmenlerin derslerinde kullandıkları gerçek yaşamla ilişkilendirme etkinliklerini yansıtan öğretmen öğrenci konuşmaları yer almaktadır. Birinci sınıf Konu: Geometrik Cisimler Ö: Bir top gösterdi ve bu topun özelliklerini sayalım dedi. Ç: Yuvarlanma özelliği var Ç:atabiliyoruz Ö:Ne yaparız değil nasıl? Ç: dünya gibi Ö: bu oyuncak yuvarlak değil çöp kovası gibi olsaydı ne olurdu Ç:yerler çöp içinde kalırdı Ö:bu ruloya benzeseydi basket oynamak kolay olur muydu? Ç:hayır elimizden kayardı Ö:tebeşir kutumuza benziyor Ç:ikisi de aynı renk Ö:benzemeyen özellikleri neler? Ç:renk beyaz değil Ç:top yuvarlak kutu kare Ö:kare kutu demi? Ç:o yuvarlak değil o yuvarlak Birinci sınıf öğretmeni küre konusunu sınıfında işlerken, küreyi öğrencilerine tanıtmak için sınıf ortamına bir top getirmiştir. Top çocukların hayatında çok önemli bir yeri olan bir oyuncak olduğundan dikkatlerini çekmiştir. Bu sınıf seviyesinde öğretmenin 0 seviyesinde bir öğretimle derse başlanması beklenmektedir. Burada öğretmenin nesnenin özelliklerini ortaya koymak için gerçek yaşamla ilişkilendirmeler yapmasını 0 seviyesinde bir etkinlik olarak kabul edebiliriz.

116 105 Öğretmen gerçek yaşamla ilişkilendirmek ve topun küreyle olan benzerliklerinden yararlanmak istemiştir. Öğrenciler ise 0 seviyesinin özelliklerini göstererek yuvarlanma, ya da dünya gibi benzetmelerini yapmışlardır. Hatta 0 seviyesinde bekleyebileceğimiz, nesnenin geometriyle ilgisiz olan özellikleriyle (renk) bile ilgilenmişlerdir. İkinci sınıf Konu: Geometrik Cisimler Ö: Çocuğa sen bunların öğretmenisin. Geometrik cisim olan çocuklara siz yarışın bakalım günlük hayatta en çok kim kullanıyor? Ç: Evet arkadaşlar şimdi geometrik cisimler konuşacak. Ç: Benden suluk olur. Ç: Benden çatı olur. Ç: Benden bardak olur. Çocuk: Benim 3 ayrıtım var.( Üçgen) Ç: Benim 3 yüzüm var.(silindir) Ç: Benimde 5yüzüm var. Ç: Benim 6 köşem var. Ç: Benim yok ne olmuş? Ç: Ben biraz piramide benzerim. 2. sınıf öğretmeni öğrencilerine üç boyutlu geometrik cisimlerin gerçek yaşamda nerelerde kullanıldığını sorarak öğrencilerin bu cisimlerin sahip oldukları şekillerle ve cisimlerin bütün olarak algılanmalarını sağlamak istiyor. Çünkü öğrenciler gerçek yaşamdaki yerlerini düşünürken aynı zamanda bu cisimlerin özelliklerini de düşünmeye başlıyorlar. Böylece bu etkinlik 0 düzeyinde ilerlemek için gerekli bir uzamsal düşünme etkinliği haline dönüşmektedir. Üçüncü sınıf Konu: Düzlem Ö: Çocuklar sınıfta bazı şekiller var. Birlikte bir şey fark edeceğiz. Dün akşam yattığım yatak biraz eğriydi. Yatak düz olmadığı için sırtım ağrıdı. Ç: Öğretmenim ne yapacaksınız? Ö: Düz bir yatak alacağım. Ö: Sınıfımızda yatağımıza benzeyen neler var?

117 106 Ç: Panolar, masalarımız. Ç: Tahta Ö: Pürüzlü bir zemin yok. Ç: Atatürk resmi, dolaplarımız, perdemiz, haritamız. Ç: Duvarımız düz. Ö: Yerde yürüyorum. Ç: Yer Ö: Camların üstü pürüzlü mü? Ç: Düz Ç: Başarı denizimiz düz (bir çeşit pano) Öğretmen eline küre aldı iki tane. İki kişiyi çağırdı. Küreleri ellerine verdi. Gözlerini kapattırıp küreye dokundurttu. Bunlar yuvarlak mı? Düz mü? Dedi. Üçüncü sınıf öğretmeni de düzlem konusuna giriş yapmak için öğrencilerin çevrelerinde bulunan düzlem örneklerinden hareket etmektedir. Öğrencilerin yakın çevrelerindeki nesnelerin sahip oldukları özelliklerle konuyu ilişkilendirmesi ve benzerlikleri buldurması 0 düzeyinde bir ilerleme etkinliği olarak kabul edilebilir. Dördüncü sınıf Konu: Doğru, doğru parçası, ışın Öğretmen ışını tanıttı. Doğru bir ucundan sınırlandırılırsa ışın elde edilir dedi Işın bir ucundan sınırlı diğer ucundan sınırsızdır Ö:Işınla doğru parçası arasında nasıl bir fark var? Ç:Biri bir ucundan diğeri iki ucundan sınırlı Ö:Bu şekli neye benzettiniz? Ç:Örgü şişi Ç:Lazer ışını Ç:Koşan adam Ç:Bulunduğu noktadan havalanan uçak Ç:Tabancadan çıkan kurşun Ç:Kalemde Ö:Kalem ışın mıdır? Şekli benziyor Ç:Doğru parçasıdır

118 107 Dördüncü sınıf öğretmeni doğrudan bir tanım vererek öğrencilerinin bu bilgiyi anlamlandırmaları için onlara bir fırsat sunmak amacıyla şeklin öğrencinin çevresinde nelere benzediğini sormuştur. Aynı zamanda şeklin diğer bir şekille farkını öğrencilerinin sorgulamasını beklemektedir. Bu etkinlik her ne kadar 0 seviyesinde bir etkinlik olarak görünse de 1 seviyesinde düşünme gerektirmekte yani şeklin özelliklerini bu etkinlik açığa çıkarmaktadır. Beşinci sınıf Konu: Çokgen Çokgendeki alan ölçü birimleri. Bunları nelerde kullanabiliriz. Kitaptan çocuklara okuttu. Kitaptaki kilim desenin beraberce incelediler. Bunu neden koymuşlar kitabımıza bir okuyun bakalım. Kilimler üçgenlerdeki çoğu şeklin geometrik şekillerden oluştuğunu söylüyor. Ö: Sınıfımızda üçgen neler var? Ç: Trafik işareti Ç: Yanardağ modeli Ç: A harfi Ç: Haritanın üzerindeki ipler 5. sınıf öğretmeni üçgen şeklinin sınıfta nelere benzediğini sorarak öğrencilerin hiyerarşik yapıda olan van Hiele seviyelerinden 0 seviyesinde düşünmelerini sağlamaya çalışarak öğrencilerin ön bilgilerini ortaya çıkarmayı hedeflemiştir İkinci kategori: Geometrik cismin ve şeklin özelliklerini vurgulama Geometri derslerinin gözlenmesi sonucu belirlenen ikinci kategori cisim ve şekillerin özelliklerini vurgulamadır. Burada öğretmen öğrenci iletişiminde cisim ve şekil özelliklerini açığa çıkaran konuşma metinleri verilmiştir. Birinci sınıf Konu: Geometrik Cisim Ö: Kutunun sivri yerlerine ne diyoruz?

119 108 Ç.Köşe Ö:Masanın sivri yeri? Ç:Köşe Ö:Topun sivri yeri ne? Ç:Dairenin köşesi yok İkinci sınıf Konu: Geometrik Cisim Ö: Bu ne? Ç: Dik Prizma Ö: Neden? Ç: Çünkü yüzeylerinin göstererek dikdörtgensel prizmaya benziyor. Ç: Küpün 6 yüzü olduğu için. Dik prizmanın da 6 yüzü olduğu için dik prizmadır. Ö: Buna küp dediniz, buna dik prizma neden? İkinci sınıf öğretmeni dikdörtgen prizmanın özelliklerini ortaya koymak amacıyla sınıfa bir dikdörtgen prizma getirmiştir. Cismin, dikdörtgen prizmaya benzeyen özelliklerini vurgulamak istemiştir. Burada öğretmen 1. seviyede düşünmeye varacak bir hedef belirlemiştir. Öğrencilerin verdiği cevaptan ise öğrencilerin 0 seviyesinde düşündüklerini anlamaktayız. Üçüncü sınıf Konu: Geometrik Cisim Öğretmen evden çocukların çeşitli kutular getirmesini istemiş. Küpleri çıkarın, inceleyin. Bu sanırım bir lamba kutusu. Küpün yüzeyini ellesin. Sivri yerlere parmaklarını bastırsın. Ö: Çocuklar kare prizmayı demiyorum. Küpün yüzeyi hangi şekle benziyor? Ç: Kare Ö: Diğer yüzü neye benziyor? Ç: Kare Ö: Kareyi bir hatırlayalım. Kare nasıl bir şekildi? Ç: Düzlem Ç: 4 köşeli Ö: Köşeleri göster. Ç: Gösterdi.

120 109 Üçüncü sınıf öğretmeni öğrencilerinden küpleri çıkarmalarını istemektedir fakat öğrenciler kare prizmayı küp olarak seçmektedirler. Burada öğrencilerin 0 seviyesinde düşündüklerini görmekteyiz. Öğretmen ise öğrencilerine. Neye benziyor? sorusuyla cismin sahip olduğu özellikleri ortaya çıkarmak istemiştir. Dördüncü sınıf Konu: Geometrik Şekiller Ö: Öyle sınırlayamayız. Çünkü dikdörtgene girelim. Dikdörtgeni elimize alalım. Özelliklerini söyleyelim. Ç: 4 köşesi var Ç: Dik kenar Ç: Karşılıklı kenarları birbirine eşit Ç: Bir yüzeyi var Ç: 4 ayrıtı var Ö: Şekillerde ayrıt demiyoruz. Cisimlerde ayrıt diyoruz. Ö: Eline bir prizma aldı. Cismin kapalı olduğunu söyledi. Ayrıtı cisimlerde kullanıyoruz dedi. 4. Sınıf öğretmeni dikdörtgenin sahip olduğu özellikleri öğrencilerine sormuştur. Öğrenciler dikdörtgenin sahip olduğu özellikleri söyleyebilmişlerdir. Yalnız öğrenciler kenar ve ayrıt kavramlarını karıştırmışlar, öğretmen ise açıklama yerine hatayı söyleyerek bu durumu geçiştirmiştir. Ön bilgilerine dayanarak 1. seviyeye sahip olan öğrenciler şekle ait bütün özellikleri listeleyebilmektedirler. Yalnız derste herhangi bir etkinlik yapılmamıştır. Verilen cevaplardan hareketle bu sınıftaki öğrencilerin sorulan soruya verdikleri cevaptan hareketle 1. seviyede düşündükleri söylenebilir. Beşinci sınıf Konu: Çokgen Ç: Öğretmenim düzgün çokgen mi yoksa düzgün olmayan çokgen mi çizeyim. Ö: İkisinden de birer örnek çiz dedi. Mesela düzgün olmayan dörtgen çizebilirsiniz. Ç: Dörtgen deyince bir kare çizsem olur mu? Ö: Kare bir dörtgen mi? Ç: 1, 2, 3, 4 evet 4 kenarı var.

121 sınıf öğretmeni kare bir dörtgen mi? sorusuyla öğrencilerinin kare ve dörtgen kavramalarının özellikleri hakkında düşünmelerini sağlamayı amaçlamaktadır. Öğrencinin soruya verdiği cevap ise onun 2 seviyede düşündüğünü göstermektedir. Çünkü şekillerin sahip oldukları özellikler arasında ilişkilendirme yaparak bir yargıya varmıştır. Öğretmen ise sorduğu soru ve çizim yaptırarak şekiller arasında ilişkilendirme yapmaya öğrencilerini zorlamıştır Üçüncü kategori: Araç- gereç kullanımı Üçüncü kategori araç gereç kullanımı olarak belirlenmiştir. Burada öğretmenlerin ne tür araç gereç kullandıkları ve bunları nasıl kullandıkları irdelenecektir. Birinci sınıf Konu: Karesel Bölge Gerçek nesnelerden yararlandı. Ancak geometrik araç-gereçlerden kullanmadı. İkinci sınıf: Öğretmen deftere yazdırıyor. Dikdörtgensel bölge. Önceki derste karesel bölgeyi sarı kartondan kesilmiş bir kâğıda çizerek deftere yapıştırmış. Özellikleri 4 kenarı var 4 köşesi var İkinci sınıf öğretmeni karesel bölgeyi öğrencilerinin daha iyi anlaması için renkli kartonlar kullanmıştır. Böylece öğrenciler karesel bölge kavramını daha iyi anlamışlardır.

122 111 Üçüncü sınıf Konu: Açılar Öğretmen dik açılarını gösterdi ve çizdi. Çocuk tahtaya kalktı dik açı nasıl oluyor dedi. Öğretmen kenarları tek tek çizerek gösterdi. Daha sonra geometri şeritlerini kenarların üzerine koyarak dik açıyı gösterdi. Üçüncü sınıf öğretmeni açı çeşitlerini öğretirken geometri şeritlerinden yararlanmıştır. Geometri şeritlerinin hareket edebilme ve tüm açı çeşitlerini rahatlıkla gösterme özelliğinden yararlanmıştır. Dördüncü sınıf Konu: Kare Ö: Geometrinin matematiğin bir dalı olduğunu söylemiştik. 100 cm lik ipe düğümler attık. Öğrenci kaldırdı. Her düğümden bir kişi tuttu. 4 öğrenci kaldırdı. Bu şeklin tam kare olduğunu gördük. Yere çöktüler karesel bölge oluştu. Dördüncü sınıf öğretmeni basit bir ip yardımıyla öğrencilerine geometrik şekillerin özelliklerini daha yakından yaparak yaşayarak ve yakından görerek öğrenmeleri için fırsat sunmuştur. Beşinci sınıf Konu: Çokgen Ö: öğrencilerine renkli kâğıtlar verdi. Bunun şekli nedir? Ç: Kare Ö: Başka hangi kavramı kullanabiliriz? Ç: Dörtgen, çokgen Beşinci sınıf öğretmeni görüşme esnasında da renkli kâğıtlarının geometri dersi işlerken hep hazır olduğunu belirtmiştir. Renkli kağıtlar yardımıyla öğrencilerinin şekillerin özellikleri ve şekiller arası ilişkileri daha rahat kavradıklarını söylemiştir.

123 Dördüncü kategori: Öğretmen yanılgıları, bilgi eksiklikleri ve geçiştirmeler Bu bölümde öğretmenler geometri derslerini işlerken ortaya çıkan kavram yanılgıları, yanlış bilgiler ve bilgi eksiklikleri ve sorulan soruların nasıl geçiştirildiği incelenmiştir. Birinci sınıf Konu: Küre Ö:topun şekli neymiş Ç:kare Ö:ne öğrenmiştik Ç:küre Birinci sınıf öğretmeni küre konusunu işlerken öğrencilerinin büyük bir çoğunluğunun sorularına cevap verdiğini görmüştür. Sorduğu soruya öğrencisinin verdiği cevabı önemsememiş ve geçiştirmiştir. Bu durum bu öğrencinin konuyu anlayamadığı için sahip olduğu seviyeden ilerlemesi için engel oluşturmuştur. İkinci sınıf Konu: Dikdörtgensel Bölge Ö: Yüzeyleri dikdörtgensel bölgeye benzeyen neler var çevremizde? Ç: Dolabımız Ö: Dolabın neresi, dolabın dersen olmaz.( Bu çocuk üç boyutlu ile iki boyutluları ayırt edemiyor.) Ö: Kitabına, defterine bak. Konu: Geometrik Cisim Ö: Eline üçgen prizmayı aldı. Herkes tahminde bulunacak. Ç: Dik prizma (sorun olan çocuk) Öğretmen öğrencinin cevabını düzeltmeden derse devam etti. İkinci sınıf öğretmeni yanlış cevap veren öğrencisinin matematik dersinde hep geriden takip ettiğini ve algılama eksikliği çektiğini gözlemlerden sonra belirtmiştir. Yalnız gözlemci öğrencinin derse motive olduğunda ve etkinlikler

124 113 yapıldığında derse katılıp konuyu kavramakta zorlanmadığını gözlemlemiştir. Öğretmen sahip olduğu düşünce nedeniyle öğrencisinin sorulara verdiği yanlış cevapları düzeltmemekte ve geçiştirmektedir. Üçüncü sınıf Konu: Düzlem Ö: Hamurlarımızı açıp oklavayla hayali yoğurdular. Hamuru hayali olarak açtırdı. Hamurun istediğim ucundan çekebilir miyim? Biz burada bir şey anlamış olalım. Düzlemler sonsuzdur. Ç: Öğretmenim sonsuz ne kadardır? Üçüncü sınıf öğretmeni zaten soyut olan bir kavramı yani sonsuzluk kavramını öğrencilerden hayal kurarak kavramalarını istemiştir. Bu durum öğrencilerin düzlem kavramını anlamakta zorlanmalarına sebep olmuştur. Öğretmen öğrencilerin anlayamadıklarını gösteren soruların ardından da farklı bir etkinlik yaptırmamıştır. Dördüncü sınıf..yapmadı Beşinci sınıf..yapmadı Beşinci kategori: Çizim yaptırma Beşinci kategoride öğretmenlerin geometri derslerinde çizim yaptırmaya ne kadar yer ayırdıkları ve ne tür çizimler yaptırdıkları görülebilir. Birinci sınıf Konu: Geometrik Cisim Ö:Birisi tahtaya çizsin dünyayı. Ç:Tahtaya kalktı ve çizdi.

125 114 Birinci sınıf öğretmeni küre ve prizma konusunu işlediği için çok fazla çizim yaptırmadığını belirtmiştir. Yapılan görüşmede de çizimin daha çok büyük sınıflarda yapılabildiğini belirtmiştir. Burada da sınıftan sadece bir öğrenciye tahtada çizim yaptırmıştır. İkinci sınıf..yaptırmadı İkinci sınıf öğretmeni etkinlikleri süresince hiç çizim yaptırmamıştır. Üçüncü sınıf Konu: Geometrik Cisim Ö: Üçgen prizmanın içinde iki tane üçgen var. Üçgen prizmaya benzeyen kutuyu açtı. Ç: Üç dikdörtgen, iki üçgen var, dedi. Ö: Şekli çevirdi. Çocuk: Aynı şeyleri söyledi. Öğretmen: Tahtaya bir çocuk kaldırdı. Çocuğa açılmış şeklini çiz dedi. Çocuk: Şeklinde çizdi. Ö: Bir dikdörtgen çiz, dedi. Ç: Çizdi. Ö: Çocuklardan tanımlamalarını istedi. Üçüncü sınıf öğretmeni üçgen prizmanın açılmış halini göstermiş ve çizmelerini istemiştir. Çocukların büyük bir çoğunluğu şekli gördükleri halde tam çizememişlerdir. Yine de öğrenciler çizdikten sonra doğrusunu incelemişler ve gerek prizmanın gerekse dikdörtgen şeklinin özelliklerini listeleyebilmişlerdir. Bu da öğrencilerin 1. seviyede düşünmeleri için bir fırsat sunmuştur. Dördüncü sınıf Konu: Kare

126 115 Ö: Ben tahtaya bir şekil çizeceğim. Herkes defterinin en ortasını bulup sayfayı koparsın. Ö: Yan kenarı 10 cm olan bir çizgi çiz. Diğer kenarları da 10 cm olan bir kare çiz. Onun yanına bir kenarı 5cm olan bir kare çiz. Dördüncü sınıf öğretmeni öğrencilerine yönerge vererek bir çizim yaptırmıştır. Öğrenciler ölçüleri kendileri uyguladıkları için oluşan şeklin özelliklerini yakından görme imkânı bulmuşlardır. Öğrencilerin 24 ünden 14 ü doğru çözümü bulmuşlardır. Öğretmen çözümü nasıl bulduklarını sorduğunda öğrenciler çizerken küçük karenin bir kenarının büyük karenin yarısı olduğunu fark ettiklerini söylemişlerdir. Beşinci sınıf Konu: Yamuk Ö:İki tane farklı büyüklük ve konumlardan yamuk çizin. Ç:Benim yamuğum çok yamuk oldu. Ç:Ben ikisini de birleştirdim dedi tahtaya kalkıp çizdi. Kum saati gibi oldu. Bir öğrenci paralel kenar çizdi. Öğretmen çizgiyle paraleli bozmalısın dedi. Ö: paralel olan kenarları aynı renk, olmayan kenarları aynı renk boyayın. Beşinci sınıf öğretmeni farklı büyüklük ve farklı konumlarda iki yamuk çizdirmiştir. Çizim yaptırarak yamuğun kenar özelliklerini vurgulamaya çalışmıştır Altıcı kategori: Tanımlamalar ve açıklamalar yaptırma

127 116 Altıncı kategoride tanımlamalar yapma ve açıklamalar yaptırmaya dayanan etkinlikler ve uygulamalar incelenecektir. Birinci sınıf Birinci sınıf öğretmeni küre ve prizmalar konularını işlemiş ve gözlemler boyunca hiç açıklama ve tanımlamalar yaptırmamıştır. İkinci sınıf Birinci sınıf öğretmeni gözlemler süresince cisimler ve şekillerin özelliklerini sık sık listeletmiş ancak hiç açıklama ve tanımlamalar yaptırmamıştır. Üçüncü sınıf Konu: Dikdörtgen Ö: Çocuklardan dikdörtgeni tanımlamalarını istedi. Ç: İki uzun, iki kısa çizgi dedi. Ç: Yatay, dikey çizgi, dedi. Ç: Karenin uzatılmışı, dedi. Ç: Ön kısmı yüzey, dedi. Ç: Alt ve üst taraftaki çizgiler uzun, dedi. Ö: O çizgilere ne diyoruz, dedi. Ç: Ayrıt. Üçüncü sınıf öğretmeni öğrencilerinden dikdörtgeni tanımlamalarını istemiştir. Ancak öğrenciler sadece bazı özelliklerini listeleyebilmiş ve tam bir tanım yapamamışlardır. Bu da öğrencilerin henüz 0 ve 1. Seviyeler arasında gidip geldiğini göstermektedir. Çünkü 1. seviyede olan öğrenciler şekle ait özellikleri tam olarak listeleyebilmelidir. Dördüncü sınıf Konu: Doğru Öğretmen defterlere tanım yazdırdı. Şekilde görüldüğü gibi iki ucu sınırsız düz çizgiye doğru denir. Uçların sınırsız olduğu noktalarla gösterilmiştir. Doğrular iki büyük harf veya bir küçük harfle gösterilir.

128 117 Dördüncü sınıf öğretmeni gözlemler süresince tanımlamaları kendisi yapmıştır. Beşinci sınıf Konu: Çokgen Ö: Bana bir çokgen tanımı yapabilecek var mı? Ç: Herhangi bir şeklin birçok kenarlı olması. Ç: En az üç kenarı olan kapalı şekillere çokgen denir. Ö: Bu tanımları toparlayarak defterlerinize bir tanım yapın. Ö: Ceren ne yazdın? Ç: En az üç kenarı olan kapalı şekillerin genel tanımıdır. Ö: Tanımlarınızın yanına bir, iki yıldız koyun. Bir çokgen için en az üç kenar, üç açı ve üç köşe gereklidir. Altına bir yıldız daha koy. Çokgen üç kenarlıysa üçgen, altı kenarlıysa altıgen diye adlandırılır. Son yıldız: Bir şeklin çokgen olması için kapalı ve köşesinin olması gerekir. Beşinci sınıf öğretmeni önce şekilleri öğrencilerine tanıtmış özelliklerini öğrendiklerinde ise tanımlamalar yaptırmıştır. Tanım yaptırırken öğretmenin asıl istediği şekle ait özelliklerin listelenmesidir. Bu amaçla tanım yaptırma sürecinde farklı öğrencilerin bilgilerini paylaşabilmelerine fırsat sunmuştur. Şekle ait özellikleri bu şekilde listeletmiştir. Birçok öğrenci tam bir tanım yapabilmiş, bazıları genel bir tanım yapmıştır Yedinci kategori: Tahmin ve çıkarım yaptırma Burada öğretmenlerin geometri derslerindeki uygulamalarda öğrencilerine tahmin yapma ve çıkarımlarda bulunmaları için ne tür etkinlikler yaptıkları görülebilir. Birinci sınıf: Birinci sınıf öğretmeni öğrencilerine tahmin becerilerini kullanabilecekleri etkinlikler yaptırmamıştır. İkinci sınıf

129 118 Konu: Üçgen Ö: Masamı köşeden kesersem kaç üçgen çıkar? Ç: 2 Ö: Sıralarınızı kesin bakayım. Ç: Kesti ve 2 dedi. Öğrenciler elleriyle sıralarını keser gibi yaptılar. İkinci sınıf öğretmeni öğrencilerine doğrudan bilgi vermek yerine bilgiye kendilerinin ulaşmasını sağlamıştır. Böylelikle öğrenciler şekiller arası ilişkileri görerek bildikleri şekil özelliklerine bir yenisini eklemişlerdir. Bu 1. seviyeden ilerlemeyi sağlayacak bir etkinlik türüdür. Üçüncü sınıf Konu: Dikdörtgen Öğretmen üst kenara a adını verdi. O zaman aşağıdaki uzun kenara da a diyelim dedi. Yan kenarlara da ö diyelim dedi. Çünkü ikisi de kısa kenar ve birbirine eşit. O zaman dikdörtgenin çevresini hesaplarken ne yaparız. Çevre: Ç: 4 tane köşesi var. O yüzden 4 ile 2yi çarpacağız. Ç: Dörtkenarın toplamını bulacağız. Ö: Uzun kenara 8 kısa kenara 6 dersek hepsini toplarsak çevresini buluruz. Öğretmen dikdörtgen çizdi. a ya 4 ö ye 2 dersek diğer a kaç olur. Ç: 4 Ö: Diğer ö kaç olur. Çocuk 2 dedi. Öğretmen çevresini hesapladı. Üçüncü sınıf öğretmeni öğrencilerinin dikdörtgenin çevresini hesaplayabilmeleri için doğrudan yolu söylememiştir. Dikdörtgenin özelliklerinden hareketle öğrenciler çevre hesabını nasıl yapabileceklerini düşünmüşlerdir. Bu 1. seviyeden ilerlemeyi sağlayacak bir etkinlik türüdür. Dördüncü sınıf Konu: Kare

130 119 Ö: Çocuklar burada iki tane kare var. Birbirinden farklı. Oluşan bu şeklin çevre uzunluğu ne kadardır? Ç: 55cm Ö: Nasıl yaptın? Ç: Önce büyük karenin sonra küçük karenin çevresini buldum. 55 cm çıktı. 4 10=40 5 3= =55 Küçük karenin bir kenarını almadım. Ç: Bence yanlış. 50 buldum. Büyük karenin 3 kenarını saydım.3 10=30 sonra buraya ekledim. Sonra küçük karenin 3 kenarını ekledim. 5 3=15 sonra topladım. Ö: Sizce hangisi doğru? Ç: Sonraki doğru Ç: Bence de sonraki doğru Ç: Ben kenar uzunluklarını toplayarak buldum. Sınıfta 6-7 kişi yanlış yaptı. Dördüncü sınıf öğretmeni öğrencilerin ancak şekil özelliklerini bilerek çıkarımda bulunabilecekleri bir etkinlikle sınıfa girmiş ve öğrencilerinden şekli iyi inceleyerek çevresini hesaplamalarını istemiştir. Bu şekli çizerken de öğrenciler çok dikkat etmişler ve doğru şekli çizene kadar şekil özellikleriyle ilgili öğretmene birçok soru sormuşlardır. Böylelikle şeklin çevresini hesaplarken çıkarım yapmakta zorlanmamışlar ve 2. seviyede düşünmeye doğru bir etkinliğe katılmışlardır. Beşinci sınıf Konu: Çokgen Ö: Aydın a bir soru geliyor. Bu şekillerin bütün kenar ve açıları birbirine eşit mi? Çocuk hepsine eşit değil, dedi. Beşinci sınıf öğretmeni öğrencilerinden tahmin yapmalarını gerektirecek bu tür sorulara cevap vermelerini birçok kere istemiştir. Fakat bu etkinlikler öğrencinin verdiği cevabın doğru ya da yanlış olmasının anlaşılmasıyla öğretmenin yorumuna kalmıştır. Öğretmen öğrencisinin bu soruya verdiği cevabı sorgulamasını

131 120 sağlayamamıştır. Bu tür etkinliklerde neden? sorusu sorularak geometrik düşünmenin 1. seviyesinden ilerleme sağlanabilir Sekizinci kategori: Şekiller arası ilişkiler kurma Sekizinci kategori şekiller arası ilişkiler kurma olarak belirlenmiştir. Burada öğretmenlerin geometri derslerinde öğrencilerine şekiller arası ilişkiler kurabilmeleri için ne tür uygulamalar yaptıkları görülebilir. Birinci sınıf Birinci sınıf öğretmeni öğrencilerin şekiller arası ilişkiler kurmalarını sağlayıcı etkinlikleri derslerinde kullanmamıştır. İkinci sınıf İkinci sınıf öğretmeni öğrencilerin şekiller arası ilişkiler kurmalarını sağlayıcı etkinlikleri derslerinde kullanmamıştır. Üçüncü sınıf Üçüncü sınıf öğretmeni öğrencilerin şekiller arası ilişkiler kurmalarını sağlayıcı etkinlikleri derslerinde kullanmamıştır. Dördüncü sınıf Konu: Geometrik Şekiller Ö: Öğretmen öğrencilerine kare şeklinde kâğıtlar dağıttı. Bu şekli katlayarak hangi şekilleri oluşturabiliriz? Ç: Kareyi altıgen de yapabiliriz. Ç: Uç kısımlarından katlayıp altıgen oluşturdu. Ö: Harika. Uç kısımlarında, eşit üçgenler oluşturmuş. Böylece altıgen oluşturdu. Ö: Bu dikdörtgenden ikiye katlayıp iki kare oluşturduk. Ancak eşit olarak ikiye böldüğümüzde. Böyle bölersek çok dikdörtgen oluşur. Ç: Bu eşit olmuyor. Bir kenarı 7,5 cm Ç: Katlayarak akordiyona benzer bir şekil oluşturmuş. Ç: Dörtgen oluşturdu. Ö: bu nedir?

132 121 Ç: Sekizgen değil mi? Ç: Dörtgen Ö: Aferin dörtgen dörtkenarı olan tüm şekillerdir. Kare dikdörtgen. Ç: Üçgen prizma yaptım Ç: Silindirde oluyor. Ö: Bir dikdörtgeni 360 döndürünce silindir oluşur. Ö: Bu katlamayla bir geometrik şekilden farklı şekiller elde edebiliriz. Dördüncü sınıf öğretmeni öğrencilerinin kâğıdı katlayarak yeni şekiller oluşturmalarını sağlamış ve öğrencilerin şekiller arası ilişkileri görmeleri yönünde bir etkinlik yürütmüştür. Bu etkinlik 2. seviyeye ilerlemeyi sağlayacak bir etkinliktir. Beşinci sınıf: Ç:Eşkenar dörtgen nasıl öğretmenim Ö: Bizim iki dostumuz şurada dursun deyip tahtaya iki bölüm çizdi. Diğer bölüme yeni dostlarımız deyip yamuk, paralel kenar,eşkenar dörtgen. Ö: Bunların hepsinin bir ortak özelliği var. Ç:Dört kenarı olması Ç:Çokgen olması Ç:Köşesi olması Ç:Düzgün olmayan çokgen olması Ö:Kare var? Ö:Neden üçünü birden yazmadık sizce. Birbirleriyle benzerlik ve farklılıkları görün diye. Ö:Ben çizeceğim siz tanım yapacaksınız.(öğretmen çizdi) Ö:bu bir yamuk kaç kenarı var.(4) kaç açısı var(4) Öğrenci kaldırdı göstermesini istedi. Tanımını ancak karenin tanımı nasıldı? Yamuğun ne farkı var gibi düşünerek yapabilirsiniz. Çocuklar eşleşerek tanım çıkarmaya çalışılar. Ç: yamuk dört kenarı olan iki kısa kenarı olan 2 geniş 2 geniş açısı olan dörtgen.

133 122 Ç: şekil yamuk baştan. Ö:daha biçimsel düşün. Ç:4 açısı ve kenarı olan ama düzgün olmayan bir şekil Ç:4 açısı 4 kenarı olan taban ve tavanları birbirine paralel şekil. Ç:ileri doğru gidince kesişiyor. Ö:yani paralel değil Beşinci sınıf öğretmeni öğrencilerine şekil özelliklerini listeleyerek şekiller arasındaki benzerlik ve farklılıklardan hareketle şekiller arasında ilişkiler kurmalarını sağlamaya çalışmıştır. Böylelikle öğretmen öğrencilerin 2. seviyeye ilerlemelerini sağlayacak bir etkinlik gerçekleştirmiştir Dokuzuncu kategori: Farklı bakış açılarından şekilleri tanıma Burada öğretmenler tarafından öğrencilerin farklı bakış açılarından şekilleri tanımalarını sağlayıcı ne tür uygulamalar yapıldığı görülebilir. Birinci sınıf Birinci sınıf öğretmeni öğrencilerin şekilleri farklı bakış açılarından tanımalarını sağlayacak bir etkinlik yapmamıştır. İkinci sınıf Konu: Küp Ö: Benim elimde açık bir şekil var. (Bana bakın yoksa dışarıya anlatacağım.) Bu kapandığında hangi geometrik cisim olabilir. Ç: Küp Ö: Neden küp dedi? Ç: Birleştirirsek küpe benzer. Ö: Sence neden küp diyoruz. Ç: Çünkü onun 6 yüzü var. Küpünde 6 yüzü var. Ç: Her tarafı kareden oluşmuş. Ö: Gel göster o zaman. Ç: Gösterdi. Ö: Kapattı. Küp oluştu bakın 6 yüzü var ve her yüzeyi karesel bölgeden oluştu.

134 123 İkinci sınıf öğretmeni küpün açılmış halini göstererek öğrencilerinin şekil özelliklerinden hareketle ve iyice inceleyerek hangi geometrik cisim olduğunu bulmalarını istemektedir. Yalnız gözlem süresince bu tür etkinliklere az rastlanmıştır. Üçüncü sınıf Konu: Küp Öğretmen: Elinizdeki küplerin köşelerini gösterin. Küpte kaç tane kare şekli var? Kutuları kestirdi. Açık hale getirmelerini sağladı. Kim tahtaya küpün açılımını çizer. Bir çocuk seçti. Çocuk şekli çizdi. Öğretmen çocuklar bir şeyi arkadaşınız yanlış yaptı. Neresi yanlış, der. Çocuk: Öğretmenim üstteki kareler yanlış yerde dedi. Kare olmadı. Üçüncü sınıf öğretmeni de ikinci sınıf öğretmeni gibi farklı bakış açılarından şekilleri ve cisimleri inceleme yönündeki etkinliklerini nadiren yapmıştır. Bu tür etkinlikler uzamsal becerileri geliştirmekte ve şekil özelliklerini daha iyi kavramayı sağlamaktadır. Böylece düşünme seviyelerinin de ilerlemesine katkı sağlamaktadır. Dördüncü sınıf Dördüncü sınıf öğretmeni öğrencilerinin geometrik şekillerin farklı bakış açılarından görünümü ve algılanması yönünde etkinlikleri derslerinde kullanmamıştır. Yalnızca açılar konusunda açı görünümlerinin farklı bakış açılarından kavranmasını gerektiren problemleri derslerinde çözmüştür. Burada da dikkati çeken problemleri çoğu zaman kendisinin çözmesidir. Beşinci sınıf Konu: Çokgen Ö:İki tane farklı büyüklük ve konumlardan yamuk çizin. Ç:Benim yamuğum çok yamuk oldu. Ç:Ben ikisini de birleştirdim dedi tahtaya kalkıp çizdi. Kum saati gibi oldu.

135 124 Bir öğrenci paralel kenar çizdi. Öğretmen yamuk olması için çizgiyle paraleli bozmalısın dedi. Ö: paralel olan kenarları aynı renk, olmayan kenarları aynı renk boyayın. Beşinci sınıf öğretmeni derslerinde, geometrik şekillerin öğretiminde şekillerin büyüklük küçüklük, ters görünüm, farklı konumlardan görünüm, çevirerek bakma gibi farklı bakış açıları geliştirme yönünde etkinlikler kullanmıştır. Yapılan gözlemlerle öğretmenlerin uygulamaları incelenmiş ve gözlem sonuçlarından hareketle 9 kategori oluşturulmuştur. İlk kategori gerçek yaşamla ilişkilendirmedir. Bütün öğretmenlerin geometri konularını işlerken gerçek yaşamla ilişkilendirmeye özen gösterdikleri dikkati çekmiştir. Yine öğretmenlerin araç gereç kullandıkları fakat bu araç gereçleri kolay bulunabilen türden seçtikleri geometrik araç gereçleri ise fazla kullanmadıkları görülmüştür. Dördüncü ve beşinci sınıf öğretmenlerinin dışında diğer öğretmenlerin eksik bilgiler verdikleri, öğrencilerin yaptıkları hataları geçiştirdikleri gözlenmiştir. Tüm kategoriler incelendiğinde öğretmenlerin van Hiele konusunda eğitim almamış olsalar bile geometri derslerinde van Hiele nin de önerdiği birçok etkinliği uyguladıkları görülmüştür. Fakat bu uygulamaların yeterli olmadığı, eksik ve yanlış uygulamalar da yapıldığı dikkati çekmiştir. Örneğin; öğrencilere yönerge vererek çizim yaptırma etkinliğinde eksik yönerge verildiği ve öğrencilerin yaptıkları hataların geçiştirildiği görülmüştür. Yapılan gözlemlerde öğretmenlerin çoğu zaman bilgiyi doğrudan vererek tahmin ve çıkarım yapmaya dayanan etkinliklere yeterince yer vermedikleri, yine geometrik şekillerin öğretiminde şekiller arası ilişkiler kurmayı sağlayan etkinlikleri yeterince kullanmadıkları görülmüştür. Burada sınıf seviyelerinin küçük olmasının etkili olduğu düşünülebilir. Çünkü dördüncü ve beşinci sınıf öğretmenlerinin hem çıkarım yapmaya dayanan hem de şekiller arası ilişkiler kurmaya dayanan etkinlikleri diğer öğretmenlere nazaran daha sıklıkla kullandıkları gözlenmiştir.

136 BÖLÜM TARTIŞMA Bu bölümde öğretmenlerle yapılan görüşmeler ve van Hiele seviyeleriyle uygunluğu, gözlemlerden edilen bulguların van Hiele seviyeleriyle uygunluğu, görüşmeler ve gözlemlerden elde edilen bulgular arasındaki tutarlılık tartışılacaktır Görüşmelerden Elde Edilen Bulguların van Hiele Seviyelerine Uygunluğunun Değerlendirilmesi Araştırmacı yaptığı gözlemlerle öğretmenlerin yaptıkları geometri eğitiminin van Hiele seviyeleriyle uygunluğunu görmeye çalışmıştır. Gözlemlerin ardından öğretmenlerin geometri öğretimine ilişkin görüşleri alınmıştır. Araştırmaya katılan öğretmenler daha önce van Hiele hakkında bir şey duymadıklarını görüşmelerde belirtmişlerdir. Görüşmeler 1. sınıftan 5. sınıfa kadar her sınıf düzeyinde öğretim yapan öğretmenle yapılmıştır. Görüşme soruları analiz edildiğinde öğretmenlerin geometri öğretimine ilişkin izledikleri yol aşağıdaki kategoriler altında incelenip değerlendirilebilir. Gerçek yaşamla ilişkilendirme Şekiller arasındaki benzerlik ve farklılıkları bulma Geometrik şekillerin özelliklerini vurgulama Çizim yapma Araç-gereç kullanma Bir geometrik kavramı tanımlama Geometri konularının verilme sırasını belirleme Geometri öğretimini etkileyen faktörleri belirleme

137 126 Geometri konularının verilme zamanı ve matematikteki diğer konularla ilişkilendirme Birinci sınıftan beşinci sınıfa kadar geometri öğretimi yapan her öğretmen geometri konularının öğretimini gerçek yaşamla ilişkilendirmenin önemine inandığını gerçek yaşamla ilişkilendirmenin öğrenilen bilgiyi somutlaştırdığını belirtmişlerdir. Öğretmenler genel olarak gerçek yaşamla ilişkilendirmenin geometri öğretiminin ilk aşaması olduğunu ayrıca öğretilen bilginin nerede kullanılacağını öğrenci bilmediği takdirde bu bilginin kalıcı olmayacağını belirtmişlerdir. NCTM (2000) geometrinin önemli olduğunu Geometri günlük yaşamın kendisidir. Güneş sisteminde, kayalarda, gezegenlerde ve çiçeklerde geometri vardır. Yine geometrik formlar insanın yarattığı her şeyde, arabalarda, makinelerde, sanatta ve her yerdedir şeklinde ifade etmektedir. Van Hiele (1986), geometri konularını işlerken gerçek yaşamla ilişkilendirmenin önemini vurgulamaktadır. Olkun ve Toluk (2004) öğrenci bir grup nesne içerisinden kendine göre benzer gördüğü şekil veya cisimleri arar, bulur ve sınıflandırır. Bununla geometrik şekillere benzer gerçek hayat örnekleri vermek, geometrik şekilleri eşleştirmek, benzer ve aynılarını bulmak öğrencilerin geometrik düşünce seviyelerinin ilerlemesinde katkı sağlayacaktır. Bu bilgi geometri derslerini gerçek yaşamla ilişkilendirmenin kaçınılmaz olduğunu göstermektedir. Gerçek yaşamla ilişkilendirmelerin kullanıldığı geometri derslerinde öğrencilerin sahip olduğu düşünme seviyeleri de ilerleyecektir. Çünkü gerçek yaşamla ilişkilendirme geometri konularının somutlaştırılması ve kavranmasında etkili olacaktır. Görüşmeye katılan öğretmenler geometrik şekiller arasındaki benzerlik ve farklılıklar konusunda öğretim yapmanın öğretimin kalıcı olmasında çok önemli olduğunu belirtmişlerdir. Ayrıca yapılan bu öğretim sayesinde öğrencilerin şekil özelliklerini daha iyi öğrendiklerini, geometrik şekiller arasındaki benzerlik ve farklılıkları ayırt etmede zorlanmadıklarını söylemişlerdir. Şekiller arasındaki benzerlik ve farklılıkların ortaya çıkması için araç gereç kullanmanın önemine de değinmişlerdir. Özellikle dördüncü sınıf öğretmeni araç gereç kullanmanın öğrencilerin geometriyle ilgili problem çözme bilgi ve becerilerini geliştirdiğini ve öğrencilerin şekiller arasındaki benzerlik ve farklılıkları görmelerini sağladığını

138 127 belirtmiştir. Lehrer, Jenkins, ve Osana (1998) nın yaptıkları araştırmalarında çocukların sık sık şekillerin özelliklerini kullandıklarını belirtmişlerdir. Çocuklar şekilleri kıyasladıkları zaman bir şeklin diğer şekiller içine girebileceğini ya da şeklin içinden çıkabileceğine ait tanımlamalar yapmışlardır. Araştırmacılar şekiller arasındaki benzerlik ve farklılıklar üzerinde durmanın öğrencilerin kıyaslama becerilerini geliştireceğini ve van Hiele seviyelerinde ilerleme sağlayacağını araştırmalarında belirtmişlerdir. Birinci sınıf öğretmeni ölçtürürüm, ikinci sınıf öğretmeni şekil özelliklerini verdikten sonra, üçüncü sınıf öğretmeni keşfetmesini sağlarım, dördüncü sınıf öğretmeni buluyoruz, beşinci sınıf öğretmeni bulmaya zorlarım ifadelerini kullanarak şekil özelliklerini öğrenmenin önemini farklı bakış açılarıyla anlatmışlardır. Kimisi kendisinin anlatarak daha iyi öğreteceğini, kimisi ise öğrencilerin yaparak keşfederek daha iyi öğrenebileceklerini düşünmektedir. Öğretmenler şekil özelliklerini gerek aktiviteler içerisinde gerekse araç gereç kullanarak daha iyi öğretebileceklerini görüşmelerinde belirtmişlerdir. Öğretmenlerle yapılan görüşmelerde genel olarak keşfetmelerini sağlayan ve öğrencilerin aktif olacağı etkinlikleri tercih ettikleri dikkati çekmektedir. Van Hiele (1986) ye göre öğretmenler 2. seviye düşüncesinin özelliği olan çıkarım yapmaya zorlayan etkinlikleri derslerinde kullanmalılardır. Öğretmen görüşlerine göre çizim yaptırmanın geometri öğretiminde özellikle kullanılmasının gerekçesi dört ana başlık altında özetlenebilir: ilki görselleştirme, ikincisi somutlaştırma, üçüncüsü farklı bakış açıları geliştirme, sonuncusu ise kalıcı bilgiye ulaşmadır. Öğretmenler çizim yapmanın geometri öğretiminde çok önemli bir yere sahip olduğunu ayrıca geometrinin matematik gibi zihinde kolayca kavranamayacağını ve geometriyle ilgili bilgilerin görselleştirilmesi gerektiğini söylemişlerdir. Öğretmenlerin her biri çizim yapma etkinliklerini geometri derslerinde sıklıkla kullandıklarını belirtmişlerdir.

139 128 Görüşmeye katılan beş öğretmen araç gereç olmadan geometri öğretiminin çok zor olacağını ve araç gereç kullanarak öğretilen geometri konularının kalıcılığının artacağını söylemişlerdir. Birinci sınıftan beşinci sınıfa kadar birçok öğretmen geometriyle ilgili olarak kullanılabilecek araç ve gereçleri daha çok çevresinde kolayca bulabileceği araç gereçlerden seçtiklerini, geometriyle ilgili birçok araç gereci ellerinden geldikçe kullandıklarını belirtmişlerdir. Beşinci sınıf öğretmeni ise programda bulunan tüm araç gereçleri yeri geldikçe kullandığını belirmiştir. Geometrik düşünme seviyelerinin ilerlemesini sağlayan birçok bilgisayar programı da bulunmaktadır. Fakat öğretmenlerle yapılan görüşmelerden hareketle öğretmenlerin hiçbirisinin geometri derslerinde bilgisayarı bir öğretim aracı olarak kullanmadıkları dikkati çekmektedir. Wan De Walle (2004) kitabında geometrik düşünme seviyelerinin ilerleyebilmesi için birçok etkinlik, bu etkinlikler içerisinde de birçok geometri araç gerecini ve bilgisayar programını kullanmanın geometri öğrenme üzerindeki etkililiğini belirtmektedir. Yine van Hiele (1986) geometrik figürlerin benzerliklerini örnekleyerek çizmek için görsel prototipler kullanılabileceğini öneriyor. Araç gereç kullanımıyla, kare ya da üçgenin özellikleri öğrencilere sorulduğunda ya da anlatıldığında akıllarında tutabilirler, yeri geldiğinde şekilleri kolayca adlandırabilir, yeniden üretebilirler diyerek araç gereç kullanmanın önemi üzerinde durmaktadır. Tanımlamaların önemiyle ilgili olarak öğretmenler değişik cevaplar vermişlerdir. Birinci sınıf öğretmeni şekle benzeyeni göstermesi yeterli, özelliklerini belirtmesini beklemem, İkinci sınıf öğretmeni ileri düzeyde tanımlasın, ezberlemesin temel özelliklerini bilsin, üçüncü sınıf öğretmeni kenar ve köşelerini bilsin, dördüncü sınıf öğretmeni belirgin özelliklerini bilmesini isterim, beşinci sınıf öğretmeni ise tanım önemli değil ama belli başlı özelliklerini tanımlasınlar şeklinde cevap vermişlerdir. Öğretmenlerin, görüşme süresince öğrencilerin tanım yapmaları konusunda çok da fazla bir beklentileri olmadığı görülmektedir. Burger ve Shaughnessy (1986), şekil çizme, tanımlama, şekilleri adlandırma, şekil çeşitleri, geometrik şekiller hakkındaki formal ve informal ilişkilerin sebepleri üzerine yaptıkları araştırmada bu başlıklara önem vererek yapılan geometri öğretiminin

140 129 öğrencilerin van Hiele seviyelerinde ilerlemeyi sağladığını belirtmektedirler. Burada öğretmen görüşleriyle araştırmaların sonuçlarının örtüştüğü görülmektedir. Birinci, dördüncü ve beşinci sınıf öğretmenleri geometri öğretimine tek boyutludan başlanması gerektiğini çünkü hem öğretmenin işinin zorlaştığı hem de çocuğun şekilleri bilmeden cisimleri öğrenmesinin zor olacağını, ikinci ve üçüncü sınıf öğretmenleri ise üç boyutludan başlanmasının bir sakıncasının olmadığını, çünkü çocuğun çevresinde daha çok üç boyutlu şekle benzeyen cisimle karşılaştığını belirtmişlerdir. Matematik programında üç boyutlu cisimlerle ilgili ayrıntılardan ziyade yapılan açıklamalardan anlaşılmaktadır ki şekli vermek için bir araç olarak kullanılması beklenmektedir. Olkun ve Toluk (2004) a göre iki boyutlu geometride olduğu gibi üç boyutlu cisimlerin ve uzayın geometrisinde de van Hiele düşünme düzeyleri geçerlidir. Üç boyutluların ve uzayın geometrisi iki boyutlulara kıyasla daha zordur. Çünkü üçüncü boyut devreye girmektedir. Herhangi bir üç boyutlu hakkında fikir yürütebilmek için kişinin o şekil hakkında bir zihinsel imaja sahip olması gerekmektedir. Erken yaşlarda üç boyutlularla oynanan oyunlar üç boyutlularla ilgili öğrenmelerin temelini oluşturmaktadır. Öğretmenlerle yapılan görüşmelerde de üç boyutlularla geometriye başlamanın öğrencilere zor geleceği ve öğretmenin de işinin zorlaşacağını söyleyerek uygun olmadığını görüşlerinde belirtmektedirler. Öğretmenlere geometri öğretimini etkileyen belli başlı faktörler sorulduğunda öğretmenler bol aktivite ve araç gereç kullanmanın geometri öğretiminde çok önemli olduğunu ve öğretimi somutlaştırdığını söylemişlerdir. Gelişim mi? Öğretim mi? Diye sorulduğunda ise birinci, ikinci, dördüncü sınıf öğretmenleri gelişim, üçüncü ve beşinci sınıf öğretmeni ise öğretim cevabını vermiştir. Genel olarak her ikisinin de önemli olduğunu belirtseler de çocuğun gelişim olarak hazır olmadan geometri öğrenmesinin zor olduğunu belirtmişlerdir. Beşinci sınıf öğretmeni ise normal olan her çocuğun geometride başarılı olabileceğini, donanımlı öğretmenin etkili öğretimler gerçekleştireceğini görüşme süresince vurgulamıştır. Matthews (2004) araştırmasında iyi düzenlenmiş bir öğretim etkinliğinin öğrencilerin geometri

141 130 başarılarındaki ve van Hiele seviyelerinin ilerlemesindeki önemini vurgulamaktadır. Baynes ın (1998), Mistretta (2000), Carroll (1998), yaptıkları çalışmalarla bu görüşü desteklemektedirler. Öğretmenler geometri konularını işledikten sonra, matematiğin diğer konularında da kullandıklarını önemle belirtmişlerdir. Kesirler, çevre ve alan hesaplamalar, uzunluk-hacim ölçüleri, hız, yol problemleri, saat problemleri, dört işlem problemleri, birim (kat) problemleri, örüntü ve süslemelerde, Grafik ve tablolarda. Üçüncü sınıf öğretmeni örüntü ve süslemeler konusunu diğer konular grubuna dahil etmiştir. Daha sonra bu konunun geometrinin bir konusu olduğunu bilmediğini söylemiştir. Sherard (1981) a göre geometri temel matematiğin diğer alt dallarında uygulama alanına sahiptir. Geometri matematiğin diğer alt dalları ile bütünleşmekte, aritmetik, cebir ve istatistik konularının anlatımında görsellik katmakta ve geometri çalışmaları öğrencilerin eleştirici düşünme ve problem çözme becerilerinin geliştirilmesinde önemli katkı sağlar. Öğretmenler bir geometrik kavramın sınıflar düzeyinde öğretimine ilişkin aşağıdaki sıralamayı yapmışlardır. Geometrik kavramla ilgili olarak, Birinci sınıfta görsel olarak tanıma, İkinci sınıfta özelliklerini tanıma, Üçüncü sınıfta çeşitlerini öğrenme, Dördüncü sınıfta çevre hesaplamaları, Beşinci sınıfta alan hesaplamaları yapılabilir. Yukarıdaki sıralamadan farklı olarak birinci ve ikinci sınıf öğretmenleri alan hesaplamalarının beşinci sınıf için ağır olduğunu görüşmelerinde özellikle belirtmişlerdir. Burada dördüncü ve beşinci sınıf öğretmenlerinin deneyimlerinin diğerlerine göre daha çok olduğu ve yapılan görüşmelerde öğretim konusunda kendilerine çok güvendikleri gözlenmiş ve verdikleri ifadelerden anlaşılmıştır. Bu

142 131 nedenle beşinci sınıf düzeyinde alan konusunu vermekte bir sakınca görmemektedirler. Görüşmelerden hareketle ortaya çıkan bu sıralamada van Hiele seviyelerinin hiyerarşisi görülebilmektedir. Görsel olarak tanıma 0 seviyesi, özelliklerini ve çeşitlerini öğrenme 1 seviyesi, yine hesaplamalar ve şekiller arasında ilişkiler kurma 2 seviyesinde düşünme becerilerini gerektirmektedir. Van Hiele (1986), ilköğretimin birinci devresinde verilen eğitime bağlı olarak ortalama bir öğrenci geometrik düşüncenin birinci düzeyinde olup ikinci düzeye geçiş sürecindedir denilebilir. Bu gelişim tamamen verilen eğitime bağlıdır. Van Hiele nin söyledikleriyle öğretmen görüşleriyle ortaya çıkan hiyerarşi arasında tutarlılık vardır denilebilir Gözlemlerden Elde Edilen Bulguların van Hiele Seviyelerine Uygunluğunun Değerlendirilmesi Araştırmaya katılan öğretmenler iki ay süresince sınıf ortamında gözlemlenmiştir. Bu gözlemler süresince öğretmenlerin yalnızca geometri konuları işleniş biçimleri gözlemlenmiş ve sınıf içinde yaptıkları etkinlikleri, öğrencilerle iletişimi ayrıntılı bir şekilde gözlenmiştir. Gözlem notları incelendiğinde ve çözümlendiğinde aşağıdaki kategoriler oluşmuştur. Gerçek yaşamla ilişkilendirme Geometrik cismin ve şeklin özelliklerini vurgulama Araç- gereç kullanımı Öğretmen yanılgıları, bilgi eksiklikleri ve geçiştirmeler Çizim yaptırma Tanımlamalar ve açıklamalar yaptırma Tahmin ve çıkarım yaptırma Şekiller arası ilişkiler kurma Farklı bakış açılarından şekilleri tanıma Öğretmenler genel olarak geometri konularını işlerken konu ne olursa olsun derse başlama etkinliği olarak konuyla ilgili yakın çevreden benzetmeler

143 132 yapmaktadırlar. İşlenen geometrik şekli sınıfta, evde, ya da doğada benzedikleri nesnelere benzetmektedirler. Günlük yaşamla ilişkilendirmeler yoluyla işlenen şekil ya da cismin özelliklerini öğrencilerinin görmelerini sağlamaya çalışmışlardır. Yine gerek araç gereçler yardımıyla gerekse sorularla yönlendirerek şekil özelliklerini vurgulamışlardır. Birinci, ikinci ve beşinci sınıf öğretmenleri genel olarak öğrencilerinin görmeleri için fırsatlar sunarken, üçüncü ve dördüncü sınıf öğretmenleri sınıf içi iletişimde şekil özelliklerini kendileri vermişlerdir. Dickson, Brown ve Gibson (1990) uzamsal kavramların gelişiminde çocuğun çevresiyle etkileşiminin çok önemli olduğunu belirtmektedir. Uzamsal kavramların gelişimiyle birlikte ise öğrenciler geometri konularını anlamlandırmada güçlük çekmeyeceklerdir. İlköğretimin birinci kademesinde öğrenim gören 0 düzeyi öğrencilerinden, şekilleri benzerliklerine göre sınıflamaları, şekillerin hangi yönlerden benzer ve farklı olduklarını açıklamaları beklenmektedir. Bu becerilerin edinilmesi, benzerlik ve farklılıkların ortaya çıkabilmesi için günlük hayatta kullanılan araç ve gereçlerin yine iki ve üç boyutlu geometrik şekiller içerisinden seçilerek kullanılması gerekmektedir. Bu aşamada öğretmen olabildiğince çok örnek vermeli bu örnekler de öğrencilerin parçaları birleştirip ayırabilmesini gerektirecek tipte olmalıdır. Bir sonraki düzeye geçmelerini sağlamak amacıyla ise çizdirme ve özelliğe uymayan başka örnekler söylemelerini sağlamak gerekmektedir. Araştırmacılar ortaya koydukları bu sonuçlarla araç gereç kullanmanın ve çizim yapmanın Van Hiele nin 0 seviyesinden 1 seviyesine geçmek için bir gereklilik olduğunu belirtilmiştir. Öğretmenler derslerinde araç gereç olarak her sınıf düzeyinde renkli kâğıtlar ve gerçek materyaller kullanmışlardır. Bu araç gereçler arasında ip, tel, renkli kâğıtlar, geometri şeritleri gibi materyaller bulunmaktadır. Programın da önerdiği noktalı kâğıtları sadece beşinci sınıf öğretmeni kullanmıştır. Dördüncü sınıf öğretmeni üç boyutlu cisimler, ip, tel ve birim küplerden, kesme ve çizme etkinliklerinden yararlanmıştır. İlköğretim Matematik Programının da önerdiği birçok geometri araç gerecini ve bilgisayar temelli geometri öğretim programını öğretmenler kullanmamışlardır. Dickson, Brown ve Gibson, (1990) Aralarında Piaget, Bruner ve Denis gibi psikologlarında bulunduğu birçok psikolog insan

144 133 bilgisinin temelindeki özellikle matematikte somut objeleri kullanmak gerektiğine inandıklarını belirtmektedir. Bu düşünceyi Van Hiele (1986) geometri konusunda desteklemekte öğretmenlerin derslerini somutlaştırmak için araç gereç kullanımına önem vermelerini söylemektedir. NCTM (2000) öğrencilerin görsellerle desteklenmesi ve geometrik düşüncelerini birbirleriyle paylaşabilmeleri gerekmektedir. Gözlenen öğretmenlerin genel olarak yanlış bilgi vermedikleri görülse de birinci ve ikinci sınıf düzeyinde öğrencilerin verdikleri yanlış ve eksik cevapları öğretmenlerin kimi zaman görmezlikten geldikleri ve geçiştirdikleri, üçüncü sınıf öğretmeninin ise zaman zaman yanlış bilgi verdiği ve öğrencilerinin verdiği eksik bilgileri geçiştirdiği gözlemlenmiştir. Dördüncü ve beşinci sınıf öğretmenlerinin ise öğrencilerinin verdikleri yanlış cevaplara hemen müdahale ettikleri ve düzelttikleri gözlemlenmiştir. NCTM (2000) ye göre çocuklar şekillerin özelliklerini tanımlamak için cesaretlendirilmelidir ve aynı zamanda öğretmenler sunumlarında doğru matematik dili kullanmalıdır. Öyle ki çocuklarda yanlış kavramsal yapılar oluşmasın. Yani öğretmenlerin öğrencilerinin yanlış geometrik kavramlar geliştirmemeleri için çok dikkatli olmaları gerekmektedir. Çünkü Gutierrez, Adela, ve Fortuny (1991), van Hiele seviyelerinde geometrik düşünmede ayrıntıların çabuk kazanılmadığını, ilerlemek için aylar hatta yıllar gerekebileceğini vurgulamaktadırlar. Öğrencilerin Van Hiele seviyelerinde düşük, ileri ve yüksek edinimler için bir süreç gerekmektedir. İşte bu süreçte edinilecek yanlış kavramsal yapılar van Hiele seviyelerinin edinilmesinin daha da yavaş olmasına sebep olabilecektir. Öğretmenlerin birinci, ikinci, üçüncü ve dördüncü sınıfta etkin olarak çizim yaptırmadıkları beşinci sınıf öğretmeninin ise her fırsatta her yeni öğrenilen şekilde sık sık çizim yaptırdığı gözlenmiştir. Dördüncü sınıf öğretmeni ise daha çok kendisi şekiller çizerek öğrencilerinden bu şekilleri incelemelerini ve sorduğu sorulara cevap vermelerini istemiştir. Mistretta nın (2000) van Hiele seviyelerindeki ilerlemelerin nasıl olduğu ve sebepleri üzerine yaptığı araştırmada çoğu öğrencinin el aktiviteleri ve tartışmalarla geometriyi daha kolayca ve hoşlanarak öğrendiği görülmüştür. Böylece öğrencilerin seviyelerinin ilerlemesi daha kolay olmaktadır. Yine Burger ve

145 134 Shaughnessy (1986) yaptıkları çalışmada çizim yaptırmanın öğrencilerin şekil özelliklerini öğrenmelerinde etkili olduğunu gözlemlemişlerdir. Öğrencilerin şekil özelliklerini iyi öğrenmeleri ise 1 seviyede düşünebildiklerini göstermektedir. Birinci, ikinci, üçüncü, dördüncü sınıf öğretmenlerinin öğrencilerinden tanımlama ve açıklama istemedikleri fakat beşinci sınıf öğretmeninin her öğrenilen yeni şekilde öğrencilerinin bu şeklin özelliklerini listeleyerek tanımlamalarını istediği gözlemlenmiştir. Dördüncü sınıf öğretmeni ise tanımları kendisi vermeyi tercih etmiştir. Dickson, Brown ve Gibson, (1990) a göre birinci düzeyde şekillerin basit tanımları yerine özelliklerine ağırlık verilmelidir. Yeni geometri kavramları öğrenildikçe şekillerin özellikleri genişletilmelidir. Düşünceler belli bir şekil yerine bu şeklin bulunduğu sınıfa uygulanmalıdır. Bir sonraki düzeye geçebilmek için ise niçin öyle olduğunun sebebinin açıklanması istenilmelidir. Buradan hareketle beşinci sınıf öğretmeni öğrencilerine 2 seviyede etkinlikler sunmaktadır denilebilir. Birinci, ikinci, üçüncü sınıf düzeylerinde öğretmenler şekiller arasında ilişkiler kurma yönünde etkinlikleri derslerinde kullanmamışlardır. Dördüncü sınıf düzeyinde ise öğretmen geometrik şekillerle ilgili problemler çözerken öğrencilerin şekillerin özellikleri ve birbirleriyle ilişkileri hakkında hem birbirlerine hem de öğretmenlerine sorular sordukları ve bu ilişkileri ortaya çıkarmaya çalıştıkları gözlemlenmiştir. Beşinci sınıf öğretmeni ise yaptırdığı etkinliklerle öğrencilerini şekiller arası ilişkiler kurmaları için zorlamıştır. Golinskaia (1997), öğrenciler seviyelerinin üzerindeki problemleri çözemez ya da sunumları izleyemez, bunun öğretmen ve öğrenciler arasındaki anlama hatalarından kaynaklandığını ve çoğu durumda öğrencilerin öğretmenlerin sunumlarında kullandığı yüksek seviye ve dile sahip olmadıklarını belirtmektedir. Dördüncü sınıf öğretmeni öğrencilerine verdiği görevleri hep zorlanacakları ve tüm sınıftansa belirli öğrencilerin yapabileceği örneklerden seçmiştir. Yine de öğretmen çok zor bir problem sorduğunda sınıfta 24 kişiden 14 ü doğru cevap vermiştir. Bu da öğretmenin problem çözerken öğrencilerin yüksek sesle düşünmelerine izin vererek şekiller arasında kurdukları ilişkileri birbirleriyle paylaşmalarından kaynaklanmakta olduğunu gösterebilir.

146 135 Beşinci sınıf öğretmeni sık sık şekilleri benzer ve farklı özelliklerine göre sınıflandırmış ve öğrencilerinin şekiller arası ilişkileri görmelerine fırsatlar sunmuştur. Burger ve Shaughnessy (1986) öğrencilere kendilerine verilen görevleri tanımlamaları ve adlandırmaları için şekiller göstermişlerdir. Şekil seçimleri tanımlandıktan sonra öğrencilerden dört şekli tanımlamaları her bir öğrenciden yine üçgenleri kesip çıkarmaları beklenmiştir. Bunları birçok yönden benzeyenlerle bir araya koyabilir misin? Nasıl bir benzerlik var? Gibi sorularla bu çalışma desteklenmiştir. 3 ve 5. sınıf öğrencilerinden kareyi tanımlamaları istendiğinde dörtgen, dikdörtgen gibi örnekleri de gösterdikleri ortaya çıkmıştır. Benzer olarak 5. sınıf öğrencileri paralel kenarı dikdörtgen gibi tanımlamışlardır. Bu araştırmada görülüyor ki tanımlama sadece beşinci sınıfa has bir etkinlik değildir. Daha küçük sınıflarda da tanımlama yaptırılabilmekte ve şekiller arası ilişkiler kurmaktadırlar. Buradan hareketle öğrencilerin bu etkinlikler yardımıyla ikinci seviyede düşünme imkânı bulabilecekleri söylenebilir. Beşinci sınıf öğretmeni şekillerin büyüklük ve küçüklük, farklı konum, döndürerek şekilleri sunmak gibi etkinlikleri derslerinde sıklıkla kullanmıştır. Diğer sınıf düzeylerinde ise bu etkinlikler bu sıklıkta kullanılmamıştır. İkinci ve üçüncü sınıf öğretmenleri üç boyutlu cisimlerin açılmış hallerini öğrencilerine göstererek bu cisimlerin hangileri olduğunu tahmin etmelerini istemiştir. Genel olarak söylenebilir ki öğretmenler birinci sınıfta 0 düzeyinde, ikinci sınıfta 0 düzeyinde, üçüncü sınıfta 0 düzeyinde, dördüncü sınıfta ise 1. düzeyde öğretim yapmaktadırlar. Fakat üçüncü ve dördüncü sınıf öğretmenleri zaman zaman öğretim yaptıkları düzeyin üzerindeki görevlerle öğrencilerini karşılaştırmaktadır. 5. sınıf öğretmeni ise birinci sınıftan itibaren bu sınıfı almış ve öğrencilerinin seviyelerini tanımıştır. Öğretmen çoğu zaman 1. seviyede öğretim yapmakta, zaman zaman ise öğrencilerini 2. seviyeye çıkarabilecek etkinliklerle karşılaştırmaktadır. Öğrencileri ise öğretmenin verdiği görevleri başarıyla tamamlamışlardır.

147 Gözlem ve Görüşme Bulgularının Tutarlığı Bu bölümde öğretmenlerin görüşleriyle gözlem sonuçlarını karşılaştırarak aralarındaki tutarlılık tartışılacaktır. Veriler önce gözlem yoluyla toplanmış, gözlemlerin bitmesinin ardından her öğretmenle görüşmeler yapılmıştır. Birinci sınıf öğretmeni yapılan görüşmelerde gerçek yaşamla ilişkilendirmenin çok önemli olduğunu söylemiş, gözlemler esnasında da öğretmenin sınıf içindeki ve çevredeki eşyalar yoluyla konusunu gerçek yaşamla ilişkilendirdiği görülmüştür. Araç gereç kullanmanın önemine inandığını ifade etmiş fakat dersini zengin araç gereçlerle işleyememiştir. Sınıfa gerçek nesneler getirmiş, bunun dışında programın da önerdiği araç gereçlerden çok faydalanmamıştır. Yapılan görüşmelerde çizim yapmanın geometri öğretiminde çok önemli bir yeri olduğunu fakat büyük sınıflarda çizim yaptırılabileceğini birinci ve ikinci sınıfta çizim yaptırmanın mümkün olmadığını söylemiş, gözlemler esnasında da birinci sınıf öğretmeni çizim yaptırma etkinliğinden yararlanmamıştır. Bu sınıf düzeyinde öğrencinin yalnızca şeklin basit özelliklerini bilmesinin ve istenen şekli bir şekil grubu içinde göstermesinin yeterli olacağını söylemiş aynı doğrultuda şekil özellikleri ve tanım yaptırma, tahmin ve çıkarım yaptırma etkinliklerini sınıfta hiç uygulamamıştır. Görüşmelerinde de sık sık belirttiği gibi doğrudan bilgi hiç vermemiştir. Birinci sınıf öğretmeni geometri konularını dört saatlik bir zaman dilimi içerisinde işlemiştir. Okuma yazma çalışmalarının en kritik döneminde olduğunu söylemiş bu dönemde geometriye daha fazla zaman ayıramayacağını belirtmiştir. İkinci sınıf öğretmeni işlediği geometri derslerini görüşmelerde söyledikleriyle tutarlı olarak gerçek yaşamla ilişkilendirmiştir. Bu bağlamda gerçek yaşamla konularını ilişkilendirirken sınıf içinde ve sınıfa getirdiği araç gereçlerle de dersini zenginleştirmiştir. Öğrencilerine sınıfa getirdiği gerçek materyallerle farklı cisimler yaptırmıştır. Öğretmen geometri derslerini programa bağlı olarak ve eksiksiz işlemiştir. Matematik programının önerdiği tüm etkinlik ve projeleri yapmak için çaba harcamıştır. Öğretmen kendisiyle yapılan görüşmede tanım ve açıklamalar

148 137 yapma, çizim yapma, tahmin ve çıkarım yapmaya dayalı etkinlikleri yapmanın çok önemli olduğunu belirtmiş fakat derslerinde kullanmamıştır. Yine farklı bakış açıları geliştirmeye dayalı etkinliklere derslerinde yer vermemiştir. Buna rağmen derslerini renkli araç gereçlerle ve öğrencilerin birebir etkin olduğu farklı etkinliklerle birleştirdiği için bu sınıf öğrencilerinin dersler boyunca etkin oldukları ve dersler sonunda geometriyi çok sevdiklerini belirttikleri gözlenmiştir. Üçüncü sınıf öğretmeni görüşülen ve gözlenen öğretmenler arasında deneyimi en az olan öğretmendir. Yapılan görüşmelerde de sorulan sorulara net cevap veremediği ve sorular için sürekli açıklama beklediği böyle bir şeyi daha önce hiç düşünmemiştim dediği ve yapılan gözlemlerde de işlediği geometri konusuna hakim olmadığı eksik bilgiler verebildiği gözlemlenmiştir. Buna rağmen öğrencilerine zengin geometri yaşantıları sunmak için sınıfa diğer öğretmenlere nazaran daha çok araç gereç getirmiştir. Örneğin geometri çubuklarını tek kullanan öğretmen üçüncü sınıf öğretmenidir. Görüşmelerde şekil özellikleri arasındaki ilişkilerin vurgulanmasının önemine, çizim yapmanın, tahmin ve açıklamalar yapmanın önemine ısrarla değinmiş ve kalıcılık için gerekli olduğunu belirtmiş olmasına rağmen bu etkinlikleri derslerinde nadiren kullanmıştır. Şekil özelliklerini çoğu zaman kendisi öğrencilerine vermiş, sorulara yanlış cevap veren öğrencilere doğru cevabı söylemekle yetinmiştir. Hatta zaman zaman öğrencilerini yapamayacakları görevlerle karşılaştırıp ders anlatırken yanlış bilgiler de verebildiği gözlenmiştir. Dördüncü sınıf öğretmeni yapılan görüşmede konuları gerçek yaşamla ilişkilendirmenin, öğrencilerine tahmin ve çıkarım yaptırmanın yine çizim yaptırmanın önemine değinmiş ancak geometri derslerinde bu noktalarda yeterince etkinlik yaptırmamıştır. Dördüncü sınıf öğretmeni geometri problemleri çözmenin öğrencilerin geometri başarılarını arttırdığını görüşmeler süresince vurgulamış ve bilgiyi doğrudan verme ve zor görevlerle öğrencilerini sınama yönünde eğilimi olduğu gözlemlenmiştir. Dördüncü sınıf öğretmeninin gözlemler boyunca, görüşmelerde de belirttiği gibi öğrencilerine bol bol problem çözdürmüş ve

149 138 öğrencilerini seviyelerinin üzerinde zor görevlerle baş başa bırakmıştır. Dördüncü sınıf öğretmeni araç gereç kullanmanın geometri derslerini zenginleştirdiğini yapılan görüşmelerde belirtmiş birçok araç gereçten de bahsetmiştir. Dördüncü sınıf öğretmeni bahsettiği araç gereçlerin büyük bir çoğunluğunu derslerinde kullanmıştır. Örneğin, ip, tel, geometrik cisimler, renkli kâğıtlar, çalışma kâğıtları gibi araç gereçleri derslerinde kullanmıştır. Beşinci sınıf öğretmeni görüşülen öğretmenler arasında en deneyimli olanıdır. 37 yıllık bir deneyime sahiptir. Öğretmen kendisiyle yapılan görüşmede gerçek yaşamla ilişkilendirmeye, araç gereç kullanmaya, çizim, tanımlamalar ve açıklamalar yaptırmaya, öğrencilerine şekiller arasında ilişkiler kurmaları için fırsatlar sunmaya önem verdiğini belirtmiştir. Beşinci sınıf öğretmeni görüşmede söyledikleriyle tutarlı olarak derslerini gerçek yaşamla ilişkilendirmiş, araç gereç kullanmaya dikkat etmiş, verdiği her yeni şekilde çizimler yaptırıp çizimler üzerine öğrencilerini şekil özellikleri üzerine konuşmaya motive etmiştir. İşlenen geometrik şeklin özelliklerini öğrencilerinin tahminler ve grup çalışmalarıyla kendilerinin bulmasını sağlayıp tanımlamalar yapmalarına fırsatlar sunmuştur. Öğrencilerine sık sık şekiller arasında kıyaslamalar yapmaları için etkinlikler yaptırmıştır.

150 BÖLÜM SONUÇ ve ÖNERİLER Bu çalışma öğretmenlerin geometri öğretimine ilişkin görüşleri ve sınıf içi uygulamaların Van Hiele seviyelerine göre irdelenmesine yönelik fenomenografik bir çalışmadır. Öğretmenlerin geometri dersindeki uygulamalarını iki aylık bir gözlemle değerlendirmiş, geometri öğretimine ilişkin görüşlerini almak için her öğretmenle görüşmeler yapılmıştır. Gözlem ve görüşmelere ilişkin bulgular bir önceki bölümde ele alınmış ve yorumlanmıştır. Elde edilen bu bulgular doğrultusunda aşağıdaki sonuçlara ulaşılmıştır Sonuçlar 1. Öğretmenler her hangi bir geometrik şekli öğretirken izledikleri yolu gerçek yaşamla ilişkilendirdikleri, karşılaştırmalar yaptıkları, özelliklerini vurguladıkları, öğrencilerin keşfetmelerini sağladıkları, çeşitli çizim ve ölçme çalışmaları yaptırdıkları şeklinde betimlemektedirler. Yapılan gözlemlerde de öğretmenlerin derslerinde bu noktayı gerçekleştirmeye dikkat ettikleri gözlemlenmiştir. 2. Öğretmenler günlük yaşamla ve geometrik şekiller arasında benzerlik kurarak ilişkilendirme yapmanın önemine inandıklarını belirtmektedirler. Öğretmenler benzerlik kurularak yapılan bu ilişkilendirmenin öğrencilerin öğrendikleri geometrik konulara ilişkin farkındalık düzeyini artırdığını düşünmektedirler. Fakat işledikleri derslerde yeterince şekiller arası ilişkilendirme yapmadıkları dikkati çekmektedir.

151 Her sınıf düzeyinde öğretmenler iki farklı türde araç- gereç kullanmaktadırlar. Bunlardan biri geometri araçları (pergel, iletki..vb.) ikincisi ise diğer araçlardır (ip, lastik, oyun hamurları vb.). Öğretmenlerin bu iki tür araç-gereci geometrik konuların işlenişte kullanmalarının amacı öğretilen konuların somutlaştırılmasını, kalıcılığını sağlamak ve öğrencilerin kendi kendilerine ölçme çalışmaları yaparak onlara çeşitli karşılaştırmalar yapma fırsatı vermektir şeklindedir. Ancak öğretmenler yapılan görüşmelerde araç-gereç kullanmanın önemine inandıklarını belirtseler de sözünü ettikleri araç-gereçleri ders sırasında yeterince kullanmadıkları gözlemlenmiştir. 4. Geometri konularının öğretiminde çizim yaptırmanın önemli olduğunu vurgulayan öğretmenler, çizim yapmanın öncelikle görselleştirme fonksiyonunun olduğunu vurgulamaktadır. Görselleştirmenin de geometrik bilginin somutlaşmasını ve kalıcılığını sağladığı görüşündedirler. Bunların yanında çizim yoluyla öğrencilerin el becerilerinin geliştiğini düşünmektedirler. Ayrıca öğretmenler çizim yaptırırken geometrik şekilleri farklı bakış açılarından büyüklük, küçüklük ve şekilleri döndürerek çizimler yaptırmanın ya da göstermenin öğrencilerin konuyu öğrenmelerinde önemli görmektedirler. Sınıflar düzeyinde öğretmenler yapılan bu çalışmaların geometrik bilgiyi pekiştirdiği ve somutlaştırdığı, öğrencilere farklı bakış açıları kazandırdığı ve döndürme mantığını kullanarak çıkarımlar yapabildiklerini söylemektedirler. Yapılan gözlemlerde ise birinci, ikinci ve üçüncü sınıf düzeyinde neredeyse hiç çizim yaptırılmamış, dördüncü ve beşinci sınıf düzeyinde çeşitli çizimlerin yapıldığı gözlemlenmiştir. Ayrıca öğretmenlerin tahmin ve çıkarım yapmanın önemli olduğunu görüşmelerinde belirtmişler; fakat beşinci sınıf öğretmeni dışındaki öğretmenler derslerinde öğrencilerin tahmin ve çıkarım yapabilecekleri etkinliklere yer vermemişlerdir. Yine öğretmenler geometrik şekillerin farklı bakış açılarından kavranmasının geometri derslerinde yapılan etkinliklerin bir parçası olması gerekliliğinden söz etmişler; ancak beşinci sınıf öğretmeni dışında diğer öğretmenler etkin olarak kullanmamışlardır.

152 Öğretmenler öğrencilerinin geometrik şekiller arasında benzerlik ve farklılıkları öğrenmelerini önemsemektedirler. Öğretmenler öğrencilerinin, benzerlik ve farklıkları görebilmeleri amacıyla çeşitli etkinlikler tasarladıklarını, bu etkinlikleri tasarlamanın kalıcılığı sağladığı, öğrencilere karşılaştırmalar yapma, şekiller arasında ilişkiler kurma fırsatı verdiği ve öğrencilerin çeşitli problemlerin çözümünde fayda sağladığını düşünmektedirler. Dördüncü sınıf öğretmeni öğrencilerine şekiller arasında nispeten ilişkiler kurdurmuş, beşinci sınıf öğretmeni ise şekiller arasında ilişki kurdurmak için sık sık kıyaslama etkinlikleri yapmıştır. 6. Öğretmenler okuttukları sınıf düzeyinde öğrencilerinin bir geometrik kavramı tanımlarken temel (belirgin) özelliklerinin vurgulanmasını yeterli görmektedirler. Tüm öğretmenler geometrik şekillerin özelliklerini listelemeye dayanan tanım yaptırmanın gerekliliğine inandıklarını belirtmişler fakat derslerde etkin olarak yalnızca beşinci sınıf öğretmeni kullanmıştır. 7. Geometrik şekillerin öğretiminde üç boyutlulardan tek boyutlulara gitme konusunda öğretmenler arasında farklı bakış vardır. İki öğretmen üç boyutlulardan tek boyutlulara gitmenin uygun bir yol olduğunu bu sıranın öğrencilerin geometrik şekilleri daha kolay algıladıklarını düşünürken; diğer üç öğretmen ise üç boyutlulardan başlamanın öğretmenin işini zorlaştırdığını dolayısıyla çizgiden şekle gitmenin daha uygun bir yol olduğu görüşündedirler. 8. Araştırmaya katılan beş öğretmenden üçü geometrik konuların öğrenilmesinde başlıca etkeni gelişim özellikleri olarak görürken; iki öğretmen ise gelişim özellikleri ne olursa olsun etkili tasarlanmış öğretim etkinliklerinin öğrencilerin öğrenmelerini sağlayacağı görüşündedirler.

153 Araştırmaya katılan öğretmenlerin tamamı geometri konularının işlenme zamanını öğretim yılı başı olarak belirtmektedirler. Bunu öğretim programının zorunlu kıldığı bir zaman dilimi olarak görmektedirler. Ancak öğretmenler öğretim yılı başında işlenen geometri konularının avantajlı veya dezavantajlı olması konusunda ayrışmaktadırlar. Üç öğretmen sene başında yapılan öğretimi avantajlı olarak görürken; iki öğretmen geometrik problemlerin çözümü için dört işlem becerisi gerektiğinden sene başında yapılan öğretimi dezavantajlı görmektedirler. Bunun yanında öğretmenlerin tamamı geometrik şekilleri diğer matematik konularının modellemesinde kullandıklarını belirtmişlerdir. 10. Öğretmenler genel olarak bir öğrencinin birinci sınıftan beşinci sınıfa kadar geometrik kavramlarla ilgili olarak; birinci sınıfta, görsel olarak tanımalarını; ikinci sınıfta, özelliklerini tanımlarını; üçüncü sınıfta, geometrik şeklin çeşitlerini ve açı hesaplamaları yapabilmelerini; dördüncü sınıfta, çevre hesaplamaları yapabilmelerini; beşinci sınıfta da alan hesaplamaları yapabilmelerini beklemektedir. Araştırma bulgularından hareketle ulaşılan sonuçlar yukarıda ifade edilmiştir. Bu sonuçlardan hareketle öğretmenlerin geometri dersini işlerken deneyimlerinin önemli bir rol oynadığı görülmüştür. Yapılan görüşmeler ve gözlemler öğretmenlerin öğretim programından çok geçmişten gelen alışkanlıklarına göre ders işlediklerini göstermektedir. Araştırmaya katılan öğretmenlerden 5 kendisini tecrübeli ve yeniliğe açık olarak nitelendirmektedir. 5 van Hiele adını hiç duymamış olmamasına karşın onun van Hiele seviyelerine uygun ders işlediği gözlemlenmiştir.

154 Öneriler 1. Yapılan gözlemlerde öğretmenlerin geometri konularını işlerken gerçek yaşamla ilişkilendirme yönünde etkinlikler yaptıkları gözlenmiş ve bu etkinliklerin öğrencilerin geometri konularını anlamalarına, geometrik düşüncelerini geliştirdiğine katkı sağladığı düşünülmüştür. Bundan dolayı öğretmenler geometri konularını işlerken gerçek yaşamla ilişkilendirmeler yapmaya, karşılaştırmalara dayanan etkinlikleri kullanmaya özen göstermelilerdir. 2. Gözlemler süresince yalnızca beşinci sınıf öğretmeninin kıyaslamaya ve keşfetmeye dayalı etkinlikleri derslerinde etkili olarak kullandığı diğer öğretmenlerin ise bu tür etkinlikleri yeterince tercih etmediği görülmüştür. Bundan dolayı öğretmenler öğrencilere doğrudan bilgi verici etkinlikler yerine keşfetmeye dayanan etkinlikler sunmalılardır. 3. Öğretmenlerin gözlem süreci içerisinde çizim yapmaya yeterince yer vermedikleri görülmüştür. Bu nedenle geometri derslerinde çizim yaptırmanın öğrencilerin geometrik düşünme seviyelerini arttırdığı öğretmenler tarafından geometri derslerini işlerken göz önüne alınmalıdır. 4. Gözlemler sırasında tüm sınıflar düzeyinde öğretmenler geometrik şekillerin özellikleri arasında ilişkiler kurmanın önemli olduğunu belirtmiş fakat özellikle küçük sınıflar düzeyinde geometrik şekiller arasında ilişkiler kurmaya dayanan etkinliklerin yeterince kullanılmadığı gözlenmiştir. Bundan dolayı öğretmenler öğrencilerinin geometrik şekil özellikleri arasında ilişkiler kurmalarına yönelik etkinliklere derslerinde yer vermelidirler. 5. Öğretmenler geometrinin görselleştirmeye ve somutlaştırmaya dayanan bir ders olduğunu belirtip bu amaçla geometri derslerinde araç gerecin kullanılması gerektiğini söyleseler de öğretmenlerin belirtilen bu araç gereçleri yeterince kullanmadıkları gözlenmiştir. Bundan dolayı öğretmenler geometri ders

155 144 araçlarını ve geometrik düşünme seviyelerini ilerletecek ders içi etkinlikleri daha iyi tanıyıp kullanmaya özen göstermelilerdir. 6. Geometri programı üç boyutlu geometrik şekillerle başlamaktadır. Öğretmenlerin öğrencilerin üçüncü boyutu algılamalarının zorluklarını göz önüne alıp programın da belirttiği gibi üç boyutlu geometrik şekilleri basit özellikleriyle oyunlar içerisinde ve araç gereç kullanarak vermeli, üç boyutlu geometrik şekilleri iki boyut ve tek boyutun öğretimi için bir araç olarak kullanmaları önerilebilir. 7. Öğretmenler genel olarak geometri öğretiminde öğrenci gelişiminin etkili olduğunu belirtmişlerdir. Gelişimleri farklı düzeylerde olan öğrencilerin ne yapılırsa yapılsın geometri öğrenmede problem yaşayacaklarını söylemişlerdir. Bundan dolayı öğretmenler bireysel farklılıkları tespit edip bu farklılıklara yönelik etkili olarak hazırlanmış geometri derslerinin geometrik düşünceyi geliştirdiğini göz önüne almalıdırlar. Yapılacak Araştırmalara Yönelik Öneriler: 1. Bu çalışma ilköğretimin birinci kademesinde yapılmıştır. Benzer çalışmalar ilköğretimin ikinci kademesinde ve ortaöğretimde de yapılmalıdır. 2. Bu çalışma deneyimleri farklı olan öğretmenlerle yapılmıştır. Deneyimleri birbirine yakın olan öğretmenlerle de bu çalışma tekrarlanabilir. 3. Bu çalışma her sınıf düzeyinden bir sınıfla yapılmıştır. Benzer çalışmalar her sınıf düzeyinden birden fazla sınıfla ya da tek sınıf düzeyinden birden fazla sınıfla yapılabilir. 4. Bu çalışmada yapılan öğretimler öncesinde ve sonrasında öğrencilerin van Hiele geometrik düşünme düzeyleri belirlenmemiştir. Yapılacak araştırmalarda

156 145 çalışma öncesinde ve sonrasında öğrencilerin van Hiele geometrik düşünme düzeyleri belirlenebilir. 5. Bu çalışma yalnızca öğretmenlerle yapılan gözlem ve görüşmelere dayanmaktadır. Öğrencilerle de benzer çalışmalar yapılabilir. 6. Bu çalışmada öğretmenlere hiç eğitim verilmemiştir. Bundan sonra yapılacak çalışmalar öğretmenleri eğiterek yapılabilir. 7. Bu çalışmaya katılan öğretmenlerin geometri bilgileri ve van Hiele düzeyleri belirlenmemiştir. Bundan sonra yapılacak çalışmalarda van Hiele düzeyi belirlenmiş öğretmenlerle çalışılabilir.

157 146 KAYNAKLAR ADAWI, W. T. and INGERMAN, A.(2006). Phenomenography for Physicists. http// adresinden tarihinde alınmıştır. AKAN, F. (2001). İlköğretim Matematik Öğretiminde Karşılaşılan Sorunlar, Yayınlanmamış Yüksek Lisans Tezi, Denizli: Pamukkale Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü. AKSU, M.(1985). Matematik Öğretiminde Bilgisayar Kullanımı. Ankara: Eğitim ve Bilim. Mart. Cilt: 9. Sayı : 54 AKSU, H.(2005). İlköğretimde Aktif Öğrenme Modeli İle Geometri Öğretiminin Başarıya Kalıcılığa, Tutuma ve Geometrik Düşünme Düzeylerine Etkisi, Yayınlanmamış Doktora Tezi: Dokuz Eylül Üniversitesi ALTUN, M.( 1998). Matematik Öğretimi, Bursa: Erkam Matbaacılık. ASSEL, A. M., LANDRY, H.S., SWANK, P., SMITH, E.K., STEELMAN, M.L. (2003). Precursors to Mathematical Skills: Examining the Roles of Visual Spatial Skills, Executive Processes, and Parenting Factors. Applied Development Science. No: 7. AŞKAR, P. ve Baykul, Y. (1987). Matematik Öğretimi. Anadolu Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi Yayınları. No: 94. Eskişehir. BAŞER, N. (1996). Ders Geçme ve Kredi Sisteminde Lise Öğrencileri İçin Bir Matematik Başarı Testi Tasarımı ve Uygulanabilirliğinin Araştırılması. Yayınlanmamış Doktora Tezi. D.E.Ü. Sosyal Bilimler Enstitüsü. İzmir.

158 147 BAYKUL, Y. ( 2005). İlköğretimde Matematik Öğretimi, Ankara: Pegem A Yayıncılık BAYKUL, Y.( 2001). İlköğretimde Matematik Öğretimi, Öncü Basımevi. Ankara. BAYNES, J.F. (1998). The Development Of A Van Hiele Based Summer Geometry Program And Its İmpact On Student Van Hiele Level And Achievement In High School Geometry, Degree Of Doctor,Colombia University. BİNBAŞIOĞLU, C. (1981). Özel Öğretim Yöntemleri, Ankara. Kadıoğlu Matbaası. BURGER, W. F., Shaughnessy,J.M.(1986). Caracterizing The Van Hiele Levels Of Development In Geometry, Journal For Research in Mathematics Education, 17:1. BURNS, M. (2000). About Teaching Mathematics. Second Edition. California: Math Solution Publication. CARROL, W, M. (1998). Geometric Knowledge Of Middle School Students In A Reform Based Mathematics Curriculum, School Science And Mathematics, 98: 4. CHARALAMBUS, L. (1997). A Few Remarks Regarding The Teaching Of Geometry Through Theoretical Analysis Of The Geometrical Figure, Nonlinear Analysis, Theory Methods&Aplications. Vol: 30. No: 4. CLEMENTS, H., Swaminathan S., Hannibal M., Sarama J. (1999). Young Children s Concepts Of Shapes, Journal For Research In Mathematics Education, 30:2.

159 148 CROWLEY, M., L.(1987). The Van Hiele Model Of The Development Of Geometric Thought, Learning Teaching Geometry K-12, Edited by: Mary M. Lindguist And Albert P. Shulte. Reston: NCTM. ÇETİN, Ö. Faruk ve Dane, A. ( 2004). Sınıf Öğretmenliği Üçüncü Sınıf Öğrencilerinin Geometrik Bilgilere Erişi Düzeyleri Üzerine. Kastamonu Eğitim Dergisi. Cilt: 12. No: 2. ÇOBAN, A. ve Dursun, Ş.(2003). 3 6 Yaş Arası Çocukların Geometrik Şekilleri Anlamalarını Geliştirme. Eğitim Araştırmaları. Sonbahar, Yıl:4, Sayı:13, DEVELİ, H. ve Orbay, K. (2003). İlköğretimde Niçin ve Nasıl Bir Geometri Öğretimi. Milli Eğitim Dergisi. Sayı: 157. Ankara. DİCKSON L., Brown M. ve Olwen G. (1990). Children Learning Mathematics. Alden Pres LTD. Oxford. DRİSKELL, S., Olivia, Schirack. (2004) Fourth Grade Students Understanding Of Properties Of Shapes While They Completed, In Pairs, Severel Task Based Exploration Intervention Sessions With Shape Makers, Degree Of Doctor, University Of Virginia. DUATEPE, A. (2000). Çocukların Geometri Anlayışları Üzerine Bir Araştırma. adresinden tarihinde indirilmiştir. DUATEPE, A. ve Akkuş Ç. (2003). Okul Öncesi Öğretmen Adaylarının van Hiele Düşünme Seviyelerinin Belirlenmesi. OMEP 2003 Dünya Konsey Toplantısı Bildiri Kitabı. Kuşadası. DUATEPE, A. (2000). An Investigation On The Relationship Van Hiele Geometric Level of The Thinking and Demographic Variables For Preservers Elementary

160 149 School Teachers. Ortadoğu Teknik Üniversitesi Orta Öğretimde Fen ve Matematik Alanları Eğitimi Bölümü. Yüksek Lisans Tezi ERGÜN, M. (2005). Nitel Araştırma Yöntemleri. http: www. Eğitim.aku.edu.tr/ ( ). FRENCH, D. (2004). Teaching and Learning Geometry. Continuum İnternational Grup. First Published. London FUYS, D., Geddes, D., Tishler, R., (1988). The Van Hiele Model Of Thinking In Geometry Among Adolescents, Journal For Research In mathematics Education Monograf Series 3, NCTM. GOLINSKAİA, L. (1997). Van Hiele Teory In Russian and U. S Geometry Curricula. Doctor of Philosophy: Colombia University. GUTIERREZ, A., Adela, J., Fortuny, J. M., (1991). An Alternative Paradigm To Evaluate The Acpuisition Of The Van Hiele Levels, Journal For Research In Mathematics Education, 22:3. HASSELGREN, B. (1997). Phenomenographic wilderness (worldwide web). Goteborg University. Retreived Jan 30, 2005, adredinden o tarihinde indirilmiştir. HOFFER, A. (1981). Geometry is More Than Prof. Mathematics Teacher. 74, 1. İlköğretim Matematik Dersi Öğretim Programı (2005). Ankara: Devlet Kitapları Müdürlüğü Basımevi.

161 150 KENNEDY, L. M. (1980). Guiding Children to Mathematical Discovery. Wadsworth Publishing Company. California. KILIÇ, Ç. (2003). İlköğretim 5. Sınıf Matematik Dersinde Van Hiele Düzeylerine Göre Yapılan Geometri Öğretiminin Öğrencilerin Akademik Başarıları, Tutumları ve Hatırda Tutma Düzeyleri Üzerindeki Etkisi, Anadolu Üniversitesi, Eskişehir. LIMBERG, L. (1999) Experiencing information seeking and learning: a study of the interaction between two phenomena. Information Research, vol.5, No.1, October MARTON, F.(1996). Is Phenomenography Phenomenology?: Adersinden tarihinde indirilmiştir. MARTON, F. (1994). Phenomenography. In T. Husen & N. Posthletwaite. The International Enclyclopedia of Education. New York: Pergamon MARTON, F. ve Svensson, L. (1979). Conceptions of research in student learninng. Higher Education, 8, MATHEWS, N.,F. (2004). A Comparison Of Mira Phase-Based Instruction, Text Book Instruction, and No Instruction On The Van Hiele Lsvels Of Fiftyh Grade Students, Tenessee State University. MC CLENDON, M., E. (1990) Application Of The Van Hiele Model In Evaluating Elementarry Teachers Understanding Of Geometric Concepts and Improving Their Attidues Toward Teaching Geometry. Dissertation Abstracts International. 55:5 MİSTRETTA. M. R. (2000). Enhancing Geometric Reasoning. Adolescence. Vol: 35. Sayı: 138

162 151 National Council Of Teachers Of Mathematics (NCTM), (1988). The Van Hiele Model Of Thinking In Geometry Among Adolescents, Journal For Research In Mathematics Education. Reston VA: National Council Of Teachers Of Mathematics, (2000). Principles And Standarts For School Mathematics, Reston VA: National Council Of Teachers Of Mathematics OLKUN, S. ve Aydoğdu, T. (2003). Üçüncü Uluslar arası Matematik ve Fen Araştırması (TİMS) Nedir? Neyi Sorgular? Örnek Geometri Soruları ve Etkinlikler. Sayı: 1 OLKUN, S. ve Toluk, Z. ve Durmuş, S. (2002). Matematik ve Sınıf Öğretmenliği Birinci Sınıf Öğrencilerinin Geometrik Düşünme Düzeyleri,.5. Ulusal Fen Bilimleri ve Matematik Eğitimi Kongresi Bildiriler. Cilt: 2. ANKARA OLKUN, S. Uçar, Z. T. ( 2004). İlköğretimde Etkinlik Temelli Matematik Öğretimi, Ankara: Anı Yayıncılık PATON,M. Q. (1980). Qualitative evaluation methods. Beverly Hills, CA: Sage. SANDBERG, J. (2000). Understanding human competence at work: An Interpretive approach. Academy of Management Journal, 43(1) SHARP, J, M and Zachary, L,W. Using The Van Hiele K-12 Geometry Learning Theory To Mdify Engineering Mechanics İnstruction, www. Auburn.edu/ research/ litee/jstem/include7getdoc.php?id=112&article=39&mode=pdf SHERARD, W.H. (1981). Why is Geometry a Basic Skill?. Mathematics Teacher. 74, 1.

163 152 TEPPO, A. (1991). Van Hiele Levels Of Geometric Thougt Revisited, Mathematics Teacher, 84:3. TERTEMİZ, N, Altıntaş M. (2006). İlköğretim Beşinci Sınıf Öğrencilerinin Dörtgenler Konusundaki Hataları. Ulusal Sınıf Öğretmenliği Kongresi Bildiri Kitabı. Cilt: 1, Gazi Üniversitesi TOLUK, Z., Olkun S. ve Durmuş S. (2002). Problem Merkezli ve Görsel Modellerle Destekli Geometri Öğretiminin Sınıf Öğretmenliği Öğrencilerinin Geometrik Düşünme Düzeylerinin Gelişimine Etkisi. Beşinci Ulusal Fen Bilimleri ve Matematik Eğitimi Kongresi Bildiriler. Cilt: 2. ANKARA. TOPTAŞ, V. (2007). İlköğretim Matematik Dersi (1-5) Öğretim Programında Yer Alan 1. Sınıf Geometri Öğrenme Alanı Öğrenme Öğretme Sürecinin İncelenmesi. Yayınlanmamış Doktora Tezi. Gazi Üniversitesi. Eğitim Bilimleri Enstitüsü. Ankara. UBUZ, B. ve Üstün, I. (2005). Figural and Conceptual Aspects in Defining and Identifying Polygons. Eurasian Journal of Educational Research. No: 16 UMAY, A. (1996). Matematik Eğitimi ve Ölçülmesi. Hacettepe Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi. No: 12 UNAL, H. (2005). The Influense Of Curiosity And Spatial Ability On Preservice Middle And Secondary Mathematics Teachers Understanding Of Geometry, Degree Of Doctor, Florida State University Van Hiele, P. M.(1986) Structure and Insight: A Theory of Mathematics Education. Academic Pres, Inc: Orlando, Florida.

164 153 Van de Walle, J. A. (2004). Elementary and Middle School Mathematics: Developmataly. Longman: New York YILDIRIM, A., Şimşek H. (2000). Sosyal Bilimlerde Nitel Araştırma Yöntemleri. Seçkin Yayıncılık. Ankara.

165 EKLER 154

166 155 EK. 1 GÖRÜŞME SORULARI Öğretmenin okuttuğu sınıf: Öğretmenin deneyimi: Görüşme tarihi: Görüşme Soruları: 1. Herhangi bir geometrik şekli öğretirken nasıl bir yol izliyorsunuz? 1.a. Gerçek hayatla nasıl ilişkilendiriyorsunuz? 1.b. Ne tür araçlar kullanıyorsunuz? Neden? 1.c. Çizim yaptırmanın geometri öğretimindeki yeri nedir? 1.c.a. çizim yaptırırken farklı bakış açılarından büyüklük küçüklük ve şekilleri döndürerek çizimler yaptırmak ya da göstermek çocuğun konuyu öğrenmesinde önemli midir? Niçin? 2. Öğrencilerinizin şekiller arasındaki benzerlik ve farklılıkları öğrenmelerinin sizce önemi nedir? Bu benzerlik ve farklılıkları görmeleri için ne tür etkinlikler yapıyorsunuz? 3. Okuttuğunuz sınıf seviyesinde bir geometrik kavramı öğrencilerinizin ne düzeyde tanımlamasını beklersiniz örnek veriniz? 4. Geometri öğretimine önce üç boyutlu cisimlerden başlanıp, sonra iki boyutlu şekillere sonra da tek boyuta inilmesi konusunda ne düşünüyorsunuz? Bu uygun bir yol mudur? 5. Öğrencilerinizin geometrik konuları öğrenmelerindeki başlıca etkenlerin neler olduğunu düşünüyorsunuz?(gelişim özellikleri öğretim) Örneklendirerek açıklayınız. 6. Geometri ünitelerinin işlenmesini ne zaman yapıyorsunuz? Sene başında mı, daha sonraki zamanlarda mı? Önce işlemenin avantajları olabilir mi? Geometrik şekilleri diğer konuların modellemesinde kullanıyor musunuz? Nasıl? 7. Bir öğrencinin herhangi bir geometrik kavramla ilgili 1. sınıftan 5. sınıfa kadar ne tür beceriler edinmelerini beklersiniz?

167 156 EK. 2 GÖZLEM FORMU Gözlem yapılan sınıf: Öğretmen: Gözlem tarihi: Alınan Notlar

168 157 EK. 3 EK 3: 2, 3, 4 ve 5. SINIF GEOMETRİ DERSLERİNDE ÖĞRENCİLERİN DEFTERLERİNDE TUTTUKLARI NOTLARDAN ÖRNEKLER

169 2. SINIF 158

170 159

171 160