DALITZ GRAFİĞİ ANALİZİ İLE HADRONİK BOZUNUMLARIN İNCELENMESİ

Transkript

1 T.C. İNÖNÜ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DALITZ GRAFİĞİ ANALİZİ İLE HADRONİK BOZUNUMLARIN İNCELENMESİ MURAT BULDU YÜKSEK LİSANS TEZİ FİZİK ANABİLİM DALI MALATYA HAZİRAN 2013

2 Tezin Başlığı : Dalitz Grafiği Analizi İle Hadronik Bozunumların İncelenmesi Tezi Hazırlayan : Murat BULDU Sınav Tarihi : 17/06/2013 Yukarıda adı geçen tez jürimizce değerlendirilerek Fizik Anabilim Dalında Yüksek Lisans Tezi olarak kabul edilmiştir. Sınav Jürisi Üyeleri Doç. Dr. Tekin İZGİ İnönü Üniversitesi (Başkan).. Yrd. Dr. Tuncay ÖZDEMİR İnönü Üniversitesi (Üye).. Yrd. Doç Dr. Fatih BULUT İnönü Üniversitesi (Üye).. İnönü Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Onayı:.. Prof. Dr. Mehmet ALPASLAN Enstitü Müdürü

3 ONUR SÖZÜ Yüksek Lisans Tezi olarak sunduğum Dalitz Grafiği Analizi ile Hadronik Bozunumların İncelenmesi başlıklı bu çalışmanın bilimsel ahlak ve geleneklere aykırı düşecek bir yardıma başvurmaksızın tarafımdan yazıldığını ve yararlandığım bütün kaynakların, hem metin içinde hem de kaynakçada yöntemine uygun biçimde gösterilenlerden oluştuğunu belirtir, bunu onurumla doğrularım.... Murat BULDU

4 ÖZET Yüksek Lisans Tezi Dalitz Grafiği Analizi İle Hadronik Bozunumların İncelenmesi Murat BULDU İnönü Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Fizik Anabilim Dalı 65+Xii sayfa 2013 Danışman: Yrd. Doç. Dr. Fatih BULUT Bu tez çalışmasında yüksek enerjili parçacık bozunumlarının kuantum mekaniksel ve kinematik özellikleri Dalitz grafikleri kullanılarak incelenmiştir. Son durumunda üç parçacık bulunan bozunumlardaki rezonans süreçleri Dalitz grafikleri sayesinde gözlenebilmektedir. Bozunum deneylerinden edinilen veriler kullanılarak oluşturulan Dalitz grafikleri için farklı analiz metotları bulunmaktadır, bu metotlar incelenerek birbirlerine olan üstünlükleri ve uygulanabilirlikleri tartışılmıştır. Madde anti-madde arasındaki asimetriyi gösteren CP bozulumunu incelemede Dalitz grafiği analizi yöntemi kullanılabilmektedir. Bozunumlardaki rezonans süreçlerinde CP bozulumunun varlığının Dalitz grafiğinde gözlenebileceği gösterilmiştir. i

5 Abstract M. Sc. Thesis Investigation of Hadronic Decays By Dalitz Plot Analysis Murat BULDU Inonu University, Graduate School of Natural and Applied Science Department of Physics 65+Xii pages 2013 In this thesis we investigate the quantum mechanical and kinematical features of the high energy particle decays via Dalitz Plot Analysis. Dalitz plot analysis can be used to study the dynamics of three-body decays that expected to proceed through intermediate resonant two-body modes. There has been various analysis methods introduced to generate Dalitz Plots using the experimental results from the particle decays, we have investigated these methods and discussed their properties. Dalitz Plot Analysis can also be used to investigate the CP violation of the decays which shows the asymmetry between matter and anti-matter. The existance CP violation at the resonant decays can be shown using Dalitz Plot Analysis. ii

6 TEŞEKKÜRLER Yüksek lisans çalışmasının ders aşamasından itibaren tez aşamasının bitimine kadar deneysel çalışmalarım boyunca bana yol gösteren ve bilgilerini benimle paylaşan tez danışmanım Sayın Yrd. Doç. Dr. Fatih BULUT a, Yüksek lisans ders döneminden itibaren her zaman yanımda olan ve beni her zaman destekleyen en yakın dostlarım Sayın Serkan DEMİREL ve Sayın Sema KESMEN e Tüm eğitim hayatım boyunca maddi manevi desteklerini esirgemeyen her zaman moral kaynağım olan ve bu aşamaya gelmemde en çok etkisi olan babam Miraç BULDU, annem Nezahat BULDU, kardeşim Miray BULDU ya, kuzenim Fatih BULDU ya çocukluk arkadaşlarım Cihat ATAŞ ve Şeyh Yusuf HAŞMİT e, katkılarından dolayı Özüm Asya KAYNARCA ya bana yol gösteren Nalan Yavuz KOCABAŞ a teşekkür ederim. iii

7 İÇİNDEKİLER ÖZET i ABSTRACT ii TEŞEKKÜR. iii İÇİNDEKİLER... iv ŞEKİLLER DİZİNİ. vi TABLOLAR DİZİNİ... ix SEMBOLLER.. x 1. GİRİŞ TEMEL PARÇACIKLAR Leptonlar Mezonlar Baryonlar Kuarklar PARÇACIK ETKİLEŞİMLERİ Parçacık Etkileşim Teorileri Standart Model Feynman Diyagramları Kuantum Elektrodinamiği Kuantum Kromodinamiği Parçacık Bozunumları ve Saçılmalar Parçacık Etkileşimlerinde Evrensel Simetri Yasaları DALITZ GRAFİKLERİ Dalitz Grafikleri ve Kullanım Amacı Dalitz Grafikleri Analiz Teknikleri İzobar Model Modelden Bağımsız Analiz Teknikleri K Matris Yaklaşımı Flatte Dağılım Fonksiyonu Kısmi Dalga Analizi Dalitz Grafikleri Sayesinde CP Bozulmasının İncelenmesi. 51 iv

8 5. TARTIŞMA VE SONUÇ KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ v

9 ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil 2.1. Mezonları yük ve gariplik sayılarına göre ayıran sekiz katlı sistem için altıgen bir dizi örneği. 5 Şekil 2.2. Baryon grubu parçacıkları için sekiz katlı sistemin altıgen bir dizisi Şekil 2.3. Baryonlar için yük ve gariplik sayısı değerlerine göre kurulmuş olan onluk sistem 10 Şekil 3.1. Elektron muon elastik saçılması için en basit Feynman diyagramı Şekil 3.2. Elektron muon elastik saçılması için daha karmaşık diyagramlar Şekil 3.3. Verteks faktörü g e olan elektromanyetik verteks 16 Şekil 3.4. İki elektronun birbirleriyle etkileşimini gösteren Feynman diyagramı.. 17 Şekil 3.5. Elektron-pozitron yok olması (e + e + γγ) sürecini gösteren Feynman diyagramı 17 Şekil 3.6. Feynman diyagramları kullanarak elektrozayıf etkileşimlerin açıklanması 17 Şekil 3.7. Başlangıçta kırmızı renk yüküne sahip up kuarkı ile son durumdaki mavi renk yüküne sahip up kuarkının bir birim mavi yük ve bir birim anti kırmızı yük taşıyan gluon sayesinde etkileşmesi Şekil p + π + bozunum reaksiyonu Şekil 3.9. ρ + π + π 0 tepkimesini açıklayan Feynman diyagramı 20 Şekil Parçacıkların spini ve hızları paralel olan (a) helisiti değeri +1 olan parçacık (b) spini ve hızları (a) parçacığına anti-paralel, helisiti değeri -1 olan parçacık. 22 Şekil π parçacığı bozunumunun yük konjügesi transformasyonu altındaki Değişimi Şekil Pion deneyi için C, P ve CP simetrilerinin uygulanması ve bu dönüşümler altındaki parçacıkların değişim süreçleri. 23 Şekil P, C ve CP simetrileri altındaki nötrinolar için ayna yansıması 24 Şekil 4.1. B + π + π K + bozunumunun Dalitz Plot üzerinde gösterimi.. 26 Şekil 4.2. Düzenli bir dağılım gösteren etkileşim için farazi oluşturulmuş DalitzPlot grafiği ve eksenleri 27 Şekil 4.3. Rezonans tepkimesini içeren üç parçacıklı bir bozunum sürecinin gösterilmesi vi

10 Şekil 4.4. Bozunum sürecinde oluşabilecek üç farklı rezonans tepkimesi için Dalitz Plot grafikleri. Üç farklı grafik üç farklı rezonans tepkimesi için oluşacak yan bantları göstermektedir. 28 Şekil 4.5. Spinleri 0, 1 ve 2 olan üç farklı tepkime için oluşacak Dalitz Plot grafikleri. (a) Spini 0 olan rezonans durumu (b) Spini 1 olan rezonans durumu (c) Spini 2 olan rezonans durumu 29 Şekil 4.6. Son durumunda üç parçacık bulunan bozunum için direkt bozunum ve farklı oluşabilecek rezonansların toplamını göstermektedir 29 Şekil 4.7. Başlangıç kütlesi M ve momentumu P olan bir parçacığın m 1, m 2, m 3 kütleli ve p 1, p 2, p 3 momentumlu parçacıklara bozunumu 30 Şekil 4.8. Birden fazla rezonans durumunu içeren üç parçacıklı bir bozunum diyagramı 31 Şekil 4.9. Rezonansların büyüklükleri ve fazlarını gösteren diyagram.. 34 Şekil Rezonans tepkimesine sahip bir etkileşim için Dalitz grafiği ve bu tepkimedeki yapıcı girişim fazı ve büyüklüğü. 35 Şekil Rezonans tepkimesine sahip bir etkileşim için Dalitz grafiği ve bu tepkimedeki yıkıcı girişim fazı ve büyüklüğü. 36 Şekil Kesişim rezonanslarına sahip etkileşimler için Dalitz grafikleri.. 36 Şekil (a) D + D 0 π + etkileşiminden gelen D 0 K s 0 π π + dağılımı ve (b) m 2, 2 2 (c) m + ile (d)m π + π kütlelerin değerleri.. 42 Şekil a) D + D 0 π + etkileşiminden gelen D 0 K s 0 π π + dağılımı ve (b) m 2, 2 2 (c) m + ile (d)m π + π kütlelerin değerleri Şekil Eşik değeri bölgesindeki K + K sisteminin ürünlerini tanımlayan kinematikler.. 46 Şekil K + K kütle dağılımlarının birer fonksiyonu olarak tanımlanan nomralize edilmemiş < Y L 0 > küresel harmonik momentum değerleri 47 Şekil Spini 1 olan relativistik Breit Wigner fit işleminden gelen sonuçlar ile K + K etkin kütlesinin bir fonksiyonu olarak < Y 2 0 > küresel harmonik momentumu gösterilmesi.. 49 vii

11 Şekil Faz uzayı için düzeltilmiş K + K kısmi dalga analizinden gelen sonuçlar. (a) P dalgası etkinliği. (b) S dalgası etkinliği. (c) m(k 0 K + ) dağılımı (d) ϕ(1020) bölgesi içerisindeki Cosϕ SP değeri. (e) Kıyı bölgesi içindeki ϕ SP çıkarıldıktan sonraki (d) içerisinde gösterilen ϕ(1020) faz değişiminin fit edilmesi 49 Şekil B 0 - B 0 osilasyonundan sorumlu kutu diyagramı. 52 Şekil CKM Üniterlik üçgeni.. 56 Şekil D 0 K 0 s π + π etkileşimlerinin Dalitz grafiği. Soldaki grafik 3x3 lük parçalara, ortadaki grafik 5x5 lik parçalara ve sağdaki grafik ise 7x7 lik parçalara ayrılmıştır. Bu parçalar Dalitz grafiği üzerindeki D CP için kullanılır Şekil Üstteki grafikb ± K ± π π ± etkileşimi için ρ 0 modelinde Dp S CP değer grafiğidir. Alttaki grafik ise istatiksel olarak ayrılan üst grafikteki parçalar için Dp S CP değeridir. Bu fit birim genişliğe Gaussian olarak merkezlenmiştir. Burada P1 niceliği normalizasyon parametresidir 58 Şekil B ± K ± π π ± etkileşimi için ρ 0 modelinin kullanılmasıyla Dalitz grafiğinin bölgelere ayrılması Şekil Şekil içerisindeki dağılımın Şekil 4.22 içerisinde gösterilen bölgelere bölünmesi. Burada P1 niceliği normalizasyon sabitidir 59 viii

12 TABLOLAR DİZİNİ Tablo 2.1. Lepton grubu parçacıklarının kuantumsal özelliklerine göre Sınıflandırılması 3 Tablo 2.2. Lepton grubu parçacıklarının kütleleri ve etkileşime girme süreleri. 3 Tablo 2.3. Mezonlar için spin, orbital açısal momentum, toplam açısal momentum ve paritesine göre sınıflandırılması... 6 Tablo 2.4. Mezon tiplerinin spin konfigürasyonlarına göre sınıflandırılması 7 Tablo 2.5. Çeşnisiz mezonları içeriklerine göre sınıflandırılması. 8 Tablo 2.6. Farklı çeşnilerdeki kuark ve antikuakların bir araya gelerek oluşturduğu çeşni mezonlarının sınıflandırılması. 8 Tablo 2.7. Kuarkları ve kuarkların sahip oldukları yük (Q), isospin (I), isospin z bileşeni (I 3 ), gariplik (S), tılsım (C), bottom (B), top (T) sayılarını göstermektedir 11 Tablo 2.8. Aşağı ve yukarı tip kuarkların sahip oldukları kütle değeri aralıkları 12 Tablo 3.1. Etkileşim tiplerine göre C, P, T, CP ve CPT simetrilerinin korunma durumlarını anlatmaktadır. 24 Tablo 4.1. Blatt Weisskopf bariyer faktörü değerleri.. 32 Tablo 4.2. Durgun çerçevedeki r rezonansının a ve c parçacıkları arasındaki θ açısına sahip olduğu durumundaki L = 0, 1, 2 değerleri için açısal dağılımı göstermektedir Tablo 4.3. K Matrisi parametreleri. 41 Tablo 4.4. Hafif mezonlar için isimlendirme ve spin değerleri ile birlikte bu mezonların sahip olduğu dalga türleri 45 ix

13 SEMBOLLER SM E m c P e μ τ ν e ν µ ν τ Q L e L μ L τ QCD QED BSM S L P C I J n u n u Standart Model Enerji Kütle Işık hızı Momentum Elektron Müon Tau Elektron nötrinosu Müon nötrinosu Tau nötrinosu Elektriksel Yük Elektron leptonluk kat sayısı Müon leptonluk kat sayısı Tau leptonluk kat sayısı Kuantum Kromodinamiği Kuantum Elektrodinamiği Standart Model Ötesi Spin Orbital açısal momentumu Parite Yük konjügasyonu İzospin Toplam açısal momentum Up kuarkı sayısı Anti up kuarkı sayısı x

14 n d n d S B' C' T' Q' Q q I 3 B SU(3) c SU(2) w U(1) γ Down kuarkı sayısı Anti down kuarkı sayısı Kuark Strangness sayısı Kuark Bottomness sayısı Kuark Charm sayısı Kuark topness sayısı Kuark toplam yükü Kuark Anti-kuark İzospin z bileşeni Baryonluk sayısı 3x3 lük birim matris 2x2 lik birim matris 1x1 lik birim matris µ fi Feynman diyagramı saçılım genliği Ψ g e α Q f α s g s CKM T η' T p i m ab Γ Dalga fonksiyonu Feynman diyagramı çiftlenim sabiti İnce yapı sabiti Feynman diyagramı verteks faktörü Güçlü etkileşimler için çiftlenim sabiti Kuark bileşenlerinin yük gücü Cabibbo Kobayashi Maskawa 3x3 birim matrisi Zaman simetrisi operatörü Yük konjügasyonu operatörünün faz faktörü Zaman Dörtlü momentum Çiftlenmiş kütle Bozunum oranı xi

15 Σ Λ Z B L T r BW i Ω i A Δ S fi T i F İ K ρ i A D F 1 Ρ g i α s 0 scatt I V α A α (σ) L N Data ε(σ) Gen N MC θ Bozunum dinamikleri Sarmallık durumu Final durumu parçacıklarının açısal dağılımı Bariyer faktörü Rezonans parçacığının dinamik fonksiyonu Breit Wigner fonksiyonu Açısal dağılım Toplam bozunum genliği Bozunum faz faktörü Saçılım matrisi Dönüşüm matrisi Final durumu İlk durum Bozunum Matris operatörü Faz uzay faktörü Dalitz grafik genliği ππ S dalgası genlik katkısı Faz uzay matrisi K matrisi çiftlenim sabiti Saçılım kütlelerinin karesi Göreli olay sayısı Faz uzayındaki kompleks bozunum genliği Kompleks bozunum ürünü Olasılık Toplam veri sayısı Dedektör etkinliği Monte Carlo simülasyonu veri sayısı Bozunum tepkimesinde parçacıklar arasındaki açı değeri xii

16 < Y L m > Küresel harmonik momentum değeri S' P' F r q r PDG B L B H O Dp S CP N(i) N (i) S dalgası genişliği. P dalgası genişliği Blatt Weisskopf sönümleme faktörü Rezonans durgun çerçevesindeki parçacıkların momentumu Particle Data Group Ağır kütle öz durumu Hafif kütle öz durumu CP bozulması oranı CP bozulma genliği Dalitz grafiği üzerinde bulunan bozunum madde miktarı Dalitz grafiği üzerinde bulunan bozunum anti-madde miktarı xiii

17 1.GİRİŞ Temel parçacık fiziğinin yaklaşık 100 yıl önce elektronun keşfiyle başladığını söyleyebiliriz. Elektronun keşfinin ardından 50 yıl boyunca yeni parçacıklar kozmik ışınlar kullanılarak keşfedilmiştir. Ancak asıl keşifler kozmik ışınlarda ortaya çıkan yeni parçacıkların sonucunda geliştirilen parçacık hızlandırıcıları ile yapılmıştır. Pratikte yüksek enerjili deneylerden elde edilen veriler ile parçacıklar ve parçacık etkileşimlerinin adlandırıldığı Standart Model e açıklama getirilir [1]. Standart Model parçacıkların 6 lepton, 6 kuark ve bunların çeşnilerinden oluşabileceğini söyler [2]. Parçacıklar arasındaki temel kuvvetlerin her biri fiziksel bir teori ile açıklanır. İlk fiziksel teori; kütle çekimi kuvvetinin klasik ilk teorisi olan Newton tarafından ortaya konulan evrensel kütle çekim teorisidir. İlerleyen zamanlarda bu teori Einstein tarafından genişletilmiştir. Kütle çekim kuvvetleri çekirdek kuvvetlerine göre çok zayıf olduğu için parçacık fiziği bünyesinde dikkate alınmaz. Standart Model bilinen tüm parçacık fiziği fenomenlerini iyi bir biçimde tanımlar. Bu model çok iyi bir teorik çatı sağlar ve %0,1 lik hata oranıyla parçacıkların tanımlanmasındaki kesinliği oldukça başarılıdır [3]. Standart Model ile ilgili geniş açıklamayı ilerleyen bölümde yapacağız. Doğadaki temel parçacıklara baktığımızda kuarklar ve leptonlar noktasaldır yani bu parçacıklar başka parçacıklardan oluşmazlar. Ayrıca kuarklar bir araya gelerek hadronlar olarak bilinen bileşik parçacıkları oluşturulur. Bunların en kararlı olanları ise proton ve nötrondur. Parçacıkları kütlelerine göre sınıflandırdığımızda leptonlar (hafif parçacıklar), mezonlar (orta siklet) ve baryonlar (ağır parçacıklar) olarak üç grupta toplarız. Mezon ve baryonlar hadronlar olarak adlandırdığımız güçlü etkileşimlere giren parçacıklardır. Leptonlar ise güçlü etkileşimler olarak adlandırdığımız çekirdek kuvvetlerinin oluşturduğu etkileşimlere katılmazlar. Kuarklar ise 3 nesil ve 12 parçacık tipinden oluşur. Bu parçacıklar 6 kuark ve 6 tane de bunların anti-parçacığıdır. Bu kuarklar; yukarı(up), aşağı (down), tılsım (charm), tuhaf (strange), üst (top) ve alt (bottom) olarak bilinir. 1

18 Bahsettiğimiz tüm bu parçacıkların kütleleri klasik anlamda çok küçük ölçekte olduklarından dolayı parçacık kütlelerini Einstein ın enerji formülünden faydalanarak aşağıdaki gibi elde ederiz. E 2 = m 2 c 4 + p 2 c 2 (1.1) Bu denklemde parçacığın durgun olduğunu düşünürsek cismin durgun kütle enerjisi aşağıdaki denklemle ifade edilir. E = mc 2 (1.2) Buna göre bu ifadeden, kütleyi E/ c 2 cinsinden hesaplarız. Bu tezde işlem kolaylığı açısından bazı sabitlerin değerlerini 1 olarak alacağız. 2. TEMEL PARÇACIKLAR 2.1. Leptonlar Lepton grubu parçacıkları noktasal parçacıklardır ve düşük kütleye sahiplerdir. Lepton grubu parçacıklarının spini ½ olduğundan fermiyonlardır ve Pauli dışarlama ilkesine uyarlar. Lepton grubu parçacıkları kendisi gibi noktasal parçacık olan kuarkların aksine güçlü etkileşimlere katılmazlar. İlk lepton olan elektron J.J Thomson ve onun İngiliz fizikçi takımı tarafından 1897 yılında keşfedilerek tanımlanmıştır [4]. Lepton grubu parçacıkları doğada tek başına bulunabilir. Günümüzde ispatlanmış lepton sayısı altıdır. Bunlar elektron (e ), müon (µ ),tau (τ ) ve bunların nötrinolarıdır. Ayrıca bunların anti parçacıkları da vardır [5]. Nötrinolaryüksüz ve kütlesiz parçacıklardır. Nötrinolar madde ile çok zayıfça etkileşime girdiğinden ayırt edilmesi zordur. Leptonlar yük, leptonluk sayısı ve jenerasyon olarak birbirlerinden ayrılırlar. Tablo 2.1 içerisinde leptonların sınıflandırılması yapılmaktadır. 2

19 Tablo 2.1. Lepton grubu parçacıklarının kuantumsal özelliklerine göre sınıflandırılması. Parçacık Q (Yük) L e L µ L τ 1.nesil e ν e nesil µ ν µ nesil τ ν τ Standart Model (SM)'de, maddenin temel yapıtaşları, leptonlar ve kuarklardır, bozonlarise bunlar arasında kuvvet taşıyıcılarıdır[6]. Leptonlar bu özelliklerine göre girdikleri etkileşimlerde korunum yasalarına uyarlar. Lepton grubu parçacıkları için leptonluk sayıları, yükleri ve kütleleri korunum kanunlarını belirler ve bu yasalara uyan tepkimeler gerçekleşirken bu kuantum sayılarının korunumunu sağlamayan tepkimler gerçekleşmez. Tablo 2.1içindeki parçacıklara ek olarak her bir parçacığın anti parçacığı vardır ki, bu parçacık ve anti parçacıkların kütleleri birbirlerine eşittir. Ancak Tablo 2.1içerisinde bahsedilen kuantumsal sayıları birbirlerinin tam tersidir. Tablo2.2.lepton grubu parçacıklarının kütlelerinin ve etkileşim sürelerinin yaklaşık verilerini göstermektedir. Tablo 2.2.Lepton grubu parçacıklarının kütleleri ve etkileşime girme süreleri [7-10]. Parçacık-Antiparçacık Kütle (MeV/c 2 ) Etkileşim Süreleri (sn) e e + 0, ±0, Sabit µ µ + 105, ±0, (2, ±0, )x10 6 τ τ ,82±0,16 (290,6±1.0) x ν e ν e <0, Bilinmiyor ν µ ν µ <0,17 Bilinmiyor ν τ ν τ <18,2 Bilinmiyor 3

20 2.2. Mezonlar Mezon grubu parçacıklarının varlığı Yukawa tarafından 1934 yılında çekirdeği bir arada tutan kuvvetlerin teorisinde ilk kez geçmiştir. Yukawa, elektronun çekirdeğe elektriksel alanla çekilmesi ve ayın dünyaya yerçekimi alanıyla çekilmesi gibi proton ve nötronların birbirlerine bir alan tarafından çekilmesi gerektiğini düşünmüştür. Bu alanın kuantalı olması gerekir ve Yukawa güçlü kuvvetin bilinen özelliklerine bu alanın değiştokuş ettiği parçacığın yol açması gerektiğini düşünmüştür. Örneğin, etki mesafesinin kısa olması değiş-tokuş parçacığının çok ağır olması gerektiğini işaret etmektedir. Yukawa bu parçacığın ağırlığının elektronun ağırlığının yaklaşık 300 katı kadar ve proton ağırlığının altıda biri kadar olması gerektiğini hesaplamıştır [11] yılında ise yapılan deneylerde ilk mezon grubu parçacıkları elde edilmiştir. Mezon grubu parçacıkları bu kütlesel özelliğinden dolayı orta sıklet parçacıklar olarak adlandırılmaktadırlar. Mezon grubu parçacıklarını kuarklardan oluşur ki bu içerdikleri kuarkların özelliklerine göre kuantumsal özelliklerini kazanır. Mezonların içyapısı; kuarkların varlığının bilinmesinin ve Kuantum Kromodinamiği nin (QCD) kurulmasının ardından belirlendi. Buna göre mezonlar bir kuark ve bir anti-kuarkın çiftlenmesinden oluşur ki, bu tip kuarklar valans kuarkları olarak adlandırılır. Valans kuarkları sanal kuark ile anti-kuarkçiftlenimi ve sanal gluonların birlikte bağlanımını içeren bir yapıdır. Bir mezonun spini, sistemin toplam açısal momentumu olacaktır ki, içerdiği kuarkların toplam spini (s) ve kuarkların orbital açısal momentumunun (L) toplamıdır. Mezonlar için parite (P) ve yük konjügasyonu (C) aşağıdaki gibidir [12]; C = ( 1) L+s (2.1) P = ( 1) L+1 (2.2) Burada parite (P) niceliği fiziksel olarak evrensel bir simetri olan ayna simetrisidir. Bu simetriye göre fiziksel kanunlar tüm referans sistemlerinde aynıdır ve değişmez. Yük konjügasyonu (C) ise sistemdeki parçacıkların elektriksel veya daha sonrada değineceğimiz renk yükünün simetrisidir. Bu simetriler ve bu simetrilerin bozulmasını ilerleyen bölümlerde tekrar inceleyeceğiz. 4

21 Mezonların değerleri tam sayı olduğundan dolayı bozon grubu parçacıklarıdır. Spinleri 0 veya 1 değerlerini alır. Mezon gurubu parçacıkları güçlü etkileşimlere girerler. Mezonlar Murray Gell-Mann tarafından sekiz katlı sistem olarak bilinen bir yöntemle sınıflandırılmışlardır. Bu sisteme göre mezonlar içerdikleri kuarklar sayesinde edinmiş olduğu tuhaflık sayısı ve yük değerlerine göre altıgen bir dizi üzerinde yerleştirilir. Şekil 2.1. Mezonları yük ve tuhaflık sayılarına göre ayıran sekiz katlı sistem için altıgen bir dizi örneği [11]. Burada da eğik çizgiler yükü, düz çizgiler de gariplik sayısını göstermektedir. Bu yapıyı mezonlar için kurarken, buradaki mezonların içermiş olduğu kuarkların kuantumsal özelliklerinden faydalanılır. Mezonlar bu kuarklar sayesinde çeşnilere ayrılır. Buna ek olarak mezon grubu parçacıkları için izospin adını verdiğimiz hayali spin özelliğini de içerdiği kuarklar sayesinde edinir. Kısaca mezonlar için izospin değerleri aşağıdaki formül sayesinde bulunur. I 3 = 1 2 [(n u n u ) (n d n d )] (2.3) Burada n sayıları alt indislerine göre yukarı veya aşağı kuarklarının sayılarını göstermektedir. Bu sayılar sayesinde izospin değerlerini buluruz. Buna göre yukarı 5

22 kuark ve aşağı antikuarkı için izospin değeri olan I 3 = +1/2 iken aşağı kuark ve yukarı anti- kuark için izospin değeri I 3 = 1/2 olarak alınır. Mezonlar için spin (s), orbital açısal momentumu (L) ve toplam açısal momentumu (J) arasındaki bağıntı aşağıdaki denklemle verilir. L-s J L+s (2.4) Tablo 2.3 mezonlar için bu kuantum sayılarının alabileceği değerleri göstermektedir. Tablo 2.3. Mezonlar için spin, orbital açısal momentum, toplam açısal momentum ve paritesine göre sınıflandırılması. MEZON TİPLERİ İÇİN SPİN KONFİGÜRASYONU s L J P , 1, , 2, , 3, 2 Mezonlar içerdiği kuarklara göre çeşnilere ayrılır ki bunları çeşni kuantum sayıları olarak adlandırırız. Bu sayıları tuhaflık (strangeness) (S), altlık (bottomness) (B ), tılsım (charm) (C ), üstlük (topness) (T ) olarak kuarkların isimlerine göre adlandırabiliriz. Bu çeşni kuantum sayılarını aşağıdaki bağıntıyla açıklarız; S = ( n s n s ) (2.5) 6

23 Bʹ = ( n b n b ) (2.6) C = (n c n c ) (2.7) T = (n t n t ) (2.8) Bu parçacıklar için yük ise Gell-Mann ve Nishijima tarafından ortaya konulan formül tarafından hesaplanır [13]. Q = I (S + B + C + B ʹ + T ) (2.9) Denklemde B olarak geçen kuantum sayısı ise parçacığın baryonluk numarasıdır. Mezon tipi parçacıklarını Tablo 2.3 içinde verilen spin konfigürasyonuna göre farklı tiplere ayırabiliriz. Tablo 2.4 içerisinde mezonlar bu özelliklerine göre sınıflandırılıyor. Tablo 2.4.Mezon tiplerinin spin konfigürasyonlarına göre sınıflandırılması [13]. Tip s L P J J P Psödöskalar Mezon Psödövektör Mezon Vektörel Mezon Skalar Mezon Tensör Mezonu Mezon grubu parçacıklarının önemli bir sınıflandırma şekli çeşnilere ayırmaktır. Buna göre mezonlar çeşnili mezonları ve çeşnisiz mezonlar olmak üzere iki ad altında toplanır. Çeşnisiz mezonlar özdeş çeşnili kuark ve antikuark çiftleniminden oluşan mezonlardır. Bunların tüm çeşni kuantum sayıları sıfır olur yani S=0, B'=0, C'=0, T'=0 değerlerini alır. Tablo 2.5 bu nötr çeşniye sahip mezonları yani çeşnisiz mezonları göstermektedir. 7

24 Tablo 2.5.Çeşnisiz mezonları içeriklerine göre sınıflandırılması [14]. Burada C simetrisi yalnızca nötral mezonlarla ilgilidir. Ayrıca J PC = 1 değerine sahip olan ψ mezonuna; J/ψ denir. Bu mezon için bozunum şekli ve diğer kuantumsal bozunum süreci farklıdır. qq içeriği J PC I 0, 2, 4, 1 ±, 3 ±, 5 ±, 1, 2, 3, 0 ++, 1 ++, 2 ++, ud uu dd 2 du 1 π + π 0 π b + b 0 b ρ + ρ 0 ρ a + a 0 a uu, dd, ss karışımı 0 η η' h h' ω φ F f cc 0 η c h c ψ ++ χ c bb 0 η b h b Γ χ b tt 0 η t h t θ χ t Çeşni mezonları ise farklı çeşnilerdeki kuark ile antikuarkın çiftleniminden meydana gelir. Tablo 2.6 bu tip mezonları içerdiği kuarklara göre sınıflandırmaktadır. Tablo 2.6.[14] kaynağından alınan verilerle farklı çeşnilerdeki kuark ve antikuakların bir araya gelerek oluşturduğu çeşni mezonlarının sınıflandırılması. antikuark Up Down Charm Strange Top Bottom kuark Up π ±, a ±, b ±, ρ ± D 0 K + T 0 B + Down π ±, a ±, b ±, ρ ± D K 0 T B 0 Charm D 0 D + D s + T c 0 B c + Strange K K 0 D s T s B s 0 Top T 0 T + T c 0 T s + T b + Bottom B B 0 B c B 0 s T b 8

25 2.3. Baryonlar Baryon grubu parçacıkları tıpkı mezonlar gibi kuarklar tarafından oluşturulan kompozit parçacıklardır. Ancak mezonların aksine üç valans kuarkı veya üç antikuarktan meydana gelirler [12]. Hadron grubu parçacığı olan baryonların spinleri buçuklu değerler alır, bundan dolayı baryon grubu parçacıkları fermiyon özelliklidir. İzospin değeri baryonlar için aynı mezonlarda olduğu gibi (2.9) denklemi ile hesaplanır. Baryon grubu parçacıklarının sınıflandırılma kuralları Particle Data Group (PDG) tarafından belirlenmiştir[15]. Bu kurallar aşağıda belirtilmektedir; Üç tane u veya d kuarkı içeren ve I=1/2 değerine sahip olan baryonlara Nükleonlar adı verilir ve I=3/2 durumunda ise Δ baryonları denir. İki u veya iki d kuarkı içeren ve I=0 değerine sahip olan baryonlara Λ baryonları adı verilir, I=1 değerine sahip olan baryonlara ise Σ baryonları denilir. Şayet üçüncü kuark ağır ise bunun tanımı baryonun alt indisi tarafından yapılır. Bir tane u veya d kuarkı içeren ve I=1/2 değerine sahip olanbaryonlara Ξ baryonları denilir. Eğer içerdiği bir kuarkyada tüm kuarkları ağır ise bir yada iki tane alt indis kullanılır. Hiç u veya d kuarkı içermeyen ve I=0 değerine sahip olan baryonlara Ω baryonları adı verilir ve alt indislerinde hiç ağır kuark içermedikleri belirtilir. Güçlü etkileşimlerle bozunan baryonlar isimlerini kütlelerinden alırlar. Örnek olarak, Σ 0 güçlü bir etkileşimle bozunmaz, ancak Δ ++ (1232) baryonu güçlü etkileşimle bozunur. Toplam açısal momentumu J=3/2 ve J=1/2 konfigürasyonundaki baryonlar aynı sembolle gösterilir. Bu baryonlar yıldız işareti (*) ile temsil edilirler. Son zamanlara kadar yapılan deneylerde penta kuarkların yani dört kuark ve bir anti kuarktan oluşan ekzotik baryonların varlığına inanılıyordu [16]. Ancak parçacık fiziği komitesi 2006 yılında bir bütün olarak bu tip baryonların varlığını gözlemlemedi ve 2008 yılında bu parçacıkların varlığını ezici bir çoğunlukla reddetti [17]. Baryonlarıda sekiz katlı sisteme göre sınıflandırabiliriz. Buna göre en hafif 8 baryonu altıgen bir diziye aşağıdaki şekilde olduğu gibi yerleştirilir. 9

26 Şekil 2.2. Baryon grubu parçacıkları için sekiz katlı sistemin altıgen bir dizisi [11]. Sekiz katlı sistem sadece altıgen diziler üzerinde oluşturulmamıştır. Sistemi daha ağır on baryon için üçgen bir dizi şeklinde oluşturabiliriz. Şekil 2.3. Baryonlar için yük ve gariplik sayısı değerlerine göre kurulmuş olan onluk sistem [11] Kuarklar Kuarklar 1964 yılında Murray Gell-Mann ve George Zweig tarafından birbirlerinden bağımsız çalışmalarla ilk kez ortaya çıkmıştır [18]. Kuarklar buçuklu 10

27 spinlere sahip olan fermiyon ailesinin parçacıklarıdır. Kuarklar, leptonlar gibi noktasal parçacıklardır. Kuarklar bir araya gelerek hadron grubu parçacıkları olan mezonları ve baryonları oluştururlar. Altı adet kuark vardır ve bunlar üç nesilden oluşurlar. Bu altı kuarkın her birinin birer antikuarkı bulunmaktadır. Bu kuarklar yukarı (up), aşağı (down), tılsım (charm), tuhaf (strange), üst (top) ve alt(bottom) olarak adlandırılır. Kuarklar taşıdığı kütle, elektriksel yük, spin ve renk yüküne bağlı olarak oluşturduğu parçacıkların özelliklerini belirler. Burada renk yükü kuarkların etkileşiminde önemli rol oynayan hayali bir yüktür ve gerçek renklerle alakası yoktur. Kuarklar kırmızı, mavi ve yeşil olmak üzere üç renk yükünü alabilir. Anti kuarklar için ise bu yükler antikırmızı, antimavi ve antiyeşil olacaktır. Kuarklar serbest halde bulunamazlar ancak birleşerek baryonları veya mezonları oluştururlar. Tablo 2.7 kuarkları ve sahip oldukları kuantumsal sayıları göstermektedir. Tablo 2.7. Kuarkları ve kuarkların sahip oldukları yük (Q), izospin (I), izospin z bileşeni (I 3 ), tuhaflık (S), tılsım (C ), bottom (B ), top (T ) sayılarını göstermektedir. Kuarklar sahip oldukları bu değerler, kuarkların bir araya gelerek oluşturmuş olduğu hadronların özelliklerini belirler. Q I I 3 S C B T 1.nesil Down -1/3 1/2-1/ Up 2/3 ½ ½ nesil Strange -1/ Charm 2/ nesil Bottom -1/ Top 2/ Kuarkların kütleleri ise Tablo 2.8 içinde belirtilmektedir. Kütlelerin net bir değeri yoktur, kütle değerlerini belirli bir aralıkta alırlar. 11

28 Tablo 2.8. Aşağı ve yukarı tip kuarkların sahip oldukları kütle değeri aralıkları [19]. Kuark Kütleleri (MeV/ c 2 ) Aşağı Kuarklar Yukarı Kuarklar u: (1,5-4,5) x 10 3 d: (5-8,5) x 10 3 c: 1,0-1,4 s: (80 155) x 10 3 t: 174,3 ± 5,1 b: 4 4,5 Kuarklar dört tip kuvvetin etkisi altındadır. Bunlar çekirdek içi kuvvetleri olan güçlü kuvvetler, çekirdek dışındaki nükleer kuvvetler olan zayıf kuvvetler, elektromanyetik kuvvetler ve kütle çekim kuvvetleridir. Kütlelerinden dolayı kütle çekim kuvvetleri ihmal ederiz. Kuarklar ve tüm diğer parçacıkların etkileşimi Standart Model ile incelenir. Standart Model tüm parçacıklar arasındaki etkileşimi parçacıklar arasındaki bozon grubu parçacıklarının değiş-tokuş edilmesiyle açıklar. Buna göre elektromanyetik kuvvetlerin oluşturduğu etkileşim spini s=1 olan foton tarafından sağlanır. Kuarklar arasındaki güçlü etkileşim s=1 spin değerine sahip 8 adet gluon aracılığıyla sağlanır. Zayıf etkileşimler ise spini s=1 olan W ± bozonları ile Z 0 bozonu sayesinde gerçekleşir. 12

29 3. PARÇACIK ETKİLEŞİMLERİ 3.1. PARÇACIK ETKİLEŞİM TEORİLERİ Doğada fiziksel olayların açıklanması için farklı fiziksel yasalar kullanılır. Düşük enerjili yani gözle görülür dünyadaki fiziksel olaylar klasik mekanik yasaları yani Newton yasaları ile açıklanırken yüksek enerjili fiziksel süreçleri açıklamak için kuantum mekaniği yasaları kullanılır. Yüksek enerjili ve çok küçük boyuttaki parçacıkların açıklanması için kuantum alan teorisi kullanılır ki bu teori 20. yüzyılın başlarında gelişmeye başlamıştır ve Standart Model in ortaya çıkması ile birlikte bu tip etkileşim süreçleri daha başarılı bir şekilde ele alınmıştır. Richard Feynman 1948 yılında parçacık etkileşim sürecini açıklayan diyagramları ortaya koydu ve bu diyagramlar ile etkileşimler görsel olarak kısmen açıklandı. Parçacık fiziği yasaları günümüzde henüz tamamen mükemmel olmayan ancak çoğunlukla başarılı sonuçlar veren Standart Model teorilerine dayanmaktadır Standart Model Standart Model (SM) evrende gravitasyonel kuvvetler hariç tüm etkileşimleri ele alabilmek için geliştirilmiştir. Standart Model maddenin temel taşlarının bozonlar ve leptonlar olduğunu söyler ve bozonların bu parçacıklar arasındaki kuvvet taşıyıcıları olduğunu söyler. Standart Model içerisinde doğadaki dört kuvvet mevcuttur. Bunlar kuvvetli, elektromanyetik, zayıf ve kütle çekim kuvvetleridir. Bu modele göre parçacıklar arasındaki elektromanyetik etkileşimler Kuantum Elektrodinamiği (QED) kuramı ile açıklanır. Kurama göre elektromanyetik kuvvetler arasındaki etkileşim γ sayesinde sağlanır. Standart Model kuarklar arasında gerçekleşen çekirdek içi güçlü etkileşimleri Kuantum Renk Dinamiği (QCD) ile açıklar. Standart Model parçacık etkileşimleri iyi bir biçimde açıklayabildiği halde yetersiz kaldığı yerlerde vardır. Örnek olarak yüksek enerjilere çıkıldıkça gerçekleşen etkileşimlerin hepsine Standart Model in cevap veremeyeceği söylenir ve bunun için Standart Model ötesinde (BSM) yeni fizik araştırılmaktadır. Buna ek olarak kuark ve leptonların temel parçacık olup olmadığına ve neden üç jenerasyona sahip olduğuna, bu parçacıkların dördüncü bir jenerasyonun var olma ihtimaline, evrendeki kayıp madde ve 13

30 evrendeki madde ve anti-madde arasındaki oran farkının fazla olmasına Standart Model net bir yanıt veremez. Standart Model elektromanyetik, zayıf ve kuvvetli etkileşimleri başarılı bir şekilde açıklamaktadır. Teorik olarak SM, SU(3) c x SU(2) w x U(1) γ ayar simetrisine dayalı bir kuantum alan teorisidir [19]. Burada SU(3) c güçlü etkileşimleri tanımlayan ve determinantı 1 olan 3x3 lük matristir. Bu matriste geçen C alt indisi renk yükünü temsil etmektedir. Bu ayar grubunun bozonları 8 adet gluondan oluşmaktadır. Elektrozayıf etkileşimleri ise SU(2) w x U(1) γ simetri ayar grubundan oluşur. SU(2) w ayar simetrisi determinantı 1 olan 2x2 lik bir matrisdir.u(1) γ iseelektrozayıf etkileşimlerin bir alt grubu olan elektromanyetik etkileşimleri açıklayan 1x1 liküniter bir matristir. Parçacık etkileşimlerini açıklayan bu dinamik teorilerinde Richard Feynman ın oluşturduğu diyagramlar kullanılır Feynman Diyagramları Feynman diyagramları rölativistik saçılma süreçlerini açıklamak için Richard Feynman tarafından ileri sürülmüş bir tekniktir. Bunun için Lorentz invaryant saçılım genliği olan µ fi niceliğine ihtiyaç duyulur. Bu genlik momentumu iyi bir biçimde tanımlanmış ilk durum ψ i > ile ψ f >final durumu momentumları tanımlanmış olan bazı parçacıkları içerir [20]. Feynman diyagramları µ fi genliğinin bileşenlerinin gösterildiği grafiklerdir. Diyagramlar oluşturulan veya yok olan parçacıkları anlatan vertice olarak adlandırılan noktalar ve verteks olarak adlandırılan çizgilerden oluşur. Buna göre fermiyon grubu bir parçacık diyagramda düz çizgi ile temsil edilir. Bozon grubu parçacıkları ise kesikli, dalgasal veya kıvrımlı çizgilerle belirtilir. Diyagramlar iki eksenden oluşur ki bu eksenler zaman ve uzayı göstermektedir. Zaman ekseninde seçtiğimiz yöne göre parçacıklar ve anti parçacıklar tanımlanır. Buna göre zaman ekseninde yukarı doğru hareket eden parçacığın anti parçacığı zaman ekseninde aşağı doğru hareket eder. Diyagramın içeriğine bakacak olursak ilk durum parçacığı vertekse doğru ( ) ile temsil edilir. Son durumdaki parçacık ise noktadan dışarıya doğru olan çizgi ( ) ile temsil edilir. Anti-parçacık için durum parçacığın tam tersidir. Anti parçacığı ilk durumda ( ) ile gösterilir ve son durumdaki parçacık ( ) ile temsil edilir. İlk 14

31 durumdaki foton ( ~) ile gösterilirken, son durumda açığa çıkan foton (~ ) ile gösterilir. Diyagramlar dörtlü momentumlarda iyi tanımlanmış durumlar arasındaki dönüşümleri gösterdiği için uzay ve zaman boyunca devam eden ara parçacıkların bileşenlerini de kolayca açıklar. Şekil3.1.Elektron - muon elastik saçılması için en basit Feynman diyagramı [20]. Şekil3.2.Elektron - muon elastik saçılması için daha karmaşık diyagramlar [20]. Diyagramları açıklarken Feynman kuralları olarak adlandırılan hesaplama yöntemleri kullanılır. µ fi genlik katkısını hesaplamak için her verteksi bir verteks faktörü ile birleştiririz. Fotonların elektronlarla etkileşimi için verteks faktörü g e dir. Burada g e boyutsuz yük veya çiftlenim sabitidir. Çiftlenim sabiti verteksteki kuvvet taşıyıcılarıyla parçacıklar arasındaki etkileşimin büyüklüğünü gösterir. Bundan dolayı elektromanyetik verteksler için yükle orantılı olarak boyutsuz bir niceliğe ihtiyaç duyarız ki bu ince yapı sabitidir. α = e2 (4πε 0 )ħc 1/137 (3.1) Burada g e uygun bir nicelik seçilerek eşitlik aşağıdaki gibi yazılabilir; 15

32 α EM = g e 2 4π (3.2) Başka bir deyişle çiftlenim sabiti e elektronik yükünün boyutsuz bir ölçümüdür. Foton ve elektron arasındaki çiftlenim büyüklüğüne baktığımızda; g e = 4πα EM (3.3) Her yüklü final parçacığının verteks faktörü Q f olarak alınır. Proton için bu değer g e Q f iken elektron için katsayı g e değerindedir ve üst kuarklar ise 2 3 g e değerindedir. Elektron saçılması için Şekil 3.3 örnek bir vertekstir. Şekil 3.3.Verteks faktörü g e olan elektromanyetik verteks [20]. Feynman diyagramları kullanılarak parçacıkların etkileşim süreçleri açıklanırken parçacıkların girmiş olduğu zayıf ve güçlü etkileşimler ayrı teorilerle ele alınır. Bu teorilerin içerisinde bulunan bu diyagramlar teorilerin getirdiği şartlara göre farklı düzenler almaktadır Kuantum Elektrodinamiği Parçacıklar arasındaki elektrozayıf etkileşimleri açıklayan bu teori kuantum alan teorisinin bir prototipidir. Teori Feynman diyagramlarını kullanarak elektro zayıf etkileşimleri açıklar. Elektro zayıf etkileşimleri açıklayan SU(2) w x U(1) γ simetri grubunun ayar bozonları ise γ, W ± ve Z 0 bozonudur. Burada teorinin matematiksel ayrıntılarını açıklamak yerine birkaç örnek vererek parçacık etkileşimlerini inceleyebiliriz. 16

33 Şekil 3.4.İki elektronun birbirleriyle etkileşimlerini göstermektedir. Burada iki elektron gelip bir elektronu paylaşır ve iki elektron tekrar çıkar. Klasik teoride Coulomb itmesi olarak adlandırılan bu etkileşim Kuantum Elektrodinamiğine (QED) Moller saçılması olarak adlandırılır [11]. Parçacıklar arasındaki elektro-zayıf etkileşimleri Feynman diyagramlarının farklı kombinasyonları ile anlatabiliriz. Bhabba saçılması olarak adlandırılan elektronpozitron yok olması sürecini de Şekil 3.5 aracılığıyla açıklarız. Şekil 3.5.Elektron-pozitron yok olması ( e + e + γγ) sürecini gösteren Feynman diyagramı. Yalnızca iki verteks kullanarak aşağıdaki diyagramlar sayesinde üç farklı etkileşim sürecini açıklayabiliriz. Şekil 3.6.Feynman diyagramları kullanarak elektrozayıf etkileşimlerin açıklanması [11]. 17

34 Kuantum elektrodinamiğinde fotonlar ile elektronlar arasındaki etkileşimin büyüklüğünü daha öncede bahsettiğimiz ince yapı sabiti α ile belirleriz. Belirli fiziksel bir işlemi incelemek istediğinizde öncelikle uygun dış çizgilerden oluşan diyagramların hepsini çizeriz, (iki köşeli (verticeli) olanları, 4 köşeli olanları vs. ) sonrada her bir diyagramın katkısını Feynman kurallarını kullanarak hesaplarız ve hepsini toplarız. Verilen dış çizgilerin Feynman diyagramlarının toplamı asıl fiziksel işlemi göstermektedir. Herhangi bir fiziksel işlem için sonsuz sayıda Feynman diyagramı çizilebilse de fazla köşesi olan diyagramlarda her bir diyagramın katkısı 1/137 katsayısıyla olduğu için 4 köşe den fazla olan diyagramlarda köşeler ihmal edilebilir Kuantum Kromodinamiği Parçacıklar arasındaki güçlü etkileşimleri anlatan teoridir. Hadronları oluşturan kuark ve gluonlar arasındaki etkileşimleri anlatır. Kuantum Kromodinamiği (QCD) etkileşimleri kuark kuark+gluon şeklinde tanımlar. Gluonlar çift renk yüküne sahip kütlesiz parçacıklardır. Bir birim pozitif ve bir birim negatif yük taşıyan gluonlar için 3 3=9 farklı renk ihtimali vardır. Kuantum kromodinamiği matematiksel olarak SU(3) c simetri grubu ile açıklanır. QED içerisinde geçen ince yapı sabitine benzer olarak güçlü etkileşimleri α s olarak tanımladığımız çiftlenim sabiti ile açıklarız. İki sabiti birbirlerine kabataslak oranlarsak; α s = α ~100 (3.4) Ancak açık bir şekilde bu sabiti; g s 2 /(4π)~1 olarak yazabiliriz ki burada g s kuark bileşenlerinin yük gücü olarak tanımlanır. QCD de gluonların kütlesiz olmasından dolayı potansiyeli 1/r ile değişecek şekilde tanımlarız [1]. V s = 4 3 α s r + kr (3.5) Güçlü etkileşimlerde renk yükü korunacak şekilde kuarklar birbirleriyle tepkimeye girerler. Şekil 3.7 bu etkileşimi Feynman diyagramı ile açıklayan yapıdır. 18

35 Şekil 3.7. Başlangıçta kırmızı renk yüküne sahip üst kuark ile son durumdaki mavi renk yüküne sahip üst kuarkın bir birim mavi yük ve bir birim anti kırmızı yük taşıyan gluon sayesinde etkileşmesi [11]. Yüksek enerjili saçılımlar ve bozunumlar güçlü etkileşimlere örnektir. Şekil 3.8 yüksek enerjili ++ p + π + bozunumunu gösteren bir diyagramdır. Şekil p + π + bozunum reaksiyonu. Düz çizgiler kuarkları temsil ederken spiral şeklindeki çizgi ile aracı parçacık olan gluon temsile edilir [1]. Kuantum Kromodinamiği renk hapsi denilen kuarkların yalnız başına bulunamayacağı olgusunu söyler. Buna göre renk yüklü parçacıkları (kuarklar ve gluonlar) birbirlerinden ayırmaya çalıştığımızda, aralarındaki renk kuvveti sabit bir değere yaklaşır ve renk-kuvvet alanında depolanan enerji artar. Bu enerji, sonunda fazladan kuark ve anti-kuark çiftlerine dönüşür. Sonunda ortaya çıkan bu parçacıklar (mezonlar ve baryonlar), hadron olarak adlandırılan renk yükü olmayan parçacıklardır. Kuantum kromodinamiği teorisi yalnızca kısa mesafelerde geçerlidir ve bu teorinin ortaya koymuş olduğu çiftlenim sabiti etkileşim mesafesinin artmasıyla değişkenlik gösterebilir. Uzun mesafelerdeki etkileşimleri bu teori ile ilişkilendirerek açıklamak için String Teori kullanılır. Bu teori henüz tam olarak ideal bir seviyede değildir. QCD teorisini kullanarak yüksek enerjili etkileşimler olan bozunumlar ve saçılma reaksiyonlarını açıklayabiliriz. 19

36 3.2. PARÇACIK BOZUNUMLARI VE SAÇILMALAR Parçacık bozunumu bir veya birden çok parçacığın farklı parçacıklara dönüştüğü yüksek enerjili bir süreçtir. Gerçekleşen bu süreçte ilk durumda bulunan parçacıklar kendisinden daha düşük enerjideki parçacıklara dönüşür. Bu süreçte hadronları oluşturan kuarklar birbirlerine dönüşerek yeni parçacıkları oluşturur. Saçılma ise bir parçacığın başka bir parçacıkla çarpıştırılarak farklı parçacıklar elde edilmesi olayıdır. Bozunum sürecine örnek olarak ρ + π + π 0 tepkimesini verebiliriz. Şekil 3.9 bu süreci açıklayan Feynman diyagramını göstermektedir. Şekil 3.9.ρ + π + π 0 tepkimesini açıklayan Feynman diyagramı. Diyagram kuarklar arasındaki etkileşimleri göstererek bozunum sürecini açıklamaktadır [1]. Kuarklar yüklü W + veya W bozonlarını soğurarak veya yayarak başka kuarklara dönüşür. Enerji korunum yasasına uyacak şekilde kuarklar genel olarak bulunduğu jenerasyonun kuarkına dönüşür. Ancak zayıf ve güçlü öz durumlarda ki farklılığa bağlı olarak farklı jenerasyonların kuarklarına da dönüşebilir. Kuark karışımı, CP ihlali için gerekli fazı sağlayan Cabibbo Kobayashi - Maskawa matrisiyle ifade edilir [21]. Cabibbo Kobayashi Maskawa tarafından oluşturulan (CKM) matrisi sayesinde aşağı tip kuarkların öz durumları ( d >, s >, b ) ile ( d>, s >, b >) güçlü öz durumları arasında ilişki kurar [22]. Parçacık bozunumu ve parçacıkların saçılma deneyleri yüksek enerjilerdeki etkileşimler olduğundan bu tür süreçleri izafi matematiksel hesaplamalarla buluruz. Etkileşimlerin son durumunda açığa çıkan parçacık sayısına göre ve etkileşen parçacıkların kuantumsal özelliklerine göre bu süreçlerin kinematiği bulunur ve bu 20

37 etkileşimlerin özellikleri incelenir. Şayet son durumda açığa iki parçacık çıkıyorsa bu etkileşimin kinematiğin basit olarak momentum korunumu ve enerjinin korunumu yasalarını kullanarak açıklayabiliriz. Ancak son durumda açığa üç parçacığın çıktığı etkileşim süreçlerini daha sonra değineceğimiz Dalitz grafikleri sayesinde açıklayabiliriz. 3.3 PARÇACIK ETKİLEŞİMİNDEKİ EVRENSEL SİMETRİ YASALARI Bu bölümde daha önce kısmen bahsetmiş olduğumuz C ve P simetrilerine ek olarak T simetrisini ve bu simetrilerin parçacık etkileşimlerindeki korunmasını ve bu simetrilerin bozulma durumlarını ele alacağız. P simetrisi daha öncede bahsetmiş olduğumuz gibi parite simetrisi anlamına gelir ve fiziksel yasaların tüm koordinat eksenleri için aynı kalacağını söyler. Buna göre parite transformasyonu tüm koordinatlar için bir ayna görevi görür. Parite transformasyonu altındaki bir dalga fonksiyonunu aşağıdaki gibi yazabiliriz. Pψ(x ) ψ( x ) (3.6) Kuantum mekaniğinde parite değişmezliği etkileşim potansiyeli V(x) in parite transformasyonu altında değişmediği bir özelliktir. Bu transformasyon altındaki potansiyeli aşağıdaki denklemle ifade edebiliriz. V(x ) = V( x ) (3.7) Bu değişmezlik ile dalga fonksiyonunun ilk durumundan son durumuna geçiş olasılığını aşağıdaki gibi yazabiliriz. ψ( x )ψ ( x ) = ψ( x )ψ ( x ) (3.8) Bu denklem ilk durumdan son duruma geçişteki olasılığın Pi Pf aynı olduğu ortaya koymaktadır [23]. Parite simetrisi elektromanyetik, kütle çekimsel ve güçlü etkileşimlerde korunmasına rağmen zayıf etkileşimlerde bu simetri korunmayabilir. Bu simetrinin 21

38 kırılmasına örnek olarak Co-60 çekirdeğinin beta bozunması deneyinin sonucunda parite simetrisinin korunmadığı gözlemlendi. Bu simetri kırılmasının izahı bir takım parçacıklara sarmalık dediğimiz spin yönelim değerlerinin verilmesiyle yapıldı. Buna göre parçacıkların spin yönelimi sağ elde ve sol elde olarak ayrılır. Tüm nötrinolar sol elli parçacık olarak adlandırılırken anti nötrinolara sağ elli parçacık olarak adlandırılmaktadır. Şekil Parçacıkların spini ve hızları paralel olan (a) helisiti değeri +1 olan parçacık (b) spini ve hızları (a) parçacığına anti-paralel, helisiti değeri -1 olan parçacık [11]. C ise yük eşleniği altında fiziksel kuvvetlerin bir simetrisidir. Yük eşleniği transformasyonu parçacık anti-parçacığa dönüştürür. Elektromanyetizma, güçlü kuvvetler ve yerçekimi bu simetriye uysa da zayıf kuvvetler bu simetriye uymamaktadır. Yük eşleniği transformasyonu parçacığın spin ve momenti dışındaki tüm kuantum sayılarının işaretini değiştirmektedir. C N, p, s > = η C N, p, s > (3.9) Eşitlikteki η'c değeri faz faktörüdür. Bu eşitlikten ek kuantum sayılarının tümünün sıfır olması durumunda parçacığın yük konjügasyonunun öz değeri olduğunu anlıyoruz. Örnek olarakπ 0 ele alındığında aşağıdaki denklem elde edilir. C π 0 > = + π 0 > (3.10) Bu özellik yarı konjüge durum olarak adlandırılır. Yük eşleniği simetrisi parçacık fiziğinin önemli bir parçasıdır. Eğer π + µ + νpion bozunum tepkimesine bu transformasyon uygulanırsa π µ ν tüm parçacıklar anti parçacıklar ile değişir. Bu dönüşüm durumunu Şekil 3.11 göstermektedir. 22

39 Şekil π parçacığı bozunumunun yük konjügesi transformasyonu altındaki değişimi. Şekilde görülen bu π bozunumu doğada görülmemektedir. Bu zayıf kuvvetlerin yük eşleniği altında değişmez olmadığını göstermektedir. Bu simetrilerin dışında birde zamanı tersine götüren T (zaman) simetrisi vardır. Zaman simetrisinde ise bir durum t t şeklinde bir duruma dönüşür. C ve P simetrileri parçacık etkileşimleri için önemli bir yer tutmaktadır. Bu simetrilerin birleşimini bir tepkimeye uyguladığımızda C veya P simetrisi altında farklı davranış gösteren bir tepkimenin bu iki simetrinin birleşimi olan CP simetrisi altında farklı sonuçlar verebilmektedir. Pion deneyine yeniden bakacak olursak π + bozunumuna yük konjugasyonu uygulandıktan sonra parite transformasyonunu da uygularsak π + bozunumunun CP transformasyonunu elde ederiz. Şekil 3.12 bu simetri operatörlerinin pion bozunumuna uygulanması gösterilmektedir. Şekil 3.12.Pion deneyi için C, P ve CP simetrilerinin uygulanması ve bu dönüşümler altındaki parçacıkların değişim süreçleri [24]. C-transformasyonu doğada görünmese de son durum görülmüştür. Bu zayıf kuvvetlerin P altında yada C altında değişmez olmadığını ama CP transformasyonu 23

40 altında değişmez olduklarını göstermektedir. Şekil 3.13 ise sol elli parçacık olan nötrinolar için C, P ve CP simetrileri altındaki değişimi göstermektedir. Şekil 3.13.P, C ve CP simetrileri altındaki nötrinolar için ayna yansıması [25]. Doğadaki etkileşimlerin çoğunda bu simetriler korunurken zayıf etkileşimlerde bu simetrilerin kırılmaları söz konusudur. Bu simetrilerin doğadaki etkileşimlerdeki korunum durumu Tablo 3.1içerisinde verilmektedir. Tablo 3.1. Etkileşim tiplerine göre C, P, T, CP ve CPT simetrilerinin korunma durumlarını anlatmaktadır. Etkileşim Tipi C P T CP CPT Güçlü Etkileşim Elektromanyetizma Yer Çekimi Zayıf Etkileşim - -?? + CP simetrisi evrendeki madde ve anti-madde arasındaki ilişkiyi açıklaması açısından etkileşimlerde bu simetrinin korunmasının önemi büyüktür. Standart Model bu simetriyi ve bu simetrinin kırılmasını açıklamak için metotlar geliştirilmiştir. Bu simetrileri ayrıca Dalitz grafiklerini kullanarak Bölüm 4 te tekrar inceleyeceğiz. Buna göre etkileşimlerde CP simetrisini ve bu simetrinin kırılmasını grafikler üzerinde gözlemleyeceğiz. 24

41 4. DALITZ GRAFİKLERİ Parçacık bozunumlarını açıklamak için kullanılan Dalitz grafik metodu sayesinde bozunum süreci iki boyutlu bir grafik üzerinde incelenir. Bu bölümde Dalitz grafikleri analiz tekniğini ele alarak parçacık bozunum süreçlerine değineceğiz. 4.1 Dalitz Grafikleri ve Kullanım Amacı Dalitz grafikleri son durumunda üç parçacık ve yalnızca spini sıfır olan bozunumları görsel olarak göstermektedir [28]. Buna göre son durumunda üç parçacık olan X abc tipi bir bozunumu iki boyutlu bir grafik üzerinde incelenir. Eksenleri bu parçacıklar için muhtemel çiftlenimler olan ab, ac ve bc nin çiftlenmiş kütlelerinin karesi oluşturur. Dalitz grafiği üzerine her bir bozunum olayı bir nokta olarak grafik üzerine yerleştirilir ve son durumda açığa çıkan parçacıkların enerjilerini ve bozunum genliğini temel alarak bozunum kinematiğini ve bozunum sürecini inceler. Dalitz grafikleri Richard Dalitz tarafından ilk kez 1954 yılında ileri sürüldüğünde günümüz grafiklerinden farklıydı. Dalitz grafiklerinin eski tipleri bozunan parçacıkların spin ve paritesini belirlemeye yönelik kullanılmaktaydı. Günümüzde kullanılan Dalitz grafikleri ise açığa çıkan parçacıkların spini, etkileşimdeki simetri korunum yasalarının korunup korunmadığı, ara parçacıkların olup olmaması durumları gibi soruları yanıtlayarak bozunum sürecini açıklamaktadır. Örnek olarak B + π + π K + bozunumunun Dalitz grafiği Şekil 4.1 içerisinde gösterilmektedir. Şekildeki grafikte eksenleri son durumda açığa çıkan π + π parçacıkları ile K + π parçacıklarının çiftlenmiş kütlesinin karesi oluşturmaktadır. Meydana gelen bozunumları enerjilerine göre eksen üzerine yerleştirilmektedir. 25

42 Şekil 4.1.B + π + π K + bozunumunun Dalitz Plot üzerinde gösterimi. 4.2 Dalitz Grafikleri Analiz Teknikleri Dalitz grafikleri X abctipi bir etkileşim için bozunum sürecini açıklar. Buna göre spini sıfır olan etkileşim için süreç her bir bozunum olayının enerjilerine göre grafik eksenleri üzerine birer nokta olarak yerleştirilir. Grafik üzerindeki noktasal dağılım incelenerek bozunum süreci açıklanır. Şekil 4.2Dalitz grafiğini ve eksenlerini göstermektedir. Buna göre grafiğin eksenlerini aşağıdaki denklemlerle açıklayabiliriz. x = m ab 2 (4.1) y = m ac 2 (4.2) m ab 2 = (p a i + p b i ) 2 (4.3) Burada m ab 2 ve m ac 2 ifadeleri Dalitz grafiğinin eksenlerini oluşturan çiftlenmiş olan parçacıkların invaryant kütlelerinin karesidir, p a i ve p b i ise a ve b parçacıkları için dörtlü momentumlardır. 26

43 Şekil 4.2.Düzenli bir dağılım gösteren etkileşim için farazi oluşturulmuş Dalitz grafiği ve eksenleri [26]. Dalitz grafiğini oluşturan noktaların her biri bozunumu temsil ettiğinden etkileşime giren parçacıkların bozunum oranlarıyla grafikteki noktasal popülasyon değişecektir. Bozunum oranı ve Dalitz grafiği analizinin temel aldığı formüllere daha sonra değineceğiz. Dalitz grafikleri günümüzde esas olarak bozunum sürecinde rezonans tepkimesinin olup olmadığını inceler. Üç parçalıklı bozunum sürecinde Dalitz grafiklerinin temel aldığı modele göre bozunum direkt gerçekleşebileceği gibi ara parçacığın bulunduğu rezonans tepkimesiyle de gerçekleşebilir. Rezonans tepkimesine göre parçacık önce iki parçacığa bozunur ve ardından bir ara tepkime daha olur ve son durumda üç parçacık gözlemlenir. Bu tip bir bozunum X rc, r ab ve son durumda X abc şeklinde gerçekleşir.bu bozunum aşağıdaki bağıntının sağlanmasıyla gerçekleşir [27]. m r 2 = m ab 2 (4.4) Şekil 4.3 bu bozunum sürecini anlatmaktadır. 27

44 Şekil 4.3.Rezonans tepkimesini içeren üç parçacıklı bir bozunum sürecinin gösterilmesi. Bozunum yüksek enerjili bir tepkimedir ve çok hızlı gerçekleşir. Bu yüzden bu tip bozunumlar direkt gözlemlenemez ve Dalitz grafiğinde bulunan noktaların popülasyonu rezonans tepkimelerinin olup olmadığı hakkında bilgi verir. Buna göre grafik üzerinde yan bantlar olarak adlandırılan grafik eksenlerinde noktasal yoğunluk artışları gözlemlenir. Yoğunlukların arttığı eksenlerdeki çiftlenmiş parçacıklar rezonans tepkimesi sonucu açığa çıkan parçacıklardır. Şekil 4.4 muhtemel rezonanslar için Dalitz grafiklerinde oluşacak yan bantları göstermektedir. Şekil 4.4.Bozunum sürecinde oluşabilecek üç farklı rezonans tepkimesi için Dalitz grafikleri. Üç farklı grafik üç farklı rezonans tepkimesi için oluşacak yan bantları göstermektedir. Dalitz grafikleri spini sıfır olan tepkimeleri ele almaktadır. Tepkimenin toplam spini sıfır olduğu halde rezonans tepkimelerinin spinleri sıfır yada sıfırdan farklı olabilir. Buna göre rezonans tepkimeleri 0, 1, 2 spin değerlerine sahip olabilir. Rezonans 28

45 tepkimelerinin spinlerinin değerlerini Dalitz grafiklerinde oluşacak yan bantların şekillerinden anlarız. Şekil 4.5 bu spin değerleri için oluşacak yan bantları göstermektedir. Şekil 4.5. Spinleri 0, 1 ve 2 olan üç farklı tepkime için oluşacak Dalitz grafikleri. (a) Spini 0 olan rezonans durumu (b) Spini 1 olan rezonans durumu (c) Spini 2 olan rezonans durumu [27]. Rezonans tepkimelerini ve bozunum sürecini açıklayan temel yaklaşım İzobar Model tekniğidir. Ayrıca süreci açıklamak için modelden bağımsız olarak farklı tekniklerde kullanılır. Bu modeller kullandığı formüllerle bozunum sürecinin kinematiğini açıklayarak etkileşimin fiziksel özelliklerini ortaya çıkarır İzobar Model İzobar Model rezonans tepkimelerine sahip olan etkileşimleri açıklar. Buna göre bozunum direkt veya ara tepkimelerle gerçekleşebilir. Bu modele göre direkt bozunumlar ve rezonans tepkimelerinin genliğin toplamı bozunum genliği dediğimiz bozunum oranını oluşturmaktadır. Şekil 4.6 oluşabilecek bu tipteki bir etkileşimi göstermektedir. Şekil 4.6.Son durumunda üç parçacık bulunan bozunum için direkt bozunum ve farklı oluşabilecek rezonansların toplamını göstermektedir. 29

46 İzobar Model içerisinde bozunumu açıklayabilmek için öncelikle bazı parametrelere değineceğiz. Buna göre üç parçacıklı bir bozunumu ele alalım. Şekil 4.7 üç parçacığa bozunan bir parçacığı göstermektedir. Şekil 4.7.Başlangıç kütlesi M ve momentumu P olan bir parçacığın m 1, m 2, m 3 kütleli ve p 1, p 2, p 3 momentumlu parçacıklara bozunumunu anlatmaktadır. Bu bozunumu ele aldığımızda oluşabilecek rezonans tepkimeleri için kütleleri aşağıdaki gibi eşitleriz. m m m 23 2 = M 2 + m m m 3 2 (4.5) Bu denklemdeki M ifadesini bozunum oranında da kullanırız. Γ = 1 (2π) 3 32 s 3 ς 2 dm ab 2 dm bc 2 (4.6) Burada s = M 2 dir. Ayrıca denklemdeki m ab ifadesi a ve b parçacıklarının invaryant kütlelerinin kareleridir. Genlik sabiti tüm kinematik faktörleri içerir ve ς 2 ifadesi ise dinamikleri içerir. Eğer ς 2 ifadesi sabit ise Dalitz Plot üzerindeki dağılım düzenli olacaktır. Rezonans tepkimesini içeren bir R rc, r ab tipi bozunumu ele aldığımızda µ ifadesini aşağıdaki gibi yazabiliriz; ς r (J, L, l, m ab, m bc ) = < ab r λ > T r (m ab ) < cr λ R j > λ = Z(J, L, l, p, q )B L R ( p )B L r ( q )T r (m ab ) (4.7) 30

47 Buradaki toplam r nin sarmallık durumları olan λ üzerinden alınır. J ise R parçacığının toplam açısal momentumudur. L niceliği r ve c parçacıkları arasındaki orbital açısal momentumdur, p ve q r durgun çerçevesindeki a ve c parçacığının R r momentumudur, Z final durumu parçacıklarının açısal dağılımını tanımlar. B L ve B L nicelikleri ab ve rc çiftlenimlerinin ürünleri için bariyer faktörleridir ve T r ise r rezonansının dinamik fonksiyonunu tanımlamaktadır. Genlik Dalitz grafik modeli için fenomenolojik bir objedir. Z, B L ve T r gibi parametrelerdeki farklılıklar ayrı deneylerden gelen sonuçların karşılaştırılmasını zorlaştırmaktadır [28]. İzobar Model birden fazla rezonansın olması halinde bu rezonans genliklerinin birbirlerini destekleyecek yönde toplanmasını öngörmüştür. Buna göre rezonansların genlikleri tıpkı Young un çift yarık deneyinde olduğu gibi girişime neden olunabilir. Bu tip bir bozunum Şekil 4.8içerisinde verilmektedir. Şekil 4.8.Birden fazla rezonans durumunu içeren üç parçacıklı bir bozunumu gösteren diyagram [27]. Bu tipte bir rezonans veya birden fazla içeren etkileşimleri İzobar Model içerisinde Breit Wigner formülü olarak adlandırılan denklemlerle ifade edilebilir. Breit Wigner formüllerine (4.7) denklemini ele alarak ulaşabiliriz. Buna göre (4.7) denkleminde bariyer faktörü yani Blatt Weisskopf fonksiyonu olarak adlandırdığımız B L niceliği Tablo 4.1 içerisinde verilmektedir. Güçlü bir etkileşimde maksimum açısal momentum olan L değeri lineer momentum olan q tarafından sınırlandırılır. Yavaş bir şekilde hareket eden parçacıklar ile bir mezonun yarı çapı olan 1 fm değerine eşit olan d etki parametresi rezonans spininin korunumunda açısal momentumun elverişli olarak genelleştirilmesinde zorluklar yaşar. Blatt Weisskopf fonksiyonu ağırlıkla spine bağlı etkileşimlerin 31

48 reaksiyon genliklerini açıklar. Bu fonksiyonlar z = ( q d) 2 = 1 değeri için B L = 1 değerinde normalize edilir. Ayrıca tabloda m ab = m r olduğu anda q = q 0 değerindeki z = z 0 = ( q 0 d) 2 =1 içinb L =1 olarak normalize edilir. Tablo 4.1.Blatt Weisskopf bariyer faktörü değerleri [28]. L B L (q) B Lʹ(q, q 0 ) z 1 + z 1 + z z 2 13z 2 (z 3) 2 + 9z (z 0 3) 2 + 9z 0 (z 3) 2 + 9z Bozunum sürecini açıklayan denklemleri kurarken etkileşime giren parçacıkların açısal dağılımı önemlidir. R rc, r ab şeklinde bozunum sürecine sahip ve ayrıca a, b ve c parçacıklarının tamamının spinlerinin 0 olduğu bir etkileşim için Zemach formülleri [29, 30] açısal dağılımın özdeş biçimde tanımını verir. L = 0, 1, 2 değerleri için açısal dağılım Tablo 4.2 içinde verilmektedir. Tablo 4.2. Durgun çerçevedeki r rezonansının a ve c parçacıkları arasındaki θ açısına sahip olduğu durumundaki L = 0, 1, 2 değerleri için açısal dağılımı göstermektedir. Tablo içerisinde bulunan ve açısal dağılımı belirleyen niceliklerden 1 + ξ 2 = E r /m ab değeri relativistik katkıdır ve E r = (m 2 R + m 2 ab m 2 c )/2m R değerine eşittir. J L + l Açısal Dağılım 0 Düzenli 1 (1 + ξ 2 )Cos 2 θ 2 ξ (Cos 2 θ 1/3) 2 32

49 Rezonans bozunumundaki spini 0 olan a ve b parçacıklarının yaygın Breit Wigner formülü aşağıdaki denklemde verilmektedir. T r (m ab ) = 1 m 2 r m 2 ab im r Γ ab (q) (4.8) Burada Γ ifadesi kütleye bağlı genişliktir ve aşağıdaki denklemle verilir.ayrıca ifade içerisinde geçen m ab ifadesi oluşabilecek mümkün üç rezonans çiftlenmiş parçacığından rastgele birisini göstermektedir. Γ = Γ r q q r 2L+1 m r m ab B Lʹ(q, q 0 ) 2 (4.9) Breit - Wigner formülü ile izole, üst üste gelmemiş ve ek bozunum kanallarının eşik değerlerinden uzak değerlerdeki rezonanslar en iyi bir biçimde tanımlanır. Rezonans parçacıklarının ömürlerini ele alacak olursak Heisenberg belirsizliğini kullanacak olursak ( E). ( t) ħeşitliğinden kısa ömürlü rezonansların daha büyük enerjilere dolayısıyla daha geniş bir tepeye sahip olacağını gözlemleriz. Bu yolla Γ genişliğinin yarı ömürle ters orantılı olduğu gözlemlenir. Denklem (4.8) de verilen izafi Breit Wigner genlik hesabından faydalanarak genliğin şiddeti ve fazı arasındaki bağıntı aşağıdaki gibidir. A i = BW i Ω i (4.10) Burada BW i izafi Breit Wigner ifadesini ve Ω i açısal dağılımı sembolize etmektedir [31]. A = A e i (4.11) Şekil 4.9 elde etmiş olduğumuz genliğin şiddet ve faz grafiğini göstermektedir. 33

50 Şekil 4.9.Rezonansların büyüklükleri ve fazlarını gösteren diyagram. İzobar Model in oluşan rezonans tepkimelerinin birbirlerini destekleyecek yönde olduğunu söyler ve bu yaklaşımla rezonans tepkimesinin olmadığı ve rezonans tepkimesinin var olduğu etkileşim genliklerini toplayarak toplam genliği bulur. Buna göre toplam genlik ifadesi aşağıdaki denklemde olduğu gibi yazılır. A = a o e iδ 0 + a i e iδ i i A i (4.12) Burada ilk terim rezonansın olmadığı durumdaki genlik ifadesidir. a i ve δ i maksimum olabilirlik yaklaşımı ile ölçülen sabitlerdir ve A i her bir rezonans kanalının genliğidir. δ 0 rezonanssız durumdaki faz ifadesini gösterirken δ i rezonanstaki zayıf ve güçlü fazları içerir. Bu yol sayesinde farklı izobarların birbirleriyle bağımlı fazları ölçülebilir. Şekil 4.10 ve Şekil 4.11rezonans tepkimelerini yapıcı ve yıkıcı girişim şeklindeki durumlarını ve Şekil 4.12 ise kesişim rezonanslarının girişimini Dalitz grafiğini kullanarak göstermektedir. 34

51 Şekil Rezonans tepkimesine sahip bir etkileşim için Dalitz grafiği ve bu tepkimedeki yapıcı girişim fazı ve büyüklüğü. 35

52 Şekil Rezonans tepkimesine sahip bir etkileşim için Dalitz grafiği ve bu tepkimedeki yıkıcı girişim fazı ve büyüklüğü. Şekil Kesişim rezonanslarına sahip etkileşimler için Dalitz grafikleri [30]. 36

53 İzobar Model yaklaşımı Dalitz grafikleri analiz tekniği için temel bir modeldir ancak bu yaklaşım bazı kompleks durumlardaki verilerin fit edilmesi için yetersiz kalmaktadır. Bu tip durumlardaki verilerin fit edilmesi için ve bu durumların analizi için modelden bağımsız teknikler olarak adlandırılan veri analizi yöntemleri kullanılmaktadır Modelden Bağımsız Analiz Teknikleri İzobar Model yaklaşımı ile Dalitz grafiklerini tam anlamıyla kusursuz bir biçimde analiz edilemez. Bu model dar ve izole edilmiş rezonans durumlarının verilerinin fit edilmesini iyi bir biçimde açıkladığı halde geniş genliğe sahip ve üst üste binmiş rezonans genliklerine sahip etkileşimlerin verilerini fit etmekte yetersiz kalmaktadır. Modeldeki bu yetersizliklerden dolayı modelden bağımsız olarak metotlar geliştirilmiştir ki bu metotlar ile farklı rezonans durumlarına sahip tepkimeler açıklanabilmektedir K Matris Yaklaşımı Dalitz grafiklerinin analizinde temel bir yaklaşım olan İzobar Model geniş tepelere sahip ve üst üste binmiş rezonans durumlarını açıklamakta yetersiz kalır. Bu tipte rezonans tepkimelerine sahip etkileşimler için elde edilen verileri K Matris yaklaşımı ile fit edebiliriz. Bu yönteme göre toplam genlik ifadesini rezonans kutuplarının toplamı şeklinde yazılabilen K matrisinin elemanları ve Breit Wigner ifadesinden gelen ifadelerinin toplamı şeklinde yazabiliriz. Bu yaklaşımın ilk adımı olarak herhangi bir etkileşimdeki ilk durum ve son durum genlikleri arasında bağlantı kuran S (Scattering Matrix) saçılım matrisini yazarak başlayalım. S fi =< f S i > (4.13) Saçılım operatörü olan S üniterdir ve SS = I ifadesini sağlamaktadır. Bu ifadeden yola çıkarak T i (Transition Operator) dönüşüm matrisini aşağıdaki gibi yazabiliriz. S = I + 2iT i (4.14) 37

54 Bu denklem sayesinde aşağıdaki eşitlikleri yazmak mümkündür. T i 1 T i 1 = 2iI (4.15) T i 1 + ii = (T i 1 + ii) (4.16) Yukarıda verilen denklemlerde (T 1 i + ii) ifadesinin Hermityen bir operatör olduğunu görmekteyiz. Buradan yola çıkarak K matrisinin operatörünü aşağıdaki gibi tanımlarız. K 1 = (T i 1 + ii) (4.17) Bu denklem bize K = K bağıntısını vererek K matrisinin de Hermityen olduğunu söylemekte ve ayrıca S ve T i matrislerinin zamanda dönüşümleri K operatörünü simetrik yapar. K matrisi terimlerinden yola çıktığımızda sonuç olarak aşağıdaki eşitlikleri elde ederiz ki bu denklemler sayesinde K matrisi olarak adlandırdığımız operatör simetrik ve reel seçilebilmektedir [32]. T i = K(I ik) 1 (4.18) S = (I + ik)(i ik) 1 (4.19) K matris yaklaşımı farklı rezonans kanallarından gelen verileri fit edebilmektedir. Buna göre birden çok kutuplu ve kanallı rezonanslara sahip etkileşimleri incelemekte bu yöntemi kullanırız. Bu yaklaşımla farklı etkileşimlerden gelen sinyalleri toplam genlik ifadesi içerisinde yazabiliriz. Bu işlem yapılırken daha sonra değineceğimiz kısmi dalga analizi sayesinde farklı ürün parçacıkları için gelen farklı dalgalar kullanılmaktadır. Bahsedilen kutuplar rezonans durumlarını, kanallar ise farklı çiftlenim ürünlerini anlatmaktadır. K matris formülünü en genel olarak aşağıdaki denklemle ifade edebiliriz. 38

55 K ij = m αγ αi (m)m α Γ αj (m) α (4.20) (m 2 α m 2 ) ρ i ρ j Denklem α rezonans kutupları üzerinden bir toplamdır. Etkileşimde birden fazlarezonans durumu olması halinde toplam olarak denkleme ekleriz. Γ αi ve Γ αj bozunum oranlarını i ve j kanalları için vermektedir. ρ i ise faz uzay faktörüdür. Bu denklemden yola çıkarak tek kutup ve tek kanala sahip bir etkileşimde K matris formülünü aşağıdaki gibi ifade ederiz. K = m 0Γ(m) m 0 2 m 2 (4.21) edebiliriz. Bu denklem ile T i relativistik Breit Wigner formülünü aşağıdaki gibi ifade T i = K(I ik) 1 = m 0 Γ(m) m 2 0 m 2 im 0 Γ(m) (4.22) Örnek olarak iki kutup ve tek kanala sahip bir etkileşimi ele aldığımızda K matrisi aşağıdaki eşitlikle ifade edilir. K = m αγ α (m) m α 2 m 2 + m βγ β (m) m β 2 m 2 (4.23) Bu formülasyon ab cd tipi iki parçacıklı saçılım durumundaki S dalgası ürünlerini sağlamaktadır. Charm içerikli mezonlar gibi bozunum süreçlerindeki rezonansların ürünlerinin tanımlanması bu yaklaşım sayesinde genelleştirilebilir. Buradaki anahtar yaklaşım K matrisi tarafından tanımlanmış iki parçacıklı sistemin durgun final durumu ile etkileşmemesidir. Bu yaklaşımın geçerliliği π p π 0 π 0 n gibi reaksiyonlar ve D Kπlν etkileşimi gibi yarı leptonik tepkimeler için geçerlidir [27]. Ek olarak Breit Wigner modelinin garanti edemediği durumdaki üniterlik cebirinin uygulanmasına direkt bir yol sağlar. Bundan dolayı K matris modeli çok kanallı bozunumlardaki geniş ve üst üste binmiş rezonans durumları için ve Breit 39

56 Wigner modelinin temel sınırlaması olan D 0 K 0 s π π + etkileşimindeki ππ S- dalgası durumlarının parametrelerini çözümlemesi için uygundur. Bu durumda Dalitz grafiğinin genliği A D (m 2, m 2 + ) için spini 1, 2 ve 0 spinli Kπ için iki parçacıklı bozunum matrisinin elemanlarının toplamı olarak yazılabilir (Breit Wigner modeli gibi) ve bu ππ spin 0 kısmı K matrisinin terimlerinde bulunan F 1 olarak yazılarak ifade edilir. Buna göre aşağıdaki denklemle K matrisi elemanlarını kullanarak toplam genlik ifadesini yazabiliriz. A D (m 2, m + 2 ) = F 1 (s) + a r e iφr A r (m 2, m + 2 ) r ππ S dalgası (4.24) Bu denklemdeki F 1 ifadesi ππ S dalga durumlarının katkısıdır ve aşağıdaki eşitlikle ifade edilir. F 1 (s) = [I ik(s)ρ(s)] 1j 1 P j (s) j (4.25) Burada s niceliği ππ sisteminin çiftlenmiş kütlesinin karesini (m π + π )2 göstermektedir, I birim matristir, K niceliği S dalgası saçılım sürecini tanımlayan matristir, ρ faz uzay matrisidir ve P ise ilk durum üretim vektörüdür. P vektörü ile açık kanallardaki rezonans ürünlerini belirli parametrelerle ifade ederiz. P j (s) = β α αg j α m 2 α s + f ij prod 1 s 0 scatt s s 0 scatt (4.26) Bu denklemdeki j indeksi ile j inci kanalı gösteririz (1=ππ, 2=KK, 3=multi mezon, 4=ηη, 5=ηηʹ). K matrisi elemanları 1900 MeV/c 2 eşik değeri civarındaki uygun ππ saçılımının global fit değerlerinden elde edilir. K ij (s) = g i α α g j + f m 2 α s ij scatt 1.0 s scatt α 0 (1 sa0) s sscatt 0 (s s 2 Am π (s s A0 ) 2 ) (4.27) 40

57 Tablo 4.3. [33, 34] kaynaklarından elde edilen K matris parametreleri. Kutup kütleleri ve (m α ) ve çiftlenim sabitleri (g i α ) GeV/c 2 boyutunda iken s 0 scatt ve s A0 ise GeV 2 /c 4 boyutundadır [32]. m α α g π + π α g KK α g 4π α g ηη α g ηηʹ 0,651 0,229-0,554 0,000-0,399-0, ,941 0,551 0,000 0,391 0,315 1,558 0,369 0,239 0,556 0,183 0,187 1,210 0,337 0,409 0,857 0,199-0,010 1,822 0,182-0,176-0,797-0,004 0,224 scatt f 11 scatt f 12 scatt f 13 scatt f 14 scatt f 15 0,234 0,150-0,206 0,328 0,354 scatt s 0 s A0 s A -3,926-0,15 1 Buradaki g α i ile i kanalındaki m α K matris kutbunun çiftlenim sabiti ifade edilmektedir. f scatt scatt ij ve s 0 parametreleri ise K matris elemanlarının yavaş değişen kısmını tanımlamaktadır. Adler zero faktörü dediğimiz(s s A m 2 π /2)(1 s A0 )/(s s A0 ) ifadesi ile ππ eşik değeri yakınındaki s=0 fiziksel bölgesinde kinematik singülarite hatalarını yok edilir. Faz uzay vektör matrisi diyagonaldir ve ρ ij = δ ij ρ i (s) şeklinde ifade edilir ki bu ρ i (s) ifadesi aşağıdaki gibi yazılır. ρ i (s) = 1 (m 1i+m 2i ) 2 s (4.28) Burada m 1i ve m 2i nicelikleri i kanalının birinci ve ikinci final durumu parçacıklarının kütlelerini ifade etmektedir. Normalize edecek olursak ρ i 1 durumunda s olacaktır. 41

58 Şekil (a) D + D 0 π + etkileşiminden gelen D 0 K s 0 π π + dağılımıdır ve (b) m 2, 2 2 (c) m + ile (d)m π + π modeli fit projeksiyonudur [33]. kütlelerin değerleri görülmektedir. Eğriler ππ S dalgası K matris Dalitz grafikleri için temel metot olan İzobar Model in öngördüğü Breit Wigner ifadesi ile K matris metodunu kıyasladığımızda Breit Wigner ifadesi daha basittir ve analitiktir. Bu yönleri İzobar Model i verileri fit etmek için daha avantajlı kılmasına rağmen iki kutuplu ve daha geniş rezonans pik tepelerine sahip verilerin fit edilmeleri için K matris yöntemi daha uygun görülmektedir. İki kutuplu bir bozunumu örnek olarak ele alacak olursak Şekil 4.14 genliğin reel ve sanal kısımlarının birleşimi ile meydana getirilen Argand diyagramı K matris metodunun fit yöntemi ile dairesel bir yapı gösterirken Breit Wigner analiz metodu ile yapılan fit sonucu düzenli bir sonuç elde edilememektedir. 42

59 Şekil İki kutuplu rezonans için Argand diyagramları. Breit Wigner fit yöntemi kırmızı eğrileri verirken K Matris mavi eğrileri vermektedir. Soldaki rezonans f 0 (1200, Г = 100) ve f 0 (1800, Г = 100) değerlerindedir ve sağ kısımdaki rezonans isef 0 (1350, Г = 100) ve f 0 (1500, Г = 100) değerlerini gösterir [33] Flatte Dağılım Fonksiyonu Flatte metodu rezonansa yakın ikinci bir kanal açılması durumunu tanımlamakta kullanılabilir. Aşağıdaki eşitlikler bu formülasyonda genliği tarif etmektedir. T i = 1 m 2 r m 2 ab i(ρ 1 g 2 1 +ρ 2 g 2 ) (4.29) g g 2 2 = m r Г r (4.30) Bu durum KK eşik değeri civarı olan f 0 (980) değerindeki ππ-s dalgasında görülür ve ayrıca πη kanalındaki a 0 (980) değeri de KK eşik değeri yakınında bulunur. a 0 (980) rezonansı için ilişkili çiftlenim sabiti g 1 = g πη ve g 2 = g KK değerleridir ve faz uzay terimi ise ρ 1 = ρ πη ve ρ 2 = ρ KK değerleridir. Buradaki faz uzay terimlerini aşağıdaki denklemle ifade edebiliriz. ρ ab = 1 m α m β 2 1 m α+m β 2 (4.31) m ab m ab f o (980) değeri için ilişkili olan çiftlenim sabitleri g 1 = g ππ ve g 2 = g KK ifadeleridir ve faz uzay terimleri ise ρ 1 = ρ ππ ve ρ 2 = ρ KK şeklindedir. Yüklü ve nötral K kanallarının 43

60 genellikle aynı çiftlenim sabitlerine sahip olduğu varsayılır ancak m K + m K 0 olduğundan dolayı faz uzay faktörleri ayrıdır [34]. ρ KK = m K ± m KK m K 0 m KK 2 (4.32) Kısmi Dalga Analizi Kısmi dalga analizinin amaçları; bir rezonansın spinini bulmak, durgun rezonans çerçevesindeki final durumu parçacıklarının dörtlü momentumunu belirlemek, kısmi dalgaların terimlerinde genliği tanımlamak, rezonansın kütle merkezi izotropik bozunumunu üretmek ve bunları verilerde olduğu gibi kesip düzenleyerek yeniden oluşturmak, yeniden düzenlenmiş Monte Carlo verisinden türetilmiş verilen genlikle birlikte gerçek veriyi fit etmek ve rezonanslar, bu rezonansların göreli ürünleri, kütleleri ve spinlerinin en iyi kombinasyonu için en iyi fiti belirlemektir [35]. Kısmi dalga analizi hadron spektrumlarının deneysel sonuçlarını analiz etmek için etkili bir yöntemdir [36]. Tipik bir kısmi dalga analizinde çeşitli rezonanslardan gelen katkıların eş fazlı bir toplam tarafından bozunum modellenir. Fit ve fit sonuçlarında belirlenen bu rezonansların göreli büyüklükleri ve fazları verilerle karşılaştırılır. Rezonanslar ve özellikleri bulunan verilerle uyumlu hale gelinceye kadar değiştirilir [37]. Bu analiz yöntemi fit sürecindeki genişletilmiş bir logaritmik olabilirlik fonksiyonunun maksimum değeri ve ayrı kısmi dalgaların tanımlanmasını esas alarak kullanımını içermektedir. Parçacıklar ve özellikleri kısmi dalga analizi ile belirlenen kuantumsal özelliklerine göre isimlendirilir. Bu sayede etkileşimde bulunan parçacıklar birbirlerinden ayırt edilebilir. Tablo 4.4 içinde bu duruma örnek olarak hafif mezonlar spin değerlerine göre isimlendirilmektedir. Buna göre Bölüm 2 de bahsedilen J, S, P ve C değerlerine göre mezonlar ve bu parçacıklardan gelen dalga tipleri tabloda bulunmaktadır. Tabloda mezon tipleri için açığa çıkan dalga türlerini gösterilmektedir ki bu değerler ile kısmi dalga analiz sonuçları elde edilmektedir. 44

61 Tablo 4.4. Hafif mezonlar için isimlendirme ve spin değerleri ile birlikte bu mezonların sahip olduğu dalga türleri [38]. J PC 2s+1 L j I=1 I=0(nn ) I=0(ss ) I=1 L=0 S= S 0 π η η' K S=1 1 L=1 S=0 1 + S= L=2 S=0 2 + S= L=3 S=0 3 + S= L=4 S=0 4 + S= S 3 ρ ω Φ K * 1 P 1 b 1 h 1 h 1 ' K 1 3 P 0 a 0 f 0 f 0 ' * K 0 3 P 1 a 1 f 1 f 1 ' K 1 3 P 2 a 2 f 2 f 2 ' * K 2 1 D 2 π 2 η 2 η 2 ' K 2 3 D 1 ρ ω Φ * K 1 3 D 2 ρ 2 ω 2 Φ 2 K 2 3 D 3 ρ 3 ω 3 Φ 3 * K 3 1 F 3 b 3 h h 3 ' K 3 3 F 2 a 2 f 2 f 2 ' * K 2 3 F 3 a 3 f 3 f 3 ' K 3 3 F 4 a 4 f 4 f 4 ' * K 4 1 G 2 π 4 η 4 η 4 ' K 4 3 G 1 ρ 3 ω 3 Φ 3 * K 3 3 G 2 ρ 4 ω 4 Φ 4 K 4 3 G 3 ρ 5 ω 5 Φ 5 * K 3 Göreli olay sayısı olan yoğunluk I, faz uzayındaki noktasal değeri σ aşağıdaki denklemde olduğu gibi tanımlanabilir. I(σ) = V α A α (σ) α 2 (4.33) Buradaki toplam tüm ara durum rezonansları α üzerinden alınmaktadır, V α ifadesi faz uzayında bulunan belirli bir noktadaki kompleks bozunum genliği α ve A α (σ) 45

62 için kompleks bozunum ürünüdür. Belirlenmiş nokta modeli için olasılık aşağıdaki ifadede belirtilmektedir. N Data I(σ i ) ε(σ)i(σ)dσ L i=1 (4.34) Burada çarpım örnekteki tüm N Data olayları üzerinden alınır ve integral toplam tesir kesiti ile orantılıdır ve dedektör etkinliği ε(σ) için düzeltilmiştir. İntegral genellikle faz uzayında aynı oranda genelleştirilmiş simülasyon olaylarının (Monte Carlo, MC) Gen büyük bir oranı olan N MC üzerinden alınan toplam tarafından nümerik olarak uygulatılır. Kısıtlı akseptans ve dedektörün etkinliği kısımların analizi ve yeniden Acc hesaplanması olan simülasyon olayları N MC üzerinden alınan toplam tarafından hesaplanabilir. Tekrarlı bir fitte olasılığın negatif logaritması olan minimum değer kullanılan model için en iyi parametrelerin grubuna karşılık gelir. N Data lnl ln V α V αʹ A α (σ i )A αʹ (σ i ) + i=1 α αʹ ln α αʹ V α V A αʹ Gen α σ j A αʹ (σ j ) (4.35) 1 N MC Acc N MC j=1 Birinci toplam tüm veri olayları üzerindendir ve ikinci toplam tüm MC verileri üzerindendir. Eğer rezonansın genişliği ve kütlesi fitte sabit kalırsa (örneğin V α değerleri yalnızca serbest parametrelerdir) en son iç parantez ve A α (σ i )A αʹ (σ i ) terimleri tüm veri olayları için önceden hesaplanabilecektir [37]. Örnek olarak K + K sistemi ürünlerinin eşik değeri yakınlarını Şekil 4.15 içerisinde tanımlayabiliriz. Şekil Eşik değeri bölgesindeki K + K sisteminin ürünlerini tanımlayan kinematikler. 46

63 Burada θ K niceliği K + K durgun çerçevesindeki K + ile D 0 (yada K ile D 0 ) arasında bulunan sarmallık açısıdır ve D 0 (yada K 0 ) durgun çerçevesindeki K + K yönelimidir. Bu K + K kütle dağılımı onun (Dalitzgrafiğine bağlı olan) fit edilmiş etkinliği tarafından bölünmüş küresel harmonikler Y L 0 (Cosθ K )(L=0-4) yoluyla aday tüm D 0 genişlikleri tarafından yeniden düzenlenmiştir. Şekil 4.16 içerisinde dağılımların sonuçları < Y L 0 > değerleri gösterilmiştir ve bu değerler kütleye bağımlı K + K harmonik momentum değerleri ile orantılıdır. Şekil 4.16.K + K kütle dağılımlarının birer fonksiyonu olarak tanımlanan normalize edilmemiş < Y 0 L > küresel harmonik momentum değerleri. Histogram Dalitz plot analizinin tüm sonuçlarını göstermektedir. < Y 0 0 >, < Y 0 1 > ve < Y 0 2 > haricindeki tüm < Y 0 L > momentum değerleri ya çok küçüktür ya da sıfıra eşittir. Bu dağılımları açıklamak amacıyla içerisinde S ve P dalgalarının genliklerini içeren basit kısmi dalga analizleri uygulanmıştır. Bu sonuçları aşağıdaki eşitlik içerisinde verebiliriz. 47

64 4π < Y 0 0 >= S 2 + P 2 4π < Y 1 0 >= 2 S P Cosϕ SP (4.36) 4π < Y 2 0 >= 2 5 P 2 Burada S' ve P' nicelikleri S ve P dalga dağılımlarının genişlikleri ile değişmektedir ve ϕ SP niceliği ise bunların göreli faz değeridir. Bu varsayım altında < Y 2 0 > momentumu P 2 ile orantılıdır. Bu dağılım relativistikp dalgası Breit Wigner ifadesini kullanarak fit edilmiştir. Bu ifadeyi r AB rezonansı için BW(m) olarak yazabiliriz. BW(m) = F r m r 2 m AB 2 iγ AB m r (4.37) Burada J=1 spinli parçacık için F r Blatt Weisskopf sönümleme faktörüdür ve R=1.5 GeV -1 değerinde sabitlenmiştir. F r = 1+(Rq r )2 1+(Rq AB ) 2 (4.38) Denklem (4.37) içerisinde geçen Γ AB niceliği ise aşağıdaki gibi ifade edilir. Γ AB = Γ r q AB q r 2j+1 m r m AB F r 2 (4.39) Burada q AB (q r ) niceliği AB(r) durgun çerçevesindeki tüm kız çocuk parçacıkların momentumudur. Aşağıdaki parametreler fit sonuçlarını vermektedir. m ϕ = ± 0.07MeV/c 2 Γ ϕ = 4.28 ± 0.13 MeV/c 2 Bu değerler PDG verileri ile uyumludur. Verilerin fit işlemi Şekil 4.17 içerisinde gösterilmiştir. Şekil içerisinde ϕ(1020) kütle bölgesindeki < Y 0 1 > momentumunun ani değişimleri tarafından güçlü bir S P etkileşiminin varlığı kanıtlanmıştır. 48

65 Şekil Spini 1 olan izafi Breit Wignerfit işleminden gelen sonuçlar ile K + K etkin kütlesinin bir fonksiyonu olarak < Y 2 0 > küresel harmonik momentumu gösterilmesi [40]. Yukarıda bulunan (4.36) denklem sistemi S 2, P 2 ve Cosϕ SP değerleri için direkt olarak çözülebilir. Ancak bu genlikler bir D 0 bozunumunda tanımlı olduğundan dolayı faz uzayı için düzeltmeye ihtiyaç vardır. Faz uzayına göre D 0 K 0 K + K bozunumunun Monte Carlo üretiminde gözlemlenen K 0 K + ve K + K kütle spektrumlarının kullanılmasıyla bu düzeltme yapılır. D 0 kütle dağılımı bu Monte Carlo içerisinde deneysel kütle değerlerine ve kütle çözünürlüğüne sahip olan Gaussian olarak üretilir. Şekil 4.18 içerisinde düzeltilmiş faz uzayı spektrumları gösterilmektedir. Şekil Faz uzayı için düzeltilmiş K + K kısmi dalga analizinden gelen sonuçlar. (a) P dalgası etkinliği. (b) S dalgası etkinliği. (c) m(k 0 K + ) dağılımı (d) ϕ (1020) bölgesi içerisindeki Cosϕ SP değeri. (e) Kıyı bölgesi içindeki ϕ SP çıkarıldıktan sonraki (d) içerisinde gösterilen ϕ (1020) faz değişiminin fit edilmesi [40]. 49

66 Bu dağılım aşağıdaki model kullanılarak fit edilir. P dalgası tamamen ϕ(1020) mezonuna bağlıdır (Şekil (a)). K + K kütle dağılımındaki skaler katkı tamamıyla a 0 (980) 0 parçacığına bağlıdır (Şekil (b)). K 0 K + kütle dağılımı tamamıyla a 0 (980) + parçacığına bağlıdır (Şekil (c)). (Şekil (d)) içerisindeki ϕ SP açısı S, P dalgaları ve Cosϕ SP ile c a0 BW a0 + c ϕ BW ϕ e iα niceliklerinin fit edilmesiyle elde edilir. Burada BW a0 ve BW ϕ nicelikleri sırasıyla a 0 (980) ve ϕ(1020) rezonanslarını tanımlamaktadır. Burada a 0 (980) skaler rezonansı K K eşik değerine çok yakındır ve çoğunlukla ηπ parçacığına bozunur. Bu durum Breit Wigner ifadesinin çiftlenmiş kanalları ile açıklanır. BW ch (a 0 )(m) = g K K m 2 0 m 2 i ρ ηπ g 2 ηπ ρ K K g2 K K (4.40) Burada ρ(m) = 2q/m iken g ηπ ve g K K nicelikleri a 0 (980) rezonansının sırasıyla ηπ ve K K ile çiftlenmesini tanımlıyor. pp yok olmasındaki a 0 (980) rezonansı parametrelerinin Cyrstal Barrel deneylerinden [39] gelen en iyi tanım aşağıda verilmektedir. m 0 = 999 ± 2 MeV c 2 g ηπ = 324 ± 15(MeV) g 1/2 ηπ 2 2 = 1.03 ± 0.14 g K K Bu değerler g K K = 329 ± 27 (MeV) 1/2 değeri ile uyuşmaktadır. Yaygın analizlerden yalnızca K K projeksiyonu yapılabilir olduğundan dolayı, m 0 ve g ηπ niceliklerinin değerlerinin belirlenmesi mümkün olmamaktadır. Bundan dolayı bu iki nicelik Cyrstal Barrel deneyine sabitlenmiştir. Öte yandan g K K parametresi fit içerisinde serbest olarak alınmıştır. Buna göre bu nicelik; g K K = 464 ± 29 (MeV) 1/2 değerine eşit olup, (Şekil (e)) içerisinde rezidü a 0 (980) fazı olarak gösterilir. Bu faz önce (0, π) bölgesinde ϕ SP değerinin hesaplanır ve daha sonra ϕ (1020) rezonansına 50

67 bağlı olan faz değişiminin çıkarılmasıyla elde edilir. Fit sonucunda göreli fazın değerini α = 2.12 ± 0.04 ve χ 2 N DF = 167/92 olarak buluruz [40] Dalitz Grafikleri Sayesinde CP Bozulmasının İncelenmesi C, P ve T simetrilerine Bölüm 3 içerisinde değinmiştik. Bu simetri durumları kütle çekimsel, elektromanyetik ve güçlü etkileşim türlerinde korunmakta iken zayıf etkileşimler içerisinde bu simetrilerin korunmaması söz konusudur. Bu bölümde C ve P simetrilerinin birlikte bozulduğu zayıf etkileşim türlerini ele alacağız. Buna göre Dalitz grafiklerinden faydalanarak bu simetrinin korunup korunmadığını inceleyeceğiz. CP bozulması ilk kez kaonlarda görülmesine rağmen bu bozulmayı açıklayan CKM matrisindeki öğelerden dolayı B mezonlarının bozunumu bu simetri kırılmasını daha iyi bir şekilde kanıtlar. BABAR deneylerinde iki tip B mezonu kullanılır. Bu mezonlar nötral B 0 veya anti parçacığı olan B 0 mezonları ile yüklü olan B ± mezonlarıdır. Nötr B çeşni öz durumları olanb 0 (b ve d kuarklarından oluşur) ile B 0 (d ve b kuarklarından oluşur) birbirlerine salınım yapabilirler. Böylece kütle öz durumu B 0 ile B 0 mezonlarının lineer kombinasyonudur. B L = p B 0 + q B 0 B H = p B 0 q B 0 (4.41) Burada B L hafif, B H ise ağır kütle öz durumlarını tanımlar. Bu kütle öz durumlarındaki çeşni öz durumlarının karışımı ise B mezonu karışımı olarak bilinir. Bu denklem içerisinde bulunan p ve q sayıları p 2 + q 2 = 1 olarak normalize edilen kompleks sayılardır ve bunlar Standart Model içerisinde prensipte hesaplanabilir. Bu B 0 -B 0 osilasyonu Δm d = m BH m BL frekansında gözlemlenir. 51

68 Şekil B 0 - B 0 osilasyonundan sorumlu kutu diyagramı BABAR deneylerinde B 0 ve B 0 mezonları γ(4s) B 0 B 0 bozunumu sonucunda elde edilir. B mezonunun bozunum final durumunu f olarak ele alalım. B 0 mezonunun final durumu genliği A f ve B 0 mezonunun final durumu genliği A f olsun. Uygun bir t tag 0 süresinde B mezonun bir çeşnisini tag olarak tanımlarız (Bunu daha sonra B tag olarak adlandıracağız). Ayrıca t sig zamanı içerisinde gerçekleşen diğer B mezonu bozunumunu B 0 sig olarak alırız. Burada t tag niceliği t sig niceliğinden daha büyük veya daha küçüktür. 0 Δt = t sig t tag olarak tanımlanır. Daha sonra bu B sig bozunum oranı aşağıdaki denklemle ifade edilir. fdurumu için zamana bağımlı dγ dδt e Δt /τ B 0 A λ f 2 q tag (1 λ f 2 )cosδm d Δt (4.42) +q tag 2Im(λ f )sinδm d Δt Burada τ B 0 niceliği B 0 mezonunun yarı ömrüdür, B 0 mezonu için q tag = +1 iken B 0 mezonu için q tag = 1 olur ve denklem içerisindeki λ f aşağıdaki gibi tanımlanır. A f λ f = q (4.43) p A f Bu gösterim geneldir ancak biz sıklıkla final değerinin η CP öz değerli CP öz durumları ile ilgilenmekteyiz. Bu durumda A f = η CP A f olarak tanımlanır ve böylece aşağıdaki bağıntı elde edilir. 52

69 A f λ f = q (4.44) p A f Bu durumda zamana bağımlı CP bozulmasını aşağıdaki bağıntı ile ifade ederiz. a CP (Δt) = Γ q tag=+1 Γ(q tag = 1) Γ q tag =+1 +Γ(q tag = 1) (4.45) a CP (Δt) = 1 λ f 2 1+ λ f 2 cosδm d Δt + 2Im(λ f) 1+ λ f 2 sinδm dδt (4.46) Bu denklemleri bazen aşağıdaki gibi ifade edebiliriz. a CP (Δt) = C cosδm d Δt + S sinδm d Δt (4.47) BABAR deneylerinin en büyük ilgisi birçok farklı final durumu olan CP öz durumları için buradaki C * ve S * sabitlerini bulmak ve bu değerleri Standart Model ile karşılaştırmaktır. CP bozulumunun olmadığı durumlarda C * =S * =0 değerlerini almaktadır. Denklem (4.45) içerisindeki zamana bağlı CP bozulumuna ek olarak, zamanı entegre edilmiş olan CP bozulması (4.42) denkleminin Δt üzerinden integrali alınarak açıklanır. Basitçe B + bozunumları için zaman integrali alınmış CP bozulumlarını aşağıdaki denklemde olduğu gibi ifade edebiliriz. A CP = Γ Γ + = A 2 f A f 2 Γ +Γ + A f 2 + A f 2 (4.48) Bu denklemde Γ + (B + f) ve Γ (B f ) durumlarıdır. B mezonlarında CP bozulumu iki gruba ayrılır ki bunlar direkt ve karışım (mixing) durumlarının CP bozulumudur. Buna göre karışım CP kırılması q p 1 durumunda gözlemlenmektedir ve endirekt CP bozulması olarak bilinir. Bozunumlarda görülen CP bozulmasında anti - parçacık genliğinin, parçacık genliğine oranı A f 1 şeklindedir. Bu simetri kırılması durumu hem B 0 ve B 0 A f mezonlarında hem de B ± mezonlarında gözlemlenir. Direkt CP bozulmasının 53

70 gözlemlenmesi için en az iki genliğin B f genliğine katkıda bulunmalıdır ve bu genliklerin hem zayıf fazlarının hem de güçlü fazlarının birbirlerinden farklı olması gerekmektedir. Buradaki zayıf faz, CP altındaki sinyal kırılmasındaki fazı referans almaktadır. Standart Model içerisinde zayıf fazlar yalnızca CKM matrisinin tanımladığı zayıf etkileşimlerden doğmaktadır. Güçlü fazlar ise CP altında sinyalin değişmeden kaldığı fazlardır ve temel olarak Kuantum Kromodinamiği (QCD) içerisinden gelmektedir. Direkt CP bozulmasını göstermek için B fgenliğine katkıda bulunan a 1 ve a 2 genliklerini varsayalım. A f = a 1 e i(ϕ 1+δ 1 ) + a 2 e i(ϕ 2+δ 2 ) (4.49) A f = a 1 e i(ϕ 1 δ 1 ) + a 2 e i(ϕ 2 δ 2 ) (4.50) Burada ϕ j güçlü fazlardır ve δ j ise zayıf fazlardır. (4.48) denklemini kullanarak aşağıdaki bağıntıyı elde ederiz. A CP = 2 a 1 a 2 Sin(δ 1 δ 2 )Sin(ϕ 1 ϕ 2 ) a a a 1 a 2 Cos(δ 1 δ 2 )Cos(ϕ 1 ϕ 2 ) (4.51) Bu denklem sayesinde A CP 0 durumunun olması için zayıf fazların ve güçlü fazların birbirlerinden farklı değerlerde olmasının gerektiğini görmekteyiz. Direkt CP bozulması kaon bozunumlarında çok küçük orandadır ve değeri O=10 6 olarak hesaplanır, ancak B 0 K + π gibi gerçek B mezonu bozunumlarında bu değer büyür ve O=0,1 olarak bulunur. CP bozulması bazen bozunum ve karışım durumları arasında girişim sonucu oluşur. Bu durum Im(λ f ) 0 durumunda gerçekleşir. Fiziksel olarak bu durum B 0 f ve B 0 B 0 f süreçleri arasındaki girişimden kaynaklanır. Bu durum (4.47) denklemindeki S sabitinin sıfırdan farklı olmasına neden olmaktadır ve bu nedenle zamana bağımlı bir CP bozulum analizi gerekir [41]. Etkileşimler içerisindeki CP simetrisinin öz durumları hakkında Standart Model CKM matrisi adı verilen 3x3 büyüklüğündeki üniter matris ile bilgi verir. 54

71 CP bozulmasının düzenli bir açıklamasını CKM (Cabibbo Kobayashi - Maskawa) matrisini kullanarak Standart Model yapmaktadır. Bu matris sayesinde kuarkların anti parçacıklarına dönüşme oranını buluruz ve bu sayede etkileşimdeki madde anti madde oranını buluruz. V ud V us V ub V = V cd V cs V cb (4.48) V td V ts V tb Bu 3x3 lük üniter matris farklı kuark çeşnilerinin W ± bozonu ile nasıl çiftleneceğini tanımlar. Yukarı (up) tipi bir kuark olan i kuarkı ile aşağı (down) tipi bir kuark olan j kuarkının W bozonuyla V ij potansiyeli ile orantılı bir şekilde çiftlenir (verteks içerisindeki V ij potansiyeli ise W bozonuyla çiftlenim yapmasıyla alakalıdır). CKM matrisi V V durumunda CP bozulumunu gösterir. CKM matrisinin parametrelerinin tanımlanmasının kullanışlı bir yolu Wolfenstein yaklaşımı olarak adlandırılan bir yoldur. 1 λ 2 2 λ Aλ 3 (ρ iη) V = λ 1 λ 2 2 Aλ 2 + O(λ 4 ) (4.49) Aλ 3 (1 ρ iη) Aλ 2 1 Burada genişleme olarak küçük parametrede λ 0.23 olarak yazılır. Diğer parametreler ise A 0.81, ρ 0.13, η 0.34 olarak yazılır. Burada ρ ve η niceliklerini ise ρ = ρ(1 λ 2 2) ve η = η(1 λ 2 2) olarak ifade ederiz. Bu parametre tanımlanması içerisinde CP bozulumu yalnız parametre olan η tarafından açıklanır. Standart Model içerisindeki tüm CP bozulmaları için bu tek parametre güvenilir olduğu için bu yöntem bir hayli makuldür. CKM matrisi üniter olduğundan aşağıdaki bağıntıyı sağlamak durumundadır. V ud V ub + V cd V cb + V td V tb = 0 (4.50) 55

72 Bu eşitlik kompleks düzlemde bir üçgen olarak gösterilebilir. Genellikle Şekil 4.20 içerisinde gösterildiği gibi üçgeni (0,0) noktası, (1,0) noktası ve (ρ,η ) noktası üzerinde oluştururuz. Bu üniterlik üçgeni olarak bilinir. Şekil CKM Üniterlik üçgeni. Bu üçgen aşağıdaki denklemlerde olduğu gibi tanımlanabilir. α = arg V tdv tb V ud V ub β = arg V cdv cb V td V (4.51) tb γ = π α β İyi bir yaklaşım olarak; V td = V td e iβ, V ub = V ub e iγ ve matrisin diğer elemanları ise yalnızca reel olarak seçilir [41]. CP simetri kırılmasını Dalitz grafiği üzerinde bu yaklaşımlar ile inceleriz. Ancak CP simetri kırılmasını Dalitz grafiğinin tümünde gözlemleyemeyebiliriz. Bunun için Dalitz grafiği (binned) parçalara ayrılır. Buna göre CP simetri kırılmasının incelenmesi için Dalitz grafiği parçalara ayrılır ve grafik üzerindeki her parçada lokal asimetri parçacık ile anti parçacık oranından faydalanılarak bulunur. Buna göre aşağıdaki bağıntı bize lokal CP kırılımı hakkında bilgi verir. 56

73 i S CP = Ni D + αn i (D ) N i (D + )+α 2 N i (D ) (4.52) α = N tot(d + ) N tot (D ) (4.53) Burada N i (D + ) ve N i (D ) nicelikleri i numaralı parça içerisindeki aday D ± sayısıdır ve α niceliği ise D + ile D ürünlerinin ortalama sayısıdır. Bu α parametresi ürün, dedekte etme veya CP asimetrilerinde Dalitz grafiği boyunca sabit olmaktadır ve ihmal edilir [42]. Şekil D 0 K 0 s π + π etkileşimlerinin Dalitz Plot grafiği. Soldaki grafik 3x3 lük parçalara, ortadaki grafik 5x5 lik parçalara ve sağdaki grafik ise 7x7 lik parçalara ayrılmıştır. Bu parçalar Dalitz grafikleri üzerindeki D CP için kullanılır [43]. Her parça içerisinde parçacık popülasyonu N(i) ve anti parçacık popülasyonu N (i) olmak üzere CP bozulma genliği aşağıdaki gibidir. Dp S CP = N(i) N (i) N(i)+N (i) (4.54) Örnek olarak B ± K ± π + π etkileşimini ele aldığımızda, sarmallık oranlarıcharm içermeyen final durumlarına göre nispeten daha geniştir ve bu B ± K ± ρ 0 (770) alt kanalları ile ilgili olan direkt CP bozulması için güçlü bir kanıttır [44]. CP bozulmasının analizi bozunum içerisindeki B + ve B kanalları için ρ(770) fazındaki farklılıklar CP bozulmasının direkt kanıtıdır. Bu faz farklılıklarını inceleyerek 57

74 CP bozulmasının analiz edilmesi ρ 0 metodudur. Şekil 4.22 içerisinde bu yöntem baz alınarak Dalitz grafiği parçalara ayrılmış ve CP simetri kırılması durumu incelenmiştir. Şekil Üstteki grafik B ± K ± π π ± etkileşimi için ρ 0 modelinde Dp S CP değer grafiğidir. Alttaki grafik ise istatiksel olarak ayrılan üst grafikteki parçalar için Dp S CP değeridir. Bu fit birim genişliğe Gaussian olarak merkezlenmiştir. Burada P1 niceliği normalizasyon parametresidir. Şekil 4.23 ve Şekil 4.24 içerisinde Dalitz grafiğinin bölgelere ayrılarak incelenmesi gösterilmiştir. 58