Kozmik X-ışın Astronomisi

Transkript

1 Kozmik X-ışın Astronomisi D. J Adams Çeviri: Nuray Çakıroğlu

2 . Gözlemsel Metotlar.1. Giriş X-ışın astronomisindeki tüm gözlemler Dünya atmosferinin üzerinden yapılmaktadır kev enerji aralığındaki gözlemler, atmosferik gazların güçlü soğurmasından dolayı 10 km den büyük yüksekliklerde yapılmalıdır. Bu durum için, çizdiği rotayı dört beş dakika koruyabilen, 10 km yüksekliğine çıkabilen ya ses roketi veya 500 km lik yörüngeyi birkaç yıl için koruyabilen Yer uyduları kullanılmalıdır. Daha yüksek uydu yörüngeleri x-ışın astronomisinde tercih edilmez çünkü Dünya nın radyasyon kuşağındaki yüklü parçacıklar x- ışın detektörlerinin arka plan sinyallerini arttırmaktadır. Radyasyon kuşakları yüksek jeomanyetik enlemlerde azaldığı için, x-ışın astronomisi uyduları için ekvator yörüngeleri tercih edilir ve ses roketleri de Dünya nın kutuplarından uzak yerlerden fırlatılır. Bu kitaptaki 0.-0 kev enerji aralığındaki veriler roket ve uydu platformlarından elde edilmiştir. Genelde orantılı-sayaç detektörler kullanılmıştır kev enerji aralığındaki x-ışın gözlemleri, 35 km yükseklikte balon platformlarından yapılmıştır. Yüksek enerjili x-ışınları atmosfer tarafından daha az soğurulduğu için daha düşük rakımlarda bunlarla çalışmak mümkündür kev aralığındaki çalışmalar için uydular da kullanılmaktadır. Her iki durumda detektör olarak skintilasyon(kıvılcım) sayaçları kullanılmaktadır.. Enstrüman Profili 0.-0 kev Şu ana kadar en çok kullanılan alet kolimatör arkasına yerleştirilen orantılı-sayaç detektörleridir. Bu düzenek kolimatör aksisi doğrultusundan gelen x-ışınlarına karşı hassasiyet gösterir. Bu x-ışın teleskopu astronomum ilgilendiği bölgeyi tarar. X-ışın kaynağı görüş açısına geldiği zaman, detektör artan bir tepki kaydeder. Yerleşik elektronik devrelerle bu tepki yorumlandıktan sonra, uydunun yön bilgisi ile birlikte radyo telemetri aracılığı ile yere aktarılır. Teleskopun yönelimi uydunun hareketinden belirlenir. Bu hareket aracın dönmesi veya eksen sapması ile veya Uhuru uydusunda olduğu gibi durağan bir eksen etrafında basit dönme ile sağlanır, daha karmaşık uzay araçlarında istenilen bölgeyi taramak için programlanmış teleskoplar mevcuttur. Teleskopun yönelimi, uzay aracına monte edilmiş sensörler tarafından izlenir. Bu sensörler Dünya ufku, Dünya nın manyetik alanı, Güneş ve Ay gibi yönsel özellikleri tespit eder. Jiroskoplar da bazen kullanılır. Teleskopun yönelim geçmişini, radyo telemetri ile Dünya ya iletilen boylam sensörler sinyallerinden oluşturmak genelde bilgisayarların işidir.

3 Şekil.1. Tipik astronomik x-ışın algılama sisteminin görüntüsü. Bu teknik optik astronomun standartlarına göre kaba kalır. Pozisyon çözünürlüğü genelde dakika ark açı cinsinden ölçülmektedir, bu basit optik teleskoplara göre binlerce kere daha zayıf bir ölçümdür. X-ışın astronomu, şimdiye kadar, gökyüzünün belirli bir bölgesinin fotoğrafını almaktansa, her bir astronomik objeyi taramak zorunda kalmıştır. Bundan dolayı, x-ray astronomu taradığı her objeyle ilgili tayfsal bilgiler edinir. Modülasyon kolimatörü kullanılarak pozisyon çözünürlüğünü arttırmak için özel teknikler geliştirilmiştir. Tutulum çemberine yakın olan x-ışın objeleri için, Ay ın tutulmasına denk getirildiğinde, çok kesin pozisyon çözünürlüğü elde edilir. Gelecekteki x-ışın teleskopları, odaklanan optikler ve görüntü detektörleri kullanacağını düşünüyoruz. Böyle bir sistemi taşıyan ilk uydu, Kasım

4 1978 de fırlatılan HEAO-B dir. Bu türdeki yüksek açısal çözünürlüklü ve görüntü alma kapasiteli, odaklı teleskopların x-ışın astronomisinde gelişmelere neden olacağı benzer..3 Orantılı - Sayaç Detektörleri Orantılı - Sayaç Detektörleri genelde 0.-5 kev aralığında işlev gören teleskoplarda kullanır. Detektörler elektriği ileten kaplardan oluşup, bunların pencereleri ince bir yaprak metalden veya plastikten yapılmıştır. Bunların %90 ı ksenon, argon veya neon gibi soy gaz karışımı ve %10 u da metan veya karbon dioksit gibi poliatomik söndürücü gaz içerir, toplam gaz basıncı atmosferik basınç kadardır. Detektör kaplarının uçlarındaki yalıtkanlar μm çapında anot teli ile desteklenmiştir. Anot telinin potansiyeli +000V ta tutulmaktadır ve düşük gürültülü elektronik amplifikatöre bağlanmıştır. Bu şekilde birkaç detektör bir araya getirilip 1000 cm ye kadar toplam hassasiyet alanı elde edilebilir. Detektör kabı, gazı, uzayın vakum ortamında tutabilecek kadar sağlam kapatılmış olmalıdır. Detektörün çalışma şekline gelince, x-ışın fotonu detektörün penceresinden girer ve fotoelektrik olarak soy gaz tarafından soğurulur. Sonuçta oluşan foto-elektronun enerjisi gelen x-ışın fotonunun enerjisiyle aynıdır. Bu foto-elektron daha fazla atomu iyonize ederek giderek enerjisini kaybeder. Bunun sonucu oluşan serbest elektronlar anot tarafından çekilir ve tele doğru yaklaştıkça güçlü elektrik alana maruz kalarak, daha fazla gaz atomunu iyonize edebilecek enerjiye sahip olacak kadar ivme kazanırlar. Bundan dolayı anoda ulaşan elektronlarda çoğalma (veya amplifikasyon) meydana gelir. Elektronlar tele ulaştığında amplifikatör tarafından elektrik atma olarak algılanan yükler bırakırlar. Pozitif iyonlar bir süre sonra detektörün katoduna karşı daha yavaş sürüklenirler. Bu yük hareketinin de anot üzerindeki sinyalde katkısı vardır. Doymuş gazın işlevi artı yüklü iyonlar katoda ulaştıklarında gazdaki bundan sonraki iyonizasyonu önlemektir. Orantılı - Sayaç Detektöründeki elektrik sinyali genelde amplifikatör tarafından 0.5x10-6 s lik bir atma olarak şekillendirilir. Orantılı - Sayaç Detektörünün tepkisi ayrı atmalardan oluştuğu için, her bir x- ışını için tespit edilen atmalara sayım oranı denir. Sonuçtaki atmanın büyüklüğü, baştaki x-ışın tarafından üretilen foto-elektron veya fotoelektronların enerjisi ile orantılıdır. Foto-elektron tarafından üretilen iyon çiftlerinin sayısı da foto-elektronların enerjisine orantılı olur (bir iyon çifti oluşturmak için 30 ev kullanılır). Gaz amplifikasyon süreci lineerdir ve toplam kazanç detektör geometrisinin, gaz basıncını ve içeriğinin ve anot voltajının bir fonksiyonu olup aralığındadır. Aynı enerjideki başlangıç foto-elektronlar tarafından üretilen atma genliğinde biraz saçılma olabilir. Sonuç olarak başlangıç foto-elektronun enerjisi gelen x-ışınınkine eşit olduğunda, atma çıktısı x-ışın enerjisine (biraz saçılmayla) orantılı olur. Orantılı - Sayaç Detektörünün çözünürlüğü 6 kev enerjide %16 civarındadır. Bu yüzde enerji çözünürlüğü, daha düşük enerjilerde daha kötüdür ve (enerji) -1/ ile değişmektedir. Maalesef atmanın yüksek çıktısı ve gelen x-ışın enerjisi arasındaki ilişki arasına bir karışıklık daha girer. X-ışını soy gazın ilk atomunu iyonize ettiğinde bu atomun en içteki elektronunu çıkarma eğiliminde olabilir. Bu foto-elektronun enerjisi, gelen x-ışın enerjisinden elektronun atoma bağlı enerjisi çıkarıldığında bulunur. Atom hemen elektron kabuğunu ayarlamak için bir veya birden fazla ikincil x-ışın fotonu yayar. Eğer ikincil foton sayaçtan kurtulursa, enerjisi kaydedilmemiş olacaktır. Bunun sonucu olarak Orantılı - Sayaç Detektörü tek enerjili gelen x-ışınına çift tepeli atma tepkisi verir. Gaz argon olduğunda kurtulan fotonun enerjisi 3 kev civarıdır.

5 Şekil.. (a) Orantılı sayaç detektörünün çalışma şekli. (b) Tipik Argon dolumlu detektörün algılama etkinliği. 3 KeV civarı Argonun K-kenarıdır. Orantılı - Sayaç Detektörün kuantum etkinliği %80 lere ulaşabilir. Düşük enerjilerde pencerenin x-ışınlarını soğurmasıyla, yüksek enerjilerde ise gazın x-ışınlarına geçirgenliği ile sınırlıdır. Bundan dolayı düşük enerjili x-ışınları pencereyi geçemez, yüksek enerjili x-ışınları da gaz tarafından soğurulmadan geçebilir. Pencere materyali olarak genelde birkaç mikrometre kalınlığında, 0, kev e kadar geçirgenliği olan plastik kullanılır μm kalınlığında Berilyum metal plaka kev a kadar geçirgendir. Sadece metal pencereler, uydu teleskoplarında ömürleri bir yılı aşarak gazı sıkı bir şekilde gazı detektörler içersinde zapt edebilir. Genelde atmosferik basınçta 50mm derinliğinde argon/co ve ksenon/ CO gaz karışımları kullanılır.

6 Orantılı - Sayaç Detektörü sadece x-ışınlarına tepki vermez, aynı zamanda detektörden geçen yüklü parçacıklara ve gama ışınlarına da tepki verir. Dünya atmosferinin dışında detektör, kozmik ışın parçacıkları ve gama ışın akına maruz kalır, bundan dolayı her zaman istenmeyen kaynaklardan arka plan sayımı oluşur. Aşağıdaki ölçümler bu istenmeyen arka planı minimuma indirmek için yapılır: (1) x-ışın enerjilerinin kabul edilir aralıklarının üzerinde veya altındaki atmalar radyo telemetri ile yere iletilmeden önce elektronik olarak geri çevrilir. () Siper amaçlı detektörler kullanılır. Bunlar x-ışın detektörlerin etrafına yerleştirilen ek detektörlerdir. İçeri alınan yüklü parçacık hem x-ışın detektöründe hem de siper detektörlerin birinde veya birkaçında tepki oluşturur, fakat x ışını siper detektörü etkilemez. Aynı tepki hem x-ışın detektöründe hem de siper detektörde görüldüğünde bu sinyal göz ardı edilir. (3) Artış zamanı ayırt etme kullanılır. Elektrik devreler x-ışın orantılı detektördeki olayların arış zamanını ayırt eder. Gama ışınları ve kozmik ışınlarının arka plan sayımlarının x- ışınlarından daha uzun artış zamanı var, bunlar tespit edilip devreden uzaklaştırılır. Tüm bu sistemler günümüz x-ışın astronomisinde yaygın olarak kullanılır ve kozmik ışımadan dolayı 0.01 sayım cm - s -1 arka plan sayım oranı verir. Sistemin izotropik astronomik x-ışın arka planına tepkisini azaltmak için detektörün görüş alanı sınırlandırılarak minimum hale getirilir. Özet olarak Orantılı - Sayaç Detektörlerinin x-ışın tespitindeki etkinliği yüksektir, yüksek zaman çözünürlükleri, makul enerji çözünürlükleri vardır ve arka plan oranları kabul edilir seviyelere kadar azaltılabilir. Birkaç yüz santimetre karelik hassas alan oluşturacak ve -0 kev enerji aralığına hassasiyet gösterecek şekilde üretilebilirler, ultra ince pencere kullanımı ile alt enerji limitleri 0. kev a kadar düşürülebilir. Bundan dolayı x-ışın astronomisinin günümüze kadar dayanak noktası olmuşlardır..4 Kolimatörler Kolimatör detektör penceresinin önüne konan bir dizi paralel metal plakadan oluşur. Kolimatör aynı zamanda, detektör, uzayın vakum ortamındayken, detektörün gaz basıncına karşı pencereyi destekler. Kolimatör ekseni doğrultusunda gelen tüm x-ışınları iletir ve kolimatör eksenine uzak gelen tüm ışımayı durdurur. Kolimatörün tepkisi üçgen şeklindedir. Paralel bir x-ışınının kolimatör üzerine geldiğini düşünelim. Kolimatör döndükçe (x eksenini görmek için Şekil.3 (a) ya bakınız) radyasyon ışınının iletimi üçgen şekilde değişecektir. Benzer bir şekilde kolimatör y ekseni etrafında dönüyor olsaydı.3 (c) deki iletim şekli oluşacaktı. Kolimatörün tepki genişliği her bir üçgen için açısal yarı maksimumdaki tam genişlik (FWHM) olarak belirtilir. Şekil.3(a) da gösterilen d, l ve w ölçülerini kullanarak, x eksenindeki FWHM tan 1 w / d w/ d rad Ve y eksenindeki FWHM tan 1 l / d l / d rad

7 Şekil.3. Kolimatör iletim özellikleri olacaktır. İletilme toplam x FWHM toplam açısı için sıfırdan farklıdır. Kolimatörün FWHM sini 0.5 o den küçük yapmak zordur..5 X-ışın Kaynağının Konumunu ve Gücünü Belirlemek X-ışın teleskopunu taşıyan uzay aracının dönmesi, kolimatör ekseninin gökyüzünde belirli bir yönü taramasını sağlar. Kendi etrafında dönen uydularda, kolimatör ekseni dönme eksenine diktir, görüntülenen bölge de gök kürede büyük bir daire şeklindedir. Kolimatör iletim şekline bağlı olarak, her an için gökyüzünün sonlu bir açısı görüntülenecektir. Kolimatörün görüş açısında duran x-ışın kaynağı, genişliği FWHM ile tanımlanan üçgensel sayım tepkisi verecektir, bu tepkinin yüksekliği yıldızın gücü ile doğru orantılı olacaktır. Kolimatörün görüş açısında yer alan aynı güçteki başka bir x-ışın kaynağı, kolimatör eksenin üzerinde veya

8 altında yer alıyorsa yine aynı genişlikte tepki verecektir, fakat daha düşük yükseklikte olacaktır. Üçgenin tepesindeki kolimatör ekseninin yönelimi, θ, x-ışın yıldızının tek boyutlu pozisyonunu belirleyecektir. Şekil.4. (a) Noktasal kaynak taranırken kolime edilen x-ışın detektörünün tepkisi. (b) İki farklı tarama sonucu x-ışın kaynağın pozisyonu.

9 Eğer x-ışın kaynağı yıldız benzeri değil de geniş bulutsu şeklindeyse, bulutsunun genişliği kolimatörün FWHM sine yakın veya daha büyük ise daha geniş bir tepki verecektir. ( birçok x-ışın kaynağının yıldız benzeri olarak yorumlanması, sadece üçgensel tepki analizinden değil de, kaynağın şiddet değişimlerinden de ortaya çıkar) Bu bahsettiğimiz gereçlerle x-ışın kaynağını iki boyutlu konumunu belirlemek için, kaynağı en azından iki defa gözlemlemek gerekir. İdeal ikinci tarama kolimatör ekseninin birinci gözlemdeki kolimatör ekseniyle 90 o kesiştiği durumunda yapılır. Açılı kolimatörlerdeki daha özenilmiş düzenlemeler, ikinci tarama ihtiyacını ortadan kaldırabilir. Yukarıda anlatılan X-ışın kaynaklarının gözlemleri, üçgeni, gözlenen verilere oturtmakla, konumunu ve yüksekliğini ölçmekle sağlanır. Yükseklik ve konum kaynağın gücüne bağlı olarak bazı yapısal hatalarla belirlenir. X-ışın fotonlarının ve arka plan olayların detektöre ulaştığı bir durumda, ideal üçgensel tepkinin, rastgele bir şekilde biçimi bozulmuş olacaktır. Birim saniyede arka plan sayım oranı b, s de kaynaktan gelen üçgenin tepe noktasındaki ortalama sayım oranı olsun. Kaynağın üçgenin yarı maksimum noktalarının sayımı için t kadar zaman geçmesi gerekir. Toplam biriken kaynak sayımı: st ( s b) t S S B olacaktır. S ve B, t zamanında, sırasıyla kaynaktan ve arka plandan gelen ortalama sayımladır. S B fotonların ve arka plan olayların rastgele gelişinden kaynaklanan standart sapmadır. Dolayısıyla s nin ölçülebileceği kesirsel hata S / S B olacaktır, bu da daha düşük arka planlı ve güçlü kaynaklar için daha iyi bir sonuç verecektir. Aynı zamanda üçgen merkezinin konum hatasının FWHM S / S B olduğu gösterilebilir. Bu şekilde ölçülen kaynak gücünün detektör etkinliği ve de kaynakla kolimatör ekseni arasındaki açı için düzeltilmesi gerekir..6 X-ışın kaynağın tayfının belirlenmesi X-ışın kaynağı Orantılı - Sayaç Detektörü ile gözlendiğinde, her bir gelen fotonun enerjisi elektrik atma yüksekliğine dönüştürülür. Bundan dolayı, kaynağının x-ışın tayfını ölçmek için elektrik atma yüksekliklerinin dağılımının (atma yüksekliği tayfı) araştırılması gerekir. Bazı sistemlerde atmalar uydunun yerleşik yükseklik kanallarında analiz edilip ondan sonra elde edilen tayf (her kanaldan elde edilen sayım olarak) yere iletilir. Başka sistemlerde ise, her bir x-ışın atması yükseklik bilgisi korunarak yere iletilir ve atmanın yükseklik analizleri yerde yapılır. Kaynak gözlemlerinden atma yüksekliği tayfı elde edildiğinde ilk önce arka plan sayımlarından kaynaklanan kirliliğin giderilmesi gerekir. Gökyüzünün boş alanından detektörün maruz kaldığı atma yüksekliği tayfı, kaynaktan gelen atma yüksekliği tayfından çıkartılır. Daha sonra elde edilen atma yüksekliği tayfının, kaynağın x-ışın tayfına dönüştürülmesi gerekir. Başlangıç olarak her bir atma yüksekliği kanalına x-ışın enerjisi 55 tahsis edilir. Bu genellikle uydu içinde bulunan Fe (5.9keV) gibi monokromatik kalibrasyon kaynağı yardımı ile yapılır. Prensipte x-ışın fotonu tayfı elde etmek için bu enerjideki ilgili detektör verimliliğine göre toplanan sayım oranını bölmek gerekir. Pratikte bu yetersiz bir işlemdir çünkü detektörün çözünürlük ve sızan tepe özelliklerini dikkate almaz. Bu zorlukları aşmak için problemi tersine çeviriyoruz. Öncelikle x-ışın tayfına benzer bir tayf varsayıyoruz ve belirli detektörün tepki vereceği atma yükseklikleri tayfını hesaplarız. Hesaplanan atma yükseklik tayfı ile gözlenen tayf karşılaştırılır. Bu işlem varsayılan farklı x-ışın tayfalarıyla, hesaplanan değerler, gözlenen değerlerle eşit olana kadar tekrar edilir. Bu hesaplamalar uzun

10 olsa da, dijital elektronik bilgisayarlar tarafından kolayca başarılır. Bu metot ilk defa Gorenstein (1968) tarafından yayınlandı ve yaygın olarak kullanıldı. Bu karşılaştırma sürecinde kullanılan x-ışın tayf formları genelde termal frenleme artı salınım çizgileri gibi sürekli tayflar, düşük enerjilerdeki kesilme ile beraber kara cisim ve güç kanunu tipleridir. Bu seçimlerin sebebi bölüm 3 te açıklanacaktır. Ölçülen kaynak tayfının doğruluğu sinyal/gürültü faktörüne S / S B bağlıdır. S kaynaktan toplanan toplam sayım ve B aynı zaman içinde arka plandan toplanan sayımlardır. Tayfı belirlemedeki hatalar, sıcaklıktaki belirsizlik veya tayfsal indeks ve x-ışın tayfında düşük enerjilerde kesilme olarak meydana gelir. Çok zayıf bir şekilde gözlenen kaynaklara belirli modeli (termal frenleme, kara cisim veya güç kanunu) tayin etmek imkânsızdır. Güneş dışında, tayfsal çizgilerin x-ışın astronomları tarafından saptanması fazla gelişmemiştir. Orantısal sayaçlarla gözlenen Sco X-1 ve Cyg X-3 gibi bazı x-ışın kaynaklarında 6.5 kev civarında demir çizgileri görülmüştür. Bunlar düzgün atma yüksekliği tayfında küçük çıkıntılar olarak görünür, genişlikleri de kullanılan oransal sayaç detektörünün limitli çözünürlüğünü yansıtır. Geniş çizgilerin arayışı Bragg kristal tayfölçerlerle yapılmıştır fakat çok sınırlı başarılar elde edilmiştir. Bragg kristal tayfölçerlerde, kaynaktan gelen x-ışını detektöre ulaşmadan önce kristal madde tarafından kırılır. Sadece Bragg koşulunu sağlayan dalga boyları d sinβ = nλ (n = 1,,3.., d kristal ızgarası aralığı ve β Bragg açısı) detektöre düşürülür, geri kalanı kristal tarafından soğurulur. Bu düzeneklerle %1 dalga boyu (veya enerji) çözünürlüğü elde edilebilir, fakat bu yetersizdir ve sadece çok güçlü gök cisim kaynaklarında kullanılır..7 Farklı Türdeki Detektörler Sintilasyon sayaç detektörleri 10 kev tan büyük enerjilerdeki x-ışın kaynaklarında kullanılırlar. Sodyum iyodür veya talyum katkılı sezyum iyodürden yapılmış ince (6mm kalınlığında) bir kristalden oluşur, foto-katlandırıcı tüpün yüzü ile optik olarak eşleştirilmiştir. X-ışın fotonu kristal içine girdiğinde, orantılı sayaçlardaki gazlar gibi fotoelektrik olarak soğurulur. Foto-elektron kristaldeki daha fazla atomu iyonize eder ve iyonizasyon enerjisinin bir kısmı görünür ışıkta flaşa veya foto-katlandırıcının algılayabileceği ışık titremesine (sintilasyona) dönüştürülür. Foto-katlandırıcıdaki elektrik atma, gelen ışının enerjisi ile orantılıdır. Orantılı sayaçlar gibi sintilasyon detektörleri de tayfsal bilgi içerir. Sintilasyon detektörleri, orantılı detektörlere göre daha yüksek enerjilerde işlev görür çünkü yüksek atom numaralı maddeden yapılmış yoğun bir kristal içerirler. Bu kristal nüfuz edici x- radyasyonunu, gazdan daha etkili bir şekilde durdurur. Sintilasyon detektörleri, kalın (100mm) detektör kristalleri kullanıldığında 1MeV büyük foton enerjilerine hassas olabilecek şekilde yapılabilir, fakat böyle kalın kristalli detektörlerin ince kristal türlerine göre 30 kev civarında zayıf enerji çözünürlükleri olur. Sintilasyon detektörleri kozmik ışın parçacıklarına da tepki verir, bu nedenle arka plan sayımları için koruyucu detektörlerle beraber kullanılır. Kanal yükselticisi 3 kev altındaki x-ışınları için limitli uygulamaları olan bir araçtır. Bu bir vakum cihazıdır ve uzay ortamında pencereye ihtiyaç duymadan işlev görür. X-ışını, elektronları yayan özel olarak kaplanmış foto yayınlayıcı yüzey üzerine düşer. Bu elektronlar dirençli tüp içindeki elektrik alanı tarafından ivmelendirilerek ikincil bir emisyonla yükseltilirler. Tüpün sonunda toplanan sinyaller amplifikatörü besler. Orantılı sayaçlarda

11 bulunan enerji çözünürlüğü kanal yükselticilerinde bulunmaz, bundan dolayı tayfsal bilgi edinmek için x-ışın demetine konulan filtrelerle beraber kullanılmaları gerekir. Kanal matrisi tek ünite şeklinde üretilmiş, kanal yöneticilerinden oluşan iki boyutlu bir dizidir. Bunların x- ışın sistemlerinin görüntülenmesinde uygulamaları mevcuttur. Pozisyon hassasiyetli orantısal sayaç detektörleri, görüntü alan x-ışın detektörleri için gelecek vaat eder. Bu detektörler dirençli anot teli veya birçok paralel anot teli içeren normal bir orantısal sayaçtan oluşur. Bu dirençli anot teli ile x-ışınının tel üzerindeki geliş pozisyonu, telin her iki ucundaki sinyaller karşılaştırılarak bulunur. Çok telli detektörlerde, tellere dik olarak gelen x-ışının geliş pozisyonu, değişik tellerdeki sinyaller karşılaştırılarak bulunur..8 Modülasyon Kolimatörleri Modülasyon kolimatörleri iki veya daha fazla düzlemsel paralel ızgara şeklinde tellerden oluşur. Teller biri birinden bir tel uzaklığında yerleştirilmiş olup, tungsten gibi x-ışınlarına yüksek derecede donuk olan yüksek atom numaralı maddelerden yapılmışlardır. Kolimatör şu şekilde işlev görür. Ön ızgaranın x-ışın demeti tarafından aydınlatıldığını düşünün, ön taraftaki ızgara bir sonraki ızgara üzerine bir seri gölge düşürecektir. Eğer gölgeler teller arasındaki bölgeye düşecek olursa, detektöre x-ışın radyasyonu ulaşmayacaktır. Eğer gölgeler bir sonraki ızgara tellerinin üzerine düşerse detektör ön ızgaraya düşen radyasyonun yarısını alır. Modülasyon kolimatörü kaynağı tararken, detektör sinyali frekansı periyodik olarak modüle eder. Frekans, tarama oranına, tellerin p eğimine ve ızgaralar arasındaki uzaklığa s bağlıdır. Modğlasyon şablonunun maksimumu ve sonraki minimumu arasındaki taranan açılar ½* θ kadardır. tan θ = p/s olur. Küçük açı çözünürlüklerde θ, modülasyon kolimatörü üretmek, aynı çözünürlükte konvansiyonel kolimatör üretmekten daha kolaydır. Şekil.5. Modülasyon kolimatörün işlem şekli

12 Tek bir modülasyon kolimatörünün sınırlı kullanımı vardır, çünkü ölçülen kaynağın pozisyonu ile ilgili belirsizlik söz konusudur. Gerçek anlamda sadece kaynağın büyüklüğünü belirlemek için kullanılır. Kaynağın uzantısının θ ya oranına bağlı olarak, yıldız benzeri kaynaklar %100 modülasyon derinliği, daha geniş bir kaynak ise daha küçük modülasyon derinliği verecektir. Bu anlamda tarayıcı modülasyon kolimatörler, radyo astronomları tarafından kullanılan interfometreler gibi davranır. Modülasyon kolimatörlerin değişik uyarlamaları kaynağın konumunu belirlemede çok kullanışlı hale gelmesine neden olmuştur. İlk uyarlama olan vernier tekniğini Sco X-1 konumunu ölçmede kullanılmıştır (Gursky et al 1966). Birbirinden çok az farklı θ değerine sahip iki modülasyon kolimatör sistemi aynı roketle fırlatılarak kaynak taranmıştır. Çıkışların göreli fazlarından kaynak pozisyonu ile ilgili birçok belirsizliğin elenmesi sağlanmıştır. Pozisyonu iki boyutlu ölçebilmek için, aracı döndürüp taramayı tekrar etmek gerekirdi. Değişen aralıklı modülasyon kolimatörlerinde (Adams et al 197) cihaz yıldıza göre sabit durur ve ızgaralar arasındaki uzaklık değişir ki modülasyon frekansı kaynağın konumuna göre değişisin. Cihaz birden fazla kaynağı aynı anda bulabilir, fakat iki boyutlu konum tespiti için döndürülmeli ve ızgara taraması tekrarlanmalıdır. Dönen modülasyon kolimatörü (RMC) bu iş için en uygun olanıdır (Schnopper et al 1968, 1970). Tek bir sabit aralıklı modülasyon kolimatörü, eksen olarak gökyüzünün sabit bir pozisyonuna yönlendirilip daha sonra ekseni etrafında döndürülür. Görüş alanındaki her noktasal kaynak karmaşık bir modülasyon şekli üretir, iki boyutlu bir harita çıkarmak için büyük bilgisayarlarla gelen verileri analiz etmek mümkündür. Bu teknik SAS-3 gibi dönmesi sabitleştirilmiş uydular için uygundur. Bu tekniklerden hiç biri geniş kaynakların haritalanması için uygun değildir. Modülasyon kolimatörlerinin en belirgin avantajı normal kolimatörlere göre x-ışın kaynağının konumunu çok yüksek bir kesinlikte tespit edebilme yeteneğidir. Bu özellik optik veya kızıl ötesi bölgesinde eşi bulunan x-ışın kaynaklarını belirlemede büyük önem taşır. Geleneksel yüksek çözünürlüklü kolimatörlere göre hassasiyet avantajı vardır, çünkü modülasyon kolimatörle gökyüzünün büyük bir bölgesi taranırken yüksek çözünürlükte çalışılsa bile kaynak exposure hala büyüktür. Sco X-1 gibi galaktik şişiminde bulunan parlak kaynaklar modülasyon kolimatörleri kullanılarak yerleri tespit edilmiştir..9. Odaklama Sistemleri X-ışınlarını cilalı metal yüzeyden gelen ışınların kırılmasını kullanarak odaklayabiliriz. Madenin soğurma özelliğinden dolayı lensler ve normal aynalar x-ışın dalgaboylarında kullanışsızdır. Bu nedenle temel x-ışın optik bileşeni paraboloit gelen ışın reflektöründen oluşur. Bu reflektör küçük x-ışın enerjilerinde daha etkilidir ve bu cihazlar sadece 3 veya 4 kev enerjilerin altındaki enerjilerde kullanılırlar. Gelen ışın toplayıcısı, gelen x-radyasyonunu küçük bir detektöre odaklamak için kullanılan bir cihazdır. Genelde odaklama tek boyutta yapılır. Odaklama özellikleri zayıftır, fakat geleneksel kolimatörlerle gere daha küçük detektörlerin kullanımı arka plan kozmik ışınlarının azaltma avantajı vardır.

13 Şekil.6. Gelen ışın yansıtıcı teleskopun kesiti Odaklı x-ışın teleskopu yüksek kaliteli görüntü almak için iki yansıtıcı yüzey kullanır, birinci yüzey paraboloit ikinci yüzey hiperboloit. Fotoğraf filminin kayıt edebileceği kadar büyük akısı olduğu için, günümüzde bu tür odaklı teleskoplarla en çok Güneş in görüntüsü alınmıştır. X-ışın reflektörü ve hassas görüntülü orantısal sayım detektörlerin birleşimi gözlemsel x-ışın astronomisinde büyük gelecek vaat eder de fırlatılan HEAO-B bu türde cihazları taşıyan ilk uydudur ve sonuçları da merakla beklenmektedir. X-ışın odaklı teleskopun detaylı optikleri Giacconi et al (1969) da verilmiştir.10. X-ışın Uyduları Çok az sayıda uydu bu monograftaki birçok gözlemi yürütmektedir. Uhuru ABD nin 1970 te fırlattığı ilk uydudur. Uydunun dönüşüne göre tarama yapan basit kolime edilmiş orantısal sayaç detektörleri taşıyordu. Dönme eksen yönünün değiştirilebilir olması tüm gökyüzünü taramasına izin veriyordu. Ariel V İngilizlerin gönderdiği buna benzer bir uydu, Uhuru daki donanıma ek olarak birçok donanım içermekteydi. OSO-7 ve ANS da benzer uydulardır. SAS-3 dönen modülasyon kolimatörü içeriyordu ve bu sayede birçok x-ışın kaynağının konumunu tespit etti. HEAO-A en son fırlatılan en büyük uydudur. OAO-C olarak da anılan Copernicus, bilindik kaynakların daha detaylı çalışmasını yürüten küçük odaklayıcı kolimatör taşımaktaydı. HEAO-B (1978) tam odaklayıcı teleskop taşıyor ve x-ışın kaynakları çalışmalarında birçok gelişmelere neden olacağı benzer. Optik teleskop kalitesinde görüntü alma kapasitesi vardır. Bu görüntü alma özelliği şimdiye kadar elde edilmemiş hassasiyette görüntüler sağlayacaktır. HEAO-B ile yapılan gözlemler daha sönük ekstra galaktik kaynakları daha iyi anlamamızı sağlayacaktır.

14 3. X- Işın Astronomisinde Teorik Argümanlar 3.1 Giriş Bu bölümde, X-ışın astronomisinde gözlemleri yorumlamak için kullanılan argümanları tartışacağız. Yığılmalı çift yıldız modeli Bölüm 4 te anlatılacağı gibi, bu model geniş kitleler tarafından kabul edildiği için bu bölümde de dahil edilmiştir. 3. Kaynak Değişkenliği Süpernova kalıntılarının dışındaki, Galktik X- ışın kaynaklarının ortak özelliği, x-ışın parlaklıklarının saat, dakika, hatta bazen saniye bazında değişmesidir. Cygnus X-1 in parlaklığı milisaniyelerle değiştiği görülmüştür. Radyo galaksisi Centaurus A gibi bir ekstra galaktik kaynağın bile parlaklık şiddeti uzayda hafta bazında değişir. Bu şiddet değişimleri, x-ışını yayan bölgenin şeklini belirlemede şu şekilde kullanılır. Kaynak bölgenin R yarıçaplı küresel bir bölgeden oluştuğunu varsayalım, şöyle ki birim hacimdeki x- ışın parlaklığı sabittir. Merkezdeki %1 lik hacmin şiddeti belirli bir sebepten dolayı parlaklıktaki düşmeye sebep olsun. Çoğunlukta salınım yapan hacmin ardından parlaklığının azalması takip etse de, gözlemci gereçlerde parlaklıkta herhangi bir değişim gözlenmez. Parlaklıktaki değişim kaynağın geri kalan bölgelerine bir şekilde iletilmesi gerekir. Hiçbir sinyal ışık hızından daha hızlı seyahat etmeyeceği için, merkezdeki trendin dış katmanlara yayılması için, en azından t=r/c kadar bir zaman alacaktır. Tüm hacimdeki katkıların toplamı olan gözlenen sinyal, zamanla t kadar azalma gösterecektir. Bundan dolayı x-ışın kaynağı yoğunluğundaki dalgalanmalar (%0 civarı veya fazla), t zaman ölçeğinde gerçekleşir ve bunu takiben salınım yapan bölgenin yarıçapı R=ct yi aşmaz. 1 saniye ölçeğinde oynama yapan X-ışın kaynaklarının yarıçapları R=cx1 =3x10 10 x1cm =3x10 5 km den küçük olmalıdır. Güneşin yarıçapı 7x10 5 km. Bir saat ölçeğindeki oynamalar cm den küçük yarıçapı belirtir ve çoğu galaktik kaynak bu çizelgede değişkenlik gösterir. Civardaki bir x-ışın kaynağının 500pc = 1,5x10 1 cm uzaklıkta olabilir ve dolayısıyla 1 saat arayla değişen kaynağın açısal çapı x10 14 /(1,5x10 1 ) radyanı aşamaz ve 1 açı saniyeden az olamaz. Değişkenliklerine dayanarak birçok galaktik x-ışın kaynakları yıldız benzeri olarak sınıflandırılır. 3.3 X ışın salınım mekanizması ve kaynak tayfı Yoğun x-ışın yayılımını açıklamak için farklı mekanizmalar bulunur: i) birkaç milyon Kelvin sıcaklığındaki cisimlerden gelen termal ışıma, ii) manyetik alan etkisinde hareket eden yüksek enerjili kozmik elektronlardan kaynaklanan sinkrotron ışıma, iii) düz veya mikrodalga fotonları ile çarpışan kozmik ışınların ters Compton saçılması. Termal ışıma optik olarak ince gazlardan ısısal frenleme mekanizması veya optik olarak kalın gazlardan kara cisim ışıması şeklini alabilir. Bu iki mekanizmalardan biriyle x-ışın tayfını yorumlamak genel bir uygulamadır. Gözlenen tayf aşağıdaki özellikleri gösterir: (1) düşük enerjilerde oldukça keskin kesilme ve () bu süreç x-ışın enerjisinin E artışı ile ya E nin katları olarak veya exponansiyel olarak azalır.

15 Şekil 3.1. Standart x-ışın tayfı Düşük enerjilerdeki kesilme, genelde görüş alanındaki soğuk materyal tarafında soğurma olarak yorumlanır. E nin katları olarak azalan sürekliliği, güç kanunu enerji tayfına sahip elektronlar tarafından, sinkrotron veya zıt Compton etkisi tarafından üretildiği şeklinde yorumlanır. E nin eksponansiyel olarak düştüğü süreç, termal süreç tarafından üretildiği şekilde yorumlanır. Tayf düşük enerjilerde düz ise termal frenleme ışınımı vardır, kara cisim ışımasında ise belirgin bir tepe görülür. Bunlar doğruluk payı olan genelde kabataslak yorumlardır, fakat okuyucu aşağıdaki karışıklık meydana getirebilecek durumlardan haberdar olmalıdır.

16 a) Belli sıcaklık aralığında ve limitli enerji aralığında güç kanunu tayfı üretebilen termal frenleme modeli kurulabilir. b) Güç kanunu kullanmadan, kabaca eksponansiyel x-ışın tayfı oluşturan sinkrotron veya ters Compton modeli kurulabilir. c) Aradaki soğuk madde tarafından soğurulan ve düşük enerjilerde kesilme gösteren kara cisim tayfı ile termal frenleme tayfını ayırt etmek zordur, fakat tayfsal soğurma çizgilerinden termal frenlemeyi ayırt etmek mümkündür: Şu anki kozmik x- ışın kaynağının anladığımız kadarki doğasından, termal frenleme mekanizması, sinkrotron ve ters Compton mekanizmasından daha yaygındır, bundan dolayı termal mekanizma ve kara cisim öncelikle incelenecektir. 3.4 Termal Frenleme (Serbest Serbest ) Işınımı 10 7 K den sıcak gazlar, optik olarak ince olduklarında termal frenleme ile x- ışını yayar. (Optik olarak ince demek, gaz, ışımayı soğuracak kadar kalın ve yoğun değil, dolayısıyla gözlenen x-ışın tayfı, üretildiği andakiyle aynı.) Sıcak gaz üç şekilde yayılır- termal frenleme, bağlı-bağlı ve serbest bağlı emisyonu. Son iki süreçte atomların en azından bazı elektronlarının yörüngede bağlı kalmalarını gerektirir. Normal astrofiziksel element bolluğundaki gaz plazmalar (çoğunlukta hidrojen ve helyum ve atom ağırlı arttıkça bolluğu azalan ağır elementler) 10 7 K üzerindeki sıcaklıklarda nerdeyse tamamen iyonlaşmış durumdadır. Bundan dolayı dikkate alınması gereken temel emisyon termal frenlemedir. Termal frenleme (serbest-serbest ışınım), elektronların, plazma içindeki pozitif iyonların (çekirdek) Coulomb çekim alanından geçerken ışıma yapmaları sürecidir. Her birim hacim gazın yaydığı ışımanın tayfı ve yoğunluğu: B h g exp( ) kt 1 T n e, ( ısısal temelli mekanizmanın en temelinde yatan formül) B v şiddet erg -3 s -1 Hz -1 sr -1 biriminde; g Gaunt faktörü: birim değerinde ve yavaş değişen nin bir fonksiyonu, h CGS biriminde Planck sabiti, k CGS biriminde Boltzmann sabiti, T Kelvin cinsinden sıcaklık ve n e elektron yoğunluğu, birimi cm -3. Işınım yayan bölgenin hacmi V ve açığa çıkan toplam enerji L v 39 h g exp( ) ne dv erg s -1 Hz -1 kt T n e dv emisyon ölçüsü olarak bilinir. Tüm tayf üzerinden integral aldığımızda toplam parlaklık bağıntısını elde ediyoruz L g T ne dv erg s -1 h, kt den büyük olduğunda termal frenleme, foton enerjileri ile eksponansiyel olarak azalan bir tayf verir, h kt den küçük olduğunda sabit kalır. Kara cisim tayfı yüksek enerjilerde buna benzer davranır, fakat kanunu takiben kt den küçük enerjilerde kesilme

17 meydana gelir. X-ışın astronomunun h kt nin, T=1.x10 7 K de h 1keV a karşılık geldiğini hatırlamasında yarar vardır. Düşük enerjilerde termal frenleme tayfında kesilmeye neden olan iki olası faktör bulunur. Birincisi x-kaynağının görüş açımız doğrultusunda soğuk madde tarafından soğurulmasıdır. Bu etki Galaktik düzlemde 5kpc veya fazla uzakta olan kaynaklarda oldukça belirgindir, bu durum bölüm 3.10 da detaylı bir şekilde tartışılacaktır. İkincisi emisyon yapan plazmanın kendisindeki serbest-serbest soğurmadır. Bunun meydana geldiği foton frekansı, elektron yoğunluğuna ve emisyon yapan plazmanın hacmine bağlıdır, genelde bu tayfta x-ışın bölümünün altında yer alır. Sco X-1 in tayfın kızıl ötesi bölgesindeki serbest-serbest soğurması gözlemi, bu kaynaktaki elektron yoğunluğunu elde etmek için kullanılmıştır. Sıcak gazlar için termal frenlemenin temel emisyon mekanizması olduğu varsayımı, sıcaklıkları 0-00x10 6 K arasında, birçok (zor belirlenen) Galaktik x-ışın kaynağının tayfını açıklamak için çok uygundur. Sıcak gaz x-ışın modelleri kurduğumuzda, iki tane ek faktör göz önünde bulundurulmalıdır. Birincisi, her bir gerçekçi sıcak gaz kütlesinin içinde sıcaklık gradiyenti içerir, şöyle ki sonuçtaki x-ışın tayfı farklı sıcaklıklarla nitelendirilen termal frenleme tayfından kaynaklanacaktır. (tek sıcaklıkta bu tayfı temsil edemiyoruz, farklı sıcaklıklarda toplam eklenir,,3 farklı sıcaklık kullanılabilir). İkinci olarak x-ışın sıcaklıklarında kozmik plazmanın tamamen iyonlaştığını söylemek doğru değildir K de bile demir bir veya iki bağlı elektron tutar. Sonuç olarak Fe XXV (5 kere iyonize olmuş) ve Fe XXVI termal frenleme tayfın üzerine biner. Bu çizgiler genişlemiş olmasına rağmen Sco X-1 ve Cyg X-3 kaynaklarında gözlenmiştir K de bazı diğer elementler tam olarak iyonlaşmamıştır, 10 6 K de ise sıcak gazın kozmik bileşimi çizgi ışıma(bir sürü çizgi görülür) ile belirginleşir. (Güneş koronası bunun için bir örnektir, Culhane 1977). Vela X ve Cygnus Loop gibi eski süpernova kalıntıları, birkaç milyon derecede optik olarak ince x-ışın yayınlayıcıları oldukları inanılarak, tayflarının basit eksponansiyel kanundan belirgin bir şekilde sapması beklenir. Böyle bir plazmadan beklenen detaylı hesaplamalar Tucker ve Korean 1971 tarafından yayınlanmıştır. Şekil 3.. Termal frenleme mekanizması Termal frenleme radyasyonun temel fiziği şu şekilde açıklanır. (Örneğe bak, Rose 1973) Sıcak gaz ana atomdan ayrılmış elektronlar içerir. Böyle bir elektronun göreli olmayan bir hızla hareket ettiğini düşünün. Tek yüklü çekirdeğe şekilde gösterildiği gibi b (uzaklık) çarpma parametresiyle yaklaştığını varsayın. Elektron ile pozitif iyon arasındaki elektrostatik çekim, elektronun parabolik yörüngede hareket etmesine sebep olur. Elektron kabaca

18 a ( K1e ) / b, şeklinde ivmelenir, e elektron yükü ve K 1 sabittir, tahmini süre t = b/v. İyon elektrondan çok daha kütleli olduğu için, ivmesi ihmal edilebilir. Bundan dolayı elektronun t sürede bir atma radyasyon yaydığı düşünülür. Böyle bir atmanın Fourier analizleri 1 v. t b foton frekansında belirgin bileşeni olduğunu gösterir. Klasik elektromanyetik teoriye göre, ivmelenmiş elektronun elektromanyetik radyasyonu yayma oranı, ivmenin karesiyle orantılıdır. de K a. dt a yı yerine koyduğumuzda ve K 3 sabit terimini dediğimizde de 4 buluruz. dt K 3 / b Çarpışan bir elektron tarafından yayınlanan enerji miktarı de E dt K b K3. v b. t b Plazmanın tüm radyasyonu, hız aralığı v, çarpma parametre aralığı b olan, birçok elektron etkisinin toplamı olacaktır. Adım adım ilerlediğimizde, ilk önce çarpma parametrelerinin etkisini göz önüne aldığımızda, tüm elektronların aynı hıza sahip olduğunu düşünelim. Bir elektronun protonla b den b+db aralığında çarpışma parametresiyle 1 saniyede çarpışma olasılığı Pdb, çarpma halkasının alanı bdb ye, proton yoğunluğu (elektron yoğunluğu n e ile aynı olacaktır) ve elektron hızına bağlıdır v: Pdb bdbn v olacaktır. e Saniyedeki çarpışma sayısı, Ndb, b ve b+db aralığındaki çarpışma parametresi, elektron yoğunluğuna n e ye bağlı olacaktır. Öyleyse Ndb = πb db n e v. Birim hacimden birim saniyede ile d frekans aralığında bu çarpışmalardan yayınlanan enerji miktarı: K3 K3 n e db I vd ENdb bdbn v. 3 e b v b Frekans aralığı d, çarpışma parametresi db ile yukarıdaki bağıntı kurulduğunda

19 v. b vdb Diferansiyelini aldığımızda d. b I ifadesinde db yi yerine koyduğumuzda K 4ne d I d, Burada K 4 tüm sabit terimleri toplar. ( K 4 = K 3.4π ) v Bu denklem plazma tarafından yayılan, aynı hızdaki elektronları içeren I tayfı düz olacaktır. Açık olarak bu tayf sonsuz yükseklikteki foton frekanslarını aşamaz; tayfta kesilme foton enerjisinin toplam kinetik enerjiye eşit olduğu durumda meydana gelir. 1 h, m v 0 Burada h Planck sabiti, m 0 elektron kütlesi. X-ışın sıcaklıklarında plazma içinde bile elektronlar göreli olmayan hızlarda hareket eder. Hesaplamaları tamamlamak için, plazma içindeki elektronların dağılımını göz önüne almak gerekir, T sıcaklığında termal dengede olduklarını düşünürsek. Maxwell-Boltzmann hız dağılımına göre, bir kesim elektronların bileşenleri aşağıdaki aralıklarda olduğunda v x den v x +dv x v y den v y +dv y v z den v z +dv z 3 m0 f ( v) d v ( ) kt 3/ m0v exp( kt ) d 3 v şeklinde verilmiştir. Burada 3 v v v v ve d v dv dv dv. x y z x y z vd 3 v hız aralığındaki elektronlar gözlenen tayfa m0v 3 K 4ne için I d f ( v) d v d h v kadar katkıda bulunur. Toplam gözlenen tayf, tüm elektronların hız dağılımı üzerinden integral alındığında elde edilir. I d K n 4 e h / m0 f ( v) 3 m0 3/ 1 m0v 3 d vd K 4ne d ( ) exp( ) d v. v kt v kt h / m0

20 : v : hıı frekans Küresel koordinatlarda integrali tekrar yazdığımızda 3 d v v dvd sind. Öyleyse m0v h d sind vexp ( ) dv sabit T exp ( ). kt kt 0 0 h / m0 Termal frenlemeden beklenen tayf şu şekli alır: I d K n 5 e 1 1/ T h exp ( ). kt Daha detaylı termal frenleme denklemi: 1 h I d K5g( v) ne exp ( ), 1/ T kt g(v) v ye bağlı olarak yavaş değişen birim değerinde kuantum mekanik faktörüdür. 3.5 Kara Cisim Işıması Yayınlama mekanizması ne olursa olsun, optik olarak kalın bir cisim kara cisim tayfı oluşturacaktır. Bunun sebebi optik olarak kalın cisim, soğurma kadar emisyondan da etkilenir. Bundan dolayı termal frenleme kaynağı kendi radyasyonunu soğuracak kadar kalın olduğunda tayfı kara cisim olarak görünür. Sıcak nötron yıldızının da kara cisim tayfı vardır. Kara cisim ışımasının tayfsal formu sadece sıcaklığa, T, bağlıdır. Planck yasası tüm tayfsal detayları verir: B c 3 h exp( h / kt) 1 B : birim alandaki, birim zamanda ve birim bant genişliği frekansındaki enerji, h: Planck sabiti, yayınlanan foton frekansı, c ışık hızı ve k Boltzmann sabitidir. Planck formülü kullanışsızdır, fakat bundan uygulanması daha kolay aşağıdaki bağıntılar elde edilir. Tepenin oluştuğu foton frekansı T( Hz) olarak verilmiştir. Birim alandan birim saniyede yayılan toplam enerji 4 B T olarak verilmiştir. Burada Boltzmann sabitidir.