Fiz Ders 10 Katı Cismin Sabit Bir Eksen Etrafında Dönmesi

Transkript

1 Fiz Ders 10 Katı Cismin Sabit Bir Eksen Etrafında Dönmesi Açısal Yerdeğiştirme, Hız ve İvme Dönme Kinematiği: Sabit Açısal İvmeli Dönme Hareketi Açısal ve Doğrusal Nicelikler Dönme Enerjisi Eylemsizlik Momenti Hesabı Tork (Döndürme Etkisi) Dönme Hareketinde iş, Güç ve Enerji

2 Açısal Hareket O noktasından geçen xy düzlemine dik bir eksen etrafında dönen katı bir cismi gözönüne alalım. Cismin üzerindeki bir P noktası şekilde görülen kesikli dairesel yörünge üzerinde hareket eder. Cisim üzerindeki her nokta dairesel hareket yapar. P noktasının konumunu kutupsal koordinatlarla r, θ göstermek daha uygun olur. P noktasının hareketi boyunca r sabit kalır, değişen sadece q dır. r r, θ = r cos θ i + r sin θ j r = r cos θ i + r sin θ j r = x i + y j (Dik (x,y) (kartezyen koordinat sistemi) koordinat sisteminde x ve y nin her ikisi de değişir.)

3 Radyan ve Derece t sürede P noktası, s kadar yerdeğiştirirse, bu yerdeğiştirme ile ona karşılık gelen açı arasındaki bağıntı θ = s r s = θ r θ açısı, bir yay uzunluğunun yay yarıçapına oranıdır ve boyutsuz bir sayıdır. Fakat yaygın olarak θ nın birimi olarak radyan (rad) olarak alınır. 1 rad = 360 2π = 57,3 Örnek: 30 kaç radyandır?

4 Açısal Yerdeğiştirme ve Hız Açısal yerdeğiştirme genelde θ sembolü ile gösterilir. t sürede P noktasının açısal yerdeğiştirmesidir. θ = θ s θ i Ortalama açısal hız ω sembolü ile gösterilir. Birim zamanda sürede P noktasının açısal yerdeğiştirmesidir. ω = θ t = θ s θ i t s t i θ ω = lim t 0 t = dθ dt Ani açısal hız

5 Problem m Yarışı Birinci kulvar yarı çapı r = 55,0 m olan dairesel bir pistte 400 m yarışı yapılmaktadır. Yarışı 3. kulvarda koşan sporcu 48,12 s ile birinci olarak tamamlamıştır. 5. kulvarda koşan sporcu ise 1,01 s sonra ikinci olarak yarışı tamamlamıştır. a) 1. gelen sporcunun ortalama hızı v ve ortalama açısal hızı ω nedir. b) 2. gelen sporcunun ortalama hızı v ve ortalama açısal hızı ω nedir. c) 1. gelen sporcu ile 2. gelen sporcunun açısal yerdeğiştirmesi arasındaki fark nedir?

6 Problem 10.2 Serway P4 / 316 Saat Bir saatte, akrep ve yelkovan saat 12:00 da üst-üste gelir. a) Bu kolların üst-üste geldiği diğer zamanları (saniye hassasiyetinde) tespit edin. b) Saatin saniye ibresi de varsa bunların üst-üste geldiği zamanları belirleyin.

7 Açısal İvme α Ortalama açısal İvme α (alfa), açısal hızdaki ω değişimin zaman değişimine t oranıdır. α = ω t = ω s ω i t s t i Eğer t 0, ani açısal ivme ω α = lim t 0 t = dω dt Katı bir cisim sabit bir eksen etrafında dönerken, katı cismin üzerindeki her bir noktanın açısal hızı ve açısal ivmesi aynı olur.

8 Dönme Kinematiği Sabit Açısal İvmeli Dönme Hareketi α = sabit dω dx = α dθ dx = ω ω = ω o + αt θ = θ o +ω o t αt2 Sabit ivmeli dönme hareketi ve doğrusal hareketin kinematik eşitlikleri Sabit eksen etrafında dönme hareketi ω = ω o + αt θ = θ o +ω o t αt2 ω 2 = ω 2 o + 2α θ θ o Doğrusal hareket v = v o + at x = x o +v o t at2 v 2 = v 2 o + 2a x x o Verilen bu eşitlikler açısal ivmenin sabit olduğu durum için çıkarılmış olup, açısal ivmenin sabit olmadığı durumlarda kullanılamaz. Örnek: Bir tekerlek, α = 3,50 rad/s 2 lik açısal ivme ile dönüyor. t = 0 da tekerleğin açısal hızı ω = 2,00 rad/s ise, t = 2,00 s de (a) teker ne kadarlık açı döner? (b) açısal hızı nedir? (c) bu sürede kaç devir yapar? Sonuçlar: (a) θ = 630 (b) ω = 9,00 rad/s (c) 1,75 dev.

9 P noktasının hareketi için θ = s r r sabit olacağından v = ds dt = d dt rθ a tan = dv dt = d dt rω Açısal ve Doğrusal Nicelikler s = θ r v = rω a tan = rα a rad = v2 r = rω2 a = a tan + a rad = rα θ + v2 r r a = a t 2 + a r 2 = r α 2 + ω 4

10 Problem 10.3 Serway Ö10.2 / 298 CD çalar Bir kompakt diskte ses bilgileri, disk yüzeyinde, bir dizi çukur ve düz alanlarda depolanır. Bilgiler lazer ve merceklerden oluşan bir sistem tarafından tespit edilir ve sese dönüştürülür. Tek bir bilgiyi temsil eden bir dizi sıfırın uzunluğu, bilgi diskin merkezinin yakınında veya dış kenarında olsun disk üzerinde her yerde aynıdır. Bu nedenle disk yüzeyininin her yerinde teğetsel (çizgisel) hız aynı olmalıdır. Bunu, lazer-mercek sistemi disk boyunca radyal olarak hareket ederken açısal hızı değiştirerek sağlanır. Tipik bir kompakt disk oynatıcıda, yüzeyin lazer lens sistemi noktasındaki sabit hızı 1,30 m/s'dir. a) Diskin açısal hızını iç ve dış noktalarda bulunuz. b) Standart bir müzik CD'sinin maksimum oynatma süresi 74 dakika ve 33 saniyedir. Bu süre zarfında disk kaç devir yapar? c) İzin aldığı yol kaç metredir? d) Bu zaman aralığında CD'nin açısal ivmesi nedir? (Sabit olduğunu varsayalım.) Sonuçlar; a) ω i = 56,5 rad/s, ω d = 22,4 rad/s b) θ = 2, devir c) x = 5, m d) α = 7, rad/s 2

11 Tork τ (Döndürme Etkisi) Bir cisim üzerine uygulanan kuvvetin, cisim üzerindeki döndürme eğilimine tork (döndürme etkisi veya döndürme momenti) denir. Vektörel bir büyüklük olup, yönü sağ el kuralı ile bulunur. Birimi (N.m) dir. τ = rf sin φ veya τ = Fd τ = r F Eğer birden çok kuvvet cisim üzerinde etkili ise, her bir kuvvetin seçilen dönme noktasına göre momentleri toplanır. τ = τ 1 + τ 2 τ = F 1 d 1 F 2 d 2

12 Problem 10.4 Serway Ö10.9/306 Katı bir silindir şekildeki gibi sürtünmesiz bir mil etrafında serbestçe dönebilecek şekildedir. Dış yarıçapı R 1 olan silindir etrafında sarılı bir ipe, sağa yönelmiş F 1 kuvveti uygulanıyor. R 2 yarıçaplı üzerindeki ipe de aşağı yönelmiş F 2 kuvveti uygulanıyor. a) O dan geçen z eksenine göre silindire etti eden net tork nedir? b) F 1 = 5,00 N, R 1 = 1,00 m, F 2 = 15,0 N ve R 2 = 0,500 m olduğunda net tork nedir? a) τ = T 1 d 1 + T 2 d 2 b) τ = 2,50 Nm

13 Tork ve Açısal İvme Arasındaki İlişki Şekildeki teğetsel bir F t kuvveti ile merkezcil F r kuvveti etkisinde, r yarıçaplı dairesel bir yörüngede dönen m kütleli bir parçacığı ele alalım. Merkezcil kuvvet m kütleli cismi dairesel yörüngede tutan kuvvettir ve parçacık üzerinde herhangi bir torka sahip değildir. (r ile F r arasındaki açı 180º dir.) Newtonun II yasası Teğet eksen F t = ma t = mrα F = m a F t + F r = m a t + a r Radyal eksen F r = ma r = m v2 r O noktasına göre m kütlesinin üzerine etki eden net torku τ = r F t sin 90 + r F r sin 0 =0 τ = r ma t τ = mr 2 α τ = I α I eylemsizlik momenti denir ve I = mr 2

14 Problem 10.5 Serway Ö10.10/308 Dönen Çubuk Uzunluğu L, kütlesi M olan düzgün bir çubuk, şekildeki gibi, bir ucu etrafında sürtünmesiz dönebilecek durumdadır. Çubuk yatay durumunda iken serbest bırakılıyor. Çubuğun ilk açısal ivmesi ve sağ ucunun ilk çizgisel ivmesi nedir? I = 1 3 ML2 Sonuç : α = 3g 2L a t = 3 2 g

15 Problem 10.6 Serway Ö10.12/310 Bir Tekerleğin Açısal İvmesi Yarıçapı r, kütlesi M ve eylemsizlik momenti I olan bir tekerlek, şekilde görüldüğü gibi, sürtünmesiz yatay bir mil üzerine monte edilmiştir. Tekerlek etrafına sarılı hafif bir ipin ucuna m kütleli bir cisim bağlanmıştır. m kütleli cisim serbest bırakılırsa a) tekerleğin açısal ivmesi, cismim çizgisel ivmesi ve ipteki T gerilme kuvvetini bulunuz? b) M = 2,00 kg, r = 30,0 cm, I = 0,090 kg m 2 ve m = 0,500 kg dır. Sonuç : T = 3,27 N α = 10,9 rad/s 2

16 Dönme Enerjisi Küçük parçacıklardan oluşan katı bir cisim, z ekseni etrafında sabit w açısal hızı ile döndüğünü kabul edelim. Her parçacığın bir kinetik enerjisi vardır. i inci parçacığın kütlesi m i ve hızı vi ise kinetik enerjisi E i K.E. = 1 2 m iv i 2 E K.E. = 1 2 m i v i 2 = 1 2 m i ω 2 r i 2 E K.E. = 1 2 m i r i 2 I ω 2 E K.E. = 1 2 Iω2

17 Problem 10.7 Serway Ö10.14/314 Dönen Çubuk Uzunluğu L, kütlesi M olan düzgün bir çubuk, şekildeki gibi, bir ucu etrafında sürtünmesiz dönebilecek durumdadır. Çubuk yatay durumunda iken serbest bırakılıyor. a) Çubuk en düşük konumdayken açısal hızı nedir? b) Bu konumdayken, çubuğun kütle merkezinin ve çubuğun sağ ucunun hızı nedir? I = 1 3 ML2 M = 2,00 kg L = 1, 50 m

18 Problem 10.8 Serway Ö10.15/314 Bağlı Kütleler Dönme eksenine göre eylemsizlik momenti M yarıçapı R olan bir makara üzerinden geçen bir ipin uçlarına m 1 m 2 olan iki kütle bağlanıyor. m 2 kütlesi h kadar aşağı düştükten sonra, kütlelerin çizgisel hızlarını ve makaranın açısal hızını bulunuz? I Silindir = 1 2 MR2 m 1 = 1,00 kg m 2 = 3,00 kg M = 2,00 kg R = 0,25 m h = 0,50 m