KALİBRASYONDA ÖLÇE BELİRSİZLİĞİ

Transkript

1 KALİBRASYONDA ÖLÇE BELİRSİZLİĞİ GİRİŞ Belirsizlik sözcüğü tek başına kullanıldığında kesin olmayış, güvenilir olmayış gibi olumsuz anlamlar çağrıştırır. Ancak, ölçüm belirsizliği veya kalibrasyon sonucunun belirsizliği gibi teknik deyim biçiminde kullanıldığında, daha özgül, daha masum bir anlama bürünür. Ölçüm belirsizliği ölçüm sonucuyla beraber mutlak bir sürette yer alması gereken bir parametredir. Bunun bir çok nedeni var. Örneğin, herhangi bir laboratuvar belirli bir büyüklüğün ölçümünü yaparak tek bir sonuç beyan etmiştir. Bir başka laboratuvar da aynı ölçümü gerçekleştirdikten sonra farklı bir sonuca ulaşmıştır. Bu durumda iki laboratuvar tarafından bulunan değerler arasındaki farkın neden kaynaklandığının yorumu bir hayli zordur. Oysa, ölçüm sonucuyla birlikte belirsizlik değeri de verilirse, her laboratuvar bu ölçümde sonuçların bulunabileceği aralık güvence altına almış olacak. İki laboratuvar güvence altına aldıkları aralıkların örtüşmesi halinde yoruma açık bir durum söz konusu değildir. Dolayısıyla, ölçüm belirsizliği saptanıp ölçüm sonucu ile birlikte verildiğinde, elde edilen değerlerin olası hangi aralıkta yer alacağını ve güven düzeyini yansıtır [1]. İki farklı laboratuvar aynı ölçümü gerçekleştirme yeteneğine sahip olduğu zaman, daha düşük belirsizlik değeri veren laboratuvarın teknik kapasitesi diğerine göre daha üstün sayılır. Ölçüm sonucu rapor edilirken, sonucun kalitesini belirten sayısal bir gösterge olmalıdır ki bu sonucu kullanan kişiler sonucun güvenilirliğini tayin edebilsinler. Ölçüm kalitesinin ve ölçüm sonuçlarının güvenilirliğinin göstergesi belirsizlik değeridir. Ölçüm belirsizliğinin hangi şekilde ve ne amaçla kullanıldığını açıklamak için basit bir laboratuvralararası karşılaştırma örneğini inceleyelim. 5 farklı metroloji laboratuvar 100 g lık nominal kütleye sahip bir kütle standardının kalibrasyonunu gerçekleştirdiğini varsayalım. Herbir laboratuvar tarafından kütle değeri ve bunun belirsizliği için beyan ettikleri değer Tablo 1 de verilmiştir. Tablo 1. Laboratuvarlararası karşılaştırma sonuçları Laboratuvar Ölçüm Sonucu (g) Belirsizlik (g) Ortalamadan Sapma (g) A B C D E Ortalama Laboratuvarların beyan ettikleri kütle değerleri m A, m B, m C, m D ve m E kullanılarak ortalama kütle değeri m aşağıdaki formülle hesaplandığında g bulunmuştur.

2 Kütle Değeri (g) ma mb mc md me m g g 5 5 Tablodaki veriler incelendiğinde, sadece laboratuvarların beyan ettikleri belirsizlik değerleri dikkate alınırsa en iyi kalibrasyon yeteneğine A ve C laboratuvarlarının sahip olduğu kararı verilebilir. Çünkü A ve C laboratuvarları karşılaştırmada kullanılan referans kütlenin kalibrasyonunu diğer laboratuvarlardan daha düşük bir belirsilikle gerçekleştirmişler. Ancak O rtalama A B C D E Laboratuvar Şekil 1. Karşılaştırma sonuçlarının grafiksel gösterimi laboratuvarlararası karşılaştırmaların sonuçlarını değerlendirme aşamasında daha önemli bir kriter kullanılmaktadır. Kritere göre her laboratuvarın beyan ettiği değerin ortalama değerden farkı beyann etiği belirsizlikten küçük olmalıdır. İkinci kritere göre değerlendirme yapılırsa A laboratuvarının karşılaştırma sonuçlarının tatmin edici olmadığı kararına varılabilir. Verilen bu örnekte en basit değerlendirme örneği kullanılmıştır. Karşılaştırmalarda ortalama değer yerine karşılaştırmanınn referans değeri olarak adlandırılan parametre kullanılmaktadır. Referans değer ise farklı ölçüm dallarında farklı yöntemlerle hesaplanmaktadır. Bu aşamada yukarıdaki örnekteki gibi genel ortalama hesaplanabilir veya sadece laboratuvarların beyan ettikleri sonuç değil belirsizlik değerini de dikkate alan ağırlıklı ortalama, veya median değerleri kullanılabilir [1].

3 Belirsizlik Hesaplarının Tarihçesi 1960 yıllara kadar hem metroloji hem de mühendisliğin farklı dallarında kullanılan terimler hata ve hata analiziydi 1970 yıllarda terimler sözlüğüne belirsizlik kelimesi dahil edildi yıllarında BIPM in 3 ulusal laboratuvarın katılımıyla gerçekleşen anket çalışması 1979 yılında BIPM in önerisi doğrultusunda ISO bazında TAG4/WG3 çalışma grubu kuruldu 1981 yılında Belirsizlik Hesapları ile ilgili ISO TAG4/WC3 ün ilk önerileri sunuldu 1981, daha sonra 1986 ve 1991 yıllarında öneriler revizyondan geçirildi 1993 yılında ISO tarafından kılavuz niteliğinde Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement hazırlanarak yayınlandı. 3

4 1. GENEL TANIMLAR VE KAVRAMLAR Ölçüm ve kalibrasyonlardaki belirsizlik hesaplamalarında kullanılan temel yöntemlerden bahsetmeden önce, metrolojide sık sık kullanılan bazı tanımların açıklanması gerekir. KALİBRASYON ( CALİBRATİON ) Tanımlanmış şartlar altında, ölçme sistemi veya ölçüm cihazının göstermiş olduğu değer (yada referans materyal değerleri) ile buna karşılık gelen standartlarda yer alan değerlerin karşılaştırılması işlemleri dizisidir. Kalibrasyon sonuçları standartlara karşılık ölçülen büyüklüklerin belirlenmesinde kullanılabileceği gibi, bu standartlara göre oluşan düzeltme değerlerinin tayin edilmesinde de kullanılabilir. Kalibrasyon, ölçüm sonuçlarına etki eden önemli metrolojik özelliklerin saptanmasını sağlar. Kalibrasyon sonuçları, kalibrasyon sertifikası yada kalibrayon raporu adı altında belgelendirilmelidir. Kalibrasyon; standartlara karşılık gelen ölçülen büyüklüğü ortaya koymayı sağlar, elde edilen sonuçlara bağlı olarak herhangi bir ayar işlemini kapsamaz. ÖLÇÜM ( MEASUREMENT ) Ölçüm; ölçülecek niceliğin sayılabilen, azalıp çoğalabilen durumunun ya da miktarının belirli standartlarla (veya prosedürlerle) tanımlanmış işlemler sonucunda elde edilen tahmini değerdir. Ölçüm ile ölçülecek niceliğin değeri değil miktarı ortaya konulur. Ölçüm (işlem) Cihaz (İzlenebilirlik, kalibrasyon) Ortam Şartları Yöntem Eleman Ölçüm (Sonuç) Nominal Değer Tekrarlanabilirlik Belirsizlik Güvenilirlik 4

5 ÖLÇME İŞLEMİ (PROCEDURE MEASUREMENT) Ölçme işlemi aşağıdaki sıralama göz önünde bulundurularak yapılır. Ölçülecek nesne belirlenir. Ölçülecek büyüklük belirlenir. Ölçülecek metod belirlenir. Ölçülecek cihazların seçilir ve ölçüm düzeneğinin kurulur. Ölçme işlemi gerçekleştirilir. Ölçme sonuçları değerlendirilir ve kontrol edilir. ÖLÇÜM SONUCU (RESULT OF A MEASUREMENT) Ölçülen büyüklüğün ölçüm sonucunda elde edilen değerdir. Ölçüm sonucunda tahmini bir değer elde edildiği için yapılan ölçüme ait belirsizlik ifadesi ile birlikte verilmelidir. Ölçme sonucunda elde edilen değerin aşağıdakilerden hangisi olduğu açıkça belirtilmelidir. Gösterge Değeri Düzeltilmemiş Sonuç Düzeltilmiş Sonuç DÜZELTME (CORRECTİON) Ölçüm sırasında ölçüm sisteminden kaynaklı sistematik hataların önceden belirlenmesi gerekir. Bir ölçüm sonucuna, hesaplanan sistematik hataların eklenmesi ya da çıkarılması işlemine düzeltme denir. Sistematik hata kaynaklarından gelebilecek belirsizlik faktörleri ölçüm sonucuna ait toplam belirsizlik bileşenleri içerisinde yer alır. DÜZELTME FAKTÖRÜ (CORRECTİON FACTOR) Sistematik hataların düzeltilmesi için ölçüme ait düzeltilmemiş sonuç ile çarpılan sayısal faktördür. Sistematik hataların tam olarak bilinmesi mümkün olmadığından bu hatalara karşılık gelen değerlerin en doğru şekilde saptanması mümkün değildir. Ancak tahmin edilen sistematik hata istenilen doğruluk üzerinde ciddi bir etkilemede bulunuyorsa, bir düzeltme ya da düzeltme faktörü bu etkiyi minumum düzeye indirmek amacıyla kullanılabilir. Düzeltme yada düzeltme faktörü uygulandıktan sonra sistematik etkiden kaynaklanan hatanın sıfır olduğu varsayılır. 5

6 DÜZELTİLMİŞ VE DÜZELTİLMEMİŞ SONUÇ (CORRECTED AND UNCORRECTED RESULT) Düzeltilmemiş Sonuç: Sistematik hatalar için düzeltme yapılmadan elde edilen yalın ölçüm sonucudur. Düzeltilmiş Sonuç: Sistematik hatalar için düzeltme yapıldıktan sonra elde edilen ölçüm sonucudur. Rastgele hatalara bağlı olarak ve sistematik hatalardan kaynaklanan düzeltmelerin yeterince belirlenememesi yüzünden düzeltilmiş ölçüm sonucu, ölçülen büyüklükle aynı değildir. Oluşturulan büyüklük ile bunu ölçen sistemin ortaya koyduğu değerler hiçbir zaman kesin olarak bilinemez; bu iki değer sadece ölçmeleri beklenen mutlak değerlerine yaklaşık bir sonucu ortaya koyarlar. Örnek olarak; Belirli bir sıcaklıktaki levha kalınlığını mikrometre yardımıyla ölçmek istiyoruz Belirlenen sıcaklığa yakın bir değere levhanın sıcaklığı getiriliyor ve kalınlığı da numunenin belirli bir noktasından ölçülüyor. Bu noktadaki ve sıcaklıktaki numune kalınlığı mikrometre tarafından uygulanan basınç altında ölçülen büyüklüktür. Aşağıdakilerin herbiri ölçüm sonucuna etki eden bilinmeyen hata parametrelerinden biri olabilir: Tekrar edilen her ölçüm için mikrometrenin gösterdiği okuma değerleri arasındaki fark Mikrometrenin kalibrasyon belirsizliği Sıcaklık ve uygulanan basınçdan kaynaklanan hatalar Ortam sıcaklığı, barometrik basıncın ve nemin mikrometre ve numune levha (veya her ikisi) üzerindeki etkilerinden kaynaklanan hatalar Örnek: Direnç üzerinden geçen belirli bir akım değerine karşılık gelen gerilim değerini ölçelim. U U i Ohm Kanununa göre; U i I = (1) R s Ölçülen Büyüklük Sonuç R R 1 S t t o Gerilim ( U) Akım (I), Formül 1 e Göre Akım (I), Formül e Göre Gösterge Düzeltilmemiş Düzeltilmiş I kr U i s 1 = ku U i t - t o () 6

7 ÖLÇÜM HATASI (ERROR OF A MEASUREMENT) Ölçüm hatası, ölçüm sonucunun ölçülen büyüklüğe ait gerçek değerin çıkartılmasıyla elde edilen değerdir. Gerçek değer, ele alınan belirli bir büyüklüğün tanımına karşılık gelen ve ancak büyüklüğün eksiksiz ve ideal koşullarda ölçümü ile elde edilecek bir değerdir. Ancak gerçek hayatta, eksiksiz ve ideal koşulları oluşturamayacağımız için gerçek değer kavramı asla elde edilemez. Ancak pratik uygulamalar için herkesin kabul ettiği konvansiyonel (üzerinde uzlaşılmış) gerçek değer, belirli bir büyüklüğe verilen ve ele alınan amaç için uygun bir belirsizliğe sahip olduğu bazen üzerinde uzlaşılarak kabul edilen değer olarak kullanılabilinir. Örneğin, belirli bir mahalde, referans standart tarafından gerçekleştirilen büyüklüğe verilen değer, veya Avagadro sabiti için önerilen değer N A = x 10 3 mol -1 konvansiyonel gerçek değer olarak alınabilir Ölçüm hatası birinci derece de, ölçme cihazının çözünülürlüğü ile sınırlıdır. Çözünülürlük, bir gösterge elemanının, gösterge değerleri arasındaki anlamlı olarak algılanabilir en küçük fark olarak tanımlanır. Ölçüm sonucunda, şans eseri olarak bile, mutlak değere ulaşma olasılığı oldukça düşüktür. Öyleyse amaç, ölçüm hatalarının tümünü elimine etmek veya ortadan kaldırmak değil, ölçümün yapılma amacına yönelik olarak, kabul edilebilir en düşük seviyeye ulaşmasını sağlamaktır. Bu amaca ulaşabilmek için, ölçüm hatalarının kaynağı ve tipi hakkında yeterli bilgiye sahip olmak gerekmektedir. Ölçüm hatası, genel olarak rasgele ve sistematik hatanın birleşiminden oluşur. Bir çok durumda sistematik ve rasgele hataları birbirinden ayırmak çok zordur. HATA TÜRLERİ Bağıl hata (Relative error): Mutlak ölçüm hatasının ölçülen büyüklüğün konvansiyonel gerçek değerine bölünmesiyle bağıl hata elde edilir. Rasgele hata (Random error): Aynı tekrarlanabilirlik koşulları altında olmak şartıyla, ölçülecek olan büyüklüğün sonsuz sayıda alınan ölçüm sonuçlarının ortalama değerinden, yapılan ölçüm sonucunun çıkarılmasıyla elde edilir. Rasgele hata belirli istatistiksel dağılım gösterir ve bu hata için düzeltme yapmak mümkün değildir. 7

8 Sistematik hata (Systematic error): Aynı tekrarlanabilirlik koşulları altında olmak şartıyla, ölçülecek olan büyüklüğün sonsuz sayıda alınan ölçüm sonuçlarının ortalama değerinden aynı büyüklüğün gerçek değerinden çıkarılmasıyla elde edilir. Gerçek değerde olduğu gibi sistematik hata ve sebepleri tam anlamıyla belirlenemez. ÖLÇÜM DOĞRULUĞU (ACCURACY OF A MEASUREMENT) Ölçülen büyüklüğün konvansiyonel gerçek değeri ile ölçüm sonucunun arasındaki uygunluk derecesidir. Bir ölçümün doğruluğu niteleyici bir kavramdır. Bu yüzden doğruluk rakamsal olarak ifade edilmemeli, rakamlar ölçümün belirsizliği için verilmelidir. Uygulamada, ölçülecek olan büyüklüğün tanımı ya da gerekli özellikler istenilen ölçüm doğruluğu tarafından belirlenir. Başka bir deyişle elde edilmek istenen doğruluk göz önünde bulundurularak ölçüm sistemi kurulur. Örneğin, nominal olarak 1 m uzunluğa sahip çelik bir cetvel mikrometre düzeyinde bir doğrulukla ölçülmek istenirse ölçüm sırasındaki sıcaklık ve basınç değerlerinin uzunluk değişimine etkisi bilinmeli ve uygun doğrulukta bir matematiksel ifade ile verilmelidir. Ancak milimetre düzeyindeki bir doğrulukla ölçüm yapmak isteniyorsa yukarıda bahsedilen sıcaklık ve basınç değerlerinin ölçülmesi gerekli değildir. Not: Doğruluk yerine kesinlik teriminin kullanımından kaçınılmalıdır. CİHAZ DOĞRULUĞU (ACCURACY OF A MEASURİNG İNSTRUMENT) Ölçüm cihazının gerçek değere yakın bir değer verebilme kapasitesidir. Bir voltmetrenin doğruluğu(voltmetrenin tüm aralığında doğrusal olduğu düşünülürse) voltmetrenin o aralığında tam sapmasının % si olarak verildiğinde, bu voltmetrede o aralıkta okunan bütün değerler için gerçek değer ± % farklıdır. KESİNLİK (PRECİSİON) Tanımlanmış belirli şartlar altında birbirinden bağımsız ölçüm sonuçlarının birbirleriye olan uygunluk derecesidir. Belirsizlik hesaplamalarındaki yerini tekrarlanabilirlik ve tekrarüretilebilirlik kavramlarına bırakmıştır. 8

9 Kesinlik kavramı tekrarlanabilirlik ve tekrarüretilebilirlik kavramlarını içeriri. Bununla birlikte kesinlik genellikle tekrarlanabilirlik anlamda kullanılır. Kesinlik nitel bir kavramdır bu yüzden dikkatli kullanılmalıdır. Örneğin tekrarlanabilirlik şartları altında ölçüm sonuçlarının kesinliği sonuçların standart sapma değeri olarak hesaplanmış olup µω dur. ifadesi kabul edilebilir bir ifade iken Ölçüm sonuçlarının kesinliği µω dur. ifadesi kabul edilemez. DENEYSEL STANDART SAPMA (EXPERİMENTAL STANDARD DEVİATİON) Aynı ölçülen büyüklüğe ait n adet ölçümden oluşan bir seri için, aşağıdaki formülle verilen s parametresi deneysel standart sapmadır ve sonuçların dağılımını karakterize eder; s x i n i 1 ( x n i 1 x) x i : i. ölçüm sonucu x : değerlendirilen n adet sonucun aritmetik ortalamasıdır. s xi ifadesi x ne ait dağılımın standart sapmasıdır ve ortalamanın deneysel standart sapması n olarak adlandırılır. ortalamanın deneysel standart sapması bazı durumlarda ortalamanın standart hatası olarak adlandırılır ancak bu yanlış bir tanımlamadır. Örnek: Veriler: A={7,8,11,13,17,1} olsun. Verilerin aritmetik ortalaması: n 1 X x i, X A 1. 8 n Deneysel standart sapma: i 1 S A 1 {( ) (1.8 8)... (1.8 1) } 5.38 Standart Sapmanın Özellikleri belli bir x değerinin ne kadar saçıldığının ölçüsüdür. ve x aynı birimle ifade edilir. gözlemlenen bütün olası değerlerin, gerçek değer m den sapmalar karelerinin toplamının kareköküdür. 9

10 ÖLÇÜM SONUÇLARININ TEKRARLANABİRLİĞİ (REPEABİLİTY OF RESULTS OF MEASUREMENTS) Aşağıdaki tekrarlanabilirlik koşulları altında, aynı ölçülen büyüklüğe ait ardışık ölçüm sonuçları arasındaki uygunluk derecesidir. aynı ölçüm yöntemi aynı gözlemci, aynı ölçme cihazı aynı konum, aynı şartlar altında kullanılan aynı ölçüm cihazı kısa zaman aralığı içerisinde ölçümlerin tekrarlanması Not : Tekrarlanabilirlik, sonuçların dağılımı cinsinden nicel olarak ifade edilebilir. ÖLÇÜM SONUÇLARININ TEKRAR GERÇEKLEŞTİRİLEBİLİRLİĞİ (REPRODUCİBİLİTY OF RESULTS OF MEASUREMENTS) Aşağıda yer alan değiştirilebilecek koşullar altında, aynı ölçülen büyüklüğe ait ölçüm sonuçları arasındaki uygunluk derecesidir. ölçüm yöntemi, gözlemci, ölçme cihazı, referans standart, konum, kullanım koşulları, zaman. Notlar : 1) Tekrar gerçekleştirilebilirlik ifadesinin geçerli olabilmesi için koşulların tanımlanması gerekir. ) Tekrar elde edilebilirlik, sonuçların dağılımı cinsinden nicel olarak ifade edilebilir. KORELASYON (CORRELATİON) İki yada daha fazla rasgele değişkeni olan dağılım içindeki iki veya daha fazla rasgele değişken arasındaki ilişki olarak tanımlanır. 10

11 İKİ YÖNLÜ GÜVENİLİRLİK ARALIĞI (TWO-SİDED CONFİDENCE İNTERVAL) T 1 ve T ölçülen değerlerin iki farklı fonksiyonu olmak üzere ve θ bulunmak istenen yoğunluk parametresi (population parameter) olsun. Olasılık Pr (T 1 θ T ) en az (1- ) eşittir. (1- ) sabit bir sayı olup, pozitif ve 1 den küçüktür. T 1 ve T arasındaki aralık, θ için iki yönlü (1- ) güvenilirlik aralığıdır. TEK YÖNLÜ GÜVENİLİRLİK ARALIĞI (ONE-SİDED CONFİDENCE İNTERVAL) T ölçülen değerlerin bir fonksiyonu olsun ve θ bulunmak istenen yoğunluk parametresi (population parameter) olsun. Olasılık Pr (T θ) (veya Pr (T θ)) en az (1- ) eşittir. θ nın olası en küçük değerinden T ye kadar olan aralık (veya T den θ nın olası en yüksek değerine kadar olan aralık), θ için tek yönlü (1- ) güvenilirlik aralığıdır. GÜVENİRLİK DÜZEYİ (CONFİDENCE LEVEL) Güvenilirlik düzey aralığının veya istatistiksel kapsam aralığı belirli bir olasılık dağılımına sahiptir. Bu olasılığının (1- ) değeri güvenilirilk düzeyi olarak tanımlanır. (1- ) genellikle % değer olarak ifade edilir. GÜVENİRLİK DÜZEYİ (CONFİDENCE LEVEL) Güven aralığı veya istatistiksel olarak belirlenmiş kapsam aralığı ile ilişkili olasılık değeri. Bir ölçüme ait ölçüm sonuçlarının oluşturduğu olasılık yoğunluğu fonksiyonuna (oyf) hakkında fikir veren bir değerdir. Olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip, belirli ölçüm sonuçlarının karşılaştırılmasına dair bir ölçüttür. Her karşılaştırmalı ölçüme, bir olasılık yoğunluk fonksiyonu ile eşlik eden değerdir. Ölçülen değerin, olasılık yoğunluk fonksiyonun en olası değerinden ne kadar uzağında olma olasılığını ifade eder. Örneğin, olasılık yoğunluk fonksiyonunun, ölçülen değerden sonsuza kadar alınan entegral değerine denk düşer. Güvenirlik sınırları ile belirlenmiş olan güvenirlik aralığı, bilinmeyen bir parametrenin verilmiş olan güvenirlik düzeyinde alabileceği değerler dizisidir. Güvenirlik düzeyleri genellikle yüzde cinsinden ifade edilirler. 11

12 . ÖLÇÜM BELİRSİZLİĞİ (UNCERTAİNİTY OF MEASUREMENT) Ölçülen büyüklüğün ortalama değer etrafında bulunabileceği aralığı tanımlayan tahmini değer. Ölçüm belirsizliği, genel olarak bir çok bileşeni içerir. Bu bileşenlerin bir kısmı, ölçüm serilerinin sonuçlarının istatistiksel dağılımına bakılarak deneysel standart sapma yardımıyla karakterize edilebilir. Diğer bileşenlerin tahmini ise sadece tecrübeye veya eldeki diğer bilgilere dayandırılabilir. Metroloji laboratuvarlarında belirsizlik hesaplamalarda iki farklı hesaplama yöntemi kullanılmaktadır: A-tipi ve B-tipi belirsizlik hesaplama yöntemleri. A-tipi belirsizlik hesaplama yöntemi: Gözlem serileri sonuçlarıına göre istatistiksel analize dayalı belirsizlik hesaplama yöntemidir. B-tipi belirsizlik hesaplama yöntemi: Gözlem serileri sonuçlarıına göre istatistiksel analizden farklı yollarla yapılan belirsizlik hesaplama yöntemidir. Bileşik Standart Belirsizlik (Combined Standart Uncertainty) Bir ölçümün pek çok sayıda başka büyüklüklerin ölçüm sonuçlarından elde edilmiş sonucun bileşik standart belirsizliği, bu büyüklük değerlerindeki değişimlerin ölçüm sonucunu nasıl etkilediği de göz önüne alınarak hesaplanan varyans veya kovaryans ifadeleri toplamının pozitif kare köküne eşittir. Genişletilmiş belirsizlik (Expanded uncertainty) Ölçülen bir büyüklüğün beklentiye göre ölçüm sonucu değerlerinin büyük bir kısmını içeren aralık olarak tanımlanır. Kapsam Faktörü (Coverage Factor) Bileşik standart belirsizlikten genişletilmiş belirsizliği elde etmek için kullanılan çarpan. 3. BELİRSİZLİĞİN OLASI NEDENLERİ Ölçülen değerin tanımındaki eksiklik Ölçülen değerin tanımının gerçekleşmesindeki eksiklik Ölçüm şartları/çevre koşullarındaki değişim Analog cihazların okumasında personeldeki belli yönde eğilim Ölçüm cihazlarının sonlu çözünürlüğü Ölçüm standartlarının ve referans malzemelerin değerlerinin tam olarak bilinmemesi Dış kaynaklardan elde edilen sabit parametrelerin değerlerinin tam olarak bilinmemesi Ölçüm yöntemi ve işleminde yaklaşımlar veya ekstrapolasyonlar 1

13 4. İDEAL BELİRSİZLİK HESAPLAMA YÖNTEMİNİN ÖZELLİKLERİ Evrensellik: Yöntem her çeşit ölçüme ve her ölçüm için kullanılan her çeşit veriye uygulanabilir olmalıdır. Kendi içinde tutarlılık: Ölçüm belirsizliği, belirsizliğe katkıda bulunan bileşenlerden, bileşenlerin gruplandırma şeklinden veya alt bileşenlere ayrılmış olmasından bağımsız olarak elde edilebilmelidir. Taşınabilirlik: Bir ölçümün sonucunu ikinci bir ölçümde kullanmak gerektiğinde birinci ölçümün belirsizliği doğrudan ikinci ölçümde kullanılabilmelidir. 5. BELİRSİZLİK HESAPLARINDA KULLANILAN İSTATİSTİKSEL DAĞILIMLAR Altı tip istatistiksel dağılım bilinmektedir. Bunlardan ilk üçü en çok metrolojide en sık kullanılan dağılımlardandır. Student Dağılım Normal Dağılım Dikdörtgen Dağılım Üçgen Dağılım Trapezoidal Dağılım U-tipi Dağılım 5.1. STUDENT DAĞILIM Student dağılı çok yakından tanıdığımız Normal dağılımın benzeri olup, ölçüm sayısının kısıtlı olduğu zaman (n<10) kullanılmaktadır. Student dağılımı ile normal dağılım arasında farkı dengelemek için ekte kullanılan Tablo daki veriler kullanılmaktadır. 13

14 Çıkama Olasılığı, P P 5.. NORMAL DAĞILIM Ölçüm Sonucu Sayı (n) P=n/N Toplam 15 Ortalama: Ölçüm sonuçlarının grafiksel gösterimi Normal Dağılım = Gauss Dağılımı 0,30 0,5 0,0 0,15 0,10 s s 0,05 0,00 5,9 6,1 6,3 6,5 6,7 6,9 7,1 Ortalama Değer, X X Ölçüm sonuçlarının dağılımı aşağıdaki formül ile tanımlanır 1 z f ( x) exp( ) x z 1 N ; ( x ) n i 1 x : Ölçüm Sonucu : Ölçülen Büyüklüğün Gerçek Değeri : Standart Sapma 14

15 5.3 DİKDÖRTGEN DAĞILIMI Bu dağılım, bir büyüklüğün sadece değişim gösterebilecek aralık bilindiği takdirde kullanılır. p(x) a a a a a u( x), u( x) x a - x a ÜÇGEN DAĞILIM Bu dağılım, bir büyüklüğün değişim gösterebilecek aralık ve eğilim bilindiği takdirde kullanılır. a a p(x) a a a u( x), u( x) x a - x a + 15

16 6. BELİRSİZLİK HESAPLAMA YÖNTEMLERİ 6.1. A-TİPİ BELİRSİZLİK HESAPLAMA YÖNTEMİ İstatistiksel yöntemler kullanılarak yapılan A-tipi belirsizlik hesaplama yöntemi tekrarlanan ölçüm sonuçlarına uygulanır. A-tipi Belirsizlik Hesaplama Yönteminde Kullanılan Dağılımlar: Normal Dağılım Student Dağılımı 6.. B-TİPİ BELİRSİZLİK HESAPLAMA YÖNTEMİ İstatistiksel yöntemler kullanılmadan yapılan belirsizlik değerlendirmesi B-tipi Belirsizlik hesaplama yönteminde kullanılan bilgiler; Daha önce yapılan ölçümlerde elde edilen veriler İlgili malzemeler ve kullanılan cihazlar konusundaki deneyim ve daha önce edinmiş bilgiler Üretici firmanın belirttiği özellikler Kalibrasyon ve diğer sertifikalarda bulunan veriler El kitaplarından alınan referans verilere ilişkin belirsizlikler B-tipi Belirsizlik Hesaplama Yönteminde Kullanılan Dağılımlar: Dikdörtgen dağılımı Üçgen dağılım U-tipi dağılım 7. BİLEŞİK BELİRSİZLİĞİN HESAPLANMASI A-tipi ve B-tipi değerlendirme sonucunda uygun bir birleşimden elde edilen belirsizlik değerine bileşik belirsizlik denir. u c N f ( y) u ( xi ) x 8. GENİŞLETİLMİŞ BELİRSİZLİĞİN HESAPLANMASI i 1 i Bileşik belirsizlikten kapsam faktörü ile çarpılarak elde edilen belirsizliğe genişletilmiş belirsizlik denir. U k u y c ( ) 16

17 Kapsam Faktörü Ve Güvenilirlik Düzeyi Güvenilirlik Düzeyi Kapsam Faktörü p ( %) k p ÖLÇÜM SONUÇLARININ RAPORLANMASI Belirsizlik hesaplarının sonucunda verilen rapor: Ölçüm sonuçlarının ve bunların belirsizliklerini deney verilerinden ve girdi büyüklüklerinden hesaplama yöntemini açıklamalıdır Tüm belirsizlik bileşenlerini ve bu bileşenlerin hesaplama yöntemini göstermelidir; Verilerin hesaplama yöntemleri öyle bir şekilde açıklanmalıdır ki, bu hesaplamalar tekrarlandığında açıklanan aynı belirsizlik değeri bulunabilsin, Hesaplamalarda kullanılan tüm düzeltme değerleri ve sabitler açıklanmalıdır Kalibrasyon Sertifikasında ölçüm sonucu eksiksiz olarak y ± U şeklinde verilmelidir. Bu ifadede, y U=ku : Ölçüm sonuçlarının ortalaması, : Genişletilmiş belirsizliktir. Kalibrasyon / Ölçüm Belirsizliği ile ilgili açıklama Kalibrasyondaki belirsizlik Guide to the Expression of Uncertainity in Measurement (GUM), ISO 1993) dökümanına uygun olarak hesaplanmıştır. Kalibrasyonun toplam belirsizliği genişletilmiş belirsizlik olup bileşik belirsizlikten kapsam faktörü k=.0 kullanılarak elde edilmiştir. Güvenilirlik düzeyi %95 tir. Raporlama Örnekleri ms= g ve uc=0.35 mg ms= (35) g ms= ( ) g ms=( ± ) g ms=( ± ) g Parantez içerisinde verilen belirsizlik, genişletilmiş belirsizlik olup bileşik belirsizlikten kapsam faktörü k=.0 kullanılarak elde edilmiştir. 17

18 10. BELİRSİZLİK HESAPLARINDA İZLENECEK PROSEDÜR Kalibrasyonun / Ölçümün Modellenmesi y= F(x 1, x, x 3,..., x n ) V Örnek: I F( V, R) R kv I R (1 ( t t ) S 0 f ( k, V, R İ S,, t, t 0 ) Belirsizlik bileşenlerinin listesinin oluşturulması u 1 u u n Ref. Standardın belirsizliği Okuma hatası / Çözünürlük Bileşenlerin değerlerinin bulunması ( İstatistiksel Dağılımlar ) BELİRSİZLİK HESAPLARINDA İZLENECEK PROSEDÜR Girdi büyüklüklerinin değerleri, çıktı büyüklüklerinin değerleri arasındaki matematiksel ilişkiyi belirlemek y F( x1, x, x3,..., xn) Ölçüm koşullarında ölçüm sonucunu etkileyen tüm faktörleri belirlemek Düzeltme ve düzeltilmemiş sistematik hatalara bağlı olan belirsizlik bileşenlerin listesini yapmak Belirsizliğin sistematik bileşenleri için, daha önce yapılmış olası dağılımlardan ve belirsizlik çalışmalarından yararlanmak Belirsizliğin her bir sistematik bileşeni için ya dikdörtgen dağılım varsayarak u( x i ) a i 3 veya normal dağılım varsayarak, hesaplamak. u( x i ) belirsizlik k 18

19 Tekrarlanan ölçümler sonucu elde edilen değerlerin belirsizliğini hesaplamak için önce deneysel standart sapma değerini, Sq Ortalamanın sapması ; S q n Bileşik belirsizliğin değerini hesaplamak. n q n 1 ( q q i ) 1 Genişletilmiş belirsizliğin değerini hesaplamak. u c s 1 N f ( y) u ( xi ) x i 1 U ku y c ( ) Ölçüm sonuçlarını, ölçülen değeri ve hesaplanan belirsizlik değeri kullanarak aşağıda verilen şekilde raporlamak. y= Ölçümlerin Ortalaması ± Genişletilmiş Belirsizlik i 19

20 11. ÖRNEKLER Örnek 1. Sayısal Göstergeli Termometre Kalibrasyonu Sayısal göstergeli termometre kalibrasyonu için belirsizlik hesaplama örneğini inceleyelim. Ölçümler 9.9 C referans sıcaklık değerinde, su banyosu kullanılarak gerçekleştirilmektedir. Sayısal termometrenin okuduğu sıcaklık değerlerine karşılık, referans termometrenin okuduğu sıcaklık değerleri karşılaştırmalı ölçümler şeklinde alınmaktadır. İlk buz noktası ölçümü: 0.3 C Son buz noktası ölçümü: 0. C Gerçekleştirilen ölçüm sonuçları Tablo da verilmiştir. Ölçüm No Referans Termometre Test Termometre / C / C Ortalama: Std sapma: Sayısal Termometrenin kalibrasyonundaki olası belirsizlik bileşenleri aşağıda sıralanmıştır: Tekrarlanabilirlik Referans Termometrenin belirsizlik değeri Sıcaklık Kaynağının (sıvı banyo) belirsizlik değeri Kalibre edilen sayısal termometrenin çözünülürlüğü Histerisis den kaynaklanan belirsizlik Kullanılan buz noktasının belirsizliği Tekrarlanabilirlik Tekrarlanabilirlik olarak adlandırdığımız belirsizlik bileşeninin hesaplanması için önce deneysel standart sapma, daha sonra ortalamanın sapması hesaplanmaktadır. Deneysel standart sapma st i n ( ti t) i 1 5 i 1 n 1 ( t i t) 0.77 C Ortalamanın sapması da olarak bulunur. s t s s t i t i n C 0.14 C 0

21 Referans Termometre belirsizliği Referans Termometrenin 9.9 C değerindeki belirsizlik değeri termometrenin kalibrasyon sertifikasında %95 güvenilirlik düzeyinde C olarak beyan edilmiştir. Belirsizlik bütçesinde 9.9 C de belirsizliğin normal dağılıma sahip olduğu ve k= faktörü ile hesaplandığı dikkate alınmalıdır. Bu durumda kalibratör belirsizliğinin toplam belirsizlikte katkısı olacaktır. user 0,001 C uref k.0 C Sıcaklık Kaynak belirsizliği Sıcaklık Kaynağının (sıvı banyo) 9.9 C de Referans Termometrelerle zaman içerisindeki hesaplanmış sıcaklık dağılım değişiminin (kararlılığı) belirsizlik değeri; C u u k 0,01 C ser kaynak C Kalibre edilen termometrenin çözünürlüğü Kalibre edilen termometre dijitli okuma cihazı olduğu için Ölçüm sonuçları XX.X C formatında elde edilmektedir. Bu durumda okunabilir en küçük sıcaklık değeri 0.1 C dir. Bu değerin yarısı dikdörtgen dağılımın değişim aralığı olarak dikkate alındığında ve çözünürlükten kaynaklanan belirsizlik bileşeni Test termometresinin çözünürlüğü; olarak bulunmaktadır. u çöz a C Histerisiz belirsizliği Histerisis(ilk-son) buz noktaları arasındaki fark: 0.1 C; u histerisis a C Buz Noktası belirsizliği Kullanılan buz noktasının belirsizliği: 0.01 C u buznokta a C 1

22 Bileşik belirsizlik Yukarıdaki belirsizlik bileşenlerin değerleri kullanılarak kalibrasyonun bileşik belirsizliği uc ( t) uref ukaynak uçöz uhisterisis ubuznokta s t olarak bulunmaktadır. C Genişletilmiş belirsizlik Bileşik belirsizlik değeri kapsam fatörü k=.0 ile çarpılarak kalibrasyonun genişletilmiş belirsizliği bulunur. U c ( t) k u ( t) C Ölçüm sonucunda raporlanacak sonuç Ölçümlerin ortalaması 9.8 C ve belirsizlik 0.3 C dir. Kalibrasyondaki belirsizlik Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement (GUM, ISO 1993) dokümanına uygun olarak hesaplanmıştır. Kalibrasyonun toplam belirsizliği genişletilmiş belirsizlik olup, bileşik belirsizlikten kapsam faktörü k=.0 kullanılarak elde edilmiştir. Güvenilirlik düzeyi % 95 tir.

23 Örnek. Multimetre Kalibrasyonu 6½ dijitlik bir multimetrenin 10V DC gerilim değerinde kalibrasyonu için belirsizlik hesaplama örneğini inceleyelim. Ölçümler tek bir noktada (10 V) kalibratör kullanılarak gerçekleştirilmektedir. Kalibratörden multimetreye uygulanan referans gerilimin değeri multimetreden okunarak kaydedilmektedir. Ölçülen değer üzerinde herhangi bir düzeltme yapılmamaktadır. Gerçekleştirilen ölçüm sonuçları Tablo 1 de verilmiştir. Ölçüm No Ölçülen DC Gerilim Ölçülen DC Gerilim Ölçüm No (V) (V) ORTALAMA Multimetrenin kalibrasyonundaki olası belirsizlik bileşenleri aşağıda sıralanmıştır: Kalibratörün belirsizliği Kalibratör değerinin kayması Kalibre edilen multimetrenin çözünülürlüğü Tekrarlanabilirlik Kablo ve bağlantılardan kaynaklanan hatalar Kalibratörün belirsizliği Kalibratörün 10 V değerindeki belirsizlik değeri kalibratörün kalibrasyon sertifikasında %95 güvenilirlik düzeyinde 0 µv olarak beyan edilmiştir. Belirsizlik bütçesinde 50 µv luk belirsizliğin normal dağılıma sahip olduğu ve k= faktörü ile hesaplandığı dikkate alınmalıdır. Bu durumda kalibratör belirsizliğinin toplam belirsizlikte katkısı olacaktır. u kal u ser k 0µV µv Kalibratör değerinin kayması Kalibratörün son kalibrasyonundan beri muhtemel kayma değeri ya üretici firma tarafından beyan edilmekte veya kalibrasyon laboratuvarı cihazın perfomansını sık aralıklarla kontrol ederek belirlenmektedir. Laboratuvar kayma değerini daha önceki ölçümlerin sonuçlarına dayanarak 0.5 µv olarak hesaplamıştır. Bu kayma dikdörtgen dağılımının değişim aralığı olarak kabul edilecek ve kaymadan dolayı belirsizliğinin toplam belirsizlikte katkısı a 0.5µV u kay 0.9 µv

24 şeklinde hesaplanacaktır. Kalibre edilen multimetrenin çözünürlüğü Kalibre edilen multimetrenin 6 1/ dijitli multimetre olduğu için Ölçüm sonuçları XX.XXXXX V formatında elde edilmektedir. Bu durumda okunabilir en küçük gerilim değeri 10 µv dur. Bu değerin yarısı dikdörtgen dağılımın değişim aralığı olarak dikkate alındığında ve çözünürlükten kaynaklanan belirsizlik bileşeni olarak bulunmaktadır. u çöz a 3 5µV µv Tekrarlanabilirlik Tekrarlanabilirlik olarak adlandırdığımız belirsizlik bileşeninin hesaplanması için önce deneysel standart sapma, daha sonra ortalamanın sapması hesaplanmaktadır. Deneysel standart sapma s V i n 1 (Vi n 1 i 1 V) 10 1 (Vi 9 i 1 V) 8.16 µv Ortalamanın sapması da sv sv i sv i n µv µv olarak bulunur. Kablo ve bağlantılardan kaynaklanan hatalar Kablo ve bağlantılardan kaynaklanan hataların belirsizliğe etkisi düşük olduğundan belirsizlik bütçesine katılmamıştır. Bileşik belirsizlik Yukarıdaki belirsizlik bileşenlerin değerleri kullanılarak kalibrasyonun bileşik belirsizliği olarak bulunmaktadır. uc (V) u kal u kay uçöz s V 10.73µV Genişletilmiş belirsizlik Bileşik belirsizlik değeri kapsam fatörü k=.0 ile çarpılarak kalibrasyonun genişletilmiş belirsizliği bulunur. 4

25 U(V) k uc (V) µV 1.46 µv Genişletilmiş belirsizlik değeri bağıl olarak ifade edilecek olursa U (V) 1.46 µv V µv.15 V veya ppm Yukarıda açıklanan tüm bilgi ve veriler Tablo de özetlenmiştir. u(x i ) Tablo. Multimetrenin kalibratör ile DCV kalibrasyonu için belirsizlik bütçesi Belirsizlik Bileşeni Veri (µv) Dağılım c i k Bileşenin değeri ( V) u kal Kalibratörün 10V belirsizliği 0 Normal u kay u çöz Kalibratörün değerinin kayması Multimetrenin Çözünürlük Hatası 0.5 Dikdörtgen Dikdörtgen s Tekrarlanabilirlik.58 Normal V u(v) Bileşik Belirsizlik - Normal U(V) Genişletilmiş Belirsizlik - Normal Ölçüm sonucunda raporlanacak sonuç Ölçümlerin ortalaması V ve belirsizlik µv/v dur. Kalibrasyondaki belirsizlik Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement (GUM, ISO 1993) dokümanına uygun olarak hesaplanmıştır. Kalibrasyonun toplam belirsizliği genişletilmiş belirsizlik olup, bileşik belirsizlikten kapsam faktörü k=.0 kullanılarak elde edilmiştir. Güvenilirlik düzeyi % 95 tir. 5

26 Örnek kg lık Ağırlık Kalibrasyonu Nominal ağırlığı 10 kg olan OIML M1 sınıf kütlenin nominal 10 kg lık ağırlıklı OIML F sınıf referans kütle ile kütle komparatörü kullanılarak karşılaştırılmalı kalibrasyonun belirsizliğinin hesaplayalım. Bilinmeyen kütlenin ağırlığı aşağıdaki formülle belirlenmektedir. m x m s m D m m c B Bu formülde, m s m D m m c B : standart kütlenin ağırlığı : standart kütlenin değerinde son kalibrasyon tarihinden itibaren kayma : standart ile bilinmeyen kütle arasında komparatörle ölçülen fark : eksantrik ve manyetik etkiden kaynaklanan düzeltme : havanın kaldırma kuvveti düzeltmesi Standart ve bilinmeyen kütle arasındaki fark 3 farklı ölçüm (gözlem) yapılarak yerine koyma yöntemi ile belirlenmiştir. Yerine koyma yöntemi şematik olarak ABBA ABBA ABBA olarak gösterilebilir. Ölçüm No Kütle Ölçülen Değer (g) Fark Değeri (g) standart bilinmeyen bilinmeyen standart standart bilinmeyen bilinmeyen standart standart bilinmeyen bilinmeyen standart ORTALAMA Referans Kütlenin değeri m s, kalibrasyon sertifikasında g olarak beyan edilmiş olup, genişletilmiş belirsizlik değeri de 45 mg (kapsam faktörü k= ) olarak verilmiştir. Kalibrasyon sırasında herhangi bir düzeltme yapılmadan, kalibre edilen kütlenin ağırlık değeri m x m s m 6

27 Standardın Kayma Değeri Düzeltmesi ( kalibrasyonlarından elde edilen 15mg m D ) : Referans standardın kayma değeri önceki Komparatör Düzeltmesi ( m, m c ) : Havanın Kaldırma Kuvvet Düzeltmesi ( B ) : Havanın kaldırma kuvvet etkisi için elde edilen düzeltme yok, elde edilen kayma miktarı 1 x 10-6 limitleri içindedir. Düzeltme : Aritmetik Ortalama : m = 0,00 g Tüm ölçümlerin standart Sapması: s p ( m ) =5 mg Standart Belirsizlik : 5mg u ( m ) = s ( m ) = =14,4 mg 3 Belirsizlik Bütçesi: Değer X İ s Okunan Değer x i Standart Belirsizlik u(x i) İstatistiksel Dağılım Hassaasiyet Katsayısı c i Belirsizlik Bileşeni u i (y) m ,005 g,5 mg normal 1,0,5 mg m D 0,000 g 8,95 mg dikdörtgen 1,0 8,95 mg m 0,00 g 14,4 mg normal 1,0 14,4 mg m 0,000 g 5,77 mg dikdörtgen 1,0 5,77 mg c B 0,000 g 5,77 mg dikdörtgen 1,0 5,77 mg m ,05 g 9,3 mg x Genişletilmiş Belirsizlik U k u m ) x 9,3 mg 59 mg ( x Sonuç Raporu 10 kg nominal ağırlıktaki kütle 10, kg 59 mg olarak ölçülmüştür. Ölçüm raporunda verilen genişletilmiş belirsizlik; ölçüm için hesaplanan standart belirsizliğin düzeltme faktörü k= ile çarpımı olarak verilmiştir. Verilen sonuçlar normal dağılım içinde, yaklaşık %95 lik bir alanda yer almaktadır. 7

28 KAYNAKLAR [1]. D.Yücel, Ölçüm Belirsizliği ve Laboratuvar, Referans, yıl 1, sayı, 003, s []. Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, first edition, 1993, corrected and reprinted 1995, International Organization for Standardization, Geneva, Switzerland [3]. International Vocabulary of Basic and General Terms in Metrology, second edition, 1993, International Organization for Standardization, Geneva, Switzerland [4]. International Standard ISO , Statistics - Vocabulary and symbols - Part I: Probability and General Statistical Terms, first edition, 1993, International Organization for Standardization, Geneva, Switzerland [5]. C.Elster, A.Link, Analysis of Key Comparison Data: Assessment of Current Methods for Determining a Reference Value, Meas. Science and Tech., vol.1, no.9, 001, pp [6]. EA-4/0 Expression of the Uncertainty of Measurement in Calibration, European Accreditation, December 1999 [7]. R.P.Benedict, Fundamentals of Temperature, Pressure and Flow Measurements, John Wiley & Sons Inc.,1984 [8]. R.P.Benedict, Uncertainty in Measurement, Electro-Technol., Oct.1964, p.51 [9]. A.J.Duncan, Quality Control and Industrial Statistics, 4th edition, Irwin Il, 1974 [10]. E.Sadıkhov, R.Kangı, S.Uğur, Ölçüm Belirsizliği, UME [11]. T.G.Beckwith, R.D.Marangoni, J.H.Lienhard, Mechanical Measurements, 5th edition, 1993 [1]. C.F.Dietrich Uncertainty, Calibration and Probability, Adam Hilger, 1991 [13]. B.N.Taylor and C.E.Kuyatt, Guidelines for Evaluating and Expressing the Uncertainty of NIST Measurement Results, NIST Tech. Note 197,

29 Serbestlik derecesi =n-1 Yüzde p (Güvenilirlik düzeyi) %