MAK 210 SAYISAL ANALİZ

Transkript

1 MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 2- HATA VE HATA KAYNAKLARI Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1

2 GİRİŞ Bir denklemin veya problemin çözümünde kullanılan sayısal yöntem belli bir giriş verisini işleme tabi tutarak sayısal çözüme ulaşır. Sayısal yöntemler, analitik çözümden farklı olarak, sayıları kullanarak işlem yapar ve yeri geldiğinde de belirtileceği gibi, belli bir hata payı içerirler. 2

3 Giriş Verisi Sayısal Yöntem Sonuç HATA HATA HATA Şekil 2.1 Sayısal çözümün blok şeması ve hata etkileşimi 3

4 Hata esas olarak gerçek değer ile hesaplanan yaklaşık değer arasındaki farktır. Mutlak hata : Gerçek değer ( x r ) ile hesaplama sonucu bulunan yaklaşık değer (x n ) arasındaki farka denir. e n = x r x n Bağıl (izafi) hata : Mutlak hatanın gerçek değere oranına denir. e b = e n x r 4

5 HATA KAYNAKLARI Yuvarlatma Hatası Hesaplarda rakamların hane sayısının sonlu tutulmasından kaynaklanan hataya yuvarlatma hatası (round-off error) denir. Kesme Hatası Taylor serisi gibi serilerin belirli sayıda terimini alıp diğer terimlerin atılmasıyla oluşan hataya kesme hatası (truncation error) denir. Giriş Verisindeki Hata Giriş verisi veya fiziksel olayı ifade eden denklemlerin katsayıları ve sabitleri önceden bellidir. 5

6 HATA KAYNAKLARI Doğruluk : Ölçüm değerlerinin gerçek değere ne kadar yakın olduğunun ifadesidir. Hassasiyet : Belli bir fiziksel büyüklük için tekrarlanan ölçümlerin birbirine ne kadar yakın olduğunu gösterir. Ölçülen değer Ölçülen değer Gerçek değer Gerçek değer (a) Ölçüm sayısı (b) Ölçüm sayısı Şekil 2.2 Ölçümlerde doğruluk (a) ve hassasiyet (b) 6

7 HATA KAYNAKLARI İnsan Hatası İnsanın kendisinden kaynaklanan, fiziksel veya matematiksel modelin oluşturulmasında, işlem yaparken veya program yazarken yapabileceği hatalardır. 7

8 BİLGİSAYARDA SAYILARIN GÖSTERİMİ Bilindiği gibi bilgisayarlarda iki tabanlı sayı sistemi kullanılır. Bununla beraber tam veya reel sayıların nasıl gösterildiğini açıklamak için onlu sistemden örnekler verilecektir. Tam sayılar bilgisayar veya hesaplayıcılarda belli sayıda hane (dijit) ile gösterilir. Bu dijitlerden biri sayının işareti için ayrılır, kalan haneler sayıyı göstermek için kullanılır. Örneğin onlu sistemde sayıları göstermek üzere altı hane kullanılıyorsa gösterilebilecek en büyük pozitif tam sayı ve en büyük negatif tam sayı ise olacaktır. 8

9 BİLGİSAYARDA SAYILARIN GÖSTERİMİ Kayar Nokta Aritmetiği Kesirli sayılar bilgisayarda kayar nokta tarzında gösterilir. Bu gösterimde sayının değerini belirten bir mantis kısmı ve sayının mertebesini ifade eden bir üs vardır. Buna göre bir sayının kayar nokta gösterimi mb a şeklindedir. Burada b taban, a tamsayı olan üs, m ise kesir noktasının solunda bir hane olacak şekilde yazılan mantis kısmıdır. Örneğin sayısı kayar nokta aritmetiğinde x10 2 şeklinde gösterilebilir. 9

10 BİLGİSAYARDA SAYILARIN GÖSTERİMİ Sayı işareti Üs işareti Üs Mantis (+) (-) Şekil 2.3 Bir sayının 8-bit sistemde örnek bir gösterimi Buna göre Şekil 2.3 te ifade edilen sayı on tabanlı sisteme dönüştürülürse ( ) 2 = 0.75 x2 3 = ( ) 10 elde edilir. 10

11 BİLGİSAYARDA SAYILARIN GÖSTERİMİ Aritmetik İşlemlerde Hataların Etkisi Meydana gelen herhangi bir hata hesaplamalar esnasında yayılıp büyüyerek sonuçların anlamsız hale gelmesine sebep olabilir. Burada x r ve y r gibi iki gerçek sayı ile yapılan basit aritmetik işlemlerde hataların etkisi gösterilecektir. Bu sayıların bilgisayarda gösterimi ile oluşan yuvarlatma hataları sırasıyla e x ve e y, sayıların bilgisayarda gösterimi de x ve y ise 11

12 BİLGİSAYARDA SAYILARIN GÖSTERİMİ e x = x r x e y = y r y yazılabilir. Bu iki sayının bilgisayarda toplanması x + y = x r e x + (y r e y ) sonucunda oluşan hata e = x r + y r x + y = e x + e y olacaktır. Benzer şekilde çıkarma, çarpma ve bölme işlemindeki hatalar ise e = e x e y e = ye x + xe y + e x e y e = ye x xe y y(y + e y ) şeklindedir. 12

13 Örnek 2.1: Mantis için 4 dijit kullanan bir hesaplayıcıda x= ve y= iken 10 3 x y işleminin sonucunu bulunuz. Çözüm: Verilen sayılar normalize edilip 4 haneden sonrası atılarak çıkarma işlemine sokulursa çıkan sonuç x x x Normalize edildiğinde sayının sağına üç anlamsız sıfır getirecektir. Çarpma işlemi yapıldığında = 100 Sonucunu bulacaktır. Halbuki gerçek sonuç =

14 Olup yaklaşık % 50 mertebesinde bir hata oluşmuştur. Görüldüğü gibi birbirine çok yakın iki sayının çıkarılması işleminde anlamlı haneler kaybolmakta ve hata artmaktadır. n haneli iki sayının çarpım sonucu 2n haneli olabileceğinden hesaplayıcının hane sınırları dışına çıkılabilir. Genellikle, böyle durumlarda bulunan rakam geçici hafızada tutulur, normalize edilir ve sonra da fazla haneler atılarak kaydedilir. Hesaplamalarda ortaya çıkan bir başka durum, serilerdeki terimlerin toplamında olduğu gibi, büyük ve çok küçük sayıların toplanmasıdır. Toplama ilave edilen küçük sayının büyüklüğüne göre toplama hiç etkisi olmayabilir. Bu gibi durumlarda toplama işlemini ters sırada yapmak daha doğru olacaktır. Bunun için on tabanlı sistemde verilen aşağıdaki örnek açıklayıcı olacaktır. 14

15 Örnek 2.2: Mantis için 4 dijit kullanan bir hesaplayıcıda aşağıdaki işlemi verilen sırada ve ters sırada yapınız. ( =?) Çözüm: Verilen rakamlar normalize edilip üsler eşitlenerek sırayla toplanırsa x x x x10 4 = x10 4 Sonucunu bulunur ki küçük sayıların bir etkisi olmamaktadır. Ters sırada toplama yapılırsa, = x x10 1 = 0.21x x x10 4 = x10 4 Olur ki küçük sayıların da toplama katkısı olmuştur. Burada fark küçük olmakla beraber çok sayıda küçük rakamın toplanması durumunda hata büyüyecektir. 15

16 Örnek 2.3: ve sayılarının 32-bit bilgisayarda toplanması işlemini irdeleyiniz. Çözüm: 32 bit sistemde kesirli sayıların ondalık kısmı yaklaşık 7 hane olduğuna göre sayıların normalize edilmiş halleri ve toplanması aşağıda görülmektedir. Toplama işleminde sayıların üsleri eşit olması gerektiğinden ikinci sayının son üç hanesi atılarak işleme girecektir Normalize edilmiş hali x Gerçek sonuç ise dir. 16

17 Örnek 2.4: Aşağıdaki işlemin üç dijitlik yuvarlatma hatasını bulunuz. 1.96x x10 4 Çözüm: Gerçek değer 19.6x x x10 4 Yaklaşık değer 0.196x x x10 6 Oluşan yuvarlatma hatasının mutlak değeri e n = 0.4x10 3 İzafi hata e b = 2.265x10 3 olacaktır. 17

18 KESME HATASI ANALİZİ Kesme hataları tam bir matematik işlem yerine yaklaşık bir ifade kullanılmasından kaynaklanır. Özellikle türev, integral ve diferansiyel denklemlerin sayısal çözümünde kesme hatası oluşur. Burada tipik örnek olarak Taylor serisinde terim sayısına bağlı olarak oluşan kesme hatası üzerinde durulacaktır. f(x) = f(x 0 ) + f x 0 1! (x x 0 ) + f x 0 2! x x fn x 0 n! x x 0 n + e = (x x 0) (n+1) n + 1! d n+1 f(x s ) dx (n+1) = hn+1 n + 1!. dn+1 f(x s ) dx (n+1) 18

19 Kesme hatasında yer alan h n+1 çarpanı hatanın tam değerinden ziyade ne mertebede olduğunu göstermekte olup hata mertebesi olarak adlandırılır ve kısaca O(h n+1 ) sembolü ile gösterilir. TOPLAM HATA Toplam hatayı hesaplamak için teorik çözümlerden ve formülasyonlar dan yararlanılabilir. Bu konuda, gerek yuvarlatma gerekse kesme hatalarının tahmini için Taylor serisi en çok kullanılan ifadelerden biridir. 19

20 Örnek 2.5: e x fonksiyonunun Taylor açılımı e x = 1 + x 1! + x2 2! + x3 3! +, Çözüm: Yakınsak bir seridir. Bu seri pozitif x değerleri için doğru sonuç vermesine rağmen negatif x değerleri için x in değerine bağlı olarak hatalı sonuçlar verebilmektedir. Çünkü negatif x değerleri için terimler işaret değiştirdiğinden, birbirine yakın sayıların çıkarılması esnasında anlamlı hanelerin kaybolması sonucunda hatalı sonuçlar doğabilmektedir. (bkz. Soru 2.3). 20

21 FONKSİYON HATASI Bir veya birden fazla değişkene bağlı bir f fonksiyonu, değişkenlerdeki hataya ve matematiksel işlemlere bağlı olarak belli bir hata içerecektir. f x, y f x, y n x x n f x + (y y n) f y f n = f f x + x y y f(x) Gerçek hata Yaklaşık hata f(x) n x x n x Şekil 2.4 Gerçek ve yaklaşık hesaplanan fonksiyon hatası 21

22 Örnek 2.6: Bir elektrik devresinde ölçülen akım I=3 amper ve gerilim V=24 volttur. Ölçüm hataları akım için 100 miliamper ve gerilim için 0.5 volt olduğuna göre çekilen gücü ve güçteki hatayı hesaplayınız. Çözüm: Güç N=VI olduğuna göre güçteki hata N n = N I I + N V V Olacaktır. Sayısal değerler yerine yazılırsa N I N n = = 3.9 Watt = V, N V = I ile güçteki hata ve güç N = 3 24 = 72 Watt olduğundan sonuç N = Watt 22

23 Halinde yazılabilir. Yani ölçüm hataları da dikkate alındığında güç değeri 68.1 ile 75.9 Watt arasında olacaktır. Kontrol amacıyla, örneğin minimum ölçüm değerleri kullanıldığında minimum gücün gerçek değeri N = = Watt olarak bulunur ki aradaki fark Taylor açılımında ihmal edilen terimlerden kaynaklanmaktadır. 23

24 KARARLILIK VE BÜYÜTME ÇARPANI e r e f Şekil 2.5 Hatanın işleme tabi tutulması G = e f e r = x n f (x) n f(x) n veya e f = G. e r Büyültme çarpanının (G), mutlak değer olarak 1 den büyük olması giriş hatasının büyütüleceği anlamına gelir. Girişteki izafi hatayı bu şekilde arttıran hesaplamalar kararsız olarak adlandırılır. Büyültme çarpanının çok büyük olduğu problemler kötü şartlanmış (ill-conditioned) sistemler olarak da adlandırılır. Sayısal hesaplamalarda büyültme çarpanının mutlak değerce 1 den küçük olması istenir. 24

25 Örnek 2.7: f(x)=tan(x) fonksiyonu verildiğine göre büyültme çarpanını x = 0.01 π ve x = 1.01 π değerleri için hesaplayınız. 2 2 Çözüm: Büyültme çarpanı G = x f (x) f(x) = x(1 cos2 x) tan x Olduğuna göre verilen değerler için büyültme çarpanı x = 0.01 π 2 için G = 1.00 x = 1.01 π 2 için G = 101 Olup büyültme çarpanı verilen 1. nokta için yaklaşık 1 iken, 2. değer için 1 den mutlak değerce çok büyüktür. Yani kararsızlık π 2 noktasına yaklaştıkça artmaktadır. Bu beklenen bir durumdur. Zira bu noktada verilen fonksiyon tanımsızdır. 25

26 Örnek 2.8: Yerçekimi ivmesi g olmak üzere y = g2 2 bağıntısı verilmiştir. a) Problemin kararsız (kötü şartlanmış) olup olmadığını irdeleyiniz. b) Yerçekimi ivmesi 9.81 yerine 9.8 alınması halinde ortaya çıkan izafi hatayı ve bu hatanın y fonksiyonunda meydana getireceği mutlak ve bağıl hataları hesaplayınız. 26

27 Çözüm: a) Büyültme çarpanı : G = x f (x) f(x) = g y y y = g 241 5g 2 2 ile büyültme çarpanı G = g 2.5g g 2 = 2.5g 2 ( g 2 ) bulunur. g = 9.81 değeri ile G = elde edilir. G mutlak değerce 1 den büyük olduğundan problem kararsız olup hatayı artıracaktır. 27

28 b) Yerçekimi ivmesi g = 9.8 alınırsa ( ) 9.81 = yani yaklaşık %0.1 bir hata oluşur. Buna göre y fonksiyonu y = = çıkar. Halbuki gerçek fonksiyon değeri g = 9.81 alınarak y r = bulunur. Buna göre fonksiyonda oluşan mutlak hata = = bağıl hata = Görüldüğü gibi bağımsız değişken g de oluşan %0.1 lik bir hata fonksiyonda %48 gibi bir hataya yol açmakta yani hata yaklaşık 500 kat artmaktadır. 28