Algoritmalar ve Programlama. DERS - 2 Yrd. Doç. Dr. Ahmet SERBES

Transkript

1 Algoritmalar ve Programlama DERS - 2 Yrd. Doç. Dr. Ahmet SERBES

2 Programlama Bilgisayara ne yapması gerektiğini, yani onunla konuşmamızı sağlayan dil. Tüm yazılımlar programlama dilleri ile yazılır. 1. Seviye Makine dili 2. Seviye Assembly dili 3. Seviye C, C++, Java, Fortran vs 4. Seviye SQL, veritabanı sorgulama dilleri 5. Seviye Doğal dil işleyen akıllı diller Bir bilgisayar programının çalışması genel olarak: YORUMLAYICI Kaynak Kodu.c,.cpp,.h,.pas,.m Derleyici.obj.out.cof Bağlayıcı.exe.hex.bin Makine Dili

3 İkilik Sayı Sistemi Bilgisayar sistemleri 2 lik sayı sistemi kullanır. İkilik sayı sisteminde her sayıyı oluşturan rakama bit (binary information unit) denir. Örn, 1 bytelık sayı: MSB = = bit = 1 byte, 16 bit = 2 byte = 1 word 4 bit = nibble LSB

4 İkilik Sayı Sistemleri 8 bitlik pozitif sayılar 0-255, 16 bitlik pozitif sayılar , 32 bitlik pozitif sayılar 0-4GB ( bit) arasıdır. Genel olarak, 2 lik sayı sistemi binary. örn, b 10 luk sayı sistemi decimal, 157d veya lık sayı sistemi hexadecimal, 9Dh veya 0x9d A 10, B 11, C 12, D 13, E 14, F luk sayı sisteminden 2 lik sayı sistemine ardışıl olarak 2 ye bölerek geçilir.

5 İkilik Sayı Sistemi Bir byte lık en küçük pozitif sayı (0) ve (255) Aradaki tüm sayılar pozitiftir. Negatif sayılar söz konusu olduğunda 1 byte lık sayıyı -128 ile +127 arasında değerler alan iki parçaya böleriz. En baştaki bit sayının pozitif ya da negatif olduğunu belirtir. Pozitif sayılar (1) ile (127) arasında Negatif sayılar (-1) ile (-127) arasındadır. İkilik sistemde negatif sayılar 2 nin tümleyeni alınarak bulunur. Örn, b olarak kolayca bulunur. İkilik düzende -53 ü bulmak için b deki bitler evrilir ve 1 eklenir: = nin tümleyeni -53

6 Neden 2 nin Tümleyeni? Negatif sayıları 2 nin tümleyeni şeklinde göstermek çıkarma işleminin basit olarak yapılmasını sağlar. Örneğin yi 2 ye tümleyenle hesaplayalım: = 20 Bilgisayar, çıkarma işlemini pozitif sayıyla negatif sayıyı toplayarak yapar ü 2 ye tümleyenle hesaplayalım: = 67

7 Fazlalık Gösterimi Sayı Fazlalık Sayı Bit Katarı Fazlalık gösteriminde (excess notation) sayılar sıralıdır. Yanlı gösterimin özel bir halidir. Kayan noktalı (floating point) sayı sistemlerinde kullanılır.

8 Fazlalık Gösterimi Hesaplanması Örneğin, 8 bitlik fazlalık gösteriminde, = 128 sihirli sayı olarak adlandırılır (herhangi bir sihir olmasa da). Daha sonra sayının değeri normal olarak hesaplanır. En son, hesaplanan değerden sihirli sayı çıkarılır. Örn, sayısının fazlalık gösteriminde gerçek değerini hesaplamak için 1. Sihirli sayı = = = 97 olarak bulunur = 31 olarak değer hesaplanır. Başka bir örnek olarak 16 bitlik fazlalık gösteriminde sayısının fazlalık gösterimindeki değeri 1. Sihirli sayı = = = olarak normal şekilde hesaplanır = 4189 olarak değer bulunur.

9 Noktalı Gösterim Kayan noktalı (floating point) gösterim Bit katarının alabileceği en yüksek değerden daha yüksek sayıları ifade edebilmek için Gerçel (reel) sayıları, yani kesirli sayıları ifade edebilmek için kullanılır. Sabit noktalı (fixed point) gösterim Sadece kesirli sayıları ifade etmeye yarar. Noktanın yeri sabittir.

10 Sabit Noktalı Gösterim Küsüratlı sayıları ifade etmeye yarar. Örn., 8 bitlik gösterimde noktanın yeri 3. ile 4. bit arasındaysa 4.4 lük gösterim olarak adlandırılır lük gösterim lik gösterim Virgülden sonraki bitler kesirli kısmı (mantis) gösterir. Örn, a 7 a 6 a 5 a 4. a 3 a 2 a 1 a 0 da kesirli kısım: a a a a Virgülden önceki bitler 2 nin tümleyeni gösterimindedir. Örn., 4.4 lük gösterimde a 7 a 6 a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0

11 Sabit Noktalı Gösterim Değer a 7 a 6 a 5 a İkinin tümleyeni Değer a 3 a 2 a 1 a Normal gösterim a 7 a 6 a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 Örn. 4.4 lük sabit nokta gösterimi ile arasında değer alır. Örn., =

12 Kayan Noktalı Gösterim Kayan noktalı gösterim (floating point representation) Kesirli Çok yüksek ve Çok düşük sayıları göstermeye yarar. Bit katarı üç bölgeye ayrılır: İşaret biti Üstel Mantis (kesirli kısım) İşaret Biti Üstel Mantis

13 Kayan Noktalı Gösterim a 7 a 6 a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 a 7 ± işaret biti a 6 a 5 a 4 fazlalık gösteriminde üstel 2 a 6a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 kesirli kısım 1. a 3 a 2 a 1 a 0 8 bitlik sayı: a 7 == 0 ise 1. a 3 a 2 a 1 a 0 2 a 6a 5 a 4 a 7 == 1 ise 1. a 3 a 2 a 1 a 0 2 a 6a 5 a 4 Örnek: ayrılır 0 pozitif 111 üstel kısım. Artık gösterimde 3 e eşit Sonuç olarak = 12.5

14 IEEE 754 Tek Hassasiyetli Kayan Nokta Gösterimi İşaret Biti Fazlalık gösteriminde 8 bitlik üstel kısım 23 bitlik mantis Tek hassasiyetli gösterim 32 bitliktir. İşaret biti 1 ise sayı negatif, değilse pozitiftir. 23 bitlik mantis 24 bitlikmiş gibi hesaplanır. 8 bitlik üstel kısım fazlalık-127 gösterimindedir.

15 Mantis Hesaplama 1. b 22 b 21 b 20 b 19 b 18 b 17 b 16 b 15 b 14 b 13 b 12 b 11 b 10 b 9 b 8 b 7 b 6 b 5 b 4 b 3 b 2 b 1 b 0 23 bitlik mantis 24 bitlikmiş gibi hesaplanır. 23 bitlik mantis 1. b 22 b 21 b 0 Örn, Mantis ise değeri ise başına bir ekleyip: = = şeklinde hesaplanır. Mantisin alabileceği en küçük değer 1 değeridir. En büyük değer ise olur.

16 Üstel Hesabı Üstel, fazlalık-127 gösterimindedir. 128 ve -127 değerleri özel sayılar için ayrılmıştır. Üstelin alabileceği En düşük değer -126 ( ) En yüksek değer 127 ( ) olmaktadır. Örneğin, -34 değerini fazlalık-127 gösteriminde ikilik olarak, = Örneğin, değeri fazlalık-127 gösterimindeki karşılığı = 22 Fazlalık gösteriminde 8 bitlik üstel kısım

17 En Yüksek ve En Düşük Değerler Tek hassasiyetli kayan nokta gösteriminde yazılabilecek en yüksek sayı = ( ) e + 38 Yazılabilecek en küçük sayı: e + 38 (sadece işaret biti değişir) Yazılabilecek en küçük pozitif sayı = = e 38 Yazılabilecek en yüksek negatif sayı: e 38 (sadece işaret biti değişir

18 Özel Kayan Noktalı Sayılar Kayan noktalı sayılarda normalde 0, ± ve NaN tanımlayabilmek için üsteli ve değerleri rezervedir. Üstel değeri 0 ve 0 sayıları için ayrılmıştır: İşaret biti 0 değer 0 (sayı/ = 0, sayı/0 = ) İşaret biti 1 değer 0 (sayı/ = 0, sayı/ 0 = ) Pozitif ve negatif sonsuz değerleri de özel float sayılardır /0, ± /±, + + ( ), 0 0, 1 ve bunun gibi işlemlerin sonucu olarak NaN (Not a Number) XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXX +NaN sıfırdan farklı XXXX XXXX XXXX XXXX XXXX XXX NaN sıfırdan farklı

19 Tek Hassasiyetli Kayan Nokta: Örnekler Örneğin, 39887,5625 sayısı IEEE 32-bit kayan nokta formatında: Tam sayı kısım Kesirli kısım: 0,5625 = 1 0, , , Böylece sayı: , Normalize et: ,1001 = 1, Mantis: Üstel = İşaret biti 0. Dolayısıyla = 471bcf9016

20 Çift Hassasiyetli Kayan Nokta İşaret Üstel Mantis Toplam 64 bit. 1 bit işaret için 11 bitlik üstel, artık 1023 formatında 52 bit mantis (53 bit formatında) b 51, b 50,, b 0 1 işaret 1. b 51 b 50 b 0 2 üstel 1023 En büyük sayı , En küçük sayı: