Elektronik sistemlerde dört farklı sayı sistemi kullanılır. Bunlar;

Transkript

1 I. SAYI SİSTEMLERİ Elektronik sistemlerde dört farklı sayı sistemi kullanılır. Bunlar; i) İkili(Binary) Sayı Sistemi ii) Onlu(Decimal) Sayı Sistemi iii) Onaltılı(Heksadecimal) Sayı Sistemi iv) Sekizli(Oktal) Sayı Sistemi i) İkili(Binary) Sayı Sistemi: Bu sistemde 0 ve olmak üzere 2 tane sembol vardır ve bu sebeple ikili sayı sistemi denir. Her birine bir dijit denir ve bir biti temsil eder. BIT ifadesi de Bİnary digit ten gelmektedir. Elektronik sistemlerde 0 volt lojik 0, 5 volt veya 3.3 volt lojik değeri ile ifade edilir. Sayı tabanı 2 dir. Basamak Sayı MSB LSB Binary sayılar yazılırken en sağdaki basamağa en düşük değerlikli bit (Least Significant Bit-LSB), en soldaki basamağa en yüksek değerlikli bit (Most Significant Bit-MSB) adı verilir. Bu sistemde tüm sayısal değerler 0 ve ler ile ifade edilir. Onluk Birary İkili sayı sisteminde tümleyen işlemleri: İkili sayı sistemde çıkarma ve mantık işlemlerini daha basit hane getirmek amacıyla tümleyenler kullanılır. Ayrıca negatif sayıların elektronik olarak saklanmasında tümleyen yöntemleri kullanılır. Tümleyen işlemleri iki şekilde yapılabilir; Bunlar e tümleyen ve 2 ye tümleyendir.

2 e Tümleyenin Bulunması Bire tümleyen için Binary bir sayının her biti terslenir(0 ve 0 yapılır). Bu işlem elektronik devrelerde olarak değil kapıları ile yapılır. Sayı Bire Tümleyen ye Tümleyenin Bulunması I.Yol Binary bir sayıyının 2 ye tümleyenini elde etmek için önce e tümleyenine eklenir ve işlem sonucunda sola taşma olursa soldan bir bit silinir. Sayı Bire Tümleyeni İkiye Tümleyeni II.Yol Sağdan sola doğru rastlanan ilk ve öncesindeki 0 lar aynen yazılır, in solundaki bitler terslenerek yazılır. Sayı İkiye Tümleyeni İkili sayı sisteminde dört işlem. İkili sayı sisteminde Toplama: Onluk sistemdeki toplama gibi yapılır 0+0=0 0+= +0= +=0+C Burada C (Carry) elde var demektir. Hemen solundaki basamağa ilave edilir

3 2. İkili sayı sisteminde Çıkarma: 0-0=0-0= -=0 0-=0+B Burada B(Borrow) Borç anlamındadır. Sol basamaktan borç alınacağını belirtir. Borç alınan basamaktaki sayı 0 ise, ise 0 olur. Soldan alınan, sağ basamağa iki tane olarak geçer İkiye Tümleyen yöntemi ile çıkarma işlemi: Sayı Sayı2 İşlemi için akış şeması. BS(Basamak Sayısı) Bu yöntemde önce çıkarılan sayının ikiye tümleyeni bulunur ve bulunan bu sayı diğer sayı ile toplanır. Eğer işlem sonucunda sola taşma olursa(bu aynı zamanda sonucun sıfırdan büyük olduğunu gösterir) soldan bir bit silinir değilse sonucun ikiye tümleyeni bulunur ve önüne işareti konur(bu durumda sonuç sıfırdan küçüktür.) Sayı2 nin 2 ye tümleyenini bul ve yerine yaz Sayı + Sayı2 nin Tümleyeni Sonuç BS(Sonuç) > BS(Sayı) Veya BS(Sonuç) > BS(Sayı2) Hayır Evet Sonucun en solundaki basamağı sil Sonucun 2 ye tümleyenini bul önüne - yerleştir. Sonucu yaz

4 Örnek : bu işlemi ikiye tümleyen yöntemiyle yapalım. 000 sayısının ikiye tümleyeni olarak bulunur. Bu değer ilk sayı ile toplanarak fark bulunur Sonuç: Bulunan sonucun basamak sayısı işlenenlerin basamak sayısından büyük olduğu için en soldaki bit silinir. Sonuç olarak bulunur. Çıkarma sonucu sıfırdan büyüktür. Örnek 2: 00 0 işlemini ikiye tümleyen yöntemiyle yapalım. Sonuç: 0 sayısının ikiye tümleyeni 00 olarak bulunur olarak bulunur. Bulunan sonucun basamak sayısı işlenenlerin basamak sayısına eşit olduğu için sonuç sıfırdan küçüktür. Bu durumda sonucun ikiye tümleyeni bulunur ve önüne işareti konur. Örnek 3: bu işlemi ikiye tümleyen yöntemiyle yapalım sayısının ikiye tümleyeni 0000 olarak bulunur Sonuç: Bulunan sonucun basamak sayısı işlenenlerin basamak sayısına eşit olduğu için sonuç sıfırdan küçüktür. Bu durumda sonucun ikiye tümleyeni bulunur ve önüne işareti konur.

5 Bire Tümleyen yöntemi ile çıkarma işlemi: Sayı Sayı2 İşlemi için akış şemasını. BS(Basamak Sayısı) Sayı2 nin e tümleyenini bul ve yerine yaz Sayı + Sayı2 nin Tümleyeni Sonuç BS(Sonuç) > BS(Sayı) Veya BS(Sonuç) > BS(Sayı2) Hayır Evet Sonucun en solundaki basamağı sil ve sonuca ekle Sonucun e tümleyenini bul önüne - yerleştir. Sonucu yaz Örnek : bu işlemi Bire Tümleyen yöntemiyle yapalım. 000 sayısının Bire Tümleyeni olarak bulunur. Bu değer ilk sayı ile toplanarak fark bulunur Sonuç: Bulunan sonucun basamak sayısı işlenenlerin basamak sayısından büyük olduğu için en soldaki bit silinir ve sonuca eklenir. Sonuç olarak bulunur. Çıkarma sonucu sıfırdan büyüktür. Örnek 2: 00 0 işlemini Bire Tümleyen yöntemiyle yapalım. Sonuç: 0 sayısının Bire Tümleyeni 000 olarak bulunur olarak bulunur.

6 Bulunan sonucun basamak sayısı işlenenlerin basamak sayısına eşit olduğu için sonuç sıfırdan küçüktür. Bu durumda sonucun Bire Tümleyeni bulunur ve önüne işareti konur. Örnek 3: bu işlemi Bire Tümleyen yöntemiyle yapalım sayısının Bire Tümleyeni olarak bulunur Sonuç: Bulunan sonucun basamak sayısı işlenenlerin basamak sayısına eşit olduğu için sonuç sıfırdan küçüktür. Bu durumda sonucun Bire Tümleyeni bulunur ve önüne işareti konur. 3. İkili sayı sisteminde Çarpma: 0*0=0 0*=0 *0=0 *= 0 x İkili sayı sisteminde Bölme: 0/0=0 0/=0 /0=0 /= Bölme işleminde, bölünenden bölenin çıkarılmasına birer basamak sağa kaydırılarak sonuç sıfır olana kadar devam edilir. Yapılan işlem aşamalarında bölünenden bölen çıkıyorsa çıkarma var denir ve bölüm olur. Eğer bölünenden bölen çıkmıyorsa çıkarma yok denir ve bölüm 0 olur. Binary Decimal Dönüşümü: Her dijit 2 nin basamak kuvveti ile çarpılır ve bunlar toplanarak decimal sayı sistemine çevrilir. Örnek : (00)2 = =43 (0)2 = =

7 Ondalıklı binary sayılar decimale çevrilirken tam kısım sağdan sola doğru 2 nin pozitif basamak kuvveti ile çarpılıp toplanırken, ondalıklı kısım soldan sağa doğru 2 nin negatif basamak kuvveti ile çarpılıp elde edilen değerler toplanarak decimal sonuç bulunur. Örnek: (,0) 2 = (?) 0 (,0) 2 = x2 2 +x2 +x2 0 +x2 - +0x2-2 +x2-3 (,0) 2 = x4+x2+x+x/2+0x/4+x/8 (,0) 2 = ,5+0+0,25 (,0) 2 = (7,625)0 Decimal Binary Dönüşümü: Onluk sayı 2 ye bölünerek ikilik sisteme çevrilir. Onluk sayı 2 ye bölünebildiği sürece bölme işlemine devam edilerek kalan değerler tersten yazılarak ikilik karşılığı bulunur. Ondalıklı decimal sayılar iki aşamada binarye çevrilir. Birinci aşama tam kısmın 2 ye bölme metodu ile binarye çevrilmesi işlemidir. İkinci aşama ise ondalıklı kısmın,00 bulunana kadar 2 ile çarpılması ile binarye çevrilmesi işlemidir. Bulunan sonuçlar birleştirilerek işlem bitirilir. (2,625) 0 =(?) 2 2:2=6 Kalan=0 6:2=3 Kalan=0 3:2= Kalan= :2=0 Kalan= 0,625 0,25 0,5 x 2 x 2 x 2,250 0,50,0 (2) 0 =(00) 2 (0,625) 0 =(0,0) 2 Sonuç (2,625) 0 =(00,0) 2

8 ii)onaltılı(hexadecimal) Sayı Sistemi Bu sayı sistemi 0-9 arası rakamlar ve A-F arası harfler olmak üzere toplam 6 sembolden olur. Onluk Birary Hexadecimal A 0 B 2 00 C 3 0 D 4 0 E 5 F Hexadecimal Decimal Dönüşümü: (2AF3) 6 =(?) 0 (2AF3) 6 =2*6 3 +0*6 2 +5*6 +3*6 0 (2AF3) 6 = (2AF3) 6 =(0995) 0 Decimal Hexadecimal Dönüşümü: Decimal sayı 6 ya bölünerek Hexadecimal karşılığı bulunur. Örnek: (0995) 0 =(?) :6=687 Kalan=3 687:6=42 Kalan=5 42:6=2 Kalan=0 2:6=0 Kalan=2 (0995) 0 =(2AF3) 6 Hexadecimal Binary ve Binary Hexadecimal Dönüşümleri: Bu dönüşümler için Hexadecimal sayının her basamağının binary karşılığı yazılır. (2AF3) 6 =(?) 2 (2 ) 6 =(000) 2 ( A ) 6 =(00) 2

9 ( F ) 6 =() 2 ( 3) 6 =(00) 2 (2AF3) 6 =( ) 2 ( ) 2 =(?) 6 Bu işlemde diğerinin tersidir. Binary sayı 4 er bitlik gruplara ayrılarak her grubun Hexadecimal karşılığı yazılarak dönüşüm gerçekleştirilir. Hexadecimal Sayılarda Dört İşlem Hexadecimal Sayılarda Toplama: (A2FC) 6 +(2DE) 6 (C4DA) 6 Hexadecimal Sayılarda Çıkarma: (F9A40) 6 - (AF020) 6 (4AA20) 6 (A234 F 0) 6 +(24ABCD) 6 (C6E0BD) 6 (A234 F 0) 6 - (24ABCD) 6 (7D89 23) 6 6 Sistemde Tümleyen Yöntemi ile Çıkarma İşlemi: Binary sayılarda olduğu gibi tümleyen yöntemiylede çıkarma işlemi yapılabilir. Bunun için 6 ya tümleyen ve 5 e tümleyen kullanılabilir. 6 ya Tümleyen Yöntemi ile Çıkarma: Sayı Sayı2 İşlemi için akış şeması. BS(Basamak Sayısı) Sayı2 nin 6 ya tümleyenini bul ve yerine yaz Sayı + Sayı2 nin Tümleyeni Sonuç BS(Sonuç) > BS(Sayı) Veya BS(Sonuç) > BS(Sayı2) Hayır Evet Sonucun en solundaki basamağı sil Sonucun 6 ya tümleyenini bul önüne - yerleştir. Sonucu yaz

10 İkili sistemdeki 2 ye tümleyenin 6 sistemdeki karşılığı 6 ya tümleyendir. Hexadecimal bir sayının 6 ya tümleyenini bulmak için 5 e tümleyenine eklenir. 5 e tümleyeni bulmak için her basamak F sayısından çıkartılır. Örnek: (B23) 6 5 e Tümleyeni için FFF 6 ya Tümleyeni 4DC - B23 + 4DC 4DD Örnek Çıkarma: ADC32F2-2432AFCA işlemi 6 ya tümleyen yöntemi kullanılarak aşağıdaki biçimde yapılır: F F F F F F F F Sayı A F C A 5 e Tümleyen D B C D ya Tümleyen D B C D A D C 3 2 F 2 + D B C D E Toplama sonucu, işlenenlerden büyük olduğu için en soldaki bit atılır. Çıkarma sonucu sıfırdan büyüktür. Sonuç : (78E98228) 6 5 e Tümleyen Yöntemi ile Çıkarma: Sayı Sayı2 İşlemi için akış şeması. BS(Basamak Sayısı) Sayı2 nin 5 e tümleyenini bul ve yerine yaz Sayı + Sayı2 nin Tümleyeni Sonuç BS(Sonuç) > BS(Sayı) Veya BS(Sonuç) > BS(Sayı2) Hayır Evet Sonucun en solundaki basamağı sil ve sonuca ekle Sonucun 5 e tümleyenini bul önüne - yerleştir. Sonucu yaz

11 Örnek Çıkarma: ADC32F2-2432AFCA işlemi 5 e tümleyen yöntemi kullanılarak aşağıdaki biçimde yapılır: F F F F F F F F A D C 3 2 F 2 Sayı A F C A + D B C D e Tümleyen D B C D E Toplama sonucu, işlenenlerden büyük olduğu için en soldaki bit atılır ve sonuca eklenir. Çıkarma sonucu sıfırdan büyüktür. Sonuç : (78E98228) 6 İşaretli Sayılar Bilgisayarlar tüm işlemleri binary(0 ve ) sayılarla gerçekleştirdiği için negatif değerlerdeki - işaretinin binary istemde gösterilebilecek şekilde sayının düzenlenmesi gerekir. Bunun için şaretli sayı gösterimleri tanımlanmıştır. Binary sistemde sayının en soldaki bit sayının işaretini gösterir ve buna işret bit denir. işaret biti olan sayı negatiftir(sıfırdan küçük). işaret biti 0 olan sayı pozitiftir(sıfırdan büyük) tür. Big Endian ve Little Endian Gösterimi Birden fazla byte dan oluşan sayıların yüksek öncelikli bitleri ana belleğe önce yerleştirilirse, bu gösterime big endian gösterim denir. Little endian gösteriminin tam tersi gösterimi ifade eder. Little Endian gösterim ise ana belleğe düşük değerlikli bitlerin önce yerleştirilmesi işlemidir. Bilgilerin Kodlanması Bilgisayarda saklanacak veya üzerinde işlem yapılacak bilgilerin bilgisayarın işlem yapabileceği hale dönüştürülmesine kodlama denir. Dönüşüm için kullanılan kodlara da bilgisayar kodları denir. Kod Çeşitleri Bilgilerin kodlanmasında kullanılan birçok kodlama çeşidi vardır. Bu kodlama sistemlerinden en bilinenleri şöyledir. BCD, BCO,BCH, EBCDIC, ASCII, Parity kodlama sistemleridir. BCD (Binary Coded Decimal) Bu sistemde decimal sayıdaki her basamak 4 basamaklı ikili sayı grubu ile ayrı ayrı kodlanır. Rakamlar için 4 bitlik gösterim yeterli olurken, diğer harf ve özel karakterler için 6 bitlik gösterim gerekmektedir. (2 6 =64)

12 Onluk Sayı BCD Kodu BCO (Binary Coded Oktal) Oktal kodunda, her sayı basamağı 3 bitlik ikili sayı grubu ile gösterilir. BCH(Binary Coded Hexadesimal) Her hexadecimal sayı basamağı 4 bitlik ikili sayı grubu ile kodlanır. EBCDIC (Extened Binary Coded Decimal InterchangeCode) BCD kodlama sisteminin genişletilmiş halidir. EBCDIC kodunda her karakter 8 bitlik sayı grubu ile kodlanır. Sayısal bilgiler için, istendiğinde 4 bitlik kodlama yapılabilir. Sayısal olmayan her karakter 8 bit ile kodlanır. ASCII Kodu Ascii kodu sistemler arasındaki bilgi alış-verişinde uyum sağlamak için geliştirilmiştir.

13

14 Parity Kodu Bilgi akışı sırasında bilginin bozulmasına yol açabilecek bazı hatalar olabilir. Bu hataların ortaya çıkarılmasını sağlamak için BCD kodunun sağındaki ilk basamağa parity biti ilave edilir. Parity biti kodlanan veride ve 0 ların sayısının tek mi çift mi olduğunu belirtir. Kodlanmış verideki ler tek ise tek parity li, çift ise çift parity li olarak tanımlanır.

15 BCD Tek Parity Çift Parity