Banka ve Finans Matematiği

Transkript

1 Dr. Beşir Topaloğlu Dr. Mehmet Maşuk Fidan Banka ve Finans Matematiği i

2 Yayın No : 2339 İşletme-Ekonomi Dizisi : Baskı - Ekim İSTANBUL ISBN Copyright Bu kitabın bu basısı için Türkiye deki yayın hakları BETABasım Yayım Dağıtım A.Ş. ye aittir.her hakkı saklıdır. Hiçbir bölümü ve paragrafı kısmen veya tamamen ya da özet halinde, fotokopi, faksimile veya başka herhangi bir şekilde çoğaltılamaz, dağıtılamaz. Normal ölçüyü aşan iktibaslar yapılamaz. Normal ve kanunî iktibaslarda kaynak gösterilmesi zorunludur. Dizgi : B e t a B a s ı m A.Ş. Baskı - Cilt : Kahraman Neşriyat Ofset San. Tic. Ltd. Şti. (Sertifika No: 12084) Yüzyıl Mah. Matbaacılar Cad. Atahan No: 34 K: 4 Bağcılar/İstanbul (0-212) Kapak Tasarım : Ömer Onay Beta BASIM YAYIM DAĞITIM A.Ş. Narlıbahçe Sok. Damga Binası No: 11 Cağaloğlu -İSTANBUL Tel : (0-212) Fax: (0-212) ii

3 Kızım Nisan Şevval e Beşir TOPALOĞLU Kızlarım Emel Şebnem ve Emine Gülra ya Mehmet Maşuk Fidan iii

4 iv

5 ÖNSÖZ Kitap dört bölümde ele alınmış olup, birinci bölümde Faiz Kavramı ile faiz oranları ve faiz hesaplama yöntemleri açıklanmıştır. İkinci bölümde Paranın Zaman Değeri üzerinde durulmuş, basit ve birleşik faiz hesaplama yöntemleri ile anuiteler izah edilmiştir. Üçüncü bölümde Menkul Kıymetlerin Matematiği başlığı altında Hazine bonolarının, Tahvillerin ve Hisse Senetlerinin bugünkü değerleri ile gelecekteki değerlerinin ve getirilerinin nasıl hesaplanabileceği açıklanmıştır. Dördüncü bölüm olan borcun amortismanı kısmında borcun ödenme şekline göre borç taksitlerinin nasıl hesaplanacağı belirtilmiştir. Kitapta faiz hesaplamalarında kullanılan tam ve teamül faiz yöntemlerini açıklanmış, hangi durumlarda hangi yöntemin kullanıldığını ve farklılıklarını uygulamalı olarak gösterilmiştir. Belli süreli düzenli ödemelerin matematiksel mantığı verilerek bu tekniğin finansal araçlar olan taksitli kredilere (mortgage, eşit taksitli kredi ) nasıl uygulanabileceği, belli süreli düzenli ödemelerin (anuite) gelecek ve bugünkü değer hesaplamalarının nasıl yapıldığı uygulamalarla gösterilmiştir. Bankalardaki mevduat ve özellikle taksitli kredilerin hesaplamasını yapabilecek bilgiler verilmiş, gerçek hayattan uygulama örnekleri açıklanmıştır. Hazine bonolarının getirilerinin, vadesine kadar bekletilmesi ve elde bulundurma süresine göre getirilerinin hesaplanması gösterilmiş, tahvil çeşitleri ve özellikleri konusunda bilgi verilerek tahvillerin bugünkü ve gelecek değerlerinin matematiksel olarak nasıl hesaplandığı açıklanmıştır. Eurobondların matematiği konusunda da detaylı ve açıklayıcı çözümler yanında, bankacılık uygulamasına da yer verilmiştir. Durasyonun ne olduğu, nasıl hesaplandığı ve özelliklerinin neler olduğu açıklanmış, hisse senetlerinden elde edilen gelirler ve bunların hisse senedi fiyatı üzerindeki etkileri yanında, hisse senedi fiyatlarının temettü gelirlerinin artışına göre nasıl hesaplandığına ilişkin örnekler verilmiştir. Gerek dönem sonunda, gerek dönem başında başlayan eşit taksitli borç amortismanında, belli bir tarihteki anapara borcunun/kapama tutarının/borç tasfiye tutarının hesaplanması yöntemleri açıklanmıştır. Eşit anapara borç amortismanının ve değişken faizli kredilerde/borçlarda itfa tablosunu düzenleme yöntemi anlatılmış ve buna dayanarak belli bir tarihteki anapara borcu veya kapama tutarını hesaplama biçimi örneklerle izah edilmiştir. Konular açıklanırken teori ve uygulamanın birlikte ele alınması, konuların örneklerle açıklanması kitabı çok anlaşılır hale getirmiştir. Kitap gerek v

6 öğrencilerin gerekse uygulamacıların faydalanabileceği kaynak bir kitaptır. Hesaplamaların ve uygulamaların Excel tablolarında nasıl yapılacağının da gösterilmesi kitaba ayrı bir boyut kazandırmıştır. Kitabın yazarlarını literatüre yapmış oldukları katkıdan dolayı kutluyor, kitabı bankacılık ve finansman alanında çalışanlara içtenlikle öneriyorum. Prof. Dr. Ahmet KIZIL 4 Ekim 2010 vi

7 İÇİNDEKİLER BİRİNCİ BÖLÜM - FAİZ KAVRAMI 1.1 Faiz Kavramı Nominal ve Reel Faiz Oranları Bürüt ve net Faiz Oranları Brüt ve Giydirilmiş Faiz Oranları Tam (365 gün) ve Teamül (360 gün) Faiz Yöntemi Çözümlü Problemler... 9 Özet İKİNCİ BÖLÜM - PARANIN ZAMAN DEĞERİ 2.1 Tek Ödemeler Basit Faiz Basit Gelecek Değerin Hesaplanması Basit Bugünkü Değer / İskonto Hesaplamaları Basit Faiz Metodunda Bir Yıldan Kısa Sürelerde Gelecek Değer Hesaplamaları Basit Faiz Metodunda Bir Yıldan Daha Kısa Sürelerde Bugünkü Değer / İskonto Hesaplamaları Basit Faiz Metodunda Bir Yıldan Uzun Süre İçin Gelecek Değer Hesaplamaları Basit Faiz Metodunda Bir Yıldan Uzun Sürelerde Bugünkü Değer Hesaplamaları Çözümlü Problemler Bileşik Faiz Bileşik Faizde Gelecek Değer Hesaplamaları Efektif Faiz / Yıllık Bileşik Faiz Bileşik Faizde Tahakkuk/Devre Sayısının Belirlenmesi Çözümlü Problemler Ödemeler Serisi Düzenli Aralıklarla Yapılan Sonsuz Sayıdaki Ödemeler Serisi / Perpetuity Düzenli Sonsuz Ödemeler Serisi Artan Sonsuz Düzenli Ödemeler Serisi / Büyüyen Perpetuity vii

8 Ertelenmiş Düzenli Sonsuz Ödemeler Serisi / Delayed Perpetuity Belli Bir Süre İçin Düzenli Aralıklarla Yapılan Eşit Ödemeler Anuiteler Basit Anuite Muaccel Anuite Başlangıçta Sabit Bir Ödeme ve Anuitelerin Birlikte Bulunması Çözümlü Problemler Özet ÜÇÜNCÜ BÖLÜM: MENKUL KIYMETLERİN MATEMATİĞİ 3.1 Hazine Bonoları Hazine Bonolarının Bugünkü Değeri Hazine Bonolarında Gelecek Değer Hesaplamaları Hazine Bonosunda Getirinin Hesaplanması Vadesine Kadar Beklenilmesi Halinde Getirinin Hesaplanması Vadesinden Önce Bononun Satılması Halinde Getirinin Hesaplanması Çözümlü Problemler Tahviller Kuponsuz Tahvil (Zero Coupon Securities) Kuponlu Tahviller Alım - Satımın Kupon Ödeme Tarihi veya İhraç Tarihinde Yapılması Alım Satımın İki Kupon Ödeme Tarihi Arasında Olması Durasyon (Duration) Çözümlü Problemler Hisse Senedi Matematiği Hisse Senedinin Bugünkü Değeri Farklı Durumlarda Hisse Senedi Değerlemesi ve Matematiği Sabit Bir Oranda Büyüme Durumunda Hisse Senedi Değerlemesi Farklı Temettü Büyüme Oranlarına Sahip Hisse Senedi Değerlemesi Çözümlü Problemler viii

9 Özet DÖRDÜNCÜ BÖLÜM- BORÇ AMORTİSMANI 4.1 Eşit Taksitler Halinde Borç Amortismanı Dönem Sonunda Eşit Taksitler Halinde Borç Amortismanı / Basit Anuite Dönem Başında Eşit Taksitler Halinde Borç Amortismanı / Muaccel Anuite Eşit Anapara Ödemeli Borç İtfası Değişken Faizli Kredilerde Borç İtfası/Amortismanı Çözümlü Problemler Özet KAYNAKÇA ix

10

11 BİRİNCİ BÖLÜM - FAİZ KAVRAMI Amaçlar Faiz kavramı ve faizin belirleyicilerini, banka ve finans matematiği bağlamında özetlemek. Finans yazınında sık sık geçen nominal ve reel faiz kavramlarını açıklamak, farklılıklarını belirlemek ve nasıl hesaplandığını uygulamalar ile göstermek. Finansal hesaplamalarda önem arz eden; brüt, net ve giydirilmiş faiz kavramlarını açıklamak. Faiz hesaplamalarında kullanılan tam ve teamül faiz yöntemlerini açıklamak, hangi durumlarda hangi yöntemin kullanıldığını ve farklılıklarını uygulamalı olarak göstermek. 1

12 1.1 Faiz Kavramı Yüzyıllar boyunca, insanların bir kısmı, diğer insanların mülkiyetinde bulunan malları veya hakları kiralamışlardır. Mallarını kiraya verenler, mallarından ayrı kaldıkları süre için veya mallarına ilişkin kullanım hakkını başkasına devretme karşılığında bir bedel istemişlerdir. Bu bağlamda, satın alma gücünü bünyesinde barındıran para da ödünç verilebilmekte veya belli bir süre için kullanım hakkı devredilebilmektedir. Bunun karşılığında faiz olarak adlandırılan bir bedel talep edilmektedir. Faiz daima ödünç verilen paranın bir yüzdesi şeklinde ifade edilmektedir. Yüzde olarak ifade edilen faiz, genellikle bir yıl için belirlenmektedir. Bu şekilde bakıldığında faiz; satın alma gücünden belli bir süre vazgeçme karşılığında ödenen ve paranın bir yüzdesi şeklinde tanımlanan bir bedel olarak görülebilir. Parayı borç alan taraf için faizi, satın alma gücünü kazanmadan önce kullanma karşılığında verdiği bir bedel olarak da görmek mümkündür. Buna karşılık borç veren için faiz, hâli hazırdaki tüketimini borcun vadesine kadar ertelemesi karşılığında verilen bir ödül şeklinde de tanımlanabilir. Faiz, anaparanın vadesinden önce, anaparanın vadesinde veya anaparanın vadesinden sonra verilebilir. Faiz oranları ekonomideki diğer fiyatlar gibi kaynak dağılımı fonksiyonunu yerine getirmektedir. Faiz oranları fon fazlası olan ekonomik birimlerin fazla olan fonlarını, fon açığı olan ekonomik birimlere akmasını sağlamaktadırlar. Fon fazlası olan ekonomik birimler için faiz oranlarının yüksek olması, tüketimlerini erteleme ve daha fazla tasarruf etme için daha fazla ödül anlamına gelirken; fon açığı olup borç alan için ise yüksek faiz daha az fon talebi veya tüketim veya yatırımını mümkün olduğu kadar erteleme anlamına gelmektedir. Faiz oranlarının nasıl oluştuğu konusunda değişik görüşler bulunmakla birlikte, çalışmanın kapsamı ve amacı açısından bu görüşlere değinilmemiştir. 1.2 Nominal ve Reel Faiz Oranları Faiz oranlarından söz edilirken veya bankalarca faiz oranları ilan edilirken nominal faiz oranı kast edilmektedir. Başka bir deyişle nominal 2

13 faiz oranı işleme konu olan veya finansal varlığın üzerinde bulunan ve ayrıca enflasyon etkisini dikkate almayan faiz oranıdır. 1 Buna karşın reel faiz, nominal faiz oranının enflasyon oranına göre düzeltilmiş veya enflasyondan arındırılmış olan faiz oranıdır. Reel faiz oranının tanımlanmasını en iyi tarif eden Irwing Fisher in isminden gelen Fisher Denklemi yle nominal faiz oranı reel faiz oranına dönüştürülebilir. nominal faiz oranını, reel faiz oranını, beklenen enflasyon oranını göstermek üzere Fisher Denklemi aşağıdaki şekilde ifade edilebilir: (1.1) Denklemin her iki tarafına 1 ilave edersek denklem; 1 1 şeklini alacaktır. Aynı zamanda denklemi aşağıdaki şekilde de yazmamız mümkündür: Denklemin her iki tarafını ile çarpıp, denklemi için çözdüğümüzde; olacaktır (1.2) Uygulama: 1.1 Yatırımcı Ahmet Yatırımsever 20XX yılında % 7 reel faiz elde etmek istemektedir. Aynı yıl için enflasyon beklentileri % 5 olduğuna göre, Ahmet Yatırımsever in belirtilen reel getiriyi elde edebilmesi için, yatırımının nominal faizinin ne olması gerekir? 1 Çalışmamızda bahsedilen faiz oranı aksi belirtilmedikçe nominal faiz oranıdır. 3

14 Çözüm: 1.1 0,05 %5 0,07 % 7? (1.1) no lu formül ile çözüldüğünde, 0, ,07 1, , ,05 1 1,05 1 1,07 1,05 1, ,1235 % 12,35 olacaktır. Ya da; (1.1) no lu formülden; olacaktır. 0,07 0,05 0,07 0,05 0,12350 % 12,35 Uygulama: 1.2 Yatırımcı Ahmet Yatırımsever önümüzdeki 12 ay boyunca enflasyon oranını % 6 olarak beklemektedir. X Bankası, 1 yıl vadeli mevduata % 12 brüt faiz vermektedir. Yatırımcı Ahmet Yatırımsever mevduatını X bankasına yatırması halinde elde edeceği reel faiz ne kadardır? (Gelir vergisi etkisi dikkate alınmamıştır) 4

15 Çözüm: 1.2 0,12 %12 0,06 % 6? (1.2) no lu formül ile çözüldüğünde, olacaktır ,12 1 0,06 1 1,12 1 0,05660 % 5,66 1,06 Uygulaması Formül yazıldıktan sonra satırlara nominal faiz oranları, sütunlara ise enflasyon oranları yazılır. Fisher denklemini ifade eden formül =((1+B1/100)/(1+B2/100))-1 ise satır ve sütünların kesiştiği (C9) hücreye yazılır. Tablo 2 işlemi yapılırken satırda olan değerlerin yerine formüldeki nominal faizi ifade eden B1, sütünda olan değerler yerine de formüldeki B2 hücre adresi yazılır. Ok dendiğinde matrisin köşesinde verilen formüle bağlı olarak matrisin satır ve sutunlarının kesiştiği noktada reel faiz değerleri bulunmuş olacaktır. Örneğin; nominal faiz değeri 11,25, enflasyon oranı da 10 olduğunda reel faizin 0,01136 olacağı görülmektedir. 2 Excel in 2003 verisonun da Veri-Tablo; 2007 Versionunda ise Veri-Durum Çözümlemesi-Veri Tablosu seçenekleri kullanılarak yapılabilir. 5

16 1.3 Brüt ve Net Faiz Oranları Finansal piyasalarda, faizler genellikle vergi ve fonlardan bağımsız olarak ilan edilmektedir. Buna brüt faiz 3 veya zaman zaman da nominal faiz denmektedir. Yürürlükteki vergi kanunlarına 4 göre, finansal kurumlar tarafından alacaklı kişilere (mevduat sahiplerine) ödenen faizler vergi kesintisine tabidir. Bu durumda mevduat sahipleri ilan edilen faiz oranı (brüt faiz) üzerinden hesaplanan vergiyi, brüt faizden indirdikten sonra kalan faizi almaktadırlar. Buna net faiz adı verilmektedir. Brüt faiz oranından net faiz oranını bulmak mümkündür. nin brüt faiz oranını, in net faiz oranını, nin faiz üzerinden alınan vergi oranını gösterdiği bir durumda; net faiz oranı matematiksel olarak aşağıdaki şekilde gösterilebilir. 1 (1.3) yatırımcının asıl ilgilenmesi gereken faiz oranıdır. Çünkü yatırımı üzerinden elde edeceği gerçek getiri budur. Konuyu Uygulama: 1.3 üzerinde gösterelim. Uygulama: 1.3 Ahmet Yatırımsever, X Bankasında % 10 brüt faiz oranı ile 90 gün vadeli TL lık mevduat hesabı açmıştır. Vergi oranının; a) % 15 olması b) % 20 olması halinde yatırımcının elde edeceği net faiz oranı nedir? Çözüm: 1.3 a) Vergi Oranının % 15 Olması Halinde Net Faiz Oranının Hesaplanması 0,10 % 10 0,15 % 15? 3 4 Aksi belirtilmediği müddetçe, çalışmamızda faiz oranı, brüt faiz oranı olarak kullanılmıştır. 193 Sayılı Gelir Vergisi Kanunu: Geçici 67. Madde. 6

17 (1.3) no lu formül ile çözüldüğünde, olacaktır. 1 0,10 1 0,15 0,10 0,85 0,08500 % 8,5 b) Vergi Oranının % 20 Olması Halinde Net Faiz Oranının Hesaplanması 0,10 % 10 0,20 % 20? (1.3) no lu formül ile çözüldüğünde, olacaktır. 1 0,10 1 0,80 0,10 0,80 0,08000 % 8 Görüldüğü üzere bankaca uygulanan faiz oranında bir değişiklik olmamakla birlikte, vergi oranı yükseldikçe yatırımcının net getirisi de düşmektedir. 1.4 Brüt ve Giydirilmiş Faiz Oranları Yukarıda da belirtildiği gibi finansal kurumlar ve özellikle bankalar, ilan ettikleri faiz oranlarını nominal veya brüt olarak ilan etmektedirler. Faiz üzerinden alınan fon ve vergileri ise bu oranlar üzerinden hesaplanmakta ve ilgili vergi dairesine bankalarca yatırılmaktadır. Türkiye deki bankalar, yürürlükteki mevzuata göre, tahakkuk ettirdikleri kredi faizleri üzerinden Kaynak Kullanımını Destekleme Fonu (KKDF) ile Banka ve Sigorta Muamele Vergisini (BSMV) tahsil edip ilgili vergi dairesine yatırmakla sorumludurlar. Gerçek kişilerin kullandıkları konut kredileri ile ticari faaliyet amacıyla (gerçek veya tüzelkişi) tüccarlar tarafından kullanılan kredilere tahakkuk ettirilen faizler üzerinden alınacak KKDF oranı sıfır(0), gerçek kişilerin kullandıkları kredilere tahakkuk ettirilecek faiz üzerinden alınacak KKDF oranı ise % 10;BSMV 7

18 ise bazı istisnalar(örneğin mortgage kredileri gibi) dışında bütün kredi faizleri üzerinden tahakkuk ettirilmekte ve % 5 oranında uygulanmaktadır. Bu bağlamda, kredilerin maliyet oranı (faiz+bsmv+kkdf) r nin değerinden farklı olacaktır. Buna giydirilmiş veya eklentili faiz oranı denmektedir. r nin brüt veya nominal faiz oranını, r g nin giydirilmiş faiz oranını gösterdiği bir durumda, giydirilmiş faiz oranı veya eklentili faiz oranı matematiksel olarak aşağıdaki şekilde ifade edilebilir: r KKDF ve BSMV dahil r g = r(1 + KKDF Oranı + BSMV Oranı) (1.4) Konuyu Uygulama: 1.4 üzerinde gösterelim. Uygulama: 1.4 Şebnem Tüketimsever, yabancı dilini geliştirmek için İngiltere de altı aylığına eğitim görmeyi düşünmektedir. Bunun için TL ye ihtiyacı olduğunu düşünmektedir. Yeterli birikimi olmadığı için TL lık kısmını bankadan 24 ay vadeli destek kredisi kullanarak finanse etmeyi düşünmektedir. Yaptığı araştırmada, bu vade için bankaların aylık % 1,5 nominal faiz uyguladıklarını tespit etmiştir. Ancak, bu faizin gerçek maliyet olmadığı, vergi ve fonların da hesaba katılması gerektiği kendisine ifade edilmiştir. Belirtilen krediye uygulanacak giydirilmiş faiz oranı nasıl hesaplanmaktadır? Çözüm: 1.4 r = 0,015 ya da % 1,5 BSMV Oranı = 0,05 ya da %5 KKDF Oranı = 0,10 ya da %10 (1.4) no lu formül ile çözüldüğünde, olacaktır. r KKDF ve BSMV dahil = r(1 + KKDF Oranı + BSMV Oranı) r KKDF ve BSMV dahil = 0,015(1 + 0,10 + 0,05) r KKDF ve BSMV dahil = 0,015 * 1,15 r KKDF ve BSMV dahil = 0,01725 ya da %1,725 8

19 1.5 Tam (365 gün) ve Teamül (360 gün) Faiz Yöntemi Faiz hesaplamalarında yılın kaç gün olarak kabul edildiği çok önemlidir. Zira, ödenecek veya kazanılacak olan faizin tutarı yılın kaç gün olarak kabul edildiğine göre (özellikle yüksek tutarlı borç ve alacaklarda) ciddi olarak değişmektedir. Tam Faiz (exact interest), yılın 365 (4 senede bir 366 olarak) gün olarak kabul edildiği ve buna göre faizin hesaplandığı yöntem veya metottur. ü şeklinde faiz formülüne dahil edilir. Teamül Faiz (ordinary interest), yılın 360 gün olarak kabul edildiği ve buna göre faizin hesaplandığı yöntem veya metottur. ü şeklinde faiz formülüne dahil edilir. ü ü olduğundan, teamül faiz esasına göre faiz hesaplanması faiz alan tarafın yararına olacaktır. Bundan dolayı, uygulamada, finansal kurumlar faiz alırken (kredi işlemleri üzerinden) ü esasını, faiz verirken (mevduat işlemlerinde olduğu gibi) ü esasını kabul etmektedirler. Aksine bir belirleme yapılmadığı müddetçe, bu çalışmada, yatırım işlemlerinde tam faiz esası, kredi işlemlerinde teamül faiz esası kabul edilecektir. 1.6 Çözümlü Problemler Problem: 1.1 Ahmet Yatırımsever in gelecek yıla ilişkin enflasyon beklentisi % 5 tir. Elindeki TL yi bir yıl vadeli olarak bankadaki tasarruf mevduatında değerlendirmek istemektedir. Bankanın ilan etmiş olduğu bir yıllık vadeli mevduat faizi % 6 olduğuna göre, Ahmet Yatırımsever in yatırımı üzerinden elde edeceği reel faiz oranı nedir? Çözüm: 1.1 0,06 % 6 0,05 % 5? 9

20 (1.2) no lu formül ile çözüldüğünde, olacaktır ,06 1 0,05 1 1,06 1,05 1 0,00952 % 0,952 Problem: 1.2 Ahmet Yatırımsever in, yatırımları üzerinden yıllık % 6 reel faiz beklentisi bulunmaktadır. Piyasadaki nominal faiz oranları yıllık % 8 olduğuna göre, enflasyon yüzde kaç olmalı ki, Ahmet Yatırımsever in reel faiz oranı beklentisi gerçekleşsin? Çözüm: 1.2 0,08 % 8 0,06 % 6? (1.2) no lu formül ile çözüldüğünde, olacaktır ,06 1 0, ,06 1,08 1 1,06 1 1,08 1 1,08 1,06 1, ,01887 % 1,887 10

21 Ya da; (1.1) no lu formül ile çözdüğümüzde; 1 1 olacaktır. 0,08 0,06 1 0,06 0,02 0,01887 % 1,887 1,06 11