FİNANSMAN MATEMATİĞİ

Transkript

1 FİNANSMAN MATEMATİĞİ Serbest piyasa ekonomisinde, sermayeyi borç alan borç aldığı sermayenin kirasını (faizini) öder. Yatırımcı açısından faiz yatırdığı paranın geliridir. Başlangıçta yatırılan para ise anaparadır. Anapara ile faizin toplamı da birikmiş değer yada gelecek değer olarak adlandırılır. Para alışverişlerinde bugünkü ve gelecekteki paralar arasındaki matematiksel ilişkleri kurarak doğru kararı vermek finansman piyasalarında yapılması gereken işlerin başında gelmektedir. Bu notlarda finansal hesaplamalarda kullanılan temel eşitlikler açıklanacaktır. 1

2 Basit Faiz Bir işlemin vadesi süresince yalnızca anaparanın kazandığı faize basit faiz denir. Basit Faiz = Anapara * Faiz oranı * Süre Örnek: TL. için yıllık %80 faiz oranı üzerinden 3 yıl için ödenmesi gerekli fazi tutarı nedir? Faiz = * 0.80 * 3 = TL. Bileşik Faiz - Gelecek Değer Belirli zaman aralıklarında kazanılan faizin de anaparaya eklenmesi ve bu faizin de faiz kazanmasıyla elde edilen faizdir. Formülü ise aşağıda verilmiştir. G: Gelecekteki Değer, B: Bugünkü Değer, r: Dönemlik Faiz Oranı, n: Dönem Sayısı G = B (1+r) n Gelecekteki değer aynı zamanda anaparanın bindirgenmiş değeri olarak da adlandırılır. 2

3 Örnek TL yıllık %80 faiz oranı üzerinden 3 yıl için bir tasarruf hesabına yatırılırsa vadenin sonunda hesaptaki para ne kadar olacaktır? G = *(1+0.80)3 = TL. Bileşik Faiz - Bugünkü Değer Gelecekteki değer bilindiğinde, belli bir dönem sayısı ve faiz oranı için bugünkü değeri elde etmek mümkündür. Bu durumda formül aşağıdaki hali alacaktır. B = G [1/(1+r) n ] Bu yolla bügünkü değerin hesaplanmasına indirgeme denir. 3

4 Örnek %80 yıllık faiz oranıyla 3 yıl sonunda TL kazanmak için bugün bankaya ne kadar para yatırmalıyız? B = [1/(1+0.8) 3 ] = TL. Anüite Hesaplamaları Finansal piyasalarda her dönem yapılan ödemeler (yada taksitler) çok yaygın kullanılır. n dönem boyunca i dönemlik faiz kazandıran bir hesaba, her dönem sonunda D kadar para yatarsa, bu paraların gelecekteki değerini aşağıdaki formül verir. G = D ([(1+r) n -1]/r) Örnek: Yıllık %80 faiz ödenen bir hesaba 3 yıl boyunca her yıl sonunda TL. yatırılısa 3 yıl sonunda hesapta ne kadar para birikiri? G = ([(1+0.8) 3-1]/0.8) = TL. 4

5 Anüite Hesaplamaları Dönemlik ödemelerin bugünkü değerini ise aşağıdaki formül yardımıyla hesaplarız. B = D ([(1+r) n -1]/r.(1+r) n ) Örnek: Yıllık %80 faiz ödenen bir hesaba 3 yıl boyunca her yıl sonunda TL. yatırılısa 3 yıl sonunda hesapta biriken paranın bugünkü değeri nedir? B = ([(1+0.8) 3-1]/0.8.(1+0.8) 3 ) = TL. Nominal ve Efektif Faiz: Faiz oranları genelde yıllık oranlar olarak ifade edilirler. Bu, yıllık nominal faiz oranıdır. Ancak, faiz dönemleri bir yıldan daha kısa ise (örneğin 3 aylık), bir yılda elde edilen gerçek (efektif) faiz oranı yıllık nominal faiz oranından daha büyük olacaktır. Bir yıl içindeki faiz dönemi (bindirgeme dönemi) sayısı m ile, yıllık nominal faiz de r ile gösterilirse, i efektif faizi aşağıdaki ifade ile elde edilir. i = (1+(r/m)) m -1 Örnek: 6 aylık mevduata %72 yıllık nominal faiz ödeyen bir bankanın ödediği yıllık efektif faiz ne kadardır? i = (1+(0.72/2)) 2-1 =

6 Borç Amortizasyonu Krediler genelde aylık, üçer aylık gibi periyotlarla geri ödenir. Alınan kredinin geri ödenmesi esnasında her ödeme döneminde hem alınan kredinin belli bir bölümü hem de kalan borcun faizi ödenir. Bu durumda bugünkü değer bilinirken aylık ödemelerin ne olacağı yanıtlanması gereken sorudur. Örnek: A Bankasından aylık %7.77 faizle TL. kredi alan bir kişi bu borcunu 6 ayda ödemek isterse aylık ödemeleri ne olacaktır? = D ([( )6-1]/0.077.( )6) D = TL. Borç Amortizasyonu Bu aylık ödemelerin içerdiği borç ve faiz geri ödemeleri ise aşağıdaki gibi bir tablo ile (kredi itfa tablosu) gösterilir. Her dönem için dönem başı borç faiz oranıyla çarpılarak faiz ödemesi bulunur. Kalan miktar ise ana para ödemesidir. Dönem Ödenecek Taksit Ödenecek Faiz Ödenecek Anapara Kalan

7 FAİZ FAKTÖRLERİ Elde Edilen Verilen Tanım Eşitlik G B G D B D B G D G D B Tek bir dönemin bindirgenmiş değeri Tek bir dönemin indirgenmiş değeri Dönemlik ödemelerin bindirgenmiş değeri Gelecek değerin dönemlere dağıtılması Dönemsel ödemelerin indirgenmiş değeri Bugünkü değerin dönemlere dağıtılması G = B (1+r) n B = G [1/(1+r) n ] G = D ([(1+r) n -1]/r) D= G (r/[(1+r) n -1]) B = D ([(1+r) n -1]/r.(1+r) n ) D = B (r.(1+r) n /[(1+r) n -1]) EXCEL DE PARANIN ZAMAN DEĞERİ İLE İLGİLİ FONKSİYONLAR 7

8 PV Fonksiyonun Adı : Anüitenin Bugunkü Değeri Fonksiyonun Tanımı : N dönem süresince gerçekleşen nakit giriş ve çıkışlarının, sabit bir faiz oranı üzerinden bugüne iskontolanmasını sağlar. Fonksiyonun Parametreleri : =PV(rate, nper, pmt, fv, type) =PV(faiz oranı, dönem sayısı, nakit akışı, gelecekteki değer, dönem başı/sonu) FV Fonksiyonun Adı : Anüitenin Gelecekteki Değeri Fonksiyonun Tanımı : N dönem süresince gerçekleşen nakit giriş ve çıkışlarının, sabit bir faiz oranı üzerinden N. dönem sonundaki değerinin hesaplanmasını sağlar. Fonksiyonun Parametreleri : =FV(rate, nper, pmt, pv, type) =FV(faiz oranı, dönem sayısı, nakit akışı, bugünkü değer, dönem başı/sonu) 8

9 PMT Fonksiyonun Adı : Anüite Fonksiyonun Tanımı : r faizi oranı.üzerinden n. dönem sonunda gerçekleşecek nakit giriş/çıkışı için, her dönem gerçekleşmesi gereken nakit giriş/çıkışlarını veya r faizi oranı.üzerinden bugünkü değerin elde edilebilmesi için, her dönem gerçekleşmesi gereken nakit giriş/çıkışlarını hesaplar. Fonksiyonun Parametreleri : =PMT(rate, nper, pv, fv, type) =PMT(faiz oranı, dönem sayısı, bugünkü değer, gelecekteki değer, dönem başı/sonu) NPER Fonksiyonun Adı : Dönem Sayısı Fonksiyonun Tanımı : r faizi oranı.üzerinden, belirtilen bugünkü veya gelecekteki değerlere erişilebilmesi için, gerçekleşmesi gereken nakit giriş/çıkış dönemlerinin sayısının hesaplanmasını sağlar. Fonksiyonun Parametreleri : =NPER(rate, pmt, pv, fv, type) =NPER(faiz oranı, nakit akışı, bugünkü değer, gelecekteki değer, dönem başı/sonu) 9

10 RATE Fonksiyonun Adı : Faizi Oranı Fonksiyonun Tanımı : Belirtilen bugünkü veya gelecekteki değerlere erişilebilmesi için, n dönem süresince yapılan sabit ödemelerde faiz oranının ne olması gerektiğini bulur. Fonksiyonun Parametreleri : =RATE(nper, pmt, pv, fv, type) =RATE(dönem sayısı, nakit akışı, bugünkü değer, gelecekteki değer, dönem başı/sonu) NPV Fonksiyonun Adı : Net Bugünkü Değer Fonksiyonun Tanımı : Süreleri eşit uzunlukta olan dönemlerde gerçekleşen çeşitli nakit akışlarının belirli bir iskonto oranı üzerinden bugünkü değerinin bulunmasını sağlar. Fonksiyonun Parametreleri : =NPV(rate, values ) =NPV(faiz oranı, nakit akışıları ) 10

11 EFFECT Fonksiyonun Adı : Yıllık Efektif Faiz Oranı Fonksiyonun Tanımı : Nominal Yıllık fazi oranı ve bir yıldaki faiz dönemlerinin sayısı verildiğinde, efektif yıllık faiz oranının hesaplanmasını sağlar. Fonksiyonun Parametreleri : =EFFECT(nominal_rate, npery) =EFFECT(nominal yıllık faiz oranı, faiz dönemlerinin sayısı) SORULAR-1 Eğer aylık faiz oranı %6 ise, 5 ay boyunca her ay sonunda size TL. ödemeye razı olan bir kişiye bugün kaç TL. verirsiniz? =PV(A2,B2,C2) B=D(DŞFF)%6,5 = 100(4,21236) =

12 SORULAR-2 Bugün TL. paranız var. Bu paranın aylık %6'dan 7. ay sonunda ulaşacağı meblağı bulunuz =FV(A8,B8,,C8) G=B(GDFF)%6,7 = (1,5) = SORULAR TL. borç alıyorsunuz. Bu borcu, aylık %6 faizle, ay sonlarında eşit taksitle 4 ay içinde ödemek için aylık ödemeleriniz ne olmalı? =PMT(A15,B15,C15) G=B(1/DŞFF)%6,4 = (0,28859) =

13 SORULAR-4 Her ayın ilk günü TL. tasarrufunuz olacağını düşünüyorsunuz. Paranıza aylık %6 faiz alıyorsunuz. 4. ayın sonunda paranız ne kadar olur? =FV(A22,B22,C22) G=D(DGFF)%6,4 = (4,3746) = SORULAR-5 Aylık %6 faiz oranı üzerinden, 6. ayın sonunda TL. paraya sahip olmak için bugünden kaç lira tasarruf etmeniz gerekir? =PV(A29,B29,,C29) B=G(ŞDFF)%6,6 = (0,70496) =

14 SORULAR-6 Her ayın sonunda eşit tutarlarda yatırılan kaç TL.lik mevduat, aylık %6 faiz oranı üzerinden 5. ayda TL.ye ulaşır? =PMT(A36,B36,,C36) D=G(1/DGFF)%6,5 = (0,1774) = SORULAR-7 Bugün verilen TL. kredi, önümüzdeki 3 yıl boyunca her yılın sonunda ödenecek 72 milyon TL. ile karşılanacaktır. Kredinin faiz oranı % kaçtır? =RATE(B43,C43,A43) D=B(1/DŞFF)%i,3 => 72/100 = 0,72 X = %51,14. 14

15 SORULAR-8 Yeni doğan çocuğun 18,19,20 yaşlarında bankadan 10 ar milyon TL çekmesi isteniyor. Yıllık faiz oranı %30 olduğuna göre bugün bankaya ne kadar yatırılmalıdır? =PV(A50,B50,D50) =PV(A50,C50,,A52) PV (pmt) PV(future) B=D(DŞFF)%30,3 = 100(1,81611) = B=G(ŞDFF)%30,17 = (1,156) = SORULAR-9 Bir senet karşılığı kısa vadeli kredinin yıllık nominal faiz oranı %70 dir. Faiz üzerinden %6 kaynak kullanımını destekleme fonu kesintisi yapılmakta, banka ayrıca %2 komisyon almakta ve faiz ve komisyon gelirinin %5 i tutarında gider vergisi ödenmektedir. Kredinin teminatı olarak alınan senetler %0,5 damga vergisine tabidir ve %0,5 senet tahsil komisyonu alınmaktadır. Kredinin faiz tahakkuku 3 aylık dönemler itibarıyla yapıldığına göre, kredinin alıcıya yıllık nominal ve efektif maliyetlerini bulunuz =EFFECT(A58,B58) r = 0,7+(0,7*0,06)+0,02+(0,7+0,02)*0,05+0,01 = 0,808 i = (1+0,808/4)4-1 = 108,7 15

16 SORULAR-10 Bir banka 6 aylık mevduata yıllık nominal %72 faiz veriyor. Yıllık efektif faiz ne kadardır? =EFFECT(A65,B65) i = (1+0,72/2)2-1 = 84,96 SORULAR TL. tutarında ve faiz oranı olan bir borç 10 eşit taksitte dönem sonlarında ödenecektir. İlk ödeme 4. dönemin sonunda başlayacaktır. Dönemsel ödemelerin tutarı ne olacaktır? =FV(A72,C72,,D72) =PMT(A72,B72,A74) 16

17 Net Bugünkü Değer (a) Bir firma 5 yıllık ekononomik ömrü olan bir varlığa YTL yatırım yapmak istiyor. Şirket yıllık nakit girdi ve çıktılarını sırasıyla 140,000 YTL ve 40,000 YTL olarak öngörüyor. Geçmiş maliyetlere başlı yıllık amortisman 60,000 YTL. Risksiz faiz oranı %13. Marjinal vergi oranı %34. Bu projenin NBD i nedir? (b) %13% risksiz faiz oranı enflasyonu da içermektedir. Varsayalım firma girdi ve çıktıların da yıllık %5 enflasyon oranında arttığını unutmuş olsun. NBD yi enflasyonu da dahil ederek yeniden hesaplayınız. Enflasyonu gözönünde bulunduran plan daha çekici midir? NBD Örneği Nakit akışlarının bugünkü değerini hesaplayalım Nakit Akışlarının bugünkü değeri 303,889 YTL. Başlangıç yatırımı 300,000 YTL. Dolayısıyla projenin NBD i 3,889 YTL. 17

18 NBD Örneği Nakit Akışlarının bugünkü değeri 337,938 YTL. Başlangıç yatırımı 300,000 YTL. Dolayısıyla projenin NBD i 37,938 YTL. Proje bu durumda daha çekicidir. 18