4.. KABUK MODELİ Sıvı damlası modeli başarılı bir şekilde tartışıldı. Bu formül taban durumundaki ve kararlılık eğrisi veya yakınındaki çekirdeklerin kütlelerini açıklamada gayet başarılı olmuştur. Ancak, çekirdeklerin birçok önemli özelliği hakkında söyleyecek çok şeyi yoktur. Bu özellikler; taban durum spin ve paritesi, uyarılmış durum spin ve pariteleri, sihirli sayıların varlığı, manyetik momentler, yoğunluk, yarı-deneysel kütle formülündeki katsayıların değerleri (Coulomb dışında). Bu sebeple, atom teorisinde olduğu gibi buna benzer bir kabuk modeli geliştirilir. Kabuk modeli üzerine kurulan atom teorisi, atom yapısının karmaşık ayrıntılarını açıklamakta çok büyük başarı sağlamıştır. Bu nedenle, nükleer fizikçiler, nükleer yapı probleminin çözümü ve çekirdeklerin özelliklerinin açıklanmasında benzer bir teorinin kullanılmasının yaralı olacağını düşünmüşlerdir. Atomik kabuk modelinde, kabuklar giderek artan enerjili elektronlarla Pauli prensibine uyacak biçimde doldurulur. Bunu yaptığımızda tamamen dolu kabuklardan oluşan bir eylemsiz kor ve birkaç değerlik elektronları elde ederiz: bu durumda model, atomik özelliklerin esas olarak değerlik elektronları tarafından belirlendiğini varsayar. Atomik sistemlerin bazı ölçülen özelliklerini modelin kestirdiği değerlerle karşılaştırdığımızda büyük bir uyum içerisinde olduğunu görürüz. Özellikle bir alt tabakayı doldurup bir sonrakine geçtiğimizde oldukça ani ve çarpıcı değişmeler görürüz. Bu modeli nükleer yapıya uygulamaya çalıştığımızda, hemen birçok güçlükle karşılaşırız. Atomik durumda, potansiyel, çekirdeğin Coulomb alanı ile sağlanır; alt kabuklar bir dış kaynak tarafından oluşturulur. Schrödinger denklemini bu potansiel için çözebilir ve elektronların yerleştirilebileceği alt kabukların enerjilerinin hesaplayabiliriz. Çekirdekte böyle bir dış kaynak yoktur. Nükleonlar kendilerinin yarattığı bir potansiyel içerisinde hareket ederler. Atomik yapıda potansiyel çekirdeğin Coulomb kuvveti ile sağlanır. Hâlbuki çekirdekte, tek bir nükleonun hareketi, diğer tüm nükleonlarca oluşturulan ortalama bir potansiyelle yönetilir. Atomik kabuk teorisinin diğer ilginç bir özelliği de uzaysal yörüngelerin varlığıdır. Atomik özellikleri elektron yörüngeleri ile tasvir etmek, genel olarak çok yararlıdır. Elektronlar bu yörüngelerde diğer elektronlarla çarpışmadan oldukça serbest bir şekilde hareket edebilirler. Nükleonların çapı, çekirdeğin büyüklüğü ile kıyaslandığında, oldukça büyük sayılır. Tek bir nükleon her yörüngede birçok çarpışma yapabiliyorsa, nükleonların iyi tanımlanmış yörüngelerde dolandığını nasıl kabul edebiliriz? İki nükleon çarpışırsa bunlardan bir tanesini uyarmak için gerekli enerji transferi için gerekenden daha fazla olabilir. Bu nedenle nükleer durumda nükleon-nükleon çarpışmaların olmadığı varsayılır ve her bir nükleon çekirdekte perturbe olmamış tek bir parçacık yörüngesine hareket eder. Tüm nükleonların ortak olarak yarattığı bir potansiyel vardır, nükleonlar bu
potansiyelin içinde yörüngesel hareket yaparlar. Nükleonların çekirdek içinde kapladığı alan çok büyük, yörünge hareketi yapabilirler mi? Nükleonlar çarpışırlar, belli yörüngelerde dolanırlar, kaotik bir hareket vardır. Çarpışmalarla belli yörüngelere hareket edebilirler, boş yörüngelere çarpışmalarla sıçrayabilirler. Sihirli sayılar çekirdekte çok daha sağlam yapıya sahiptir. Bu çekirdeklerden bir proton, bir nötron koparmak zordur, çok fazla enerji gerekir. Önce, nükleer kabukların varlığını destekleyen deneysel kanıtları inceleyelim. Proton ve nötron ayrılma enerjilerine bakalım, S " = B X & (*+ ( ' B ' X &*+ S, = B X & (*+ ( ' B '*+ X & Sıvı damlası modelindeki yarı-ampirik kütle formülüyle hesaplanan iki nötron ayrılma enerjisi ile gözlenen iki nötron ayrılma enerjisi arsındaki farka bakıldığında aşağıdaki şekil elde edilir,
(http://www.phy.pmf.unizg.hr/~nuc0/talks/chen.pdf, 07) 3
Ayrılma enerjilerindeki gözlenen bu ani ve kesikli davranış, aynı proton ve nötron sayılarında ortaya çıkmaktadır. Bu sayılara sihirli sayılar denir. Z veya N =,8,0,50,8 ve 6. Sihirli sayıya sahip çekirdekler kararlı çekirdeklerdir. Kimi çekirdeklerde protonlar veya nötronlar sihirli sayılara sahipken, kimi çekirdeklerde hem nötronlar hem de protonlar sihirli sayılara sahiptir. Bu tür çekirdeklere doubly magic (çifte sihirli sayı) denir ve en karalılardır. ÇEKİRDEK S N (MEV) 4 He 0.5 Ö 5 He 3-0.8 C 3. 6 C 6 8.7 Ö 3 C 5.0 4 C 8. 5 C. 6 8 O 8 5.6 Ö 7 O 4. Kararlı çekirdek sayısı N çift tek çift tek Z çift çift tek tek Kararlı çekirdek sayısı 60 53 49 4 Sihirli sayılar dolu ana kabukların etkilerini temsil eder ve herhangi başarılı teori, nötron veya proton sayısı bu sayılara eşit olduğunda tabakaların dolmasını öngörmelidir. Nükleer potansiyel kabuk modelinin temel varsayımı ile ifade edilir: bir nükleonun hareketi, diğer tüm nükleonların oluşturduğu potansiyel tarafından belirlenir. Eğer her bir nükleonu bu şekilde göz önüne alırsak, nükleonların sırayla, bir alt kabuk serisinin enerji düzeylerinin doldurmasına izin verebiliriz. Belirli uzaysal yörüngelerin varlığı Pauli ilkesine dayanır. Ağır bir çekirdekte, potansiyel kuyusunun dibine çok yakın durumdaki iki nükleonun çarpışmasını göz önüne alalım. Nükleonlar çarpıştığında, biri diğerine enerji aktarır, eğer değerlik nükleonlarının bulunduğu düzeye kadar tüm enerji düzeyleri dolu ise, nükleonlardan birinin enerji kazanarak değerlik 4
düzeyi dışında bir düzeye gitmesi mümkün değildir. Nükleonların başlangıçta bulundukları düzeye yakın diğer yüzey dolu olduğu için bu düzeyler başka nükleon kabul edemezler. Aşağı seviyedeki bir enerji düzeyinden değerlik bandına böyle bir geçiş için gerekli enerji, nükleonların çarpışmalar sırasında birbirine aktarmaları muhtemel enerjiden daha fazladır. Dolayısıyla çarpışmalar olamaz ve nükleonlar gerçekten saydam iki parçacık gibi yörüngelerde dolanırlar. Nasıl olur da bir nükleon, nükleonlarla dolu bir ortamda bulunurken bir yörüngede bahsedilen kavramın anlamlı olacağı kadar zaman geçirir? Normal olarak, bir reaksiyon sürecinde bir nükleer madde içerisinde hareket eden bir enerjik (>0 MeV) nükleonun ortalam serbest yolu fm civarındadır. Eğer bağlı nükleonları ele alacak olursak herhangi bir çarpışma olmadan nükleer yörüngede bir kez dolaşmak neredeyse imkânsızdır. Bizi bu zorluktan kurtaran Pauli dışarlama ilkesidir. Yörüngeleri değiştiren çarpışmalar gerçekleşmez. Çünkü, normalde, enerji değiş-tokuşu anlamına gelir ve buna karşılık da enerji kaybeden bir nükleonun daha düşük enerjili bir yörüngeye geçişi anlaşılır. Fakat bütün düşük enerjili yörüngeler doldurulmuştur ve yörüngeyi tahrip edecek çarpışmalar gerçekleşemez. Şimdi kabuk modelinin nasıl adım adım nasıl oluşturulduğuna bakalım,. Basit bazı potansiyeller önerilir.. Bu potansiyeller için Schrödinger denkleminin çözümlerinin doğasına bakılır. 3. Pauli dışarlama ilkesine göre, enerji seviyeleri nötron ve protonlarla doldurulur. 4. Sihirli sayılar aranır. Eğer bu başarılı olmazsa, potansiyel değiştirilir ve. adıma geri dönülür. 4... Nükleer Kabuk Modeli Potansiyeli Önerilen üç farklı potansiyel aşağıda verilmiştir. İlk ikisi sonlu karekuyu ve sonsuz harmonik osilatör potansiyelidir. Her ikisi de çekirdeğin fiziksel özelliklerini açıklamada yeterli değildir, fakat biz bunlara çözülebilir olduğu için bakacağız. Üçüncüsü (Wood-Saxon potansiyeli) çekirdek yük dağılımına uyan bir şekle sahiptir ve fiziksel olarak yeterince gerçekçidir. Bu potansiyeller nötronlar için geçerlidir. Protonlar için olan potansiyeller, Coulomb etkileşmesinden dolayı ek bir katkıya sahiptir. Ancak bu katkıyı biz burada ihmal edeceğiz, fakat nötronlara göre proton enerji seviyelerini yükselten bu katkıyı unutmamalıyız. 5
Çekirdeğin potansiyeli nasıl seçilir? Potansiyeli doğru olarak belirlemek için merkezdeki ve yüzeydeki nükleonlar arasındaki fark göz önüne alınmalıdır. Çekirdeğin merkezindeki nükleonlar düzgün olarak nükleer kuvvetlerin etkisindeyken, yüzeydeki nükleonlar merkeze doğru büyük bir kuvvetin etkisindedir. Potansiyel merkezi olsun, açısal bağımlılık olmasın. Merkezi potansiyel için dalga fonksiyonu iki kısma ayrılabilir. Şekilde harmonik osilatör, kare kuyu ve Woods-Saxon potansiyellerinin iki boyutlu gösterimi verilmiştir. Nötronlar ve protonlar için potansiyel enerji fonksiyonu aynıdır. Nötronlar için potansiyel enerji aşağıdaki gibi iken protonlar için elektriksel itmeden dolayı ek bir potansiyel enerji vardır. Aşağıdaki şekilde protonlar ve nötronlar için çekirdekten r kadar uzaklıktaki potansiyel enerji fonksiyonu görülmektedir. Schrödinger denkleminin çözümleri alışıla gelmiş şekilde bulunur. Bu çözümler r, q, f kutupsal koordinatlarının fonksiyonları olarak verilir. Karalı durum dalga fonksiyonlarının aşağıdaki gibi ayrılabilir olduğunu kabul edilir, 6
Ψ r, θ, φ = R(r)Y l E l (θ, φ) Y l E l (θ, φ) fonksiyonu, l. ve m. dereceden bir küresel harmoniktir. Bu nedenle bu durum l(0,,,3 ) yörüngesel açıal momentum kuantum ve l L = m( l m l) manyetik kuantum sayılarına sahiptir. Yörüngesel açısal momentumun karesinin (L P ) özdeğeri l(l + )ħ P ve bunun z-bileşeninin (L L ) özdeğeri l L ħ dır. Şimdi, R(r) radyal kısmını gözönünde bulunduralım: ħp m d P R(r) dr P + r dr(r) dr + V r + l l + ħp mr P R(r) = ER(r) Eğer R(r)=U(r)/r alırsak, dr(r) dr = d dr U r r = r du r dr U r rp d P R(r) dr P = dp dr P U r r = r d P U r dr P r P du r dr r P du r dr + U r rx d P R(r) dr P + r dr(r) dr = r d P U r dr P r P du r dr r P du r dr + r X U r + r P du r dr U r rx o zaman U(r) aşağıdaki denklemi sağlar, ħp d P U r m dr P + V r + l l + ħp mr P U r = EU(r) Burada, m nükleonun kütlesi, V(r) ise potansiyeldir. Potansiyelin merkezi olduğunu kabul ediyoruz. Yani, potansiyelin sadece r nin büyüklüğüne bağlı olduğunu düşünüyoruz. Sınır koşulu r u nun sonlu olması gerektiğini söyler. U bir polinom şeklinde tanımlanabilir, n radyal kuantum sayısıdır ve u nun kiplenim sayısına eşittir.! yörünge kuantum sayısıdır. Denklemin çözümü n ve! ye bağlı olan belirli enerji değerleri için mevcuttur. Problem kutu içindeki parçacık problemine benzer, sınır koşulları dalga fonksiyonunun kuantum sayılarını ve buna sebep olan enerji kuantumlanmasını bulmuştuk. 7
! = 0,,,3... n -, s, p, d, f, g, h. Potansiyel, R yarıçaplı sonsuz kare kuyu potansiyel, Veya harmonik osilatör potansiyeli (i) Olabilir. Daha gerçekçi potansiyel, sonlu kare kuyu potansiyel olabilir, ile verilir. (ii) Şekil 4.. Sonsuz kuyu ve harmonik salınıcı potansiyelinden elde edilen enerji düzeyleri. Her düzeyin kapasitesi o düzeyin sağ tarafında gösterilmiştir. Düzeyler arasında, kapalı kabuklarla ilişkili, büyük aralıklar vardır. Daire içindeki sayılar her kapalı kabuktaki toplam nükleon sayısını göstermektedir. (Krane, 988) 8
Atom fiziğinde olduğu gibi her düzeyin dejenereliği her düzeyin alabileceği nükleon sayısıdır, yani (l + ) dir. l + çarpanı m l den ve çarpanı ise m Y nin dejenereliğinden kaynaklanır. Enerji düzeylerini belirtmek için atom fiziğinde olduğu gibi spektroskopik yöntem kullanılır. Atom fiziğindeki gösterim ile nükleer fizikteki gösterim arasında önemli fark vardır: nükleer fizikte n indisi baş kuantum sayısı değildir, herhangi bir l sayılı enerji düzeylerinin sayısını verir. Böylece d birinci (en düşük) d durumu, d ikinci d durumunu v.b. gösterir. (Atomik spektroskopik gösterimde d veyad durumları yoktur.) Şekilde aynı zamanda her düzeyin alabileceği nükleon sayısını ve kapalı bir kabuktaki toplam nükleon sayısını da göstermektedir. Bu şemaların her ikisinde de,8 ve 0 sihirli sayılarını görmek cesaret vericidir, fakat daha yüksek düzeyler gözlenen sihirli sayılara karşılık gelmez. Schrödinger denklemi sonsuz küresel kuyu durumu için çözülürse, çözüm küresel Bessel fonksiyonları (j l (kr)) cinsinden ifade edilebilir. Enerji özdeğerlerini bulmak için dalga fonksiyonunun r=a da sürekli olması koşulunu kullanarak buluruz. l = 0 için j l ka = 0 E = ħp k P m = np π P ħ P ma P dir. l 0 olduğunda j l ka = 0 trigonemetrik denkleminin nümerik çözümlerine bakılmalıdır ve küresel bessel fonksiyonlarının l nin verilen herhangi bir değeri için köklerini veren tablolara bakmak faydalı olacaktır. Örnek olarak l = durumu alınırsa, katlı dejenerelik vardır ve dalga fonksiyonları j P kr Y PP θ, φ, j P kr Y P+ θ, φ, j P kr Y P` θ, φ, j P kr Y P*+ θ, φ, j P (kr)y P*P (θ, φ) dir. m l, 0, ±, ±,, ±l değerlerini alabileceğinden verilen bir l için l + tane mümkün Y lel vardır ve böylece her düzey l + dejenereliğe sahiptir. 9
Schöredinger denkleminin harmonik osilatör potansiyeli için çözülürse hamiltoniyenin özdeğerleri, eşit aralıklı enerji seviyeleri olarak bulunur. En = ( nx + ny + nz + ) w = ( N + ) 3 nx, ny, nz kuantum sayılarıdır, sıfır olabilirler. Enerji seviyeleri eşit aralıklarla yerleşmiştir. Şekil (b) de dejenere durumlar vardır, yani aynı enerji durumuna birden fazla kuantum sayısı karşı gelebilir. n osilatör kuantum sayısıdır. Burada n = 0,,... ve n x,n y,nz = 0,,... 3 w kuantum sayılarıdır, harmonik osilatörün enerji seviyelerinin dejenere olduğu görülmektedir. n kuantum sayısı, aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi, n radyal kuantum sayısına ve Burada durum sayısı ( n+ )( n+ ) yörünge kuantum sayısı cinsinden yazılabilir. ile verilir, bu değerin katı alınır, spin aşağı ve yukarı durumlar da tanımlanır. (n=0 ise, n= ise 6, n= ise tane durum vardır). Harmonik osilatörün enerji seviyelerinin dejenereliğini inceleyelim. N = ( n - ) + ile verilir. Burada n radyal kuantum sayısı, ise yörünge açısal momentumudur. Her bir enerji seviyesi dejeneredir ve N temel, prensip kuantum sayısının tam sayı değerleri ile tanımlanır. n=,,3., =0,, değerlerini alır. spektroskobik notasyon kullanılarak tanımlanır. value 0 3 4 5 6 Symbol s p d f g h i (s- sharp, p-principal, d-diffuse, f-fundamental) Her bir enerji seviyesi (N+)(N+) kata sahiptir veya ( (l +) ). 3 E Öyle ki N = ( n - ) + n = ( N + ) w, Örneğin N= olması için = n = ( d ) veya = 0 n = ( s ) olabilir. 0
Harmonik osilatörün seviyeleri belli N değerleri tanımlanır ve tek veya çift değerlerini içerir. p = (- ) = (- ) N. Buradan tek bir osilatör yalnızca aynı pariteye sahip durumları içerir. Sadece ilk üç sihirli sayı tahmin edilebilir, bu nedenle model ağır çekirdekler için başarısızlığa uğrar. (Bu nedenle potansiyele bir terim eklenmelidir, potansiyele bir l P terimi eklenirse, V b` r = V` + mωp r P Al P A belirlenebilen bir sabittir. Bu model daha gerçekçi bir nükleer potansiyel şekli verir. Ancak hala sihirli sayılar elde edilemez. ) Daha gerçekçi bir potansiyel seçmeyi denemeliyiz. Sonsuz kuyu potansiyeli, birçok nedenle nükleer potansiyel için iyi bir yaklaşım değildir. Bir nötron veya bir protonu ayırmak için onu kuyudan dışarı çıkarmaya yetecek enerjiyi, yani sonsuz büyüklükte, sağlamamız gerekir. Buna ek olarak, nükleer potansiyel keskin kenarlı değildir, fakat nükleer yük ve madde dağılımına oldukça benzer; ortalama R yarıçapının ötesinde düzgün olarak sıfıra yaklaşır. Diğer taraftan harmonik salınıcı potansiyeli keskin keskin bir şekle sahip değildir ve yine sonsuz bir ayrılma enerjisi gerektirir. Bunun yerine bu iki potansiyel arasında bir şekle sahip olan ve grafiği üstteki şekillerde görülen, V` V r = + exp [(r R)/a] yı seçeriz. R ve a parametreleri sırasıyla ortalama yarıçap ve yüzey kalınlığını verir. R =.5A +/X fm ve a=0.54fm olarak seçilir. V` kuyu derinliği uygun ayrılma enerjilerini verecek şekilde ayarlanır ve 50 MeV mertebesindedir. Wood- Sakson modelini basitleştirelim. Bir potansiyel kuyusu artı harmonik salınıcıdan oluşuyor olsun. HO ( ) =- 0 + mw r V r V V 0 potansiyelin derinliği, m nükleonun kütlesi, w parçacığın basit harmonik titreşiminin frekansıdır. Merkezkaç kuvvet L f= mw r= = mr ( + ) mr 3 3 VHO ( r) =- V + ise ( + ) mr 0
İkinci terim nükleonları merkezden uzaktan tutmaya çalışan terimdir. l = 0 V(r)= V 0 Bu durumda elde edilen enerji düzeyleri aşağıda verilmiştir; potansiyelin etkisi harmonik salınıcıya göre ana kabukların l dejenereliklerini kaldırmasıdır. Daha yüksek enerjilere doğru çıkıldıkça enerji düzeylerinin yarılması gittikçe daha şiddetli hale gelir ve en sonunda harmonik salınıcı düzeyleri arasında aralık kadar büyük olur. Kabukların sırasıyla (l + ) nükleonla doldurulmasıyla,8 ve 0 sihirli sayılarını tekar elde ederiz, fakat hesaplamalar daha büyük sihirli sayıları vermez. Sihirli sayıları elde etmek için potansiyel ifadesine, merkezi simetrik potansiyel için spin-yörünge etkileşme terimi eklenir. VHO ( r) =- V0 + mw r Şekil 4.3. Ara durum, potansiyeli ile hesaplanan enerji düzeyleri gösterilmiştir. Her düzeyin sağında o düzeyin kapasitesi, üstünde de o düzeye kadarki toplam nükleon sayısı gösterilmektedir. (Krane, 988) 4.3. Spin-Yörünge Potansiyeli Potansiyelin sihirli sayıları tam olarak vermesi için onu nasıl değiştirebiliriz? Tabii potansiyelde köklü değişimler yapamayız çünkü modelin fiziksel içeriğini değiştirmek istemeyiz. Wood-
saxon potansiyeli nükleer potansiyel için çok iyi bir yaklaşımdır. Öyleyse durumu geliştirmek için potansiyele yeni terimler eklemek gerekir. Bunun çin 949 da Mayer, Haxel,Suess ve Jensen in potansiyele bir spin-yörünge potansiyelinin eklenmesininin alt kabukların ayrılmalarını tam olarak vereceğini göstermesiyle başarıya erişilmiş oldu. Atom fiziğinde spektral çizgilerin gözlenen ince yapısına neden olan spin-yörünge etkileşmesi, elektronun manyetik momentinin, elektronun çekirdek etrafındaki hareketinden ileri gelen manyetik alanla elektromanyetik etkileşmesi sonucunda oluşur. Etkiler tipi olarak çok küçüktür ve yaklaşık olarak atomik düzeyler arasındaki mesafenin 0 5 de!i kadardır. Hiçbir elektromanyetik etkileşme, nükleer düzey aralığı üzerinde, gözlenen sihirli sayıları verecek kadar kuvvetli değildir. Bununla birlikte, atomik spin-yörünge kuvveti ile aynı şekle sahip fakat elektromanyetik kökenli olmayan bir nükleer spin-yörünge kuvveti kavramını benimseriz. Sihirli sayıları elde etmek için potansiyel ifadesine, merkezi simetrik potansiyel için spinyörünge etkileşme terimi eklenir. V so çekici, merkezi potansiyeldir. Nükleonlar arası etkileşmeler spin-yörünge arasındaki yönelimlere bağlıdır. Çok fazla nükleon olduğu için ikili etkileşmeler kurulamamaktadır. Örneğin 64 tane nükleon varsa 64! tane etkileşme terimi vardır. Bu durumu kurmak çok zor olduğundan terim biraz basitleştirilerek yazılır. V( r) V( r) + V so Hamiltoniyen. Bu durumda etkileşme artık küresel simetrik değildir. şeklindedir ve spin ve yörünge açısal momentumunun yönelimine bağlıdır. Spin-yörünge etkileşmesi V Y` r l. s şeklinde yazılır, fakat V Y` r nin biçimi pek öenli değildir. Düzeylerin yeniden düzenlenmesine neden olan l. s çarpanıdır. Spin yörünge terimi eklendiğinde enerji seviyeleri toplam açısal momentum ile belirlenir. j = + s Tek bir nükleonun spini s = + P olduğundan toplam açısal momentum sayısının mümkün değerleri j = l + + veya j = l + dir. l. s nin beklenen değeri, yaygın kullanılan bir işlemle P P hesaplanabilir. Önce yi hesaplarız. j P = l + s P 3
Beklenen değerleri yerine konarak j - -s j = +s +.s Þ.s = l. s = j j + l l + s(s + ) ħp bulunur. s durumu hariç bütün seviyeler ikiye ayrılıyor. Toplam açısal momentum j nedenle spin-yörünge etkileşmesinde için iki tane I değeri var. Dejenerelik j = + lower energy state = ± s ile verilir. Tek bir nükleon s=± spine sahiptir, bu j= ± tane seviye yarılması olur. Aynı ve s değeri j+ bağıntısından bulunur. j = - higher energy state Dejenerelik ( (l +) ) ile verilir. Verilen bir (,,) n j seviyesi için nükleon, j+ seviyeye sahiptir. Tabii ki j+ tane nükeonun aynı seviyeye yerleşmesi, Pauli dışarlama ilkesine aykırıdır. Ancak her bir nükleon farklı bir m j değerine sahip olduğundan, durum böyle değildir. Verilen bir j değeri için j+ tane m j değeri vardır. Şekil spin-yörünge etkileşme terimi de alındığında enerji seviyelerini verir, 7 sihirli sayıyı da içerir. Bu modelin bir zaferidir ve Mayer ve Jensen a Nobel ödülü kazandırmıştır. 4
5
Örneğin = 3 için f, ( + ) = 4 tane dejenere durum vardır. j= ±s= 3 ± Þ, Þ + = 8 7 7 Þ + = 6 5 5 7 5 dejenere durum sayısı spin-yörünge etkileşme teriminin enerjiye katkısı f durumunu ye ayırmasıdır. Toplam doluluk oranı ise Pauli dışarılama ilkesinden dolayı (6+=8) Bu yarılma ile orantılıdır ve belirli j-yörüngelerinde, j = + ( j + ) doluluk oranı vardır. durumları bir osilatörün N tabakasından (N-) alt tabakasına iner. Bu durumlar intruder durumlar olarak bilinir ve tabakanın normal durumu için zıt veya doğal olmayan paritedir. Bu şekilde sihirli sayılar elde edilir. model sihirli sayılara yakın değerlerde başarılı oluyor. Bu modelle çekirdek spini, paritesi ve manyetik momenti bulunur. Bu durum proton ve nötronlar için ayrı ayrı da çizilebilir. 6
=Þ j= ± 3 j=, izdüşümüdür. Pauli ilkesine göre yerleştirilir. 3 m j = ±,± m + değer alır. j, j nin Bir kabuk modeli uygulaması olarak +r ve +s O nin düzeylerinin nasıl doldurulduğunu O q görelim. 8 proton bir ana kabuğu doldurur ve nükleer yapıya katkıda bulunmaz. Kabuk modeline göre çiftlenmeiş tek nükleon çekirdeğin özelliklerini belirler. nötron p +/P kabuğundadır; dolayısıyla belirlendiği için tek paritelidir. q +r q O de çiftlenmemiş +r q O nin taban durumunun spini ½ ve parite ( ) l ile +s q O nin taban durumu ise bir d r/p nötronunun karakteristiklerine, yani 5/ spin ve çift pariteye sahip olmalıdır. Bu iki kestirim gözlenen spin- 7
parite değerleri ile tam olarak uyum içindedir ve benzer uyum kabuk modelinin geçerli olduğu tüm tek-a lı çekirdeklerde görülür. Çift-çift çekirdekler (çift nötron-çift proton) için taban durumu sıfır denir. Bu durumda l = l, s s ¹ olur, yani nükleonlar aynı yörüngede, biri spin yukarı, diğeri spin aşağı olmak üzere zıt yönde dolanırlar. j = l ± s dir, l l + l = ise parite çifttir, ( l l = ) çekirdeğin toplam spini j = j + j = 0 olur, tüm çekirdeğin toplam spini sıfırdır.!!!! I = j + j + j3 +... = 0. Tabakalar tam dolu olsun, örneğin son yörüngede (.c), nükleon bulunsun, bu yörüngedeki nükleonlar hareket edip sıçrayıp başka yörüngelere gidip tekrar eski yörüngesine düşebilir. (a) tabakasındaki nükleonlar üstündeki tabaka dolu olduğundan yörünge atlayamazlar. (c.) en dıştaki tabakadaki nükleonlar yörünge atlayabilirler. Çekirdek tek-çift ise, yani bir proton veya nötron sayısı tekse, çift sayıda olan nükleonların toplam açısal momentumu sıfır olduğunda, çekirdeğin özelliklerini tek sayıda olan nükleon belirler. Örneğin taban durumunda uyarılmış durumlara bakarsak, bir üst tabakaya nükleon atlayabilir, tek olan nükleon uyarılmış olur. Sihirli sayılara yakın çekirdeklerde uyarılmış durumlar iyi sonuç verir. Taban durumunda çekirdeğin potansiyeli küresel idi, çekirdek deformasyon bölgesinde (50<A<90) iki sihirli sayı arasındaki çekirdekler için bu model başarısızdır. Bu durumda potansiyel değiştirilmeli, çekirdeğin deformasyonuna uygun potansiyel bulunmalıdır. Bu yapılarak kabuk modeli deformasyon için uygulanır (Nilson modeli). 8
Kabuk modelini çekirdeğin tabakaları tam dolu veya nerdeyse dolu ise uygulamak daha yararlıdır. Tam dolu olmayan tabakalar için kollektif model uygundur. Kabuk modelinde çiftlenim kuvvetleri göz önüne alınmaz. Kabuk modeli dış tabakada bulunan bir veya daha fazla nükleon ile tam dolu tabakalar arasındaki çekim nedeniyle deforme çekirdekler için uygulanmaz. Kabuk modeli basitliğine rağmen hemen bütün tek A lı çekirdeklerin taban durumlarının spin ve paritelerini belirlemede başarılıdır. Manyetik dipol ve elektrik kuadrapol momentlerin hesaplanmasında ise daha az başarılıdır. Kabuk modeli deforme çekirdekler için kullanılırken bazı tanımlar değişir. Çekirdeğin şeklini veren bir tanım kurulur. Cigar tipi denilen prolat deformasyon halka simetrisine sahiptir. Şekilde () ve () aynı boyutta, (3) simetri ekseni ise uzundur. Şekil sadece q ya bağlı j den bağımsızdır. şeklinde verilen potansiyele bir de bu terim ( R (q ) ) eklenir. Bu durumda yörünge sabit değil, değişik l li terimlerin bir karışımı şeklinde hareket gözlenir. Yani her yörünge için farklı bir l, farklı bir I tanımlanır. Dolu tabakaların toplam açısal momentumu, I, sıfırdır. Eklenen bir nükleon (valans nükleon) yeni taban durumunun I sini belirler. Nükleonlar tek veya çift olarak taban durumunun dışına uyarıldığında, açısal momentumu, paritesi ve izospin izdüşüm kuantum sayıları değişir. Tabaka modeli nükleonları bir yörüngeden diğerine taşımak için ne kadar enerji gerektiğini ve kuantum sayılarının nasıl değiştiğini açıklar. Örnek Tek A ya sahip olan çekirdek için taban durum spin ve paritesini tek nükleon (tek N veya Z) belirler. Çift-çift çekirdeklerde taban durumunun spin ve paritesi I v = 0 w dır. Tek-tek çekirdeklerde ise I, j + j P ile j + + j P arasındaıdr. 9
+s q O çekirdeğine tekrar bakalım. Taban durumu için, p: ( S / ) (P 3/ ) 4 (P / ) n: ( S / ) (P 3/ ) 4 (P / ) (d 5/ ) l =, j = 5/ I v = 5 Uyarılmış durumlar ise, (d 5/ ) de bulunan nötron bir üst seviyeye çıkabilir yani (s / ) olabilir. O zaman spin ve parite, l = 0, j =, Iv = w w (P / ) de bulunan nötronlardan birisi (d 5/ ) bulunan nötronun yanına çıkar ve (P / ) de tek nötron kalır, l =, j =, Iv = * ++ z C r çekirdeğinin spin ve paritesi, p: ( S / ) (P 3/ ) 4 n: ( S / ) (P 3/ ) 3 l =, j = 3, Iv = 3 * {{ P` Ca P{ çekirdeğinin spin ve paritesi, Çift-çift bir çekirdek, dolayısıyla spin ve paritesi I v = 0 w dır. sx XP Ge {+ çekirdeğinin spin ve paritesi, p: ( S / ) (P 3/ ) 4 (P / ) (d 5/ ) 6 (s / ) (d 3/ ) 4 (f 7/ ) 8 (p 3/ ) 4 n: ( S / ) (P 3/ ) 4 (P / ) (d 5/ ) 6 (s / ) (d 3/ ) 4 (f 7/ ) 8 (p 3/ ) 4 (f 5/ ) 6 (p / ) (g 9/ ) l = 4, j = 9, Iv = 9 w z+ Pq Ni XX çekirdeğinin spin ve paritesi, 0
p: ( S / ) (P 3/ ) 4 (P / ) (d 5/ ) 6 (s / ) (d 3/ ) 4 (f 7/ ) 8 n: ( S / ) (P 3/ ) 4 (P / ) (d 5/ ) 6 (s / ) (d 3/ ) 4 (f 7/ ) 8 (p 3/ ) 4 (f 5/ ) l = 3, j = 95, Iv = 5 * z X Li X çekirdeğinin spin ve paritesi, p: ( S / ) (P 3/ ) n: ( S / ) (P 3/ ) j + j P = 0 j + + j P = 3 I = 0,,,3 Paritesi ( ) l. ( ) l ƒ = ( ) Pl = + Gözlenen: I v = w +q F çekirdeğinin spin ve paritesi, p: ( S / ) (P 3/ ) 4 (P / ) (d 5/ ) n: ( S / ) (P 3/ ) 4 (P / ) (d 5/ ) j + j P = 0 j + + j P = 5 I = 0,,,3,4,5 Paritesi ( ) l. ( ) l ƒ = ( ) Pl = + +` r B r çekirdeğinin spin ve paritesi, p: ( S / ) (P 3/ ) 3 n: ( S / ) (P 3/ ) 3 j + j P = 0 j + + j P = 3 I = 0,,,3 Paritesi ( ) l. ( ) l ƒ = ( ) Pl = + Gözlenen taban durumu: I v = 3 w
9 4 Be 5 - tek çekirdek Nötron sayısı N=5 ( 3 p3 s s / ifadesinde (n=) = 0, Þ j= s Þ j=± p son nükleon olan 5. nötron 3/ / / ) proton sayısı Z=4 ( (- ) = (- ) =- spini 3/ dir. Gösterimi 3 - / p3 / ) s (! + ) = durum sayısı ( =, j = 3/ şeklindedir. ) durumundadır. Paritesi 40 0Ca 0 sahiptir. çift çift çekirdektir ve 0 Son tabaka (s ) için, parite ( ) 4 6 4 3 5 3 s p p d d s / / / / / / konfigürasyonuna = 0 - = olduğundan, spini sıfır 0 + 38 7Cl proton için 4 6 3 3 5 3 s p p d d / / / / / bu durumda =, j= 3/, paritevespin Son proton için bu durumda =, momentumları zıt yönelimlidir. Nötron 4 6 4 / 3 / / 5 / 3 / / 7 / s p p d d s f Son nötron içinse iki açısal momentum momentumları aynı yönlüdür. j = - ve j=3/ olduğundan yörünge ve spin açısal j = + =3 ve j=7/, spin ve yörünge açısal Çekirdeğin paritesi son proton ve son nötronun paritelerinin çarpımına eşittir. Proton için parite d (- ) = = ve nötron için f 3 (- ) = =- ise çekirdeğin paritesi - olarak bulunur. 38 Cl için gösterim - şeklinde olacaktır.
Kural bize iki spin momentumunun paralel olacağını söylediğinden, protonun yörünge açısal momentumu nötronun yörünge açısal momentumuna zıt yönlüdür. Bu 4 momentumu toplarsak 3+/-+/= olur. Böylece nükleer spin yani çekirdeğin toplam açısal momentumu olarak bulunur. Parite için ne söyleyebiliriz? Çekirdeğin paritesi son proton ve son nötronun paritelerinin çarpımına eşittir. Proton için parite çekirdeğin paritesi - olarak bulunur. d f 3 - = ve nötron için ( ) = ( ) = - =- ise 3