Dokuz Eylül Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü END 3618 Kalite Planlama & Kontrol Bölüm 13: Standart Örnekleme Planları & Değişkenlere Göre Örnekleme Planları Yrd. Doç. Dr. Kemal SUBULAN 03.05.2018
Standart Örnekleme Planları İyi/kaliteli partilerin yüksek olasılıkla reddedilmesi riskine karşı üreticiyi koruyan kabul örneklemesi planlarını içeren ABD standart askeri muayene tabloları (MIL STD 105E), ANSI/ASQC Z1.4, ISO 2859, TS 2756-1. Tüketiciyi kötü kaliteli partilerin kabul riskine karşı koruyan Dodge-Roming standart örnekleme planları. MIL STD 105E Standart Örnekleme Tabloları Standart, uluslararası standartlar organizasyonu (ISO) tarafından benimsenmiştir (ISO 2859). Hem kusurlu oranı hem de hata sayısı için kullanılabilir. Parti büyüklüğü ile kabul edilebilir kalite düzeyi (AQL) ölçütlerine dayanarak, örnekleme ve muayene türüne göre kabul planlarının (N, n ve c) parametrelerini bulmak için tablolar hazırlanmıştır. MIL STD 105E standardının odak noktası AQL dir (%0.1 - %10).
MIL STD 105E Standart Örnekleme Tabloları Örnekleme planı, birinden diğerine dönüşüm kuralları ile (i) Normal örnekleme planı, (ii) Sıkı örnekleme planı ve (iii) Gevşek örnekleme planı kombinasyonlarını içerir. Standart, üç tip örneklemeyi destekler (Tek katlı, çift katlı ve çok katlı). Farklı tipteki hatalar için farklı AQL değerleri belirtilir (%1 majör hatalar, %2.5 minör hatalar ve %0 kritik hatalar). Örneklem büyüklüğü belirlenirken parti büyüklüğü ve muayene düzeyi (Normal, sıkı & gevşek) kullanılır. Belirlenen AQL, muayene seviyesi ve parti büyüklüğü için MIL STD 105E standardı, tedarikçi AQL seviyesinde veya daha iyi kalitede üretim yaptığı sürece kullanılabilecek normal bir örnekleme planı sunar. Tedarikçi kalitesinin bozulduğuna dair bir delil olduğunda, normal plan yerine kullanılacak sıkı örnekleme planını da verir (Geçiş kuralları).
Normal, Sıkı ve Gevşek Muayene için Geçiş Kuralları Kabul örneklemesi ilk önce Normal örnekleme ile başlar. Ardışık 5 partiden 2 si reddedildi ise sıkı plana geçilir. Birbirini izleyen 5 parti kabul edilmiş ise normal muayene tekrar başlanır. Ardışık 10 parti sıkı muayene altına alınırsa, muayene tedarikçi kalitesinden şüphe edilerek durdurulur. Tedarikçiden parti kalitesini iyileştirmesi istenir. Sıkı plana geçiş, ürün türüne bağlı da olabilir (Kritik önem taşıyan malzemeler).
Normal Muayeneden Gevşek Muayeneye Geçiş Normal muayenede, ardışık 10 partinin reddedilmemiş olması, Önceki 10 partiden alınan örneklemler içerisindeki kusurlu sayısı, standartlarda belirtilen limitlerden az ise, Üretim stabil bir şekilde devam ediyorsa (Makine bozulması, malzeme eksiklikleri vs. gibi problemler söz konusu değilse), Örneklemden sorumlu kişi tarafından onaylanıyorsa gevşek muayeneye geçiş yapılabilir. Gevşek Muayeneden Normal Muayeneye Geçiş Bir parti reddedildiyse, Ne kabul kriteri, ne de red kriteri sağlandıysa; parti kabul edilir ve normal muayene geçiş yapılır. Üretim düzensiz ise (Stabil değilse) ve gecikmeler yaşanıyorsa, Normal muayenedeki diğer belirtilen durumlar söz konusu ise.
MIL STD 105E Standardı Kullanım Prosedürü 1. Kabul edilebilir kalite seviyesinin (AQL) seçimi, 2. Genel/özel muayene seviyesinin seçimi (Örnekleme düzeyi), 3. Parti büyüklüğünün belirlenmesi, 4. Tablodan örneklem büyüklüğü kod harfinin bulunması, 5. Kullanılacak örneklem plan tipine karar verilmesi (Tek katlı, çift katlı veya çok katlı), 6. Kullanılacak plan tipinin tablodan bulunması, 7. Normal muayene ile başlayarak, geçiş (sıkı & gevşek) kuralları ve muayeneye ara verme kurallarını izlemek.
Genel/Özel Muayene Seviyelerine Göre Örneklem Büyüklüğü Kod Harfleri Kod harfleri, parti büyüklüğü ile örneklem büyüklüğü arasındaki ilişkiyi gösterir. Genel muayene seviyeleri: I-gevşek; II-normal, III-sıkı. Özel seviyeler ise örneklem büyüklüğünün çok küçük olması istendiğinde ve örneklem ile ilgili büyük risklere katlanılabildiği durumlarda kullanılır.
Normal Muayene için Tek Katlı Kabul Örneklemesi Tablosu
Sıkı Muayene için Tek Katlı Kabul Örneklemesi Tablosu
Gevşek Muayene için Tek Katlı Kabul Örneklemesi Tablosu
Örnek 1: MIL STD 105E Standardı Tek Katlı Örnekleme Bir işletme, tedarikçisinden N=2000 lik partiler halinde hammadde satın almaktadır. İlgili hammadde için kabul edilebilir kalite seviyesi (AQL) %0.65 olarak belirlenmiştir. Örneklem büyüklüğü kod harfleri tablosundan normal muayene-ii için kod harfi K olarak belirlenir. Normal muayene için tek katlı kabul örnekleme tablosundan ise K harfine karşılık gelen örneklem büyüklüğü n = 125, AQL = 0.65% karşılık gelen kabul sayısı ise c = 2 olarak belirlenir. Tedarikçinin hammadde kalitesini kötüleştirmesi durumunda uygulanacak sıkı muayene durumunda ise, örneklem büyüklüğü sabit kalacak, kabul sayısı ise c = 1 olarak azalacaktır. Gevşek muayeneye geçilmesi durumunda, örneklem büyüklüğü azalacak n = 50; kabul sayısı c = 1, red sayısı r = 3 olacaktır. Eğer partideki kusurlu sayısı 2 olursa, parti kabul edilecek ancak bir sonraki parti normal muayeneye tabi tutulacaktır. Tabloda ilgili kod harfi ve AQL değerinde dikey ok ile karşılaşılırsa, kod harfi ve örneklem büyüklüğü değişecektir. Örneğin, normal muayene durumunda AQL = %1.5 olduğunda kod harfi F iken, G olacak ve örneklem büyüklüğü 20 den 32 ye çıkacaktır.
Örnek 2: MIL STD 105E Standardı Tek Katlı Örnekleme Bir A firması, hacmi N =1250 olan partiler halinde hammadde satın almaktadır. Firma tarafından kabul edilebilir kalite seviyesi AQL = %1 olarak belirlenmiş ve tek örnekli plan ve genel muayene düzeyi, (II. Düzey = normal ) muayene yapılacaktır. Parti hacmine karşılık gelen kod harfi K olarak belirlenir. K kod harfine karşılık gelen örneklem büyüklüğü n = 125 olarak bulunur. n = 125 satırı ve AQL = %1 sütununun kesiştiği noktadan kabul sayısının c = 3, red sayısının ise r = 4 olduğu bulunur.
Örnek 3: MIL STD 105E Standardı Çift Katlı Örnekleme Bir A firması, hacmi N =20.000 olan partiler halinde hammadde satın almaktadır. Firma tarafından kabul edilebilir kalite seviyesi AQL = %0.65 olarak belirlenmiş ve ikili örnekli plan ve genel muayene düzeyi, (II. Düzey = normal ) muayene yapılacaktır. Parti hacmine karşılık gelen kod harfi M olarak belirlenir. Normal muayene için ikili numune alma plan tablosundan; n1 = 200 ve n2 = 200 olarak bulunur. Bu örneklem büyüklüklerine AQL = 0.65 için karşılık gelen: n1 için c = 2 ve r = 5, n2 için c = 6 ve r = 7 değerleri okunarak plan işaretlenir.
Normal Muayene için İkili Örnek Alma Plan Tablosu
Özet ve Tartışma MIL STD 105E, kabul edilebilir kalite seviyesini AQL dikkate alır ve üreticinin riskine odaklanır. Bu standartta, tüm örneklem büyüklükleri söz konusu değildir. Sadece 2, 3, 5, 8, 13, 20, 32, 50, 80, 125, 200, 315, 500, 800, 1250 ve 2000 örneklem büyüklükleri kullanılabilir. Örneklem büyüklüğü, parti büyüklüğü ile ilişkilidir. Parti büyüklüğü arttıkça, örneklem büyüklüğü artar. Ancak, örneklem büyüklüğünün parti büyüklüğüne oranı hızlı bir şekilde azalır. Bu da tedarikçiden yüksek hacimli partiler satın alınması durumunda, birim başına muayene maliyetlerinin önemli ölçüde azalmasına katkıda bulunur. Belirlenen bir AQL de örneklem büyüklüğünün artışı ile, partinin kabul olasılığı (Pa) %91 ile %99 arasında değişir. Eğer belirli bir AQL deki kabul olasılığı, örneklem büyüklüğü ile artıyorsa, büyük hacimli partinin hatalı bir şekilde reddedilmesi riski azalır.
Özet ve Tartışma Bu standartta, normal-sıkı ve sıkı-normal muayene seviyeleri arasındaki geçiş kuralları, uygulamada birçok kalite mühendisi tarafından eleştirilmektedir. Çünkü, imalat süreci ile aslında kabul edilebilir kalite seviyesinde ürünler üretilirken, çok fazla sayıda gereksiz/yanlış geçişler söz konusu olabilmektedir. Ayrıca, kalite seviyesinde kötüleşme söz konusu olmamasına rağmen, üretimin durdurulması olasılığı da oldukça yüksektir. MIL STD 105E standartlarının en bariz ve sıkça karşılaşılan suiistimal durumu, geçiş kurallarının hiç kullanılmaması durumudur. Böyle bir durum, etkin olmayan (verimsiz) ve yanıltıcı muayene sonucunda tüketici riskinin artmasına neden olur. Bu nedenle, geçiş kuralları uygulanmaksızın MIL STD 105E standardının kullanılması önerilmez.
Dodge-Roming Örnekleme Planları Dodge-Roming tabloları, ürünlerin niteliklere göre kontrolüne yönelik olarak, iki tip örneklem planı için (i) Parti toleransı (PT), (ii) Çıkan ortalama kalite limiti (AOQL) kriterlerine dayanarak tek ve çift katlı örnekleme muayeneleri için hazırlanmıştır. Kritik öneme sahip malzeme ve parçalar için, AQL odaklı örnekleme planlarından (MIL STD 105E) ziyade, PT koruması sağlayan Dodge-Roming planlarının kullanılması tercih edilmektedir. Birçok üretici firma artık, 1 milyon adet üretimde karşılaşılan hatalı parça sayısını (Defective parts per million ppm) performans göstergesi olarak kabul etmektedir. Çok küçük AQL lerin kullanılması durumunda dahi, fazla sayıda hatalı parçalarla karşılaşılması söz konusu olabilmektedir.
Dodge-Roming Örnekleme Planları Özellikle kompleks yapıdaki ürünlerde, bunun etkisi daha da fazladır. Örneğin, 100 parçadan oluşan bir elektrik devresi üretiminde, üretim esnasında her bir parça için kabul edilebilir kalite seviyesinin AQL = %0.5 olması durumunda (Her bir parça üretiminde %0.5 hata olasılığı), üretilen elektrik devresinin fonksiyonlarını istenilen/uygun şekilde yerine getirebilme olasılığı: Düşük AQL seviyesinde dahi, PT koruması sağlayacak örneklem planlarının kullanılması gerekliliği ortaya konulmuştur. Bu nedenle, LTPD (Lot tolerance percent defective) planları, ortalama toplam muayeneyi minimize edecek şekilde tasarlanmıştır. Dodge-Roming AOQL planları ise, verilen bir AOQL için ortalama toplam muayene ve belirlenen proses ortalamasını (p) minimize edecek şekilde tasarlanmıştır. Bu da, Dodge-Roming örnekleme planlarını tesis içerisinde yarı mamüllerin muayenesi için kullanışlı hale getirmektedir.
Dodge-Roming Örnekleme Planları Dodge-Roming tablolarında, reddedilen partilerin %100 muayene ile hatasız duruma getirilmesi esasına dayanılarak, toplam muayeneyi minimum kılan kabul planları, ortalama hatalı/kusurlu oranı (p) verildiğinde, gelen parti ölçümlerine göre n ve c değerlerini verir. Üretici-tüketici arasındaki anlaşmalar, reddedilen partilerin üreticiye geri gönderilmesi kararına göre yapıldığında ise bu tablolardan yararlanılmaz. Reddedilen partilerin üreticiye geri gönderilmesinin tüketici için yaratacağı sakıncalar göz önüne alınarak, uygulamalarda genellikle, reddedilen parti %100 muayene ile bütün hatalı birimler hatasızlarla değiştirildikten sonra teslim alınmak üzere planlanan kabul planları kullanılır. Dodge-Roming tablolarını kullanmak için yüksek bir proses ortalaması (p) seçildiğinde herhangi bir büyüklükteki parti için belirlenen örneklem ölçümü de büyük olacaktır.
Proses Ortalamasının Tahmin Edilmesi Dodge-Roming planlarını kullanmak için proses ortalamasının (Satın alınan malzemeler için ortalama kusurlu oranı) bilinmesi gereklidir. Eğer tedarikçi ile ilişkiler yeni ise, tedarikçinin proses ortalamasının kesin ve net bir şekilde bilinmesi söz konusu değildir. Bu nedenle, uygun örnekleme planlarının oluşturulması için, tedarikçinin proses ortalaması, geçmiş örneklem verilerine dayandırılarak tahmin edilebilir. Proses ortalamasını tahmin etmek için tedarikçiden satın alınan ilk 25 parti için kusurlu oranı p kontrol grafiği kullanılabilir. Kusurlu oranı, üst kontrol limitini aşan partiler reddedilir. Alternatif olarak, tedarikçinin proses ortalaması hakkında daha doğru bilgiler edinceye kadar, Dodge-Roming tablolarındaki en yüksek proses ortalaması değerleri kullanılabilir.
Tek Katlı Kabul Örneklemesi için PT Tabloları Dodge-Roming LTPD tabloları, tüketici riskinin β = 0. 1 olacak şekilde tasarlanmıştır. Bir başka ifadeyle, belirlenen PT değerinde partinin kabul olasılığı %10 dur. Tablolar, %0.5, %1, %2, %3, %4, %5, %7 ve %10 PT değerleri için geliştirilmiştir. Bir tedarikçiden N = 5000 birimlik partiler halinde malzeme satın alındığı varsayılsın. Tedarikçinin imalat sürecinde ortalama kusurlu oranı p = %0.25 ise, PT = %1 için Dodge-Roming tablolarını kullanarak tek katlı kabul örneklemesi gerçekleştirildiğinde; Örnekleme planı n = 770 ve c = 4 olacaktır. Eğer reddedilen partilerin %100 muayeneye tabi tutularak, kusurlu parçaların yenileri ile değiştirildiği varsayılırsa, bu kabul örneklemesi planı için ortalama çıkış kalite limiti AOQL = %0.28 olacaktır. PT tablolarında, proses ortalaması, 0 ile PT değerinin yarısına kadar verilmiştir. Daha yüksek proses ortalamaları için %100 muayene daha ekonomik olacaktır. Bu nedenle, eğer proses ortalaması, PT değerinin yarısından fazla ise kabul örneklemesi yerine %100 muayene gerçekleştirilir.
LTPD = %1 Tek Katlı Örnekleme için Dodge-Roming Tablosu
Çıkan Ortalama Kalite Eğrisi ve AOQL Çıkan Ortalama Kalite Eğrisi (AOQ), reddedilen partiler %100 muayeneden geçirilip, kusurlu parçalar ayıklandıktan sonra tüm partilerin ortalama kalite düzeyini belirlemeye yarar. Bir başka deyişle, partinin reddi durumunda %100 muayeneye geçilir ve uygun olmayan ürünler, uygun olanlar ile değiştirilir ya da yeniden işlenir. Ortalama çıktı kalitesi, bu tür düzeltmeli örnekleme planlarının değerlendirilmesinde kullanılmaktadır. AOQ nun maksimum değerine, çıkan ortalama kalite limiti (AOQL) denir. AOQ nun maksimum olması, satın alınan malların maksimum kusurlu mal olduğunu gösterir. AOQ girdi kalitesi ile çıktı kalitesi arasındaki ilişkiyi göstermektedir. Gelen partilerin kusur oranı değiştikçe çıkan ortalama kalite de değişecektir.
Çıkan Ortalama Kalite (AOQ) Bir örnekleme planı uygulandığında partinin reddedildiği durumlar olabilir. Reddedilen bu parti, %100 muayeneye tabi tutularak kusurlular ayıklanır ve yerine kusursuz (sağlam) parçalar konulur. Dolayısıyla, reddedilip te düzeltmeye tabi tutulan söz konusu partide "kusurlu oranı = sıfır " olacaktır. Ancak, plana göre "kabul edilen" partide belirli bir oranda "kusurlu birim" bulunacaktır. Bu durumda, kabul planı uygulandıktan sonra partinin kalite düzeyinde bir artış olacağı açıktır. Özetle, tüketici uygulanan kabul planı ile (kabul veya reddedilen) partiler toplamında bulunması mümkün olan "en kötü kaliteyi" bilmek ister. İşte, reddedilen partiler ayıklanıp, kusurlular atıldıktan sonra bütün partilerdeki ortalama kusurlu yüzdesi ortalama çıkış kalitesini verir. Bu yüzde, kusursuz partilerin (%100 muayene edilmiş ve ayıklanmış) ve hala yaklaşık olarak belli bir p kusur yüzdesi içeren partilerin ortalamasıdır.
Çıkan Ortalama Kalitenin (AOQ) Hesaplanması Partiler kusurlu üretim oranı (Ortalama Girdi Kalitesi AIQ - Average incoming quality) p olan bir üretimden geliyor olsun, Parti büyüklüğü N olsun ve tüm fark edilen uygun olmayan ürünler sağlam olanlarla değiştirilsin. Bu durumda; Örnekteki n ürün, uygun olmayanlar sağlam olanlarla değiştirileceği için, kusurlu içermez. Parti reddedilirse, N n ürün kusurlu içermez. Parti kabul edilirse, N n üründeki kusurlu miktarı, p.(n n) olacaktır. Böylece, bir muayene işlemi sonunda kusurlu ürünlerin beklenen sayısı, Pa. p. (N n) olacaktır (Pa partinin kabul olasılığı).
Çıkan Ortalama Kalitenin (AOQ) Hesaplanması Parti büyüklüğünün (N), örneklem büyüklüğüne göre çok fazla olması durumunda, AOQ yaklaşık olarak hesaplanır: N = 10000, n = 89 ve c = 2 olması durumunda; gelen parti kusurlu oranı p = 0.01 ise kabul olasılığı Binom dağılımı kullanılarak: Çıkan parti ortalama kusurlu oranı
Örnek 4: Çıkan Ortalama Kalite Limiti (AOQL) N = 5000, n = 30 ve kabul sayısı c = 1 olarak ele alınsın. AOQ nun maksimum değeri, AOQL = 0.028 dir. Çıkan ortalama ürün kalitesinin en kötü halde, %2,8 kusurlu olacağını gösterir.
En büyük AOQ değeri 0.10 kusurlu oranına karşılık gelmiştir. Yani AOQL = 0.0524 dir. Bu tekli kabul planına göre; en kötü kalite %10 kusurlu oranıyla gelen partiye aittir. Bu kusurlu oranlarına göre, en kötü partideki kusurlu sayısının 300*(0.0524) = 16 olması beklenir. Örnek 5: Tek Katlı Örnekleme Planında AOQL Hesaplanması Tekli örnekleme planı dahilinde ( N= 300, n=24, c=2 ) için çeşitli kusurlu oranlarına ait kabul olasılıkları aşağıdaki tabloda verilmiştir. Çıkan ortalama kalite limiti değerini bularak yorumlayınız.
Örnek 6: Çift Katlı Örnekleme Planında AOQL Hesaplanması Çift katlı örnekleme planı dahilinde (N= 400, n1=10, c1=0, n2=20, c2=3) için çeşitli kusur oranları ve bunlara karşılık gelen P(a) kabul olasılıkları aşağıdaki tabloda verilmiştir. AOQ değerlerini hesaplayınız ve yorumlayınız.
En kötü parti kusurlu oranı 0.10 olan partidir (AOQL = 0.0666). Bu partide 400. (0.0666) = 27 adet kusurlu olacaktır.
Tek Katlı Kabul Örneklemesi için AOQL Tabloları Bir işletme, tedarikçisinden N = 5000 lik partiler halinde hammadde satın almaktadır. Tedarikçinin proses ortalaması p = %1 (uygun olmayan hammaddelerin yüzdesi) olduğu bilinmektedir. Çıkan ortalama kalite limitinin AOQL = %3 olduğu tek katlı kabul örnekleme planı, ilgili tablodan; n = 65 ve c = 3 olarak bulunur. Bu örneklem planı için parti toleransı, LTPD = %10.3 tür (Kabul olasılığının %10 olduğu kusurlu oranı). Bu durumda, %10.3 ve daha fazla kusurlu içeren gelen partilerin %90 u reddedilecektir. Ortalama girdi kalitesinin proses ortalamasına eşit olduğu ve bu kalitedeki partinin kabul olasılığının Pa = 0.9957 olduğu varsayılırsa; Söz konusu örnekleme planı için ortalama toplam muayene sayısı: = 65 + 1 9957. 5000 65 = 86 Parti hakkında kabul/red kararı vermek için ortalama 86 birim hammaddenin muayene edilmesi gerekmektedir.
AOQL = %3 Tek Katlı Örnekleme için Dodge-Roming Tablosu
Örnek 7: Dodge- Romig Tabloları Kullanarak Örnekleme Planının Oluşturulması Örnek -1: 5000 birimden oluşan bir partinin ortalama kusurlu yüzdesi %1 dir. AOQL=%3 olmak üzere, İki Katlı Örnekleme Planını oluşturunuz. Bu planın LTPD değeri %9.5 tur. Buna göre %9.5 kusurlu içeren partiler, %90 güvence ile reddedilecektir.
Değişkenlere Göre Örnekleme Planları Avantajları: (i) Niteliklere göre örnekleme planlarından daha az örneklem büyüklüğü çalışılarak ile aynı operasyon karakteristik eğrisi elde edilebilir. Tahribatlı muayene durumunda, değişkenlere göre örnekleme, muayene maliyetlerini azaltacağından daha kullanışlıdır (Daha küçük örneklem grubu). (ii) Ölçüm verisi, üretim/imalat süreci hakkında daha fazla bilgi sağlar. (iii) Kabul edilebilir kalite düzeyinin (AQL) çok küçük olduğu durumlarda; niteliklere göre örnekleme planlarında örneklem büyüklüğü çok fazla olması gerekir. Dezavantajları: (i) Kalite karakteristiğine ilişkin dağılımın bilinmesi gerekir. Birçok standart değişkenlere göre örnekleme planları, kalite karakteristiğinin normal dağıldığını varsayar. (ii) İncelenen her bir kalite karakteristiği için ayrı ayrı örnekleme planı oluşturulur. Niteliklere göre örnekleme planlarında ise tek bir örnekleme planı ile çalışılır. (iii) Parti gerçekte hiç kusurlu ürün içermemesine rağmen, değişkenlere göre örnekleme planı ile reddedilmesi mümkündür.
Değişkenlere Göre Örnekleme Plan Tipleri Değişkenlere göre örnekleme prosedürleri ikiye ayrılır: (i) Parti veya prosesteki kusurlu oranının (kalite düzeyi) kontrolü, (ii) Parti veya proses parametrelerinin (genellikle ortalama) kontrolü. Parti veya prosesteki kusurlu oranın kontrolünde, kalite karakteristiği değişken türünde olduğundan, alt/üst veya her iki spesifikasyon limiti de söz konusu olabilir. p partideki kusurlu oranını temsil etmektedir ve kusurlu oranı ile normal dağılan bir kalite karakteristiği için parti/proses ortalaması µ ve standart sapması σ arasında fonksiyonel bir ilişki vardır. Bu ilişki normal eğrinin altında kalan olup, Z LSL veya Z USL ile gösterilir. Standart sapma biliniyorsa, partiden örneklem alınarak, örneklem ortalamasının değerine göre, kusurlu oranının kabul edilebilir seviyede olup/olmadığı araştırılır. Standart sapma sabit ise, kusurlu oranı örneklem ortalamasına bağlı olarak değişir.
Prosedür - I Partiden rastgele n hacminde örnek alınarak, örneklem ortalaması X ve alt spesifikasyon (özellik) limiti (LSL) arasındaki uzaklık/mesafe, standart sapma cinsinden hesaplanır: Hesaplanan bu mesafe ne kadar büyükse, bir başka ifadeyle; örneklem ortalaması özellik limitinden ne kadar uzakta ise, parti kusurlu oranı o kadar küçük olacaktır. Parti kusurlu oranı (p) için aşılmaması gereken bir kritik değer (Eşik değer) belirlenirse, bu oran k-kritik uzaklığa dönüştürülerek, partinin kabul veya red kararı verilebilir. Parti ortalaması, özellik limitinden yeterince uzak ve parti kusurlu oranı kabul edilebilir seviyede; parti kabul edilir. Parti reddedilir.
Prosedür - II Partiden rastgele n hacminde örnek alınarak, Z LSL hesaplanır. Bu uzaklık değeri kullanılarak, standart normal dağılım eğrisi altında kalan hesaplanarak, parti kusurlu oranı tahmin edilmeye çalışılır, veya; Q LSL standart normal dağılan rastgele değişkeni kullanılarak, kusurlu oranı p tahmin edilir. Elde edilen tahmin değeri p, önceden belirlenen maksimum kusurlu oranı değerini (M) aşarsa, parti reddedilir. Kalite karakteristiği için üst özellik limiti söz konusu ise test istatistiği: Kalite karakteristiği için hem alt hem de üst özellik limiti söz konusu ise, prosedür II de M metodu kullanılır. Standart sapma bilinmiyorsa, test istatistikleri hesaplanırken, σ yerine örneklem standart sapması s (nokta tahminleyicisi) kullanılır. Örneklem aralığı R kullanılarak ta standart sapma tahmin edilebilir.
Değişkenlere Göre Örneklem Planlarının Kullanımı için Dikkat Edilmesi Gereken Hususlar İlgilenilen kalite karakteristiğinin hangi dağılıma uyduğu bilinmelidir. İlgilenilen kalite karakteristiğinin normal dağılım gösterdiği varsayılır. Eğer kalite karakteristiği normal dağılım özelliği göstermiyorsa; örneklem ortalaması ve standart sapması kullanılarak tahmin edilen parti kusurlu oranı, normal dağılım varsayımı ile hesaplanan değer ile aynı olmayacak ve parti kusurlu oranından (Popülasyon kusurlu oranı) önemli ölçüde sapma gösterebilecektir. Özellikle, çok küçük kusurlu oranları ile ilgilenildiğinde, normal dağılmayan bir kalite karakteristiği için tahmin edilen kusurlu oranı ile normal dağılan için tahmin edilen kusurlu oranı arasındaki fark oldukça fazla olacaktır. Örneğin, normal dağılan bir kalite karakteristiği için örneklem ortalaması, üst spesifikasyon limitinin 3σ gerisinde ise, parti en fazla %0.135 oranında kusurlu içerirken; kalite karakteristiğinin normal dağılmaması durumunda bu oran, ortalama spesifikasyon limitinin 3σ gerisinde olmasına rağmen, %1 ve daha fazla olabilmektedir.
Belirlenen Bir Operasyon Karakteristik Eğrisi ile Değişkenlere Göre Örnekleme Planı Tasarlanması Prosedür-I deki k-metodu kullanılarak, belirli bir OC eğrisine sahip değişkenlere göre kabul örnekleme planı tasarlanabilmektedir. p 1, 1 α ve p 2, β ilginlenilen OC eğrisinin iki noktası olsun. p 1 ve p 2 kabul edilebilen kalite seviyesi (AQL) ve reddedilebilir kalite seviyesidir (LTPD Parti toleransı). Değişkenlere göre örnekleme planları için hazırlanan nomograf kullanılarak, verilen koşulları (p 1, 1 α ve p 2, β) sağlayan örneklem büyüklüğü (n) ve k-kritik uzaklığı, standart sapmanın bilindiği ve bilinmediği durumlar için bulunmaktadır. Belirsizliğin fazla olduğu durumda (standart sapmanın bilinmediği), örnek hacmi daha fazla olacak; ancak aynı k-kritik uzaklık değeri kullanılacaktır. Ayrıca, verilen bir örnekleme planı için nomograf kullanılarak belirli bir kusurlu orana ait kabul olasılığı da bulunabilir.
Değişkenlere Göre Örnekleme Planlarının Tasarımı için Nomograf
Örnek 8: Değişkenlere Göre Örnekleme Planı Tasarımı Bir meşrubat üreticisi, tedarikçisinden meyve sularının doldurulduğu cam şişeleri satın almaktadır. Meşrubat üreticisi, cam şişelerin patlamaya karşı dayanımı (kalite karakteristiği) için 225 psi alt spesifikasyon limiti belirlemiştir. Eğer şişelerin %1 veya daha azı belirlenen limitin altındaysa, meşrubat üreticisi partiyi %95 olasılıkla (p 1 = 0.01, 1 α = 0.95) kabul etmektedir. Eğer şişelerin %6 veya daha fazlası belirlenen alt özellik limitinin altındaysa, parti %90 p 2 = 0.06, β = 0.1 olasılıkla reddedilmektedir. Uygun örneklem planını bulunuz. Öncelikle, %1 ve %6 kusurlu oranları ile %95 ve %10 kabul olasılığı değerlerini birleştiren doğrular çizilir. Bu doğruların kesişim noktasındaki k-kritik uzaklık değeri 1.9 olarak elde edilir. Kalite karakteristiğinin standart sapması verilmediği için (Standart sapma belli değil), kesişim noktasından yukarı doğru çıkan eğrinin bitiminde örneklem büyüklüğü n = 40 olarak bulunur.
Gelen partiden rastgele 40 kişi alınarak, patlamaya karşı dayanımları ölçülür. Örneklem ortalaması ve standart sapması kullanılarak Z LSL test istatistiği hesaplanır. Eğer Z LSL 1.9 ise parti kabul edilir. Standart sapmanın bilindiği durumda ise, kesişim noktasından aşağı doğru dik inerek örneklem büyüklüğü n = 15 olarak bulunur. Standart sapmanın bilindiği durumda, örneklem büyüklüğünde önemli ölçüde azalma sağlanır.
Standart Sapma Belli ve Tek Özellik Limiti Varsa Parti veya prosesten alınması gereken minimum örnek sayısı: n = Z α + Z β Z 1 Z 2 Z α, üretici riski kabul olasılığına (1-α) karşılık gelen z standart değeri, Z β, tüketici riski kabul olasılığına (1-β) karşılık gelen z standart değeri, 2 Z 1, Kabul edilebilir kalite düzeyi (AQL) için kabul olasılığına (1 p 1 ) karşılık gelen z standart değeri, Z 2, Parti toleransı (PT) için kabul olasılığına (1 p 2 ) karşılık gelen z standart değeri, Parti kabul edilir; aksi durumda reddedilir. Kritik k-uzaklığı, AQL ve PT için ayrı ayrı hesaplanır ve ortalaması alınarak k, tek bir k değeri ile karşılaştırma yapılabilir. k 1 = Z 1 Z α n k = k 1 + k 2 2 k 2 = Z 2 + Z β n I. Yöntem
II. Yöntem n I. Yöntemde elde edilen k kritik değeri, düzeltme faktörü ile n 1 çarpılarak elde edilen standart değere karşılık gelen kusurlu oranı (M) standart normal dağılım tablosundan bulunur. Bu değer, partiden ya da prosesten beklenen kusurlu oranıdır. Alt veya üst özellik limit değeri için bulunacak standart değer de, düzeltme faktörü ile çarpılır ve elde edilen standart değere karşılık gelen kusurlu oranı bulunur. Elde edilen her iki kusurlu oranı karşılaştırılarak kabul ya da red kararı verilir. Özellik limiti ile elde edilen standart değere karşılık gelen kusurlu oranı, beklenen kusurlu oranından küçük ve eşit ise parti kabul edilir; aksi durumda ise reddedilir.
Örnek 9: Standart Sapma Belli ve Tek bir Özellik Limiti Söz Konusu ise AQL = %1 ve PT = %8 olarak belirlenen bir işletme için, üretici riskinin (1-α) %5 ve tüketici riskinin (β) %10 olması halinde, imalattan çıkan ipliklerin gerilme dirençlerinin kontrolü yapılacaktır. Mamulün özellik alt limiti 425 gr/m olarak saptanmış olup, prosesin standart sapması 20 gr/m olarak bilinmektedir. a) Partiden alınacak örneklemdeki iplik gerilme dirençlerinin ortalamasının hangi değer aralığında olması beklenir? b) Alınması gereken minimum örnek büyüklüğü ne kadar olmalıdır? c) Partiden alınan örnek değerleri: 417, 450, 433, 429, 455, 422, 438, 449, 462 ve 425 ise, I. yöntem ve II. yöntemi kullanarak, tezgahtan çıkan mamulün ortalama özelliğinin, kabul edilebilir bir kusurlu oranı verip vermediğini araştırınız. Partiyi kabul eder misiniz?
Standart normal dağılım tablosu (Z pozitif)
Standart Sapma Belli Değil ve Tek Özellik Örneklemin standart sapması s kullanılarak işlem yapılır. Alınması gereken örneklem büyüklüğü aşağıdaki gibi hesaplanır: n = 1 + k2 2 Limiti Varsa Z α + Z β Z 1 Z 2 Standart sapmanın bilinmediği durumda, örneklem hacmini veren oran bir düzeltme faktörü ile çarpılır. Aynı zamanda, örnek hacminin bulunabilmesi için k-kritik mesafe değerinin de hesaplanmış olması gerekmektedir. Standart sapma bilinmiyorsa, örneklem hacmi büyümektedir. Standart sapma, parti (ana kitle, yığın) hakkında bilgi içerir. 2 k = Z α. Z 1 + Z β. Z 2 Z α + Z β
Örnek 10: Standart Sapma Belli Değil ve Tek bir Özellik Limiti Söz Konusu ise a) Bir evvelki iplik gerilme direncinin analiz edildiği örnekte, standart sapmanın bilinmediğini varsayarak, k-kritik uzaklık değerini hesaplayıp, alınması gereken minimum örnek sayısını bulunuz. b) Partinden alınması gereken minimum örnek sayısı kadar örneğin alınıp; örnek standart sapmasının 18; iplik gerilme direnci değerlerinin ortalamasının ise 445 bulunduğunu varsayarak, partinin kabul ya da red edilme kararını I. yöntem ve II. yöntemi kullanarak veriniz.
Standart normal dağılım tablosu (Z pozitif)
Örnek 11: Standart Sapma Belli Değil ve Çift Özellik Limiti Söz Konusu ise Kalite karakteristiği için alt ve üst spesifikasyon limiti söz konusu ise, her iki limit için ayrı ayrı örneklem planı düzenlemek bir çözümdür. Çift özellik limiti söz konusu ise, partinin kabul edilebilmesi için örneklem standart sapmasının, hesaplanan maksimum standart sapma (MSS) değerinden küçük veya eşit olması gerekmektedir. MSS = USL LSL 2 k MSS hesaplanabilmesi için k-kritik uzaklık değeri hesaplanmış olmalıdır veya nomograflar kullanılarak bu değer tespit edilebilir. Bir evvelki örnek için USL = 450, LSL = 425 olarak belirlenmiş ve partiden alınan 27 örneğin ortalamasının 445, standart sapmasının 18 olduğu bilindiğine göre, partinin kabul/red kararını veriniz.
Örnek 12: Standart Sapma Belli ve Çift Özellik Limiti Söz Konusu ise Kalite karakteristiği için hem alt hem de üst özellik limiti belirlenmiş ise ve parti için kalite karakteristiği ortalama değerlerinin normal dağıldığı varsayılırsa, örneklem ortalamasının bu iki özellik limitinin tam ortasında olması beklenir. Buradan, z istatistiği her iki limit için: USL LSL aralığında değişecektir. 2 σ z istatistiğine karşılık gelen kusurlu oranı, standart normal dağılım tablosundan bulunarak, parti hakkında kabul/red kararı verilir. X LSL USL X k ve k ise parti kabul edilir. σ σ a) Alt ve üst özellik limitinin 425 ve 450 olarak belirlenmiş, alınan örneklem ortalaması 438 bulunmuş ve parti standart sapmasının 20 olduğu bilindiğine göre, parti hakkında kabul veya red kararı veriniz. b) %1 i ve %8 i 425 gr/m nin altında olan partiler ile eşdeğer partilerin özelliklerini bulunuz.
Kaynakça Douglas C. Montgomery (2009). Introduction to Statistical Quality Control, John Wiley & Sons, Inc. Demir Aslan (2003). Proses Kontrol ve Toplam Kalite, DEU Mühendislik Fakültesi Basım Ünitesi. Şanslı Şenol (2012). İstatistiksel Kalite Kontrol, Nobel Akademik Yayıncılık. Tayfun Özdemir (2000). İstatistiksel Kalite Kontrol, A.Ü.F.F. Döner Sermaye İşletmesi Yayınları, 62. Sermin Elevli. Kalite Kontrol Ders Notları.