SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI"

Gözde Arıca
7 yıl önce
İzleme sayısı:

1 SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI Sürekli verilerin göstermiş olduğu dağılışa sürekli olasılık dağılışı denir. Sürekli olasılık dağılışlarının fonksiyonlarına yoğunluk fonksiyonu denilmekte ve bu dağılışlarla ilgili olasılık hesaplanırken " " (integral) kullanılmaktadır.

2 Normal Dağılış Fonksiyonu Normal dağılışın yoğunluk fonksiyonu, 1 f(x).e 2 -( x-µ) ²/2 ² Eşitlikte; X : Sürekli şans değişkeni olup, X ~ N ( µ, σ² ) dir. σ² :Populasyon varyansını göstermektedir. σ : Populasyona ait standart sapmayı, µ : Populasyon ortalamasını, π : Matematikte pi sayısı olup, değeri , e : Tabii logaritma tabanı olup, değeri ,

3 Ortalama ve standart sapma biliniyorsa normal dağılış fonksiyonu ile belirli değerler arasındaki olasılıklar hesaplanabilir. Örnek: Öğrencilerin ağırlıkları ortalaması µ=60 kg, standart sapması σ=5 olan bir normal dağılış gösteriyorsa bu popülasyonda öğrencilerin ağırlıklarının 65 ile 69 kg arasında olma olasılığı nedir? f(x)dx.e ( x-µ) ²/2 ² dx Ağırlıkları 65 ile 69 kg arasında olan öğrencilerin % miktarını verecektir.!!! İntegral hesabı!!!

4 Normal popülasyonlar arası farklılık µ ve σ bağlıdır

5 Normal dağılış eğrisinin özellikleri: 1)Eğri ortalamaya göre simetriktir. 2)Eğri çan biçimindedir. Bu nedenle günlük hayatta bu eğriye çan eğrisi denir. 3)Eğri altında kalan toplam alan 1 dir. f(x) dx 1

6 Standart Normal Dağılış Ortalaması sıfır, varyansı 1 olan dağılışa standart normal dağılış adı verilir. Eğer değişkeni standart normal dağılış gösteriyorsa bu ~ N(0,1) şeklinde gösterilir. Eğer X değişkeni ortalaması 0, varyansı 1 olan standart normal dağılışa () dönüştürülecek ise, i ( Xi ) eşitliği ile standardize edilmiş değerler elde edilir. Eşitlikte; X i : Normal dağılışa ait sürekli şans değişkeni olup, X ~ N( µ, σ² ) i : Standart normal dağılışa ait sürekli şans değişkeni olup, ~ N(0,1) µ : X değişkeninin ortalamasıdır. σ : X değişkeninin standart sapmasıdır.

7 Standart Normal Dağılış Örnek : X = {3, 5, 1, 6, 7} değişkeni N(4.4, 5.8) şeklinde normal dağılışa sahiptir. Bu normal dağılışı ortalaması 0, varyansı 1 olan standart normal dağılışa dönüştürünüz. 1 5 (3 4.4) (7 4.4) ( i ) (- 0, ) / 5 0 S 2 n 1. n 1 2 i n i

8 Standart Normal Dağılış Standart normal dağılışın olasılık yoğunluk fonksiyonu: f() 1.e 2 Standart normal dağılışın yoğunluk fonksiyonundan yararlanarak aşağıda verilen eğri elde edilir. 2 - /2

9 SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI Standart Normal Dağılış Standart normal dağılış eğrisinin özellikleri 1) Eğri, ortalamaya göre simetriktir. 2) Eğri, çan biçimindedir. 3) Eğri altında kalan toplam alan 1 dir. f().dz1

10 Parametresi bilinen ve normal dağılış gösteren x değerleri standardize edilerek z değerine çevrilir. dağılışında ortalama (0) ile belirli z değerleri arasında kalan alanlar, z tablosundan bakılarak bulunur. değerleri 0 ile 1 değerleri arasında olanların oranı nedir? =1 için alan Tablo bir sonraki slayt!

12 Soru: değeri 0 ile 2 arasında olanların oranı nedir? =2 için tablodan alan olarak bulunur.

13 Soru: z=0.5 ile z=2 arasında eğrinin altında kalan alan yani olasılık kaçtır? P(0<z<2)= P(0<z<0.5)= ise İstenen olasılık= =0.2857

14 Örnek: ~N(0,1) ise aşağıdaki olasılıkları hesaplayınız. a) P(0 < < 2.36) =?

15 Örnek: ~N(0,1) ise aşağıdaki olasılıkları hesaplayınız. b) P(-2.45< < 0) =?

16 Örnek: ~N(0,1) ise aşağıdaki olasılıkları hesaplayınız. c) P(1.73 < < 2.45) =?

17 Örnek: ~N(0,1) ise aşağıdaki olasılıkları hesaplayınız. d) P(-1.36 < <1.26) =?

18 Örnek: ~N(0,1) ise aşağıdaki olasılıkları hesaplayınız. e) P(-1.93 < < -0.85) =?

19 Örnek: Bir kümesten rastgele seçilen 40 yumurtanın ortalama ağırlığı 50 gr ve varyansı 100 olarak hesaplanmıştır. Buna göre rastgele seçilen bir yumurtanın ağırlığının, a) 50 gr dan büyük, b) gr arası, c) gr arası, d) 40 gr dan küçük gelmesi olasılıklarını hesaplayınız.

20 a) 50 gr dan büyük (50 50) % alan0 tam ortalama b) gr arası, (40 50) % alan0.3413

21 c) gr arası olanların oranı: 1 (45 50) ile ortalama arası % alan (55 50) ile ortalama arası % alan Toplam = = 0.383

22 d) 40 gr dan küçük gelmesi olasılıklarını hesaplayınız. (40 50) 1 40 ile ortalama arası % alan İstenen 40 dan düşük olanların alanı = =

23 Elektrik ampullerinden oluşan bir popülasyonda ampullerin dayanma sürelerinin ortalaması µ=1250 saat, standart sapması ise σ=125 saattir. a) Ampullerin dayanma süresinin 1240 saatten az olması olasılığını bulunuz ( ) P(z<0.08)=? % alan = b) Ampullerin dayanma süresinin 1245 saatten daha fazla olma olasılığını bulunuz % alan =0.5160

Benzer belgeler

0.04.03 Standart Hata İstatistikte hesaplanan her istatistik değerin mutlaka hatası da hesaplanmalıdır. Çünkü hesaplanan istatistikler, tahmini bir değer olduğu için mutlaka hataları da vardır. Standart