ALTERNATİF AKIMIN DENKLEMİ

1 ALTERNATİF AKIMIN DENKLEMİ

ALTERNATİF AKIM Lineer ve Açısal Hız Lineer ve Açısal Hız Linneer Hız Lineer hız v, lineer(doğrusal) yer değişiminin( s ) bu sürede geçen zamana oranı olarak tanımlanır. Lineer hızın birimi m/s dir. Doğru bir çizgide meydana gelen hareket için lineer hız aşağıdaki gibi yazılır. Lineer hız v = Yer değişimi = s (m/s) Zaman değişimi t Açısal Hız Bir tekerleğin veya milin dönüş hızı genellikle dakikada devir (d/d) veya saniyede devir sayısı (d/s) olarak ölçülür ancak bu birimler tutarlı bir birim sisteminin parçası değildir. SI sisteminde birim, bir saniyede döndürülen/dönülen açı (rad/s) dır. 2

ALTERNATİF AKIM Lineer ve Açısal Hız Açısal Hız, bir merkez etrafındaki dönme hızını ifade eder. ω ile gösterilir ve zamana (t) göre açısal değişim (θ) olarak tanımlanır. Sabit bir hızda sabit bir eksen etrafında dönen bir nesne için açısal hız aşağıdaki gibi yazılabilir. Açısal hız ω = Yer değişimi Geçen Süre = θ t (rad/s) Açısal hızın birimi, saniyede radyan (rad/s) şeklindedir. Dakikada n devir hızda dönen cisim bir saniyede 2π n radyan açısı yol alır, yani 60 açısal hızı ω şu şekilde verilir: Açısal hız ω = 2π n (rad/s) 60 ω = 2πf = 2π T (rad/s) 3

ALTERNATİF AKIM Lineer ve Açısal Hız Yer değişimi s = r. θ denkleminde açı değişimi θ = ω. t yerine konulup s = r. ω. t denklemi ile s = v. t denklemi eşitlenerek r. ω. t = v. t den açısal hız ile lineer hız arasındaki ilişki aşağıdaki denklem şeklinde yazılır. Lineer hız Lineer hız = Açısal hız. Yarıçap v = ω. r v r v Dönüş ekseni 2 f f=devir sayısı S r r v Lineer ve Açısal hız 4

ALTERNATİF AKIM Lineer ve Açısal Hız Örnek: 540mm çapa sahip bir çark 1500 d/d hızla dönmektedir. Çarkın açısal hızını ve çarkın π kenarındaki bir noktanın lineer hızını hesaplayın. Verilenler Çarkın çapı d = 540 mm = 0, 54 m Çarkın devir sayısı n = 1500 π d/d = 1500 60.π d/s Açısal hız Lineer hız ω = 2π. n = 2π. 1500 60.π ω = 50 rad/s v = ω. r = 50. 0, 27 v = 13, 5 m/s 5

ALTERNATİF AKIM Lineer ve Açısal Hız Örnek: 64, 8km/h hızla gitmekte olan bir araba 600mm tekerlek çapına sahiptir. Tekerleklerin rad/s ve d/d cinsinden açısal hızını bulunuz. Verilenler Tekerlek çapı d = 600mm = 0, 60m Tekerleğin lineer hızı v = 64, 8km h 1000 = 64, 8. 3600 v = 18 m/s Açısal hız(rad/s) Tekerlerin devir sayısı ω = v r = 18 0,3 ω = 60 rad/s n = ω 2π = 60 2π n = 9, 549 devir s = 572, 958 d/d 6

ALTERNATİF AKIM Genel Tanımlar Ani ve Maksimum Değerler Ani ve Maksimum Değerler Alternatif akımın elde edilişi incelendiğinde iletkenin 90 ve 270 lik dönme hareketinin sonunda maksimum emk nın indüklendiği görülür. Alternatif akımın en büyük bu değerlerine Tepe Değeri ya da Maksimum Değer denir. Maksimum değer emk ı için E m, gerilim için U m ve akım için I m sembolleri kullanılır. Alternatif akımın maksimum ve ani değerleri 7

ALTERNATİF AKIM Genel Tanımlar Ani ve Maksimum Değerler Alternatif akım, değeri zamanla değişen akımdır. Alternatif akımın herhangi bir andaki değerine Ani Değeri denir. Emk için ani değer e, gerilim için u ve akım için i ile gösterilir. Ani değerlerin en büyüğü maksimum değerdir. E m değeri, iletkenin kuvvet çizgilerine dik hareket etmesi halinde indüklenen emk dır. Emk manyetik alnın endüksiyonuna (B), iletkenin manyetik alan içindeki boyuna (l) ve iletkenin hızına (v) bağlıdır. E m = B l v (Volt) E m, indüklenen maksimum emk (volt) B, manyetik endüksiyon (tesla) l, İletkenin manyetik alan içindeki boyu (metre) v, iletkenin hızı(m/s) 8

ALTERNATİF AKIM Genel Tanımlar Alternatif Akımın Denklemi Alternatif Akımın Denklemi Alternatif akım, alternatif gerilim ile beraber değişim gösterir. Alternatif akım, zamanın bir fonksiyonu olarak aşağıdaki denklemler ile matematiksel olarak açıklanabilir. Emk nın ani değeri, açısının sinüsü ile değişir. Emk nın herhangi bir açı (α) değerindeki ani değeri; e = E m sinα (Volt) olarak yazılır. 9

ALTERNATİF AKIM Genel Tanımlar - Alternatif Akımın Denklemi Radyan ve Açısal Hız Kavramı Açısal hız; bir cismin (iletkenin) dairesel bir yörünge üzerinde birim zamanda kat ettiği açı cinsinden yoldur. Açısal hız, ω ile gösterilir ve birimi radyan/saniye (rad/s) dir. Radyan, bir dairede yarıçap uzunluğundaki yay parçasını gören merkez açıya eşit açı ölçme birimidir. 1 radyan 180 ya da yaklaşık 57,2958 57,3 dir (57 17 45 ). π Radyan ile derece arasındaki dönüşüm aşağıdaki denklemde olduğu gibidir. D 180 = R π π rad = 180 1 rad = 57, 295 Dairesel bir yörüngede meydana gelen hareketlerde açı olarak Radyan (R) kullanılır. Açısal hız ile frekansın ilişkisi ω = 2π T = 2πf (rad/s) dir. Radyanın tanımının görsel ifadesi ve π (pi) ile ilişkisi 10

ALTERNATİF AKIM Genel Tanımlar - Alternatif Akımın Denklemi Radyan ve Açısal Hız Kavramı Ani değer denkleminde elektrik açısı yerine açısal hızını kullanırsak toplam açı cinsinden yol α = ω. t olduğundan emk nın herhangi bir t (zaman) anındaki ani değeri; e = E m. sinωt dır. Açısal hız yerine konularak e = E m. sin(2πft) yazılır. Bu durumda alternatif akım ve gerilim denklemleri de; i = I m. sinωt (Akım için ani değer denklemi) e, emk nın ani değeri(volt) E m, emk nın maksimum değeri(volt), açısal hız(radyan/saniye) t, zaman(saniye) u = U m. sinωt (Gerilim için ani değer denklemi) 11

ALTERNATİF AKIM Ani Değer Denklemi i, u i, u I m,u m Pozitif Maksimum I m,u m Pozitif Maksimum /4 3 /2 2 t (rad) 90 180 270 360 ( ) Negatif Maksimum I m,u m Negatif Maksimum I m,u m Zaman değeri verilmiş i = I m. sinωt=i m. sin(2πft) u = U m. sinωt = U m. sin(2πft) Açı değeri verilmiş i = I m. sinα u = U m. sinα Alternatif akımın ani değer denklemleri 12

ALTERNATİF AKIM Hesap Makinesi Kullanımı1 *Hesap Makinesi Kullanımı: Hesap makinesi (CASIO fx-82es) SHIFT MODE 3 hesap makinesi ekranında (D) simgesi görülür. tuşlarına basılarak Dereceye ayarlanır. Bu durumda Hesap makinesinde (CASIO fx-82es) SHIFT MODE 4 tuşlarına basılarak Radyana ayarlanır. Bu durumda hesap makinesi ekranında (R) simgesi görülür. Hesap Makinesine Reset Atma SHIFT 9 3 = = 13

ALTERNATİF AKIM Hesap Makinesi Kullanımı2 Derece Radyan arasındaki ilişki D 180 = R π Dereceyi Radyana dönüştürme: Verilen ifade π 180 ile çarpılarak sonuç elde edilir. 30 = π 6 rad 45 = π 4 rad 60 = π 3 rad 90 = π 2 rad 180 = π rad Radyanı Dereceye dönüştürme: Verilen ifade 180 π ile çarparak sonuç elde edilir. π 3 rad = 60 3π 2 rad = 270 3π rad = 135 π 4 4 rad = 45 14

ALTERNATİF AKIM Alternatif Akımın Denklemi Örnek1 Örnek1: Frekansı 50Hz olan bir alternatör maksimum değeri 170V olan alternatif bir emk üretmektedir. Üretilen emk nın denklemini yazarak, =30 deki ani değerini ve t=0,002sn deki ani değeri bulunuz. Verilenler U m =170V 50Hz =30 t=0,002sn ÖNEMLİ NOT: Açı( ) değeri verilmiş olanlarda hesaplamalar DERECE de (D), Zaman(t) verilmiş olanlarda hesaplamalar RADYAN da (R) yapılacaktır. Açısal Hız ω = 2. π. f = 2. π. 50 = 100π rad/s Gerilimin ani değer denklemi radyan çözümü için e = E m. sinωt = 170. sin100πt Gerilimin ani değer denklemi derece çözümü için e = E m. sinα 15

ALTERNATİF AKIM Alternatif Akımın Denklemi Örnek1 Devam = 30 deki ani değeri için e = E m. sinα = 170. sin30 e = 85 V olur. Çözüm için hesap makinesinde (CASIO fx-82es) derecede işlem 1 7 0 X sin 3 0 ) t = 0,002sn deki ani değeri için radyan çözüm e = 170. sin100. π. t = 170. sin 100. π. 0, 002 R e = 170. sin(0, 2. π) R e = 99, 923V Çözüm için hesap makinesinde (CASIO fx-82es) radyanda işlem 1 7 0 X sin 3 1 4 X 0 0 0 2 ) 16

ALTERNATİF AKIM Hesap Makinesi Kullanımı3 *Hesap Makinesi Kullanımı: Sinüsü verilmiş olan ifadenin açısının derece cinsinden bulunması SHIFT sin değer ) Kosinüsü verilmiş olan ifadenin açısının derece cinsinden bulunması SHIFT cos değer ) Tanjant değeri verilmiş olan ifadenin açısının derece cinsinden bulunması SHIFT tan değer ) 17

ALTERNATİF AKIM Hesap Makinesi Kullanımı4 *Hesap Makinesi Kullanımı: Derece cinsinden açının Radyana dönüştürülmesi (Hesap makinesi Radyanda olmalıdır) değer SHIFT ANS 1 Radyan cinsinden açının Dereceye dönüştürülmesi (Hesap makinesi Derecede olmalıdır) değer SHIFT ANS 2 18

ALTERNATİF AKIM Alternatif Akımın Denklemi Örnek2 Örnek2: Maksimum değeri 10A olan bir alternatif akımın frekansı 50Hz dir. Bu akımın sıfırdan başlayıp 8A lik ani değere ulaşması için geçecek zamanı bulunuz. Verilenler I m = 10A f = 50Hz t anındaki ani değeri i = 8A Radyanlı çözüm için i = I m. sinωt = 10. sin(2. π. 50. t) i = 10. sin 100. π. t i = 10. sinα Yukarıda yazılı eşitliğe göre Derece çözüm için 100. π. t = α (rad) 8 = 10. sinα sinα = 0, 8 Sinüsü 0,8 olan açı değeri hesap makinesi ile sinα = 0, 8 α = 53, 13 SHIFT sin 0 8 ) 19

ALTERNATİF AKIM Genel Tanımlar Açı değeri radyan cinsinden ifade edilirse; α = 53, 13 α = 0, 927 R olarak yazılır. Buradan genel ani değer denklemi ile eşitlenerek; 100. π. t = α 100π. t 0, 927 t = 0, 00295sn Çözüm için hesap makinesinde (CASIO fx-82es) radyanda işlem 5 SHIFT 3 1 3 ANS 1 20

ALTERNATİF AKIM Alternatif Akımın Denklemi Örnek3 Örnek3: Frekansı 50Hz olan bir alternatif gerilimin maksimum değeri 120V ise bu gerilimin denklemini bulunuz. Verilenler f = 50Hz U = 120V Gerilimin denklemi u = U m. sinωt = 120. sin(2π. 50. t) u = 120. sin(100. π. t) Um=120V i,u t (s) f=50hz T=0,02s 21

ALTERNATİF AKIM Alternatif Akımın Denklemi Örnek4 Örnek4: Maksimum değeri 100V, frekansı 50Hz olan alternatif gerilimin 1ms deki ani değerini hesaplayınız. Verilenler U m = 100V f = 50Hz t = 1ms Gerilimin denklemi u = U m sinωt = 100. sin(2. π. 50. t) u = 100. sin(100. π. t) Um=100V u t=1 msn deki ani değer (Radyan çözümü) u 1ms = 100. sin 100. π. t = 100. sin 100. π. 0, 001 R u 1ms = 100. sin 0, 1. π R = 30, 902V t=18 msn deki ani değer (Radyan çözümü) u 18ms = 100. sin 100. π. t = 100. sin 100. π. 0, 018 R u 18ms = 58, 779 V Ut=30,902V Ut=-58,779V 1ms 5ms 10ms f=50hz T=0,02s 15ms 20ms t (s) 22

ALTERNATİF AKIM Genel Tanımlar Çözüm için hesap makinesinde (CASIO fx-82es) radyanda işlem 1 0 0 X sin 2 X SHIFT X10 X 5 0 X 0 0 0 1 ) Çözüm için hesap makinesinde (CASIO fx-82es) radyana almadan işlem 1 0 0 X sin ( 2 X SHIFT X10 X 5 0 X 0 0 0 1 ) SHIFT Ans 2 ) 23

ALTERNATİF AKIM Alternatif Akımın Denklemi Örnek5 Örnek5: Maksimum değeri 10A olan bir sinüssel alternatif akımın frekansı 50Hz dir. Akım sıfırdan başlayarak 1/80sn ve 1/100sn deki değerlerini bulunuz. Akımın denklemi i = I m sinωt = 10. sin(2. π. 50. t) i = 10. sin(100. π. t) t=1/80sn deki ani değer i 1/80s = 10. sin 100. π. t = 100. sin 100. π. 1 80 = 10. sin 1, 25π R i 1/80s = 7, 071 A t=1/100sn deki ani değer i 1/100s = 10. sin 100. π. t 1 R R i2=10a i1=0a = 100. sin 100. π. 100 f=50hz = 10. sin π R T=0,02s i 1/100s = 0A (Sıfırı kestiği nokta) 24 i 5ms 10ms 15ms 20ms t (s)

ALTERNATİF AKIM Alternatif Akımın Denklemi Örnek6 Örnek6: Frekansı 50Hz olan bir alternatör, maksimum değeri 169,73V olan alternatif bir emk üretmektedir. Üretilen emk nın denklemini yazarak =135 deki ani değerini ve t=0,012s deki değerini i,u bulunuz. Emk denklemi e = E m sinα = 169, 73. sin135 e = E m sinωt = 169, 73. sin2π. 50. t e = 169, 73. sin100πt Um=169,73V u1=120,017v 0 90 135 180 270 360 t (s) α=135 deki ani değer e 135 = 169, 73. sin135 e 135 = 120, 017V t=0,012s deki ani değer e 0,012s = 169, 73. sin100πt = 169, 73. sin 100. π. 0, 012 R e 0,012s = 99, 765V f=50hz T=0,02s Sinyalin α = 135 deki ani değeri Um=169,73V i,u u2=-99,765v 5ms 10ms f=50hz T=0,02s 12ms 15ms 20ms t (s) Sinyalin t = 12ms deki ani değeri 25

ALTERNATİF AKIM Alternatif Akımın Denklemi Çalışma Soruları Çalışma Soruları: Örnek1: Çıkışından frekansı 1kHz ve maksimum değeri 7,5V olan alternatif gerilim veren sinyal jeneratörünün geriliminin denklemini yazarak =30 deki ani değerini ve t=10msn deki değerini bulunuz. Örnek2: Bir alternatörde üretilen 60Hz frekanslı sinüsoidal emk in maksimum değeri 100V tur. Emk in açısal hızını ve 0,005sn deki ani değerini hesaplayınız. Örnek3: Ani değer denklemi u = 150sin300t olan gerilimin 80V luk ani değere ulaşması için geçen süreyi bulunuz. 26

27 ALTERNATİF AKIMIN ORTALAMA VE ETKİN DEĞERLERİ

ALTERNATİF AKIM Ortalama ve Etkin Değerler Ortalama Değer Bir saykıldaki ani değerlerin ortalamasına alternatif akımın ortalama değeri denir. Gerilimin ortalama değeri U or ve akımın ortalama değeri I or ile gösterilir. Bir saykıldaki ani değerler toplanıp alınan ani değer sayısına bölünürse ortalama değer elde edilir. U or = u 1+u 2 +u 3 + +u n n I or = i 1+i 2 +i 3 + +i n n Gerilimin ortalama değeri Akımın ortalama değeri Alternatif akımın ortalama değeri 28

ALTERNATİF AKIM Ortalama ve Etkin Değerler I or = 0,1736+0,5+0,766+0,9397+1+0,9397+0,766+0,5+0,1736 9 = 0, 6398A Alternatif akımın yarı saykılı için sonsuz sayıda ani değer alınırsa ortalama değer; 2/π = 0, 636. I m şeklinde elde edilir. I or = 0, 636. I m (Akımın ortalama değeri) U or = 0, 636. U m (Gerilimin ortalama değeri) 29

ALTERNATİF AKIM Ortalama ve Etkin Değerler Etkin Değer Doğru akımın yaptığı işe eşit iş yapan alternatif akımın doğru akıma eş olan değerine etkin değer adı verilir. Doğru akımın yaptığı iş W = I 2 Rt formülünden görüldüğü gibi akımın karesine bağlıdır. Alternatif akımın yaptığı iş de ani değerlerin karesiyle ilgili olacaktır. Alternatif akımın etkin değeri ani değerlerin karelerinin ortalamasının karekökü olarak tanımlanır. I = U = i 1 2 +i 2 2 +i 2 3 +...+i2 n n u 1 2 +u 2 2 +u 2 3 +...+u2 n n (Akımın Etkin Değeri) (Gerilimin Etkin Değeri) 30

ALTERNATİF AKIM Ortalama ve Etkin Değerler Etkin değer hesabında ani değerlerin kareleri alındığından negatif ani değerlerin kareleri de pozitif olur. Bu nedenle alternatif akımın bir saykılı için etkin değeri sıfır olmaz. I = 0,17362 +0,5 2 +0,766 2 +0,9397 2 +1 2 +0,9397 2 +0,766 2 +0,5 2 +0,1736 2 I = 0, 7071A olarak elde edilir. 9 Alternatif akımın etkin değeri 31

ALTERNATİF AKIM Ortalama ve Etkin Değerler Eğer sonsuz sayıda ani değer alınırsa Τ 1 2 = 0, 707 olarak elde edilir. Buradan akımın ve gerilimin etkin değeri; I = 0, 707. I m U = 0, 707. U m olarak yazılır. Önemli Not: Alternatif akımda voltmetre ve ampermetreler etkin değeri gösterirlerken doğru akımda ortalama değeri gösterirler. Herhangi bir dalga şekline ait ortalama ve etkin değer ifadeleri aşağıdaki formüllerle elde edilebilir. Ortalama Değer I ort = 1 T T i(t) dt 0 Etkin Değer I = 1 T T 2 i(t) dt 0 32

ALTERNATİF AKIM Ortalama ve Etkin Değerler Örnek: Maksimum değeri 12A olan akımın ortalama ve etkin değerini hesaplayınız. Ortalama değer I ort = I m. 0, 636 = 12. 0, 636 = 7, 632A Etkin değer I = I m. 0, 707 = 12. 0, 707 = 8, 484A 33

ALTERNATİF AKIM Ortalama ve Etkin Değerler Örnek: Şehir şebekesinin gerilimi 220V olduğuna göre; a. Maksimum değeri; b. Ortalama değeri bulunuz. Önemli Hatırlatma: Soruda verilen 220V luk gerilim değeri etkin değeri ifade eder. Alternatif gerilimde gerilimin değeri etkin değer olarak verilir. a) Maksimum değer U m = b) Ortalama değer U = 220 0,707 0,707 = 311, 174V U ort = U m. 0, 636 = 311, 174. 0, 636 = 197, 907V 34

ALTERNATİF AKIM Ortalama ve Etkin Değerler Çalışma Soruları Örnek1: Etkin değeri 220V ve frekansı 50Hz olan alternatif gerilimin t=1msn deki ani değerini hesaplayınız. Örnek2: Maksimum değeri 10A olan sinüssel alternatif akımın frekansı 50Hz dir. Bu akımın 1/100sn ve 1/250sn deki ani değerlerini hesaplayınız. Örnek3: i = 1, 8 sin 314t şeklinde ani değer denklemine sahip olan akımın 1,2A lik ani değere ulaşması için geçen süreyi bulunuz. Örnek4: Bir devrede direnç üzerinde düşen gerilim 56,56V olarak ölçülüyor. 50Hz lik frekansa sahip olan bu gerilimin 16,5msn deki ani değerini bulunuz. 35

ALTERNATİF AKIM Çalışma Sorusu Çalışma Sorusu: Şekilde verilen osiloskop görüntüsünden yararlanarak sinyalin Vpp, Vp, V, Vort, T, f değerlerini bulunuz. Um=169,73V i,u Gerilim Sinyali u2=-99,765v 5ms 10ms 12ms 15ms 20ms t (s) 6 Tam kare ve 4 küçük çizgi f=50hz T=0,02s 36

Deneysel Çalışma2 Deney Adı: Alternatif Akımda Ani Değer Denklemi, Etkin ve Ortalama Değerler Amaç: Alternatif akım sinyalini denklemini yazmak, etkin ve ortalama değerlerini hesaplamak. Hazırlık: Ölçme Tekniği dersi Osiloskop ile Gerilim ve Frekans Ölçümü bilgilerinizi tazeleyiniz. Kullanılan Deney Aletleri ve Özellikleri 100MHz Dijital Multimetre Sinyal Jeneratörü Benning MM07 Dijital Göstergeli Multimetre Deneye Hazırlık Osiloskop CH1 Volts/Div: 2V Time/Div: 0, 2ms Deneyin Yapılışı 1. Gerekli deney bağlantısını yapınız. 2. Sinyal jeneratörünün çıkışını, tepeden tepeye V pp = 10V ve frekansı f = 1kHz olacak şekilde osiloskop üzerinden ayarlayınız. 3. Osiloskop Volts/Div: 5V ve Time/Div: 1ms kademesindeyken CH1 e bağlı prob üzerinden ekran görüntüsünü kaydediniz. 4. Osiloskopta Measure özelliğini kullanarak Tepeden tepeye değer(pk-pk), Etkin(RMS) değeri(vrms), Frekansı(f), Periyodu(T) ölçerek tabloya kaydediniz. 5. Osiloskop üzerinden sinyalin periyodunu ve frekansını hesaplayınız. 6. Multimetre yardımıyla ölçüm yaparak hesaplanan sonuçlarla karşılaştırınız. 37

Deneyden elde edilen veriler Giriş sinyalinin osiloskop ekran görüntüsü Hesaplamalar: Sinyalin denklemi u = U m. sinωt = 10. sin(2. π. 1000. t) u = 10. sin(2000. π. t) Ortalama değer U ort = U m. 0, 636 = 10. 0, 636 = 6, 36V Etkin değer U = U m. 0, 707 = 10. 0, 707 = 7, 07V Volts/div Dikey kare Time/div Yatay kare Periyot Frekans Hesaplanan değer Ölçülen değer Etkin değer Ortalama değer 38

KAYNAKLAR YAĞIMLI, Mustafa; AKAR, Feyzi; Alternatif Akım Devreleri & Problem Çözümleri, Beta Basım, Ekim 2004 MARTI, İ. Baha; GÜVEN, M. Emin; COŞKUN, İsmail; Elektroteknik Cilt I, 1998 MARTI, İ. Baha; GÜVEN, M. Emin; Elektroteknik Cilt II, 1998 RIEDEL, Susan A; NILLSON, James W; Elektrik Devreleri, Palme Yayıncılık, Ankara 2015 BIRD, John; Higher Engineering Mathematics 5. Edition, 2006 www.wikipedia.org 39