KATI CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ

Transkript

1 KATI CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ Bu bölümde, düzlemsel kinematik, veya bir rijit cismin düzlemsel hareketinin geometrisi incelenecektir. Bu inceleme, dişli, kam ve makinelerin yaptığı birçok işlemde kullanılan mekanizmaların tasarımı için önemlidir. Rijit cismin kinematiğinin tamamen açıklanmasıyla birlikte, cisim üzerine etkiyen kuvvetleri cismin hareketine bağlayan denklemleri uygulamak mümkün olacaktır. Bir rijit cisim, öteleme, sabit bir eksen etrafında dönme ve genel düzlemsel hareket olmak üzere, üç tip düzlemsel hareket yapabilir. Önce bu hareketler tanımlanacak daha sonra her biri ayrı ayrı analiz edilecektir. Bu hareket durumlarında, rijit cismin düzlemsel hareketinin, cisim üzerindeki iki noktanın hareketinin bilinmesi halinde tamamen belirlenmiş olacağı gösterilecektir.

2 KATI CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ Düzlemsel Hareket: Bir Katı cisimde, her bir parçacık hareket süresince bir tek düzlem içinde kalıyorsa cisim düzlemsel hareket yapıyor denir. Düzlemsel harekette, herhangi bir parçacığın hareket süresince içinde kaldığı düzleme bir dik çizildiğinde, bu dik doğrultu üzerinde bulunan bütün noktalar aynı hareketi yaparlar. Buna dayalı olarak rijit cismin hareketi, kütle merkezini içeren bir düzlem levhanın hareketi ile temsil edilebilir. Bu açıklamalardan anlaşılacağı üzere, düzlemsel harekette düzlemsellik niteliği cismin değil, hareketin niteliğidir.

3 KATI CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ Öteleme: Katı cisim üzerinde alınan bir çizgi parçası (cisim üzerinde herhangi iki noktayı birleştiren doğru) hareket boyunca ilk konumuna paralel kalıyorsa cisim öteleme hareketi yapmaktadır. Cisim üzerindeki bütün parçacık hareket yörüngeleri birbirine eşit uzaklıktaki düz çizgiler (paraleller) oluşturuyorsa bu tip harekete doğrusal öteleme adı verilir. Hareket yörüngeleri eşit mesafeli (yani paralel) eğrisel çizgiler ise bu tip harekete eğrisel öteleme adı verilir. Öteleme hareketi yapan bir katı cismin bütün parçacıkları aynı hareketi yapar. Doğrusal Ötelenme Yörüngesi Eğrisel Ötelenme Yörüngesi

4 KATI CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ Sabit Eksen Etrafında Dönme: Eğer bir cisim sabit bir eksen etrafında dönmekte ise cisme ait bütün parçacıklar, dönme ekseni üzerinde bulunanlar hariç, dairesel yörüngeler üzerinde hareket ederler. Sabit Eksen Etrafında Dönme

5 KATI CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ Genel Düzlemsel Hareket: Katı cisim, dönme ve öteleme hareketlerini birlikte yapmakta ise genel düzlemsel hareket yapmaktadır. Öteleme hareketi bir referans düzlemi içerisinde oluşurken dönme hareketi bu referans düzlemine dik bir eksen etrafındadır. Genel Düzlemsel hareket

6 KATI CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ Yukarıda tanımlanan düzlemsel hareket tiplerine birer örnek olarak krank mekanizmasının hareket eden parçaları gösterilebilir. Bu sistemde, piston doğrusal öteleme, yatay kol eğrisel öteleme, disk merkezinden geçen eksen etrafında dönme hareketi, pistonu diske bağlayan kol hem dönme hem de öteleme yani genel düzlemsel hareket yapmaktadır.

7 KATI CİSİMLERİN DÜZLEMSEL KİNEMATİĞİ Yukarıda tanımlanan düzlemsel hareket tiplerine birer örnek olarak krank mekanizmasının hareket eden parçaları gösterilebilir. Bu sistemde, piston doğrusal öteleme, krank mili merkezinden geçen eksen etrafında dönme hareketi, pistonu diske bağlayan biyel kolu hem dönme hem de öteleme yani genel düzlemsel hareket yapmaktadır.

8 ÖTELENME: Katı cismin doğrusal veya eğrisel ötelenme davranışı incelenirken şekilde verilen sabit ve ötelenen eksenlere göre konumu belirlenen katı cismin üzerinde çalışılacaktır. Konum: Cisimdeki A ve B noktalarının konumları sabit x, y referans eksen takımına göre ölçülen r A ve r B konum vektörleri ile belirlenir. Ötelenen x, y koordinat sistemi, orijini A olan ve cisimle birlikte hareket eden eksen takımıdır. Hareketli eksene göre B noktasının konumu, B nin A ya göre konumu vektörel olarak r B A ile ifade edilir. r B = r A + r B A

9 Hız: A ve B ani hızları arasındaki ilişki, pozisyon vektörlerinin zamana göre türevleri olduğundan v B = v A + v B A v B = v A + dr B A dt Burada v A ve v B sabit x, y eksen takımından ölçülmüş olduklarından mutlak hızlardır. Katı cisim tanımından, B nin A ye göre pozisyonu ve r B A yönü değişmediğinden dr B A dt = 0 olacaktır. Sonuç olarak, v B = v A

10 İvme: Benzer şekilde, hız ifadesini zamana göre türevleri alınarak A ve B nin ani ivmeleri a B = a A Elde edilen hız ve ivme denklemleri, doğrusal veya eğrisel yörünge boyunca hareket eden katı cismin tüm noktalarının aynı hız ve ivmeye sahip olacaklarını ifade eder. Bu durum, sadece ötelenme yapan katı cismin davranışı ile parçacığın davranışı ile aynı olduğunu gösterir. Yani parçacığın kinematiği için elde edilen ifadelerin katı cisimlerin kinematiği içinde kullanılabileceğidir.

11 SABİT EKSEN ETRAFINDA DÖNME: Katı cisim sabit eksen etrafında dönerken katı cismi oluşturduğu varsayılan her bir parçacık dairesel yörünge boyunca hareket eder. Diğer bir ifadeyle, katı cismin davranışı cismin eksenine göre açısal hareketine bağlıdır. Katı cismi oluşturan parçacığın hareketini incelemeden önce, cismin açısal hareketi ele alınacaktır.

12 Açısal Konum: Görülen durumda r nin açısal konumu sabit referans çizgisi ile r arasında ölçülen θ açısıyla tanımlanır. Burada, r dönme eksenine dik olarak dönme ekseni üzerindeki O noktasından P noktasına uzanan çizgidir. Açısal Yer Değiştirme: Açısal konumdaki değişime, açısal yer değiştirme denir. Vektörel bir büyüklük olup, dθ diferansiyeli ile ölçülür. Büyüklüğü derece, radyan veya devir olarak ölçülür. 1 devir = 2π radyan = 360 derece dir. Hareket sabit eksen etrafında oluştuğundan dθ nın yönü daima eksen boyundadır. Açısal Hareket: Nokta boyutsuz olduğundan, sadece çizgilerin veya cisimlerin açısal hareketinden bahsedilir. Bu durumları inceleyebilmek için şekilde verilen cismi ve gölgeli düzlem içindeki radyal r çizgisinin hareketini davranışı göz önüne alınacaktır.

13 Açısal Hız: Açısal konumun zamana göre değişimine veya türevine açısal hız denir ve ω (omega) ile gösterilir. dθ, dt zaman aralığında oluştuğundan ω = dθ dt Açısal hız vektörün büyüklüğü genellikle 1 s veya rad s cinsinden ölçülür. Yönü daima dönme ekseni etrafında olduğu için dθ ile aynı yöndedir. Dönme yönleri, saatin dönme yönünde veya saatin tersi yönünde alınabilir. Çalışmalar esnasında, saat ibrelerinin tersi dönme yönü keyfî olarak pozitif yön olarak kabul edilecektir.

14 Açısal ivme: Açısal hızın zamana göre değişimine veya basitçe türevine açısal ivme denir. α (alfa) ile sembolize edilir. α = dω dt veya α = d2 θ dt 2 Açısal ivme büyüklüğü rad s 2 ile ölçülür. Pozitif açısal ivme α nın yönü, açısal hız ω ile aynı olup açısal hız artmakta ise α pozitif, azalmakta ise α negatiftir. Açısal hız ve açısal ivme denklemlerinde zaman parametresi elimine edilirek açısal hız, açısal ivme ve açısal yer değiştirme arasındaki ilişki elde edilir. ωdω = αdθ

15 Parçacığın açısal hareketi ile doğrusal hareketi arasındaki benzerlik kolayca görülebilir. Parçacığın açısal ivmesi sabitse α S = sabit, θ 0 ve ω 0 başlangıç değerleri olmak üzere ω = ω 0 + α S t θ = θ 0 + ω 0 t α St 2 ω 2 = ω α S θ θ 0

16 P Noktasının Hareketi: Şekilde verilen katı cisim dönerken P noktası O noktası etrafında r yarıçaplı bir dairesel yörünge üzerinde hareket eder. Bu yörüngenin üsten görünüşü şekil de verilmiştir. Konum: P noktasının konumu, O dan P ye uzanan r konum vektörü ile tanımlanır.

17 Hız: Pnoktasının hızı kutupsal koordinatlarda verilen hız ifadeleri kullanılarak elde edilebilir. r sabit olduğundan hızın radyal bileşeni v r = r = 0 bulunur. Hızın teğetsel bileşeni v θ = rθ idi. ω = θ yazılarak v = ωr Şekilde görüldüğü gibi v nin doğrultusu dairesel yörüngeye teğettir. v nin yönü ve doğrultusu ω ve r nin vektörel çarpımı kullanılarak hesaba katılır. v = ω r Burada, ω r r ω olacağı için vektörlerin sırası önemlidir.

18 ivme. Daha uygun olacağı için P noktasının ivmesini normal ve teğetsel bileşenlerle ifade edeceğiz. a t = dv, a dt n = v2 dω olduğunu biliyoruz. Burada, ρ = r, v = ωr ve α = ρ dt olduğundan, a t = αr a n = ω 2 r İvmenin teğetsel bileşeni, hızın büyüklüğündeki değişimdir. P nin hızı artıyor ise a t nin yönü v ile aynıdır. Eğer P nin hızı azalıyor ise a t nin yönü v ile zıt yönlüdür. Hız değişmiyor ise a t sıfırdır. İvmenin normal bileşeni, hızın doğrultusundaki değişimin bir ölçüsüdür. a n nin yönü daima dairesel yörüngenin merkezi O ya yönelmiştir. Hız da olduğu gibi, ivme de vektörel çarpım kullanılarak ifade edilebilir. v = ω r ifadesinin zamana göre türevleri alınırsa, a = d dt v = dω dt r P + ω dr dt

19 α = dω dt ve dr dt = v = ω r olduğundan a = α r P + ω ω r Vektörel çarpımın tanımından sağdaki ilk terimin büyülüğü, a t = αr dir ve α r P nin yönü a t ile aynıdır. İkinci terimin büyülüğü, a n ile aynı doğrultuda fakat r yönündedir. Buradan a n = ω ω r = ω 2 r bulunur. Toplam ivme, a = a t + a n İvmenin büyüklüğü ise, a = α r P ω 2 r a = a t 2 + a n 2

20 O dan geçen eksen etrafında dönme hareketi katı cisim üzerindeki bir A noktasının kinematiği özetlenecek olursa, açısal hız ω = θ ve açısal ivme α = ω = θ ise, hız ve ivme v = ωr a n = ω 2 r = v2 r = vω a t = αr a = a t 2 + a n 2

21 Hız ve ivme vektörel notasyonla gösterilirse, v = ω r a n = ω ω r a t = α r a = α r + ω ω r a = α r ω 2 r

22