KATI CİSİMLERİN BAĞIL İVME ANALİZİ:

Transkript

1 KATI CİSİMLERİN BAĞIL İVME ANALİZİ: Genel düzlemsel hareket yapmakta olan katı cisim üzerinde bulunan iki noktanın ivmeleri aralarındaki ilişki, bağıl hız v A = v B + v B A ifadesinin zamana göre türevi alınarak belirlenir. dv A dt = dv B dt + dv A B dt Burada, a A = dv A dt ve a B = dv B dt büyüklükleri sabit x, y eksen takımından ölçülen sırasıyla A ve B noktalarının mutlak ivmeleridir. Üçüncü terim ise, ötelenen ve orijini B de olan x, y eksen takımına göre ölçülen A nın B ye göre ivmesidir. Önceki çalışmalarda belirtildiği gibi, A noktası, yarıçapı r A B olan dairesel yörünge boyunca B ye göre dönme yapar. Bu durumda, a A B ivmesi, normal ve teğetsel bileşenleri cinsinden ifade edilebilir, a A B = a A B + a t A B n a A B = α r t B A a A B = n ω2 r B A

2 KATI CİSİMLERİN BAĞIL İVME ANALİZİ: a A = a B + a A B a A = a B + a A B + a t A B n a A = a B + α r A B + ω ω r A B a A = a B + α r A B ω 2 r A B

3 KATI CİSİMLERİN BAĞIL İVME ANALİZİ: Genel düzlemsel hareket yapmakta olan katı cismin her hangi iki noktası arasındaki ivme ilişkilerini ifade denklem, birden çok katı cismin, belirli bir işlevi yerine getirmek üzere pimlerle birleştirilmesi ile elde edilen mekanizmaların hareketlerinin incelenmesinde de kullanılabilirler. Pim üzerinde bulunan her iki katı cismin ortak temas noktaları aynı yörünge üzerinde hareket ederler ve aynı ivmeye sahiptirler.

4 KATI CİSİMLERİN BAĞIL İVME ANALİZİ: Krank biyel mekanizmasında olduğu gibi, AB krankı ve BC biyel elemanı birbirleri ile pimle bağlı olmaları sebebi ile ortak B noktasının ivmeleri aynıdır. Burada B deki pim dairesel yörünge üzerinde hareket etmektedir. Belirtilen esaslara göre, B noktasının ivmesi, ABelemanının açısal hareketinden belirlenir. Diğer bir ifadeyle, teğetsel ivme ve normal ivme bileşenlerinin vektörel toplamı ivmesini verecektir. Teğetsel ivme bileşeni daima yörüngeye teğettir. Normal ivme bileşeni ise, B den dönme ekseni A ya doğru yönelmiştir. Biyel elemanın C ucunun ivmesi ise, piston doğrusal ötelenme yapmakta olduğundan pistonla aynı olacaktır.

5 KATI CİSİMLERİN BAĞIL İVME ANALİZİ: Birbirleriyle temas halindeki iki katı cismin temas noktaları farklı yörüngeler üzerinde kaymadan hareket etmekteyse bu noktaların teğetsel ivme bileşenleri eşit büyüklükte olur. Buna karşı, temas noktaları farklı yörüngeler üzerinde hareket ettiği için ivmelerin normal bileşenleri eşit olmaz. Birlikte çalışan B ve C dişli çarkların temas noktaları olan A ve A ise, hareket esnasında teğetsel ivme bileşenleri a A t = a A t eşit iken, normal ivme bileşenleri a A n a A n eşit olmayacaktır. Sonuç olarak bu durumda ivmeler birbirlerine a A = a A eşit değildir..!

6 ÖRNEK : İvme Analizi Şekilde verilen AB çubuğu, eğik düzlemler üzerinde hareket edebilmektedir. AB çubuğu yatay pozisyonda olduğu anda, A ucunun hızı ve ivmesi aşağı doğru sırası ile v A = 2 m s ve a A = 3 m s 2 dir. Verilen pozisyonda AB çubuğun açısal ivmesini ve B ucunun ivmesini hesaplayınız. ÇÖZÜM: AB çubuğu bir katı cisim olup iki noktası arsındaki ilişkiyi veren bağıl ivme eşitliği kullanılacaktır. a B = a A + α r B A ω 2 r B A Bir vektörel denklemle iki bilinmeyenin belirli hale geleceğini öğrenmiştik. Ancak burada üç bilinmeyen a B, α, ω vardır. Bu bilinmeyenlerden açısal hız ω bağıl hız ifadesi kullanılarak belirlenir. Yani, öncelikle AB çubuğunun hız analizi yapılmalıdır. Vektörel analiz veya Ani Dönme Merkezi yaklaşımı kullanılarak çubuğun açısal hızı ω = rad s belirlenir.

7 ÖRNEK : İvme Analizi Kinematik Diyagram: Pozitif koordinat sistemi tanımlanmıştır. Eğik düzlem üzerinde hareket katı cismin A ve B uçları, düzlemlere paralel hareket edeceğinden bu noktaların ivmelerinin doğrultuları belirlidir. Diyagramdan görüleceği üzere iki bilinmeyen a B, α vardır. Bağıl İvme Denklemi: Kartezyen koordinatlar kullanılarak bir katı cisim için ivme denklemi yazılırsa, a B = a A + α r B A ω 2 r B A a B cos 45 i + a B sin 45 j = 3 cos 45 i 3 sin 45 j + αk 10i i a B cos 45 = 3 cos (1) a B sin 45 = 3 sin α (2) Denklem (1) ve (2) nin ortak çözümünden, a B = m s 2 ve α = rad s 2 dir. Pozitif değerler açısal ivme ve ivmenin yönlerinin şekilde gösterilen yönde olduğunu ifade eder.

8 ÖRNEK : İvme Analizi Üç çubuk mekanizmasında, AB elemanı ω AB = 10 rad s açısal hıza ve α AB = 300 rad s 2 açısal ivmeye sahiptir. Şekilde verilen pozisyonda, BC ve CD çubuklarının açısal ivmelerini belirleyiniz.

9 ÖRNEK : İvme Analizi Hız. Öncelikle mekanizmanın hız analizi yapılır. Zira ivmelerin hesaplanacağı bağıntılar açısal hız içermektedir. Sabit eksen etrafında dönen AB elemanının açısal hızı belirlidir. B noktasının hızı hesaplanır v = v + ω r ; v = k 2 j = 20 i m s Sabit eksen etrafında dönme hareketi yapan CD elemanının açısal hızı ω CD saat ibreleri tersi dönme yönünde pozitif olarak seçilirse, C noktasını hızını, ω CD açısal hıza bağlı olarak yazılabilir. v = v + ω r ; v = 0 + ω k 2 i + 2 j = 2ω j 2ω i

10 ÖRNEK : İvme Analizi Genel düzlemsel hareket yapan BC elemanının bilinmeyen açısal hızı ω BC saatin tersi dönme yönünde kabul edilirse, bağıl hız ifadesinde C noktasının hızı, B noktasının hızı v B ve açısal hızı ω BC cinsinden yazılabilir. v = v + ω r ; v = 20 i + ω k 2 i = 20 i + 2ω j BC elemanın C ucunun hızı ile CD elemanının C ucunun hızı aynı olacağından; v C = v C ; 2ω CD j 2ω CD i = 20 i + 2ω BC i ve j bileşenleri karşılıklı olarak eşitlenirse, ω CD = 10 rad s ve ω BC = 10 rad s

11 ÖRNEK : İvme Analizi İvme. Hız analizinde kullanılan prosedürün benzeri ivme analizinde de uygulanacaktır. AB elemanının B noktasının ivmesi, a B = a A + α AB r B A ω 2 AB r B A a B = k 2 j j = 600 i 200 j CD elemanının C noktasının ivmesi a C = a D + α CD r C D ω 2 CD r C D a C = 0 + α CD k 2i + 2j i + 2j = 2 α CD j 2α CD i + 200i 200j BC elemanının C noktasının ivmesi a C = a B + α BC r C B ω 2 CD r C B a C = 600 i 200 j + α BC k 2i i a C = 600 i 200 j + 2α BC j 200i = 400i 200j + 2α BC j

12 ÖRNEK : İvme Analizi BC elemanın C ucunun ivmesi ile CD elemanının C ucunun ivmesi aynı olacağından 2 α CD j 2α CD i + 200i 200j = 400i 200j + 2α BC j i ve j bileşenleri karşılıklı olarak eşitlenirse, BC ve CD elemanının açısal ivmeleri α BC = 100 rad s 2 α CD = 100 rad s 2

13 ÇÖZÜMLÜ SORULAR

14 ÇÖZÜMLÜ SORULAR

15 ÇÖZÜMLÜ SORULAR