BELİRLİ İNTEGRAL KONUSUNDA DİNAMİK MATEMATİK YAZILIMI GEOGEBRA KULLANARAK ÇALIŞMA YAPRAKLARININ GELİŞTİRİLMESİ DEVELOPING WORKSHEETS FOR DEFINITE INTEGRAL BY USING DYNAMIC MATHEMATICS SOFTWARE WITH GEOGEBRA Tamer KUTLUCA Dicle Üniversitesi, Ziya Gökalp Eğitim Fakültesi Ġlköğretim Bölümü, Diyarbakır/Türkiye tkutluca@dicle.edu.tr Yılmaz ZENGİN Dicle Üniversitesi, Ziya Gökalp Eğitim Fakültesi Ortaöğretim Fen ve Matematik Alanları Eğitimi Bölümü, Diyarbakır/Türkiye yilmaz.zengin@dicle.edu.tr ÖZET: Teknolojinin geliģmesiyle beraber öğrencilere görsel ve etkili öğrenme ortamı sağlayacak yazılımların sayısı artmaktadır. Bu yazılımlardan GeoGebra denklem ve koordinatların direkt girebilme, fonksiyonları cebirsel tanımlama gibi sembolik ve görselleģtirme özelliğinden dolayı bir Bilgisayar Cebiri Sistemi (BCS) olarak tanımlanabilir. Aynı zamanda nokta, doğru parçaları, doğrular ve konik kesitleri gibi kavramları barındırıp bu kavramlar arasında dinamik iliģkiler sağladığından dolayı Dinamik Geometri Yazılımı (DGY) olarak da tanımlanır. Bir yönüyle BCS, diğer yönüyle DGY olarak ele alınabilmesi GeoGebra nın en temel özelliğidir. Matematik eğitiminde Geometri ve Cebir arasındaki iliģkiyi kurmadaki kabiliyeti okul müfredatında önemli bir değer haline getirmektedir (Hohenwarter, Jones, 2007). Bu çalıģmada hem BCS hem de DGY özelliklerini taģıyan dinamik matematik yazılımı GeoGebra programı kullanılarak, öğrencilerin zorlandıkları belirli integral konusunda öğrencilere görsel ve dinamik öğretim materyalleri sunulmuģtur. Bu materyallerin öğrencilerin matematiksel kavramları geliģtirmesine katkı sağlayabileceği düģünülmektedir. Bu çalıģmanın amacı ortaöğretim matematik öğretiminde zorlanılan konulardan biri olan belirli integral konusunda dinamik matematik yazılımı GeoGebra yazılımını kullanarak çalıģma yaprakları geliģtirmektir. Belirli integral ile ilgili bilgisayar destekli öğretim materyali ve çalıģma yaprakları geliģtirilirken Bruner in buluģ yoluyla öğretim stratejisi ve Vygosyty nin savunduğu sosyal bütünleģtirici öğrenme kuramı göz önüne alınarak tasarlanmıģtır. Anahtar Kelimeler: Dinamik Matematik Yazılımı, GeoGebra, Belirli Ġntegral, ÇalıĢma Yaprağı ABSTRACT: The software that provide visual and effective learning environment for students have increased As Technological improvements have increase. One of these softwares, Geogebra, can be defined as a computer algebra System (CAS) since it includes the symbolical and visualization features such as direct coding of equations and coordinates, defining functions as algebraical. it can also be defined as Dynamic Geometry Software (DGS) since it includes concepts such as points, segments, lines, conic segments and provides dynamic relationships between the concepts.it is the basic feature of Geogebra that can be approached both CAS and DGS. In education of Math, the ability of software making a relationship between geometry and algebra has become an important value in math curriculum (Hohenwarter, Jones, 2007). In this study, it is believed that to submit visual and dynamic teaching materials to students who have difficulties in definite integral subject by using dynamic mathematics software geogebra which has both CAS and DGS properties, make contribution to developing of mathematical concepts. The purpose of this study is developing worksheets with dynamic mathematics software GeoGebra, in definite integral subject which is a difficult subject in high school mathematics teaching. Bruner s innovative learning strategy and Vyogotsky s social integrative learning theory are considered while developing computer aided teaching material and worksheets concern with definite integral. Keywords: Dynamic Mathematics Software, GeoGebra, Definite Integral, Worksheet
1. GİRİŞ Teknolojinin hızla geliģmesi kültürümüzden ekonomiye kadar çalıģmalarımızı, öğrenme ve öğretme stillerimizi, daha da önemlisi hayatımızı değiģtirmektedir. DeğiĢimle beraber bilgi havuzumuz geniģliyor, araģtırdıkça da bilmediğimiz ne kadar çok konunun olduğunu fark ediyoruz. Bu geliģim ve değiģim sürecinde, matematik bilgisini üretip kullanmaya bağlı olarak, bilgi ekonomisinin ana kaynağı olan yazılım teknolojisi geliģimini sürdürmektedir. Yazılım teknolojisinin hızla geliģmesi, matematik öğretiminde anlamlı öğrenme için yeni ortamlar sağlamanın yanı sıra bilgisayar destekli matematik öğretiminde de yazılım bileģenin ortamda yer almasını sağlamaktadır. Matematiğin soyut düģünceleri sistematik bir bilgi olarak ifade edilmesi tanımı göz önüne alındığında, yazılımların görselleģtirme özelliği bu soyutluğun kısmen giderilmesinde önemli rol alacağı kesindir. GörselleĢtirmeyle bir nesne, önerme ya da iģlemin arkasında yatan temelleri dinamik bir resimmiģ gibi görebiliriz. Bu süreçte elde ettiğimiz resim cebirsel bir ifade, sayı veya grafik olabilir (MEB, 2005). Teknolojinin geliģmesiyle beraber öğrencilere görsel ve etkili öğrenme ortamı sağlayacak yazılımların sayısı artmaktadır. Bilgisayar teknolojisinin sağladığı olanaklarla birçok yazılım matematik öğretiminde kullanılmaktadır. Bu yazılımların eğitim ortamında farklı Ģekillerde kullanılması matematiksel kavramların keģfi için yeni yollar ortaya koymuģtur (Hohenwarter, Hohenwarter ve Lavicza, 2009). Bilgisayar teknolojisinin geliģmesi genelde bilgisayar destekli öğretim araçlarını geliģtirirken, özelde ise bilgisayar destekli matematik öğretimi araçlarının da geliģimine katkı sağlamıģtır. Yukarıda kısaca açıklanan BDMÖ araçlarını Ģu üç baģlık altında da incelemek mümkündür. 1.1. Bilgisayar Cebir Sistemleri Bilgisayar Cebiri Sistemleri (BCS), sembolik matematiksel özellikleri ve iliģkileri gösterimde hem sayı hem de grafik kullanıp, bu iliģkileri tam olarak ele alır. Yani sayısal, cebirsel, grafiksel ve istatistiksel gösterim kabiliyetiyle matematik tartıģmak ve çalıģmak için güçlü bir platform teģkil etmektedir. BCS nin kullanımında öğrencilerin bilgisayarı ve yazılımı kullanmada yüksek bir beceriye ve olumlu tutuma sahip olmaları dikkat çekmektedir (Pierce ve Stacey, 2002). Sembolik hesaplamayı amaçlayan BCS ler aynı zamanda sayısal hesaplamaları ve grafik çizimleri de yapabilen üst düzey bilgisayar yazılımlarıdır. Sac, Macsyma, Reduce, Magma, Derive, Maple, Axiom, Mathematica ve benzeri programlar birer BCS yazılımlarıdır. 1.2. Dinamik Geometri Yazılımları Teknolojinin hızla değiģimi matematik öğretiminde BCS nin yanında DGY lerin de öğrenme ve öğretme sürecinde yer alarak, öğretim ortamının zenginleģmesine katkıda bulunmaktadır. Bilgisayar teknolojisinin geometri öğretimine yansıması olan dinamik geometri yazılımları ifadesi, Cabri Geometry, Geometer s Sketchpad, Cinderella gibi geometri için geliģtirilmiģ yazılımların ortak adı olarak düģünülebilir (Güven ve KarataĢ, 2003). DGY, öğretim ortamında yapı içerisindeki sabit iliģkileri araģtırma, değiģkenleri değiģtirip yeni duruma uygun hale getirebilme, elde edilen deneyimlerden yararlanarak çıkarımlara varabilme, sözel veya görsel sunulan bilgileri birbirine dönüģtürebilme, Ģekilleri yorumlayabilme, görselliği kullanabilme ve varsayımda bulunabilme gibi roller sunmaktadır (Goldenberg, 1999). 1.3. Hem BCS Hem de DGY Olarak Kullanılabilen bir Yazılım: GeoGebra GeoGebra denklem ve koordinatların doğrudan girebilme, fonksiyonları cebirsel tanımlama gibi sembolik ve görselleģtirme özelliğinden dolayı bir Bilgisayar Cebiri Sistemi olarak tanımlanabilir. Aynı zamanda nokta, doğru parçaları, doğrular ve konik kesitleri gibi kavramları barındırıp bu kavramlar arasında dinamik iliģkiler sağladığından dolayı Dinamik Geometri Yazılımı (DGY) olarak da tanımlanır. Bir yönüyle BCS, diğer yönüyle DGY olarak ele alınabilmesi GeoGebra nın en temel özelliğidir (Hohenwarter ve Jones, 2007; Dikovic, 2009; Antohe, 2009). Matematik eğitimi için çok yönlü ve kullanıģlı bir araç olan GeoGebra yazılımı matematik eğitiminde farklı Ģekillerde kullanılabilir. Matematik eğitiminde Geometri ve Cebir arasındaki iliģkiyi kurmadaki kabiliyeti okul müfredatında önemli bir değer haline getirmektedir (Hohenwarter, Jones, 2007). Bu sebeple ortaöğretim matematik öğretim programında zorlanılan konular arasında yer alan Belirli integral konusu için hem cebirsel hem de grafiksel olarak öğrencilerin incelemesine imkân sağlayan GeoGebra yazılım yardımıyla çalıģma yaprakları geliģtirilmesi amaçlanmıģtır.
Kaplan (2005) çalıģmasında integral yardımıyla eğri altında kalan alanı bulma konusunun öğretimine yönelik olarak görselleģtirme metodunun etkisini incelemiģtir. ÇalıĢmanın sonucunda GörselleĢtirme metodunun ağırlıklı olarak kullanıldığı deney grubuna anlatılan dersler sonucunda, öğrencilerin geometriksel destekli bir integral dersi aldıklarında, eğri altında kalan alanın tespit edilmesi ve bulunmasında daha iyi bir bağlantı kurdukları tespit edilmiģtir. Kaplan (2005) çalıģmasında incelenen konunun öğretiminde, animasyon ya da Mathematica veya Mathwise Modül gibi yazılım programları kullanılarak görselleģtirme yaklaģımı desteklenmesi gerektiğini belirtmiģtir. Alan yazın incelendiğinde çeģitli araģtırmalar öğrencilerin belirli integral konusunda zorlandıklarını, çeģitli öğrenme hatalarına ve kavram yanılgılarına sahip olduklarını ortaya koymaktadır (Rasslan ve Tall, 2002; Steiner ve Dana-Picard, 2004; Soylu ve Tatar, 2007). Belirli integral konusu tanımların ve formüllerin bilinmesinin yanında cebirsel denkleminden yararlanarak grafiğinin yorumlanması, grafikten hareketle belirli integralin tanımlanması, eğri altında kalan alan yardımıyla Riemann toplamı gibi üst düzeyde kavramsal anlamayı gerektirmektedir. Bu nedenle eğri altında kalan alan yardımıyla Riemann toplamı ve belirli integral kavramlarının öğretimine yönelik öğretim materyallerinin geliģtirilmesi önem arz etmektedir. Bu bağlamda bu konuların öğretimine yönelik dinamik matematik yazılımı olan GeoGebra yazılımı yardımıyla bilgisayar destekli çalıģma yaprakları geliģtirilmiģtir. Matematiğin konularından integralin uygulama alanlarından birisi de eğri altında kalan alanın hesaplanmasıdır. Eğriler ve alanlarının hesabı, gerek günlük hayatımızda olsun, gerek pozitif bilimler olsun bu alanlardaki kullanıģlıkları sebebiyle vazgeçilmez bir analiz dersi konusudur. Matematiğin de diğer çoğu konusuna temel teģkil etmesi sebebiyle üzerinde önemle durulması gereken zor bir konudur. Bu zorluğun nedeni, alanı tasvir edebilmenin ve sınır belirleyebilmenin verdiği sıkıntıdır (Kaplan, 2005). Bu çalıģmanın amacı, ortaöğretim matematik öğretim programında zorlanılan konular arasında yer alan Belirli Ġntegral konusunda yer alan eğri altında kalan alan yardımıyla Riemann toplamı ve belirli integral kavramlarının öğretimine yönelik GeoGebra yazılımı yardımıyla hazırlanan bilgisayar destekli çalıģma yaprakları geliģtirmektir. 2. YÖNTEM Bu çalıģmada geliģtirilen bilgisayar destekli çalıģma yaprakları Dicle Üniversitesi nde öğrenim gören matematik öğretmen adaylarına ders kapsamında tanıtılmıģ ve uygulanılmıģtır. Uygulama sürecinde tespit edilen aksaklıklar giderilerek çalıģma yapraklarına son hali verilmiģtir. 2.1. Bilgisayar Destekli Çalışma Yapraklarının Geliştirilme Aşamaları Onikinci sınıf matematik öğretim programında yer alan eğri altında kalan alan yardımıyla Riemann toplamı ve belirli integral kavramlarının öğretimine yönelik GeoGebra yazılımı yardımıyla bilgisayar destekli çalıģma yapraklarının geliģtirilme aģamaları ve özellikleri Ģu Ģekildedir. Belirli integral konusuyla ilgili alanyazı taraması yapılmıģ, öğrencilerin belirli integral konusunu öğrenmekte zorlandıkları ve çeģitli hatalar yaptıkları tespit edilmiģtir (Rasslan ve Tall, 2002; Steiner ve Dana-Picard, 2004; Soylu ve Tatar, 2007). Bu konunun öğretimine yönelik bilgisayar destekli çalıģma yapraklarının hazırlanmasının ihtiyaç olduğu belirlenmiģtir. Ortaöğretim matematik öğretim programı incelenmiģ, bu konuyla ilgili kazanımlar gözden geçirilerek ne tür bir öğretim materyalinin hazırlanabileceği planlanmıģtır. Bu aģamada konuda geçen kavramlar ve özellikler, GeoGebra yazılımının sunduğu fırsatlar ve belirli integral konusunun öğretimiyle ilgili yapılan çalıģmalar (Rasslan ve Tall, 2002; Steiner ve Dana-Picard, 2004; Kaplan, 2005; Herceg ve Herceg, 2009) dikkate alınarak bu konunun öğretiminde bilgisayar destekli çalıģma yapraklarının hazırlanmasının uygun olacağına karar verilmiģtir. ÇalıĢma yapraklarının geliģtirme aģamasında iki matematik öğretmeninin görüģleri alınmıģtır. 2.2. Bilgisayar Destekli Çalışma Yapraklarının Yapısı Öğrencilerin matematikteki bilgilerinin kalıcı olması ancak iģlemsel ve kavramsal olarak öğrenilmesine bağlı olduğu bilinmektedir. Kalıcı bir öğrenmenin ise öğrenciye bilginin doğrudan aktarıldığı geleneksel yaklaģımın yerine öğrencinin öğrenme sürecinde aktif olduğu, bilgiyi kendinin oluģturduğu çağdaģ yaklaģımlarının benimsenmesiyle mümkün olduğu vurgulanmaktadır. Buradan hareketle konu ile ilgili bilgisayar destekli öğretim materyali ve çalıģma yaprakları geliģtirilirken Bruner in buluģ yoluyla öğretim strateji ve Vygosyty nin savunduğu sosyal bütünleģtirici öğrenme kuramı göz önüne alınarak tasarlanmıģtır.
Hazırlanan çalıģma yapraklarında bilginin öğrenciye doğrudan aktarılmayıp sorular yoluyla bilgiyi keģfetmesini ve çeģitli sonuçlara ulaģmasını sağlanmaktadır. Çünkü Bruner de Piaget gibi öğrencinin öğrenme sürecinde aktif katılımın sağlanması gerektiği, öğrencinin aktif katılımın ise ancak buluģ yoluyla öğretimle gerçekleģebileceğini savunmaktadır. Bu yöntemde önemli olan öğretmenin öğrenciye bilgiyi doğrudan aktarmakta ziyade çeģitli etkinlikler düzenleyerek öğrencinin bilgiyi ulaģmasına rehberlik etmesidir. Bu durum bilginin ulaģılmasını sağlayan ipucu niteliğindeki soruların yerleģtirildiği bilgisayar destekli çalıģma yaprağındaki etkinliklerde mevcuttur. Belirli integral konusunun öğretimine yönelik geliģtirilen bilgisayar destekli öğretim materyalinde GeoGebra yazılımı kullanılmıģtır. Çünkü bu programın bir özelliği denklem ve koordinatların doğrudan girebilme, fonksiyonları cebirsel tanımlama gibi sembolik ve görselleģtirme imkânı sunmaktadır. GeoGebra yazılımı, kullanıcıya çeģitli verileri girme ve izleme fırsatı verdiğinden oldukça esnek yapıdadır. Yazılımın bu yapısı öğrencinin belirli integral konusunda yeni bilgiler keģfetmesine yardımcı olmaktadır. 2.3. Dinamik Matematik Yazılımı İle Belirli İntegral Kavramının Materyal Tasarımı 2.3.1. Materyal oluşturma süreci 1. ikonuna tıklayarak boģ bir GeoGebra sayfası açınız. 2. GiriĢ alanına yazarak fonksiyonunu oluģturunuz. 3. GeoGebra araçlarından Sürgü ikonunu seçip çizim alanında boģ bir yere tıklayınız. 4. Açılan sürgü adındaki iletiģim penceresinde minimumu 1, maksimumu 100, artma değeri 1 olan n adında bir sürgü oluģturunuz (ġekil 1). ġekil 1: Sürgü iletiģim penceresi 5. GiriĢ alanına yazarak f fonksiyonunun [-2,2] aralığında x ekseniyle sınırlanan n değiģkenine bağlı a adında alt toplam değerini oluģturunuz. 6. GiriĢ alanına yazarak f fonksiyonunun [-2,2] aralığında x ekseniyle sınırlanan n değiģkenine bağlı b adında üst toplam değerini oluģturunuz. 7. GiriĢ alanına yazarak f fonksiyonunun [-2,2] aralığında c adında integral değerini oluģturunuz. 8. GeoGebra araçlarından Metin ekle ikonunu seçip, çizim alanında istediğiniz yere tıklayarak açılan iletiģim penceresine "alttoplam f = " + a yazarak çizim alanında f nin alt toplamını gösterecek statik ve dinamik özellikte bir metin yerleģtiriniz. Aynı iģlemi sırasıyla "üsttoplam f = " + b yazarak f nin üst toplamını ve LaTeX formülü iģaretli iken " \int_{-2 }^{ 2}x^2 = " + c yazarak f nin integral değerini çizim alanında oluģturunuz. 2.3.2. Öğrenme ve öğretme süreci 1. Hazırladığınız GeoGebra dosyasını açınız. 2. Sürgü değerini değiģtirip tabloyu doldurunuz. n sürgü değeri alt toplam üst toplam f nin integral değeri 5 25..
3. n sürgüsüne sağ tıklayıp canlandırılıyor sekmesini seçiniz. Parçalanma sayısı ve integral değerindeki değiģmeyi gözleyiniz. 4. n sürgüsünün değeri arttıkça dikdörtgenlerin alanları toplamı ile belirli integralin sayısal değeri arasındaki iliģkiyi yorumlayınız. 2.3.3. Ölçme ve değerlendirme 1. fonksiyonunun [0, 4] kapalı aralığında çiziniz. n ismiyle oluģturduğunuz sürgüyü 8, 32, 64, 128 değerlerine getirip sağ ve sol Riemann toplamlarını hesaplayınız. Bulduğunuz değerleri Ġntegral değeri ile karģılaģtırınız. ġekil 2: n sürgü değeri 6 iken f fonksiyonunun alttoplam, üsttoplam ve integral değeri 3. SONUÇ VE ÖNERİLER Bu çalıģmada öğrencilerin zorlandıkları eğri altında kalan alan yardımıyla Riemann toplamı ve belirli integral kavramlarını hem BCS hem de DGY özelliklerini taģıyan dinamik matematik yazılımı GeoGebra kullanarak dinamik öğelerle görselleģtirme amaçlanmıģtır. Ayrıca yönergeler yardımıyla dinamik ortamın oluģturulabilmesi için de yönergeler eģliğinde bir çalıģma sayfası hazırlanmıģtır. Dinamik ve görsel öğelerle zenginleģtirilmiģ çalıģma sayfaları öğrencilerin matematiksel kavramlar arasında iliģki kurma kabiliyetinin geliģtirmesine katkı sağlayabileceği düģünülmektedir. Belirli integral kavramının öğretiminde bilgisayar destekli öğretim yönteminin öğrencileri olumlu yönde etkileyebileceği baģka araģtırmalarda da ortaya çıkmıģtır (Rasslan ve Tall, 2002; Steiner ve Dana- Picard, 2004; Aktümen, 2007; Herceg ve Herceg, 2009). Belirli integral ile ilgili bilgisayar destekli öğretim materyali ve çalıģma yaprakları geliģtirilirken Bruner in buluģ yoluyla öğretim stratejisi ve Vygosyty nin savunduğu sosyal bütünleģtirici öğrenme kuramı göz önüne alınarak tasarlanmıģtır. Bu doğrultuda hazırlanan materyallerin öğrencilere etkileģimli ve iģbirlikli öğrenme ortamları sunabileceği düģünülmektedir. DeğiĢen bu yüzyılda teknoloji her alanda hüküm sürdürmektedir. Öğretme ve öğrenme sürecinde teknolojinin bizlere sunduğu GeoGebra gibi ücretsiz yazılımlardan yararlanıp, öğrencileri bu programı kullandırmaya yöneltmek zorluk yaģanılan matematik derslerine olumlu yönde katkı sağlayabileceği düģünülmektedir.
KAYNAKLAR Aktümen, M. (2007). Belirli Ġntegral Kavramının Öğretiminde Bilgisayar Cebiri Sistemlerinin Etkisi. YayımlanmamıĢ Doktora Tezi. Gazi Üniversitesi Eğitim Bilimleri Enstitüsü. Ankara. Antohe, V. (2009). Limits of Educational Soft "GeoGebra" in a Critical Constructive Review Annals. Computer Science Series. 7th Tome 1st Fasc, Tibiscus University of Timisoara, Romania. Dikovic, L. (2009). Implementing Dynamic Mathematics Resources with GeoGebra at the College Level. International Journal of Emerging Technologies in Learning, Vol 1, No 3. Goldenberg E. P. (1999). Principles, Art, and Craft in Curriculum Design: The Case Of Connected Geometry, International Journal of Computers For Mathematical Learning, 4, 191-224. Güven, B., KarataĢ, Ġ. (2003). Dinamik Geometri Yazılımı Cabri ile Geometri Öğrenme: Öğrenci GörüĢleri, The Turkish Online Journal of Educational Technology TOJET, 2, 2, 67-78. Herceg, D., ve Herceg, D. (2009). The Definite Integral and Computer. The Teaching of Mathematics. 12 (1), 33-44. Hohenwarter, J. ve Hohenwarter, M., Lavicza Z. (2009). Introducing Dynamic Mathematics Software to Secondary School Teachers: the Case of GeoGebra. Journal of Computers in Mathematics and Science Teaching. 28 (2), 135-146. Hohenwarter, M., ve Jones, K. (2007). Ways of Linking Geometry and Algebra: The Case of GeoGebra, Proceedings of British Society for Research into Learning Mathematics, 27 (3). Kaplan, A. (2005). Ġntegral ile Alan Öğretiminde GörselleĢtirme Metodu, Journal of Quafgaz University, 15 (1). Milli Eğitim Bakanlığı Talim ve Terbiye Kurulu BaĢkanlığı, 2005. Matematik dersi öğretim programı ve kılavuzu ( 9-12. sınıflar), Ankara. Pierce. R., Stacey, K. (2002). Monitoring Effective Use of Computer Algebra Systems. In B. Barton, K.C. Irwin, M. Pfannkuck & M. O. J. Thomas (Eds.), Mathematics Education in the South Pacific (Proceedings of the 25 th Annual Conference of the Mathematics Education Research Group of Australasia), 575-582. Rasslan, S., ve Tall, D. (2002). Definitions and Images for the Definite Integral Concept. In Cockburn A.; Nardi, E. (eds.) Proceedings of the 26 th PME, 4, 89-96. Soylu, Y., ve Tatar, E. (2007). Students Difficulties with Application of Definite Integration. Educatia Mathematica, 3 (1), 15-27. Steiner, J. M., ve Dana-Picard, T. (2004). Teaching Mathematical Integration: Human Computational Skills Versus Computer Algebra. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 35 (2), 249-258.