Ünite 10: Regresyon Analizi Öğr. Elemanı: Dr. Mustafa Cumhur AKBULUT
10.Ünite Regresyon Analizi 2 Ünitede Ele Alınan Konular 10. Regresyon Analizi 10.1. Basit Doğrusal regresyon 10.2. Regresyon denklemi ve Tahmin
10.Ünite Regresyon Kavramı ve Basit Doğrusal regresyon 3 Regresyon Kavramı ve Basit Doğrusal regresyon Olaylar arasındaki ilişkilerin ortaya çıkarılmasındaki amaç, bu ilişkiye dayanarak tahminler yapmaktır. 9. Ünitede ele alınan örnekte, araçların kaza anındaki hızları ile araçta meydana gelen hasar oranları arasındaki ilişki, r xy = 0,72 bulunmuştu. Bu ilişkiye dayanarak araçlarda meydana gelen hasar oranını, araçların kaza anındaki hızlarını kullanarak tahmin edebilir miyiz? Yada kitapların sayfa sayısı ile fiyatları arasındaki ilişkiye dayanarak (r xy = 0,95 bulunmuştu.), sayfa sayısını kullanarak kitapların satış fiyatını tahmin edebilir miyiz?
10.Ünite Regresyon Kavramı ve Basit Doğrusal regresyon Regresyon Kavramı ve Basit Doğrusal regresyon Regresyon Analizi, aralarında ilişki olan ve biri bağımlı, diğerleri bağımsız Değişken(ler) olarak ele alınan ilişkinin fonksiyonel (matematiksel) eşitlik ile ifade edilmesi sürecidir. Bulunan Matematiksel eşitlikte bağımlı varsayılan değişken Y ile gösterilir ve açıklanan değişken olarak bilinir. Matematiksel eşitlikte (Model) yer alan bağımsız değişkenler X ile gösterilir ve açıklayıcı değişken olarak ele alınır. Regresyon analizi ile bilinen (bağımsız) değişkenler yardımıyla (bağımlı) değişkenin tahmin edilmesi sağlanır. 4
10.Ünite Regresyon Kavramı ve Basit Doğrusal regresyon 5 Regresyon Kavramı ve Basit Doğrusal regresyon Regresyon Analizinin amaçlarını konumuzun içeriği dahilinde şu şekilde sıralayabiliriz. 1- bağımlı değişken ile bağımsız değişken arasındaki ilişkiyi matematiksel olarak ifade etmek (Tahmin denklemini bulmak) 2-tahmin denklemini kullanarak bağımsız değişkenin belli bir değeri için bağımlı değişkenin alacağı değeri tahmin etmek.
10.Ünite Regresyon Kavramı ve Basit Doğrusal regresyon 6 Basit Doğrusal regresyon Regresyon analizinde bulunan eşitlik bağımsız (açıklayıcı) değişken sayısı bir tane ise Basit regresyon modeli, iki veya daha fazla ise Çoklu regresyon modeli olarak adlandırılır. Değişkenler arasındaki doğrusal ilişkiye dayanarak bir model kurulacaksa bu modele Doğrusal regresyon modeli denmektedir. Biz basit doğrusal regresyon modeline kısaca değineceğiz.
10.Ünite Basit Doğrusal Regresyon Basit Doğrusal Regresyon İki değişken arasındaki ilişkilerin en bilineni basit doğrusal regresyon modelidir. 7 Ŷ=a+ b yx *X Bağımlı varsayılan değişken Y ile bağımsız farz edilen değişken X arasındaki basit doğrusal regresyon modelinin matematiksel ifadesi yığın (ana kütle) için Y *X şeklinde yazılabilir; yx
10.Ünite Regresyon Denkleminin Elde Edilmesi 8 Regresyon Denkleminin Elde Edilmesi İstatistiksel çalışmaların çoğunda olduğu gibi, regresyon analizinde de, yığından seçilen örnek verileriyle analiz yapılır. Örnek verilerinden hareketle yığın parametreleri olan α ve β yx in tahminleri olan a ve b yx katsayılarını (istatistiklerini) elde edebilmek için en küçük kareler yönteminden yararlanılabilir. Bu yöntem ile örnek verilerine ilişkin serpilme diyagramındaki noktalara en yakın doğrunun denklemi elde edilir. Bu denklem,
10.Ünite Regresyon Denkleminin Elde Edilmesi Regresyon Denklemi 9 Ŷ=a+ b yx *X Bu modeldeki simgelerin anlamlarını yazacak olursak; Ŷ: tahmin edilen Y değeri X: Y değişkenini tahminde kullanılan bağımsız değişken değeri byx: (y nin x e göre) regresyon katsayısı a: regresyon sabiti
10.Ünite Regresyon Denkleminin Elde Edilmesi Regresyon Denkleminin Elde Edilmesi Ŷ=a+ b yx *X 10 Denklemde ki a ve b yx katsayıları örnek verilerinden b n (X X)*(Y Y) X Y n *X*Y i i i i i 1 i 1 yx n n 2 2 2 (Xi X) Xi n *X i 1 i 1 ve a Y b *X yx n formülleriyle hesaplanır. Hesaplanan a ve b yx denklemde (Ŷ=a+ b yx *X ) yerine konulur.
10.Ünite Regresyon denkleminin tahmin için kullanılması 11 Satış Fiyatı Örnek Aşağıdaki tabloda kitapların fiyatı ve sayfa sayıları verilmiştir. Sayfa sayısını kullanarak kitabın fiyatını tahmin edebileceğimiz regresyon doğrusunu (Tahmin Denklemi) bulunuz. Sayfa Sayısı (X) Satış Fiyatı (Y) 100 8 150 12 200 14 250 15 300 16 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0 50 100 150 200 250 300 350 Sayfa Sayısı
10.Ünite Regresyon denkleminin tahmin için kullanılması 12 Çözüm Sayfa Sayısı bağımsız değişken (X) Fiyat bağımlı değişken (Tahmin edilen Y) olacaktır. Buna göre; Sayfa Sayısı Satış Fiyatı (X) (Y) X*Y X 2 100 8 800 10000 150 12 1800 22500 200 14 2800 40000 250 15 3750 62500 300 16 4800 90000 1.000 65 13.950 225.000 n x *y n * x * y i1 i i b yx n x 2 n *(x) 2 i1 i 950 b yx b 25000 yx 0,038TL 13950 5* 200* 13 2 225000 200000 225000 5* 200 1000 x 200 5 65 y 13 5 13950 13000 Sayfa Sayısı (X) 1 adet arttığında kitabın Fiyatı (Y) ortalama 0.038 TL artmaktadır.
10.Ünite 13 Satış Fiyatı 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0 50 100 150 200 250 300 350 Sayfa Sayısı
10.Ünite Regresyon denkleminin tahmin için kullanılması 14 Regresyon denkleminin tahmin için kullanılması Ŷ=5,4+ 0,038*X Ŷ=a+ b yx *X 180 sayfalık bir kitabın (ortalama) Satış Fiyatını Tahmin ediniz. Regresyon Denkleminde X yerine 180TL değerini yazarak Satış Fiyatını tahmin edebiliriz. Ŷ=5,4+ 0,038*X Ŷ=5,4+ 0,038*180 Ŷ=5,4+ 6,84 Ŷ=12,24 TL 180
10.Ünite 15 Aşağıda verilen tahmin denkleminde a. Regresyon Katsayısı (b yx ) kaçtır? b. Regresyon sabiti(a) kaçtır? c. Denklemi Yazınız? y y b yx m x x 1 1 2 2 2 1 2 1 (x, y ) (5,34) (x, y ) (6,39) 54 39 34 5 b yx 6 5 1 byx 5 X=9 için Y değerini tahmin edelim 9 x 0 iken y=9 olduğundan a 9 Denklemimiz ise Y= 9+5X Denklemimiz de X yerine 9 değerini koyalım Y= 9+5* 9 Y=9+ 45 Y=54
10.Ünite regresyon Örnek 16 Hız Hasar (%) 85 42 77 32 80 35 18 5 3 1 3 1 76 35 88 27 80 32 104 40 101 50 62 25 21 3 74 28 11 4 25 5 66 27 50 20 39 18 94 36 100 45 32 9 4 1 9 5 Araçların kaza anındaki hızları ile hasar yüzdeleri arasındaki ilişkiyi kullanarak; Hasar oranını, kaza anındaki hızları kullanarak tahmin eden regresyon denklemini bulunuz. r xy =0,72
10.Ünite regresyon Örnek Hız Hasar (%) 85 42 77 32 80 35 18 5 3 1 3 1 76 35 88 27 80 32 104 40 101 50 62 25 21 3 74 28 11 4 25 5 66 27 50 20 39 18 94 36 100 45 32 9 4 1 9 5 Hasar oranı bağımlı değişken (Y) kaza anındaki hız ise Bağımsız değişken (X) olarak ele alınmalıdır. b yx 0,439 a 1,919 Ŷ=a+ b yx *X Ŷ=-1,919+ 0,439*X 17
10.Ünite regresyon Örnek Hız Hasar (%) 85 42 77 32 80 35 18 5 3 1 3 1 76 35 88 27 80 32 104 40 101 50 62 25 21 3 74 28 11 4 25 5 66 27 50 20 39 18 94 36 100 45 32 9 4 1 9 5 Kaza anındaki hızı 40 km olan aracın tahmini hasar yüzdesi nedir? Ŷ=-1,919+ 0,439*X X= 40 km için Y değerini tahmin edelim Ŷ=-1,919+ 0,439*40 Ŷ=-1,919+ 17,56 Ŷ=15,641 Kaza anındaki hızı 40 km olan aracın (ortalama) hasarı % 15,61 olarak tahmin edilir. 18
10.Ünite Regresyon 19 Örnek Makale
10.Ünite Regresyon 20 Örnek Makale
10.Ünite 21 Küçük Sınav