Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler

Transkript

1 Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler Bir veya daha çok bağımlı değişken, bir veya daha çok bağımsız değişken ve bağımlı değişkenin bağımsız değişkene göre (diferansiyel) türevlerini içeren bağıntıya diferansiyel denklem denir. 1

2 Bağımsız değişken; diff Birinci Dereceden Diferansiyel Denklemler DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİ Diferansiyel denklemler, uygulamalı matematiğin çok önemli kollarından biri olup, bir çok pratik problemin çözümünde önemli bir araçtır. Bu problemlere örnek olarak salınım problemleri, roket, uydu ve gezegenlerin hareketleri, kimyasal reaksiyonlar, radioaktif maddelerin parçalanması problemleri vb. gösterilebilir. Amacımız diferansiyel denklemlerle tanışmak ve basit denklemlerin çözümünü göstermektir.

3 Değişkenlerin değişim oranlarını değişkenlerin kendilerinin ve çeşitli parametrelerin fonksiyonları cinsinden ifade eden bir yapıya sahiptirler. Bir çok fiziksel olay, en iyi, değişim oranları şeklinde matematiksel olarak formüle edilebildiğinden, bu tür denklemlere mühendisliğin her alanında sıklıkla rastlanır ve bu nedenle diferansiyel denklemler mühendislikte önemli bir yere sahiptirler. 3

4 F = dv M 2 dt T = dw J dt 2 di v 21 L q = dt C t dt dt 2 Temel yasalar: konuma ve zamana bağlı değişimler. Mühendislikte daha çok değişimle ilgilenilir. Bir sistemin nasıl değiştiğini (dinamik karakteristiğini) bilirsek, hangi zaman veya hangi konumda nasıl tepki vereceğini tahmin ederek, tasarımlarımızı buna göre yapabiliriz. Gösterim biçimi: dy/dx=f(x) 4

5

6 Diferansiyel denklemler, bilinmeyen y = y(x) fonksiyonunun türevlerini içeren bir eşitliktir. Bu eşitlikte türevlerle beraber y = y(x) fonksiyonunun kendisi x in bilinen fonksiyonları ve sabitler de bulunabilir. Türevler denildiğinde I. Mertebeden, II. mertebeden,... türevler kastediliyorlar Denklemdeki en yüksek mertebeden türevin mertebesine diferansiyel denklemin mertebesi denir. Eğer diferansiyel denklem tek bir bağımsız değişken içeriyorsa, bu tür diferansiyel denklemlere adi diferansiyel denklemler (ADD) denir.

7 Bir sistemin durumu hakkında gözlemler ve deneyler sonucunda y Sistemi genel olarak karakterize eden y=f(x) fonksiyonu x dy/dx y y - y i 1 y i h Eğim=. + + xi xi 1 x Adım büyüklüğü h x (b) x i x i+1 x i+n x dy y= dx dx 7

8 Diferansiyel denklemler fiziksel olayların modellenmesinde sık karşılaşılan denklemlerdendir. Dolayısıyla bu denklemlerin sayısal ve analitik çözümünün bulunması çok önemlidir. Örneğin, mekanikte harmonik salınıcı problemi veya kuantum mekaniğinde bir boyutlu schrödinger denklemi veya elektromagnetik teoride bir boyutlı Laplace denklemi gibi. Eğer diferansiyel denklem tek bir bağımsız değişken içeriyorsa, bu tür diferansiyel denklemlere adi diferansiyel denklemler (ADD) denir. Eğer birden fazla bağımsız değişken söz konusu ise, bu tür diferansiyel denklemlere de kısmi türevli diferansiyel denklemler (KDD) denir. 8

9 9

10 Bilgisayar olmaksızın ADD ler genellikle analitik integrasyon teknikleriyle çözülür. Şu anda, pratik öneme sahip olan bir çok ADD in kesin çözümü yoktur. Sayısal yöntemler, bu gibi durumlar için güvenilebilecek tek alternatiftir. Sayısal yöntemler, genelde bilgisayar gerektirdiği için öncesi çağda, mühendislerin araştırmaları büyük oranda sınırlanmıştı. 10

11 9.1. Mühendislik Uygulamaları Temel yasalar, fiziksel özelliklerdeki ve sistemin konumundaki değişimleri açıklayan deneysel gözlemlere dayanır. Yasalar, fiziksel sistemin durumunu doğrudan açıklamak yerine, genellikle, konuma ve zamana bağlı değişimlerini ifade ederler. 11

12 Tablo da bazı yasalara ilişkin örnekler verilmiştir. Bu değişimler, sürekli durumda (lim t ) türevlerle ifade edilirse, diferansiyel denklemler ortaya çıkar. Daha sonra bu diferansiyel denklemler integre edilirse, enerji, kütle ve hız değişimleri açısından bir sistemi konuma ve zamana göre tanımlayan matematiksel işlevler elde edilir. 12

13

14 14

15 y' dy dx 2x 3 12x 2 20x 8.5

16

17 y = 2x + 5 ve y(1)=-3 ise y(x) denkleminin genel çözümünü ve başlangıç değer problemi çözümünü bulunuz

18 18

19 19

20

21 21

22 Ayrılabilir Dif Denk 22

23 23

24 24

25 25

26 26

27 Genel Çözümü 27

28 28

29 y = y denkleminin genel çözümü nedir

30 y + 2yx 2 = 0 diferansiyel denklemi genel çözümü nedir? y(0)=5 ise c integral sabiti kaçtır?

31 x - 2xt + 5 = 0 çözümü nedir? X(t) denklemi ve değişken t olmaktadır.

32 dy dx = 4 2x 3y 2 5 ise y=? biçiminde yazılabilen denklemlere değişkenlerine ayrılabilir diferansiyel denklemler denir.

33 y = k ( y - 30) denkleminin genel çözümü nedir?

34

35

36 36