Cebir Notları. Gökhan DEMĐR, ÖRNEK : A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona

Transkript

1 , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, Đşlem ĐŞLEM A ve A x A nın bir alt kümesinden A ya her fonksiyona ikili işlem denir. Örneğin toplama, çıkarma, çarpma birer işlemdir. Đşlemler o, *,,... gibi simgelerle belirlenir. Örneğin x o y = x + y xy bir işlemdir. Bu işleme göre 3 o 2 =? nedir? Çözümü: 3 o 2 = = 1 dir. ĐŞLEMLERDE ÖZELLĐKLER 1. Kapalılık Özelliği: Đşlem A x A nın tümünde A ya ise A kümesi bu işleme göre kapalıdır denir. Örneğin, N kümesi (+) işlemine göre kapalıdır. N kümesi ( ) çıkarma işlemine göre kapalı değildir. Reel sayılar kümesi bölme işlemine göre kapalı değildir. Çünkü o ile bölme tanımsızdır. Đşlem tablo ile verildiği zaman tabloda açık yer yoksa ve tablodaki tüm elemanlar A nın elemanları ise A kümesi bu işleme göre kapalıdır. Örneğin A = {a, b, c, d} ve o ve * işlemleri aşağıdaki gibi ise A kümesi (o) işlemine göre kapalı * işlemine göre kapalı değildir. o a b c d * a b c d a b c d a a c d a b b c d a b c a b c d c d a b c c a b c d d a b c d d b c d e 2. Değişme Özelliği : a, b A için a b = b a ise işleminin değişme özelliği vardır. Örneğin x y = x + y + xy 2 vardır. Çünkü y x = y + x + yx 2 işleminde değişme özelliği x y = y x dır. x * y = x y işleminde değişme özelliği yoktur. x * y = x y ve y * x = y x x y y x dır. Bir örnek yeter: 2 * 3 = 2 3 = 8, 3 * 2 = 3 2 = 9 2 * 3 3 * 2 dır. 3. Birim Eleman Özelliği (Etkisiz Eleman): A kümesi ve o işlemi verilmiş olsun, e A varsa öyleki x A için x o e = e o x = x ise e ye birim eleman (etksiz eleman) denir. Örneğin toplama işleminin birimi 0, çarpma işleminin birimi ise 1 dir. işleminin birim elemanını bu- x o y = x = y + xy 3 lunuz? Çözüm : Tanımdan yararlanırız. x o e = e o x = x x o e = x den /x + e + ex 3 = /x e ( 1 + x 3 ) = 0 0 e = 1 + x = 0 bulunur. 3 Bu işlemin birimi 0 dır. 4. Yutan Eleman : A kümesi ve bu küme üzerinde tanımlı (o) işlemi verilmiş olsun. Eğer a A varsa öyleki; x A için x o a = a o x = a ise a ya yutan eleman denir. Örneğin Reel sayılarda çarpmanın yutanı var ve 0 (sıfır)dır. Toplamanın yutan elemanı yoktur. Yutan Elemanın Bulunması: Bir işlemin yutan elemanı, birimini bulurken paydayı 0 yapan bir eleman varsa bu o işlemin yutanıdır. R de x 0 y = x + y 3xy işleminin yutanı var mı? varsa nedir?

2 Çözüm : Önce birim aranır. Bu arama işleminde paydayı sıfır yapan değer varsa bu yutan elemanıdır. x o e = x /x + e ex = /x ise 0 e(1 3x) = 0 e = 1 3x de x = 1 3 yutan elemanıdır. Not: Yutan eleman tersi olmayan elemandır. Ters Eleman : A kümesi ve bu küme üzerinde tanımlanmış (o) işlemi varsa ve bu işlemin birimi e ise x o y = y o x = e y elemanı x in tersidir ve y = x 1 olarak gösterilir. Not : Birimi olmayan bir işlemde ters eleman aranmaz. MATEMATĐK SĐSTEM Bir küme ve üzerinde tanımlanmış işlem veya işlemler varsa buna matematik sistem denir. Örneğin, A kümesi ile o işlemi (A, o) sistemini, A kümesi ile *, o işlemleri verilmiş ise (A, *, o) sistemini oluşturur. GRUP (A, o) sisteminde şu dört özellik varsa bu sistem bir gruptur. 1. A kümesi o işlemine göre kapalı (K) 2. (o) işleminin birim elemanı var (B) 3. (o) işleminin birleşme özelliği var (B) 4. A da her elemanın tersi vardır (T) Ek olarak o işleminin değişme özelliği varsa (A, o) sistemi değişmeli gruptur. R de x o y = x + y xy kaçtır? Çözüm : Önce birimi bulunur. x o e = x x + e ex ise bu işlemde 3 ün tersi = x den R = 0 dır. 3 o y = 0 y = 3 1 dir. O halde 3 + y 3y 2y 1 = = 0 dan y = 2 bulunur. O halde bu işlemde 3 1 = 1 2 dır.. Dağılma Özelliği : A kümesi ve bu kümede tanımlı o ve * işlemleri verilmişse x, y, z A için x *(y o z) = (x*y) o (x*z) ise * işleminin o işlemi üzerine soldan dağılma özelliği vardır. Eğer (y o z) * x = (y*x) o (z*x) ise * işleminin o işlemi üzerine sağdan dağılma özelliği vardır. Eğer * işleminin (o) işlemi üzerine hem soldan hem de sağdan dağılma özelliği varsa buna sadece dağılma özelliği vardır denir. HALKA A kümesi ve o, * işlemleri verilmişse (A, o, *) sistemde şu dört özellik varsa bu sistem bir halkadır. 1. (A, o) değişmeli gruptur. 2. A kümesi * işlemine göre kapalıdır. 3. * işlemin birleşme özelliği vardır. 4. * işlemin o işlemi üzerine dağılması vardır. CĐSĐM A kümesi ve A da tanımlı (A, o, *) sisteminde şu üç özellik varsa bu sistem bir cisimdir. 1. (A, o) değişmeli bir grup ve bu grubun birimi e ise 2. (A {l} ve *) sistemi de grup ise, (bu grupta * işleminin birim l ve her x elemanı tersi de x 1 dir.) 3. * işleminin o işlem üzerine dağılma özelliği vardır 6. Birleşme Özelliği : A kümesi ve o işleminde x, y, z A ise ve xo(yoz) = (xoy)oz ise o işleminin birleşme özelliği vardır denir.

3 KONU TESTĐ 1 1. x o y = x + y 3 işlemi R de tanımlıdır. Bu işlemin birimi nedir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 3 E) 2 6. A = {a, b, c, d, e} kümesinde işlemde aşağıdaki tablo ile verilmiştir. a b c d e a c d e a b b d e a b c c e a b c d d a b c d e e b c d e a Buna göre a (b C) 1 e 1 işleminin sonucu nedir? 2. x o y = x + y xy işleminde 3 ün tersi nedir? (3 1 =?) A) 1 2 B) 2 3 C) 7 3 C) 2 3 E) Z/ te hangi elemanların kare kökü yoktur? A) {0, 2} B) {2, 3} C) {1, 2} D) {3, 4} E) {1, 2, 3} 3. Reel sayılarda verilen, işlemleri aşağıdaki gibidir. x y = x + y x. y x y = x. y + x y ise 3 (2 1) in eşiti nedir? A) B) 7 C) D) 7 E) f(x) = 2 x + 2 x+1 ise f 1 (192) ise x'in eşiti nedir? A) B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 9. R + da tanımlı o işlemi: 4. xoy = x y x + y x, y işlemi R de tanımlanıyor. 20( 1) in eşiti nedir? xoy = 1 x + 1 y dir. (2 o 1) o (2 o 3) in eşiti nedir? A) 7 8 B) 7 8 C) 8 7 D) 8 7 E) 1 8 A) 14 B) C) 28 1 D) 1 28 E) 1 8. Z/7 de 2 nin eşiti hangisi olabilir? A) 6 B) C) 3 D) 2 E) x = 3 (mod) ise x in en küçük değeri kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E)

4 11. f(x) = x 2 ise (fof) ( 2) nin eşiti nedir? A) 4 B) 4 C) 8 D) 16 E) A = {a, b, c, d, e} kümesinde işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmıştır. o A b c d e a D e a b c b E a b c d c A b c d e d B c d e a e C d e a b Buna göre (a o c) 1 o (b o e) 1 nin eşiti nedir? 12. R de tanımlı f(x+1) = 4x ise f(x) in eşiti nedir? A) 4x 7 B) 4x 8 C) 4x 1 D) 4x 9 E) 4x R R f(x 2 + x ) = x 2 + x 7 ise f(x) in eşiti A) 4x + 3 B) x 7 C) x 11 D) x + 7 E) x 2 3x 13. x o y = y x y + 1 ise 2 o ( 3) ün eşiti nedir? A) 37 9 B) 1 9 C) 17 9 D) 2 E) A = {a, b, c, d} kümesinde tanımlı 14. x sayısının 9 ile bölümünden kalan 7 ise x in en küçük değeri kaçtır? A) 6 B) 7 C) D) 3 E) 2 β ={(a,a)(b,)(c,c)(d,d)(a,b)(b,a)(b,c)(c,b)(a,c)(c,a)} denklik bağıntısında a nın denklik sınıfı A) a = {a, b} B) a = {a, b, c, d} C) a = {a, b, c} D) a = {b, c} E) a = {a, c, d} 19. R de tanımlı x y = x + y + 2 işleminde in eşiti nedir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 2 E) 1 1. Z/ te x 2 3 x + 2 = 0 denkleminin çözüm kümesi A) {1} B) {1,2} C) {4,3} D) E) R 20. Z/6 da 1 in eşiti hangisi olabilir? A) 3 B) 4 C) D) 6 E) 2

5 KONU TESTĐ 2 1. Reel sayılarda tanımlı " " işlemi, x y = 3x+2y xy şeklinde veriliyor. a 4 = ise a kaçtır? A) 3 B) 2 C) 2 D) 3 E) 6 6. k + 2 (mod9) denkliğini sağlayan en küçük üç basamaklı k doğal sayısı kaçtır? A) 104 B) 103 C) 102 D) 101 E) m bir doğal sayı olmak üzere 3 6m+1 sayısının 7 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6 2. Reel sayılarda "*" işlemi, x * y = x y 4 şeklinde tanımlanıyor. * 3 = t 2 ise t aşağıdakilerden hangisi olabilir? A7 8 B) 11 C) 64 D) 121 E) Z/7 { 0, 1, 2, 3, 4,, 6 } kümesinde x (mod7) denkleminin çözüm kümesi nedir? A) { 1, } B) { 1, 6 } C) { 3, 4 } D) { 3 } E) [ 4, ] 3. a * b = a + b a + b şeklinde tanımlanan " * " işlemine göre ( 2) * ( 1) in sonucu kaçtır? A) 3 B) 2 C) 1 D) 1 E) 9. Reel sayılarda işlemi, x y = x + y + xy + 20 şeklinde tanımlanıyor. işlemine göre tersi kendisine eşit olan elemanların toplamı kaçtır? A) 10 B) 6 C) 4 D) 6 E) A = {0, 1, 2, 3, 4} kümesinde tanımlanan işlemi yandaki tabloda verilmiştir. x 1, x in tersini gösterdiğine göre, (4 3) 1 (3 2 1 ) = m 4 eşitliğinde m kaçtır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) f: Z/ Z, f(x) = 3 x + 2 ise f 1 ( 4 ) aşağıdakilerden A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4. Gerçel sayılar kümesinde, xoy = x + y şeklinde tanımlı "O" işlemine göre 2 ün tersi aşağıdakilerden a 0 olmak üzere a (x, y) = (ax, y a ) şeklinde bir işlemi tanımlanıyor. 8 (x, y) = (2, 3) ise x + y aşağıdakilerden A) 24 B) 40 C) 49 2 D) 97 4 E) 6 A) 2 3 B) 3 2 C) 3 D) 3 E) 1 3

6 12. Rasyonel sayılarda işlemi, 1 xhy = 1 x + x y şeklinde tanımlandığına göre 3 2 nin değeri nedir? A) 6 B) 7 6 C) 6 11 D) 6 7 E) R 2 de işlemi (x, y) (z, t) = (xz + yt, xt + yz) şeklinde tanımlanıyor. işleminin birim (1, 0) olduğuna göre ( 1, 3) ün tersi A) ( 1 8, 3 8 ) B) ( 1 8, 3 8 ) C) ( 1 8, 3 8 ) D) ( 1 8, 3 8 ) E) ( 1 8, 9 8 ) 13. (G, ) sistemi bir grup, a, b, x G dir. x 1, x in işlemine göre tersi ve x b = a ise x aşağıdakilerden A) b 1 a B) a b 1 C) a b D) b a E) b 1 a x 2 + x (mod6) dekleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden A) {0} B) {0, } C) {1} D) {1, } E) {0, 1} 14. A = {a, b, c, d, e} kümesinde tanımlı işlemi tabloda verilmiştir. (A, ) değişmeli grup olduğuna göre, (e b) (c b) aşağıdakilerden hangisine eşittir? a b c d e a c d e a b b b c c b c d a b c d e e e 19. A = {a, b, c, d, e} kümesi veriliyor. ve A da tanımlanan iki işlem ve (A,, ) sistemi bir halkadır. işleminin birim (etkisiz) elemanı a olduğuna göre (b c 1 ) a ifadesi aşağıdakilerden 20. (Z / 7, +,.) cisminde x + 6 = 3 denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden A) 2 B) 3 C) 4 D) E) 6 1. (1267) 3 sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 6 E) Reel sayılar kümesinde ve o işlemleri, x y = max (x 2, y 2 ) xoy = min (x + y, x y) şeklinde tanımlanıyor. (2 o 1) ( 3 o 4) işleminin sonucu kaçtır? A) 4 B) 9 C) 16 D) 2 E) 49