Akadeik Bilişi 0 - XII. Akadeik Bilişi Konferansı Bildirileri 0-2 Şubat 200 Muğla Üniversitesi İş Akış Çizelgelee Problei Üzerinde NEH, FRB3 ve FRB4 Sezgisellerinin Karşılaştırılası Muaz Salih Kurnaz, Özge Kart 2 Ege Üniversitesi, Bilgisayar Mühendisliği Bölüü, İzir 2 Dokuz Eylül Üniversitesi, Bilgisayar Mühendisliği Bölüü, İzir uazkurnaz@gail.co, ozge.kart@gail.co Özet: İş akışı çizelgelee robleinde, zaan kriterine göre yüksek erforansa sahi algoritalardan birisi ve en çok bilineni Nawaz, Enscore ve Ha in 983 yılında önerdiği NEH sezgisel yönteidir. Bu algortianın erforansının bugün bile daha bir çok yeni ve daha karaşık sezgisellerle kıyaslandığında daha üstün geldiği yaılan çalışalarda görülüştür. Fakat son yıllarda NEH tabanlı bazı yönteler daha iyi erforans sergileektedir. Bunlardan bir tanesi de FRB algoritalarıdır. FRB sezgiselleri, daha önce yerleştiriş olan işlerin tekrardan yerleştirilesi işleiyle NEH in zayıf yanlarını güçlendireye çalışır. Bu akalede, iki güçlü FRB etodu Taillard ın örneklerini üzerinde NEH ile karşılaştırılıştır. Karşılaştıra sonuçları FRB sezgisellerinin daha iyi erfroans sergilediğini gösteriş ve bu algoritaların diğer eta-sezgisellerle birlikte kullanılasının faydalarına da değiniliştir. Anahtar Sözcükler: Akış Çizelgelee, Sezgiseller, NEH, FRB Coarison of NEH, FRB3 and FRB4 Heuristics on Flowsho Scheduling Probles Abstract: In flowsho scheduling roble, one of the well-known and high erforing heuristic according to tie condition is the NEH heuristic fro Nawaz, Enscore and Ha roosed in 983. Perforance lead of this algortih is aintained even today when coared against any conteorary and ore colex heuristics as shown in ast recent years. However, soe heuristics based on NEH are giving higher erforence. One of the is the FRB algoriths. FRB heuristics try to strength the weak sides of NEH by carrying out re-insertions of already inserted jobs at soe oints in the construction of the solution. In this aer, two FRB ethods is coared with NEH on the well-known instances of Taillard. Coarison results show that FRB heuristics resents better erforance and advantages of that algoriths usage with other eta-heuristics are also discussed. Keywords: Flowsho Scheduling, Heuristics, NEH, FRB. Giriş 625 İş akış çizelgelee, tane akinede aynı sırayla işlenecek olan n işin en iyi şekilde sıralaası ile ilgilenir. P ij, i akinesindeki j işinin bilinen ve deterinistik işle süresini belirtir. Tü işlerin önce akine e daha sonra akine 2 ye girek üzere akine e kadar deva ettiği kabul edilir. Çizelgelee literatüründe yaygın olarak, son iş son akineden çıkana kadar geçen aksiu süreyi en aza indiren iş sırası bulunaya çalışılır. Bu aaç genellikle C ax yada akesan olarak adlandırılır. Bu roble için genel kabuller ve kısıtlar şu şekildedir []: Tü işler birbirinden bağısız ve başlangıçta işleneye üsaittir.
İş Akış Çizelgelee Problei Üzerinde NEH, FRB3 ve FRB4 Sezgisellerinin Karşılaştırılası Muaz Salih Kurnaz, Özge Kart Makineler her zaan uygundur. Her bir akine yalnızca bir işi işleyebilir ve her bir iş yalnızca bir akinede işlenir. Makinede işlenen işin yarıda kesilesi ükün değildir. Eğer bir işin gireceği akinede başka bir iş varsa, diğer iş, akinenin boşalasını kuyrukta bekleek zorundadır. Genellikle işlerin erütasyonuyla bir çok sıralaa elde edilebilir. Bu erütasyonlar akineden akineye değiştiği için çözü aralığı ( n! ) tane çizelgeden oluşur. Ancak iş akış çizelgelee literatüründe bu genel duru çok nadir göz önüne alınır. Tü akineler için aynı erütasyon kullanılarak basitleştirilir. Bundan dolayı olası çizelge sayısı n! tanedir ve roble Graha ve arkadaşları [2] tarafından F/ru/Cax olarak gösteriliştir. Bu roble aynı zaanda erütasyon iş akış çizelgelee roblei olarak bilinir. Biz bu akalede, bu erütasyon iş akış çizelgelee roblelerine çözü olarak geliştirilen NEH [3] algoritasının olusuz yanlarını düzelteye çalışak üzere önerilen FRB3 ve FRB4 algoritaları [4] üzerinde çalışıştır. Zaan ve erforans yönlerinden bu üç yöntei birbirleriyle karşılaştırılıştır. 2. NEH (Nawaz Enscore Ha ) Sezgiseli NEH rosedürü, tü akinelerdeki uzun işlene süresine sahi işlerin ükün olduğunca erken bitirilesi esasına dayanaktadır. NEH üç adıdan oluşur: ) Tü işlerin tola işlene zaanlarının bulunası, P j = P () ij 2) İşlerin azalan sıraya göre sıralanası, 626 3) j işinin, j =, 2..n, olak üzere alını sıralanış işlerin arasında tü olası ozisyonlara yerleştirilerek en iyi ozisyonun bulunası. Örnek olarak; Sıralanan n iş içerisinden tola işle zaanları en yüksek olan iki iş seçilir. Seçilen iki iş sıraya konarak taalana süreleri bulunur. Kısi olarak bulunan bu sürelerden en küçük olan iş sırası seçilerek bu iki işin birbirlerine olan önceliği belirleniş olur. Daha sonra tola işle zaanı en büyük olan diğer bir iş seçilir. Bu iş; olası tü ozisyonlara konarak tekrardan kısi taalaa süresi bulunur ve bu süre bir sonraki adılarda kullanılak üzere sabitlenir. Bütün işler yerleştirilene dek aynı işleler uygulanır. Sıralanan işlerin işle süresi (Cax) aşağıdaki forülle hesalanır: C i,π(j) =ax{c i-,π(j),c i,π(j-) }+ iπ(j), (2) C ax =C,π(n), j bir işin kaçıncı sırada olduğunu, C i,j, j işinin i akinesinde taalana süresini gösterir. Ayrıca, C 0,π(j) =0 ve C i,π(0) =0, i M, j N. C ax ın hesalana karaşıklığı O(n) dir. Görüldüğü gibi, adı() in karaşıklığı O(n) dir. İkinci adı yalnızca sıralaadır ve onun da karaşıklığı O(nlogn) dir. Adı(3) de ise n adıdan oluşan bir döngü bulunaktadır. Her j. adıda j işi yerleştirilir ve yerleştirilen her iş için C ax değeri hesalanır. Böylece, tolada n( n + )/ 2 yerleştire yaılış olur. (j= olası yaılacak yerleştirenin oladığı anlaına gelektedir.) Son adıda n işe ulaştığıız için karaşıklık O(n 3 ) dir. Büyük n değerleri için algorita yavaş çalışabilektedir. Bir önceki forüldeki gibi j. işi ozisyona yerleştirirken, k, tü C i,h h ={k,k 2,..., } bir önceki yerleştirede hesalanıştır. Taillard[5] da buna benzer bir yönte izleiştir. Sonuç olarak verilen adıdaki tü yerleştirelerin karaşıklığı O(n) olarak hesalanır. Bu duru NEH in tola karaşıklığını O(n 2 ) e kadar azaltır. Bu geliştirilen etot
Akadeik Bilişi 0 - XII. Akadeik Bilişi Konferansı Bildirileri 0-2 Şubat 200 Muğla Üniversitesi NEHT ya da Taillard hızlandırıcılı NEH olarak adlandırılır. İlerideki bölülerde de gösterileceği üzere NEHT, büyük değerler için bile oldukça hızlı çalışaktadır. Bazı yazarlar, genel olarak NEH etodunun ilk ve ikinci adıları üzerinde çalışışlardır. Frainan ve arkadaşları [6] henüz adı (3) ün uygulanadığı işler için 77 farklı ilk sıra üzerinde çalışışlardır. Cax üzerine yatıkları çalışalarda, Nawaz ve arkadaşlarının [3] yatıkları sıranın en etkin sıra olduğunu görüşlerdir. Ruiz ve arkadaşları [7] NEH in adı(2) den sonra bazı işlerin rastgele olarak aralarında değiştiriliş şeklini kullanışlardır. Bu da NEH etodunun evrisel algoritalarda ilk oülasyon için farklı iyi bireylerin yaratılasında kullanılasını sağlaıştır. Son zaanlarda Kalczynski ve Kaburowski [8] tie-breaking (düğü çöze) kuralını öne sürüşlerdir. Bu kural, adı(3) de işleri yerleştirirken bir düğü gözlendiğinde uygulanır. Bu düğü çöze kuralı iki akineli durular için otiu sonuçlar verir. Her duruda, algorita üzerindeki iyileştireler oldukça azdır ve niteki FRB3 sezgisellerinin de NEH e göre avantajı, %0.7 olduğu hesalanıştır [4]. 3. FRB3 sezgiseli NEH etodunun olusuz bir özelliği, sıralanış bir işin yerinin, yeni işler geldikçe he sabit kalasıdır. Fakat bu yeni gelen işlerle, yerlerin tekrardan değiştirilesi çoğu zaan daha iyi sonuçlar verektedir. FRB sezgiselleri NEH in bu olusuz yanını düzelti daha iyi sonuçlar üreteye çalışaktadır. FRB3 sezgiseli FRB sezgiselleri arasında en iyi sonuçları verenidir. Birbiriyle aynı antığa sahi olan FRB ve FRB2 algoritalarını iyileştirek aacıyla geliştiriliştir. FRB3 algoritası aşağıda adı adı gösteriliştir [9]: Adı. Tü işlerin tola işlene süreleri aşağıdaki denkle uygulanarak hesala. P j = P (3) ij Adı2. İşlerin azalan sıraya göre sırala. Adı3. j=,, n olak üzere j işini al ve sıralanış işler arasındaki tü olası ozisyonlara yerleştirilerek tola işle süresinin en az olduğu ozisyonun belirle ve j işini o ozisyona yerleştir. Adı4. P j dizisi içerisinde h=,, olak üzere h işinin al ve sıralanış işler arasındaki tü olası ozisyonlara yerleştirilerek tola işle süresinin en az olduğu ozisyonu belirleni h işini o ozisyona yerleştir. Adı5. Tü işler yerleşişse dur, yerleşeişse Adı3 e geri dön. 4. FRB4 Sezgiseli FRB3 ün antığına benzeekle birlikte, FRB3 ten belirgin bir farklılık gösterir. İç döngüde tü işlerin yeniden yerleştirilesi yerine, yeni yerleştirilen işin ön ve arkadan k kadar uzağında olan işler yeniden yerleştirilir. Bunun sebebi ise, yeni yerleştirilen işin çok uzağında bulunan işlerin, yakın olanlara göre daha az etkilenesidir. Bu etodun en kötü duruda karaşıklığı O(kn2) dir. Buradaki k sayısı, iç döngüdeki yerleştire işlei için olası tü ozisyonların sayısıdır. Genellikle k sayısının küçük olduğu durularla (k<<n) ilgilendiğiiz için karaşıklığın NEHT teki gibi O(n2) olduğunu söyleyebiliriz. Ancak elbette ki k arttıkça işleci süresi de artacaktır. Şekil ve 2 FRB3 ve FRB4 sezgisellerinin seudo-code u gösterektedir. rocedure FRB3 j P = P, n N yi hesala ij 627 j yi azalan sıraya göre sırala
İş Akış Çizelgelee Problei Üzerinde NEH, FRB3 ve FRB4 Sezgisellerinin Karşılaştırılası Muaz Salih Kurnaz, Özge Kart : = for adı:= to n do j := iş ( j [adı]) j işi için nin tü olası ozisyonlarını dene //Taillard hızlandırıcıları deki j işini en düşük Cax değerini veren ozisyonuna yerleştir for adı2:= to ste do adı2 ozisyonundaki h işini den çıkar h işi için nin tü olası ozisyonlarını dene //Taillard hızlandırıcıları deki h işini en düşük Cax değerini veren ozisyona yerleştir end h işi için nin tü olası ozisyonlarını dene //Taillard hızlandırıcıları deki h işini en düşük Cax değerini veren ozisyona yerleştir end Şekil 2. FRB4 algoritasının seudo-code u 5. Deneysel Analizler NEHT, FRB3 ve FRB4 sezgisel yönteleri Visual C# ile geliştiriliş ve tü test işleleri bir Pentiu IV PC/AT ve 2,40 GHz işleci hızına sahi 3Gb RAM bellekli bir bilgisayar kullanılarak yürütülüştür. Tü algoritaların kodlarında Taillard ın hızlandırıcılarının yanısıra C ax ın hesalansı gibi kritik fonksiyonları ortaktır. Böylece algoritalar için taaiyle karşılaştırılabilir bir orta hazırlanıştır. Şekil. FRB3 algoritasının seudo-code u rocedure FRB4 Pj = Pij, n N yi hesala j yi azalan sıraya göre sırala : = for adı:= to n do j := iş ( j [adı]) j işi için nin tü olası ozisyonlarını dene //Taillard hızlandırıcıları deki j işini en düşük Cax değerini veren ozisyonuna yerleştir for adı2:=ax(, -k) to in(ste, +k) do adı2 ozisyonundaki h işini den çıkar 628 Karşılaştıralar için Taillard ın standart deney setini kullanılıştır. Bu set 2 gruba bölünüş tola 3 örnekten oluşaktadır. Boyutlar 20 iş 5 akineden 500 iş 20 akineye kadar deva eder. Biz bu deney setinin 20x5 den 200 x 20 liğe kadar olan kısı testleriizde kullanılıştır. İş akış çizelgelee literatüründe, yazarlar bu deney setini geçiş yıllarda yaygın olarak kullanışlardır. Her bir örnek için alt ve üst sınırlar bilinektedir. Bu raorun yazıldığı sırada 50 x 20 lik küedeki on örnek ve 00 x 20 deki dokuz, 200 x 20 deki altı ve 500 x 20 deki üç örnek hala açıktır. Diğer tü örnekler için otiu çözü bilinektedir. Bunu hesaba katarak, kullandığıız erforans ölçüsü, her bir örnek için bilinen en iyi ya da otiu çözü üzerine uygulanan relative ercentage deviation(rpd) dır. Bu da aşağıdaki gibi hesalanır; Heusol Bestsol RPD = 00 (4) Best sol
Akadeik Bilişi 0 - XII. Akadeik Bilişi Konferansı Bildirileri 0-2 Şubat 200 Muğla Üniversitesi Burada Heu sol verilen bir örnek için test ediliş, herhangi bir sezgisel etod tarafından üretilen çözüdür. Best sol ise Aralık 2006 itibariyle Taillard ın örnekleri için bulunan otiu çözü yada en düşük bilinen alt sınırdır. Bu en iyi çözüler [9] de bulunaktadır. Perforansı daha iyi tahin edebilek için her bir örnek için 0 setin tüü uygulanır ve sonuçların ortalaası alınır. Diğer tü algoritalar deterinistiktir fakat biz geçen işleci süresini daha iyi tahin edebilek için 0 set için algoritaları uygulanıştır. Dikkat edilelidir ki bu 0 set çözüün kalitesi için değil, yalnızca işleci süresi içindir. Bu yüzden de çalıştıradan çalıştıraya fark göstereyecektir. Sonuç olarak sezgisel etod FRB4k için k ={,2,3} yi test ettiğiizde elde edilen sonuçlar Tablo de gösteriliştir. Ortalaa sonuçlara göre FRB3 ve FRB4 NEH i geçektedir. Yalnızca bazı istisnalarda NEH daha iyi çözüler sağlar. En iyiden en kötüye doğru sıralanacak olursa FRB3, FRB4 (k ye göre ve örnek verilere göre değişkenlik gösterektedir.) ve son olarak, NEH tir. Bu da FRB sezgisel yöntelerinin NEHT ten istatistiksel olarak daha iyi olduğu anlaına gelektedir. FRB4k daki k nin değeri arttıkça, daha iyi sonuçlara ulaşılaktadır. Elbette ki bu erforans artışının bize ek bir aliyeti olacaktır. Tablo de tü algoritalar için gerekli olan işle zaanları saniyeler bazında gösteriliştir. Tablo den ulaşılan ilk sonuç, NEHT etodunun etkin ileentasyonunun son derece hızlı olduğudur. Tü diğer etotlar daha yavaştır. Fakat şunu vurgulaak gerekir ki yine de istisnalar dışında oldukça hızlıdırlar. Uyguladığıız önerilen sezgisel etotlar arasında en hızlısı ortalaa ilisaniye ile FRB4 algoritasıdır. Görüldüğü gibi NEHT in şaşırtıcı şekilde hızlı olasına karşın FRB3 ve FRB4 etotları ortalaa yarı saniyenin altında çok daha iyi sonuçlar sağlaaktadır. 6. Sonuçlar Tablo. NEH, FRB3 ve FRB4 algoritalarının karşılaşırılası, (T. Süre NEH, FRB3, FRB4 FRB42, FRB43 algoritalarının tü örnekler için tola işlene sürelerini gösterektedir. Min. H. O, Max. H. O ve Ort. H. O. ise sırasıyla her bir örnek için iniu hata oranı, aksiu hata oranı ve ortalaa hata oranını gösterektedir. ) Bu çalışada, iş akışı çizelgelee roblelerinin çözüünde kullanılan ve iyi sonuçlar veren NEH ve FRB sezgiselleri karşılaştırılıştır. Karşılaştıa sonuçları, FRB sezgisellerinin 629 daha iyi sonuçlar veresine karşın NEH sezgiseline göre daha yavaş çalıştıklarını gösteriştir. Aa yine de bu yönteler, roblein çözüünde kullanılan diğer eta-sezgisel etodlara (genetik algoritalar, karınca kolonisi otiizasyonu gibi) göre çok hızlı sonuç üret-
İş Akış Çizelgelee Problei Üzerinde NEH, FRB3 ve FRB4 Sezgisellerinin Karşılaştırılası Muaz Salih Kurnaz, Özge Kart ektedirler. Öte yandan, eta-sezgisel yönteler kendi dezavantajlarını ortadan kaldırak ve hızlı çözüler elde edebilek için yerel araa algoritalarını kullanak zorundadırlar. FRB sezgiselleri ufak bazı değişikliklerle eta-sezgisel yönteler için yerel araa yöntei olarak kullanılabilir. Böylece daha hızlı ve kaliteli sonuçlara ulaşılası sağlanabilecektir. İleriki çalışalarıızda, bu konu üzerinde durulacaktır. 6. Kaynaklar [] Baker, K. R., Introduction to sequencing and scheduling, Wiley, New York, (974). [2] Graha, R.L, Lawler, E.L., Lenstra J.K., Rinnooy Kan, A.H.G., Otiization and aroxiation in deterinistic sequencing and scheduling: a survey, Annals of Discrete Matheatics 5, 287 326 (979). [3] Nawaz, M, Enscore Jr, E.E., Ha, I., A heuristic algorith for the -achine, n-job flow-sho sequencing roble, OME- GA, The International Journal of Manageent Science, ():9 5 (983). [4] Rad, S. F., Ruiz, R., Boroojerdian, N., New high erforing heuristics for iniizing akesan in erutation flowshos, OMEGA, The International Journal of Manageent Science, 33-345 (2009). [5] Taillard, E., Soe efficient heuristic ethods for the flow sho sequencing roble, Euroean Journal of Oerational Research 47:67 74 (990). [6] Frainan, J.M., Leisten, R., Rajendran, C., Different initial sequences for the heuristic of Nawaz, Enscore and Ha to iniize akesan, idletie or flowtie in the static erutation flowsho sequencing roble, International Journal of Production Research 4():2 48 (2003). [7] Ruiz, R., Maroto, C., Alcaraz, J., Two new robust genetic algoriths for the flowsho scheduling roble, OMEGA, The International Journal of Manageent Science 34:46 76 (2006). [8] Kalczynski, J.P., Kaburowski, J., On the NEH heuristic for iniizing the akesan in erutation flowshos, OMEGA, The International Journal of Manageent Science 35():53 60 (2007). [9] Taillard, E, Suary of best known lower and uer bounds of Taillard s instances, htt://ina.eivd.ch/collaborateurs/ etd/ roblees.dir/ ordonnanceent.dir/ordonnanceent. htl ; 2006. 630