PORLA METODU İLE TAHMİN EDİLEN ARMA MODEL PARAMETRELERİ ÜZERİNDE PENCERE FONKSİYONLARININ ETKİSİ

Transkript

1 PAMUKKALE ÜNİ VERSİ ESİ MÜHENDİ SLİ K FAKÜLESİ PAMUKKALE UNIVERSIY ENGINEERING COLLEGE MÜHENDİ SLİ K BİLİMLERİ DERGİ S İ JOURNAL OF ENGINEERING SCIENCES YIL CİL SAYI SAYFA : 2002 : 8 : 2 : PORLA MEODU İLE AHMİN EDİLEN ARMA MODEL PARAMERELERİ ÜZERİNDE PENCERE FONKSİYONLARININ EKİSİ Şaan ÖZER, Keri GÜNEY Erciyes Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Elektronik Bölüü, 38039/Kayseri Geliş arihi : ÖZE PORLA etodu ile tahin edilen ARMA odel paraetreleri üzerinde pencere onksiyonlarının etkisi, sunuluştur. PORLA etotu, izlee ve odellee prolelerinin ağısız alt-algoritalar olarak düşünüldüğü ir algorita yapısına sahiptir. Bu etotda, ilk olarak durağan olayan veri izleesi, giriş/çıkış veri kovaryans lok atrisinin zaan ardışılı hesaplanası ile gerçekleştirilir. İkinci olarak, odellee prolei, ARMA odellee proleinin içerildiği iki-kanallı PORLA etodu ile çözülür. Zaanla hata yayılıı, PORLA etodunda oluşaaz. İsteğe ağlı pencerelee teknikleri, izlee kapasitesini ve hızlı aşlaayı kontrol etek için kolayca dahil edileilir. PORLA etodu ile tahin edilen ARMA odel paraetreleri üzerinde pencere onksiyonlarının etkisini gösterek için, dikdörtgen, üçgen, Bartlett, Hanning, Haing, üstel, değiştiriliş Barnwell, Blackan ve Kaiser gii arklı pencere onksiyonları kullanılarak elde edilen enzeti sonuçları veriliştir. Anahtar Kelieler : PORLA etodu, ARMA odel paraetreleri, Pencere onksiyonları HE EFFEC OF WINDOW FUNCIONS ON HE ARMA MODEL PARAMEERS ESIMAED BY PORLA MEHOD ABSRAC he eect o window unctions on the ARMA (Autoregressive Moving Average) odel paraeters estiated y PORLA (Pure Order Recursive Ladder Algorith) ethod is presented. he PORLA ethod has an algorith structure, in which the tracking and the odelling proles are treated as independent su algoriths. In this ethod, irst, the tracking o the nonstationary data is perored y the tie-recursive calculation o the input/output data covariance lock atrix. Second, the odelling prole is solved y the two-channel PORLA ethod in which the ARMA odelling prole is eedded. Error propagation in tie can not occur in the PORLA ethod. Aritrary windowing techniques can e easily incorporated to control the ast start-up and tracking capaility. o illustrate the eect o window unctions on the ARMA odel paraeters estiated y PORLA ethod, the siulation results are given or the dierent window unctions such as the rectangular, triangular, Bartlett, Hanning, Haing, exponential, odiied Barnwell, Blackan and Kaiser windows. Key Words : PORLA ethod, ARMA odel paraeters, Window unctions 1. GİRİŞ Bir sistee ait transer onksiyonunu zaan ardışılı olarak elde eden hızlı tahin algoritaları, yıllardır kullanılaktadır (Kunt, 1986; Oppenhei and Schaer, 1989; Söderströ and Stoica, 1989; Proakis and Manolakis, 1996). Bu algoritalar az sayıda işle gerektirdiği için çekici olalarına 173

2 Porla Metodu İle ahin Edilen Ara Model Paraetreleri Üzerinde Pencere Fonksiyonlarının Etkisi, Ş. Özer, K. Güney rağen, algoritanın her adıında daha da üyüyen yuvarlata hatalarından olusuz yönde etkilenirler. Bu duru, algoritanın hızlı aşlangıç yapaaasına ve izlee kapasitesini kayetesine seep olur ve sonuç olarak sonlu aritetik ortalarda çalışıldığında, asit gradyent algoritalardan daha iyi perorans göstereezler. Bu proleleri çözek için, PORLA etodu sunuluştur (Stroach, 1986). PORLA etodunda zaan ardışıı giriş veri kovaryans atrisinin hesaplanasına sınırlı olduğu için, yuvarlata hatalarından u etot pek azla etkilenez. Bu özellik, algoritaya üstün izlee ve hızlı aşlaa yeteneği kazandırır. Bu çalışada, PORLA etodu ile ARMA odel paraetreleri tahin ediliştir. Bu paraetreler tahin edilirken, dikdörtgen, üçgen, Bartlett, Hanning, Haing, üstel, değiştiriliş Barnwell, Blackan ve Kaiser (Kunt, 1986; Oppenhei and Schaer, 1989; Söderströ and Stoica, 1989; Proakis and Manolakis, 1996) gii dokuz arklı pencere onksiyonu kullanılıştır. Böylece pencere onksiyonlarının tahin edilen paraetreler üzerindeki etkileri görülüştür. Aşağıdaki ölülerde, ilk önce PORLA etodu ile ARMA odel paraetrelerinin tahini ve pencerelee hakkında kısa teel ilgiler veriliş, daha sonra enzeti sonuçları sunuluştur. tesil eder. Şekil 2 de gösterilen algorita yapısının iririnden ağısız iki öneli asaağı şudur: Giriş verisinin zaan ardışıı izlenesi, kovaryans atrisi ile gerçekleştirilir. En küçük kareler yansıa katsayıları, arzu edilen her ir zaan adıında PORLA eşitlikleri ile kovaryans atrisinden doğru olarak hesaplanır. x(t) e(t) r(t) Merdiven For ers Süzgeç K (t) K (t) Klasik LS Merdiven ahin Algoritası Şekil 1. Klasik LS erdiven algoritası ep(t) x(t) ep(t) 2. ARMA SİSEM MODELLEME İÇİN PORLA PORLA etodu (Stroach, 1986), ilk olarak skaler dizilere uygulanış genelleştiriliş ir kovaryans erdiven tekniğidir. Klasik en küçük kareler (Least Square : LS) erdiven algorita yapısı, Şekil 1 de veriliştir. Bu klasik algoritadaki hata yayılılarını önleek için, Şekil 2 de gösterilen yapı PORLA etodu olarak sunuluştur. Şekil 1 ve 2 de, x(t) giriş verisini, e p (t) artık çıkışını, e (t) ve r (t) sırasıyla ileri ve geri artık işaretlerini, K (t) ve K (t) ise sırasıyla ileri ve geri yansıa katsayılarını, ve W(t) kovaryans lok atrisini Kovaryans Matrisinin Ardışıl İzlenii W(t) Merdiven For ers Süzgeç (Eğer Gerekirse) K (t) K (t) PORLA Şekil 2. PORLA etodunun lok şeası PORLA etodunda, ARMA kovaryans erdiven algoritasının dört teel denklei aşağıdaki şekilde verilir (Stroach, 1988). E,0, (t) = E 1,0, (t) R (t) 1,0, (t) C,,0 (t ) (t) + C 1,0, (t ) Mühendislik Bilileri Dergisi (2) Journal o Engineering Sciences (2)

3 Porla Metodu İle ahin Edilen Ara Model Paraetreleri Üzerinde Pencere Fonksiyonlarının Etkisi, Ş. Özer, K. Güney R,0, (t) = R,0, + C,,0 (t 1) (t 1) K (t 1) E,0, (t 1) C (t 1 ) (t 1 ),0, (t 1) (2) C,0, (t) = C 1,0, + 1 (t) C (t), + 1,0 (t) R,0, + 1 (t ) (t) + E,0, + 1 (t ) (3) C, + 1,0 (t) = C + E 1,,0,0, (t ) (t ) K (t ) C (t ) R (t ),0, (t ) K,0, (t ) (t ) (4) Burada, E,0, (t) ve R,0, (t) sırasıyla ileri ve geri genelleştiriliş artık eneri lok vektörlerini, C,0, (t) ve C,,0 (t) ise sırasıyla çapraz genelleştiriliş artık eneri satır ve sütun lok vektörlerini, algoritanın artan derecesini ve atrisin devriğini tesil eder. İleri ve geri yansıa atrisleri, 1,0,0 1,0,0 K (t) = R (t) C (t) (5) (,0,0,0, 0 K t) = E (t) C (t) (6) ile verilir. (5)-(6) denklelerinde 1 atrisin tersini gösterir. Kovaryans lok atrisi aşağıdaki şekilde verilir. W t) = E (t) (7) i,( 0,i, W i+ 1, + 1( t) = R 0,i, (t) (8) W + t) = C (t) (9) i, 1( 0,i, İki kanallı AR paraetreleri ARMA erdiven yansıa atrislerinden, Şekil 3 de verilen algorita yapısı ile hesaplanır. Şekil 3 de, p algoritanın sait derecesi ve I iri atristir. ARMA paraetreleri ise, a () 22 (t) = a (t) (10) () 22 () 21 (t) = a (t) a (t) (11) denklelerinden elde edilir. FOR initialize t = 0,1,2,... (t) = K 0 (t) = K (t) 1 FOR = 2,3,...,p FOR = 1,2,..., () () () (t) = (t 1) (t) (t) a () () () a (t) = a (t) (t) (t ) () () a0 a (t) = K (t) () () (t) = K (t) FOR = 1,2...,p (p) [ a (t) =a (t) a0 a0 Şekil 3. ARMA erdiven yansıa atrislerinden iki kanallı AR paraetrelerinin hesaplanası 3. PENCERELEME Çok sayıda ideal siste, andlar arasındaki sınırlarda süreksizlikler içeren parçalı-değişez veya parçalı-onksiyonel rekans cevapları ile tanılanır. Dolayısıyla, u sisteler nedensel olayan ve sonsuz uzun dürtü cevaına sahiptirler. Sonsuz uzunlukta ir işaret dizisi ile çalışak ikansız olduğundan ütün işaret analizlerinde pencerelee yapılası gerekektedir (Kunt, 1986; Oppenhei and Schaer, 1989; Söderströ and Stoica, 1989; Kayran, 1990; Proakis and Manolakis, 1996). Analiz işlei için işaretin ir ölüü seçildiğinde, oriinal veri pencereleniş olur. En asit pencerelee tekniğinde verilen işaretin incelenecek kısı ir ile, dışarıda kalan kısı ise 1 (t) Mühendislik Bilileri Dergisi (2) Journal o Engineering Sciences (2)

4 Porla Metodu İle ahin Edilen Ara Model Paraetreleri Üzerinde Pencere Fonksiyonlarının Etkisi, Ş. Özer, K. Güney sıır ile çarpılır. Rasgele ir işaretin sadece incelenecek kısını kesip alak u türden ir pencerelee işleidir. Bu işle, işaretin sonlu genişlikteki iri pencere onksiyonu ile çarpıına eşdeğerdir. Frekans doeninde u işlein karşılığı, konvolüsyondur. Bu işle sırasında pencere onksiyonunun Fourier dönüşüünde oluşan yan loplar seeiyle, yan andlarda ir izge sızıntısı oluşur. İdeal olarak, kese yoluyla gerçekleştirilen dikdörtgen pencere sonsuz genişlikte olursa, teorik olarak izge ir dürtü içiinde olur. Dolayısıyla, u duruda sızıntı etkisi de görülez. Dikdörtgen pencere onksiyonunda, uçlardaki süreksizliklerden oluşan izge dağılasından dolayı, çoğu uygulaalarda değişik türde pencere onksiyonları kullanılır. Pencere onksiyonları zaan doeninde şekillendirilirken, Fourier dönüşüünün rekans doeninde azı özellikleri sağlaası arzu edilir. Bir pencere onksiyonu izgesi yan loplarda iniu ve ana lopta aksiu eneri taşırken and genişliği de ükün olduğunca dar olalıdır. Bu çalışada, literatürde (Kunt, 1986; Oppenhei and Schaer, 1989; Söderströ and Stoica, 1989; Proakis and Manolakis, 1996) evcut olan dikdörtgen, üçgen, Bartlett, Hanning, Haing, üstel, değiştiriliş Barnwell, Blackan ve Kaiser gii dokuz arklı pencere onksiyonu kullanılıştır. Bu onksiyonlar: 1) Dikdörtgen pencere onksiyonu, 1, 0 n L W (n) = (12) Burada L pencere genişliğidir. 2) Üçgen pencere onksiyonu, n 1, 0 n L W (n) = L (13) 0, 3) Bartlett pencere onksiyonu, 2n, 0 n 0.5(L ) L 2(L n) W(n) =, 0.5(L ) n L L 0, (14) 4) Hanning pencere onksiyonu, 2πn cos, 0 n L W (n) = L (15) 5) Haing pencere onksiyonu, 2πn cos, 0 n L W (n) = (16) L 6) Üstel pencere onksiyonu, n µ, µ 1 ve 0 n L W(n) = (17) 7) Değiştiriliş Barnwell pencere onksiyonu, n (1 + n) µ, µ 1 ve 0 n L W(n) = (18) 8) Blackan pencere onksiyonu, 9) Kaiser pencere onksiyonu, 2πn 4πn cos cos, 0 n L W (n) = L L (19) I o β W(n) = 2 [ 1 ((n α) / α) ] I ( β) o 0.5, 0 n L (20) ile verilir. Burada, α = 0.5(L-1) ve I o sıırıncı dereceden irinci tür değiştiriliş Bessel onksiyonudur. 4. BENZEİM SONUÇLARI PORLA etodu ile tahin edilen ARMA odel paraetreleri üzerinde pencere onksiyonlarının etkisini göstereilek için, ikinci ve dördüncü dereceden sistelerin odellenesi ile ilgili iki tane örnek veriliştir. Verilen örneklerde transer onksiyonlarının, Mühendislik Bilileri Dergisi (2) Journal o Engineering Sciences (2)

5 Porla Metodu İle ahin Edilen Ara Model Paraetreleri Üzerinde Pencere Fonksiyonlarının Etkisi, Ş. Özer, K. Güney H(z) + z + z n n = (21) n 1+ a1z + a 2z a nz orunda olduğu kaul ediliştir. Bu çalışada kullanılan ikinci ve dördüncü dereceden sistelere ait transer onksiyonları aşağıdaki şekildedir. 1.3z H2(z) = z + 1.7z 0.75z 1.4z + 2.1z H4(z) = 1 0.2z + 0.4z 2.6z 0.68z 3 3 z z z 4 Bu çalışada, PORLA etodunun prograı Visual Basic progralaa dilinde yazılıştır. Siste girişine uygulanan eyaz gürültü dizisi ve pencere onksiyonu verileri, MALAB prograı ile oluşturulup dosyalara kaydediliştir. PORLA prograı, eyaz gürültü dizisi ve pencere onksiyonu verilerini u dosyalardan okuaktadır (Bu çalışada yapılan PORLA prograı, akalenin yazarlarından e-ail veya posta aracılığı ile tein edileilir). İkinci ve dördüncü dereceden sisteler için, PORLA etodu ile tahin edilen odel katsayıları ile gerçek siste katsayıları arasındaki ağıl hatalar, alo 1 ve 2 de arklı dokuz pencere onksiyonu için veriliştir. Bu enzeti sonuçları elde edilirken, pencere onksiyonlarının hepsi için pencere genişliği L = 100, üstel ve değiştiriliş Barnwell pencere onksiyonları için µ = 0.96 ve Kaiser pencere onksiyonu için şekil paraetresi β = 12 olarak seçiliştir. Kelie uzunluğu 64 it ve eyaz gürültü dizisindeki örnek sayısı 500 olarak alınıştır. alo 1-2 de verilen her ir sonuç, 350 iririnden ağısız koşada elde edilen enzeti sonuçlarının ortalaasıdır. ü elde edilen sonuçların geneli göz önüne alındığında, he ikinci he de dördüncü dereceden siste için en iyi sonuçların Hanning pencere onksiyonu ile en kötü sonuçların ise üçgen, dikdörtgen ve üstel pencere onksiyonları ile elde edildiği, alo 1 ve 2 den açıkça görülektedir. Farklı derecelerde arklı paraetrelere sahip sisteler için çok sayıda yapılan enzetide genelde en iyi sonuçların Hanning veya Kaiser pencere onksiyonları ile ulunaileceği tespit ediliştir. alo 1. İkinci Dereceden Siste İçin, PORLA Metodu İle ahin Edilen Model Katsayıları İle Gerçek Siste Katsayıları Arasındaki Bağıl Hatalar (%) a 1 a Dikdörtgen Üçgen Bartlett Hanning Haing Üstel Barnwell Blackan Kaiser alo 2. Dördüncü Dereceden Siste İçin, PORLA Metodu İle ahin Edilen Model Katsayıları İle Gerçek Siste Katsayıları Arasındaki Bağıl Hatalar (%) a 1 a 2 a 3 a Dikdörtgen Üçgen Bartlett Hanning Haing Üstel Barnwell Blackan Kaiser Benzeti sonuçlarının, pencere onksiyonlarının paraetreleri olan L, µ ve β değerlerine çok sıkı ağlı olduğu görülüştür. Örnek olarak, ikinci dereceden siste ve Kaiser pencere onksiyonu için β=12 olarak değil de 9 olarak alındığında ağıl hata değerleri, a 1, a 2, 0, 1 ve 2 için sırasıyla 0.08, 0.03, 3.09, 0.13 ve 0.17 olarak elde ediliştir. Bu hata değerleri alo 1 de verilen değerlerle karşılaştırıldığında, β=9 alınarak tahin edilen paraetre değerlerinin β=12 alınarak tahin edilen Mühendislik Bilileri Dergisi (2) Journal o Engineering Sciences (2)

6 Porla Metodu İle ahin Edilen Ara Model Paraetreleri Üzerinde Pencere Fonksiyonlarının Etkisi, Ş. Özer, K. Güney paraetre değerlerinden çok daha iyi olduğu açıkça görülektedir. Benzer şekilde, dördüncü dereceden siste ve üçgen pencere onksiyonu için L=100 yerine L=200 olarak alındığında daha uzun ir hesaplaa süresinde a 1, a 2, a 3, a 4, 0, 1, 2, 3 ve 4 için sırasıyla ağıl hata değerleri 40.74, 4.41, 2.51, 10.77, 7.28, 6.95, 3.13, 4.27 ve 9.34 olarak ulunuş olup u sonuçlar da alo 2 de verilen sonuçlardan çok daha iyidir. İkinci dereceden siste ve üstel pencere onksiyonu için µ=0.96 olarak değil de 0.99 olarak alındığında ağıl hata değerleri, a 1, a 2, 0, 1 ve 2 için sırasıyla 2.31, 0.96, 2.12, 0.03 ve 0.63 olarak elde ediliştir ve u hata değerleri alo 1 de verilen değerlerden daha düşüktür; µ=0.89 olarak alındığında ise ağıl hata değerleri, a 1, a 2, 0, 1 ve 2 için sırasıyla 14.9, 6.37, 0.29, 3.77 ve 4.45 olarak ulunuş ve u hata değerleri de alo 1 de verilen değerlerden daha üyüktür. Sonuç olarak, pencere onksiyonlarının paraetre değerleri değiştirilerek alo 1-2 de verilen sonuçlardan daha iyi veya daha kötü sonuçları PORLA etodu ile elde etek ükündür. Ancak, özellikle süreksizlik noktaları yakınında osilasyonların az oluştuğu ve geçiş andlarının keskin oladığı yeterli veriye sahip herhangi ir dereceden sistee ait ARMA odel paraetreleri tü pencere onksiyonları ile çok iyi tahin edildiğinde, pencere onksiyonlarının paraetre değerlerinin değiştirilesinin tahin sonuçlarını pek azla etkileediği de gözleniştir. Pencere onksiyonlarının peroransını, ana-hüze genişliği, aksiu yan-hüze yüksekliği ve eşdeğer gürültü and genişliği gii aktörler etkileektedir. En önelisi, dar ana-hüze iyi ir seçicilik sağlaaktadır. 5. SONUÇ Bu çalışada, PORLA etodu ile ARMA odel paraetreleri tahin ediliştir. Klasik algoritalarda görülen, zaanla yuvarlata hatalarının irikesi seeiyle oluşan paraetre izlee yeteneği kayına PORLA etodunda rastlanaıştır. Ayrıca diğer klasik algoritalarla karşılaştırıldığında, zaan ardışıının sadece giriş verilerinin kovaryans lok atrisi oluşturulurken gerçekleşesi ve una ağlı olarak işle sayısının azalası, PORLA etoduna yüksek ir hız kazandırakta ve u duru PORLA etodunu gerçek zaan uygulaalarında daha çekici hale getirektedir. ARMA odel paraetreleri tahin edilirken, dikdörtgen, üçgen, Bartlett, Hanning, Haing, üstel, değiştiriliş Barnwell, Blackan ve Kaiser gii dokuz arklı pencere onksiyonu kullanılıştır. Bu pencere onksiyonlarının paraetre değerleri değiştirilerek, iyi veya kötü yönde çok arklı değerlerde ARMA odel paraetrelerinin tahininin yapılaildiği tespit ediliştir. Sonuç olarak, PORLA etodu ile ARMA odel paraetrelerinin tahininin, pencere onksiyonlarının paraetrelerine çok duyarlı olduğu görülüştür. 6. KAYNAKLAR Kayran, A.H Sayısal İşaret İşlee, İÜ. Kunt, M Digital Signal Processing, Artech House, Norwood, MA. Oppenhei, A.V. and Schaer, R.W Discrete ie Signal Processing, Prentice Hall, New Jersey. Proakis, J.G. and Manolakis, D.G Digital Signal Processing, Prentice Hall, New Jersey. Söderströ,. and Stoica, P Syste Identiication, Prentice Hall, Caridge. Stroach, P Pure Order Recursive Least- Squares Ladder Algoriths, IEEE ransaction on Acoustics, Speech, and Signal Processing, 34, Stroach, P Recursive Covariance Ladder Algoriths or ARMA Syste Identiication, IEEE ransaction on Acoustics, Speech, and Signal Processing, 36, Mühendislik Bilileri Dergisi (2) Journal o Engineering Sciences (2)