ÖZEL EGE LİSESİ BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Sıla Avar DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem Günel İZMİR 2012
İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI.. 3 2. GİRİŞ... 3 3. YÖNTEM. 3 4. ÖN BİLGİLER... 3 5. BİR SAYININ ÖZÜ İLE TOPLAMA VE ÇARPMA... 5 6. BİR SAYININ ÖZÜ İLE ÇIKARMA VE BÖLME... 9 7.SONUÇLAR... 11 TEŞEKKÜR 12 KAYNAKLAR. 12 2
1. PROJENİN AMACI Herhangi bir pozitif tam sayının rakamlar toplamı alınsın. Elde edilen sayı, tek basamaklı değilse bu işlem tekrar edilsin. Sonuç olarak, elde edilen tek basamaklı sayıya, bu doğal sayının özü diyelim. Bir A Z + sayısının özü öz(a) ile gösterilsin. Bu projenin esas amacı, 1. A 1, A 2,, A n Z + olmak üzere a) öz(a 1 + A 2 + + A n ) = öz(öz(a 1 ) + öz(a 2 ) + +öz(a n )), b) öz(a 1 A 2 A n ) = öz(öz(a 1 ) öz(a 2 ) öz(a n )), 2. A 1, A 2 Z + olsun. Eğer A 1 > A 2 ve öz(a 1 ) > öz(a 2 ) ise, öz(a 1 A 2 ) = öz(a 1 ) öz(a 2 ), 3. A 1, A 2 Z + olsun. A 2, A 1 i ve öz(a 2 ), öz(a 1 ) i kalansız böldüğü takdirde öz A 1 öz(a 1) A 2 öz(a 2 ) olduğunu ispatlamaktır. 2. GİRİŞ Modüler aritmetik konusu üzerine çalışırken; özel koşullar altında iki sayıya toplama, çıkarma veya çarpma işlemlerinden herhangi biri uygulandığında, elde edilen sayının özünün, sayılar aynı işlemden geçirildiği takdirde çıkan sayının özüne eşit olabileceğini fark ettim. Bu hipotezin n tane sayı üzerinde de sağlanabileceğini ispatlayarak bu projeyi hazırladım. Ayrıca toplama, çıkarma veya çarpma işlemleri üzerinde elde ettiğim sonuçların bölme işlemi üzerinde sağlamadığını göstererek örnekler üzerinde çalıştım. 3. YÖNTEM Bu çalışma boyunca doğrudan ispat, ters örnek ile ispat ve tümevarım ile ispat yöntemleri ile sonuca ulaştım. 4. ÖN BİLGİLER TANIM 4.1 m pozitif bir tam sayı olsun. a, b Z için a b sayısı m sayısına bölünüyor ise a ve b sayıları modül m ye göre denktir denir ve a b (mod m) şeklinde gösterilir (Özdemir, 2010; Yücesan 2007). 3
TEOREM 4.2 m pozitif bir tam sayı olsun. 1. a b (mod m) ise b a (mod m) dir 2. a b (mod m) ve b c (mod m) ise, a c (mod m) dir. 3. a b (mod m) ve c d (mod m) ise a ± c b ± d (mod m) dir. 4. a b (mod m) ise, c Z olmak üzere ca cb (mod m) dir. 5. a b (mod m) ve c d (mod m) ise a. c b. d (mod m) dir. 6. a b (mod m) ise n herhangi bir pozitif tam sayı olmak üzere a n b n (mod m) dir. (Yücesan, 2007.) TANIM 4.3 Herhangi bir pozitif tam sayının rakamlar toplamı alınsın. Elde edilen sayı, tek basamaklı değilse bu işlem tekrar edilsin. Sonuç olarak, elde edilen tek basamaklı sayıya, bu doğal sayının özü diyelim. Bir A Z + sayısının özü öz(a) ile gösterilsin. ÖRNEKLER 4.4 1. A = 5 olsun. öz(a) = 5 olduğu açıktır. 2. A = 23 olsun. A = 23 2 + 3 = 5 öz(a) = 5 3. A = 1289 olsun. A = 1289 1 + 2 + 8 + 9 = 20 20 2 + 0 = 2 2 4. A = 458901 olsun. öz(a) = 2 A = 458901 4+5+8+9+0+1 = 27 27 2+7= 9 öz(a) öz(a)=9 = 9 4
Şimdi, pozitif bir tam sayının özünün dört işlem üzerindeki sonuçlarını görelim. 5. BİR SAYININ ÖZÜ İLE TOPLAMA VE ÇARPMA Aşağıdaki örneklerde gösterildiği gibi 2 tane pozitif tam sayının eşittir. toplamlarının özü, sayıların özlerinin toplamından elde edilen sayının özüne, çarpımlarının özü, sayıların özlerinin çarpımlarından elde edilen sayının özüne ÖRNEK 5.1 öz(12 + 53) = öz(65) = 2 öz öz(12) + öz(53) = öz(3 + 8) = öz(11) = 2 ÖRNEK 5.2 öz(12 52) = öz(624) = 3 öz öz(12) öz(52) = öz(3 7) = öz(21) = 3 Şimdi, bu kuralı genelleştirip ispatlayalım. Öncelikle, bu kuralın ispatında bize yardımcı olacak aşağıdaki iki yardımcı teoremi kanıtlayalım: YARDIMCI TEOREM 5.3 A Z + ise dur. Diğer bir deyişle, bir pozitif tam sayının özü, o sayının mod 9 daki değerine denktir. İSPAT: A öz(a) (mod 9) A = a n 1 a n 2 a 2 a 1 a 0 bir n basamaklı doğal sayı olsun. A nın özünü elde etmek için bir defa rakamlar toplamını almak yeterli olsun. Yani, bu sayının rakamlar toplamından elde edilen sayı, tek basamaklı olsun. O halde, öz(a) = a n 1 + a n 2 + + a 2 + a 1 + a 0 5
dır. Diğer taraftan, A = 10 n 1 a n 1 + 10 n 2 a n 2 + + 10 1 a 1 + a 0 olduğundan A a n 1 + a n 2 + + a 2 + a 1 + a 0 (mod9) elde edilir. O halde, A öz(a) (mod 9) dır. A nın özünü elde etmek için k defa rakamlar toplamı alınması gereksin ve olduğunu kabul edelim. A öz(a) (mod 9) A nın özünü elde etmek için k + 1 defa rakamlar toplamı alınması gereksin. A sayısının rakamlar toplamına B diyelim. Yani, B = a n 1 + a n 2 + + a 2 + a 1 + a 0 olsun. A sayısının özünü bulmak için B sayısının k defa rakamlar toplamı alınması gerekir. Yani, B sayısının özü bulunmalıdır. Tümevarım adımından B sayısının mod 9 daki değeri, B sayısının özüne denktir. Diğer yandan, A sayısı A = 10 n 1 a n 1 + 10 n 2 a n 2 + + 10 1 a 1 + a 0 şeklinde yazıldığında A B (mod 9) olduğu açıktır. O halde, A B öz(b) öz(a) (mod 9) elde edilir. YARDIMCI TEOREM 5.4 A 1, A 2 Z + olsun. dir. A 1 A 2 (mod 9) ise öz(a 1 ) = öz(a 2 ) eşittir. Diğer bir deyişle, iki pozitif tam sayının mod 9 daki değerleri denk ise o sayıların özleri 6
İSPAT: A 1, A 2 Z + olmak üzere A 1 A 2 (mod 9) olsun. Yardımcı Teorem 5.3 den A 1 öz(a 1 ) (mod 9) A 2 öz(a 2 ) (mod 9) olduğundan öz(a 1 ) A 1 A 2 öz(a 2 ) (mod 9) elde edilir. Şimdi, yukarıdaki yardımcı teoremleri kullanarak ispatlamak istediğimiz asıl kuralı kanıtlayalım. TEOREM 5.5 A 1, A 2,, A n Z + olmak üzere dir. a) öz(a 1 + A 2 + + A n ) = öz(öz(a 1 ) + öz(a 2 ) + +öz(a n )), b) öz(a 1 A 2 A n ) = öz(öz(a 1 ) öz(a 2 ) öz(a n )) İSPAT: İspatı tümevarım ile yapalım. A 1, A 2,, A n Z + olsun. Önce n = 2 için önermenin doğru olduğunu görelim. Yani, öz(a 1 + A 2 ) = öz(öz(a 1 ) + öz(a 2 )) olduğunu gösterelim. Yardımcı Teorem 5.3 den A 1 öz(a 1 ) (mod9) A 2 öz(a 2 ) (mod 9) olduğundan A 1 + A 2 öz(a 1 ) + öz(a 2 ) (mod 9) 7
elde edilir. O halde, Yardımcı Teorem 5.4 den dir. öz(a 1 + A 2 ) = öz öz(a 1 ) + öz(a 2 ) n = k için önermenin doğru olduğunu kabul edelim. n = k + 1 için önermenin doğru olduğunu ispatlayalım: n = 2 durumundan öz((a 1 + A 2 + + A k ) + (A k+1 )) = öz(öz(a 1 + A 2 + + A k ) + öz(a k+1 )) olduğu açıktır. Diğer taraftan tümevarım adımından öz(öz(a 1 + A 2 + + A k ) + öz(a k+1 )) = öz(öz(öz(a 1 ) + öz(a 2 ) + + öz(a k )) + öz(a k+1 )) = öz(öz(a 1 ) + öz(a 2 ) + + öz(a k ) + öz(a k+1 )) Benzer şekilde, n tane doğal sayının çarpımlarının özünün sayıların özlerinin çarpımlarından elde edilen sayının özüne eşit olduğu gösterilebilir. SONUÇ 5.6 Bir A pozitif tam sayısının n Z + olmak üzere n. kuvvetinin özü, A nın özünün n. kuvvetinin özüne eşittir. Yani, dir. öz(a n ) = öz(öz(a) n ) İSPAT: A bir pozitif tam sayı ve n Z + olmak üzere Teorem 5.5 b) şıkkından elde edilir. öz(a n ) = öz A A A = öz öz(a) öz(a) öz(a) = öz(öz(a) n ) n kez n kez ÖRNEK 5.7 öz(12 3 ) = öz(1728) = 9 öz((öz(12)) 3 ) = öz(3 3 ) = öz(27) = 9 8
6. BİR SAYININ ÖZÜ İLE ÇIKARMA VE BÖLME Bu bölümde, bir sayının özü yardımı ile çıkarma ve bölme işlemleri üzerinde toplama veya çarpma işlemleri üzerinde elde ettiğimiz kurala benzer bir kural elde etmeye çalışıldı. Ancak, belirli kısıtlamalar ile çıkarma işlemi üzerinde bir kural elde ederken, bölme işlemi üzerinde böyle bir kural yazılamayacağı ters bir örnekle gösterildi. ÖRNEK 6.1 öz(98 60) = öz(38) = 2 öz öz(98) öz(60) = öz(8 6) = 2 TEOREM 6.2 A 1, A 2 Z + olsun. Eğer A 1 > A 2 ve öz(a 1 ) > öz(a 2 ) ise, dir. öz(a 1 A 2 ) = öz(a 1 ) öz(a 2 ) İSPAT: A 1, A 2 Z +, A 1 > A 2 ve öz(a 1 ) > öz(a 2 ) olsun Yardımcı Teorem 5.3 den A 1 öz(a 1 ) (mod9) A 2 öz(a 2 ) (mod 9) olduğundan öyle bir k Z + ve öyle bir t Z + için A 1 = 9k + öz(a 1 ) A 2 = 9t + öz(a 2 ) elde edilir. A 1 > A 2 ve öz(a 1 ) > öz(a 2 ) olduğundan A 1 A 2 = 9(k t) + öz(a 1 ) öz(a 2 ) dir. O halde A 1 A 2 öz(a 1 ) öz(a 2 ) (mod9) bulunur. Yardımcı Teorem 5.4 den öz(a 1 A 2 ) = öz(öz(a 1 ) öz(a 2 )) (mod9) elde edilir. 9
Diğer yandan, bir pozitif doğal sayının özü 1 den 9 a kadar değer alabileceğinden ve öz(a 1 ) > öz(a 2 ) olduğundan, öz(a 1 ) öz(a 2 ) sadece 1 den 8 e kadar değerler alabilir. 1 ile 9 arasındaki sayıların özleri kendilerine eşit olacağından, dir. Sonuç olarak, elde edilir. öz öz(a 1 ) öz(a 2 ) = öz(a 1 ) öz(a 2 ) öz(a 1 A 2 ) = öz(a 1 ) öz(a 2 ) (mod9) UYARI 6.3 Yukarıdaki teoremde öz(a 1 ) > öz(a 2 ) koşulu zorunludur. Aksi takdirde, aşağıdaki örnekte gösterildiği gibi öz(a 1 A 2 ) = öz(a 1 ) öz(a 2 ) durumu gözlenemez. ÖRNEK 6.4 öz(55) = öz(10) = 1 iken öz(55 10) = öz(45) = 9 öz(55) öz(10) = 1 1 = 0 UYARI 6.5 A 1, A 2 Z + olsun. A 2, A 1 i veya öz(a 2 ), öz(a 1 ) i kalansız bölmediği takdirde öz A 1 A 2 öz(a 1) öz(a 2 ) olduğu açıktır. Her ikisi de kalansız bölünmesine rağmen öz A 1 öz(a 1) A 2 öz(a 2 ) olabileceği ORNEK 6.6 da gösterilmiştir. ÖRNEK 6.6 öz 54 18 = 3 10
öz(54)/öz(18) = 9/9 = 1 7. SONUÇLAR a) Özü 9 olan bir pozitif tamsayı 9 ve 3 ile bölünür, b) Herhangi bir pozitif tam sayının özü 9 dan farklı ise, sayının özü o sayının 9 ile bölümünden kalana eşittir. c) Özü 3 olan bir sayı 3 ile bölünür. d) Herhangi bir pozitif tam sayının özü 3 den küçük ise, sayının özü o sayının 3 ile bölümünden kalana eşittir. İSPAT: a) öz(a) = 9 ise Yardımcı Teorem 5.3 den A 9 0 (mod 9) olduğundan k Z olmak üzere A = 9k dır. O halde A sayısı hem 9 hem de 3 ile bölünür. b) öz(a) = n < 9 ise Yardımcı Teorem 5.3 den A n (mod 9) dur. Yani, k Z olmak üzere A = 9. k + n biçimindedir. O halde, A nın 9 ile bölümünden kalan öz(a) dır. c) öz(a) = 3 ise Yardımcı Teorem 5.3 den A 3 (mod 9) olduğundan k Z olmak üzere A = 3k dır. O halde A sayısı 3 ile bölünür. d) öz(a) = n < 3 ise Yardımcı Teorem 5.3 den A n (mod 9) dur. Yani, k Z olmak üzere A = 9. k + n biçimindedir. O halde, A nın 3 ile bölümünden kalan öz(a) dır. ÖRNEK 7.1 a) 182547 sayısının özü 9 olduğundan 9 ve 3 ile bölünür. b) 1340012 sayısının özü 2 olduğundan 9 ve 3 ile bölümlerinden kalan 2 dir. Son olarak bulduğumuz sonuçlar yardımıyla aşağıdaki soruyu işlemleri hesap etmeden öz yardımı ile bulalım. SORU: ((723 26-111) 1202+13) 2 + 152 sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır? ÇÖZÜM: öz(723 26)=öz(3 8)=6 ve öz(111)=3 olduğundan, öz(723 26-111)=3 dir. Diğer taraftan öz(1202)=5 ve öz((723 26-111) 1202)=öz(3 5)=6 olur. 11
öz(13)=4 olduğundan, öz(((723 26-111) 1202+13) 2 )=öz((öz(10)) 2 )=1 olur. öz(152)=8 olduğundan, öz (((723 26-111) 1202+13) 2 + 152) = öz(1+8) =9 dur. O halde bu sayının 9 ile bölümünden kalan 0 dır. TEŞEKKÜR Proje çalışmamın her anında desteklerini ve yardımlarını esirgemeyen proje danışmanım Dr. Gizem GÜNEL e, her zaman arkamda olduklarını bildiğim değerli aileme ve beni yönlendiren değerli öğretmenlerime teşekkür ederim. KAYNAKLAR Özdemir,M.,(2010), Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık, Altın Nokta Yayınları, İzmir. Yücesan,R., (2007), Meraklısına Lise Matematik, Zambak Yayınları, İzmir. 12