İSTATİSTİK ARAŞTIRMA DERGİSİ Journal of Statistical Research

TÜİK İSTATİSTİK ARAŞTIRMA DERGİSİ Journal of Statistical Research Cilt-Volume: 07 Sayı-Number: 0 Temmuz-July 00 ISSN 303-639 TÜRKİYE İSTATİSTİK KURUMU Turkish Statistical Institute

TÜİK İSTATİSTİK ARAŞTIRMA DERGİSİ Journal of Statistical Research Cilt-Volume: 07 Sayı-Number: 0 Temmuz-July 00 TÜRKİYE İSTATİSTİK KURUMU Turkish Statistical Institute

İSTATİSTİK ARAŞTIRMA DERGİSİ 00 Journal of Statistical Research Yayın istekleri için Döner Sermaye İşletmesi For publication order Revolving Fund Management Tel: + (3) 45 34 3-40 05 96-40 0 85 Fax: + (3) 47 58 86 Yayın içeriğine yönelik sorularınız için Dergi Editörlüğü For questions about contents of the publication Journal Editorship Tel: + (3) 40 03 75-84 45 00/7 Fax: + (3) 45 34 05 İnternet http://www.tuik.gov.tr E-posta dergi@tuik.gov.tr Internet http://www.turkstat.gov.tr E-mail journal@tuik.gov.tr Yayın No Publication Number 3466 ISSN 303-639 Türkiye İstatistik Kurumu Turkish Statistical Institute Yücetepe Mah. Necatibey Cad. No: 4 0600 Çankaya-ANKARA / TÜRKİYE Bu yayının 5846 Sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunu na göre her hakkı Türkiye İstatistik Kurumu Başkanlığına aittir. Gerçek veya tüzel kişiler tarafından izinsiz çoğaltılamaz ve dağıtılamaz. Turkish Statistical Institute reserves all the rights of this publication. Unauthorised duplication and distribution of this publication is prohibited under Law No: 5846. Türkiye İstatistik Kurumu Matbaası, Ankara Turkish Statistical Institute, Printing Division, Ankara Tel: 03 40 0 64 * Fax: 03 48 50 8 Haziran 00 June 00 MTB: 00-563 - 435 Adet-Copies ISBN 978-975-9-488-

Foreword Önsöz statistik Aratrma Dergisi nin Deerli Okuyucular, Dergi editörü ve editör yardmclar olarak, statistik Aratrma Dergisi nin yedinci cildi birinci saysn yaymlamaktan ve sizlerin kullanmna sunmaktan dolay kvanç duymaktayz. Dergi mizin bu saysna, istatistik biliminin deiik alanlarnda gerçekletirdikleri kuramsal ve uygulamal çalmalaryla katkda bulunmu bilim insanlarna ve aratrmaclarna, Dergi miz araclyla görülerini bizimle paylama olana verdikleri için her birine teekkür etmeyi bir borç biliriz. Hemen her Dergi önsözünde gündeme getirdiimiz baz makale taslaklarnn deerlendirme sürecinde görev alm hakemlerimizin, raporlarn öngörülen zamandan ya çok geç göndermeleri ya da hiç göndermemeleri konusu maalesef bu sayda da yaanmtr. Hakem deerlendirme süreci için Klavuz da da belirtilen süreler esas alnarak beklenmekte ve öngörülen süreyi am olan hakem veya hakemler telefonla ya da mesaj yolu ile aranarak, hatrlatmada bulunulmakta ya da yeni bir hakem atamas yaplmaktadr. Dolaysyla, deerlendirme süreci bu gerekçelerle planlanan sürenin oldukça üzerine çkmaktadr. Tüm olumsuzluklara ramen Dergi mize olan talebin artan bir eilim içinde devam etmesi nedeniyle, 007 yl saysnda balatlan ylda bir say yaymlanmas uygulamasna son verilerek, ylda iki say biçiminde yaymlanma geleneine dönülmesi planlanmaktadr. Dergi mizin bu saysnda yaymlanmasna karar verilen makale says 3 tür. Önceki yllarda ve geçtiimiz yl içinde gönderilen, hala bilimsel süreçte olan makale says 4 tür. Yazarnca geri çekilen çalma says dir. Reddedilen çalma says ise 3 tür. 009-00 döneminde gönderilmi olan çalma says 5 tir. Bu istatistiklerden de anlalaca gibi, çok sayda makale tasla hakem deerlendirme sürecindedir. Ancak, Dergi mize olan talepteki art da dikkati çekmektedir. Bu ilginin artan bir yap içinde sürdürülebilmesi için bizlere ve siz deerli bilim insanlarmza önemli görev ve sorumluluklar dümektedir. Bu konuda yapacanz her türlü yapc öneriye açk olduumuzu ve önerilerinizi dergi@tuik.gov.tr e-posta adresine iletmenizi beklediimiz hususlarn özellikle hatrlatmak isterim. Dergi mizin bu saysnda makalelerin bilimsel yönden deerlendirilmesinde büyük özveriyle katk salam olan tüm hakemlere minnet ve ükranlarm sunmay bir borç bilirim. Dergi nin her aamasnda vermi olduu destek ve katklar için TÜK Bakan Vekili Sayn A. Ömer TOPRAK a, Dergi nin basm sürecinin her aamasnda salam olduu katklarndan dolay Editör Yardmclar Sayn TÜK Uzman Sevil UYGUR a, Sayn Dr. Özlem LK e ve emei geçen tüm TÜK çalanlarna içtenlikle teekkür ederim. Dier saylarda bulumak dileiyle sayglar sunarm. Prof. Dr. Fetih YILDIRIM Dergi Editörü III

Sahibi Owner Türkiye statistik Kurumu Adna On Behalf of Turkish Statistical Institute A. Ömer TOPRAK A. Ömer TOPRAK Türkiye statistik Kurumu Bakan Acting President, Turkish Statistical Vekili Institute Editör Fetih YILDIRIM Editör Yardmcs ve Dil Editörü Sevil UYGUR Editör Yardmcs Özlem LK Editor Fetih YILDIRIM Assistant Editor and Language Editor Sevil UYGUR Assistant Editor Özlem LK V

Contents İçindekiler Sayfa Page ÖNSÖZ ÇNDEKLER III VII FOREWORD CONTENTS AMAÇ, KAPSAM, LKELER IX AIM, TARGET, PRINCIPLES HAKEM LSTES XI REFEREE LIST Tabakal Tesadüfi Örneklemede Dorusal Olmayan Maliyet Kstlar Altnda Örnek Hacminin Tabakalara Datlmas S. Tuba AHN Kapsaml Bir çerikle Ön Dalm Türleri Oya EKC Kümeleme Çözümlemesinde Düzeltilmi Tek Adm M-Tahmin Edicisinin Kullanlmas A. Frat ÖZDEMR, Engin YILDIZTEPE The Allocation of Sample Size into Strata in Stratified Random Sampling under Non-linear Cost Constraints S. Tuba AHN 8 Prior Distribution Classes with Comprehensive Coverage Oya EKC 4 Cluster Analysis with Modified One-Step M-Estimator A. Frat ÖZDEMR, Engin YILDIZTEPE Deiim Katsaylarnn Eitliine likin Testlerin I. Tip Hata ve Güç Bakmndan Karlatrlmas Nihan POTAS, Hamza GAMGAM Biyokimyasal Reaksiyonlar için Stokastik Simüasyon Algoritmalarna Genel Bir Bak Vilda PURUTÇUOLU Çoklu Dorusal Regresyonda Etkili Gözlem Gruplarnn Saptanmas için Kullanlan Tan Yöntemlerinin Karlatrlmas Irmak ACARLAR, Hamza GAMGAM Türk Reel Sektörü için Karlatrmal Etkinlik Ölçümü: Veri Zarflama Analizi Uygulamas A. Argun KARACABEY, Fazl GÖKGÖZ Yangn Ekiplerinin Konumlarnn Yöneylem Aratrmas ve Corafi Bilgi Sistemleri Kullanlarak Belirlenmesi: zmir Örnei Nurcan TEMZ, Vahap TECM 55 70 83 00 7 Comparison of the Tests for the Equality of Coefficients of Variation in Terms of Type I Error and Power Nihan POTAS, Hamza GAMGAM An Overview to Stochastic Simulation Algorithms for Biochemical Systems Vilda PURUTÇUOLU Comparison of Diagnostic Methods for Detecting Influential Sets in Multiple Linear Regression Irmak ACARLAR, Hamza GAMGAM A Comparative Efficiency Measurement for the Turkish Real Sector: An Application of Data Envelopment Analysis A. Argun KARACABEY, Fazl GÖKGÖZ Determination of Fire Crews Locations Using Operations Research and Geographical Information Systems: zmir Case Nurcan TEMZ, Vahap TECM VII

İçindekiler Contents Sayfa Page Türkiye de Enflasyon Katlnn Aratrlmas: Parametrik Olmayan Bir Yaklam Saygn AHNÖZ, Bedriye SARAÇOLU Tekrar Satlabilir Ürünler için Gazeteci Çocuk Probleminin Çelien Amaçlar Altnda ncelenmesi Umay UZUNOLU KOÇER, Mutlu KARA 33 Investigating Inflation Persistence in Turkey: A Non-Parametric Approach Saygn AHNÖZ, Bedriye SARAÇOLU 46 The Newsvendor Problem for Resalable Products with Conflicting Objectives Umay UZUNOLU KOÇER, Mutlu KARA Malmquist Endeksi ile 5 Ülkenin Ortaöretim Performansnn Deerlendirilmesi brahim DEMR, Özer DEPREN Türkiye de Matematik Baarsnn ki Aamal Bernoulli Modeli Kullanlarak ncelenmesi brahim DEMR, Serpil KILIÇ 64 75 Assessing Secondary School Performances of 5 Countries Using Malmquist Index brahim DEMR, Özer DEPREN Examining of Mathematics Achievement in Turkey Using Two Level Bernoulli Model brahim DEMR, Serpil KILIÇ Tek Deikenli Zaman Serilerinde Model Seçim Ölçütleri Üzerine Bir nceleme Hilal GÜNEY, Reat KASAP 86 Examining Model Selection Criteria for Single Variable Time Series Hilal GÜNEY, Reat KASAP VIII

Aim, Target, Principles Amaç, Kapsam, İlkeler Amaç ve Kapsam statistik Aratrma Dergisi (AD), istatistiki aratrmalarn niteliinin yükseltilmesi, istatistik yöntem ve uygulamalarnn gelitirilmesi, literatürde yer alan çalmalarn tartlmas, istatistik uygulamalaryla ilgili anket çalmalarnn ele alnmas, kuramsal ve uygulama alanndaki aratrmaclar arasnda iletiimin ortak çalma ve yaynlarla güçlendirilmesi amacyla, yaymlanan bir dergidir. AD nin kapsamnda yer alan tematik konular aada özet olarak verilmitir. Bankaclk, Finans, Sigortaclk, Aktüerya ve Risk Yönetimi; Bayesci statistik; Benzetim Teknikleri; Bilgi Sistemleri; Biyoistatistik; Bulank Teori; Demografi; Deney Tasarm ve Varyans Analizi; Ekonometri; Genel Saymlar ve Deerlendirmeleri; statistik Eitimi; statistik Etii; statistik Kuram; statistiksel Kalite Kontrolü; Kamuoyu ve Piyasa Aratrmalar; Klinik Denemeler; Mühendislikte statistik Uygulamalar; Olaslk ve Stokastik Süreçler; Optimizasyon; Örnekleme ve Aratrma Tasarmlar; Parametrik Olmayan statistiksel Yöntemler; Resmi statistikler; Toplum Bilimlerinde statistik; Veri Analizi ve Modelleme; Veri Madencilii; Veri Yönetimi ve Karar Destek Sistemleri; Verimlilikte statistiksel Yaklamlar; Yönetsel Süreçlerde Performans Analizi; Yöneylem Aratrmas; Zaman Serileri; Dier statistiksel Yöntemler gibi istatistiin her dalnda yeni bilgi üretimine yönelik tüm aratrmalar. Makale Dili ve Genel Kurallar Bu yaynn 5846 Sayl Fikir ve Sanat Eserleri Kanunu na göre her hakk Babakanlk Türkiye statistik Kurumu Bakanlna aittir. Gerçek veya tüzel kiiler tarafndan izinsiz çoaltlamaz ve datlamaz. Makale taslaklar WORD yazm dilinde, Times New Roman yaz tipinde, punto büyüklükte, satrlar arasnda bir satr boluk braklarak yazlmal, ekil ve grafikler JPG dosyalar olarak hazrlanmaldr. Sayfa boyutunda; soldan 3,5 cm, sadan, yukardan ve aadan,5 cm boluk braklmaldr. Ana bölüm balklarnn tümü büyük harf, punto büyüklükte, koyu, ortal ve Arap rakamlar ile numaralandrlarak; alt bölüm balklarnda ise sadece kelimelerin ba harfleri büyük dierleri küçük harfle, punto büyüklükte, koyu, sola dayal ve ana bölüm balna endeksli olarak Arap rakamlar ile numaralandrlarak yazlmaldr. Makale tasla yazmnda, okuyucunun, çalmann her aamasn anlama ve deerlendirmesine olanak verecek bir anlatm ve plâna uyulmaldr. Anlatm olabildiince sade, anlalabilir, öz ve ksa olmaldr. Gereksiz tekrarlardan, desteklenmemi ifadelerden ve konu ile dorudan ilikisi olmayan açklamalardan kaçnlmaldr. Yazmda çok genel ifadeler kullanlmamaldr. Yarg veya kesinlik içeren ifadeler mutlaka verilerek/ referanslara dayandrlmaldr. Aratrmac/aratrmaclar tarafndan probleme, hangi kuramsal/kavramsal açdan yaklald, gerekçeleri ile birlikte belirtilmelidir Kullanlan aratrma yönteminin seçilme gerekçesi açklanmaldr. Bütün veri toplama araçlarnn geçerlilii ve güvenilirlii belirtilmelidir. Aratrma sonucunda elde edilen veriler bir bütünlük içinde sunulmaldr Sadece elde edilen verilere dayanan sonuçlar sunulmaldr Sonuçlarn yorumlar, varsa, literatürdeki dier kaynaklarla desteklenerek, deerlendirilmelidir. Yararlanlan kaynaklar, çalmann kapsamn yanstacak zenginlik ve yeterlikte olmaldr. Türkçe ve ngilizce özetler; çalmann amac, yöntemi, kapsam ve temel bulgularn içermelidir. Ayrntl bilgi için, www.tuik.gov.tr adresinden statistik Aratrma Dergisi Klavuzu na baknz. IX

Amaç, Kapsam, İlkeler Aim, Target, Principles Aim and Scope Journal of Statistical Research (JSR) is a refereed journal with a view to raise the quality of statistical researches, improve the statistical methodology and applications, discuss the related studies in literature, consider survey studies regarding statistical application and strengthen the communication between researchers in the field of theory and application by joint studies and publications. The contents of the Journal of Statistical Research are summarized below: Researches aimed at producing new knowledge in every field of statistics such as Banking, Finance, Insurance Trade, Actuarial and Risk Management; Bayesian Statistics; Biostatistics; Clinic Tests; Data Analysis and Modeling; Data Management and Decision Support Systems; Data Mining; Demography; Econometrics; Experimental Design and Variance Analysis; Fuzzy Theory; General Census and Evaluation; Information Systems; Non-Parametric Statistical Methods; Official Statistics; Operational Research; Optimization; Sampling and Research Designs; Performance Analysis in Managerial Process; Probability and Stochastic Processes; Public Opinion and Market Researches; Statistical Applications in Engineering; Statistical Approaches in Efficiency; Statistical Ethics; Statistical Quality Control; Statistical Training; Statistics in Social Science; Statistics Theory; Simulation Techniques; Time Series; Other Statistical Methods. Article Language and General Rules Prime Ministry, Turkish Statistical Institute reserves all the rights of this publication. Unauthorized duplication and distribution of this publication is prohibited under Law No: 5846. Article drafts should be prepared in WORD, using Times New Roman font, in point size, with a blank line in between lines. Figures and tables should be prepared as JPG files. On an A4 paper size; from left 3,5 cm, from right, top and bottom,5 cm margins should be set. Titles of the main sections should be all capitalized, in point size, bold, centered and numbered with Arabic numerals; only the first letter of the words in the titles of the subsections should be capitalized, with point size, bold, left centered and numbered with Arabic numerals indexed to the titles of the main sections. In article draft writing, writer should follow such a plan that reader should be able to understand and evaluate all the steps of the study. Narration should be as plain as possible, as well as comprehensible, compact and short. Unnecessary repetitions, unsupported declarations and explanations that are not in direct relation to the topic should be avoided. General statements should be avoided in writing. Statements that include judgment or facts must be supported by data/references. It should be stated, with justifications, from which theoretical/conceptual angle the researcher/researchers have approached the problem. The reason of why the employed research methodology is chosen should be explained. The validity and reliability of all the data collection tools should be presented. Data obtained in conclusion of the research should be presented in unity. Results that only rely on the obtained data should be presented. The interpretation of the results should be supported and evaluated by the other resources, if any, in the literature. Used resources should be in good wealth and proficiency that will reflect the scope of the study. The Turkish and English abstracts should include; the goal, methodology, scope and main findings of the study. Note: For detailed information, please see A Guide for Journal of Statistical Research at www.turkstat.gov.tr web site. X

Referee List Hakem Listesi DERG NN BU SAYISINA BLMSEL KATKI SALAYAN HAKEMLER- REFEREE WHO PROVIDE SCIENTIFIC CONTRIBUTIONS FOR THIS VOLUME Doç. Dr. Ali Hakan BÜYÜKLÜ Yldz Teknik Üniversitesi Prof. Dr. Ali Taylan ULA Yeditepe Üniversitesi 3 Prof. Dr. Aydn ERAR Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi 4 Prof. Dr. Ayen AKKAYA Orta Dou Teknik Üniversitesi 5 Prof. Dr. Ayen APAYDIN Ankara Üniversitesi 6 Doç. Dr. Birdal ENOLU Ankara Üniversitesi 7 Doç. Dr. Can Cengiz ÇELKOLU Dokuz Eylül Üniversitesi 8 9 0 Doç. Dr. Uzman Dr. Cem KADILAR Cengiz ERDOAN Cevriye AYSOY Hacettepe Üniversitesi Türkiye statistik Kurumu TC Merkez Bankas Dr. Ceylan YOZGATLIGL Orta Dou Teknik Üniversitesi Yrd. Doç. Dr. Dicle CENGZ stanbul Ticaret Üniversitesi 3 Prof. Dr. Fatin SEZGN Bilkent Üniversitesi 4 Prof. Dr. Fetih YILDIRIM Çankaya Üniversitesi 5 Prof. Dr. Haldun SÜRAL Orta Dou Teknik Üniversitesi 6 Prof. Dr. Hamza GAMGAM Gazi Üniversitesi 7 Prof. Dr. smail SALAM TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi 8 Prof. Dr. Kazm ÖZDAMAR Osmangazi Üniversitesi 9 Doç. Dr. Kvlcm METN ÖZCAN Bilkent Üniversitesi 0 Doç. Dr. Mehmet YAZICI Çankaya Üniversitesi Doç. Dr. Mine ÇALAR Koç Üniversitesi Prof. Dr. Mustafa AYTAÇ Uluda Üniversitesi 3 Prof. Dr. Olcay ARSLAN Çukurova Üniversitesi 4 Uzman Sevil UYGUR Türkiye statistik Kurumu 5 Yrd. Doç. Dr. Suat KASAP Hacettepe Üniversitesi 6 Prof. Dr. Süleyman GÜNAY Hacettepe Üniversitesi 7 Prof. Dr. Ümit YÜCEER Çankaya Üniversitesi 8 Dr. Vilda PURUTÇUOU Orta Dou Teknik Üniversitesi 9 Prof. Dr. Ylmaz AKD Ankara Üniversitesi XI

Volume: 07 Number: 0 Category: 0 Page: -7 ISSN No: 303-639 Cilt: 07 Sayı: 0 Kategori: 0 Sayfa: -7 TABAKALI TESADÜF ÖRNEKLEMEDE DORUSAL OLMAYAN MALYET KISITLARI ALTINDA ÖRNEK HACMNN TABAKALARA DAITILMASI S. Tuba AHN ÖZET Bu çalmada, Tabakal Tesadüfi Örneklemede kitleden seçilen n hacimli örnein, sabit bir bütçe altnda tabakalara optimum ekilde datlmas incelenmitir. Bu datm yaplrken iki farkl dorusal olmayan maliyet fonksiyonu kullanlmtr. Ayrca ele alnan iki farkl dorusal olmayan maliyet kst altnda hangi durumlarda örnek ortalamas istatistiinin varyansnn minimum olduu incelenmitir. Dorusal olmayan maliyet kstlar kullanldnda örnek hacminin tabakalara datlmas, dorusal maliyet kst kullanldndaki duruma göre daha zor ve zaman alcdr. Bu çalmada, hem amaç fonksiyonunun, hem de maliyet kstlarnn dorusal olmad durum dikkate alnarak, kitleden seçilen n hacimli örnein tabakalara nasl datld ve örnek ortalamas istatistiinin varyansn nasl etkiledii simülasyon çalmas ile incelenmitir. Anahtar Kelimeler: Dorusal olmayan maliyet fonksiyonu, Optimum datm, Tabakal tesadüfi örnekleme.. GR Tabakal tesadüfi örneklemede en önemli problem kitleden seçilen n hacimli örnein, örnek ortalamas istatistiinin varyansn minimum yapacak ekilde tabakalara datlmasdr. Bu datm için baz temel yöntemler verilmitir. Tabaka büyüklükleri eit olduunda eit datm, tabaka büyüklükleri farkllk gösterdiinde orantl datm, tabaka büyüklükleri ve tabaka varyanslar birbirinden farkl ise Neyman datm, tabaka büyüklükleri ve tabaka varyanslarnn farkl olmasnn yannda her tabakadan birim seçme maliyeti ya da tabakadan tabakaya seyahat maliyeti farkllk gösteriyorsa en uygun datm yöntemlerinin kullanlmas önerilmektedir (Yamane, 967). yi bir datm ile, minimum maliyete karn maksimum duyarlln elde edilmesi kastedilmektedir. Baz durumlarda sabit bir bütçe ile alan çalmas yapmak gerekebilir. En uygun datm yöntemi, n birimlik örnei belli bir maliyet fonksiyonu altnda, varyans minimum yapacak ekilde tabakalara datm temeline dayanmaktadr. Örnek hacminin tabakalara datm için genellikle dorusal maliyet kst kullanlmaktadr. Dorusal maliyet kstnn kullanlmasnn temelinde, tabakadan seçilecek bir birimin maliyet fonksiyonu üzerine etkisinin bir birim art olarak dikkate alnmas yatmaktadr. Bununla birlikte, her zaman her tabakadan bir birim seçmenin ya da her tabakaya seyahat etmenin, maliyet fonksiyonu üzerine etkisi bir birim art olarak yansmayabilir. Göz önüne alnmas gereken ek maliyetlerle tabakalardan bir birim S. Tuba ahin, Gazi Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi, statistik Bölümü, Teknikokullar, Ankara, e-posta: sinemsahin@gazi.edu.tr

S. Tuğba ŞAHİN seçmenin maliyet fonksiyonu üzerine etkisi, bir birim arttan fazla ya da bir birim seçmenin maliyet fonksiyonu üzerine etkisi, bir birim arttan az olabilir. Bu gibi durumlarda, kitleden seçilen n hacimli örnei dorusal maliyet kst altnda tabakalara datmak uygun olmayacaktr. Tabakalardan seçilecek örnek hacimlerinin belirlenmesi, eitlik kstl bir optimizasyon problemidir ve çözüm için genellikle Lagrange çarpanlar yöntemi kullanlr. Maliyet fonksiyonu dorusal olduunda, örnek ortalamas istatistiinin varyansn minimum yapacak n h deerlerinin belirlenmesi oldukça kolaydr. Bununla birlikte, maliyet fonksiyonlar dorusal olmadnda nh deerlerinin belirlenmesi oldukça karmaktr. Bu çalmada, dorusal olmayan maliyet kst altnda, örnek ortalamas istatistiinin varyansn minimum yapacak nh deerlerinin belirlenmesi ile ilgilenilecektir. Literatürde önerilen ve bu çalmada kullanlacak dorusal olmayan maliyet fonksiyonlar aadaki yapdadr: c : Aratrma için ayrlan toplam bütçe c 0 : Sabit bütçe t h : h. tabakaya seyahat maliyeti c : h h. tabakadan bir birim seçme maliyeti n :. h h tabakadan seçilecek örnek hacmi : Tabakalara seyahat etmenin ya da tabakalardan bir birim seçmenin maliyet fonksiyonu üzerine etkisi olmak üzere; L. c c0 thn, 0 h h biçimindedir (Cochran, 977, Bretthauer vd., 999). Tabakalardan bir birim seçme maliyeti çok farkl deil fakat tabakadan tabakaya seyahat maliyeti önemli derecede farkllk gösteriyorken, bu maliyet fonksiyonunun kullanlmas uygun olur. L. c c0 chn, 0 h h biçimindedir (Chernyak, 00). Tabakadan tabakaya seyahat maliyeti önemli derecede farkl deil fakat tabakalardan bir birim seçme maliyeti farkllk gösteriyorken, bu maliyet fonksiyonunun kullanlmas uygun olur. L 3. c c0 th ln( nh ) h biçimindedir (Chernyak, 00). Tabakalardan bir birim seçme maliyeti çok farkl deil fakat tabakadan tabakaya seyahat maliyeti çok farkllk gösteriyorken, bu maliyet fonksiyonunun kullanlmas uygun olur. L h 4. c c0 ch ln( nh ) biçimindedir (Chernyak, 00). Tabakadan tabakaya seyahat maliyeti önemli derecede farkl deil fakat tabakalardan bir birim seçme maliyeti çok farkllk gösteriyorken, bu maliyet fonksiyonunun kullanlmas uygun olur.

The Allocation of Sample Size into Strata in Stratified Random Sampling under Non-linear Cost Constraints Tabakalı Tesadüfi Örneklemede Doğrusal Olmayan Maliyet Kısıtları Altında Örnek Hacminin Tabakalara Dağıtılması Literatürde uzun yllardr tabakal tesadüfi örneklemede, örnek hacminin tabakalara datm problemiyle ilgili çalmalar yaplmaktadr. Bununla birlikte, yaplan çalmalarn çou dorusal maliyet kst altnda örnek ortalamas istatistiinin varyansn minimum yapacak örnek hacimlerinin bulunmas üzerinedir (Bretthauer ve Shetty, 995; Valliant ve Gentle, 997; Bretthauer vd., 999; Clark ve Steel, 000; Chernyak, 00; Bosch ve Wildner, 003; Khan vd., 003; Khan ve Ahsan, 003; Semiz, 004; Diaz-Garcia ve Garay-Tapia, 005; Diaz-Garcia, 006; Judez vd., 006).. YÖNTEM Bu bölümde, çalmada kullanlan optimizasyon teknikleri tantlm ve dorusal olmayan maliyet kstlar altnda örnek ortalamas istatistiinin varyansn minimum yapacak örnek hacimleri simülasyon deneyi yardm ile elde edilmitir.. Optimizasyon Teknikleri Amaç fonksiyonu ya da kstlardan herhangi birisi dorusal deil ise bu problem dorusal olmayan programlama problemidir. Ele alnan çalmada, hem örnek ortalamas istatistiinin varyans, hem de maliyet fonksiyonlar dorusal deildir. Dorusal olmayan problemlerin çözümünde kullanlan pek çok optimizasyon yöntemi bulunmaktadr (Hamdy, 98; Rao, 99; Bal, 995). Örnek hacminin tabakalara datmnda Lagrange çarpanlar yöntemi kullanldnda baz olumsuzluklarla karlaldndan, bu çalmann simülasyon deneyinde Kuhn-Tucker yöntemi kullanlmtr. Lagrange çarpanlar yöntemi, ister amaç ister kst fonksiyonu dorusal olsun ya da olmasn eitlik kstl optimizasyon problemlerinin çözümünde kullanlan en yaygn yöntemdir (Bal, 995). Kuhn-Tucker yöntemi ise, eitsizlik kstl optimizasyon problemlerinin çözümünde kullanlmaktadr. Kuhn-Tucker yöntemi eitsizlik kstlarn, eitlik kst haline getirerek, genel Lagrange fonksiyonu oluturma temeline dayanr (Bal, 995). Kst olarak dorusal olmayan maliyet fonksiyonlar kullanldnda, örnek ortalamas istatistiinin varyansn minimum yapacak örnek hacminin Lagrange çarpanlar yöntemiyle elde edilmesi aadaki teoremlerde verilmitir. Bununla birlikte, Lagrange çarpanlar yöntemi eitlik kstl bir optimizasyon yöntemi olduundan n h N h kstn göz önüne alamad için elde edilen çözümlerde nh Nh ya da n N gibi sonuçlarla k arlamak mümkündür. Kuhn-Tucker yönteminde nh Nh ( h =,,, L ) eitsizlik kstda göz önüne alndndan bu olumsuzluk ortadan kalkm olur. Bu sebeple, bu çalmann simülasyon ksmnda Kuhn-Tucker yöntemi kullanlmtr. Teorem : c c0 chn h L, 0 h olmak üzere, tabakal tesadüfi örneklemede belirlenmi bir maliyet için bir baka ifadeyle kst olarak maliyet fonksiyonu alndnda, örnek ortalamas istatistiinin varyans minimumdur ve her tabakadan seçilmesi gereken örnek hacmi () eitliinden elde edilir. 3

S. Tuğba ŞAHİN C c ' c c 0 : Aratrma için ayrlan bütçeden, sabit giderler çkarldktan sonra geriye kalan bütçe : h. tabakann arl : h. tabakann varyans olmak üzere; W h S h L ( ) h h / h C W S c h n () L ( ) Wh Shch h Elde edilen n örnek hacmi, örnek ortalamas istatistiinin varyansn minimum yapacak ekilde tabakalara; n h L h W S / c ( ) h h h ( ) h h / ch W S olarak datlr (Chernyak, 00). Teorem : h n c c c ln( n ) olmak üzere, tabakal tesadüfi örneklemede belirlenmi 0 L h h bir maliyet( C c c 0 ) için bir baka ifadeyle kst olarak maliyet fonksiyonu alndnda, örnek ortalamas istatistiinin varyans minimumdur ve her tabakadan seçilmesi gereken örnek hacmi (3) eitliinden elde edilir. L C ch ln Wh Sh / ch L h n exp Wh Sh / c L h h c h h (3) Elde edilen n örnek hacmi, örnek ortalamas istatistiinin varyansn minimum yapacak ekilde tabakalara; Wh Sh / ch nh L n (4) W S / c h h h h olarak datlr (Chernyak, 00). (). Simülasyon Deneyi Simülasyon çalmas MATLAB program kullanlarak yaplmtr. 4

The Allocation of Sample Size into Strata in Stratified Random Sampling under Non-linear Cost Constraints Tabakalı Tesadüfi Örneklemede Doğrusal Olmayan Maliyet Kısıtları Altında Örnek Hacminin Tabakalara Dağıtılması.. L c' t ln( n ) ve h h h L c' t n Kstlar Altnda V ( x ) larn Karlatrlmas h h h Bu bölümde, L c ' t ln( n ) ve h h h L c ' t n kstlar göz önüne alnarak oluturulan h h h modellerde hangi maliyet kstnn, örnek ortalamas istatistiinin varyansn nasl etkiledii, aratrma için ayrlan bütçenin ne kadarnn kullanld ve problemlerin çözülme süreleri incelenmitir. Bu aratrma için 000 tekrarl Monte Carlo simülasyonu kullanlmtr. Simülasyon çalmasnda kitle hacmi ( N ), kitleden ' seçilecek örnek hacmi ( n ), bütçe ( c c c 0 ), tabakadan tabakaya seyahat maliyeti ( t h ) ve balangçta verilmitir. Her zaman her tabakadan bir birim seçmenin ya da her tabakaya seyahat etmenin, maliyet fonksiyonu üzerine etkisi bir birim art olarak yansmamaktadr. deeri, tabakalara seyahat ya da tabakalardan bir birim seçmenin maliyet fonksiyonu üzerine etkisini yanstmaktadr. Bu bölümde, 0 olmak üzere; ya bal maliyet kstna ilikinde simülasyon deneyi yaplarak, nn hangi deerleri için yaplan örnek hacmi datmnn örnek ortalamas istatistiinin varyansn minimum yapt da incelenmitir. Belirlenen dorusal olmayan maliyet kstlar altnda, örnek ortalamas istatistiinin varyansnn minimum yaplmas için kullanlan modeller aadaki gibidir. Model : Min V x h h h ' t ln( n ) c h r n k h,..., L h h h Model : Min V x L L L h L h n n h h t n n n h h ' c r n k h,..., L h h h Bu çalmada, modelde tabaka varyanslarnn ve tabakalara datlacak örnek hacminin önceden bilindii varsaylmaktadr. Bununla birlikte kitle hacmi büyük olduunda tabaka varyanslarnn ve kitleden seçilecek örnek hacminin belirlenmesi zordur. Bunun için kitleden seçilen bir pilot örnek yardm ile tabaka varyanslar tahmin edilip, kitleden seçilecek örnek hacmi belirlenebilir (Hansen vd., 953; Yamane, 967; Bretthauer vd., 999). Model kstlarnda bulunan rh nh kh kstnda alt snr rh alnmtr. n h Bunun nedeni s h xhi xh olmas ve nh durumunda s h nin belirsiz n h i 5

S. Tuğba ŞAHİN olmasdr. Üst snr için ise h. tabakadaki örnek hacminin alabilecei en büyük deer k N verilmitir. Bundan sonraki ilemler aadaki admlara göre yaplmtr. h h Adm : Tabaka büyüklüklerinin belirlenmesi için Normal dalmdan, N birimlik say üretilip, kullanlan Normal dalmn ortalamas ve kaç tabaka olduu dikkate alnarak belirlenen tabaka snrlar çerçevesinde tabaka büyüklükleri ve tabakalardaki birimler elde edilmitir. Adm : Belirlenen tabakadaki birimler yardm ile tabaka varyanslar hesaplanmtr. Adm 3: ki farkl maliyet kst altnda oluturulan Model ve Model nin çözümleri yaplm, varyans deerleri ve CPU time deerleri elde edilmitir. Burada modellerin çözümü için gerekli olan balangç noktas, örnek hacmi için belirlenen alt ve üst snr arasnda ortalama bir deer olarak seçilmitir. Adm 4: Adm --3 000 defa tekrar edilmitir. Adm 5: Sonuçlarn genellenebilmesi için 000 tekrardaki varyans ve CPU time deerlerinin ortalamas alnarak, tabakalardan seçilecek optimum örnek hacimleri, varyans ve CPU time deerleri elde edilmitir. Simülasyon çalmas maliyetlerin farkl deerleri altnda yaplmtr. Simülasyon çalmas iki, üç, dört ve be tabaka için yaplm, sonuçlar dört tabaka için genellenebildiinden daha fazla tabaka dikkate alnmamtr. Sonuçlar Tablo - Tablo 0 arasnda özetlenmitir. Tablolarda yer alan nih gösterimi, i. modelden elde edilen h. tabakadaki örnek hacmini ve i. Kul. Bütçe ise i. modelden elde edilen optimum çözümler yerine yazldnda aratrma için ayrlan toplam bütçenin ne kadarnn kullanldn ifade etmektedir. Tablolarda koyu olarak gösterilen yerler ise, mümkün çözümün salanmad durumlar ifade etmektedir. 6

7 Tablo. ki tabaka olmas durumu N 500, n 00, c' 500, t n n n n V x V x cpu.k cpu.kul. ul. Bütçe Bütçe 0, 50,3630 49,6370 50,3630 49,6370,739,739 94,500 94,4844 7,840 4,3734 0,4 50,000 49,8000 50,000 49,8000,603,603 9,056 95,033 7,840 9,5635 0,5 50,0630 49,9370 50,0630 49,9370,469,469 9,8594 94,969 7,840 4,4 0,6 50,0650 49,9350 50,0650 49,9350,56,56 9,8750 93,783 7,840 0,98 0,8 50,390 49,680 50, 390 49, 680,640,640 9,35 94,6406 7,840 45,7304 50,4640 49,5360 50, 4640 49, 5360,648,648 9,6094 95,88 7,840 00, 50,0300 49,9700 50,0300 49,9700,599,599 96,3438 97,83 7,840 8, 674,5 50,0400 49,9600 39,670 39,6360,50,575 9,563 95,8438 7,840 499, 4043,8 49,6090 50,390,360,580,777 3,344 98,578 98,6094 7,840 499, 33 50,090 49,790 5,8450 5,7740,677 4,39 9,38 03,03 7,840 499, 883 Tablo. ki tabaka olmas durumu N 500, n 00, c' 000, t ve t 50 n n n n V x V x cpu cpu.kul..kul. Bütçe Bütçe 0, 49,9370 50,0630 49,9370 50,0630,70,70 9,3438 9,7969 99,5740,5499 0,4 50,970 49,8030 50,970 49,8030,66,66 90,8594 9,078 99,397 43,500 0,5 49,960 50,0840 49,960 50,0840,580,580 89,0469 90,5938 99,5954 360,954 0,6 50,5650 49,4350 50,5650 49,4350,605,605 9,056 93,094 98,956 59,794 0,8 50 50 59,000 40,9990,654,99 9,9063 96 99,53 00,5 49,480 50,580 8 8,8,0 9,4688 99,056 00,08 98, 49,680 50,380 6,640 0,8570,777 3,7888 9,5000 96,4688 99,886 07,9,5 50,080 49,970 3,0 6,4740,758 6,5564 90,703 0,88 99,4857 997,363,8 49,8440 50,560 8,8400 4,980,67 9,468 9,556 08,4844 99,6658 097, 50,550 49,8450 4,6730 4,0000,565,856 9,03 3,50 99,360 05,3 The Allocation of Sample Size into Strata in Stratified Random Sampling under Tabakalı Tesadüfi Örneklemede Doğrusal Olmayan Maliyet Kısıtları Non-linear Cost Constraints Altında Örnek Hacminin Tabakalara Dağıtılması

8 Tablo 3. ki tabaka olmas durumu N 500, n 00, c' 000, t 50 ve t n n n n V x V x cpu cpu.kul..kul. Bütçe Bütçe 0, 50,3630 49,9370 50,3630 49,9370,739, 739 96,4688 96,88 99,8676,6780 0,4 50,000 49,8000 50,000 49,8000,603, 603 9,5469 96,500 99,7088 44,443 0,5 50,0630 49,9370 50,0630 49,9370,469, 469 9,83 95,078 99,5749 360,847 0,6 50,0650 49,9350 50,0650 49,9350,56, 56 9,650 95,3750 99,5768 533,6757 0,8 50,390 49,680 4 59, 640, 0 90,5000 08,4063 99,848 00, 5 50,4640 49,5360 8 8, 648, 679 93,88,99 99,9657 98, 50,0300 49,9700 0,830 63,780, 599 3, 6934 98,565 03,344 99,546 07,,5 50,0400 49,9600 6,4880 3,0560, 50 6,4384 97,969 0,783 99,554 999,3658,8 49,6090 50,390 4,980 9,0560, 777 9,4695 99,9063 04,0469 99,84 0, 50,090 49,790 4,0000 4,5670, 677,477 94,4844 3,703 99,775 0, S. Tuğba ŞAHİN Tablo 4. ki tabaka olmas durumu N 500, n 00, c' 500, t 5 ve t 35 n n n n V x V x.kul..kul. cpu cpu Bütçe Bütçe 0, 50,3630 49,6370 50,3630 49,6370, 739,739 95,788 96,4375 34,647 3,7 0,4 50,000 49,8000 50,000 49,8000,603, 603 9,5938 95,88 34,6809 86,887 0,5 50,0630 49,9370 50,0630 49,9370,469, 469 9,8594 94,703 34,7087 44,94 0,6 50,0650 49,9350 50,0650 49,9350,56, 56 9,6094 94,88 34,7083 67,300 0,8 50,390 49,680 50,390 49,680,640, 640 9,500 96,99 34,6564 370, 7 50,4640 49,5360 7,7030 3,0460, 648,5970 97,563 06,033 34,660 499,, 50,0300 49,9700 5,940 3,6540, 599 4,6389 93,065 00,578 34,754 498, 6,5 50,0400 49,9600 9,50 8,0330, 50 8,095 9,9844 03,8438 34,734 497, 3,8 49,6090 50,390 6,350 5,850, 777,9776 9,6406 06,056 34,7977 54, 5 50,090 49,790 5,940 4,990, 677 4,485 9,7656 06,9063 34,679 5, 3

9 Tablo 5. Üç tabaka olmas durumu N 0000, n 500, c' 550, t, t ve t3 n n3 V x V x.kul..kul. n n3 n n cpu cpu Bütçe Bütçe 0, 86, 5460 7,0060 86,4490 86,5460 7,0060 86,4490 3,8894 3,8894 07,6094 5,4375 5,30 8,356 0,4 86, 6440 6,7940 86,5600 86,6440 6,7940 86,5600 3,90 3,90 06,3594 4,0469 5,305 3,337 0,5 86, 860 6,9890 86,7600 86,860 6,9890 86,7600 3,8790 3,8790 05,9063 3,38 5,30 38,5836 0,6 86, 960 6,8870 86,900 86,960 6,8870 86,900 3,8953 3,8953 04,9844 5,38 5,3008 64,3637 0,8 86, 380 7,030 86,650 86,380 7,030 86,650 3,893 3,893 05,8750 4,6094 5,30 79,967 86, 700 6,9830 86,3440 86,700 6,9830 86,3440 3,887 3,887 06,3906 3,0469 5,30 500, 86, 5460 7,0060 86,4490 85,090 60,00 85,0800 3,8894 3,0984 03,056 0,6875 5,30 550,04,5 86, 6440 6,7940 86,5600 35,40 5,8930 35,80 3,90 75,583 0,9375 08,788 5,3005 550,0604,8 86, 6570 6,9600 86,3600 9,5890 4,9600 9,5370 3,909 35,764 0,056 08,5000 5,3008 55,573 86, 6550 6,780 86,5790 4,680,040 4,60 3,8988 8,7803 0, 6563,7969 5,3006 549,395 Tablo 6. Üç tabaka olmas durumu N 0000, n 500, c' 5000,, t 75 ve 3 50 n n n3 n n n3 V x V x cpu cpu. Kul..Kul. Bütçe Bütçe 0, 86, 5450 7,0060 86,4490 86,5450 7,0060 86,4490 3,8894 3,8894 0, 078 0, 3438 703,556 38,5599 0,4 86, 6440 6,7940 86,5600 86,6440 6,7940 86,5600 3,90 3,90 00, 533 08, 500 703,0680 046,7 0,5 86, 6980 7,030 86,950 86,6980 7,030 86,950 3,8839 3,8839 0, 45 06, 094 703,4 73,7 0,6 87, 080 6,8370 86,330 87,080 6,8370 86,330 3,93 3,93 9,0 99,033 703,0088 867,5 0,8 86, 960 6,8870 86,900 06,0660 55,0040 05,9530 3,8953,49 03, 5469 33, 85 703,833 5000,5 86, 380 7,030 86,650 76,6070 3,390 4,040 3,893 57,487 99,7969 7, 056 703,970 4998,7, 86, 700 6,9830 86,3440 39,470 3,50,680 3,887 06,0763 06, 9063, 8750 703,63 4980,,5 86, 3340 6,8900 86,7890 9,700 7,840,080 3,89 97,47 04, 03 05, 6094 703,6 5035,7,8 86, 7360 6,8540 86,3740,950 5,0000 8,0000 3,9086 99,560 04, 6406 3, 8438 703,060 48,9 86,380 6,890 86,740 9,950 4,0330 6,60 3,8840 368,473 00,033 0,85 703,48 489,4 The Allocation of Sample Size into Strata in Stratified Random Sampling under Tabakalı Tesadüfi Örneklemede Doğrusal Olmayan Maliyet Kısıtları Non-linear Cost Constraints Altında Örnek Hacminin Tabakalara Dağıtılması

0 Tablo 7. Dört tabaka olmas durumu N 0000, n 000, c' 000, t, t3 ve t 4 n n4 V x V x cpu cpu. n n3 n4 n n n Kul..Kul. 3 Bütçe Bütçe 0, 734,660 65,9080 66,4560 73,9460 734,660 65,9080 66,4560 73, 9460,8033, 8033 04,563,7969 4,3648 3,5946 0,4 733,8060 66,0760 66,50 733,5850 733,8060 66,0760 66,50 733, 5850,803, 803 04,556 5,50 4,3654 46,6763 0,5 73,4390 66,3930 67,3550 734,850 73,4390 66,3930 67,3550 734, 850,800, 800 0,094,543 4,368 86,853 0,6 733,090 66,3770 66,330 734,0870 733,090 66,3770 66,330 734, 0870,8048, 8048 04,344 4,650 4,3657 6,8467 0,8 73,990 66,60 67,80 734,3090 73,990 66,60 67,80 734, 3090,800, 800 0,38,3048 4,3673 566,496 733,6430 66,00 67,0500 733,3050 35,40 74,70 74,9070 35, 0,7996 3, 9576 95,5000 5,578 4,3666 999,980, 79,6830 67,60 66,850 736,80 5,660 7,7640 7,700 6, 900,809 0,837 00,8906 38,406 4,3688 999,9309,5 730,9580 66,3950 66,990 736,3470 48,5340 9,5870 9,5890 48,7080,8004 8,064 0,8750,565 4,3657 999,944,8 733,4450 66,9660 66,480 733,4540 5,6970 6,5090 6,4830 5, 7080, 800 5,9544 0,406 0,8594 4,3667 000,9 73,4930 67,0650 66,7760 734,650 8,6860,00,030 8,740,7995 7,3973 03,556 04,88 4,3684 997,75 S. Tuğba ŞAHİN Tablo 8. Dört tabaka olmas durumu N 0000, n 000, 00, t 80, t3 65 ve t 4 90 n n n3 n4 n n n3 n4 V x V x cpu cpu.kul..kul. Bütçe Bütçe 0, 736,390 66,630 66,8390 730,80 736,390 66,630 66,8390 730,80, 8008,8008 8,0469 9,6563 898,5 060,5 0,4 73,5030 66,60 66,980 734,70 73,5030 66,60 66,980 734,70, 8049,8049 8,6563 30,406 898,6 3664,4 0,5 730,9740 67,840 66,0630 735,490 730,9740 67,840 66,0630 735,490, 7980,7980 7,43 8,680 898,7 6837,5 0,6 733,6580 66,380 67,600 73,980 447,0330 05,5350 35,890 46,30, 7999,8969 3,49 63,0938 898,6 000 0,8 735,740 66,030 66,3980 73,580 04,570 50,4880 56,7730 94,600, 806 4, 587 4,969 87,9375 898,4 000 736,9780 66,370 66,370 730,4870 4,40,0570 4,40 38, 5350,8045 34, 8088 30,99 38,8750 898,4 000, 734,360 66,6700 66,30 73,680 3,0830,890 3,9980,0,8040 6, 95 33 48,344 898,5 00,5 734,530 66,30 65,6360 733,780,5300 7,690 8,000,750,8044 3,6566 36,4844 40,533 898,3 999,5,8 735,0850 65,4700 66,340 733,950 8,0690 5,0000 5,870 7,9940,8048 68,564 0,50 5,38 898,3 0034 734,750 66,930 67,540 73,570 6,990 4,090 4,9940 6,050,7984 04,47 8,953 46 898,6 988,6

Tablo 9. Be tabaka olmas durumu N 000, n 3000, c ' 0000, t, t, t3, t4 ve t 5 n n n 3 n4 n5 n n n3 n4 n5 V x V x cpu cpu.kul.. Kul. Bütçe Bütçe 0, 80,60 37,8970 457,9500 700,4690 80,5070 80,60 37,8970 457, 9500 700,4690 80,5070,6389,6389 8,4063 38,875 3,54 7, 78 0,4 80,500 37,860 459,480 700,8340 800,3640 80,500 37,860 459, 480 700,8340 800,3640,6377,6377 6,8906 38,5469 3,555 63, 877 0,5 80,000 38,0790 458,730 70,6940 799,9360 80,000 38,0790 458, 730 70,6940 799,9360,635,635 6,556 37,79 3,553 9,9300 0,6 804,3730 37,600 458,8380 70,0330 798,500 804,3730 37,600 458, 8380 70,0330 798,500,6368,6368 3,056 34,578 3,54 7,644 0,8 803,90 37,700 458,5760 70,6080 799,50 803,90 37,700 458, 5760 70,6080 799,50,6373,6373 3,953 45,35 3,58 84,0469 799,7370 37,9840 459,090 70,700 800,5340 799,7370 37,9840 459, 090 70,700 800,5340,636,636 3,38 43,078 3,558 3000, 80,5740 37,680 458,060 70,4630 80,50 7,30 9,7880 493, 4960 643,060 7,830,6367,88 6,7344 9,703 3,538 9994,3,5 80,530 38,760 458,9450 699,9500 80,3040 9,3360 73,5740 43, 050 77,3550 9,340,6358 8,653 3,7969 83,650 3,56 9998,8 80,40 37,7730 458,7060 699,690 80, 4330 80,930 34,640 6,870 75,3460 80,360,6400 0,43 3,8750 55,03 3,544 9997, 80,40 37,8470 458,6550 70,6660 800,60 5,8990 3,3900 40,740 49,0570 5,870,637 3,646 3,3438 35,0469 3,549 9995,4 Tablo 0. Be tabaka olmas durumu N 000, n 3000, c ' 5000, t 40, t 50, t3 30, t4 45 ve t 5 60 n n n3 n4 n5 n n n3 n4 n5 V x V x cpu cpu.kul..kul. Bütçe Bütçe 0, 80,060 38,0080 458,4530 70, 4570 800,070 80,060 38,0080 458, 4530 70,4570 800,070,636,636 3,8594 44,5000 40, 9 799, 649 0,4 80,9430 38,430 459,970 70,3660 798,0370 80,9430 38,430 459, 970 70,3660 798,0370,634,634 3,8438 43,4688 40,9 863,3 0,5 799,550 38,0970 460,450 70, 9960 799,880 799,550 38,0970 460, 450 70,9960 799,880,6339,6339 3,455 45,57 40,9 5435,5 0,6 80,390 37,9440 458,630 700, 30 800,80 80,390 37,9440 458, 630 700,30 800,80,6366,6366 33,99 43,5000 40, 9 0336 0,8 8,830 37,6450 456,570 697,840 796,6690 5,3880 9,8740 403, 700 433,8070 40,050,645 3,075 3,35 96,0938 40,7 5000, 803,00 38,00 459,530 700,4850 799,040 50,930 40,9740, 0600 3,30,960,636,6874 3,99 53,656 40,9 500, 80,3360 37,570 459,040 700,780 80,40 66,660 0,960 54,4930 58,3930 55,350,636 6,8085 3,500 7,99 40,9 4999,5 80,70 37,840 458,9440 700, 360 80,970 9,090 0,650 4,480 6,050 4,870,6383 60,5735 34,875 53,565 40,9 496,8 800,830 37,9560 459,5050 704, 4500 797,900 6,8500 6,850 4,760 5,0760 4,5080,633 03,4399 33,565 48,056 40,9 4976 80,4740 37,8370 458,0980 700, 840 800,7540,8600 5,0500,0000,6840,060,636 35,843 34,563 4 40,9 4945 The Allocation of Sample Size into Strata in Stratified Random Sampling under Tabakalı Tesadüfi Örneklemede Doğrusal Olmayan Maliyet Kısıtları Non-linear Cost Constraints Altında Örnek Hacminin Tabakalara Dağıtılması

S. Tuğba ŞAHİN Simülasyon çalmasndan elde edilen sonuçlardan görüldüü gibi Tablo için yaplan L genellemele r, dier Tablolar için de geçerlidir. c ' thnh kstnn kullanld Model de deeri büyüdükçe elde edilen mümkün çözümlerin says azalmakta veya nh n kst ya da maliyet kst salanmamaktadr. Ayrca, aratrma için ayrlan bütçe çok fazla deilken, nn büyük durumlar çözüm vermemektedir. büyük iken mümkün çözüm elde etmek için maliyet kstnn sa taraf sabiti, aratrma için ayrlan bütçe miktar arttrlmaldr. Tablolardan görüldüü gibi mümkün çözümleri salayan deerleri içinde örnek ortalamas istatistiinin varyansn minimum yapan L 0.5 tir. c ' t ln( n ) kstnn kullanld Model, çözüm olan deerleri için h h h Model ile ayn sonuçlar vermektedir. Ayrca,. maliyet kst,. maliyet kst ile mümkün olmayan çözümleri de salamaktadr. nn küçük olduu durumlar için. maliyet ks t bütçenin daha azn kullanmakla birlikte, büyüdükçe. maliyet kst neredeyse salanmamaktadr.. maliyet kst ise, tabakalara seyahat maliyetinden etkilenmemekte ve bütçe kstn salayarak, aratrma için ayrlan bütçenin çok azn kullanmaktadr. Ayrca, Model kullanldnda elde edilen çözümler, Model kullanld duruma göre daha ksa sürede tamamlanmaktadr. Kuhn-Tucker algoritmas ile. maliyet kst kullanldnda,. maliyet kstna göre daha fazla mümkün çözüm elde edildii, aratrma için ayrlan bütçenin daha az kullanld ve çözümler daha ksa sürede elde edildii için örnek ortalamas istatistiinin varyans minimum yaplrken L c ' thln( nh ) kstnn ku llanlmas daha avantajl olacaktr. Çünkü bu kst, ya h bal deildir v e tabakalara seyahat maliyetinden c ' thn h kst kadar etkilenmemektedir. Tablolardan görüldüü gibi, Model nin mümkün çözümlerini L L sa layan deerleri için, c ' thln( nh ) ve c ' thnh maliyet kstlar altnda h oluturulan Model ve Model den elde edilen çözümler büyük çounlukla ayndr. Bu durumun neden böyle olduu aadaki örnekle gösterilmitir. Örnek: Kitle iki tabakadan olusun.. tabakada,. tabakada 9 birim olduu ve yaplan bir pilot çalmayla. tabakann varyansnn 8659,. tabakann varyansnn 6094 olarak tahmin edildii varsaylsn.. ve. tabakaya seyahat maliyetlerinin TL. olduu düünülürse, aratrma için 0 TL. ayrlmken, 5 hacmindeki örnek L c ' L t hln( nh ) ve c ' thnh maliyet kstlar altnda tabakalara datlsn. h h durumu için Kuhn-Tucker algoritmas kullanlsn. N 0, N, N 9, n 5, c ' 0, t t, olmak üzere örnek ortalamas istatistiinin varyans; h L L L Nh nh s h Nh sh V ( x) Nh N hsh N h Nh nh N h nh h sabit h s 8659, L h s 6094 ve

The Allocation of Sample Size into Strata in Stratified Random Sampling under Non-linear Cost Constraints Tabakalı Tesadüfi Örneklemede Doğrusal Olmayan Maliyet Kısıtları Altında Örnek Hacminin Tabakalara Dağıtılması (8659) 9 (6094) V ( x) sabit 0 n n 470,8475 340, 755 V ( x) sabit n n L M odel : c ' t ln( n ) kst altnda örnek ortalamas istatistiinin varyansnn h h h minimum yaplmas (Kolaylk olmas açsndan problem maksimum problemine dönütürülmütür). 470,8475 340, 755 max( V ( x)) max sabit n n n n n n 5 5 ln( n ) ln( n ) 0 ln( n ) ln( n ) s 0 n n 9 s s3 9 n n Lagrange fonksiyonu aadaki gibi yazlr. 470,8475 340, 755 L( n, n,, s) sabit ( n n 5) n n (ln( n ) ln( n ) s 0) ( n s ) 3 ( n s 9) 4 3 Lagrange fonksiyonunda serbest,, 3, 4 0 dr. Lagrange fonksiyonunun, n, n,,, 3, 4, s, s ve s 3 e göre türevi alnp, sfra eitlendikten sonra Kuhn- Tucker algoritmasnda mümkün çözümler aranrken Lagrange çarpanlar i lerin farkl deerleri incelenir. * 0, 3 4 0 olsun. 470,8475 57,684 0 n n 340, 755, 0889508 0 n n 57,684, 0889508 n n 5 5 53, 654397 878, 47 n,9943803 3 n, 07056897 Buradan, Model in mümkün çözümü (, 9943803 3;,07056897 ; 878,47; 0; 0; 0) olarak elde edilir. 3

S. Tuğba ŞAHİN Model : L c ' t n kst altnda örnek ortalamas istatistiinin varyansnn h h h minimum yaplmas ( ). 470,8475 340, 755 max( V ( x)) max sabit n n n n n n 5 5 n n 0 n n s 0 n n s n 9 n s 3 9 Lagrange fonksiyonu aadaki gibi yazlr. 470,8475 340, 755 L( n, n,, s) sabit ( n n 5) n n ( n n s 0) ( n s ) 3 ( n s 9) 4 3 Model de olduu gibi, Model de de Lagrange fonksiyonunda serbest,, 3, 4 0 dr. Model için oluturulan Lagrange fonksiyonunun, n, n,,, 3, 4, s, s ve s 3 e göre türevi alnp, sfra eitlendikten sonra Kuhn-Tucker algoritmasnda mümkün çözümler aranrken Lagrange çarpanlar i lerin farkl deerleri incelenir. * 0, 3 4 0 olsun. 470,8475 57,684 0 n n 340, 755 0 n,0889508 n 57,684, 0889508 n n 5 5 53, 654397 878, 47 n, 9943803 3 n, 07056897 Buradan, problemin mümkün çözümü (, 9943803 3;,07056897 ; 878,47; 0; 0; 0) olarak elde edilir. Görüldüü gibi, her iki modelde de ayn sonuçlar elde edilmitir. Bunun nedeni, her iki modelde de maliyet kstlarna kar gelen Lagrange çarpan nin 0 olmasdr. Maliyet kstlarna kar gelen 0 olduu durumlarda Kuhn-Tucker algoritmas ile her iki maliyet kst kullanlarak ayn mümkün çözümler elde edilir. Bununla birlikte, 4

The Allocation of Sample Size into Strata in Stratified Random Sampling under Non-linear Cost Constraints Tabakalı Tesadüfi Örneklemede Doğrusal Olmayan Maliyet Kısıtları Altında Örnek Hacminin Tabakalara Dağıtılması mümkün çözümü salayan Lagrange çarpanlarnda, maliyet kstlarna kar gelen çarpan, 0 dan farkl olduunda her iki modelden elde edilecek çözümler birbirinden farkl olacaktr. Bu durum Tablo nin 6. ve Tablo 3 ün 6. satrlarnda olduu durumda görülmektedir. Maliyet kstlarna kar gelen Lagrange çarpanlar farkl olduu için, Tablo ve Tablo 3 ün 6. satrlarnda, Model ve Model den elde edilen çözümler ve örnek ortalamas istatistiinin varyans deerleri oldukça farkl bulunmutur. Ayrca,, 0 dan farkl olduunda elde edilen çözümlerde V ( x) V ( x) olduu görülmektedir. 4. TARTIMA VE SONUÇ Bu çalmada, tabakal tesadüfi örneklemede dorusal olmayan maliyet fonksiyonlar altnda kitleden seçilen n hacimli örnein, optimum ekilde tabakalara datlmas ve örnek ortalamas istatistiinin varyansnn minimum yaplmas ile ilgilenilmitir. Bu amaçla ele alnan iki farkl dorusal olmayan maliyet fonksiyonundan c c c ln( n ) biçiminde ifade edilen maliyet fonksiyonu, c c t n 0 L h h h 0 L 0 h h h eklinde ifade edilen maliyet fonksiyonuna göre daha fazla mümkün çözüm vermekte, bütçe kstlarndan çok fazla etkilenmemekte, çözümler daha ksa sürede tamamlanmakta, örnek hacmini tabakalara daha optimum ekilde datmakta ve mümkün çözümler içinde örnek ortalamas istatistiinin varyansn ya ayn ya da daha küçük olarak elde etmektedir. Elde edilen simülasyon deneyi sonuçlarndan, örnek hacmini tabakalara optimum ekilde datan ve örnek ortalamas istatistiinin varyansn minimum yapan dorusal olmayan maliyet kstnn c c0 t ln( n ) olduu görülmütür. L h h h 5. KAYNAKLAR Bal, H., 995. Optimizasyon teknikleri. Gazi Üniversitesi, Ankara. Bosch, V., Wildner, R., 003. Optimum allocation of stratified random samples designed for multiple mean estimates and multiple observed variables. Communications in Statistics, Vol. 3, No. 0, 897-909. Bretthauer, K. M., Ross, A., Shetty, B., 999. Non-linear integer programming for optimal allocation in stratified sampling. European Journal of Operational Research, 6, 667-680. Bretthauer, K. M., Shetty, B., 995. The non-linear resource allocation problem. Operations Research, Vol. 43, No. 4, 670-683. 5

S. Tuğba ŞAHİN Chernyak, A., 00. Optimal allocation in stratified and double random sampling with a non-linear cost function. Journal of Mathematical Sciences, Vol. 03, No. 4, 55-58. Clark, R. G., Steel, D. G., 000. Optimum allocation of sample to strata and stages with simple additional constraints. The Statistician, 49, Part, 97-07. Cochran, W.G., 977. Sampling techniques 3rd Ed.. John Wiley and Sons Inc., New York. Diaz-Garcia, J. A., 006. Optimum allocation in multivariate stratified sampling: Multiobjective programming. I-06-07(PE), -. Diaz-Garcia, J. A., Garay-Tapia M. M., 005. Optimum allocation in stratified surveys. I-05-4(PE), -6. Hamdy, A. T., 98. Yöneylem aratrmas 6. Basm. Baray,. A. ve Esnaf,., Literatür Yaynclk, stanbul. Hansen, M. H., Hurwitz, W. N., Madow, W. G., 953. Sample survey methods and theory. Wiley, New York. Judez, L., Chaya, C., Miguel, J. M., Bru, R., 006. Stratification and sample size of data sources for agricultural mathematical programming models. Mathematical and Computer Modelling, Vol. 43, 530-535. Khan, M. G. M., Ahsan, M. J., 003. A note on optimum allocation in multivariate stratified sampling. S. Pac. J. Nat. Sci., Vol., 9-95. Khan, M. G. M., Khan, E. A., Ahsan, M. J., 003. An optimal multivariate stratified sampling design using dynamic programming. Australian&New Zeland Journal of Statistics, 45(), 07-3. Rao, S. S., 99. Optimization: Theory and applications. Wiley Eastern, New Delhi. Semiz, M., 004. Determination of compromise integer strata sample sizes using goal programming. Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics, Vol. 33, 9-96. Vallian t, R., Gentle, J. E., 997. An application of mathematical programming to sample allocation. Computational Statistics & Data Analysis, Vol. 5, 337-360. Yamane, T., 967. Elementary sampling theory. Prentice Hall, USA. 6

The Allocation of Sample Size into Strata in Stratified Random Sampling under Non-linear Cost Constraints Tabakalı Tesadüfi Örneklemede Doğrusal Olmayan Maliyet Kısıtları Altında Örnek Hacminin Tabakalara Dağıtılması THE ALLOCATION OF SAMPLE SIZE INTO STRATA IN STRATIFIED RANDOM SAMPLING UNDER NON-LINEAR COST CONSTRAINTS ABSTRACT In this study, optimum allocation of n sized sample, which is selected from a population by Stratified Random Sampling under fixed budget, is examined. While doing this allocation, two different non-linear cost functions are used. Besides the situations, in which the variance of sample mean statistics is minimum under two different non-linear cost constraints are examined. The allocation of sample size into strata is harder and more time consuming when non-linear cost constraints rather than linear cost constraints are used. In this study, by taking into consideration of the situations in which neither objective function nor cost constraints are linear, the allocation of n sized sample that is selected from a population and its effect on the variance of sample mean statistics are examined by a simulation study. Keywords: Non-linear cost function, Optimum allocation, Stratified random sampling. 7

Cilt: 07 Sayı: 0 Kategori: 0 Sayfa: 8-40 ISSN No: 303-639 Volume: 07 Number: 0 Category: 0 Page: 8-40 PRIOR DISTRIBUTION CLASSES WITH COMPREHENSIVE COVERAGE Oya EKC * ABSTRACT The Bayes theorem which is the kernel of today s Bayesian world incorporates prior knowledge in analysis. Regarding its level, form or application restrictions, the challenging part can be seen as prior especially for joiners in this world. In various areas, concerning the requirements, there are various prior distributions suggested to be used. However the studies that give a generic look and review on prior distributions classes are not seen in the literature. With this motivation, the paper discusses prior distributions with comprehensive coverage. Thus it s aimed to introduce prior distribution classes and to give a review on them. Keywo rds: Classes of prior distributions, Informative priors, Noninformative priors.. INTRODUCTION Bayesian literature is imperiously growing either due to pragmatic or conservative reasons. But whatever the reason is, the developments imply that the method works, and is found useful, and gathers most of the efforts on this field. Certainly, science has various questions. In statistical methods as a tool of scientific investigations, executing objective estimation and analysis process is probably one of the most critical one of these questions. Bayesian methods by permitting prior beliefs to be involved with a proper way rather than ad hoc manners-inevitably as being in almost all empirical studies-accomplish the objectivity goal indeed. However it should be said that Bayesian principle is criticized also just for this reason, that is not being objective. If these critics are moved through philosophical basis, another aspect can be proposed here. In Bayesian statistics, probability is induction probability and the purpose is to attain to highest probability; namely accuracy. Actually, impossibility of achieving perfect information justifies adopting the induction method within Bayesian philosophy. So, it is reasonable to update the probabilities by following justification process in each step of it. Regarding the beginning of the mentioned process, there is no need for initial assumptions in Bayesian approach. Instead prior information is employed here. The processes followed by Bayesian and Classical approaches can be summarized with the table below. * Res. Ass., Faculty of Economics, Istanbul University, Istanbul. e-mail:oyaekici@istanbul.edu.tr 8