Mukavemet I Dersinde Çözülecek Problemler TEK EKSENLİ YÜKLEME DURUMUNDA GERİLMELER 1. Şekildeki askı sisteminde ABC kısmının üst parçası 10 mm alt parçaları 6 mm kalınlığındadır. Üst ve alt parçaları B noktasında yapıştırmak için epoksi reçine kullanılmıştır. A daki pim 10 mm ve C deki pim 6 mm çapındadır. Buna göre; a) A ve C pimlerindeki kayma gerilmelerini, b) ABC kısmındaki en büyük normal gerilmeyi, c) B deki yapışma yüzeylerindeki ortalama kayma gerilmesini, d) ABC kısmı için C noktasındaki yatak gerilmesini 2. P=10 kn yük taşıyan bir halat 8 mm kalınlığındaki çelik bir plaka ile beton bir duvara bağlanmıştır. Çelik plakanın çekme mukavemeti 250 MPa, plaka ile beton arasındaki kayma çekme mukavemeti 2 MPa ve emniyet katsayısı n=3.6 olduğuna göre; yükün emniyetle taşınabileceği a ve b değerleri ne olmalıdır. 3. İki ahşap parça bir yapıştırıcı ile girinti ara yüzeylerinden birbirlerine bağlanmışlardır. Yapıştırıcıdaki ortalama kayma gerilmesi değeri 820 kpa değerine ulaştığında bağlantının koptuğu bilindiğine göre P=7.6 kn luk bir yükün bağlantı tarafından emniyetle taşınması için d mesafesi ne olmalıdır. Ahşap parçaların kalınlıkları 22 mm dir. 4. Şekildeki ahşap parçalar birbirlerine bir tutkal ile yapıştırılmıştır. Verilen yükleme durumu için; yapıştırıcıdaki ortalama kayma gerilmesi değerinin 700 kpa değerini geçmemesi için L mesafesi ne olmalıdır?
5. Şekildeki yüklemede P=8 kn olduğunda ahşap parça kesikli çizgilerle gösterilen yerden kırılmaktadır. Kırılma anına karşılık gelen ortalama kayma kayma gerilmesi ne kadardır? 6. Çap Çelik Al Çelik malzeme için emniyetli normal ve kayma mukavemet değerleri sırasıyla 300 MPa ve 140 MPa, alüminyum plaka için emniyetli kayma mukavemeti 80 MPa olduğuna göre uygulanabilecek en büyük P değeri nedir? Çap 10 mm Eğik Düzlemde Gerilmeler 7. Şekildeki ahşap parçalar birbirlerine yatayla 30 lik bir 8. P 30 Rijit plaka kesit boyunca yapıştırılmıştır. P=11 kn için yapışma yüzeyindeki normal ve kayma gerilme değerlerini 400 mm dış çapına sahip şekildeki çelik boru, 10 mm kalınlığındaki saç şeritlerin 20 lik açıyla helisel olarak kaynatılmasıyla üretilmiştir. Kaynak bölgesinde, kaynağa dik ve teğetsel emniyetli gerilme değerleri σ=60 MPa ve τ=36 MPa olduğuna göre boruya uygulanabilecek emniyetli P kuvvetini Eksenel Yüklemede Şekil Değiştirmeler ve Hiperstatik problemler 9. Verilen yükleme durumu için normal kuvvet diyagramı oluşturarak, ABCD çelik çubuğunun toplam deformasyonunu
10. BDE rijit çubuğu AB ve CD elemanları ile sabit bir yüzeye bağlanmıştır. Alüminyum olan (E = 70 GPa) AB elemanının kesit alanı 500 mm 2 dir. Çelik olan (E = 200 GPa) CD elemanının kesit alanı ise 600 mm 2 dir. Buna göre 30-kN luk kuvvet için; B, D ve E noktalarının yer değiştirmesini 11. AB rijit çubuğu 2 mm çapındaki çelik bir tel (E=200 GPa) ile şekildeki gibi yatayda tutulmaktadır. Buna göre; rijit çubuğun üzerine B noktasından itibaren 0.16 m mesafede konulan bir cismin B-E arasındaki 1.5 mm lik açıklığı kapatabilmesi için kütlesi (m) ne olmalıdır? 12. Şekildeki yükleme durumu için; ABC rijit çubuğuna bağlı, her biri 100 mm2 kesit alanına sahip BD ve CE çelik halatlarının (E=200 GPa) uzama miktarlarını 13. Şekildeki ABC ve DEF elemanları, kesitleri 15x 35 mm ve elastisite modülleri 200 GPa olan BE ve CF çelik çubukları ile bağlanmışlardır. Verilen yükleme durumu için; a) BE ve CF çubuklarının boylarındaki değişimleri b) Tüm pimler eşit çapta olduğuna göre emniyetli pim çapını (pimler için emniyetli kayma mukavemet değeri 60 MPa dır) Not: ABC ve DEF elemanları rijit kabul edilecektir.
14. Şekildeki AB, CD ve EF çubuklarının malzemesi çelik olup Elastisite Modülü E=200 GPa dır. BED rijit bir çubuğuna E noktasında uygulanan yük değeri P=36 kn dur. AB ile CD nin kesit alanları 200 mm2 ve EF nin kesit alanı 625 mm2 olduğuna göre; a) EF çubuğunun boyundaki değişimi, b) Her bir çubuktaki gerilme değerini Şekildeki yükleme durumu için; ABC rijit çubuğuna bağlı, her biri 100 mm2 kesit alanına sahip BD ve CE çelik halatlarının (E=200 GPa) uzama miktarlarını 15. Rijit bir plaka ile sıkıştırılan ve boşluklu olarak iç içe geçmiş tüp ve çubuktaki gerilmeleri verilen parametreler cinsinden 16. 17. İç içe geçirilmiş bir alüminyum tüp ile bir çelik çubuk şekildeki gibi rijit bir plaka ile eksenel yönde yüklenmektedir. Çelik çubuk tüpten 0.1 mm daha kısadır. Yani başlangıçta rijit blok sadece Alüminyum tüpe temas etmektedir. Buna göre; a) Alüminyum tüpün ve çelik çubuğun taşıdıkları yük miktarlarını b) Alüminyum tüpte ve çelik çubukta meydana gelen gerilmeleri c) Her iki parçada eksenel yönde meydana gelen şekil değişim miktarını Ea=70 GPa, Eç=200 GPa. Verilen yükleme durumu için A ve B noktalarındaki reaksiyon kuvvetlerini
18. 38 mm çapındaki EF alüminyum çubuğu (E=70 GPa), 18 mm çapındaki CD ve GH çelik (E=200 GPa) civatalar vasıtasıyla A ve B rijit parçaları tarafından sıkıştırılmaktadır. Kullanılan somunların hatvesi (vida adımı) 2.5 mm dir. D ve H somunları vida boşluğu alındıktan sonra çeyrek tur döndürüldüklerine göre; EF alüminyum çubuğundaki normal gerilmeyi Eksenel Yüklemede Durumunda Termal Gerilmeler, Şekil Değiştirmeler ve Hiperstatik problemler 19. Şekildeki yüklemeye maruz çelik (E=200 GPa, =11.7 x 10-6 / C) kademeli mil başlangıçta oda L1=200 mm sıcaklığında (25 C) iken 125 C ye ısıtılmıştır. Buna L2=150 mm göre; A B 12 kn a) AB ve BC kısımlarındaki gerilme değerlerini C A1=400 mm² A2=300 mm² b) B noktasının yer değiştirmesini (E=200 GPa, =11.7 x 10-6 / C) 20. 21. Şekildeki alüminyum ve çelik çubuklar özel bir yapıştırıcı ile birbirlerine bağlanmışlardır. Başlangıçta 20 C de bulunan sistemin sıcaklığı 140 C ye çıkarılırsa, çubuklarda meydana gelen gerilmeleri Kesit alanı 400 mm 2 olan bir çubuğa önce şekildeki gibi P=15 kn luk bir kuvvet etkimiştir. Çubuk oda sıcaklığından (25 C) 50 C ye çıkarıldığında A ve B noktalarında meydana gelen tepki kuvvetleri ne olur? (L1=125 mm, L2=225 mm, E=200 GPa, ν=0.3, =17.3 x 10-6 / C). 22. 300 mm 250 mm Oda sıcaklığında (20 C) aralarında 0.5 mm lik boşluk bulunan alüminyum ve çelik çubuklar 140 C ye A alüminyum çelik B ısıtıldıklarında; alüminyum çubukta meydana gelecek gerilme değerini ve boy değişimini (A a =2000 0.5 mm mm 2, E a =75 GPa, a =23 x 10-6 / C, A ç =800 mm 2, E ç =190 GPa, ç =17.3 x 10-6 / C )
23. A 150 mm 150 mm 125 mm 125 mm 20 kn 10 kn B C Alüminyum Çelik 0.5 mm D Başlangıçta oda sıcaklığında (T1=20 C) bulunan alüminyum çubuk ile çelik çubuk arasında 0,5 mm lik bir boşluk bulunmaktadır. Verilen yükleme durumunda; aralarındaki boşluğun kapanabilmesi için çubukların son sıcaklığı T2 ne olmalıdır? (Aa=2000 mm2, Ea=75 GPa, a=23 x 10-6 / C, Aç=800 mm2, Eç=190 GPa, ç =17.3 x 10-6 / C ) 24. E noktasında bir pimle bağlı olan CDE rijit çubuğu 30 mm çapında prinç bir silindir (E=105 GPa, =20.9 x 10-6 / C ) üzerinde durmaktadır. Rijit çubuk, C noktasında 22 mm çapındaki çelik AC çubuğu (E=200 GPa, =11.7 x 10-6 / C ) ve bir somun ile (herhangi bir ön gerilme oluşturmayacak şekilde) yatayda sabitlenmiştir. Sistem bu şekilde oda sıcaklığında (20 C) iken sadece prinç silindirin sıcaklığı 50 C ye çıkarılmıştır. Buna göre silindirde meydana gelen gerilmeyi Genel Yükleme Durumunda Gerilme ve Şekil Değiştirmeler 25. Şekildeki plastik çekme test numunesinin; 3.2 kn luk eksenel yükleme altında boyunda (150 mm lik ölçüm boyu-gage length) 11 mm uzama, çapında ise 0.625 mm lik daralma meydana gelmiştir. Buna göre, malzemenin elastisite modülünü, kayma modülünü ve poisson oranını 26. 60 mm çapındaki çelik civata bir somun ile sıkıştırıldığında çapında 13 μm lik daralma meydana gelmiştir. Buna göre, civatada meydana gelen içi kuvveti E=200 GPa, ν=0.29. 27. Şekilde verilen 50 x 50 x 10 mm boyutlarındaki Alüminyum blok bir kanalın içine yerleştirilmiş ve z- doğrultusunda 10kN luk çeki kuvvetine, y- doğrultusunda ise P bası kuvvetine maruz bırakılmıştır. x-doğrultusunda gerilme oluşmaması için; P yükünün maksimum değeri ne olmalıdır? Bu durumda bloğun y- doğrultusundaki kenar uzunluğu ne kadar değişir?
28. Dikdörtgen prizması şeklindeki bir blok (G = 630 MPa) iki rijit plakaya yapıştırılmıştır. Alt plaka sabit iken, üst plakaya bir P kuvveti uygulanmıştır. P nin etkisi ile üst plaka 1 mm hareket ettiğine göre; malzemedeki ortalama kayma şekil değiştirmesini ve uygulanan P kuvvetini 29. Şekildeki plakanın üzerine d =225 mm çapında bir çember çizilmiştir. 18 mm kalınlığındaki plakada düzlemsel kuvvetlerin etkisiyle σx = 84 MPa ve σz = 140 MPa lık gerilmeler meydana gelmiştir. E = 70 GPa ve ν = 1/3, olduğuna göre: a) AB çapındaki, b) CD çapındaki, c) plakanın kalınlığındaki ve d) plakanın hacmindeki değişimi 30. 50 x 30 x 12 mm boyutlarındaki alüminyum bir plaka D C (E=75 GPa, υ=0.3) şekildeki gibi yüklenmiştir. Plakaya x P yapıştırılmış bulunan uzama tellerinden okunan değerler ε x =350x10-6 ve ε y = -125x10-6 olduğuna göre; a) P ve F kuvvetlerini b) AC diyagonalindeki değişimi ve hacimsel değişimi A F y B hesaplayınız. 31. P P=300 kn ΔT=40 C Bir kenar uzunluğu 10 mm olan çelik bir küp şekildeki gibi bir oyuğa yerleştirilmiştir. Küpün x- ve y-yönündeki z y ön görünüş x y üst görünüş şekil değiştirmeleri engellenmiştir. Verilen yükleme durumu için küpte hacimsel bir değişim olmaması için P ne olmalıdır. ( V=0) (E=200 GPa, ν=0.3, =17.3 x 10-6 / C). 32. Eksenel Yüklemede Plastik Deformasyonlar Boyu L=500 mm ve kesiti 60 mm 2 olan elastoplastik bir AB çubuğunun elastisite modülü E=200 GPa, akma mukavemeti σ ak =300 MPa dır. Çubuktaki uzama 7 mm oluncaya kadar P kuvveti arttırılmaktadır. P kuvveti kaldırıldığında kalıcı deformasyon miktarı ne kadar olur?
33. Şekildeki kademeli çelik çubuğun elastisite modülü E=200 GPa, akma mukavemeti σ ak =250 MPa dır. Çubuğa bir P kuvveti uygulanmış sonra kaldırılmıştır. Kalıcı deformasyon miktarı 2 mm olduğuna göre uygulanan P kuvvetini ve maksimum deformasyonu 34. Rijit bir ABC çubuğu iki çelik çubuk ile yatayda durmaktadır. B noktası yavaş yavaş arttırılan Q yükünün etkisiyle 10 mm yer değiştirdikten sonra sonra Q yükü kaldırılmaktadır. Elastoplastik düşey çubukların elastisite modülü E=200 GPa, akma mukavemeti σ ak =300 MPa olduğuna göre; a) Q yükünün maksimum değerini ve bu durumda ABC nin konumunu b) ABC kirişinin son konumunu çiziniz. Not: Aynı soruyu AB=1 m ve BC=3 m için çözünüz. 35. A 48mm E r r 210 GPa σ 250MPa r Y 2 A 62mm t t σ 310MPa t Y 2 E 105GPa Şekilde eksenel yöndeki kesiti verilen, iç içe geçmiş elastoplastik tüp ve çubuktan oluşan sistem rijit bir plaka ile çekilmektedir. P kuvveti 0 dan 25 kn a yavaş yavaş çıkarıldığına göre; a) yapının kuvvet-deplasman diyagramını, b) maximum uzamayı c) kalıcı deformasyon miktarını, d) tüp ve çubuktaki artık gerilmeleri 36. Rijit bir ABC çubuğu, AD ve BE çelik çubukları ile desteklenmiştir. AD ve BE çubuklarının kesitleri 37.5 x 6-mm, elastisite modülü E=200 GPa, akma mukavemeti σ ak =250 MPa dır. Q yükü 260 kn çıkarılıp sonra kaldırıldığında; a) Çubuklardaki artık gerilmeleri b) B noktasının son konumunu (a=0.64m)
BURULMA 37. Dairesel Kesitli Millerin Burulması: Gerilme, Dönme Açısı ve Hiperstatik Problemler Şekildeki şaft için emniyetli kayma gerilmesi değeri 120 MPa olduğuna göre uygulanabilecek burulma momentini ve bu momente karşılık gelen minimum kayma gerilmesini 38. Şekildeki şaftın BC kısmının içi boştur ve iç çapı 90 mm, dış çapı 120 mm dir. Diğer kısımların içi dolu ve çapları d dir. Buna göre; a) AB ve CD kısımları için izin verilebilir kayma gerilmesi değeri 65 MPa ise d ne olmalıdır? b) BC kısmındaki maksimum ve minimum kayma gerilmelerini 39. Şekildeki çelik kademeli milin kayma modülü G=77 GPa olduğuna göre A noktasının toplam dönme açısını 40. 41. Şekildeki AB mili ile CD tüpü C noktasında rijit bir plaka ile (kaynaklı olarak) birleştirilmişlerdir. Çelik milin emniyetli kayma mukavemeti 84 MPa, pirinç tüpün emniyetli kayma mukavemeti ise 50 MPa dır. Mil çapı ds=38 mm olduğuna göre; A noktasında uygulanabilecek emniyetli tork (T) değerini T=3 kn.m lik torka maruz şekildeki bronz silindirde; a) Maksimum kayma gerilmesini b) D noktasındaki kayma gerilmesini c) 30 mm çapındaki çekirdek kısım tarafından taşınan tork miktarı
42. Şekildeki milin (yarısının içi boş) dış çapı 22 mm ve içi boş kısmın iç çapı ise 16 mm dir. Mil A ve B noktalarından sabitlenmiştir. Milin tam ortasına 120 N.m lik bir tork uygulandığında A ve B noktalarında meydana gelen reaksiyon momentlerini bulunuz? 43. Sağ taraftan sabitlenmiş çelik bir mil ile alüminyum bir tüp, şekildeki gibi rijit bir diske bağlanmıştır. Çelik mil ve alüminyum tüp için emniyetli kayma gerilmeleri sırasıyla 120 MPa ve 70 MPa olduğuna göre; disk vasıtasıyla sisteme uygulanabilecek maksimum tork değerini (Ga=27 GP G 77 GP ) 44. İçi boş iki şaft şekilde dişliler ile bağlanmıştır. Miller için izin verilebilir kayma gerilmesi 55 MPa olduğuna göre, uygulanabilecek To torkunu ve bu torka karşılık gelen A noktasının toplam dönmesini bulunuz. Transmisyon Millerinin Dizaynı 45. 3600 devir/dk hızla dönen ve 3.7 kw gücündeki bir motora bağlı bir mildeki kayma gerilmesinin (güç aktarımı esnasında) 60 MPa değerini geçmemesi için mil çapı ne olmalıdır? 46. İçi boş bir şaft (mil ) 100 kw lık bir gücü 20 Hz lik bir frekansla aktarmaktadır. Mildeki kayma mukavemetinin 60 MPa değerini geçmemesi istendiğine göre, milin et kalınlığını Mil için dış çap=50 mm. 47. Şekildeki milin kayma akma mukavemeti 150 MPa, kayma modülü 77 GPa olduğuna göre; verilen tork değeri için, a) elastik çekirdeğin yarıçapını, b) dönme açısını yük kaldırıldığında c) kalıcı dönme açısını, d) artık gerilmeleri 48. Kayma akma mukavemeti 145 MPa, kayma modülü 77 GPa olan şekildeki çelik mil yavaş yavaş arttırılan T momentine maruzdur. Buna göre; a) Akma başlangıcı için tork değerini (Ty) ve ona karşılık gelen dönme açısını (Φy), b) Kesitin tamamını plastik deformasyona uğratan tork değerini (Tp) ve ona karşılık gelen dönme açısını (Φf) yük kaldırıldığında c) kalıcı dönme açısını d) artık gerilmeleri
Dairesel Kesitli Olmayan Millerin Burulması: Gerilme ve Dönme Açısı 49. Şekildeki dikdörtgen kesitli alüminyum tüpler ekstrüzyonla üretilmiştir. T=2.7 kn.m için her iki kesitin cidarlarındaki kayma gerilmelerini Not: (b) deki parça imalat hatasından dolayı uniform kesitte üretilememiştir. 50. Şekildeki parçaların emniyetli mukavemet değeri τem=40 MPa dır. Uygulanabilecek emniyetli tork (T) değerlerini ve bulunan T değerleri için dönme açılarını Çubuklar için L= 1 m, G=70 GPa alınacaktır. Note: 1 ve 2 nolu parçaların kesit alanları, 1 ve 3 ün ise dış boyutları eşittir. 51. Şekildeki içi boş, 50 mm dış çapa ve 40 mm iç çapa sahip tüplerden bir tanesi (b) eksene paralel olarak kesilmiştir. T=0.1 kn.m için; a) tüplerde meydana gelen kayma gerilmelerini ve dönme açılarını b) Kapalı tüp için bulunan sonuçları, daha önce dairesel kesitli millerin burulması için çıkarılan bağıntılarda bulduğunuz sonuçlarla karşılaştırınız. (L=1 m, G= 77 GPa) SİMETRİK EĞİLME 51. Şekildeki kiriş için akmayı başlatacak eğilme momentini 52. Ekstrüzyonla üretilen alüminyum alaşımı bir tüp şekildeki gibi bir eğilme momentine maruz kalmıştır. Tüp için akma mukavemeti σy=250 MPa, maksimum (çekme) mukavemeti σu=415 MPa ve elatisite modülü E=73 GPa dır. Emniyet katsayısını n=3 alarak uygulanabilecek moment değerini ve eğrilik yarıçapını
53. 3 kn-m lik eğilme momentine şekildeki dökme demir bir parçada meydana gelen maksimum bası ve çeki gerilmelerini ve eğrilik yarıçapını E = 165 GPa Kompozit Kirişlerin Eğilmesi 54. Kesiti şekilde verilen kompozit bir kiriş M=4.5 kn.m lik eğilme momentine maruzdur. Buna göre; çelik (Eç=200 GPa) ve prinç (Ep=100 GPa) parçalardaki maksimum gerilmeleri 55. Şekildeki alüminyum (E=70 GPa) ve çelik (E=210 GPa) çubuklar ara yüzeylerinden düzgün bir şekilde yapıştırılmıştır. Kesit yatay eksen etrafında M=60 N.m lik eğilme momenti ile zorlandığına göre; alüminyum ve çelik çubuklardaki maksimum normal gerilmeleri 56. Şekildeki alüminyum (E=70 GPa) ve çelik (E=210 GPa) çubuklar ara yüzeylerinden düzgün bir şekilde yapıştırılmıştır. Kesit yatay eksen etrafında M=60 N.m lik eğilme momenti ile zorlandığına göre; alüminyum ve çelik çubuklardaki maksimum normal gerilmeleri 57. Şekildeki dikdörtgen kesitli plastik kirişin basıdaki elastisite modülü çekidekinin 2 katı olduğuna göre; yatay eksen etrafında uygulanan M=60 N.m lik eğilme momenti için, en büyük çeki ve bası gerilmelerini
Eğilmede Elastoplastik Gerilmeler ve Şekil Değiştirmeler 58. Akma mukavemeti 240 MPa, elastisite modülü 200 GPa olan düzgün kesitli bir parça M = 36.8 kn-m lik eğilme momentine maruz kalmıştır. Buna göre; (a) elastik çekirdeğin yüksekliğini (b) tarafsız eksenin eğrilik yarıçapını Yük geri kaldırıldığında, (c) artık gerilme dağılımını, (d) eğrilik yarıçapını 59. Şekildeki AB kirişinin akma mukavemeti 350 MPa, elastisite modülü 200 GPa olduğuna göre; akma başlangıcındaki ve flanşların tam plastik hale geldiği durumdaki eğilme momentini ve ona karşılık gelen eğrilik yarıçapını y 60. T.E Kesiti verilmiş bir kirişin tamamını plastik deformasyona uğratacak Mp momentini bulunuz, akma mukavemeti 240 MPa. 61. Eksantrik Yükleme Şekildeki gibi yüklenen zincir halkasının düz kısmında meydana gelen maksimum bası ve çeki gerilmelerini, ve tarafsız eksenin konumunu 62. Şekildeki dökme demir (gevrek) parçanın çekideki emniyetli mukavemet değeri 30 MPa, basıdaki mukavemet değeri ise 120 MPa olduğuna göre; elemana uygulanabilecek en büyük P kuvvetini
KİRİŞLERDE KESME KUVVETİ VE EĞİLME MOMENTİ DİYAGRAMLARI 63-70. Aşağıda verilen geometri ve yükleme durumları için kirişlerin kesme kuvveti ve eğilme momenti diyagramlarını çiziniz. 63. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70.
71. Aşağıda verilen geometri ve yükleme durumları için kirişlerin kesme kuvveti ve eğilme momenti diyagramlarının doğruluğunu gösteriniz. 72. Aşağıda verilen geometri ve yükleme durumları için kirişlerin kesme kuvveti ve eğilme momenti diyagramlarının doğruluğunu gösteriniz.